Πράξεις Πραματικών - Γ Γυμνασίου
-
Upload
sakis-skouros -
Category
Documents
-
view
35 -
download
3
description
Transcript of Πράξεις Πραματικών - Γ Γυμνασίου
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
3 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ
Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι το:
Ν = 0, 1, 2, 3, 4, ... Επίσης, το σύνολο των φυσικών αριθμών και των αρνητικών που προκύ-πτουν από τους φυσικούς, όταν βάλουμε μπροστά το πρόσημο “–”, λέγεται σύνολο των ακεραίων αριθμών. Δηλαδή, το σύνολο των ακεραίων αριθ-μών είναι:
Ζ = ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... . Όλοι οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοι-χους αρνητικούς, σχηματίζουν το σύνολο των ρητών αριθμών. Δηλαδή, έχουμε ότι:
Q = yx , όπου x είναι ακέραιος, y είναι ακέραιος εκτός από το 0
Κάθε αριθμό που δεν είναι ρητός τον ονομάζουμε άρρητο αριθμό. Το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς ονο-μάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το παριστάνουμε με τα σημεία ενός άξο-να, όπως φαίνεται παρακάτω:
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με | α | και εί-ναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α , από την αρχή του άξονα . Για παράδειγμα ,
3- = 3, 5 = 5 , 0=0 , 21=
21-
Α
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
4
ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πρόσθεση Ομόσημοι: Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές και πρόσημο βάζουμε το ίδιο. Έτσι έχουμε π. χ.:
(+6) + (+4) = +10 και (–4) + (–5) = –9 Ετερόσημοι: Αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη και πρόσημο βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη α-πόλυτη τιμή. Έτσι έχουμε π.χ.:
(–9) + (+5) = –4 και (+8) + (–5) = +3. Ιδιότητες Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε:
Σχόλια: • Η αντιμεταθετική ιδιότητα ουσιαστικά μας λέει ότι μπορούμε σ’ ένα ά-
θροισμα να εναλλάσσουμε τη θέση των προσθετέων, ενώ η προσεταιρι-στική μας λέει ότι μπορούμε να τους προσθέσουμε με όποια σειρά θέ-λουμε.
• Όταν στη διάρκεια των πράξεων συναντάμε άρρητους, τους αντικαθι-στούμε με τις ρητές προσεγγίσεις τους.
Πολλαπλασιασμός Ομόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε θετικό πρό-σημο. Έτσι έχουμε π.χ.:
(+6) ⋅ (+7) = +42 και (–7) ⋅ (–3) = +21
Ετερόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε αρνητικό πρόσημο. Έτσι έχουμε π.χ.:
(+5) ⋅ ( –4) = –20 και (–7) ⋅ (+4) = –28. Ιδιότητες Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε:
• α + β = β + α αντιμεταθετική • γ+ β) + (α = γ)+ (β + α προσεταιριστική • α = 0 + α ουδέτερο στοιχείο το 0 • 0 = (-α) +α το άθροισμα αντιθέτων είναι 0
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
5
Αφαίρεση Η πράξη της αφαίρεσης γίνεται με την βοήθεια της πρόσθεσης. Δηλαδή αν θέλουμε να αφαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό από έναν άλλο, τότε προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Δηλαδή:
(-β) + α = β- α Για παράδειγμα είναι:
(–7) – (–5) = (–7) + (+5) = –2 και (+8) – (+6) = (+8) + (–6) = +2 Διαίρεση Η πράξη της διαίρεσης γίνεται με την βοήθεια του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή αν θέλουμε να διαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό με έναν άλλο, τότε πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δη-λαδή:
0≠β , β1
. α = βα
= β : α
Για παράδειγμα είναι:
( ) ( ) ( )23
-=46-
=4
1.6-=4-:6 και ( ) 3 = )
91
-.( 27- = 9-27-
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν έχουμε αθροίσματα με περισσότερους από δύο όρους τότε: Πρόσθεση: • Προσθέτουμε τους όρους ανά δύο αρχίζοντας από αριστερά. Για παρά-
δειγμα είναι: (–7) + (+6) – (–4) + (–4) = (–1) – (–4) + (–4) = (–1) + (+4) + (–4) = (+3)
+ (–4) = –1 • Προσθέτουμε πρώτα όλους τους θετικούς όρους και μετά τους αρνητι-
κούς οπότε στο τέλος προκύπτει μια πρόσθεση δύο ετεροσήμων όρων. Για παράδειγμα είναι:
(–7) + (+6) – (–4) + (–4) = (–7) + (+6) + (+4) + (–4) =
• α β. = α.β αντιμεταθετική • (α.β).γ = .γ) α.(β προσεταιριστική • α = .1 α ουδέτερο στοιχείο το 1 • 0 = 0 α. το 0 απορροφητικό στοιχείο
• 0≠α 1, = α1
. α γινόμενο αντιστρόφων ίσον 1
• αγ ±αβ = γ) ±(β α επιμεριστική • .δ β + β.γ + α.δ + γα. = δ) + β).(γ + (α επιμεριστική
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
6
( ) ( ) -1= (-11) + (+10) = 4- + 7- + (+4) + (+6)αρνητικοιθετικοι
4342143421
(–7) + (+6) – (–4) + (–4) = (–7) + (+6) + (+4) + (–4) = (–7) + (+6) = -1 Πολλαπλασιασμός: • Μετράμε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων. Αν το πλήθος είναι άρ-
τιος αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο θετικό. Αν το πλήθος είναι περιττός αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο αρνητικό. Ως αριθμητική τιμή του απο-τελέσματος τοποθετούμε τον αριθμό που προκύπτει αν πολλαπλασιά-σουμε τις απόλυτες τιμές όλων των παραγόντων. Για παράδειγμα είναι:
(+5,6) ⋅ (–6) ⋅ (–1,2) ⋅ (–4,3) = –173,376. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας Χ στην κατάλ-ληλη θέση .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το 30, είναι ρητός γιατί 33,=10x→30,=x αν από την δεύτερη αφαι-ρέσουμε την πρώτη ισότητα έχουμε 3=9x→3=x-10x οπότε είναι
31
=93
=x . To -0, 8 είναι ρητός γιατί108
-=0,8- . Το 4=16 επομένως
είναι ακέραιος. Το 3,14 είναι ρητός γιατί 100314
=3,14 .
2. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) – 3 + 7 = +4
β) – 6 + 6 = 0
γ) – 2 – 9 = –11.
δ ) ( )32
-=31
.2-
ε) 0=)72
-0.(
α) Αφαιρούμε την μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
β) Άθροισμα αντιθέτων.
γ) Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε πρόσημο, το κοινό τους πρόσημο.
δ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο – .
ε) Είναι α ⋅ 0 = 0.
- 3 2
1
6
30,
- 0,8
3
16
3,14
π 7
22
Ακέραιος Χ Χ Χ Ρητός Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Άρρητος Χ Χ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
7
στ ) 145.
54
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
ζ) ( ) ( )25
125.6
5126 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−÷−
η) ( )52
41.
584:
58
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
θ) 143.
34
34:
34
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
στ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο +.
ζ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.
η) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.
θ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.
3. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ
α) (– 3⋅2 – 5) x = –11x
β ) – 3⋅ (2 – 5 x) = –6 + 15x
γ) – 3⋅ (2 – 5) x = + 9x
δ) – 2 (x – 3) = – 2 x + 6
ε ) (3 + x) ⋅ (2 +y) =
=6+3 y+2x+x.y
στ) 4 (3 x + 2) = 12 x + 8
α) Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρέν-θεση
β) Επιμεριστική ιδιότητα
γ) Πράξεις στην παρένθεση και πολ/σμός με -3
δ) Επιμεριστική ιδιότητα.
ε) Είναι α ⋅ 0 = 0. στ) Επιμεριστική ιδιότητα
4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε:
α) είναι ομόσημοι β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές γ) έχουν γινόμενο μηδέν δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα .
ii) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε: α) είναι ετερόσημοι β) έχουν άθροισμα μηδέν γ) έχουν ίσες απόλυτες τιμές δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Η σωστή απάντηση είναι η β. Για παράδειγμα 33 =− .
ii) Η σωστή απάντηση είναι η δ. Για παράδειγμα 121.2 =
5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
8
β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός. γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητι-κοί.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι σωστή (Σ) γιατί, για να προκύψει το γινόμενο τους 1, δηλαδή θετικός πρέπει να είναι ομόσημοι. β) Είναι λάθος (Λ) γιατί ,αν είναι αρνητικοί θα έχουμε για παράδειγμα (-3)+(-4)=-7 γ) Είναι λάθος (Λ γιατί ,μπορεί να είναι και μηδέν. δ) Είναι σωστή (Σ) γιατί ,επειδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι θε-τικό συμπεραίνουμε ότι είναι ομόσημοι. Επίσης , επειδή το άθροισμά τους είναι αρνητικό , οι ομόσημοι αυτοί αριθμοί είναι αρνητικοί.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Nα κάνετε τις πράξεις:
α) 2 + 3⋅ 4 – 12 :(– 4) + 1 β) 2 +3⋅ (4 – 12) : (– 4 + 1) γ) –3 ⋅(–2) – 5 + 4:(–2) – 6 δ) –8 : (–3 + 5) – 4⋅ (–2 + 6)
α) 2 + 3⋅ 4 – 12 :(– 4) + 1= =2+12+3+1=18. β) 2 +3⋅ (4 – 12) : (– 4 + 1)= = 2+3.(-8):(-3)=2+(-24):(-3)= =2+8=10. γ) –3 ⋅(–2) – 5 + 4:(–2) – 6= + 6 – 5 – 2 – 6 = – 7 δ) –8 : (–3 + 5) – 4⋅ (–2 + 6) = –8 : ( + 2) – 4⋅ ( + 4) = – 4 – 16= – 20
α) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις. β) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις , κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις. γ) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. δ) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις , κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις.
Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον.
– (5 – 4) – ( +2) + (–6 +4) – (–7) =
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 2
2
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
9 4 – ( – 2 + 6 – 3 ) + ( – 9 + 6 ) = 14 + ( – 6 + 5 – 3) – ( – 4 – 1) ⋅ (–2) = (–3) ⋅ (–2) + 4 – (+5) – (–1) : (–1) = – (5 – 4) – ( +2) + (–6 +4) – (–7) = =-1-2-2+7=2. 4 – ( – 2 + 6 – 3 ) + ( – 9 + 6 ) = = 4-1-3=0. 14 + ( – 6 + 5 – 3) – ( – 4 – 1) ⋅ (–2) =14-4-(-5).(-2)=10-(+10)=0. (–3) ⋅ (–2) + 4 – (+5) – (–1) : (–1) = =6+4-5-(+1)=6+4-5-1=4.
Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέ-σεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Ομοίως Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέ-σεις κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέ-σεις.
Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση Ο, κινήθηκε πάνω στον άξονα x΄x προς τα αριστερά στη θέση B και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ = 5 Κm, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνη-το και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση.
Το αυτοκίνητο διήνυσε 4+4+5=13.OA =65 km και μετακινήθηκε από την αρχική του θέση κατά 5.ΟΑ=5.5 km=25 km. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
α) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
121
21
41
32 β) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−−
611
35
21
65
23
31
γ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−−⋅−
32
215
32
215 δ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
32
52:
53
54
21
271
α) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
121
21
41
32 =
α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις.
Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα,
0
0
4ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 3
ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 4
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
10
121
21
41
32
−−+= =−−+=121
126
123
128
= 31
124
127
1211
==− .
β) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−−
611
35
21
65
23
31 =
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−−
1222
1220
126
1210
1218
124 =
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−
128
124 =
128
124−− =
1212
− =
1−=
προσθέτουμε χωριστά τα θετικά και τα αρνητικά κλάσματα
Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν.
β) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα
Βγάζουμε τις παρενθέσεις.
Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν.
γ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−−⋅−
32
215
32
215 = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−−−
64
635
32
25 =
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−−−
615
64
615 =
37
614
65
619
−=−=+−
δ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
32
52:
53
54
21
271 =
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
1510
156:
53
108
105
27
22 =
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
154:
53
103
25 = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅−+
415
53
2015 =
2045
2015
−+ =23
2030
−=− .
γ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στην παρένθεση. Προσθέτουμε τα κλάσματα στην παρένθεση. Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς. Προσθέτουμε τους ετερόση-μους που προκύπτουν.
δ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στις παρενθέσεις.
Προσθέτουμε τα κλάσματα στις παρενθέσεις.
Κάνουμε τους πολλαπλασια-σμούς και τις διαιρέσεις.
Προσθέτουμε τους ετερόση-μους που προκύπτουν.
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις
α)
21
613
132
21
+−
−+− β)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−
−⋅−
4132
4132
γ) – 7 +
312
313
+−
−−
ΑΣΚΗΣΗ 5
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
11
α)
21
613
132
21
+−
−+−=
63
61
618
66
64
63
+−
−+−=
620
65
−=
=65
−620: =
65
−206
⋅ =41
205
−=−
β) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−
−⋅−
4132
4132
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−
−−
41
4122
416
=
= 425
211425
−=−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
211: = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−
112
425
2225
=
α)Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντί-στροφο. β) Κάνουμε τους πολλαπλασια-σμούς στον αριθμητή και ομώνυ-μα τα κλάσματα στον παρονομα-στή. Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντί-στροφο.
γ).-7+
312
313
+−
−−=-7+
31
36
31
39
+−
−−=-7+
353
10
−
−=
=-7+ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
310
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
35: =-7+ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
310
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
53 =
=-7 +1530 = -7 +2 = -5
Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαί-ρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστρο-φο. Απλοποιούμε το κλάσμα που προ-κύπτει και προσθέτουμε τους ακε-ραίους.
Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ή-ταν: 1, -3, 0 , 2 , 1 , -2 , -5 , 0 , -3 , -1 Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό. Η μέση τιμή της θερμοκρασίας είναι:
ΑΣΚΗΣΗ 6
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11010
10144
1013523121
1013521231
101305212031
−=−
=−
=
=−−−−−++
=
=−−−−++−
=
=−+−++−+−++++−+
Η μέση τιμή βρίσκεται αν προσθέσουμε τις τιμές των θερμοκρασιών και διαιρέσουμε με το πλήθος τους.
Βγάζουμε τις παρενθέσεις και προσθέτουμε ξεχωρι-στά θετικούς και αρνητι-κούς. Τέλος προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν και η μέση θερμοκρασία θα είναι -1
Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμ-βολο (+ ή -) . α) 12…5…20 = -3 β) -8…9…1 = 0
3 4
10...43...
45 )γ = δ) -0,35…6,15…8,50 = 2
α) 12+5-20 = -3
β) -8+9-1 = 0
3 4
124
1035 4
1043
45 )γ ==
+−=+−
δ) -0,35-6,15+8,50 = 2
α) Στο 12 προσθέτουμε το 5 και αφαιρούμε το 20
β) Στο -8 προσθέτουμε το 9 και αφαιρούμε το 1
γ) Από 4
5 αφαιρούμε το
4
3 και προσθέτουμε το
4
10. δ) Από -0,35 μειον 6,15 συν 8,5
Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες α) 8–(α – β)+(α–5–β)=3
β) 2–(α+ β –γ)–(4+γ–β)–(–2–α)=0 γ) –2⋅(α–3)+α⋅(–7+9)–3⋅(+2)=0
α)8–(α – β)+(α–5–β)= =8–α+β+α–5–β=8+(–α+α)+(β–β)–5=3
)β) 2–(α + β– γ)–(4+γ–β)–(–2–α)= =2-α-β + γ-4-γ+β+2+α=2-4+2=0 γ)–2⋅( α–3) + α⋅(–7+9 )–3⋅ (+2 ) = =-2.α+6-7.α+9.α-6=(-2-7+9)α=0.α=0
α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. β) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. γ) Επιμεριστική ιδιότητα και 0.α=0
ΑΣΚΗΣΗ 7
ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 8
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
13
Αν x+y=–5και ω+φ=–7,να υπολογίσετε τις παραστάσεις A=4–(x–ω)–(y–φ) Β=–(–5–x+φ) + (–8+y)–(ω–4) A=4–(x–ω) – (y–φ)=4–x+ω–y+φ=
=4-(x+y)+(ω+φ)=4–(–5)+(–7)=4+5–7=2
Β=–(–5–x+φ)+(–8+y)–(ω–4)=
=+5+x-φ-8+y-ω+4=x+y-(ω+φ)+5+4-8=
=-5-(-7)+5+4-8= -5+7+5+4-8= 3
Βγάζουμε τις παρενθέσεις.
Προσεταιριστική ιδιότητα και ιδιότητα
–(α + β)=-α -β
Βγάζουμε τις παρενθέσεις.
Προσεταιριστική ιδιότητα αντικατάσταση των παραστάσεων που δίνονται.
Προσθέσεις και αφαιρέσεις.
Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 56 και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 32, να υπολογί-σετε την παράσταση Α= α-(9-2γ)-(15-β-2δ).
( ) ( )
( )36243228
24δγ2βα1592δ2γβα2δβ152γ9α
2δβ152γ9αA
=−+==−+++=
=−−+++==++−+−=
=−−−−−=
Το πρώτο ορθογώνιο με διαστάσεις α, β έχει περίμε-τρο 56, δηλαδή 2α+2β=56 οπότε 2(α+β)=56 και α+β=32. Το δεύτερο ορθογώνιο με διαστάσεις γ, δ έχει περίμετρο 32, δηλαδή 2γ+2δ=32. Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική , επιμεριστική ιδιότητα και αντικα-τάσταση των παραστάσεων όπως φαίνονται παραπά-νω. Προσθέσεις και αφαιρέσεις.
Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς -7, -6, -5, -3, 1, 2, 4, 5, 9 Σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους.
-7 + 5 + 2 = 0 -5 + 4 + 1 = 0 -6 + -3 + 9 = 0
ΑΣΚΗΣΗ 9
ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 10
ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 11
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
14
Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Ορισμοί
Ονομάζουμε δύναμη αν με βάση τον αριθμό α και εκθέτη το φυσικό ν > 1 το γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με το α. Άρα: Για ν = 1 έχουμε α1 =α, ενώ για ν = 0 και α ≠ 0 έχουμε α0 = 1
και νν-
α1α = για α ≠ 0 και ν = 1, 2, 3, ...
Για τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζο-νται, ισχύουν οι ιδιότητες
Ιδιότητες
Παραδείγματα
αμ ⋅ αν = αμ+ν
4 2 ⋅ 4 3 = 4 2 + 3 = 4 5
αμ : αν = αμ-ν
5 4 : 5 2 = 5 4 - 2 = 5 2
(αβ)ν = αν βν
(5 x) 3 =5 3 x 3 = 125 x 3
ν
βα⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ν
ν
βα 3
33
54
54
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
(αμ)ν = αμν
( )811
3133 4
422 === −−
ν
βα
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ν
αβ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
33
34
43
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τους πολύ μεγάλους ή τους πολύ μικρούς αριθμούς κατ’ απόλυτη τιμή τους γράφουμε στη «τυποποιημένη» ή εκθετική μορφή, δηλαδή στη μορφή:
α ⋅ 10ν με 10 α 1 <≤ , με ν ακέραιο. Για παράδειγμα γράφουμε : 4500000 = 4,5 ⋅ 106, 0,000003 = 3 ⋅ 10-6
43421ς παραγοντεν
ν α.α.α...αα =
B
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
15
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με
(Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Για κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α + α = α 4 . β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α ⋅ α ⋅ α ⋅ α = α 4. γ) Οι αριθμοί (–5)6 και – 56 είναι αντίθετοι.
δ) Οι αριθμοί 8
32⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ και
8
23⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ είναι αντίστροφοι.
ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει ( ) 22 α9α3 = . στ) Ο αριθμός ( )25−− είναι θετικός. ζ) Ο αριθμός 23−− είναι θετικός. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι λάθος (Λ) γιατί α + α + α + α = 4α . β) Είναι σωστό (Σ) γιατί α.α.α.α=α1+1+1+1=α4. γ) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( ) 66 55 =− και 65− είναι αντίθετοι.
δ) Είναι σωστό (Σ) γιατί 123.
32 οπότε
23
23 και
32
32
8
8
8
8
8
88
8
88
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ .
ε) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( ) 2222 α9α3α3 == . στ) Είναι λάθος (Λ) γιατί ( ) 0255 2 <−=−− .
ζ) Είναι λάθος (Λ) γιατί 091
313 2
2 <−=−=− − .
2. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο-σύμβολο( = ή ≠ )
α) ( )61− …1 β) 3-2…9 γ) – 42 … – 16 δ) 52...
25 1−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ε) 251...5 2
−− …...στ) 0...
52 0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ … 0 ζ)
321...
21 5
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− η) ( ) 222 27...27 ++
ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) (-1)6=1 γιατί ο εκθέτης είναι άρτιος, οπότε ( )61− =1.
β) 991
313 2
2 ≠==− γ) 161642 −=−=−
δ) 52
52
25 11
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
16
ε) 251
251
515 2
2
−≠==− .
στ) 0152 0
≠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ .
ζ) 321
321
21
21
5
5
≠−=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− ,γιατί ο εκθέτης είναι περιττός.
η) ( ) 534492781927 2222 =+=+≠==+ . 3. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
i. Η τιμή της παράστασης 2
32 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ είναι:
α)94
− β) 49
− γ)49 δ)
94
ii. Η τιμή της παράστασης ( )[ ]302− είναι: α) -23 β) -6 γ) 23 δ) 1
iii. Η τιμή της παράστασης 23 32 + είναι: α) 55 β) 17 γ) 56 δ) 65
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
i. Η τιμή της παράστασης 2
32 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ είναι:
49
23
23
32
2
222
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
το γ.
ii. Η τιμή της παράστασης ( )[ ]302− είναι: ( )[ ] 112 330 ==− το δ. iii. Η τιμή της παράστασης 23 32 + είναι: 179832 23 =+=+ το β.
4. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α , το αποτέλεσμα της από τη στήλη Β.
Στήλη Α Στήλη Β α. ( ) 142 − 1.
41
β. ( ) 1025 2.2− 2. 42−
γ. ( ) 22 −− 3. 4
δ. ( ) 234 2.2:2 4. 32 5. 42− 6. 1
α β γ δ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
17
ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( ) ( ) 41.414 222 −−−
== άρα είναι το 5 (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα (αμ)ν = αμν )
β) ( ) ( ) 1222.22.22.2 010101010102.51025 ===== −−−− άρα είναι το 6.
γ) ( )( ) 4
1212 2
2 =−
=− − άρα είναι το 1. (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα
νν-
α1α = )
δ) ( ) 321234234 22.22.22.2:2 === − άρα είναι το 4. (χρησιμοποιήσαμε τις ιδιό-
τητες αμ : αν = αμ-ν, αμ ⋅ αν = αμ+ν).
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύναμη:
( )( ) ( )
5442
6
642-
4-233-248-5
31.27.3 η) 3:4 ζ)
26- στ) 3.3 )ε
5 δ) 5.2 γ) 3:3 β) 2.2 α)
−
−
( )
( )( ) ( )( ) 84242-
3333
6242--42-4
38-58-5
555 δ)
102.55.2 γ)
3333:3 β) 222.2 α)
==
==
===
==
−−−
+
+
α) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων αμ ⋅ αν = αμ+ν
β) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων αμ : αν = αμ-ν γ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ)ν = αν βν δ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων(αμ)ν = αμν
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
257
5
7
543
543
54
4222222242
66
66
6
6
6
66
6
6
24-24-244-24-2
3333
31.3
31.3.3
31.27.3 η)
323:23:23:4 ζ)
32
3.22
2.32
6.1-26- στ)
33.33.31-.33.3 )ε
==
====
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===
====
====−
−
+
+
ε) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιό-τητα των δυνάμεων αμ ⋅ αν = αμ+ν
στ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να το απλοποιήσουμε. ζ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να έχουμε μόνο μία δύναμη. η) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιό-τητα των δυνάμεων αμ : αν = αμ-ν
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
18
Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 5314-12
201244
332
2-4-2832-
10.0,01 η) 32.
32- ζ) 2:4 στ) 4.2,5 )ε
12-:36 δ) 43.0,75 γ) 3-.3- β) 2.2 α)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )
( )( )
( )
( ) ( )1,01010
10.1010.1010.0,01 η)
49
23
32
32
32.
32.1
32.
321
32.
32- ζ)
16222:22:22:4 στ)
000.10014-.2,54.2,5 )ε
27312-:3612-:36 δ)
143
43
43.
43
43.0,75 γ)
91
31333-.3- β)
422.22.222.2 α)
156
5653253
221412141212
141214-12
420242024201222012
4444
3333
0222222-
22424-2
28-68-683.-283-2
===
===
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=====
=−==−
−=−==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
=−=−=
=====
−+−
−−
−−−
−
−
+−−
−−
+ α) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες (αμ)ν = αμν και αμ ⋅ αν = αμ+ν. β) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες αμ ⋅ αν = αμ+ν και
να
1ν-α = .
γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες αμ ⋅ αν = αμ+ν και α0 = 1 . δ) Εφαρμόζουμε την ιδιό-τητα (αβ)ν = αν βν . ε) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αβ)ν = αν βν . στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αμ)ν = αμν και αμ : αν = αμ-ν
ζ) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες αμ ⋅ αν = αμ+ν και
ν
β
α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
ν
α
β⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
η) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες (αμ)ν = αμν και αμ ⋅ αν = αμ+ν.
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x
23-:x
2-3 στ) 2x-.3x- )ε x:x
32- δ)
2x-.2x- γ) y .xxy β) .5xx α)2
3233223
22323432
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ
ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 3
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
19
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
x 278-x
278-
x: x32-x:x
32- δ)
-8x-8x.xx2-4.x2-.x2-2x-.2x- γ)
yxy.xy.y.x.xy.x.yxy.xxy β)
x5x5x.x5.5xx α)
2-3
233
23
42222
22222
751632632
3232323
104646432
==
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
===
==
===
==
===
+
++
+
α) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αμ)ν = αμν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική(για το 5) β) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική. γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική. δ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ : αν = αμ-ν.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x 32x
23.x
23
x23:x
23x
23-:x
2-3 στ)
x108x108x.x274x2.x32x-.3x- )ε
1-23-
2-1
22
32
3
126666
2323232332
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−=−=
=−−=+
ε) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική. στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ : αν = αμ-ν.
και
ν
β
α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
ν
α
β⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
20
Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )47473232
4222102
40.5:8.25Δ , 8.4.25,1.5,2Γ
22.3--5-2:4-Β, 3.212.82.742.3Α
=−−=
−−=−−−−−+−= −
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1255
555
51.5
51.5
408.
525
408.
525
40.58.2540.5:8.25Δ
000.100101010.10
8.25,14.5,28.25,14.5,2
8.4.25,1.5,2Γ
1161258161258164.352:16
22.3--5-2:4-Β
018424129.242.144.3
3.221.82.742.3
3.2121.82.742.3
3.212.82.742.3Α
3
474
7
47
47
47
4
4
7
7
47
474747
53232
323322
3232
422
202
202
2102
==
====⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
====
−=−=−=−−=
=−−=−−=
=−−=
−=−+−==−−−−=−−−−=
=−−=
=−+−+=−+−+=
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−−−+−=
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−+−=
=−−−−−+−=
−
+
− Στην παράσταση Α κάνου-με πρώτα τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και κατό-πιν υπολογίζουμε τις δυνά-μεις. Μετά κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Χρησιμο-ποιούμε την ιδιότητα α0 = 1 Στην παράσταση Β υπολο-γίζουμε πρώτα τις δυνάμεις κατόπιν κάνουμε τις διαι-ρέσεις και τους πολλαπλα-σιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέ-σεις. Στην παράσταση Γ εφαρ-μόζουμε την προσεταιρι-στική ιδιότητα του πολλα-πλασιασμού για να φέρου-με κοντά τις δυνάμεις και να εφαρμόσουμε την ιδιό-τητα (αβ)ν = αν βν και μετά την ιδιότητα αμ ⋅ αν = αμ+ν Στην παράσταση Δ εφαρ-μόζουμε την ιδιότητα
ν
β
α⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = ν
β
να
Αν τριπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, κατά πόσες φορές μεγα-λώνει το εμβαδόν του;
( )Ε.9΄Ε
9α.α33αΕ΄
αΕ2222
2
====
=
Αν Ε και Ε΄ τα εμβαδά του τετραγώνου στην πρώτη και στην δεύτερη περίπτωση εφαρμόζο-ντας την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ)ν = αν βν και τον τύπο του εμβαδού του τετραγώνου Ε=α2 παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του εννιαπλασιάζε-ται.
ΑΣΚΗΣΗ 4
ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 5
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
21
Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού
ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α τον θετικό αριθ-μό x (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α ) που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Άρα:
Αν είναι αx = , τότε αx 2 =
ή ( ) αα2=
π.χ. 636 = , γιατί 62 = 36
ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α, ισχύει αα 2 = . Όταν ο αριθμός α είναι θετικός μπορούμε να γράψουμε
αα 2 = .
Αν x≥0 , τότε ( ) xx2=
Έχουμε (-6)2 = 36, οπότε έχουμε
( ) 663626 −===−
63662 ==
( ) ( ) 1616 δηλαδή 16416222===
Επειδή είναι 02=0 ,ορίζουμε ότι 00 = . ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΤΙΣ ΡΙΖΕΣ Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β η πρώτη και για 0β και 0α >≥ η δεύτερη
ισχύουν: βα
βα
αββα
=
=
Η απόδειξη της πρώτης ισότητας γίνεται παρακάτω
Γ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
22
( ) =⋅ 2βα ( ) ( ) .βαβα 22 =⋅
( ) 2βα = α β.
Υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά .
Άρα βαβα ⋅=⋅
Παρατηρούμε ότι οι δύο μη αρ-νητικοί αριθμοί βα ⋅ και
βα έχουν το ίδιο τετράγωνο α β , οπότε είναι ίσοι .
Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και η δεύτερη ισότητα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β ,έχουμε βαβα ±≠±
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να συμπληρώσετε τις ισότητες α) 333 + = …… β) 2325 − = …… γ) 55545 −+ = …… δ) 312 ⋅ = …… ε) 2:18 = …… στ) =⋅ 823 …… ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( ) 34313333 =+=+ β) ( ) 222352325 =−=− γ) ( ) =−+=−+ 554155545
05.0 == δ) 6363.12312 ===⋅ ε) 392:182:18 ===
==⋅ 4.2.23823 στ) 122.642.23 ===
α) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην πα-ρένθεση β) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην παρένθεση. γ) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην παρένθεση και 0.α=0
δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών
α.ββ.α = και επίσης αφού α 0≥ είναι
α2
α = .ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
των ριζών β
α
β
α= . στ) Χρησιμοποιούμε
την ιδιότητα των ριζών α.ββ.α =
2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε στοιχείο της στήλης Α ένα στοιχείο από τη στήλη Β.
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
23
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το α αντιστοιχίζεται στο 3 γιατί 525 = Το β αντιστοιχίζεται στο 2 γιατί -25<0 Το γ αντιστοιχίζεται στο 1 γιατί 525 −=−
Το δ αντιστοιχίζεται στο 3 γιατί 52552 ==
Το ε αντιστοιχίζεται στο 3 γιατί ( ) 555 2 =−=−
Το στ αντιστοιχίζεται στο 2 γιατί στο 25− το -52<0 3. Να συμπληρώσετε τους πίνακες .
Άθροισμα Γινόμενο Πηλίκο
α β α
β
βα +
βα +
βα
βα ⋅
β
α
βα
4 1
2 1 5 3 2 2 2 2
9 16 3 4 5 7 12 12
43
43
64 36 8 6 10 14 48 48
34
34
ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2=4 , 1=1 , 541βα =+=+ , 32141βα =+=+=+
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α. 25
β. 25− γ. 25−
δ. 25
ε. ( )25−
στ. 25−
1. – 5 2. δεν ορίζεται 3. 5
α 3
β 2 γ 1 δ 3 ε 3 στ 2
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
24
244.1βα === , 22.141βα ===⋅ , 214
βα
== ,
214
βα
== , 3=9 , 4=16 , 525169βα ==+=+
743169βα =+=+=+ , 1214416.9βα === ,
124.3169βα ===⋅ ,43
169
βα
== ,43
169
βα
== ,
8=64 , 6=36 , 101003664βα ==+=+ ,
14683664βα =+=+=+
, 48230436.64βα === , 486.83664βα ===⋅ ,
34
3664
βα
== ,34
3664
βα
==
4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.
α) 632 = β) 532 =+
γ) 23
49=
δ) ( ) 33 2 =−
ε) 1211
21 2
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
στ) Το διπλάσιο του 5 είναι το 10 ζ) Το μισό του 12 είναι το 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) 63.232 == (Σ) β) 53232 =+≠+ (Λ)
γ) 23
49= γιατί
49
23 2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ (Σ)
δ) ( ) 333 2 =−=− (Σ)
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
25
ε) 21
21
211
21 22
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − (Λ)
στ) Το διπλάσιο του 5 είναι το 10 , 205.45.452 === (Λ)
ζ) Το μισό του είναι το 12 είναι το 3 , 34
124
12212
=== (Σ)
5. Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 50 m2. Είναι σωστό να ισχυριστούμε ότι η πλευρά του είναι 25 m ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2525.225.250αα50αE 22 ====→=→= είναι σωστό
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
314.
221
710.
514 δ)
712.
73
85.
25 )γ
34723875 β) 525753 )α
+−
+−−+−
( )
( ) ( )
9724943.214.21
7.510.14
314.
221
710.
514 δ)
2811
2824
2835
76
45
4936
1625
7.7
3.12-8.25.5
712.
73
85.
25 )γ
3473348725
34723875 β)
52527-3
525753 )α
=+=+=
=+=+
=−=−=−=
==−
−=+−+−=
=+−−
−=+=
=+−
α) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην παρένθεση.
β) Επιμεριστική ιδιότητα- Πράξεις στις παρενθέσεις.
γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
των ριζών α.ββ.α = και επί-σης αφού α 0≥ και β 0≥ είναι
β2
β και α2
α == .
δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
των ριζών α.ββ.α = απλο-ποιούμε και επίσης αφού α 0≥ και
β 0≥ είναι β2
β και α2
α == .
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
26
Να αποδείξετε τις ισότητες:
8,32,0.8,09,4.6,3 δ) 65
12048.218.3 )γ
53355122027 β) 2-1086-325023 )α
=−=+−
−=−+−=+−
=−+−=
=−+−=
=+−
42616.225.223
4.2616.225.223
86-325023 )α
( ) 210212453
212242523
−=−+−=
=−+−=
α) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το 2 και
εφαρμόζουμε την ιδιότητα α.ββ.α = Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.
( ) ( )5335
512323
5325233
53.4549.3
53.45.49.3
5122027 β)
−=
=−−++=
=−+−=
=−+−=
=−+−=
=−+−
( )( ) 66243626463
6462.263
56.452462633
5
5.246.8.2-3.63
512048.218.3 )γ
2
=+−=+−=
=+−=
=+−=
=+=
=+−
β) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το 3 ή το 5 και εφαρμόζουμε την ιδιότητα
α.ββ.α = Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.
γ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το 6 και
εφαρμόζουμε την ιδιότητα α.ββ.α = Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
27
8,31038
10442
104
107.6
10016
10049.36
10016
10049.36
102
108
1049.
1036
2,0.8,09,4.6,3 δ)
==−
=−=
=−=−=
=−=
=− δ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε πηλίκα και εφαρμόζουμε την ιδιότητα
β
α
β
α= και την ιδιότητα α.ββ.α =
Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
93126 )γ 9-52286 β) 1612 )α ++
10 100
1486 2.786 49286
3-52286 9-52286 β)
4164121612 α)
==
=+=+=+=
=+=+
==+=+
6366.6
36612.369126
3.3126 93126 )
===
====
==γ
α) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω». β) ομοίως γ) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω».
Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα με τις περιμέτρους και τα εμβαδά των ορθογωνίων ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ και ΚΛΜΝ .Ποιο από τα ορθογώνια έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν
μήκος
πλάτος
περίμετρος
εμβαδόν
ΑΒΓΔ 5 2 2 212 10
ΕΖΗΘ 4 2 2 2 212 16 ΚΛΜΝ 3 2 3 2 212 18
ΑΣΚΗΣΗ 3
ΑΣΚΗΣΗ 4
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
28
Για το ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι:
( ) 2122210222102.225.2 =+=+=+
Και το εμβαδόν: ( ) 102.5252.25E2
==== Για το ΕΖΗΘ η περίμετρος είναι:
( ) 212248242822.224.2 =+=+=+
Το εμβαδόν: ( ) 162.82822.24E2
==== Για το ΚΛΜΝ η περίμετρος είναι:
( ) 212266262623.223.2 =+=+=+ Και το εμβαδόν:
( ) 182.92923.23E2
====
Η περίμετρος ενός ορθογωνί-ου με διαστάσεις α και β είναι Π=2α+2β Το εμβαδόν του ορθογωνίου με τις ίδιες διαστάσεις είναι Ε= α. β
Να κάνετε τις πράξεις : α) ( )8182 + β) ( )3276 − γ) ( )3004575 −+ : 15 δ) ( )( )5757 +−
( )104616368.218.2
8.218.28182)α
=+=+=+=
=+=+
( )
( )
26
2.3.29229.221823.62
36236133.63.63
3.63.9.63.63.9.6
3.627.63276 )β
=
======
==−=−=
=−=−=
=−=−
α) Εφαρμόζουμε την επιμερι-στική ιδιότητα και κατόπιν την
ιδιότητα α.ββ.α = . β) Εφαρμόζουμε την επιμερι-στική ιδιότητα και κατόπιν την
ιδιότητα α.ββ.α = αφού «σπάσουμε» το 27 σε γινόμενο με έναν όρο το 3.
ΑΣΚΗΣΗ 5
ΛΥΣΗ
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
29
( )( )
( )
53
5.2355.435
203515
203515
15:15.2015.315.5
15:3004575 )γ
−=
=−+=−+=
=−+=−+
=
=−+=
=−+
γ) «Σπάμε» όλες τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα με έναν όρο το 15 και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα κάνουμε απλοποίηση στο κλά-σμα. Κατόπιν μετατρέπουμε τις ρίζες που απομένουν σε α-πλούστερες για να γίνει αναγω-γή ομοίων όρων.
Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα που έχουν άρρητους παρονομα-στές σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές .
α)2
1 β) 4
4 γ) 52
5 δ) 3
632 +
( )
( )
( )
( ) 223
2233
32323
3.2323
632 )δ
25
5.255
52
55552
5552
5 )γ
632
664
6
646.6
646
4 )β
22
2
22.2
212
1 )α
2
2
2
+=+
=
=+
=+
=+
====
====
===
α) Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την ρίζα του 2 και εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ριζών «Αν 0x > , τότε
( ) x2
x = ». β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) «Σπάμε» την ρίζα του 6 σε γινόμενο με έναν όρο το 3 και χρησιμοποιώντας την επιμερι-στική ιδιότητα κάνουμε απλο-ποίηση στο κλάσμα
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x53x5 −=+ β) 24=x6
γ) 322
x= δ) 27x33 =−
ΑΣΚΗΣΗ 7
ΑΣΚΗΣΗ 6
ΛΥΣΗ
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
30
5x2
52x52x2
5 )α
=→=→=
−=+→−=+ 53xxx53x5
26
64624x24 )β ===→=x6
864
32.2322x )γ
==
===→= 322
x
0x0x3333x
3339x339.3x
3327x
=→=−→−=−
−=−→−=
−=−→=− 27x33δ)
α) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμεριστική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. «Σπάμε» την ρίζα του αριθ-μητή σε γινόμενο έτσι ώστε με την χρή-
ση της ιδιότητας α.ββ.α = να γίνει απλοποίηση με τον παρονομαστή.
γ) Κάνουμε «χιαστί» και χρησιμοποιώ-
ντας την ιδιότητα α.ββ.α = βρί-σκουμε την λύση.
δ) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. «Σπάμε» την ρίζα του 27 για να κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμερι-στική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συ-ντελεστή του αγνώστου
Να αποδείξετε ότι ( )( ) 21313 =+− . Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη
ισότητα να μετατρέψετε το κλάσμα13
1−
, που έχει άρρητο παρονομαστή,
σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. ( )( )( ) 21313
1333313132
=−=−=
=−−+=+−
( )( )( ) 2
131313
13113
1 +=
+−+
=−
Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και την ιδιότητα των ριζών «Αν x>0 ,
τότε ( ) x2
x = ».Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την πα-
ράσταση 13 + και εφαρμόζουμε την ισότητα που αποδείξαμε
Αν τα τετράγωνα ΑΒΓΔ , ΓΕΖΗ έχουν εμβαδόν 50 m 2 και 8 m 2 αντιστοί-χως ,να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΘΙΕ είναι 98 m2.
ΑΣΚΗΣΗ 9
ΑΣΚΗΣΗ 8
ΛΥΣΗ
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
31
Για να βρούμε το εμβαδόν του ΒΘΙΕ χρειαζό-μαστε την πλευρά του. Η πλευρά του είναι το άθροισμα των πλευρών των τετραγώνων ΑΒΓΔ και ΗΓΕΖ. Είναι ΒΕ=ΒΓ+ΓΕ.
Αλλά 25252ΒΓ
25.250ΒΓ502
ΒΓ
==
==→=και
2242ΓΕ
4.2ΓΕ82
ΓΕ 8==
==→=οπότε
ΒΕ=ΒΓ+ΓΕ= 272225 =+ και επομέ-νως το εμβαδόν του ΒΘΙΕ είναι
( ) ( ) ( ) 2m 982.49
22.
27
227
2ΒΕΒΘΙΕ =====
Στις κάθετες πλευρές ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 6 cm ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ , Ε , έτσι ώστε ΑΔ = 2 cm και ΑΕ = 1 cm . Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 3 ΔΕ .
Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ
( )1 539.59.545ΒΓ45ΒΓ
36ΒΓΑΒΑΓΒΓ2
222222
====→=
+=→+=
Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ
( )2 5ΔΕ5ΔΕ
21ΔΕΑΔΑΕΔΕ2
222222
=→=
+=→+=
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΓ = 3 ΔΕ .
Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), το ύψος ΑΔ = 4cm και η πλευρά ΒΓ = 4 cm α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 4 + 4 5 . β) Οι αριθμοί 4 + 20 , 4 + 202 , 8 5 , ( )2022 + είναι οι απαντήσεις που έδωσαν στην προηγούμενη ερώτηση 4 μαθητές. Ποιες από αυτές είναι σωστές ;
ΑΣΚΗΣΗ 10
ΑΣΚΗΣΗ 11
ΛΥΣΗ
2cm
4cm
B Γ
A
Δ
Α Β
Γ
Δ
Ε
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
32
cm 52ΑΓ
5.45.420ΑΓ20ΑΓ
24ΑΓΔΓΑΔΑΓ )α2
222222
=
===→=
+=→+=
544Π
45252ΒΓΑΓΑΒΠ
νουώτριγ
νουώτριγ
+=
++=++=
( ) (ΣΩΣΤΗ) 54420242022
(ΛΑΘΟΣ) 544545458
(ΣΩΣΤΗ) 54452.24
5.4245.4242024
(ΛΑΘΟΣ) 544524
5.445.44204 )β
+=+=+
+≠+=
+=+=
=+=+=+
+≠+=
=+=+=+
α) Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ και βρίσκουμε την πλευρά ΑΓ Κατόπιν βρίσκουμε την περίμετρο του τριγώνου λαμβάνοντας υπόψη ότι ΑΒ=ΑΓ και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. β) «Σπάμε» την ρίζα του 20 σε γινόμενο με παράγοντα το 5 και εφαρμόζοντας την ιδιότητα
α.ββ.α = βρίσκουμε κάποιες απαντήσεις σωστές και κάποιες λάθος όπως φαίνεται δίπλα.
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το
έτος γέννηση σας. -5+12-3…. ….=…. 3- 9- 1 … ….=…. 2(-3)-4… …...=… -3(-4)+7… …..=… ΛΥΣΗ Αν π.χ γεννήθηκα το 1955 θα έχω: -5+12-3-3=1 3- 9- 1 +16 =9 2(-3)-4+15 =5
-3(-4)+7-14=5
2. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αν το άκρο κάθε βέλους δείχνει το άθροισμα της αντίστοιχης στήλης ή γραμμής.
ΛΥΣΗ Το αποτέλεσμα της 1ης γραμμής είναι 5 Στη δεύτερη γραμμή λείπει το -9 Στη τρίτη γραμμή λείπουν τα 3, -9, -4 Στην τέταρτη γραμμή λείπει το -8 και στην πέμπτη οι 1,8,-7
ΛΥΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
33
3. Να συμπληρωθεί το τετράγωνο, ώστε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιος του, να έχει το ίδιο γινόμενο. ΛΥΣΗ
Βρίσκουμε το γινόμενο της διαγωνίου: 3210 22.2.2 −−− = επομένως όλα τα γινόμενα θα πρέπει να είναι 32−
3x3x2-23x22 22 ή 22 ή 22.2.2 −−+−− === άρα στην τρίτη στήλη το δεύτερο θα είναι 32− . Ομοίως -5 xή -32 xή 22 ή 22.2.2 3x23x20 ==+== −+− άρα στην πρώτη γραμμή το δεύτερο θα είναι 52− . Η άλλη διαγώνιος θα είναι
-4 xή -31 xή 22 ή 22 ή 22.2.2 31x3x1-23x12 ==+=== −+−+−− άρα το πρώτο στοιχείο της τρίτης γραμμής θα είναι 42− .Ομοίως και τα υπόλοιπα επομένως ο πίνακας συμπληρώνεται όπως φαίνεται παρακάτω.
02 52− 22 12 12− 32−
42− 32 22−
4. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη Α = 377 + 377 + 377 Β = 2102 - 2101 - 2100
Γ= 259 – 429 Δ=217.318-218.317 ΛΥΣΗ
7877177777777 333.3333Α ===++= +
( ) 100100012100
010011002100100101102
21.222222.22.22.2222Β
==−−=
=−−=−−=
( ) 5858585859292592959 22.12.2222242Γ =−=−=−=−=
( ) ( ) ( ) 1717171717171717
1717171717181817
63.23.23.223.2.3
3.2.23.3.23.23.2Δ
===−=
=−=−=
5. Να λυθεί η εξίσωση (-2)ν · x = 2ν+1
ΛΥΣΗ Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Αν ν άρτιος τότε: ( ) 222
2 xή 2x.2 ή 2x.2 ν1νν
1ν1νν1νν =====− −+
+++
Αν ν περιττός τότε: ( ) 222
2 xή 2x.2- ή 2x.2 ν1νν
1ν1νν1νν −=−=
−===− −+
+++
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
34
6. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλ-λους;
632,23,26,182,72,83 )β122,
32,
33,
33,
31,
31 )α
ΛΥΣΗ
33
31
322
4.32
4.32
122
33
3333
333
3 ,33
33
31
31 ,
33
333
31 α)
=====
===
====
Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο 3
3
261826.326.32 , 23
26 ,267218.4184182
264.23839.89.872
262.2.342.34.2383 β)
===
====
=====
====
Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο 23 . 7. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι;
327ε,33δ,12γ,3.32β,33α )ii
42στ,
21ε,
24δ,22γ,
22β,18α )i
−=+===+=
======
ΛΥΣΗ
22
42
42στ,
22
222
21ε
,222
242.2
242
4δ,22γ
,22β,224.24.28α )i
======
=====
=====
Επομένως ίσοι είναι οι α = γ = δ και β = ε = στ.
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
35
3233339339.3327ε
,633δ,32434.312γ
,63.23.32β,3233α )ii
=−=−=−=−=
=+=====
====+=
Επομένως ίσοι είναι οι α = γ = ε. 8. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων
199154457Β ,1371321Α ++++=++++= ΛΥΣΗ
864757495754457254457
10154457100154457
199154457100154457
199154457199154457Β
525421162131321
91321271321471321
13713211371321Α
==+=+=++=++=
+++=+++=
=++++=+++=
=++++=++++=
==+=+=++=
=++=+++=+++=
=++++=++++=
9. Να υπολογιστούν οι ρίζες
=
=
=
=
=
76543211234567898
.................1234321
12321
121
1
ΛΥΣΗ
11112321
11121
11
=
=
=
ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
36
321δεςάμον
21ν
1...11176543211234567898
.................11111234321
+
=
=
10. Αν το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι 80 cm2 και του ΑΕΖΗ, 45 cm2 , να αποδείξετε ότι η περίμετρος Γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι
512 ΛΥΣΗ Είναι 545.165.1680ΑΔ ή 80ΑΔ2 ===== Επίσης είναι 539.59.545ΑΕ ή 45ΑΕ2 ===== Με το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ έχουμε ότι:
5525.525.5125ΔΕ ή 1254580ΑΕΑΔΔΕ 222 =====+=+= Οπότε η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι Π=ΑΔ+ΑΕ+ΔΕ= 512555354 =++ . 11. Να συμπληρώσετε το διπλανό τετράγωνο ώστε να
γίνει μαγικό. ΛΥΣΗ
242.1616.232 === ,282.6464.2128 ===
252.2525.250 === 222.44.28 ===
Πρέπει να είναι 215222528850128 =++=++ Άρα στην πρώτη γραμμή λείπει το 18232824215 ==−− . Άρα στην πρώτη στήλη λείπει το 162292224215 ==−− . Άρα στην δεύτερη στήλη λείπει το 98272523215 ==−− . Άρα στην δεύτερη γραμμή λείπει το 22529215 =−− . Άρα στην τρίτη γραμμή λείπει το 3224228215 ==−− . 12. Να βρεθεί η πλευρά τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν κύ-
κλου ακτίνας cm 10=r . Με αφορμή το τελευταίο πρόβλημα είναι δυνατόν να συζητηθεί το «πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου».
ΛΥΣΗ π10πrπr xή rπx 222 ====
32 18 128 162 50 2
8 98 32