حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول

78 الرياضيــــــــــــات للصف االول الثانوى إعداد أ/ سيد معـــــــــروف

ثانيا

حساب المثلثات


-الزاوية الموجهة :

يسمى ضلع نهائى ولها أتجاه هى زاوية محصورة بين ضلعين أحدهما يسمى ضلع أبتدائى واالخر

الضلع االبتدائى الى الضلع النهائى يتحدد من

يسمى ضلع أبتدائى بو و أ يسمى ضلع أبتدائى

أ يسمى ضلع نهائى و ب يسمى ضلع نهائى و

تسمى الزاوية أ و ب تسمى الزاوية ب و أ

الحظ أن

ق) ب و أ ( ( ق ) أ و ب

*************************************************************

للزاوية تقسيمان من حيث القياس

( من حيث وحدة القياس يوجد نوعان 1)

قياس سالب –قياس موجب ب -أ

( من حيث االشارة )أتجاه الدوران (2)

قياس سالب -وجب بقياس م -أ

***************************************************************

أوال القياس من حيث الوحدة

-( القياس الستينى :1)

ويرمز له بالرمز س هو قياس وحداته الدرجة ، الدقيقة ، الثانية

1

= 06 /

،1/ =06

//

-( القياس الدائرى :2)

1هو قياس وحدته الدرجة الدائرية )ء

ويرمز له بالرمز هـ( ء

القياس الدائرى لزاوية مركزية =

هـء= ـــــ ،،،، نق = ــــــ ،،، ل = هـ

ء نق ×

أ و

ب

أ و

ب

قياس الزاوية الموجهة

طول القوس الذى تحصره

طول نصف قطر الدائرةهـ

ء ل

نق

ل

نق

ل

هـ ء

الزاوية الموجهة


سم من دائرة طول نصف 16مركزية تحصر قوسا طوله الدائرى لزاوية أوجد القياس

سم 4قطرها

هـء 2.2= ــــــ = ــــــ =

ء

***************************************************************

1.2زاوية مركزية قياسها ء طول نصف قطر دائرتهاسم أوجد 8.2تحصر قوسا طوله

سم2= نق = ـــــــ = ـــــــــ

*************************************************************

1.4زاوية مركزية قياسها ء سم أوجد طول القوس الذى تحصره 4تحصر قوسا طوله

ل = هـء سم 8= 2× 1.4نق = ×

**************************************************************

هى زاوية مركزية تحصر قوسا طوله يساوى طول نصف قطر دائرتها ) ل = نق ( فيكون قياسها

1الدائرى يساوى ء

***************************************************************

ومنه نجد أن ــــــــ = ــــــ

( س = 1)

( هـ2)ء =

ل

نق16

4

ل

هـ ء

8.2

1.2

الزاوية النصف قطرية

العالقة بين القياسين الدائرى والستينى

س

176 هـ

ء

ط

هـء ×176

ط

ط × س

176

مثال

الحــــــــــــــــل

مثال

ـــــــــلالحـــــــ

مثال



حول من القياس الستينى إلى القياس الدائرى كال من القياسات االتية

هـ 126( 1) ء = = =

(2 )46 /

هـ 266 ء = =

(2) 12 // 26

/هـ 166

ء = =

ول من القياس الدائرى إلى القياس الستينى ح

(1 )6.0 ء = س

)فى االالت الحديثة(

)فى االالت القديمة(

(1 )1.2 ء = س

حديثة()فى االالت ال

)فى االالت القديمة(

ط × س

176 ط × 126

176

12 // 26

/ 166 ×

ط

176

46 /

ط× 266

176

6.0 ×176

ط الحـــــــــــــل

0 6 6 × 180 ÷ Exp =

,,,

0 6 6 × 180 ÷ Exp =

sh sh

1.2 ×176

ط الحـــــــــــــل

1 6 2 × 180 ÷ Exp =

,,,

1 6 2 × 180 ÷ Exp =

sh sh

120 × Exp ÷ 180 =

120 × Exp ÷ 180 =

200 ,,,, 40 ,,,, × Exp ÷

200 ,,,, 40 ,,,, × Sh Exp

100 ,,, 20 ,,,

, 15 Exp ÷

180 =

÷ 180 =

,,, 180 =

100 ,,, 20 ,,,

, 15 Exp ÷ × 180 = Sh

×

,,,

,,,

,,,

الحـــــــــــــل

ـــــــــلالحــــ

الحـــــــــــــل

مثال

مثال


***************************************************************

حول كال من القياسات الدائرية االتية إلى القياس الستينى

( هـ1)ء 86= = س =

( هـ2)ء 066= س = =

( هـ0)ء 102= س = =

أوجد بداللة ط القياس الدائرى لكال من القياسات االتية

هـ 126( 1)ء = =

هـ 126( 2)ء = =

هـ 012( 0)ء = =

هـ 06( 4)ء = =

إذا أعطيت القياس الدائرى بداللة ط فإنه يحول مباشرة إلى القياس الستينى مالحظة

176بالتعويض عن ط بـ

ط

2

176

2

ط 2

0

2 ×176

0

ط0

4

0 ×176

4

الحـــــــل



ط× 126

176 ط2

0

ط× 126

176 ط2

0

ط× 012

176 ط 8

4

ط× 06

176 ط

0





مثال

مثال


سم من 2أوجد القياس الدائرى والقياس الستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوسا طوله

سم 4قطرها دائرة طول نصف

سم2ل =

هـء 1.22ــــــ = ــــ = =

ء سم4نق=

= س = =

سم من دائرة طول قطرها8ية المركزية التى تحصر قوسا طولهأوجد القياس الستينى للزاو

سم 16

سم8ل =

هـء 1.7ــــــ = ــــ = =

ء سم2نق=

س = = =

سم أوجد طول القوس الذى تحصره2 طول نصف قطر دائرتها 126زاوية مركزية قياسها

هـء = = =2.1

ء 126س =

سم2نق=

ل = هـء سم 16.2= 2× 2.1نق = ×

سم أوجد طول نصف قطر دائرتها تحصر قوسا طوله 126زاوية مركزية قياسها

10.02 ل = = 126س =

هـء = = =2.0

سم 2.22= ـــــــ = نق =

ل

نق2

4 هـ

ء ×176

ط

1.22 ×176

ط

ل

نق8

2 هـ

ء ×176

ط

1.7 ×176

ط

ط× س

176 ط × 126

176

ط18

4

ط18

4

ط× س

176

ط× 126

176

ل

هـء

10.02

2.0

مثال


مثال


مثال الحــــــــــــــــل

مثال



سم أوجد طول القوس الذى تحصره4 طول نصف قطر دائرتها = 02وية محيطية قياسها زا

سم 4 نق = 106 = 02× 2س =

هـء = =2.0

ل = هـء سم 8.2= 4× 2.0نق = ×

26زاوية محيطية قياسها /

سم أوجد طول نصف قطر دائرتها 16طوله تحصر قوسا 82

26× 2س = /

82 = 46 /

سم 12 ل = 126

هـء = =2.00

ء

سم 2.8= ــــــ = ـــــــــــنق =

ه يساوى طول أوجد القياسين الدائرى والستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوسا طول

نصف قطر دائرتها ) الزاوية النصف قطرية (

ل = نق

هـء1= ـــــــ= ــــــــ=

ء 44 =س =

// 18

/ 28

يساوى طول أوجد القياسين الدائرى والستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوسا طوله

قطر دائرتها

نق 2ل =

هـء2= ـــــــ= ــــــــ=

ء 28س = =

// 02

/ 114

ط× 106

176

46 /

ط× 126

176

ل

هـء

12

2.00

ل

نق نق

نق1 ×176

ط

ل

نق نق2

نق2 ×176

ط

مثال


مثال


مثال

ـلالحـــــــــــــــ

مثال



] أ [

سم2سم من دائرة طول نصف قطرها 7أوجد القياس الدائرى لزاوية مركزية تحصر قوسا طوله [1]

1.2ة قياسها [زاوية مركزي2]ء

سم أوجد طول القوس الذى تحصره4من دائرة طول نصف قطرها

1.0[زاوية مركزية قياسها 0]ء سم أوجد طول نصف قطر دائرتها 16تحصر قوسا طوله

1.2زاوية مركزية قياسها [ 4]ء سم أوجد طول القوس الذى تحصره 14وطول قطر دائرتها

**************************************************************

]ب [ حول من القياس الدائرى إلى القياس الستينى كال مما يأتى

[1 ]6.8 ء

[2 ]1.0 ء

[0 ]2.0ء

[4 ]4.0ء

[2 ]2.1ء

***************************************************************

ول من القياس الستينى إلى القياس الدائرى كال مما يأتى ح]جـ[

[1 [116 [ 2 ]186 [ 0 ]46 /

126 [ 4 ]22 /

206 [2]12//

46 /

266

***************************************************************

]ء[

سم من دائرة طول نصف 8ية مركزية تحصر قوسا طوله ( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاو1)

سم 0قطرها

سم أوجد طول نصف قطر دائرتها 16 تحصر قوسا طوله 126( زاوية مركزية قياسها 2)

سم أوجد طول القوس الذى تحصره2 طول نصف قطر دائرتها 122( زاوية مركزية قياسها 0)

سم أوجد طول القوس الذى تحصره 0نصف قطر دائرتها طول 02زاوية محيطية قياسها ( 4)

22( زاوية محيطية قياسها 2) /

سم ألوجد طول نصف قطر دائرتها 26 تحصر قوسا طوله 86

أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوسا طوله يساوى طول نصف قطر ( 0)

دائرتها

والستينى لزاوية مركزية تحصر قوسا طوله يساوى طول قطر دائرتها ( أوجد القياسين الدائرى8)

ط من دائرة طول نصف 2( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوسا طوله 7)

سم 0قطرها

**************************************************************

الستينى لكال مما ياتى ]هـ[ أوجد القياس

(1( )2( )0( )4( )2( )0)

***************************************************************

]و[ أوجد بداللة ط القياس الدائرى لكال مما يأتى

(1 )216 (2 )102 (0 )222 (4 )006 (2 )246 ( 0 )012

(1تمارين )

ط

2

ط

0

ط0

4

ط4

0

ط2

0

ط

8

ط

2

ط

0


القياس من حيث االشارة

ينقسم القياس من حيث االشارة إلى

موجب القياس ال( 1)

يكون قياس الزاوية الموجهة موجبا إذا كان

أتجاه الدوران من الضلع األبتدائى إلى الضلع

اعة النهائى ضد حركة عقارب الس

( القياس السالب 1)

يكون قياس الزاوية الموجهة سالبا إذا كان

أتجاه الدوران من الضلع األبتدائى إلى الضلع

النهائى مع حركة عقارب الساعة

للتحويل من قياس سالب إلى قياس موجب

006 –القياس الستينى السالب = القياس الستينىالموجب

ط ) بدالللة ط (2 –الموجب الدائرى السالب = القياس الدائرى القياس

للتحويل من قياس موجب إلى قياس سالب

006القياس الستينى الموجب = القياس الستينى السالب +

ط ) بدالللة ط (2القياس الدائرى الموجب = القياس الدائرى السالب +

كال من القياسات الموجبة االتية إلى القياس السالب حول

(1 )126 (0 )22 //

26 / 266

22القياس السالب = 216 -=006 - 126القياس السالب = //

26 / 266 – 006

(2 )46 /

166 =- 02 //

8 /

128

46القياس السالب= /

166 – 006

و أ

ب

و أ

ب

مثال





=- 26 /

228

حول كال من القياسات الدائرية الموجبة االتية إلى القياس السالب

(1 ) (2 )

ط 2 -القياس السالب = ط 2 -القياس السالب =

= = = =

ات السالبة االتية إلى القياس الموجب حول كال من القياس

(1 )– 126 (4 )

ط 2القياس الموجب = + 246 = 006 + 126-الموجب = القياس

= =

(2 )– 26 /

266

(2 )

26 -الفياس الموجب = /

266 + 006

=16 /

ط 2القياس الموجب = + 128

= =

(0 )– 26 /

02 /

102

ط -( 0)

26 –القياس الموجب = /

02 /

102 + 006

=46 //

14 /

ط = ط 2ط + -القياس الموجب = 184

ط

0

ط

0 ط 0 –ط

0

ط2 -

0

ط 2

4

ط 2

4 ط7 –ط 2

4 ط0 -

4

ط -

2

ط -

2 ط16ط+ -

2 ط8

2

ط0-

4

ط0-

4 ط7ط +0-

4

ط2

4

مثال

الحــــــــــــــــل الحــــــــــــــــل

مثال

الحــــــــــــــــل الحــــــــــــــــل



حــــــــــــــــلال



] أ [ حول من القياس الموجب إلى القياس السالب

(1 )106 ( 2 )212 ( 0 )066

(4 )26 /

166 ( 2 )12 /

100 ( 0 )02 /

102

(8)22 // 46

/ 122 ( 7 )46

// 02

/ 22 ( 8 )26

// 06

/ 212

(16( )11( )12 )

(10 ) (14( )12 )

***************************************************************

]ب [ حول من القياس السالب إلى القياس الموجب

(1) - 146 ( 2) - 242 (0 )- 067

(4 )- 26 /

126 ( 2) - 42 /

108 ( 0 )- 02 /

182

(8)- 22 // 42

/ 022 ( 7)- 46

// 22

/ 166 ( 8 )- 26

// 06

/ 282

(16 ) (11( )12 )

(10( )14( )12 )

***************************************************************

س أكمل العبارات االتية

وية الموجهة موجبا إذا كان أتجاه الدوران من الضلع األبتدائى إلى الضلع النهائىيكون قياس الزا -1

................ حركة عقارب الساعة

يكون قياس الزاوية الموجهة سالبا إذا كان أتجاه الدوران من الضلع األبتدائى إلى الضلع النهائى -2

................ حركة عقارب الساعة

الزاوية التى قياسها الموجب ط يكون القياس السالب المكافئ لها هو ............ -0

هو.............. 1066أكبر قياس سالب مكافئ للزاوية التى قياسها -4

(2تمــــــارين)

ط0

4

ط4

0 ط2

0 ط

8

ط

2

ط

0

ط0-

4

ط4

0 ط2

0 ط

8

ط -

2

ط -

0


هو .............. 1666 –أصغر قياس موجب مكافئ للزاوية التى قياسها -2

-الزوايا المتكافئة :

ط ( من القياس حسب 2 أو 006ا نفس الشعاع النهائى وتنتج بأضافة أو طرح )هى الزوايا التى له

نوعه

)إذا كان القياس ستينى 006× ن +هـ = هـ

فمثالن ط ) إذا كان القياس دائرى بداللة ط ( 2 +هـ = هـ

= ط = 2= + 086= 06+006 = 06

ط = = 2= + 826= 006× 2+ 06=

=06 +0 ×006 =1116

ولهذا فإن الزاوية

06 = 086 = 826 = 1116

***************************************************************

ط = وهكذا16+06ط = 7+ 06ط = 0+ 06ط = 4+ 06ط = 2+ 06= 06

لكن

116= ط 8+ 06ط = 8+ 06ط = 2+ 06ط = 0+ 06+ ط = 06

وكذلك

06 =06 – 006 =- 006

06 =06 – 2 ×006 =- 086

06 =06 – 0 ×006 = - 1126

خالصة القول

منها عدد كامل من الدورات أضيف إليها عدد كامل من الدورات أو طرح أن الزاوية ال تتغير أذا

**************************************************************

الحظ أن

فإن س تقع فى الربع االول 86> س > 6إذا كانت (1)

فإن س تقع فى الربع الثانى 176> س > 86إذا كانت (2)

ط

2

ط 16+ ط

2 ط11

2

ط

2 ط11

2

ط16ط + 11

2

ط 21

2

6

86

176

الربع

االول

الربع

الثانى

الربع

الرابع

الربع

الثالث


فإن س تقع فى الربع الثالث 286> س > 176إذا كانت (0)

فإن س تقع فى الربع الرابع 006> س > 286إذا كانت (4)

حدد الربع الذى تقع فيه كال من الزوايا التى قياسها كاالتى

(1 )1266

1266 =1266 – 006 =746 – 006 =476 – 006 =126

تقع فى الربع الثانى 1266الزاوية التى قياسها

***********************

(2 )– 1266

- 1266 =- 1266 +006 =- 1146 +006 =- 876 +006 =- 426 +006 =-06

=-06 +006 =066

تقع فى الربع الرابع 1266 –الزاوية التى قياسها

*********************

(0 )

= =1126 =1126 – 006 =806 – 006 =466 -006 =46

الزاوية التى قياسها تقع فى الربع االول

*************************

(4 )

= =- 722 =- 722 +006 =- 482 +006 =- 102 +006=222

الزاوية التى قياسها تقع فى الربع الثالث

286

ط18

0

ط18

0

18 ×176

0

ط18

0

ط18-

4

ط18-

4 -18 ×176

4

ط18-

4





مثال


حساب المثلثات

الفصل الثانى

الدوال المثلثية

بســــــــــــــــــــــم هللا الرحمن الرحيم

إعداد أ/ سيد معــــــــــــروف


-دائرة الوحدة :

( 6، 6مركزها نقطة االصل و)هى دائرة

سم تقطع محورى 1وطول نصف قطرها

ط هى على الترتيباالحداثيات فى أربعة نق

( 1، 6( ،،،، ب = ) 6، 1أ=)

( 1-، 6( ،،، ء = ) 6، 1-جـ = )

**************************************************************

هذه النقطة فى أىإذا فرض وجود نقطة ب = ) س ، ص (

ل يمكن تعريف مجموعة من الدواموضع تكون زاوية أ و ب

الدوال تعتمد على االحداثيين المثلثية لهذه الزاوية وهذه

السينى والصادى لنقطة ب وهى كاالتى

( دالة قاطع التمام ) قتا (4) ( sin( دالة الجيب ) جا 1)

ــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ قتا)أ و ب ( = =صجا )أ و ب ( = االحداثى الصادى لنقطة ب

*************************************************************

( دالة القاطع ) قا ( 2) ( cosدالة جيب التمام ) جتا ( 2)

ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ قا)أ و ب ( = = س جتا )أ و ب ( = االحداثى السينى لنقطة ب

**************************************************************

دالة ظل التمام ) ظتا (( 0) ( tan( دالة الظل ) ظا 0)

الدوال المثلثية

أ

ب

جـ

ء

(1 ،6 )

(6 ،1 )

(-1 ،6 )

(6 ،-1 )

و أ

ب )س،ص(

س

سم1 ص

االحداثى الصادى

االحداثى السينى

ص

س

1

االحداثى الصادى

1

ص

1

االحداثى السينى

1

س

داثى السينىاالح

االحداثى الصادى س

ص


= ظتا) أ و ب ( = = ظا) أ و ب ( =

ملخص الدوال المثلثية

تقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب = ) س ، ص ( فإن = هـ إذا كانت زاوية أ و ب

ــــــقتا هـ = جا هـ = ص

ــــــ قاهـ = جتاهـ = س

ظتاهـ = ظاهـ =

***************************************************************

دائرة الوحدة فى النقطة ب أوجد جميع الدوالإذا كانت أ و ب زاوية فى وضعها القياسى تقطع

المثلثية لها إذا كانت

6حيث س < ) س ، (( 0) ، ( ب = ) ( 1)

ــــــــــــــــــــــــــل الحـــــــــــــــــــــــــــــــــلالحـــــــ

نوجد االحداثى السينى من العالقة ــــــــ قتاهـ = جاهـ =

س 2+ ص

2 =1

س 2قــاهـ = جتاهـ = 2 ) ( +

2 =1

س 2 = +1

س ـــــ= ظتاهـ 0ــــــــ = ظاهـ = 2 =1 - =

س = = ( 6.7، 6.0ب = ) ( 2)

الحـــــــــــــــــــــــــل

ب = ) ، ( قتاهـ = جاهـ =

2قتاهـ = جاهـ = جتاهـ = قاهـ =

ـــــ قاهـ = جتا هـ = ظتاهـ = = ـــــــظاهـ =

ص

س

1

ص1

س س

ص

مالحظة هامة جدا

االحداثى الصادى والسينى لنقطة ب يرتبطان

بالعالقة س2+ ص

2 =1

مالحظة هامة جدا

االحداثى الصادى والسينى لنقطة ب يرتبطان

بالعالقة س2+ ص

2 =1

1

2

0

2

0

2

1

2

1

2

0

2 1

0

2

0

7

16

0

16

7

16 0

16

7

0

16

7

16

0

0

7

1

2

1

2 1

4 1

4

0

4

0

4

0

2

0

2

0

2

1

2

1

2

2

0

مثال


0ظتاهـ = ـــــــ = ـــــ ظاهـ =

( ــــــــ، ـــــــإحداثيات ب = ) 6( ) س ، س ( حيث س > 4)

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل الحـــــــــــــــــــــــل

2 -قتاهـ = ـــــــــجاهـ = نوجد أوال قيمة س

س2+ س

2 =1

س22 2 -قاهـ = ــــــــ جتاهـ = 1=

س2 =

1ظتاهـ = 1= ــــــــــ ظاهـ = ــــــــ س = =

**************************************************************

دائرة الوحدة فى نقطة ب أوجد جميع الدوال المثلثية تقطع إذا كانت أ و ب زاوية فى وضعها القياسى

إذا كانت لها

( إحداثيات نقطة ب = ) ، (2( ) 6، 1( إحاثيات نقطة ب = ) 1)

6حيث ص > (ص( إحداثيات نقطة ب = ) ،4) 6حيث س<(6.0 ،س( إحاثيات نقطة ب = )0)

( 1، س( إحداثيات نقطة ب = )0) 6حيث س<(س - ،س -ب = )( إحاثيات نقطة 2)

6حيث س<(س2،س( إحداثيات نقطة ب = )7) 6حيث أ<(أ4، أ0( إحاثيات نقطة ب = )8)

(ص، 1-( إحداثيات نقطة ب = )16) 6، ص>(ص0، ص2( إحاثيات نقطة ب = )8)

6،ص<(ص، ــــــ( إحداثيات نقطة ب = ) 12) 6س>(س7،س0( إحاثيات نقطة ب = )11)

1

2 0

2

1

0

1

2 1

2 - 1

2

- 1

2 - 1

2

- 1

2

- 1

2

- 1

2 - 1

2

دريبــــــت

0

2 4

2

2

0

1

2


6، ص >(ص ،حداثيات نقطة ب = ) ( إ14) 6س< ، ( س( إحاثيات نقطة ب = )10)

س ، ص تختلف أشارة الدوال المثلثية بإختالف الربع الذى تقع فيه الزاوية وذلك على حسب أشارة

فمثال فى كل ربع

ولهذا فإن)موجبة ( ، ص )موجبة ( ( فى الربع االول س1)

جتا)موجبة( ، جا)موجبة ( ، ظا)موجبة (

( فى الربع الثانى س)سالبة ( ، ص )موجبة ( ولهذا فإن2)

جتا)سالبة( ، جا)موجبة ( ، ظا)سالبة (

( فى الربع الثالث س)سالبة ( ، ص )سالبة ( ولهذا فإن1)

جتا)سالبة( ، جا)سالبة ( ، ظا)موجبة (

( فى الربع الرابع س)موجبة ( ، ص )سالبة ( ولهذا فإن1)

( سالبة ( ، ظا) سالبةجتا)موجبة( ، جا)

***************************************************************.

( دالة الجيب ) جاس(1)

رابع ( سالبة فى الربعين ) الثالث وال ************موجبة فى الربعين) االول والثانى (

( دالة جيب التمام )جتاس(2)

سالبة فى الربعين ) الثانى والثالث ( *ة فى الربعين ) األول والرابع ( ***********موجب

ل ) ظاس(ظ( دالة ال0)

سالبة فى الربعين ) الثانى والرابع (************موجبة فى الربعين ) األول والثالث (

***************************************************************

فمثال

والـ جا فى الربع الثانى موجبة تقع فى الربع الثانى 166) موجبة ( الن 166جا

سالبة تقع فى الربع الثانى والـ جتا فى الربع الثانى 166)سالبة ( الن 166جتا

ربع الثانى سالبة تقع فى الربع الثانى والـ ظا فى ال 166) سالبة ( الن 166ظا

0

4

2

0

إشارة الدوال المثلثية

كلجا +

+، قتا

+

ظا+، ظتا

+جتا

+، قا

+


أكمل العبارات االتية

تكون ............... 166قا( أشارة 2) تكون .............. 126ظا ( أشارة 1)

تكون .............. 222جا ( أشارة 4) تكون .............. 066( أشارة قتا0)

تكون ............... 06أشارة ظتا( 0) تكون ............ 006( أشارة جتا 2)

تكون ............... 216( أشارة قا7) تكون .............. 26( أشارة ظا8)

تكون .............. 106( أشارة جا 16) تكون .............. 146( أشارة قتا8)

تكون ............... 186( أشارة ظتا12) تكون ............ 206( أشارة جتا 11)


تكون .............. 022( أشارة جا 10تكون .............. ) 2266( أشارة قتا12)

..........تكون ..... 246( أشارة ظتا17) تكون ............ 106( أشارة جتا 18)


تكون .............. 82( أشارة جا 22) تكون .............. 76( أشارة قتا21)

...تكون ............ 066( أشارة ظتا24) تكون ............ 06( أشارة جتا 20)

( تكون ...........066-( أشارة ظا)20( تكون............ )166-( أشارة جا)22)

( تكون ...........06-ا)ت( أشارة ظ27( تكون............ )126-( أشارة جتا)28)

( تكون ...........2666-ا)ق( أشارة 06( تكون............ )266-( أشارة قا)28)

( تكون ...........1666-( أشارة ظا)02( تكون............ )066-ا)قت ( أشارة01)

( تكون ...........2666( أشارة ظا)04( تكون............ )1666( أشارة جا)00)

فإن س تقع فى الربع ................. 6، جتاس > 6( إذا كانت جاس < 02)

إن س تقع فى الربع .................ف 6 <، جتاس 6( إذا كانت جاس < 00)

فإن س تقع فى الربع ................. 6، جتاس > 6 >( إذا كانت جاس 08)

فإن س تقع فى الربع ................. 6 <، جتاس 6 >( إذا كانت جاس 07)

تدريب


***************************************************************

بدون أستخدام الحاسبة أوجد قيمة كال من المقادير االتية

06جا 06+ جتا 06جتا 06جا( 1)

1= = = + × × + المقدار =

**************************************************************

( جا2)2 176جتا - 42+ ظا 42

المقدار = ) (2 +1 – (-1 = ) +1 +1 =2.2

**************************************************************

لثية لبعض الزوايا الخاصةالدوال المث

42 06 06 006 286 176 86 6 الزاوية

) ، ( ) ، ( ) ، ( (6، 1) (1-، 6) (6، 1-) ( 1، 6) (6، 1) النقطة

6 1- 6 1 6 جــــــا

1 6 1- 6 1 جتــــا

6 غيرمعرف 6 ظـــــاغير

معرف6 0 1

1

2

1

2

1

2 1

2

1

2

1

2

1

2

0

2

0

2

0

2

0

2

1

0

1

2

0

2 0

2

1

2

1

2

0

4

1

4

4

4

1

2

1

2

الحــــــــــــــــــل


مثال


ظا+ 06( قا0)2 286+ جا 06

( 0+ ) 2المقدار = 2 ( +-1 = )2+0 – 1 =4

تخدام الحاسبة إثبت أن بدون أس

جا( 4) 42جتا 42جا 2= 86( جا1)0جتا 8= 06

0ظتا – 06

2 42

االيمن = ) ( 1االيمن = 0 =

1× = 2× × = 2االيسر =

) ( 8االيسر = 0 – (1)

2 =8 ×- 1

الطرفان متساويان

=- 1 =

جتا 2= 06( جتا2)2 06 – 1

= صفر 06جا 06جا – 06جتا 06جتا (2)

االيمن =

) ( 2االيسر= 2 × -× االيمن = 1 -× 2= 1 –

=- 1 =

= صفر -=

الطرفان متساويان 6=176جتا2+ 86قتا 42+ ظا 06قا 06جا( 0)

( 1 -) 2+ 1× 1+ 2× االيمن=

=1 +1 – 2

= صفر 2 – 2=

1

2

1

2

1

2

1

2 0

2

0

4

0

2

1

2

1

2

1

2

1

7

1

2

1

2

8

7

1

7

1

2 1

2

0

2 0

2

0

4

0

4



مثال






الطرفان متساويان

التى تحقق أن 86 > س > 6بدون إستخدام الحاسبة أوجد قيمة س حيث

06جتا 06جا 4( ظاس = 4) 42جتا 42جا 2( جاس = 1)

× × 4ظاس = × × 2جاس =

× 4ظاس = × 2جاس =

0ظاس = 1جاس =

06س = 86س =

06جتا 06جا 4 ظتاس = ( 2) 06جا 2( ظاس = 2)

× × 4ظتاس = × 2ظاس =

0ظـــــــاس =

0ظتاس = 06س =

06س =

86جا 2( قتاس = 0)

2= 1× 2قتاس =

06س =

1

2

1

2

1

2

0

2

1

2

0

2

0

4

0

2 1

2

الحــــــــــــــــــل الحــــــــــــــــــل



مثال


هـ – 86هـ ، المتتامتين ( العالقة بين الدوال المثلثية للزاويتين1)

فإن 86الى زاويتين س ، ص مجموعهما =

وهكذا.......................جاس = جتاص ، قتاس = قاص ، ظاس = ظتاص

-مالحظة هامة :

86( إذا كان جاس = جتاص فإن س + ص = 1)

86إن س + ص = ( إذا كان قتاس = قاص ف2)

86إذا كان ظاس = ظتاص فإن س + ص = (0)

***************************************************************

أكمل العبارات االتية

= قتا ..... 28( قا8) = ظا ..... 76( ظتا2= جتا ..... ) 26( جا1)

= ظا ...... 01( ظتا 16) = جا ...... 22جتا (0= ظتا....... ) 06( ظا2)

= جا ...... 82( جتا11) = جتا....... 82( جا8= قا ........ ) 86( قتا0)

= قا ....... 24قتا ( 12) = ظتا ...... 72ظا ( 7= قتا ...... ) 02( قا 4)

س ( = .......... – 86( جتا) 21) جاس = جتاص فإن س+ ص = .......( إذا كان 10)

هـ ( = ........... – 86( ظتا) 22) تاس = قاص فإن س + ص = ......( إذا كان ق14)

26جا( 20) ان ظتاس = ظاص فإن س + ص = .....( إذا ك12) /

26

= جتا ..............

22( جتا24) = جتاص فإن ص = ......... 46( إذا كان جا10) /

= جا ................ 06

26( ظا 22) س فإن س = ..........2إذا كان جاس = جتا( 18) /

= ظتا ............... 26

خواص الدوال المثلثية

= قاهـ هـ ( – 86قتا ) هـ ( = جتا هـ – 86جا )

هـ ( = قتاهـ – 86قا) هـ ( = جاهـ – 86جتا)

هـ ( = ظاهـ – 86ظتا) هـ ( = ظتاهـ – 86ظا)


ص ( = ................... – 86( قا)20) س فإن س = .........0س = ظتا2( إذا كان ظا17)

ن ( = ............ – 86( قتا) 28) إذا كان جاس = جتاس فإن س = ..........( 18)

ع ( = ............ – 86ظا) ( 27) س ( = ................. – 86جا) ( 26)

أوجد قيمة س التى تحقق كال مما يأتى

(16+ ش 0( = ظا ) 06 –س 2( ظتا)2) س 2ظاس = ظتا( 1)

86= 16س + 0+ 06 –س 2 86س= 2س +

86= 26 –س 2 86س = 0

26+ 86س = 2 06س =

116س = 2

22س = س 2س = جتا4( جا2)

( 26 ( = جتا )س +46جا)س +( 0) 86س = 2س +4

86س = 8

16س=

86= 26+ س + 46س +

86= 06س +2 (26( = جا) س + 26( جتا)س +0)

06 – 86س = 2

06س = 2

12س = 86= 26+ س + 26س +

86= 86س +2

1س = 2س ظا4( ظا8) 86 – 86س = 2

26س = 2

16س =

ـــــــــــــ س = 4ظا

( 46 –( = قا)س 16( قتا)س+4)

س 2س = ظتا 4ظا

86س = 2س + 4 86= 46 –+ س 16س +

86س = 8 86= 06 –س 2

س = 06+ 86س = 2

16س = 126س = 2

06س =


ــــــــــــلالحــــــ




مثال

1

س2ظا

86

8


هـ – 176ثانيا : العالقة بين الدوال المثلثية للزاويتين هـ ،

102، 126 ، 126تستخدم هذه العالقات فى إيجاد الدوال المثلثية للزوايا

ـــــــ= 126ومنه قتا = 06( = جا 06 – 176= جا)126جا

2-= 126ومنه قا = 06جتا -( = 06 – 176= جتا ) 126جتا

ـــــــ -= 126ومنه ظتا 0 -= 06ظا -( = 06 – 176= ظا ) 126ظا

***************************************************************

2= 126= ومنه قتا 06( = جا 06 – 176= جا)126جا

ــــــ -= 126ومنه قا - = 06جتا -( = 06 – 176= جتا ) 126جتا

0 -= 126ومنه ظتا ـــــــ -= 06ظا -( = 06 – 176= ظا ) 126ظا

***************************************************************

2 = 102= ومنه قتا42( = جا 42 – 176= جا)102جا

2 -= 102= ومنه قا 42جتا -( = 42 – 176= جتا ) 102جتا

1-= 102ومنه ظتا 1 -= 42ظا -( = 42 – 176ظا ) = 102ظا

هـ ( = قتاهـ – 176قتا ) هـ ( = جا هـ – 176جا )

قاهـ -هـ ( = – 176قا) جتاهـ -هـ ( = – 176جتا)

ظتاهـ -هـ ( = – 176ظتا) ظاهـ -هـ ( = – 176ظا)

0

2

0

2

1

2

-1

2

1

2

-1

2

2

0

2

0

1

0

1

0


+ هـ 176ثالثا : العالقة بين الدوال المثلثية للزاويتين هـ ،

222، 246، 216تستخدم هذه العالقات فى إيجاد الدوال المثلثية للزوايا

ـــــ -= 246ومنه قتا -= 06جا - ( = 06 + 176= جا)246جا

2 -= 246ومنه قا = 06جتا -( = 06 + 176= جتا ) 246جتا

ـــــ= 246ومنه ظتا 0 = 06( = ظا 06 + 176= ظا ) 246ظا

***************************************************************

2 -= 216= ومنه قتا 06جا - ( = 06 +176= جا)216جا

ــــــ -= 216ومنه قا -= 06جتا -( = 06 + 176= جتا ) 216جتا

0 = 216ومنه ظتا ـــــ = 06ظا ( = 06 + 176= ظا ) 216ظا

***************************************************************

2 -= 222= ومنه قتا42جا - ( = 42 + 176= جا)222جا

2 -= 222= ومنه قا 42جتا -( = 42 + 176= جتا ) 222جتا

1= 222ومنه ظتا 1= 42( = ظا 42 + 176= ظا ) 222ظا

قتاهـ -+ هـ ( = 176قتا ) جا هـ -+ هـ ( = 176جا )

قاهـ -+ هـ ( = 176قا) جتاهـ -+ هـ ( = 176جتا)

+ هـ ( = ظتاهـ 176ظتا) + هـ ( = ظاهـ 176ظا)

0

2

-1

2

-1

2

2

0

1

0

0

2

-1

2

-1

2

2

0

1

0


هـ – 006رابعا : العالقة بين الدوال المثلثية للزاويتين هـ ،

012، 006، 0 66تستخدم هذه العالقات فى إيجاد الدوال المثلثية للزوايا

ــــــ -= 066ومنه قتا -= 06جا -( = 06 – 006= جا)066جا

2= 066ومنه قا = 06= جتا( 06 – 006= جتا ) 066جتا

ــــــ -= 066ومنه ظتا 0 -= 06ظا -( = 06 – 006= ظا ) 066ظا

***************************************************************

2 -= 006ومنه قتا = 06جا -( = 06 – 006= جا)006جا

ــــــ = 006ومنه قا = 06( = جتا 06 – 006= جتا ) 006جتا

0 -= 006ومنه ظتا ــــــ = 06ظا -( = 06 – 006= ظا ) 006ظا

***************************************************************

2 -= 012= ومنه قتا42جا -( = 42 – 006جا)= 012جا

2 = 012ومنه قا = 42( = جتا42 –006= جتا ) 012جتا

1-= 012ومنه ظتا 1 -= 42ظا -( = 42 – 006= ظا ) 012ظا

قتاهـ -هـ ( = – 006قتا ) جا هـ -هـ ( = – 006جا )

هـ ( = قاهـ – 006قا) هـ ( = جتاهـ – 006جتا)

ظتاهـ -هـ ( = – 006ظتا) ظاهـ -هـ ( = – 006ظا)

0

2

-1

2

1

2

2

0

1

0

0

2

1

2

-1

2

2

0

-1

0


هـ –لزاويتين هـ ، خامسا : العالقة بين الدوال المثلثية ل

= 06جا -(=06 -006= جا) 006( = جا06-= طريقة أخرى جا) 06جا -( = 06 -جا)

=06( = جتا06 -006=جتا)006( = جتا06-= طريقة أخرى جتا) 06( = جتا06-جتا)

ـــــ =06ظا -= (06 – 006= ظا)006(= ظا06-أخرى ظا)طريقة ـــــــ = 06ظا -( = 06-ظا)

= 06جا -( = 06 – 176جا) -= 126جا -( = 126-جا)

= 06جا -( = 06+176= جا) 216( = جا126-أو جا)

-= 06جتا -( = 06 – 176= جتا) 126( = جتا126-جتا)

- = 06اتج -( = 06+176ا)ت= ج 216ات( = ج126-ا)تأو ج

= 06= جا 06جا -× -( = 06 – 006جا) -= 066جا -( = 066-جا)

= 06( = جا066-أو جا)

قتاهـ -هـ ( = –قتا ) جا هـ -هـ ( = –جا )

هـ ( = قاهـ –قا) هـ ( = جتاهـ –جتا)

ظتاهـ -هـ ( = –ظتا) ظاهـ -هـ ( = –ظا)

0

2

-1

2

0

2

-1

0

-1

2

0

2

-1

0

-1

2

-1

2

0

2

0

2

0

2


بدون الحاسبة أوجد قيمة كال من المقادير االتية

102+ ظا 216جا 126ات+ ج 066جا 126( جتا1)

= 06جتا -( = 06 – 176= جتا) 126جتا

= 06جا -( = 06 – 006= جا) 066جا

= 06جتا -( = 06 – 176= جتا) 126جتا

= 06جا -( = 06+176= جا) 216جا

1 -= 42ظا -( = 42 – 176= ظا) 102ظا

= صفر 1 – 1= 1 -( = + 1-× + × + )المقدار =

***************************************************************

246( جا 066 -قتا) – 126 جتا 222ظا 2( 2)

1= 42( = ظا 42+ 176= ظا) 222ظا

= 06جتا -( = 06 – 176= جتا) 126جتا

ـــــــ= 06( = قتا 066 -قتا )

= 06جا -( = 06+ 176= جا) 246جا

= صفر 1+ 1-× = ــــــــ -× 1× 2المقدار =

- 0

2 - 0

2 -1

2 -1

2

-1

2

-1

2

- 0

2 - 0

2

0

4 1

4

-1

2

- 0

2

2

0

- 0

2 2

0

-1

2


مثال



ستخدام الحاسبة أوجد قيمة كال من المقادير االتية بدون ا

]صفر[ 246( جا 066 -قتا ) – 126جتا 222ظا2( 1)

] [ 216( قتا 126 -+ جتا) 006ظا 426جا (2)

]صفر[ 006قتا 082( + ظتا 272-ظا ) 716جا (0)

] [ 86+ جا 012ظا – 426جا 216جتا (4)

] [ 826جا 066+ جتا 126( ظتا 06 -جا ) (2)

] [ 006( جا 066 -قا ) – 246جتا 222ظا (0)

[ 1] 246جتا 216( + جا 086 -جتا) 426جا (8)

] صفر [ 066جا 006جتا – 426جا 126جتا (7)

[ 1-] 216( جا 476 -جتا ) – 1626جتا 806جا (8)

( ] صفر[ 06 -قا ) 476( + جا 126 -قا) 006جتا( 16)

[ 1] 006جا 126( + جتا126 -جتا) 066( + جا 222-قا ) 866( ظا 11)

تمارين على خواص الدوال المثلثية

2

4 0

4 1

2

1

2


أى زاوية حادة تقع فى مثلث قائم الزاوية يمكن إيجاد جميع الدوال المثلثية لها بمعلومية أضالع

لمثلث القائم الزاوية ا

= جاجـ =

= جتاجـ =

ظاجـ = =

***************************************************************

ب (الحظ أن بالنسبة لزاوية أ يتغير وضع المقابل والمجاور فيكون المقابل ) ب جـ ( والمجاور ) أ

***************************************************************

-:الحظ أن

) أ جـ(2= ) أ ب (

2+ ) ب جـ(

2

) أ ب (2= ) أ جـ(

2) ب جـ ( –

2

) ب جـ(2= ) أ جـ(

2) أ ب ( –

2

***************************************************************

أكمل من المثلث القائم الزاوية المقابل

( قتاجـ = .......4...... )( جا جـ = 1)

( قاجـ = .......2..... )( جتاجـ = 2)

( ظتاجـ = .......0........ )( ظاجـ = 0)

********************

تا أ = ........ق (16( جا أ = ......... )8)

( قا أ = .......11) ( جتا أ = .......7)

الدوال المثلثية للزاوية الحادة

أ

جـ ب

المقابل

المجاور

الوتر المقابل

الوتــر

أ ب

أ جـ

المجاور

الوتــر ب جـ

أ جـ

المقـــابل

المجاور أ ب

ب جـ

أ

جـ ب

أ

جـ ب

سم0

سم4

سم2

مثال


( ظتا أ = ........12) ( ظا أ = ........8)

أوجد جميع الدوال المثلثية لزاوية هـ 86 > هـ > 6حيث 6.0إذا كان جا هـ =

= ـــــ جاهـ =

( ) ب جـ2= ) أ جـ(

2) أ ب ( –

2 ( =16)

2 – (0)

2

=166 – 00 =04

سم 7= 04ب جـ =

= ظاهـ ــــــجتاهـ = ــــــ جاهـ =

ظتاهـ = قاهـ = قتاهـ =

***************************************************************

أوجد قيمة ظا س + قاس 86> س > 6حيث إذا كان جتاس =

جتاس = =

)أ ب (2= ) أ جـ(

2) ب جـ ( –

2 ( =10)

2 – (12)

2

=108 – 144 =22

2= 22أ ب =

ظاس = جتاس = قاس =

المقدار = ظاس + قاس = + = =

***************************************************************

4= اس + قتاسظتيمة ق ثبت أ 86 > س > 6حيث إذا كان ظاس =

= ظاس =

) أ جـ(2= ) أ ب (

2+ ) ب جـ(

2 ( =12)

2 ( +7)

2 =222+04=278

سم 18= 278أ جـ =

قاس = تاس = جتا س = ظ = ساظ

0

16 المـــقابل 16 0

الــــوتر

هـ

أ

جـ ب

0

16

16

0

7

16

16

7

0

7

7

0

12

10

12

10

المجاور

الوتــــر أ

جـ ب12

10

0 س

2

12

12

10

10

12 2

12

10

12

17

12

0

2

7

12

7

12

أ

جـ ب س

12

7

المــقابل

المجاور

7

12

12

7 7

18 18

7 12

7

18

7

02

7

مثال



مثال

ــــــــلالحــــــــــ

مثال


4= + = ظتاس + قتاس =

أوجد قيمة كال مما ياتى 86 > جـ > 6إذا كان ظاجـ = حيث

جـ ( – 86( ظا ) 0جـ ( ) – 86( جتا) 2جـ ( ) – 86( جا) 1)

) أ جـ (2= ) أ ب(

2+ ) ب جـ (

2 =8 +10 =22

سم 2أ جـ =

جـ ( = جاجـ = – 86،،،،،، جتا ) ( = جتاجـ = جـ – 86جا)

جـ ( = ظتا جـ = – 86ظا)

***************************************************************

أوجد قيمة كال مما ياتى 86 > جـ > 6إذا كان قاجـ = حيث

جـ ( – 176( ظا ) 0جـ ( ) – 176( جتا) 2) جـ ( – 176( جا) 1)

( ب) أ 2(جـ= ) أ

2) ب جـ ( -

2 ( =41)

2 – (8)

2=1071- 71=1066

سم 46= بأ

اجـ = تج -جـ ( = – 176جـ ( = جاجـ = ،،،،،، جتا ) – 176جا)

ظا جـ = -جـ ( = – 176ظا)

***************************************************************

أوجد قيمة كال مما ياتى 86 > جـ > 6اجـ = حيث جإذا كان

+ جـ ( 176( ظا ) 0+ جـ ( ) 176( جتا) 2+ جـ ( ) 176( جا) 1)

( ب جـ) 2= ) أ جـ(

2( ب أ) -

2 ( =10)

2 – (2)

2 =108 – 22=144

سم 12= ب جـ

جتاجـ = -جـ ( = + 176جاجـ = ،،،،،، جتا ) - جـ ( = + 176جا)

جـ ( = ظا جـ = + 176ظا)

أ

جـ ب

0

4

0

4 4

2

0

2

4

0

أ

جـ ب

41

8

8 46

41

41

-8

41

-46

8

أ

جـ ب

2

10

2

-2

10

10

-12

10

2

12


مثال


مثال


مثال


أوجد قيمة كال مما يأتى 176 > س > 86حيث 6= 0 –جا س 2إذا كان

ــــــــــــــل الحــــــــــــــ

+ س ( 176( ظا )0+ س( )176( جتا)2+ س ( ) 176( جا)1)

6= 0 –جاس 2

0جاس = 2

جاس =

جاس = -+ س( = 176جا)

× = -جتاس = -+ س ( = 176جتا)

= + س ( = ظاس = 176ظا)

***************************************************************

أوجد قيمة كال مما يأتى 286 > س > 176حيث 6= 2 –ظا س 12إذا كان

س ( - 176( ظا )0س( ) -176( جتا)2س ( ) - 176( جا)1)

6= 2 –ظاس 12

2اس = ظ12

اس = ظ

جاس = س( = -176جا)

× = -جتاس = -س ( = - 176جتا)

× = -ظاس = -+ س ( = 176ظا)

0

2

0 2

-4

س

-0

2 -4

2

0

-4

4

2 -0

4

2

12

-12

10 -2

س

-2

10 -12

10 2

12

12

10 -2

12


مثال


مثال


حيث جـ زاوية حادة موجبة أوجد قيمة جاجـ + جتاجـ ] [ 6= 0 -ظاجـ 4( إذا كان 1)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد قيمة المقدار 176> هـ > 86 حيث 6= 4جتاهـ + 2( إذا كان 2)

] [ 222هـ ( + ظا – 86هـ ( + جتا) – 006جتا )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد قيمة المقدار 006> هـ > 286حيث 6= 2 -جتاهـ 10( إذا كان 0)

+ قا 286جا 0 -هـ ظا 2 2 222

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

] أوجد قيمة المقدار ]6 ،86حيث جـ س ( = – 86( إذا كان جتا ) 4)

قتا 2ظاجـ + 2جتا – 222

2 [4] 86جا 006

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أثبت أن 176> س > 86حيث 6= 10 –قتاس 2( إذا كان 2)

جتا 006قتا 0س ( + – 006ظتا ) 2 –س ( – 176جتا) 102 222 =- 1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

حيث س أكبر زاوية موجبة أوجد قيمة المقدار 6= 4 –ظاس 0( إذا كان 0)

[ 1-] 176جتا 0 – 102جتا س + ظا 2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

حيث ب قياس أكبر 6= 4 –ظاب 0، 006> أ > 286حيث 6= 2 –جتاأ 10( إذا كان 8)

+ ب ( ] [ 86قا ) × + أ ( 286زاوية موجبة أوجد قيمة جتا)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

006ص>>286حيث 12جتا ص = 10، 176> س > 86حيث 6= 4 –جاس 2( إذا كان 7)

ظاس جاص 0أوجد قيمة قاس جتاص +

تمارين على الدوال المثلثية للزاوية الحادة

8

2

4

2

0

2

-12

10


حل المعادالت المثلثية معناه إيجاد قيمة الزاوية التى تحقق المعادلة

خطوات حل المعادالت المثلثية

تحديد الربع الذى تقع فيه الزاوية ) على حسب إشارة الدالة( -1

جا+جالثانى ( ) فى الربع االول أو ا

- ) فى الربع الثالث أو الرابع (

جتا+) فى الربع االول أو الرابع ( جتا

- ) فى الربع الثانى أو الثالث(

ظا+) فى الربع االول أو الثالث ( ظا

- أو الرابع ( ) فى الربع الثانى

) هـ (تحديد الزاوية الحادة التى تحقق المعادلة -2

تقع فيه أيجاد قيمة الزاوية حسب الربع الذى -0

***************************************************************

أوجد مجموعة الحل للمعادالت االتية

6= 1جاس +2( 2) 6= 1 –جاس 2( 1)

1-جاس = 2 1جاس = 2

الرابع [ –الثانى[ جاس = ] الثالث –جاس = ]االول

06 هـ = 06هـ =

الثانى الثالث الرابع االول

هـ – 006+ هـ س= 176هـ س = – 176س=هـ س=

06 - 006= 06+ 176= 06 – 176= 06س=

=126 =216 =006

006 ، 216ح = } 6 م 126 ، 06ح = } 6م

حل المعادالت المثلثية

كل+

جا +

ظا+

جتا +

هـ – 176س = س = هـ

هـ – 006س = + هـ 176س =

1

2

-1

2


مثال



6= 0جاس + 2( 4) 6= 0 –جاس 2( 0)

0 -جاس = 2 0جاس = 2

الرابع [ –الثانى[ جاس = ] الثالث –جاس = ]االول

06 هـ = 06هـ =

االول الثانى الثالث الرابع

هـ – 006+ هـ س= 176س = هـ – 176س=هـ س=

06 - 006= 06+ 176= 06 – 176= 06س=

=126 =246 =066

066 ، 246ح = } 6 م 126 ، 06ح = } 6م

6= 1جاس +2( 0) 6= 1 –جاس 2( 2)

1-جاس = 2 1جاس = 2

الرابع [ –] الثالث ــــــالثانى[ جاس = –]االول ـــــــجاس =

42 هـ = 42هـ =

الثالث الرابع االول الثانى

هـ – 006+ هـ س= 176هـ س = – 176س=هـ س=

42 - 006= 42+ 176= 42 – 176= 42س=

= 102 =222 =012

012 ، 222ح = } 6 م 102 ، 42ح = } 6م

0

2

- 0

2

1

2 -1

2

الحــــــــــــــــــل ــــلالحــــــــــــــ



6= 1اس +تج2( 7) 6= 1 –جتاس 2( 8)

1-اس = تج2 1اس = تج2

[ الثالث -الثانى اس = ] ت[ جرابعال –اس = ]االول تج

06هـ = 06هـ =

الثانى الثالث رابعاالول ال

هـ + 176هـ س= - 176هـ س = – 006س=هـ س=

06+176= 06 -176= 06 – 006= 06س=

=066 =126 =246

246 ، 126ح = } 6 م 066 ، 06ح = } 6م

6= 0اس + تج2( 16) 6= 0 –اس تج 2( 8)

0 -اس = تج2 0اس = تج2

[ الثالث -لثانى اس = ] اتج [ رابعال –اس = ]االول تج

06 هـ = 06هـ =

ثالثال الثانى لرابعاالول ا

هـ + 176هـ س= - 176هـ س = – 006ـ س= س=ه

06+176= 06 -176= 0 – 006= 06س=

=006 =126 =216

216 ، 126ح = } 6 م 006 ، 06ح = } 6م

6= 1اس +تج2( 12) 6= 1 –اس تج 2( 11)

1-اس = تج2 1اس = تج2

[ الثالث -الثانى] ــــــاس = تج [رابعال –]االول ـــــــاس = تج

42 هـ = 42هـ =

الثانى الثالث الرابع االول

هـ +176هـ س= - 176هـ س = – 006س=هـ س=

42+176= 42 -176= 42 – 006= 42س=

1

2

-1

2

0

2

- 0

2

1

2 -1

2





=012 =102 =222

222 ، 102ح = } 6 م 012 ، 42ح = } 6م

6= 1ظاس + 0( 14) 6= 1 –ظاس 0( 10)

1-ظاس = 0 1ظاس = 0

الرابع [ –]الثانى ـــــــ ظاس = الثالث[ –]االول ــــــ ظاس =

06هـ = 06هـ =

االول الثالث الثانى الرابع

هـ – 006س= هـ – 176+ هـ س= 176س= هـ س =

06-006س= 06 -176س= 06+ 176س= 06س=

=216 =126 =006

006، 126ح = } 6م 216، 06ح = } 6م

6= 0( ظاس + 10) 6= 0 –( ظاس 12)

الرابع [ –]الثانى 0 -ظاس = الثالث[ –]االول 0 ظاس =

06هـ = 06هـ =


هـ – 006هـ س= – 176+ هـ س= 176س= هـ س =

06 -006س= 06 -176س= 06+ 176س= 06س=

=246 = 126 = 066

066 ، 126ح = } 6م 246 ، 06ح = } 6م

6= 1( ظاس +17) 6= 1 –( ظاس 18)

الرابع [ –]الثانى 1 ظاس = الثالث[ –]االول 1 ظاس =

42هـ = 42هـ =


هـ – 006هـ س= – 176+ هـ س= 176س= هـ س =

42 -006س= 42 -176س= 42+ 176س= 42س=

1

0

1

0


ــــــــــــلالحــــــ الحــــــــــــــــــل



=222 =102 =012

012 ، 102ح = } 6م 222 ، 42ح = } 6م

6.2208( جتاس = 26) 6.0447( جاس = 18)

الرابع [ –]االول 6.2208جتاس = الثانى [ –]االول 6.0447جاس =

8هـ = /

17هـ = 46 /

82

االول الرابع االول الثانى

هـ – 006س = هـ س = هـ – 176س= هـ س =

=8 /

46 =176 – 8 /

46 =17 /

82 = 006 – 17

/ 82

=21 /

108 = 42 / 274

8ح = } 6م /

46 ، 21 /

17ح = } 6م 108 /

82 ، 42 /

274

6.2208 -( جتاس =26) 6.0447 -( جاس = 18)

[ الثالث – الثانى] 6.2208 - الرابع [ جتاس = –]الثالث 6.0447 - جاس =

8هـ = /

17هـ = 46 /

82

الثالث الثانى رابعال لثالثا

هـ + 176هـ س = - 176هـ س = – 006س = هـ +176س=

=176+8 /

46 =006 – 8 /

46 = 176- 17 /

82 = 176 + 17 /

82

=8/ 226 =21

/ 008 =42

/ 164 =17

/

222

8ح = } 6م /

226 ، 21 /

42ح = } 6 م 008 /

164 ، 17 /

222




تمارين

على

الهندسة


أوال التقسيم من الداخل

( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة 8، 0( ، ب = )2، 1-إذا كانت أ=)( 1)

0 :4 (2 ،2 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة 2-، 4( ، ب = )2، 0-( إذا كانت أ=)2)

2 :2 (2 ،8 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة 2، 4( ، ب = )6، 1-( إذا كانت أ=)0)

0 :2 (2 ،0 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة 0، 7( ، ب = )0-، 1-( إذا كانت أ=)4)

2 :4 (4 ،2 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة 11، 0( ، ب = )2، 0-( إذا كانت أ=)2)

8 :2 (4 ،8 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

النقطة التى تقع عند ربع المسافة من أحداثيات ( أوجد 2، 0( ، ب = ) 1، 2-( إذا كانت أ=)0)

( 2، 0-) أ إلى ب

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة التى تقع عند خمس المسافة من 12، 4( ، ب = )2، 1-( إذا كانت أ=)8)

( 4، 6) أ إلى ب

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة التى تقع عند ثلث المسافة من 8، 1( ، ب = ) 0، 2-إذا كانت أ=)( 7)

( 2، 1-) أ إلى ب

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

النقط التى تقسم أ ب من الداخل إلى ( أوجد أحداثيات 4، 2( ، ب = ) 1، 1-( إذا كانت أ=)8)

( [ 0، 1( ، ) 2، 6)ثالث أجزاء متساوية ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

تمارين على التقسيم


( أوجد أحداثيات النقط التى تقسم أ ب من الداخل إلى 2، 8( ، ب = ) 4-، 1( إذا كانت أ=)16)

( [ 6، 2( ، ) 2-، 0] ) ثالث أجزاء متساوية

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

تقسم أ ب من الداخل إلىالتى ( أوجد أحداثيات النقط 4، 0= ) ( ، ب 1، 0-( إذا كانت أ = )11)

( [ 0، 1( ، ) 2، 1-ثالث أجزاء متساوية ])

(0، 1-) ( أوجد منتصف أ ب 2، 0( ، ب = )1، 2-أ=)( إذا كانت 12)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

(2، 0-) ( أوجد منتصف أ ب 0، 1-( ، ب = )8، 2-( إذا كانت أ=)10)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

(4، 1) ( أوجد منتصف أ ب 8، 0( ، ب = )1، 1-( إذا كانت أ=)14)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات ب 2، 0= ) جـ( ، 1، 2-( إذا كانت أ=)12)

(11 ،8)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات ب 2، 0( ، جـ = )1، 1-( إذا كانت أ=)10)

(8 ،0)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

نت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات أ( فإذا كا2، 0( ، جـ = )1، 2ب=)( إذا كانت 18)

(4 ،8)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

نت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات أ ( فإذا كا6، 0( ، جـ = )2، 2=)( إذا كانت ب 17)

(1 ،-2)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد4، 0، ص( ، جـ = ) 2-( ، ب = ) 1( إذا كانت أ = ) س ، 18)

[ 8، ص = 7] س = قيمتى س ، ص

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد4، 1، ص( ، جـ = ) 2( ، ب = ) 0-( إذا كانت أ = ) س ، 26)

[11، ص = 6 ] س = قيمتى س ، ص

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد2، 0، ص( ، جـ = ) 2-( ، ب = ) 1-( إذا كانت أ = ) س ، 21)

[11، ص = 7] س = قيمتى س ، ص

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات نقطة تالقى متوسطات 1، 0(، جـ=)0، 4(، ب=)2، 1-( إذا كانت أ=)22)

(0، 2) أ ب جـ

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات نقطة تالقى متوسطات 8، 6جـ=)(، 0، 1(، ب=)2، 4-( إذا كانت أ=)20)

(2، 1-) أ ب جـ


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

جد أحداثيات نقطة تالقى متوسطات ( أو0، 1-(، جـ=)2، 4(، ب=)1، 6( إذا كانت أ=)24)

(4، 1) أ ب جـ

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

القى متوسطات ( وكانت م هى نقطة ت0، 2-(،م =)2، 4(، ب=)1، 6( إذا كانت أ=)22)

(0، 16-) أ ب جـ أوجد أحداثيات جـ

( وكانت م هى نقطة تالقى متوسطات 1، 2-(،م =)2، 0-(، جـ =)1، 2( إذا كانت ب =)20)

(6، 7-أ )أ ب جـ أوجد أحداثيات

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( وكانت م هى نقطة تالقى متوسطات 2، 6 (،م =)2، 4=)جـ (، 1، 6( إذا كانت أ=)28)

(6، 4-) بأ ب جـ أوجد أحداثيات

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( 0، 2 ( ، م = )1، 0( ، جـ = )، ص 4(، ب=)2س ، ( إذا كانت أ=)27)

[0، ص= 1-]س= أ ب جـ أوجد قيمتى س ، ص وكانت م هى نقطة تالقى متوسطات

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( 4، 1( ، م = )، ص 1-( ، جـ = )2س ، (، ب=)1، 6( إذا كانت أ=)28)

[0، ص= 4]س= وكانت م هى نقطة تالقى متوسطات أ ب جـ أوجد قيمتى س ، ص

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( 2، 1-، م = )( 8س ، ( ، جـ = ) 0، 1(، ب=)، ص 4-( إذا كانت أ=)06)

[ 2، ص= 6]س= وكانت م هى نقطة تالقى متوسطات أ ب جـ أوجد قيمتى س ، ص

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد 0: 4( فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة 7، 0( ، جـ = ) 4، 1-( إذا كانت أ=)1)

(11، 0) أحداثيات ب

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد 2: 0( فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة 0، 0( ، جـ = )7، 2( إذا كانت ب = )2)

(0، 6) أ أحداثيات

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( وكانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة2، 2، جـ = )، ص( 4( ، ب = ) 2، سإذا كانت أ=)( 0)

[ 8، ص = 1-] س = أوجد قيمتى س ، ص 2: 0

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( وكانت جـ تقسم أ ب من الداخل 2، 2( ، جـ = ) 7، ص ( ، ب = ) س ، 2-)( إذا كانت أ = 4)

[ 1، ص = 2 أوجد قيمتى س ، ص ] س = 0: 4بنسبة

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

، ص( فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل 0( ، جـ = ) 0، 16( ، ب = )0-س، ( إذا كانت أ=)2)

للمتفوقين


[ 2، ص = 1أوجد قيمتى س ، ص ]س= 4: 2بنسبة

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل( 8، ص( ، جـ = )س ، 4( ، ب = )2، 0-)( إذا كانت أ = 0)

[ 8، ص = 2] س = أوجد قيمتى س ، ص 2: 2بنسبة

-التقسيم من الخارج : ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الخارج بنسبة 8، 0( ، ب = )4، 1( إذا كانت أ = )1)

8 :2 (7 ،11)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الخارج بنسبة ( أوجد 0، 0( ، ب = )2، 1-( إذا كانت أ = )2)

8 :2 (7 ،11)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

النقطة التى تقسم أ ب من الخارج بنسبة ( أوجد أحداثيات 0، 1( ، ب = )0، 2-( إذا كانت أ = )0)

2 :2 (0 ،7)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

لتى تقسم أ ب من الخارج بنسبة ( أوجد أحداثيات النقطة ا2، 0( ، ب = )0، 1( إذا كانت أ = )4)

8 :2 (7 ،16 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أ ب من الخارج بنسبة ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم 6، 2( ، ب = )4-، 1( إذا كانت أ = )2)

8 :0 (7 ،0 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد 2: 8( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج بنسبة 7، 0( ، جـ = )1، 4-إذا كانت أ = )( 0)

( 0، 2-) أحداثيات ب

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد 2: 8( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج بنسبة 0، 0( ، جـ = )1، 2-( إذا كانت ب = )8)

( 1-، 4-أحداثيات أ )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج 7، 0( ، جـ = ) 2، س( ، ب = ) ص، 1-( إذا كانت أ = ) 7)

[ 1، ص = 0أوجد قيمتى س ، ص ]س = 0: 8بنسبة

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج 8، 0( ، جـ = ) ص، 0( ، ب = )2، س( إذا كانت أ = )8)

[ 4، ص = 1] س = أوجد قيمتى س ، ص 0: 2بنسبة

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج ص، 0( ، جـ = ) 4، س( ، ب = )2، 1-إذا كانت أ = )( 16)

[ 8، ص = 1 أوجد قيمتى س ، ص ]س = 2: 8بنسبة


-مسائل عامة على التقسيم: ( أوجد أحداثيات النقطة جـ حيث 2، 4( ، ب = )6، 1-( إذا كانت أ = )1)

( 2، 1) جـ ب 2أ جـ = 0أ ب حيث ( جـ 1

( 8، 0) جـ ب 8أ جـ = 2أ ب حيث أ ب ، جـ ( جـ 2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة جـ حيث 0، 0( ، ب = )2، 1-( إذا كانت أ = )2)

( 0، 6) أ جـ = جـ ب 0أ ب حيث ( جـ 1


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة جـ حيث 7، 4( ، ب = )1، 0-( إذا كانت أ = )0)

( 2، 1) جـ ب 8= ب أ 0أ ب حيث ( جـ 1


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة جـ حيث 0، 7( ، ب = )0-، 1-أ = )( إذا كانت 4)

( 2، 4) جـ ب 8أ جـ = 4أ ب حيث ( جـ 1


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد أحداثيات النقطة جـ حيث 2، 0( ، ب = )0-، 1( إذا كانت أ = )2)

( 6، 4) أ جـ 2ب جـ = 0أ ب حيث ( جـ 1

( 4، 7) جـ ب 2= بأ 2حيث أ ب أ ب ، جـ ( جـ 2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد 2، 1( ، جـ = ) 7، 4( ، ب = )0، 1-( إذا كانت أ = )0)

من الداخل [ 0: 2] النسبة التى تقسم بها جـ القطعة المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم -1

[ من الخارج 0: 2] مبينا نوع التقسيم جـالقطعة المستقيمة أ ب النسبة التى تقسم بها -2

[ من الخارج 2: 2] النسبة التى تقسم بها أ القطعة المستقيمة ب جـ مبينا نوع التقسيم -0

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد 4، 2( ، جـ = ) 0، 4( ، ب = )1-، 0-إذا كانت أ = ) (8)

من الداخل [ 2: 2النسبة التى تقسم بها جـ القطعة المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ] -1

[من الخارج 2: 8النسبة التى تقسم بها ب القطعة المستقيمة أ جـ مبينا نوع التقسيم ] -2

من الخارج [ 2: 8النسبة التى تقسم بها أ القطعة المستقيمة ب جـ مبينا نوع التقسيم ] -0

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة0، 2( ، جـ = )، ص 0، ب =) (0، 1-( إذا كانت أ=)7)


[ 16، ص = من الداخل 4: 0] ص التقسيم ثم أوجد قيمة المستقيمة أ ب مبينا نوع

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة 0، 4( ، جـ = ) 7، 0( ، ب =)0س ، ( إذا كانت أ=)8)

[1،، س=من الداخل 2: 0] س المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة 2س ، ( ، جـ = )16، 0( ، ب =)1، 0-( إذا كانت أ=)16)

[ 1من الداخل ، س = 2: 4س ] المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة

( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة ص، 0( ، جـ = )2، 0( ، ب =)1، 1-ا كانت أ=)( إذ11)

[ 7= ص، خارجمن ال 0: 8] صالمستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة 8، 7( ، جـ = )4، س( ، ب =)2، 1( إذا كانت أ=)12)

[ 0، س = خارجمن ال 2: 8المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة س ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أ ب ( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة0، 4( ، ب = ) 2، 0-( إذا كانت أ=)10)

بواسطة

من الداخل [ 4: 0]محور الصادات -2 من الخارج[ 0: 2]محور السينات -1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب 0-، 8( ، ب = ) 2، 4( إذا كانت أ=)14)

بواسطة

[ خارجمن ال 8: 4محور الصادات ] -2[ داخلمن ال 0: 2محور السينات ] -1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب 4-، 8( ، ب = ) 2، 0-( إذا كانت أ=)12)

بواسطة

من الداخل [ 8: 0محور الصادات ] -2[ داخلمن ال 4: 2] محور السينات -1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب 8، 4( ، ب = ) 2، 0( إذا كانت أ=)10)

بواسطة

[ لخارجمن ا 4: 0محور الصادات ] -2 من الخارج[ 8: 2محور السينات ] -1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@


-أوال : معادلة مستقيم بمعلومية نقطة يمر بها وميله :

[ 6= 0 –ص 4 –س 2] ( وميله = 2، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )1)

[6=28-س2ص +8] ( وميله = 2، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )2)

[ 6= 18س + 2 –ص 4] ( وميله = 0-، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )0)

[ 6= 11 –س 4ص +0] ( وميله = 2، 1-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )4)

[ 6= 10س + 4 –ص 8] ( وميله = 0-، 2-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )2)

[ 6س = 0 –ص 8] وميله = معادلة المستقيم المار بنقطة االصل ( أوجد0)

[ 6= 16 –س 8 –ص 2] ( وميله = 2، 6بالنقطة )( أوجد معادلة المستقيم المار 8)

[ 6= 12 –س 2ص +8] ( وميله = 6، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )7)

[ 6= 2س + 4 –] ص 4( وميله = 2، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )8)

[ 6= 10س + 2 –] ص 2( وميله = 1-، 0جد معادلة المستقيم المار بالنقطة )( أو16)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

-ثانيا معادلة مستقيم بمعلومية نقطتين :

[ 6= 1 –س 0 –ص 2] ( 2، 0( ، ب ) 2، 1)( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين 1)

[ 6= 21 –س 0 –ص 2] (8، 4( ، ) 0، 1-)د معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( أوج2)

[6=10س + 2 –ص 0] ( 1-، 2( ، ) 0-، 2)( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين 0)

[ 6= 12 – س4ص+0] ( 6، 0( ، ) 4، 6)( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين 4)

المستقيم تمارين على معادلة الخط

4

2 -2

8

-4

0

2

4

0

8

4

8

-2

8

8

2


[ 6= 1س + 8 –ص 2] (8، 4( ، ) 2-، 1-)( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين 2)

[ 6= 22 –س 2ص+2] ( أوجد معادلة أ ب 0، 2( ، ب = )1، 4( إذا كانت أ = )0)

[ 6= 12 –س 8ص+2] س ص ( أوجد معادلة 7-، 4= ) ص( ، 1-، 2= ) س ( إذا كانت8)

6= 12 –س 2ص +0] جـ ء ( أوجد معادلة 8، 0-= ) ء ( ، 4، 6= ) ( إذا كانت جـ 7)

-مستقيم بمعلومية ميله والجزء المقطوع من محور الصادات :معادلة

دات خمس وحدات من الجزء الموجب لمحور الصا ويقطع 4( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 1)

[2س+4] ص =

لمحور الصادات السالب من الجزء ثالث وحداتويقطع 2( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله =2)

[0 –س 2] ص =

لمحور الصادات الموجبمن الجزء وحدتانويقطع 0-( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 0)

[2س +0-] ص=

لمحور الصادات الموجب من الجزء أربعة وحدات( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = ويقطع 4)

[ 4] ص = س +

لمحور الصادات السالب من الجزء ثالث وحداتله = ويقطع ( أوجد معادلة المستقيم الذى مي2)

[ 0 –] ص = س

( 4، 6ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 0( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 0)

[4س+0] ص =

( 2-، 6ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 2( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 8)

[ 2 –س 2] ص =

( 2، 6ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 4-( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 7)

س [ 4 – 2] ص =

( 2-، 6ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 0-دلة المستقيم الذى ميله = ( أوجد معا8)

[ 2 –س 0-]ص=

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

الصادات فى كال من المستقيمات االتية ( أوجد الميل والجزء المقطوع من محور16)

2

0 2

0 -4

8 -4

8


س 0 – 2)ب( ص = 8س + 0أ( ص =

س 0 – 16ص = 2)ء( 0س +4ص = 0)جـ(

6= 2 –س 0 –ص 4)و( 6= 2س +2 –)هـ( ص

س2= 8ز( ص + ) 2س = 0 –)ر( ص

4س + 2)ش( ص = 2ص = س +2)س(

-رابعا معادلة مستقيم بمعلومية الجزئين المقطوعين من محورى االحداثيات :

( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع وحدتان من الجزء الموجب لمحور السينات وخمس وحدات من 1)

[ 16ص = 2س +2] ور الصادات الجزء الموجب لمح

وحدات من ثالث( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع وحدتان من الجزء الموجب لمحور السينات و2)

[ 0ص = 2 –س 0] لمحور الصادات سالبالجزء ال

لمحور السينات وخمس سالبمن الجزء ال أربعة وحدات( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع 0)

[ 26س = 2 –ص 4] وحدات من الجزء الموجب لمحور الصادات

ت وخمس وحدات من لمحور السينا سالب( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع وحدتان من الجزء ال4)

[ 16 -ص = 2س + 2] لمحور الصادات سالبالجزء ال

من الجزء الموجب لمحور السينات وخمس ثالث وحدات( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع 2)

[ 12ص = 0 –س 2] لمحور الصادات سالبالجزء ال وحدات من

( ويقطع محور الصادات 6، 0( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة )0)

[ 12ص = 0س +4] ( 4، 6فى النقطة )

( ويقطع محور الصادات 6، 2تقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة )( أوجد معادلة المس8)

[ 12= ص 2 –س 0] ( 0-، 6فى النقطة )

ادات ( ويقطع محور الص 6، 4-( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة )7)

[ 6= 26ص + 4 –س 2] ( 2، 6فى النقطة )

( ويقطع محور الصادات 6، 2-( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة )8)

[ 6= 16ص + 2س +2] ( 2-، 6فى النقطة )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد المقطوعتين السينية والصادية لكال من المستقيمات االتية [ 16]

1

0

1

0


6= 12 –ص 2س +0( 2) 0ص = 0س +2( 1

12ص = 4 –س 0 (4) 6= 16ص +2س +2( 0

7ص = 0س +2( 0) 17س = 0 –ص 0( 2

4ص = 8س + 2( 7) 16ص = 2س +0( 8)

8ص = 2س +2( 16) 8ص = 2 –س 0( 8)

م الموازى لهبمعلومية نقطة يمر بها وميل المستقيتمارين على معادلة مستقيم

( والموازى للمستقيم الذى ميله = 2، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )1)

[ 6= 1 –س 2 –ص 0]

لموازى للمستقيم الذى ميله = ( وا 0-، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )2)

[ 6= 22س + 4 –ص 8]

( والموازى للمستقيم الذى ميله = 2، 4-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )0)

[ 6= 14س +2ص +0]

( والموازى للمستقيم الذى معادلته1-، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )4)

[6=10س +2 –ص 0] 1س + 2ص = 0

( والموازى للمستقيم الذى معادلته1، 4-ادلة المستقيم المار بالنقطة )( أوجد مع2)

[6 =2س +2ص+0] س 2 – 4ص = 0

( والموازى للمستقيم الذى معادلته6، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )0)

[6= 16س +2 –ص 8] 6= 1+ س2 -ص 8

( والموازى للمستقيم الذى معادلته1-، 6( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )8)

[ 6=2س +4ص +2] 6= 2س + 2 +ص 4

( والموازى للمستقيم الذى معادلته1-، 0-أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) (7)

[ 6= 14 –س 2 –ص ] 1س + 2ص =

والموازى للمستقيم الذى معادلته المستقيم المار بنقطة االصل ( أوجد معادلة8)

[ 6س = 8 –ص 0] 2س + 8ص = 0

( والموازى للمستقيم المار بالنقطتين 0-، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )16)

[ 6= 0س +0ص +4] ( 6، 2( ، ) 0، 1)

2

0

4

8

-2

0


( والموازى للمستقيم المار بالنقطتين 4-، 2أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) (11)

[6= 0س +2ص +4] ( 2-، 2( ، ) 0، 1)

( والموازى للمستقيم المار بالنقطتين 4، 6بالنقطة ) ( أوجد معادلة المستقيم المار12)

[6= 24 –س 2 –ص 0] ( 7، 2( ، ) 0، 1-)

[ 4= ]ص ( والموازى لمحور السينات 4، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )10)

[ 2-] ص = ( والموازى لمحور السينات 2-، 0أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )( 14)

[ 0س = ] ( والموازى لمحور الصادات 4، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )12)

[ 0-] س = ( والموازى لمحور الصادات 4، 0-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )10)

مع االتجاه الموجب لمحور 42( ويصنع زاوية 0، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 18)

[ 6= 1 –س –] ص السينات

مع االتجاه الموجب 102( ويصنع زاوية 0، 2-النقطة ) ( أوجد معادلة المستقيم المار ب17)

[ 6= 2] ص + س + لمحور السينات

مع االتجاه الموجب لمحور 06( ويصنع زاوية 4-، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 18)

[6= 0 2 – 4س + 0 -] ص السينات

( ويصنع زاوية مع االتجاه الموجب لمحور 0، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 26)

[ 6= 0 0 – 2س + –ص 0] السينات

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

(8-، 2( ،ب )0، 1( وبمنتصف أ ب حيث أ=)1، 2-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )1)

[ 6=1س +0ص +2]

حيث 4: 0( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة االصل وبالنقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة 2)

[ 6س = 4 –ص ] ( 7، 2( ، ب = )1، 2-أ = )

( أوجد معادلة المستقيم المار بمنتصف أ ب ويوازى 0، 2-( ، ب = ) 2، 1( إذا كانت أ = )0)

[ 6 = 24 –س 2 –ص 2] 0س +2ص = 2المستقيم

( أوجد معادلة المستقيم المار بمنتصف أ ب ويوازى 0، 2-( ، ب = ) 1، 0-أ = )( إذا كانت 4)

ط

0

للمتفوقين


[ 6= 4س +0ص +4] 1ص = 4س +0المستقيم

( رؤوس مثلث أ ب جـ أوجد معادلة2، 2( ، جـ = )1، 4( ، ب = ) 2، 1-( إذا كانت أ = )2)

[ 6= 8 –ص + س 2] المتوسط أ ء

( رؤوس مثلث أ ب جـ أوجد معادلة8، 0( ، جـ = )1، 4( ، ب = ) 2، 1-( إذا كانت أ = )0)

[ 6= 18س + 2 –ص 0] هـ ب المتوسط

ية نقطة يمر بها وميل المستقيم الموازى لهتمارين على معادلة مستقيم بمعلوم

الذى ميله = ( والعمودى على المستقيم 2، 1تقيم المار بالنقطة )( أوجد معادلة المس1)

[6=10 –س 0ص +2]

الذى ميله = والعمودى على المستقيم( 0-، 1المار بالنقطة )( أوجد معادلة المستقيم 2)

[6=2س+8ص +4]

الذى ميله = والعمودى على المستقيم ( 2، 4-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )0)

[ 6=22 –س 0 –ص 2]

الذى معادلتهوالعمودى على المستقيم ( 1-، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )4)

[ 6= 1 –س 0ص+2] 1س + 2ص = 0

الذى معادلته والعمودى على المستقيم( 1، 4-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )2)

[ 6= 14 –س 0 –ص 2] س 2 – 4ص = 0

الذى معادلته والعمودى على المستقيم( 6، 2قطة )( أوجد معادلة المستقيم المار بالن0)

[ 6= 14 –س 8ص + 2] 6= 1س + 2 -ص 8

الذى معادلتهوالعمودى على المستقيم ( 1-، 6( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )8)

[ 6= 2س + 4 –ص 2] 6= 2س + 2ص + 4

الذى معادلته والعمودى على المستقيم( 1-، 0-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )7)

[6= 7ص + س +2] 1س + 2ص =

الذى معادلتهلعمودى على المستقيم ( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة االصل وا8)

[ 6س = 0ص +8] 2س + 8ص = 0

بالنقطتين المار والعمودى على المستقيم( 0-، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )16)

[ 6= 18س + 4 –ص 0] ( 6، 2( ، ) 0، 1)

2

0

4

8

-2

0


المار بالنقطتين والعمودى على المستقيم ( 4-، 2أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) (11)

[ 6= 27س + 4 –ص 2] ( 2-، 2( ، ) 0، 1)

المار بالنقطتين والعمودى على المستقيم( 4، 6( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )12)

[ 6= 26 –س 0ص + 2] ( 7، 2( ، ) 0، 1-)

عند أ حيث د معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم أ ب على التعامد ( أوج10)

[6= 18 –س 0 –ص 4( ] 6، 2( ، ب = ) 4، 1-أ = )

0على التعامد عندما س= 2س + ص = 2( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم 14)

[6= 2س + –ص 2]

2على التعامد عندما ص= 8ص = 2س +0( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم 12)

[6= 18 –س 2 –ص 0]

( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع أ ب على التعامد 0، 0( ، ب = ) 2، 1إذا كانت أ = )( 10)

[ 6= 0 –ص + س ] من منتصفه

على التعامد عند نقطة تقاطعه 0ص =0س +2ستقيم الذى يقطع المستقيم أوجد معادلة الم( 18)

[ 6= 8س + 0 –ص 2] سينات مع محور ال

على التعامد عند نقطة تقاطعه 0ص =0س +2( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم 17)

[6= 4 –س 0 –ص 2] مع محور الصادات

( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة أ 6، 0-( ، جـ = )1، 4( ، ب = )2، 1إذا كان أ = )( 18)

[ 6= 2س + 8 –] ص عمودى على ب جـ

ب( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة 6، 0-( ، جـ = )1، 4( ، ب = )2، 1( إذا كان أ = )26)

[6= 21 –س 4ص +2] جـ أعمودى على

جـ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة 6، 0-( ، جـ = )1، 4( ، ب = )2، 1)( إذا كان أ = 21)

[ 6= 8 –س 0 –ص 4] أ ب عمودى على

ت ( والعمودى على محور السينا 2، 0-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )22)

[ 0-س = ]

( والعمودى على محور الصادات 2، 0-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )20)


[ 2] ص =

2( والعمودى على المستقيم ص = 4، 0-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )24)

[0-] س =

4( والعمودى على المستقيم س = 2، 0-( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )22)

[2] ص =

( 2، 4-( ، ب = ) 0 ، 2( أوجد معادلة محور تماثل أ ب حيث أ = )20)

[ 6= 8 –س 0 –ص ]

( أوجد معادلة 2-، 0( ، ب = ) 1، 1= ) أإذا كان أ ب قطر فى دائرة مركزها م فإذا كان ( 28)

[ 6= 1 –س 2 –ص 0] طة أ المماس للدائرة عند نق

( أوجد معادلتى قطريه 4، 1-( ، جـ = ) 2، 0( إذا كان أ ب جـ ء مربع فيه أ = )27)

[ 6= 1 –س 2 –ص ،6= 8 –ص+س 2]

[1] فأوجد قيمة أ 2يساوى 6= 0أ ص + 2 –( س 1أ+0إذا كان ميل المستقيم )( 28)

( ويصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات 2، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )06)

[ 6= 2 –س 0 –ص 4] زاوية ظلها

( ويصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات 2، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة )01)

[ 6= 2 –س 4 –ص 0] جيبها زاوية

( ويصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات 2، 1المار بالنقطة ) ( أوجد معادلة المستقيم02)

[ 6= 1 –س 12 –ص 7] جيب تمامها زاوية

0

4

4

2

7

18


( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين 1)

7] 6= 8 –ص 4س+2، 6= 2ص + 2 –س /

20 ، 22 /

120

]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين ( 2)

102 ، 42] 6= 1ص + 0 –، س 6= 2ص + 2 –س

]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين 0)

] 1س +4، ص = 2ص = 0 –س 2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

والمستقيم الذى ميله= 6= 2ص + 0 –( أوجد قياس الزاوية بين المستقيم س 4)

] [

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

والمستقيم الذى ميله = 0ص = س +2أوجد قياس الزاوية بين المستقيم ( 2)

] [

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين اللذين ميالهما ، ( 0)

] [

الزاوية بين مستقيمين

1

4

0

2 -1

2


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

، 4( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين اللذين ميالهما 8)

] [

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

لمستقيم المار بالنقطتين وا 6= 2 –ص 4 –س 0( أوجد قياس الزاوية بين المستقيم 7)

(2 ،1 ( ، )1 ،7 [ )10/

01 ، 44/

117

]

( 2-، 2-( ، جـ =)4، 0( ، ب=)0-، 2( أوجد قياسات زوايا المثلث أ ب جـ الذى فيه أ=)8)

[86 ، 42 ، 42 ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

(4-، 2( ، جـ = )1-، 2-( ، ب=)8، 4( أوجد قياسات زوايا المثلث أ ب جـ الذى فيه أ=)16)

[04/ 20 ، 86 ، 20

/ 00

]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

41( أوجد ق ) أ ب جـ ( ]2، 2( ، جـ = ) 0، 1-( ، ب = ) 0، 2إذا كان أ = )( 11)/ 00 ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

7أوجد ق ) أ جـ ب ( ]( 1، 0( ، جـ = ) 1، 0( ، ب = ) 2، 0ان أ = )إذا ك( 12)/

20 ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

6= 2، س + ك ص + 6= 1ص + 2 –( إذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين س 10)

] ك = [ أوجد قيمة ك 42تساوى

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

6= 2ص + –س 2، 6= 7 –( إذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين س + ك ص 14)

[ 0-] ، أوجد قيمة ك 42يساوى

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

تساوى 0ص = –، ك س 6= 1 –ص 2 –س 0إذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين ( 12)

2

0

-1

0

1

0

ط

4

-1

4


[ 4أوجد قيمة ك ] ،

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

يساوى 0، س + ص = 6= 1إذا كان ظل قياس الزاوية بين المستقيمين ك ص + س +( 10)

، [ 2أوجد قيمة ك ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

6= 4ص + 2 –، أ س 6= 0ص + –إذا كان جيب تمام الزاوية بين المستقيمين س ( 18)

، [ 14يساوى أوجد قيمة أ ]

] [ 6= 1ص + 4س +0( على المستقيم 1، 2زل من النقطة ) أوجد طول العمود النا( 1)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[ ] 6= 2ص + 0 -س 4( على المستقيم 1، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[6.2] 6= 12ص + 7س +0( على المستقيم 1، 0-ن النقطة ) ( أوجد طول العمود النازل م0)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[4] 6= 7ص + 2 -س 12( على المستقيم 4-، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 4)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[2 0] 6= 12 -( على المستقيم س + ص 1، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[16] 6= 1ص + 0( على المستقيم س +4، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 0)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[8] 6= 2ى المستقيم س +عل (0، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 8)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[8] 6= 4على المستقيم ص + (2، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 7)

0

4

-2

11

2

8

4

2

البعد العمودى

2

0

8

2

11

2


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[ 2] 8على المستقيم س = (0، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 8)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[ 2] 0على المستقيم ص = (1، 4( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 16)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

الصل الى المستقيم الذى معادلته ا( أوجد طول العمود النازل من نقطة 11)

[ 4] 6= 26 –ص 0س +4

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[1.2] 6= 12 –ص 7 –س 0نقظة االصل إلى المستقيم ( أوجد طول العمود النازل من 12)

( أوجد طول العمود المرسوم من نقطة االصل على المستقيم المار بالنقطتين10)

(-1 ،2 ( ، )2 ،0 [ )10 ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( 6، 2-( إلى المستقيم المار بالنقطة ب=)4، 2وم من النقطة أ)أوجد طول العمود المرس( 14)

[ ــــــ وميله = ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[1( ] 0، 2( ، ب=)1-، 2تقيم المار بالنقطتين أ = ) ( عن المس2-، 8( أوجد بعد النقطة )12)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( أوجد طول العمود المرسوم من أ 2، 4( ، جـ = ) 6، 2-( ، ب = ) 0، 1إذا كان أ = )( 10)

[ ـــــــ ] على ب جـ

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

6=0ص +0س +4والمستقيم ( 1-، 0( أحسب طول نصف قطر الدائرة التى مركزها م = )18)

[ 0] مماس لها

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

] [ 6=4ص +12س +2( والمستقيم 1-، 2أوجد مساحة الدائرة التى مركزها م = ) ( 17)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

2ى يساو 6ص= 4( على المستقيم أ س + 1، 2)( إذا كان طول العمود النازل من النقطة 18)

4

01

2

0

0

01

187

8


[ 0أوجد قيمة أ ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

6= 2ص +0س+2، جـ ( على المستقيم 1إذا كان طول العمود المرسوم من نقطة )( 26)

، [ 2فأوجد قيمة جـ ] 10يساوى

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

يساوى 6( على المستقيم أ س + ص = 1-، 8( إذا كان طول العمود الساقط من النقطة )21)

أو [ 0] أوجد قيم أ الممكنة 16 2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

متوازيان وأوجد 6= 11ص + 7 –س 0، 6= 8 –ص 4 –س 0( إثبت أن المستقيمين 22)

[ 6.8] البعد بينهما

متوازيان وأوجد البعد 6= 8 –ص 12س +8، 6= 0ص +4س +0( إثبت أن المستقيمان 20)

] [ بينهما

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( تقعان على جانبين مختلفتين من المستقيم 0، 2-( ، ) 1، 1إثبت أن النقطتين )( 24)

وعلى بعدين متساويين منه 6= 0ص + –س 2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

6=0ص + –س 2م ( تقعان على نفس الجانب من المستقي 0، 2-( ، ) 4، 1( هل النقطتان )22)

أم على جانين مختلفين

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( تقع على أحد منصفى الزاوية بين المستقيمين 0، 4( إثبت أن النقطة ) 20)

6= 4ص + 0 –، س 6= 7 –ص 10 –س 8

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( هى رؤوس مثلث أوجد 0، 2-( ، جـ = ) 0، 2( ، ب = ) 1، 4-إذا كان أ = )( 28)

[6=17-س0ص+4] معادلة المستقيم ب جـ -2 [2]طول ب جـ -1

[ 10] مساحة أ ب جـ -4 [ ]طول العمود المرسوم من أ على ب جـ -0

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( هى رؤوس مثلث أوجد 6، 1( ، جـ = ) 0-، 2( ، ب = ) 2، 1( إذا كان أ = ) 28)

-26

0

-10

8

2

0

20

2


[6=0-ص4س+0معادلة المستقيم ب جـ ] -2[ 2طول ب جـ ] -1

وحدة مربعة[ 16] مساحة أ ب جـ -4 [4]طول العمود المرسوم من أ على ب جـ -0

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( ونصف قطرها1، 2يمس الدائرة التى مركزها م = ) 6= 4ص + 0س +4( هل المستقيم 27)

م [] نع سم 0

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

( ونصف قطرها0، 2يمس الدائرة التى مركزها م = ) 6= 4ص + 7س +0( هل المستقيم 27)

] ال [ سم 2

ن التعليمىموقع االمتحا

eg.com-www.exam

http://www.exam-eg.com/

http://www.exam-eg.com/

حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول

Education

Transcript of حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول