Формални јазици

104

description

Формални јазици и автомати

Transcript of Формални јазици

Page 1: Формални јазици

UNIVERZITET �Sv� KIRIL I METODIJ�Prirodno�matematiqki fakultet

Institut za informatika

ALGORITMI I AVTOMATI

Bi�ana Janeva

S K O P J E����

Page 2: Формални јазици

Sodr�ina

� Voved �

� Algoritmi ���� Osnovni poimi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Azbuki� bukvi i zborovi � � � � � � � � � � � � � � ������ Funkcii� termi i algebri � � � � � � � � � � � � ������ Zadaqi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Tjuringovi maxini � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Tjuringovi maxini � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Zadaqi� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Normalni algoritmi � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Normalni algoritmi � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Zadaqi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Primitivno rekurzivni funkcii � � � � � � ������� Operatori za supstitucija i primitivna

rekurzija � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Primitivno rekurzivni funkcii � � � � � � � ������� Zadaqi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Rekurzivni funkcii � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Operator za minimizacija � � � � � � � � � � � � ����� Rekurzivni i opxto rekurzivni funkcii � ������ Zadaqi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Regularni jazici i koneqni avtomati ����� Regularni jazici � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Regularni izrazi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Regularni jazici � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Zadaqi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Koneqni avtomati � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Deterministiqki koneqni avtomati � � � � � ������� Nedeterministiqki koneqni avtomati � � � � ������ Ekvivalentnost na deterministiqki i ne�

deterministiqki koneqni avtomati � � � � � � ������ Svojstva na jazicite prepoznaeni od kone�

qen avtomat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Koneqni avtomati i regularni jazici � � � � ������� Zadaqi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Gramatiki i Push�down avtomati ����� Jazici generirani od gramatiki � � � � � � � ��

����� Gramatiki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Regularni i kontekstno slobodni jazici � � ��

Page 3: Формални јазици

��� Push�down avtomati � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Push�down avtomati � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Push�down avtomati i KS�gramatiki � � � � � � ��

��� Svojstva na kontekstno slobodnite jazici ������ Svojstva na zatvorenost na KS�jazici vo

odnos na nekoi operacii so mno�estva � � � ������ Svojstva na periodiqnost � � � � � � � � � � � � � ������ Zadaqi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 4: Формални јазици

� Voved

Uxte vo poqetokot na razvitokot na matematikata �Star Egipet� Vav�ilon� Grcija�poqnale da se pojavuvaat problemi i naqini za nivnorexava�e koi se sveduvalena qisto mehaniqki procesi na presmetu�va�a qekor po qekor� So vreme takviteprocesi na rexava�e go dobileimeto �algoritam�� Do triesettite godini od naxiovvek poimot �al�goritam� vo osnova ne se menuval� iako dobival se pogolemaprimena�

Nekoi primeri na algoritmi se� da reqeme� sobira�e� mnoe�e�odzema�e prirodni broevi� Najpoznat primer e taka nareqeniot Ev�klidov algoritam za naoga�e najgolem zaedniqki delitel na dva pri�rodni broja �ili pak� na dva polinoma��

Da odbeleime nekoi zaedniqki crti na ovoj poim za �algoritam���� Algoritmot e proces na ednopodrugo konstruira�e veliqini�

odejki vo diskretno vreme� na takov naqin xto vo poqetniot mo�ment se zadava poqetniot koneqen sistem veliqini� a vo sekojnareden moment� po strogo opredeleni pravila �programa� odveliqinite vo prethodniot moment se dobivaat novi veliqini�diskretnost na algoritmot��

�� Sistemot veliqini� dobien vo proizvolen �no ne poqeten moment�ednoznaqno e opredelen od sistemot veliqini vo prethodniot mo�ment �determiniranost na algoritmot��

� Zakonot po koj se dobiva sekoj nareden sistem veliqini od pret�hodniot e ednostaven i lokalen �elementarnost na qekorite naalgoritmot�

�� Ako naqinot na dobiva�e nareden sistem veliqini ne dava rezul�tat� toqno e utvrdeno xto vo ovoj sluqaj se smeta za rezultat�nasoqenost na algoritmot��

�� Poqetniot sistem veliqini moe da se izbira od proizvolnopotencijalno beskoneqno mnoestvo �masovnost na algoritmot��

Poimot za algoritam opredelen so gorenavedenite pet uslovi ne estrogo matematiqki definiran i zatoa se narekuva intuitiven poimza algoritam�

Dolgo vreme nemalo nikakvi nedorazbira�a so ovoj poim za algo�ritam� imeno dokolku bila najdena postapka so koja se rexava nekojproblem i taa gi zadovoluvala gornite uslovi� site se slouvale dekataa postapka e algoritam� Problemot se pojavil pri dokauva�e dekaza nekoja zadaqa ne postoi�algoritamsko� rexenie� Bidejki poimote neprecizen� ne postoele metodida se dokae deka dadeniot problem�algoritamski ne e rexliv�� Zatoa se barale naqini za precizno

Page 5: Формални јазици

definira�e na poimot algoritam� za da moat da se rexavaat i prob�lemite za algoritamska nerexlivost na nekoja zadaqa�

Obidi za rexava�e na ovoj problem se praveni vo tekot na trieset�tite godini od naxiov vek� i Hilbert� Gedel� Qerq� Tjuring i Postdoxle do nekoi rexenija koi se glavno od dva vida� Prvoto rexenie eso voveduva�e na poimite primitivno rekurzivni i rekurzivni funk�cii� dodeka vtoriot vid dava opis na toqno opredelena klasa procesi�

Tipiqna situacija koga treba da se primeni nekoj algoritam epri dadena koneqna niza prirodni broevi rezultatot da bide opre�delen priroden broj� Dokolku postoi takov algoritam� vo suxtinapostoi algoritam za presmetuva�e opredelena funkcija nad prirod�nite broevi� Togax za taa funkcija velime deka e �algoritamski pres�metliva��

Potpolno rekurzivnite funkcii se algoritamski presmetlivi� nobidejki tie se definirani precizno� moeme da dokaeme i koga da�dena funkcija ne e potpolno rekurzivna�

Vtoriot naqin na rexava�e na problemot za naoga�e preciznadefinicija na poimot algoritam se zasniva na problemot zadadenazadaqa da moe da se rexi so pomox na �maxina��

Vo triesettite godini od ovoj vek nezavisno eden od drug Tjuring iPost definirale sliqni �no ne isti� �apstraktni� maxini� koi bilemnogu ednostavni� a sepak rexavale mnogu problemi�

Vo �� � godina Qerq prv ja postavil hipotezata deka �sekoja al�goritamski presmetliva funkcija e rekurzivna�� koja� bidejki se za�sniva na neprecizniot poim za algoritam� ne moe da se dokae� Sepokaalo dela site praktiqno poznati presmetlivi funkcii se rekur�zivni� xto odelo vo prilog na ovaa hipoteza�

Klini go vovel poimot na delumno rekurzivni funkcii� i potoa jaobopxtil hipotezata na Qerq� i ja postavil slednava hipoteza�

�Site delumni algoritamski presmetlivi funkcii se toqno delum�nite rekurzivni funkcii��

Od istite priqini kako i pogore� ni ovaa hipoteza ne e vozmonoda se dokae� Natamu� koga ke velime hipoteza �ili teza� na Qerq�vsuxnost ke mislime na obopxtenata teza na Klini�

Se pokaalo i deka sekoja funkcija nad prirodnite broevi kojamoe da se presmeta so Tjuringova maxina� t�e� moe da se opre�deli takva Tjuringova maxina� koja koga na vlezot ima n prirodnibroevi� na izlezot se dobiva prirodniot broj� koj xto e rezultat priprimena na dadenata funkcija vrz poqetnata niza prirodni broevi� erekurzivna� i obratno� sekoja rekurzivna funkcija e presmetliva soTjuringova maxina� xto odelo vo prilog na opxtosta na definicijatana algoritam so pomox na Tjuringovi maxini�

Drug vid na definicija na algoritam se taka nareqenite nor�malni algoritmi� definirani od Markov� I vo ovoj sluqaj� kako i

Page 6: Формални јазици

pred toa� pokaana e ekvivalentnost pomegu funkcii presmetlivi soTjuringovi maxini i normalni algoritmi�

Vo ovoj kurs ke razgleduvame poveke problemi�

�� Ke razgleduvame nekolku vida na precizni definicii na algo�ritmi�

�� Ke razgleduvame taka nareqeni regularni jazici� ke definiramekoneqni avtomati� i ke dokaeme deka sekoj jazik prepoznaen odkoneqen avtomat e regularen� kako i obratnoto� sekoj regularenjazik e prepoznaen od koneqen avtomat�

� Ke se zapoznaeme so poimite gramatika i kontekstno slobodenjazik i ke ja najdeme vrskata pomegu opredelen vid gramatiki iavtomati� a specijalno� vrskata pomegu opredelen vid avtomatii kontekstno slobodnite jazici�

Page 7: Формални јазици

� Algoritmi

��� Osnovni poimi

����� Azbuki� bukvi i zborovi

Proizvolno koneqno mnoestvo A se vika azbuka� Elementite od az�bukata A ke gi vikame bukvi� Koneqna niza od bukvi od azbukata Adopixani edna do druga se vika zbor vo azbukata A� Pogodno e da sevovede i poim za prazen zbor� t�e� �niza bez bukvi�� prazniot zbor vosekoja azbuka ke go oznaquvame so �� Mnoestvoto neprazni zboroviod azbukata A se oznaquva so A�� a ako e vkluqen i prazniot zbor� soA�� Zborovite od dadena azbuka A ke gi oznaquvame so krajnite bukviod latinicata� pa� taka� w � A� oznaquva deka zborot w e element odA��Dol�ina na zbor w e brojot bukvi xto go soqinuvaat� pri xto�ako vo eden zbor ima poveke pojavuva�a na ista bukva pri opredelu�va�eto na dolinata taa se broi onolku pati kolku xto se pojavuvavo zborot� Za dolina na zborot w ja koristime oznakata jwj� Podefinicija� dolina na prazniot zbor � e ��

Primeri�

�� Neka A � fa� b� cg� Togax zborovi vo A se� aab� abac� abbcbaa� prixto jaabj � �� jabacj � �� a jabbcbaaj � ��

�� Neka A � fa� bg� Togax abba� abaa � A� i abca �� A��

Neka A e azbuka i v� w � A�� Definirame proizvod �ili konkate�nacija� v � w na zborovite v i w so dopixuva�e na zborot w vednaxpo zborot v i� pritoa� jv � wj � jvj jwj� Poprecizno� ako v � v� � � � vr�a w � w� � � �ws� togax konkatenacijata v � w na v i w se definira sov � w � v� � � � vrw� � � �ws� Konkatenacijata e operacija vo mnoestvotoA�� pritoa �A�� �� e polugrupa so neutralen element ��

Za zborot w velime deka e podzbor od od zborot t ako za nekoizborovi u i v od A�� t � u � w � v� Ako w e podzbor od t� togax velimedeka w se pojavuva ili nastapuva vo t� Natamu namesto v�w ke pixuvamesamo vw�

Primeri�

�� Neka A � fa� bg i neka ababba � A�� Togax ab nastapuva vo ababbazatoa xto ababba � � ab abba i ababba � ab ab ba� Vo prviot sluqaj�koga ulogata na u ja ima prazniot zbor� stanuva zbor za prvotopojavuva�e na zborot ab vo ababba� a vo vtoriot sluqaj� za vtorotopojavuva�e�

�� Neka A � fa� bg� v � aba� w � bbaba � A�� Togax vw � ababbaba ijvj � �� jwj � � a jvwj � jababbabaj � ��

Page 8: Формални јазици

Neka t � u�vu�� a s � u�wu�� Togax za s velime deka e zbor dobienod t so zamena na pojavuva�e na podzborot v so zborot w� Ako u� � �ili u� ne sodri podzbor v� togax s e zbor dobien od t so zamena naprvoto pojavuva�e na v vo t�

����� Funkcii� termi i algebri

Neka A i B se proizvolni mnoestva� Togax za sekoj element a � A ib � B definirame podreden par �a� b�� a mnoestvoto od site podredeniparovi f�a� b�� a � A� b � Bg go oznaquvame so A�B i go vikame direktenproizvod na mnoestvata A i B� Ako A�� � � � � An e koneqna familijamnoestva� togax A� � � � � �An se definira so

A� �A� �A� � � � � �An � f�a�� a�� � � � � an�jai � Aig�

a dokolku A� � A� � � � � � An� togax A� � � � �A� �z �n

skrateno se oznaquva

so An i se vika direkten n�ti stepen na A�Neka X i Y se dadeni mnoestva� D � X i f � D � Y e presliku�

va�e� Togax za f velime deka e delumno preslikuva�e od X vo Y sodomen D� Ako D � An� Y � A i f � D � A� togax za f velime dekae delumna n�arna operacija na A� Ako� pak D � An� togax za f velimedeka e potpolna n�arna operacija na A� ili samo n�arna operacija na A�Dokolku stanuva zbor za delumno preslikuva�e f � D � N � kade xtoN e mnoestvoto prirodni broevi� a D � Nk� togax za f velime dekae k�arna delumna brojna funkcija �

Natamu qesto ke se sretnuvame so specijalni brojni funkcii� kakoxto se�

s� �x� � x �� on �x�� x�� � � � � xn� � � i I nm�x�� x�� � � � � xn� � xm� pri xto

�� � m � n�n � �� �� � � ��� Ovie funkcii ke gi vikame osnovni brojnifunkcii�

Pri izuquva�eto na rekurzivite funkcii ke ni bide potreben ipoimot za term� Za definicija na termite upotrebuvame azbuka xtose sostoi od tri vida simboli� Imeno�

�� individualni simboli �promenlivi ili konstanti� za koi se upotre�buvaat oznakite�

a� b� x� y� � � � � a�� x�� � � ���� funkciski simboli koi ke gi oznaquvame so f�� fn� fr� � f

�� � � � �� Za

bukva fn so goren indeks n� n � �� so ili bez dolen indeks kevelime deka e n�aren funkciski simbol� Ponekogax gornite in�deksi nema da gi pixuvame� no togax ke bide naglaseno na kolkuindividualni simboli moe da se primeni dadeniot funkciskisimbol�

Page 9: Формални јазици

� pomoxni simboli koi se sostojat od� �� � i ��

Od gornive simboli induktivno se konstruiraat termi na sled�niov naqin�

�� Sekoj individualen simbol e term�

�� Ako t�� � � � � tn se termi i fn e n�aren funkciski simbol� togax ifn�t�� � � � � tn� e term�

� Eden zbor od gore zadadenite simboli e term akko moe da sedobie so koneqna primena na �� i ���

Termite moeme da gi zapixuvame i so drugi� pokratki zapisi�Ako stanuva zbor za binaren funkciski simbol� najqesto funkciskiotsimbol go pixuvame pomegu dvata terma �ili individualni simboli�na koi deluva� Taka na primer� ako funkciskiot simbol e znakot �togax termot �t�� t�� pokratko se zapixuva so t� t��

Neka A e zadadeno neprazno mnoestvo i neka e zadadena familijafunkciski simboli ffnii ji � I� ni � Ng � �� kade xto I e dadeno in�deksno mnoestvo� Neka na sekoj funkcionalen simbol fnii od � mupridruime soodvetna ni�arna operacija na A� i dobienoto mnoes�tvo go oznaqime so F � Togax za podredenata dvojka A � �A�F � velimedeka e algebra od tip �� a za mnoestvoto A deka e nositel na alge�brata A� Pritoa� so �n go oznaquvame mnoestvoto od site n�arnifunkciski simboli na dadena algebra A od daden tip �� Natamu nemada pravime razlika pomegu funkciskite simboli i soodvetnite opera�cii� pa za algebra ke ja smetame sekoja podredena dvojka �A�F �� kadexto A e neprazno mnoestvo� a F mnoestvo operacii na A so sood�vetna arnost�

Neka A i B se dve algebri od ist tip� i neka � e preslikuva�e od Avo B� Za � velime deka e homomorfizam od algebrata A vo algebrataB ako e ispolnet sledniov uslov�

Neka za sekoj n � N i za sekoj f � �n� g i h se soodvetnite n�arnioperacii na A� odnosno B� Togax�

���x�� � � � � xn� � An���g�x�� � � � � xn�� � h���x��� � � � � ��xn���

Ako � e homomorfizam pomegu dve algebri� i pritoa e injekcija�togax za � velime deka e monomorfizam� ako e surjekcija� za � velimedeka e epimorfizam� a ako � e biekcija� togax velime deka e izomor�fizam pomegu dadenite algebri�

Primeri�

�� Neka P e neprazno mnoestvo i � binarna operacija vo P � Togaxalgebrata �P � �� se vika grupoid� Ako� pokraj toa� za operacijata

Page 10: Формални јазици

vai i sledniov uslov

��x� y� z � P �x � �y � z� � �x � y� � z�togax za algebrata P velime deka e polugrupa�

�� Neka G e neprazno mnoestvo� � e binarna operacija vo G� ��

unarna� a e e daden element od G� Togax G� �G� ���� � e� e algebraso tri operacii� Ako� pritoa� vaat i slednive uslovi�

�i� �a � b� � c � a � �b � c�� za sekoi a� b� c � G�

�ii� a � e � e � a � a� za sekoj a � G� i

�iii� a � a�� � a�� � a � e� za sekoj a � G

togax za algebrata G velime deka e grupa�

� Neka so N go oznaqime mnoestvoto prirodni broevi� a so �Nmnoestvoto parni prirodni broevi� Jasno e deka vo odnos nastandardnoto sobira�e na prirodni broevi i dvete strukturise komutativni polugrupi� Definirame preslikuva�e � od Nvo �N so x � �x� Dobienoto preslikuva�e e homomorfizam od�N � � vo ��N � ��

�� Preslikuva�eto j j � A� � N � definirano so� za sekoj w � A�� jwje dolinata na zborot w od A� e homomorfizam od monoidot A�

vo �N � ��

Neka A � �A� �� e algebra od tip � i neka B � A� Za B velime dekae podalgebra od algebrata A ako e ispolnet sledniov uslov�

��m � N���f � �m���xi � B�f�x�� � � � � xm� � B�

Primeri�

�� �N � � e algebra so edna binarna operacija� sobira�e na pri�rodni broevi� Pritoa ��N � � e podalgebra od N � bidejki zbirod parni prirodni broevi e povtorno paren priroden broj�

�� Neka Z e mnoestvoto celi broevi� Togax �Z� � ��� e algebraso tri binarni operacii� sobira�e� mnoe�e i odzema�e celibroevi� Ako so �Z go oznaqime mnoestvoto parni celi broevi�togax povtorno dobivame podalgebra od gorenavedenata algebraceli broevi�

Neka A e algebra� a S e podmnoestvo od A� Neka �Aiji � I� e fami�lijata od site podalgebri na A takvi xto S � Ai� za sekoj i � I� Togaxpresekot B �

Ti�I Ai e najmalata podalgebra od algebrata A xto go

sodri mnoestvoto S� Za B velime deka e podalgebra generirana odS i ja oznaquvame so B � hSi� Ako S e takvo podmnoestvo od A� xtoA� hSi� togax za A velime deka e algebra generirana od S� a za samotomnoestvo S deka e generatorno mno�estvo za algebrata A�

Page 11: Формални јазици

����� Zadaqi

�� Neka N e mnoestvoto prirodni broevi� a obiqnata operacijasobira�e celi broevi� Da se pokae deka f�g ja generira po�dalgebrata od parni prirodni broevi� f�g podalgebrata od poz�itivni prirodni broevi� dodeka f�� �g celata algebra �N � ��

�� Da se pokae deka site podalgebri od algebrata N � �N � � sepodmnoestvata od oblik fmxjx � Ng� za sekoj priroden broj m�

� Neka G � �G� �� i G� � �G�� �� se grupi i � � G� G� e preslikuva�e�Da se dokae deka � e homomorfizam od G vo G� ako i samo ako� e homomorfizam od �G� e��� � �� vo �G�� e���� � ���

�� Neka A � �A�FA� i B � �B�FB� se dve algebri od ist tip iA � B� Da se pokae deka smestuva�eto � � A � B� t�e� � � a � a�e homomorfizam od A vo B ako i samo ako A e podalgebra odalgebrata B�

�� Neka � � A� B e homomorfizam i neka A� e podalgebra od A� B�

e podalgebra od algebrata B� Da se pokae deka�

�i� ��A�� e podalgebra od B�

�ii� ����B�� e podalgebra od A�

��

Page 12: Формални јазици

��� Tjuringovi maxini

Prv obid precizno da se definira poimot algoritam bil napraven odTjuring ��� �� i Post ��� ��� Algoritmite od ovaa klasa se odliku�vaat so svojstva na maxini� koi vo prvo vreme i se vikale maxinina Tjuring i Post� a potoa samo maxini na Tjuring� Vo suxtina iTjuring i Post samostojno doxle do sliqni idei za definicija napoimot algoritam� Ovie maxini vo bitnite crti se obiduvaat daja imitiraat rabotata na qovekot� presmetuvajki daden problem sozadadena programa�

Vo ovoj del ke gi opixeme Tjuringovite maxini i naqinot na niv�nata rabota� a potoa ke dademe primeri� nexto vo samiot tekst� anexto preku zadaqi� Natamu ke definirame poim za funkcija pres�metliva po Tjuring� kako i poim za rekurzivno mnoestvo�

����� Tjuringovi maxini

Tjuringovite maxini se sostojat od slednive delovi�

� Koneqna lenta� Lentata e razdelena na koneqen broj kelii� Vosuxtina ovaa koneqna lenta vo sekoj moment moe da se proxirii od levo i od desno so uxte koneqen broj kelii� taka xto moe dase smeta za potencijalno beskoneqna od dvete strani� Vo sekojakelija od lentata moe da bide zapixan eden od koneqno mnoguvlezni simboli od dadena koneqna azbuka� nadvorexna azbuka namaxinata ili da bide prazna t�e� vo kelijata da bide zapixansimbolot �� Site novododadeni kelii se prazni� Lentata sesmeta za nasoqena i toa od levo na desno� Na toj naqin� akolentata ima r kelii� a nadvorexnata azbuka e fa�� a�� � � � � amg� to�gax lentata e vo potpolnost opixana so zborot aj�aj� � � � ajr � kadexto aj� � aj� � � � � � ajr � fa�� a�� � � � � amg � f�g� aj� e simbolot zapixanvo prvata �najlevata� kelija od lentata� aj� simbolot vo vtoratakelija� i t�n�

� Vnatrexna memorija� Vnatrexnata memorija e mehanizam� kojvo sekoj moment se naoga vo nekoja sostojba� Pretpostavuvamedeka mnoestvoto vnatrexni sostojbi e koneqno i ke go oznaqu�vame so K � fq�� q�� � � � � qmg� pri xto sekoja Tjuringova maxinaima sopstveno mnoestvo vnatrexni sostojbi� Sekogax ke pret�postavuvame deka mnoestvoto vnatrexni sostojbi i nadvorex�nata azbuka se disjunktni mnoestva� Edna od vnatrexnite sos�tojbi se vika zavrxna sostojba i vo rabotata na maxinata imaspecijalna uloga� Simbolot koj xto ja oznaquva zavrxnata sos�tojba ke go vikame stop�simbol i ke go oznaquvame so �� Sekojamaxina ima i poqetna sostojba koja xto ke ja oznaquvame so q��

��

Page 13: Формални јазици

� Glava za zapixuva�e i qita�e� Glavata za zapixuva�e i qita�ee mehanizam koj moe da se dvii vdol lentata� taka xto vosekoj moment toj nab�uduva edna kelija od lentata� Ovaa glavamoe da se dvii ili za edno pole levo� ili za edno pole desno�ili� pak� da ostane na mesto i da ja nab�uduva istata kelija�Koga glavata e pozicionirana na dadena kelija� moe i da zapixesimbol od dadenata nadvorexna azbuka ili pak simbolot � vonea �poslednovo vsuxnost znaqi deka se brixe sodrinata nakelijata��

� Mehanizam za upravuva�e� Se pretpostavuva deka maxinata e snab�dena so specijalen mehanizam� koj vo zavisnost od vnatrexnatasostojba i simbolot zapixan vo tekovnata kelija �kelijata nakoja e pozicionirana glavata� moe da ja izmeni vnatrexnatasostojba� istovremeno da ja izmeni sodrinata na tekovnata kelijai da ja pridvii glavata za edna kelija na desno ili za ednakelija na levo� Ovoj mehanizam za upravuva�e na Tjuringovatamaxina vo suxtina e upravuvan od zadadena �programa��

Dokolku maxina ja dostigne poslednata kelija od desno i up�ravuvaqkiot mehanizam nalouva glavata da se podvii za ednomesto nadesno� togax se pretpostavuva deka istovremeno so pri�dviuva�eto na glavata nadesno e dodadena i edna kelija vokoja e zapixan simbolot �� Istoto ova se pretpostavuva i akostanuva zbor za najlevata kelija i naredba za dvie�e na glavataza edno mesto na levo�

Mono e maxinata pri svojata rabota da dojde do zavrxnatavnatrexna sostojba i togax taa prekinuva so rabota� a rezultatna rabotata e zborot zapixan na lentata� Dokolku maxinata senajde vo nekoja sostojba qi i pritoa ne nastapuva nikakva promenanitu vo vnatrexnata sostojba na maxinata nitu pak na samatalenta� vo toj sluqaj ke smetame deka maxinata prodoluva daraboti �beskoneqno��

Po definicija konfiguracija na Tjuringova maxina e zbor od oblik

aj�aj� � � � ajk��qiajk � � � ajr � ���

kade xto ajs se simboli od nadvorexnata azbuka� a qi e edna od vna�trexnite sostojbi� Pri toa se pretpostavuva deka glavata ja nab�u�duva kelijata vo koja xto e zapixan simbolot ajk i se naoga vo sosto�jba qi� Znaqi� sekoja konfiguracija ja dava konkretnata momentalnasostojba na maxinata�

Za Tjuringovata maxina da moe da otpoqne so rabota� potrebno eda se znae mnoestvoto vnatrexni sostojbi K� nadvorexnata azbuka ��

��

Page 14: Формални јазици

poqetnata konfiguracija �t�e� zborot zapixan na lentata� sostojbatavo koja se naoga maxinata pred poqetokot na rabota i kelijata na kojae pozicionirana glavata�� kako i da bide opredelena �programata� pokoja taa natamu ke raboti�

Programata na Tjuringovata maxina se sostoi od niza podredenipetorki od oblik

qiajarqsM� ���

koi ke gi vikame naredbi� Vo petorkata ��� M e eden od simboliteL�R�N � pri xto L oznaquva deka glavata treba da se pridvii nalevo�R�da se pridvii nadesno� a N�da ostane na mesto� Naredbata odoblik ��� oznaquva deka maxinata se naoga vo sostojba qi� ja nab�uduvakelijata vo koja e zapixan simbolot aj� go promenuva simbolot aj vo ar�koj moe da bide i simbolot � ili pak da se sovpaga so prethodniotsimbol aj�� preminuva vo sostojba qs �koja moe da bide i qi� i sepridviuva vo zavisnost od simbolot M �

Za programata da bide nedvosmislena �determiniranost na algo�ritmot� se pretpostavuva deka vo programata nema dve naredbi koizapoqnuvaat so ednakvi prvi dva simbola� Da zabeleime deka poradiposlednoto ograniquva�e na naredbite vo programata� redosledot nanaredbite ne e biten� Poradi ova� najednostaven naqin za zapixuva�ena programa za dadena Tjuringova maxina e so pomox na tablica�

Tablicata sodri onolku koloni kolku xto ima vnatrexni sos�tojbi ne smetajki ja stop�sostojbata� a onolku redici kolku xto imabukvi vo nadvorexnata azbuka� vkluquvajki go i simbolot �� Akomaxinata e vo sostojba qi i ja nab�uduva kelijata vo koja e zapixansimbolot aj� togax vo presekot na redicata na simbolot aj i kolonatana vnatrexnata sostojba qi se zapixuva arMqs� t�e� simbolot vo koj semenuva aj �dokolku postoi promena�� sostojbata vo koja se menuva sos�tojbata qi �dokolku postoi promena� i nasokata na dvie�e na glavatana maxinata L ili R �simbolot N moe i da se izostavi��

Neka mnoestvoto vnatrexni sostojbi e K � fq�� q�� � � � � qng � f�g�nadvorexnata azbuka e � � f�� a�� � � � � ang� Edna od naredbite vo pro�gramata na dadena Tjuringova maxina neka e qjaiasqtM � kade xto Mzamenuva eden od simbolite L ili R� dodeka dokolku namesto M nemanixto zapixano� togax se smeta deka na toa mesto se naoga znakot N �Ovaa naredba vo programata zadadena so tablica ke izgleda kako xtoe prikaano podolu�

��

Page 15: Формални јазици

q� q� � � � qj � � � qs�

a�a����ai asMqt���an

Poqetnata konfiguracija e mnogu bitna pri opredeluva�e na pro�gramata na Tjuringova maxina� Za da se standandizira programata�se voveduva takanareqen standarden poqetok na rabota � poqetna kon�figuracija vo koja glavata za qita�e i zapixuva�e e postavena naprvata od levo neprazna kelija� a maxinata e vo sostojba q�� Dokolkui pri zavrxuva�e na rabotata na maxinata glavata se naoga na najl�evata popolneta kelija� togax stanuva zbor za standardna Tjuringovamaxina� Podolu ke navedeme primeri od koi ke se zabelei dekasekoja Tjuringova maxina moe da se preraboti �t�e� da se napravinova maxina koja ke ja izvrxuva istata zadaqa� vo standardna Tjurin�gova maxina� Znaqi� ako rabotime so standardna Tjuringova maxina�na poqetokot treba da go znaeme vlezniot zbor i da ja primenime�qekor po qekor� programata� dodeka ako stanuva zbor za nestandardnaTjuringova maxina� morame da ja poznavame poqetnata konfiguracijaza programata da ja izvrxi zadadenata zadaqa�

Primeri�

�� Neka e zadadena Tjuringova maxina so samo dve vnatrexni sos�tojbi q� i stop�sostojbata �� so nadvorexna azbuka� � f�� �� �� �� �� � �� �� �� g i programa zadadena so slednava tab�lica�

q�� �N �� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �� �Lq�

��

Page 16: Формални јазици

Ovaa Tjuringova maxina ne e standardna� tuku poqetnata kon�figuracija e takva xto glavata ja nabluduva poslednata nepraznakelija i se naoga vo poqetnata sostojba q��

Ako se zeme predvid poqetnata konfiguracija� togax ako posled�nata cifra na zborot sostaven od cifrite vo dekaden broen sis�tem e pomala od �� togax ovaa Tjuringova maxina toj zbor �toae vo suxtina broj vo dekaden broen sistem� go prerabotuva vonegoviot sledbenik i zavrxuva so rabota� Ako� pak� poslednatacifra e �� togax ja prerabotuva vo �� se pomestuva za edno mestona levo i ja povtoruva postapkata so prethodnata cifra� Znaqi�ovaa Tjuringova maxina sekoj broj od desetiqniot broen sistemgo prerabotuva vo negoviot sledbenik�

�� Da vidime� sega� kako istiot problem moe da se rexi so stan�dardna Tjuringova maxina� t�e� ako poqetnata konfiguracija etakva xto glavata ja nab�uduva prvata neprazna kelija i se naogavo poqetnata sostojba q� � Mnoestvoto vnatrexni sostojbi estop�sostojbata i K � fq�� q�� q�g� mnoestvoto nadvorexni sim�boli e ist kako i vo primerot ��� a programata e zadadena soslednava tablica�

q� q� q�� Lq� �� D�� D �Lq� L� D �Lq� L� D �Lq� L D �Lq� L� D Lq� L� D �Lq� L� D �Lq� L� D �Lq� L� D Lq� L� D �Lq� L

So ovaa programa se postignuva slednovo�

� Ako glavata e postavena da go gleda prazniot simbol� znaqina lentata e zapixan prazniot zbor� togax glavata odi ednopole nalevo i preminuva vo sostojba q�� potoa pixuva � izastanuva so rabota�

� Ako zborot zapixan na lentata ne e prazniot zbor� togaxglavata se dvii desno i ostanuva vo sostojba q� s�e dodekane stigne do prvoto prazno pole� potoa se vraka nalevo edno

Page 17: Формални јазици

pole i preminuva vo sostojba q�� se primenuva postapkata odprimerot �� i preminuva vo sostojba q� so koja se obezbeduvavraka�e na glavata do prvata od levo popolneta kelija izastanuva so rabota�

Za n�arnata brojna funkcija f ke velime deka e presmetliva soTjuringova maxina ako postoi Tjuringova maxina takva xto sekojan�torka prirodni broevi �x�� � � � � xn� zapixana na lentata ja prerabo�tuva vo brojot f�x�� � � � � xn�� Pritoa� najqesto ke rabotime so unarniotzapis na prirodni broevi� t�e� prirodniot broj n ke go pretstavuvameso n crtiqki �jj � � � j� �z �

n

� �ili� koga toa e popraktiqno� so n � crtiqka��

n�torka prirodni broevi ke zapixuvame soznak � za odvojuva�e naprirodnite broevi� Taka na primer� trojkata ��� �� � ke bide pret�stavena so zborot jj � jjj � jjjjj�

Da dademe nekolku primeri na Tjuringovi maxini koi presmetu�vaat dadeni brojni funkcii�

Primeri�

�� Da dademe programa na standardna Tjuringova maxina koja keja presmetuva funkcijata sobira�e prirodni broevi� Nadvore�xnata azbuka se sostoi od dva simbola fj� �g� a programata ezadadena so slednava tablica�

q� q� q� q�� q�Dj q�D D L �D�� �D� jq�L

Kako raboti ovaa Tjuringova maxina� Ako na lentata e zapixanpar prirodni broevi vo unaren zapis� i maxinata e vo sostojbaq� i ja gleda prvata neprazna kelija� togax glavata se pomestuvanadesno s�e dodeka ne stigne do znakot za odvojuva�e �� Togaxnamesto � pixuva j i preminuva vo nova sostojba q�� Vo ovojmoment se primenuva naredbata glavata da se dvii na levo imaxinata da ostane vo sostojbata q� s�e dodeka ne go najde prvotoprazno pole levo od zapixaniot zbor� Togax glavata se pomes�tuva za edno mesto na desno i preminuva vo sostojba q�� so kojabrixe edna crtiqka� odi edno pole desno i zastanuva so rabota�Znaqi ako bil zapixan zborot m �n po rabotata na maxinata nalentata ke bide zapixan zborot m n� bidejki znakot � e zamenetso j� a prvata crtiqka od zborot e izbrixana�

�� Da sostavime programa na Tjuringova maxina koja ke ja presme�tuva funkcijata f�n� � �n�

��

Page 18: Формални јазици

Idejata za rexava�e na problemot e slednata� za sekoja crtiqkaod zadadeniot broj treba da se dopixe na lentata �vo prodole�nie na zborot� uxte po edna crtiqka� so xto ke se dobie bara�niot rezultat� Crtiqkite moe da se dopixuvaat levo ili desnood zborot� vo programata vo prodolenie crtiqkite se dopixu�vaat levo od vlezniot zbor� bidejki taka se postignuva pogolemaefikasnost �pomalku dvie�a na glavata i pomalku sostojbi namaxinata�� Pritoa azbukata e f�� j� �g� � e simbol od azbukatakoj ne se javuva ni vo vlezniot zbor ni vo rezultatot �maxinatatreba da presmetuva brojna funkcija�� no e neophoden pri ra�botata na maxinata � vakvite simboli gi narekuvame pomoxnisimboli ili markeri�

Programata e dadena so slednava tablica

q� qn qz� Lqz �Dq� D�j �Lqn� D L jL

Sostojbata q� e poqetna sostojba� Na poqetokot na rabotatadokolku glavata e pozicionirana na prazna kelija znaqi dekavlezot e � i rezultatot ke bide istotaka �� Ako� pak� glavata epozicionirana na kelija koja sodri j� se povtoruva slednoto�crtata se zamenuva so �� sostojbata se menuva vo qn� vo kojaglavata se dvii na levo s�e dodeka qita simbol �� Koga ke dojdedo prazna kelija vo nea zapixuva � �so xto poslednata proqi�tana crtiqka e duplirana� i preminuva povtorno vo sostojbataq�� vo koja glavata se dvii na desno s�e dodeka qita simbol ��Taka se dobiva nexto kako ciklus koj se izvrxuva onolku patikolku xto ima crtiqki vo vlazniot zbor� Izvrxuva�eto na cik�lusot zavrxuva koga veke nema crtiqki� odnosno koga vo sostojbaq�� po izminuva�e na site simboli �� glavata e pozicioniranana prazna kelija� Togax maxinata preminuva vo sostojba qz iglavata se pridviuva za edno mesto na levo� Vo ovoj momentod rabotata na maxinata na lentata e zapixan zbor vo koj senaogaat zapixani duplo poveke simboli � otkolku xto imal cr�tiqki poqetniot �vlezniot� zbor� Sega� vo sostojbata qz dviejkise na levo� sekoj simbol � se zamenuva so crta� se dodeka glavatane satigne do prazna kelija� potoa se vraka edno mesto nadesno imaxinata zavrxuva so rabota� Taka q� e sostojba so koja se baranaredna crta� qn e sostojba za vraka�e nazad i udvojuva�e� a qzza preimenuva�e na markerite�

Iako na prv pogled Tjuringovite maxini izgledaat kako bavni�ednostavni i dosta ograniqeni vo svoite monosti� pokaano e deka

��

Page 19: Формални јазици

sekoj problem koj moe da se rexi so dosega napravena maxina e rex�liv i so Tjuringova maxina� se razbira so dobro izbrana nadvorexnaazbuka� mnoestvo sostojbi i programa�

Za edno podmnoestvo L od mnoestvoto zborovi nad edna azbukaA velime deka e odluqlivo ili presmetlivo po Tjuring ako negovatakarakteristiqna funkcija e presmetliva po Tjuring� t�e� ako postoiTjuringova maxina koja na praxa�eto dali zborot w e element od Lke dava eden fiksiran simbol �da reqeme simbolot Y � ako odgovorote pozitiven� a drug fiksiran simbol �da reqeme N�� ako odgovorot enegativen�

Na primer� neka A � fag i neka L � fw � A�� jwj e paren brojg�Togax L e odluqlivo� a Tjuringovata maxina zadadena so programata�

q� q�� Y � N �a �q�D �q�D

go prepoznava mnoestvoto L� t�e� mnoestvoto aborovi L e odluqlivopo Tjuring�

Vo ovaa programa vsuxnost se broi po modul �� so pomox na dvetesostojbi �q� oznaquva deka do sega se izbrixani i izbroeni paren brojbukvi� a q� � neparen broj bukvi od vlezniot zbor�� Taka� ako kogaveke nema bukvi maxinata maxinata e vo sostojba q� � taa zavrxuvaso pozitiven odgovor� inaku so negativen�

����� Zadaqi�

�� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina so koja glavata sedvii po lentata i zapira na vtorata po red prazna kelija�

�� Da se sostavi programa za Tjuringova maina za presmtnuva�ena funkcijata I�

� � N � N� I���x�� x�� x�� x�� � x�� vo azbukata

fj��g� Prirodnite broevi se pretstaveni vo unarna notacija�brojot n so n � crtiqka i vleznite veliqini se odvoeni soprazno mesto�

� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja ke ja presme�tuva funkcijata f�n� � �n�

�� Da se sotavi programa za Tjuringova maxina koja ke ja presme�tuva funkcijata proizvod na prirodni broevi�

�� Da se sostavat programi za Tjuringovi maxini koi ke gi pres�metuvaat slednive brojni funkcii�

�a� f�m�n� � minfm�ng�

��

Page 20: Формални јазици

�b� f�m�n� � m��n�

�v� f�m�n� � jm nj��g� f�m�n� � nzd�m�n�� t�e� go presmetuva najgolemiot zaedniqki

delitel na m i n�

�� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja daden zborsostaven od bukvite a i b ke go pomesti za edno mesto levo �desno�na lentata�

�� Da se pokae deka mnoestvoto od neparni prirodni broevi epresmetlivo po Tjuring�

�� Da se pokae deka mnoestvoto broevi delivi so � e presmetlivopo Tjuring�

�� Da se sostavi pprograma za Tjuringova maxina za presmetuva�ena funkcijata sg � N � f�� �g definirana so sg��� � �� sg�x� ��� x � �� Prirodnite broevi se zadadeni vo unaren zapis�

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina za presmetuva�ena ostatok pri dele�e na broj so brojot � Prirodnite broevise zadadeni vo unaren zapis�

��� Da se sotavi programa za Tjuringova maxina so koja glavata kese pozicionira na najbliskata neprazna kelija od lentata�

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja ke presmetuvaostatok pri dele�e so �� Broevite se zadadeni vo dekaden zapis�

� � Da se sostavi programa za Tjuringova maxina za presmetuva�ena ostatok pri dele�e na broj so brojot � Prirodnite broevise zadadeni vo dekaden zapis�

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja za daden zbornad azbukata � � f�� �� �g se pozicionira na prvoto pojavuva�e�najlevo� na najgolemata cifra vo zborot�

��� Da se sostavi programa za Tjurongova maxina koja pokauva dekamnoestvoto palindromi so neparna dolina nad azbukata fa� bge Tjuring presmetlivo �odluqlivo� mnoestvo�

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina so koja vo dadenzbor nad azbukata fa� bg sekoe treto pojavuva�e na bukvata a sezamenuva so b i sekoe treto pojavuva�e na b so a�

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja za poqetenzbor vo binaren zapis ke dade broj sostaven samo od edinici itoa onolku kolku xto ima vo poqetniot broj� Poqetniot broj netreba da ostane na lentata�

Page 21: Формални јазици

��� Na lentata na Tjuringova maxina e zapixan zbor nad azbukatafa� bg so neparna dolina � Da se sostavi programa koja sitebukvi ke gi zameni so srednata bukva od zborot�

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja presmetuva�aa�w�� w � fa� bg �broj na pojavuva�a na zborot aa kako podzborod zborot w�� pri xto rezultatot e daden vo unaren zapis� desnood zborot w� odvoen so prazna kelija�

��� Neka L � fw � fa� bg�jw zapoqnuva so bbb ili postojat parenbroj bukvi a vo wg� Glavata na Tjuringovata maxina e na poqetokotod zborot w� Da se sostavi programa taka xto�

� ako w � L� na lentata da se zapixe Y �

� ako w �� L� na lentata da se zapixe N �

Vo dvata sluqai zborot w treba da bide izbrixan od lentata iglavata pozicionirana na Y�N �

�Vakva Tjuringova maxina se narekuva Tjuringova maxina zaprepoznava�e na jazikot L��

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja daden zborw � fa� b� cg� go transformira vo zbor koj e dobien od w so udvo�juva�e na sekoe pojavuva�e na bukvata a�

��� Dadeni se dva broja vo binaren zapis� odvoeni so �� Da sesostavi programa za Tjuringova maxina za sporeduva�e na dvatabroja i rezultatot da bide izrazen so pomox na �� � ili �

� � Da se sostavi programa za Tjuringova maxina so koja se odzemabrojot od daden broj vo binaren zapis�

��� Da se sostavi programa za Tjuringova maxina koja za dadenbroj x vo unaren zapis ja presmetuva vrednosta na funkcijataf � N � N� f�x� � �div�x� ��� rest�x� ���� pri xo div�x� �� pretstavuvakoliqnik� a rest�x� �� ostatok pri dele�e na x so � Parot broevivo rezultatot se povtorno vo unarna notacija� odvoeni so praznomesto�

��

Page 22: Формални јазици

��� Normalni algoritmi

Normalnite algoritmi gi vovel A�A�Markov vo ���� godina i so toadal druga precizna definicija na poimot algoritam� Kako xto kevidime podocna� so ovoj obid toj ne uspeal da dade poopxta definicijana poimot algoritam� zatoa xto se pokauva deka site brojni funkciipresmetlivi so normalni algoritmi se toqno funkciite presmetliviso Tjuringovi maxini� Poradi faktot xto A�A�Markov prv gi vovelnormalnite algoritmi� tie qesto se vikaat algoritmi na Markov� abrojnite funkcii presmetlivi so ovie algoritmi� funkcii presmet�livi po Markov�

����� Normalni algoritmi

Vo prviot del vovedovme poim za azbuka� zbor� podzbor� pojavuva�ena podzbor vo daden zbor� Da vovedeme uxte nekoi polezni oznaki�

Za dva zbora v i w velime deka se grafiqki ednakvi ako se sostojatod edni isti bukvi podredeni po ist redosled� Ako u i v se dvagrafiqki ednakvi zbora vo dadena azbuka A� togax pixuvame v

�� w� a

ako v i w ne se grafiqki ednakvi� pixuvame v � �w�Na primer� ako A � fa� b� cg e dadena azbuka� togax aabbcab

�� aabbcab�

dodeka abac i acab ne se grafiqki ednakvi zborovi�Zabelexka� Bidejki vo grupoid �G� �� dva proizvoda u��� � ��un i v��

� � ��vm moe da bidat ednakvi i ako ne se grafiqki ednakvi� t�e� tie seednakvi ako davaat ist rezultat vo G� za ednakvi proizvodi �odnosnozborovi� vo polugrupata �A�� ��� kade xto A e azbuka� a � operaci�jata konkatenacija na zborovi se voveduva posebna oznaka� Megutoa�bidejki nie ke rabotime samo so grafiqka ednakvost� moe da se upotre�buva i standardnata oznaka za ravenstvo �� namesto

��� pri xto seko�

gax ke se podrazbira deka stanuva zbor za grafiqki ednakvi zborovi�Ako A e algoritam vo azbukata A� t�e� algoritam koj zborovi od

azbukata A prerabotuva povtorno vo zborovi od istata azbuka A� v ezbor vo azbukata A i ako procesot na primena na algoritmot A vrzzborot v zavrxuva so rabota� togax pixuvame �A�v�� Rezultatot narabotata na algoritmot A vrz zborot v go oznaquvame so A�v�� Na tojnaqin zapisot

A�v� �� w

ili

w�� A�v�

oznaquvaat deka so primena na algoritmot A vrz zborot v� kako rezul�tat se dobiva zborot w�

Neka A i B se dva algoritmi vo dadena azbuka A� Ako v e zborvo azbukata A i ako sekogax koga algoritmot A primenet na zborot

��

Page 23: Формални јазици

v zavrxuva so rabota i kako rezultat go dava zborot w� zavrxuvaso rabota i algoritmot B primenet na zborot u i pritoa rezultat epovtorno zborot w� togax velime deka �A�v� e ekvivalentno so �B�u�� ija upotrebuvame oznakata

A�v� � B�u��

Za simbolot � velime deka e uslovno ravenstvo�Qestopati namesto vo dadena azbuka A ke konstruirame algoritmi

vo poxiroka azbuka B� znaqi vo mnoestvo B takvo xto A � B� Vo tojsluqaj qesto ke ne interesira rabotata na algoritmot vrz zborovi odazbukata A i pri toa ke sakame i rezultatot da bide povtorno zborod azbukata A� Za taa cel voveduvame uxte nekolku poimi�

Za algoritmot A velime deka e algoritam nad azbukata A ako ealgoritam vo nekoe proxiruva�e na A�

Neka A� i A� se dva algoritmi nad azbukata A� Za ovie algoritmivelime deka se ekvivalentni nad azbukata A ako se ispolneti sledniveuslovi�

�� Sekogax koga A� prerabotuva nekoj zbor v od azbukata A vo zborw od istata azbuka A� A� istotaka v go prerabotuva vo w�

�� Sekogax koga A� prerabotuva nekoj zbor v od azbukata A vo zborw od istata azbuka A� A� istotaka v go prerabotuva vo w�

Za algoritmite A� i A� velime deka se potpolno ekvivalentni nadA ako�

��� Sekogax koga A� e primenliv na nekoj zbor v vo A� primenliv ei A� i davaat ist rezultat�

��� Sekogax koga A� e primenliv na nekoj zbor v vo A� primenliv ei A� i davaat ist rezultat�

So pomox na simbolot za uslovno ravenstvo� potpolnata ekviva�lentnost na algoritmite A� i A� nad azbukata A se izrazuva na sled�niov naqin�

A��v� � A��v��

za sekoj zbor v od azbukata A�Neka A e dadena azbuka� � i � se simboli koi ne pripagaat na A

i neka u i v se zborovi vo azbukata A� Zborovite u � v i u � �v givikame prosta i zavrxna formula za zamena vo azbukata A� Pritoa ui v se vikaat leva i desna strana vo soodvetnata formula za zamena�

Normalen algoritam vo azbukata A e zadaden so podredena lista odformuli za zamena �kako prosti� taka i zavrxni�� Vakva podredena

��

Page 24: Формални јазици

lista od formuli za zamena se vika programa na normalniot algo�ritam� Pri rabotata na normalen algoritam vo dadena azbuka Adaden zbor w od azbukata A se prerabotuva vo nov zbor� Dozvoleni�izlezni� zborovi se zborovi od azbukata A� Rabotata na normalniotalgoritam A se opixuva na sledniov naqin�

� Ako ni edna od levite strani na formulite za zamena ne nasta�puva vo w� togax procesot na rabota na algoritmot A vrz zborotw zavrxuva i rezultatot A�w� e samiot zbor w�

� Ako barem edna od levite strani na formulite za zamena nastapu�vaat vo zborot w� togax prvoto pojavuva�e vo w na levata stranaod prvata formula za zamena se zamenuva so soodvetnata desnastrana od istata formula za zamena� Ako pritoa formulata zazamena ne e zavrxna� postapkata prodoluva so proverka dalinekoj zbor od levite strani na formulite za zamena nastapuvavo novodobieniot zbor� Pritoa� proverkata dali zbor od levastrana na nekoja formula nastapuva vo novodobieniot zbor pov�torno se izveduva od prvata formula od zadadenata podredenalista formuli� Vo sprotivno� algoritmot A zavrxuva so ra�bota� Isto taka� i vo sluqaj koga formulata primeneta na zborotw bila zavrxna� algoritmot prestanuva so rabota�

Nekoj od zborovite na levata ili desnata strana vo formulite zazamena moe da bide i prazniot zbor� koj obiqno nema da go pixuvame�Taka� namesto u� �� ke pixuvame samo u� ��

Znaqi� za normalniot algoritam da bide potpolno zadaden� po�trebno e da bide zadadena azbuka� formuli za zamena i da bide toqnoopredelen redosledot na dadenite formuli za zamena� Nie ke koris�time zapixuva�e na formulite za zamena vo kolona� so xto avtomat�ski ke bide opredelen redosledot na formulite za zamena� taka xtoza prva ke se smeta najgornata� za vtora onaa pod nea� i t�n�

Ako procesot na rabota na daden normalen algoritam vrz dadenzbor od azbukata nikogax ne zavrxuva so rabota� togax velime dekaalgoritmot ne e primenliv na dadeniot zbor�

Ako algoritmot zavrxuva so rabota zatoa xto niedna leva stranaod formula za zamena ne nastapuva vo prethodno dobieniot zbor� ve�lime deka algoritmot ja zavrxuva rabotata prirodno�

Ako� pak� algoritmot ja zavrxil svojata rabota zatoa xto vo posled�nata primena na formula za zamena� taa bila zavrxna� togax velimedeka algoritmot zavrxno prestanal so rabota�

Da vovedeme uxte nekoi oznaki� Neka A e algoritam vo azbukata A�neka p e zbor vo A i neka q e zbor dobien so primena na edna formulaza zamena �se razbira� prvata vozmona�� Togax pixuvame� A � p � q�ako stanuva zbor za prosta formula� a A � p � �q� ako stanuva zbor za

��

Page 25: Формални јазици

zavrxna formula za zamena� Na ovoj naqin se dobiva relacija � voA��

Namesto zapisot�

A � p� � p��A � p� � p�� � � � A � pn�� � pnke go upotrebuvame pokratkiot zapis�

A � p�j�npn�

koj vsuxnost e tranzitivnoto i refleksivno proxiruva�e na relaci�jata ��

Po analogija� namesto zapisot�

A � p� � p��A � p� � p�� � � �A � pn�� � �pnke go upotrebuvame pokratkiot zapis�

A � p�j�n � pn�

Primeri�

�� Identiqen algoritam� Neka normalniot algoritam A� e zadadenso slednava programa�

f� �Togax e jasno deka za sekoj zbor w vo azbukata A vai A��w� ��w�Na toj naqin A� e primenliv na sekoj zbor od abukata A i kakorezultat se dobiva samiot toj zbor�

�� Prazen algoritam� Da definirame normalen algoritam A� voazbukata A so slednava programa�

f�

Oqigledno� A� ne e primenliv na nieden zbor od azbukata A zatoaxto prazniot zbor sekogax �nastapuva� vo sekoj zbor od azbukatai formulata za zamena zadadena so programata beskoneqno ke seprimenuva na dadeniot zbor�

� Anuliraqki algoritam� Neka e zadaden normalniot algoritam A�

vo azbukata A so programata��������

u� �u� �� � �

un �

��

Page 26: Формални јазици

Neka t ��w�w� � � �wr e zbor od azbukata A� Ako nieden od zboroviteui od levata strana na formulite za zamena od programata naalgoritmot ne nastapuva vo zborot t� togax algoritmot prirodnoja zavrxuva rabotata i rezultat e povtorno zborot t� Dokolkunekoj od ui nastapuva vo t� prviot nastap vo t na prviot zborui od programata se brixe i postapkata prodoluva se dodekaima nastapuva�a na simboli vo novodobienite zborovi� Dokolku�pak� A � fu�� u�� � � � � ung� togax algoritmot go anulira sekoj zborod azbukata A� t�e� sekoj zbor od azbukata A go prerabotuva voprazniot zbor�

�� Algoritam primenliv samo na prazniot zbor� Algoritmot A�

opredelen so programata�

fx� x� �x � A�

e algoritam koj ne prestanuva so rabota vrz neprazen zbor� a akoe daden prazniot zbor� togax prirodno ja zavrxuva rabotata irezultat e povtorno prazniot zbor�

Da zabeleime deka vo ovoj sluqaj programata e zapixana vo�skratena forma�� t�e� namesto da se zapixani site formuli zazamena tie se zadadeni so edna �xema� formuli� Pritoa� vo ovojsluqaj� redosledot na formulite ne e biten� Koj bilo redosledda se izbere� sekogax rabotata na ovoj algoritam ke dava istrezultat�

�� Algoritam primenliv samo na neprazni zborovi� Algoritmot A�

zadaden so programata zapixana vo skratena forma�

�x� �x� �x � A��

e primenliv na sekoj neprazen zbor od azbukata A� a ne zavrxuvaso rabota ako treba da se primeni na prazniot zbor�

Koristejki gi ovie oznaki� vo primerot �� za sekoj zbor w � A��dobivame

A� � wj�nw�

za sekoj n �� dodeka za prazniot zbor

A� � � � ��

Ako stanuva zbor za primerot ��� togax za sekoj zbor w � A�

dobivameA� � w � �w�

Page 27: Формални јазици

a za prazniot zborA� � �j�n��

za sekoj n ��

�� Qesto pati ke upotrebuvame pomoxni simboli koi ne se ni voazbukata A niti pak vo mnoestvoto f�� �g� i ke gi razgleduvamealgoritmite nad azbukata A� pri xto novite simboli moat dani koristat i kako simboli za odvojuva�e na zborovi od azbu�kata A� Taka� ako sakame od daden zbor da izbrixeme zavrxenpodzbor� moeme da se posluime so sledniov algoritam A� nadazbukata A� i so pomoxen simbol ���

�x� �� �x � A��� �

Ovoj algoritam sekoj zbor od oblik p � q od azbukata A � f�g goprerabotuva vo zborot p� Na ovoj naqin dobivme algoritam kojotsekuva podzbor od daden zbor�

Po analogija moe da se napravi i algoritam koj otsekuva poqetenpodzbor od daden zbor vo dadenata azbuka A�

�� Algoritam koj daden zbor go prerabotuva vo inverzniot� Neka

p ��x�x� � � �xk� Togax inverzen na zborot p e zborot q ��xkxk�� � � �x��Algoritmot A� koj ja izvrxuva ovaa zadaqa e sostaven vo azbu�kata A � f�� g� znaqi koristi dva pomoxni simbola � i i ezadaden so slednava programa���������

�������

��� �� x� x �x � A� � �

�xy � y�x �x� y � A�� �

�� Algoritam za sobira�e prirodni broevi Neka prirodnite broevise zadadeni vo unaren zapis� t�e� n vertikalni crti jj � � � j� �z �

n

go oz�

naquvaat prirodniot broj n� Bidejki sobira�eto na prirodnibroevi e binarna operacija� se dogovarame par prirodni broevi�m�n� da oznaquvame samo so m�n� Togax algoritmot A vo azbu�kata A � f� g zadaden so programot�

f�� �sekoj par prirodni broevi m�n go prerabotuva vo negoviot zbirm n�

��

Page 28: Формални јазици

Za edna brojna funkcija velime deka e presmetliva so normalen al�goritam ako moe da se sostavi normalen algoritam koj sekoj priro�den broj za koj funkcijata e definirana ke go prerabotuva vo prirod�niot broj xto e rezultat pri primena na taa funkcija� a ke bideneprimenliv na sekoj priroden broj za koj taa funkcija ne e defini�rana� Normalniot algoritam A pokauva deka sobira�eto prirodnibroevi e funkcija presmetliva so normalen algoritam�

Postojat najrazliqni monosti za �sostavuva�e� normalni algo�ritmi� koi xto nie nema da gi razgleduvame� So pomox na tie svojstvai dodatni svojstva za Tjuringovi maxini se pokauva deka�

�Edna brojna funkcija e presmetliva so normalen algoritam ako isamo ako epresmetliva so Tjuringova maxina��

Dokazot na ova svojstvo bara dodatni svojstva i za Tjuringovimaxini i za normalnite algoritmi� pa zatoa nema da go dademe� no mo�e da se najde vo ��� ��� Ova svojstvo odi vo prilog na tezata na Qerq�no sepak� zaradi nepreciznata definicija na algoritam iskoristenavo taa teza� tezata moe da se dokae samo vo edna nasoka� t�e� dekasekoja funkcija presmetliva so Tjuringova maxina �ili presmetlivaso normalen algoritam� e algoritamski presmetliva funkcija�

����� Zadaqi

�� Da se sostavi normalen algoritam koj ne menuva nitu eden zborna koj se primenuva�

�� Da se sostavi normalen algoritam nad azbukata A� koj daden zborod oblik uv ke go prerabotuva vo zborot v� kade xto u � A� efiksiran zbor�

� Da se sostavi normalen algoritam nad dadena azbuka A koj nasekoj zbor od azbukata A ke mu dodava od levo daden fiksiranzbor od A�

�� Da se sostavi normalen algoritam� koj sekoj zbor od azbukata Ago prerabotuva vo odnapred zadaden fiksen zbor�

�� Da se sostavi normalen algoritam nad azbukata A� koj sekoj zborod oblik u�vw� kade xto �� �� A� go prerabotuva vo zborot v�

�� Da se sostavi normalen algoritam A koj ke udvojuva daden zborod azbukata A� t�e� ako u e zbor od azbukata A� togax A�u� ��uu�

�� Da se sostavi normalen algoritam koj ke mnoi dva prirodnibroja zadadeni vo unaren zapis�

�� Da se sostavi normalen algoritam nad azbuka A koj�

��

Page 29: Формални јазици

�a� go izdvojuva prvoto pojavuva�e na zborot v � A�� �izdvoju�va�eto go izvrxuva so �v���

�b� go izdvojuva poslednoto pojavuva�e na zborot v�

�� Da se sostavi normalen algoritam koj ja presmetuva i�tata proek�cija od dadena n�torka zborovi vo azbukata A� �Zabelexka� n�torka zborovi se zadava so simbol za izdvojuva�e na koordi�natite kojxto ne e vo A� Imeno� ako x�� x�� � � � � xn se zborovivo A i � ne e vo A� togax �x�� x�� � � � � xn� se zapixuva vo oblikx� � x� � � � � � xn�

��� Neka A � f�� �� �� � � � � � �g� kade xto � slui za odvojuva�e nabroevite� Da se sostavi normalen algoritam koj ja presmetuvafunkcijata �

�a� f�x� � ��

�b� f�x�� x�� � � � � xn� � ��

�v� f�x� � �

�g� f�x�� x�� � � � � xn� � ��

�d� f�x� � x ��

�g�

sg�x� �

��� ako x ��� ako x � �

��� Da se sostavi normalen algoritam koj ja presmetuva funkcijata�

�a� f�x� � rest�x� ���

�b� f�x� y� � max�x� y��

�v� f�x� � �x���

Pritoa broevite se zadadeni vo unaren zapis� i rezultatot poprimena na algoritmot se dobiva vo unaren zapis�

��� Da se sostavi normalen algoritam koj od zborovite nad azbukataf�� �� �g gi brixe site cifri� osven onie so najgolema vrednost�

� � Da se sostavi normalen algoritam koj ja dava razlikata pomegunajgolemata i najmalata cifra vo broj nad azbukata f�� �� �� �g�

��� Da se sostavi normalen algoritam za prepoznava�e na jazikot

L � fw � fa� b� c� dg�j�a�w� �c�w� � �b�w� �d�w�g�

��� Da se sostavi normalen algoritam koj na broj zpixan vo binarenzapis mu dodava ��

��

Page 30: Формални јазици

��� Da se sostavi normalen algoritam koj za broj vo binaren zapisja odreduva cifrata koja poqesto se javuva na neparna pozicija�poqnuvajki od levo�� ako zaqestenosta na � i � e ednakva� togaxdava rezultat ��

��� Da se sostavi normalen algoritam koj broj od dekaden sistem goprerabotuva vo istiot broj vo unaren sistem�

Page 31: Формални јазици

��� Primitivno rekurzivni funkcii

Vo ovoj del ke definirame klasi brojni funkcii dobieni od osnovnitebrojni funkcii so primena na nekoi operatori� Prvo ke definirametaka nareqeni primitivno rekurzivni funkcii sokoriste�e na opera�tori za supstitucija i primitivna rekurzija� Vo naredniotoddel kedefinirame ��operator i funkciite dobieni so primena i naovoj oper�ator ke gi vikame delumni rekurzivni funkcii� Na krajot kevovedemeoperator za slaba minimizacija i ke givovedeme i opxto rekurziv�nite funkcii� kako funkcii dobieni od osnovnitebrojni funkcii sopomox na operatorite za supstitucija� primitivna rekurzijai slabaminimizacija� Pritoa ke dobieme deka opxto rekurzivnite funkciisepotpolni brojni funkcii�

����� Operatori za supstitucija i primitivna rekurzija

Ke razgleduvame samo brojni funkcii�t�e delumni preslikuva�a odNn vo N � pa zatoa natamu namesto brojni funkcii ke velime samofunkcii�

Veke spomnavme deka osnovni brojni funkcii se s�x� � x �� o�x� � �i In

m�x�� x�� � � � � xn� � xm� za sekoj n�m � N��m � n�

Neka f�� f�� � � � � fn se n proizvolni �delumni� m�arni funkcii i nekaf e n�arna �delumna� funkcija� Definirame m�arna funkcija g so�

g�x�� x�� � � � � xm� � f�f��x�� � � � � xm�� � � � � fn�x�� � � � � xm���za proizvolni x�� x�� � � � � xm � N� Za funkcijata g velime deka e dobienaso operator za supstitucija od funkciite f� f�� f�� � � � � fn� Operatorotza supstitucija ke go oznaquvame so Sn��� Gorniot indeks go oznaquvabrojot na funkcii na koi e primenet operatorot za supstitucija� Akoso Fn go oznaqime mnoestvoto od site n�arni delumni brojni funk�cii� togax Sn�� e preslikuva�e od Fn � Fm � Fm � � � � � Fm vo Fm�Pritoa� Sn���f� f�� � � � � fn� ke bide opredelen i ke ima vrednost m�arnafunkcija g akko f e n�arna funkcija� a sekoja od funkciite f�� � � � � fn em�arna� za daden fiksiran priroden broj m�

Primeri�

�� S� � I���I��� I�

�� ne e definiran�

�� S��I���I��� I�

�� e definiran i ima vrednost I�

��

Vo soglasnost so definicijata za algebra i delumna algebra dobi�vame deka ako so F go oznaqime mnoestvoto od site brojni funkcii�a so S�� S��� � � mnoestvo operatori za supstitucija na F� togax do�bienata struktura �F�S�� S�� � � �� e delumna algebra�

Funkciite dobieni so pomox na supstitucija od dadeni funkciimoat da se zapixat na dva naqina� imeno�

��

Page 32: Формални јазици

��� kako vrednosti na termi vo koi Sn sluat kako operatorni sim�boli� a f ji kako individualni promenlivi�

��� kako termi� a ne vrednosti na termi� od istite simboli� Ovoj�vtoriov vid za zapixuva�e funkcii dobieni so supstitucija oddadeni funkcii ke go vikame termalen�

Na primer� ako se zadadeni operaciite sobira�e � � i mnoe�e��� na prirodni broevi� togax funkcijata x� � x� x� e vrednost naoperatorniot term

S� � �S� ��� I��� I���� I�

���

kade xto x�� x�� x� se proizvolni prirodni broevi�Neka se zadadeni proizvolni delumni funkcii n�arna g i n ��arna

h� Definirame n ��arna delumna funkcija f na sledniov naqin�za sekoi x�� x�� � � � � xn� y � N

�i� f�x�� � � � � xn� �� � g�x�� � � � � xn��ii� f�x�� � � � � xn� y �� � h�x�� � � � � xn� y� f�x�� � � � � xn� y��Za delumnata funkcijata f velime deka e delumna n ��arna funk�

cija dobiena so primitivna rekurzija od delumnite funkcii g i h�Ovaa definicija ke ja primenuvame i za n � �� i pri toa g ke bide

konstantna unarna funkcija ednakva na brojot a� h binarna funkcija�a f ke ja dobieme so ravenstvata�

f��� � a�

if�x �� � h�x� f�x���

Se postavuva praxa�eto dali za proizvolni funkcii g i h od n�odnosno n � promenlivi postoi delumna funkcija f od n � promen�liva dobiena od g i h so primitivna rekurzija� i dali taka dobienatafunkcija ke bide ednoznaqno opredelena�

Ako postoi funkcijata f � togax nejzinite vrednosti gi naogamepostapno od �i� i �ii�� Imeno�

f�x�� � � � � xn� �� � g�x�� � � � � xn�f�x�� � � � � xn� �� � h�x�� � � � � xn� �� g�x�� � � � � xn��f�x�� � � � � xn� �� � h�x�� � � � � xn� �� f�x�� � � � � xn� ���

� � � � � � � � �f�x�� � � � � xn�m �� � h�x�� � � � � xn�m� f�x�� � � � � xn�m���

��

Page 33: Формални јазици

pa poradi ova f e opredelena ednoznaqno�Ako za nekoja vrednost na x�� � � � � xn� t vrednosta na f�x�� � � � � xn� t�

ne e definirana� togax za sekoj y � t nema da bide definirana nivrednosta na f�x�� � � � � xn� y��

Ako g e n�arna� h e n ��arna funkcija i ako n ��arnata funk�cija f e dobiena so primitivna rekurzija od funkciite g i h� togaxsimboliqki toa go zapixuvame na sledniov naqin�

f � R�g� h�

i R go razgleduvame kako delumen binaren operator definiran nadmnoestvoto F od site delumni funkcii� Od definicijata na oper�atorot R proizleguva deka ako g i h se sekade opredeleni funkcii�so arnosti n i n �� togax f ke bide sekade opredelena n ��arnafunkcija�

����� Primitivno rekurzivni funkcii

Da go vovedeme osnovniot poim od teorijata na rekurzivni funkcii�Neka G e proizvolno mnoestvo funkcii� Za delumnata funkcija f

velime deka e primitivno rekurzivna vo odnos na G� ako e dobiena odosnovnite funkcii s� o� Im

ni funkcii od G so pomox na operatorite

za supstitucija i primitivna rekurzija�Specijalno� ako funkcijata f e dobiena samo od osnovnite funk�

cii s� o� Imn

so pomox na operatorite za supstitucija iprimitivnarekurzija� togax za f velime deka e primitivno rekurzivna funkcija�

Da zabeleime deka primitivno rekurzivnite funkici se potpolnifunkcii� ako� pak� i G e mnoestvo funkcii koi se sekade opredelenina N � togax i primitivno rekurzivnite funkcii vo odnos na ova mno�estvo G se isto taka potpolni funkcii�

Primeri�

�� Funkcijata on�x�� � � � � xn� � � e primitivno rekurzivna funkcijaso termalen zapis�

on � S��o�� In���

�� Funkcijata f�x� y� � x y e primitivno rekurzivna� Imeno�

x � � x

x �y �� � �x y� ��

a termalniot zapis i e

f � R�I���S�s� I�

����

��

Page 34: Формални јазици

� Funkcijata f�x� y� � x � y e primitivno rekurzivna� Imeno�

x � � � �

x � �y �� � �x � y� x�

�Da zabeleime deka natamu retko ke go upotrebuvame termal�niot zapis� iako toj moe da se dobie od definicijata na oper�atorite za supstitucija i primitivna rekurzija��

�� Funkcijata xy e primitivno rekurzivna�

x� � �

xy�� � xy � x�

����� Zadaqi

�� Da se pokae deka slednive funkcii se primitivno rekurzivni�

�a�

sg�x� �

�� za x � �� za x � �

�b�

sg�x� �

�� za x � �� za x � �

�v�

f�x� y� � x �y ��

x y za x � y� za x � y

�g�

f�x� y� � y �x��d�

f�x� y� � jx yj��� Neka g e primitivno rekurzivna funkcija so n promenlivi� Da

se dokae deka n�arnata funkcija f definirana so

f�x�� x�� � � � � xn� �xnXi�

g�x�� x�� � � � � xn��� i�

e primitivno rekurzivna funkcija�

��

Page 35: Формални јазици

� Neka g e primitivno rekurzivna funkcija so n promenlivi� Dase dokae deka n�arnata funkcija f definirana so

f�x�� x�� � � � � xn� �xnYi�

g�x�� x�� � � � � xn��� i�

e primitivno rekurzivna funkcija�

�� Neka f�� f�� � � � � fs��� ��� � � � � �s se primitivno rekurzivni funkcii�Pritoa� za sekoi i i j� i � j� �i i �j ne moat istovremenoda bidat ednakvi na �� Da se dokae deka n�arnata funkcijaf definirana so�

f�x�� x�� � � � � xn� �

���������

f��x�� � � � � xn�� ako ���x�� � � � � xn� � ��f��x�� � � � � xn�� ako ���x�� � � � � xn� � ��� � �fs�x�� � � � � xn�� ako �s�x�� � � � � xn� � ��fs���x�� � � � � xn�� vo sekoj drug sluqaj

e primitivno rekurzivna funkcija�

�� Dokai deka slednive funkcii se primitivno rekurzivni�

�a� f�x� y� � �xy�� t�e� f�x� y� za rezultat go dava koliqnikot pri

dele�e na x so y� Pritoa� po definicija �x�� � x�

�b� f�x� y� � rest�x� y�� t�e� f�x� y� kako rezultat go dava ostatokotpri dele�e na x so y�

�v�

f�x� y� � div�x� y� �

�� ako rest�x� y� � �� ako rest�x� y� � �

Imeno� funkcijata div�x� y� dava rezultat � ako x e delivoso y� a vo sprotivo� dava rezultat ��

�� Da se dokae deka slednive funkcii se primitivno rekurzivni�

�a� f�x� � ��x�� kade xto ��x� za sekoj priroden broj x kakorezultat go dava brojot na deliteli na x�

�b�

pr�x� �

��� ako x e prost broj��� ako x ne e prost broj�

�v� �x�� kade xto na sekoj priroden broj x mu go pridruuvabrojot na prosti broevi pomali od x�

��

Page 36: Формални јазици

��� Rekurzivni funkcii

����� Operator za minimizacija

Neka f e proizvolna n�arna funkcija �n � ��� Neka postoi nekoja�postapka� za opredeluva�e na vrednostite na funkcijata f � pri xto�ke smetame deka f e neopredelena ako pri utvrduva�eto na vrednostana funkcijata taa postapka raboti beskoneqno� Da gi fiksirame vred�nostite na promenlivite x�� x�� � � � � xn�� za prvite n � promenlivi nakoi xto deluva funkcijata f i da go razgledame ravenstvoto

f�x�� x�� � � � � xn��� y� � xn� ���

Za da go opredelime rexenieto y na ravenstvoto ��� ke ja pres�metuvame vrednosta na funkcijata f so gorenavedenata postapka zay � �� �� �� � � �� Najmaliot broj a za kojxto vai ravenstvoto

f�x�� x�� � � � � xn��� a� � xn�

ke go oznaquvame so

�y�f�x�� x�� � � � � xn��� y� � xn�� ���

Opixanata postapka za naoga�e na vrednosta na izrazot ��� nemada zavrxi vo slednive sluqai�

�a� vrednosta na f�x�� x�� � � � � xn��� �� ne e definirana��b� vrednosta na f�x�� � � � � xn��� y� e definirana za y � �� �� �� � � � � a

� no e razliqna od xn� a vrednosta na f�x�� x�� � � � � xn��� a� ne edefinirana�

�v� vrednosta na f�x�� x�� � � � � xn��� y� e definirana za sekoj prirodenbroj y� no e razliqna od xn�

Vo site ovie sluqai vrednosta na izrazot ��� ke smetame deka nee opredelena� Vo site ostanati sluqai postapkata za opredeluva�ena izrazot ��� zavrxuva i kako rezultat se dobiva najmaloto rexeniey � a na ravenkata ����

Vrednosta na izrazot ��� zavisi od vrednostite na promenlivitex�� x�� � � � � xn� pa so izrazot ��� e opredelena n�arna funkcija g� Znaqi�ako e zadadena delumna n�arna funkcija f � togax za n�arnata funkcijag opredelena so�

g�x�� x�� � � � � xn� � �y�f�x�� x�� � � � � xn��� y� � xn� ��

velime deka e dobiena od f so primena na operator za minimizacija�

Page 37: Формални јазици

Da zabeleime deka i vo sluqaj funkcijata f da e sekade defini�rana� funkcijata g dobiena od f so operator za minimizacija moe dabide delumna� Ovoj fakt proizleguva od sluqajot �v� izrazot ��� da nebide opredelen� t�e� od faktot xto moe da se sluqi f�x�� � � � � xn��� y�nikogax da ne ja dobie vrednosta xn�

Primeri�

�� Obiqnata razlika na prirodni broevi e delumna funkcija i moeda se izrazi so pomox na operatorot za minimizacija na sledniovnaqin x y � �z�y z � x��

�� �x�sg�x� � �� � ��

� �y�y �x � �� � �� Ova e oqigledno najmaloto rexenie na ravenkatay �x � ��

�� Vrednosta na izrazot

�y��y �x ��� � �� ���

ne e opredelena� bidejki veke vrednosta na ���x ��� ne e defini�rana vo mnoestvoto prirodni broevi� iako ravenkata �y �x ��� � � ima rexenie y � x �� no toa ne se sovpaga so vrednostana izrazot ����

Funkcijata g dobiena od funkcijata f so primena na operatorot zaminimizacija simboliqki ke ja oznaquvame so Mf � Ako funkcijata fe unarna� togax funkcijataMf se oznaquva so f�� i se vika inverzijana funkcijata f � Na toj naqin�

f���x� � �y�f�y� � x��

Primeri�

�� Za funkciite sg i s� inverzii se slednive funkcii�

sg���x� �

�x� ako x � �� ��

nedefinirana� ako x ��

s���x� �

�x �� ako x ��

nedefinirana� ako x � �

����� Rekurzivni i opxto rekurzivni funkcii

Za delumnata funkcija f velime deka e rekurzivna funkcija vo odnos nadadena familija delumni funkcii G ako f moe da se dobie od funkciiod familijata G i osnovnite brojni funkcii so koneqna primena naoperatorite za supstitucija� primitivna rekurzija i minimizacija�

��

Page 38: Формални јазици

Za delumnata funkcija f velime deka e rekurzivna ako moe da sedobie od osnovnite funkcii so koneqna primena na operatorite zasupstitucija� primitivna rekurzija i minimizacija�

Da zabeleime deka vo opxt sluqaj so primena na operatorot zaminimizacija od osnovnite funkcii ne mora da se dobie potpolnafunkcija� taka xto familijata funkcii xto se dobiva od osnovnitefunkcii so pomox na operatorite za supstitucija� primitivna rekur�zija i minimizacija se delumni funkcii�

Od osnovnata definicija neposredno sleduvaat slednive svojstvaza rekurzivnite funkcii�

�� Sekoja delumna funkcija primitivno rekurzivna vo odnos na da�dena familija G delumni funkcii e rekurzivna funkcija vo odnosna G� Specijalno� sekoja primitivno rekurzivna funkcija e i re�kurzivna�

�� Klasata rekurzivni funkcii e poxiroka od klasata primitivnorekurzivni funkcii bidejki site primitivno rekurzivni funk�cii se sekade definirani� dodeka rekurzivnite ne se�

Na primer funkciite sg�� i s�� ne se sekade definirani� Istotaka i funkcijata

f�x� � �z�x � z � ��

ne e definirana za nieden priroden broj�

� So operatorite za supstitucija� primitivna rekurzija i mini�mizacija primeneti na funkcii rekurzivni vo odnos na familijarekurzivni funkcii G povtorno se dobivaat rekurzivni funkcii�

Da vovedeme uxte nekolku poimi�Neka A e proizvolno podmnoestvo prirodni broevi� Definirame

unarna funkcija �A� koja dobiva vrednost � za sekoj priroden brojx koj pripaga na A i � za ostanatite prirodni broevi� Za funkci�jata �A velime deka e karakteristiqna funkcija za mnoestvoto A�Za edna funkcija velime deka e delumna karakteristiqna funkcija zamnoestvoto A ako taa dobiva vrednost � za sekoj priroden broj x kojeelement od mnoestvoto A� a ne e definirana za ostanatite prirodnibroevi�

Primeri�

�� Funkcijata koja ima konstantna vrednost � za sekoj priroden broje karakteristiqna funkcija za praznoto podmnoestvo prirodnibroevi� a delumna karakteristiqna funkcija na praznoto pod�mnoestvo prirodni broevi e funkcijata koja ne e definiranaza nieden priroden broj�

��

Page 39: Формални јазици

�� Karakteristiqnata i delumnata karakteristiqna funkcija se sov�pagaat samo za celoto mnoestvo prirodni broevi�

Za mnoestvoto A od prirodni broevi velime deka e primitivnorekurzivno mno�estvo ako negovata karakteristiqna funkcija e pri�mitivno rekurzivna� Za mnoestvoto A velime deka e rekurzivno mno��estvo ako negovata karakteristiqna funkcija e rekurzivna�

Hipoteza na Qerq� Klasata algoritamski presmetlivi brojni funk�cii se sovpa�ga so klasata od site rekurzivni funkcii�

Za sekoja rekurzivna funkcija f postoi algoritam so koj za sekojpriroden broj x moe da se dobie f�x� ako f e definirana za prirod�niot broj x� a raboti beskoneqno ako f ne e definirana za prirodniotbroj x� Imeno� toa svojstvo go imaat Tjuringovite maxini� kako inormalnite algoritmi� t�e� sekoja rekurzivna funkcija e presmetlivaso Tjuringova maxina �so normalen algoritam��

Ke vovedeme uxte eden operator nad mnoestvoto delumni funkcii�ke go oznaquvame soM l i ke go vikame operator za slaba minimizacija�Imeno� po definicija�

M lf �Mf�

ako funkcijata Mf e sekade definirana funkcija� Vo sprotivo kesmetame deka M lf ne e definirana�

Funkciite koi xto moat da se dobijat od osnovnite funkcii o� s�Inmso primena na koneqen broj operatori za supstitucija�primitivna

rekurzija i slaba minimizacija se vikaat opxto rekurzivnifunkcii�Od samata definicija proizleguva deka mnoestvoto opxto rekur�

zivni funkcii e mnoestvo potpolni funkcii� t�e� funkcii defini�rani na celoto mnoestvo prirodni broevi� Znaqi�

Opxto rekurzivnite funkcii se potpolni rekurzivni funkcii�Obratnoto tvrde�e isto taka vai� t�e� sekoja potpolna rekurzivna

funkcija e opxto rekurzivna�Znaqi klasata rekurzivni funkcii e poxiroka od klasata opxto

rekurzivni funkcii�

Teorema ����� �Teorema na Tjuring Klasata funkcii presmet�livi so Tjuringova maxina e toqno klasata rekurzivni funkcii�

����� Zadaqi

�� Za binarni funkcii voveduvame operator � so�

f� �x� y� � f�y� x��

Da se pokae deka � gi zadovoluva slednite ravenstva�

f� � S��f� I��� I����

�x�f�x� y� � z� � �Mf� ��y� z��

��

Page 40: Формални јазици

�� Ako x e realen broj� togax so �x� go oznaquvame najgolemiot celbroj koj ne e pogolem od x� Za �x� velime deka e cel del od x�

Da se pokae deka funkcijata

q�x� � x �px��

gi zadovoluva ravenstvata�

�i� q����x� � x� �x�

�ii� q����x �� � x� �x ��

� Da se pokae deka ako f i g se rekurzivni funkcii� togax serekurzivni i funkciite�

�a� �y�f�x�� � � � � xn� y� � g�x�� � � � � xn� y����b� �y�f�x�� � � � � xn� y� � g�x�� � � � � xn� y����v� �y�f�x�� � � � � xn� y� � g�x�� � � � � xn� y����g� �y�f�x�� � � � � xn� y� � g�x�� � � � � xn� y����d� �y�f�x�� � � � � xn� y� � � i g�x�� � � � � xn� y� � ���

�g� �y�f�x�� � � � � xn� y� � � ili g�x�� � � � � xn� y� � ���

�� Da se pokae deka funkcijata

A��� y� � y �

A�x �� �� � A�x� ��

A�x �� y �� � A�x�A�x �� y��

e rekurzivna funkcija� no ne e primitivno rekurzivna�

�Zabelexka� Funkcijata A definirana pogore se vika Akermanovafunkcija i rexenieto na ovaa zadaqa ne e ednostavno� Zadaqatae navedena poveke za da se ima uxte eden primer na rekurzivnafunkcija xto ne e primitivno rekurzivna��

�� Da se pokae deka sekoja funkcija koja ima konstantna vrednost aza skoro sekoj priroden broj� t�e� e razliqna od a samo za koneqnomnogu prirodni broevi� e primitivno rekurzivna funkcija�

�� Da se pokae deka ako e zadadena primitivno rekurzivna �rekur�zivna� opxto rekurzivna funkcija� i ako i se izmeni vrednostasamo za koneqno mnogu toqki� togax novodobienata funkcija kebide povtorno primitivno rekurzivna �rekurzivna� opxto rekur�zivna� funkcija�

Page 41: Формални јазици

�� Da se pokae deka slednive mnoestva�

�a� koneqno mnoestvo broevi�

�b� mnoestvoto broevi od oblik an b� �n � �� �� �� � � ����v� mnoestvoto broevi od oblik a � bn� �n � �� �� �� � � ��

se primitivno rekurzivni mnoestva�

��

Page 42: Формални јазици

� Regularni jazici i koneqni avtomati

Vo ovoj del ke definirame specijalna klasa jazici� ke gi vikame re�gularni jazici� ke definirame specijalni zborovi so qija pomox kemoeme napolno da gi opredeluvame regularnite jazici i niv ke givikame regularni izrazi� potoa ke definirame koneqni avtomati� de�terministiqki i nedeterministiqki� i ke pokaeme deka regularnijazici se toqno onie prepoznaeni so koneqni avtomati�

��� Regularni jazici

����� Regularni izrazi

Vo oddelot za osnovni poimi vovedovme poim za podzbor� kako i prvo�vtoro� � � � �n� to pojavuva�e na daden podzbor vo daden zbor� isto takavo primerot � od poglavieto za normalni algoritmi vovedovme poimza inverzija na zbor w koja i natamu ke ja oznaquvame so wR� Pritoa�uv�R � vRuR� Da zabeleime deka ako � � � e koneqno mnoestvo�togax �� e prebroivo� xto e pokaano vo kursot �matematiqka logikai algebra� od vtora godina� Ako � � �� togax �� � f�g�

Neka � e dadena azbuka� Za sekoe podmnoestvo L � �� velime dekae jazik vo ��

Znaqi� �� � i �� se jazici vo ��Sekoj koneqen jazik moe da se zadade so naveduva�e na site ne�

govi zborovi� Od interes se jazici koi ne se koneqni� niv moeme dagi zadademe so nekoe svojstvo koe go zadovoluvaat zborovite xto senegovi elementi� Taka� na primer� eden beskoneqen jazik vo dadenaazbuka � e i jazikot L � fw�w � ��� w � wRg�

Bidejki jazicite nad dadena azbuka � se mnoestva� moeme davovedeme operacii megu jazici preku operacii na mnoestva� unija�presek� razlika� komplement �vo odnos na ���� Pokraj ovie operacii�moat da se vovedat i drugi� imeno�

� Konkatenacija na jazici�

Neka L� i L� se dva jazika nad azbukata �� t�e� L�� L� � ��� Togaxkonkatenacijata L � L� �L� �ili samo L � L�L�� se definira so �

L � fwjw � x � y� x � L�� y � L�g� ���

kade xto so x � y e oznaqena konkatenacijata na zborovite x i y�

� Unarna operacija nad jazik L � �� e i takanareqenata opera�cija zatvoraq ili Klinieva �vezda� Jazikot dobien od L so ovaaoperacija ke go oznaquvame so L�� Toj se definira na sledniovnaqin�

L� � fw � ��j��k � ��w � w� �w��� � ��wk� � w�� w�� � � � � wk � Lg� ���

��

Page 43: Формални јазици

Ako L � �� togax ja upotrebuvame oznakata L� za jazikot LL��t�e�

L� � fwj��k �� � w�� � � � � wk � L�w � w� � w� � � � � � wkg� ��

Da navedeme nekoi svojstva na definiranite operacii�

Svojstvo ���� Za sekoi L�L�� L�� L� � ��� toqni se slednive tvr�de�a

�a� �L�L��L� � L��L�L��

�b� Ako L� � L�� togax

��� L�L� � L�L��

��� L�L� � L�L��

� � L�� � L�

��

�v� ��� �L� � L��L� � L�L� � L�L����� L��L� � L�� � L�L� � L�L��

�g� ��� L�L� n L�L� � �L� n L��L����� L�L� n L�L� � L��L� n L���

�d� L�L� � L�� �L��� � L��

�g� ��� L� � L��� � �L�� � L�����

��� �L� � L��� � �L�� � L�����

� � L�� n L�� � �L� n L����

Centralna uloga vo teorijata na presmetlivost igra pretstavuva��eto na jazici so koneqni specifikacii� Koneqnoto pretstavuva�e najazici e specijalno vano kaj beskoneqnite jazici�

Bidejki azbukata � e koneqno mnoestvo� a �� prebroivo� mnoes�tvoto od site jazici nad � e neprebroivo� �niv gi ima ��

�� pa samoprebroivo mnogu beskoneqni jazici ke moat da se zadadat so koneqnopretstavuva�e� Pokraj toa� idejata e edno koneqno pretstavuva�e daopredeluva toqno eden jazik� xto pretstavuva dosta jako ograniqu�va�e�

Ke navedeme poveke naqini na koneqni pretstavuva�a na jazici�pri xto ke uoqime deka nekoi ovozmouvaat pretstavuva�a na jazicikoi ne se pretstavuvaat so prethodno navedenite metodi� Na toj naqinke dobieme i klasifikacija na jazicite koi dozvoluvaat koneqno pret�stavuva�e�

��

Page 44: Формални јазици

Na poqetokot ke razgleduvame izrazi�nizi simboli� koi obezbedu�vaat aparat za grade�e jazici so pomox na operaciite� presek� unija�komplement� konkatenacija i Klinieva �vezda�

Neka e zadadena azbuka � i neka �� � � � f�� �� ���� �g� Specijalnizborovi nad azbukata �� ke velime deka se regularni izrazi i ke gidefinirame induktivno na sledniov naqin�

�i� � i sekoj simbol od � se regularni izrazi�

�ii� Ako � i se regularni izrazi� togax i ���� �� � � i �� seregularni izrazi�

�iii� Eden izraz od azbukata �� e regularen ako i samo ako moe dase dobie so koneqna primena na �i� i �ii��

So sekoj regularen izraz e pretstaven eden jazik L nad �� Imeno�definirame preslikuva�e L od mnoestvoto regularni izrazi vo mno�estvoto jazici nad �� taka xto za sekoj regularen izraz �� L��� kebide jazikot pretstaven so regularniot izraz �� L e definirano nasledniov naqin�

�i� L��� � � i L�a� � fag� za sekoj a � ��

�ii� Ako � i se regularni izrazi� togax

L����� � L���L���

L��� � �� � L��� � L���L���� � L���

��

Primer�Da go opredelime jazikot L���a � b��a���

L���a � b��a�� � L��a � b���L�a� � L�a � b��fag �� �L�a� � L�b���fag � �fag � fbg��fag �

� fa� bg�fag �� fw � fa� bg�jw zavrxuva so ag�

Primer�Da go opredelime jazikot L�c��a � �bc������

L�c��a � �bc����� � L�c��L�a � �bc���� �

� fcg��L�a� � L�bc���� �� fcg��fag � �fbgfcg���� �

� fw � fa� b� cg�jw � cn�am�bck��r�w � cnam�w � cn�am�bck��r � n�m� k� r � �g�

��

Page 45: Формални јазици

Jasno e deka ako w � L� togax w ne sodri podzbor ac� Neka w ezbor xto ne sodri podzbor ac� Ako a se pojavuva vo w� togax� bidejkiw ne sodri podzbor ac� po a moe da sleduva ili a ili b� xto znaqideka w � L�

Bidejki i unijata i konkatenacijata se asocijativni� vo regular�nite izrazi moe da se otfrlat nekoi zagradi� Pokraj toa� eden jazikpretstaven so eden regularen izraz � moe da bide pretstaven i sodrugi regularni izrazi� Isto taka� bidejki ne interesiraat jazicite�qesto pati nema da pravime razlika pomegu regularen izraz i jazikotpretstaven so toj regularen izraz�

Jasno e deka regularnite izrazi ne moat da gi pretstavuvaat sitejazici nad dadena azbuka �� Da gi opredelime svojstvata na jazicitekoi xto moat da se pretstavat so regularen izraz�

����� Regularni jazici

Ke definirame specijalna klasa jazici �regularni jazici� � a potoa kedokaeme deka tie se toqno onie jazici xto moat da se pretstavatso regularni izrazi�

Klasata regularni jazici R nad azbukata � e podmnoestvo od ���

�so slednive svojstva�

�i� � � R� a � �� fag � R��ii� L�� L� � R � L� � L�� L� � L�� L�� � R��iii� Ako S e klasa jazici nad � xto gi zadovoluva uslovite �i� i �ii��

togax R � S�

Zabelexka Poradi �iii� od gornata definicija� klasata regularnijazici eednoznaqno opredelena�

Od definicijata na regularen izraz i jazik opredelen od regu�laren izraz kako i od samata definicija na regularen jazik sleduvaslednovo svojstvo�

Svojstvo ���� Eden jazik L nad azbukata � e regularen ako i samoako postoi regularen izraz � nad �� takov xto L � L���� �

So regularni izrazi moe da se pretstavi relativno �mala� klasajazici� Postojat relativno �ednostavni� jazici� kako na primer�

fanbnjn � �g� kade xto � � fa� bg�

koi ne moat da se pretstavat so regularni izrazi� Ova tvrde�e kego pokaeme podolu� otkako ke izgradime soodveten aparat za opre�deluva�e koga eden jazik ne e regularen�

��

Page 46: Формални јазици

Za pretstavuva�e jazici moeme da go upotrebime i naqinot napretstavuva�e mnoestva �podmnoestva od ��� kako rexenie na is�kazna funkcija nad ��� Na primer�

L � fw � ��j��x� y� z � N n f�g�xjwj yjwj � zjwjgno� od gledna toqka na presmetlivost� naiduvame na texkotii� Ideatae da se opredeli jazik L nad � takov xto da postoi toqno oprede�lena �postapka� �algoritam� kojaxto po koneqen broj qekori ke dadeodgovor na praxa�eto dali zbor od �� e zbor od L�

Algoritmot kojxto e specijalno sostaven za nekoj jazik L i prove�ruva dali w � �� e element od L se vika algoritam za prepoznava�e najazik�

Naredniot qekor e definira�e na algoritmi za prepoznava�e najazici�

����� Zadaqi

�� Da se dokae deka�

�a� �wR�R � w� za koj bilo zbor w od dadena azbuka ��

�b� v e podzbor od w ako i samo ako vR e podzbor od wR�

�v� ��i � N��wi�R � �wR�i� kade xto wi e zborot xto se sostoi odi pati dopixan zborot w eden po drug� t�e� e i�ti stepen odw�

�� Da se dokae deka�

�a� Ako a � b� togax

fa� bg� � fag��fbgfag����

�b� Ako � e azbuka i L�� L� � ��� pri xto � � L�� � � L�� togax�� � �L��

�L��� � �L��L��

��

�v� Za sekoj jazik L toqni se ravenstvata�

�L � L� � ��

� Neka � e azbuka� Togax ���� �� e monoid so krate�e� kade xto �e operacijata konkatenacija�

�� Koj jazik e pretstaven so regularniot izraz�

���a�a�b� � b��

�� Da se uprostat slednive regularni izrazi�

Page 47: Формални јазици

�a� �� � a� � b���b� ��a�b����b�a������

�v� �a�b�� � �b�a���

�g� �a � b��a�a � b����� Neka � � fa� bg� Da se zapixat regularni izrazi xto gi pret�

stavuvaat slednive jazici�

�a� fw � ��jw ne sodri poveke od tri pojavuva�a na ag��b� fw � ��jbrojot na pojavuva�a na a vo w e deliv so trig��v� fw � ��jpodzborot aaa se pojavuva vo w toqno ednaxg��g� fw � ��jsekoe a vo w e prethodeno i sledeno so bg��d� fw � ��jabab e podzbor od wg��g� fw � ��jni aa ni bb ne se podzborovi od wg��e� fw � ��jab i ba se podzborovi od wg�

�� Eden regularen izraz e vo disjunktivna normalna forma ako ezapixan vo forma

w� � w� � � � � � wk �kade xto simbolot � ne se pojavuva vo wi� i � �� �� � � � � k�Da se dokae deka za sekoj regularen izraz postoi ekvivalentenregularen izraz �regularen izraz kojxto go opredeluva istiotjazik� vo disjunktivna normalna forma�

��

Page 48: Формални јазици

��� Koneqni avtomati

Vo ovoj oddel ke razgledame nekoi modeli na koneqen avtomat� Tojima �centralen procesor� so fiksiran koneqen kapacitet xto zavisiod osnovniot problem� Pokraj ova toj nema memorija� Vlezot e nizasimboli zapixani na lenta� Izlezot samo dava informacija daliavtomatot go prepoznava zborot od vleznata lenta ili ne� t�e� toa esamo naprava za prepoznava�e jazici� Vsuxnost� ke razgledame dvavida koneqni avtomati�deterministiqki i nedeterministiqki� i kepokaeme deka klasata jazici prepoznaena od sekoj od ovie dva vidaavtomati e toqno klasata regularni jazici�

����� Deterministiqki koneqni avtomati

Koneqniot deterministiqki avtomat se sostoi od vlezna lenta pode�lena na poli�a so po eden simbol vpixan vo sekoe pole� Glavniot delod avtomatot e �crna kutija� koja moe da se naoga vo edna od koneqnomnogu vnatrexni sostojbi� Crnata kutija se vika koneqna kontrola iso pomox na podvi�na glava moe da prepoznae koj simbol e zapixanvo kelijata na lentata�

Vo poqetokot glavata e postavena da ja gleda prvata najleva kelijaod lentata i e postavena vo poqetna sostojba� Vo pravilni intervaliglavata qita simbol od lentata i preminuva vo nova sostojba� kojazavisi od sostojbata vo koja se naoga i simbolot xto go qita� i potoase podviuva za edno pole na desno� Po koneqno qekori avtomatotstignuva do poslednata kelija od lentata na koja e zapixan vlezniotzbor i preminuva vo nova sostojba� Ako ovaa posledna sostojba e ednaod mnoestvoto zavrxni sostojbi se smeta deka avtomatot go prepoz�nava zborot� vo sprotivno� se smeta deka toj ne go prepoznava zborot�Jazikot prepoznaen od ovoj koneqen avtomat e mnoestvoto zborovixto toj gi prepoznava�

Da dademe formalna definicija na deterministiqki koneqen av�tomat�

Deterministiqki koneqen avtomat e podredena petorka

M � �K��� �� s� F ��

kade xto�

� K e koneqno mnoestvo sostojbi�

� � e nadvorexna azbuka�

� s � K e poqetna sostojba�

� F � K e mnoestvo zavrxni sostojbi�

��

Page 49: Формални јазици

� � e funkcija na premin� t�e� preslikuva�e od K �� vo K�

Funkcijata na premin ednoznaqno ja opredeluva sostojbata vo kojake premine koneqniot avtomat M ako se naoga vo sostojba q i go qitasimbolot a� Taa moe da bide zadadena na razliqni naqini�

� so tablica �zaradi koneqnosta na K i ���

ili

� grafiqki� so pomox na dijagram�

Sekoja funkcija na premin moe da se proxiri do preslikuva�e�� � K ��� � K na sledniov naqin�

���q� a� � ��q� a�� za sekoj �q� a� � K ���Ako q � K� a � � i w � aw� � ��� togax

���q� aw�� � �����q� a�� w�� � ���q�� w���

kade xto ��q� a� � q��Ako e zadaden zborot w � a�a� � � � ak � ��� togax sekoj qekor na rabo�

tata na koneqniot avtomat pri vlez w moe da se opixe so sostojbatavo koja e toj vo momentot koj se razgleduva i podzborot xto se uxtene e proqitan� Ovoj naqin na opixuva�e na sostojbata na koneqenavtomat se vika konfiguracija� Konfiguracija na koneqen avtomat sesostoi od niza xto poqnuva so edna od sostojbite na maxinata �onaavo koja maxinata se naoga vo toj moment� i preostanatiot neproqitanpodzbor� Taka� nizata qraiai�� � � �an oznaquva deka vo dadeniot momentkoneqniot avtomat e vo sostojba qr� go gleda simbolot ai� i ostanuvada se proqita podzborot aiai�� � � � an

Primer ���Neka K � fq�� q�g� � � fa� bg� s � q� i F � fq�g� a

q � ��q��q� a q�q� b q�q� a q�q� b q�

Ako w � aabba� togax q�aabba e poqetnata konfiguracija na lentata�Po qita�e na bukvata a maxinata ostanuva vo sostojbata q� i pre�minuva edno pole na desno� na koe povtorno e zapixana bukvata a� xtoznaqi� deka maxinata i natamu ostanuva vo sostojbata q� i ja qitanarednata bukva b�

Koga maxinata e vo sostojba q� i ja qita bukvata b� spored funkci�jata na premin� taa preminuva vo sostojba q� i preminuva edno pole na

��

Page 50: Формални јазици

desno� Ako maxinata e vo sostojba q� i ja qita bukvata b� togax pre�minuva vo sostojba q� i edno pole na desno� vo koe e zapixana bukvataa� Spored funkcijata na premin� maxinata ostanuva vo sostojbata q��kojaxto e zavrxna� a na lentata nema zapixano drugi simboli� xtoznaqi deka maxinata go prepoznava zborot w�

Opisot na rabotata na maxinata od ovoj primer so pomox na kon�figuracii moe da se zapixe pokratko na sledniov naqin�

q�aabba �M q�abba �M q�bba �M q�ba �M q�a �M q��

kade xto �M oznaquva direkten premin na maxinata M od edna kon�figuracija vo narednata� Dokolku odnapred se znae za koj koneqenavtomat stanuva zbor� togax indeksot M na �M moe da se izostavi�Ako� pak� sakame so simboli da prikaeme xto se dobiva pri rabotana zadaden koneqen avtomat poqnuvajki od dadena konfiguracija poodreden broj qekori izvrxeni od maxinata� togax ja koristime oz�nakata j�M � pri xto moe da go zapixeme i brojot na qekorite koise izvedeni od poqetnata razgleduvana konfiguracija do poslednata�Taka� na primer� ako ja zememe toqno poqetnata konfiguracija na av�tomatot od ovoj primer� i sakame da prikaeme deka zborot w � aabbae prepoznaen od avtomatot� togax� znaejki deka q� e i zavrxna sostojba�pixuvame q�aabba j�M q��

Vo suxtina � e relacija vo mnoestvoto konfiguracii na dadenkoneqen avtomat� dodeka j� e tranzitivnoto zatvora�e na ��

Funkcijata na premin moe da se prikae i so dijagram� Sekojasostojba se oznaquva so krugqe� zavrxnite se zaokrueni so pogolemokrugqe� dodeka poqetnata e oznaqena so simbolot � Za sekoja bukvaod azbukata � i dadeni sostojbi q�� q� � K e postavena strelka od q�do q� oznaqena so bukvata a� ako ��q�� a� � q�� Na toj naqin funkcijatana premin na avtomatot daden vo ovoj primer e prikaana so slednavasl� ���

0q q1

b

b

>

aa

Slika ���

Primer ���Neka K � fq�� q�� q�� q�g� � � fa� bg� s � q�� a F � fq�� q�� q�g�

Page 51: Формални јазици

Funkcijata na premin e zadadena so slednava tablica�

q � ��q��q� a q�q� b q�q� a q�q� b q�q� a q�q� b q�q� a q�q� b q�

ili so dijagramot prikaan na sl� ���

0q q1 q2 q3

>

a a,b

a

a

b b b

Slika ���

Ako e zadaden zborot w � abbba� togax dobivame�

q�abbba � q�bbba � q�bba � q�ba � q�a � q��

xto znaqi deka avtomatot ne go prepoznava dadeniot zbor w�

Za jazikot L nad azbukata � velime deka e prepoznaen od avtomatotM � go oznaquvame so L�M�� ako toj se sostoi toqno od onie zborovinad � xto toj gi prepoznava� t�e�

L�M� � fwjw � ��� sw j� q� q � Fg�

Jazikot L�M� prepoznaen od avtomatot od Primerot � e

L�M� � a�ba�ba��

dodeka vo Primerot ��

L�M� � fwjw � fa� bg�� w ne sodri podzbor bn� n � �g�

Page 52: Формални јазици

����� Nedeterministiqki koneqni avtomati

Vo ovoj del ke razgleduvame malku poinakov vid avtomati kaj koi kedozvoluvame od dadena sostojba pri qita�e daden simbol avtomatotda moe da premine vo edna od poveke sostojbi po sopstven izbor�Znaqi nema da postoi toqno opredelen premin od sostojba pri dadensimbol �determiniranost na rabotata na avtomatot�� tuku toj ke imapoveke monosti za izbor na premin �nedeterminiranost na avtoma�tot�� Iako vo praksa smetaqkite maxini go nemaat ova svojstvo� sepokauva pogodno za rabota so niv i poednostavno prikauva�e narabotata na vakov avtomat�

Da zabeleime deka sekoj deterministiqki koneqen avtomat e ne�deterministiqki� Vo naredniot del ke pokaeme deka za sekoj nede�terministiqki koneqen avtomat M postoi deterministiqki koneqenavtomat M � kojxto go prepoznava istiot jazik kako i M � t�e takov xtoL�M� � L�M ���

Primer ���Neka L � �ab � aba��� Togax deterministiqkiot avtomat prikaan

na sl� � � go prepoznava jazikot L�

0q q1 q2 q3

q4

>a b

a

b

a

a,b

a

b

b

Slika � �

Megutoa� i avtomatot prikaan na sl� ��� kojxto e nedeterminis�tiqki� go prepoznava istiot jazik� Vo ovoj sluqaj� ako vlezniot zbor eaba avtomatot moe od q� da premine vo sostojbata q�� pa vo q� i nazadvo q�� no moe da go izbere i �pogrexniot� pat q�� q�� q�� q� i da zavrxi

Page 53: Формални јазици

0q q1q2

> ba

b

a

Slika ���

so rabota vo sostojba kojaxto ne e zavrxna� Ova ne e bitno� bidejkidovolno e za maxinata da go prepoznae vlezniot zbor da postoi baremeden naqin �pat� pri �qita�e� na zborot od poqetnata sostojba dastigne vo zavrxna�

Nekogax e pogodno strelka da bide oznaqena i so prazniot zbor�� pa gorniot nedeterministiqki avtomat da go ima i sledniov� poed�nostaven� grafiqki prikaz� Moe da se dozvoli uxte edno obopx�

0q q1q2

> b

a

a

λ

Slika ���

tuva�e� strelkite da moat da se oznaquvaat i so celi zborovi� prixto uxte poveke se poednostavuva dijagramot na koneqen nedetermi�nistiqki avtomat� Ako se iskoristi ova obopxtuva�e� avtomatot odnaxiov primer moe da se prikae i so sledniov dijagram�

0q> ababa

Slika ���

Da dademe formalna definicija na nedeterministiqki koneqen av�

Page 54: Формални јазици

tomat�Nedeterministiqki koneqen avtomat e podredena petorka

M � �K����� s� F ��

kade xto�

� K e koneqno mnoestvo sostojbi�

� � e koneqna azbuka od vlezni simboli�

� s � K e poqetna sostojba�

� F � K e mnoestvo zavrxni sostojbi� a

� � e relacija za premin i e koneqno podmnoestvo od K ��� �K�

Znaqe�eto na �q� u� p� � � e deka akoM e vo sostojba q� togax toj mo�e da go �proqita� zborot u i da premine vo sostojba p� Ova grafiqki

se prikauva so �q u� �p�Sekoja trojka �q� u� p� � � se vika premin vo M �Konfiguracija se definira po analogija na definicijata kaj de�

terministiqki koneqni avtomati� Za poednostavno opixuva�e na ra�botata na nedeterministiqki koneqen avtomat i vo ovoj sluqaj sedefinira relacija �M vo K ��� so�

�q� w� �M �q�� w��

ako i samo ako postoi u � �� takvo xto uw� � w i �q� u� q�� � �� Ne�jzinoto tranzitivno proxiruva�e se oznaquva so j�M �

Zborot w � �� e prepoznaen od M ako i samo ako postoi sostojbaq � F takva xto �s� w� j�M �q� ���

Jazikot L�M� prepoznaen od avtomatotM se sostoi od site zborovinad � prepoznaeni od M �

Lema ���� Neka M � �K����� s� F � e nedeterministiqki koneqen av�tomat� neka q� r � K i x� y � ��� Ako za nekoj p � K� �q� x� j�M �p� �� i�p� y� j�M �r� ��� togax �q� xy� j�M �r� �� �

Dokaz� Neka �q� x� j�M �p� �� i �p� y� j�M �r� ��� Togax postojat

n � �� q�� q�� � � � � qn � K

ix�� � � � � xn � ���

takvi xto

�q� x� � �q�� x�� �M �q�� x�� �M � � � �M �qn� xn� � �p� ���

Page 55: Формални јазици

Tvrdime deka za i � �� �� � � � � n �� �qi� xiy� �M �qi��� xi��y��Bidejki �qi� xi� �M �qi��� xi���� od definicijata na �M postoi

ui � �� takvo xto xi � uixi�� i �qi� ui� qi��� � �� Istotaka� xiy � uixi��y�pa� od definicijata na �M dobivame deka vai �qi� xiy� �M �qi��� xi��y��

Znaqi�

�q� xy� � �q�� x�y� �M �q�� x�y� �M � � � �M �qn� xny� � �p� y��

pa �q� xy� j�M �p� y�� No� od �p� y� j�M �r� �� i faktot deka j�M e tranzi�tivna relacija� dobivame �q� xy� j�M �r� ��� �

����� Ekvivalentnost na deterministiqki i nedeterminis�tiqki koneqni avtomati

Za avtomatite M� i M� velime deka se ekvivalentni ako L�M�� �L�M���

Teorema ���� Za sekoj nedeterministiqki koneqen avtomat postoiekvivalenten so nego deterministiqki koneqen avtomat�

Dokaz� Neka M � �K����� s� F � e nedeterministiqki koneqen avtomat�Za sekoj premin �q� u� q�� � �� takov xto juj � i u � a�a� � � � ak defini�rame novi nezavrxni sostojbi p�� � � � � pk��� vo � trojkata �q� u� q�� ja za�menuvame so trojkite �pi��� ai� pi�� i � �� � � � � k� kade xto p� � q� pk � q��So toa dobivame nova relacija na premin ��� Jasno e deka noviotavtomat M � � �K ������� s� F � e nedeterministiqki avtomat ekvivalen�ten so M i juj � � za sekoj premin �q� u� q�� od M �� Ovaa postapka eilustrirana so sl� ��

Sega ke konstruirame deterministiqki koneqen avtomatM �� � �K ����� ���� s��� F ��� ekvivalenten na M �� xto ke bide dovolno zada se dokae teoremata� Idejata e nedeterministiqkiot avtomat dase razgleduva kako avtomat koj vo sekoj moment ne e vo edinstvena sos�tojba tuku vo mnoestvo sostojbi� Znaqi� ako M � ima pet sostojbifq�� q�� � � � � q�g i� posle qita�e na vlezen simbol moe da bide vo sos�tojba q�� q�� q� no ne i vo q� ili q�� za sostojba moe da se razgleduvamnoestvoto fq�� q�� q�g� namesto poedineqen qlen od toa mnoestvo�Ako sledniot vlezen simbol moe da go dovede avtomatot M � od q� voq� ili q�� od q� vo q� i od q� vo q�� togax za naredna sostojba na M �

moe da se smeta mnoestvoto fq�� q�� q�g�Ovaa konstrukcija ke ja formalizirame� za da go dobieme deter�

ministiqkiot avtomat M ���Mnoestvoto sostojbi na M �� ke bide �K

� t�e� buleanot od mnoes�tvoto sostojbi na M �� Mnoestvoto zavrxni sostojbi ke se sostoi odonie podmnoestva od K � koi sodrat barem edna zavrxna sostojbaod M �� Definicijata na funkcijata na premin na M �� ke bide malku

Page 56: Формални јазици

q20q q1

p1

3p

2p

q20q q1

M

λ

a,b

>

b

ba

bab

a,b

>

b

λb aa

b

b

M’

Slika ���

pokomplicirana� Osnovnata ideja e preminot vo M �� pri qita�e navlezen simbol a � � da go imitira preminot od M � za vlezniot sim�bol a� sledeno so odreden broj premini od M � za koi ne e proqitannikakov vlezen simbol� Za formalizacija na ovaa ideja neophodna nie specijalna definicija�

Za sekoja sostojba q � K �� neka E�q� bide mnoestvoto sostojbi odM � koi moat da se dostignat od q bez qita�e na nekakov vlez� Znaqi�

E�q� � fp � K �j�q� �� j�M � �p� ��g�Ako M � ima premin od edna vo druga sostojba bez prima�e na vlez�togax toj ne zavisi od samiot vlez� Znaqi� drug naqin na definira�ena E�q� bi bil da se izbere proizvolna niza w � �� i da se zapixe�

E�q� � fp � K �j�q� w� j�M � �p� w�g�Sega definirame koneqen avtomat

M �� � �K ����� ���� s��� F ����

kade xtoK �� � �K

s�� � E�s�

F �� � fQ � K �jQ � F � � �gi za sekoj Q � K � i sekoj simbol a � ��

����Q� a� ��fE�p�jp � K �i��q � Q��q� a� p� � ��g�

Page 57: Формални јазици

0q

q1

q2

q3

q4

>

λλλ

a

aa

λ

b b

Slika ���

Na primer� ako M � e avtomatot prikaan na sl� ��� togax s�� �E�q�� � fq�� q�� q�� q�g� Bidejki �q�� a� q�� � �� i �q�� a� q�� � ��� sleduvadeka

����fq�g� a� � E�q�� � E�q�� � fq�� q�� q�� q�� q�g�Sliqno se proveruva deka od �q�� b� q�� � �� i �q�� b� q�� � �� sleduvadeka

����fq�� q�g� b� � E�q�� � E�q�� � fq�� q�� q�g�Ostanuva da se dokae dekaM �� e deterministiqki koneqen avtomat

ekvivalenten so M �� Dokazot deka M �� e deterministiqki sleduva odtoa xto po konstrukcija ��� e preslikuva�e� Da zabeleime deka � �K�� pa e vozmono ����Q� a� � �� za nekoj Q � K �� i a � �� Isto taka������ a� � �� za sekoj a � ��

Ostanuva da se dokae deka za sekoja niza w � ��� i sekoi q� p � K ��toqno e tvrde�eto

�q� w� j�M � �p� �� ako i samo ako�E�q�� w� j�M �� �P� ��

za nekoe mnoestvo P xto go sodri p� Od tuka sleduva tvrde�eto nateoremata� Imeno� neka w � �� e proizvolna niza� Togax w � L�M ��ako i samo ako �s� w� j�M � �f �� �� za nekoj f � � F � �po definicija naL�M ���� a ova e toqno ako i samo ako �E�s�� w� j�M �� �Q� �� za nekoj Qxto go sodri f �� ako i samo ako �s��� w� j�M �� �Q� �� za nekoj Q � F ���Posledniov uslov e definicijata za w � L�M ����

Gornoto tvrde�e ke go dokaeme so indukcija po jwj�Osnova na indukcijata� Za jwj � �� t�e� za w � � treba da pokaeme

deka

�q� �� j�M � �p� ��� �E�q�� �� j�M �� �P� ��

za nekoe mnoestvo P xto go sodri p� Prvoto tvrde�e e ekviva�lentno so tvrde�eto deka p � E�q�� Bidejki M �� e deterministiqki i

Page 58: Формални јазици

pritoa mora da qita vlezen simbol pri sekoj qekor� vtoroto tvrde�ee ekvivalentno so P � E�q� i P go sodri p� t�e� p � E�q��

Induktivna pretpostavka� Neka za nekoj k � � tvrde�eto e toqnoza sekoj zbor w so dolina ednakva ili pomala od k�

Qekor na indukcijata� Ke go dokaeme tvrde�eto za proizvolenzbor w so dolina k �� Neka w � va� kade xto a � � i v � ���

Neka� prvo� �q� w� j�M � �p� ��� Togax postojat sostojbi r� i r� takvixto

�q� va� j�M � �r�� a� �M � �r�� �� j�M � �p� ���

Znaqi� M � ja dostignuva sostojbata p od sostojbata q preku nekoj brojqekori pri koi vlezot v e proqitan� sleden so eden qekor pri kojbukvata a e proqitana� sleden so nekoj broj qekori pri koj ne e pro�qitan nikakov vlez� Bidejki �q� va� j�M � �r�� a�� togax �q� v� j�M � �r�� ���pa bidejki jvj � k� spored induktivnata pretpostavka �E�q�� v� j�M ��

�R�� ��� za nekoj R� xto go sodri r�� Od druga strana� bidejki �r�� a� �M �

�r�� ��� trojkata �r�� a� r�� � ��� togax� spored konstrukcijata na M ��

imame E�r�� � ����R�� a�� No� bidejki �r�� �� j�M � �p� ��� p � ����R�� a��Znaqi� �R�� a� �M �� �P� ��� za nekoj P xto go sodri p i �E�q�� va� j�M ��

�R�� a� �M �� �P� ���

Od druga strana� neka �E�q�� va� j�M �� �R�� a� �M �� �P� ��� za nekoj P �takov xto p � P i R�� takov xto ����R�� a� � P � Spored definicijatana ��� sega ����R�� a� e unija od site mnoestva E�r��� kade xto za nekojasostojba r� � R�� �r�� a� r�� e premin vo M �� Bidejki p � P � ����R�� a��postoi opredeleno r� takvo xto p � E�r�� i za nekoe r� � R�� �r�� a� r��e premin vo M �� Togax� od definicijata na E�r��� �r�� �� j�M � �p� ���Isto taka� od induktivnata pretpostavka �q� v� j�M � �r�� ��� pa sporedtoa �q� va� j�M � �r�� a� �M � �r�� �� j�M � �p� ��� �

Da prodolime so primerot prikaan na slika ��� Neka M � eavtomatot prikaan na sl� ��� Bidejki M � ima � sostojbi� M �� keima �� � �� sostojbi� Megutoa samo nekolku od niv ke bidat bitniza operacijata na premin na M ��� imeno onie sostojbi koi ke moatda se dostignat od s�� qitajki nekoj vlezen zbor� Ke go konstruirameovoj del od M �� poqnuvajki od s�� i dodavajki nova sostojba samo kogae neophodna kako vrednost na ����q� a� za nekoja veke vovedena sostojbaq i nekoj a � ��

Porano gi definiravme E�q� za sekoja sostojba q od M �� Bidejkis�� � E�q�� � fq�� q�� q�� q�g� imame deka

�q�� a� q��

�q�� a� q��

�q�� a� q��

Page 59: Формални јазици

se site premini �q� a� p� za nekoe q � s�� Znaqi�

����s��� a� � E�q�� � E�q�� � fq�� q�� q�� q�� q�g�Na ist naqin postapuvame i za bukvata b � �� Imeno�

�q�� b� q��

�q�� b� q��

se site premini �q� b� p� za nekoj q � s��� Znaqi

����s��� b� � E�q�� � E�q�� � fq�� q�� q�g�Povtoruvajki ja istata postapka za novodobienite sostojbi� imame�

����fq�� q�� q�� q�� q�g� a� � fq�� q�� q�� q�� q�g����fq�� q�� q�� q�� q�g� b� � fq�� q�� q�g����fq�� q�� q�g� a� � E�q�� � fq�� q�g����fq�� q�� q�g� b� � E�q�� � fq�� q�g

Na krajot�

����fq�� q�g� a� � E�q�� � fq�� q�g����fq�� q�g� b� � �

i������ a� � ������ b� � ��

{q ,q ,q }2 3 4 0{q ,q }3 4

0 1 2 3{q ,q ,q ,q } {q ,q ,q ,q ,q }0 1 2 3 4

b

b b

a

a

a,b

b

> a

a

Slika ���

Bitniot del od M �� e ilustriran na sl� ��� Mnoestvoto zavr�xni sostojbi F �� gi sodri site mnoestva sostojbi vo koi e qlen q��bidejki F � � fq�g� Znaqi F �� � ffq�� q�� q�� q�� q�g� fq�� q�� q�g� fq�� q�gg emnoestvoto zavrxni sostojbi za M ���

Page 60: Формални јазици

����� Svojstva na jazicite prepoznaeni od koneqen avtomat

Osnovniot rezultat vo prethodniot del e deka klasata jazici pre�poznaeni od koneqni avtomati ostanuva ista duri i ako e vovedennedeterministiqki avtomat� Vo ovoj del ke pokaeme deka kombini�ra�e na jazici prepoznaeni od koneqni avtomati so poznatite opera�cii so jazici ne doveduva do jazici nadvor od spomnatata klasa� odklasata jazici prepoznaeni so koneqni avtomati� Natamu� ovie rezul�tati ke bidat dokaani so tehnika so koja od eden ili poveke avtomatise konstruira avtomat koj go prepoznava jazikot dobien so dadenataoperacija� Na ovoj naqin se dobiva algoritam za konstrukcija nasoodveten koneqen avtomat� koja ke ni pomogne pri vospostavuva�e navrskata pomegu regularnite izrazi i jazicite prepoznaeni so koneqniavtomati�

Niz celiot ovoj del � ke bide zadadena azbuka� a glaven rezultatna ovoj del ke bide slednava teorema�

Teorema ���� Klasata jazici prepoznaneni od koneqni avtomati ezatvorena vo odnos na

�a� unija

�b� konkatenacija

�v� Klinieva �vezda

�g� komplement

�d� presek�

Dokaz� Vo sekoj od dadenite sluqai ke konstruirame avtomat koj goraspoznava dadeniot jazik od eden ili poveke zadadeni avtomati�

�a� Unija� Neka L� i L� se jazici koi se prepoznaeni od avtomatiteM� i M�� soodvetno� Neka

M� � �K������� s�� F�� i M� � �K������� s�� F���

Bez gube�e na opxtosta na rezultatot� moeme da pretpostavimedeka K� i K� se disjunktni mnoestva�

Konstruirame nedeterministiqki koneqen avtomat M koj go pre�poznava jazikot L�M���L�M�� na sledniov naqin� M � �K����� s� F ��kade xto s e nova sostojba xto ne pripga vo K� �K��

K � K� �K� � fsg�

F � F� � F��

Page 61: Формални јазици

2F

M1 M2

1F 2FF = U

1F

1s 2s

1s 2s

>s λλ

M

> >

Slika ����

� � �� ��� � f�s� �� s��� �s� �� s��g�Znaqi� M zapoqnuva so proverka dali prepoznava nekoj zbor odpoqetnata sostojba s� od koja preminuva ili vo s� ili vo s� iprodoluva da raboti kako soodvetniot avtomat M� ili M�� Odtuka se dobiva dekaM go prepoznava toqno jazikot L�M���L�M���

�b� Konkatenacija� Povtorno� neka M� i M� se nedeterministiqkikoneqni avtomati� konstruirame nedeterministiqki koneqen av�tomat M xto ke go prepoznava jazikot L�M���L�M��� Konstrukci�jata e prikaana xematski na sl���� imeno avtomatot M poqnuvaso rabota kako avtomatot M�� a potoa od zavrxna sostojba na M�

preminuva vo poqetna sostojba na M� i prodoluva da rabotikako i avtomatot M��

Formalno� ako M�� M� i M se oznaqeni kako i vo �a�� togax�

K � K� �K�� s � s�� F � F��

i� � �� ��� � �F� � f�g � fs�g��

Jasno e deka vo ovoj sluqaj avtomatot M ke go prepoznava toqnojazikot L�M�� � L�M���

�v� Klinieva �vezda� Neka M� e nedeterministiqki koneqen avtomat�Ke konstruirame nedeterministiqki koneqen avtomat M � takovxto L�M� � L�M��

�� Konstrukcijata e sliqna na onaa za konkate�nacija i e ilustrirana na slika ��� M se sostoi od site sostojbi

��

Page 62: Формални јазици

1F

2F

1s>

2s 1s

2sλ λ

λ

2FF =

M2M1

> >

M

Slika ����

naM� i site premini od M�� Sekoja zavrxna sostojba na M� e za�vrxna sostojba i na M � Pokraj ova M ima nova poqetna sostojbas��� Ovaa nova poqetna sostojba e istotaka i zavrxna� taka xtoM go prepoznava prazniot zbor � i so nego moe da se dostignepoqetnata sostojba s� na M�� Pritoa relaciite od M� moatda se izveduvaat otkako e inicirana maxinata M � Koneqno� do�dadeni se premini preku � od sekoja zavrxna sostojba naM� nazaddo s�� Znaqi� otkako e otpoqnata rabotata na maxinata M�� taamoe da se inicira povtorno od dobieniot zbor preku zavrx�nata sostojba od M� koja preku prazniot zbor se vraka nazad vopoqetnata sostojba s� na M��

Formalno� ako M� � �K������� s�� F��� togax M � �K����� s��� F � etakva xto�

K � K� � fs��g�s�� e nova sostojba xto ne se sodri vo K��

F � F� � fs��g�� � �� � �F � f�g � fs�g� � f�s��� �� s��g�

So direktna proverka se dobiva deka ako w � L�M�� togax iliw � � ili w � w� � � �wk za nekoj k � �� kade xto za i � �� � � � k� pos�toi fi � F takvo xto �si� wi� j��

M��fi� ��� t�e� w � L�M��

�� Obratno�ako w � L�M��

�� togax ili w � � ili w � w� � � �wk� za nekoiw�� � � � � wk � L�M��� Vo prviot sluqaj w � L�M� zatoa xto s�� e

��

Page 63: Формални јазици

1F

1s>

M1

1s’

1s

F

>

M

λ

λ

λλ

Slika ����

zavrxna sostojba� a vo vtoriot w � L�M�� zatoa xto za nekoif�� � � � � fk � F�� �s

��� w� � � �wk� �M �s�� w� � � �wk� j�M �f�� w� � � �wk� j�M

�s�� w� � � � � wk� j�M �f�� w� � � �wk� j�M � � � j�M �fk� ��� Znaqi L�M� �L�M���

�g� Komplement� Neka M � �K��� �� s� F � e deterministiqki avtomat�Togax jazikot �� n L�M� e prepoznaen od avtomatot

M � �K��� �� s�K n F ��

�d� Presek� Ako L� i L� se jazici prepoznaeni od koneqni avtomatiM� i M�� soodvetno� togax

L� � L� � �� n ���� n L�� � ��� n L���

i L� �L� e prepoznaen od koneqen avtomat spored �a� i �g� od ovasvojstvo� �

Da zabeleime deka iako i dvata avtomati M� i M� na poqetokotmoat da bidat deterministiqki avtomati� vo opxt sluqaj do�bieniot koneqen avtomat e nedeterministiqki

Gornive svojstva moat da se iskoristat za da se rexat nekoi algo�ritamski problemi za koneqni avtomati� Narednoto svojstvo e� vsux�nost� svojstvo koe obezbeduva algoritam za odgovara�e na odredenipraxa�a vo vrska so jazici prepoznaeni so koneqni avtomati�

��

Page 64: Формални јазици

Teorema ��� Neka M�M��M� se koneqni avtomati i w � ��� Pos�tojat algoritmi za odgovara�e na slednive praxa�a

�a� Dali w � L�M��

�b� Dali L�M� � ���v� Dali L�M� � ���

�g� Dali L�M�� � L�M���

�d� Dali L�M�� � L�M���

Dokaz� Dokazot se sproveduva so pomox na prethodnata teorema� Pret�postavuvame deka vo sekoj od baranite sluqai rabotime so determi�nistiqki avtomati� zatoa xto pokaavme deka za sekoj nedeterminis�tiqi avtomat� postoi deterministiqki ekvivalenten so nego�

Vo sluqajot �a� dovolno e da ja sledime rabotata na daden zborw � ��� i posle jwj qekori da vidime dali poslednata dobiena sos�tojba pri rabotata na avtomatot e zavrxna� Bidejki stanuva zborza deterministiqki avtomat� sekoj qekor e ednoznaqno opredelen odvleznata bukva i sostojbata na avtomatot vo toj moment�

Za da proverime dali L�M� � � dovolno e da proverime dali pos�toi niza od posledovatelni strelki vo dijagramot na avtomatot kojavodi od poqetnata sostojba do zavrxna sostojba� xto e vozmono dase napravi poradi koneqnosta na avtomatot�

Za da odgovorime na praxa�eto pod �v�� konstruirame avtomat M ��takov xto L�M �� � �� nL�M�� i proveruvame dali L�M �� � ��

Za praxa�eto pod �g�� konstruirame koneqen deterministiqi av�tomat koj xto go prepoznava jazikot ���nL�M����L�M�� i proveruvamedali jazikot prepoznaen od ovoj avtomat e praznoto mnoestvo�

Na kraj� za da odgovorime na praxa�eto pod �d�� proveruvame daliL�M�� � L�M�� i dali L�M�� � L�M��� �

��

Page 65: Формални јазици

����� Koneqni avtomati i regularni jazici

Na krajot od ovoj del da ja razgledame vrskata pomegu koneqnite av�tomati i regularnite izrazi� Bidejki sekoj regularen izraz opre�deluva toqno opredelen regularen jazik� i obratno� sekoj regularenjazik opredeluva regularen izraz� vsuxnost ke ja razgledame vrskatapomegu jazicite prepoznaeni od koneqen avtomat i regularnite jazici�

Teorema ���� �Cleeny� Eden jazik e regularen akko e prepoznaen odkoneqen avtomat�

Dokaz� Da se potsetime deka klasata regularni jazici e minimal�nata klasa jazici xto gi sodri �� ednoelementnite podmnoestva odazbukata � i e zatvorena vo odnos na unija� konkatenacija i Klin�ieva �vezda� Spored Teoremata ������ klasata jazici prepoznaeni odkoneqen avtomat go sodri prazniot jazik� sekoj koneqen jazik i ezatvorena vo odnos na unija� konkatenacija i Klinieva �vezda� Znaqi�sekoj regularen jazik e prepoznaen od koneqen avtomat�

Neka M � �K��� �� s� F � e deterministiqki koneqen avtomat� Do�volno e da pokaeme deka postoi regularen jazik R� takov xto R �L�M�� L�M� ke go pretstavime kako koneqna unija od ednostavni jazicii ke pokaeme deka sekoj od ovie jazici e regularen� Neka K �fq�� � � � � qng� s � q�� Za i� j � �� � � � � n i k � �� � � � � n �� neka so R�i� j� k�bide oznaqeno mnoestvoto od zborovi od �� koe avtomatot M go vodiod qi vo qj bez da pomine niz sostojba qr� za r � k� Formalno�

R�i� j� k� � fx � ��j�qi� x� j�M �qj � ���i ako

�qi� x� j�M �ql� y� za nekoj y � ��� togax

l � k�ili y � � i l � j� ili y � x i l � ig�Koga k � n �� togax sleduva deka

R�i� j� n �� � fx � ��j�qi� x� j�M �qj � ��g�

Poradi toa

L�M� ��fR��� j� n ��jqj � Fg�

Bitno e da navedeme deka sekoe mnoestvo od oblik R�i� j� k� e re�gularen jazik� pa i L�M� e regularen� kako unija od regularni jazici�

Tvrde�eto deka R�i� j� k� e regularen za sekoj k � �� � � � � n � ke godokaeme so indukcija po k�

Za k � � imame

R�i� j� �� �

� f� � �j��qi� �� � qjg ako i � jf�g � f� � �j��qi� �� � qjg ako i � j

��

Page 66: Формални јазици

Neka tvrde�eto e toqno za sekoj k � �� � � � � s� t�e� sekoe od mnoes�tvata R�i� j� k� se definirani i pretstavuvaat regularen jazik� Togax

R�i� j� k �� � R�i� j� k� � R�i� k� k�R�k� k� k��R�k� j� k��

Ova ravenstvo pokauva deka ako sakame da stigneme od qi do qj bezda pomineme niz sostojba qr� za r pogolemo k� M moe ili

� da premine od qi vo qj bez da premine niz sostojba numerirana sobroj pogolem od k �� ili

� da premine

�a� od qi vo qk� potoa

�b� od qk vo qk so povtoruva�e na ovoj premin� i potoa

�v� od qk vo qj�

vo sekoj od sluqaite bez da pomine niz sostojba numerirana sobroj pogolem od k ��

Znaqi� sekoj od jazicite R�i� j� k� e regularen� pa i jazikot L�M��kako unija od regularni jazici� e regularen� �

Nie spomnavme deka postojat jazici koi ne se regularni� Gornivetehniki ni ovozmouvaat da pokaeme deka nekoj jazik e regularen�no nemame naqin da pokaeme deka nekoj jazik ne e regularen� Nared�nata teorema� nareqena Teorema za pumpa�e� ke obezbedi tehnika zadokauva�e deka nekoj jazik ne e regularen�

Teorema ���� �Teorema za pumpa�e� Neka L e beskoneqen regularenjazik� Togax postojat zborovi x� y i z� takvi xto y � � i za sekoj n � ��xynz � L�

Dokaz� Bidejki L e regularen� L e prepoznaen od koneqen deter�ministiqki avtomat M � Neka M ima n sostojbi� Od toa xto L ebeskoneqen� M prepoznava nekoj zbor w so dolina pogolema ili ed�nakva na n� Neka l � jwj� w � ���� � � ��l� kade xto �i � �� Da ja raz�gledame rabotata na M vrz zborot w�

�q�� �� � � ��l� �M � � � �M �ql��� �l� �M �ql� ��

kade xto q� e poqetnata sostojba� a ql e zavrxna sostojba naM � Bidejkil � n i M ima samo n sostojbi� postojat i i j� � � i � j � l� takvi xtoqi � qj� Znaqi nizata �i�� � � ��j ja doveduva maxinata M od sostojba qipovtorno vo istata sostojba qi� i ovaa niza e neprazna� bidejki i � � j�No� vo ovoj sluqaj� ovoj podzbor moe da se otstrani od w ili proizv�olen broj kopii na ovoj podzbor da se vnesat posledovatelno toqno po

Page 67: Формални јазици

j�tiot simbol vo w� i M ke go prepoznava novodobieniot zbor� ZnaqiM go prepoznava zborot �� � � ��i��i�� � � ��j�n�j�� � � ��l� za sekoj n � �� paako stavime x � �� � � ��i� y � �i�� � � ��j i z � �j�� � � ��l� togax

�q�� xynz� j�M �qi� y

n��z� j�M � � � j�M �qi� z� j�M �ql� ��� �

Narednite primeri ke ja ilustriraat primenata na ovaa teorema�Primer ��L� � fanbnjn � �g ne e regularen�Bidejki L� e beskoneqen jazik� na nego moe da se primeni teore�

mata za pumpa�e� Znaqi� postojat zborovi x� y i z� takvi xto y � � ixynz � L�� Vozmoni se tri sluqai�

Sluqaj �� y se sostoi od niza koja go sodri samo simbolot a� Togax x �ap� y � aq i z � arbs� kade xto p� r � � i q� s �� No� togax� Lmora da go sodri i zborot xynz � ap�qn�rbs za sekoj n � �� inajmnogu edna od ovie nizi ima ednakov broj na simboli a i b�

Sluqaj � Ako y se sostoi od niza koja go sodri samo simbolot b� to�gax� kako i vo sluqajot ��� se dokauva deka L mora da sodri izborovi vo koi brojot na pojavuva�a na a i b ne e ednakov�

Sluqaj �� Neka y sodri i simboli a i simboli b� Togax� za n �� xynz keima pojavuva�e na b xto mu prethodi na simbolot a� xto znaqi�xynz �� L�

Primer ��L� � fanjn e prost brojg ne e regularen jazik�Neka L� e regularen� Togax postojat x� y i z kako vo teoremata

za pumpa�e� x � ap� y � aq i z � ar� kade xto p� r � � i q �� Vo tojsluqaj� spored teoremata� i ap�nq�r � L� za sekoj n � �� xto znaqi dekaza sekoj n � � brojot p nq r e prost� xto ne e vozmono� Imeno� zan � p �q r � imame p nq r � �q �� � �p �q r�� t�e� e proizvodna dva broja pogolemi od ��

����� Zadaqi

�� NekaM e deterministiqki koneqen avtomat� Pod toqno koi uslovi� � L�M�� Da se dokae dobienoto tvrde�e�

�� Koi jazici se prepoznaeni so avtomatite prikaani so slednivedijagrami�

��

Page 68: Формални јазици

�a�

0q

q1

q2

q3

a

b

a

a,b

a,b

>b

Slika �� �

�b�

q1

q2

q3

0q

q4

a

a

b

a,b

a,b>

ba,b

Slika ����

��

Page 69: Формални јазици

�v�

0q

q3

q1

q2

a

b

a

a,b

>bb

a

Slika ����

�g�

q2

q3

q1

0q

a

b

a

a,b

>b

a

b

Slika ����

��

Page 70: Формални јазици

�d�

0q q1

q2

q3q4

q5

> b

b

a

a

a

a

b

b

aa,b

b

Slika ����

� Da se konstruira deterministiqki koneqen avtomat koj ke gi pre�poznava slednive jazici�

�a� fw � fa� bg�j na sekoj a vo w neposredno mu prethodi i po negosleduva b g�

�b� fw � fa� bg�jw go sodri podzborot ababg��v� fw � fa� bg�jw ne go sodri ni podzborot aa ni podzborot bbg��g� fw � fa� bg�jw neparen broj pojavuva�a na a i paren broj

pojavuva�a na bg��d� fw � fa� bg�jw gi sodri i ab i ba kako podzborovi g�

�� Koj od slednive zborovi e prepoznaen od navedeniot nedetermi�nistiqki koneqen avtomat�

Page 71: Формални јазици

�a� aa� aba� abb� ab� abab� kade xto avtomatot e prikaan so di�jagramot na sl� ����

b a

a

>

a

λ

bb

b

Slika ����

�b� ba� ab� bb� b� bba� kade xto avtomatot e prikaan so dija�gramot na sl� ����

λ

> bb

ab

b b

b

b

Slika ����

�� Konstruiraj nedeterministiqki koneqni avtomati �prikaani sonivnite dijagrami� koi ke gi prifakaat slednive jazici�

�a� �ab���ba�� � aa���b� ��ab � aab��a�����v� ��a�b�a���b���

�g� �ba � b�� � �bb � a���

��

Page 72: Формални јазици

�� Da se napixat regularnite izrazi za jazicite prepoznaeni odslednive nedeterministiqki koneqni avtomati�

�a�

> a

ab bb

Slika ����

�b�

a

b

>

aab

Slika ����

�v�

>

a

a

a

a

a aλ

Slika ����

��

Page 73: Формални јазици

�� Neka � � f�� �� � � � � g� Da se sostavi koneqen avtomat koj gi pre�poznava jazicite�

�a� fw � ��jw e broj deliv so � g��b� fw � ��jw e broj deliv so g��v� fw � ��jw e broj deliv so � g�

�� Konstruiraj deterministiqki avtomat ekvivalenten so nedeter�ministiqkiot prikaan so svojot dijagram na premin�

�a�

q3

q4q1

q2

0q>

ab

b

λ

ba

λa

Slika �� �

�b�

0q>aba bba

Slika ����

Objasni xto se sluquva koga algoritmot za premin od nedeter�ministiqi avtomat vo deterministiqki ke se primeni na deter�ministiqki avtomat�

�� Neka L�L� � ��� Da se opredeli koneqen avtomat koj go prepoz�nava jazikot�

�a� Pref�L� � fw � ��jx � wy za nekoi x � L� y � ��g� �mnoestvoprefiksi na L��

��

Page 74: Формални јазици

�b� Suf�L� � fw � ��jx � yw za nekoi x � L� y � ��g� �mnoestvosufiksi na L��

�v� Subseq�L� � fw�w� � � �wkjk � N�wj � �� za j � �� �� � � � � k ipostoi niza x � x�w�x�w� � � �wkxk vo Lg� �mnoestvo podnizina L��

�g� L�L� � fw � ��jwx � L za nekoj x � L�g� �mnoestvo desnikompleksi od L po L���

�d� Max�L� � fw � Ljx � � povlekuva wx �� Lg��g� LR � fwRjw � Lg�Pokai deka ako L e prepoznaen od nakoj koneqen avtomat� togaxprepoznaen e i sekoj od�

� Pref�L��

� Suf�L��

� Subseq�L��

� L�L�� kade xto i L� e prepoznaen od nekoj koneqen avtomat�

� L�L�� kade L� e proizvolen jazik�

� Max�L��

� LR�

��� Obrazloi dali postojat algoritmi koi odgovaraat na slednivepraxa�a za koneqnite avtomati M� i M��

�a� Dali L�M�� i L�M�� se disjunktni�

�b� Dali L�M�� i L�M�� se komplementarni� t�e� dali L�M�� ��� n L�M���

�v� Dali L�M��� � L�M���

��� Neka M � �K��� �� s� F �� Definirame serija ekvivalentnosti naK� ������ � � � ��n� � � � so�p �� q �� p i q se i dvete zavrxni ili i dvete nezavrxni sostojbi�

p �k�� q �� p �k q i za sekoj a � �� ��p� a� �k ��q� a��

Koga ke dobieme nekoj k� takov xto �k��k��� zapirame so kon�strukcijata na ekvivalentnostite i go formirame koneqniot av�tomat M � � �K ���� ��� s�� F ��� kade xto

K � � K� �n

���p�n � a� � ��p� a��n

��

Page 75: Формални јазици

s� � s�n

F � � fq�n jq � Fg�Da se proveri deka vai L�M� � L�M ��� Pritoa avtomatot M �

e avtomat so minimalen broj na sostojbi koj xto go prepoznavajazikot L�M��

Za avtomatot M � velime deka e minimalen koj xto go prepoznavajazikot L�M�� a samata konstrukcija ja vikame postapka za mini�mizacija na daden avtomat�

Da se minimizira avtomatot�

0q

q1 q2

q3q4

q5>

a,b

b

aa

ab

a,b

a,b

b

Slika ����

��� �a� Da se sostavi nedeterministiqki koneqen avtomat koj go pre�poznava jazikot �baa���baa����abb���

�b� Dobieniot avtomat da se pretvori vo deterministiqki ko�neqen avtomat�

�v� Avtomatot dobien pod �b� da se minimizira�

� � �a� Da se sostavi nedeterministiqki koneqen avtomat koj go pre�poznava jazikot� �a � b��aabab�

�b� Dobieniot avtomat da se pretvori vo deterministiqki ko�neqen avtomat�

�v� Avtomatot dobien pod �b� da se minimizira�

��

Page 76: Формални јазици

��� �a� Da se sostavi nedeterministiqki koneqen avtomat koj go pre�poznava jazikot� �ab � aab � aba���

�b� Da se konstruira deterministiqki koneqen avtomat ekviva�lenten so nedeterministiqkiot avtomat dobien pod �a��

�v� Dobieniot deterministiqki koneqen avtomat da se mini�mizira�

��� Da se dade direktna konstrukcija na avtomat kojxto ke prifakapresek na dva regularni jazika dadeni so soodvetni avtomati�

��� Da se konstruira dijagram na premin na koneqen avtomat koj kego prifaka komplementot na jazikot a�b�

��� Dokai deka jazikot L � fanbman�mjn�m � �g ne e regularen���� Da se dokae deka nitu eden od slednive jazici ne e regularen�

�a� L � fwwRjw � fa� bg�g��b� L � fwwjw � fa� bg�g��v� L � fwwjw � fa� bg�g i w e zbor dobien od w so zamena na

sekoe pojavuva�e na a so b� a na b so a�

��� Da se proveri toqnosta na slednive iskazi�

�a� Sekoe podmnoestvo od regularen jazik e regularen jazik�

�b� Sekoj regularen jazik sodri regularen jazik kako vistin�sko podmnoestvo�

�v� Ako L e regularen jazik� togax i fxyjx � L� y �� Lg e regula�ren�

�g� fwjw � wRg e regularen jazik�

�d� Proizvolna unija od regularni jazici e regularen jazik�

Page 77: Формални јазици

� Gramatiki i Push�down avtomati

Vo ovoj del ke se zapoznaeme so drug metod za pretstavuva�e na jazicinad dadena azbuka �� t�e� ke vovedeme poim za gramatika i jazikgeneriran od gramatika� Potoa ke se zapoznaeme so razliqni vi�dovi gramatiki i so podelba na jazicite vo zavisnost od vidot nagramatikata od koja e generiran� Posebno ke se zadrime na takanareqenite kontekstno slobodni gramatiki ili KS�gramatiki i reg�ularnite gramatiki� Ke definirame push down avtomati� ke pokaemedeka regularnite gramatiki gi generiraat regularnite jazici i kedademe vrska pomegu push down avtomatite i kontekstno slobodnitegramatiki�

��� Jazici generirani od gramatiki

����� Gramatiki

Poimot �formalna gramatika� najopxto moe da se interpretira kakoalgoritam koj ovozmouva da se opredeli jazik nad dadena azbuka�Pritoa� vozmono e�

� Da oznaquva monost za daden zbor od jazikot da postoi takovnaqin na rabota na algoritmot xto na krajot od rabotata naalgoritmot da se dobie ��generira�� zbor od zadadeniot jazik�Ako nekoj zbor ne e od jazikot� togax so ovaa postapka toj nemoe da bide generiran�

� Da se dade algoritam� koj na krajot od svojata rabota ke dadeodgovor na praxa�eto dali daden zbor e od jazikot ili ne�

ili

� Algoritmot da go �prebroi� jazikot� t�e� da se dade takov algo�ritam� xto na krajot se dobiva podredena niza zborovi vo kojamoe da se najde sekoj zbor od zadadeniot jazik� no ne i zbor xtone pripaga na jazikot�

Vo ovoj del nie ke go izbereme prviot naqin na opredeluva�e for�malni gramatiki� taka nareqeni generativni gramatiki� Imeno� for�malna gramatika ili samo gramatika G e podredena qetvorka G ��V��� S� R�� kade xto

� V �� � � i V i � se koneqni mnoestva�

� S � V e poqeten neterminal�

� R e koneqno mnoestvo zborovi od oblik v � w� kade xtov� w � �V � ����� e simbol xto ne e vo V � ��

��

Page 78: Формални јазици

Za � velime deka e osnovna azbuka ili azbuka od terminalni sim�boli� a za V deka e pomoxna azbuka na gramatikata G ili azbukaod neterminalni simboli� S e poqeten simbol od G� R e mnoestvopravila za generira�e zborovi i se vika xema ili programa na gra�matikata G� Sekoj qlen od R se vika pravilo� v se vika leva strana�a w desna strana na praviloto v � w� Mnoestvoto V � � se vikapotpolna azbuka na gramatikata G�

Neka r � v � w e pravilo i neka � � v � e nastapuva�e na v vozborot s � �v od azbukata V ��� Vo toj sluqaj za zborot t � � �w �velime deka e dobien od s so primena na praviloto r�

Ako t se dobiva od s so primena na edno pravilo od G� pixuvames�G t ili samo s� t�

Za nizata zborovi s�� s�� � � � sn velime deka e izvod na sn od s� vogramatikata G ako za sekoj � � i � n vai si�� � si� Brojot n se vikadol�ina na izvodot na sn od s� vo G� i pritoa pixuvame s��G

�snili samo s� �� sn� Za izvodot s�� s�� � � � � sn velime deka e potpoln akos� � S e poqetniot simbol na G� a sn � ���

Jazikot L�G� generiran od gramatikata G se sostoi od site zboroviod �� koi imaat potpoln izvod vo G� t�e

L�G� � fw � ��jS �� wg�Primer ��Neka e zadadena gramatikata

G � �fS�B�C�Dg� fa� b� cg� S�

fS � BCS�BCB � D�BC � bc�DC � a� cS � c� aS � ag��Primer na potpoln izvod vo G e nizata�S�BCS�BCBCS�BCBCBCS�BCDCS�BCDCBCS�BCDCbcS�BCabcS�

bcabcS� bcabc�Znaqi� bcabc � L�G��Za gramatikata G velime deka e kontekstno osetliva ili kontek�

stno zavisna ako sekoe nejzino pravilo e od oblik �A � �w� kadexto �� � �V � ���� A � V�w � �V �����

Vo suxtina ovie pravila se takvi xto zamenata na simbol A od Vzavisi od �kontekstot� vo koj se naoga simbolot A� pa ottuka i imetona ovoj tip gramatiki�

Ako vo praviloto r � �A � �w� �� � �� togax velime deka toae bezkontekstno pravilo� Za gramatikata G velime deka e kontek�stno slobodna ako site nejzini pravila se bezkontekstni� Kontekstnoslobodnite gramatiki pokratko ke gi vikame KS�gramatiki�

Za KS�gramatikata G velime deka e regularna ili R�gramatika akosekoe nejzino pravilo e od oblik A � aB�A � a kade xto A�B � V aa � ��

��

Page 79: Формални јазици

Zabelexka� Vo literaturata se sretnuva i slednata defiicija naregularna gramatika� G e regularna gramatika ako sekoe nejzinopravilo e od oblik A � wB� A � w� kade xto A�B � V a w � ���Se pokauva deka ovie definicii se ekvivalentni�

Vo zavisnost od tipot na gramatikata so koja e generiran nekojjazik� tie se delat na kontekstno zavisni jazici� kontekstno slobodnijazici i R�jazici� pritoa eden jazik e kontekstno osetliv �kontekstnosloboden� R�jazik� ako postoi kontekstno zavisna �KS� R� gramatikaxto go generira jazikot� sodvetno�

Da zabeleime deka postoi vrska pomegu regularnite jazici i jazicitegenerirani od R�gramatiki� Imeno� ke pokaeme deka klasta jazicigenerirani od R�gramatiki e toqno klasata regularni jazici� Zatoane e vo protivreqnost nazivot �regularen jazik� za jazik generiran odR�gramatika� pa natamu i R�jazicite ke gi vikame regularni jazici�

Primeri�

� Sekoj neprazen koneqen jazik

L � fs�� s�� � � � � skg�kade xto si � ��� e generiran od R�gramatikata

G � �fSg��� S� fS � s�� � � � � S � skg�� kade xto si � ���

Prazniot jazik e generiran od R�gramatikata

G � �fSg��� S� fS � aSg��

kade xto a � ��

� Neka � e proizvolna azbuka� Togax jazikot L � �� e generiranod R�gramatikata

G � �fSg��� S� fS � aS� S � aja � �g��

� Sekoja aritmetiqka progresija vo N � kade xto prirodnite broevise vo unaren zapis� e generirana od R�gramatika� Imeno� akok � N�� l � �� �� � � � � k �� togax fkn ljn � N�g e aritmetiqkaprogresija� Gramatikata

G � �fA� � S�A�� � � � � Ak��� B�� � � �Bl��g� fjg� S� fA� � jA�� � � �

� � � � Ak�� � jAk��� Ak�� � jA�� A� � jB�� � � � � Bl�� � jBl��� Bl�� � jg��Ako l � �� togax poslednite l�pravila se zamenuvaat so A� � j� aako l � �� so Ak�� � j�

��

Page 80: Формални јазици

� Jazikot a�b� e generiran od R�gramatika

G � �fS�Bg� fa� bg� S� fS� aS� S � aB�B � bB�B � bg��

� Jazikot fanbnjn � N�g e generiran od KS�gramatika

G � �fSg� fa� bg� S� fS � aSb� S � abg��

� Jazikot

�a� fanbnamjm�n � N�g e generiran od KS� gramatikata

G � �fS�Ag� fa� bg� S� fS � Sa� S � Aa�A� aAb�A� abg��

�b� fambnanjm�n � N�g e generiran od KS� gramatikata

G � �fS�Ag� fa� bg� S� fS � aS� S � aA�A� bAa�A� bag��

� Mnoestvoto od site moni pravilno postavei zagradi �� � e ge�neriran od KS�gramatikata

G � �fSg� f�� �g� S� fS � SS� S � �S�� S � � �g��

�� Jazikot L vo azbukata � � fa� bg� xto gi sodri site nepraznizborovi od � koi sodrat ednakov broj na pojavuva�a na bukvitea i b e generiran od KS�gramatikata

G � �fSg� fa� bg� S� fS� SS� S � aSb� S � bSa� S � ab� S � bag��

Jasno e deka sekoj zbor generiran od gramatikata G e od bara�niot oblik� So indukcija po dolina na zborovite od L ke godokaeme obratnoto tvrde�e�

Neka jwj � �� Togax w � ab ili w � ba� pa w e generiran odgramatikata G�

Neka tvrde�eto e toqno za sekoj zbor t od L takov xto jtj � �ki jtj � n i neka jwj � �s � n� Togax� w � fa�b� ba� ��g� kade xto�� � �� � � L i j�j� jj� j�j� j�j � �s� pa spored induktivnata pret�postavka postoi izvod na �� � �� � vo G� pri xto S se pojavuva vosekoj od ovie zborovi� So primena na uxte edno pravilo �sood�vetno� se dobiva zborot w�

�� Jazikot L � fxxRjx � ��g� kade xto xR e inverzijata na x vo � egeneriran od KS�gramatikata

G � �fSg��� S� fS � aSa� S � aaja � �g��

Page 81: Формални јазици

�� Jazikot L � fanbnanjn � Ng e generiran od gramatikata

G � �fS�Bg� fa� bg� S� fS � aSBa� S � aba� aB � Ba� bB � bbg��

Zabelexka� Ovaa gramatika ne e KS�gramatika bidejki bB � bbne e kontekstno slobodno pravilo� no ne e ni kontekstno osetliva�bidejki praviloto aB � Ba ne e kontekstno osetlivo�

Vo sekoj izvod vo G samo na edno mesto moe da se primeni prav�iloto S � aba� Togax� se dobiva zbor od oblik anbw� kade xto wsodri n nastapuva�a na a i n � na B� Za da se dobie potpolnizvod potrebno e site simboli B da se najdat zaedno po simbolotb� xto se postignuva so posledovatelna primena na pravilotoaB � Ba� Duri potota moe da se primeni praviloto bB � bb� itoa dodeka ne se zamenat site simboli B so terminalniot simbolb�

Teorema ����� Klasata jazici generirani od gramatiki se sovpa�ga soklasata rekurzivno prebroivi jazici �t�e� jazici qija karakteristiqnafunkcija e rekurzivna�� �

Zabelexka� Od svojstvata dadeni vo vtorata glava� kako i od gor�nava teorema� neposredno sleduva deka klasata prepoznaena od Tjuringovimaxini� kako i klasata jazici prepoznaena so normalni algoritmi� sesovpaga so klasata jazici generirani od gramatiki�

����� Regularni i kontekstno slobodni jazici

Vo ovoj del ke go opravdame terminot �regularna gramatika�� t�e� kepokaeme deka klasata jazici generirani od R�gramatiki e toqno kla�sata regularni jazici �t�e� jazici prepoznaeni od koneqni avtomati��

Da zabeleime deka klasata jazici generirani od R�gramatiki epotklasa od klasata KS�jazici� Zemajki go predvid svojstvoto xtosleduva� kako i primerot �� ke sleduva deka klasata R�jazici e vistin�ska potklasa od klasta KS�jazici�

Teorema ����� Eden jazik e regularen ako i samo ako e generiran odR�gramatika�

Dokaz� Neka L e regularen jazik i nekaM � �K��� �� s� F � e determi�nistiqki koneqen avtomat xto go prepoznava jazikot L� t�e� L�M� � L�Definirame regularna gramatika G � �V��� S� R�� kade xto

� V � K�

� S � s�

� R � fq � apj��q� a� � pg � fq � �jq � Fg�

��

Page 82: Формални јазици

Znaqi pravilata na gramatikata ja imitiraat rabotata na maxinata�Treba da dokaeme deka L�M� � L�G��Neka w � L�M�� Togax

�s� w�j�M �p� ���

za nekoj p � F � paS �� wp� w�

t�e� w � L�G��Ako� pak� w � L�G�� togax S �� w� t�e� s�� w i� pritoa� poslednoto

upotrebeno pravilo mora da bide od oblik p� �� za nekoj p � F � No�togax �s� w� j� �p� �� i w � L�M��

Obratno� neka G � �V��� S� R� e regularna gramatika� Ke defini�rame nedeterministiqki koneqen avtomat M � takov xto L�M� � L�G��Neka M � �K����� s� F �� kade xto�

� K � V � ffg� pri xto f e nov simbol�

� s � S�

� F � ffg�� � � f�A�w�B�jA� wB � R�A�B � V�w � ��g�f�A�w� f�jA� w � R�A � V�w � ��g�

Povtorno� maxinata e konstruirana taka xto go imitira izvodotna zborovite generirani od gramatikata�

Kako i pogore� i vo ovoj sluqaj lesno se proveruva toqnosta naravenstvoto L�M� � L�G� ��

Znaqi klasata jazici generirani od R�gramatiki e toqno klasataregularni jazici� Bidejki jazikot od primerot � e generiran od KS�gramatika i ne e regularen �xto pokaavme porano so koriste�e nateoremata za pumpa�e za regularni jazici�� sleduva deka klasata R�jazici e vistinska potklasa od klasata KS�jazici�

��� Push�down avtomati

Vidovme porano deka klasata regularni jazici se sovpaga so klasatajazici prepoznaeni od koneqni avtomati� kako i so klasata R�jazici�no deka e vistinska potklasa od klasata KS�jazici� Sakame da kon�struirame specijalni avtomati koi ke gi prepoznavaat toqno KS�jazicite i ke bidat obopxtuva�e na koneqnite avtomati� Vakvite av�tomati se vikaat push�down avtomati� Ovie avtomati vo opxt sluqajke bidat nedeterministiqki i� za razlika od sluqajot kaj koneqni av�tomati� ke postojat KS�jazici koi nema da moe da bidat prepoznaeniod �deterministiqki� push�down avtomati�

��

Page 83: Формални јазици

����� Push�down avtomati

Vo ovoj oddel ke dademe obopxtuva�e na poimot koneqen avtomat�Idejata e da se vovede naqin na smestuva�e na simboli vo �sklad��stack� i so pomox na kontrola da se obezbedi slede�e na redosle�dot na skladiranite simboli� Pritoa� posledniot simbol smesten voskladot e najgore i moe prv da se izvadi od skladot�

Precizno� push�down avtomat e podredena xestorkaM � �K������� s� F ��kade xto�

� K e koneqno mnoestvo sostojbi�

� � e azbuka od vlezni simboli�

� � e mnoestvo simboli od skladot �stack symbols��

� s � K e poqetna sostojba�

� F � K e mnoestvo zavrxni sostojbi�

� � e relacija na premin� t�e� koneqno podmnoestvo od

�K ��� � ���� �K � ����

Intuitivno gledano� ako ��p� u� �� �q� ��� � �� togax sekogax koga Me vo sostojba p� go gleda zborot u na lentata i e na vrvot od skladot�maxinata go qita zborot u� preminuva vo sostojba q� odi edno mestona desno i vo skladot go zamenuva so ��

Parot ��p� u� �� �q� ��� se vika premin na M �Vaka definiranite avtomati ovozmouvaat simbol da se dodade

ili da se izvadi od skladot� Imeno� preminot ��p� u� ��� �q� a�� do�dava simbol a� dodeka preminot ��p� u� a�� �q� ��� go vadi simbolot a odskladot�

Kako i kaj koneqnite avtomati� push�down avtomatite moat samo daprepoznavaat zbor od daden jazik i poqetniot� veke proqitan� podzborne vlijae na natamoxnata rabota na avtomatot� Vo soglasnost so ovakonfiguracija na push�down avtomat e element od K ��� � ��� pritoa�prviot element e sostojbata vo koja se naoga avtomatot vo dadeniotmoment� vtoriot e zborot koj doprva treba da go proqita� a tretiot esodrinata na skladot�

Na primer� �q� w� abc� e konfiguracija na M takva xto M e vo sos�tojba q� go gleda najleviot simbol od zborot w� a e na vrvot� a c nadnoto od skladot�

Definirame relacija �M vo K ��� � �� na sledniov naqin�

�p� ux� �� �M �q� x� ����

��

Page 84: Формални јазици

za sekoj x � ��� � � ��� ��p� u� �� �q� ��� � ��Refleksivnoto i tranzitivno zatvora�e na �M go oznaquvame so

j�M �Velime dekaM go prepoznava zborot w � �� ako i samo ako �s� w� �� j�

�p� �� ��� kade xto p � F �Znaqi jazikot L�M� prepoznaen od avtomatot M e definiran so�

L�M� � fw � ��j�s� w� �� j� �p� �� ��� p � Fg�Primeri�

� Da konstruirame push�down avtomat kojxto go prepoznava jazikotL � fwcwRjw � fa� bg�g� Avtomatot M � �K������� s� F �� kade xto

� K � fs� fg�� � � fa� b� cg�� � � fa� bg�� F � ffg�� � � f��s� a� ��� �s� a��� ��s� b� ��� �s� b��� ��s� c� ��� �f� ������f� a� a�� �f� ���� ��f� b� b�� �f� ���g�

Kako raboti ovoj avtomat�

Ako vlezniot zbor na lentata e wcwR� togax se dodeka ne stignedo simbolot c� avtomatot e vo poqetnata sostojba i gi smestuvapo redosled na qita�e simbolite a i b vo skladot� Koga ke stignedo simbolot c� preminuva vo zavrxnata sostojba f i nitu vnesuvanitu iznesuva simbol od skladot� Natamu� go qita sekoj naredensimbol� go sporeduva so najgorniot simbol vo skladot i ako tiese sovpagaat go vadi soodvetniot simbol od skladot i postapkataprodoluva so qita�e na naredniot simbol od lentata� Bidejkivlezniot simbol e od baraniot oblik� na kraj ke go isprazniskladot i ke ostane vo zavrxnata sostojba f � Ako zborot ne eod dadeniot oblik� avtomatot ili nikogax nema da stigne dozavrxnata sostojba f ili� pak� nema da go isprazni skladot�

Na primer� ako vlezniot zbor e abbcbba� togax� �s� abbcbba� �� ��s� bbcbba� a� � �s� bcbba� ba� � �s� cbba� bba� �� �f� bba� bba� � �f� ba� ba� � �f� a� a� � �f� �� ���

� Da konstruirame push�down avtomat kojxto ke go prepoznava jazikotL � fwwRjw � fa� bg�g� Baraniot avtomat ne se razlikuva mnoguod onoj vo primerot �� Imeno

M � �K������� s� F ��

kade xto�

��

Page 85: Формални јазици

� K � fs� fg�� � � fa� bg�� � � fa� bg�� F � ffg�� � � f��s� a� ��� �s� a��� ��s� b� ��� �s� b��� ��s� �� ��� �f� ������f� a� a�� �f� ���� ��f� b� b�� �f� ���g�

Vo ovoj sluqaj preminot ��s� �� ��� �f� ��� moe da se primeni vosekoj moment� pa zatoa ovoj avtomat e nedeterministiqki� Bitnoe deka ako vlezniot zbor e od baraniot oblik postoi niza pre�mini koja od poqetnata sostojba s i prazen sklad� po qita�e nazborot go doveduva avtomatot do zavrxnata sostojba i prazensklad� Megutoa� postojat nizi premini i pri zbor od baraniotoblik koi nema da dovedat do zavrxna sostojba ili do zavrxnasostojba i prazen sklad� Znaqi� za avtomatot da prepoznae nekojzbor od dadenata azbuka potrebno e da postoi niza premini koiod poqetnata sostojba i prazen sklad� po qita�e na zborot ke jadovedat maxinata do zavrxna sostojba i prazen sklad�

����� Push�down avtomati i KS�gramatiki

Vo ovoj oddel ke ja pokaeme vrskata pomegu KS�jazici i push�downavtomati� Pred da go iskaeme i dokaeme osnovnoto svojstvo kevovedeme nekoi pomoxni poimi i lemi�

Neka G � �V��� S� R� e KS�gramatika� Togax� kako xto definiravmeporano w � L�G� ako i samo ako w � �� i postoi izvod

S � w� � w� � � � � � wn�� � w�

za nekoi wi � �V � ���� i � �� �� � � � � n �� n ��Za eden izvod vo G velime deka e lev izvod ako vo sekoj qekor zamena

se izveduva na prviot od levo neterminalen simbol vo zborot�Na primer� ako G � �fSg� f�� �g� S� fS � �� S � SS� S � �S�g�� togax

S � SS � �S�S � � �S � � ��S�� � �� �

e lev izvod na � �� �� dodeka

S � SS � S�S�� �S��S�� � ��S�� � �� �

ne e lev izvod vo G na istiot zbor � �� ��Formalno ke pixuvame v �L w� kade v� w � �V � ��� akko vo ovoj

qekor e primeneto pravilo od G na najleviot neterminal� a w� ��L wnako e daden lev izvod na wn od w� vo G�

��

Page 86: Формални јазици

Lema ����� Za sekoja KS�gramatika G i zbor w � ��� S �� w akkoS ��L w�

Dokaz� Vo ednata nasoka� t�e� akko postoi lev izvod na w vo G�togax postoi i izvod na w vo G tvrde�eto e oqigledno toqno� Zatoada ja dokaeme vtorata nasoka�

Nekaw� � w� � � � � � wn

e izvod vo G na wn od w�� pri xto wn � ��� Ako ovoj izvod e lev izvod�togax tvrde�eto e toqno� Zatoa� neka k e najmaliot priroden brojtakov xto preminot wk � wk�� ne e izvrxen na najleviot neterminalvo wk� Ke definirame nov izvod vo G na wn od w��

w�� � w�

� � � � � � w�n

takov xto w�� � w� i w�

n � wn� vo koj ako preminot w�k� � w�

k��� ne e levpremin� togax k� k� Od tuka tvrde�eto ke sleduva so indukcija�

Neka wk � wk�� ne e lev premin� Togax wk e od oblik �AB�� kadexto � � ��� � � � �V � ���� A�B � V i wk�� � �A��� kade B � � epraviloto primeneto vo preminot� Bidejki wn � ��� k � � n� togaxpostoi pravilo primeneto po k�tiot qekor so koe pojavuva�eto na A ezameneto� Neka l e najmaliot priroden broj l k takvo xto wl � �A�za nekoj � � �V � ��� i wl�� � ���� kade xto e primeneto pravilotoA � �� Togax B� �� � vo l k qekori i moeme da gi zamenimeprimenite na pravilata B � � i A� � na sledniov naqin�

� w� ��L wk � �AB� vo k qekori�

� �AB� �L ��B� vo � qekor�

� ��B� �� ��� vo l k qekori�

� ����� wn vo n l � qekor�

Noviot izvod e povtorno so dolina n i zapoqnuva so najmalku k �levi premini� �

Ovaa lema ovozmouva polesno da se sprovedat dokazite na os�tanatite svojstva� taka xto namesto so opxt izvod na zbor vo KS�gramatika G� ke rabotime samo so levi izvodi� pri xto nema da seizgubi od opxtosta na tvrde�eto�

Isto taka� polezno e da se kombiniraat dva premini vo push downavtomat M vo eden� poradi xto potrebna ni e narednata lema�

Lema ����� Ako M e push�down avtomat i �q�� w�� ��� j� �q�� �� ��� i�q�� w�� ����� j� �q�� �� ���� togax �q�� w�w�� ����� j� �q�� �� ����

Specijalno� ako �q�� w�� ��� j� �q�� �� �� i �q�� w�� ��� j� �q�� �� ��� togax�q�� w�w�� ����� j� �q�� �� ��� �

Page 87: Формални јазици

Dokazot na ova svojstvo e ednostaven i e ostaven kako zadaqa�Narednoto svojstvo e osnovnata teorema od ovoj del koja ja dava

vrskata pomegu KS�jazicite i push�down avtomatite�

Teorema ����� Klasata jazici prepoznaena od push�down avtomati etoqno klasta kontekstno slobodni jazici�

Dokazot na ovaa teorema ke go podelime na dva dela preku nared�nite dve lemi�

Lema ���� Sekoj kontekstno sloboden jazik e prepoznaen od nekoj push�down avtomat�

Dokaz� Neka G � �V��� S� R� e kontekstno slobodna gramatika� Kekonstruirame push�down avtomat M � takov xto L�M� � L�G�� Avtoma�tot xto ke go konstruirame ke ima samo dve sostojbi p i q i ke ostanuvapermanento vo sostojbata q posle prviot qekor� Imeno

M � �fp� qg��� V ����� p� fqg��

kade xto � gi sodri slednive relacii�

� ��p� �� ��� �q� S���

� ��q� �� A�� �q� x��� za sekoe pravilo A� x vo R�

��q� a� a�� �q� ���� za sekoj a � ��

Ovoj avtomat zapoqnuva so smestuva�e na S vo skladot kojxto eprazen i preminuva vo sostojbata q� Vo sekoj nareden qekor� ili gozamenuva najgorniot simbol A od skladot so desnata strana na prav�iloto A � x od R ili go vadi najgorniot simbol od skladot dokolkutoj e terminalen simbol i e ednakov so sledniot vlezen simbol� Av�tomatot e konstruiran taka xto pri svojata rabota imitira lev izvodna gramatikata G�

Za da dokaeme deka L�M� � L�G�� treba da gi dokaeme slednivedve tvrde�a�

Tvrde�e �� Ako S ��L ����� kade xto �� � �� i �� � V �V �����f�g�togax �q� ��� S� j� �q� �� ����

Tvrde�e �� Ako �q� ��� S� j� �q� �� ���� kade xto �� � �� i �� ��V � ���� togax S ��L �����

Lemata e direktna posledica od ovie dve tvrde�a vo sluqaj �� � ��Dokaz na Tvrde�eto �� Neka S ��L � kade xto � � ����� �� � ��

i �� � V �V � ��� � f�g� Ke go dokaeme tvrde�eto � so indukcija podolinata na izvodot na � od S�

Ako izvodot e so dolina �� Togax S � �� pa �� � � i �� � S� notogax jasno e deka �q� ��� S� j� �q� �� ����

��

Page 88: Формални јазици

Da pretpostavime deka tvrde�eto e toqno za sekoj lev izvod sodolina pomala ili ednakva na n� kade xto n � ��

NekaS � u� �L u� �L � � � �L un�� � �

e lev izvod na � od S vo G so dolina n �� i neka �� i �� se kako xtoe navedeno pogore� Togax e jasno deka un ima barem eden neterminali pritoa un � �A�� a un�� � ���� kade xto � � ��� A � V i A � ��Spored induktivnata pretpostavka

�q� �� S� j� �q� �� A��� ����

no poradi A� �� ��q� �� A�� �q� ��� e premin vo M od vidot �� pa

�q� �� A�� j� �q� �� ���� ����

No� od � � ���� kade xto � � �� i� isto taka� � � ����� sleduvadeka �� e ili � ili zapoqnuva so neterminal� Znaqi j��j � j�j ij��j � j��j� i moeme �� da go zapixeme kako �� za nekoj � � �� takovxto ��� � ��� Znaqi�

�q� �� ��� j� �q� �� ��� ����

spored preminot od tip � Od ����� ���� i ����� spored Lema �����dobivame

�q� ��� S� � �q� ��� S�

j� �q� �A��

� �q� �� ���

j� �q� �� ���

i so toa e zavrxen dokazot na qekorot na indukcija�Dokaz na tvrde�eto �� Da pretpostavime� sega� deka �q� ��� S� j�

�q� �� ���� pri xto �� � �� i �� � �V ����� Ke pokaeme deka S ��L �����Povtorno dokazot ke go sprovedeme so indukcija� no ovoj pat po brojotna qekori na avtomatot M �

Ako �q� ��� S� j� �q� �� ��� vo nula qekori� togax e jasno deka �q� ��� S� ��q� �� ���� pa �� � �� a �� � S� xto znaqi deka S ��L �����

Da pretpostavime deka ako �q� ��� S� j� �q� �� ��� e dobieno so n ilipomalku od n qekori� n � �� togax S ��L �����

Da go dokaeme tvrde�eto ako �q� ��� S� j� �q� �� ��� e dobieno so n �qekori� Imeno� vo ovoj sluqaj za nekoj � ��� � � ��� �q� ��� S� j� �q� � ��e dobieno so n qekori i �q� � �� � �q� �� ���� Pritoa� ovoj posleden qekore rezultat na premin od tipot � ili od tipot �

Ako posledniot premin bil od tipot �� togax � �� � � A�� i�� � ���� za nekoj A � V� �� � �V � ��� i nekoe pravilo od oblik A� ��

��

Page 89: Формални јазици

Bidejki od induktivnata pretpostavka imame S ��L ��A��� dobivameS ��L ����� � �����

Ako� pak� posledniot premin bil od tipot � togax � a e ter�minalen simbol� a � � a��� Togax �� � �a� za nekoj � � ��� i�q� �� S� j� �q� �� a��� vo n qekori� pa spored induktivnata pretpostavkaS ��L �a�� � �����

So ova e dokaano i tvrde�eto ��� xto znaqi i lemata ���� � Os�tanuva da se dokae obratnata nasoka na Teoremata� �

Lema ����� Ako eden jazik e prepoznaen od push�down avtomat� togaxtoj e kontekstno sloboden jazik�

Dokaz� Pogodno e da se zadrime na poednostaven vid push�downavtomat� Imeno� za push�down avtomatot M � �K������� s� F � velimedeka e ednostaven ako se ispolneti slednive dva uslova�

��� ako ��q� u� �� �p� ��� e premin vo �� togax jj � ��

��� ako ��q� u� ��� �p� ��� � �� togax i ��q� u� A�� �p� �A�� � �� za sekojA � ��

So drugi zborovi ��� znaqi deka ako maxinata go proveruva skladot�togax go proveruva i eventualno go izvlekuva samo najgorniot simbol�dodeka ��� znaqi deka ako avtomatot moe da se pridvii bez proverkana skladot� toj toa moe da go napravi i so istovremeno izvlekuva�ei vnesuva�e na istiot najgoren simbol vo nego� Tvrdime deka ne segubi od opxtosta na dokazot so ova ograniquva�e na razgleduvaniotavtomat�

Neka M � �K������� s� F � e proizvolen push�down avtomat� Ke kon�struirame ednostaven push�down avtomat koj ke go prepoznava istiotjazik L�M��

Prvo gi otstranuvame od � site premini ��q� u� �� �p� ��� kaj koijj �� Ova se obezbeduva so modifikacija na M da izvlekuva samopoedineqni simboli od � namesto da gi otstrani site vo eden qekor�Poprecizno� ako � B�B� � � �Bn� kade xto n � i B�� B�� � � � � Bn � ��togax na K se dodavaat novi sostojbi t�� t�� � � � � tn��� a edinstveniotpremin ��q� u� �� �p� ��� od � se zamenuva so preminite�

��q� ��B��� �t�� ���

��t�� �� B��� �t�� ���

���

��tn��� u� Bn�� �p� ���

Sliqna modifikacija na preminite vo � se pravi dokolku tiego naruxuvaat uslovot ��� za ednostavnost na avtomatot� Za da se

��

Page 90: Формални јазици

obezbedi uslovot ���� na � samo i gi dodavame preminite ��q� u� A�� �p� �A��za sekoj A � �� sekogax koga ��q� u� ��� �p� ��� e premin vo �� Jasno e dekadobieniot avtomat e ednostaven i go prepoznava istiot jazik kako iM �

Ostanuva da pokaeme deka ako M e proizvolen ednostaven push�down avtomat� togax postoi KS�gramatika G xto go generira jazikotL�M��

Konstruirame kontekstno slobodna gramatika G � �V��� S� R�� kadexto V sodri simbol S i novi simboli hq� A� pi � za sekoi q� p � K isekoj A � ��f�g� Za da se razbere ulogata na novite neterminali� dase potsetime deka G treba da gi generira toqno onie zborovi xto giprepoznava M �

Pravilata od R se od slednive qetiri tipa�

�� Za sekoj f � F � pravilo od oblik S � hs� �� fi��� Za sekoj premin ��q� u� A�� �r� B�B� � � �Bn�� � �� kade xto q� r �

K�u � ��� n �� B�� B�� � � � � Bn � �� i A � � � f�g� i za sitep� q�� � � � � qn�� � K� pravilo od oblik

hq� A� pi � uhr� B�� q�ihq�� B�� q�i � � � hqn��� Bn� pi�

� Za sekoj premin ��q� u� A�� �r� ��� � �� kade xto A � � � f�g� i zasite p � K� pravilo od oblik

hq� A� pi � uhr� �� pi�

�� Za sekoj q � K� pravilo od oblik

hq� �� qi � ��

Da zabeleime deka od faktot xto M e ednostavna� samo edno odpravilata od oblik �� ili � se primenuvaat za sekoj premin vo M �

Vo suxtina� praviloto od tip �� ima za cel da premine od poqetntasostojba vo zavrxna sostojba� pritoa ostavajki go skladot vo istasostojba na krajot� vo koja bil i na poqetokot� Praviloto od tip ��veli deka e potreben premin od edna sostojba vo sebe� Pravilo odtip �� opixuva dolg premin so efekt na premin od sostojbata q vosostojbata p� pri xto od skladot go izvlekuva neterminalot A �ilieventualno �� Desnata strana na pravilo od tipot �� pretstavuva n � � � pokratki premini naM � od koi prviot e edinstveno preminuva�evo sostojbata r dodeka go qita vlezniot simbol u� a ostanatite n semegu premini koi imaat za cel da gi izvleqat B�� � � � � Bn od skladot�Praviloto od tip � e po analogija na praviloto od tip �� za n � ��

Page 91: Формални јазици

t�e simbol �ili �� e odstranet od skladot i vo nego ne e vnesen novsimbol�

Za da go dokaeme tvrde�eto od lemata� vsuxnost treba da godokaeme slednoto tvrde�e�

Tvrde�e� Za sekoi q� p � K�A � � � f�g i x � ��� toqno e

hq� A� pi �� x akko �q� x� A� j� �p� �� ���

Vo ednata nasoka dokazot se sproveduva so indukcija po dolinatana izvodot vo G� a vo drugata so indukcija po dolina na brojot napremini vo avtomatot M � Dokazot ke mu go ostavime na qitatelotkako zadaqa� �

��� Svojstva na kontekstno slobodnite jazici

Vo ovoj posleden del ke razgledame nekolku svojstva na kontekstnoslobodnite jazici i ke pokaeme deka postoi jazik generiran od gra�matika xto ne e kontekstno sloboden�

����� Svojstva na zatvorenost na KS�jazici vo odnos nanekoi operacii so mno�estva

Teorema ���� Kontekstno slobodnite jazici se zatvoreni vo odnosna unija� konkatenacija i Klinieva �vezda�

Dokaz� Neka G� � �V����� S�� R�� i G� � �V����� S�� R�� se kontekstnoslobodni gramatiki i neka V� � V� � ��

Unija� Neka S e nov simbol i neka G � �V� � V� � fSg��� ���� S� R� �R��fS � S�� S � S�g�� Togax L�G���L�G�� � L�G�� Imeno� edinstvenipravila koi go vkluquvaat noviot poqeten simbol S se S � S� i S �S�� pa S �� w� kade xto w � ��� � ��� ako i samo ako S� �� w iliS� �� w� Priota� S� ��

G w ako i samo ako S� ��G�

w� a S� ��G w ako i

samo ako S� ��G�

w�

Konkatenacija� Konstrukcijata na gramatikata G takva xtoL�G� � L�G��L�G�� e sliqna kako i vo sluqajot za unija� Imeno�

G � �V� � V� � fSg��� � ��� S� R� � R� � fS � S�S�g��

Klinieva �vezda� L�G��� e generiran od gramatikata

G � �V����� S�� R� � fS� � �� S� � S�S�g�� �

Kako xto ke vidime podolu� presek od kontekstno slobodni jazicine mora da bide kontekstno sloboden jazik� Megutoa toqna e slednavateorema�

Page 92: Формални јазици

Teorema ���� Presek od kontekstno sloboden i regularen jazik e kon�tekstno sloboden jazik�

Dokaz� Vo ovoj sluqaj poednostaven e dokaz so pomox na koneqni av�tomati� Neka L e kontekstno sloboden� a R e regularen jazik� Togax�L � L�M�� za nekoj push�down avtomat M� � �K����������� s�� F��� a R �L�M��� za nekoj deterministiqki koneqen avtomatM� � �K����� ��� s�� F���Idejata e da se kombiniraat ovie dva avtomata vo eden push�down av�tomat M qii premini zavisat i od preminite vo M� i od onie voM� i gi prepoznava samo onie zborovi koi gi prepoznavaat i dvataavtomata� Imeno� neka M � �K������� s� F �� kade xto

� K � K� �K��

� � � �� � ���

� � � ���

� s � �s�� s���

� F � F� � F�� i

� �� relacijata na premin� e definirana so

���q�� q��� u� �� ��p�� p��� ��� � �

akko

��q�� u� �� �p�� ��� � ��

i

�q�� u� j�M��p�� ���

Avtomatot M preminuva od sostojba �q�� q�� vo sostojba �p�� p�� naist naqin na koj M� preminuva od sostojba q� vo sostojba p�� no pritoavodi kontrola vrz promenite vo sostojbite na M� sozdadeni od istiotvlezen zbor� Ako se ima ova predvid� lesno se pokauva deka M epush�down avtomat so baranoto svojstvo� �

����� Svojstva na periodiqnost

Beskoneqnite kontekstno slobodni jazici imaat svojstvo na periodiq�nost xto se razlikuva od ona kaj regularnite jazici� Za da go ispi�tame ova svojstvo� ke vovedeme grafiqki prikaz na pretstavuva�e naizvod kaj kontekstno slobodnite jazici� koe ke bide polezno i vo nata�moxni ispituva�a na ovoj vid jazici�

Neka G e kontekstno slobodna gramatika� Eden zbor w � L�G� moeda ima poveke izvodi vo G� Na primer� ako G � �fSg� fag� S� fS �

Page 93: Формални јазици

SS� S � ag�� togax zborot aa moe da bide generiran od S na slednivedva razliqni naqini�

S � SS � aS � aa

iS � SS � Sa� aa�

No� ovie dva izvoda se vo suxtina ednakvi bidejki se upotrebeni is�tite pravila na istite mesta vo sredniot del od izvodot� Edinstve�nata razlika e vo toa na koe pojavuva�e na neterminalniot simbol Se primeneto soodvetnoto pravilo� I dvata izvoda moat da se pret�stavat kako na slikata ���

S

S S

a a

Slika ����

Sliqno i izvodot�

S � SS � Sa� SSa� aSa� aaa

moe da se pretstavi kako na slikata ����

Page 94: Формални јазици

S

S S

S

S

a a

a

Slika ����

Vakvoto grafiqko pretstavuva�e go vikame parsiraqko drvo � Toqkitese vikaat temi�a � najgornoto teme koren� dodeka najdolnite temi�alistovi na parsiraqkoto drvo� So konkatenacija na oznakite na lis�tovite od levo na desno� se dobiva generiraniot zbor� koj se vikarezultat od parsiraqkoto drvo�

Poprecizno� za proizvolna kontekstno slobodna gramatika G ��V��� S� R�� parsiraqkoto drvo� negoviot koren� listovi i proizvodgi definirame na sledniov naqin�

��

A

Slika �� �

e parsiraqko drvo za sekoj A � V � �� Edinstvenoto teme na ovaparsiraqko drvo e negoviot koren i negoviot list� Rezultat ezborot A�

�� Ako A� � e pravilo od R� togax

Page 95: Формални јазици

A

λ

Slika ����

e parsiraqko drvo so koren oznaqen so A� listot e oznaqen so ��a rezultat e prazniot zbor ��

� Ako

A 1

T1

y1

A n

Tn

ny

Slika ����

se parsiraqki drva �n � �� so koreni oznaqeni so A�� � � � � An i sorezultati y�� � � � � yn� soodvetno� a pritoa pravilo vo G e

A� A�A� � � �An�

togax

Page 96: Формални јазици

A n

Tn

ny

A 1

T1

y1

A

Slika ����

e parsiraqko drvo so nov koren oznaqen so A� listovi se lis�tovite na T�� � � � � Tn� a rezultat e y� � � � yn�

�� Parsiraqko drvo moe da se dobie edinstveno so pomox na �� �i �

Pat vo parsiraqko drvo e niza od razliqni temi�a� sekoe povrzanoso prethodno so otseqka� Pritoa prvoto teme e korenot� a poslednotolist na parsiraqkoto drvo� Dol�ina na patot e brojot na otseqki�kojxto e za eden pomalku od brojot na temi�a� Visina na parsiraqkodrvo e dolinata na najdolgiot pat vo parsiraqkoto drvo�

Teorema ��� �Teorema za pumpa�e� Neka G e kontekstno slobodnagramatika� Togax postoi broj K xto zavisi od G� takov xto sekojzbor w od L�G� so dol�ina pogolema od K mo�e da se zapixe vo oblikw � uvxyz na takov naqin xto ili v ili y se neprazni zborovi i za sekojn � �� uvnxynz e istotaka vo L�G��

Dokaz� Neka G � �V��� S� R�� Za da ja dokaeme teoremata dovolnoe da pokaeme deka postoi broj K takov xto sekoj terminalen zbor odL�G� so dolina pogolema od K ima izvod od oblik

S �� uAz �� uvAyz �� uvxyz�

kade xto u� v� x� y� z � ��� A � V i ili v ili y se neprazni� Togaxizvodot A �� vAy moe da se povtori proizvolen broj pati i da sedobijat zborovi uvnxynz za razliqni n�

Page 97: Формални јазици

Neka p e najgolemiot broj simboli od desnata strana na pravilood R� t�e�

p � maxfj�j � A� � e pravilo od Gg�Za sekoj m � �� parsiraqko drvo so visina m moe da ima najmnogupm listovi� xto lesno moe da se pokae so indukcija po m� Sporedtoa� parsiraqko drvo so visina m moe da ima rezultat so dolinanajmnogu pm� So drugi zborovi� ako T e parsiraqko drvo so rezultatso dolina pogolema od pm� togax T ima pat so dolina pogolema odm� Neka m � jV j� K � pm� i neka w e zbor od L�G� so dolina pogolemaod K� Neka T e parsiraqko drvo so koren oznaqen so S i rezultat w�Togax T ima barem eden pat so poveke od jV j � temi�a� pa spored toabarem eden pat koj vkluquva dve temi�a oznaqeni so istiot elementA � V � Da go pretstavime toj pat grafiqki�

A

A

y

v

T’

A

T

A

A

S

Slika ����

i da go razgledame parsiraqkoto drvo T � qij koren e oznaqen so A�a listovite se listovi od T � osven temeto oznaqeno so A� Znaqi T �

ima teme oznaqeno so A i rezultat od oblik vAy� za nekoi v� y � ���Vozmono e v � y � �� no toa ne e mono pri site moni izborina pat i dve temi�a so ista oznaka� Za v � y � �� parsiraqkotodrvo T � moe da se odstrani od T bez da go promeni rezultatot naT � so dodava�e na parsiraqkoto drvo so temeto oznaqeno so A xto eponisko kako koren� prikaqeno za pogornoto teme oznaqeno so A� Akosekoj pat so dolina xto ja nadminuva m moe da se skrati na ovojnaqin� bez da go promeni rezultatot na parsiraqkoto drvo T � ke sedobie parsiraqko drvo so rezultat w i visina pomala od m� xto ne e

Page 98: Формални јазици

mono� No� togax A� u� v� x� y i z moat da se opredelat od T � �

Ovaa teorema e polezna za dokauva�e deka nekoj jazik ne e kon�tekstno sloboden�

Teorema ���� L � fanbncnjn � �g ne e kontekstno sloboden�Dokaz� Teoremata ke ja dokaeme so kontradikcija i primena na

teoremata za pumpa�e� Neka L � L�G� za nekoja kontekstno slobodnagramatika G� Neka K e konstanta za G spored teoremata za pumpa�ei neka n � K

�� Togax w � anbncn e vo L�G� i ima pretstavuva�e

w � uvxyz takvo xto ili v ili y se neprazni i uvixyiz e vo L�G� zasekoj i � �� �� � � �� No ova ne e mono bidejki ako v ili y sodrat dvasimbola od fa� b� cg� togax uv�xy�z sodri b pred a ili c pred b� Akopak ili v ili y sodrat samo eden simbol od fa� b� cg� togax uv�xy�zne moe da sodri ednakov broj na simboli a� b� i c� �

Teorema ���� Kontekstno slobodnite jazici ne se zatvoreni vo odnosna operaciite presek ili komplement�

Dokaz� Jasno e deka fanbncmjm�n � �g i fambncnjm�n � �g se kontek�stno slobodni jazici� no nivniot presek fanbncnjn � �g ne e�

Koga kontekstno sloboden jazik bi bil zatvoren vo odnos na kom�plement� togax bi bil zatvoren i vo odnos na presek� Imeno�

L� � L� � �� n ���� n L�� � ��� n L���� �

����� Zadaqi

� Da se konstruira R�gramatika xto gi generira�

�a� site zborovi vo � � fa�� � � � � ang koi sodrat pojavuva�e nadaden podzbor x � ai� � � � � � ais �

�b� site zborovi vo � � fa�� � � � � ang koi sodrat barem n pojavu�va�a na dadeniot podzbor x�

�v� site zborovi vo � � fa�� � � � � ang koi ne sodrat pojavuva�ena dadeniot podzbor x�

�g� site zborovi vo � � fa�� � � � � ang koi sodrat toqno n pojavu�va�a na dadeniot podzbor x�

� Da se konstruira R�gramatika xto go prepoznava jazikot�

�a� ��n � fxjx � ��� jxj � ng� kade xto � � fa�� � � � � ang�

�b� ��

sl � fxjx � ��� jxj � si l� i � Ng� kade xto s� l � ��

�v� w�� � � �w�

n � kade xto wi se proizvolni neprazni zborovi vo ��

Da se konstruira KS�gramatika xto go generira mnoestvoto�

Page 99: Формални јазици

�a� pravilno formirani formuli od iskaznoto smeta�e vo �obiqen�zapis so fiksiran izbor na promenlivi�

�b� fanbmjn�m � N�n � mg��v� fx�bx�jx�� x� � fa�� � � � ang�jx�j � jx�jg��g� fap�mbm�ncn�pjn�m� p � Ng��d� fuawbju�w � fa� bg�� juj � jwjg��g� fambncpdqjm n � p qg��e� fambnj�n � m � ng��� fwcwRjw � fa� bg�� c �� fa� bgg��z� fwwRjw � fa� bg�g���� fw � fa� bg�jw � wRg��i� fucwju�w � fa� bg�� c �� fa� bg��a�u� � �b�u�g��j� fw � fa� bg�jw � xuruvvrxr� x� u� v � fa� bg�� r � Ng��k� fj�n � jm � jn�m��jn�m � Ng�

� Konstruiraj R�gramatika koja go generira jazikot prepoznaen odsledniov avtomat�

>

b

a

ab

b a a b

aba

Slika ����

� Konstruiraj nedeterministiqki koneqen avtomat koj go prepoz�nava jazikot generiran od gramatikata

G � �V��� S� R�� V � fS�A�Bg� � � fa� bgR � fS � abA� S � B�S � baB� S � ��A� bS�A� b� B � aSg�

Page 100: Формални јазици

� Da se konstruira kontekstno slobodna gramatika koja go gener�ira jazikot na dobro formirani zagradi vo azbukata � � f�� �g�

� Definiraj deterministiqki push�down avtomat �DPDA� koj goprifaka jazikot�

�a� L � fambnckjm k � ng��b� L � fwcucwRjw� u � fa� bg�� c �� fa� bg�g��v� L � fw � fa� b� c� dg�j�a�w� �c�w� � �b�w� �d�w�g�

� Konstruiraj DPDA koj go prepoznava jazikot

L � fw � fa� bg�j�aa�w� � �ab�w�g�� Konstruiraj DPDA koj go prepoznava jazikot

L � fa�a� � � �ancb�b� � � � bnjai� bi � fa� bg� n � N�� a� � b�� an � b n� c �� fa� bg�g��� Konstruiraj push�down avtomat �PDA� koj go prepoznava jazikot

L � fuwuRju�w � fa� bg���a�w� � �b�w�g��� Konstruiraj DPDA koj go prepoznava jazikot

L � fambnan��mjn �� m � �g��� Konstruiraj PDA koj go prepoznava jazikot

L � fanbmjn�m � N� n � m � �ng�� Da se konstruira DPDA koj go prepoznava jazikot L xto se sos�

toi od site zborovi w � fa� bg� koi zapoqnuvaat so aaa ili imaatparen broj pojavuva�a na b� Kakov jazik e L� Dali e potrebenstekot�

�� Da se konstruira DPDA koj go prepoznava jazikot

L � fwcuju�w � fa� bg�� c �� fa� bg�� jwj juj e paren broj��a�w� � �b�w�g��� Da se konstruira DPDA koj go prepoznava jazikot L koj se sostoi

od site zborovi w � fa� b� cg� takvi xto poslednata bukva vo w eedinstvena takva bukva vo w� Kakov jazik e L� Dali e potrebenstekot�

�� Da se konstruira PDA koj go prepoznava jazikot�

L � fa�a� � � � anbn � � � b�b�jai� bi � fa� bg� ��i � f�� �� � � � � ng�ai � big��� Da se konstruira DPDA koj go prepoznava jazikot�

L � fw � fa� bg�jjwj e paren broj� j�a�w� �b�w�j � �g�

Page 101: Формални јазици

Indeks

avtomat ��koneqen avtomat ��deterministiqki koneqen av�

tomat ��nedeterministiqki koneqen

avtomat ��ekvivalentni koneqni avtomati

��minimalen koneqen avtomat

��minimizacija na koneqen av�

tomat ��push down avtomati ��push down avtomat ��ednostaven push�down avtomat

��azbuka �

nadvorexna azbuka ��osnovna azbuka ��pomoxna azbuka ��potpolna azbuka ��

algebra �nositel na algebra �algebra generirana od S �podalgebra �podalgebra generirana od S

�algoritam nad azbuka A ��

ekvivalentni nad azbukataA ��

potpolno ekvivalentni nadA ��

algoritam ne e primenlivna daden zbor �

algoritam za prepoznava�ena jazik ��

normalen algoritam ��na normalniot algoritam � prirodno zavrxuva�e na ra�

botata na algoritam � zavrxno prestanuva�e na ra�

bota na algoritam � bezkontekstno pravilo ��bukvi �vlezna lenta ��vnatrexna sostojba ��visina ��glava ��

podvina glava ��grupa �

polugrupa �generatorno mnoestvo �glava za zapixuva�e i qita�e

��grafiqki ednakvi ��gramatika ��

jazik generiran od gramatika��

kontekstno osetliva gramatika��

regularna gramatika ��jazik generiran od gramatika

��izvod vo gramatika ��formalna gramatika� gramatika

��kontekstno zavisna gramatika

��kontekstno slobodna gramatika

��direkten proizvod �drvo �

parsiraqko drvo � epimorfizam �zatvoraq ��zbor �

inverzen zbor ��prazen zbor �dolina na zbor �podzbor �zbor prepoznaen od nedeter�

ministiqki avtomat �

���

Page 102: Формални јазици

zbor dobien od pravilo vogramatika ��

konkatenacija na zborovi �pojavuva�e na podzbor �

izomorfizam �izvod ��

dolina na izvod ��potpoln izvod ��lev izvod ��

regularen izraz � jazik ��

jazik prepoznaen od koneqenavtomat ��

jazik prepoznaen od avtomat��

konkatenacija na jazici ��regularni jazici ��

konfiguracija ��konfiguracija na koneqen av�

tomat ��Klinieva �vezda ��koneqna kontrola ��koren ��list ��lenta ��

koneqna lenta ��monomorfizam �maxini na Tjuring ��

standardna Tjuringova maxina��

mehanizam za upravuva�e ��memorija ��

vnatrexna memorija ��primitivno rekurzivno mnoes�

tvo �rekurzivno mnoestvo �mnoestvo odluqlivo po Tjuring

��naredba � operacija �

n�arna operacija �delumna narna operacija �potpolna n�arna operacija

operator �operator za supstitucija �operator za primitivna re�

kurzija �operator za minimizacija �operator za slaba minimi�

zacija �pat ��

dolina na pat ��programa ��pravilo ��

leva strana� desna stranana pravilo ��

preslikuva�e �delumno preslikuva�e �

premin vo M � premin na M ��

funkcija na premin ��relacija za premin �

programa � uslovo ravenstvo ��rezultat � simbol �

individualni simboli �funkciski simboli �pomoxni simboli �poqeten simbol ��

sostojba ��zavrxna sostojba ��poqetna sostojba ��

teme � termi �teorema

Teorema za pumpa�e za reg�ularni jazici ��

Teorema za pumpa�e za KS�jazici ��

formula za zamena ��prosta formula za zamena

��zavrxna formula za zamena

��funkcija �

���

Page 103: Формални јазици

k�arna delumna brojna funk�cija �

osnovni brojni funkcii �presmetliva so Tjuringova

maxina ��funkcija presmetliva so nor�

malen algoritam ��primitivno rekurzivna vo

odnos na G �primitivno rekurzivna funk�

cija �inverzija na funkcija �cyr delumno relurzivna funk�

cija vo odnos na G �rekurzivna funkcija �karakteristiqna funkcija �delumna karakteristiqna funk�

cija �opxto rekurzivni funkcii

�cel del od x �

homomorfizam �

���

Page 104: Формални јазици

Literatura

��� A� I� Ma�cev� �Algoritmi i rekurzivnie funkcii�� Nauka�Moskva ����

��� B� A� Kuxner� �Lekcii po konstruktivnomu matematiqeskomuanalizu�� Nauka� Moskva� ���

� � J� E� Hopcroft� J� D� Ullman� �Formal languages and their relation toautomata�� Addison�Wesley Publishing Company� ��

��� E� Mendelson �Introduction to mathematical logic�� D� Van Nostrand Com�pany� �� �second edition�

��� H� R Lewis� C� H� Papadimitriou �Elements of the theory of computation��Prentice�Hall International� Inc� ���

��� D� Boxnaqki� A� Sokolova� Z� Xunik �Algoritmi i sloenost��Matematiqka Xkola� Struga�����

���