Уравнение импульсаУравнение импульса

Вот что Вы должны знать из Вот что Вы должны знать из предыдущего обучения!предыдущего обучения!

dV/dt = PGF + G + Fr + CF + CE    

Словами :

Ускорение = СилаБаричГрадиента +

+ СилаТяжести+СилаТрения+СилаКориол+ЦентробежСила

PGF - СилаБаричГрадиентаG - Силя тяжести Fr – Сила Трения

CF – Сила КориолисаCE  - Центробежная Сила

Специфика движения Специфика движения атмосферы:атмосферы:

G-G-Сила тяжести Сила тяжести действует только по действует только по вертикаливертикали

Сила барического Сила барического градиента имеет градиента имеет маленькую маленькую горизонтальную горизонтальную составляющуюсоставляющую PGF PGF, , которая и вызывает которая и вызывает ветерветер

Пример:Пример: dp/dz = 1dp/dz = 1 гПа / 8м гПа / 8м dp/ddp/dхх = 1 = 1 гПа /100 км гПа /100 км

dV/dt = PGF + G + Fr + CF + CE    

 

Помнить твердо:PGF – Сила Барического

ГрадиентаЭто единственная сила,

которая вызывает движение воздуха

dVгор/dt = PGFгор + Fr + CF + CE

0=PGFвер + G    

PGFгор – СилаБаричГрадиента,действ. по горизонтали.

PGFвер – СилаБаричГрадиента, действ. по вертикали.

Более точная запись закона движения атмосферы

А вот это мы проходили в А вот это мы проходили в статике!статике!

Состояние покоя ─ это Состояние покоя ─ это равенство сил, действующих на равенство сил, действующих на

каждую частицу атмосферыкаждую частицу атмосферы

Силы

Силымассовые

Силы поверх-

ностные

Силыинерции( в покое

равны нулю)

Основная массовая сила – сила Основная массовая сила – сила взаимного притяжения телвзаимного притяжения тел

Кавендиш Генри (1731-1810). (Он же открыл в составе воздуха CO2)

G=6,67·10-11 [Н·м2/кг2]

Вес тела – это сила Вес тела – это сила притяжения Землей притяжения Землей

этого телаэтого тела

F = [GF = [G··M/RM/R22] ] ··mm..

Чтобы вычислить вес нужно Чтобы вычислить вес нужно гравитационную массу тела (гравитационную массу тела (mmГГ) )

умножить на ускорение силы тяжести умножить на ускорение силы тяжести Земли (Земли (gg))

Ускорение силы тяжести можно Ускорение силы тяжести можно получить из закона всемирного получить из закона всемирного тяготениятяготения

F= [GF= [G MMГ Г /(R+z)/(R+z)22] m] mГГ = g m = g mГГ

g = [Gg = [G MMГ Г /(R+z)/(R+z)22]]

Ускорение силы тяжести – это Ускорение силы тяжести – это вектор, направленный к центру вектор, направленный к центру Земли, т.е. противоположно Земли, т.е. противоположно нормали к ее поверхностинормали к ее поверхности

g = g = gg·R/|R|·R/|R|

Вспомним: всякий вектор может Вспомним: всякий вектор может быть разложен по трем не быть разложен по трем не

компланарным составляющимкомпланарным составляющим

Это свойство трехмерности нашего пространства

Поверхностные силы – это силы Поверхностные силы – это силы внутреннего трениявнутреннего трения

p p pxx xy xz

p p pyx yy yz

p p pzx zy zz

P P P Px y z

P i j kx

P i j ky

P i j kz

Сила, действующая на каждую грань бесконечно малого объема – это вектор.Поэтому поверхностные силы в каждой точке это равнодействующая, т.е. сумма трех независимых векторов

Действие поверхностных сил на каждую точку Действие поверхностных сил на каждую точку поверхности представляется произведением поверхности представляется произведением

тензора поверхностных сил тензора поверхностных сил на вектор нормали поверхности (теорема Коши)на вектор нормали поверхности (теорема Коши)

Т.е. можно найти выражение для тройки векторов всех поверхностных сил не зависящее от направления грани - тензор напряжений

An

P An n

P P P nnx ny nz

Преобразование этого Преобразование этого произведенияпроизведения

тот же результат дает матричное пр

A p p p cos( , ) p p p cos( , ) p p p cos( , )n xx yx zx xy yy yx xz yz zz

An

A cos( , ) cos( , ) cos( , )n

p p p p p p p p pxx yx zx xy yy yx xz yz zz

n X n Y n Z

P A P P P nn n nx ny nz

n X i n Y j n Z k

i j k

едставление

П - тензор поверхностных сил, выражающий их действие

независимое от ориентации площадки

p p p nxx xy xz xp p p nyx yy yz y

p p p nzx zy zz z

P P P n П nnx ny nz

Текучестью Текучестью называется способность частиц называется способность частиц жидкости приходить в движение при любом, даже жидкости приходить в движение при любом, даже

бесконечно малом касательном напряжении.бесконечно малом касательном напряжении.

В состоянии покоя, когда нет движения, нет и касательных В состоянии покоя, когда нет движения, нет и касательных напряжений, т.е. тензор напряжений в напряжений, т.е. тензор напряжений в покоящейсяпокоящейся жидкости (и газе) является диагональной матрицейжидкости (и газе) является диагональной матрицей

по закону Паскаля:

соглашение Сопромата:

p 0 0 1 0 0xxp 0 p 0 p 0 1 0ij yy

0 0 10 0 pzzp p pxx yy zz

p p p pxx yy zz

П

В покоящейся жидкости все поверхностные силы вырождаются в давление

А теперь переходим к А теперь переходим к динамике!динамике!

Движение = равенство сил, Движение = равенство сил, действующих на каждую частицу действующих на каждую частицу

атмосферы, с учетом силы инерцииатмосферы, с учетом силы инерции

Силы

Сила тяжести

Силабарическогоградиента

Сила трения (вблизи поверхности особенно)

Силы инерции(в покое равны нулю)

m· a = F

При движении возникают дополнительно силы инерции и поверхностные силы (силы трения)

Принцип Деламбера: все силы, Принцип Деламбера: все силы, действующие на точку должны быть действующие на точку должны быть

уравновешеныуравновешены

- объем частицы

- площадь поверхности частицы

вектор силы тяжести

- ускоренине частицы

- равнодействующая поверхностных сил в точке

( ) d dA 0

dd

dt

F a Pn

F g

Va

P P P Pn nx ny nz

Напоминалка: теорема ОстроградскогоНапоминалка: теорема Остроградского

Смысл теоремы:Смысл теоремы: То, что потоки приносят в объем, либо уносится ими, либо То, что потоки приносят в объем, либо уносится ими, либо

накапливается в немнакапливается в немОбычная запись учебников по математике для ВТУЗов

Векторная запись, более компактная, принята в механике сплошных сред

- вектор переноса субстанции потоком со скоростью

Div dV dVS V V

V dS V V

V V

Преобразование поверхностных сил по Преобразование поверхностных сил по теореме Гаусса-Остроградскоготеореме Гаусса-Остроградского

dAA

cos( ) cos( ) cos( ) dAA

dx y z

p p p p p p p p pxx xy xz yx yy yz zx zy zzd

x y z

p p pp pyx xy yxx zxx y z x

Pn

P n, X P n,Y P n,Znx ny nz

P PP ny nznx

i j k i j k i j k

i

П

p pp py zy yzxz zz dy z x y z

Div d

j k

1 1

выделяя давление из тензора поверхностных сил получим

1 0 0

0 1 0

0 0 1

dDiv( ) d Div( )

dt

p p p pxx xx xy xy xz xzp p p p pyx yx yy yz yzyy

p p p pzx zx zy zy zz zz

V

F a P F Pn n

П I T

I

1 1

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

dp Div( )

dt

T

Vg T

Уравнение движения (импульса)Уравнение движения (импульса)

Системы координатСистемы координат

Геоцентрическая (абсолютная): неподвижная, начало в Геоцентрическая (абсолютная): неподвижная, начало в центре Землицентре Земли

Стандартная метеорологическая (относительная): Стандартная метеорологическая (относительная): вращается вместе с Землей, начало в точке расчета на вращается вместе с Землей, начало в точке расчета на поверхности Землиповерхности Земли

Упражнение: записать уравнение импульса в абсолюной Упражнение: записать уравнение импульса в абсолюной системе декартовых координатсистеме декартовых координат

(чтоб неповадно было!) (чтоб неповадно было!)

1 1

1 1

1 1

du u u u u p yxxx zxu v wdt t x y z x x y z

dv v v v v p xy yy zyu v w

dt t x y z y x y z

dw w w w w p yzxz zzu v w gdt t x y z z x y z

Влияние вращения системы Влияние вращения системы координат на дифференцирование координат на дифференцирование

A Ax x

- по теореме Эйлера

тогда

где

,

A A A Ay z y z

dA dAdA dAdA dAd d d dy yx xz z A A Ax y zdt dt dt dt dt dt dt dt dt dtd d d

dt dt dt

d d

dt dta o

dAdA dAd yx zdt dt dt dto

A i j k i j k

A i j ki j k i j k

i j kω i ω j ω k

A Aω A

Ai j k

A A Ax y z ω A ω i ω j ω k

Применение: относительные Применение: относительные скорость и ускорениескорость и ускорение

rx x

2

2 - это сила Кориолиса

r r r r ry z y z

d dили a odt dta o

dd d oa aa odt dt dta o o

d ddo oo odt dt dtoo o

o

r i j k i j k

r rω r V V ω r

V ω rV Vω V ω V ω r

V Vrω ω V ω ω r ω V ω ω r

ω V

ω ω r ω ω r ω ω r

"бац"

ω ω r ω ω r 2 20 "цаб"

- это центробежная сила

r ω ω r ω r

Уравнение движения в относительной Уравнение движения в относительной системе координатсистеме координат

1 12

помнить, что

2

dp Div( )

dt

Vg ω V T

g g r

Ускорение КориолисаУскорение Кориолиса

Во вращающейся геоцентрической системе

0 0

2 0 0 2 2

в стандартной метеорологической системе

0

2 0

2 2 2 2

u,v,w , , ,

v u

u v w

u,v,w , , co s , sin

co s sin

u v w

v sin w co s u sin u

V ω

i j k

ω V i j

V ω

i j k

ω V

i j co s k

Уравнения движения в Уравнения движения в стандартной системе координатстандартной системе координат

1 12 2

1 12

1 12

du p yxxx zxv sin w co sdt x x y z

dv p xy yy zyu sin

dt y x y z

dw p yzxz zzg u co sdt z x y z

Принципы моделированияПринципы моделирования

Геометрическое подобие

Динамическое подобие

Кинематическое подобие

Невозможность геометрического Невозможность геометрического подобия в геофизикеподобия в геофизике

В 2007 году рабочие Дорогобужского химического завода решили сделать из старого ГАЗГОЛЬДЕРА глобус. Получился самый большой глобус в Европе (больше только в Нью-Йорк). Дорогобужский глобус достигает в высоту 12 метров, диаметра — 10,5 метра, вес 12 тонн, располагается на шести столбах в метре над землей. Шар расписывали профессиональные смоленские художники под началом руководителя проекта, известного дизайнера Михаила Шведова, который и задумал сделать его географической картой мира. Слой атмосферы до 30 км (тропосфера и стратосфера) над этим глобусом представлял бы собой пленку толщиной 2,5 см.

При теоретическом анализе соблюдают При теоретическом анализе соблюдают требование требование постоянства масштабов постоянства масштабов

моделируемых переменныхмоделируемых переменных.. При выборе При выборе масштабамасштаба обычно принимают, что в обычно принимают, что в

модели значения масштабируемой величины не модели значения масштабируемой величины не должны существенно отличаться от единицы.должны существенно отличаться от единицы.

Например, если в реальных условиях составляющая Например, если в реальных условиях составляющая скорости скорости uu может меняться от нуля (штиль) до 40 может меняться от нуля (штиль) до 40 м/с (ураганный ветер), то выбрав в качестве масштаба м/с (ураганный ветер), то выбрав в качестве масштаба значение значение UU=10 м/с, можно ожидать, =10 м/с, можно ожидать,

что аналогичная составляющая в модели что аналогичная составляющая в модели uumm , будет , будет

безразмерной и меняющейся от нуля до 4, так как в безразмерной и меняющейся от нуля до 4, так как в условиях кинематического подобия должны условиях кинематического подобия должны выполняться равенства. выполняться равенства.

илиu U u U umum

Характерные масштабы Характерные масштабы атмосферных движенийатмосферных движений

Характерные масштабы параметров движений синоптического масштаба.

НаименовНаименование ание

моделируемоделируемой мой

величины:величины:

ГоризонГоризонтальнытальны

е е скоростскорости и ((uu,,vv))

ВертиВертикальнакальна

я я скоросскорость ть ((ww))

ГоризонГоризонтальное тальное расстоярасстояние ние ((xx,,yy))

ВертикВертикальное альное

расстоярасстояниение (z)(z)

ГоризоГоризонтальннтальн

ое ое изменеизмене

ния ния давленидавлени

яя ( (ддpp))

ПлоПлотностнос

ть ть (ρ)(ρ)

Время Время ((t)t)

ОбозначенОбозначение ие

масштабмасштаба:а:

UU WW LL HH ΔΔPP ΤΤ (=L/U)(=L/U)

Значение Значение масштабмасштаб

а: а:

10 м/с10 м/с 0,01 0,01 м/см/с

1000000 1000000 мм

10000 м10000 м 1000 1000 ПаПа

1 1 кГмкГм-3-3

101055 с с

Пример введения безразмерных Пример введения безразмерных переменныхпеременных

Исходная форма

Введение безразмерных переменных

v v v v 1 p 1 xy yy zyu v w 2u sin

t x y z y x y z

2v v v vU U UWm m m mu v wm m mt L x y H zm m m m

pP 1 ro U 1m lU lum 2roL ym m roL

xy yy zym m mx y zm m mm

Если разделить все члены уравнения на один из множителей порядка, то можно получить безразмерное уравнение

Оценка порядков слагаемых в уравнении Оценка порядков слагаемых в уравнении меридионального ускорения путем сравнения с меридионального ускорения путем сравнения с

ускорением Кориолиса.ускорением Кориолиса.

l 2 sin откуда

UT T roxy xy xy xy Lm

T xy xyro Uxy xy m m2x L x xm mL

Параметр Кориолиса

Для оценки поверхностных сил принята гипотеза

Ньютона

Анализ главных факторовАнализ главных факторов Влияние молекулярной вязкости на эти потоки несущественно.Влияние молекулярной вязкости на эти потоки несущественно. Главными динамическими факторами являются сила барического градиента и Главными динамическими факторами являются сила барического градиента и

сила Кориолиса.сила Кориолиса. С относительной ошибкой около 10% можно использовать уравнения С относительной ошибкой около 10% можно использовать уравнения

горизонтального движения синоптического масштаба в видегоризонтального движения синоптического масштаба в виде

Анализ вторичных факторов. Число Анализ вторичных факторов. Число Россби-Кибеля Россби-Кибеля Ro=U/(lL)Ro=U/(lL)

Это безразмерный комплекс, который позволяет Это безразмерный комплекс, который позволяет оценить, какой из факторов компенсируют воздействие оценить, какой из факторов компенсируют воздействие силы барического градиентасилы барического градиента

относительное ускорение частицы воздухаотносительное ускорение частицы воздуха или ускорение Кориолиса или ускорение Кориолиса

- число Россби

Преобладает ускорение Кориолиса

Оба фактора имеют равное значение

Преобладает относительное ускорение

URo

l L

Ro 1

Ro 1

Ro 1

Роль числа Роль числа RoRo

При одинаковой величине барического градиента балансирующие его При одинаковой величине барического градиента балансирующие его ускорения могут быть различными для движений с разным ускорения могут быть различными для движений с разным горизонтальным масштабом горизонтальным масштабом LL..

При При LL ≈ ≈ 1000 км и 1000 км и RoRo< < 1 выполняется баланс, который называется 1 выполняется баланс, который называется геострофическим равновесием. геострофическим равновесием.

Но если рассматриваются процессы, у которых Но если рассматриваются процессы, у которых LL ≈ ≈ 100 км, то 100 км, то RoRo≈≈11 ии баланс баланс градиентным равновесием. градиентным равновесием.

Для процессов еще меньшего масштаба Для процессов еще меньшего масштаба LL ≈ ≈ 10 км и менее уже 10 км и менее уже RoRo>>11 и и главным становиться баланс между барическим градиентом и главным становиться баланс между барическим градиентом и относительным ускорением. относительным ускорением.

(В зарубежной литературе этот случай иногда называют (В зарубежной литературе этот случай иногда называют циклострофическим равновесием). циклострофическим равновесием).

Анализ масштабов вертикального Анализ масштабов вертикального движения атмосферы движения атмосферы

w w w w 1 p 1 yzxz zzu v w g 2u co st x y z z x y z

1 pg

z

движения атмосферы происходят квазистатически

Выпишем систему уравнений, которая, как Выпишем систему уравнений, которая, как показывает анализ методом подобия, правильно показывает анализ методом подобия, правильно описывает эволюцию атмосферы в течение 1 ‑ 5 описывает эволюцию атмосферы в течение 1 ‑ 5

суток суток

1

1 12

u u u u pu v w l v

t x y z x

d v v v v pp u v w l u

dt t x y z y

pg

z

Vg ω V

0w u v

div( )z x y

U p

RT

0P

d T T T T RT dPu v w ,

dt t x y z С P dt

Уравнения преобразуются в дискретную Уравнения преобразуются в дискретную форму, когда переменные определяются форму, когда переменные определяются

через их значения в узлах сеткичерез их значения в узлах сетки

Вычисления ведутся шагами по времени по сезонам или векам в зависимости от целей исследователя

Имитационное моделирование в Имитационное моделирование в метеорологии требует суперкомпьютеровметеорологии требует суперкомпьютеров

Суперкомпьютер ASCI White имеет предельную производительность в Суперкомпьютер ASCI White имеет предельную производительность в 12 триллионов 288 миллиардов операций в секунду. До настоящего 12 триллионов 288 миллиардов операций в секунду. До настоящего времени эта машина так и не была использована на полную времени эта машина так и не была использована на полную мощность: пока предельная зафиксированная скорость - 7 мощность: пока предельная зафиксированная скорость - 7 триллионов 226 миллиардов операций в секунду. триллионов 226 миллиардов операций в секунду.

Некоторые свойства этой системы Некоторые свойства этой системы уравнений нам и предстоит изучитьуравнений нам и предстоит изучить