الطريقة المبسطة في البرمجة الخطية

خالد ناصر بن حبتور لطالب / اعداد مدرس المادة جامعة العلوم التطبيقية واالجتماعية بعدن 1

الطريقة المبسطة في البرمجة الطريقة المبسطة في البرمجة الخطية الخطية

حبتور حبتور خالد ناصر بن خالد ناصر بن / / اعداد اعداد خاص لطالب جامعة العلوم التطبيقية خاص لطالب جامعة العلوم التطبيقية

واالجتماعية بعدن واالجتماعية بعدن

2خالد ناصر بن حبتور لطالب / اعداد مدرس المادة

جامعة العلوم التطبيقية واالجتماعية بعدن

تكنيكات وخطوات الحل باستخدام الطريقة تكنيكات وخطوات الحل باستخدام الطريقة المبسطة المبسطة

00 الحل الحل ماقبلماقبلتمهيد تمهيد / / الخطوة االولى الخطوة االولى ..تكوين الجدول االولي للحل تكوين الجدول االولي للحل //الخطوة الثانية الخطوة الثانية ايجاد المتغير الداخل ايجاد المتغير الداخل //الخطوة الثالثة الخطوة الثالثة

ايجاد العنصر الممهد والمتغير الخارج والمعادلة ايجاد العنصر الممهد والمتغير الخارج والمعادلة / / الخطوة الرابعة الخطوة الرابعة 00الممهدة الممهدة

دخول المتغير الداخل على المتغيرات دخول المتغير الداخل على المتغيرات تاثيرتاثيردراسة دراسة //الخطوة الخامسة الخطوة الخامسة 00االخرى االخرى

الى جدول جديد الى جدول جديد التاثيرالتاثيرنقل بيانات دراسة نقل بيانات دراسة //الخطوة السادسة الخطوة السادسة هل وصلنا الى الحل ام يتطلب االستكمال هل وصلنا الى الحل ام يتطلب االستكمال التاآدالتاآد/ / الخطوة السابعة الخطوة السابعة

00والعودة للخطوة الثالثة من جديد والعودة للخطوة الثالثة من جديد



مثال مثال MAXMAX Z=2X1+3X2 Z=2X1+3X2عِظم عِظم

: :مايلي مايلي مع االخذ باالعتبار مع االخذ باالعتبار X1+2X2 X1+2X2 ≤≤ 2020X1+X2 X1+X2 ≤≤ 1212

X1,X2X1,X2≥≥00



الحل الحل ماقبل ماقبل تمهيد تمهيد / / الخطوة االولى الخطوة االولى

تحويل دالة الهدف الى دالة صفرية تحويل دالة الهدف الى دالة صفرية : : اوال اوال Z= 2X1+3X2Z= 2X1+3X2ZZ--2X12X1--3X2=03X2=0

تم نقل الطرف االيمن من المعادلة الى الجانب االيسر مع

عكس اشارته

تستخدم الطريقة المبسطة اذا تستخدم الطريقة المبسطة اذا : : ملحوظة ملحوظة آانت جميع القيود اصغر من او يساوي آانت جميع القيود اصغر من او يساوي



الى هيئة الى هيئة ) ) ≥≥ ( ( متراجحات متراجحات تحويل القيود من هيئة تحويل القيود من هيئة ::ثانيا ثانيا متغير اصطناعي سنرمز له متغير اصطناعي سنرمز له باضافة باضافة وذلك وذلك ( =) ( =) معادالت معادالت

متراجحة متراجحة وذلك في الجانب االقل من آل وذلك في الجانب االقل من آل S Sبالرمز بالرمز

X1 + 2X2 + S1 = 20X1 + 2X2 + S1 = 20X1 + X2 + S2 = 12X1 + X2 + S2 = 12

تثبيت شرط عدم السلبية لجميع المتغيرات تثبيت شرط عدم السلبية لجميع المتغيرات : : ثالثا ثالثا X1,X2,S1,S2 X1,X2,S1,S2 ≥≥ 00



. . تكوين الجدول االولي للحل تكوين الجدول االولي للحل //الخطوة الثانية الخطوة الثانية

آم عدد المتغيرات ؟ آم عدد المتغيرات ؟ X1,X2,S1,S2 X1,X2,S1,S2 اعمدة اعمدة 66 هي اربعة متغيرات اذن سنرسم هي اربعة متغيرات اذن سنرسم

آم عدد المتغيرات الغير موجودة في دالة الهدف الصفرية آم عدد المتغيرات الغير موجودة في دالة الهدف الصفرية S1,S2 S1,S2 صفوف صفوف 44 متغيرين اذن سنرسم متغيرين اذن سنرسم

سارسمهاسارسمها التي التي واالعمدةواالعمدةآم عدد الصفوف آم عدد الصفوف للجدول للجدول



S1X1X2الحل

Z

S1

S2

S2

0-3-2

2

1

01

1 1 0

0

1

0

20

12



آيف تم توزيع االرقام على الجدول آيف تم توزيع االرقام على الجدول ::معادالت الحل آانت معادالت الحل آانت

ZZ--2X12X1--3X2=0 3X2=0 X1 + 2X2 + S1 = 20X1 + 2X2 + S1 = 20X1 + X2 + S2 = 12X1 + X2 + S2 = 12

X1,X2,S1,S2X1,X2,S1,S2 المتغيرات الموجودة ؟ هي المتغيرات الموجودة ؟ هي ماهي ماهي اوال اوال .. ونقسم االعمدة على المتغيرات وعمود الحل ونقسم االعمدة على المتغيرات وعمود الحل 66==22++44اذن عدد االعمدة هي اذن عدد االعمدة هي

موجودة في موجودة في X1,X2 X1,X2 المتغيرات الغير موجودة في دالة الهدف ؟ لو الحظنا لوجدنا ان المتغيرات الغير موجودة في دالة الهدف ؟ لو الحظنا لوجدنا ان ماهي ماهي ثانيا ثانيا 00غير موجودة غير موجودة S1,S2 S1,S2دالة الهدف بينما دالة الهدف بينما

وسيكون صف لدالة الهدف وصف لكل متغير غير موجود في وسيكون صف لدالة الهدف وصف لكل متغير غير موجود في 44==22++22اذن عدد الصفوف هو اذن عدد الصفوف هو ..دالة الهدف دالة الهدف

Z ,S1 ,S2Z ,S1 ,S2االن انظر للصفوف ماذا لدينا ؟ هناك االن انظر للصفوف ماذا لدينا ؟ هناك امامه نذهب الى معادلة الهدف الصفرية وننقل معامل امامه نذهب الى معادلة الهدف الصفرية وننقل معامل البيناتالبيناتاذا اخذنا صف دالة الهدف لتوزيع اذا اخذنا صف دالة الهدف لتوزيع

.. الغير موجودة ستكون معامالتها هي صفر الغير موجودة ستكون معامالتها هي صفر والمتغيراوالمتغيراآل متغير في المعادلة تحت المتغير آل متغير في المعادلة تحت المتغير اخذ اخذ S1 S1 ان ان الصف الثاني وانقل معامالت آل متغير من المعادلة التي يمثلها فستجد الصف الثاني وانقل معامالت آل متغير من المعادلة التي يمثلها فستجد االن اذهب الىاالن اذهب الى

22اخذ من المعادلة رقم اخذ من المعادلة رقم s2 s2 و و11من المعادلة رقم من المعادلة رقم



S1X1X2الحل

Z

S1

S2

S2

0-3-2

2

1

01

1 1 0

0

1

0

20

12

اآبر قيمة باشارةسالبة

المتغير الداخل

المتغير الخارج



شرح عملية نقل البيانات للجدول شرح عملية نقل البيانات للجدول

ننظر للصفوف ننظر للصفوف واالعمدة واالعمدة بعد بناء الجدول وتوزيع الصفوف بعد بناء الجدول وتوزيع الصفوف Z,S1,S2Z,S1,S2وهي هنا وهي هنا

نبحث عن المعادلة التي اتينا بالعنصر منها نبحث عن المعادلة التي اتينا بالعنصر منها Z Z من معادلة دالة الهدف الصفرية و من معادلة دالة الهدف الصفرية و s1 s1 من القيد االول و من القيد االول وs2s2

من القيد الثاني من القيد الثاني نضع القيم الموجودة في آل معادلة امام الصف الذي يمثل نضع القيم الموجودة في آل معادلة امام الصف الذي يمثل

المتغير الغير اساسي المتغير الغير اساسي واسفل واسفل المتغير المتغير



ايجاد المتغير الداخل ايجاد المتغير الداخل //الخطوة الثالثة الخطوة الثالثة المتغير الداخل هو الذي له اآبر معامل بإشارة سالبة امام المتغير الداخل هو الذي له اآبر معامل بإشارة سالبة امام

MAX MAX اذا آانت دالة الهدف هي اذا آانت دالة الهدف هي ZZصف دالة الهدف صف دالة الهدف فان المتغير الداخل فان المتغير الداخل MIN MINاما اذا آانت دالة الهدف من نوع اما اذا آانت دالة الهدف من نوع

هو صاحب اآبر معامل بإشارة موجبة امام صف دالة الهدف هو صاحب اآبر معامل بإشارة موجبة امام صف دالة الهدف MAX MAXبالنظر الى المثال نجد ان دالة الهدف من نوع بالنظر الى المثال نجد ان دالة الهدف من نوع

وبالنظر الى الجدول السابق نجد ان القيم امام دالة الهدف هي وبالنظر الى الجدول السابق نجد ان القيم امام دالة الهدف هي X1=X1=--2, X2=2, X2=--3, S1=0 S2=03, S1=0 S2=0

الذي لديه اآبر معامل الذي لديه اآبر معامل X2X2 بالتالي فان المتغير الداخل هو بالتالي فان المتغير الداخل هو 3 3-- سالبة وهو سالبة وهو باشارة باشارة



ايجاد العنصر الممهد والمتغير الخارج ايجاد العنصر الممهد والمتغير الخارج / / الخطوة الرابعة الخطوة الرابعة 00 والمعادلة الممهدة والمعادلة الممهدة

المتغير الخارج هو ذلك المتغير في الصف الذي يتضمن اقل نسبة المتغير الخارج هو ذلك المتغير في الصف الذي يتضمن اقل نسبة ناتجة عن تقسيم الثوابت على المعامالت الموجبة تحت عمود المتغير ناتجة عن تقسيم الثوابت على المعامالت الموجبة تحت عمود المتغير

..الداخل الداخل أي اننا سنقسم القيم الموجودة تحت عمود الحل في الجدول على القيم أي اننا سنقسم القيم الموجودة تحت عمود الحل في الجدول على القيم

التي تقابلها اسفل المتغير الداخل باستثناء الصفر والسالب ودالة التي تقابلها اسفل المتغير الداخل باستثناء الصفر والسالب ودالة ..الهدف الهدف

اسفل المتغير اسفل المتغير ناتج القسمة ناتج القسمة X2X2الداخل الداخل

اسفل عمود اسفل عمود الحل الحل

20/2=1020/2=10222020S1S112/1=1212/1=12111212S2S2

التي 10آما نالحظ فان تمثل ناتج القسمة امام

S1 والتي12اقل من تمثل ناتج القسمة امام

S2لذا فان المتغير الخارج

هو S1



العنصر الممهد والمعادلة الممهدة العنصر الممهد والمعادلة الممهدة 00 المتغير الخارج المتغير الخارج واماموامامالعنصر الممهد هو العنصر الواقع اسفل المتغير الداخل العنصر الممهد هو العنصر الواقع اسفل المتغير الداخل

22وفي مثالنا هو وفي مثالنا هو لى العنصر لى العنصر المعادلة الممهدة هي ناتج تقسيم جميع القيم امام المتغير الخارج ع المعادلة الممهدة هي ناتج تقسيم جميع القيم امام المتغير الخارج ع في الجدول في الجدول الممهد وتعتبر المعادلة الممهدة هي القيم الجديدة للمتغير الداخل الممهد وتعتبر المعادلة الممهدة هي القيم الجديدة للمتغير الداخل

00الالحق الالحق

القيم امامالقيم امام202000112211S1S1

العنصر العنصر 2222222222الممهدالممهد

ناتج ناتج 1010001/21/2111/21/2القسمة القسمة

القيم التي حصلنا عليها بعد قسمة القيم امام المتغير

الخارج على العنصر الممهد هي المعادلة

الممهدة



دخول المتغير دخول المتغيرتاثيرتاثيردراسةدراسة//الخطوة الخامسة الخطوة الخامسة 00الداخل على المتغيرات االخرى الداخل على المتغيرات االخرى

على المتغيرات الموجودة في الصفوف بجدول الحل باستثناء على المتغيرات الموجودة في الصفوف بجدول الحل باستثناء التاثيرالتاثيرندرس ندرس ..المتغير الخارج المتغير الخارج

S2S2 والمتغير والمتغير ZZ على دالة الهدف على دالة الهدف التاثيرالتاثيرفي مثالنا سندرس في مثالنا سندرس : :التاثيرالتاثيرخطوات دراسة خطوات دراسة

اآتب قيم المعادلة الممهدة اآتب قيم المعادلة الممهدة : : اوال اوال التاثير التاثير العنصر الذي ترغب بدراسة العنصر الذي ترغب بدراسة واماموامامثانيا حدد العنصر اسفل المتغير الداخل ثانيا حدد العنصر اسفل المتغير الداخل

..عليهعليه..اضرب العنصر المستخرج في قيم المعادلة الممهدة اضرب العنصر المستخرج في قيم المعادلة الممهدة

..اعكس اشارة القيم الناتجة اعكس اشارة القيم الناتجة ..اجمع الناتج مع القيم الموجودة امام العنصر الذي ترغب بدراسته اجمع الناتج مع القيم الموجودة امام العنصر الذي ترغب بدراسته

..الناتج يمثل القيم الجديدة التي ستنتقل لجدول الحل الالحق الناتج يمثل القيم الجديدة التي ستنتقل لجدول الحل الالحق



على دالة الهدف على دالة الهدف التاثير التاثير دراسة دراسة القيم القيم

امام دالة امام دالة الهدف الهدف

عكس عكس اشارة اشارة الناتجالناتج

الناتجالناتج

==العنصر العنصر

اسفل المتغير اسفل المتغير وامام وامام الداخل الداخل

××دالة الهدف دالة الهدف قيم قيم

المعادلة المعادلة الممهدةالممهدة

--223/23/2--3/23/2==--33××1/21/2

--3333--33==--33××11

003/23/2--3/23/2==--33××1/21/2

000000==--33××00

003030--3030==--33××1010

ناتج ناتج الجمع الجمع

ويمثل ويمثل ((القيم القيم

) ) الجديدة الجديدة

--1/21/2

00

3/23/2

00

3030



S2S2 على المتغير على المتغير التاثير التاثير دراسة دراسة القيم امام القيم امام S1S1المتغيرالمتغير

عكس عكس اشارة اشارة الناتج الناتج

==الناتجالناتجالعنصر العنصر

اسفل المتغير اسفل المتغير وامام وامام الداخل الداخل S2S2××

قيم المعادلة قيم المعادلة الممهدة الممهدة

11--1/21/21/21/2==11××1/21/2

11--1111==11××11

00--1/21/21/21/2==11××1/21/2

110000==11××00

1212--10101010==11××1010

ناتج ناتج الجمع الجمع

ويمثل ويمثل ((القيم القيم ) ) الجديدة الجديدة

1/21/2

00

--1/21/2

11

22



S1X1X2الحل

Z

X2

S2

S2

3/20-1/2

1

1

01/2

1/2 0 -1/2

30

1/2

0

10

2



هل وصلنا الى الحل ام هل وصلنا الى الحل ام التاآدالتاآد/ / الخطوة السابعةالخطوة السابعةيتطلب االستكمال والعودة للخطوة الثالثة من جديد يتطلب االستكمال والعودة للخطوة الثالثة من جديد

00 فان الحل االمثل يتحقق فان الحل االمثل يتحقق MAX MAXبما ان الدالة من نوع بما ان الدالة من نوع

عندما تكون جميع المعامالت امام دالة الهدف في جدول الحل عندما تكون جميع المعامالت امام دالة الهدف في جدول الحل ..اما موجبة او مساوية للصفر اما موجبة او مساوية للصفر

وبما انه يوجد معامل بالسالب في الجدول االخير وهو معامل وبما انه يوجد معامل بالسالب في الجدول االخير وهو معامل X1X1 فمعناه اننا لم نصل بعد للحل االمثل وعليه فمعناه اننا لم نصل بعد للحل االمثل وعليه 1/21/2-- وقيمته وقيمته

يجب استكمال الحل واستخدام الخطوات السابقة من تحديد يجب استكمال الحل واستخدام الخطوات السابقة من تحديد ..المتغير الداخل الى الخطوة االخيرة على الجدول االخير المتغير الداخل الى الخطوة االخيرة على الجدول االخير



تحديد المتغير الداخل والخارج والعنصر الممهد تحديد المتغير الداخل والخارج والعنصر الممهد والمعادلة الممهدة والمعادلة الممهدة

X1X1المتغير الداخل هو المتغير الداخل هو على على 22 لماذا؟ الن قسمة لماذا؟ الن قسمة S2 S2المتغير الخارج هو المتغير الخارج هو

44تساوي تساوي 1/21/2 . .S2S2 وهو امام وهو امام 44 اذن االقل هو اذن االقل هو 2020تساوي تساوي ½ ½ على على 1010وقسمة وقسمة

..½ ½ العنصر الممهد هو العنصر الممهد هو المعادلة الممهدة وهي حاصل قسمة جميع القيم امام المتغير المعادلة الممهدة وهي حاصل قسمة جميع القيم امام المتغير

::الخارج على العنصر الممهد وسيكون الناتج الخارج على العنصر الممهد وسيكون الناتج 1 , 0 , 1 , 0 , --1 , 2 , 4 1 , 2 , 4



X2X2 على دالة الهدف والمتغير على دالة الهدف والمتغير التاثير التاثير دراسة دراسة

على دالة الهدف والذي يمثل حاصل على دالة الهدف والذي يمثل حاصل التاثير التاثير ناتج دراسة ناتج دراسة ضرب قيم المعادلة الممهدة في العنصر الرقم اسفل المتغير ضرب قيم المعادلة الممهدة في العنصر الرقم اسفل المتغير

دالة الهدف وعكس اشارة الناتج وجمعه مع دالة الهدف وعكس اشارة الناتج وجمعه مع وامام وامام الداخل الداخل ..القيم القديمة امام دالة الهدف في جدول الحل االخير القيم القديمة امام دالة الهدف في جدول الحل االخير

32 , 1 , 1 , 0 , 0 32 , 1 , 1 , 0 , 0: : ستكون القيم آالتالي ستكون القيم آالتالي X2X2 المتغير الداخل على المتغير المتغير الداخل على المتغير تاثيردخول تاثيردخول

8 , 81 , 1-- , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0: : ستكون القيم آالتالي ستكون القيم آالتالي وآما ذآرنا فان القيم امام المتغير الداخل وهي قيم المعادلة وآما ذآرنا فان القيم امام المتغير الداخل وهي قيم المعادلة

4 , 2 , 1 4 , 2 , 1-- , 0 , 1 , 0 , 1: : الممهدة والتي آانت الممهدة والتي آانت



S1X1X2الحل

Z

X2

X1

S2

100

1

2

-10

1 0 -1

32

1

1

8

4



اما موجبة اما موجبة نالحظ ان جميع القيم الموجودة امام دالة الهدف في الجدول االخير هي نالحظ ان جميع القيم الموجودة امام دالة الهدف في الجدول االخير هي فان الجدول االخير يمثل الحل فان الجدول االخير يمثل الحل MAX MAXاو صفر وبما ان دالة الهدف من نوع او صفر وبما ان دالة الهدف من نوع

..االمثل االمثل X1X1 = = 44والذي فيه قيمة والذي فيه قيمة

X2= 8 X2= 8وقيمة وقيمة Z= 32Z= 32وقيمة دالة الهدف وقيمة دالة الهدف

في دالة الهدف االصلية في دالة الهدف االصلية X1, X2 X1, X2 من الحل عوض بقيم من الحل عوض بقيم وللتاآدوللتاآدZ= 2X1 + 3X2Z= 2X1 + 3X2

بالتعويض بالتعويض Z= 2Z= 2××4 + 34 + 3××88------------------------------------------ Z=8 +24 Z=8 +24 ---- ----Z=32 Z=32

Z=32 Z=32 أي ان الحل صحيح أي ان الحل صحيح

الطريقة المبسطة في البرمجة الخطية

Education

Transcript of الطريقة المبسطة في البرمجة الخطية