Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.
-
Upload
alex-dainiak -
Category
Education
-
view
545 -
download
2
Transcript of Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.
![Page 2: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/2.jpg)
Эйлеровы циклы
• Эйлеров цикл — это цикл, проходящий через каждое ребро графа ровно по одному разу• Эйлеров граф — это граф, в котором есть эйлеров цикл
𝑒1
𝑒2
𝑒3
𝑒4
𝑒5
𝑒6
𝑒7𝑒8
𝑒9
𝑒10
![Page 3: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/3.jpg)
Задача Эйлера
• Можно ли пройти каждый мост Кёнигсберга ровно по одному разу, вернувшись в отправную точку?
![Page 4: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/4.jpg)
Задача Эйлера
Условия существования эйлерова цикла:• Граф должен быть связным• Степени всех вершин должны быть чётными
Значит, по Кёнигсбергу так не погуляешь.
𝐴
𝐶
𝐵
𝐷
𝑎 𝑓𝑏
𝑒
𝑔𝑑𝑐
![Page 5: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/5.jpg)
Задача о почтальоне
• Почтальон должен выйти из здания почтового отделения, развезти корреспонденцию по всем улицам города, и вернуться обратно на почту.• При каких условиях почтальону не придётся дважды проезжать
по одной и той же улице?• Если в «графе улиц» есть эйлеров цикл!
![Page 6: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/6.jpg)
Алгоритм Флёри
Терема Эйлера. Условия связности графа и чётности степеней являются необходимыми и достаточными для эйлеровости графа.Алгоритм Флёри:• Стартуем из любой вершины графа.• На каждом шаге проходим ещё не пройденное ребро и удаляем
его из графа• Идём по мосту только если нет другой возможности• Если идти стало некуда, значит эйлеров цикл только что построен
![Page 7: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/7.jpg)
Алгоритм Флёри1)
2)
3)
6)
5)
4)
7)
8)
9)
![Page 8: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/8.jpg)
Алгоритм Флёри
Лемма. В связном графе, степень каждой вершины которого чётна, нет мостов.
Доказательство. Если бы мост был, то компоненты графа, получающегося после удаления моста, имели бы ровно по одной вершине нечётной степени — противоречие.
![Page 9: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/9.jpg)
Алгоритм Флёри
Доказательство корректности алгоритма Флёри• Построенный алгоритмом маршрут является циклом.
Если мы попали в вершину, из которой больше некуда идти, то значит к данному моменту мы удалили из графа нечётное число рёбер у этой вершины. Это возможно, только если вершина является стартовой.
![Page 10: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/10.jpg)
Алгоритм Флёри
Доказательство корректности алгоритма• Построенный алгоритмом цикл покрывает все рёбра
исходного графа .Допустим противное. Тогда пусть —компонента графа , которую алгоритм посещал последней до возврата в стартовую вершину:
стартоваявершина
𝐶
𝐾
![Page 11: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/11.jpg)
Алгоритм Флёри
Посмотрим, как выглядел граф в момент, когда алгоритм покидал компоненту . Ребро, по которому алгоритм вышел из , на тот момент являлось мостом!
![Page 12: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/12.jpg)
Алгоритм Флёри
В то же время алгоритм имел возможность пойти по какому-нибудь ребру в , а такое ребро мостом не было.
Получаем противоречие с определением алгоритма.
![Page 13: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/13.jpg)
Теорема Эйлера для орграфов
Теорема.В орграфе существует эйлеров цикл т. и т.т., когда • орграф сильно связный (из любой вершины можно дойти в
любую другую, проходя дуги в правильном направлении),• для любой вершины
![Page 14: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/14.jpg)
Гамильтоновы циклы
• Гамильтонов цикл — через каждую вершину графа проходит ровно по одному разу• Гамильтонов граф — граф, в котором есть гамильтонов цикл• Гамильтонова цепь — это цепь, проходящая через каждую
вершину графа ровно по одному разу
![Page 15: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/15.jpg)
Гамильтоновы циклы
• В отличие от эйлеровых циклов, пока нет ни хороших критериев гамильтоновости, ни быстрых алгоритмов построения г.ц.• Есть некоторые достаточные условия существования
гамильтоновых цикловВ основном, утверждения типа «Если граф «достаточно плотный», то в нём есть г.ц.»
![Page 16: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/16.jpg)
Гамильтоновы циклы
Теорема Оре.Если для любых несмежных выполнено
то гамильтонов.
Доказательство: от противного.
Пусть негамильтонов. Б.о.о. будем считать, что в есть гамильтонова цепь.
(Можно подобавлять рёбра в , пока она не появится. Степени вершин при этом могут только увеличиться.)
![Page 17: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/17.jpg)
Гамильтоновы циклы
Пусть и — концы гамильтоновой цепи,а — внутренние вершины цепи.Т. к. в нет гамильтонова цикла, то
𝑥 𝑣1 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖+1 𝑦⋯ ⋯
Отсюда .Значит, , то есть для графа условия Оре нарушены.
![Page 18: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/18.jpg)
Универсальные последовательности• Универсальная двоичная последовательность порядка — это
такая последовательность, в которой в качестве подслов встречаются всевозможные двоичные слова длины • Пример универсальной последовательности порядка :
• С существованием проблем нет: последовательность длины всегда есть. Но это не предел мечтаний, есть короче:
![Page 19: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/19.jpg)
Универсальные последовательности• Насколько короткой может быть универсальная
последовательность порядка ? Не меньше, чем :
• Оказывается, всегда достижимо.• Такие универсальные последовательности минимальной длины
называются последовательностями Де Брёйна
Разные слова должны начинаться с разных позиций
Последнее слово начинается с позиции и заканчивается в позиции
![Page 20: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/20.jpg)
Графы Де Брёйна
Граф Де Брёйна порядка :• — все двоичные слова длины • — множество всех пар вида ,
где — слово длины , а и — символы.Пример графа Де Брёйна порядка :
000 111
001 010
011100 101
110
![Page 21: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/21.jpg)
Графы Де Брёйна
Утверждение. Эйлеров цикл в графе Де Брёйна порождает последовательность Де Брёйна.
000 111
001 010
011100 101
110
12
3
45
1
1410111213
98
7
6 15
Соответствующая последовательность:
![Page 22: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/22.jpg)
На заметку
• Переход к «максимальному» графу полезен при доказательстве теорем, поскольку придаёт графу дополнительные свойства• Эйлеровы и гамильтоновы циклы — похожие определения, но
принципиально разная сложность• Графы могут возникать из негеометрических комбинаторных
задач и успешно использоваться при их решении
![Page 23: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/23.jpg)
Задача Турана
• Пусть у нас есть пустой граф .• Будем добавлять в рёбра по одному.• На каком шаге в графе точно появится треугольник? А клика на
вершинах?Иными словами,• Сколько рёбер должно быть в графе на вершинах,
чтобы он наверняка содержал клику на вершинах?• Как много рёбер может быть в графе на вершинах,
не содержащем клику на вершинах?
![Page 24: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/24.jpg)
Задача Турана
Задача Турана — типичный пример задачи из экстремальной теории графов.Общая постановка экстремальных задач обычно такая:• Как много/мало рёбер/вершин/… может быть в графе,
имеющем заданные свойства?• Как «выглядят» графы, на которых достигаются экстремумы?
![Page 25: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/25.jpg)
Теорема Турана
Теорема. (Turán ’1941 — читается «Т ран»у́� )Пусть — граф на вершинах, и . И пусть имеет наибольшее число рёбер среди всех графов с указанными свойствами.Тогда является полным -дольным графом, в котором мощности любых двух долей отличаются не более чем на .Такие графы называются графами Турана.
⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
![Page 26: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/26.jpg)
Доказательство теоремы Турана:доказываем, что граф полный многодольный
Докажем, что полный -дольный.
Очевидно, что (иначе в можно было бы добавить произвольное ребро, сохранив неравенство ).
Далее докажем, что для любых если , то .
Допустим, это не так, и нашлись , такие, что и . Покажем, что тогда число рёбер в можно увеличить.
![Page 27: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/27.jpg)
𝑣
Доказательство теоремы Турана:доказываем, что граф полный многодольный
Допустим, что и .Случай 1: . Тогда рассмотрим граф , для которого
В по-прежнему нет клик размера , при этом , — противоречие с максимальностью .
𝐺− {𝑢 ,𝑣 ,𝑤 }
𝑢 𝑤𝑣
𝐺′− {𝑢 ,𝑣 ,𝑤 }
𝑢 𝑤
![Page 28: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/28.jpg)
Доказательство теоремы Турана:доказываем, что граф полный многодольный
Случай 2: — аналогичен случаю 1.Случай 3: и .Тогда рассмотрим граф , для которого
В по-прежнему нет клик размера , а рёбер строго больше, чем в :
𝐺− {𝑢 ,𝑣 ,𝑤 }
𝑢 𝑤𝑣
𝐺′− {𝑢 ,𝑣 ,𝑤 }
𝑢 𝑤𝑣
![Page 29: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/29.jpg)
Доказательство теоремы Турана:доказываем, что граф полный многодольный
Мы доказали транзитивность несмежности: для любых если , то .
Также несмежность рефлексивна и симметрична — значит, это отношение эквивалентности!
Множество вершин графа разбивается на классы эквивалентности (независимые множества). При этом вершины из различных классов неэквивалентны (то есть смежны).
Это и значит, что наш граф полный многодольный.
Очевидно, что долей ровно .
![Page 30: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/30.jpg)
Доказательство теоремы Турана:«почти-равномощность» долейОсталось доказать «почти-равномощность» долей графа .
Положим . Имеем
Следовательно, чтобы величина была максимальной, нужно, чтобы сумма была минимальна при ограничении .
Покажем, что для любых и .
![Page 31: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/31.jpg)
Доказательство теоремы Турана:«почти-равномощность» долейПокажем, что для любых и .
Допустим, что это не так: например, .
Тогда рассмотрим набор чисел , где , и при .
Имеем
что противоречит максимальности .
![Page 32: Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Теорема Турана.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081514/55b63bf6bb61ebd9398b45ed/html5/thumbnails/32.jpg)
Теорема Эрдёша—Стоуна
Можно обобщить вопрос Турана с клик на произвольные подграфы:• Каково максимальное число рёбер в графе на вершинах,
не содержащем заданного подграфа ? Обозначим это число .
Теорема (Erdős, Stone, Simonovits ’1946, 1966)Для любого фиксированного при