สาวน้อยร้อยเลข ตอน ลำดับและอนุกรม
-
Upload
tpa-publishing- -
Category
Documents
-
view
135 -
download
12
description
Transcript of สาวน้อยร้อยเลข ตอน ลำดับและอนุกรม
สารบญ
บทน�า ............................................................................................... 1
บทท 1 ล�าดบกบรปแบบ ............................................................. 3
1.1 ใตตนซากระ.......................................................................... 3
1.2 ทบาน ................................................................................... 7
1.3 โจทยทายเลขไมมค�าตอบสดทาย .......................................... 10
บทท 2 จดหมายรกนามวาสมการ ............................................. 15
2.1 ทประตโรงเรยน .................................................................... 15
2.2 โจทยคณตคดในใจ ............................................................... 16
2.3 จดหมาย .............................................................................. 17
2.4 เลกเรยน .............................................................................. 18
2.5 หองบรรยาย ........................................................................ 19
2.5.1 นยามของจ�านวนเฉพาะ ............................................ 21
2.5.2 นยามของคาสมบรณ ................................................. 25
2.6 ทางกลบบาน ........................................................................ 27
2.7 ทบาน ................................................................................... 29
2.8 เฉลยของคณมรกะ............................................................... 33
2.9 หองสมด .............................................................................. 35
2.9.1 สมการกบเอกลกษณ ................................................. 36
2.9.2 รปผลคณกบรปผลบวก .............................................. 40
2.10 ใครหนอทอยอกฟากฝงของสมการ ..................................... 44
บทท 3 เพลงวอลซของ ω ........................................................ 47
3.1 ณ หองสมด ......................................................................... 47
3.2 การสายกบการหมน ............................................................ 50
3.3 เพลงวอลซของ ω ............................................................... 57
บทท 4 ล�าดบฟโบนชชกบฟงกชนกอก�าเนด ............................. 65
4.1 หองสมด .............................................................................. 65
4.1.1 หารปแบบ ................................................................. 66
4.1.2 ผลบวกอนกรมเรขาคณต ........................................... 68
4.1.3 สอนกรมอนนต .......................................................... 68
4.1.4 ฟงกชนกอก�าเนด ...................................................... 69
4.2 ควาจบล�าดบฟโบนชช........................................................... 72
4.2.1 ล�าดบฟโบนชช .......................................................... 72
4.2.2 ฟงกชนกอก�าเนดของล�าดบฟโบนชช ......................... 74
4.2.3 หารปปด ................................................................... 75
4.2.4 ลองเขยนเปนอนกรมอนนต ....................................... 77
4.2.5 ไขปญหา ................................................................... 79
4.3 มองยอนกลบไป ................................................................... 82
บทท 5 ความสมพนธคาเฉลยเลขคณต-เรขาคณต ................. 85
5.1 ทตกนงเลน........................................................................... 85
5.2 ค�าถามพรงพร ..................................................................... 87
5.3 อสมการ ............................................................................... 89
5.4 ไปตออกกาว ......................................................................... 98
5.5 การเรยนคณตศาสตร ......................................................... 101
บทท 6 เคยงขางคณมรกะ ......................................................... 107
6.1 อนพนธ ................................................................................ 107
6.2 ผลตาง ................................................................................. 111
6.3 อนพนธกบผลตาง ............................................................... 114
6.3.1 ฟงกชนก�าลงหนง(x) ................................................ 114
6.3.2 ฟงกชนก�าลงสอง(x2) ............................................... 115
6.3.3 ฟงกชนก�าลงสาม(x3) ............................................... 118
6.3.4 ฟงกชนเลขชก�าลง(ex) ............................................. 119
6.4 ทองไปในโลกสองใบ ............................................................. 122
บทท 7 คอนโวลชน .................................................................... 125
7.1 หองสมด .............................................................................. 125
7.1.1 คณมรกะ ................................................................... 125
7.1.2 เตตระ ....................................................................... 129
7.1.3 สมการเวยนเกด ........................................................ 130
7.2 กรณทวไประหวางทางกลบบาน ........................................... 133
7.3 ทฤษฎบททวนามทบนส ......................................................... 135
7.4 หาผลคณฟงกชนกอก�าเนดทบาน ........................................ 144
7.5 หองสมด .............................................................................. 150
7.5.1 เฉลยของคณมรกะ .................................................... 150
7.5.2 เผชญหนากบฟงกชนกอก�าเนด ................................. 156
7.5.3 ผาพนคอ ................................................................... 159
7.5.4 ปราการดานสดทาย ................................................... 160
7.5.5 ทลายก�าแพง ............................................................. 163
7.5.6 วงกลมรศมศนย ........................................................ 167
บทท 8 จ�านวนฮารมอนก .......................................................... 171
8.1 ลาสมบต .............................................................................. 171
8.1.1 เตตระ ....................................................................... 171
8.1.2 คณมรกะ ................................................................... 173
8.2 ทกหองสมดมบทสนทนา ...................................................... 174
8.2.1 ผลบวกยอยกบอนกรมอนนต ..................................... 175
8.2.2 เรมจากตรงทเหนชด .................................................. 177
8.2.3 ประพจน ................................................................... 179
8.2.4 ส�าหรบทกๆ .............................................................. 182
8.2.5 ม...ซงท�าใหเปนจรง ................................................... 185
8.3 หองดนตรกบบนไดเวยนสอนนต .......................................... 188
8.4 ซตานาหงดหงด ................................................................... 190
8.5 เมอประเมนอนนตไวสงเกนไป ............................................... 192
8.6 ฮารมอนกในหองเรยน.......................................................... 199
8.7 โลกสองใบ การกระท�าสอยาง .............................................. 202
8.8 กญแจรดอก ประตไมรบาน .................................................. 209
8.9 หากโลกนมจ�านวนเฉพาะเพยงสองตว .................................. 211
8.9.1 คอนโวลชน ............................................................... 212
8.9.2 อนกรมเรขาคณตทลเขา ............................................ 213
8.9.3 การแยกตวประกอบเฉพาะท�าไดเพยงหนงเดยว ......... 214
8.9.4 พสจนวาจ�านวนเฉพาะมอยเปนอนนต ....................... 215
8.10 ทองฟาจ�าลอง ...................................................................... 220
บทท 9 การกระจายอนกรมเทยเลอรกบปญหาบาเซล .............. 225
9.1 หองสมด ............................................................................................... 225
9.1.1 การดสองใบ .............................................................. 225
9.1.2 พหนามก�าลงอนนต ................................................... 227
9.2 การเรยนดวยตนเอง ............................................................ 231
9.3 บนส ..................................................................................... 233
9.3.1 กฎการหาอนพนธ ..................................................... 233
9.3.2 หาอนพนธซ�า ............................................................ 236
9.3.3 การกระจายเทยเลอรของsinx ................................. 239
9.3.4 รปรางของฟงกชนในฐานะคาลเขา ............................. 242
9.4 ทบาน ................................................................................... 246
9.5 ทฤษฎบทหลกมลของพชคณต ............................................. 249
9.6 หองสมด .............................................................................. 256
9.6.1 ผลทเตตระลองท�ามา ................................................. 256
9.6.2 จะไปลงเอยตรงไหน .................................................. 259
9.6.3 ทาสสอนนต .............................................................. 266
บทท 10 จ�านวนแบงกน ............................................................... 271
10.1 หองสมด .............................................................................. 271
10.1.1 จ�านวนแบงกน........................................................... 271
10.1.2 ดตวอยางจรง ............................................................ 273
10.2 ทางกลบบาน ........................................................................ 280
10.2.1 ทาฟโบนชช .............................................................. 280
10.2.2 การจบกลม ............................................................... 281
10.3 บนส ..................................................................................... 283
10.4 ทบาน ................................................................................... 286
10.4.1 จะเลอกออกมาอยางไร .............................................. 287
10.5 หองดนตร ............................................................................ 290
10.5.1 การบรรยายของผม
(ฟงกชนกอก�าเนดของจ�านวนแบงกน) ....................... 291
10.5.2 การบรรยายของคณมรกะ
(ขอบเขตบนของจ�านวนแบงกน) ............................... 299
10.5.3 การบรรยายของเตตระ .............................................. 305
10.6 หองเรยน ............................................................................. 309
10.7 หนทางยาวไกลสขอบเขตบนทดกวาเดม ............................... 311
10.7.1 เรมตนจากฟงกชนกอก�าเนด ...................................... 312
10.7.2 ‘โคงแรก’เปลยนคณเปนบวก .................................... 313
10.7.3 ‘ปาตะวนออก’การกระจายเทยเลอร .......................... 315
10.7.4 ‘เนนตะวนตก’จ�านวนฮารมอนก ............................... 320
10.7.5 สนสดการเดนทาง ..................................................... 322
10.7.6 เมอเตตระมองยอนกลบไป ......................................... 324
10.8 แลวพบกนใหม ...................................................................... 326
บทสงทาย ..................................................................................... 329
จากผเขยน .................................................................................... 333
แหลงอางองและหนงสออานเพมเตม ............................................. 335
ดชน ............................................................................................ 345
ผลงานของผเขยน ........................................................................ 346
ผมยงไมลม
ไมมทางลมพวกเธอทผมเขาไปของแวะผานคณตศาสตรสมยอย
ม.ปลาย
ทงคณ “มรกะ” ผปราดเปรอง ทท�าผมตะลงดวยวธไขโจทยอนงดงาม
หรอสาวนอยราเรงอยาง “เตตระ” ทหมนตงค�าถามกบผมดวยความ
กระตอรอรน
นกถงชวงเวลานนแลว สมการกผดขนในใจ ความคดสดใหมฟงกระจาย
ไปทว อนวาสมการนนไมจดจางไปเลยแมจะลวงผานกาลเวลา แตยงคงบอกเลา
ประกายความคดของบรรดานกคณตศาสตรใหผมฟง ทงของยคลด เกาส และ
ออยเลอร...
...คณตศาสตรขามผานกาลเวลา
เมอผมอานสมการคราใด ไมวานกคณตศาสตรสมยโบราณเขาประทบ
ใจสงใด ผมกพลอยไดลมรสสงนนไปดวย แมพสจนไดแลวตงแตกรอยปกอน
บทน�ำ
เพยงทองจ�ำใชไดเสยทไหน
ตองหวนนกไดตำงหำกใชหรอไม
—โคบายาช ฮเดโอะ
2 สาวนอยรอยเลข
กไมส�าคญ แตความรสกในใจระหวางทไลตามทฤษฎบทในตอนนมนเปนของผม
อยางแนนอน
...คณตศาสตรพาเรากาวขามกาลเวลา
มนพาเราบกปาฝาดงไลลาหาขมสมบตทซอนอย คณตศาสตรคอเกม
อนนาตนเตน คอการประชนปญญา มงหนาสผลเฉลยทแขงแกรงทสด แลวบาง
ครงคณตศาสตรยงเปนศกประลองใหใจสนระรวอกดวย
สมยนนผมเพงเรมหยบจบอาวธทชอวาคณตศาสตรไดไมนาน แตเหต
วาอาวธนนมโหฬารจงเกนมอผมอยร�าไป ดงทความเยาววย ดงทหวงคะนงถง
เธอทงสองยงเกนมอตน
เพยงทองจ�าใชไดเสยทไหน
ตองหวนนกไดตางหากใชหรอไม
เรองราวเรมตนขนในฤดใบไมผลชน ม.4...
1.1 ใตตนซากระ
...ฤดใบไมผลของชน ม.4
ทองฟาแจมใสรบพธเปดภาคการศกษา
ซากระงามเบงบาน...ในโอกาสททกคนเรมออกเดนทางครงใหม...ใน
สถาบนอนมประวตมายาวนานแหงน...ขอใหนกเรยนทมเทใหการเรยน ใหการ
กฬา...พวกเธอเอย ความรเจายงดอยเรงศกษา...
ถอยค�ากลาวตอนรบแสดงความยนดของผอ�านวยการเรยกความงวงงน
มาใหไมหยดหยอน ผมท�าเปนขยบแวนเพอกลนหาว
เสรจสนพธเปดภาคการศกษา ระหวางทางกลบหองเรยน ผมแอบยอง
ออกจากอาคาร ย�าเทาไปยงทวตนซากระดานหลง กาวเดนไปชาๆ รอบตวผม
ไมมใคร
บทท 1
ล�ำดบกบรปแบบ
หนง, สอง, สำม สำมหนงหน
หนง, สอง, สำม สำมสองหน
—โอชมะ ยมโกะ, “ดาวแผนดนปยฝาย (Wata no kuni hoshi)”
4 สาวนอยรอยเลข
ขณะนผมอาย 15 ป 15, 16, 17, ... พอเรยนจบก 18 ในนมจ�านวนก�าลง
สอยหนงตว จ�านวนเฉพาะหนงตว
15 = 3 ∙ 5
16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24 จ�านวนก�าลง 4
17 = 17 จ�านวนเฉพาะ
18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 32
ปานนในหองเรยนคงก�าลงแนะน�าตวกนอย ผมเองไมถนดแนะน�าตว
สกเทาไร จะใหผมพดอะไรเกยวกบตวเองละ ?
“ผมชอบเลข มงานอดเรกชอบกระจายสตรเลขครบ ยนดทไดรจก”
...ฟงดงเงาชอบกล
ชางมนเหอะ ยงไงผมกคงเรยนไปสงบๆ นงกระจายสตรเลขอยในหอง
สมดทไมมใครเขาไปใช ท�าไปอกสามปไมตางจากตอน ม.ตน นนแหละ
เบองหนาผมมตนซากระใหญสะดดตาตนหนง
หญงสาวคนหนง ยนแหงนมองซากระตนนนอย
นกเรยนใหมงนหรอ คงแอบดอดมาเหมอนเราละมง
ผมเงยหนามองตนซากระบาง สสนเบาบางแผคลมทองฟาไว
สายลมโบกพดกลบซากระปลวไหวไปโอบกอดหญงสาว
เธอหนมามองผม
ล�าตวเธอผอมเพรยว เรอนผมสด�ายาว
ใบหนาจรงจงก�าลงเมมปากภายใตแวนกรอบโลหะ
แลวเธอกพดขนเสยงดงฟงชด
“หนง, หนง, สอง, สาม”
1 1 2 3
5บทท 1 ล�าดบกบรปแบบ
พอทองตวเลขไดสตว หญงสาวกเงยบลงแลวชมาทางผม คลายจะบอก
วา... เอา นายทยนอยนนนะ ตอบมาซวาตวถดไปคออะไร
ผมชตวเอง (ใหเราตอบ ?)
เจาหลอนเพยงพยกหนาโดยไมพดอะไร ยงคงชนวมาทางผม
อะไรละเนย... เดนดทวซากระอยดๆ ท�าไมตองมาเลนเดาเลขดวย เออ
เมอกมเลขอะไรบางนะ ?
1, 1, 2, 3, ...
“1, 1, 2, 3 ถดไปคอ 5 แลวก 8 แลวก 13 ถดไปอกก 21 จากนน...”
เธอหนฝามอมาทางผม สงสญญาณใหหยด
คราวนอกค�าถาม เปนเลขอกสตว
1 4 27 256
แลวเธอกชผม
นทดสอบกนอยร
1, 4, 27, 256, ...
ผมมองกฎออกในพรบตา
“ตอจาก 1, 4, 27, 256 ก 3125 ละมง แลวก... เออ คดในใจไมไหวละ”
สหนาเธอผดหวงเมอผมบอกวา คดในใจไมไหว แลวเธอกสายหนา
สองสามทกอนเฉลยเสยงใสวา
“1, 4, 27, 256, 3125, 46656, ...”
แลวเธอกหลบตา แหงนคอขนเลกนอยคลายเงยหนามองตนซากระ
เธอชนวชขนกลางอากาศวาด วบ วบ วบ
เหมอนสาวนอยผนจะพดถงแตตวเลข เธอเพยงรอยเรยงจ�านวนอยาง
เรยบงายพรอมออกทาทางเลกนอย ทวาผมกลบละสายตาจากเดกผหญงแปลกๆ
คนนไมได เธอคดอะไรถงได...
6 สาวนอยรอยเลข
แลวเธอกมองมา
6 15 35 77
เลขสตวอกละ
6, 15, 35, 77, …
อนนยากแฮะ ผมครนคดเตมก�าลง
6 กบ 15 เปนพหคณของ 3 แต 35 ไมใช แลว 35 กบ 77 เปนพหคณ
ของ 7 งนก... ถาทดในกระดาษคงนกออกไดไมยาก
ผมเหลอบมองเธอ ปรากฏวาหญงสาวทใตตนไมยงคงยนตรงมองผม
สหนาจรงจง แมกลบซากระจะปลวมาตดผม เธอกไมปดทง จรงจงอยางนสงสย
เปนการทดสอบกนแหงๆ
“รแลว”
พอผมวาเชนนน หญงสาวกตาเปนประกาย คลยมนอยๆ เปนครงแรก
“6, 15, 35, 77 แลวก 133” ผมเผลอพดเสยงดง
แตเธอกลบสายหนาเปนเชงวานาเสยดาย เสนผมยาวพลวไหว กลบ
ดอกไมรวงโรย
“คดเลขผด” นวเธอสมผสแวน
คดเลขผดหรอ... อาว จรงดวย 11 × 13 = 143 นนา ไมใช 133
เธอวาตอ... งนค�าถามถดไป
6 2 8 2 10 18
คราวนใหมาหกตว ผมคดอยพกหนง ตวสดทายเปน 18 นล�าบากจรง
ถาเปน 2 กสบายไปแลว เหมอนใหเลขมามวๆ เลย... เดยวนะ ทกตวเปนเลขค
7บทท 1 ล�าดบกบรปแบบ
เหรอ... ออรแลว!
“ตอไปคอ 4, 12, 10, 6, ... ขอนโหดนะ” ผมวาเชนนน
“เหรอ ? แตนายกตอบไดน”
เธอพดสหนาละมนละไม ขยบเขาใกลแลวยนมอมาหาผม นวเธอชาง
เรยวยาว
(จบมอ ?)
ผมจบมอเธออยางไมคอยเขาใจ มอนนนมนวลและอบอนเสยจรง
“ฉนชอมรกะ ยนดทรจก”
แลวผมกรจกกบคณมรกะดวยประการฉะนเอง
1.2 ทบาน
ตกกลางคน
ผมชอบเวลากลางคน เมอคนในบานเขานอนแลวกเปนชวงเวลาอสระ
ทไรขอบเขตส�าหรบผม มโลกอยใบหนงซงไมมใครแวะเวยนเขามา ภายในมผม
อาศยอยเพยงผเดยว ผมกางต�าราส�ารวจโลก ครนคดคณตศาสตรดงฝาเขาไป
ในดงลก คนพบสตวแปลกประหลาดทงหลายแลทะเลสาบใสจนตองตะลง ไปเจอ
ตนไมใหญขนาดตองแหงนหนามอง ไปพบดอกไมงามเขาโดยไมคาดฝน
คณมรกะ
เจอกนครงแรกกชวนคยเรองนน ถอวาเธอแปลกคนอย เธอคงชอบเลข
ไมผดแน มทไหนอยดๆ กทายล�าดบเลขโดยไมทนใหตงตว ท�าอยางกบทดสอบ
กนเลย วาแตเราสอบผานหรอเปลานะ จบมอทกทาย มอทนมนวล กลนหอมจางๆ
เปนกลนละมนบางเบา...ของเดกผหญง