Числові послідовності
-
Upload
ihor-vispyanskiy -
Category
Education
-
view
351 -
download
4
Transcript of Числові послідовності
![Page 1: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/1.jpg)
Числові послідовності( 9 клас)
“Вивчення математики подібне до Нілу,
що починається невеликим струмком, а
закінчується великою річкою”
Ч. К. Колтон
![Page 2: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/2.jpg)
МЕТА :
Введемо поняття арифметичної та геометричної
прогресії, нескінченно спадної геометричної
прогресії ( І q І< 1 ).
Сформулюємо властивості цих прогресій.
Виведемо формули п-го члена та суми перших п –
членів арифметичної та геометричної прогресії.
Суми нескінченної спадної прогресії.
Навчимось розв’язувати вправи і задачі на
застосування вивченого матеріалу та прикладні
задачі.
![Page 3: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/3.jpg)
Вивчимо:
означення та властивості арифметичної та геометричної прогресії;
формули п – го члена арифметичної та геометричної прогресії;
формули суми п – перших членів арифметичної та геометричної
прогресії ;
означення нескінченної геометричної прогресії ( І q І< 1 ) та формулу її суми.
![Page 4: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/4.jpg)
Навчимося:
розпізнавати прогресії серед інших послідовностей;
знаходити будь – який член прогресії за формулою п – го члена;
знаходити суму перших п- членів арифметичної та геометричної прогресії;
розв’язувати базові задачі;
записувати періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу;
розв’язувати прикладні задачі
![Page 5: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/5.jpg)
План1. Означення арифметичної та геометричної
прогресії
2. Властивості арифметичної та геометричної
прогресії
3. Сума перших п - членів арифметичної та
геометричної прогресії
4. Нескінченна спадна геометрична прогресія та її
сума
5. Застосування геометричної прогресії до
перетворення нескінченних періодичних
десяткових дробів у звичайні
![Page 6: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/6.jpg)
Історична довідка У давньоруському юридичному збірнику «Руська
правда» містяться відомості про приплід від худоби і бджіл за певний відомий проміжок часу, про кількість зерна, зібраного з визначеної ділянки землі та ін.
Вперше задачі на прогресії виникли зі спостережень над явищами природи і з досліджень суспільно-економічних явищ, до яких можна застосувати закон прогресії.
Зміст ряду історичних задач на прогресії відбувається за законом арифметичної прогресії, а інше — за законом геометричної.
![Page 7: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/7.jpg)
Числова послідовність задана, якщо будь –
якому натуральному п поставлено у
відповідність деяке число
Числова послідовність ( an ), кожен член якої,
починаючи з другого, дорівнює попередньому,
до якого додане одне й те саме число,
називається арифметичною прогресією.
Це число позначається буквою d і називається
різницею арифметичної прогресії
Формула п- го члена арифметичної
прогресії
Nnndaan ),1(1
![Page 8: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/8.jpg)
Послідовність ( ) є арифметичною прогресією тоді і тільки тоді, коли її кожен член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів:
Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії , рівновіддалених від її кінців , дорівнює сумі крайніх членів.
Формула суми перших п членів арифметичної прогресії:
na
Nnnaa
a nnn
;2,
2
11
Nnnnda
Snaa
S nn
n
,2
)1(2;
2
11
![Page 9: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/9.jpg)
Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число.
Це стале для даної послідовності число qназивають знаменником геометричної прогресії;
( ) — геометрична прогресія,
У геометричній прогресії перший член і знаменник відмінні від нуля.
1
n
n
b
bq
nb
qbbqbbqbb nn 13212 ;...;;
![Page 10: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/10.jpg)
Геометрична прогресія називається
зростаючою чи спадною в залежності від
того, зростає чи спадає абсолютна величина
У будь-якій геометричній прогресії квадрат
кожного члена, починаючи з другого,
дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.
11
2
nnn bbb
Зауваження.
Правильне і обернене твердження: якщо в
послідовності квадрат кожного члена,
починаючи з другого, дорівнює добутку двох
сусідніх з ним членів, то ця послідовність —
геометрична прогресія.
![Page 11: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/11.jpg)
Знаючи перший член та знаменник (q) геометричної
прогресії, можна знайти будь-який член ( ), суму (Sп) п -
перших її членів за допомогою формул:
1,1
1,1
)1(
1
1
1
1
bqbS
qbS
qbb
nn
n
n
n
n
nb1b
![Page 12: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/12.jpg)
Якщо послідовність чисел, які утворюють прогресію,
продовжується необмежено, то прогресія називається
нескінченною.
— геометрична прогресія, .
сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
q
bS
1
1
.1q
nn bbbbb ;...;;;)( 321
![Page 13: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/13.jpg)
1. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний
періодичний дріб: а) 0, (66); б) 2,(8); в) 0,3 (54).
...1000000
66
10000
66
100
66
3
2)66(,0.
3
2
99
66
1000
11
100
66
.1
),1.(100
1;
100
66 11
Sq
bSqqb
![Page 14: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/15.jpg)
Математичний диктанттеоретичний залік
1. Арифметична прогресія -...
2. Геометрична прогресія -...
3.У геометричній прогресії перший член 8 , другий член 4 . Знайдіть знаменник ?
4.У арифметичній прогресії перший член 9 , другий член 3 . Знайдіть різницю арифметичної прогресії.
5. Властивості арифметичної прогресії:
6.Чи є послідовність степенів числа 2 геометричною прогресією?
7. Властивості геометричної прогресії:
8. Знаменник геометричної прогресії обчислюється за формулою...
9 . Формула п-го члена арифметичної прогресії така…
10. Формула п-го члена геометричної прогресії така…
11. Сума п перших членів арифметичної прогресії
12. Сума п перших членів геометричної прогресії.
![Page 16: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/16.jpg)
Самостійна робота базового рівня
1.Вказати перший член і різницю арифметичної прогресії:
Варіант І 3 ; 8; 13;… Варіант ІІ 3; 7; 11;… А) 3; 4 Б) 3; 10 В) 13; 8 Г) 3; 5
2. Знайдіть одинадцятий член арифметичної прогресії:
Варіант І 2; 5; 8;… Варіант ІІ 3; 5; 7; … А) 35 Б) 25 В) 23 Г) 32
3. Укажіть знаменник геометричної прогресії :
Варіант І 8; 4; 2;… Варіант ІІ 10; 2; 0,4; … А) 0,1 Б) 0,2 В) 0,4 Г) 0,5
4. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, якщо:
Варіант І Варіант ІІ А) Б) 3 В) Г) 4
5. Чи є членом арифметичної прогресії -3; -8; -13; … число
Варіант І -160 Варіант ІІ -153
6. Знайдіть суму членів геометричної прогресі, якщо :
Варіант І Варіант ІІ
2
1;21 qb
3
1;91 qb
3
1
4
1
8,2,384 nqbn6,3,486 nqbn
![Page 17: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/17.jpg)
Застосування прогресій
1. Геометрична прогресія в токарному цеху.
У 1876 р. академік А.В.Гадолін на підставі точних
математичних розрахунків довів, що верстати слід
будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють
геометричну прогресію.
![Page 18: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/18.jpg)
2. Застосування геометричної прогресії в
машинобудуванні.
Виявляється, геометрична прогресія відіграє
велику роль у машинобудуванні. За законом
геометричної прогресії побудовано розмірність
металорізальних верстатів та інструментів,
встановлено нормальні діаметри і довжини в
машинобудуванні. Тому геометрична прогресія
становить математичну основу стандартизації
різноманітної промислової продукції.
![Page 19: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/19.jpg)
3. Геометрична прогресія в будівельній справі.
В архітектурі, будівельній справі використовуються
колони. Вони мають форму не циліндра, а зрізаного
конуса. Сила тиску в горизонтальних шарах колони
зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження
рівномірності від тиску довжини колони потрібно
збільшувати площі її поперечних перерізів. Площі
поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного,
становлять геометричну прогресію.
![Page 20: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/20.jpg)
Історичні задачі
Задача 1. Легенда про винахід шахів.
Шахову гру винайшли в Індії. Індійський принц Сирам, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав : «Я хочу нагородити тебе, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я виконаю будь-яке твоє бажання».
«Володарю, — відповів Сета, — накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — 2 зернини, за третю — 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню».
«Ти одержиш свої зерна. Але твоє прохання не варте моєї щедрості.».
«Ми обчислили, — сказали придворні математики, — кількість зерен. Число це таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому просторі Землі.».
«Напишіть мені це д число» - 18446744073709551615.
Маса такої кількості зерен більша за масу пшениці, зібраної людством до теперішнього часу.
![Page 21: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/21.jpg)
Задача 2. Купівля коня.
Дехто продав коня за 156 рублів, але покупець роздумав і повернув коня продавцю. Тоді продавець запропонував йому умови: «Купи цвяхи з його підков , а коня одержиш безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях заплати мені
копійки, за другий - копійки, за третій — 1
копійку і т.д.». Він думав заплатити не більше 10 руб. На скільки проторгувався покупець? (42 тис. руб.).
4
1
2
1
![Page 22: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/22.jpg)
Задача 3. Поширення чуток.
До міста з 50-тисячним населенням о 8-й годині ранку прибув мешканець столиці і привіз свіжу новину. У будинку, де зупинився, він повідомив новину лише трьом жителям. Це зайняло, 15 хв, тобто о 8.15 новина була відома чотирьом: приїжджому і трьом жителям. Довідавшись новину, кожний із трьох громадян розповів про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Якщо чутка поширюватиметься з такою швидкістю, то скільки пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?
( 2 год 30 хв )
![Page 23: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/23.jpg)
Тематична контрольна роботаПочатковий і середній рівень ( 6 балів)
1. Дано послідовність кубів натуральних чисел. Який номер має член послідовності, що дорівнює
Варіант І 8 ? Варіант ІІ 277? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4
2. Послідовність задана формулою . Знайдіть:
Варіант І Варіант ІІ А) 20 Б) 45 В) 15 Г) 35
3. Яка з поданих послідовностей є:
Варіант І геометричною прогресією ?
Варіант ІІ арифметичною прогресією?
А) 6; 8;12;18 Б)2; 4; 8; 16 В) 3; 6; 24; 192 Г) 4; 6; 8; 10
4. Знайдіть дев’ятий член арифметичної прогресії:
Варіант І -4; 1; 6;… Варіант ІІ -5; -3; -1; …
А) -21 Б) 11 В) 36 Г) - 44
5. Знайдіть третій член геометричної прогресії, в якій:
Варіант І Варіант ІІ
А) 80 Б) 30 В) 40 Г) 45
6. Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії, якщо
Варіант І Варіант ІІ
А) 105 Б) 210 В) 270 Г) 135
52 nan
15a 20a
3;51 qb 4;51 qb
15;20 61 aa 5;40 61 aa
![Page 24: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/24.jpg)
5;8,0 115 aa
Достатній рівень( 3бали)
7. Знайдіть суму шістнадцяти перших членів арифметичної прогресії,
якщо:
Варіант І Варіант ІІ
8. Знайти суму п’яти перших членів геометричної прогресії, якщо:
Варіант І Варіант ІІ
Високий рівень( 3бали)
9. Знайти суму всіх від’ємних членів арифметичної прогресії:
Варіант І -6,2; -5,9; -5,6;… Варіант ІІ -5,2; -4,8; -4,4; …
10 Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює
25. Якщо до цих чисел додати відповідно 1; 6 і 3, то отримаємо три
числа, що утворюють арифметичну професію. Знайти ці числа.
8,2;1 96 aa
192;6 94 bb 324;12 63 bb
![Page 25: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Числові послідовності](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020123/559a6f0a1a28aba1028b47aa/html5/thumbnails/26.jpg)
ЛІТЕРАТУРА
1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ Ірпінь.
2005
2. Г.П. Бевз « Алгебра 7-9» Освіта 2001
3. М.І. Бурда , О. Л. Біляніна, О. П. Валушенко,Н. С. Прокопенко
Збірник завдань для державної підсумкової атестації 9 клас.
Гімназія. Харків . 2007
4. Т. Г. Роєва. Алгебра. Геометрія. 9 клас. Навчальний посібник.
Харків « Країна мрій» 2002
5. Л. В, Колесникова , Г. Й. Коротіна « Алгебра дидактичні
матеріали» 9 клас Харків « Світ дитинства» 2000
6. Бібліотека журналу « Математика в школах України»
Учитель року – 2004 . Відкриті уроки з математики.
Харків Видавнича група « Основа» 2006
7. Газета « Математика» № 2, 3 2002; № 2,3 ;2003, № 6, 2004 ; № 2,
14, 2005; № 6 2007.
8. Журнал « Все для вчителя» № 22-23 2003
9. Каплун О. І. Тест – контроль . Алгебра = геометрія. 9 клас: Зошит
для поточного та тематичного оцінювання. – Харків: ФОП Співак Т. К.,
2009