حالت خاصة من ضرب كثيرات الحدود

درست ضرب ثنائيتي حد بطريقة التوزيع بالترتيب .

وال:ن:

- أجد مربع مجموع حدين ومربع الفرق بينهما.

- أجد ناتج ضرب مجموع حدين بالفرق بينهما .

لماذا؟

يريد محمد تثبيت لوحة الرمي بالسهام إلى لوح خشبي مربع الشكل. فإذا كا:ن نصف

، فما بعدا 12قطر لوحة السهام هو نق + اللوح الخشبي؟

الحل

2يعرف محمد أ:ن قطر لوحة السهام هو . 24نق + 2) = 12(نق +

فيكون طول كل ضلع من أضلع المربع يساوي .24نق + 2

وليجاد مساحة لوح الخشب الذي يحتاج إليه، فإن .2 )24نق + 2عليه إيجاد مساحة المربع. م = (

مربع مجموع حدين ومربع الفرق بينهما: بعض أزواج لها 2 )24نق + 2ثنائيات الحد، كالمربعات مثل (

ناتج ضرب يتبع قاعدة معينة. واستعمال هذه القاعدة يسهل من عملية إيجاد ناتج الضرب. فمربع المجموع

= (أ + ب) (أ + ب) هو أحد نواتج الضرب 2 (أ + ب)تلك .

مفهوم أساسي: مربع مجموع حدين

مربع (أ + ب) هو مربع أ التعبير اللفظي: زائد مثلي حاصل ضرب في ب مضاف ا

إليه مربع ب

= (أ + ب) (أ + ب) 2 : (أ + ب)الرموز .2أ ب + ب2 + 2= أ

× اللول × الثاني + مربع الثاني2 مربع اللول + =

.2 )5س + 3أوجد ناتج: (

:1مثال

مربع مجموع حدين

2أ ب + ب2 + 2 = أ2 (أ + ب)

× الول × الثاني + مربع الثاني2= مربع الول +

25) + 5س) (3 (2 + 2 س)3 = (2 )5س + 3(

25س + 30 + 2س9=

تحقق من فهمك:

أوجد ناتج كل مما يأتي:

2 د)3ج + 8أ) (1

تحقق من فهمك:

الحـــــــــــــــــــــــــل

2 د)3ج + 8أ) (1

2د9جـ د+48+2جـ64

أوجد ناتج كل مما يأتي:

تحقق من فهمك:

أوجد ناتج كل مما يأتي:

2 ص)4س + 3ب) (1

2ص16س ص+24+2س9

مفهوم أساسي: مربع الفرق بين حدين

مربع (أ – ب) هو مربع أ التعبير اللفظي: ناقص مثلي حاصل ضرب أ في ب مضاف ا إليه

مربع ب . = (أ – ب) (أ – ب) 2 أ – ب) (الرموز:

2أ ب + ب2 – 2= أ

× الول×الثاني + مربع الثاني2= مربع الول ــ

2)7تذكر أن ناتج (س –

؛ 49 – 2 أو س72 – 2لسيساوي س) (س 7 = (س – 2)7وأن (س –

.49س +14 -2) = س7-

:2مثال

مربع الفرق بين حدين

.2 ص)5س – 2أوجد ناتج: (

2أ ب + ب2 – 2 = أ2 (أ – ب)

2 ص)5ص) + (5س) (2 (2 – 2 س)2 = (2 ص)5س – 2(

2ص25س ص + 20 – 2س4=

تحقق من فهمك:

2 )1ب – 6أ) (2

تحقق من فهمك:

2 )1ب – 6أ) (2

الحل

1 ب + 12 ــ 2ب36

ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما: سنرى ال ن ناتج ضرب مجموع حدين في

الفرق بينهما، (أ + ب) (أ – ب) . تذكر أنه يمكن كتابة أ – ب على الصورة أ + (- ب)

لذا فإن (أ + ب) (أ – ب) .2 – ب2 = أ2 – أ ب + أ ب – ب2= أ

= مربع الول ـــ مربع الثاني

لحظ أن ك ال من الحدين الوسطين هو معكوس جمعي للرخر، ومجموعهما صفر .

مفهوم أساسي: ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما

ناتج ضرب (أ + ب)، (أ – ب) هو التعبير اللفظي: مربع أ ناقص مربع ب .

(أ + ب) (أ – ب) = (أ – ب) (أ + ب) = الرموز: .2 – ب2أ

= مربع اللول ــ مربع الثاني

:4مثال ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما

) .3 – 2س2) (3 + 2س2ألوجد ناتج: (

2 – ب2(أ + ب) (أ – ب) = أ= مربع اللول ـــ مربع اللول

2 )3 – (2 )2س2) = (3 – 2س2) (3 + 2س2(

9 – 4س4=

تحقق من فهمك:

)2ن – 3) (2ن + 3أ) (4

تحقق من فهمك:

)2ن – 3) (2ن + 3أ) (4

4-2ن9

الحل

يمسمى ناتج مربع المجموع ألو مربع الفرق بين حدين بالمربع الكامل ألو يثاليثي الحدلود الذي يشكل مربع .ا كام .ال.

لويمكننا استعمال هذه القواعد ليجاد أنماط لحل ممسائل من لواقع الحياة .

مربع الفرق بين حدين من لواقع الحياة:3مثال

طول ضلع مكعب ألمنيوم أقل من طول ضلع فيزياء: سم. اكتب معادلة تمثل ممساحة سطح 4مكعب نحاس بـ

مكعب اللمنيوم بدللة طول ضلع مكعب النحاس .

ليكن جـ طول ضلع مكعب النحاس، إذن طول .4ضلع مكعب اللمنيوم جـ –

مساحة سطح المكعب 2ل6مساحة السطح =

4عوض عن ل بـ جـ – 2 )4 (جـ – 6مساحة السطح =

مربع الفرق] 24) (جـ) + 4 (2 – 2 [جـ6مساحة السطح =

طس��ط) 16جـ + 8 – 2 (جـ6مساحة السطح = ب

من لواقع الحياة:3مثال

تحقق من فهمك:

لدى عل ء حديقة كل من طولها حديقة: ) 3 أمتار إلى 3وعرضها ل متر،ا ، ويريد إضافة

كل من الطول والعرض .

أ) بين كيف يمكن التعبير عن ممساحة الحديقة الجديدة بمربع يثنائية حد .

2)3(ل+

من لواقع الحياة:3مثال

تحقق من فهمك:

لدى عل ء حديقة كل من طولها حديقة: ) 3 أمتار إلى 3وعرضها ل متر،ا ، ويريد إضافة

كل من الطول والعرض .ب) أوجد مربع ثنائية الحد السابقة .

9ل+6+2ل

أوجد ناتج كل مما يأتي:

25س+10+2س 2 )5(س + 1

أوجد ناتج كل مما يأتي:

2أ+أ22-2121 – أ)11(2

أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:

)3) (أ + 3(أ – 8

9-2أ

أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:

)5) (س – 5(س + 9

25-2س

أوجد ناتج كل مما يأتي:

100أ+20+2أ) 10) (أ + 10(أ + 11

تدرب، وحل المسائل:

36س+12+2س2 )6(س + 14

تدرب، وحل المسائل:أوجد ناتج كل مما يأتي:

انتهى الدرس