教学目的 掌握二次型及标准型定义，掌握二次型的矩阵表达式，理解合同矩阵定义与性质，理解二次型化成标准型的基本原理和方法，会用配方法化二次型为标准型

作业

重点 二次型化成标准型 练习册第 39 页－ 41页

第 10 题 至

第 13 题

难点 同上

讲授方法 讲练结合

讲授内容主线

对称矩阵对角化方法－二次型及矩阵形式－标准型、合同矩阵与性质－化标准型的基本方法－练习－配方法练习

时间安排 复习对称矩阵对角化方法： 15 分钟；二次型概念： 15 分钟；合同矩阵及性质： 30 分钟；二次型化标准型方法： 35 分钟；机动： 5 分钟

班级： 时间： 年 月 日；星期

第十五讲：配方法与正定二次型

第十五讲：配方法与正定二次型

本次课讲完大纲规定全部内容，

下次课进行全书总结并讲授一套模拟训练题

本次上课交作业 P49—P50,T20 可暂不做，课堂上讲

第十五讲：配方法与正定二次型

2

3

2

2321

2

1 45)2(2 xxxxxx

2

3

2

2

2

32

2

32321

2

1 452]2)2(2[ xxxxxxxxxx

2

332

2

2

2

321 8442 xxxxxxx 2

3

2

332

2

2

2

321 9])2(22[2 xxxxxxxx

2

3

2

32

2

321 922 xxxxxx

解 : 3121

2

3

2

2

2

1 4245 xxxxxxxf

例 1 化二次型 3121

2

3

2

2

2

1 4245 xxxxxxxf 成标准型，并求所用的变换矩阵 .

一、配方法化标准型

1002

1

2

10

2

5

2

11

P )0( P

标准型为 : 2

3

2

2

2

1 9 yyyf

令

3211 2xxxy

322 2 xxy

33 xy

33 yx

322 2

1

2

1yyx

3211 2

5

2

1yyyx

即

第十五讲：配方法与正定二次型

第十五讲：配方法与正定二次型例 2 化二次型 323121

2

3

2

2

2

1 62252 xxxxxxxxxf

成标准型，并求所用的变换矩阵 .

解 32

2

3

2

23121

2

1 65222 xxxxxxxxxf

2321 xxx 32

2

3

2

2 2 xxxx 32

2

3

2

2 652 xxxx

32

2

3

2

2

2

321 44 xxxxxxx

232

2

321 2xxxxx

令 3211 xxxy

322 2xxy

33 xy 即

33 yx 322 2 yyx

3211 yyyx

就把 f 化成标准形 2

2

2

1 yyf

所用变换矩阵为

,

1 0 0

21 0

1 11

P

（ |P|=1≠0）

第十五讲：配方法与正定二次型

二、正定二次型的概念

定理 11 设有实二次型 ,f AxxT 它的秩为 r ，有两个实可逆变换 Cyx 及 Pzx

使 0 22

22

2

11 irr kykykykf

0 22

22

2

11 irr zzzf 及则 中正数的个数与 中正数的个数相等 .rkkk ,,, 21 r ,,, 21

这个定理称为惯性定理 .

1. 惯性定理：

第十五讲：配方法与正定二次型

称为负惯性指数负（含零）系数的个数称为正惯性指数，记为标准化后正系数的个数 p

第十五讲：配方法与正定二次型该定理说明了：（ 1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所

含的项数是确定的（即是二次型的秩）。 （ 2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也不变 （ 3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知，一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯性指数

2. 正定二次型的定义：定义 9 设有实二次型 , Axxxf T 如果对任何 ，0x

都有 xf >0（显然 f (0) = 0 ），则称 f 为正定二次型，

并称对称矩阵 A 是正定的；如果对任何 ，0x 都有 0xf 则称为负定二次型 , 并称对称矩阵 A 是负定的 .

三、正定二次型的判定方法：

1. 标准型系数法：

定理 12 实二次型 f 正定的充分必要条件是：它的标 AxxT

准形的 n 个系数全为正 .

第十五讲：配方法与正定二次型

推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的特征值全为正

分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。3.主子式判定方法：（ 1）什么是主子式

阶行列式、、开始，依次计算的沿主对角线，从 na 2111

2221

1211

aa

aa,

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

1111 aa

阶主子式分别称为 n,2,1

2. 特征值判定方法第十五讲：配方法与正定二次型

（ 2）主子式判定定理定理 13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式都为正，即

,011 a ,02221

1211 aa

aa, ;0

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

例 4: 判断二次型是否正定

3121

2

3

2

2

2

1 44756 xxxxxxxf

解 :

702

052

226

A 0611 a 03452

26

0162

702

052

226

所以正定

第十五讲：配方法与正定二次型

。，使得矩阵是存在可逆为正定的充分必要条件证明对称矩阵

,

4.

UUAU

AT

第十五讲：配方法与正定二次型

T

nn

T

n

T

TT

in

PP

PPPPA

PPPPAAPPAPP

nidiag

PA

11

1

11

21

:.

.,,2,1,0),,,(

即

使得：，矩阵，与对角交矩阵对称且正定，则存在正必要性：设

第十五讲：配方法与正定二次型

为正定二次型即即可逆

，，为可逆矩阵，充分性：设

Axxf

fqUxUx

qqqqqxf

qqqqxUUxUxUxUx

AxxxfUUAU

T

n

T

nnnnn

TTT

TT

0,0,0,0

0)(

,,)()(

)(

22

2

2

1

2111

结论成立。则：令 .,1

11

UUAPU

PP

TT

n

T

nn

4. 负定判定方法：对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是： A 的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即

.21 ,01

21

22221

11211

,n,,r

aaa

aaa

aaa

rrnn

r

r

r

这个定理称为霍尔维茨定理 .例 5 判别二次型 的正定性 .xzxyzyxf 44465 222

解 ,

40 2

0 62

2 2 5

A ;0511 a

62

25

2221

1211

aa

aa;026

A ,080 所以 f 为负定的 .

第十五讲：配方法与正定二次型

例 6 设二次型

是正定的 ,则3221

2

3

2

2

2

1 22 xtxxxxxxf

t ( ).

解 :

12

0

211

012

t

tA

0221 A

0111

122 A

02

1

12

0

211

0122

3 t

t

tA 22 t

第十五讲：配方法与正定二次型

第十五讲：配方法与正定二次型

。则：

设即：使得：

正交，在的特征值全为正。且存正定，证：（

－ )1

,,1

(

),,,(..)(

.

1)

1

1

1

111111

1

n

n

diag

diagPAPAPP

APP

PAA

正定。特征值均为正，即

。为：

的相同，的特征值与相似，与

1

1

1111

.,,2,1

,01

,01

,,1

Ani

AA

i

i

n

也为正定矩阵。阶正定矩阵，则均为与）（也正定；与正定，则）试证：（

)(2

1.25 *1

BAnBA

AAA

第十五讲：配方法与正定二次型

.,,1,

.,11*1*1

1111**

niA

AAAAAPAP

APAAPAAAEAAA

i

特征值相同，为：

相似。与，即：即：

定。的特征值均为正，即正

正定

*.,,1,0

,0,0,

AniA

AA

i

i

,)()(;

,,,225 21

BxxAxxxBAxxf

BxxfAxxfTTT

TT

则

）证：设（

正定。正定，、

BAxfxfxf

BxxxfAxxxfxBA TT

.0)()()(

0)(,0)(,

21

21

.,1,1,1

63363.15

1 Ap

AT 求特征向量为

对应的。特征值，，的特征值为阶实对称矩阵设

解 设 ,, 36 321

由于实对称矩阵对于不同特征值对应的特征向量互相正交 ,

则对应于 的特征向量 满足方程 :32 , 32 pp , 0,xTp1

即 ,,, 0111

3

2

1

x

x

x

.0321 xxx 得基础解系 .

1

0

1

,

0

1

1

32

PP

12

12

1

0

1

1

2

1

1

0

1

],[

],[,

0

1

1

1

11

13321

p

p正交化

第十五讲：配方法与正定二次型

3

60

3

36

6

2

2

3

36

6

2

2

3

3

,

3

66

66

6

,

02

22

2

,

3

33

33

3

321 P

P

正交矩阵将正交向量单位化并得

62032

62332

62332

6

1

3

60

3

36

6

2

2

3

36

6

2

2

3

3

＝P

第十五讲：配方法与正定二次型

6266

02323

323232

660312

6329312

6329312

36

1

6266

02323

323232

300

030

006

62032

62332

62332

36

1

1 TPPPPA

411

141

114

1443636

3614436

3636144

36

1

第十五讲：配方法与正定二次型

PA

APPAAPP

AA

对角化求出的即将础解非对称，求三个无关基

明，不具体求解：提示：只对本题进行说

求设

,,

.,

340

430

241

.17

11001001

100

5,5,1,0

340

430

241

321

EA

110

210

211

,

1

2

2

,

1

1

1

,

0

0

1

0)5(,0)5(,0)(

321 Pppp

xEAxEAxEA

得到求出各一个基础解

分别解

第十五讲：配方法与正定二次型

100

100

100100

100

100

11001001

5300

0530

5445)1(13

3

1

110

210

413

)5(00

050

001

110

210

211

, PPAAPP

110

210

413

3

1,0,

110

210

2111PPP 求出

第十五讲：配方法与正定二次型

第十五讲：配方法与正定二次型

,1;,11

.

,,

1.20

22

2

2

1

n

TTTT

T

T

yyyyx

yyPyPyxx

EPPPyxP

AxAxxf

即且：

则：为证：令对角化正交变换的最大特征值。

时的最大值为方阵在证明：二次型

.

,),,2,1(

),,2,1(

.)()(

1

2

1

22

2

2

11

2

1

2

21

2

11

22

22

2

11

1

22

22

2

11

＝）（

则中即特征值中的最大者为设

的特征值为其中

yyyy

yyyyyyf

ni

Ani

yyyPyfxf

n

nnn

i

i

nn

第十五讲：配方法与正定二次型

时的一个值

在为二项式，即

且则取

1001

],[)()(

1,0,0,1,

11

22

2

2

1

1

1

yxf

yyPfPyfxf

yxyy

n

T

n

n

的最大值时在是

又：

fyxf

fyyyf nn

1

1

max1

22

22

2

11

的最大特征值是的最大值时在

的最大特征值，是又：

Afyx

A

1

1

1

课程与教材的基本结构

矩阵及其基本运算

线性方程组

秩的解法

特殊矩阵：向量及其运算

方程组解的向量结构

综合应用矩阵

对角化

基础 目标 1 平台 目标 2 应用

第十五讲：配方法与正定二次型

模块 1 ：基础部分——矩阵及其预算

矩阵运算

常规运算

特有运算

加法：同型

数乘：全

幂：方阵

不交换不消去不化零

行列式：方阵

s

kkjikijnmnssm bacCBA

1

.乘法：

jiTij

T aaA 转置：KTTKTTTTTT

TTTTT

AAABCABCkAkA

BABAAA

)()(;)(;)(

;)(;)(

运算：

题型个性质，余子式，经典6

;;; AACBAABCAkkA Tn

jiTij AAA *

伴随矩阵（方）AAAAA

AkkAEAAAAAnTT

n

2****

*1***

)(;)()(

;)(;

运算：

1, ABEAB 则

逆运算：*11**1

11111111

)()(;1

;0

)(;1

)(;)(

AAAA

AAA

ABCABCAk

kAAA

可逆

运算：

0,0 1 rr DD

秩的运算

1);()(,

);()(),()}(),(min{)(

);()();()()(

伴随矩阵的秩补充可逆，

运算：

ARPAQRQP

BRARBARBRARABR

ARkARBRARBAR

方程组同解初等行变换

),(, BABAX

00

~),XE

BA rr

（

换解方程组初等行变核心方法：

初等变换等同于乘初等矩阵补充 2

初等变换等同于乘可逆矩阵

第十五讲：配方法与正定二次型

时时时

：伴随矩阵的秩：补充1)(,0

1)(,1

)(,

)(1 *

nAR

nAR

nARn

AR

))(,())(,(

));1

(())(();()(2

1

11

kjiEkjiEk

iEkiEijEijE

：初等矩阵的逆补充

可逆其中：：补充 QPPAQAAQAPAAcr

,.~;~;~3

第十五讲：配方法与正定二次型

模块 2 ：目标 1—— 线性方程组秩的解法

线性方程组秩

的解法

,),(

,)(,

nBAR

rARBAx

和元比较

0,0

),(XE

BA rr

～

nrAR

Ax

与元比较

)(

,0

0,0

, rnrr DE

A～

无解),()( BARAR

列向量唯一解，解为XnBARAR ),()(

自由变量个无数解，有 rn

nBARAR

),()(

有唯一零解nAR )(

个自由变量多非零解

rn

nAR

,)(

第十五讲：配方法与正定二次型

向量的正交与

规范正交基

向量空间的基与坐标

最 (极 )大无关组与向量组

的秩

向量线性表示组组由AB

的相关与无关个向量组mA

向量组与矩阵

表示系数为线性解有解，

X

BAX

)()(

),()(

BRAR

BARAR

),()(

)(

BARBR

AR

等价则

整体部分判定维数大于个数关系定理唯一零解

是否0Ax

相关无关mAR

mAR

)(

)(

定义与等价定义关键：线性表示

所有向量

矩阵的秩等于向量组的秩

不唯一性，等价的组秩相等

线性运算封闭齐次方程解为例

基：最大无关组坐标：线性表示

系数

n 维空间中任意 n个无关向量构成基

内积与长度施瓦茨不等式

正交向量组的线性无关性

无关组化正交基的施密特方法

模块3

：平

台

第十五讲：配方法与正定二次型

模块四：目标 2—— 方程组解的结构

线性方程组解的结构 的解向量

组齐次方程

0AX

的解向量程组非齐次方

bAX

的求解组齐次方程

0AX

性质：线性运算封闭 rnSR

S

)(

的基解集基础解系，即

rnrnkkkx 2211

通解：

非非齐

非非非

1

21

非特齐通

通解

x

非特

通解： rnrnkkx 11

注意：齐次通解用齐次方程组 Ax=0 的同解方程组；非齐次特解要用非齐次方程组 Ax=b 的同解方程组

Tje )0,,0,1,0,0(

令自由变量解向量为

0,0

, rnrr DE

A～ 在列的元为自由变量所非零行中非首元1

第十五讲：配方法与正定二次型

模块 5 ：应用——二次型标准化（对称矩阵对角化）基础：

特征值与特征向量

对角化步骤方法

二次型正交变换为标准形 APP 1

相似对角化

APPAPPT 1

合同对角化

不同的特征值对应

的特征向量线性无关

1

3

0

21

补充个性质等

的解

nA

EA

的非零特征向量解对应特征值

0)( xEA k

k

相似性质：相似矩阵

特征值相同

办法：每一个特征值对应一个特征向量

Pn

组成变换特征向量充要条件找无关

,1

个向量基础解系有的求

重值，则要是若

k

xEA

k

k

k

0)(

对称矩阵 A满足正交

变换 P 的存在

且不同的特征值对应的

特征向量正交

kn

EAR

k

k

k

)(

则

重根，是若

kEAR

nSR

k )(

)(

即

求 n 个特征值

每个特征向量求

基础解系

所有特征向量单位化组成正交矩阵 P

施密特正交对基础解系

重根是若 kk

按特征向量顺序组成对角矩阵

由标准形引出正定定义及其判定方法

Axxf T形式

二次型化矩阵

APP

A

A

T

对角化将对称因为

yyf

PyxT

即,

第十五讲：配方法与正定二次型

nnn aaa 221121 (1)(2) An 21

（ 3） 含负指数）的特征值（

是则的多项式是关于的特征值是矩阵若A

AfA )()(,)(,

（ 4 ）不同的特征值对应的特征向量线性无关

补充 1 ：特征值的性质：第十五讲：配方法与正定二次型