теорема об изм кэ
-
Upload
guestd1d0b6b -
Category
Documents
-
view
995 -
download
1
Transcript of теорема об изм кэ
Федеральное агентство по образованию _______________________________________________________________ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский Государственный технологический институт ( Технический университет ) ________________________________________________________________ Кафедра теоретической механики Ю.А. ИВАНОВ, Л.В. КОЛПАКОВА, Л.И. ПОГРЕБНАЯ
Теорема об изменении кинетической энергии Методические указания Санкт-Петербург 2009
2
УДК 531 Иванов Ю.А. Теорема об изменении кинетической энергии: методические указания ./ Иванов Ю.А., Колпакова Л.В., Погребная Л.И..- СПб., СПбГТИ(ТУ), 2009.- 23 с. В методическом указании содержится систематизированный материал по решению задач курса теоретической механики. Сделан акцент на применение основных законов динамики применительно к особенностям специальностей технологов. Методические указания предназначены для студентов первого и второго курса всех химико-технологических факультетов. Предлагаемое методическое указание соответствует рабочей программе курса теоретической механики. Рис. 6 , библиогр. Назв. 2 Рецензент: Бартенев Д.А. доц. канд. техн. наук, кафедра ТОХМ
СПбГТИ(ТУ) Утверждено на заседании методической комиссии физико-математического отделения 03.04. 2009 Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).
3
Содержание Введение……………………………………………………………...4 1. Общие теоретические положения...……………………………….5
I.I. Работа силы. Мощность………………………………………..5 I.2. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы……………………………………………………………...7 I.3. Теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы……………………………………8
2. Рекомендуемая последовательность решения задач……………...9 3. Примеры решения задач…………………………………………….10
4
ВВЕДЕНИЕ Исследование дифференциальных уравнений движения для решения задач динамики механических систем часто не дает практического результата, так как число уравнений велико, что приводит к математическим сложностям, а внутренние силы и реакции связей, как правило, заранее неизвестны. Поэтому при решении практических задач, в которых не ставится задача определения движения каждой точки системы в отдельности, отказываются от интегрирования дифференциальных уравнений, а вводят некоторые интегральные характеристики, которые описывают движение механической системы в целом. Эти интегральные характеристики движения механической системы вводятся основными теоремами динамики, которые доказываются из дифференциальных уравнений движения механический системы.
Однако введение таких динамических характеристик, как импульс и кинетический момент, не может описать движения механической системы, происходящего под действием внутренних сил, так как главный вектор и главный момент внутренних равны нулю. Проиллюстрируем это на простом примере. Пусть молекула состоит из двух атомов, соединенных между собой связью, которую можно представить в виде пружинки с определенной жесткостью. Система горизонтальна и , неподвижна. Растянув пружину, приводим систему в движение, так как под действием внутренних сил атомы начинают совершать колебания, причем их скорости в каждый момент времени равны по величине и противоположны по направлению. Так как импульс молекулы и ее кинетический момент относительно произвольного центра равны нулю, то они не могут характеризовать движение рассматриваемой системы. Поэтому в теоретической механике вводят еще одну характеристику механического движения, называемую кинетической энергией.
5
1 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
I.I Работа силы. Мощность Элементарной работой силы F
r на бесконечно малом перемещении точки
ее приложения rdr называется скалярное произведение силы F
r на дифференциал
радиус-вектора rdr :
rdFArr
=δ (I.1)
Разложив векторы Fr
и rdr по осям декартовой системы координат:
kZjYiXFvrvr
++= kdzjdyidxrd
rrrr ++= , получим выражение для Aδ в координатной форме ZdzYdyXdxA ++=δ , (I.2) где X, Y и Z - проекции силы на оси координат.
Так как τrrdSrd = , где dS - элементарное перемещение точки приложения
силы Fr
, а τv - орт касательной оси, то ),cos( ττδ rrvr
FFdSdSFA == . (I.3) Работы силы F
r на конечном перемещении точки ее приложения равна
криволинейному интегралу, взятому вдоль кривой из положения М1 в положение М2 от элементарной работы (рисунок I.1):
А1-2 ∫ ∫ ∫ ∫ ++====M
M
M
M
M
M
M
MzdzYdyXdxFFdScjsrdFA
2
1
2
1
2
1
2
1
).(),( τδ rrrr (I.4)
Рисунок I.I.
Из формулы (1.4) следует, что вычисление криволинейного интеграла возможно в тех случаях, когда сила постоянна, или зависит от координат точки приложения силы. В общем случае, когда сила является функцией других переменных, вычислить ее работу нельзя. Поэтому элементарная работа обозначается Aδ , а не dA , так как не является полным дифференциалом некоторой функции координат точки пространства.
6
∑=
=n
iiAA
1δδ , а ∑
=− =
n
iiAA
121 .
Работа постоянной силы. Работа постоянной силы на прямолинейном
перемещении точки равна произведению модуля силы на величину перемещения и на косинус угла между ними (рисунок I.2)
αcos21
FSA =− (I.5)
Из формулы (I.5) следует, что если угол α острый, то работа силы Fr
положительна, если угол α тупой, то работа отрицательна, а если α =0, то работа равна нулю.
Рисунок I.2
Работа силы тяжести. Работа силы тяжести материальной точки равна
произведению величины силы тяжести на перемещение токи по вертикали (рисунок I.3):
mghA =−21 (I.6)
где 21 zzh −= .
Рисунок 1.3
Работа силы упругости. Работа силы упругости равна половине
произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации упругого элемента (рисунок I.4):
2
21 21 λcA =− , (I.7)
где xx 21−=λ .
7
Рисунок 1.4
Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу. Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся относительно неподвижной оси вращения на элементарный угол поворота тела:
ϕδ dA M z= .
Если M z= const, то
)(1221 ϕϕ −=− MA z
(I.8)
VFdt
AN
rr== δ , (I.9)
т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости точки ее приложения. Единица измерения мощности – ватт ( I Вт = I Дж/c).
ωM zN = . (I.I0)
I.2. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы
2
21
mvT = (I.II)
2
11 2
1i
n
ii
n
ii vmTT ∑∑
==
== .
Vmv i
n
iic
mT2*
1
2
2
1
2
1∑
=
+= , (I.I2)
где cv - скорость центра масс; *iv - скорость i-й точки относительно центра масс.
- при поступательном движении ( *iV =0)
2
2
1cmVT = ; (I.I3)
- при вращательном движении ( cV =0)
2
21 ωzIT = ; (I.I4)
22
21
21 ω
cIc ImVT += , (I.I5)
где IС - мгновенная ось вращения твердого тела с началом в центре масс.
8
I.3. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы
Amv
d δ=
2
2
(I.I6)
Разделим обе части уравнения на dt и получим иной вид записи теоремы в дифференциальной форме:
Nmv
dt
d =
2
2
,
которая читается так: производная по времени кинетической энергии материальной точки равна мощности равнодействующей всех сил, приложенных к данной точке.
21
21
22
22 −=− Amvmv . (I.I7)
IE AAdT δδ += , (I.I8) которая читается так: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил, действующих на эту систему. Необходимо отметить, что в указанной теореме речь идет о элементарной работе всех сил, внешних и внутренних. Лишь для твердого тела
i
n
i
Ei rdFA
rr
∑=
=1
δ .
IE AATT 212112 −− +=− , (I.I9) где EA 21− и IA 21− - работа внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы, на перемещениях, произошедших за время изменения кинетической энергии от значения 1Т до значения 2Т .
Заметим, что работа внутренних сил в общем случае не равна нулю и лишь для абсолютно твердого тела IA 21− =0, поэтому
EATT 2112 −=− (I.20) C помощью интегральной формы теоремы следует решать те задачи, в
которых число данных или искомых величин входят масса m, начальная 1V и конечная 2V скорости, силы (постоянные или зависящие от положения), действующие на точку или систему и перемещение S.
9
2 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Выберем величину, определяющую положение точки и указать
начало отсчета данной координаты. 2. Изобразить точку в промежуточном положении (t>0). 3. изобразить на рисунке все силы, действующие на материальную
точку (активные и реакция связей). 4. Вычислить сумму элементарных работ всех сил на бесконечно
малом перемещении точки по формулам (I.I)-(I.3). 5. Вычислить сумму работ всех сил на конечном перемещении
точки приложения по формуле (I.4). При действии на точку постоянных сил – силы тяжести и силы упругости, минуя два последних пункта, вычислить работу этих сил на конечном перемещении точки по формулам (I.5)-(I.7).
6. Вычислить кинетическую энергию точки в текущем положении, выразив ее как функцию скорости. Если используется теорема в интегральной форме, то определить кинетическую энергию точки в ее начальном и конечном положениях.
7. Подставить полученные значения в уравнения (I.I6) или (I.I7) и решить их относительно неизвестной величины.
8. Выбрать величину, определяющую положение системы и указать начало ее отсчета.
9. Изобразить на рисунке все кинематические характеристики тел, входящих в эту систему.
10. Определить кинетическую энергию механической системы в начальном и конечных положениях как сумму кинетических энергий тел, входящих в эту систему, по формулам (I.I3)-(I.I5), в зависимости от вида их движения.
11. Изобразить на рисунке все внешние силы. 12. Вычислить сумму полных работ всех внешних сил на конечном
перемещении механической системы, пользуясь формулами (I.5)-(I.7).
13. Подставить результаты вычислений в пунктов 3 и 5 в теорему об изменении кинетической энергии в виде (I.20) и из решения полученного уравнения определить неизвестную величину.
10
3 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 3.I Частица массы m движется горизонтально в вязкой жидкости. Сила
сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости частицы, т.е 2kVR = . Начальная скорость частицы равна 0V . Определить перемещение точки
к моменту времени, когда скорость частицы станет kV .
РЕШЕНИЕ
В качестве величины, определяющей положение точки, выбираем
координату x и пусть в начальный момент времени 0xx = (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1
090cos)( 0 == GdxGA
rδ
090cos)( 0 == NdxNAr
δ
dxkVRdxRA 20180cos)( −==r
δ .
dxkVA 2−=δ
Кинетическая энергия частицы 2
2mvT = .
Подставив полученные выражения в уравнение (I.I6), получим
dxkVmv
d 22
2−=
.
Разделив переменные, получаем
dxv
vd
k
m −=2
2)(2
.
Интегрируем в пределах изменения переменных:
∫∫ −=x
x
V
V
dxv
vd
k
m k
00
2
2)(2 .
Окончательно
11
2
20
0 ln2 kv
v
k
mxx += .
dxkVmvmv x
x
k ∫−=−0
220
2
22.
Интеграл, стоящий в правой части теоремы, вычислить нельзя, поскольку неизвестна функция )(xVf = .
ПРИМЕР 3.2
Для нанесения полимерных покрытий на криволинейную поверхность используется механизм, схема которого указана на рисунке 3.2. Вычислить кинетическую энергию данного механизма, состоящего из звеньев длины ,1 lАО =
,3lAB = ,84 lBC = соединенных шарнирно, и барабана D радиуса R и массой m3 . Массы однородных стержней соответственно равны ,m ,2m m3 . Звено AO1 вращается с угловой скоростью 1ω . Расстояние lOO 521 = , lBO 32 = . В положении, указанном на рисунке, α=∠ ABO1 и β=∠ BOO 21 .
РЕШЕНИЕ
4321 TTTTT +++= , где 21,TT и 3T - кинетические энергии стержней AO1 , AB и 4BC , а 4T -
кинетическая энергия барабана D . Кинетическая энергия стержня, вращающегося вокруг неподвижной оси
1O перпендикулярной плоскости рисунка
Рисунок 3.2
2101 12
1 ωIT = ,
12
где 10I - момент инерции стержня относительно оси 1O , 1ω - угловая скорость
вращения.
3
2
01
mlI = .
Звено AB совершает плоскопараллельное движение. Его кинетическая энергия
22
222 22 2
121 ωcc IVmT += ,
где 2m - масса стержня AB ; 2cV - скорость центра масс стержня; 2cI -
момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс стержня
перпендикулярно к плоскости его движения; 2ω - величина мгновенной угловой скорости стержня.
Звено 4BC совершает вращательное движение относительно оси 2O , перпендикулярной к плоскости рисунка. Кинетическая энергия
2303 22
1 ωIT = .
Момент инерции 20I относительно оси вращения определим, используя
теорему о моментах инерции относительно параллельных осей:
2
30 32dmII c += , (3.I)
где 3cI - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через
центр масс стержня, d - расстояние между параллельными осями. Подставляя в формулу (3.I) исходные данные, получим
( ) 22
3
23
0 19128
2mllm
lmI =+= .
Барабан D совершает плоскопараллельное движение. Кинетическую энергию определяем по формуле
24
244 44 2
121 ωcc IVmT += .
2
24
4
RmIc = .
Определим кинематические соотношения, необходимые для определения кинетической энергии тел. Вектор скорости точки А направлен перпендикулярно звену АО1 в направлении его вращения, а модуль скорости
1ω=AV lAO 11 ω= .
13
Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно прямой 2BO в направлении вращения звена 4BC . Скорость точки 2C определим с помощью мгновенного центра скоростей 1P звена AB , который лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям в точках A и B . Из треугольника 121 PОО
ββ ltgtgOOPО 52111 == . Расстояние 12PC из треугольника 21CAP
αcos2 122
12212 APACAPACPC −+= или
( ) ( ) ( )( )ltgtgtg
ltgllltgllPC
βαββ
αββ
+−++=
=+⋅−++=
1cos3251025,3
cos55,1255,1
2
2212
Угловая скорость звена АВ
βω
βωω
tgltgl
l
AP
VA
51511
12 +
=+
== .
Скорость центра масс стержня АВ
( ).1cos3251025,351
211222
ββββ
ωω tgtgtgtg
PcVc +−+++
==
Из треугольника 211 OPО
ββ cos
5
cos21
21
lOOOP == ,
а ll
BOOPBP 3cos
5211 −=−=
β .
Скорость точки В
( ) ( )
( ) .cos51
cos35cos
cos3551
1112 ββ
βωβ
ββ
ωωtg
ll
tgBPVB +
−=−⋅+
==
Угловая скорость звена 4BC
( )
( ) βββωω
cos13cos351
23 tgBO
VB
+−== .
Тогда скорость центра масс тела D будет равна
( )
( ) βββωω
cos513cos355 1
4234 tg
lCOVC +
−== ,
( )( ) Rtg
l
PC
Vc
βββωω
cos513cos355 1
244
4
+−==
.
Кинетическая энергия стержня AO1 определяется как
14
21
21
2
1 61
321 ωω ml
mlT == .
Кинетическая энергия стержня АВ
( ) ( )( ) ( )
( )
++−++×
×+
=+
+
++−++
=
75,01cos3251025,3
515112
321
51
1cos3251025,3
21
22
2
221
2
21
22
22
122
βαββ
βω
βω
ββββω
tgtgtg
tg
lm
tg
lm
tg
tgtgtglmT
Кинетическая энергия стрежня 4BC
( )
( )( )
( ) βββω
βββω
22
221
22
123
cos5118
cos3519cos513
cos3519
21
tg
ml
tgmlT
+−=
+−= .
Кинетическая энергия барабана D
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ββ
βω
βββω
βββω
22
2221
2
12
4
2
144
cos516
5,01cos3525
cos5_13cos355
221
cos513cos355
21
tg
Rlm
Rtg
lRm
tg
lmT
++−=
=
⋅−+
+−=
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
−+
++−++
++
=+
+−++
−+
+
++−++
++=
βββαββ
βω
βββω
βββω
βαβββ
ωω
2
2222
12
2
22221
22
221
2
22
2
2212
12
2
coscos35
75,01cos3251025,3511
61
cos515,01cos3525
cos5118
cos3519
75,01cos3251025,3516
1
tgtgtgtg
ml
tg
Rlm
tg
ml
tgtgtgtg
lmmlT
ПРИМЕР 3.3
К оси катка А массы 1m и радиуса 1R привязан конец нерастяжимой нити,
переброшенной через блок В массы 2m и навернутой на катушку C радиуса 3R .
Ось катушки связана с телом D нерастяжимой нитью. Каток катится без проскальзывания вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом α к
горизонту и посредством нити приводит в движение катушку C массы 3m , которая катится без проскальзывания вверх по наклонной плоскости. Угол
наклона плоскости к горизонту β , малый радиус катушки 3r . Тело Dмассы
4m движется вверх по наклонной плоскости. Радиус инерции катушки
15
относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости
движения , равен zi 3 . Блок считать сплошным цилиндром. Массой нити
пренебречь. Определить скорость груза А в момент, когда он переместится на величину
1S . В начальный момент времени система находилась в покое. Коэффициент
трения качения цилиндра А о наклонную плоскость - 1δ ; катушки C - 2δ .
Коэффициент трения скольжения груза D о наклонную плоскость равен f . Каток
Аи блок Всчитать сплошными однородными цилиндрами (рисунок 3.3).
РЕШЕНИЕ
Рисунок 3.3.
В состав системы входят твердые тела: каток А , блок В , катушка С и груз D , а нити при движении вытянуты. Поэтому сумма работ внутренних сил равна нулю и можно применить теорему об изменении кинетической энергии неизменной механической системы:
∑=− EiATT 12 . (3.2)
16
Вычислим кинетическую энергию механической системы. В начальный
момент времени система находилась в покое, поэтому 01 =Т .
DCBA TTTTT +++=2 (3.3)
Каток А совершает плоскопараллельное движение, поэтому
21
211 2
1
2
1 ωczA IVmT +=
,
где 1V - скорость центра масс катка А.
При качении катка без проскальзывания мгновенный центр скоростей AP расположен в точке качания катка с наклонной плоскостью. Для определения
угловой скорости 1ω катка А рассматриваем 1V как скорость центра масс при
мгновенном вращении катушки вокруг оси, проходящей через точку AP , поэтому
111 RV ω= , откуда
1
11 R
V=ω .
Учитывая, что 2
211Rm
Icz = , найдем
12
121
21
2112
11 4
3
22
1
2
1mV
R
VRmVmT A =⋅+= .
Кинетическая энергия блока B , вращающегося вокруг неподвижной оси z , вычисляется по формуле
2
2
1 ωzB IT = .
2222
1RmI z = ,
где 22R - радиус блока.
22
2224
1 ωRmT B = .
122 VR =ω .
2
124
1VmTB = .
Кинетическая энергия катушки C , совершающей плоскопараллельное движение, вычисляется по формуле
17
23
23 2
1
2
1 ωczCC IVmT +=
(3.4) При качении катушки без скольжения мгновенный центр скоростей сР расположен в точке касания катушки с наклонной плоскостью. Из подобия треугольников (рисунок 3.4) имеем
Рисунок 3.4
3
33
r
rR
Vc
Vk += .
Отметим, что модули скоростей нити с катушкой C и катка A равны
между собой, т.е. 1VVk = , то из пропорции найдем
33
31
rR
rVVc +
= . (3.5)
Для определения угловой скорости C 3ω рассмотрим скорость точки K
при мгновенном вращении катушки вокруг точки cP . Так как
( )33331 rRkPVVk +=== ωω ,
33
13 rR
V
+=ω .
Подставив в формулу (3.4) выражение для cV и 3ω и учитывая, что 233 zx
imI z = , найдем кинетическую энергию катушки C .
( ) ( )( )
( )233
23
23
213
233
212
33233
23
21
3 2
1
2
1
2
1
rR
irVm
rR
Vim
rR
rVmT Z
Zc ++
=+
++
=.
Кинетическая энергия груза D , совершающего поступательное движение, вычисляется по формуле
2
442
1VmТD = .
18
Скорость центра масс груза D равна скорости центра масс катушки С , так как их центры масс связаны нерастяжимой нитью. Следовательно,
33
314 rR
rVVV C +
== .
Тогда
( )233
23
21
42
1
rR
rVmTD +
= .
Подставив значения кинетических энергий тел, входящих в систему, в
формулу (3.2) найдем кинетическую энергию системы 2T в конечный момент времени
( )( ) ( )
( )( ) ( )
++
++
++=
=+
++
+++=
233
234
233
23
233
21
21
233
23
21
4233
23
23
21
32
122
112
223
4
2
1
2
1
4
1
4
3
rR
rm
rR
irmmm
V
rR
rVm
rR
irVmVmVmT
Z
Z
.
Для вычисления работы сил изобразим рисунок 3.3. Внешние силы,
действующие на тела механической системы: 1Gr
- сила тяжести катка A ; 1Nr
-
нормальная реакция наклонной плоскости, смещенная 1δ в направлении движения
тела; 1трF
r
- сила терния при качении катка по наклонной плоскости; 2Gr
- сила
тяжести блока B ; 2Xr
- горизонтальная составляющая реакции оси блока; 2Yr
-
вертикальная составляющая реакции оси на блоке; 3Gr
- сила тяжести катушки;
3трFr
- сила тяжести катушки; 3Nr
- нормальная реакция горизонтальной
плоскости, смещенная в сторону движения катушки на величину 2δ ; 4Gr
- сила
тяжести груза D ; 4Nr
- нормальная реакция наклонной плоскости; 4трF
r
- сила
трения скольжения. Определим сумму работ внешних сил, приложенных к системе, на
заданном перемещении. Работа сил тяжести 1Gr
αsin)( 1111 gSmhGGA ==r
.
Работа нормальной реакции 1Nr
на заданном перемещении равна нулю, перпендикулярные направлению перемещения, работу на этом перемещении не создают.
0)( 1 =NAr
.
19
Так как сила трения приложена в мгновенном центре скоростей, то ее работа при качении катка по наклонной плоскости
0)(1
=трFAr
.
Работа пары сил сопротивления качению катка A
111)( ϕCC MMA −=
r
, (3.6)
где αδδ cos11111GNM C == - момент пары сил сопротивления качению катка
A , 1ϕ - угол поворота катка.
Так как каток A катится без проскальзывания, то угол его поворота
1
11 R
S=ϕ ,
где 1S - перемещение центра 1C катка A . Работа пары сил сопротивления качению на основании формулы (3.6)
αδ cos)(1
1111 R
SgmMA C −=
r
.
Сила тяжести блока B и две составляющие реакции 2Xr
и 2Yr
приложены в неподвижной точке, следовательно,
0)()()( 221 === YAXAGArrr
.
Для определения работы силы тяжести катушки C найдем перемещение центра масс. Так как скорости центров масс катка A и катушки C связаны соотношением (3.5), то после интегрирования по времени при нулевых начальных условиях, получим
33
313 rR
rSSC +
= .
Работа силы тяжести 3Gr
βsin)(33
31333 rR
rSgmhGGA
+−=−=
r
.
Работа нормальной реакции поверхности на перемещение 3CS
0)( 1 =NAr
.
Работа силы трения 3трF
r
при качении катушки равна нулю, так как сила
приложена в мгновенном центре скоростей cP . Работа пары сил сопротивления
качению катушки C
333)( ϕCC MMA −=
r
,
20
где βδδ cos32323GNM C == - момент пары сил сопротивления качению
катушки C , 3ϕ - угол поворота катушки C . Так как катушка катится без скольжения, то угол ее поворота
3
33
r
SC=ϕ ,
где 3CS - перемещение центра масс катушки; 3r - расстояние от центра масс
катушки до мгновенного центра скоростей. Работа пары сил сопротивления качению по формуле (3.7)
βδ cos)(33
1323 rR
SgmMA C +
−=r
.
Работа силы тяжести тела D
βsin)(33
31444 rR
rSgmhGGA
+−=−=
r
.
Работа нормальной реакции поверхности 4N
0)( 4 =NAr
.
Работа силы трения скольжения 4трF
r
444)( SFFA тртр −=
r
.
Так как βcos444fGfNFтр ==
r
, то
βcos)(33
3144 rR
rSgfmFA тр +
−=r
.
Сумма работ внешних сил определяется сложением работ отдельных сил:
βββδ
αδα
cossincos
cossin
33
314
33
314
33
132
33
313
1
11111
rR
rSgfm
rR
rSgm
rR
Sgm
rR
rSgm
R
SgmgSmAE
i
+−
+−
+−
−+
−−=∑
Согласно уравнению (3.2) приравниваем выражения для 2T и ∑ EiA :
( )( ) ( )
( ) ( )
++−
++−
−=
=
++
++
++
33
34
33
233111
233
234
233
23
333
21
21
cossincos1cossin
223
4
rR
frm
rR
rm
RmgS
rR
rm
rR
irmmm
VZ
βββδαδα
21
откуда
( ) ( )
( )( ) ( )
2
233
234
233
23
233
21
33
34
33
233111
122
3
cossincos1cossin
rR
rm
rR
irmmm
rR
frm
rR
rm
RmgS
VZ
++
++
++
++−
++−
−=
βββδαδα
22
Литература
1.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.- М.: Высшая школа, 2006.-416 с. 2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. II.- М.: Высшая школа, 2007.-423 с.
23
Кафедра теоретической механики
Методические указания Теорема об изменении кинетической энергии Юрий Алексеевич Иванов, Лариса Васильевна Колпакова, Людмила Ивановна Погребная ______________________________________________________ Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60x90.1/16 Печ. 1 л. Тираж 200 экз. _______________________________________________________
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), ИК «Синтез» _________________________________________________________ 190013, Санкт-Петербург , Московский пр., 26
24