涛声依旧 理念更新

2007 年高考数学试题（广东卷）和答卷分析

柳柏濂 华南师范大学数学科学学院 liubl@scnu.edu.cn

( 一 ) 特点和评价

1 ． 平稳过渡，涛声依旧

(1) 不超大纲

(2) 不加题量

(3) 不增难度

知识点

向量

函数

三角函数

数列

解析几何

立体几何

排列组合

概率统计

复数

研究性题

选做

06年

5

26

14

22

19

24

5

12

5

5

文

11

39

8

19

19

17

22

5

5

5

试卷分值

07

年

理

5

29

12

19

19

14

5

22

5

10

10

2 ．锐意改革 理念更新 新高考，新在哪里？ (1) 尝试新形式

(2) 构建“新双基”

(3) 增加新考点

值得注意的是，07年的考题中出现了一类看起来非数学形式的考题。如理 7（文 10）

理 7（文 10）

图 3是某汽车维修公司的维修点环形分布图。公司在年初

分配给 A、B、C、D四个维修点某种配件各 50件。

在使用前发现需将 A、B、C、D四个维修点的这批配件分

别调整为 40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之

间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次

（ n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n）为

A．15 B． 16 C．17 D．18

A D

B C

图 3

虽然，命题者指出，本题有函数求极值的理论背景。事实上，考生都是用操作法把要求的调“ ”整完成（如下图），便 猜 到答案 16 。

但是，为什么不可能是 15呢？即为什么 16是最少的调动件次，很多考生可能是不了了之的。事实上，我们只要考察不相邻的两点 B和 D，B点从 50 → 45 必须从邻点调动至少 5件，而 D点从 50 → 61 至少要从邻点调动 11件，故至少的调动件次应是 5+11=16件。一个非

形式的数学问题蕴含着一个数学的思想方法：若 axf )( , 且 )(xf 可达到 a，则 )(xf

的最小值是 a 。

10

1

5 50－5=45 50－1＋5=54

50＋10＋1=61 50－10=40

A D

B

C

(4) 强化新理念

强化通性，淡化技巧

20 已知 a是实数，函数 axaxxf 322)( 2 。如果函数 )(xfy 在区

间［-1 , 1］上有零点，求 a的取值范围。

除了标准答案，及很多考生采用的数形结合的解法外，也可以采取纯粹代数

讨论的方法。即

（1）先解出二次函数 axaxxf 322)( 2 的零点

得 )1(2

11

ax ， )1(

2

12

ax ，其中 162 2 aa

（2）讨论 x的存在性得

（2）讨论 x的存在性得

0a 2

73a 或

2

73 a

（3）要 )(xf 在［-1 , 1］上有零点只须（结合考虑（2））

11 1 x 或 11 2 x

若 a> 0 得 a ［1 ,+)

若 a< 0 得 a ( - ,2

73 ]

这是完全脱离了图象（不考虑对称轴）的数字化方法。

21．（本小题满分 14分）

已知函数 1)( 2 xxxf ，、 是方 程 0)( xf 的两个根（ ），

)(xf 是 )(xf 的导数。设 11 a ， )(

)(1

n

nnn af

afaa

( ,2,1n )

（1）求、 的值；

（2）证明：对任意的正整数 n，都有 na

（3）记

n

nn a

aInb ( ,2,1n )，求数列 nb 的前 n项和

nS

第一个问，自然是平凡的通性。即使是问题（2），也无须用标准答案中的技巧

12

)( 2

1

n

nn a

aa

可用数学归纳法直接证明 na 。如下

由 12

12

1

n

nn a

aa

（1）当 1n 时， 11a , 命题成立 (注2

51 )

（2）假设 kn 时，命题成立，即 ka

则当 1kn 时

令 12

1)(

2

x

xxf

则2

2

)12(

)1(2)(

x

xxxf

当 x 时 0)( xf

故 )(xf 在（ ，＋ ）上严格单调递增

由假设 ka

故

1212

1

12

1 2222

1k

kk a

aa

1kn 时，命题成立。

这也是直接的通法。

强化应用 淡化理论

强化能力 淡化知识

强化思维 淡化计算

理 16（本小题满分 12分）

已知 ABC 顶点的直角坐标分别为 (3,4), (0,0), ( ,0).A B C c

(１) 若 5c ，求 Asin 的值； (２) 若 A 是钝角，求 c的取值范围。

其中的问题（2），一种最简便的方法是运用射影定理（或两三角形相似性质）。先考虑 ∠A是直角的情形 △由 ABD∽ △ CBA

得 3

5

5

c

便得3

25c

要 90A ，则3

25c

完全不用开方运算。

5

4

3

C (c ，0)

A (3 ，4)

D

y

B x

又如理 20（文 21）除了上述直接得代数解法外，还有更巧妙的解法如下：

由 0)( xf 得 xxa 23)12( 2 ，易知 012 2 x 12

232

x

xa

设12

23)(

2

x

xxg )11( x 则 )(xf 有零点时， a的范围就是 )(xg 的值域。

令 tx 23 ，则2

3 tx

且 51 t ，此时

672

)(

tt

xg

设 67

t

tm )51( t ，用导数求m的最大值为 2，最小值为 672

2672 m 而m

xg2

)( 可推出 1)( xg 或 2

73)(

xg

a的范围是 ),1[]2

73,(

（二）答卷情况分析第二部分 非选择题

1．填空题（11－14） 样本总数

科目 满分 平均分 标准差 难度

文科 20 11．34 5. 73 0．57

理科 30 20．38 5. 72 0．68

2 解答题 共 80分

文科

题号 满分 平均分 标准差 难度

16（向量） 14 9．28 5.5 0．66

17（三视图） 12 5．48 4.42 0．46

18（回归方程） 12 5．39 4.21 0．45

19（解几） 14 4．38 4.39 0．31

20（数列） 14 2．59 2.08 0．19

21（函数零点） 14 1．30 1.70 0．09

理科

题号 满分 平均分 标准差 难度

16（向量） 12 9．30 3．38 0．77

17（回归方程） 12 6．34 4．34 0．53

18（解几） 14 7．21 4．71 0．52

19（立几） 14 4．21 4．.25 0．30

20（函数零点） 14 2．16 1．96 0．15

21（数列） 14 2．33 1．78 0．17

（三）高考总结和教学建议2006年与 2007年试卷解答情况对照

选择题 非选择题 全卷

满分 平均分 难度 满分 平均分 难度 满分 平均分 难度

2006 50 35．30 0．71 100 42．69 0．43 150

文 50 100 39．76 0．40 150 2007

理 40 110 51．93 0．48 150

07 年考生的进步表现在： 1. 对高考有信心 2. 对新课标有准备 3. 对大纲的知识有基础

应该着重加强下面几个能力 :

1. 高考的应变能力

2. 数据处理能力

3. 逻辑分类的能力

4. 数学应用的能力

5. 数学阅读能力

（四）对高考命题的评价和建议

我们建议：

1. 文理差别更大

2. 解题方法更多

3. 试题设计更美

谢谢 !