המודל הבינומי

1

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

אופציות וחוזים עתידיים

רפי אלדור’פרופ

המודל הבינומי

2


המודל הבינומי

:הנח עוד כי. הנח כי המודל הבינומי לתקופה אחת מתקיים

.100מחיר המנייה בהווה הוא -א

.5%שער הריבית הוא ב-

.90או לרדת ל 110מחיר המנייה יכול לעלות לג-

100בעלת מחיר מימוש של CALLחשב מהו שווי אופציית ?בתחילת התקופה

:דוגמא

3


ערכי נכסים בסוף התקופה

יכולים לקבל אתCALLמחיר המניה ומחיר אופציית :הערכים הבאים

אופציה

C(100)

10

0

מניה

100

110

90

פתרון

4


יחס ההגנה

090*10110* x h x h

5.020

10

90110

010*

h

5


ערך תיק חסר סיכון

.שמוכריםCALLכלומר יש לקנות חצי מניה על כל אופציה

:ערך התיק בסוף התקופה הוא

0.5 x 110 – 10 = 0.5 x 90 – 0 = 45

6


ערך תיק בתחילת התקופה

מכיוון שהתמורה היא ודאית אזי בשוק פיננסי משוכלל:מתקיימת המשוואה( ' ללא רווחי ארביטראז)

( h*S –C ) x (1 + r ) = 45

7


CALLשווי אופציית

(השקעה בהווה ( ) 1+ שער ריבית = ) 45או

( C –50= )45/1.05= 42.86או

C=50–42.86= 7.14לכן

8


Replicating Portfolio - CALL

מניהאופציה

100

110

90

ח"אג

50

55

45

100

105

105

42.86

45

45

C(100)

10

0

10

0

50-42.86

9


נוסחת המודל הבינומי

בהתאם CALLניתן לחשב ישירות שווי אופציה ( (r+1) את R-נסמן ב) בפרק ( 8.2)לנוסחה

RCddu

RuCu

du

dRC /

10


לפי הנוסחהCALLשווי אופציית

: כלומר

C = (0.75 x 10 + 0.25 x 0) / 1.05 = 7.14

11


'דוגמא לרווחי ארביטראז

:ובנוסף הנח כי8.1הנח אותם נתונים כמו בדוגמא

.10₪היו CALLמחיר אופציה . ד

' הוכח כי ניתן לקבל רווחי ארביטראז.בשוק פיננסי וחסר חיכוך

12


'טבלת ארביטראז

S(T)=110 S(T)=90 תזרים מזומנים

בהווה

הפעולה

10- 0 10+ מכירת CALאופציהL

55+ 45+ 50- קניית חצי מניה

42- 42- 40+ נטילת הלוואה

3+ 3+ 0 כ"סה

תזרים מזומנים במועד הפקיעה

13


'טבלת ארביטראז

S(T)=110 S(T)=90 תזרים מזומנים

בהווה

הפעולה

10- 0 10+ מכירת CALאופציהL

55+ 45+ 50- קניית חצי מניה

45- 45- 42.86+ נטילת הלוואה

0 0 2.86+ כ"סה

תזרים מזומנים במועד הפקיעה

14


PUTשווי אופציית

.הנח אותם נתונים כמו בדוגמא הראשונה

100בעלת מחיר מימוש של PUTחשב מהו שווי אופציה ? בתחילת התקופה

15


פתרון

על ידי מציאת מחירPUTניתן לחשב מחיר אופציה PUT CALL PARITY-ושימוש במשפט הCALLאופציית

: כלומר

38.210005.1

10014.7

)1(

S

r

XCP

16


PUTחישוב ישיר של אופציית

י בניית תיק"ישירות עPUTניתן לחשב מחיר אופציית אולם הפעם יש לקנות גם מניות וגם את. חסר סיכוןכי המתאם בין המחירים של שני הנכסיםPUTהאופציה

.הללו הוא שלילי

17


PUTחישוב ישיר של אופציית

:הואPUTמחיר האופציה

38.205.1

10

4

10

4

3

1

1

RPd

du

RuPu

du

dRP

18


Replicating Portfolio-PUT

מניהאופציה

100

110

90

ח"אג

50

55

45

100

105

105

52.38

55

55

P(100)

0

10

0

10

52.38-50

19


הערות למודל הבינומי

לא נזקקים להסתברויות אמיתיות למצבי העולם בכדי .לחלץ את מחיר האופציה

בנוסחה נקראים ההסתברויות Cd-וCuמקדמי למצבי העולם בעולם ניטרלי לסיכון או הסתברויות

.1לעבודה המסתכמות ל

.היא יחסיתDOWN-וUPההגדרה של מצבי העולם יתכן כי מחיר הנכס בשני מצבי העולם יעלה אך תמיד

U גדול מR וכןR גדול מD.

20


מודל בינומי דו תקופתי

(.מהסוף להתחלה)כאשר יש שתי תקופות החישוב רקורסיבי

מחשבים בתחילה את שווי האופציה בכל אחת מהאפשרויות .בתקופה השנייה לפי המודל החד תקופתי

לאחר מכן מחשבים את שווי האופציה בתקופה הראשונה . הם הערכים שקיבלנו מהחישובים הקודמיםCd-וCuכאשר

21


אופציות אמריקאיות

כאשר מחשבים שווי אופציה אמריקאית במודל הבינומי, אזי לצורך החישוב בתקופה הראשונה,הדו תקופתי

לוקחים את הגבוה בין הערך של המימוש המידי בסוףהתקופה הראשונה או הערך המתקבל מהיוון של הערך

. בסוף התקופה השנייה

22


מודל בינומי רב תקופתי

.באותה צורה רקורסיבית כמו מודל בינומי דו תקופתי–חישוב

אם מחלקים אותו למספר , עבור זמן נתון –BSהתכנסות ל כאשר , הולך וגדל של תקופות

הרי בגבול, משך הזמן של כל תקופה מצטמצם כאשר מספר התקופות שואף לאינסוף ואורך כל תקופה )

החישוב לפי המודל הבינומי מתכנס לחישוב, (שואף לאפס. לפי מודל בלק ושולס

23


המודל הבינומי–מטרת תרגיל מסכם

מטרת התרגיל להראות כי התכונות שפותחו בפרקיםמתקיימותPUTו CALLהקודמים לגבי אופציות

.במודל הבינומי

24


מודל בינומי-תרגיל מסכם

.הנח כי מודל בינומי לתקופה אחת מתקיים

CALLהצג כי גידול באי ודאות מעלה את מחיר אופציה

.PUTומחיר אופציה .השתמש בדוגמא של תקופה אחת הבאה

dS=90 , uS=110 , r=5% , S=100 לשתי 100מחיר המימוש

.האופציות

dS=80 , uS=120 , r=5% , S=100

25


'מקרה א

38.205.1/104

10

4

3

14.705.1/109.01.1

9.005.1

P

C

100

110

90

C(100)

10

0P(100)

0

10

26


'מקרה ב

14.705.1/208.02.1

05.12.1100

9.1105.1/208.02.1

8.005.1100

P

C

100

120

80

C(100)

20

0P(100)

0

20

27


מסקנה

גידול באי ודאות מעלה גם את הערך וגם את הערך CALL(7.1411.9 )של אופציה PUT(2.387.14)של אופציה

28


מודל בינומי של שתי תקופות

הנח כי המודל הבינומי של שתי תקופות מתקיים u=1.1 ,d=0.9לכל תקופה S=100 , r=5%–ו

לשתי תקופותPUT-וCALLומצא את מחירי האופציות והשווה אותן לאלה , 100בעלות מחיר מימוש של

.תקופה אחת

?חשב כיצד משתנה יחס ההגנה מתקופה לתקופה

29


אופציות אירופאיות

100EC

Cu

100110

9099

121

81

Cd

21

0

0

100EP

EPu

EPd

0

1

19

30



1505.1

214

3

0

Cu

Cd

,ולכן

71.1005.1

154

3

)100( eC

31



23.505.1

194

11

4

3

23.005.1

194

11

4

3

E

E

Pd

Pu

32



4.105.1

238.04

323.5

4

1

100

EP

33


שווי אופציות אמריקניות

.כמו בשאלה הקודמת רק ששתי האופציות הן אמריקניות? האם קיים הבדל בין מחירי האופציות האמריקניות לאירופיות

34


שווי אופציות אמריקאיות

10Pdבאופציה אמריקנית ולכן :

55.205.1

104

1238.0

4

3

)100(

AP

,אין הבדל בין אופציה אמריקאית לאירופאיתCALLבאופציה ".מימוש מוקדם"כי לא כדאי לבצע

35


שינוי במחיר המימוש

-הנח כי המודל הבינומי לתקופה אחת מתקיים וS=100 ,r=5%לכל תקופה ,d=0.9,u=1.1.

.105הוא PUTו CALLהנח עוד כי מחיר המימוש של אופציית חשב את מחירן של האופציות והשווה אותן לתוצאות שקבלת

.100בשאלה לגבי תקופה אחת של אופציות עם מחיר מימוש שקבלת למחירCALLהשווה עוד את מחיר ה

.שקבלת והסבר את התוצאהPUTה

36



05.1

4

15

05.1

54

3

)105( C

S=100

110

90

C)105(

5

0

37



05.1

4

15

05.1

154

1

)105( P

S=100

110

90

P(105)

0

15

הם זהים כי מחירPUTוה CALLכלומר מחירי אופציית ה .המימוש שווה למחיר העתידי

38


שאלה

.PUTואופציה CALLאופציה , ח "אג, הנח כי קיימת מניהאו40ויכול לעלות ל 20מחיר המניה הוא .הנח תקופה אחת

.1%שער הריבית לתקופה הוא .בהסתברויות שוות10לרדת ל שתי האופציות פוקעות בסוף התקופה ויש להן מחיר מימוש

.25של CALLמצא את המחירים התיאורטיים של אופציות ה

.PUTואופציות ה למקרה שמחיר האופציה גבוה ,'הצג טבלאות ארביטראז

וכן במחיר האופציה ,( C(25= )3לדוגמא )מהמחיר שמצאת (.P(25= )11לדוגמא )הנמוך מהמחיר שמצאת

39


פתרון

8.901.1

15

5.02

01.12)25(

049.501.1

0155.02

5.001.1

)25(

P

C

S 20=

40

10C(25)

15

0

P(25)

0

15

40


'רווחי ארביטראז

S(t)=40 S(t)=10 תזרים בהווה

15 0 3- CALLקניית

20- 5- 10+ מניה½ מכירת

7.07+ 7.07+ 7- פקדון

2.07 2.07 0

C(25)= 3במקרה

41


'רווחי ארביטראז

0 15- 11+ PUTמכירת

20- 5- 10+ מניה½ מכירת

21.21+ 21.21+ 21- הלוואה

1.21+ 1.21+ 0

P(25)= 11במקרה

42


שאלה

תקופות כאשר 3-לPUTו CALLחשב ערך אופציה

r=0.05,X=100,d=0.9,u=1.1,S=100

u,d נכונים לכל תקופה.

43


פתרון

:תנועת נכס הבסיס על פני זמן היא

S=100

110

90

99

121

81

133.1

108.9

89.1

72.9

44


(המשך)פתרון

:על פני זמן היאCallתנועת תקבולי אופציית ה

C(100)

Cu

Cd

Cud

Cuu

Cdd

Cuuu=33.1

Cuud=8.9

Cddu=0

Cddd=0

45


Callשווי אופציית ה

Cuu = )(0.75) 33.1 + (0.25)8.9( / 1.05=25.76

Cud = (0.75)8.9 / 1.05=6.36

Cdd=0Cu = )(0.75)25.76 + (0.25)6.35(/ 1.05=19.91

Cd = (0.75)6.35 / 1.05=4.53

3.1505.1/53.425.091.1975.0 C

46


נוסחה כללית

rCppCC

rCppCC

rCppCC

dddddudd

dduduudu

duuuuuuu

/1

/1

/1

dudrp where

rCppCC

rCppCC

rCppCC

du

dddud

duuuu

/

/1

/1

/1

47


המשך

33223

222

222

/11313

112

112

rCpCppCppCp

C

rCpCppCpC

rCpCppCpC

ddddduduuuuu

ddddduduud

dduduuuuuu

48


1שאלה מספר Case A

u= 1.10 S=

d= 0.90 110

X= 100

r= 5% 100

90

C= P=

10 0

7.14 2.38

0 10

147051

10

9011

90051.

...

..

C 382

051

110

4

10

4

3.

.

P

5010020

10.

.

h

49


המשך-1שאלה מספר

911051

20

8021

80051.

...

..

C

Case B

u= 1.20 S=

d= 0.80 120

X= 100

r= 5% 100

80

C= P=

20 0

11.90 7.14

0 20

147051

20

8021

05121.

...

..

P

50


Callאופציית -2שאלה מספר

15051

121

4

3

.Cu

u= 1.10

d= 0.90

X= 100

r= 5%

S= 121

110

100 99

90

81

C= 21

15.00

10.71 0

-

0

0Cd

95011020

21.

.

hu 0hd

75010020

15.

.

h

7110051

115

4

3.

.

C

51


Putאופציית -2שאלה מספר

230051

1

4

1.

.

Pu

u= 1.10

d= 0.90

X= 100

r= 5%

045011020

1.

.

hu 1

9020

18

.hd 250

10020

5.

.

h

41051

1

4

23803

4

235.

.

..

P

S= 121

110

100 99

90

81

P= 0

0.24

1.42 1

5.24

19

235051

1

4

19

4

3.

.

Pd

52


אופצייה אמריקאיות-3שאלה מספר

230051

1

4

1.

.

Pu

u= 1.10

d= 0.90

X= 100

r= 5%

045011020

1.

.

hu 1

9020

18

.hd 490

10020

24010.

.

.

h

552051

1

4

23803

4

10.

.

.

P

10Pd

S= 121

110

100 99

90

81

P= 0

0.24

2.55 1

10.00

19

,אמריקאית לפני מועד המימושCallמכיוון שלא כדאי לממש אופציית •.זהה לזה שמוצג בשאלה הקודמתCallהפתרון עבור אופציית

53


4שאלה מספר

573051

15

20

150.

..

.

C

u= 1.10 S=

d= 0.90 110

X= 105

r= 5% 100

90

C= P=

5 0

3.57 3.57

0 15

573051

115

20

050.

..

.

P

השוויון נובע מכך שיחס התקבולים מהאופציות. קיבלנו שוויון בין שווי שתי האופציות•.ההסתברויות בעולם נייטרלי לסיכוןשווה ליחס

הסתברות בעולם נייטרלי לסיכון

Callלאופציית

54


5שאלה מספר

055011

115

502

50011.

..

..

C 89

011

115

502

0112.

..

.

P

u= 2.00 S=

d= 0.50 40

X= 25

r= 1% 20

10

C= P=

15 0

5.05 9.80

0 15

55


'טבלת ארביטראז–5שאלה מספר

, 3שווה ל Callנניח שמחיר אופציית ה מכירת , אחתCallקניית אופציית : נבחן את האסטרטגיה הבאה

אחת והפקדה של הערך המהוון Putמכירת אופציית , נכס הבסיס:תזרים המזומנים צפוי להיות. שקלים בפיקדון חסר סיכון25של

, 0למרות שתזרים המזומנים בכל מצב טבע בעתיד הוא , כלומר.'ניתן להפיק רווחי ארביטראזצפויים תקבולים חיוביים בהווה

C= 3

t=0

Asset Strategy Case flow S<=25 S>25

C(25) 1 -3 - S-25

P(25) -1 9.80 -(25-S) 0

Stock -1 20 -S -S

Bank account 24.7525 -24.7525 25 25

Total 2.049505 0 0

T

56


'טבלת ארביטראז–5שאלה מספר , 11שווה ל Putנניח שמחיר אופציית ה

מכירת , מכירת אופציה אחת: נבחן את האסטרטגיה הבאהאחת והפקדה של הערך Callנכס הבסיס קניית אופציית

. שקלים בפיקדון חסר סיכון25המהוון של :תזרים המזומנים צפוי להיות

, בכל מצב טבע0למרות שתזרים המזומנים בעתיד הוא , כלומר.'ניתן להפיק רווחי ארביטראזהתקבולים בהווה הם חיוביים

P= 11

t=0

Asset Strategy Case flow S<=25 S>25

P(25) -1 11 -(25-S) 0

C(25) 1 -5.05 - S-25

Stock -1 20 -S -S

Bank account 24.7525 -24.7525 25 25

Total 1.19802 0 0

T

57


מודל עם שלוש תקופות–6שאלה מספר

S= 133.1

121

110 108.9

100 99

90 89.1

81

72.9

C= 33.1 P= 0

25.76 -

19.91 8.9 0.62 0

15.31 6.357 1.69 2.60

4.541 0 5.24 10.9

0 14.24

0 27.1

u= 1.10

d= 0.90

X= 100

r= 5%

המודל הבינומי

Documents

Transcript of המודל הבינומי