МАТЕМАТИКА Средняя линия трапеции (несколько способов доказательства)
НОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО ДЛЯ...
1
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72) 169 КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ УДК 681.51.015 НОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ А.А. Бобцов, А.А. Пыркин Рассматривается новый вид функционала Ляпунова–Красовского, доказывающий экспоненциальную устойчивость нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздыванием. В качестве регулятора для стабилизации нелинейной системы был использован метод последовательного компенсатора, разработанный одним из авторов. Ключевые слова: управление по выходу, системы с запаздыванием, экспоненциальная устойчивость. На базе метода последовательного компенсатора [1] в статье [2] был рассмотрен алгоритм управ- ления по выходу нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздывани- ем. Была рассмотрена нелинейная система вида ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t p c t u p b t y p a , (1) где dt d p / обозначает оператор дифференцирования; выходная переменная ) (t y y измеряется, но ее производные недоступны для измерения; ) ( p b , ) ( p c и ) ( p a – полиномы с неизвестными коэффициен- тами; передаточная функция ) ( / ) ( p a p b имеет относительную степень m n ; полином ) ( p b – гур- вицев; неизвестная нелинейная функция )) ( ( ) ( t y t удовлетворяет следующему допущению: ) ( )) ( ( 0 t y C t y для всех ) ( t y , (2) где 0 – неизвестное постоянное запаздывание, () () y для [ ,0] , число 0 0 C неизвестно. Было показано, что использование метода последовательного компенсатора [1] обеспечивает асимптоти- ческую устойчивость рассматриваемой системе. Для доказательства асимптотической устойчивости был использован функционал вида t t T T d y t N t t Px t x t V ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 (3) и получены достаточные условия, среди которых присутствует ограничение 2 1 1 2 0 ) ( C , где – коэффициент при управляющем воздействии [2]. Целью данной работы является доказательство экспо- ненциальной устойчивости рассматриваемой системы при использовании того же метода. Вместо ис- пользуемого в [1] функционала вида (3) рассмотрим новый функционал t t t T T d y e t N t t Px t x t V ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 , (4) который отличается наличием экспоненциального члена в подынтегральной составляющей функционала. Дифференцирование (4) приводит к неравенству вида ) ( ) ( t V t V , 0 (5) при ограничении 2 1 1 2 0 ) ( C e . Именно неравенство (5) гарантирует экспоненциальную устой- чивость. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а). 1. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и па- раметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 1. – С. 118–129. 2. Бобцов А.А. Стабилизация нелинейных систем по выходу в условиях запаздывания // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2008. – № 2. – С. 21–28. Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, [email protected] Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных техноло- гий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, [email protected]
-
Upload
itmo-university -
Category
Technology
-
view
28 -
download
7
description
Рассматривается новый вид функционала Ляпунова–Красовского, доказывающий экспоненциальную устойчивость нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздыванием. В качестве регулятора для стабилизации нелинейной системы был использован метод последовательного компенсатора, разработанный одним из авторов.
Transcript of НОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО ДЛЯ...
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
169
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015
НОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается новый вид функционала Ляпунова–Красовского, доказывающий экспоненциальную устойчивость нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздыванием. В качестве регулятора для стабилизации нелинейной системы был использован метод последовательного компенсатора, разработанный одним из авторов. Ключевые слова: управление по выходу, системы с запаздыванием, экспоненциальная устойчивость.
На базе метода последовательного компенсатора [1] в статье [2] был рассмотрен алгоритм управ-ления по выходу нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздывани-ем. Была рассмотрена нелинейная система вида
)()()()()()( tpctupbtypa , (1) где dtdp / обозначает оператор дифференцирования; выходная переменная )(tyy измеряется, но ее производные недоступны для измерения; )( pb , )( pc и )( pa – полиномы с неизвестными коэффициен-тами; передаточная функция )(/)( papb имеет относительную степень mn ; полином )( pb – гур-вицев; неизвестная нелинейная функция ))(()( tyt удовлетворяет следующему допущению:
)())(( 0 tyCty для всех )( ty , (2) где 0 – неизвестное постоянное запаздывание, ( ) ( )y для [ ,0] , число 00 C неизвестно. Было показано, что использование метода последовательного компенсатора [1] обеспечивает асимптоти-ческую устойчивость рассматриваемой системе. Для доказательства асимптотической устойчивости был использован функционал вида
t
t
TT dytNttPxtxtV )()()()()()( 2 (3)
и получены достаточные условия, среди которых присутствует ограничение 21120 )( C , где –
коэффициент при управляющем воздействии [2]. Целью данной работы является доказательство экспо-ненциальной устойчивости рассматриваемой системы при использовании того же метода. Вместо ис-пользуемого в [1] функционала вида (3) рассмотрим новый функционал
t
t
tTT dyetNttPxtxtV )()()()()()( 2 , (4)
который отличается наличием экспоненциального члена в подынтегральной составляющей функционала. Дифференцирование (4) приводит к неравенству вида
)()( tVtV , 0 (5)
при ограничении 21120 )( Ce . Именно неравенство (5) гарантирует экспоненциальную устой-
чивость. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а). 1. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и па-
раметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 1. – С. 118–129.
2. Бобцов А.А. Стабилизация нелинейных систем по выходу в условиях запаздывания // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2008. – № 2. – С. 21–28.
Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, [email protected] Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных техноло-гий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, [email protected]
