بسم الله الرحمن الرحيم جامعة النجاح الوطنية كلية الهندسة قسم الهندسة المدنية
الهندسة الفراغية
Transcript of الهندسة الفراغية
óÏ
M ∞ V
g R
i ��������
D
����
ö
÷
e +
Ä
×
Ä
f
T
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
المستوى ومسلماته
:المستوى
ھو سطح مكون من مجموعة غير منتھية من النقاط ليست على استقامة واحده بعض مجموعاته
الجزئية مستقيمة
اAتجاھات ھو مجموعة غير منتھية من النقط ينطبق عليھا المستقيم فى جميع
�� eeee ب ا������������فإن المستقيم. ������������ ����gggg، ب����ا��������بمعنى أنه إذا كانت النقطتان �:بحيث أن �������������� �� �� �� � ب ا = �������� �������� ب ا
� �� �� �� �� �
: مKحظة
يمثل المستوى الممتد من جميع جھاته بجزء محدود منه على شكل مثلث أو على شكل رباعي أو
ول له وP أخر له من جميع جھاته أي أن المستوى P أ
:الفراغ
ھو مجموعة غير منتھية من النقط وھو الذي يحتوي جميع اUجسام والمستويات والمستقيمات و اUشكال
ئية من وھذه اUجسام و المجسمات كل منھا عبارة عن مجموعة جز) ف(الھندسية ونرمز له بالرمز
الفراغ وبذلك يكون الفراغ ھو بمثابة المجموعة الشاملة التي نتحدث في إطارھا طالما كان حديثنا
منصبا على مجموعة النقط
:تعين المستوى في الفراغ
: يتعين المستوى فى الحاPت ا[تية
استقامة واحدهثKث نقاط ليست على )١ (
) �( P تنتمي إليهمستقيم ونقطة
مستقيمان متقاطعان )٣(
: نتيجة
على إستقامة واحدة فإنھما يتطابقان إذا أشترك مستويان فى ثKث نقط ليست
" P يمكن رسم سوى مستو واحد فقط يمر بھذه النقط الثKث "
يمثل مستويا سسالرباعي
�� eeee ب ا ←←←← �������� gggg ب ، ا ��������������
��ب ا = �������� �������� ب ا، �
ا
ب
ب ا
السطح P يمثل مستويا
gggg ب، ا يوجد : بحيث ffff با ،
�������� با } ب ،ا {=
��������
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٢ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
:مستويين في الفراغ الوضع النسبي ل
: مKحظة
إذا توازى مستزيان فإن أى مستقيم فى أحدھما يوازى المستوى ا[خر
: المقابل ففى الشكل
المستوى // �������� إذا كان المستوى
�������� eeee لللل: ، و كان
المستوى // ل ل ل ل : فإن
��������
��������
لللل
��������
با
)�(
متقاطعان
�������� �������� با = لللل =
Uى يشترك المستويان فى خط مستقيم
المستويان المتقاطعان : مKحظة
سواء كان أحدھما مائK على ا[خرأو عموديا عليه إذا أشتركا فى
نقطة فKبد أن تقع ھذه النقطة على خط تقاطعھما
)٣(
متوازيان
�������� �������� = ZZZZ
أى P يشترك المستويان فى أى نقطة
��������//
)١(
متطابقان
�������� =
أى يشترك المستويان فى جميع النقط
أو
يشترك المستويان فى P مستقيم و نقطة
تنتمى إليه
��������
لللل
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٣ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
:الوضع النسبي لمستقيمين
Pفي المستوى : أو
الفراغفى: ثانيا
: الوضع النسبي لمستقيم ومستوى
ZZZZ = �������� �������� لللل لللل = �������� �������� لللل �������� // لللل } ا { = �������� �������� لللل �������� eeee لللل
ب
لللل
متعامدان متطابقان متوازيان متقاطعان
المستقيم يقطع المستوى
المسستقيم يشترك مع : أن أى المستوى فى نقطة واحدة
المستقيم يقع بتمامه فى المستوى
كل نقطة من نقط : أى أن المستقيم تنتمى للمستوى
أن يكونا مستويين معا أي يقعان في مستوى :واحد في ھذه الحالة
أن يكونا غير مستويين معا أي P يمكن وقوعھما : معا في مستوى واحد في ھذه الحالة يكونا
متقاطعان متوازيان متخالفين
لللل
���� ا
ا
ل
��������
��������
لللل ـ
��������
مممم ا
لللل
مممم��������
ا
المستقيم يوازى المستوى
المستقيم P يشترك : أى أن مع المستوى فى أى نقطة
� �
سقف الحجرة
حائط حائط
ارضية الحجرة
�لللل
١لللل
ا
مممم لللل
لللل
لللل مممم
مممم
مممم
لللل
��������
ب
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٤ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
:ة بين مستقيمين متخالفين الزاوي
يصنعھا أحدھما مع أى مستقيم مرسوم من نقطة عليه موازيا لmخر ھى إحدى الزوايا التى
: فى الشكل المقابل
�������� ، حـ ء متخالفان حيث حـ ء يقع فى المستوى ب ا
انقطة فى ��������المستوى يقطع ب ا ،
حـ ء // ھـ ا ��������المستوى نرسم فى ا من نقطة ھـ ھى الزاوية بين المستقيمين المتخالفين ا ب : فتكون
، حـ ءب ا
: مKحظة
حـ ء يكونان متعامدان ،ب االمستقيمين المتخالفين : فإن ٩٠) = ھـ ا ب (ق ق ق ق : إذا كان
:تعريف
: إذا و فقط إذا كان �������� gggg �لللل ، ١لللليتوازى مستقيمين
ZZZZ = �لللل �������� ١لللل أو �لللل = ١لللل
: حقيقة
المستقيمان الموازيان لثالث فى الفراغ متوازيان
: فى الشكل المقابل
�لللل // ١لللل: فإن ل ل ل ل // �لللل ، لللل // ١لللل: إذا كان
: تدريب
مكعب مممم حـ ء ھـ و ل ب ا: فى الشكل المقابل
: أكمل ما يأتى
٠٠٠٠= ب حـ �������� ب ا) ١ (
٠٠٠٠ = و ب �������� ب حـ �������� ب ا) � (
و ب )٣ (
// ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠
ل والمستوى ب حـ ) ٤ (
٠٠٠٠المستوى //
المستوى ب حـ ل و) ٥ ( ٠٠٠٠ = مممم المستوى ء حـ ل ��������
متخالفان ٠٠٠٠ ، ب االمستقيمان ) ٦ (
٠٠٠٠) = ھـ ا ب (ق ق ق ق ) ٧ (
٠٠٠٠المستوى // ب ا) ٨ (
ا ��������
ب
حـ
ھـ
ء
١لللل
لللل
�لللل
��������
ا
ب حـ
ء
ھـ
و
ل
مممم
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٥ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
بعض المجسمات المشھورة
: المنشور
ھو الجسم المتولد من إنتقال سطح مضلع موازيا لنفسه فى إتجاه ثابت
و يسمى سطح المضلع فى كل من و ضعه اUول و اUخير قاعدة المنشور
: خواص المنشور
المنشور متطابقتين و متوازيتين قاعدتا *
اUحرف الجانبية متوازية و متساوية فى الطول *
ا ا /ب ب=
/حـ حـ=
/ ء ء=
/ھـ ھـ=
/
ا ا ، /ب ب//
/حـ حـ//
/ء ء //
/ھـ ھـ //
/
ع إذا كان المنشور مائل الجانبية ھى سطوح متوازيات اضKاUوجه *
، سطوح مستطيKت إذا كان المنشور قائم
ا ا " /ب
/ب ، ب ب
/حـ
/ حـ ، حـ ء ء
/ حـ/
، ء ھـ ھـ/
ء/
ا ا ، /ھـ
/ " ھـ
دتيهإرتفاع المنشور ھو طول البعد العمودى بين قاع *
م نم نم نم ن أو ككككب : مثل
نقطة فى إحدى القاعدتين نسقط منھا عمود على القاعدة ) مممم( ب : حيث
اUخرى
إرتفاع المنشور القائم يساوى طول حرفه الجانبى *
"٠٠٠ثKثى ، رباعى ، " ب عدد أضKع قاعدته يسمى المنشور حس *
اAرتفاع× محيط القاعدة = المساحة الجانبية للمنشور *
مساحة القاعدة × �+ المساحة الجانبية = المساحة الكلية للمنشور *
اAرتفاع × مساحة القاعدة = حجم المنشور *
: صة من المنشورحاPت خا
: متوازى السطوح
ھو منشور كل من قاعدتيه سطح متوازى أضKع
أحرفه الجانبية عمودية على مستوى قاعدتيه أى أن أوجھه *
الجانبية سطوح مستطيKت إذا كان قائم
ية سطوح متوازيات أضKع إذا كان مائK فإن اUوجه الجانب *
: قطر متوازى السطوح *
ھو القطعة المستقيمة الواصلة بين رأسين ليسا فى وجه واحد
٤= و عدد أقطاره
مممم اء و ، ب ل ، ھـ حـ ، : و ھى
حـ/
ا
ب
حـ
ء
ھـ
ا/
ب /
ء /
ھـ/
حـ/
ا
حـ ب
ء ھـ
ا/
ب /
ء/
ھـ/
كككك
مممم
نننن
ا
ب حـ
ء
ھـ
و
ل
مممم
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٦ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: مستطيKتمتوازى ال
ھو منشور قائم كل من قاعدتيه سطح مستطيل
متوازى المستطيKت له سته اوجه كل منھا سطح مستطيل *
قد يكون لمتوازى السطوح وجھين متقابلين كل منھما سطح مربع *
و باقى اUوجه سطوح مستطيKت
: اUبعاد الثKثة لمتوازى المستطيKت *
ھى أطوال كل ثKثة أحرف متKقية فى رأس من رؤوسه
و ھـ ، و ل ، و ل : مثل
، و تتقاطع جميعا فى نقطة واحدة ٤= عدد أقطاره *
: فإن وحدة طول ، ص ، ع ا أن أبعاده ھى إذا فرضن *
وحدة مربعة ع × ) ص + ( � = مساحته الجانبية **
وحدة مربعة ) ع + ص ع + ص ( �= مساحته الكلية **
وحدة مكعبة ص ع = حجمه **
: ::@ :ع: +: :@:ص: +: :@ [ = طول قطره **
: المكعب
ھو متوازى مستطيKت تساوت أبعاده الثKثة
اUحرف اUثنى عشر جميعا متساوية فى الطول : أى أن
قاعدتيه كل منھا سطح مربع و بالتالى أوجھه الجانبية و
: ل وحدة طول فإن = إذا فرضنا أن طول حرفه *
وحدة طول / �[ل = طول قطر أى وجه **
وحدة طول /�� � [ل = طول قطره **
ل= مساحة كل وجه ** �
مربعة وحدة
ل٤= مساحته الجانبية ** �
وحدة مربعة
ل٦" = السطحية " مساحته الكلية ** �
وحدة مربعة
ل= حجمــــــــــــــه ** ٣
وحدة مكعبة
ا
ب حـ
ء
ھـ
و
ل
مممم
ا
ب حـ
ء
ھـ
و
ل
مممم
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٧ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: ھرم ال
) تسمى رأس الھرم ( المستقيمة الواصلة من نقطة ھو إتحاد جميع القطع
) "يسمى قاعدة الھرم ( P تنتمى إلى المستوى الذى يحوى سطح مضلع "
إلى نقطة تنتمى لقاعدة الھرم
الھرم حسب عدد أضKع مضلع قاعدته يسمى *
ع المستقيمة الواصلة بين رأسه و رؤوس قاعدتهأحرفه الجانبية ھى القط *
أوجھه الجانبية ھى سطوح المثلثات التى رأسھا ھى رأس الھرم *
و قواعدھا ھى أضKع قاعدة الھرم و ضKعھا ا[خران أحرف جانبية للھرم
توى قاعدته إرتفاع الھرم ھو العمود الساقط من رأسه على مس *
: ھرم الثKثى المنتظم ال
ھو ھرم ثKثى تساوت أحرفه الستة
مثلثات متساوية أضKع سطوح أوجھه اUربعة أو ھو ھرم
إرتفاعه ھو القطعة الواصلة بين رأسه و نقطة تKقى متوسطات قاعدته *
: ل نKحظ = ذا كان طول حرفه من الشكل إ *
ل = حـ ء **
ل = ن ن ن ن ، ء ل = ن ن ن ن حـ **
ل= إرتفاعه **
: ھرم القائم ال
العمود المرسوم من رأس الھرم عليه ھو ھرم قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع
: أى أن
٠٠٠٠مثلث متساوى اUضKع ، مربع ، " قاعدة الھرم مضلع منتظم *
إرتفاع الھرم يKقى القاعدة عند مركزھا *
جميع اUحرف الجانبية له متساوية فى الطول*
جميع اUوجه الجانبية له سطوح مثلثات متساوية الساقين و متطابقة*
متساوية فى الطول" إرتفاعات اUوجه الجانبية " إرتفاعاته الجانبية *
الھرم الثKثى القائم قاعدته مثلث متساوى اUضKع *
و إرتفاعه يمر بمركز المربعالقائم قاعدته سطح مربع الھرم الرباعى *
أى نقطة تقاطع قطرى المربع
ا
حـ ب
ء
ھـ
مممم
نننن
نننن
ا
ب
حـ
ء
مممم
]� ��/
�
]� ��/
� ]� ��/
�
]� ��/
�
نننن
ا
ب
حـ
ء
مممم
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٨ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: توازي مستقيم ومستو
في أي نقطة � ���P يشترك مع المستوى�ل�إذا كان المستقيم
��كما ھو موضح في الشكل ������يوازي المستوى�ل� أن المستقيمففي ھذه الحالة يقال ���������� // �ل :ونكتب ��������� �������� Z = �� ��� ل: �أي أن �
: )١ (نظرية
ع ھذا المستوى مع المستويات تنشأ عن تقاط فإنه يوازى جميع المستقيمات التىإذا وازى مستقيم مستويا
يمتحتوي ذلك المستق التى
:المعطيات
��، ��� يوازي المستوى ب ا �
� دحـ = �� ���،��ب ا �ىأي مستو يحتو �
:المطلوب
� دحـ // ب ا �ثبات ان إ �� �� �� � :البرھان
A ب ا // �������� BBBB ب ا �� �� = Z ������
A دحـ e �� B دحـ �� ب ا = Z �������������������������������)١(� �� �� �� ����א������������������ دحـ ، ب ا ������������������������������������ ���א�������������� ���א�������������� ���א�������������� �������������������� )�(� �� �� �� �
� دحـ // ب ا������������)�(����و) ١(من �� �� �� �
:ملحوظه ھامه
:Aثبات توازي مستقيمين في الفراغ يجب توفر شرطين ضروريين معا وھما
� المستقيمان P يلتقيان – ١ �� �� �� ��يجمعھما مستو واحد������������–����������������������������������������������������������������������������������������� �� �� �� �
� �� �� �� �
نتائج ھامهحقائق
إذا وازى مستقيم خارج مستو مستقيما فى المستوى فإنه يوازى ذلك المستوى ) ١(
: فى الشكل المقابل
يحتوى حـ ء ��������المستوى ، دحـ // ب ا: إذا كان
ب ا ، P يحتوى
�������� // ب ا : فإن
إذا وازى مستقيم مستويا فالمستقيم المار بأي نقطة من نقط ھذا ) �(
المستوى وموازيا للمستقيم المعلوم يقع بتمامه في ھذا المستوى
: ل فى الشكل المقاب
�������� gggg، حـ �������� // ب ا: إذا كان
ب ا// ، و رسمنا حـ ء BBBB حـ ء : أى أن �������� حـ ء يقع فى المستوىeeee المستوى ��������
��
لللل
ب
��
ج د
ب
��
ج د
ء ـح
ا ا ا ا ب
��
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٩ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
)٣(
إذا توازى مستقيمين ومر بكل منھما مستوى
تقاطعھما موازي لھذين المستقيمينوتقاطع المستويان كان خط
��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א�����������W�W�W�W� �� �� �� � eeee �لللل ، �������� eeee ١لللل ، �لللل // ١لللل�����������W�W�W�Wא���������������א���������������א���������������א�����
�������� ��������: ، كان لللل =
�لللل ، ١للللكK من // لللل: فإن
)٤ (
ه يوازي خط تقاطعھما إذا وازى مستقيم كK من مستوين متقاطعين فإن
��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א�����������W�W�W�W� �� �� �� ����������������������������������������� �������� � ب ا = �� �� �� �
، ��������كK من // لللل�������،�א��������������،�א��������������،�א��������������،�א�������
����������������������������BBBBب ا // لللل�������� � �� �� �� �
)٥(
إذا قطع مستقيم أحد مستويين متوازيين فإنه يقطع ا[خر
: فى الشكل المقابل
���������������������������������������� // فى نقطة حـ �������� يقطع لللل ،
BBBB يقطع لللل �� فى نقطة ء��
)٦(
فخطا تقاطعه معھما يكونان متوازيين مستويين متوازيين إذا قطع مستو
: فى الشكل المقابل
���������������������������������������� // ، حـ ء ب ا فى ععععقطعھما المستوى
BBBB حـ ء/ / ب ا
١لللل
��
ل
�لللل
ب
��
ل
��
ل ء حـ
ب
حـ
ء
عععع
����
ا
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٠ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: تدريب
���������������������������������������� ، حـ ء ، مممم ، بام م م م نقطة P تنتمى Uى منھما رسمت المستقيمات مممم مستويان متوازيان ،
، حـ ، ھـ و المستوى ا فى النقط �������� ھـ و غير المستوية معا لتقطع المستوى مممم فى النقط
ب ء و ∆ eeee حـ ھـ ا ∆: و أثبت أن ب ، ء ،
الحلـــــــــــــ
// ��������: المعطيات
ب ء و ∆ eeee حـ ھـ ا ∆: أثبت أن : المطلوب
، �������� ب و يقطع المستويين المتوازيين م م م م المستوى AAAA: البرھان
ھـ ، ب و ا فى
BBBB ب و// ھـ ا
BBBB ب و يكون م م م م ∆ فى :
= ١ (٠٠٠٠ = ٠٠٠٠(
ب ء// حـ ا ، بالمثل
BBBB = ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠) �(
)٣ (٠٠٠٠ = ٠٠٠٠ = BBBB ء و // ھـ ، حـ
BBBB ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠: = ينتج ) ٣(، ) �(، ) ١( من
BBBB ∆ حـ ھـ ا eeee ∆ ب ء و
:" اغ نظرية تاليس فى الفر" تمرين مشھور
إذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينھا تكون متناسبة
// ��������: المعطيات قاطعان لھا�لللل ، ١لللل ، عععع //
: = إثبات أن : المطلوب
و يقطع انرسم : ـلـــالعمـ ھـ ، حـ و م م م مب ، م م م م ء ، ا نرسم ،� � � � فى
AAAA :البرھـان ، حـ و مممم حـ و قطعھما فى ب ا، المستوى عععع //
BBBB حـ و // مممم بBBBB) = ١(
)� ( = : بالمثل
: = ينتج ) �(، ) ١( من
: مKحظة
ھـ و = ء ھـ : ب حـ فإن = با : فى ھذا التمرين إذا كان
��
ب
ء
و
حـ
ا ھـ
مممم
بمممم ا مممم
بمممم ا مممم
و مممم ھـمممم
و ب ھـا
عععع
����
ب
ا
حـ
ء
و
ھـ
�لللل ١لللل
�ـب ب ا
هـ و ء ھـ
�ـب ���� ب ا
ومممم مممم ا
هـ و ء ھـ
ومممم مممم ا
�ـب ب ا
هـ و ء ھـ
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١١ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
، �������� : تدريب : ب ، حـ على الترتيب و كان فى نقطتى با مستويان متوازيان قطعھما
، ��������مستقيم يقطع ا و رسم من ٥ : ٣: �= حـ ء : ب حـ : با على الترتيبم م م م ، ننننفى
، �������� و رسم من ء مستقيم يقطع ��@�� % =: أثبت أن فى ھـ ، و على الترتيب الحلــــــــــــــــ
AAAA �������� // ، ء ھـ قاطع لھما
BBBB ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠
٠٠٠٠ // ٠٠٠٠ بالمثل
BBBB = ٠٠٠٠= ، ٠٠٠٠
: = بالضرب ينتج
:)�(نظرية
إذا تقاطع مستقيمان في مستو وكان موازيين لمستقيمين متقاطعين في مستو آخر كان مستو
المستقيمين ا[خرينالمستقيمين اUولين موازيا لمستوى
حـ مستقيمان فى ا ، با : الشكل المقابل فى بحيث ����
، ء ھـ ، ء و مستقيمان فى } ا { = حـ ا �������� با بحيث
: فإذا كان } ء { = ء و �������� ء ھـ
: ء و فإن // حـ ا ء ھـ ، // ب ا
�������� //
حـ فى ء ، ھـ ، و على مممم ب ، مممم ، ا مممم يقطع اUحرف �������� ب حـ ھرم ثKثى ، المستوى ا مممم : يبتدر ب حـ االمستوى // �������� المستوى : أثبت أن= = : الترتيب فإذا كان
الحلـــــــــــــ
AAAA =
BBBB ١ (٠٠٠٠ // ٠٠٠٠(
، AAAA =
BBBB ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠) �(
ب حـ االمستوى // ��������المستوى : ينتج ) �(، ) ١( من
ب هـ٠ بن ن ن ن حـ ء٠ حـ مممم
ب هـ٠ بن ن ن ن حـ ء٠ حـ مممم
ب هـ حـ ء
بن ن ن ن حـ مممم
����
ب
ا
حـ
ء
و
ھـ
مممم
نننن
��
ب
جـ
��
ء
ھـ
و
ام م م م ء مممم
بم م م م ھـ مممم
حـ م م م م و مممم
ا
ب
حـ
ء
مممم
ام م م م ء مممم
بم م م م ھـ مممم
بم م م م ھـ مممم
حـ م م م م و مممم
ھـ
و
��������
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٢ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
:المستقيم العمودى على مستو
ى كل مستقيم فى المستوى يقال لمستقيم أنه عمودى على مستو إذا كان ھذا المستقيم عموديا عل
و يمكن القول بأن المستوى عمودٮة على المستقيم
: فى الشكل المقابل
�������� المستوى MMMM للللالمستقيم : إذا كان
} ب { = �������� �������� لللل ،
٠٠٠٠ ، ٣لللل ، �لللل، ١لللل: ديا على كل من يكون عمول ل ل ل : فإن
و المارة بنقطة ب �������� الواقعة فى المستوى
" موقع العمود " و تسمى نقطة ب
٤لللل و غير مار بنقطة ب مثل �������� عموديا على أى مستقيم فى المستوى لللل كما يكون
:)٣(نظرية
المستقيم العمودى على كل من مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعھما يكون عموديا على مستويھما
: فى الشكل المقابل
حيث ��������مستقيمان فى المستوى �لللل، ١لللل: إذا كان
عمودى على لللل، المستقيم } ا{ = �لللل �������� ١لللل
�������� MMMM لللل: فإن ا كل منھما من نقطة
: نتائج و مKحظات
المستقيم العمودى على كل من مستقيمين مستويين معا *
و غير متوازيين يكون عموديا على مستويھما
: فى الشكل المقابل
حيث �لللل، ١للللوديا على كل من عملللل: إذا كان
و غير متوازيين �������� مستقيمان فى المستوى �لللل، ١لللل
١لللل : Pحظ أن" �������� MMMM لللل: فإن /
�لللل، ١لللل /// �لللل//
Aثبات أن مستقيما ما عموديا على مستو معلوم نثبت أن أن ھذا المستقي * م يكون عموديا على أى
مستقيمين غير متوازيين فى المستوى
جميع المستقيمات العمودية على مستقيم معلوم من نقطة تنتمى لھذا *
المستقيم تقع جميعھا فى مستو واحد عمودى على المستقيم المعلوم
: فى الشكل المقابل
عمودية على ٠٠٠٠ ، ٣لللل ، �لللل، ١لللل المستقيمات : إذا كان
ا عند لللل المستقيم
تقع جميعا فى ٠٠٠٠ ، ٣لللل ، �لللل، ١للللالمستقيمات : فإن
ا من النقطة ل ل ل ل عمودى على المستقيم �������� مستو واحد
لللل التى تنمتى للمستقيم ا من النقطة لللل يوجد مستوى واحد و واحد فقط عمودى على المستقيم *
وحيد �������� بمعنى أن المستوى
����
لللل
١لللل
٣لللل
٤لللل
�لللل
����
لللل
�لللل
ب
لللل ١
ا
����
لللل
لللل �لللل ١
ا
�لللل /
لللل ١
/
����
لللل
لللل �لللل ١
ا
لللل ٣
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٣ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: إذا كان مستقيم عموديا على كل من مستويين فإنھما يكونان متوازيين كما أنه *
موديا على أحد مستويين متوازيين فإنه يكون عموديا على المستوى إذا كان مستقيم ع
: فى الشكل المقابل
�� MMMM لللل، �������� MMMM لللل: إذا كان �� // ��������: فإن
// ��������، �������� MMMM لللل: كذلك إذا كان
�� MMMM لللل: فإن ��
* P يمكن رسم أكثر من مستو واحد يكون عموديا على مستقيم معلوم و يمر بنقطة معلومة
P تنتمى لھذا المستقيم
المستقيم العمودى عليھا من منتصفھا : محور القطعة المستقيمة ھو *
: فى الشكل المقابل
ء ھـ gggg ب ، حـ ا MMMM ب ، ء ھـ احـ منتصف : إذا كان
ب اء ھـ يكون محورا : فإن
بانقطة على ء ھـ على بعدين متساويين من طرفى " " و تكون أى
: مستوى محاور القطعة المستقيمة *
: فى الشكل المقابل
ب ا عموديا على �������� ب ثم رسم المستوى احـ منتصف : ذا كان إ
بشرط أنه يمر بنقطة حـ
ب ا MMMMحـ ھـ : تكون �������� ggggأى نقطة مثل ھـ : فإن
ھـ ب = اھـ : ب و بالتالى ا أى أن حـ ھـ محور
ب ا و تكون كل نقطة تنتمى للمستوى على بعدين متساويين من طرفى
إرتفاع الھرم مممم رسم من ٩٠) = ب م م م م حـ ( ق ق ق ق ) = ام م م م حـ ( قققق ب حـ ھرم ثKثى فيه ا مممم : )١( تدريب
ء حـ مممم المستوى MMMM ب ا: ب حـ فى نقطة ء أثبت أن االقاعدة قطع
الحلـــــــــــــــــ
AAAA حـ مممم MMMM ب م م م م ، ا مممم كل من
BBBB حـ مممم MMMM ٠٠٠٠ المستوى
، AAAA ب ا eeee ٠٠٠٠ المستوى
BBBB حـ مممم MMMM با
، AAAA ء مممم MMMM ب حـا المستوى
BBBB ء مممم MMMM با
BBBB ب ا MMMM ٠٠٠٠ كل من
BBBB ب ا MMMM ء حـمممم المستوى
����
لللل
ب
حـ
ھـ
ء
// // ا
/ \
����
حـ ب
ھـ
// // ا
ا
ب
حـ
ء
مممم
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٤ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
عمودى على م ك م ك م ك م ك سم ، رسم ٦ول نصف قطرھا و طمممم حـ وتران فى دائرة مركزھا ا ب ، ا : )�( تدريب
حـن ن ن ن ، ب ن ن ن ن سم أوجد طول٨ = م ن م ن م ن م ن بحيث م ك م ك م ك م ك gggg ن ن ن ن و أخذت نقطة حـ ا ب ، ا كل من
الحلـــــــــــــــــــ
حـ مممم ب ، م م م م نصل
AAAA ن م ن م ن م ن م MMMM حـ ا ب ، ا كل من
BBBB ن م ن م ن م ن م MMMM م م م م مستوى الدائرة BBBB ن م ن م ن م ن م MMMM ٠٠٠٠ كل من
BBBB ب يكون ن م ن م ن م ن م من المثلث :
) ب نننن ( �
= ٠٠٠٠ + ٠٠٠٠
= ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠ + ٠٠٠٠
BBBB سم ٠٠٠٠= ب نننن
سم٠٠٠٠= حـ نننن: بالمثل
ب حـ أخذت نقطة ء منتصف ب حـ ا المستوى MMMM ھـ ا رسم ، حـ ا= ب ا ب حـ فيه ا : )٣( تدريب
ھـ ء اثبت أن ب حـ المستوى أ
الحلـــــــــــــــ
AAAA حـ ، ء منتصف ب حـ ا= ب ا
BBBB ء ا MMMM ٠٠٠٠
، AAAA ھـ ا MMMM ب حـ ا المستوى
BBBB ھـ ا MMMM ب حـ
BBBB ب حـ MMMM ٠٠٠٠ كل من
BBBB ب حـ MMMM ھـ ءا المستوى
، ب حـ ل و م م م م ء ھـ ا ب عمودى على كل من امكعب أثبت أن م م م م ل ء ھـ و ب حـ ا : )٤( تدريب
الحلـــــــــــــــ
ا
ب
حـ
مممم
نننن
كككك
ا
ب حـ
ء
ـھ
و
ل
مممم
ا
حـ
ب
ء
ھـ
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٥ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
اAسقاط العمودى
:مسقط نقطة على مستو
ا ا منارس ا و من �������� المستوى hhhh ا إذا كانت نقطة /
: فإن
ا /
�������� على المستوى ا تسمى المسقط العمودى لنقطة
: فإن �������� المستوى gggg أما إذا كانت نقطة ب
مسقط النقطة ب ھو نفسھا
ودية المسقط العمودى لنقطة معلومة على مستو معلوم ھو النقطة التى ھى موقع القطعة المستقيمة العم**
المرسومة من النقطة المعلومة على المستوى
: على مستو قطعة مستقيمة مسقط
ا ھو �������� ب على المستوى ا مسقط /
ب/
ا: حيث /
، با مسقط /
�������� مسقط ب على المستوى
�������� ب يكون مسقطھا على المستوى ا أى نقطة تنتمى إلى
ا نقطة تنتمى إلى /
ب/
: اUشكال ا[تية توضح مسقط قطعة مستقيمة فى أوضاع مختلفة
" ��������على مستوى ب اإرسم شكل يوضح مسقط " مسقط مستقيم على مستو ھو مستقيم **
ب و مسقطه يسمى مستوى اAسقاطا يسمى مستوى المسقط بينما المستوى الذى يتكون منه ��������المستوى **
زاوية ميل مستقيم على مستو ھى الزاوية بين ھذا المستقيم و مسقطه على المستوى **
قطھا على المستوى الزاوية بين قطعة مستقيمة و مستو ھى الزاوية بين القطعة المستقيمة ومس **
" ھى الزاوية بين المستقيم الحامل للقطعة المستقيمة و المستوى "
٩٠ ھـ ٠: فإن ) ھـ ( إذا كان قياس الزاوية بين القطعة المستقيمة و المستوى ھو **
ب تمام زاوية ميل المستقيم الحامل جي× طول القطعة المستقيمة = طول مسقط القطعة المستقيمة على مستو **
لھا على المستوى
ا: فى الشكل الثانى /
ب/
ب حتا ھـ ا =
صفر = إذا كانت القطعة المستقيمة عمودية على المستوى فإن مقطھا على المستوى نقطة ، و طولھا **
كما فى الشكل اUول
طول مسقطھا على المستوى كما فى الشكل الرابع = مة توازى المستوى فإن طولھا إذا كانت القطعة المستقي**
ا
ا/ ��������
ب
ح
ب
ب/
ء/
حـ /
ا/
ا
ء
��������
ب
��������
ب ا
ب/
نننن
��������
ھـ ا
ا
ا/
��������
ب
ب/
ا
ا/
��������
ب
ب/
ا
ا/ ��������
ب
بحـ /
ھـ
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٦ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
:متوازى مستطيKت فيه م م م م ب حـ ء ھـ و ل ا : تدريب
: سم أكمل ما يأتى ١٠= ھـ ا سم ، ٨= سم ، ب حـ ٦= ب ا
٠٠٠٠مسقط ب على المستوى حـ ء ل ھو ) ١ (
٠٠٠٠ل ھى مسقط حـ على المستوى ) � (
٠٠٠٠ ھو مممممسقط و ل على المستوى ء ھـ ) ٣ (
٠٠٠٠ ب ھى مسقط ھـ و على المستوى ا) ٤ (
٠٠٠٠ ھى ممممزاوية ميل ء و على المستوى ھـ و ل ) ٥ (
٠٠٠٠ = مممم المستوى ھـ و ل قياس زاوية ميل ء و على) ٦ (
: "نظرية اUعمدة الثKثة ) " ٤(نظرية
إذا رسم مستقيم مائل على مستو و كان عموديا على مستقيم فى المستوى فإن مسقط المستقيم المائل
على المستوى يكون عموديا على ھذا المستقيم
و عمودى على حـ ء �������� المستوى ب مائل علىا : المعطيات
�������� المستوى MMMM نننن ا ، �������� الواقع فى المستوى
حـ ء MMMM ننننب : إثبات أن : المطلوب
�������� المستوى MMMM نننن ا AAAA : انـالبرھـ
BBBB نننن ا MMMM حـ ء الواقع فى المستوى ��������
، AAAA ب ا MMMM معطى " حـ ء"
BBBB حـ ء MMMM با ، نننن ا عمودى على كل من
BBBB حـ ء MMMM مستويھما أى أن حـ ء MMMM بنننن ا
BBBB حـ ء MMMM بنننن ا أى مستقيم يقع فى المستوى
BBBB حـ ء MMMM نننن ب
: )٤(نظرية عكس
عموديا على مستقيم فيه كان ھذا على المستوىمسقطه إذا رسم مستقيم مائل على مستو و كان
المستقيم المائل عموديا على ذلك المستقيم
�������� المستوى MMMM نننن ا ، �������� ب مائل على المستوى ا : المعطيات
��������المستوى ع فى حـ ء الواق MMMM نننن ب
حـ ء MMMM ب ا: إثبات أن : المطلوب
�������� المستوى MMMM نننن ا AAAA : انـالبرھـ
BBBB نننن ا MMMM حـ ء الواقع فى المستوى ��������
، AAAA ننننب MMMM معطى " حـ ء"
BBBB حـ ء MMMM با ، نننن ا عمودى على كل من
BBBB حـ ء MMMM مستويھما أى أن حـ ء MMMM بنننن ا
BBBB حـ ء MMMM بنننن ا أى مستقيم يقع فى المستوى
BBBB حـ ء MMMM ب ا
ا
ب حـ
ء
ھـ
و
ل
مممم
ا
��������
ب
حـ
ء
ا
��������
ب
ح
ء
ن
ن
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٧ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: فى الشكل المقابل : )١ (مثال
ب ء MMMM سم ، ھـ و ��= سم ، ب حـ ��= المستوى ب حـ ء ، حـ ھـ MMMM حـ ھـ
أوجد طول ھـ و ��$ ) = حـ ب و ( حا ،
الحلــــــــــــــــــ
AAAA حـ ھـMMMMالمستوى ب حـ ء
BBBB ھـ و مائل على المستوى ب حـ ء
، AAAA ھـ و MMMMب ء
BBBB حـ و ھو مسقط ھـ و على المستوى ي حـ ء
BBBB حـ و MMMM ب ء
BBBB ق ق ق ق ) ٩٠) = ب و حـ
BBBB ب حـ و ∆فى :
) حـ ب و ( حا ×ب حـ = حـ و
سم ١٦ = ��$× �� =
، AAAA حـ ھـ MMMM المستوى ب حـ ء
BBBB حـ ھـ MMMM حـ و
BBBB ھـ حـ و ∆ فى :
" فيثاغورث " سم ��= ھـ و
: فى الشكل المقابل : )�(مثال
حـ ا ��! = ب ، حـ ء ا MMMM ، حـ ھـ ٣٠) = ب ا حـ ( قققق ب حـ ، ا المستوى MMMM حـ ء
) ھـ ء حـ ( قققق أوجد
الحلــــــــــــــــــــ
AAAA حـ ء MMMM ب حـ ا المستوى
BBBB ب حـ ، مسقطه ھو حـ ھـ اء ھـ مائل على المستوى
، AAAA حـ ھـ MMMM ب ا
BBBB ء ھـ MMMM ب ا
: ب حـ ا ∆ فى
٩٠) = ھـ حـ ا ( قققق ، ٣٠) = ب ا حـ ( قققق
BBBB حـ ا ��! = حـ ھـ
، AAAA حـ ا ��! = حـ ء
BBBB حـ ء = حـ ھـ
، AAAA قققق ) ٩٠) = ء ھـ حـ
BBBB قققق ) ٤٥) = ھـ ء حـ
ب
حـ
ھـ
و
ء
ب
حـ
ھـ
ء
ا
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٨ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
الزوايا الزوجية
: نعلم أن
الزاوية فى المستوى ھى إتحاد شعاعين لھما نفس نقطة البداية
ھذان الشعاعان ھما ضلعا الزاوية ، نقطة البداية ھى رأس الزاوية
حـ ا �������� ب ا= ب ا حـ : أى أن
: الزاوية الزوجية
ھى إتحاد نصفى مستويين مع حدھما المشترك
�������� ��������= ب االزاوية الزوجية : أى أن ب ا ��������
: كما تكتب الزاوية الزوجية بإحدى الصور
) �������� – ب ا – ) ء – ب ا – حـ )أو (
�� gggg ، ء �������� ggggحـ : حيث ��
: الزوايا الزوجية الناتجة عن تقاطع مستويين
إذا تقاطع مستويان نتج عن تقاطعھما أربع زوايا زوجية
وجية متجاورة ، و زوايا زوجية متقابلة بالحرف منھا زوايا ز
: فى الشكل المقابل
) ھـ – ب ا – حـ ( ،) متجاورة) ھـ – ب ا – ء
) ھـ – ب ا – حـ ( ،) متقابلة بالحرف) و – ب ا – ء
: لزاوية زوجيةمستويةالزوايا ال
ھى الزاوية التى تنشأ عن تقاطع ھذه الزاوية الزوجية بمستو عمودى على حرفھا
: فى الشكل المقابل نKحظ
��������و يقطع المستوى ب ا عمودى على الحرف عععع المستوى
ء ، المستوى حـ فى ب ا gggg حيث حـ ھـ حـ فى
�� gggg ، ھـ �������� gggg ، ء �� ب ا MMMM ب ، حـ ھـ ا MMMM ، حـ ء
ء حـ ھـ ھى الزاوية المستوية: و بالتالى
) ھـ – ب ا – ء ( للزاوية الزوجية
: حقيقة
جميع الزوايا الزوجية لزاوية زوجية تكون متساوية فة القياس
: قياس الزاوية الزوجية
قياس الزاوية الزوجية ھو قياس أى زاوية من زواياھا المستوية
ب
حـ
ا
ا
ب
ء حـ
�������� ����
ا
ب
حـ
ـھ
ء
و
��������
ا
ب
ء حـ
�������� ����
عععع
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
١٩ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: تدريب
ب حـ ا المستوى MMMM مممم ، ب ٣٠) = حـ ا ب ( ق ق ق ق ب حـ فيه ا ∆: فى الشكل المقابل
) ب – حـ ا – مممم ( سم أوجد قياس ٥ = مممم سم ، ب ١٠= ب ا حـ ، ا MMMM ، ب ھـ
الحلــــــــــــــــــــــــ
AAAA ممممب MMMM ب حـ ا المستوى
BBBB ٠٠٠٠ ، مسقطه ھو ٠٠٠٠ ھـ مائل على المستوى م م م م
، AAAA ب ھـ MMMM حـ ا
BBBB ٠٠٠٠ MMMM حـ ا
، AAAA م م م مgggg ب ٠٠٠٠المستوى ، gggg ٠٠٠٠ المستوى
BBBB ھى زاوية مستوية٠٠٠٠
) ب – حـ ا – مممم ( للزاوية الزوجية
، AAAA ب حـ ا ∆ فى :
٠٠٠٠) = ھـ ب ا (قققق ، ٣٠) = ـ ح ا ب (قققق
BBBB سم ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠ × ١٠ = ٣٠حا × ٠٠٠٠= ب ھـ
، AAAA ب ھـ مممم ∆ فى :
سم ٠٠٠٠= ب ھـ = ب مممم ، ٠٠٠٠) = ب ھـ م م م م (قققق
BBBB قققق) ٠٠٠٠) = ھـ ب م م م م
BBBB قققق) ٠٠٠٠ ) = ب – حـ ا – مممم
: المستويات المتعامدة
يقال لمستويين متقاطعين انھما متعامدان إذا كانت إحدى الزوايا الزوجية الناشئة عن تقاطعھما قائمة
: )٥(نظرية
كان مستقيم عموديا على مستو فكل مستو يمر بھذا المستقيم يكون عموديا على ذلك المستو إذا ى
و يقطعه فى حـ �������� المستوى MMMMحـ ء : المعطيات
، مستوى يمر بالمستقيم حـ ء و يقطع
با فى �������� المستوى
: Aثبات أن : المطلوب MMMM ��������
�������� ب فى المستوى ا MMMMنرسم حـ ھـ : العمـــــل
��������ى المستوMMMM حـ ء AAAA : البرھـان
BBBB حـ ء MMMM حـ ھـ الذى يقع فى المستوى ��������
BBBB قققق) ٩٠) = ء حـ ھـ
AAAA حـ ھـMMMM ب و يقع فى المستوى ا ��������
�� ب و يقع فى المستوى ا MMMM ، حـ ء �� BBBB حدى الزوايا الزوجية الناتجة عن تقاطع ء حـ ھـA ھى زاوية مستوية �������� ،
AAAA قققق) ٩٠) = ء حـ ھـ
BBBB MMMM ��������
حـ
ب
ھـ
مممم
ا
حـ
ب
ھـ
ا
ء
��������
����
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٢٠ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
: تدريب
الدائرة gggg مستوى الدائرة ، ء MMMM حـ ا ب قطر فى دائرة ، ا: فى الشكل المقابل
متعامدان ، حـ ء ب ا أثبت أن المستويين حـ ء
الحلــــــــــــــ
AAAA ب قطر فى دائرة ا BBBB قققق) ٠٠٠٠) = ء ب ا
BBBB ب ء MMMM ٠٠٠٠
AAAA حـ ا MMMM مستوى الدائرة
BBBB حـ ا MMMM رة الواقع غى مستوى الدائ٠٠٠٠
BBBB ب ء MMMM ٠٠٠٠ ، ٠٠٠٠ كل من
BBBB ب ء MMMM ٠٠٠٠ المستوى
BBBB المستوى حـ ب ء المار ب ء MMMM ٠٠٠٠ المستوى
BBBB حـ ء ب متعامدانا المستويين حـ ء ،
: )٦(نظرية
ستقيم عمودى على خط التقاطع إذا تعامد مستويان و رسم فى أحدھما م
المستوى ا[خركان ھذا المستقيم عموديا على
إذا كان : فى الشكل المقابل ���� MMMM �� �� ، ���� �������� �� ب ا = ��
eeee ، حـ ء ب ا MMMM ، حـ ء
MMMMحـ ء : فإن ���� eeeeكذلك إذا كان حـ ھـ ب ا MMMM ، حـ ھـ ����
MMMMحـ ھـ : فإن
: حقيقة
إذا كان كل من مستويين متقاطعين عموديا على مستو ثالث
كان خط تقاطع ھذين المستويين عموديا على المستوى الثالث
: فى الشكل المقابل
كل من : إذا كان ���� ، �� عععع عموديا على المستوى ��
، ���� �������� �� ب ا = ��
عععع ب يكون عموديا على المستوى ا: فإن
: فى الشكل المقابل : مثال
حـ ا ء منتصف حـ ،مممم = امممم فإذا كان حـ ان متعامدان و متقاطعان فى مستوياب ا، حـ ب امممم
ب حـ ا المستوى MMMM ء مممم أثبت أن
الحلــــــــــ
AAAA حـ مممم ا ∆ فى :
حـ ا حـ ، ء منتصف مممم = امممم
BBBB ء مممم MMMM حـ ا
AAAA مستويان متعامدانب ا، حـ ب امممم
" خط تقاطعھما " حـ ا MMMM ء مممم ،
BBBB ء مممم MMMM ب حـ ا المستوى
ا
ب
حـ
ء
ھـ حـ
ا ء
��������
����
��������
����
عععع
ا
ب
ب ا
حـ
ء
مممم
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٢١ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
تمــــــــــــارين
: أكمل ما يأتى ) ١(
٠٠٠٠حد يسمى إذا كان لنصفى مستويين حد مشترك فإن إتحاد نصفى المستويين مع ذلك ال – ١
٠٠٠٠ المستقيم العمودى على كل من مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعھما يكون – �
٠٠٠٠الزاوية بين مستقيمين متخالفين ھى – ٣
على مستقيم فيه كان ھذا و كان مسقطه على المستوى عمودياإذا رسم مستقيم مائل على مستو – ٤
٠٠٠٠يم المائل المستق
٠٠٠٠المستقيمان العموديان على مستو واحد – ٥
٠٠٠٠ إذا تعامد مستويان و رسم فى أحدھما مستقيم عمودى على خط التقاطع كان ھذا المستقيم – ٦
٠٠٠٠إذا وازى مستقيم خارج مستو مستقيما فى المستوى فإنه – ٧
٠٠٠٠ متقاطعين عموديا على مستو ثالث كان خط تقاطع ھذين المستويين يينإذا كان كل من مستو – ٨
٠٠٠٠الزاوية المستوية لزاوية زوجية ھى الزاوية الناشئة من – ٩
٠٠٠٠الزاوية بين قطعة مستقيمة و مستو ھى الزاوية بين القطعة المستقيمة و – ١٠
٠٠٠٠متقاطعين فإنه إذا وازى مستقيم كK من مستويين – ١١
٠٠٠٠إذا قطع مستو مستويين متوازيين فخطا تقاطعه معھما يكون – ��
٠٠٠٠إذا كان مستقيم عموديا على مستوى فكل مستو يحوى ھذا المستقيم يكون – ١٣
٠٠٠٠إذا أشترك مستويان فى ثKث نقط ليست على إستقامة واحدة فإنھما – ١٤
ذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينھاإ – ١٥
٠٠٠٠ تكون
٠٠٠٠الھرم القائم ھو – ١٦
٠٠٠٠أقطار متوازى السطوح ھى القطع المستقيمة الواصلة بين – ١٧
٠٠٠٠ ء و حـ ھو ا ب و مع المستوى اب حـ ء ھـ و منشور ثKثى خط تقاطع المستوى ا – ١٨
٠٠٠٠ على مستوى فإن ذا أحد مستقيمين متوازيين عمودياإ – ١٩
٠٠٠٠= جيب تمام الزاوية الزوجية بين أى وجھين من أوجه الھرم الثKثى المنتظم – ��
٠٠٠٠= طول قطر أى وجه فيه : * سم فإن ٦إذا كان طول حرف مكعب – ��
٠٠٠٠= مساحته الجانبية * ٠٠٠٠= طول قطر المكعب *
٠٠٠٠= حجمه * ٠٠٠٠= مساحته الكلية *
سم٩٦مكعب إذا كانت مساحة سطح – �� � ٠٠٠٠= فإن طول قطره
٠٠٠٠= مساحته الجانبية فإن سم /�� �[ ٧طول قطر مكعب إذا كان – ��
سم ٦٤إذا كان حجم مكعب – �� ٣
٠٠٠٠= فإن طول قطر أى وجه من أوجھه
: سم فإن ٥ سم ، ٤ سم ، ٣إذا كانت أبعاد متوازى مستطيKت ھى – ��
٠٠٠٠= مساحته الجانبية * ٠٠٠٠= طول قطره *
٠٠٠٠= حجمه * ٠٠٠٠= مساحته الكلية *
سم ١٠٠إذا كان حجم متوازى مستطيKت – �� ٣
سم و قاعدته مربعة الشكل ٤ و طول إرتقاعه
٠٠٠٠= فإن طول ضلع قاعدته
على ا ب ، ب حـ ، حـ ھـ ، ھـ ا ل منتصفات ، ص ، ع ، ب حـ ء ھـ و منشور ثKثى مائل ، ا) �(
ص ع ل متوازى أضKع الترتيب أثبت أن الشكل
و ، ب ھـ على ا منصفى مممم ب ھـ و فى مستويين مختلفين فإذا كانت ل ، ا ب حـ ء ، ا المستطيKن ) ٣(
مستطيل مممم الترتيب أثبت أن الشكل ل ء حـ
موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ
com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph
٢٢ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية
فى صمممم ، ء ھـ فى ا متوازى مستطيKت رسم مستو يمر بالضلع ب حـ و يقطع مممم حـ ء ھـ و ل با )٤(
مستطيل أثبت أن الشكل ب حـ ص
)٥ (�������� ، �������� ھـ فقطعت المستوى م م م م حـ ، م م م م ، ام م م م نقطة خارجھما رسمت مممم مستويان متوازيان ،
، حـ ، ھـ و المستوى ا فى : أوجد ٣ : ١= ب ا : ام م م م فى ب ، ء ، و على الترتيب و كان
) حـ ھـ ا ∆ ( مممم ١٦) = ب ء و ∆ ( مممم: ب ء ثم أثبت أن : حـ ا
، رسم مستو يمر بالنقطة ٤ : ١ = ام م م م : م م م م بحيث ام م م م gggg ب حـ ھرم ثKثى أخذت ام م م م )٦(
ب حـ ا ∆ eeee ص ع ∆: حـ فى ع أثبت أن م م م م ب فى ص ، م م م م حـ و يقطع با موازيا المستوى
سم ٨٠) = ب حـ ا ∆ ( مممم و إذا كانت �
) ص ع ∆ ( مممم أوجد
: بحيث حـ م م م م ب ، م م م م ، ام م م م ب حـ ھرم ثKثى أخذت النقط ء ، ھـ ، و على اUحرف ام م م م ) ٧(
ب حـ ، إذا كانت النقطة اأثبت أن المستوى ء ھـ و يوازى المستوى = =
ك ك ك ك ا // نننن أثبت أن ء نننن بحيث تقطع ھـ و فى النقطة م ك م ك م ك م ك ب حـ ، رسم gggg ك ك ك ك
)٨ (�������� ، يوازى المستوى بحيث حـ ء�������� ب ، رسم حـ ء فى المستوى ا مستويان متقاطعان فى
، رسم ھـ و فى المستوى ھـ و // حـ ء : أثبت أن �������� بحيث ھـ و يوازى المستوى
ا ، حـ ب ، ء ا منصفات حـ نننن ، كككك ، مممم ب مثلثان فى مستويين مختلفين ، إذا كان ل ، ا ب ، ء ا حـ ) ٩(
م ن ك م ن ك م ن ك م ن ك المستوى ل // ب ا ، ك ن ك ن ك ن ك ن // مممم ل : ، ء ب على الترتيب أثبت أن
ھـ ل حـ ، ا ب حـ ء معين أثبت أن المستويين ا متوازى سطوح قائم قاعدته مممم ب حـ ء ھـ و ل ا) ١٠(
ء متعامدان مممم ب و
سم١٠= ب حـ = ب ا سم ، ��= ء اب حـ ، // ء ا ب حـ ء شبه منحرف متساوى الساقين فيه ا) ١١(
ب حـ ء كما رسمتا ء المتساوى اUضKع بحيث كان مستواه عموديا على المستوى ا مممم رسم المثلث
– ب ا – مممم ب ، ظل الزاوية ممممطول : ء أوجد ا gggg ء حيث ا MMMM مممم
: مستوى المثلث أثبت أن MMMM ء ا ب حـ مثلث قائم الزاوية فى ب ، رسم ا )�١(
ب ءا المستوى MMMM ب حـ ، ب حـ MMMM ء ب
: حـ ، ء منتصف ب حـ أثبت أن م م م م = ب م م م م حـ ، ا= ب ا ب حـ ھرم ثKثى فيه ام م م م ) ١٣(
ب حـ ، إذا كان االمستوى MMMMھـ م م م م : ء أثبت أن ا MMMMھـ م م م م ء ، إذا رسم ام م م م المستوى MMMM ب حـ
ب حـا ب حـ ، مممم سم أوجد قياس الزاوية الزوجية بين المستويين ٤= ء ممممسم ، /�� �[ �= ھـ مممم
سم ��عه ب حـ الذى طول ضلا و قاعدته المثلث المتساوى اUضKع مممم ب حـ ھرم ثKثى رأسه ام م م م ) ١٤(
: سم ، ء منصف ب حـ أثبت أن ٦ = ام م م م ، ٩٠) = حـ ام م م م ( قققق) = ب ام م م م ( قققق ،
ب حـاب حـ ، م م م م ء ثم أوجد قياس الزاوية الزوجية بين المستويين ام م م م المستوى MMMM ب حـ
ب حـ متعامدان مممم ء ، ام م م م و أثبت أن المستويين
ء ، المستويان مممم ا المستوى MMMMء حـ : ء أثبت أن ا ب ، ا كل من MMMM مممم ا ب حـ ء مربع رسم ا )١٥(
ا – ء حـ – مممم ء أوجد قياس الزاوية الزوجية ا = ام م م م ء متعامدان ، إذا كان ام م م م ب ، ام م م م الجانبى سم و طول حرفه/�� �[ ٤ ب حـ ء طول ضلعه ا ب حـ ء ھرم رباعى قائم قاعدته المربع ام م م م ) ١٦(
ب حـ ء ، ظل الزاوية بينا على مستوى القاعدة ام م م م إرتفاع الھرم ، قياس زاوية ميل : سم أوجد ٨
ب حـ ءا ب ، ام م م م المستويين
سم أوجد اAرتفاع الجانبى للھرم ، إرتفاع الھرم ، ٦ ب حـ ھرم ثKثى منتظم طول حرفه ام م م م ) ١٧(
ب حـا على مستوى القاعدة ام م م م قياس زاوية ميل الحرف
ام م م م ء مممم
بم م م م ھـ مممم
حـ م م م م و مممم
óÏ
Ä
×
Ä
f
T
g R
i ��������
D
����
ö
÷
e +
M ∞ V