«Метод плоских областей»

Ученик 11 «А»Аракелян Давид

Выдающийся французский математик, физик и писатель, один из создателей математического анализа, проектной геометрии, теории вероятностей, гидростатики, создатель механического счетного устройства – «паскалева колеса» и наконец философ, чьи мысли оказывали влияние на многих выдающихся людей сказал:

Блэз ПаскальBlaise Pascal

(19.06.1623 –  19.08.1662)

«Предмет математики настолько серьёзен, что надо не упускать случая сделать его занимательным»

«Крупное научное открытие даёт  решение крупной проблемы , но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»

Для успешного исследования многих задач повышенной сложности полезно уметь строить не только графики функций, но и множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет метод областей. Это весьма полезный прием можно назвать обобщающим методом интервалов.

Метод областей особенно полезен при решении уравнений или неравенств с параметром. Применение метода интервалов в таких случаях затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. В этой ситуации нам может помочь метод областей.

ЦЕЛИ РАБОТЫ:

Рассмотреть «метод областей» как общий прием решения неравенств на плоскости;Применить «метод областей» к решению задач с параметрами.Показать типы задач, которые могут быть решены с помощью данного метода.

Указать множество точек плоскости (х; у), удовлетворяющих неравенству:

,032 xxy 022 xyx

Рассмотрим f(х;у)=х(у-х)(у+х) f(х;у)=0, если

у-х=0

у+х=0

илиу=х у=-х

х=0илиxy

xy

0x

1)

,032 xxy

,032 xxy

, Заметим что все « » прямые порождены

, сомножителями входящими в функцию

f(x) , нечетным образом и при переходе через

любую из указанных трех прямых

происходит смена . знака этой функции

Поэтому в других областях знаки функции f(x) вычислять

.не требуется

f(1;0)=1∙(0-1)∙(0+1)=-1<0

2) ,0422 xyx

,0222 xyx

02 xyxyx

Рассмотрим f(х;у)= xyxyx 2

f(х;у)=0, если

или у-х=0

или у+х=0у=

х у=-х

у=ху=-х

0x х=0

,0422 xyx

у=х

у=-х

0x

В отличии от примера 1 при переходе через прямую х=0 знак функции не меняется, так как соответствующий ей сомножитель входит в выражение для у=f(x) четным образом.( Как в случае кратных корней при решении неравенств методом интервалов)

f(1;0)=12∙(0-1)∙(0+1)=-1<0

Преобразуем неравенство:

1yx

yx

Рассмотрим f(х;у)=

02

yx

y

yx

y

2

f(х;у)=0, если у=0;

f(х;у) не существует, если х-у=0, если у=х;

f(0;1)= 0210

12

3)

у=х

у=0

012 yxyx

f(х;у)= 12 yxyx

f(х;у)=0, еслих-у=0 или

012 yxу=х 12 yx

f(1;0)=(1-0)∙(1-02 +1)=2>0

4)

Рассмотрим

12 yxу=х

Решение систем неравенств с параметром «Методом областей»

Найти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:

axx

xa

22

02

02 axx

xa

На плоскости (х;а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системеа

)0 xa

Рассмотрим f(х;а)= xa

f(х;a)=0, если 0 xa

xa f(1;0)=0-|1|=-1<0

xa

1)

.022 axx axx 22б) Рассмотрим f(х;а)=

f(х;a)=0, если

xa

f(1;0)= 12 -2∙1-1=-2<0

xxa 22 11 2 xa

Это квадратичная функция,график – парабола,ветви вверх,вершина (1;-1), х=1 ось симметрии.Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет хотя бы одно решение равно -1

Ответ: -1

xxa 22

a

xa

2ax

xa

Найти наибольшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:

.02

,0

ax

xa 0xOOC

На плоскости (х;а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системеа

)Рассмотрим f(х;а)=f(х;a)=0, если

0 xa

0 xaxa

f(1;2)=2-1=1>0

xa

2)

2 ax

2ax

xa

0xOOC

б)Рассмотрим f(х;а)=

f(х;a)=0, если

02 ax

02 axxa 2

f(0;0)=-2<0 Наибольшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение равно 2. Ответ:

2

xa

xa 2

2)

Найти наименьшее целое значение параметра а , при котором система имеет единственное решение:

axx

axx

632

342

2

3)

Преобразуем систему:

axx

axx

632

342

2

0632

0342

2

axx

axx

1) Рассмотрим f(х;а)=

axx 342

f(х;a)=0, если 0342 axx

12 2 xa

Это квадратичная функция, график – парабола,ветви вверх, вершина (-2;-1), х=-2 ось cимметрии.

f(0;0)= 3>0

0632

3342

2

axx

axx

2)Рассмотрим f(х;а)=

axx 6322

f(х;a)=0, если

3

21

6

1 2 xa

Это квадратичная функция, график – парабола,

ветви вниз, вершина (1; ), х=1ось cимметрии.

0632

3342

2

axx

axx

06322 axx

3

2

f(0;0)= -3<0

0632

3342

2

axx

axx

Наименьшее целое значение параметра а , при котором система имеет единственное решение равно -1.

Ответ: -1

12 2 xa

3

21

6

1 2 xa

Найдите все значения а , при каждом из которых общие решения неравенств и образуют на числовой оси отрезок длины единица.

axx 4142

а)

Решение:

Найдем а, при которых система неравенств (1) имеет решения:

0414

0122

2

axx

axx

Преобразуем систему:

axx

axx

414

12)1(

2

2

041444

012

2

axx

ax

0452

012

2

ax

ax

122 axx

а)Рассмотрим f(х;а)= ax 21

f(х;a)=0, если

01 2 ax

21 xa Это квадратичная

,функция – ,график парабола

, (1ветви вверх вершина ; 0),

=х 1 ось симметрии. f(0;0)=1-0>0

01 2 ax

0452 2 axб)

Рассмотрим f(х;а)= ax 452 2

f(х;a)=0, если

0452 2 ax

4

52

4

1 2 xa

Это квадратичная функция, график – парабола,ветви вниз, вершина (2; ), х=2 - ось cимметрии.

4

5

f(0;-1)=4-5-4=-5<0

4

5

0

Система неравенств ,имеет решение

если aϵ [0; ].4

5

Решения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица,при а=1 и а= ¼

а=1

а= ¼

Действительно, точки (½;¼) и (³∕₂;¼) принадлежат графику а=(х-1)2 , расстояние между ними равно |³∕₂ - ½|=1.

Решения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица,при а=1 и а= ¼

Ответ: а=1 и а= ¼

Расстояние между точками(1;1) (2;1) и графиков

= -а 1∕6 ( -2)х 2 +5∕4 и=( -1)а х 2 равно |2-1|=1.

Метод областей можно назвать

методом интервалов для плоскости.Его можно использовать

для решения заданий ЕГЭ части С .

Таким образом:

Проверь себя!

Системы неравенств с параметрами

При каких значениях параметра «а» , система имеет единственное решение:

1

07)1

2

x

axx

1

0)2

2

x

axx

0232

02)3

2

2

axx

axx

]1[

]2[]25,2;6[

Найти наименьшее значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение:

axx

ax

4

1)5

2

2

]6[

axx

xa

2)4

2

]0[

Найти наименьшее целое значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение:

0

02)6

2 ax

ax

062

034)7

2

ax

axx

axx

axx

632

34)8

2

2

]1[

]7[

]1[

Найти наибольшее значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение:

2)10

ax

xa

]3[

064

02)9

2

2

axx

axx ]2[

2

4)11

2

ax

ax]3[

Найти наибольшее целое значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение:

0

02)12

2 ax

ax]3[

Замечание: метод областей как таковой – лишь иллюстрация. Решение может считаться обоснованным, только если получены и выписаны уравнения всех линий, изображенных на рисунке, и приведены доказательства правильности расстановки знаков. Рисунок, естественно, должен быть выполнен по возможности аккуратнее. В частности, желательно указать, какие линии входят в рассматриваемое множество, а какие нет.

Список использованной литературы.

Математика для поступающих в серьезные вузы.

О.Ю.Черкасов , А.Г.Якушев . – M.: Московский лицей, 2009.ЕГЭ 2010 математика .Федеральный институт педагогических измерений. Официальный разработчик контрольных измерительных материалов для ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА.

Общая редакция: А.Л.Семенов, И.В.Ященко.