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第一章 预备知识

第一节 排列与组合第二节 集合

2

加法原理：完成一件事情有 n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

种不同的方法乘法原理：完成一件事情有 n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

种不同的方法

第一节 排列与组合

1

n

ii

m

1

n

ii

m

3

排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有全排列

可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排 , 不同的排法有 种。

mn

( 1)( 2) ( 1)mnP n n n n m

!nnP n

4

不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 个相同的元素，ik

将这 n 个元素按一定的次序排成一排，

种

不同的排法共有

1 2 ,mk k k n

1 2

!

! ! !m

n

k k k

5

例 1 从 8 个不同的元素种任取 3 个的排列种数[ 解 ] 所求的排列种数为

38 8 7 6 336.P

例 2 从 1,2,3,4,5,6,7 七个数中任取 3 个不同的数组成的三位数中有几个是奇数？[ 解 ] 三位数为奇数，个位数只能是奇数，有4 中可能。因此个位取定后十位有 6 种取法，百位有 5 种取法。所求的个数为

4 6 5 120 .＝

6

例 3 用 0,1,2,3,…,9 十个数组成三位数，在这些三位数中 ,(1) 若考虑重复，问可以组成多少个不同的三位数？(2) 三个数没有重复的有几个？(3) 三个数相同的有几个？(4) 只有两个数字相同的有几个？[ 解 ](1) 考虑重复，除百位数不能为 0 ，个位和十位可以任取。有 9×10×10 ＝ 900. (2) 同样百位数不能为 0 ，有 9 种取法，十位有 9 种，个位有 8 种取法。共有 9×9×8 ＝ 648. (3) 三位数中三个数相同，百位不能为 0 ，因此只有9 种。 (4) 百位和十位相同，有 9×9 个数；百位和个位相同有 9×9 个数，个位和十位相同有 9×9 个数。共有 9×9 ＋ 9×9 ＋ 9×9 ＝ 243.

7

组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个( 不放 回地）组成一组， 不同的分法共有

!

!( )!mn

nC

m n m

1 2

1

n

n

kk kn n k kC C C

多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组（组编号）， 各组分别有 个元素 不同的分法共有

种。

1 2, , , nk k k1 2 nk k k +

8

例 4 有 5 本不同的数学书、 8 本不同的物理书，从中任取两本数学书、四本物理书。问有多少种不同取法？

[ 解 ] 从 5 本书中取 2 本数学书，有

48

8 8 7 6 570

4 4 3 2 1C

25

5 5 410

2 2 1C

种取法。因此，所求的取法的种数为

从 8 本书中取 4 本物理书，有种取法。

4 28 5 700.C C

注：总的事件数为 .613C

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将 15 名同学 ( 含 3 名女同学 ), 平均分成三组 . 求(1) 每组有 1 名女同学 ( 设为事件 A) 的分法；(2) 3 名女同学同组 ( 设为事件 B) 的分法。

解 55

510

515 CCCn

（ 1 ） 11

12

13

44

48

412 CCCCCCnA

（ 2 ） 55

510

212

13 CCCCnB

例4

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第二节 集合

• 集合：具有某种特性的事物所组成的集体。用 A,B,C…来表示。组成集合的各个事物称为集合的

元素。如果 a 是集合 A 的元素，记为 ，读作“ a 属于 A” ；如果 a 不是集合 A 的元素，记为 ，读作“ a

不属于 A” 。若 A 由多个元素 a,b,c… 组成 , 记为

a Aa A

{ , , , }A a b c

一、集合相关的定义

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集合的元素可以是任意种类的对象：点、数、函数、事件、人等。

如 (1) 全体实数组成的组成一个集合； (2) 平面上的点； (3) 某班级的学生人数； (4) 某区间的连续函数；在讨论集合时，集合中的元素只算一次。

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有限集：元素为有限的集合 .无限集：元素为无限的集合 .可数集：一个无限集的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系，这个集称为有限集或可列集，否则为不可数集。如可数集

1 1 1, , ,...

2 3 4

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二、集合的运算1. 子集：属于 A 中的元素都属于 B ， .A 称为 B 的子集 .若空集：不含任何元素的集合，记为 .若2. 并集：由至少属于集合 A 及集合 B 二者之一的所有元素所组成的集合称为 A 与 B 的并集。记为如则 3. 交集：同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合 .

A B

, ,A B B C A C

, A,A B B A B

A B

{1,2,5,7}, {2,3,4,8,9,10}A B {1,2,3,4,5,7,8,9,10}A B

{2}A B

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• 如果 ，即集合 A,B 无公共元素，称 A与 B 互不相交。如区间 (1,2),(2,3) 不相交。

• 集合的并与交满足下列分配率：

4. 差集 余集对任意集合 A,B, 称由属于 A 而不属于 B 的所有

元素组成的集合为 A,B 的差集 , 记为 A － B.

若 A 与 B 不相交，则 A － B ＝ A 。

A B

( ) ( ) ( ).A B C A C B C

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• 设 称 U － B 为 B 在 U 中的余集，记为如 当 U 为整个数轴时，区间 在 U 内的余

集为余集的有关性质：设 A,B,… 等都是 U 的子集（ 1 ）（ 2 ）若（ 3 ）

,B U UB( , )a

[ , )a

__

A A, ;A B A B

________ ________

;A B A B A B A B

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作 业 1• 1 由数字 1,2,3,4,5,6 能组成多少个没有重复数字的五位

数？• 2 由数字 0,1,2,3,4,5 能组成多少个没有重复的五位数？• 3 在 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取四个 , 能组成多少个是偶

数的四位数？• 4 有三种不同的数学书、五种不同的物理书、四本不同的

英语书 , 从中任取两本数学书、三本物理书、三本英语书 ,有多少种取法 ?

• 5 平面上由 确定的集合与由 确定的集合的交集是怎样一个集合？

2 2 4x y 2 2 1x y