прикладные задачи динамики_твердого_тела

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Л.И. Кудина, Ю.Л. Власов

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рекомендовано Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки 190109.65 Наземные транспортно-технологические средства, 190600.62 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Оренбург 2014

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 531.39(075.8) ББК 22.213я73 K88

Рецензент – профессор, доктор технических наук М. И. Филатов

Кудина, Л.И. Прикладные задачи динамики твердого тела : учебное пособие / Л.И. Кудина, Ю.Л. Власов; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2014. – 118 с. ISBN

Учебное пособие содержит 5 разделов, соответствующих основным разделам элективной дисциплины «Прикладные задачи динамики твердого тела»: устойчивость положения равновесия механических систем, малые колебания систем с одной и двумя степенями свободы вблизи положения устойчивого равновесия, элементарная теория удара, динамика плоскопараллельного движения твердого тела.

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по направлениям подготовки 190109.65 «Наземные транспортно-технологические средства», 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» всех форм обучения.

УДК 531.39(075.8) ББК 22.213я73

ISBN © Кудина Л.И. Власов Ю.Л., 2014

© ОГУ, 2014

К88


3

Содержание

Введение ............................................................................................................................... 5

1 Устойчивость положения равновесия ............................................................................ 6

1.1 Некоторые сведения из курса теоретической механики ........................................... 6

1.2 Понятие об устойчивости положения равновесия ................................................... 10

1.3 Потенциальная энергия консервативной системы с конечным числом

степеней свободы .............................................................................................................. 13

1.4 Теорема Лагранжа – Дирихле. Критерий Сильвестра ............................................. 15

1.5 Устойчивость равновесия неконсервативных механических систем .................... 21

2 Малые колебания системы с одной степенью свободы ............................................. 23

2.1 Общие сведения о колебаниях ................................................................................... 23

2.2 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с одной степенью

свободы в общем случае ................................................................................................... 28

2.2.1 Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы

в обобщенных координатах .............................................................................................. 29

2.2.2 Обобщенная сила для системы с одной степенью свободы ................................ 30

2.3 Свободные колебания механической системы с одной степенью свободы ......... 35

2.4 Влияние сил сопротивления на свободные колебания системы с одной степенью

свободы ............................................................................................................................... 39

2.5 Вынужденные колебания системы при гармоническом возбуждении .................. 47

2.5.1 Способы возмущения колебаний. Определение обобщенной силы BqQ ( t ) ....... 48

2.5.2 Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления .................................. 52

2.5.3 Вынужденные колебания при наличии линейного сопротивления .................... 58

2.6 Вынужденные колебания в случае периодической возмущающей силы ............. 62

2.7 Вынужденные колебания при произвольной возбуждающей силе ....................... 65

2.8 Основы теории регистрирующих приборов ............................................................. 68

2.9 Основы виброзащиты.................................................................................................. 72

3 Малые колебания системы с двумя степенями свободы ........................................... 76


4

3.1 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с двумя степенями

свободы ............................................................................................................................... 76

3.2 Свободные колебания системы с двумя степенями свободы ................................. 80

3.2.1 Дифференциальные уравнения свободных колебаний ........................................ 80

3.2.2 Общее решение дифференциальных уравнений свободных колебаний системы

с двумя степенями свободы .............................................................................................. 81

3.2.3 Главные координаты ................................................................................................ 85

3.3 Влияние линейного сопротивлении на собственные колебания ............................ 89

3.4 Вынужденные колебания системы без учета сопротивления ................................ 94

3.5 Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания .......................... 97

4 Теория удара ................................................................................................................... 99

4.1 Основное уравнение элементарной теории удара ................................................... 99

4.2 Общие теоремы теории удара .................................................................................. 101

4.2.1 Теорема об изменении количества движения системы при ударе .................... 101

4.2.2 Теорема об изменении главного момента количества движения

системы при ударе ........................................................................................................... 102

4.3 Коэффициент восстановления при ударе о неподвижную поверхность ............. 103

4.4 Прямой центральный удар двух тел ........................................................................ 103

4.5 Теорема Карно ........................................................................................................... 105

4.6 Удар по твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси ..................... 106

5 Динамика плоского движения ..................................................................................... 108

5.1 Дифференциальные уравнения плоского движения тела ..................................... 108

5.2 Задача о качении диска по наклонной плоскости .................................................. 111

5.2.1 Качение диска по наклонной поверхности при отсутствии скольжения ......... 111

5.2.2 Качение диска по наклонной поверхности при наличии скольжения .............. 114

5.2.3 Качение диска по наклонной поверхности с учетом трения качения .............. 117

Список использованных источников ............................................................................ 118


5

Введение

Содержание настоящего учебного пособия соответствует курсу лекций по

дисциплине «Прикладные задачи динамики твердого тела» для студентов,

обучающихся по направлениям подготовки 190109.65 «Наземные транспортно-

технологические средства» и 190600.62 «Эксплуатация транспортно-

технологических машин и комплексов».

Элективная дисциплина «Прикладные задачи динамики твердого тела»

вариативной части математического и естественнонаучного цикла основных

образовательных программ (ООП) указанных направлений подготовки является

логическим продолжением курса теоретической механики.

Изложение материала пособия предполагает знакомство читателя с основами

аналитической механики и, прежде всего, с использованием дифференциальных

уравнений Лагранжа второго рода для получения уравнений движения

механических систем с несколькими степенями свободы.

В первом разделе приведены краткие теоретические сведения из

предшествующего курса теоретической механики, необходимые для дальнейшего

изложения материала. Для удобства определения расположены в алфавитном

порядке. Основное содержание первого раздела посвящено изложению вопросов,

связанных с исследованием характера положения равновесия механических систем.

Во втором и третьем разделе рассматриваются малые колебания систем

твердых тел с одной и двумя степенями свободы вблизи положения устойчивого

равновесия.

Четвертый раздел содержит изложение основ элементарной теории удара.

Пятый раздел учебного пособия посвящен решению основных задач динамики

в случае плоскопараллельного движения твердого тела.

Завершает учебное пособие список литературы, рекомендуемой для более

глубокого самостоятельного изучения вопросов, не отраженных в настоящем

учебном пособии.


6

1 Устойчивость положения равновесия

1.1 Некоторые сведения из курса теоретической механики

Приведем краткие сведения о некоторых понятиях и определениях,

встречающихся в тексте данного учебного пособия и относящихся к различным

разделам курса теоретической механики.

Возможное перемещение точки механической системы – воображаемое

бесконечно малое перемещение, допускаемое наложенными на эту точку связями.

Геометрические связи – связи, налагающие ограничения на положения

(координаты) точек механической системы.

Голономная система – механическая система материальных точек, все связи

которых являются голономными.

Голономные связи – геометрические связи, уравнения (неравенства) которых

содержат только координаты точек системы и не содержат производные от этих

координат по времени (проекции скоростей точек).

Диссипативные силы – силы, вызывающие убывание (диссипацию) полной

механической энергии системы за счет перехода этой энергии в немеханические

формы, например, в теплоту. К диссипативным силам относятся силы вязкого и

сухого трения, силы аэродинамические сопротивления и т.п.

Идеальные связи – связи, сумма элементарных работ сил реакций которых на

любом возможном перемещении равна нулю: n

k kk 1

R r 0δ=

=∑ ,

где kR - вектор реакции k-ой связи;

krδ - вектор возможного перемещения точки приложения k-ой реакции связи.

Консервативная система – механическая система с идеальными,

голономными, стационарными связями, на точки которой действуют только

потенциальные (консервативные) силы.

(1.1)


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%B0

7

Обобщенные координаты – независимые параметры любой размерности,

однозначно определяющие положение всех точек механической системы. Для

систем с голономными связями число обобщенных координат равно числу степеней

свободы системы. В дальнейшем для обобщенных координат принято обозначение

1 2 Sq , q , ..., q .

Приведем несколько примеров, поясняющих выбор обобщенных координат

для механических систем с различным числом степеней свободы.

а) б)

Рисунок 1

Например, при прямолинейном движении твердого тела его положение в

любой момент времени можно однозначно определить заданием одной обобщенной

координаты q x= , в качестве которой выбрано отклонение тела от некоторого

начального положения (рисунок 1, а).

Рисунок 2

х

φ

R

2

1

φ

х


8

Положение твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси

(рисунок 1, б), можно определить заданием одной обобщенной координаты q ϕ= , в

качестве которой принят угол отклонения тела от вертикального положения


Положение механической системы с одной степенью свободы, изображенной

на рисунке 2, определяется одной обобщенной координатой, в качестве которой

можно выбрать либо отклонение груза 1 от положения равновесия q x= , либо угол

поворота барабана 2 q ϕ= , так как данные параметры связаны между собой

соотношением x Rϕ= ⋅ .

Рисунок 3

В случае если тела 1 и 2 (рисунок 3) соединены пружиной, механическая

система будет иметь две степени свободы, а ее положение будет определяться двумя

обобщенными координатами 1q x= и 2q ϕ= , так как если запретить вращение тела

2, то тело 1 все равно сможет перемещаться за счет растяжения (сжатия) пружины.

На рисунке 4 изображена система с тремя степенями свободы, положение

которой определяется тремя обобщенными координатами 1 1q x= , 2 2q x= и 3q ϕ= .

Обобщенные скорости – производные по времени от обобщенных

координат, в дальнейшем обозначаются 1 2 Sq , q , ..., q .

Потенциальные силы – силы, работа которых зависит только от начального

и конечного положения точки приложения силы и не зависит от траектории, по

2

1

φ

х


9

которой происходит перемещение этой точки, например, силы тяжести, силы

упругости.

Рисунок 4

Потенциальная энергия механической системы в данном положении –

сумма работ потенциальных сил, действующих на точки системы, при

перемещении системы из рассматриваемого (данного) положения в начальное

(нулевое).

Стационарные связи – связи, уравнения (неравенства) которых не содержат

время t в явном виде.

Удерживающие (двухсторонние, неосвобождающие) связи – связи, действие

которых сохраняется во все время движения системы. Удерживающие связи

описываются уравнениями в отличие от неудерживающих, описываемых

неравенствами.

Уравнение (неравенство) связи – математическая запись ограничения,

налагаемого связью на точку (точки) механической системы.

Число степеней свободы – число независимых возможных перемещений

точек механической системы.


10

1.2 Понятие об устойчивости положения равновесия

Положением равновесия называется такое состояние механической системы, в

котором она может находиться сколь угодно долго, если в начальный момент

времени система была приведена в это положение с нулевыми скоростями.

Положение равновесия механической системы может быть устойчивым,

неустойчивым или безразличным.

Рассмотрим виды положений равновесия на примере одного твердого тела

(рисунок 5).

a) б) в)

Рисунок 5

Положение равновесия механической системы называется устойчивым, если

при сколь угодно малом отклонении от этого положения система стремится

вернуться в исходное состояние и в последующем движении весьма мало

отклоняется от него (рисунок 5, а).

Положение равновесия механической системы называется неустойчивым,

если при сколь угодно малом отклонении от этого положения система все более

удаляется от него и не проявляет стремления вернуться в исходное состояние

(рисунок 5, б).

P

N

Р

N

P

N


11

Положение равновесия механической системы называется безразличным,

если при отклонении от него система и в новом положении может оставаться в

равновесии (рисунок 5, в).

В общем случае кроме начальных отклонений точкам системы следует

сообщить и некоторые начальные скорости. Тогда безразличное равновесие следует

отнести к неустойчивому, так как точки системы будут удаляться от него по

инерции.

Наибольший практический интерес представляет устойчивое равновесие, так

как в таком положении система может находиться длительное время.

Строгое определение устойчивости положения равновесия было дано в

работах выдающегося русского ученого А.М. Ляпунова.

Рассмотрим механическую голономную систему материальных точек с S

степенями свободы. Для того чтобы определить положение такой механической

системы в любой момент времени, требуется выбрать S обобщенных координат

1 2 Sq , q , ..., q . Условимся отсчитывать обобщенные координаты от положения

равновесия системы, тогда в положении равновесия все обобщенные координаты

будут одновременно равняться нулю: 1 2 Sq q ... q 0.= = = =

Выведем систему из положения равновесия, сообщив ее точкам небольшие по

модулю начальные возмущения. Начальные возмущения системы в общем случае

состоят из начальных значений обобщенных координат 0 0 01 2 Sq , q , ..., q и начальных

значений обобщенных скоростей 0 0 01 2 Sq , q , ..., q .

Обозначим значения обобщенных координат и обобщенных скоростей при

дальнейшем движении системы через 1 2 Sq ( t ), q ( t ), ..., q ( t ) и 1 2 Sq ( t ), q ( t ), ..., q ( t ) .

Равновесие системы называется устойчивым, если для всякого сколь

угодно малого числа 0ε > существует такое малое число ( ) 0η ε > , что при

начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям:

0 0i iq ( ); q ( ) ( i 1,2, ...,S )η ε η ε< < = ; (1.2)


12

в дальнейшем движении механической системы выполняются неравенства:

i iq ( t ) ; q ( t )ε ε< < . (1.3)

Если при устойчивом положении равновесия все обобщенные координаты и

обобщенные скорости с течением времени стремятся к нулю:

i it tlim q ( t ) 0; lim q ( t ) 0 ( i 1,2,...,S ),→∞ →∞

= = = (1.4)

то такое положение равновесия называется асимптотически устойчивым.

Приведенному определению устойчивого положения равновесия можно дать

наглядную геометрическую трактовку (рисунок 6). Обозначим равновесные

положения точек механической системы через А1, А2, …, Аn. Опишем вокруг этих

точек сферы малого радиуса ε. Тогда если положение равновесия системы

устойчиво, то как бы ни было мало ε, всегда можно найти такое значение начальных

возмущений η(ε), что во все время дальнейшего движения каждая точка

механической системы останется внутри этой описанной сферы. Разумеется, чем

меньше ε, тем меньше η(ε).

А1 ε

Аn

ε

А2

ε

Аk

ε

Рисунок 6


13

1.3 Потенциальная энергия консервативной системы с конечным числом

степеней свободы

Потенциальная энергия П консервативной системы с S степенями свободы

является функцией обобщенных координат этой системы:

1 2 SП П( q ,q ,...,q ).= (1.5)

Разложим потенциальную энергию в окрестности положения равновесия в ряд

Маклорена по степеням обобщенных координат 1 2 Sq ,q ,...,q :

1 2 S 1 S1 S0 0

2 2 22 21 S 1 22 2

1 21 S0 00

2

S 1 SS 1 S 0

П ПП( q ,q ,...,q ) П( 0,0,...,0 ) q ... qq q

1 П П Пq ... q 2 q q ...2 q qq q

П2 q q ...q q −

−

∂ ∂= + + + + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + + + + ∂ ∂∂ ∂

∂+ + ∂ ∂

(1.6)

Здесь и далее обозначение ( )0... показывает, что соответствующее выражение

вычисляется в положении равновесия при 1 2 Sq q ... q 0.= = = =

Из курса теоретической механики известно, что для равновесия механической

системы с идеальными, стационарными и голономными связями необходимо и

достаточно, чтобы все обобщенные силы системы равнялись нулю:

iQ 0 ( i 1,2,...,S ).= = (1.7)


14

В случае если все действующие на систему силы потенциальны, то

обобщенные силы равны взятым с противоположным знаком частным производным

от потенциальной энергии системы по соответствующим обобщенным координатам:

2

ii

ПQ ( i 1,2,...,S ).q

∂= − =

∂ (1.8)

Следовательно, для консервативной системы в положении равновесия должно

выполняться условие:

2

i 0

П 0 ( i 1,2,...,S ).q

∂= = ∂

(1.9)

Будем считать, что в положении равновесия потенциальная энергия системы

равна нулю:

0П П( 0,0,...,0 ) 0.= = (1.10)

Введем обозначения:

2

iji j 0

Пc .q q

∂= ∂ ∂

(1.11)

Коэффициенты (1.11) называются обобщенными коэффициентами

жесткости (квазиупругими коэффициентами) и вычисляются в положении

равновесия при 1 2 Sq q ... q 0.= = = = Из выражения (1.11) следует, что

ij ij jic const; c c ( i, j 1,2,...,S ).= = = (1.12)


15

Очевидно, что единицы измерения обобщенных коэффициентов жесткости ijc

определяются единицами измерения выбранных обобщенных координат 1 2 Sq ,q ,...,q .

C учетом (1.10), (1.11) выражение для потенциальной энергии (1.6) примет

вид:

2 211 1 SS S 12 1 2 S 1,S S 1 S

1П c q ... c q 2c q q ... 2c q q ...2 − −= + + + + + + (1.13)

Будем рассматривать только малые смещения точек системы из положения

равновесия. В этом случае обобщенные координаты iq ( i 1,2,...,S )= , отсчитываемые

от положения равновесия, можно считать величинами первого порядка малости.

Отбросим в выражении (1.13) слагаемые выше второго порядка малости. В

результате выражение для потенциальной энергии консервативной системы примет

вид: S S

1 2 S ij i ji 1 j 1

1П( q ,q ,...,q ) c q q .2 = =

= ∑∑ (1.14)

Функция вида (1.14) называется квадратичной формой. Следовательно,

потенциальная энергия механической системы вблизи положения равновесия

является однородной квадратичной формой обобщенных координат с точностью до

величин второго порядка малости включительно.

Такое представление потенциальной энергии значительно упрощает решение

многих технических задач, а с другой стороны, обеспечивает точность, достаточную

для практических целей.

1.4 Теорема Лагранжа – Дирихле. Критерий Сильвестра

Критерий, дающий простое достаточное условие устойчивости равновесия

механической системы материальных точек, был впервые указан Ж.Л.Лагранжем.


16

Приведенное Лагранжем недостаточно строгое доказательство теоремы уточнил

П.Г.Л. Дирихле, в связи с чем она и получила название теоремы Лагранжа –

Дирихле:

Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная

энергия имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Поясним понятие строгого минимума. Функция нескольких переменных

1 2 nV( q ,q ,...,q ) имеет минимум при значениях аргументов * * *1 2 nq ,q ,...,q в том случае,

если при *i iq q ( i 1,2,...,n )ε− < = , где 0ε > – малая величина, имеет место

неравенство * * *

1 2 n 1 2 nV( q ,q ,...,q ) V( q ,q ,...,q )≥ . (1.15)

Если при тех же условиях выполняется строгое неравенство

* * *

1 2 n 1 2 nV( q ,q ,...,q ) V( q ,q ,...,q )> , (1.16)

то говорят о строгом, или изолированном, минимуме.

Например, изображенная на рисунке 7 функция П( q ) имеет строгий минимум

при значениях аргумента равного 3q q= и 5q q= . При значении аргумента 6q q=

функция имеет нестрогий минимум.

Перейдем к доказательству теоремы Лагранжа – Дирихле. Предположим, что

потенциальная энергия механической системы материальных точек 1 2 nM ,M ,...,M в

положении равновесия 1 2 nA ,A ,...,A (рисунок 6) имеет минимальное значение minП .

Выясним, какие значения может принимать потенциальная энергия системы, когда

одна из точек системы km будет находиться на поверхности сферы радиуса ε ,

окружающей соответствующую точку kA . Очевидно, что возможно n таких

значений и каждое из них больше, чем minП . Обозначим меньшее из всех

возможных значений потенциальной энергии ( )minП η+ . Очевидно, что величина


17

0η > и тем меньше, чем меньше выбранный радиус сферы ε . Таким образом, если

хотя бы одна точка механической системы находится на поверхности

соответствующей сферы радиуса ε , то потенциальная энергия системы П должна

удовлетворять условию

minП П .η≥ + (1.17)

Дадим точкам механической системы незначительные начальные отклонения

от положений равновесия 1 2 nA ,A ,...,A и сообщим им малые начальные скорости.

Покажем, что при начальных отклонениях и начальных скоростях, не

превышающих некоторой малой величины η , точки системы во все время

последующего движения не выйдут за пределы соответствующих сфер радиуса ε ,

как бы мала ни была эта величина. Для этого достаточно доказать, что во все время

последующего движения потенциальная энергия системы будет оставаться меньше,

чем ( )minП η+ .

Обозначим значения кинетической и потенциальной энергий системы в

некоторый момент времени Т и П, соответственно, а их значения в начальный

момент времени – Т0 и П0. Для рассматриваемой консервативной системы будет

справедлив закон сохранения энергии:

0 0T П T П+ = + ,

откуда

0 0T T П П= + − .

Так как кинетическая энергия системы T 0> , то потенциальная энергия

системы П во все время движения должна удовлетворять неравенству:

0 0П T П< + . (1.18)


18

Примем начальные отклонения и начальные скорости настолько малыми,

чтобы выполнялись неравенства:

0 min 0П П ; T2 2η η

< + < . (1.19)

С учетом (1.19) неравенство (1.18) примет вид:

minП П .η< + (1.20)

Однако, полученное выражение (1.20) противоречит соотношению (1.17).

Таким образом, во все время последующего движения точки системы будут

оставаться внутри соответствующих сфер, окружающих положения равновесия

1 2 nA ,A ,...,A . Следовательно, положение равновесия системы устойчиво.

Согласно теореме Лагранжа – Дирихле для доказательства устойчивости

положения равновесия консервативной системы достаточно убедиться, что

потенциальная энергия имеет в рассматриваемом положении минимум.

Пусть потенциальная энергия П(q) некоторой консервативной механической

системы с одной степенью свободы зависит от обобщенной координаты q так, как

показано на рисунке 7. Положение равновесия будет устойчивым при значениях

обобщенной координаты 3q q= и 5q q= , так как только при этих значениях

аргумента потенциальная энергия системы имеет строгий минимум.

Для консервативных систем с одной степенью свободы определение

минимума выполняется достаточно просто. В этом случае производная второго

порядка от потенциальной энергии по обобщенной координате, вычисленная в

положении равновесия, должна быть положительна (предполагается, что она

существует).

2

20

П 0.q

∂>

∂ (1.21)


19

Для консервативной системы, имеющей S степеней свободы, устойчивость

рассматриваемого положения равновесия также определяется из условия минимума

потенциальной энергии. Но в этом случае решение вопроса о существовании

минимума потенциальной энергии существенно усложняется.

Рисунок 7

Ранее условлено, что в положении равновесия потенциальная энергия системы

0П 0= . Тогда наличие минимума потенциальной энергии должно одновременно

означать, что вблизи положения равновесия потенциальная энергия системы должна

быть положительной. Следовательно, на основании теоремы Лагранжа-Дирихле

потенциальная энергия системы (1.14) должна представлять собой определенно

положительную квадратичную форму обобщенных координат.

Квадратичная форма называется определенно положительной, если она

положительна при всех значениях аргументов, одновременно не равных нулю.

Вопрос о знаке любой квадратичной формы устанавливается теоремой

Сильвестра:


20

Для того чтобы квадратичная форма была определенно положительной

необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы

квадратичной формы были положительны.

Матрица квадратичной формы (1.14) имеет вид:

11 12 13 1S

21 22 23 2S

31 32 33 3S

S1 S 2 S3 SS

с с с ... сс с с ... сс с с ... с... ... ... ... ...

с с с ... с

(1.22)

Заметим, что эта матрица симметричная. Главные диагональные миноры

матрицы (1.22) имеют вид:

11 12 13 1S

11 12 13 21 22 23 2S11 12

31 32 33 3S1 11 2 3 21 22 23 S21 22

31 32 33

S1 S 2 S3 SS

с с с ... сс с с с с с ... с

с сс с с ... сс ; ; с с с ;...; .

с с... ... ... ... ...с с с

с с с ... с

∆ ∆ ∆ ∆= = = = (1.23)

Таким образом, критерий определенной положительности квадратичной

формы имеет вид:

1 2 S0; 0;..., 0.∆ ∆ ∆> > > (1.24)

Заметим особо, что дискриминант определенно положительной формы не

равен нулю. Кроме того, нумерация обобщенных координат выбирается

произвольно, т.е. любую из них можно сделать первой, следовательно, все элементы

матрицы (1.22), стоящие на главной диагонали, должны быть строго больше нуля:

iic 0 ( i 1,2,...,S ).> = (1.25)


21

Теорема Лагранжа-Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что

равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная

энергия имеет минимум. Однако эта теорема не указывает, каким будет равновесие

системы, если потенциальная энергия в положении равновесия не имеет минимума.

Ответ на этот важный для весьма обширного класса задач вопрос содержится

в теоремах А.М. Ляпунова [7]:

Теорема 1. Равновесие системы неустойчиво, если отсутствие минимума

потенциальной энергии узнается по членам второго порядка малости в

разложении потенциальной энергии без необходимости рассмотрения членов

высшего порядка.

Теорема 2. Равновесие системы неустойчиво, если потенциальная энергия

имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено из

рассмотрения членов наименее высокого порядка малости в разложении

потенциальной энергии.

Последнюю теорему применяют в том случае, если невозможно определить

наличие или отсутствие минимума по членам второго порядка малости, например в

случае, когда эти члены в разложении потенциальной энергии просто отсутствуют

(равны нулю).

1.5 Устойчивость равновесия неконсервативных механических систем

В реальной механической системе всегда существуют силы сопротивления

движению, возникающие благодаря трению или вязкости среды. Такие силы

принято называть диссипативными.

При наличии в системе диссипативных сил для оценки устойчивости

положения равновесия можно дополнительно воспользоваться тремя теоремами

Кельвина [3, 4].

Теорема 1. Если положение равновесия консервативной системы

устойчиво при одних только потенциальных силах, то оно будет оставаться


22

устойчивым и при добавлении диссипативных сил.

Теорема 2. Устойчивое положение равновесия становится

асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной

диссипацией.

Понятие полной диссипации имеет существенное значение для систем с двумя

и более степенями свободы и определено в подразделе 3.3.

Теорема 3. Изолированное и неустойчивое при одних потенциальных силах

положение равновесия не может быть стабилизировано диссипативными

силами.

Первые две теоремы Кельвина показывают, что наличие диссипативных сил

не может нарушить устойчивость положения равновесия. Третья теорема,

утверждает, что диссипативные силы не могут привести к переходу системы из

неустойчивого положения равновесия в устойчивое. Кроме того, из приведенных

теорем следует, что для выяснения характера положения равновесия реальной

механической системы с диссипативными силами ее можно заменить

консервативной моделью.

В заключение заметим, что реальные механические системы всегда имеют

бесконечно большое число степеней свободы, т.к. такие системы включают в себя

упругие (деформируемые) тела, отдельные точки которых могут перемещаться

относительно друг друга. Следовательно, для определения положения реальных

механических систем требуется задание бесконечно большого числа обобщенных

координат, определяющих положение каждой отдельной материальной точки

системы. Реальную механическую систему можно рассматривать как систему с

конечным числом степеней свободы только в том случае, если все инерционные

(имеющие массу) элементы системы считать абсолютно твердыми, а все упругие

элементы (например, пружины) безынерционными, т.е. считать, что их массы

пренебрежимо малы по сравнению с массами твердых тел.


23

2 Малые колебания системы с одной степенью свободы 2.1 Общие сведения о колебаниях

Механическими колебаниями называется движение, в процессе которого

происходит многократное чередование возрастания и убывания некоторых величин,

например обобщенных координат точек механической системы.

Механические колебания можно классифицировать по целому ряду

признаков: по характеру закона изменения обобщенных координат, по

характеру сил, действующих на точки системы и т.п.[3, 4].

По кинематическому признаку, т.е. по характеру закона изменения во

времени обобщенной координаты, все встречающиеся на практике механические

колебания можно разделить на периодические, почти периодические и непериодические

(рисунок 8).

Рисунок 8 – Классификация колебаний по кинематическому признаку

Периодическим называется такое движение, при котором обобщенная

координата q( t ) , взятая в любой момент времени t, через определенный отрезок

времени Т имеет то же самое значение:

q( t T ) q( t ).+ = (2.1)

Непериодическим называются движение, не удовлетворяющее сформулированному

условию периодичности (2.1).

Механические колебания

Периодические Непериодические Почти периодические


24

Промежуточное положение между периодическим и непериодическим

занимает почти периодическое движение [3, 4].

Обобщенная координата q( t )при почти периодическом движении в любой момент

времени t удовлетворяет условию:

q( t T ) q( t ) .ε+ − ≤ (2.2)

где T и ε – некоторые постоянные величины.

Если значение ε мало по сравнению со средним значением обобщенной

координаты q( t ) за время T , то можно считать, что почти периодическое движение на

некотором промежутке времени практически близко к периодическому.

Среди периодических огромную роль играют прежде всего гармонические

колебания, при которых обобщенные координаты во времени изменяются по закону

синуса или косинуса.

Непериодические колебания гораздо разнообразнее периодических. Наибольший

практический интерес представляют колебания, происходящие по закону «затухающей

(нарастающей) синусоиды» (рисунки 9, 10), и лимитационные движения (рисунок 11).

Рисунок 9 – Затухающие гармонические колебания

q(t)

t


25

Колебания по закону «затухающей синусоиды» или затухающие

гармонические колебания (рисунок 9) описываются уравнением вида:

ntq( t ) Ae sin( kt ),α−= + (2.3)

где A, n, k ,α – постоянные величины.

Очевидно, что закон движения при нарастающих гармонических колебаниях

(рисунок 10) отличается от уравнения (2.3) только знаком величины n .

Рисунок 10 – Нарастающие гармонические колебания

Обобщенная координата при лимитационном движении изменяет знак

ограниченное число раз и с течением времени стремится к некоторому постоянному

значению. Математически лимитационные движения могут быть описаны

уравнением вида:

( )kt kt ntq( t ) Ae Be e ,− −= + (2.4)

где A, B, k , n – действительные числа.

Примеры лимитационных движений показаны на рисунке 11.

q(t)

t


26

Рисунок 11 – Лимитационные движения

Перечисленные признаки механических колебаний являются чисто внешними

и не учитывают всех особенностей происходящих при этом процессов, поэтому

принято классифицировать колебания по целому ряду признаков [3, 4].

По числу учитываемых в расчетной схеме степеней свободы различают:

а) колебания в системах с одной степенью свободы;

б) колебания в системах с конечным числом степеней свободы;

в) колебания в системах с распределенными параметрами (с бесконечным

числом степеней свободы).

По совокупности действующих на механическую систему сил:

а) свободные колебания;

б) вынужденные колебания;

в) параметрические колебания;

г) автоколебания.

Свободные колебания происходят в изолированных механических системах

после некоторого внешнего возмущения под действием только восстанавливающих

сил, в качестве которых чаще всего выступают силы упругости. Характеристики

колебательного процесса в этом случае определяются внутренними параметрами

самой системы, зависящими от ее физического строения.

q(t)

t


27

Вынужденные колебания вызываются и поддерживаются внешними

вынуждающими (возмущающими) силами или внешним кинематическим

возбуждением. Характер колебаний при этом определяется не только физическими

свойствами самой механической системы, но и существенно зависит от характера

внешнего воздействия.

Параметрические колебания – механические колебания, вызываемые и

поддерживаемые некоторым параметрическим возбуждением, т.е. изменением во

времени одного или нескольких параметров системы, например, массы,

коэффициента жесткости, момента инерции и т.п.

Автоколебания – незатухающие периодические колебания механической

системы, поддерживаемые за счет внешнего постоянного (непериодического)

воздействия. Отличительной особенностью автоколебательных систем является

способность регулировать поступление энергии от источника движением самой

системы.

По типу дифференциальных уравнений движения, описывающих

механические колебания, различают:

а) линейные колебания, при которых движение механической системы

описывается линейными дифференциальными уравнениями;

б) нелинейные колебания, которые описываются нелинейными

дифференциальными уравнениями.

Изучение и анализ нелинейных колебаний представляет собой математически

сложную задачу в связи с отсутствием общих методов интегрирования нелинейных

дифференциальных уравнений. Вместе с тем для решения многих практических

задач оказывается возможной линеаризация уравнения движения, т.е. замена точных

нелинейных уравнений приближенными линейными. Естественно, что

линеаризованные уравнения не могут в точности отобразить движение системы и

дают искаженную картину явлений, присущих только нелинейным колебаниям.

Вместе с тем, эти искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные

члены уравнений по сравнению с оставшимися.


28

2.2 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с одной

степенью свободы в общем случае

Рассмотрим механическую систему n материальных точек c одной степенью

свободы, на которую наложены голономные, стационарные, удерживающие связи.

Пусть система находится в положении устойчивого равновесия. Выведем систему из

положения равновесия, сообщив ее точкам малые начальные скорости и отклонения.

Положение системы в любой момент времени t характеризуется одной обобщенной

координатой q( t ) , которую условимся отсчитывать от положения устойчивого


Для составления дифференциального уравнения дальнейшего движения

системы воспользуемся уравнением Лагранжа ІІ рода:

qd T T Q ,d q q ∂ ∂

− = ∂ ∂ (2.5)

где T – кинетическая энергия системы;

q – обобщенная координата;

q – обобщенная скорость;

qQ – обобщенная сила, соответствующая выбранной обобщенной координате q( t ) .

В общем случае уравнение (2.5) будет нелинейным, но как показано в разделе 1

при принятых допущениях во все время дальнейшего движения обобщенная

координата q( t ) и обобщенная скорость q( t ) будут оставаться малыми величинами,

и в уравнении (2.5) можно отбросить нелинейные слагаемые. Кроме того

дифференцирование понижает порядок малости на единицу, поэтому в выражении

для кинетической энергии можно ограничиться членами не выше второго порядка

малости.


29

2.2.1 Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы в обобщенных

координатах

Из курса теоретической механики известно, что кинетическая энергия

системы определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы:

n

2k k

k 1

1T m ,2 =

= ∑ v (2.6)

где kv – скорость точки массой km .

Все связи системы являются стационарными, следовательно, радиус-векторы

точек системы зависят только от обобщенной координаты r r ( q )= , тогда

k k kk

dr r rdq q.dt q dt q

∂ ∂= = ⋅ =

∂ ∂v (2.7)

С учетом тождества ( )2 2k k=v v и соотношения (2.7) представим выражение

для кинетической энергии системы (2.6) в виде:

2n

2 2kk

k 1

r1 1T m q A( q ) q ,2 q 2=

∂ = = ⋅ ∂ ∑ (2.8)

где A( q ) является некоторой функцией обобщенной координаты q( t ) .

Воспользуемся разложением функции A( q ) в ряд Маклорена по степени

обобщенной координаты q( t ) в окрестности положения равновесия:

2 2

20 0

A A qA( q ) A( 0 ) q ...;q q 2

⋅ ∂ ∂

= + + ⋅ + ∂ ∂ (2.9)


30

Здесь как и ранее обозначение ( )0... показывает, что соответствующее

выражение вычисляется в положении равновесия при q 0.=

Т.к. в выражении для кинетической энергии (2.8) следует ограничиться

слагаемыми не выше второго порядка малости, то с требуемой степенью точности

можно считать, что

A( q ) A( 0 ) a const.= = = (2.10)

Величина a называется обобщенным коэффициентом инерции и

характеризует инертность механической системы. Единицы измерения

обобщенного коэффициента инерции a определяются единицами измерения

обобщенной координаты q( t ) . Поскольку кинетическая энергия – величина

положительная, то обобщенный коэффициент инерции может быть только

положительным (a 0> ).

Окончательно для системы с одной степенью свободы выражение

кинетической энергии в обобщенных координатах примет вид:

21T aq2

= . (2.11)

2.2.2 Обобщенная сила для системы с одной степенью свободы

В общем случае сила, действующая на k-ую точку системы, может быть

функцией положения точки kr , ее скорости kv и времени t:

k k k kF F ( r , ,t ).= v

С учетом малости колебаний представим kF в виде

П R Вk k k k k kF F ( r ) F ( ) F ( t ),= + +v (2.12)


31

где Пk kF ( r ) – потенциальные силы, зависящие только от положения точки;

Rk kF ( )v – силы сопротивления (диссипативные силы), линейно зависящие от

скорости и вызывающие уменьшение полной механической энергии системы;

ВkF ( t ) – вынуждающие (возмущающие) силы, являющиеся функцией времени t .

По аналогии с (2.12) обобщенную силу qQ , соответствующую выбранной

обобщенной координате q( t ) , представим в виде:

П R В

q q q qQ Q Q Q .= + + (2.13)

где ПqQ – составляющая обобщенной силы, обусловленная действием потенциальных

сил Пk kF ( r ) ;

RqQ – диссипативная составляющая обобщенной силы;

ВqQ – вынуждающая составляющая обобщенной силы соответственно.

Из курса теоретической механики известно [1, 5], что составляющая обобщенной

силы от действия потенциальных сил равна взятой с противоположным знаком частной

производной от потенциальной энергии по обобщенной координате:

Пq

ПQ ,q

∂= −

∂ (2.14)

где П( q ) – потенциальная энергия системы.

Для системы с одной степенью свободы потенциальная энергия в

соответствии с выражением (1.14) примет вид:

21П( q ) cq ,2

= (2.15)


32

где 11c c= – обобщенный коэффициент жесткости, удовлетворяющий условию (1.25).

Получим выражение для составляющей обобщенной силы от действия

диссипативных сил RqQ . Предположим, что силы сопротивления, действующие на

точки механической системы, линейно зависят от скорости этих точек:

R

k k k kF ( ) µ= −v v , (2.16)

где kµ – коэффициент постоянный коэффициент пропорциональности.

Из (2.7) имеем:

k kd r .dq q

∂=∂

v

Тогда

n n n

k kk k k k k

k 1 k 1 k 1

n nk k

k 1 k 1

R Rq

2

k

k k k

r rQ Fq q

ddq

d d .dq 2 dq 2

µ µ

µ µ= = =

= =

∂ ∂= = − = −

∂ ∂

=

=

= −

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

v v

v v v

v

. (2.17)

Обозначим n

kk 1

2k

1Ф ,2

µ=

= ∑ v (2.18)

где Ф – диссипативная функция Рэлея или функция рассеивания [3, 7], по форме

аналогичная выражению для кинетической энергии (2.6).

Составляющая обобщенной силы от действия сил сопротивления можно

равна взятой с противоположным знаком частной производной от диссипативной

функции по обобщенной скорости:


33

Rq

ФQ .q

∂= −

∂ (2.19)

Повторяя рассуждения, приведенные в пункте 2.2.1 для кинетической

энергии, представим диссипативную функцию с требуемой степенью точности по

аналогии с выражением (2.11) в виде:

22n n

2 2 2k kk k

k 1 k 1

dr r1 1 1 1Ф q B( q ) q bq ,2 dt 2 q 2 2

µ µ= =

∂ = = = ⋅ = ∂ ∑ ∑ (2.20)

где b – постоянный неотрицательный коэффициент, называемый обобщенным

коэффициентом диссипации [4].

Единицы измерения обобщенного коэффициента диссипации, также как и

обобщенных коэффициентов инерции и жесткости, определяются единицами

измерения выбранной обобщенной координаты.

Диссипативная функция Рэлея имеет простой механический смысл: скорость

уменьшения (рассеивания) полной механической энергии системы равна удвоенному

значению диссипативной функции Рэлея [7]:

d( T+ ) dE 2 ,dt dtΠ Φ= = − (2.21)

где E — полная механическая энергия системы.

Составляющую обобщенной силы от действия вынуждающих сил ВkF ( t ),

зависящих от времени, можно получить известным из курса теоретической

механики стандартным способом, как отношение суммарной возможной работы

вынуждающих сил ВkF ( t ) к вариации обобщенной координаты qδ :


34

n

kВ k 1q

AQ .

qδ

δ==∑

(2.22)

С учетом полученных соотношений (2.14) и (2.19) выражение для обобщенной

силы (2.13) примет вид:

Вq q

П ФQ Q .q q

∂ ∂= − − +

∂ ∂ (2.23)

Подставив (2.23) в уравнение движения (2.5), получим

Вq

d T T П Ф Q .d q q q q ∂ ∂ ∂ ∂

− = − − + ∂ ∂ ∂ ∂

(2.24)

Как следует из полученного выражения (2.11), кинетическая энергия системы

с точностью до величин второго порядка малости является функцией только

обобщенной скорости q( t ) . Тогда частная производная от кинетической энергии

системы по обобщенной координате тождественно равна нулю

T 0,q

∂=

∂

и уравнение движения (2.24) примет вид:

Вq

d T Ф П Q .d q q q ∂ ∂ ∂

+ + = ∂ ∂ ∂

(2.25)

С учетом выражений (2.11), (2.15) и (2.20) имеем


35

T d T Ф Пaq, aq, bq, cq,q d q q q

∂ ∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂ ∂

(2.26)

Подставляя (2.26) в (2.25), получим

Вqaq bq cq Q ,+ + =

или

2 Вq

1q 2nq k q Q ,a

+ + = (2.27)

где введены обозначения

2b c2n , k .a a

= =

Выражение (2.27) представляет собой дифференциальное уравнение малых

колебаний системы с одной степенью свободы в общем случае.

2.3 Свободные колебания механической системы с одной степенью

свободы

В случае отсутствия диссипативных и вынуждающих сил уравнение (2.27)

примет вид:

2q k q 0.+ = (2.28)

Решение однородного линейного дифференциального уравнения второго

порядка (2.28) с постоянными коэффициентами будем искать в виде


36

tq( t ) eλ= . (2.29)

Подставляя (2.29) в (2.28), найдем, что параметр λ должен удовлетворять

характеристическому уравнению

2 2k 0.λ + = (2.30)

Характеристическое уравнение (2.30) имеет два мнимых корня:

1,2 ki.λ = ±

В этом случае общее решение дифференциального уравнения (2.29) имеет вид:

( ) ( )1 2q C cos kt C sin kt= + . (2.31)

Откуда

( ) ( )1 2q kC sin kt kC cos kt= − + . (2.32)

Произвольные постоянные 1C и 2C определяются из начальных условий

движения:

при 0 0 0t 0 q( 0 ) q , q( 0 ) q ,= = =

где 0 0q , q – начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости

соответственно.

Подставляя начальные условия в (2.31) и (2.32) получим:

1 0 20qC q , C

k= =

.


37

С учетом найденных значений постоянных интегрирования общее решение

(2.31) примет вид:

( ) ( )00

qq q cos kt sin ktk

= +

. (2.33)

Представим общее решение (2.31) в амплитудной форме:

q Asin( kt ),α= + (2.34)

где A и α – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий

движения.

Для определения A и α воспользуемся общеизвестной формулой синуса

суммы в выражении (2.34):

( ) ( ) ( ) ( )q A sin cos kt cos sin ktα α= ⋅ + ⋅ ,

или

( ) ( ) ( ) ( )q Asin cos kt Acos sin ktα α= ⋅ + ⋅ . (2.35)

Сопоставляя выражения (2.35) и (2.33), получим

( )

( )

0

0

q Asin ;q Acos .k

α

α

=

=

(2.36)

Откуда

22 2 2 0 011 2 0

2 0

q q kCA C C q ; arctg arctgk C q

α = + = + = =

. (2.37)


38

Из (2.34) следует, что свободные колебания в линейной консервативной

системе с одной степенью свободы являются гармоническими.

На рисунке 12 показан график зависимости обобщенной координаты q от

времени t при свободных колебаниях системы с одной степенью свободы.

Перечислим основные характеристики такого движения:

– круговая, или циклическая частота k , определяющая число полных

колебаний за 2π секунд;

– фаза колебаний ( kt )α+ ;

– начальная фаза колебаний α ;

– амплитуда колебаний A , определяющая максимальное отклонение

обобщенной координаты q( t ) от положения равновесия, соответствующего

значению q 0= ;

– период колебаний T , представляющий собой время совершения одного

полного колебания.

Рисунок 12

O

q0

q(t)

t

А

Т


39

Период колебаний T и круговая частота колебаний k связаны между собой

соотношением:

2 aT 2k cπ π= = . (2.38)

В инженерной практике часто используют величину, обратную периоду

колебаний и называемую частотой колебаний (число колебаний в единицу времени):

1 kN T 2π= = . (2.39)

Как видно из (2.38) круговая частота k и период колебаний T не зависят от

начальных условий (свойство изохронности колебаний). Свойство изохронности

является следствием допущения о малости колебаний и линейности

дифференциального уравнения (2.28).

2.4 Влияние сил сопротивления на свободные колебания системы с одной

степенью свободы

Свободные колебания механической системы в реальных условиях

происходят при наличии сил сопротивления, вызывающих рассеивание

(диссипацию) механической энергии системы.

В случае наличия сил сопротивления и отсутствия вынуждающих сил

дифференциальное уравнение движения системы (2.27) примет вид:

2q 2nq k q 0,+ + = (2.40)

где bn2a

= – коэффициент затухания.

Будем искать решение дифференциального уравнения (2.40) в виде (2.29).


40

Подставляя (2.29) в (2.40), найдем, что параметр λ должен удовлетворять

характеристическому уравнению

2 22n k 0.λ λ+ + = (2.41)

Откуда

2 21,2 n n k .λ = − ± − (2.42)

В зависимости от соотношения между величинами n и k возможны три

различных случая:

– случай малого сопротивления n k< ;

– случай критического сопротивления n k= ;

– случай большого сопротивления n k> .

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1. Случай малого сопротивления n k< :

В случае малого сопротивления корни характеристического уравнения (2.42)

являются мнимыми

1,2 n ikλ ∗= − ± ,

где введено обозначение 2 2k k n∗ = − .

Общее решение дифференциального уравнения (2.40) имеет вид:

nt

1 2q e ( C cos k t C sin k t )− ∗ ∗= + , (2.43)

а выражение для обобщенной скорости представляется в виде:

nt nt

1 2 1 1 2 1q ne ( C cos k t C sin k t ) e ( C k sin k t C k cos k t )− −∗ ∗ ∗ ∗= − + + − + . (2.44)


41

Подставив начальные условия 0 0 0t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = = в (2.43) и (2.44),

получим значения постоянных интегрирования:

0 01 0 2

q nqC q ; Ck∗+

= =

. (2.45)

С учетом найденных значений постоянных (2.45) общее решение (2.43)

примет вид:

nt 0 00

q nqq e ( q cos k t sin k t )k

− ∗ ∗∗

+= +

. (2.46)

Общее решение (2.43) можно представить в амплитудной форме:

ntq Ae sin( k t )α− ∗= + , (2.47)

где амплитуда A и начальная фаза α могут быть определены через постоянные

интегрирования (2.45):

0 0

0 0

22 2 2 011 2 0

2

kq nqq

qCA C C q ; arctg arctgnqCk

α∗

∗ = + = + = =

+ +

.

График движения, соответствующего общему решению (2.47), приведен на

рисунке 13. Он представляет собой синусоидальную кривую, ограниченную двумя

кривыми nt1f ( t ) Ae−= и nt

2f ( t ) Ae−= − . Движение такого вида называется

затухающими колебаниями.

Не являясь периодическим движением, затухающие колебания вместе с тем

сохраняют некоторые свойства периодичности. Общее решение (2.47) представляет


42

собой произведение двух функций – экспоненты и синусоиды с периодом 2Tkπ∗∗= ,

что приводит к чередованию через равный промежуток времени T ∗ нулей и

максимумов q( t ) (рисунок 13). Поэтому можно считать затухающие колебания

условно-периодическими.

Величина 2 2

2 2Tk k n

π π∗∗= =

− называется условным периодом затухающих

колебаний, величина 2 2k k n∗ = − – условной частотой затухающих колебаний, а

функция nt1f ( t ) Ae−= – условной амплитудой затухающих колебаний.

Очевидно, что условный период затухающих колебаний больше периода

свободных колебаний, определяемого формулой (2.38), т.е. T T∗ > .

При малых значениях коэффициента затухания n k условная частота

затухающих колебаний и условный период затухающих колебаний приближенно

равны соответствующим характеристикам свободных колебаний при отсутствии

сопротивления.

Рисунок 13

O

q0

q(t)

t

f1(t)= Аe-nt

Т1

f2(t)= -Аe-nt


43

Решение (2.47) показывает, что в рассматриваемой системе с линейно-вязким

сопротивлением колебания затухают только при t →∞ , что не соответствует

действительному движению реальных механических систем, которое всегда

заканчивается за конечный промежуток времени. Это противоречие является

результатом того, что в принятой расчетной схеме не были учтены другие виды

действующих сопротивлений, например силы сухого трения, которые и приводят к

прекращению колебаний через конечный промежуток времени.

Введем в рассмотрение величину 01n

τ = , называемую постоянной времени

затухающих колебаний [3, 4], и найдем отношение двух условных амплитуд

затухающих колебаний, отличающихся друг от друга на постоянную времени 01n

τ =

.

10

)1 0

ntn

n( t1

1 0

A( t ) Ae e eA( t ) Ae

τττ +

−

−= = =

+

Из полученного отношения видно, что за каждый промежуток времени,

равный 0τ , условная амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e 2,72≈ раз.

Через промежуток времени 03τ условная амплитуда уменьшится в 3e 20≈ раз, а

затухающие колебания можно условно считать прекратившимися.

Отношение двух последовательных амплитудных значений обобщенной

координаты, взятых через условный период T ∗ , называется декрементом

колебаний:

i

i

nTnt

in( t T )

i

A( t ) AeA( t T ) Ae

eη ∗

∗−

∗ − ++= = = . (2.48)

Логарифмическим декрементом колебаний называют натуральный

логарифм от декремента колебаний η :


44

( )ln nTδ η ∗= = . (2.49)

Логарифмический декремент колебаний используется для характеристики

медленно затухающих колебаний (n k ), когда изменение амплитудных значений

обобщенной координаты за условный период мало:

i i i 1 iA A A A∆ += − << . (2.50)

Тогда

i i i i

i 1 i i i i

A A A Aln ln ln 1A A A A A

∆ ∆δ∆+

= = = − − ≈ −

. (2.51)

Как видно из (2.51), логарифмический декремент колебаний при медленно

затухающих колебаниях характеризует относительное изменение максимальных

отклонений обобщенной координаты за условный период.

Выясним энергетический смысл логарифмического декремента. Найдем

изменение полной механической энергии системы за условный период колебаний. В

положениях максимальных отклонений обобщенная скорость iq( t ) 0= , а полная

механическая энергия системы равна ее потенциальной энергии, вычисляемой по

формуле (2.15):

2 2i i i

i i i 1 i 1cA c(A A )Е П ; Е П2 2

∆−+ += = = = .

С учетом (2.50) для медленно затухающих колебаний имеем:

2i i i

i 1 i 1c(A 2A A ) Е

2∆Π+ +

− ⋅= = .


45

Тогда относительное изменение полной механической энергии системы за

условный период колебаний составит

i i 1 i i i2

i ii

Е Е 2A A A2 2Е AA

∆ ∆ δ ψ+− ⋅= = = = ,

где ψ – коэффициент поглощения энергии за один период (цикл) колебаний.

Следовательно, удвоенное значение логарифмического декремента колебаний

равно коэффициенту поглощения энергии за один условный период колебаний.

2. Случай критического сопротивления n k= :

В случае критического сопротивления характеристическое уравнение (2.41)

имеет два кратных действительных корня:

1,2 nλ = − .

Общее решение дифференциального уравнения (2.40) имеет вид:

nt

1 2q e ( C C t )−= + , (2.52)

а выражение для обобщенной скорости представляется в виде:

( )( )nt1 2q e nC C t 1 n−= − + − . (2.53)

Подставив начальные условия 0 0 0t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = = в (2.52) и (2.53),

получим значения постоянных интегрирования

1 20 0 0C q ; C q nq= = + ,

а закон движения в виде


46

[ ]nt0 0 0 )q e q ( q nq t−= + + . (2.54)

Общий характер движения в этом случае определяется тем, что при

бесконечном возрастании времени t обобщенная координата q( t ) стремится к нулю.

На рисунке 14 представлено решение (2.54) при различных начальных

условиях.

Очевидно, что движение не имеет колебательного характера. Такое движение

называют в общем случае апериодическим, а в рассматриваемом случае

критического сопротивления – предельно апериодическим.

Рисунок 14

3. Cлучай большого сопротивления n k> :

В случае большого сопротивления характеристическое уравнение (2.41) имеет

два отрицательных действительных корня:

2 21,2 n n k .λ = − ± −

q(t)

t

q0

0


47

Общее решение дифференциального уравнения (2.40) в этом случае имеет

вид:

2 2 2 2tn n k n kt t1 2q e C e C e− −− − = +

.

Взяв производную по времени t , определим выражение для обобщенной

скорости:

( ) ( )2 2 2 2

1 22 2 2 2nt t n k t n knq e C e n Ck e n n k− −− − = − + − −+ −

.

Подставив начальные условия 0 0 0t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = = в полученные

уравнения, найдем значения постоянных интегрирования 1C и 2C :

0 0 0 01 0 2 0

2 2

q nq q nq1 1C q ; C q2 k 2 k + +

= + = −

.

Таким образом, в случае большого сопротивления движение также имеет

апериодический характер, аналогичный представленному на рисунке 14, причем с

увеличением коэффициента n графики растягиваются вдоль оси абсцисс, т.к. с

повышением вязкого сопротивления при прочих равных условиях скорость

движения убывает.

2.5 Вынужденные колебания системы при гармоническом возбуждении

В случае действия возмущающих сил дифференциальное уравнение

вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы имеет вид

(2.27).


48

Предположим, что имеет место гармоническое возбуждение колебаний, т.е.

обобщенная сила ВqQ изменяется по гармоническому закону:

Bq 0Q ( t ) Q sin( pt )β= + , (2.55)

где 0Q – амплитуда обобщенной силы;

p, β – частота и начальная фаза обобщенной силы соответственно.

2.5.1 Способы возмущения колебаний. Определение обобщенной силы BqQ ( t )

Выделяют три характерных способа возбуждения колебаний [3, 4]: силовой,

кинематический и инерционный.

Рассмотрим особенности определения обобщенной силы в каждом из трех

случаев.

1. Силовое возмущение. Пусть математический маятник, связанный с

пружиной (рисунок 15), находится под воздействием внешней силы F( t ) ,

изменяющейся по гармоническому закону 0F( t ) F sin( pt ).β= + Положение

системы будем характеризовать обобщенной координатой q , в качестве которой

выберем угол отклонения маятника ϕ от вертикального равновесного положения.

Дадим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата

q ϕ= получит положительное приращение 0δϕ > , и найдем возможную работу

возмущающей силы F( t ) . Обобщенную силу BqQ ( t ) найдем, разделив возможную

работы силы F( t ) на приращение обобщенной координаты δϕ :

0Bq

F( t )l cos( )Q ( t ) F l sin( pt )cosϕ δϕ β ϕδϕ

⋅= = + .


49

Рисунок 15

Полагая с учетом малости угла cos 1ϕ = , получаем выражение для

обобщенной силы в виде:

0BqQ ( t ) F l sin( pt )β= +

2. Кинематическое возмущение. Пусть вынужденные колебания возникают в

результате задаваемого извне перемещения точки крепления пружины

0S( t ) S sin( pt )β= + (рисунок 16).

Изменение потенциальной энергии пружины при перемещении ее

закрепленного конца с учетом малости угла ϕ будет равно:

( ) ( ) ( )2 2 21 1П c l S( t ) l c 2l S( t ) S( t )2 2

ϕ ϕ ϕ ′ = − − = − − .

Тогда

0Bq

ПQ ( t ) clS( t ) clS sin( pt )βϕ′∂

= − = = +∂

.

А

l

φ

c

O

δφ


50

Рисунок 16

3. Инерционное возмущение. Рассмотрим два возможных случая.

Вынужденные относительные колебания (рисунок 17). Пусть маятник

находится на подвижном основании, которое перемещается поступательно и

прямолинейно по закону 0S( t ) S sin( pt )β= + . При составлении дифференциального

уравнения относительных вынужденных колебаний необходимо добавить к реально

действующим силам переносную силу инерции ue eF ma= − , направленную

противоположно переносному ускорению ea S( t )= . Обобщенную силу BqQ ( t )

найдем по аналогии со случаем силового возмущения как отношение возможной

работы переносной силы инерции к приращению обобщенной координаты:

и

B 2eq 0

F l cos( ) mS( t )l cos( )Q ( t ) mp S l sin( pt )cosϕ δϕ ϕ δϕ β ϕδϕ δϕ

⋅ − ⋅= = = − +

,

или с учетом малости угла ϕ

B 2q 0Q ( t ) mp S l sin( pt )β= − +

S(t) А

l φ

c

O


51

Рисунок 17

Вынужденные колебания, вызываемые вращающимся эксцентриком (рисунок

18). Пусть с движущимся поступательно телом массой M скреплен эксцентрик,

имеющий массу m , эксцентриситет l и вращающийся с постоянной угловой

скоростью p . Обозначив через ϕ угол отклонения эксцентрика от вертикали,

выразим BqQ через проекцию на горизонталь центробежной силы 2mp l :

2

B 2q

mp l sin( pt ) xQ ( t ) mp l sin( pt )x

β δ βδ

+= = + .

Из полученных выражений следует, что при инерционном возмущении

колебаний в отличие от силового и кинематического возбуждения амплитуда

обобщенной силы BqQ ( t ) пропорциональна квадрату частоты силы 2p . Полагая

частоту возмущающей силы постоянной p const= , выражение для составляющей

обобщенной силы, обусловленной действием возмущающих сил, независимо от

способа возмущения, можно привести к виду:

s(t)

А

l φ

c

O


52

Bq 0Q ( t ) Q sin( pt ),β= +

где 0Q – некоторый постоянный коэффициент.

Рисунок 18

2.5.2 Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления

При отсутствии сил сопротивления дифференциальное уравнение движения

системы при гармоническом возбуждении в соответствии с (2.27) примет вид:

2 Вq

1q k q Q ,a

+ = (2.56)

или 2

0 sinq k ( pq h t ),β+ = + (2.57)

где 00

Qha

= .

Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.57) ищем в виде:

l m

φ(t)

x

с


53

q q q= + ∗ , (2.58)

где q – общее решение соответствующего однородного дифференциального

уравнения вида (2.28);

q∗ – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения

(2.57), определяемое видом его правой части.

Общее решение однородного уравнения в соответствии с (2.31) и (2.34) имеет

вид

1 2q C cos kt C sin kt= + , (2.59)

или

( )q A sin kt α= + . (2.60)

Частное решение q∗ зависит от соотношения частоты возмущающей силы p

и частоты собственных колебаний k . Рассмотрим два возможных случая.

1. Отсутствие резонанса p k≠ .

Частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения

(2.57) будем искать в виде:

q H sin( pt )β∗= + , (2.61)

где H – постоянный коэффициент.

Продифференцировав (2.61) дважды по времени, получим

2q Hp sin( pt )β∗= − + . (2.62)

Подставляя (2.61) и (2.62) в уравнение (2.57), получим


54

2 20Hp sin( pt ) Hk sin( pt ) h sin( pt ),β β β− + + + = +

( )2 20H k p sin( pt ) h sin( pt ).β β− + = +

Откуда следует

( )2 20 ,H k p h− =

или

( )0

2 2hH .

k p=

− (2.63)

B соответствии с (2.59), (2.62) и (2.63) общее решение (2.58) будет иметь вид:

01 2 2 2

hq C cos kt C sin kt sin( pt )k p

β= + + +−

, (2.64)

а закон изменения обобщенной скорости по времени:

01 2 2 2

h pq C k sin kt C k cos kt cos( pt )k p

β= − + + +−

, (2.65)

или с учетом (2.60)

02 2

hq Asin( kt ) sin( pt )k p

α β= + + +−

. (2.66)

Произвольные постоянные 1 2C , C получим, подставив начальные условия:

0 0 0t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = = в уравнения (2.64) и (2.65):


55

0 00 1 0 22 2 2 2

h h pq C sin ; q C k cosk p k p

β β= + = +− −

.

Отсюда

( )0 0 0

1 0 22 2 2 2h q h pC q sin ; C cos

kk p k k pβ β= − = −

− −

.

Постоянные A и α , входящие в (2.66), при необходимости можно определить

через 1 2C , C по формулам:

2 2 11 2

2

CA C C ; arctgC

α= + = .

Как следует из (2.65) и (2.66), в рассматриваемом случае система совершает

сложное движение, состоящее из двух гармонических колебаний с частотами k и p

соответственно. Первое слагаемое с частотой k можно по аналогии со случаем

отсутствия возмущающей силы условно назвать свободными колебаниями, а второе

с частотой p – вынужденными колебаниями. Условность названия «свободные

колебания» связана с тем, что определяющие их произвольные постоянные зависят

не только от начальных условий 0 0q( 0 ) q , q( 0 ) q= = , но и от параметров

возмущающей силы 0 1h , p ,β .

Из-за наличия в реальных системах сил сопротивления, свободные колебания

с частотой k с течением времени затухают, и в дальнейшем система совершает

вынужденные колебания с частотой p , уравнение которых имеет вид:

02 2

hq sin( pt )k p

β= +−

.


56

Отметим особо, что параметры этого движения не зависят от начальных

условий. Если p k< , то установившиеся вынужденные колебания будут совпадать

по фазе с возмущающей силой, если же p k> , то вынужденные колебания будут

находиться с ней в противофазе (сдвинуты по фазе на π по отношению к

возмущающей силе).

Введем в рассмотрение амплитуду вынужденных колебаний вынA :

0вын 2 2

hAk p

=−

.

Тогда уравнение установившихся вынужденных колебаний можно будет

представить в виде:

вынq A sin( pt )β γ= + − ,

где γ – сдвиг по фазе вынужденных колебаний от колебаний возмущающей силы,

причем

0 npu p k; npu p k.

γπ

<= >

Представим вынA в виде

0вын стат стат2 2 2 2

2

h 1 1A А Аk p p 1 z1

k

= = =− −

−

,

где 0 0стат 2

h QAck

= = – статическое смещение системы от положения равновесия под

действием постоянной силы, совпадающей по величине с ее амплитудой,


57

pzk

= – относительная частота возмущающей силы, называемая также

коэффициентом расстройки.

Величину 2

11 z

η =−

называют коэффициентом динамичности.

Коэффициент динамичности показывает во сколько раз амплитуда вынужденных

колебаний вынA при гармоническом воздействии больше статического смещения

системы статA от действия постоянной силы 0Q .

2. Резонанс p k= . В случае совпадения частоты возмущающей силы с

частотой свободных колебаний (собственной частотой) возникает явление

резонанса, отличительной особенностью которого является нарастание амплитуды

вынужденных колебаний с течением времени.

Будем искать частное решение уравнения (2.57) при p k= в виде

q Ht cos( pt )β∗= + . (2.67)


2

2 sin( ) cos( )q Hp pt Htp ptβ β= − + − + . (2.68)

После подстановки (2.67) и (2.68) в (2.57), получим

02Hp sin( pt ) h sin( pt )β β− + = + ,

0hH2 p

= − ,

0 0h t h tq cos( pt ) sin( pt )2 p 2 p 2

πβ β∗= − + = + − . (2.69)


58

Как следует из (2.69) вынужденные колебания при резонансе происходят с

нарастающей пропорционально времени амплитудой и запаздывают по фазе от

вынуждающей силы на 2π .

В реальной колебательной системе всегда присутствуют силы сопротивления,

а при достижении больших размахов колебаний нарушается допущение о малости

колебаний, поэтому амплитуда колебаний при резонансе хотя и достигает больших

значений, но все же не является неограниченно возрастающей.

Резонанс может стать причиной возникновения опасных напряжений в

материале конструкций и, следовательно, причиной их разрушения или сокращения

срока эксплуатации.

2.5.3 Вынужденные колебания при наличии линейного сопротивления

При наличии линейного сопротивления дифференциальное уравнение (2.27)

при гармоническом возбуждении примет вид:

2

0q 2nq k q h sin( pt )β+ + = + . (2.70)

Ограничимся рассмотрением случая отсутствия резонанса, т.е. будем считать,

что n p≠ . Общее решение уравнения (2.70) будем искать в виде суммы общего

решения q соответствующего однородного уравнения (2.40) и частного решения

q∗ исходного неоднородного уравнения:

q q q= + ∗ . (2.71)

Как было показано в подразделе 2.4 общее решение однородного уравнения в

зависимости от соотношения между частотами n и k может иметь вид:


59

nt1 2q e ( C cos k t C sin k t )− ∗ ∗= + при n k< ; (2.72)

nt

1 2q e ( C C t )−= + при n k= ; (2.73)

2 2 2 2tn n k n kt t1 2q e C e C e− −− − = +

при n k> ; (2.74)

где 1C , 2C – постоянные интегрирования.

Частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения

(2.70) будем искать в виде (2.61):

q H sin( pt )β ε∗= + − . (2.75)


2q Hp cos( pt ), q Hp sin( pt )β ε β ε∗ = + − ∗= − + − . (2.76)

Подставляя (2.75) и (2.76) в уравнение (2.70), получим

2 2

0Hp sin( pt ) 2nHp cos( pt ) Hk sin( pt ) h sin( pt ).β ε β ε β ε β− + − + + − + + − = + Преобразуем правую часть полученного уравнения:

0 0

0 0

h sin( pt ) h sin( pt )h sin( pt )cos h cos( pt )sin .

β β ε εβ ε ε β ε ε+ = + − + =

+ − + + −

После подстановки в предыдущее уравнение и группировки слагаемых

получим уравнение вида:


60

( )( ) ( )2 20 0H k p h cos sin( pt ) 2nHp h sin cos( pt ) 0.ε β ε ε β ε− − + − + − + − =

Приравнивая коэффициенты к нулю, придем к соотношениям:

( )2 20 0H k p h cos , 2nHp h sin .ε ε− = =

Откуда

( )0

2 2 2 2

hН ;k p 4n p

=− +

(2.77)

2 22nptg ;

k pε =

− (2.78)

Подставляя найденные значения Н и ε , получаем частное решение в виде:

( ) 2 22 2 2 2

h 2npq sin pt artgk pk p 4n p

β

∗ = + − − − + . (2.79)

Общее решение уравнения (3.70) будет иметь вид:

1) при n k<

( )( )nt

1 2 2 2 2 2

hq e ( C cos k t C sin k t ) sin ptk p 4n p

β ε− ∗ ∗= + + + −− +

; (2.80)

2) при n k=

( )( )nt

1 2 2 2 2 2

hq e ( C C t ) sin ptk p 4n p

β ε−= + + + −− +

; (2.81)

3) при n k>


61

( )( )

2 2 2 2nt t1 2 2 2

t n k n2

k2

hq e C e C e sin ptk p 4n p

β ε− −− − = + + + − − +

; (2.82)

где ε – величина, определяемая выражением (2.78);

1C , 2C – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Структура полученных общих решений (2.80) – (2.72) показывает, что система

совершает сложное движение, но т.к. первое слагаемое с увеличением времени t

стремится к нулю, то определяющим становится последнее слагаемое,

соответствующее q∗. В этом случае система будет совершать установившиеся

вынужденные колебания.

Полученные результаты позволяют сформулировать основные свойства

установившихся вынужденных колебаний при гармоническом возбуждении.

Во-первых, вынужденные колебания, даже при наличии сил сопротивления,

являются незатухающими и длятся до тех пор, пока действует возмущающая сила.

Во-вторых, амплитуда и частота вынужденных колебаний не зависят от начальных

условий. Наличие сил сопротивления движению приводит к уменьшению

амплитуды вынужденных колебаний. В-третьих, вынужденные колебания

совпадают по частоте и отстают по фазе от возмущающей силы на величину

0 ε π≤ ≤ .

В заключение отметим, что свободное движение, затухающее по истечении

некоторого промежутка времени, возникает каждый раз, когда изменяются

параметры возмущающей силы (амплитуда, частота и т.д.). При этом система

осуществляет плавный переходный процесс от одного установившегося режима

вынужденных колебаний к другому. Для того, чтобы получить уравнение движение

системы во время переходного процесса, требуется определить постоянные

интегрирования в общем решении (2.80) – (2.82) при начальных условиях, равных

значениям отклонения и скорости в момент изменения параметров возмущающей

силы.


62

2.6 Вынужденные колебания в случае периодической возмущающей силы

Рассмотрим случай действия возмущающей силы, являющейся некоторой

периодической функцией времени с периодом τ (рисунок 19). Подобные силы часто

встречаются при решении самых различных технических задач.

Рисунок 19

Воспользуемся способом определения периодического решения с помощью ряда

Фурье, который целесообразно применять в тех случаях, когда ряд быстро сходится и

можно ограничиться несколькими первыми членами.

Пусть функция ВqQ ( t ) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. она

ограничена, имеет разрывы первого рода и конечное число экстремумов на

конечном интервале. Тогда ВqQ ( t ) можно разложить в ряд Фурье:

( ) ( )( )Bq 0 j j

j 1Q ( t ) Q a cos jpt b sin jpt

∞

== + +∑ , (2.83)

τ

Q(t)

t

τ

Q(t)

t


63

где 2p πτ= – основная частота возмущающей силы.

Постоянные коэффициенты 0 j jb ( j 1,2,3,..Q , )a , .,= ∞ , входящие в (2.83),

равны:

B B Bq q n q0 n

0 0 0

1 2 2Q ( t )dt; Q ( t )cos( jpt )dt; b Q ( t )sin( jpt )dt.Q aτ τ τ

τ τ τ= == ∫ ∫ ∫

Тригонометрический ряд (2.83) можно представить в ином виде:

( )Bq 0 j j

j 1Q ( t ) Q Q sin jpt β

∞

== + +∑ , (2.84)

где введены обозначения j2 2j j j j

j

aQ a b ; arctg

bβ= + = .

Отдельные члены ряда (2.83) или (2.84) называются гармониками j-го

порядка.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (2.70) в

рассматриваемом случае примет вид:

( )20 j j

n 1q 2nq k q h h sin jpt β

∞

=+ + = + +∑ , (2.85)

где j00 j

QQh ; h .a a

= =

Общее решение уравнения (2.85) можно представить в виде суммы общего

решения однородного уравнения (2.40), характеризующего свободное движение

системы, и частного решения исходного неоднородного уравнения,

характеризующего вынужденные колебания. При установившемся движении


64

практическое значение имеют только незатухающие вынужденные колебания,

определяемые уравнением

( )j j jj 1

q A sin jpt β ε∞

== + −∑ , (2.86)

где jA и ( )j jβ ε− – соответственно амплитуда и сдвиг фазы вынужденных

колебаний, соответствующие частоте ( )jp jp j 1,2,3,...,= = ∞ и определяемые

соотношениями

( )j

j j 2 2 22 2 2 2 2 2

h 2njpA ; tg .k j pk j p 4n j p

ε= =−− +

(2.87)

Если частота одной из гармоник возмущающей силы совпадает с частотой

свободных колебаний системы, т.е.

( )jp k j 1,2,3,...,= = ∞ ,

то говорят о наступлении резонанса j-го порядка, а соответствующие частоты

называются критическими. Как следует из (2.87), амплитуда j-той гармоники и

сдвиг фаз получаются равными

jj j

hA ;

2nk 2πε= = .

Стоит заметить, что вследствие сдвига фаз амплитуда jA имеет максимум не

при резонансе jp jp k= = , а при другом значении частоты jp .

Исследовав выражение для амплитуды гармоники (2.87) на наличие


65

максимума, получаем, что при 2n k2

< максимума jA не существует, и,

следовательно, резонанса в этом случае быть не может.

2.7 Вынужденные колебания при произвольной возбуждающей силе

Рассмотрим движение механической системы с одной степенью свободы в

случае действия возбуждающей силы, меняющейся во времени по произвольному

закону.

При отсутствии сил сопротивления дифференциальное уравнение движения

системы (2.27) примет вид

2 Вq

1q k q Q ( t ),a

+ = (2.88)

Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных и представим

общее решение дифференциального уравнения (2.88) в виде

1 2q C ( t )cos kt C ( t )sin kt= + , (2.89)

где 1C ( t ) и 2C ( t ) – некоторые функции времени.

Продифференцировав (2.89) по времени, получим

1 21 2

dC ( t ) dC ( t )q cos kt sin kt C ( t )k sin kt C ( t )k cos ktdt dt

= + − + .

Т.к. мы ввели две неизвестные функции, то можно связать их некоторым

условием, например,


66

1 2dC ( t ) dC ( t )cos kt sin kt 0dt dt

+ = . (2.90)

При этом условии выражение для обобщенной скорости будет иметь такой же

вид, как и в случае постоянных коэффициентов 1C и 2C , т.е.

1 2q C ( t )k sin kt C ( t )k cos kt= − + . (2.91)

Продифференцируем (2.91) по времени:

( )21 21 2

dC ( t ) dC ( t )q k sin kt cos kt k C ( t )cos kt C ( t )sin ktdt dt

= − + − +

. (2.92)

Подставив (2.89) и (2.92) в уравнение (2.88), имеем

B1 2q

dC ( t ) dC ( t ) 1sin kt cos kt Q ( t )dt dt ak

− + = . (2.93)

Решая совместно уравнения (2.90) и (2.93) относительно 1dC ( t )dt

и 2dC ( t )dt

,

получим

B B1 2q q

dC ( t ) 1 dC ( t ) 1Q ( t )sin kt; Q ( t )cos ktdt ak dt ak

= − = .

Откуда

t t

B B1 1 q 2 2 q

0 0

1 1C ( t ) D Q ( )sin k d ; C ( t ) D Q ( )cos k dak ak

τ τ τ τ τ τ= − = +∫ ∫ , (2.94)


67

где τ – переменная интегрирования.

Подставляя найденные значения (2.94) в решение (2.89), после

преобразований получим

( )Bq21

0

1q D cos kt D sin kt Q ( t )sin k t dak

ττ τ= + + −∫ , (2.95)

где 1D и 2D – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий

движения 0 0 0t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = = и не зависящие от параметров возмущающей

силы.

Из (2.94) следует, что 1 1 2 2C ( 0 ) D ; C ( 0 ) D= = , тогда подставляя начальные

условия в выражения (2.89) и (2.94) получим

01 0 2

qD q ; Dk

= =

.

С учетом найденных значений постоянных 1 2D , D общее решение (2.95)

примет вид

( )B00 q

0

q 1q q cos kt sin kt Q ( t )sin k t dk ak

ττ τ= + + −∫

. (2.96)

При наличии вязкого сопротивления дифференциальное уравнение движения

(2.27) имеет вид:

2 Bq

1q 2nq k q Q ( t )а

+ + = . (2.97)

Ограничимся наиболее важным для инженерной практики случаем малого


68

сопротивления ( n k )< . Представим решение этого уравнения в виде

( )nt1 2q e C ( t )cos k t C ( t )sin k t− ∗ ∗= + , (2.98)

где 1C ( t ) и 2C ( t ) – некоторые функции времени;

2 2k k n∗ = − .

Повторяя приведенные выше рассуждения, после преобразований и

подстановки начальных условий найдем

( )nt B0 00 q

0

q nq 1q e q cos k t sin k t Q ( t )sin k t dk ak

ττ τ− ∗ ∗ ∗

∗ ∗+ = + + −

∫

. (2.99)

Нетрудно установить, что при n 0= выражение (2.99) приводится к виду

(2.96).

Полученные результаты можно применять для исследования вынужденных

колебаний систем с одной степенью свободы при действии каких угодно

возмущающих сил, особенно в случае возмущающих сил, резко меняющих величину

и направление, а также заданных графически или численно.

2.8 Основы теории регистрирующих приборов

Рассмотрим принципы работы приборов, предназначенных для регистрации

различных переменных во времени физических величин. Ограничимся случаем,

когда измеряемая величина является периодической или, в частности,

гармонической.

Практически все механические приборы в качестве одного из основных

упругих элементов имеют пружину того или иного типа, деформация которой,

вызываемая воздействием измеряемой величины и определяет показания прибора.


69

Рассмотрим два типа приборов.

Первый тип приборов предназначен для непосредственного измерения

некоторой физической величины. Простейшая схема такого прибора представлена

на рисунке 20, где F – сила, определяемая измеряемой величиной х; x1 = f(x) –

показания прибора, пропорциональные деформации пружины под действием силы

F. Выясним, какие ограничения должны накладываться на измеряемые процессы

для того, чтобы показания прибора соответствовали измеряемым величинам, т.е.

выполнялось условие x1(t) = Ax(t), где А – некоторая постоянная величина.

Рисунок 20

Рассмотрим прибор как некоторую колебательную систему с одной степенью

свободы, подверженную силовому воздействию измеряемой величины. Вследствие

того, что стрелка прибора и некоторые другие его подвижные части обладают

массой, необходимо учитывать инерцию подвижных частей и возникающие при

движении силы вязкого сопротивления.

Величину Д, равную отношению частоты собственных колебаний k к

удвоенному коэффициенту затухания n , называют добротностью колебательной

системы:

x1

x

F


70

kД2n

= .

Величина, обратная добротности, носит название безразмерного

коэффициента затухания:

2ndk

= .

Добротность Д представляет собой коэффициент динамичности при резонансе и

показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний вынA при резонансе

превышает статическое смещение статА . Как указывалось ранее в пункте 2.5.2 в

реальных колебательных системах при наличии вязкого сопротивления амплитуда при

резонансе имеет конечное значение. Если частота изменения возмущающей силы p

значительно меньше частоты свободных колебаний k , т. е. p k , то амплитуда

вынужденных колебаний вынA близка к статическому смещению статА , а коэффициент

динамичности η близок к единице. Если же частота изменения возмущающей силы p

значительно больше частоты свободных колебаний k , т. е. p k , то колебательная

система ведет себя как фильтр, практически не воспринимая возмущения с частотами,

существенно превышающими собственную частоту.

Для того чтобы исключить искажения показаний прибора, необходимо

предусматривать как можно большую его добротность и, как следствие, как можно

меньший безразмерный коэффициент затухания.

Однако если использовать приборы с большой добротностью, то возникающие

свободные колебания будут затухать очень медленно и в значительной степени

искажать показания прибора. Поэтому на практике приходится выбирать достаточно

малые значения добротности, близкие к единице.

Второй тип приборов, используется для замера вибраций подвижных

объектов (железнодорожных вагонов, автомобилей, самолетов и т. д.). Эти приборы


71

иногда называют сейсмическими, поскольку они построены по такому же принципу,

что и сейсмографы – приборы для регистрации колебаний земной коры.

Такие приборы должны измерять абсолютные колебания изучаемого объекта

относительно некоторой реально несуществующей «неподвижной» системы

отсчета, не имея возможности опереться на нее. Следовательно, в приборе должно

быть тело, покоящееся относительно «неподвижной» системы отсчета.

Таким телом отсчета может служить тело 1, упруго соединенное с

исследуемым объектом 2 (рисунок 21).

2

1

S1(t)

S(t) h с

m

Рисунок 21

В этом случае коэффициент динамичности 0η ≈ и собственная частота

прибора k существенно меньше частоты низшей регистрируемой гармоники, т. е.

тело 1 остается практически неподвижным, и запись движения объекта относи-

тельно тела с точностью до знака будет соответствовать колебаниям объекта.

Таким образом, в сейсмических приборах соотношение между собственной

частотой и частотами регистрируемых гармоник обратно тому, что имеет место в

приборах первого типа.


72

2.9 Основы виброзащиты

Проблемы, связанные с защитой от негативного воздействия вибраций

(виброзащитой), рассмотрим на простейших примерах системы с одной степенью

свободы, представляющей собой тело массой m , совершающее вынужденные

прямолинейные колебания.

Необходимость виброзащиты возникает в двух случаях:

1. Необходимость уменьшения воздействия вибраций, возникающих в

процессе работы, на фундамент какой-либо машины.

2. Необходимость защиты какого-либо устройства (экипаж, прибор и т. д.) от

вредного воздействия вибраций, возникающих при транспортировке или

являющихся результатом работы находящихся рядом машин.

В первом случае возмущающая сила приложена непосредственно к телу

(рисунок 22, а) и имеет место силовое возбуждение колебаний, во втором (рисунок

22, б) – кинематическое возбуждение колебаний вследствие вибрации основания.

Воздействие на фундамент, при силовом возбуждении по возможности

должно быть малым. Станки, двигатели или другие аналогичные машины,

создающие в процессе работы вибрации, устанавливают на фундамент, как правило,

через различные амортизирующие подушки, изготовленные из специальных сортов

резины, обладающей помимо упругости большим внутренним неупругим

сопротивлением. Эти подушки можно аппроксимировать пружиной жесткостью c и

демпфером с коэффициентом вязкого сопротивления µ (рисунок 22, а). Тогда

динамическое воздействие на фундамент будет равно

( ) c cR t cx xµ= + , (2.100)

где cx – перемещение тела относительно положения статического равновесия.

При кинематическом возбуждении колебаний необходимо, чтобы абсолютные

перемещения kx тела были как можно более малыми (рисунок 22, б).


73

При силовом возбуждении, сила тяжести компенсируется статической

деформацией пружины, и уравнение движения тела имеет вид:

( )c c cmx x cx F tµ+ + = , (2.101)

а при кинематическом возбуждении

k k k

mx h( x s( t )) c( x s( t )) 0+ − + − = ,

или

( ) ( )k k kmx x cx cs t s tµ µ+ + = + , (2.102)

где µ – коэффициент вязкого сопротивления материала пружины или

специально установленного демпфера (например, амортизатора);

c – жесткость пружины подвески.

а) б)

Рисунок 22

m

с

m

с


74

Обозначим отношение амплитуд динамического ( )R t и силового ( )F t

воздействий на фундамент через cβ , а отношение амплитуд ( )kx t и ( )s t при

кинематическом воздействии kβ . Как показано в [3, 4], условие виброзащиты не

зависит от природы возмущения и имеет вид:

2c k

4 2 2

2 2 2 2k 4n p 1

( k p ) 4n pβ β β

+= = = <

− +. (2.103)

Разделив числитель и знаменатель (2.103) на 2k , преобразуем условие вибро-

защиты к виду:

2 2

2 2 2 2

1 d z 1( 1 z ) d z

β += <

− +,

где z p k= – коэффициент расстройки;

2d n k= – безразмерный коэффициент затухания.

Отсюда, имеем:

2 2 2 2 2 2( 1 z ) d z 1 d z− + > + ,

или

2 2z ( z 2 ) 0− > .

Это неравенство выполняется при z 2> или p k 2> .

Следовательно, независимо от способа возмущения и значения вязкого

сопротивления для осуществления виброзащиты необходимо, чтобы собственная


75

частота колебаний системы была значительно ниже (по крайней мере, в 2 раза)

частоты возбуждения.

При p k 2> демпфирование будет играть отрицательную роль, поскольку,

чем меньше демпфирование, тем больше эффект виброзащиты. Вместе с тем

уменьшение демпфирования не всегда приводит к увеличению эффекта

виброзащиты.

Необходимо учитывать, что при силовом возбуждении машина при пуске

проходит режим раскрутки, а при остановке – торможения. Частота возбуждения

при этом изменяется от нуля до p и наоборот. При этом система проходит через

резонанс, что вынуждает конструктора в ущерб виброзащите повышать

демпфирование, чтобы уменьшить амплитуду резонансных колебаний. При

кинематическом возбуждении возможно скачкообразное перемещение основания

(наезд на препятствие, попадание колеса в яму и т. д.), что при отсутствии

амортизаторов может привести к недопустимым перемещениям и, следовательно,

перегрузкам защищаемого объекта, а также к длительному процессу затухания

возникающих свободных колебаний.


76

3 Малые колебания системы с двумя степенями свободы

3.1 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с двумя

степенями свободы

Рассмотрим механическую систему c голономными, стационарными,

удерживающими связями, состоящую из n материальных точек и имеющую две

степени свободы. Предположим, что система имеет устойчивое положение

равновесия, от которого будем отсчитывать обобщенные координаты 1q и 2q .

Выведем систему из этого положения, сообщив ее точкам малые начальные

возмущения (малые отклонения от положения равновесия и скорости). Вследствие

устойчивости положения равновесия при дальнейшем движении системы

отклонения и скорости всех ее точек будут также малы по модулю, т.е. система

будет совершать движение вблизи этого положения равновесия.

Дифференциальные уравнения движения механической системы с двумя

степенями свободы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода)

имеют вид:

11 1

22 2

d T T Q ;dt q q

d T T Q ,dt q q

∂ ∂− = ∂ ∂

∂ ∂ − = ∂ ∂

(3.1)

где T – кинетическая энергия системы;

iQ – обобщенная сила, соответствующая выбранной обобщенной координате

iq ( i 1,2 )= .

С учетом (2.13), уравнения (3.1) примут вид:


77

П R В1 1 1

П R В2 2 2

1 1

2 2

d T T ;dt

Q Q Q

Q Q Q ,

q q

d T Tdt q q

∂ ∂− = ∂ ∂

∂ ∂ − = ∂ ∂

+

+ +

+

(3.2)

где ПqQ – потенциальная составляющая обобщенной силы;

RqQ – диссипативная составляющая обобщенной силы;

ВqQ – вынуждающая составляющая обобщенной силы соответственно.

Кинетическая энергия механической системы материальных точек в общем

случае определяется выражением (2.6):

n

2k k

k 1

1T m ,2 =

= ∑ v

где kv – скорость точки массой km .

Все связи системы являются стационарными, следовательно, радиус-векторы

точек системы зависят только от обобщенных координат 1 2q ( t ), q ( t ) , которые в

свою очередь являются функциями времени, т.е. i i 1 2r r ( q ( t ),q ( t ))= . Тогда,

k k k k k1 2k 1 2

1 2 1 2

dr r r r rdq dq q q .dt q dt q dt q q

∂ ∂ ∂ ∂= = ⋅ + ⋅ = +

∂ ∂ ∂ ∂ v (3.3)

Подставляя (3.3) в выражение кинетической энергии (2.6) с учетом тождества

( )2 2k k=v v , получим

n n2

k kk 1

k1

2

k

k k1 2

1 2

r rT= m q1 q1m ,2 q q2= =

∂ ∂= + ∂ ∂

∑ ∑ v


78

2 2

2 21 1 2

n

kk 1

k k k k2

1 1 2 2

r r r r1T q 2 q qm qq q q q

,2 =

∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂

∑

n n n

k k k

2 22 21 1

k 1 k 1 12

k

k k k k2

1 1 2 2

r r r r1T q 2 q q q2 q

m mq q q

m= = =

∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑ .

Введем обозначение

1ij

n

kk

k k

i j

r rAq q

m=

∂ ∂= ∂ ∂ ∑ . (3.4)

тогда выражение для кинетической энергии системы примет вид:

2 211 1 12 1 22 22

1T A q 2A q q A q2

= + + , (3.5)

где ijA являются, в общем случае, функциями обобщенных координат 1 2q ( t ), q ( t ) .

Разложим ijA в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат 1 2q , q в

окрестности положения равновесия, приняв в положении равновесия 1 2q q 0= = .

( ) ij ijij 1 2 ij 1 20 1 20 0

A AA ( q ,q ) A q q ...

q q∂ ∂

= + + + ∂ ∂ (3.6)

Здесь, как и ранее, обозначение ( )0... показывает, что соответствующее

выражение вычисляется в положении равновесия при 1 2q q 0.= =


79

Т.к. в выражении для кинетической энергии (3.5) следует ограничиться

слагаемыми не выше второго порядка малости, то с требуемой степенью точности

можно считать, что

( )ij 1 2 ij ij0A ( q ,q ) A a const= = = .

Величины ija называются обобщенными коэффициентами инерции, причем

согласно (3.4) ij jia a= .

Окончательно для системы с двумя степенями свободы выражение

кинетической энергии в обобщенных координатах примет вид:

2 211 1 12 1 2 22 2

1T a q 2a q q a q2 = + + , (3.7)

т.е. кинетическая энергия механической системы является однородной

квадратичной формой обобщенных скоростей.

Так как кинетическая энергия всегда положительна и равняется нулю только

при нулевых значениях обобщенных скоростей, то ее коэффициенты должны

удовлетворять критерию Сильвестра (1.24):

11 1211 22

12 22

a aa 0, a 0, 0.

a a> > >

Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы в соответствии с

выражением (1.14) имеет вид:

2 21 2 11 1 12 1 2 22 2

1П( q ,q ) c q 2c q q c q ,2 = + + (3.8)


80

где ijс ( i, j 1,2 )= – обобщенные коэффициенты жесткости, характеризующие

упругие свойства механической системы, причем ij jiс с .=

Выражение (3.8) показывает, что потенциальная энергия механической

системы является однородной квадратичной формой обобщенных координат.

Обобщенные коэффициенты жесткости ijс в соответствии с (1.24) должны

удовлетворять условию:

11 1211 22

12 22

c cc 0, c 0, 0.

c c> > >

3.2 Свободные колебания системы с двумя степенями свободы

3.2.1 Дифференциальные уравнения свободных колебаний

В случае отсутствия диссипативных и возмущающих сил, уравнения (3.2)

примут вид

1

2

П2

2

П1

1Qd T T ;

dt q q

d T T Qt q

.d q

∂ ∂− = ∂ ∂

∂ ∂ − = ∂ ∂

(3.9)

Составляющая обобщенной силы от действия потенциальных сил равна взятой с

противоположным знаком частной производной от потенциальной энергии по

соответствующей обобщенной координате:

Пi

i

ПQ ( i 1,2 ),q∂

= − =∂

(3.10)


81

где 1 2П( q ,q ) – потенциальная энергия системы, определяемая выражением (3.8).

Тогда,

( ) ( )П П1 11 1 12 2 2 12 1 22 2Q c q c q , Q c q c q .= − + = − + (3.11)

С учетом выражения (3.7) для кинетической энергии системы, получим

1 2

T T 0;q q∂ ∂

= =∂ ∂

11 1 12 2 12 1 22 21 2

T Ta q a q ; a q a q ;q q∂ ∂

= + = +∂ ∂

11 1 12 2 12 1 22 21 2

d T d Ta q a q ; a q a q .dt q dt q ∂ ∂

= + = + ∂ ∂

(3.12)

Подставляя выражения (3.11) и (3.12) в уравнения (3.9), получим уравнения

движения системы в случае свободных колебаний без учета сил сопротивления:

11 1 12 2

1

11

2 1 22 2

1 12 2

12 1 22 2

a q a qa q

c q c q 0;c q c q 0.a q

+ + +

+

++==

(3.13)

Коэффициенты 12a и 12c называют коэффициентами инерционной и упругой

связи соответственно. Если в колебательной системе коэффициент 12a 0= , ее

называют системой с упругой связью, а если 12c 0= – системой с инерционной связью.

3.2.2 Общее решение дифференциальных уравнений свободных колебаний

системы с двумя степенями свободы

Решение системы уравнений (3.13) будем искать в виде t

1 1q C e ,λ= t2 2q C eλ= .

В случае малых колебаний в окрестности устойчивого равновесия все значения λ


82

мнимые и, следовательно, частные решения можно представить в следующем виде:

1 1 2 2q A sin( kt ); q A sin( kt )α α= + = + , (3.14)

где 1 2A , A , k ,α – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

Продифференцируем (3.14) дважды по времени:

2 2

1 1 2 2q k A sin( kt ); q k A sin( kt ) α α= − + = − + (3.15)

и подставим полученные выражения в систему уравнений (3.13). После

преобразований получим систему двух алгебраических однородных линейных

уравнений относительно 1A и 2A :

( ) ( )( ) ( )

2 211 11 1 12 12 2

2 212 12 1 22 22 2

c a k A c a k A 0;

c a k A c a k A 0.

− + − =

− + − =

(3.16)

Система алгебраических однородных линейных уравнений (3.16) имеет

отличное от нуля решение, если определитель системы равен нулю:

2 2

11 11 12 122 2

12 12 22 22

c a k c a k 0.c a k c a k

− −=

− − (3.17)

Раскрывая определитель (3.17), получаем уравнение частот:

( )( ) ( )22 2 211 11 22 22 12 12c a k c a k c a k 0− − − − = . (3.18)

Уравнение частот (3.18) в общем случае имеет два корня 21k и 2

2k . Если


83

квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергии удовлетворяют

условиям определенной положительности, то оба корня 21k и 2

2k являются

действительными и положительными. В этом случае обобщенные координаты 1q и

2q выражаются синусоидальной зависимостью от времени. В противном случае

движение системы не является колебательным.

Извлекая из 21k и 2

2k квадратные корни и отбрасывая отрицательные значения

частот, как не имеющие физического смысла, получаем две собственные частоты

колебаний системы 1k и 2k . Меньшую из частот обозначают 1k и называют

низшей, большую 2k называют высшей. Частоты 1k и 2k не зависят от начальных

условий и полностью определяются инерционными и упругими свойствами самой

системы.

В случае равенства частот 1 2k k k= = каждое из уравнений системы является

тождеством, справедливым при любых значениях 1A и 2A . Система

дифференциальных уравнений (3.13) распадается на два независимых уравнения –

одно для 1q , другое для 2q . Их решения имеют вид:

1 1 1 2 2 2q A sin ( kt ); q A sin ( kt )α α= + = + (3.19)

Амплитуды и фазы колебаний 1 2 1 2,A A , ,α α определяются независимо для

каждой координаты из начальных условий:

( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )

0 1 2 1 21 2 1 2t 0, q q , q q , q q , q q= = = = = . (3.20)

Система совершает гармонические колебания, при которых обобщенные

координаты 1q и 2q изменяются по синусоидальному закону независимо друг от

друга с одинаковыми частотами.


84

В случае разных частот 1k и 2k каждой частоте соответствуют определенные

значения 1 2,A A ,α . Обозначим амплитуды и фазу для частоты 1k через ( 1 ) ( 2 )11 2A , A ,α

и ( 2 ) ( 2 )21 2A ,A ,α – для частоты 2k .

В соответствии с этим получим два независимых частных решения,

соответствующих частотам 1k и 2k :

( 1 ) ( 1 )

1 11 1( 1 ) ( 1 )

1 12 2( 2 ) ( 2 )

2 21 1( 2 ) ( 2 )

2 22 2

q A sin ( k t );

q A sin ( k t );

q A sin ( k t );

q A sin ( k t );

α

α

α

α

= +

= +

= +

= +

(3.21)

где ( 1 )1q и ( 1 )

2q составляют главные колебания для частоты 1k , а ( 2 )1q и ( 2 )

2q – для

частоты 2k .

Каждое из главных колебаний является гармоническим для обеих обобщенных

координат.

Система однородных линейных уравнений (3.16) дает возможность

определить только отношение амплитуд 2A и 1A . Для первого и второго главных

колебаний соответственно получаем:

(1) 2 211 11 1 12 12 12

1 (1) 2 212 12 1 22 22 11

(2) 2 211 11 2 12 12 22

2 (2) 2 212 12 2 22 22 21

A c a k c a k ,A c a k c a k

A c a k c a k .A c a k c a k

β

β

− −= = − = −

− −

− − = = − = − − −

(3.22)

Отношения амплитуд в главных колебаниях 1β и 2β , называют

коэффициентами формы:


85

(1) (1) (2) (2)2 2 2 2

1 2(1) (1) (2) (2)1 1 1 1

A q A q;A q A q

β β= = = = (3.23)

Общее решение системы уравнений (3.13) получается путем суммирования

частных решений:

( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )

1 1 1 2 21 1 1 1( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )

2 1 1 1 2 2 22 2 1 1

q q q A sin(k t ) A sin(k t ),

q q q A sin(k t ) A sin(k t ).

α α

β α β α

= + = + + +

= + = + + + (3.24)

Четыре постоянных ( 1 ) ( 1 ), 1 21 1A A , ,α α определяются из начальных условий:

( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )

0 1 2 1 21 2 1 2t 0, q q , q q , q q , q q= = = = = . (3.25)

Полученные результаты показывают, что собственные колебания системы с

двумя степенями свободы не являются простым гармоническим движением и

представляют собой сумму двух главных гармонических колебаний с частотами 1k и

2k , которые содержатся в каждой обобщенной координате 1q и 2q .

3.2.3 Главные координаты

Выберем в качестве новых обобщенных координат системы ( 1 )

1q и ( )21q , тогда

главное колебание с частотой 1k будет характеризовать только обобщенная

координата ( 1 )1q , а главное колебание с частотой 2k , – обобщенная координата ( 2 )

1q .

Обобщенные координаты, которые совершают только по одному главному

колебанию, называются главными координатами системы. Произвольные

обобщенные координаты можно представить линейными комбинациями главных:


86

( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) .1 2 1 21 1 1 1q q q ; q q qβ β= + = + (3.26)

Очевидно, что в случае равенства частот 1 2k k= , любые обобщенные

координаты будут главными.

Как и в случае равных частот, система уравнений (3.13) для главных

координат должна распадаться на два отдельных, независимых уравнения. Это

означает, что выражения потенциальной (3.7) и кинетической (3.8) энергий не

должны содержать членов с произведениями переменных, т.е. 12 12a 0, c 0= = .

Найдем из этого условия главные координаты. Обозначим 1q и 2q – произвольные

обобщенные координаты, 1q∗ и 2q∗ – главные координаты.

Из (3.26) получим

1 1 1 2 1 1 2 1q q q ; q q q ,β β∗ ∗ ∗ ∗= + = + (3.27)

где 1 2,β β – коэффициенты формы, определяемые соотношениями (3.22).

Выражения для кинетической и потенциальной энергий в главных

обобщенных координатах имеют вид:

( ) ( ) ( ) ( )* *2 2 2 2* * * * * *11 1 22 2 11 1 22 2

1 1П с q с q ; T a q a q2 2 = + = +

. (3.28)

Подставляя (3.27) в выражения потенциальной (3.7) и кинетической (3.8)

энергий, получим:


87

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2211 12 1 22 1 1 11 1 2 22 1 2 1 212

2211 12 2 22 2 2

2211 12 1 22 1 1 11 1 2 22 1 2 1 212

2211 12 2 22 2 2

1П с 2с с q 2 с с с q q2

с 2с с q ;

1T a 2a a q 2 a a a q q2

a 2a a q .

β β β β β β

β β

β β β β β β

β β

∗ ∗ ∗

∗

∗ ∗ ∗

∗

= + + + + + + + + + +

= + + + + + + +

+ + +

(3.29)

Сопоставляя выражения (3.28) и (3.29), получим следующие уравнения:

( )( )

11 1 2 22 1 212

11 1 2 22 1 212

с с с 0,

a a a 0,

β β β β

β β β β

+ + + =

+ + + = (3.30)

и соотношения между старыми и новыми коэффициентами инерции и жесткости:

* 2 * 211 11 12 1 22 1 22 11 12 2 22 2* 2 * 211 11 12 1 22 1 22 11 12 2 22 2

a a 2a a ; a a 2a a ;

c c 2c c ; c c 2c c .

β β β β

β β β β

= =

= =

+ + + +

+ + + + (3.31)

Решая систему (3.30) относительно коэффициентов формы 1β и 2β , найдем:

11 12 12 11 22 11 11 221 2 1 2

12 22 22 12 12 22 22 12

a c a c a c a c; .a c a c a c a c

β β β β+− −= =

− − (3.32)

Заметим, что соотношения (3.32) являются корнями квадратного уравнения:

( ) ( ) ( )211 22 22 12 22 11 11 22 11 12 12 11a c a c a c a c a c a c 0β β− − − + − = . (3.33)


88

Таким образом, коэффициенты формы 1β и 2β можно определять двумя

способами: как по формулам (3.22), так и как корни квадратного уравнения (3.33).

Система уравнений малых колебаний (3.13) для главных координат 1q∗ и 2q∗ с

учетом * *12 12a c 0= = распадется на два независимых уравнения:

11 1 1

22

11

222 2

a q q

a q q

c 0;

c 0.

∗ ∗

∗ ∗

+ = = +

(3.34)

Общее решение системы дифференциальных уравнений (3.34) будет иметь

вид: ( 1 )

1 1 11( 2 )

2 2 22

q A sin ( k t ),

q A sin ( k t ),

α

α

∗ ∗

∗ ∗

= +

= + (3.35)

где 1k∗и 2k∗ – частоты главных колебаний, вычисляемые по формулам:

* ** *11 221 2* *

11 22

c ck ; k .a a

= = (3.36)

Отметим особо, что т.к. частоты главных колебаний являются физическими

характеристиками системы, то они не могут зависеть от выбора обобщенных

координат, следовательно,

* *1 1 2 2k k ; k k .= =

Каждая из главных координат системы изменяется по гармоническому закону

определенной частоты, амплитуды и фазы, как это наблюдается в случае системы с

одной степенью свободы. Полученные результаты будут справедливы и для систем


89

с любым конечным числом степеней свободы. Использование главных координат,

не упрощает вычислений, однако главные координаты имеют большое

теоретическое значение, например, при исследовании вынужденных колебаний

системы.

3.3 Влияние линейного сопротивлении на собственные колебания

Пусть на точки системы действуют линейные силы сопротивления kR ,

пропорциональные скорости точек kv , т. е.

R

k k k kF ( ) µ= −v v , (3.37)

где kµ – постоянные коэффициенты, характеризующие сопротивление.

Повторяя рассуждения, приведенные в параграфе 2.2, получим выражение для

обобщенной силы сопротивления RjQ , соответствующей обобщенной координате jq

:

j

n n nk k

k k k k kk 1 k 1 k 1

n nk k

k 1 k 1

k

j

k

R Rq

j j

2kk

j j j

ddq

d d dФ ,dq 2 dq 2 d

r rQ Fq q

q

µ µ

µ µ

= = =

= =

∂ ∂= = − = −

∂ ∂

= −

=

= =

− −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

v v v

v v v. (3.38)

где Ф – диссипативная функция (2.18).

Следовательно, обобщенная сила сопротивления равна взятой с

противоположным знаком частной производной от диссипативной функции по

соответствующей обобщенной координате.

Учитывая, что выражение для диссипативной функции аналогично

выражению для кинетической энергии, из (3.7) получим:


90

2 211 1 12 1 2 22 2

1 ( b q 2b q q b q ).2

Φ = + + (3.39)

Постоянные величины 11 12 22b , b , b называются обобщенными

коэффициентами сопротивления.

Так же как и кинетическая энергия, диссипативная функция является

однородной квадратичной формой обобщенных скоростей.

В общем случае диссипативная функция является неотрицательной

квадратичной формой [3, 4]. Если диссипативная функция является положительно

определенной квадратичной формой, и ее коэффициенты удовлетворяют условию (1.24):

11 1211 22

12 22

b b0, 0, 0,b bb b

> > > (3.40)

то диссипация называется полной.

Пусть 1q и 2q – главные координаты системы. Тогда выражения для

кинетической и потенциальной энергий примут вид:

2 211 1 22 2

2 211 1 22 2

1T ( a q a q ),21П ( с q с q ).2

= + = +

(3.41)

Диссипативная функция содержит слагаемое с произведением переменным и в

случае главных координат:

( )2 211 1 12 1 2 22 2

1 b q 2b q q b q .2

Φ = + + (3.42)


91

Подставив (3.41) и (3.42) в уравнения Лагранжа (3.1), получим с учетом (3.38)

уравнения собственных колебаний системы с двумя степенями свободы при

наличии линейного сопротивления:

11 1 11 1 11 1 2

12 22 2 22 2 22 2

12

1

( a q b q c q ) b q 0,

b q ( a q b q c q ) 0.

+ + + =

+ + +

=

(3.43)

Общее решение системы (3.43) будем искать в виде

t t

1 1 2 2q C e , q C e λ λ= = (3.44)

Подставляя (3.44) в систему уравнений (3.43), после преобразований получим:

( )( )

21 11 11 11 2 12

21 12 2 22 22 22

C a b c C b 0,

C b C a b c 0.

λ λ λ

λ λ λ

+ + + =

+ + + =

(3.45)

Для того чтобы эта система однородных линейных уравнений относительно

неизвестных ,1 2C C имела ненулевое решение, определитель системы должен рав-

няться нулю:

2

11 11 11 122

12 22 22 22

a b c b0,

b a b c

λ λ λ

λ λ λ

+ +=

+ + (3.46)

или 4 3 2 2

11 22 11 22 22 11 11 22 22 11 11 22 12

11 22 22 11 11 22

a a ( a b a b ) ( a c a c b b b )( b c b c ) c c 0.

λ λ λλ

+ + + + + − ++ + + =

(3.47)


92

Каждому из четырех корней уравнения (3.47) 1 2 3 4, , ,λ λ λ λ соответствуют

определенные значения постоянных 1C и 2C .

Т.к. определитель системы (3.46) равен нулю, то уравнения (3.45) линейно

зависимы, поэтому их решение позволяет определить только отношения 1C и 2C

каждого корня i ( i 1,2,3,4 )λ = :

( )2 11 i 11 i 11 12 i

2 12 i 22 i 22

i2i

i 21 2

a b c bb a b

C i 1, 2, 3, 4 .C c

λ λ λλ λ λ

= − =+

= −+ +

+ (3.48)

Возможны три варианта корней характеристического уравнения (3.47) и,

соответственно, общего решения системы дифференциальных уравнений (3.43).

1 Корни комплексные.

В случае малого сопротивления корни характеристического уравнения имеют

вид:

1,2 1 1 3,4 2 2n k i; n k iλ λ= − ± = − ± , (3.49)

где 1 2n , n и 1 2k ,k – некоторые положительные числа.

Подставляя значения (3.49) в (3.44), после несложных преобразований

получим:

1

1

1

1

2

2

2

n t n t

n t n t

n t n t

n t

( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )1 1 1 2 21 1 1 1

( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )1 21 1 1 1

( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )2 1 1 2 22 2 2 2

( 1 )12 2

q e ( B cos k t D sin k t ) e ( B cos k t D sin k t )

A e sin( k t ) A e sin( k t );

q e ( B cos k t D sin k t ) e ( B cos k t D sin k t )

A e sin( k t

α α

α

− −

− −

− −

−

= + + + =

+ + +

= + + + =

+ 2n t( 1 ) ( 2 ) ( 2 )22 2) A e sin( k t ),α−+ +

(3.50)

где B,D,A,α – постоянные величины.

Как следует из (3.50), каждая главная координата является суммой двух

затухающих колебаний. Четыре из восьми постоянных 1 2 1 2A ,A , ,α α определяются

из начальных условий; остальные – через постоянные 1 2C ,C , определяемые из (3.48).


93

2 Корни действительные.

В случае большого сопротивления корни характеристического уравнения

(3.47) можно представить в виде:

1,2 1 1 3,4 2 2n k ; n kλ λ= − ± = − ± ,

причем 1 1 2 2n k ; n k> > . Главные координаты (3.44) в этом случае примут вид:

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

n t

n t

k t k t n t k t k t( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )1 1 1 1 1

k t k t n t k t k t( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )2 2 2 2 2

q e ( C e C e ) e ( C e C e );

q e ( C e C e ) e ( C e C e ).

−

−

− − −

− − −

= + + +

= + + + (3.51)

Как следует из (3.51) система будет совершать непериодическое, затухающее

движение.

3 Два корня действительные, два – комплексные.

1,2 1 1 3,4 2 2n k ; n k i.λ λ= − ± = − ±

Тогда главные координаты(3.44) примут вид:

1 1 1 2

1 1 1 2

n t k t k t n t( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 21 1 1 1

n t k t k t n t( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 22 2 2 2

q e ( C e C e ) A e sin( k t );

q e ( C e C e ) A e sin( k t ).

α

α

− − −

− − −

= + + +

= + + +

В этом случае система будет совершать сложное движение, представляющие

собой наложение затухающих колебаний на апериодическое, затухающее движение.

Т.к., произвольные обобщенные координаты линейно выражаются через главные в

соответствии с (3.27), то в этом случае каждая из обобщенных координат является

линейной комбинацией трех рассмотренных случаев.


94

3.4 Вынужденные колебания системы без учета сопротивления

Рассмотрим вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы без

учета сил сопротивления под действием гармонических возмущающих сил.

Получим уравнение движения системы в главных обобщенных координатах. В этом

случае кинетическая и потенциальная энергии определяются выражениями (3.41).

Пусть обобщенные возмущающие силы изменяются по синусоидальному закону

одинаковой частоты и фазы:

B B1 1 2 2Q H sin( pt ); Q H sin( pt )δ δ= + = + ,

где 1H и 2H – амплитуды обобщенных возмущающих сил;

p – частота возмущающей силы;

δ – начальная фаза возмущающей силы.

Из уравнений Лагранжа (3.2) получим следующую систему уравнений

вынужденных колебаний системы:

11 1 11 1 1

22 2 22 2 2

a q c q H sin( pt ),

a q c q H sin( pt ),

δ

δ

+ = +

+

+ =

или 2

1 1 1 12

2 2 2 2

q k q h sin( pt ),

q k q h sin( pt ).

δ

δ

+ = +

+ = +

(3.52)

где введены следующие обозначения:

11 22

11 22

2 2 1 21 2 1

1 222

1

H Hk ; k ; h ; h .c ca a a a

= = = = (3.53)


95

Общее решение системы дифференциальных уравнений (3.52) складывается

из общего решения системы соответствующих однородных уравнений (3.34) и

частного решения системы исходных неоднородных уравнений. Общее решение

системы (3.34) получено в пункте 3.2.3. Остановимся на определении частного

решения этой системы уравнений, характеризующего вынужденные колебания

системы.

Будем искать частное решение в виде:

B B B B1 1 2 2q A sin( pt ); q A sin( pt )δ δ= + = + , (3.54)

где B1A и B

2A – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Продифференцируем (3.54) дважды по времени:

B 2 B B 2 B1 1 2 2q p A sin( pt ); q p A sin( pt )δ δ= − + = − + . (3.55)

Подставляя (3.54) и (3.55) в уравнения (3.52), получим после преобразований

систему алгебраических уравнений для определения B1A и B

2A :

( ) ;

( ) ;

2 2 B1 1 12 2 B2 2 2

k p A h

k p A h

− =

− =

откуда

( )

( )

;

.

B 11 2 2

1

B 22 2 2

2

hAk p

hAk p

= − = −

(3.56)

С учетом найденных значений (3.56) вынужденные колебания определяются

выражениями:


96

( ) ( )B B1 2

2 2 2 2 21 2

1q sin( pt );h hk p k p

q sin( pt )δ δ− −

= + = + .

Если частота возмущающей силы совпадает с одной из частот собственных

колебаний, например 1p k= (резонанс на данной частоте), частное решение для

вынужденных колебаний ищем в виде

B B B B1 1 2 2q A t cos( pt ); q A sin( pt )δ δ= + = + . (3.57)

где B1A и B

2A – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя (3.57) в систему уравнений (3.52), после преобразований получим:

B B1 21 2 2 2

1 2

h hA ; A2k k p

= − = −−

. (3.58)

С учетом (3.58) вынужденные колебания в главных координатах определяются

выражениями:

B 1 11

1 1

B 22 2

2

h t h tq cos( pt ) sin( pt );22k 2k

hq sin( pt ).k p

πδ δ

δ

= − + = − + − = + −

Произвольные обобщенные координаты связаны с главными соотношениями

(3.27), следовательно, при резонансе обе произвольные обобщенные координаты

будут неограниченно возрастать во времени.

В случае совпадения обеих собственных частот с частотой возмущающей

силы 1 2k k p= = (резонанс по обеим координатам), обе главные координаты будут

неограниченно увеличиваться во времени. Таким образом, для наступления


97

резонанса в системе с двумя степенями свободы достаточно совпадения частоты

возмущающей силы с одной из двух частот собственных колебаний.

3.5 Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания

Рассмотрим вынужденные колебания системы с линейным сопротивлением

при гармоническом возмущении. Уравнения движения системы в произвольных

координатах примут вид:

( ) ( )( ) ( )

11 1 11 1 11 1 12 2 12 2 12 2 1

12 1 12 1 12 1 22 2 22 2 22 2 2

a q b q c q a q b q c q H sin( pt );

a q b q c q a q b q c q H sin( pt ).

δ

δ

+ + + + + = +

+ + + + + = +

(3.59)

Общее решение системы уравнений (3.59) для каждой координаты является

суммой собственных C1q , C

2q и вынужденных колебаний B1q , B

2q :

C B C B

1 1 1 2 2 2q q q ; q q q= + = + . (3.60)

В зависимости от вида корней характеристического уравнения

соответствующей системы однородных уравнений, получаемой из (3.59) путем

отбрасывания правых частей, общее решение (3.60) будет либо линейной

комбинацией затухающих колебаний и затухающего непериодического движения,

либо каждым из этих движений в отдельности.

Вынужденные колебания B B1 2q , q являются частным решением системы

уравнений (3.59), которое следует искать в виде

B B1 1 1 1 1B B2 2 2 2 2

q B sin( pt ) D cos( pt ) A sin( pt );

q B sin( pt ) D cos( pt ) A sin( pt ).

δ δ δ ε

δ δ δ ε

= + + + = + −

= + + + = + − (3.61)


98

Постоянные B B1 2 1 2A ,A , ,ε ε связаны с постоянными 1 2 1 2B ,B ,D ,D соотношениями:

B 2 2 11 1 1 1

1

B 2 2 22 2 2 2

2

DA B D ; arctg ;B

DA B D ; arctg .B

ε

ε

= + = −

= + = −

(3.62)

где B B1 2 1 2A , A , ,ε ε – соответственно амплитуды и сдвиги фаз.

Подставив (3.61) в систему уравнений (3.59), после несложных

преобразований получим систему четырех алгебраических уравнений для

определения неизвестных коэффициентов 1 2 1 2B ,B ,D ,D :

2 21 11 11 1 11 2 12 12 2 12 1

2 21 11 1 11 11 2 12 2 12 12

2 21 12 12 1 12 2 22 22 2 22 2

2 21 12 1 12 12 2 22 2 22 22

B ( c a p ) D b p B ( c a p ) D b p H ;

B b p D ( c a p ) B b p D ( c a p ) 0;

B ( c a p ) D b p B ( c a p ) D b p H ;

B b p D ( c a p ) B b p D ( c a p ) 0.

− − + − − =

+ − + + − =

− − + − − = + − + + − =

(3.63)

Решая систему уравнений (3.61), определим постоянные 1 2 1 2B ,B ,D ,D , а затем

по формулам (3.62) постоянные B B1 2 1 2A , A , ,ε ε .

Как и в случае системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания

являются незатухающими гармоническими колебаниями, амплитуда и фаза которых

не зависят от начальных условий, а частота совпадает с частотой возмущающей

силы. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в

отличие от случая отсутствия сопротивления.


99

4 Теория удара

4.1 Основное уравнение элементарной теории удара

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости

точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, действующие на тела, можно подразделить на силы, изменяющие

скорости точек в течение некоторого конечного промежутка времени, – конечные

силы (например, сила тяжести) и силы, изменяющие скорости точек тела в течение

весьма малого промежутка времени (порядка десятой и менее доли секунды), –

ударные силы.

Ударной называется такая сила, которая действуя в течение ничтожно малого

промежутка времени, достигает при этом настолько больших значений, так что ее

импульс есть величина конечная.

Импульс ударной силы определяется выражением:

0

S Fdtτ

= ∫ , (4.1)

где S – импульс ударной силы, H c⋅ ;

F – ударная сила, Н;

τ – время удара, с.

Рассмотрим действие ударной силы на материальную точку за время удара.

Импульсы неударных сил за время удара будут малыми величинами и ими по

сравнению с ударными можно пренебречь. Тогда, на основании теоремы об

изменении количества движения материальной точки имеем:

mu m S− =v , (4.2)


100

где m – масса точки, кг;

u – вектор скорость точки после удара, м/с;

v – вектор скорость точки до удара, м/с;

S – суммарный импульс ударных сил, H c⋅ .

Из выражения (4.2) следует, что изменение количества движения

материальной точки за время удара равно импульсу действующих на точку

ударных сил.

Уравнение (4.2) называется основным уравнением теории удара.

Найдем из уравнения (4.2) скорость материальной точки в конце удара:

Sum

= +v . (4.3)

На рисунке 23 показаны скорости точки до и после удара и импульс ударной

силы в соответствии с формулой (4.3). Здесь через 1 обозначена траектория

движения точки до удара, 2 – траектория движения точки после удара.

Рисунок 23

Таким образом, в элементарной теории удара вводятся следующие допущения:

1. Перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь, считая тело

за время удара практически неподвижным.

2. Действием неударных сил за время удара можно пренебречь.

3. Изменения скоростей точек тела за время удара определяются основным

уравнением теории удара (4.2).

2

1


101

4.2 Общие теоремы теории удара

4.2.1 Теорема об изменении количества движения системы при ударе

Изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех

внешних импульсов ударных сил, действующих на систему:

e

1 0 kQ Q S− = ∑ , (4.4)

где 1Q – количество движения системы после удара;

0Q – количество движения системы до удара;

ekS∑ – сумма внешних импульсов ударных сил.

Если геометрическая сумма всех внешних импульсов ударных сил равна нулю

( ekS 0=∑ ), то количество движения системы за время удара не изменится, т.е.

1 0Q Q= . (4.5)

В проекциях на любую неподвижную координатную ось, например ось х,

уравнение (4.4) примет вид:

e

1x 0 x kxQ Q S− = ∑ . (4.6)

Если сумма проекций всех внешних импульсов ударных сил на какую-либо

неподвижную ось, например ось х, равна нулю ( ekxS 0=∑ ), то проекция количества

движения системы на эту ось за время удара не изменится, т.е.

1x 0 xQ Q= . (4.7)


102

4.2.2 Теорема об изменении главного момента количества движения системы

при ударе

Изменение главного момента количества движения системы

относительно какого-либо неподвижного центра за время удара равно сумме

моментов внешних импульсов ударных сил относительно того же центра:

e

O O O kK ( u ) K ( ) M ( S )− = ∑v , (4.8)

где OK ( u ) – главный момент количества движения системы относительно центра О

после удара;

OK ( )v – главный момент количества движения системы относительно центра О

до удара;

eO kM ( S )∑ – сумма моментов внешних импульсов ударных сил относительно

центра О.

Если сумма моментов внешних импульсов ударных сил относительно какого-

либо неподвижного центра О равна нулю ( eO kM ( S ) 0=∑ ), то главный момент

количества движения системы относительно этого же центра за время удара не

изменится, т.е.

O OK ( u ) K ( )= v . (4.9)

В проекциях на любую неподвижную ось х равенство (4.8) примет вид

e

x x x kK ( u ) K ( ) M ( S )− = ∑v . (4.10)

Если сумма моментов внешних импульсов ударных сил относительно какой-


103

либо неподвижной оси х равна нулю ( ex kM ( S )∑ ), то главный момент количества

движения системы относительно этой же оси х за время удара не изменится, т.е.

x xK ( u ) K ( )= v . (4.11)

4.3 Коэффициент восстановления при ударе о неподвижную поверхность

При прямом ударе тела о неподвижную поверхность величина k, равная

отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в начале удара,

называется коэффициентом восстановления:

uk =v

. (4.12)

Коэффициент восстановления изменяется в пределах 0 k 1≤ ≤ и определяется

опытным путем. В случае, если k = 0, удар называется абсолютно неупругим, если k

= 1 – абсолютно упругим. В практических расчетах коэффициент восстановления

обычно принимают зависящим только от материала соударяющихся тел, однако, как

показывают опытные данные, коэффициент восстановления зависит также от

соотношения масс соударяющихся тел и их формы.

4.4 Прямой центральный удар двух тел

Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их

соприкосновения называется линией удара.

Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат

на линии удара (рисунок 24).

Центральный удар называется прямым, если скорости центров масс


104

соударяющихся тел в начале удара направлены по линии удара.

Обозначим массы соударяющихся тел через 1m и 2m , скорости их центров

масс до удара – 1v и 2v (рисунок 24,а), а в конце удара – 1u и 2u (рисунок 24,б).

а) б)

Рисунок 24

Очевидно, что в рассматриваемом случае при ударе должны выполняться два

условия: 1 2>v v и 1 2u u< .

Ударные силы, действующие между телами, будут внутренними, т.е. сумма

внешних импульсов ударных сил равна нулю: ekS 0=∑ . В результате уравнение

(4.6) примет вид:

1x 0 xQ Q= ,

или

1 1 2 2 1 1 2 2m m m u m u+ = +v v . (4.13)

Коэффициент восстановления k в случае прямого центрального удара двух

тел определяется выражением:

2 1

1 2

u uk −=

−v v. (4.14)

х х

Линия удара


105

Из (4.14) следует, что коэффициент восстановления при прямом центральном

ударе двух тел равен отношению модулей относительной скорости тел после

удара и до удара.

Для определения скоростей тел после удара 1u и 2u необходимо решить

систему уравнений (4.13) и (4.14).

В случае абсолютно неупругого удара (k 0= ):

1 1 2 21 2

1 2

m mu um m

+= =

+v v . (4.15)

В случае абсолютно упругого удара (k 1= ):

2 1 21 1

1 2

1 1 22 2

1 2

2m ( )u ,m m

2m ( )u .m m

− = − + − = + +

v vv

v vv (4.16)

4.5 Теорема Карно

Потерянной скоростью называется разность скоростей тела u )−(v до удара и

после удара.

Изменение кинетической энергии системы при упругом ударе равно

умноженной на коэффициент 1 k1 k−

+ кинетической энергии, которую имела бы

система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями:

2 21 20 1 1 1 2 2

1 k m mT T ( u ) ( u )1 k 2 2− − = − + − +

v v , (4.17)


106

где 0T - кинетическая энергия системы в начале удара;

1T – кинетическая энергия системы в конце удара.

Выражение (4.17) носит название теоремы Карно.

Частичная потеря кинетической энергии при неупругом ударе объясняется

остаточной деформацией и нагреванием соударяющихся тел.

Из (4.17) следует, что при абсолютно упругом ударе ( k 1= ) потери

кинетической энергии не происходит ( 0 1T T= ).

4.6 Удар по твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z (рисунок

25). Внешний ударный импульс, приложенный к телу в некоторой его точке,

вызывает появление в опорах тела дополнительных ударных реакций, которые

могут вызвать повреждение опор. Сформулируем условия, при которых опорные

устройства вращающегося тела не испытывают действия ударных сил.

Теорема об изменении главного момента количества движения системы (4.10)

в рассматриваемом случае примет вид

( ) ez 1 0 z kJ M ( S )ω ω− = ∑ , (4.18)

где zJ – момент инерции тела относительно оси вращения z , 2кг м⋅ ;

1ω – угловая скорость тела после удара, рад / с ;

0ω – угловая скорость тела до удара, рад / с .

Для того чтобы при ударе по телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси z,

ударные импульсы в подшипниках AS и BS (рисунок 25) обращались в нуль,

должны быть удовлетворены следующие условия:

1 Внешний ударный импульс должен быть перпендикулярен к плоскости,

проходящей через ось вращения z и центр тяжести тела С.


107

2 Ось вращения тела z должна быть главной осью инерции в точке

пересечения ее с плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и содержащей

точку приложения ударного импульса S , т.е. xz yzJ J 0= = .

3 Точка приложения D ударного импульса S должна отстоять от оси вращения

z на расстоянии

z

C

JODm x

=⋅

. (4.19)

Точка D, в которой приложен внешний ударный импульс S при отсутствии

ударных опорных реакций, называется центром удара.

Рисунок 25

O C

xC

zC

D

z

y

х В

А


108

5 Динамика плоского движения

5.1 Дифференциальные уравнения плоского движения тела

Рассмотрим движение твердого тела, масса которого распределена

симметрично относительно плоскости Оxy. Предположим, что все внешние силы

1 2 nF ,F ,...,F , приложенные к телу, действуют в этой же плоскости, а начальные

скорости точек этого тела ей параллельны. При этих условиях тело будет совершать

плоскопараллельное движение, для изучения которого достаточно рассмотреть

движение плоской фигуры, полученной сечением тела плоскостью Оxy (рисунок 26).

Начало системы координат 1 1Cx y помещено в центре масс тела – точке С.

Рисунок 26

Разложим плоское движение тела на поступательное движение вместе с

подвижной системой отсчета 1 1Cx y и вращательное движение вокруг оси,

перпендикулярной плоскости Оxy и проходящей через центр масс С.

Как известно из кинематики уравнения плоского движения тела имеют вид:


109

C 1

C 2

3

x f ( t ),y f ( t ),

f ( t ).ϕ

= = =

(5.1)

Основными задачами динамики плоского движения твердого тела являются

определение сил по заданным уравнениям движения в форме (5.1) (первая задача

динамики) и определение уравнений движения (5.1) по заданным силам (вторая

задача динамики).

Воспользуемся теоремой о движении центра масс:

e

C kMa F= ∑ , (5.2)

где M – масса тела;

Ca – вектор ускорения центра масс;

ekF∑ – главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу.

Проецируя векторное равенство (5.2) на оси координат x и y, получим:

e

C kxe

C ky

Mx F ,

My F .

=

=

∑∑

(5.3)

Для составления дифференциального уравнения вращательной части

движения воспользуемся теоремой об изменении главного момента количества

движения системы:

eCC k

dK m ( F )dt

= ∑ , (5.4)

где CK – главный момент количества движения твердого тела относительно оси,


110

перпендикулярной плоскости движения тела и проходящей через центр масс С;

eC km ( F )∑ – сумма моментов всех внешних сил относительно оси, проходящей

через центр масс С и перпендикулярной плоскости движения тела.

Как известно, момент количества движения твердого тела, вращающегося

вокруг неподвижной оси, определяется соотношением:

C CK I ω= , (5.5.)

где CI – момент инерции тела, относительно оси проходящей через центр масс С и

перпендикулярной плоскости движения тела;

ω – угловая скорость тела.

С учетом (5.5) формула (5.4) примет вид:

eCC k

d( I ) m ( F )dtω

= ∑ . (5.6)

Для твердого тела CI const= , тогда с учетом, что ddtω ε ϕ= = , получим

дифференциальное уравнение вращательной части плоского движения:

e

C C kI m ( F )ϕ = ∑ . (5.7)

Уравнения (5.3) и (5.7) называются дифференциальными уравнениями

плоского движения твердого тела:

e

C kxe

C ky

eC C k

Mx F ,

My F ,

I m ( F ).ϕ

= =

=

∑∑∑

(5.8)


111

5.2 Задача о качении диска по наклонной плоскости

Рассмотрим однородный круглый диск с горизонтальной осью,

скатывающийся по наклонной плоскости с углом наклона α (рисунок 27).

Пренебрегая трением качения, исследуем движение диска для двух случаев:

при отсутствии скольжения по наклонной плоскости и при наличии скольжения.

5.2.1 Качение диска по наклонной поверхности при отсутствии скольжения

В случае отсутствия скольжения мгновенный центр скоростей диска

находится в точке соприкосновения диска с неподвижной плоскостью.

Тогда скорость центра масс диска

C CP Rω ω= ⋅ = ⋅v . (5.9)

Рисунок 27


112

Располагая неподвижные координатные оси Оху как показано на рисунке 27,

получим:

C C Cy R const; y 0; y 0.= − = ⇒ = =

С учетом (5.9) имеем:

C Ca x Rϕ= = . (5.10)

Дифференциальные уравнения движения (5.8) в рассматриваемом случае

примут вид:

mp

C mp

M R Mg sin F ;

0 N Mg cos ;I F R.

ϕ α

αϕ

= − = − + =

(5.11)

Решая эту систему уравнений, получим:

2C

MgR sinMR I

αϕ =+

;

2

C 2C

MgR sinaMR I

α=

+; (5.12)

Cmp 2

C

I Mg sinF Mg sinMR I

α µ α= =+

, (5.13)

где введено обозначение

C2

C

IMR I

µ =+

. (5.14)


113

Для сплошного однородного круглого диска момент инерции относительно

центральной оси равен 2

CMRI

2= .

Тогда,

2g sin3R

αϕ = ;

C2g sina

3α

= ;

mpMg sin 1F ;

3 3α µ= = .

Рассматриваемый случай качения диска без скольжения по наклонной

плоскости имеет место при условии, что сила трения при качении mpF не превышает

предельную силу трения при скольжении mp*F .

Первая определяется формулой (5.13), вторая определяется выражением:

mp*F fN fMg cosα= = . (5.15)

Тогда сформулированное выше условие примет вид:

Mg sin fMg cosµ α α≤ ,

или

tg fµ α ≤ . (5.16)

Качение диска не будет сопровождаться скольжением, если угол α не больше

некоторой величины 0α , определяемой неравенством (5.16), т.е.


114

0farctgα αµ

≤ =

.

Для сплошного однородного диска полученное выражение примет вид:

( )0 arctg 3 fα α≤ = .

5.2.2 Качение диска по наклонной поверхности при наличии скольжения

Как показано в пункте 5.2.1, в случае если 0α α> , качение диска по

наклонной плоскости будет сопровождаться скольжением. Дифференциальные

уравнения движения (5.8) примут вид:

mp

mp

*С

*C

Mx Mg sin F ;

0 N Mg cos ;

I F R.

α

α

ϕ

= − = − + =

С учетом (5.15) имеем:

С

C

Mx Mg sin fMg cos ;I fMgR cos ,

α αϕ α

= − =

Тогда дифференциальные уравнения движения тела примут вид:

( )С

C

x g sin f cos ;fMgR cos .

I

α ααϕ

= − =

(5.17)

Для сплошного однородного круглого диска система (5.17) примет вид:


115

( )Сx g sin f cos ;2 fg cos .

R

α ααϕ

= −

=

При наличии скольжения диска по наклонной плоскости, скорость точки А

соприкосновения диска с неподвижной поверхностью не равна нулю.

Следовательно, мгновенный центр скоростей находится в точке P (рисунок 28).

Рисунок 28

Как известно из кинематики скорости точек А и С определяются

соотношениями:

A

C

AP;CP,

ωω

= ⋅ = ⋅

vv

A

C

AP;( R AP ).

ωω

= ⋅ == ⋅ −

vv


116

Следовательно,

A C Rω+ =v v .

Продифференцировав полученное выражение по времени, выразим ускорение

точки А:

A Cx R xϕ= − .

Откуда с учетом (5.17) имеем:

2 2

AC C

fMgR cos fMRx g sin fg cos g cos tg fI I

α α α α α

= − + = − +

,

или

2

AC

MRx g cos f 1 tgI

α α

= + −

. (5.18)

Подставив (5.14) в выражение (5.18), получим ускорение точки А:

Afx g cos tgα αµ

= −

,

или

( )A 0x g cos tg tgα α α= − .

Если 0α α> , то выражение в скобках – величина положительная, и скорость

скольжения диска по наклонной плоскости будет возрастать с течением времени.


117

5.2.3 Качение диска по наклонной поверхности с учетом трения качения

При наличии трения качения дифференциальные уравнения движения (5.11)

примут вид:

C mp

C mp mp

Mx Mg sin F ;

I F R m ,

α

ϕ

= − = −

где mpm N Mg cosδ δ α= = – момент трения качения;

δ – коэффициент трения качения.

После преобразований получим:

( )C C 2

C

MgR R sin cosa x

MR Iα δ α−

= =+

;

( )Cmp 2

C

Mg I sin M R cosF

MR Iα δ α+

=+

.

Условие отсутствия скольжения диска (5.16) примет вид:

sin cos f cosµ α δη α α+ < ,

где введено обозначение

2C

MRMR I

η =+

,

или

ftg δηαµ−

< .


118

Список использованных источников

1 Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: учебник для втузов. В 2 т. Т.2.

Динамика / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. - 2-е изд., исправл. – М.: Наука,

2000. - 271 с.

2 Добронравов, В.В. Курс теоретической механики: учебник для вузов / В.В.

Добронравов, Н.Н. Никитин, А.Л. Дворников. – 3-е изд. перераб. – М.: Высшая

школа, 1974. – 528 с.

3 Ильин, М.М. Теория колебаний: учебник для вузов / М.М. Ильин, К.С.

Колесников, Ю.С. Саратов. – 2-е изд., стереотип. – М.: МГТУ, 2003. – 272 с.

4 Курс теоретической механики / под ред. К.С. Колесникова. – 2-е изд.,

стереотип. – М.: МГТУ, 2002. – 736 с.

5 Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: учебник для втузов / С.М.

Тарг. - 18-е изд., стер. – М.: Наука, 2008. – 416 с.

6 Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учебник / А. А. Яблонский,

В. М. Никифорова. - 11-е изд., стер. - CПб.: Лань, 2004. - 768 с.

7 Яблонский, А. А. Курс теории колебаний: учебное пособие для вузов / А. А.

Яблонский, С. С. Норейко. - 5-е изд., стереотип. - СПб. :БХВ-Петербург, 2007. - 336 с.


прикладные задачи динамики_твердого_тела

Documents

Transcript of прикладные задачи динамики_твердого_тела