πράξεις με ρητές
Transcript of πράξεις με ρητές
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 133
1. 10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ
Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων Πολλαπλασιασμός
Για να πολλαπλασιάσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα ή για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες
. γαβ
γβ.α = και
βδαγ
δγ.
βα
=
Οι ίδιες ενέργειες γίνονται και όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε μια ακέ-ραια με μια ρητή παράσταση ή δύο ρητές παραστάσεις.
Για παράδειγμα, y5x6
y5x3.x2
32 = και ( )
( ) 5xy
y1y51yxy
y1y.
5y5xy 233
=−−
=−
−
Διαίρεση Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα χρησιμοποιούμε τον παρακάτω κανόνα
βγαδ
γδ.
βα
δγ:
βα
==
Με τον ίδιο τρόπο διαιρούμε και δύο ρητές παραστάσεις . Για παράδειγμα ,
( )( )( ) ( )1xx3
1xx1x1xx3
1xx3.
x1x
x31x:
x1x 2
332
3
2
−=+
−+=
+−
=+−
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) ,αν είναι σωστές ή με ( Λ ) , αν είναι λανθασμένες
α) yx
xy1x =⋅ …… β)
yx
y1x =⋅ ………
γ) 23
x2:3x = ………… δ)
23x
x2:3x
2
=
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 134
ε) y5
1x5
y1x
=−
⋅−
…… στ) 2x2xα
x2x
xα −
=−
⋅ ………
ζ) 0α
1α1α
α 2
2 =+
⋅+
…… … η) 12β
α:2β
α=
++…
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι λάθος (Λ) γιατί δεν πολλαπλασιάζουμε το x με τον παρονομαστή. .
Η β είναι σωστή (Σ) γιατί εφαρμόζουμε την ιδιότητα γαβ
γβ.α =
Η γ είναι λάθος (Λ) γιατί 2x3
2x.x3
x2:x3
2
==
Η δ είναι σωστή (Σ) γιατί 2x3
2x.x3
2
=
Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το x-1 από τον αριθμητή και τον πα-ρονομαστή.
Η στ είναι λάθος (Λ) γιατί ( )2x2α-αx
x.x2-xα
x2x.
xα
==− .
Η ζ είναι λάθος (Λ) γιατί ( )( ) 1
1αα1αα
α1α.
1αα
2
22
2 =++
=+
+
Η η είναι σωστή (Σ) γιατί ( )( ) 1
2βα2βα
α2β.
2βα
2βα:
2βα
=++
=+
+=
++
2. Να συμπληρώσετε τις ισότητες
α) yx6
y........3x
2
=⋅ β) 2y1
.......1
yx
=⋅ γ) yω
ω.........:
y4x
=
δ) 1...................
1x2x
=⋅−+ ε) 1
...................:
1x2x
=−+ στ)
2xx
...........2x:
yx
+=
+
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 135
α) yx6
y2x3x
2
=⋅
β) 2y1
xy1
yx
=⋅
γ) yω
ω4x:
y4x
==x4ω
yx4
δ) 12x1-x
1x2x
=+
⋅−+
ε) 12x1x
1x2x
1x2x:
1x2x
=+−
−+
=−+
−+
στ) 2x
xyx
y2x:
yx
+=
+=
+2x
y
α) Για να προκύψει αριθμητής το 6x2 πρέπει το 3x να πολλαπλασιαστεί με το 2x. β) Πρέπει ταυτόχρονα να απλοποιηθεί το x και το y να γίνει y2 άρα πρέπει να βάλουμε xy. . γ) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασια-σμό και παρατηρούμε ότι πρέπει να απλοποιηθεί το 4x το οποίο και βάζουμε. δ) Για να προκύψει μονάδα πρέπει να πολλα-πλασιάσουμε με το αντίστροφο κλάσμα. ε) Για να προκύψει μονάδα πρέπει επειδή η διαί-ρεση αντιστρέφει το κλάσμα να διαιρέσουμε με την ίδια κλασματική παράσταση. στ) Επειδή με την διαίρεση αντιστρέφεται το κλάσμα πρέπει να βάλουμε y στον παρονομαστή ώστε με την αντιστροφή να απλοποιήσει το y..
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τα γινόμενα ΑΣΚΗΣΗ 1
α) yx
x1
2 ⋅ β) 3x1
4y9x
⋅ γ) 9x112x 2 ⋅
δ) 22
3
4α6β
3β2α
⋅ ε) ( )10ω
35ω2 ⋅− στ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2α
42ββ3α
ΛΥΣΗ
α) yx
x1
2 ⋅ = xy1
β) 3x1
4y9x
⋅ =y4
3
γ)9x112x 2 ⋅ =
3x4
δ) 22
3
4α6β
3β2α
⋅ = 22
3
βα12βα12 =
βα
ε) ( )10ω
35ω2 ⋅− = −ωω
1015 2
= −2ω3
στ) α6
βα2αβ12
α4
2βαβ3
22 ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα βδ
αγ
δ
γ.
β
α=
β) Ομοίως και απλοποιούμε. .
γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ
αβ
γ
β.α = .
δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότηταβδ
αγ
δ
γ.
β
α= .
ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ
αβ
γ
β.α = .
στ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότηταβδ
αγ
δ
γ.
β
α=
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 136
Να κάνετε τις διαιρέσεις ΑΣΚΗΣΗ 2
α) x6:8x β) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
y3:
y1
2 γ) 23
2
3α:βα
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− δ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
23
4ωx:
2ωx
ΛΥΣΗ
α) x6:8x = 8x⋅
6x
=3x4 2
β) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
y3:
y1
2 = y31
y3y
2 −=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
3y
y1
2
γ) 23
2
3α:βα
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− = 332
2
β31
βα3α
−=−=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 23
2
3α1
βα
δ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
23
4ωx:
2ωx
=
= ωx2ωx2ωx42
23
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
23
x4ω
2ωx
α) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασι-ασμό και κατόπιν εφαρ-μόζουμε την ιδιότητα
γ
αβ
γ
β.α = .
β) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασι-ασμό και κατόπιν εφαρ-μόζουμε την ιδιότητα
βδ
αγ
δ
γ.
β
α= .
γ) Ομοίως δ) Ομοίως .
ΑΣΚΗΣΗ 3
Να υπολογίσετε τα γινόμενα
α) 3x
4xx
62x2 +
⋅+ β)
y5y2
2y5y
−+
⋅+− γ)
22
23
32 ωxωx
ωxωx
−⋅
− ..
δ)2αα3α
6αα4α
22
2
++
⋅−+
− ε) 3xx
65xx4xxx
2
2
2
2
+++
⋅−+ στ)
3y2y3yy
912y4y94y
2
2
2
2
++
⋅+−
−
α) =+
⋅+
3x4x
x62x
2
=x8
)3x(x)3x(x8
2 =++
=+
⋅+
3x4x
x3)2(x
2
β) y5y2
2y5y
−+
⋅+−
= 1)( −=+
−⋅+−
5-y2y
2y5y
γ) 22
23
32 ωxωx
ωxωx
−⋅
−.=
α) Παραγοντοποιούμε τον αριθ-μητή του πρώτου κλάσματος και κατόπιν χρησιμοποιούμε την
ιδιότητα βδ
αγ
δ
γ.
β
α= και απλο-
ποιούμε. β) Αλλάζουμε το πρόσημο στο δεύτερο κλάσμα και κατόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
ΛΥΣΗ
βδ
αγ
δ
γ.
β
α= και απλοποιούμε.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 137
=+
⋅−
)ωω)(x-(xωx
ωxωx 23
32
=+
−)ω
)ωx(ω)(x-(xωχ
ωx32
23
=)ω+ω(x
x
δ)2αα3α
6αα4α
22
2
++
⋅−+
−=
= )2α(α +
+⋅
++ 3α
2)-3)(α(α2)-2)(α(α
=α1
ε) 3xx
65xx4xxx
2
2
2
2
+++
⋅−+
=
=3)x(x
2)3)(x(x2)-2)(x(x
1)x(x+++
⋅+
+=
2-x1x +
στ) 3y2y3yy
912y4y94y
2
2
2
2
++
⋅+−
− =
=3)y(2y
3)y(y3)-(2y
3)-3)(2y(2y2 +
+⋅
+=
32y3y−+
γ) Παραγοντοποιούμε τον παρο-νομαστή του δεύτερου κλάσματος και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
βδ
αγ
δ
γ.
β
α= και απλοποιούμε.
δ) Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων και κατόπιν χρη-σιμοποιούμε την ιδιότητα
βδ
αγ
δ
γ.
β
α= και απλοποιούμε .
ε) Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων και κατόπιν χρη-σιμοποιούμε την ιδιότητα
βδ
αγ
δ
γ.
β
α= και απλοποιούμε
στ) Παραγοντοποιούμε τους ό-ρους των κλασμάτων και κατόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
βδ
αγ
δ
γ.
β
α= και απλοποιούμε
Να κάνετε τις διαιρέσεις ΑΣΚΗΣΗ 4
α) 15
4x:5
4x ++ β) y1
2y1:1y12y
+−
+− γ) ( )2ω:
ω2ω
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
δ) ( )β
1α:β
1α 2
2
++ ε) yxxyx:
xyxyx 2
2 −+
−+ στ)
42xx2x:
8x4x
23
2
+−−
+−
α) 15
4x:5
4x ++ = 3=+
⋅+
4x15
54x
β)y1
2y1:1y12y
+−
+− =
y12y1:
1y12y
+−
+− =
= )2 1-y
1y(-1y12y +⋅
+− = −1
γ) ( )2ω:ω
2ω+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− =
2ω1+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
ω2ω =
ω1
−
α) Μετατρέπουμε την διαίρε-ση σε πολλαπλασιασμό και κατόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητα και απλοποιούμε β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) Ομοίως ε) Μετατρέπουμε την διαίρε-ση σε πολλαπλασιασμό ταυ-τόχρονα παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και τον παρονο-μαστή του δεύτερου κατόπιν
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 138
δ) ( )β
1α:β
1α 2
2
++ = 22 1)(αβ1α
+⋅
+ β = ( )1α +β1
ε)yxxyx:
xyxyx 2
2 −+
−+ =
y)x(xy-x
y)x(xyx
+⋅
−+ = 2x
1
στ) =+−
−+−
42xx2x:
8x4x
23
2
=2-x
42xx2)(x(x
2)-2)(x(x 2
2
+−⋅
+−++
)2x2 2 = 1
χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
βδ
αγ
δ
γ.
β
α= και απλοποιούμε
στ) Μετατρέπουμε την διαί-ρεση σε πολλαπλασιασμό ταυτόχρονα παραγοντοποιώ-ντας τους όρους των κλασμά-των κατόπιν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό και απλο-ποιούμε
ΑΣΚΗΣΗ 5
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις
α)2x88x:
2x44x
1x2x
+−
++
⋅+− β) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⋅−+
−+
3x2x
1x62x:
1x2x
γ)3x2x
1x62x:
1x2x
++
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
−+
ΛΥΣΗ
α) 2x88x:
2x44x
1x2x
+−
++
⋅+−
=
=1)-8(x2x
2x1)4(x
1x2x +
⋅++
⋅+−
=1)2(x2x−−
β) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⋅−+
−+
3x2x
1x62x:
1x2x
=
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⋅−+
−+
3x2x
1x3)2(x:
1x2x
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
−+
1x2)x:
1x2x (2
=
=2)2(x
1x1x2x
+−
⋅−+
= 21
γ)3x2x
1x62x:
1x2x
++
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
−+
=
3x2x
62x1x
1x2x
++
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
⋅−+
= 3)2(x1x
1x2x
+−
⋅−+
3x2x
++
⋅ =
= 2
2
3)2(x2)(x++
α) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό. Ταυτόχρονα παραγοντοποιούμε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του τρίτου κλάσμα-τος και απλοποιούμε. β) Πολλαπλασιάζουμε πρώτα τα κλάσματα μέσα στην παρένθεση παραγοντοποιώντας ταυτόχρονα τον αριθμητή του πρώτου κλάσμα-τος .Κατόπιν μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό και μετά απλοποιούμε. γ) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό μέσα στην πα-ρένθεση. Κατόπιν κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς εφαρμόζοντας
την ιδιότητα ζ.δ.β
ε.γ.α
ζ
ε.
δ
γ.
β
α=
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 139
Πρόσθεση- Αφαίρεση ρητών παραστάσεων Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλασματικές αλγεβρικές παραστά-σεις ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με αυτήν της πρόσθεσης και της α-φαίρεσης ομωνύμων ή ετερωνύμων κλασμάτων δηλαδή:
• Έστω ότι έχουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις βγ και
βα τότε :
βγα
βγ
βα και
βγ+α
βγ
βα −
=−=+ .
• Όταν οι αλγεβρικές παραστάσεις έχουν διαφορετικό παρονομαστή δηλαδή:
δγ και
βα τότε τις μετατρέπουμε σε κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις
με τον ίδιο παρονομαστή όπως ακριβώς και στα κλάσματα
βδαδβγ
βδβγ
βδαδ
δγ
βα και
βδβγ+αδ
βδβγ
βδαδ
δγ
βα
=−=−=+=+
Για να μετατραπούν οι κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις σε παραστά-σεις με τον ίδιο παρονομαστή πρέπει να βρούμε το Ε.Κ.Π των παρονομα-στών ακολουθώντας την εξής διαδικασία:
• Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές αναλύοντας τους αριθμη-τικούς συντελεστές και τα πολυώνυμα σε γινόμενα πρώτων παρα-γόντων.
• Σχηματίζουμε το γινόμενο από τους κοινούς και μη κοινούς παρά-γοντες παίρνοντας τον καθέναν απ’ αυτούς με τον μεγαλύτερο εκ-θέτη.
• Διαιρούμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών(το γινόμενο που βρήκαμε πιο πάνω) με κάθε παρονομαστή.
• Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλασματικής παράστασης με το αντίστοιχο πηλίκο.
Οι κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις τώρα έχουν μετατραπεί σε κλα-σματικές αλγεβρικές παραστάσεις με τον ίδιο παρονομαστή και τις προ-σθέτουμε ή τις αφαιρούμε κατά περίπτωση.
π. χ 61
3x31x
1x2xx
2
2
−+−
+++
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 140
• Παραγοντοποιούμε τους παρανομαστές ( ) ( ) 32=6 , 1+x3=3+3x , 1 2 ⋅
( )21x32 +⋅⋅
( )( )
x1x2x 2 +=++
• Σχηματίζουμε το γινόμενο από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες παίρνοντας τον καθέναν απ’ αυτούς με τον μεγαλύτερο εκθέτη.
(Το οποίο είναι το Ε.Κ.Π των παρονομαστών)
• Βρίσκουμε τα πηλίκα του Ε.Κ.Π με κάθε παρονομαστή
( )( )
( ) ( ) ( )2
22
2
2
1x3.2
1+x32 , 1x21x31+x32 , 6
1x1
+=⋅⋅
+=+
⋅⋅=
+
x32 +⋅
Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλασματικής αλγεβρικής παράστασης με το αντίστοιχο πηλίκο και έχουμε διαδοχικά:
( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
2
222
2
222
2
22
2
2
22
2
2
2
1x63x2x7
1x61x2x2x2x6
1x61x2x1x2x6
1x61x1x1x2x6
1x6
1x1x6
1x1x21x6
x6
61
1x31x
1xx
+
−−=
+
−−−−+=
+
++−−+=
+
+−−++=
+
+−
+
−++
+=
−+−
++
=
2
2
61
3x31x
1x2xx
=−+−
+++
Παραγοντοποιούμε τους παρονο-μαστές. Το Ε.Κ.Π[(x+1)2,3(x+1),6]=6(x+1)2. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα πηλίκα του Ε.Κ.Π με κάθε πα-ρονομαστή. Προσθέτουμε τις παραστάσεις. Κάνουμε πράξεις στον αριθμητή. Κάνουμε πράξεις στον αριθμητή. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων στον αριθμητή.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) ,αν είναι σωστές ή με
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 141
( Λ ) , αν είναι λανθασμένες
α) 11x=
++
+ 1x1x
β) yxyx
211+
=+
γ) 144α=−
+αα
δ) 0βαβα
=−+αββα
+−+
ε) ωω
x1x1+
=+ στ) xxx
22αα=
+−
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι σωστή (Σ) γιατί επειδή οι παραστάσεις έχουν κοινό παρονομαστή προσθέτουμε τους αριθμητές και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο οπότε προκύπτει κλάσμα με ίδιο αριθμητή και παρονομαστή.
Η β είναι λάθος (Λ) γιατί xyxyxyyx
yxxy11 +=+=+
Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί 1α44α44α==
+ −αααα
=−+
Η δ είναι σωστή (Σ) γιατί
00βαβαβαβαβαβα==
+ − −βαβαβαβααββα −−
=+
−+
=+
++
−−−−
Η ε είναι λάθος (Λ) γιατίωωωω
xωxωx1 +=+=+ .
Η στ είναι λάθος (Λ) γιατί x2
x2αα
x2α
xα
−=+ − − − =
2. Ένας μαθητής έγραψε τις παρακάτω ισότητες και ο καηγητής τού εί-
πε ότι σε κάποιο σημείο έκανε ένα λάθος. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος αυτό;
α) 1βαβα
βαβ
βαα
αββ
βαα
=−− =
−−
−=
−+
−
β) 11x1x
1x12x23x
1x12x
1x23x
=++
=+
−−+=
+−
−++
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 142
1x3x
1x12x23x
1x12x
1x23x
++
=+
+−+=
=+−
−++
Το λάθος έγινε στο ερώτημα β. γιατί δεν άλλαξε το πρόσημο στον δεύτερο όρο του αριθ-μητή ,δηλαδή -(-1)=1
3. Να συμπληρώσετε τις ισότητες
α) 0..........6x
x=−
+ β) 1.........
6xx
=++
γ) 1x
2x1x
x........+
=+
+
…..
δ) 2x
12x
5........+
=+
− ε) 2........x
12x=+
− στ) 3........x
83x=−
+
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
α) 06x
x=
+−
+ 6xx
β) 16x
6=
++
+ 6xx
γ) 1x
2x1x
x1x
x+
=+
++
δ) 2x
12x
5+
=+
−+ 2x6
ε) 2x
12x=+
−x1
στ) 3x
83x=−
+x8
α) Για να προκύψει το μηδέν πρέπει να προσθέσουμε το αντίθετο κλάσμα. β) Για να προκύψει μονάδα πρέπει να προσθέσουμε ένα κλάσμα με αριθμητή που να συμπληρώνει τον παρονομαστή και να έχει τον ίδιο παρονομαστή . γ) Για να προκύψει κλάσμα με ίδιο παρονομαστή και διπλά-σιο αριθμητή πρέπει να προσθέσου το ίδιο κλάσμα . δ) Για να προκύψει κλάσμα με ίδιο παρονομαστή και αριθ-μητή μονάδα εφόσον ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι 5 το πρώτο κλάσμα θα έχει ίδιο παρονομαστή και α-ριθμητή 6 . ε) Προσθέτουμε ένα κλάσμα με αριθμητή την μονάδα για να φύγει το -1 και παρονομαστή τον ίδιο στ) Αφαιρούμε ένα κλάσμα με αριθμητή το 8 για να φύγει το 8 και παρονομαστή τον ίδιο
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ΑΣΚΗΣΗ 1
α) y1
x1+ β) γ)
y1
y1
2 − δ) 1ω
2ω1
22 +−
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 143
α) y1
x1+ =
xyyx +
=+xyx
xyy
x2
1x3
−+
β) =
)1x(x2x
)1x(x2x2x3
)1x(x)1x(2x3
+−
=+−−
=++−
=
=++
−+
=1)x(x1)2(x
1)x(x3x
γ) y1
y1
2 − = 2yy1−
=− 22 yy
y1
1ω2
ω1
22 +− δ) =
)1ω(ωω1
)1ω(ωω21ω)1ω(
1
22
2
22
22
2
2
+−
=+
−+=
=+
−+
+=
1)(ωω2ω
ωω
22
2
2
α) Το Ε.Κ.Π. είναι το xy Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις β) Το Ε.Κ.Π. είναι το x(x+1) και έχου-με: Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις γ) Το Ε.Κ.Π. είναι το y2 Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις δ) Το Ε.Κ.Π. είναι το ω2(ω2+1) Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ΑΣΚΗΣΗ 2
α) 3x
362x
2x−
−−
β) 2y
42yy6y
2 +−
+− γ)
42ω4
4ω63ω
2 −−
−+
δ) 2x36x
122x1
−+
+ ε)
xωω3ω
xωx9x
22 −+
− στ)
1α3
34αα7α
2 +−
+++
ΛΥΣΗ
α) 3x
362x
2x−
−−
= 3x
33)2(x
2x−
−−
=
= 3x
33x
x−
−−
= 1=−−
3x3x
β) 2y
42yy6y
2 +−
+−
=2y
42)y(y6y
+−
+−
=
= =+
−+−
2)y(y4y
2)y(y6y
=+−−
2)y(yy6y 4
α) Παραγοντοποιούμε τον παρο-νομαστή του πρώτου κλάσματος και κάνουμε απλοποίηση και κατό-πιν τις πράξεις. β) Παραγοντοποιούμε τον παρο-νομαστή : y2+2y = y(y+2) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονο-μαστών, που είναι: y(y+2) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις :
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 144
=( )
y33 −
=++−
=+−
2)y(y2y
2)y(y63y-
γ)
42ω4
4ω63ω
2 −−
−+
=2)2(ω
42)2)(ω(ω
2)3(ω−
−+−
+=
2)2)(ω2(ω2)4(ω
2)2)(ω2(ω2)6(ω
+−+
−+−
+=
=2)2)(ω2(ω
2)4(ω2)6(ω+−+−+
=2)2)(ω2(ω
2)(ω+−
+2=
2ω1−
42ω4
4ω63ω
2 −−
−+
=2)2(ω
42)2)(ω(ω
2)3(ω−
−+−
+=
=2ω
22ω
3−
−−
=2ω
1−
δ) 2x36x
122x1
−+
+=
36−−
+ 2xx
122x1
=
=)6−+
−+ 6)(x(x
x6)2(x
1
=)6)6
6−+
−−+
−6)(x2(x2x
6)(x2(xx
=
= =−+
−−)6
x266)(x2(x
x=
−+−−
)66
6)(x2(xx
=)
1)
1)6
)6(62(x62(x6)(x2(x
x+
−=+−
=−+
+−
( ) ( )
( ) ( )
ωx6
ωx39
ω-x3
ωx9
ω-xωω3
ωxxx9
x-ωωω3
ωxxx9 ε)
−=
−−
=
=−−
=−−
=
=+−
=−
+− xωω
3ωxωx
9x22
( )( )
( )( )( )
( )( ) =+++
−++
+=
=+
−++
+=
+−
+++
3α1α3α3
3α1α7α
1α3
3α1α7α )στ
1α3
34αα7α
2
γ) Παραγοντοποιούμε τους παρο-νομαστές : ω2−4 = (ω+2)(ω−2) 2ω−4 = 2(ω−2) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των παρο-νομαστών που είναι: 2(ω+2)(ω−2) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις : Σε αυτήν την άσκηση θα μπο-ρούσαμε να εργασθούμε και ως εξής κάνοντας απλοποιήσεις : δ) Αλλάζουμε το πρόσημο του δεύτερου κλάσματος. Παραγοντοποιούμε τους παρονο-μαστές : 2x+12=2(x+6) x2−36 =(x+6)(x−6) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των παρο-νομαστών που είναι: 2(x+6)(x−6) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις. Τροποποιούμε τον αριθμητή έτσι ώστε να απλοποιηθεί το κλάσμα. ε) Παραγοντοποιούμε τους παρο-νομαστές Αλλάζουμε το πρόσημο του δεύτε-ρου κλάσματος. Απλοποιούμε τα κλάσματα. Προσθέτουμε τα ομώνυμα κλά-σματα. στ) Παραγοντοποιούμε τον πρώτο παρονομαστή. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των παρο-νομαστών που είναι: (α+1)(α+3) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 145
( )( ) ( )( ) 3α2
3α1α2α2
3α1α93α7α
+−
=++
−−=
++−−+
= Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή που προκύπτει και κάνουμε την απλοποίηση.
ΑΣΚΗΣΗ 3
Να απλοποιήσετε τα κλάσματα
α)
x11
x1x
+
− β)
y1y
y12y
−
+− γ)
3ω11
ω11ω
−
++ δ)
βα
αβ
β1
α1
−
−
ΛΥΣΗ
α)
x11x1x
+
−= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
x1x : ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
x11 = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
x1
xx 2
: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
x1
xx =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −x
x 2 1: ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
x1x = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −x
x 2 1⋅ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+1xx =
=x
1)(x(x )1−+⋅
1xx+
= x−1
β)
y1y
y12y
−
+−= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
y12y : ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
y1y =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
y1
y2)y(y
: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
y1
yy2
=y
1yy2 +− 2:
yy2 1− =
=y1)(y 2−
:y
1)y(y +− )(1 =y1)(y 2−
⋅1)y(y
y+− )(1
=1y1y
+−
γ)
3ω11
ω11ω
−
++ = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ 3ω
11:ω11ω =
α) Κάνουμε τις πρά-ξεις στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος ώστε να έχουμε ομώνυμα κλάσματα. Μετατρέ-πουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό κάνοντας ταυτόχρονα παραγοντοποίηση και τέλος απλοποιούμε β) Κάνουμε τις πρά-ξεις στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος ώστε να έχουμε ομώνυμα κλάσματα. Μετατρέ-πουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό κάνοντας ταυτόχρονα παραγοντοποίηση και τέλος απλοποιούμε. γ) Κάνουμε τις πρά-ξεις στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος ώστε να έχουμε ομώνυμα κλάσματα. Μετατρέ-πουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό κάνοντας ταυτόχρονα παραγοντοποίηση και
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 146
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+ω1
ω1)ω(ω
: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 33
3
ω1
ωω = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++ω
ω2 1ω: ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −3
3
ωω 1 =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++ω
ω2 1ω: ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++−3
2
ωω(ω )1ω)(1 =
=ω
ω2 1ω ++⋅
)1)(1 ++− ω2
3
ω(ωω =
1−ωω 2
δ)
βα
αβ
β1
α1
−
−= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−β1
α1
: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−βα
αβ = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−αβα
αββ
: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−αβα
αββ 22
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −αβαβ
: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −αβαβ 22
=
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −αβαβ
: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−αβ
α)α)(β(β =αβαβ −⋅
α)α)(β(βαβ
+− αβ +1
τέλος απλοποιούμε. δ) Ομοίως
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ΑΣΚΗΣΗ 4
α) 2xx
82x
4x
2x2 −
−−
+− β) 22 4yx
16y2x2yx
22yx
3−+
+−
−+
γ) 3y
32y
265yy
6y2
2
−+
−−
+−− δ) 22
222
yx2xy
yxy
yxx
−−
++
−
α)
2xx
82x
4x
2x2 −
−−
+− =
2)x(x8
2x4
x2x
−−
−+
− =
=2)x(x
82)x(x
4x2)x(x
2)(x 2
−−
−+
−− =
2)x(x8x2)(x 2
−−+− 4 =
= 2)x(x
8x4xx 2
−−++− 44 =
2)x(x4x 2
−− =
2)x(x2)2)(x(x
−+− =
x2x +
β)
22 4yx16y2x
2yx2
2yx3
−+
+−
−+
=
α) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή : x2−2x = x(x−2) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι: x(x−2) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 147
=y)
16y2x2yx
22yx
322y)(x(x −+
++
−−
+=
y)16y2x
2y)2y)(x(x2y)2(x
2y)2y)(x(x2y)3(x
22y)(x(x −++
++−
+−
−+− =
=2y)2y)(x(x
16y2x2y)2(x2y)3(x−+
+++−− =
2y)2y)(x(x16y2x4y2x6y3x
−+++−−− =
2y)2y)(x(x6y3x−+
+ =
=2y)2y)(x(x
2y)3(x−+
+ =2yx
3−
γ)
3y3
2y2
65yy6y
2
2
−+
−−
+−− =
=)2(y
)2(y)3y(
)3y()3y)(2(y −−
−+
−−−
−−−
−3)(y
32)(y
26y2
=
)3y)(2(y)2(y)3y(
−−−+−−− 326y2
=)3y)(2(y
6y6y−−
−++−− 326y2
=
)3y)(2(y6y6y
−−−++−− 326y2
=)3y)(2(y
y−−−+ 6y2
=3y3y
−+
δ) 22
222
yx2xy
yxy
yxx
−−
++
−=
=y)
2xyy)y)(x
y)yy)(x
x 222
−+−
−+−
++−
+y)(x(x(x
(xy)(x
y)(x =
y)(x(xy)(x+−
−−++y)(x
2xyy)yx 222
=y)(x
xy+−
−−++y)(x
2xyyyxx 23223
=
y)(xy
+−−−+
y)(xyxyxx 3223
=y)(x
)y(+−
+−+y)(x
y)(xyxx 22
=
=y)(x
)(y(+−−+
y)(x)yxx 22
=y)(x
y)(x)y(+−
+−+y)(x
y)(xx =x+y
β) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή :
24y2x − =(x+2y)(x−2y) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι: (x+2y)(x−2y) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις γ) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή :
65y2y +− =
(y−2)끸y−3) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι: (y−2)(y−3) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις δ) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή :x2−y2 =(x+y)(x−y) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι : (x+y)(x−y) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις :
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 148
ΑΣΚΗΣΗ 5
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις
α) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
++
34x11
12xx
12x3x β)
( ) ( )22
22 1x3x:
1x3x
1x3x
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−+
γ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−βαβα
βα
βαβ2α
1 22 δ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
αβ
βα:1
αβ
βα 22
ΛΥΣΗ
α) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
++
34x11
12xx
12x3x
=
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+−
−+−+
34x1
34x34x
1)1)(2x(2x1)x(2x
1)1)(2x(2x1)3)(2x(x
=
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+−−+34x
134x1)1)(2x(2x
1)x(2x1)3)(2x(x=
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−−−+−34x24x
1)1)(2x(2xx2x6xx2x 22 3
=
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−34x24x
1)1)(2x(2x4x 3
=1)1)(2x(2x
4x−+
−3⋅
34x1)2(2x
−−
=12x +
2
β) ( ) ( )2
2
22 1x3x:
1x3x
1x3x
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−+
=( )
( )3x
1x1x3x
1)1)(x(x3x
2
2
2 −−
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
++−
+
=( )
( )3x
1x1)(x1x1)3)(x(x
1)(x1)(x1)3)(x(x
2
2
22 −−
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−
++−−+
=
=1)(x1)(x
1)3)(x(x1)3)(x(x2 +−
+−+−+ ( )3x
1x2
2
−−
⋅ =
=1)(x1)(x
3xxx3xxx2
22
+−−−++−+− 33 ( )
3x1x
2
2
−−
⋅ =
=1)(x1)(x
2x2
2
+−− 6 ( )
3x1x
2
2
−−
⋅ =1)(x1)(x
2(x2
2
+−− )3 ( )
3x1x
2
2
−−
⋅ =1x +
2
α) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα μέσα στις παρενθέ-σεις και προ-σθέτουμε. Κά-νουμε τις πρά-ξεις και τις ανα-γωγές ομοίων όρων. Τέλος μετά τον πολ-λαπλασιασμό των τελευταίων κλασμάτων απλοποιούμε. β Κάνουμε ο-μώνυμα τα κλάσματα μέσα στις παρενθέ-σεις αφού πα-ραγοντοποιή-σουμε τους παρονομαστές και προσθέτου-με. Κάνουμε τις πράξεις και τις αναγωγές ομοί-ων όρων. Τέλος μετά τον πολ-λαπλασιασμό των τελευταίων κλασμάτων απλοποιούμε.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 149
γ)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−βαβα
βα
βαβ2α
1 22 =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
β)β(αβ)β(α
β)β(αβ)α(α
βαβ2α
βαβα
2222
22
=
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
β)β(αβ)β(αβ)α(α
βαβ2αβα
22
22
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
β)β(αβα
βαβ)(α 22
22
2
=
= 22
2
βαβ)(α+−
⋅β)β(α −
+ 22 βα=
ββα −
δ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
αβ
βα:1
αβ
βα 22
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
αββ
αβα:
αβαβ
αββ
αβα 3322
=
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+αββα:
αβαββα 3322
=αβ
αββα 22 −+⋅ 33 βα
αβ+
=
=αβ
βαβα 22 +−⋅
)22 βαββ)(α(ααβ
+−+=
βα1+
γ) Ομοίως δ) Ομοίως
ΑΣΚΗΣΗ 6
α) Να αποδείξετε ότι ( 233
yxxyyxyx
+=+−− ) . ….
β) Να υπολογίσετε την παράσταση 445612
4456 33
⋅+−
ΛΥΣΗ
α) =+−− xy
yxyx 33
=+−
++− xyyx
yxyy)(x(x 22 )
= +xy =x2+2xy+y2 = (x+y)2 22 yxyx ++
β) 445612
4456 33
⋅+− = (56+44)2 =1002=10000
α) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα της διαφοράς κύβων οπότε απλο-ποιείται το πρώτο κλάσμα. Κατό-πιν κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και προκύπτει ανάπτυγμα τετρα-γώνου. β) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα που αποδείξαμε για x=56 και y =44
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 150
ΑΣΚΗΣΗ 7
α) Αν Α = 1x
2x2 +
και Β = 1x1x
2
2
+− , να αποδείξετε ότι 122 =Β+Α .
β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1 , 001.10
9999,001.10
200 αποτελούν μήκη πλευ-
ρών ορθογωνίου τριγώνου. ΛΥΣΗ
α) Είναι :Α2+Β2 =(1x
2x2 +
)2+(1x1x
2
2
+− )2 =
22 1)(x4x+
2
+ 22
22
1)(x1)(x
+− = 22
22
1)(x1)(x4x
+−+2
=
= 22
24
1)(x1xx4x
++−+ 22
= 22
24
1)(x1xx
+++ 2 = 22
22
1)(x1)(x
++ =1
β) Επειδή :
11001100
11000110000
001.109999,
11001002
110001002
001.10200
2
2
2 +−
=+−
=+
⋅=
+⋅
=
Με βάση την περίπτωση α είναι: 2
2 11001002
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅ +
2
2
2
11001100⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− = 1 Επομένως οι αριθμοί αυτοί
είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές
τις 10001
200 , 100019999 και υποτείνουσα 1
α) Αντικαθι-στούμε τις πα-ραστάσεις Α και Β . Εφαρμόζου-με τις ιδιότητες των δυνάμεων και τις ταυτότη-τες . Μετά από πράξεις προκύ-πτει μονάδα. β) Φέρνουμε τα δύο κλάσματα στην μορφή των παραστάσεων Α και Β και χρη-σιμοποιούμε το συμπέρασμα του προηγουμέ-νου ερωτήματος
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 151
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Να βρείτε την τιμή της παράστασης
Κ=α3–(1 + α ) –2+4020041
2004αβ
21
αβ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
,αν είναι α =–23 και β = 3
…………… (Διαγωνισμός «Θαλής» Ε.Μ.Ε.2002) ΛΥΣΗ
Είναι : Κ= α3 – (1 + α ) –2 +4020041
2004αβ
21
αβ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
=
= α3 – (1 + α ) –2 +41
21
αβ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + +1=α3−(1 + α ) –2 +4
1
2αα
2α2β −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + +1=
=α3−(1 + α ) –2 +41
2αα2β −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + +1= α3−(1 + α ) –2 +4 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ αβα
22 =
=(−23 )3−(1−
23 )−2+4
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
2332
232
+1= −827
−(−21 )−2+4
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
293 +1=
= −827
−(−2)2+4 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
96 +1= −
827
−4+4 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
96 +1= −
827
−4-924 +1=
=−827
−3-924 =
24217
72651
72192216243
−=−=−−−
2. Για κάθε θετικό ακέραιο ν να αποδείξετε ότι α) (α – β + 3γ)2ν+1 + (β – α – 3γ)2ν+1 = 0 β) (x – y – ω)2ν – (y + ω – x)2ν = 0. ΛΥΣΗ Επειδή για κάθε θετικό ακέραιο ν ο αριθμός 2ν+1 είναι περιττός και ο 2ν άρτιος έχουμε : α) (α – β + 3γ)2ν+1 + (β – α – 3γ)2ν+1 = (α – β + 3γ)2ν+1 + [−(α−β+3γ)]2ν+1= = (α – β + 3γ)2ν+1 −(α−β+3γ)2ν+1 = 0 β) (x – y – ω)2ν – (y + ω – x)2ν = (x – y – ω)2ν – [−(x−y −ω)]2ν = (x – y – ω)2ν – (x−y −ω)2ν = 0
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 152
3. Αν ισχύει 21
yx
−= , να βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων
Α = 22
22
yxy6xy4x
++− Β = 32
323
yyx3y2xy2x
++− .
ΛΥΣΗ Γνωρίζουμε ότι αν διαιρέσουμε τους όρους ενός κλάσματος δια του ίδιου αριθμού το κλάσμα δεν μεταβάλλεται . Επομένως έχουμε:
Α = 22
22
yxy6xy4x
++− =
2
22
2
22
yyx
yy6xy4x
+
+−
= =+
+−
2
2
2
2
yy
yy6
2
2
22
2
yx
yxy
y4x
=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1yx
16yx4
2
2
yx
1
21
1216
214
2
2
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=1
41
13414
+
++⋅ =
455 =
4515
= 520 = 4
Β = 32
323
yyx3y2xy2x
++− =
3
32
3
323
yyyx
y3y2xy2x
+
+−
=
3
3
3
2
3
3
3
2
3
3
yy
yyx
yy
yxy
yx
+
+−322
=
=
1
322
2
3
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
yx
yx
yx
= 1
21
3212
212
2
3
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
= 1
41
31812
+
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
45
441+−
=
454
15
= 2060 = 3
4. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = – 2x2 + 2x + 800. α) Να αποδείξετε ότι Ρ(1– x ) = Ρ(x). β) Να βρείτε την αριθμητική τιμή Ρ(100) και Ρ(– 99).
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 153
ΛΥΣΗ α) Αντικαθιστούμε το x με το 1− x και έχουμε : P (1−x) = −2(1− x)2 + 2(1− x) +800 = −2(1−2x +x 2) + 2(1− x ) +800 = = −2x 2+4x−2 −2x+2 +800 = −2x 2+2x + 800 β) Επειδή Ρ(– 99) = P(1− 100) = P(100) αρκεί να βρούμε την μία από τις ζητούμενες τιμές . P (100) = − 2⋅1002 +2⋅100 + 800 = = − 20000 +200 + 800 = − 19000. 5. α) Να αποδείξετε ότι: α3+β3+γ3 – 3α β γ = (α + β + γ) (α2 + β2 + γ2 –α β – β γ –γ α).
(Ταυτότητα του Εuler) β) Αν α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι α3 + β3 + γ3 = 3α β γ. γ) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση (x – y)3 + (y – ω)3 + (ω – x)3. ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε το 2ο μέλος της παραπάνω ταυτότητας και αφού κάνου-με τις πράξεις έχουμε : (α + β + γ) (α2 + β2 + γ2 –α β – β γ –γ α) = =α3+αβ2+αγ2−α2β−αβγ−γα2+α2β+β3+βγ2−αβ2−β2γ−αβγ+α2γ+β2γ+γ3−αβγ−βγ2−αγ2 = = α3+β3+γ3−3αβγ. β) Εάν α+β+γ = 0 , τότε το 2ο μέλος της ταυτότητας ισούται με το μηδέν . Επομένως α3+β3+γ3−3αβγ = 0 ή α3+β3+γ3 = 3αβγ γ) Επειδή (x – y) + (y – ω) + (ω – x) = x – y + y – ω + ω – x = 0 από τα παραπάνω έχουμε : (x – y)3 + (y – ω)3 + (ω – x)3 = 3(x – y) (y – ω) (ω – x) .
6. Αν α + β = 31
− και α β = 37
− , τότε να αποδείξετε ότι
α) α2 + β2 = 943 β) (3α + 1)2 + (3β + 1)2 + 9 (α + β) = 40.
ΛΥΣΗ
α) Είναι : α2 + β2 = (α + β)2 −2αβ = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
372
31 2
= 3
1491+ =
942
91+ =
943
β) Είναι : (3α + 1)2 + (3β + 1)2 + 9 (α + β) = 9α2 +6α+1 +9β2 +6β+1+9α+9β =9(α2+β2) +15(α+β) +2=
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 154
= 9⋅943 +15 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
37 +2 = 43 − 35 +2 = 10
7. Αν για τους αριθμούς x, y ισχύει μια από τις παρακάτω ισότητες να απο-
δείξετε ότι οι αριθμοί x, y είναι ίσοι ή αντίθετοι . α) x4 – 2y2 = x2(y2 – 2) β) x3 + y3 = x2y + xy2. ΛΥΣΗ α) Εάν είναι x4 – 2y2 = x2(y2 – 2) τότε : x4 – 2y2 = x2y2 – 2x2 ή x4 – 2y2 −x2y2 +2x2=0 ή (x4 −x2y2)+(2x2−2y2) = 0 ή x2(x2−y2)+2(x2−y2) = 0 ή (x2−y2)(x2+2) = 0 Επειδή η ποσότητα x2+2 για κάθε τιμή του x είναι θετικός αριθμός η ισότητα (x2−y2)(x2+2) = 0 ισχύει μόνο αν x2−y2 = 0 ή x2 = y2 . Η σχέση αυτή όμως ισχύει εάν οι αριθμοί x , y είναι ίσοι ή αντίθετοι . β) Εάν είναι x3 + y3 = x2y + xy2 ή x3 + y3 −x2y − xy2 = 0 ή (x3 −x2y)−( xy2−y3) = 0 ή x2(x −y)− y2( x− y) = 0 ή ( x− y)( x2− y2) = 0 ή ( x− y)( x− y)(x+y) = 0 ή (x− y)2(x+y)= 0 . Για να είναι το γινόμενο αυτό μηδέν πρέπει ο ένας τουλάχιστον από τους όρους να είναι μηδέν .Εάν (x− y)2 τότε x−y =0 οπότε x = y . Εάν x+y =0 τότε x = − y 8. α) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα x2 + 4x + 3 , x2 + 2x – 3 . β) Να υπολογίσετε την παράσταση
3 2x x
1 1 x
1 3 4x x
1Α 222 −++
−+
++= .
ΛΥΣΗ α) Είναι x2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1) και x2 + 2x – 3 = (x+3)(x−1)
β) 3 2x x
1 1 x
1 3 4x x
1Α 222 −++
−+
++= =
= 1)3)(x(x
1++
+ 1)-1)(x(x
1+
+)13)(x(x
1−+
=
= )11)(x3)(x(x
1x−++
− + 1)-1)(x3)(x(x
3x+++ +
)11)(x3)(x(x1x
−+++ =
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 155
= )11)(x3)(x(x1x3x1x
−++++++− =
)11)(x3)(x(x33x
−+++ =
)11)(x+3)(x+(x1)+3(x
=
= )13)(x(x
3−+
9. Δίνονται οι παραστάσεις Α = x (x + 3) και B = (x + 1)(x + 2). α) Να αποδείξετε ότι Β = Α + 2 και Α Β + 1 = (Α + 1)2. β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση x (x+1)(x+2)(x+3)+1. ΛΥΣΗ α) Είναι Α + 2 = x (x + 3) +2 = x2 +3x +2 = (x + 1)(x + 2) =B Έχουμε λοιπόν Β = Α + 2 πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ισότητας αυτής επί Α έχουμε : ΑΒ = Α(Α+2) ή ΑΒ = Α2+2Α ή ΑΒ+1 = Α2 +2Α +1 = (Α + 1)2 β) Παρατηρούμε ότι x (x+1)(x+2)(x+3)+1 = [x(x+3)][ (x+1)(x+2)]+1= =ΑΒ+1 = (Α +1)2 = [x (x + 3) +1]2 = (x2 +3x+1)2 . 10. α) Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι 16πx4 + 8πx2 + π. Να βρείτε την α-
κτίνα του. β) Να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το ά-θροισμα των εμβαδών δυο κύκλων με ακτίνες 4x και 4x2 – 1
ΛΥΣΗ α) Είναι Ε = 16πx4 + 8πx2 + π = π(16x4 +8x2 +1) = π(4x2 +1)2 Άρα η ακτίνα είναι: ρ = 4x2 +1 β) Εάν Ε1 και Ε2 είναι τα εμβαδά των δύο κύκλων με ακτίνες 4x και 4x2 – 1 αντίστοιχα τότε : Ε1 + Ε2 = π(4x)2 +π(4x2 – 1)2 = =π(16x2) +π(16x4−8x2+1) = π(16x2 + 16x4−8x2+1) = π(16x4 +8x2+1) = =π(4x2 +1)2 = Ε . Η ζητούμενη ακτίνα είναι η ρ = 4x2 +1 11. α) Αν ο αριθμός κ είναι ακέραιος , να αποδείξετε ότι ο αριθμός κ2 + κ
είναι άρτιος . β) Να αποδείξετε ότι η διαφορά κύβων δύο διαδοχικών ακέραιων, αν διαι-ρεθεί με το 6, δίνει υπόλοιπο 1. γ) Να αποδείξετε ότι η διαφορά τετραγώνων δύο περιττών ακέραιων είναι πολλαπλάσιο του 8. ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε τον αριθμό κ2+κ ο οποίος παραγοντοποιούμενος γράφεται : κ2+κ = = κ(κ+1) . Οι ακέραιοι όμως αριθμοί κ και κ+1 είναι διαδοχι-κοί και ο ένας από αυτούς υποχρεωτικά άρτιος . Άρα και το γινόμενό
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 156
τους κ(κ+1) = κ2+κ είναι άρτιος αριθμός, και γράφεται κ2+κ = = κ(κ+1) = 2α , σαν άρτιος β) Θεωρούμε τους διαδοχικούς ακεραίους κ+1 και κ οπότε η διαφορά των κύβων τους είναι : (κ+1)3 − κ3 = [(κ+1) − κ]⋅[(κ+1)2 +(κ+1)κ + κ2] = = (κ+1−κ)(κ2+2κ+1+κ2+κ+κ2) = 3κ2 +3κ +1 = 3κ(κ+1) +1. Τότε με βάση τα παραπάνω (κ+1)3 − κ3 = 3κ(κ+1) +1 =3⋅2α +1 = 6α +1. Από την τελευταία ισότητα διαπιστώνουμε ότι διαιρούμενος ο αριθμός (κ+1)3 − κ3 δια του 6 δίνει υπόλοιπο 1 . γ) Κάθε περιττός έχει τη μορφή 2λ+1. Έστω 2κ+1 και 2λ+1 οι δύο περιττοί αριθμοί , όπου κ, λ είναι ακέραιοι. Τότε θα είναι: Διαφορά=(2κ+1)2-(2λ+1)2=(4κ2+4κ+1)- (4λ2+4λ+1)= =4κ2+4κ+1- 4λ2-4λ-1=4κ2+4κ-4λ2+4λ=4κ(κ+1)-4λ(λ+1) Όμως οι αριθμοί κ(κ+1), λ(λ+1) είναι άρτιοι, δηλαδή κ(κ+1)=2α και λ(λ+1)=2β , όπου α και β ακέραιοι . Άρα Διαφορά=4κ(κ+1)-4λ(λ+1)=4.2α-4.2β=8α-8β=8(α-β)=8ρ όπου ρ ο ακέραιος α-β επομένως η διαφορά είναι πολλαπλάσιο του 8. 12. α) Να κάνετε την διαίρεση (x6-1)(x-1) και χρησιμοποιώντας την ταυ-
τότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης να αποδείξετε ότι ο αριθμός 76-1 είναι πολλαπλάσιο του 6.
β) Να κάνετε την διαίρεση (x5+1)(x+1) και χρησιμοποιώντας την ταυ-τότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης να αποδείξετε ότι ο αριθμός 215+1 είναι πολλαπλάσιο του 9.
ΛΥΣΗ α)
x6 0.x5 0x4 0.x3 0x2 0.x -1 x -1 -x6 +x5 x5 +x4 +x3 +x2 +x +1 +x5 0x4 0x3 0x2 0x -1 -x5 +x4 0x3 +x4 0x3 0x2 0x -1 -x4 +x3 +x3 0x2 0x -1 -x3 +x2 +x2 0x -1 -x2 +x +x -1 -x +1 0
Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι:
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 157
x6-1 = (x -1) (x5 +x4+x3 +x2+x +1) (Διαιρετέος ) = (διαιρέτης)⋅(πηλίκο) οπότε 76-1 = (7 -1) (75 +74+73 +72+7 +1)=6. (75 +74+73 +72+7 +1) άρα είναι φανερό ότι είναι πολλαπλάσιο του 6. β)
x5 0x4 0.x3 0x2 0.x +1 x +1 -x5 -x4 x4 -x3 +x2 -x +1+x5 -x4 0.x3 0x2 0.x +1 -x4 +x3 +x3 0x2 0x +1 -x3 -x2 -x2 0x +1 +x2 +x +x +1 -x -1 0
Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι: x5+1 = (x +1) (x4-x3 +x2-x +1) (Διαιρετέος ) = (διαιρέτης)⋅(πηλίκο) οπότε 215 +1 =(23)5 +1=( 23+1) [(23) 4-(23) 3 +(23) 2-23 +1)= =9. [(23) 4-(23) 3 +(23) 2-23 +1) άρα είναι φανερό ότι είναι πολλαπλάσιο του 9.
13. α) Να αποδείξετε ότι x1
1x1
1)x(x1
−−
=−
.
β) Στην προηγούμενη ισότητα να αντικαταστήσετε το x διαδοχικά με τις τιμές 2, 3, 4, … ,2005 και να αποδείξετε ότι
.20052004
200520041...
431
321
211
=⋅
++⋅
+⋅
+⋅
ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε την διαφορά των κλασμάτων :
=−−
−−
=−− 1)x(x
1x1)x(x
xx1
1x1
1)x(x1
1)x(x1xx
1)x(x1)(xx
−=
−+−
=−−− .
Άρα : x1
1x1
1)x(x1
−−
=−
β) Αντικαθιστώντας διαδοχικά έχουμε :
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 158
21
1⋅
= 11−
21 Παρατηρούμε ότι ο δεύτερος όρος κάθε κλασματικής
32
1⋅
= 21 −
31 διαφοράς είναι αντίθετος του πρώτου της επόμενης
43
1⋅
= 31 −
41 διαφοράς . Εάν αθροίσουμε τις ισότητες κατά μέλη θα
έχουμε στο 2ο μέλος τον 1ο όρο της 1ης διαφοράς από τον οποίο θα
αφαιρείται ο 2ος της τελευταίας 2005
1 2004
12003
120042003
1−=
⋅
20051
20041
200520041
−=⋅
Αθροίζοντας λοιπόν κατά μέλη τις ισότητες έχουμε :
20052004
20051
20052005
20051
11
200520041...
431
321
211
=−=−=⋅
++⋅
+⋅
+⋅
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
1. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστή ή με (Λ) αν είναι λανθασμένη.
xy
yx:
yx στ) ,
5xωy
xyω5x
ε) ,y
1ω.x1ω
y: x)δ
,y3
x21
x3
y21
γ),4x
74x
x.x7 β) ,
y32x.x
y2x.
3x α)
2
2
2 ==+
=+
+=
+
+=
++
=+
ΛΥΣΗ ( )
( )
( ) (Λ)είναι άρα ,y3
2yx
x3y
2y
x3
y21
γ)
(Σ)είναι άρα ,4x
74xx
x74x
x.x7 β)
,(Λ)είναι άρα y3
x2xy3
2x.xy
2x.3x α)
2
+=
+
=+
+=
+=
+
+=
+=
+
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 159
(Σ)είναι άρα , xy
yxxy
xy.
yx
yx:
yx στ)
(Λ)είναι άρα , ωyx5
xyω5x
ε)
(Λ)είναι άρα ,y
xωxy
1ω.x1ω
y: x)δ
2
2
2
2
2
2
2
===
=
+=
+=
+
2. Αν μεταξύ των πλευρών α, β, γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει 0βα
γγα
β=
+−
+,
να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ΛΥΣΗ
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) γβ0γβ0γβαγβ0γβγβγβα
0γαγβαβ0βαγαγαγβαβ
0βαγα
γαγβαγα
βαβ
0βα
γγα
β
2222
=→=−→=++−→=+−+−
→=−−+→=++−−+
→=++
+−
+++
→=+
−+
3. Να αποδείξετε ότι: 2
2
22
xy1
xy2
xyx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+
+ .
ΛΥΣΗ
( ) 22
2
2
2
22
22
22
2
22
xy1
xyx
xyx
xyxy2x
xyx2
xyx
xy2
xyx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+
=
=++
=++
=++
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 160
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ( ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ α. Να γίνουν οι πράξεις: 1. (x- )3 (x+ )3 (x2+3)-(2x2+1)2+(x-2)2= 2. (3α3-2)3-(3+2α2)3-(3α+2)(3α-4)= β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις 1. α2x2+β2x2-α2y2-β2x2 = 2. x4+2x2y2+y4_α4 = γ. Εάν ο ένας παράγοντας του πολυωνύμου x4+10x3+37x2+60x+36 είναι ο (x+2)2 να βρείτε τον άλλο παράγοντα και να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο αυτό. δ. Να γίνουν οι πράξεις:
1.
αβ1
βαβαβα
βα22
22
1
11
2 −
++
+−−
2.6xx2xx 22 ++
++− 5
131
ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ α. Να γίνουν οι πράξεις: 1. (α- )5 (α+ )5 (α2+5)-(α2-2)2+(2α+1)2= 2. (x2+2)3-(3+2x3)2-(5x-2)(5x+3)= β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις 1.α4-2α2β2+β4-α2-2αβ-β2 = 2. x2 + 2xy + y2 _ 9 = γ. Εάν ο ένας παράγοντας του πολυωνύμου x4+4x3-2x2-12x+9 είναι ο (x+3)2 να βρείτε τον άλλο παράγοντα και να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο αυτό. δ. Να γίνουν οι πράξεις:
1. =−+
−)11(:
1 αββα
1αβ
βα
2.6xx2xx 22 ++
+++ 5
131
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 161
ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 1ο Κεφάλαιο Α΄ Μέρους ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ των μεταβλη-τών σημειώνεται μόνο η πράξη του …………………….. λέγονται ……………………. 2. Καλείται βαθμός ενός μονωνύμου ως προς ….... μεταβλητή ο ………………... εκθέτης της μεταβλητής αυτής 3. Το γινόμενο δύο μονωνύμων έχει συντελεστή …………………………….. των …………………………….. των μονω-νύμων αυτών. 4. Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται ……………… του πολυωνύμου. 5. Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο ………………………. το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και ………………………… τα γινόμενα που προκύπτουν. 6. Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο …………………….. από τους βαθμούς των όρων του . 7. Ταυτότητα λέγεται κάθε ………………….. που περιέχει ………………… που αληθεύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. 8. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : (α + β)2 = α… + 2αβ + ……. (α − β)2 = α2 - …….. + β…. (α + β)(α − β) = …… − β2 (α + β)3 = α3 + …….+ 3αβ2 + ……. (α − β)3 = α3 ………………………….− β3 α3 + β3 = (……….)(α2 – αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(…………………………) 9. Ένα πολυώνυμο δ είναι ……………….. ή παράγοντας ενός πολυωνύμου Δ αν η διαίρεση Δ:δ είναι ……………..,δηλαδή αν υπάρχει ……………….. τέτοιο ώστε :Δ=δ⋅π 10. Μία αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα και οι ………………….. της είναι …………………… λέγεται ………….. ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράσταση.
ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 162 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 1ο Κεφάλαιο Α΄ Μέρους
ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ
1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο βαθμός του μονωνύμου -5x3y2z4 ως προς όλες τις μεταβλητές του; 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 2. Ποιο από τα παρακάτω μονώνυμα είναι το γινόμενο των μονωνύμων +3α2x3z και - 2αx4z2y ; +6α3x6z3y , +1α3x7z3y , -6α3x7z3y , -6α3x7z3y0 3. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο βαθμός του πολυωνύμου : 5x2 - 6x + +3x3 – 2x – 2x3 +1 – x3 + x . 3 , 2 , 1 , 4 4. Ποιο είναι το αποτέλεσμα των πράξεων : (α+2β)2-(2α-β)2 = -3α2 +3β2 , 4αβ , 0 , 8αβ , -8αβ 5. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς, είναι ο βαθμός του πηλίκου Π, εάν ο βαθμός του διαιρετέου Δ είναι 5 και ο βαθμός του διαιρέτη είναι 2; 7 , 5 , 3 , 2 , 1 6. Το ανάπτυγμα του (α2 + 2β)2 είναι το : 1) α4 + 4β2 , 2)α4 + 4αβ + 4β2 , 3)α2 + 4αβ + 4β2 ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ή ΤΥΠΟΥ ‘’ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ’’ Στις παρακάτω προτάσεις άλλες είναι σωστές και άλλες λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λάθος . 1. Το άθροισμα δύο μονωνύμων είναι πάντα όμοιο μα αυτά. Σ Λ 2. Το άθροισμα δύο αντιθέτων μονωνύμων είναι μη μηδενικό μονώ-νυμο
Σ Λ
3. Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι πάντα μονώνυμο Σ Λ 4. Εάν P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα με μεταβλητή x τότε ισχύει πά-ντοτε : βαθμός [P(x)⋅Q(x)] = βαθμός[P(x)]+βαθμός[Q(x)]
Σ Λ
5. Εάν (α+β)2 = α2 + β2 τότε τουλάχιστον ένας από τους α, β είναι μηδέν Σ Λ 6. Εάν (α+β)3 = α3 + β3 τότε τουλάχιστον ένας από τους α, β είναι μηδέν είτε οι α και β είναι αντίθετοι .
Σ Λ
7. Εάν ο βαθμός του υπολοίπου υ(x) της διαίρεσης Δ(x) = δ(x)⋅π(x)+υ(x) είναι είναι μηδέν τότε η διαίρεση είναι τέλεια .
Σ Λ
8. Εάν ο βαθμός του υπολοίπου υ(x) της διαίρεσης Δ(x) = δ(x)⋅π(x)+υ(x) είναι είναι 2 τότε και ο βαθμός του διαιρέτη δ(x) είναι 2
Σ Λ