ガンマ分布 @魁!!広島ベイズ塾
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ガンマ分布 gamma distribution
魁 !! 広島ベイズ塾 掴め!分布感 編 (2015.07.26)
山根 嵩史 ( 飯炊き兵 )
ガンマ分布とはレポート問題 ( 豊田先生ベイズ本 p.60)
単位時間あたりに提出されるレポートの数 ⇒ ポアソン分布始めてレポートが提出されるまでの時間 ⇒ 指数分布50 人分のレポートが提出されるまでの時間 ⇒ ガンマ分布
W 大学の統計学の授業では,毎週,授業内レポートが課されます。 ( 中略 ) 提出時における 10 秒間あたりの平均提出者数は 0.8 人でした。学生は50 人います。長すぎず短すぎない執筆時間を用意したいのですが,それは何分間と見積もればよいのでしょうか。
ガンマ分布とは
早く一号生になりたい早く一号生になりたい早く一号生になりt
単位時間あたりに流れる流れ星の数 ⇒ ポアソン分布流れ星が初めて観測されるまでの時間 ⇒ 指数分布流れ星が α 個観測される までの時間 ⇒ ガンマ分布ガンマ分布 = 母数 λ の指数分布に従う事象が α 回生じるまでの時間の分布 他にも交通事故数,スペルミス回数など
ガンマ分布の確率密度関数 母数 λ の指数分布に従う α 個の独立な確立変数の和 X
:形状母数 :尺度母数 β などの場合には = 1/
α が大きくなる,あるいは β が小さくなるにつれて,期待値と分散が増加 λ を変動させた場合 α を変動させた場合
どんな時に使える?先ほどのレポート問題を解いてみる単位時間 (10 秒 ) あたりの平均提出者数 0.8 人 λ = 0.8
学生の人数 50 人 α = 50
平均 62.5 ,中央値 62.1
※ 1 単位 = 10 秒 50 人全員が提出するまでに 約 10 分 25 秒!!
62.5
どんな時に使える?コワイ本の事例The seven scientists
7 人の科学者の能力に関するデータ 分散 (λi) の無情報事前分布として (0.001,0.001) のガンマ 分布設定
出典:『 Bayesian Cognitive Modeling 』
どんな時に使える?Change detection in time series data
あるタイミング (ti) で認知課題の成績が変動する (μ1→μ2)
ようなデータ 分散 (λ) の無情報事前分布として (0.001,0.001) のガンマ 分布設定
アーラン分布形状母数 α が整数値であるガンマ分布は,特にアーラン分
布と呼ばれる数学者 Agner K. Erlang が待ち行列理論において顧客の待
ち時間を計算するために用いた分布
※待ち行列理論 顧客の窓口への到着,提供されるサービス サービスを待つ顧客の行列などから, 平均待ち時間などの混雑の程度を評価する
物売るってレベルじゃねーぞ!
他の分布との関係
分析例:流れ星問題 2流れ星問題 2 ( 豊田先生ベイズ本 p.148)
50 分間流れ星を観測した H 君は,あと3つお願い事があることを思い出しました。今から流れ星を3つ観測するためにはどれくらい待てばよいでしょうか。
運が良ければ 20 分未満運が悪ければ 1 時間以上
参考文献・サイト・ Michael D. Lee , Eric-Jan Wagenmakers (2014) 『 Bayesian Cognitive Modeling:
A Practical Course 』 Cambridge University Press
・ R Financial & Marketing Library F.2.11. ガンマ分布
http://itbc-world.com/home/rfm/
・豊田 秀樹 (2015) 『基礎からのベイズ統計学 ハミルトニアンモンテカルロ
法による実践的入門』 朝倉書店
・ Univariate Distribution Rerationship http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/
UDR/UDR.html
・ wikipedia ガンマ分布 https://ja.wikipedia.org/wiki/ ガンマ分布
・ wikipedia アーラン分布 https://ja.wikipedia.org/wiki/ アーラン分布
・ weblio 待ち行列モデル http://www.weblio.jp/content/ 待ち行列モデル