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非线性数据结构 -- 图概念

•有向图、无向图、网存储

•邻接矩阵、邻接表遍历

•深度优先、广度优先

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2.5 图的逻辑结构

图是对结点的前趋和后继个数不加限制的数据结构 , 用来描述元素之间“多对多”的关系。

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一 . 图的定义

1. 定义 : 图 G =(V ， E) 其中： V: 顶点的非空集合 E: 顶点的偶对 --- 边的集合例 V={v1,v2,v3,v4} E={ （ v1,v2),(v1,v3), （ v2,v1),(v2,v3), （ v2,v4),(v3,v1), （ v3,v2),(v4,v2) }

o o

oo

v1 v2

v3 v4

G1

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2. 有向图、无向图无向图 : 图中顶点的偶对是无序的，称此图为无向图，其偶对用 (vx ， vy) 表示。

有向图 : 图中顶点的偶对是有序的，称此图为有向图 ,偶对用 <vx,vy> 表示。

G2= （ V， E） V={ 1,2,3,4} E={ 〈 1,2>,<1,3> ,<3,4>,<4,1>} 1

33

2

4

G2

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3. 边和弧边 : 无向图中顶点的偶对，写成（ Vx ， Vy ）或（ Vy ， Vx ）。

弧 : 有向图中顶点的偶对 ,〈 Vx,Vy 〉表示从 Vx到 Vy 。

弧头 : 弧的终点弧尾 : 弧的起点 弧 〈 Vx ， Vy 〉 弧尾 Vx 弧头 Vy

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4. 邻接点顶点 : 图中的结点 邻接点 :

–无向图中，若边 (Ｖ x, Ｖ y)E ， 则Ｖ x、Ｖ y互为邻接点。–有向图中，若弧 (Ｖ x, Ｖ y)E ， 则Ｖ y是Ｖ x的邻接点。

VxVx VyVy

Ｖ x 、Ｖ y 互为邻接点VxVx VyVy

Ｖ y 是Ｖ x 的邻接点

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5. 顶点的度无向图 :顶点的度是连接该顶点的边的条数。 例如， G1 中 V2 的度为 3 ， V4 的度为 1 。有向图 1) 入度 : 以某顶点为弧头的弧的数目。

G2 中顶点 1的入度为 1。 2) 出度 :以某顶点为弧尾的弧的数目。 顶点 1的出度为 2。 3) 顶点的度 = 入度 + 出度。顶点 1的度 =2+1=3 。o o

oo

v1 v2

v3 v4

G1

1

33 4

2

G2

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6. 路径、长度路径 图中从顶点 Vx 到顶点 Vy 的顶点序列称为从 Vx到 Vy 的路径 ,路径可能是不唯一的。

例如 :G1 中 V1 到 V3 的路径为 :(V1V2V3) 或 (V1V3)

G2 中， 1到 4的路径为 <134> 。长度 路径上边或弧的数目。 例如， G1 中 V1 到 V3 的长度为 1或 2； G2 中 1到 4的长度为 2。

1

33

2

4

G2

o o

oo

v1 v2

v3 v4

G1

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7. 网、权

权 若图的边或弧带有与之相关的数，称此数为该边或弧的权。

权通常用来表示从一个顶点到另一个顶点的距离或费用。

网 带权的图称为网。

V1V1 V2V2

V3V3V4V4

G523

5

7

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2.6 图类的存储结构

常用的存储结构：

–邻接矩阵表示法–邻接表表示法

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一 . 邻接矩阵

图为 V和 E的集合 ,因此 :–用一个一维数组存放所有顶点；–用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。

–邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵。

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1. 无向图邻接矩阵定义 设图 G=(V,E) 是有 n(n1) 个顶点的图，则 G的邻接矩阵是具有下述性质的对称阵：

1 (Vi ， Vj ） E A[i][j]=A[j][i] = 0 (Vi ， Vj ） E G1 的邻接矩阵为：

G.nodes =

1234

A=G.edge =

0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 4x4

o o

oo

v1 v2

v3 v4

G1

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2. 有向图邻接矩阵 定义 设图 G= （ V， E）是有 n（ n 1 ）个顶点的

图，则 G的邻接矩阵是具有下述性质的 nxn 的方阵： 1 〈 Vi ， Vj> E A[i][j] = 0 〈 Vi ， Vj> E 例如， G2的邻接矩阵为：

G.nodes=

1234

A= G.Arc=

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 4x4

1

33

2

4

G2

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3. 借助邻接矩阵求顶点的度

–无向图 – 第 i 行（或第 i列）的元素之和是顶点 Vi的度。例， G1中 V2 的度是 3。

–有向图 – 第 i 行的元素之和为顶点 Vi 的出度；第j 列的元素之和为顶点 Vj 的入度。例， G2中， V2 的出度为 0， V1 的入度为 1。G1

A= G.Arc=

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

1

33

2

4

G2

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4. 网的邻接矩阵 定义： Wij （ Vi,Vj ）或〈 Vi,Vj 〉 E

A[i][j] = （ Vi,Vj ）或〈 Vi,Vj 〉 E

G.nodes=

V1

V2

V3

V4

A=G.Arc=

5 3 2 7 4x4

G5 的邻接矩阵。

V1V1 V2V2

V3V3V4V4

G523

5

7

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二 . 邻接表

图的链式存储结构 1) 为每个顶点建立一个单链表， 2) 第 i 个单链表中包含顶点 Vi 的所有邻接顶点。

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二 . 邻接表

结点组成：

每个链表附设一个头结点，结构为：

adjvex data nextarcadjvex data nextarc

顶点 Vi的邻接点 与边或弧有关的权值

指向 Vi的下一个邻接点的指针

Vexdata firstarcVexdata firstarc

指向 Vi单链表的第一个结点存放 Vi信息

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1. 无向图的邻接表

V1

V2

V3

V4

V2

顶点 Vi 的度恰好就是第 i 个单链表中的结点数。o o

oo

v1 v2

v3 v4

G1

NULLNULLV3V2

NULLNULLV2

NULLNULLV2V1

V1 V4 NULLNULLV3

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2. 有向图 G2的邻接表

1

2

3

4

NULLNULL2 3

1

NULL1

33

2

4

G2

NULLNULL4

NULL

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2.7 图的遍历

图的遍历 从指定顶点出发访问图中每一个顶点，使每个顶点都被访问且只被访问一次

常用的遍历方法：–深度优先遍历法–广度优先遍历法

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一 . 深度优先遍历法

算法：– 1) 访问图中某个指定顶点 V0；– 2) 从 V0 出发，访问与 V0 邻接的顶点 V1 后，再从 V1 出发，访问与 V1 邻接且未被访问过的顶点 V2 。重复上述过程，直到不存在未访问过的邻接点为止。

– 3) 回退到尚未访问过的顶点 , 从该顶点出发，重复 1) 、 2) ，直到全部被访问过的邻接点都被访问为止。

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V1V1

V3 V2

V5

V4

V6

G6

深度优先遍历法举例

遍历过程 访问顶点 所过边•起点 V1 V1 •V1 的第 1 个邻接点 V3 V3 （ V1 ， V3 ）•V3 的第 1 个邻接点 V1 已访问，取下 一个邻接点 V5 V5 （ V3 ， V5 ）•V5 的第 1 个邻接点 V3 已访问，取下 一个邻接点 V2 V2 （ V5 ， V2 ）•V2 的两个邻接点均被访问， 回退到 V5 ， V5 的邻接点均被访问， 回退到 V3 ， V3 的邻接点均被访问 ， 回退到 V1 ， V1 的另一个邻接点 V4 未被访问 V4 （ V1 ， V4 ）•V4 的第一个邻接点 V1 已被访问， 另一个邻接点 V6 未被访问 V6 （ V4 ， V6 ）•V6 的邻接点被访问，回退到 V4

•V4 的邻接点均被访问•回退到 V1 ，返回到出发点，遍历结束。

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二 . 广度优先遍历算法

先访问第 1个顶点所有邻接点后，再访问下一个顶点所有未被访问的邻接点。

算法– 1) 访问某个指定顶点 V0；– 2) 从 V0 出发，访问 V0的各个未曾访问的邻接点 W1， W2 ，… ,Wk; 然后 ,依此从 W1,W2,…,Wk 出发访问各自未被访问的邻接点。

– 3) 重复 2) ，直到全部顶点都被访问。

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广度优先遍历法举例

遍历过程 访问顶点 所过边•起点 V1 V1 •访问 V1 的未被访问过 的所有邻接点 V3,V2,V4 (V1,V3) (V1,V2) (V1,V4)•访问 V3 的未被访问过 的所有邻接点 V5 (V3,V5)•访问 V2 的未被访问过 的所有邻接点 无•访问 V4 的未被访问过 的所有邻接点 V6 (V4,V6)•所有顶点已被访问 , 结束

V1V1

V3 V2

V5

V4

V6

G6

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2.8 树的应用 ----Huffman 树

Huffman 树的概念构造 Huffman 树Huffman 编码

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一 . Huffman 树的概念

树的带权路径长度定义为：

WPL = ∑ wklkk = 1

n

其中： n 是树中叶结点的个数 wi 是第 i 个结点的权值 li 是第 i 个结点的路径长度

Huffman 树也称为最优树，是带权路径最短的一类二叉树。

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Huffman 树举例 以下三棵树带权路径之和：

（ a ） （ b）

（ c）a

b

c d

a b c d

a

c

b

d7

7

7

5

5

52

2

2

4 4

4WPLa =7x2+5x2+2x2+4x2

= 36WPLb =7x3+5x3+2x1+4x2

= 46

WPLc =

7x1+5x2+2x3+4x3

= 35 √ 按哈夫曼树构造二叉树，应用于实际问题，可提高处理效率。

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二 . 构造 Huffman 树

算法 :

– 1 ）将 n 个带权值 wi （ i≤n ）的结点构成 n棵二叉树的集合 T={T1 ， T2 ，……， Tn} ，每棵二叉树只有一个根结点。

– 2 ）在 T 中选取两个权值最小的结点作为左右子树，构成一个新的二叉树，其根结点的权值取左右子树权值之和；

– 3 ）在 T 中删除这两棵树，将新构成的树加入到 T 中；

– 4 ）重复 2 ）、 3 ）步，直到 T 中只含一棵树为止，该树就是 Huffman 树。

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构造 Huffman 树举例

以权值分别为7，5，2，4的结点a、b、c、d构造Huffman树。

（1）T= { a b c d }

（2）T= { a b T3 }

（3）T= { a T2 }

（4）T={ T1 }

c d

T3

b T1

T2

2 4

6

65

11

b

T2

65

11

c d2 4

18

a T2

7 11

T118

a7

T1

b T1

T2

65

11

18

a7

T1

b5

11

c d2

6

4

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三 . Huffman 编码

编码：用二进制数的不同组合来表示字符。 前缀编码：一种非等长编码。任一个字符的编码都

不是另一个字符编码的前缀。

a0

b0

1

c d0

1

1

编码： A（ 0 ）

B （ 10 ）

C （ 110 ）

D （ 111 ）

方法约定：1 ）左分支为‘ 0’

2 ）右分支为‘ 1’

3 ）由根到叶路径上字符组成的二进制串就是该叶结点的编码。

Huffman 编码：一种前缀编码。以给定权值的结点构造 Huffman 树，按二进制前缀编码的方式构成的编码

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P.31

例：设要传送的电文是： abaccda ，有 4 个字符 abcd ，可分别编码为 00 、 01 、 10 、 11 ，则电文是： 00010010101100 ，共 14 位，可采用哈夫曼编码缩短长度： 字母 abcd 出现频率分别为： 3 、 1 、 2 、 1 。

W={3 1 2 1} 3 1 2 1

W={3 2 2}1 1

2 W= {3 2 2}

1 1

22

4

W={3 4}

1 1

22

4

1 1

22

43a

c

b d

0 1

0

0

1

1

a b c d 0 110 10 111

abaccda 0110010101110

前缀编码

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作业、思考题

1 、思考题： 3 、 4、 182 、第 2章作业 8 、 13 、 20