1

§5.5 ARMA 时序分析法 ARMA 法的基本思想：

强迫振动方程

差分形式的ARMA 模型

时移算子形式的 ARMA 模型

Z 变换形式的 ARMA 模型

ARMA系数

模态参数

一、 ARMA 模型 对确定性系统，系统输入输出有以下关系： ARMR 模型阶次

自回归系数 滑动平均系数 反映系统特性

反映系统特性

差分形式的 ARMA 模型：

lkl

q

l

klkl

p

l

k fbfbxax

1

0

1

(5.5-1)

2

lkl

q

l

klkl

p

l

k fbfbxax

1

0

1

或写成 (5.5-2)

bl ＝ 0

1

1

kl

p

l

k xax

AR 模型 MA 模型

al ＝ 0

lkl

q

l

kk fbfbx

1

0 (5.5-3)

定义时移算子 Dl 为： lkkl xxD (5.5-5)

则时移算子形式的 ARMA 模型： kk fDbxDa )()( (5.5-6)

式中算子 a(D) 和 b(D) 为

ll

q

l

ll

p

l

DbbDb

DaDa

10

1

1

(5.5-7)

3

二、强迫振动方程与 ARMA 模型的等价关系

)(tfkxxcxm (1.2-1)

ARMA(2,0) 模型

式中

2

2

0

22

21

)(

)(

)(

)(

2

tktcm

tb

tktcm

ma

tktcm

tcma

(5.5-9) 除 t 外，只与 m 、c 、 k 有关

1 ．单自由度系统

2121

1

211

1

)(,

kkkkk

kkk

kk

xxxt

xxt

x

xxxt

x

ftkftfxtkxx

klkl

l

k fbxax 0

2

1

(5.5-8)

作差分

4

2 ．多自由度系统 )}({}{][}{][}{][ tfxKxCxM (1.4-38)

对某坐标 x ：

)()()()( 01)32(

32)22(

22

01)12(

12)2(

2

tftftftf

xxxx

nn

nn

nn

nn

(5.5-10)

lkl

n

l

klkl

n

l

k fbfbxax

22

1

0

2

1

(5.5-11)

ARMA(2n,2n-2) 模型

三、传递函数与 ARMA 模型的等价关系

1 ． Z 变换 时间序列 xk 的拉氏变换： tks

k

k

exsX

0

)( (5.5-12)

5

为 Z 变换因子 tsez

kk

k

zxzX

0

)( (5.5-14) 记为

Z 变换将序列 xk 从时域变换到 z 平面， z 为复数。 Z 变换与拉氏变换完全等价，具有相同的性质，如线性性质、位移定理、时移性质、卷积定理、初值定理、终值定理等。

时移性质： )(zXzxZ llk

(5.5-16)

可证： ll zD (5.5-17)

)()( kxZzX (5.5-15) xk 的 Z 变换：

6

2 ．传递函数与 ARMA 模型的等价关系

时移算子形式的 ARMA 模型： kk fDbxDa )()( (5.5-6)

ll

q

l

ll

p

l

zbbzb

zaza

10

1

)(

1)(式中

p ＝ 2n ，q ＝ 2n － 2

ll

p

l

ll

q

l

za

zbb

zazb

zF

zXzH

1

1

0

1)()(

)(

)()(Z 变换形式的

传递函数： (5.5-20)

作 Z 变换，并考虑式

ll zD

(5.5-18) Z 变换形式的 ARMA 模型： )()()()( zFzbzXza

7

01)(1

l

l

p

l

zazaARMA 模型的特征方程： 令

(5.5-21)

2n 个共轭复根 zi

1d

)(d)(

z

zaza

2n 个复频率 si

tsi

iez

izzefi za

zbR

)(

)( (5.5-23) 各阶模态的留数：

四、估算模态参数 1 ．估算 ARMA 模型的系数 al 和 bl

nDOF 系统的 ARMA 模型： lkl

n

l

klkl

n

l

k fbfbxax

22

1

0

2

1

(5.5-24)

8

在采样点 k ＋ 2n 处

Tklnkl

n

lnklnkl

n

lnk pfbfbxax

2

22

1202

2

12 (5.5-25)

式中 Tknknknkknknkk ffffxxxp 2221222212 (5.5-26)

Tnn bbbaaa 2210221 (5.5-27) {pk} 、 {}∈R4n － 1

令起始采样点号 k ＝ 0,1,2,…, m

Px (5.5-28)

式中 Tmnnn xxxx 2122 ∈Rm+1 (5.5-29)

2221222212

3122121122

22212202212

1

0

][

mmnmnmnmmnmn

nnnnn

nnnnn

Tm

T

T

ffffxxx

ffffxxx

ffffxxx

p

p

p

P

∈R(m+1)×(4n － 1) (5.5-30)

9

实际测得

]~

[]~[ Px 和 LSE

xPPPTT ~~~~ 1

(5.5-33)

2 ．估算复模态频率 mi 和复模态阻尼比 mi

01)(1

l

l

p

l

zaza (5.5-21) ARMA 模型的特征方程：

2n 个共轭复根 zi

mdi 、 mi 、 mi 、 mi

10

3 ．估算复模态矢量 1d

)(d)(

z

zaza

各阶模态的留数： izz

efi za

zbR

)(

)((5.5-23)

e ＝ 1,2,…, n ， i ＝ 1,2,…, n

nfnnfnf

fnff

fnff

RRR

RRR

RRR

R

21

22212

12111

(5.5-34) 留数矩阵

[R] 中各列即为系统各阶模态的复模态矢量

11

§5.6 多参考点复指数法（ PRCE ）

LSCE 法的推广 一、数学模型

脉冲响应函数矩阵：

t

i

T

iit

i

Tii

n

i

ii ea

ea

th*

*

**

1

∈RM×L (1.5-61)

H

T

i

i

t

t

a

a

e

eth

*

*

1diag0

01

diag

0

0][)]([ * (5.6-1)

)(diag),(diag** tttt ii eeee

][][][)]([ teth (5.6-2)

12

式中 ][][ * ∈CM×2n (5.6-3)

t

tt

e

ee *

0

0][

∈C2n×2n (5.6-4)

H

T

i

i

a

a

*

1diag0

01

diag

][ ∈C2n×L (5.6-5) 模态参与因子矩阵：

TtTT eth ][][][)]([ 转置 (5.6-6)

}{][][)}({ etT

e eth [h(t)]T 中第 e 列 (5.6-7)

13

e

sT

T

T

e

e

e

Z

Z

sh

h

h

)(

)1(

)0(

e ＝ 1, 2, …, Mk ＝ 0, 1, 2, …, s

∈C2n×2n

][][ teZ (5.6-10)

nLssT

T

T

Z

ZG

2)1(

][

1)1()(

)1(

)0(

}{

Lse

e

e

e

sh

h

h

h

}{][}{ ee Gh (5.6-11)

取采样点数 s ，使 sL≥2n ，则 [G] 行数比列数至少多 L 个，根据矩阵理论，存在 L×(s ＋ 1)L 阶行满秩矩阵 （ [Ap] 为 L×L 阶满秩矩阵，p ＝ 0, 1, 2, …, s ，且 [As] ＝ [I] ），使：

][][ 110 ss AAAAA

[G] 各分块元素线性无关 ]0[]][[ GA (5.6-14)

14

pTp

s

p

ZAGAZP ][][][][][)]([0

相当于 Prony 多项式]0[)]([ ZP

∈CL×2n

(5.6-16)

e

sT

T

T

e

e

e

Z

Z

sh

h

h

)(

)1(

)0(

(5.6-10)

e

slT

lT

lT

e

e

e

Z

Z

Z

slh

lh

lh

1

)(

)1(

)(

起始采样点号为 l

(5.6-17)

15

}0{)}({][0

klhA ek

s

k

左乘 [A] 并展开，考虑式 (5.6-16)

(5.6-18)

)}({)}({][1

0

slhklhA eek

s

k

(5.6-19)

)}({}{][ slhhA eel (5.6-20) 脉冲响应序列的 AR 模型： 式中 ][][ 110 sAAAA ∈R L×sL (5.6-21)

)1(

)1(

)(

}{

slh

lh

lh

h

e

e

e

el ∈R sL (5.6-22)

16

二、估算模态参数 1 ．估算自回归系数矩阵

脉冲响应序列的 AR 模型： )}({}{][ slhhA eel (5.6-20)

][][][ RTA

令 l ＝ 0, 1, 2, …, m ， e ＝ 0, 1, 2, …, M ，写成矩阵形式

(5.6-23)

式中 ][][ 21 MTTTT ∈R sL×(m ＋ 1) (5.6-24)

][][ 21 MRRRR ∈R L×(m ＋ 1)M (5.6-25)

)1()()1(

)1()2()1(

)()1()0(

][][ 10

smhshsh

mhhh

mhhh

hhhT

eee

eee

eee

emeee

∈R sL×(m ＋ 1) (5.6-26)

)]()1()([][ mshshshR eeee ∈RL×(m ＋ 1) (5.6-27)

17

设 [T] 为行满秩矩阵

1

11

1 ][][][][)][]([][][][

T

ee

M

e

Tee

M

e

TT TTTRTTTRA (5.6-28)

由于 [Te] 的阶数很高，使用上式求逆时容易出现病态，故可采用 QL 分解。设 [T] 为行满秩矩阵，则 [T] ＝ [L] [Q] ， [L]∈RsL×sL 为具有正对角元的下三角矩阵， [Q]∈RsL×(m ＋ 1)M 为行正交矩阵，即 [Q][Q]T ＝ [I] 。

1][][][][ LQRA T (5.6-32)

2 ．估算复频率 i

]0[][][][][][)]([0

pTp

s

p

ZAGAZP (5.6-16)

][][][ IAAAA s (5.6-33)

18

取一列

}0{}{)]([ iizp特征值问题： (5.6-35)

{i}∈CL 为 []T 的第 i

列

pip

s

p

i zAzp ][)]([0

∈CL×L 特征对： zi 、 {i}

i 、 []T

3 ．估算模态矢量

nLssT

T

T

Z

ZG

2)1(

][

}{][}{ ee Gh (5.6-11)

}{][])[]([}{][}{ 1e

TTee hGGGhG (5.6-40) e ＝ 1, 2, …, M

][][ 21 MT ∈C2n×M

TM ][][ 21 ∈C M×2n (5.6-41)

其前 n 列即n 个模态矢量。

19

§5.7 特征系统实现法（ ERA ） 特征系统实现法（ ERA ）的基本思想：

MIMO 脉冲响应函数

广义 Hankel矩阵

系统最小实现

模态参数

特征系统实现法（ ERA ）的特点： 由于使用了现代控制理论中的最小实现原理，使计算量大大减少。 理论推导严密，技术先进，计算量小，是当时乃至目前最完善、最

先进的方法之一。 一、状态方程 1. nDOF 粘性阻尼时间连续系统

另一形式的状态方程： )}(]{[}{][}{ tfByAy (5.7-1)

状态空间矢量： 式中

x

xy

}{ ∈R2n×1 (5.7-2)

20

系统矩阵：

CMKM

IA

11

0][ ∈R2n×2n

1

0][

MB ∈R2n×L (5.7-3,4)

激励点数 输出向量（观测方程）： yGz ∈R M (5.7-5)

位移、速度或加速度 ∈RM×2n 观测矩阵 响应测量点数

称 [A,B,G] 为系统的一个实现——与系统固有特性有关。

2. 时间离散系统 状态方程： )}({][)}({][)}1({ 11 kfBkyAky (5.7-13)

式中系统矩阵： ][][ 1

tAeA ∈R 2n×2n ； tBAB Δ][][][ 11 ∈R2n×L (5.7-11)

观测方程： )}({][)}({ kyGkz (5.7-14)

时间离散系统的一个实现： ],,[ 11 GBA

21

一个系统可以有无穷多个实现。可证，对任意非奇异方阵 [T] ∈R2n×2n ， 都是系统的实现，其中以阶次最小的实现称为最小实现。具有最小实现的系统是完全能控和能观的。最小实现理论是指，已知观测向量 {z(k)} ，构造常值矩阵 [A1] 、 [B1] 、 [G] ，使 [A1, B1, G] 的阶次最小。

],,[ 11

11 GTBTTAT

3. 能控性与能观性 定义： 能控矩阵 ][][ 1

1211

21111 BABABABQ n 2n×2nL 阶 (5.7-15)

能观矩阵

121

21

1

][

nGA

GA

GA

G

P

2nM×2n 阶 (5.7-16)

22

系统是能控的充要条件： rank[Q] ＝ 2n

系统是能观的充要条件： rank[P] ＝ 2n

二、脉冲响应函数

时间序列的 Z 变换： kk

k

zxzX

0

)( (5.5-14)

Z 变换形式的传递函数： k

k

zkhzH

)]([)]([

0

(5.7-19)

状态方程： )}({][)}({][)}1({ 11 kfBkyAky

观测方程： )}({][)}({ kyGkz

ERA 的数学模型 ][]][[)]([

]0[)]0([

11

1 BAGkh

hk

经推导，可证

Z 变换

(5.7.24a)

(5.7.24b)

23

三、系统最小实现 [A1,B1,G]

设已测得脉冲响应矩阵 [h(k)] ， M×L 阶。以之构造广义 Hankel 矩阵：

)2()1()()1(

)1()4()3()2(

)()3()2()1(

)1()2()1()(

)]1([

khkhkhkh

khkhkhkh

khkhkhkh

khkhkhkh

kH

(5.7-26)

式 (5.7-24b)

][][][)]1([ 11 QAPkH k (5.7-27)

能观矩阵

11

1][

GA

GA

G

P M×2n 阶 (5.7-28)

式中：

24

、分别称为能观、能控指数，且有 n

L

nn

M

n2

2,2

2 (5.7-30)

]][[)]0([ QPH (5.7-31)

][]][[)]([ 1 QAPkH k (5.7-32)

TVUH ]][][[)]0([ 对 [H(0)]做奇异值分解 (5.7-33)

[U] 、 [V] 为列正交矩阵 式中 ][][][],[][][ IVVIUU TT (5.7-34)

i 为 [H(0)] 的奇异值

),,,(diag][ 221 n (5.7-35)

设

阶

阶

LLIE

MMIE

LLLT

L

MMMT

M

]00[][

]00[][

(5.7-40)

能控矩阵 ][][ 11

1111 BABABQ 2n×L 阶 (5.7-29)

25

式 (5.7-26)

][)]([][)]1([ LT

M EkHEkh (5.7-41)

][][][])[][)]1([][][][][][)]1([ 2

1

2

1

2

1

2

1

LT

k

TTM EVVHUUEkh

(5.7-46)

[G] [A1] [B1]

与式 (5.7-24b) 比较，有

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

][][][][

][][][][

]][[)]1([][][][

UEG

EVB

VHUA

TM

LT

T

(5.7-47) 因 [A1] 的阶数为 2

n ，故由上式确定的 [A1, B1, G] 为系统的最小实现。

以 下 推 导很繁！

26

四、模态参数

可证矩阵 [A] 与 [A1] 具有相同的特征矢量。设矩阵 [A] 的特征值矩阵为

[] ，则 [A1] 的特征值矩阵为 。从而求得矩阵 [A1] 的特征对，即可得原系统的特征对，进而得到模态参数，其中模态矢量矩阵为[] ＝ [G][] 。

][][ teZ

五、非随机噪声和非线性因素的影响

由于非随机噪声和结构非线性因素的影响，在对 [H(0)] 进行奇异值分解时有时存在定阶困难。 J. N. JUANG 和 R. S. PAPPA引入模态幅值相干系数 MAC(Modal Amptitude Coherence) 和模态相位共线性 MPC （ Modal Ph

ase Collinearity ）来区分有效模态和噪声模态 [106]

27

六、 ERA 与 ITD 法的关系 1 ． ITD 法

ITD 法的系统矩阵 [A] 由下式确定： ]][[][ xyyz DAD (5.3-58)

式中

nn

xykX

kXD

22)1(

)(][

(5.7-72)

nn

yzkX

kXD

22)2(

)1(][

(5.7-73)

{h(k+1)} 、 {h(k)}∈R2n

)}(]{[)}1({ khAkh (5.7-74) 取自由响应 x(k)为脉冲响应 h(k)

28

[G] [A1] [B1]

从而

阶

阶

阶

MMEG

LMEHB

MMHHA

TM

L

][][

][)]0([][

][)]1([][

1

#1

(5.7-78)

为系统的一个实现。 当 M ＝ 2n ， L ＝ 1 时＝ 1

)}(]{[}{][}{][][)}1({ 11111 khABABAGkh kk (5.7-79)

此即 ITD 法的基本公式 (5.7-74)

这说明，当为单点激励 (L ＝ 1) ，测点数恰为系统阶次 (M

=2n) 时， ERA 即退化为 ITD 法。为了给噪声模态留有出口， ITD 法需增加测点数和采样点数，从而导致式 (5.7-7

4) 中的 [A] 矩阵阶数增大，即 ITD 法中的系统矩阵 [A]不是最小实现。

][)]0([])[)]1(([][)]1([ #L

kTM EHHHEkh (5.7-77) 可导出：

2 ． ERA 法

第 5 章完第 5 章完