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振 动 磁 铁南京大学，陈旭

课题

振动磁铁

将两枚磁铁其中一枚固定，另一枚悬置在固定磁铁上方，并使之能在竖直方向上运动，考察上方磁铁的振动情况。

Magnetic Spring

Two magnets are arranged on top of each other such that one of them is fixed and the other one can move vertically. Investigate oscillations of magnet.

内容提要

理论模型

数值模拟

实验验证

磁荷模型

磁荷数量级

T

ldd

qHB m

rr 2.011

4 220

B

d

cmd 2.0 cml 5.1 AmNqm /101 5

两块磁铁间作用力：

斥力与距离的函数

qm

qm

-qm

-qm

l

l

d

2220

2 2

2

11

4 ldldd

qF md

d >> l 时：

d = l 时：

d << l 时：

4

2

0

2 6

4 d

lqF md

20

2

18

11

4 l

qF md

20

2 1

4 d

qF md

单个磁铁块质量： m0=8.7

g

F 斥 =(m 示 +3×m0) g

测量斥力 （ 3×3）

d / cm

F / N

F （ d ） =6×d-2-0.03×d-1-0.135

数据拟合：

平衡位置：d0=3.50 cm

测量阻力

磁铁块自由落体时满足的动力学方程为：

0

x

mgxxm

初值条件为： 000 xx

其解为： tmg

egm

x mtt

1/2

2

测量受阻磁铁块落体 x-t 图：

x / m

t / s

由实验数据拟合得到：

05.2m

振动方程

运动弹簧满足的动力学方程为：

qm

qm

-qm

-qm

l

l

d

mgFddm d

其中： ,

其中第二项为与速度成正比的空气阻力；方程初始条件为：

， cmd 300 00 d

05.2m

gm 1.26

F （ d ） =6×d-2-0.03×d-1-0.135 N采用 MATLAB 编程求数值解

数值模拟

速度

距离

t / s

d / m or dˊ / m·s-1

d-t 放大图

t / s

d / cm 振动周期： 0.30 s ~ 0.45 s

小幅摆动周期：

sT

d

F

mkmT

s

ddd

s

58.0

12/2

1

0

实验验证

d / m

t / s

数据点与理论线

实验数据与理论曲线吻合

压缩空气带来的压强差阻力是存在的，但可以认为与单纯的空气阻力在一个数量级上，原因如下：

玻璃管与上下两块磁铁并非构成封闭的“气缸”，而是有约 1mm 的空隙，所以被压缩的空气迅速从上下两块磁铁侧面“溢出”，“化解”了压强的剧烈变化。

其次，我们可以唯象地认为这种漏气压缩对磁铁带来的阻力也与压缩速度成正比。

压缩空气带来的压强差阻力？

电磁场波印亭矢量

数量级：

S 的数量级为 1×10-3

能量损失 ⊿ E ≈ S×S 表面×⊿ t 可以忽略不计

电磁波带来的能量损耗？

HES

52

2

32 164

1

4

1

d

vlq

d

lq

d

vqS mmm

cmd 2.0 AmNqm /101 5

总结回顾

磁荷模型及其数量级

斥力与距离所呈函数

斥力与阻力系数测量

磁铁振动情况的模拟

小幅摆动及实验对比

维象模型与小量忽略

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