المملكة العربية السعودية

وزارة التعليم العالي

جامعة الطائف

إدارة النشر العلمي

املعادالت التفاضلية

النظرية والتطبيق

الدكتور

بخيت نفيع المطرفي

الدكتور

عبد هللا عبد هللا موسى

الطبعة األولى م 2132 -هـ3311

النظرية والتطبيق : المعادالت التفاضلية بخيت نفيع مرزوق المطرفي. د عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى. د

حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف©

الحوية -جامعة الطائف 47912 :رمز بريدي

المملكة العربية السعودية

هـ7211جامعة الطائف ( ح) فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر

المطرفي، بخيت نفيع مرزوقـــة والتطبيـــق: المعـــادالت التفاضـــلية ـــع مـــرزوق المطرفـــي، /. النظري بخيـــت نفي هـ7211الطائف، -عبد اهلل عبد اهلل موسى

س42×71ص، 190 913-601-3061-99-6: ردمك

(مؤلف مشارك)عبداهلل موسى، عبداهلل . المعادالت التفاضلية أ العنوان -ب

2139/7211 565ديوي 2139/7211: رقم اإليداع

913-601-3061-99-6: ردمك النحيف مجدي حسين/التصميم المعلوماتي والجرافيكي د

م4074/ه7211: الطبعة األولى

المقدمة

___________________________________________________________ -هـ -

مقدمــــــــة والصــ و والســ م علــى خيــر خلــق ، الحمــد هلل رب العــالمين، بســم اهلل الــرحمن الــرحيمالرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليــ وعلــى لــ ، اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل

أما بعد .. وصحب أجمعين

فهــ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو لاـــة ال ـــر ن .. الانيـــة فـــي ألفاظهـــا مفرداتهـــامؤلـــف بلاتنـــا العربيـــة ، تلـــك اللاـــة الثريـــة فـــي

وأننــا ا ا ن ــدم هــ ا الجهــد المتواضــع الــ ي نضــيف الــى مــا . الكــريم، لاــة العــرب ولاــة العلــمبيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نــ كر أن هــ ا الكتــاب ال يــزاحم أقرانــ فــى كتــب باللاــة العر نما يضيف اليهم أفكارا جديدو ومتطورو، فعلى الـرمم مـن وجـود العديـد مـن ، ه ا المضمار وا

الكتب العربية عن موضوع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـور التـي لـم يـتم تناولهـا األخـر معالجـة بعـق المواضـيع الموجود في بعق المواضيع وكـ لك

.باإلضافة الى ثرائ باألمثلة المتنوعة التي تطرح العديد من األفكار

صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا فيوب لك ظهر الكتاب ا الكتــاب اال ومـا هـ . فـي وضـع فـي صــورو الئ ـة واجتهــدناوحسـبنا أننـا حاولنـا .. هلل وحـده

ثمـــرو جهـــد دؤوب وعمـــا متواصـــا مـــن التحصـــيا والتـــدريس والبحـــ طيلـــة ســـنوات عـــدو المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وهــ ا الكتــاب فــيللمــؤلفين، ويدعــد هــ ا الكتــاب مرجعــا هامــا

موجـــ اساســـا لطـــ ب المراحـــا المتوســـطة والمتـــمخرو مـــن كليـــات الهندســـة والمعاهـــد الفنيـــة . أن يتج أيضا لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاءكما . العليا

تصــلم منهاجــا لطــ ب الدراســات العليــا فــى أنكــ لك يتضــمن الكتــاب أجــزاء كثيــرو يمكــن ول ـد راعينـا أن تكـون . التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة

ـــ ـــة بطري ـــي معالجـــة المســـائا العلمي ـــم تنت ـــا ال ـــدأ بالصـــيامة والنم جـــة ث ـــة تب ة رتيبـــة منهجيبتفســــير النتـــائل ومحاولـــة اعطائهـــا التفســـير الهندســــي تنتهـــياإلجـــراءات والحـــا ثـــم أخيـــرا

والفيزيائي

الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا يبتدئفـى األبـواب الثـاني والثالـ . يقمن خ ا تحليا بسيط وتتابع ش، لها ال ارئومحاولة ج ب

المقدمة

___________________________________________________________ -وـ -

وكـــ لك الرتـــب ، والرابـــع تـــم ت ـــديم المعـــادالت التفاضـــلية مـــن الرتبـــة األولـــى والدرجـــة األولـــىالعليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن

حليــا ومحاكــاو نظــم التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتبالعديــد األبــوابهندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونــ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك

. من التمارين العامة المتنوعة

وقـــد أع ـــب لـــك البـــاب الخـــامس وفيـــ تـــم دراســـة حـــا المعـــادالت التفاضـــلية بـــالطرق ، وتـم فـي البـاب السـادس ، و لك عوضا عن حلها تحليليـا (استخدام المتسلس ت ) الت ريبية

دراســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــدديا و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم مـن خـ ا عمـا بـرامل لحـا المعـادالت التفاضـلية MATLAB" المـات ب"توظيف برنامل و يـا هـ ان ، لتوقيع تلك الحلوا بيانيا، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق استخدام عدديا وك لك

و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا . لبابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـةاالبــ س لمــا لــ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيــ يعــد تحويــا البــ س من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد

.العامة المتنوعةمن التمارين

، ولـيس MATLAB" المـات ب"وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ يـر الباحـ درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا ليصا الى حي يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما

ثراء للمعرفة اهلل تعالى .أن يساعدنا على انجازها خدمة للعلم وا

.وهو ولي التوفيق.....واهلل تعالى من وراء ال صد

المؤلفان هـ7211محرم –الطائف

ارســـــــــالفه

المحتويات فهرس

___________________________________________________________

- -ط‌

فهرسالمحتويات:أولا و-هـ المقدمــــــــة17-1 المبادىءاألساسيةوتصنيفالمعادلتالتفاضلية:الباباألول19-97ىوالدرجةاألولىالمعادلتالتفاضليةمنالرتبةاألول:البابالثانى

12 مقدمـــــــة‌ 11 (Separation of variables)فصل المتغيرات : أولا ‌معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل : اا ـــــــــــــثاني‌

المتغيرات28

32 المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة : اا ــــــــــــــثالث‌ 36 معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة: اا ـــــــــرابع‌ 41 (Exact)المعادلة التفاضلية التامة : خامساا ‌ 45 إلى تامة عن طريق عامل المكاملة تحولمعادلت تفاضلية : سادساا ‌ 57 المعادلت التفاضلية الخطية : اا ــسابع‌ 60 ؤول إلى معادلت تفاضلية خطيةمعادلت ت: اا ـــــثامن‌ 67 معادلة ريكاتي : تاسعاا ‌ 70 (Variation of Parameters)طريقة تغيير البارامترات : عاشراا ‌ 72 تبديل المتغيرات المستقلة مكان المتغيرات التابعة: الحادي عشر ‌ 76 تطبيقات على المعادلت التفاضلية : الثاني عشر ‌

179-99 المعادلتالتفاضليةالخطيةمنالرتبالعليا:البابالثالث 101 مقدمـــــــة‌ 109 المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة : أولا ‌ 117 ( Particular Solution)الحل الخاص إيجاد طرق : ثانيـــــــــــــاا ‌ 117 التفاضلي العكسيطريقة المؤثر ( 2-1)‌‌ 130 متراتاطريقة تغيير البار ( 1-1)‌‌ 141 طريقة المعامالت غير المحددة( 3-1)‌‌

المحتويات فهرس

___________________________________________________________

- -ي‌

152 المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغيرة :ثالثــــــــــــــاا ‌ Cauchy-Euler) ) 221معادلة كوشي أويلر ( 2-3)‌‌ 225 الخطية ادلة ليجندرمع( 1-3)‌‌ 206 (Method of Factorization)طريقة التحليل ( 3-3) ‌ 203 (Reduction of order)تخفيض الرتبة ( 4-3) ‌ 174 ية الخطية اآلنيةمجموعة من المعادلت التفاضل: رابعـــــــــاا ‌

181-179 والدرجاتالعلياالمعادلتالتفاضليةمنالرتبةاألولى:البابالرابع 283 مقدمـــــــة‌ 184 األولى بمعادلت تفاضلية من الدرجة تستبدلمعادلت تفاضلية : أولا ‌ x 186معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى : ثانيـــــــــــــاا ‌ y 188معادلت يمكن حلها بالنسبة الى: ثالثــــــــــــــاا ‌ 191 (Clairaut Equation)معادلة كليرو : رابعـــــــــاا ‌ 194 (Lagrange's Equation)معادلة لجرانج : خامساا ‌

177-042لمتسلسالتالالنهائيةحلالمعادلتالتفاضليةباستخداما:البابالخامس 201 مقدمـــــــة‌ 205 (Taylor)مفكوك تيلور : أولا ‌ 210 الحل قرب النقطة العادية: ثانيـــــــــــــاا ‌ 222 (Frobenius( )فروبينيس)الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة : ثالثــــــــــــــاا ‌

041-088ةالعاديةالحلولالعدديةللمعادلتالتفاضلي :السادسالباب 143 مقدمـــــــة‌ 244 لحل المعادلت التفاضلية العادية( Euler)طريقة أويلر: أولا ‌ 253 لحل المعادلت التفاضلية طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية: ثانيـــــــــــــاا ‌ 263 رونج كوتا من الرتبة الرابعةطريقة :ثالثــــــــــــــاا ‌لحل مجموعة من من الرتبة الرابعة طريقة رونج كوتا : رابعـــــــــاا ‌

المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى 271

المحتويات فهرس

___________________________________________________________

- -ك‌

لحل المعادلت التفاضلية من الرتبة الرابعة طريقة رونج كوتا : خامساا ‌ من الرتبة الثانية

273

280 لية العاديةطريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاض: سادساا ‌ لبالستحويالت: البابالسابع 339-087

291 مقدمـــــــة‌ 294 تحويالت لبالس لبعض الدوال: أولا ‌ 298 خواص تحويالت لبالس: ثانيـــــــــــــاا ‌ 310 تحويالت لبالس العكسي: ثالثــــــــــــــاا ‌تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية : رابعـــــــــاا ‌

ذات المعامالت الثابتة325

331 حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية : خامساا ‌ 333 (Volterra integral equation) معادلة فولترا التكاملية: سادساا ‌

MATLAB 344-337المرشدالوجيزفي : الـملحق 302 المراجع

369 دليلالمصطلحات

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -س‌

األشكالفهرس:ثانيـــــــــــــاا عائلة الدوال (:1-1)شكل 3 2y x c لقيم مختلفة من الثابتc

عائلة الدوال (:1-0)شكل 21

2x

2y ce لقيم c 1, 2, 3قانون نيوتن الثاني للحركة (:0-1)شكل 14منحنى السرعة مع الزمن: (0-0)شكل 10سقوط جسم (:0-3)شكل 50هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومة (:4-2)شكل 59ة وملفدائرة كهربية تحتوي على مقاوم (:0-5)شكل 86 .دائرة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف (:0-4)شكل 82 .دائرة كهربية تحتوي على مقاومة وملف (:0-9)شكل 81 مشكلة تخفيف التركيز (:0-8)شكل 80 تحت المماس وتحت العمودى (:0-7)شكل 852عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة : (0-12)شكل 88 4( )x y c المسارات المتعامدة (:0-11)شكل 89 تمثيل المسارات المتعامدة (:0-10)شكل 92 دائرة كهربية تحتوي على مقاومة وملف (:0-13)شكل 90 مفكوك تيلوربوالحل العالقة ما بين الحل التحليلي (:1-5)شكل 160مفكوك تيلوربالعالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل (:2-5)شكل 168)كثيرات حدود ليجندر (:5-3)شكل 116 )nP x الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر (:6-1)شكل 142 العالقة التكرارية باستخدام طريقة أويلر: (6-2)شكل 140 بالحل التام 0.2hعند بيي مقارنة الحل التقري (:6-3)شكل 149.أويلتأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقة (:4-4)شكل 149 .الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي (:4-5)شكل 122 بالحل التام 0.1h، عند طريقة هينزب مقارنة الحل التقريبي (:4-4)شكل 128

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -ع‌

0.2hمقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقداره (:4-9)شكل 101 والحل التام نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة الرابعة: (4-8)شكل 102 تغير درجة الحرارة بالكلفن مع الزمن : (4-7)شكل 156 xمع y,vالعالقة مابين كل من :(4-12)شكل 155 وصف حركة البندول :(4-11)شكل 155 الحركة المخمدة لحركة البندول :(6-10)شكل 159 عتب مثبت على دعامات (:4-13)شكل 182 لفرقي المقسم األوسطالتقريب االفروق المحدوده باستخدام طريقة (:4-14)شكل 18225hباستخدام 75xإلى 0xالفروق المحدوده من :(6-15)شكل 181 0xالفروق المحدوده من : (6-16)شكل 184 1إلىx 0.25باستخدامh التصال المجزأ :(7-1)شكل 191 دالة خطوة الوحدة (:7-2)شكل 194 حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة (:7-3)شكل 194 كدالة في دالة خطوة الوحدة G(t)الدالة :(7-4)شكل 366 t>0لقيم معرفةp>0دالة دورية دورتها (:7-5)شكل 365 t>0معرفة لقيم p=1دالة دورية دورتها (:7-6)شكل 368 t>0معرفة لقيم p=2دالة دورية دورتها (:9-9)شكل 369 ونة البرنامج فور إعدادهظهر أيق (:1-م)شكل 341 الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة (:0-م)شكل 343نافذة األوامر (:3-م)شكل 344نافذة فضاء العمل (:4-م)شكل 344نافذة فضاء العمل (:5-م)شكل 344المسار الحالي نافذة (:4-م)شكل 344المتغيراتنافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض (:9-م)شكل 342التخصيص (:8-م)شكل 342

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -ف‌

لالدخال دوال بناء(:7-م)شكل 340بناء متجه(:12-م)شكل 340 a,bإدخال متغيرين هما (:11-م)شكل 345نافذة الوامروفضاء العمل للمتغيرات(:10-م)شكل 345 بناء ملف بيانات وتحميلة فى فضاء العمل(:13-م)شكل 345 العملفضاء (:14-م)شكل 348 عمليات غير تقليدية على المصفوفات(:15-م)شكل 349 matlabالخاص helpالستعانة (:14-م)شكل 326 إليجاد أكبر قيمة maxالدالة (:19-م)شكل 322 Forجملة (:18-م)شكل 323 Forصورة أخرى لجملة (:17-م)شكل 323 بناء مسارات متداخلة (:02-م)شكل 324 whileجملة (:01-م)شكل 324 Ifجملة (:00-م)شكل 322 Script fileبناء (:03-م)شكل 325 Script fileتنفيذ (:04-م)شكل 328 مباشرة Script fileتنفيذ (:05-م)شكل 328 بناء دالة بسيطة لتقوم بإيجاد جذور معادلة تربيعية (:04-م)شكل 3292إيجاد جذور المعادلة التربيعية (:09-م)شكل 329 2 3 0 x x دخال المتغيرات (:08-م)شكل 306 1بناء الملف وا 2 3, ,v v v 1منحنى المتغيرات (:07-م)شكل 302 2,v v hold onأستخدام المر (:32-م)شكل 3021رسم(:31-م)شكل 301 2,v v 1وكذلك 3,v v Subplotأستخدام المر(:30-م)شكل 3011تقسم نافذة الرسم الى نافذتين(:33-م)شكل 301 2( )

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -ص‌

تخصيص المتغيرات الرمزية(:34-م)شكل 303 بناء دالة بإستخدام المتغيرات الرمزية(:35-م)شكل 304 أيجاد التفاضل والتكامل لدالة رمزية(:34-م)شكل 304

الجداولفهرس

___________________________________________________________

- -ش‌

فهرسالجداول:ثالثــــــــــــــاا

243 لمجموعة من الدوالاألساسية مجموعة الدوال (:3-1)جدول 128 رونج كوتا من الرتبة الرابعةمثال على طريقة (:4-1)جدول 195تحويالت لبالس لمجموعة من الدوال(:9-1)جدول 349المصفوفاتالعمليات التى يمكن إجراؤها على (:1-م)جدول 326 دوال تتعامل مع كميات قياسية(:0-م)جدول 322 دوال تتعامل مع كميات متجهة(:3-م)جدول 321 دوال المصفوفاتبعض(:4-م)جدول Matlab 320العالقات فى (:5-م)جدول Matlab320العالقات المنطقية فى (:4-م)جدول 302نقشة خط الرسمعالمات للتحكم في نوع ولون و (:9-م)جدول

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌‌

‌

الباب السادس

احللول العددية للمعادالت التفاضلية العادية

الباب السادس

___________________________________________________

-243-

مقدمة ليييمن ايييل حل يييال عيييل ايييل حلا يييطرق حلحلطليييأم تيييطلطرق حلحعأمأمييي عحييي تيييطلطرق

ليي ح اييطل قتيير اييل حلتعيي . قناط ميي أحلحقرمتميي ييل طرمييق حييرل حلعييل أيي م يي اح أ يي لييع نيير ح ييأنط حيي ،حقرمتميي لايي م حلا ييطرق حلحلطلييأم خييرإل جمدييطر عأيي ل ييل طييرق

عيير ييك حأييع حلطييرق يي طييرق حلعأيي ل حل ررميي . حلعصيي ل أيي عأاييط حلييرلمق حلحقرمتيي Numerical Solution عميييي متيييير يييي ح حلتييييطو تحقييييرمك طرمقيييي مأيييير لعييييل حلا ييييطرقحيك ،حلررد حلثطنم حلرحت ي ر نج ا حط ال م قو لع طرمق، حلحلطلأم ال حلرحت حق ل

مليط عيل حلا يطرق حلحلطليأم ل ، رق حلحلطلأم ال حلرحت حألعل ادا ال حلا طعيييل ل اعييير رمإ يييحخرحك طرمقييي حللييير ق حلإلييي حطيييرق حلتيييطو مليييط . ايييل حلرحتييي حلثطنمييي

اصيياا تتم يي حلا ييطرق حلحلطلييأم حل طرميي حخأييل يي ح حلتييطو حقييرمك حل رميير اييل حلتييرحاج حل .لاعطاطة ا ظك طرق حلعل تاط م حر حل ل حلدار حلاطأ و لع طتاط" حلاطحالو"

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-244-

لحل المعادالت التفاضلية العادية( Euler)طريقة أويلر: أوالا

طرمق مأر طرمق ررمي لعيل حلا يطرق حلحلطليأم حل طرمي حلحي حاي ل أي حلص رة

0 0, , dy

f x y y x ydx

--------------- (6.1)

، حأل ليي حلررديي حأل ليي يي تيي لع حح طاييل اييال حلا ييطرق حلحلطلييأم حل طرميي اييل حلرحتيي نييي ر نيييط حلحنامييير نيييد قتييير ايييل إ يييطرة صيييمطت حلا طرلييي حلحلطليييأم لححنط يييو ايييال حلصييي رة

. طرمق مأرتط حخرحك عح مح ن عأاط ( 6.6)

أ ص رة طرمق مأر طلأم حآلحم احو حلا طرل حلحل ( :6-1)مثال 2 0 5 ,x

dyy e y

dx

حلعيييل ليي ح نعيييط ل إ يييطرة صيييمطتحاط ( 6.6)نالعييظ ل حلا طرلييي حلحلطليييأم لم يي أييي حلصييي رة

ااط مأ ( 6.6)لحا ل أ حلص رة 2 0 5 ,xdy

e y ydx

ندر ل ( 6.6) تاقطرنحاط تطلص رة , 2xf x y e y

أ ص رة ا طرل مأر حاحو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم ( :6-2)مثال 2 2 2 3 0 5( ),y dye x y Sin x y

dx

حلعيييل لييي ح نعيييط ل إ يييطرة صيييمطتحاط( 6.6) نالعيييظ ل حلا طرلييي حلحلطليييأم لم ييي أييي حلصييي رة

ااط مأ ( 6.6)لحا ل أ حلص رة

2 22 3

0 5( )

,y

dy Sin x x yy

dx e

ندر ل (6.6) تاقطرنحاط تطلص رة 2 22 3( )

,y

Sin x x yf x y

e

يييييييييييييييينعط ل حآلل

حعأمييل ررح يي طرمقيي مأيير لعييل حلا ييطرق حلحلطلييأم حل طرميي ، تلييرل ل عييل حلا طرليي

الباب السادس

___________________________________________________

-245-

)حلحلطليييييأم ييييي حلرحلييييي )y x 0عمييييي محلييييي ل ( 6-6)اايييييط حييييي حل يييييالy y نييييير 0x x . 0إححيييرحل ل أييي 0x . حلاميييل لييييأرحل حييي ل تاييي ح( )y x ييي ,f x y ،

0xحلامييل نيير حيي ل ح تايي ( 6.6)ع ييو حل الليي x يي 0 0,f x y اييال اييل عميي إل0x،0y ا أ ا ال حل رط حقتحرح 0 0y x y.

حلخط ة حأل ل تط حخرحك طرمق مأر ( :6-1)شكل

0x اييل حل ييال نديير ل حلامييل نيير x 1 يي أيي حلصيي رة 0

1 0

y y

x x

حلحيي ن ييحطمال

اناط حلعص ل أ حل الل 1 0

0 0 1 0 0 0 1 0

1 0

, ,y y

f x y y y f x y x xx x

01 أ إ حتطر ننط لانط تح ام xx تط ل حلخطي ة مرايل ليد تيطلرالh لنعصيل أي ، حل الل

1 0 0 0,y y f x y h --------------------- (6.2) )ليي ( approximate value)ح تر يل حلقماي حلحقرمتمي 1yعم إل )y x 1 نيرx x

2y، لع يييطو (Predicted value) حلحنتؤمييي حلاح ل ييي ايييط حلقماييي م أ عمطنيييط مطأيييق ) حلقما حلحقرمت لي )y x 2 نرx x

2 1 1 1,y y f x y h --------------------- (6.3) 2عم إل 1x x h

حل الل حل طا إل ماال حلح صل ( 6.3) ( 6.6) ح حاطرح أ اط تق ال حل اللحمل حلحطلم

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-246-

1

1

( ) ( ) ,i i i i

i i

y x y x f x y h

x x h

حلحطل حلح ماال إخحصطرح احطتحاط أ حل ال 1

1

,i i i i

i i

y y x f x y h

x x h

---------------- (6.4)

اط مأر ا أم عمطنط مطأق تطرمق مأر، ( 6.4)ل حلحارحرم ح ا حل ال(Euler-Cauchy method ) م ل حأع حل الل حلحارحرم ل طحلح حل ال

تط حخرحك طرمق مأر حل الل حلحارحرم ( :6-2)شكل

y عييييل حلا طرليييي حلحلطلييييأم ديييير( : 6-3)مثااااال y x 1 نييييرx تا أ امييييي (0) 1y

حلعيييل حلررديي حأل لي ايل حل حلي ل حأييع حلا طرلي ي ا طرليي حلطليأم خطمي اييل حلرحتي

حي حلتيطو حلثيطن ن حطمال عأاط أ إ حتطر ناط ا طرل حلطلأم خطم ليع اايط حأل ل حلحطل ما ل عأاط أ حل ال

( ) 1 2 xy x x e ------------------------ (6.5) يل ، حلطرمقي ا رحي ايرإل رلي حأيع حلطرمقي طلمي نق ك تعأاط ررمط لحنامر ح حآلل

ماال لمطرة حلرل لاط امف ماال لع ؟

الباب السادس

___________________________________________________

-247-

نق ك ت لال حلا طرل حلحلطلأم أي يال ا طرلي 0.2hح حلترحم نق ك تلرل حل مأر لحصت أ حلص رة

y y x y x y ) ح ل تا ح , )f x y x y نعصل أ( 6.4) حلح مل ح حل الل

1 1 0 2, ( . )i i i i i i i iy y f x y h y y x y حلحطلم اناط نعصل أ حل الل

1 0 8 0 2 0 1 2 3 4

0 1

. ( . ) , , , , ,

( )

i i iy y x i

y

0 ن ل ل لحآل 1 2 3 4, , , ,i ح حل الل حل طتق لنعصل أ 1 0 0

2 1 1

3 2 2

4 3 3

5 4 4

0 8 0 2 0 8 1 0 2 0 0 8

0 8 0 2 0 8 0 8 0 2 0 2 0 68

0 8 0 2 0 8 0 68 0 2 0 4 0 624

0 8 0 2 0 8 0 624 0 2 0 6 0 619

0 8 0 2

( . ) ( . ) ( . )( ) ( . )( ) .

( . ) ( . ) ( . )( . ) ( . )( .. ) .

( . ) ( . ) ( . )( . ) ( . )( . ) .

( . ) ( . ) ( . )( . ) ( . )( . ) .

( . ) ( . )

y y x

y y x

y y x

y y x

y y x

0 8 0 691 0 2 0 8 0 655( . )( . ) ( . )( . ) .

0.2hحلعل حل رري لأا طرل حلحلطلأم تا أ ام ح ل تا ح ( 0) 1

( 0.2) 0.8

( 0.4) 0.68

( 0.6) 0.624

( 0.8) 0.619

( 1) 0.655

y x

y x

y x

y x

y x

y x

عمييي ( 6.6) رة يينق ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرليي حلطلييأم أيي حلصيي حآلل إرخطل ت ل حلتمطنط ااط مأ إل معحطج حلترنطاج

hإرخطل لما ط ل حلخط ة مرال لاط تطلرال )إرخطل حلرحل , )f x y ( 6.6)لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص رة

.0x،0yال خطل حل رط حقتحرح لما الإر xf نرال لاط تطلرال yحلاطأ و نر ط ع طو لما xإرخطل لما

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-248-

clear all

syms f x y

h = input('step size=');

f = input('the function f(x,y)=');

X(1) = input('x0=');

Y(1) = input('y0=');

xf = input('xf=');

for i=1:(xf-X(1))/h

X(i+1)=X(i)+h;

y=Y(i);

x=X(i);

Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f);

end

Y طرمق مأرتط حخرحك ( 6.6)عل ا طرل حلطلأم أ حلص رة (:6-1)برنامج

حلحطلم نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة

step size=0.2

the function f(x,y)=x-y

x0=0

y0=1

xf=1

Y =

1.0000 0.8000 0.6800 0.6240 0.6192 0.6554

>> ايط ايل حلع يطتط حل طرمي اايط حير أم حلقمك حلح عصأنط y نالعظ نط ل لمك حلرحل

حلعيييل ( Approximate)عيييل حل يييرري حلحقرمتييي م لييي حل( 6-3) حل يييال .حلداييير حل لييي (6.5)لأا طرل حلحلطلأم اط حاثأ حلا طرل (Exact)حلحطك

الباب السادس

___________________________________________________

-249-

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

x

y

Exact solution

approximated solution(h=0.2)

تطلعل حلحطك لأا طرل حلحلطلأم 0.2h نر اقطرن حلعل حلحقرمتم (:6-3)شكل

عصيأنط يا رح ارإل حنثمر ط أ حلعل حلي لh نق ك تحغممر لما ط ل حلخط ة حآلل

حييك حلعصيي ل أيي 2.25، 2.6، 2.6، ليير خيي طيي ل حلخطيي ة ثييال لييمك يي د أميي حيك حيي لم اك أي نليين حلاعيط ر ليع ااييط حي حل ييال حليثال عييطق حلحلعيل حي اييل ايل

ت ميير ) عييل حقرمتيي يي يي 0.2h نيير حلعييلحل ييال ؟ يي ح ، اييط ح نالعييظ اييل (4-6)، 0.05hحي عيمل ل ليرتاك لأعيل حلحيطك ي حلعيل حلحقرمتي نير ( ل لما حلعيل حلحيطك

اأاط اطل حلعل حلحقرمت لرو اط ما ل لأعيل hتاط م ن اأاط صغر لما ط ل حلخط ة حلعييل حلحقرمتيي محقييطرو اييل حلعييل حيي لحلصييلر إليي h يي ح م نيي نييد نييراط حييؤ ل ،حلحييطك . حلحطك

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

x

y

Exact solution

(h=0.2)

(h=0.1)

(h=0.05)

.طرمق ملتط حخرحك حنثمر حغمر ط ل حلخط ة أ رل حلعل (:6-4)شكل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-250-

، ديير حلعييل حل ييرري لأا طرليي حلحلطلييأم 0.05طيي ل خطيي ةتط ييحخرحك ( :6-4)مثااال 0حلحطلمي لقيمك 1x طرمقي مأيير، ليطرل حلعيل حليي ي عصيأ أمييد ايال حلعييل تط ييحخرحك

2y حلحعأمأ x لأا طرل حلحلطلأم 2

2 0 0- , ( )y xy e e x y حلعل

تا ن ل ( 5.6)حلا طرل حلحلطلأم أ حلص رة 2

2-y xy e e x 0 ال حل رط حقتحرح ندر ل 0x ،0 0y

0حلاطأ و ع طو لما حلعل ح حللحرة 1x تا ن ل عر ر حلاحغميرx تايط 6 ي1xfم ن حل حلاحغمر

.ج حل طتق اال ت ل حلح رمل لمق ك تطلر ك اطنحلم حلتر ح نق ك ت حآلل

طرمق مأر اال تط حخرحك ( 6.6)عل ا طرل حلطلأم أ حلص رة (:6-2)برنامج

اقطرنحد تطلعل حلحعأمأ

clc

clear all

syms f x y

h = input('step size=');

f = input('the function f(x,y)=');

X(1) = input('x0=');

Y(1) = input('y0=');

xf = input('xf=');

for i=1:(xf-X(1))/h

X(i+1)=X(i)+h;

y=Y(i);

x=X(i);

Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f);

end

plot (X,Y,'r.') % numerical solution

Y1=X.^2;

hold on

plot (X,Y1,'b*') % analytical solution

الباب السادس

___________________________________________________

-251-

مقي ك حلترنيطاج حلحطلمي نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط حتط ط ااط مظار ح حلنطحي ة

(6-5)تح لمال حل ال step size=0.05

the function f(x,y)=exp(y)-exp(x^2)+2*x

x0=0

y0=0

xf=1

>>

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Anlytical solution

Numerical Solution

.طرمق مأر حلعل حلحعأمأ تط حخرحك حلعل حلحقرمت (:6-5)شكل

2t نيييرحآلحمييي دييير حلعيييل حلحقرمتييي لادا ييي حلا يييطرق حلحلطليييأم ( :6-5)مثاااال

0.5 طرمق مأر تط ل خط ةتط حخرحك 0 1

0 5 0 5 0 2

, ( )

. . , ( )

dxy x

dt

dyx y y

dt

حلعيييل أييي حلا يييطرلحمل نعصيييل أييي ا يييطرق مأييير أييي حلنعييي ( 5.4)ق ا طرلييي مأيييرتحطتمييي حلحطل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-252-

1

1

1

0 5 0 5. .

i i i

i i i i

i i

x x hy

y y h x y

t t h

0i نر : ق 0 ح ل 01 2, x y ح ل اناط

1 0 0

1 0 0 0

0 5 1 0 5 2 2

0 5 0 5 0 5 1 75

. . ( )

. . . .

x x y

y y x y

1عم إل 1,x y حلقمك حلحقرمتم لي ,x y 0 نر 5.t 1i نر : ثطنمط 1 ح ل 12 1 75 , .x y ح ل اناط

2 1 1

2 1 1 1

0 5 2 875

0 5 0 5 0 5 1 8125

. .

. . . .

x x y

y y x y

2عم إل 2,x y حلقمك حلحقرمتم لي ,x y 1 نرt 2i نر : ثطلثط 2 ح ل 2 875 2 7852. , y .x ح ل اناط

3 2 2

3 2 2 2

0 5 3 78125

0 5 0 5 0 5 2 078125

. .

. . . .

x x y

y y x y

3عم إل 3,x y حلقمك حلحقرمتم لي ,x y 1 نر 5.t 3i نر : رحت ط 3 ح ل 3 78125 2 0781253. , y .x ح ل اناط

3 3 3

4 3 3 3

0 5 4 8203

0 5 0 5 0 5 2 5039

. .

. . . .

x x y

y y x y

4عم إل 4,x y حلقمك حلحقرمتم لي ,x y 2 نرt

الباب السادس

___________________________________________________

-253-

طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادالت التفاضلية : ثانيا

طرمق ررمي (Runge-Kutta 2nd Order)طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حلثطنم ح يحخرك لعيل حلا يطرق حلح RK2تطلرال مرال لاطلعل حلا طرق حلحلطلأم حل طرم

(6.6)حلحلطلأم أ حلص رة 00, ,

dyf x y y y

dx ------------ (6.6)

حلصيي رة إليي حأل ليي ااييط نالعييظ قتيير ل ححعيي ل حلا طرليي حلحلطلييأم حل طرميي اييل حلرحتيي . مأرااط تق ح لم لع ح طرمق ( 6.6)

حلصيييي رة أييي ل ا طرليييي مأييير يييي حييي ار 1 ,i i i iy y f x y h عميييي إل1i ih x x ، ط لاييي نلايييك ايييط ييي طرمقييي ر نيييج ا حيييط لأرحتييي حلثطنمييي ييينقرك إ يييحنحطد

لع ااط مأ ((Taylor Expansionالا ع حمأ ر تط حخرحك لطرمق مأر

22

1 1 12

33

13

1

2

1

3

, ,

,

!

...!

i i i i

i i

i i i i i i

x y x y

i i

x y

dy d yy y x x x x

dx dx

d yx x

dx

عم إل ,dy

f x ydx

نعصل أ

2

1 1 1

2

1

1

2

1

2

( , ) '( , ) ...!

, , ... !

i i i i i i i i i i

i i i i i i

y y f x y x x f x y x x

y y f x y h f x y h

--- (6.7)

حلحطلم ااط نالعظ ند ت اطل حلعر ر إتحرحءح ال حلعر حلثطل ، نعصل أ حلا طرل 1 ,i i i iy y f x y h

ناييط طرمقيي ر نييج ا حييط لأرحتيي اييل ح ييام طرمقيي مأيير أيي يي ا طرليي مأيير تيي لع ماRunge-Kutta 1)حأل لي

st order )حي ي م حلطرمقي ي ايل حلعير ر حلحي ماي ل حلخطين حك ع حاط

2 3

2 3

, ,...

! !

i i i i

t

f x y f x yE h h

----------- (6.8)

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-254-

نعصييل أيي تا نيي حلييطحمط جظاييطر طرمقيي ر نييج ا حييط لأرحتيي حلثطنميي يي ف ننخيي عييرح طلحطل عر ر ا ثالث

2

1

2

1

1

2

1

2

, ,!

!

i i i i i i

i i i i

y y f x y h f x y h

y y hf h f

--------- (6.9)

ننيييطلل حأيييع حلطرمقييي أييي اثيييطل يييرري لنح يييرف أييي املمييي اأايييط، تليييرل حآللر نيييط حلحطلم حلا طرل حلحلطلأم

2 3 0 5, xdye y y

dx

انايييييط ماييييي ل 2 3, xf x y e y نالعييييييظ ل ,f x y رحلييييي حييييي,x y حايييييي ل حلحطل لاط أ حلنع حأل ل حلا حق

, ,

,f x y f x y dy

f x yx y dx

------------ (6.10)

ثك تطلح مل تقما حلرحل 2 3, xf x y e y

2 2 2

2 2 2

3 3 3

2 3 3 5 9

,

( )

x x x

x x x

f x y e y e y e yx y

e e y e y

نعصل أ ( 6.9) حل الل ح حأل ل تطلح مل تطلا حق 2 2 2

1

13 5 9

2!i ix x

i i i iy y e y h e y h

حلحي تذي ل لأعصي ل تا ح عصأنط أ حل الل حلاطأ تي ، لايل يل قعظي اقرحرحلا يق حأل ل أ حلا حق ,f x y، ل ح نتع ل صمطت ال لحأيع حل اللي ليع اايط

: مأ حلحطلم أ حلص رة حأل ل ماال احطت حلا حق

, ,

, x y

f x y f x y dy dyf x y f f f

x y dx dx

الباب السادس

___________________________________________________

-255-

حل الل تط حخرحك ,dy

f x ydx

نعصيل أيx yf f f f تيطلح مل نايط

لنعصل أ ( 6.6)ح حل الل 2

1

1

2!i i i x y iy y hf h f f f

حلحطلم حلص رة إل حلح ححع ل

2 2

12 2! !

i i i x y ii i

h hy y hf f f f --------- (6.11)

لحاثل ا طرل ر نج ا حط لأرحت حلثطنم حلحطلم طرل نق ك تلرل حلا حآلل

1 1 1 2 2

1 2 1 11 1, , ,

i i

i i i i

y y a k a k h

k f x y k f x ph y q k h

--- (6.66)

(6.12) حلص رة أ (6.11) نعط ل لال حلا طرل حلحطل ح حلدلء الا ع حمأ ر تط حخرحك 2kنق ك تلع حلاقرحر حآللر نط : ق

2 1 11 1 1 11,i i i x i yi ik f x ph y q k h f ph f q f h f

نعصل أ ( 6.66)ح حلا طرل 2kتطلح مل ل لما : ثطنمط

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

1 1 2 1 11

2 2

1 1 2 2 1 2 11

i i i i

i i i i x i yi i

i i i x y ii i

y y a k a k h y y a k h a k h

y y a f h a f ph f q f h f h

y y a a h f a ph f a q h f f

نعصل أ (6.12)تاقطرن حلا طرل حلنطحد اال ا طرل ر نج ا حط : ثطلثط

1 2 2 1 2 11

1 11, ,

2 2 a a a p a q --------------------- (6.63)

تلرل احغمر طرق رت ادط مل، لعأاط نق كنالعظ نط ننط عصأنط أ ثال الأعص ل أ حلثالث 2aنط ن حخرك لما ح نخرإل، ت ال طك حأللنعصل أ حلثالث

2حعحاطق ثالث 2a حنخ حألخرإل 1, 1,

3 2 أ طرق اخحأل ، لحنحج ثالث

( Midpoint method) طرمق حلنقط حل ط ( Heun’s Method)حمو طرمق منل حلحر ( .Ralston’s method) طرمق رحل ح ل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-256-

(Heun’s Method)طريقة هينز

لرل ل ن2

12 a 1لنعصل أ 1 11

1, 1, 1

2a p q ال ثك حلح مل ح

لنعصل أ ( 6.12)حلا طرل

1 1 2

1 2 1

1 1

2 2

, , ,

i i

i i i i

y y k k h

k f x y k f x h y k h

-------- (6.64)

ح ا حأع حلطرمق تطرمق منل إعرإل ص ر طرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم

(Midpoint Method)طريقة النقطة الوسطى 2لرل ل ن 1a 1لنعصل أ 1 11

1 10, ,

2 2 a p q ال ثك حلح مل ح

لنعصل أ ( 6.12)حلا طرل

1 2

1 2 1

1 1

2 2, , ,

i i

i i i i

y y k h

k f x y k f x h y k h

----- (6.65)

ح ا حأع حلطرمق تطرمق حلنقط حل ط ي إعيرإل صي ر طرمقي ر نيج ا حيط لأرحتي حلثطنم

(Ralston’s method)طريقة رالستون

ليييرل ل ن3

22 a 1لنعصيييل أييي 1 11

1 3 3, ,

3 4 4a p q ايييل ثيييك حلح ييي مل

لنعصل أ ( 6.12)ح حلا طرل

1 1 2

1 2 1

1 2

3 3

3 3

4 4

( )

, , ,

i i

i i i i

y y k k h

k f x y k f x h y k h

------ (6.66)

حط لأرحت حلثطنم طرمق ر نج احلص رة حلثطلث ل ح ا حأع حلطرمق تطرمق رحل ح ل

الباب السادس

___________________________________________________

-257-

y ديييير عييييل حلا طرليييي حلحلطلييييأم (: 6-6)مثااااال y x 1 نييييرx تا أ اميييي (0) 1y

حلعيييل, ناحو حلا طرل أ حلص رة y(0)=1 y x y ح ل اناط ( , ) f x y x y

0.1h لع تلرل ل ( 6.64)منل ن حخرك طرمق لنعصل أ

1 1

2 1 2 1

1 1 2

1 1

2 2

, ,

,

i i i i

i i i i

i i

k f x y k x y

k f x h y k h k x h y k h

y y k k h

، نعصل أ 0i نر : ق

1 0 0 1 0 0

2 0 0 1

1 0 1 2

, 1

0 0.1 1 ( 1)(0.1) 0.8

1 1 1 11 1 0.8 0.1 0.91

2 2 2 2

k f x y k x y

k x h y k h

y y k k h

1i نر : ثطنمط نعصل أ ،

1 1 1 1 1 1

2 1 1 1

2 1 1 2

, 0.1 0.91 0.81

0.1 0.1 0.91 ( 0.81)(0.1) 0.629

1 1 1 10.91 0.81 0.629 0.1 0.838

2 2 2 2

k f x y k x y

k x h y k h

y y k k h

تحارحر اط تق نعصل أ 6

7

8

9

10

(0.6) 0.6988

(0.7) 0.6944

(0.8) 0.7000

(0.9) 0.7145

(1.0) 0.7371

y y

y y

y y

y y

y y

0

1

2

3

4

5

(0) 1

(0.1) 0.91

(0.2) 0.838

(0.3) 0.7824

(0.4) 0.7416

(0.5) 0.7140

y y

y y

y y

y y

y y

y y

طرمقيي ر نييج تط ييحخرحك م ليي حل الليي تييمل حلعييل حلحييطك حلعييل حلحقرمتيي حلحييطل حل ييال نالعظ ناط حلل تاثمر ال طرمق مأر ( منلطرمق )ا حط حلرحت حلثطنم

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-258-

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Exact

Apprximated

تطلعل حلحطك 0.1h، نر طرمق منلت اقطرن حلعل حلحقرمت (:6-6)شكل

( رحل ييح ل -حل ييط حلنقطيي - منييل)م ليي نحييط ج حلييثال طييرق حلحييطل حلديير ل hاال اقطرنحاك تطرمق مأراال حلعل حلحطك نر لمك اخحأل ال

ط ل حلخط ة

h =0.7358حلعل

حل ط حلنقط منل مأر ل ح لرح 0.2 0.6554 0.7415 0.7415 0.7415 0.1 0.6974 0.7371 0.7371 0.7371 0.05 0.7170 0.7361 0.7361 0.7361

اقطرن تمل حلطرق حلاخحأل لطرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم (:6-1)جدول

لأا طرلي در حلعل حلحقرمتي ( حلثال عطق )طرمق ر نج ا حط تط حخرحك ( : 6-7)مثال

2حلحلطلأم 2(1 ) 1 0 x y y (0)تا أ ام 1y 2 نرx طي ل خطي ة تط حخرحك .عأ ل تمطنمط اثل حلثالث 0.05 ملط 0.2،2.6 اقرحرم

حلعل( 6.6)رة مديييطر عيييل ي ا طرلييي حلطليييأم أييي حلصييي جترنيييطاج تحصيييامكنقييي ك ييي ف إليي عمي معحيطج حلترنيطاج ايل حلرحتي حلثطنمي طرمقي ر نيج ا حيطحلصي ر حلاخحألي لتط يحخرحك

إرخطل ت ل حلتمطنط ااط مأ

الباب السادس

___________________________________________________

-259-

h مرال لاط تطلرال Step Sizeإرخطل لما ط ل حلخط ة)إرخطل حلرحل , )f x y ( 6.6)لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص رة

.0x،0yال لما الخطل حل رط حقتحرح إر xf نرال لاط تطلرال yحلاطأ و نر ط ع طو لما xإرخطل لما

طريقة هينز clc

clear all

syms f x y

h = input('step size=');

f = input('the function f(x,y)=');

X(1) = input('x0=');

Y(1) = input('y0=');

xf = input('xf=');

for i=1:(xf-X(1))/h

y=Y(i);

x=X(i);

k1=subs(f);

y=Y(i)+k1*h;

x=X(i)+h;

k2=subs(f);

Y(i+1)=Y(i)+(0.5*k1+0.5*k2)*h;

X(i+1)=X(i)+h;

end

Y طرمق منلتط حخرحك ( 6.6)عل ا طرل حلطلأم أ حلص رة (: 6-3)برنامج

حلحطلم ااط مظار ح حلنطح ة نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط حتط ط step size=0.2

the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x^2)

x0=0

y0=1

xf=2

Y =

1.0000 0.6692 0.4306 0.2512 0.1115 -0.0003 -

0.0917 -0.1678 -0.2322 -0.2874 -0.3352

>>

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-260-

الوسطىطريقة النقطة

clc

clear all syms f x y

h = input('step size=');

f = input('the function f(x,y)=');

X(1) = input('x0=');

Y(1) = input('y0=');

xf = input('xf=');

for i=1:(xf-X(1))/h

y=Y(i);

x=X(i);

k1=subs(f);

y=Y(i)+0.5*k1*h;

x=X(i)+0.5*h;

k2=subs(f);

Y(i+1)=Y(i)+k2*h;

X(i+1)=X(i)+h;

end

Y طرمق حلنقط تط حخرحك ( 6.6)عل ا طرل حلطلأم أ حلص رة (: 6-4)برنامج

حل ط

حلحطلم ت رخطل حلتمطنط حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة نر حنلم حلترنطاج نق ك

step size=0.2

the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x^2)

x0=0

y0=1

xf=2

Y =

1.0000 0.6752 0.4392 0.2611 0.1224 0.0115 -0.0791

-0.1546 -0.2183 -0.2729 -0.3201

>>

الباب السادس

___________________________________________________

-261-

طريقة رالستون

clc

clear all syms f x y

h = input('step size=');

f = input('the function f(x,y)=');

X(1) = input('x0=');

Y(1) = input('y0=');

xf = input('xf=');

for i=1:(xf-X(1))/h

y=Y(i);

x=X(i);

k1=subs(f);

y=Y(i)+0.75*k1*h;

x=X(i)+0.75*h;

k2=subs(f);

Y(i+1)=Y(i)+(1/3*k1+2/3*k2)*h;

X(i+1)=X(i)+h;

end

Y طرمق رحل ح لتط حخرحك ( 6.6)عل ا طرل حلطلأم أ حلص رة (: 6-5)برنامج

حلحطلم نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة

step size=0.2

the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x^2)

x0=0

y0=1

xf=2

Y =

1.0000 0.6724 0.4351 0.2562 0.1170 0.0057 -

0.0853 -0.1611 -0.2252 -0.2801 -0.3276

>>

0ط ل خط ة تط حخرحك طرق حلعل حلنطحج ل حلثالث( 6-7)م ل ال 2.h

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-262-

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

Heun's1

Midpoint

Ralston

0.2hاقرحرمتط ل خط ة طرق لأثالثاقطرن حلعل حلحقرمت (:6-7)شكل

الباب السادس

___________________________________________________

-263-

رونج كوتا من الرتبة الرابعة طريقة : ثالثا

إعيرإل يار Runge-Kutta 4th Orderح ير طرمقي ر نيج ا حيط ايل حلرحتي حلرحت ي حلحي RK4تيطلرال مراييل لايط طيرق حلحعأميل حل يرري لعييل حلا يطرق حلحلطليأم حل طرمي

(6.67)ح حخرك لعل حلا طرق حلحلطلأم أ حلص رة 00, ,

dyf x y y y

dx ---------------- (6.67)

حي حلترحمي قتير ايل لييال حلا طرلي حلحلطليأم أي حلصي رة حل ييطتق اثأايط حي ليع اثييل ييرك إ اييطل ي اييل اييل حلطييرق حل ييطتق ح حايير طرمقيي ر نييج ا حييط اييل حلرحتيي حلرحت يي أيي

ال الا ع حمأ ر ااط مأ حأل ل حلخا عر ر

22

1 1 12

3 43 4

1 13 4

2 3

1

4

1

2

1 1

3 4

1 1

2 3

1

4

, ,

, ,

' ''

'''

!

! !

, , ,! !

,!

i i i i

i i i i

i i x y i i x y i i

x y i i x y i i

i i i i i i i i

i i

dy d yy y x x x x

dx dx

d y d yx x x x

dx dx

y y f x y h f x y h f x y h

f x y h

----- (6.18)

طلم نلال حأع حلا طرل أ حلص رة حلح حآلل hkakakakayy ii 443322111 ------ (6.16)

ايل الاي ع حمأي ر اايط حي حلا طرلي حأل لي تطلخا ي حلعير ر (6.19) تا يط حة حلا طرلي نعصل أ (6.18)

1 1 2 3 4

1

2 1

3 2

4 3

12 2

6

1 1

2 2

1 1

2 2

,

,

,

,

i i

i i

i i

i i

i i

y y k k k k h

k f x y

k f x h y k h

k f x h y k h

k f x h y k h

---------------- (6.20)

اط ا طرل ر نج ا حط ال حلرحت حلرحت أماط مطأق حأع حلا طرل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-264-

ديييييير عييييييل حلا طرليييييي حلحلطلييييييأم ( :6-8)مثااااااال y y x1 نييييييرx تا أ اميييييي (0) 1y

حلعيييل نييج ا حييط ح لححنط ييو اييال طرمقيي ر ( 6.67)ن مير احطتيي حلا طرليي حلحلطلييأم أيي حلصي رة

حلرحت حلرحت , (0) 1 y x y y

) اناط , ) f x y x y 0.1 حل ح حتطر أh أ نعصل

1 1

2 1 2 1

3 2 3 2

4 3 4 3

1 1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

12

6

,

,

,

, ,

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i i

k f x y k x y

k f x h y k h k x h y k h

k f x h y k h k x h y k h

k f x h y k h k x h y k h

y y k k

3 42k k h

0i ق نر ( 0اال حل أك ل 01, 0 y x )

1

2 1

3 2

4 3

1 0 1 2 3 4

1

0 1 1

1 10 0 5 0 1 1 0 5 1 0 1 0 9

2 2

1 10 0 5 0 1 1 0 5 0 9 0 1 0 9050

2 2

0 0 1 1 0 9050 0 1 0 8095

12 2

6

11

6

( . )( . ) ( . )( )( . ) .

( . )( . ) ( . )( . )( . ) .

. ( . )( . ) .

i i

i i

i i

i i

k x y

k x h y k h

k x h y k h

k x h y k h

y y k k k k h

y

1 2 0 9 2 0 9050 0 8095 0 1 0 9097* ( . ) * ( . ) . ( . ) .

الباب السادس

___________________________________________________

-265-

حلحطل العظ ححطتال حلقمك ال حلدر ل ن

( 1)y i 4k 3k 2k 1k ( )y i ( )x i i 0.9097 -0.8095 -0.905 -0.9 -1 1 0.0 2 0.83746 -0.6373 -0.72372 -0.71919 -0.80968 0.9097 0.1 6 0.7816 0.48149 --0.55968 -0.55559 -0.63746 0.83746 0.2 6 0.7406 -0.34051 -0.41126 -0.40756 -0.48164 0.7816 0.3 3 0.7131 -0.21294 -0.27696 -0.27361 -0.34064 0.7406 0.4 4 0.6976 -0.097518 -0.15544 -0.15241 -0.21306 0.7131 0.5 5 0.6932 0.0069248 -0.045487 -0.042743 -0.097624 0.6976 0.6 6 0.6987 0.10143 0.054004 0.056487 0.0068288 0.6932 0.7 7 0.7131 0.18694 0.14403 0.14627 0.10134 0.6987 0.8 8 0.7358 0.26431 0.22548 0.22752 0.18686 0.7131 0.9 6

ر نج ا حط ال حلرحت حلرحت اثطل أ طرمق (:6-2)جدول طرمقيي ر نييجتط ييحخرحك م ليي حللييرق اييط تييمل حلعييل حلحقرمتيي ( 6-8) حلحييطل حل ييال

ايل رق RK4 ايل حلنحيط ج نالعيظ ل طرمقي ، حلعيل حلحيطك RK4 ايل حلرحتي حلرحت ي ا حيط حلطرق لعل حأع حلا طرق حلحلطلأم

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

RK4

Exact

حلعل حلحطك RK4 طرمق ر نج ال حلرحت حلرحت تط حخرحك نحط ج حلعل :(6-8)شكل

األييل، ييا لاييط لأحترميير حيي حلايي حء نيير ررديي 6622اييرة ررديي عرحرحاييط ( :6-9)مثااال ححرحل ل حلعييرحرة حلالقيي رة نحمديي ل يي ط تيي . األييل 322حلعييرحرة لأ ييط حلاعييمط اقييرحر ط

.حاثل ررد عرحرة حلارة طلم حلا طرل حلحلطلأم حلح حقط، أ إ حتطر ل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-266-

K12000,1081102067.2 8412

dt

d

ديير ررديي حلعييرحرة نيير . حلييلال تطلثطنميي tحاثييل ررديي حلعييرحرة تييطلاألل حاثييل عميي 480t ثطنم 642تطححرحل ط ل حلخط ة. رحت حلرحت طرمق ر نج ا حط لأتط حخرحك ثطنم

حلعللححنط ييو اييال طرمقيي ر نييج ا حييط ح ( 6.67)ن مير احطتيي حلا طرليي حلحلطلييأم أيي حلصي رة

حلرحت حلرحت

12 4 8

12 4 8

2 2067 10 81 10

2 2067 10 81 10

.

, .

d

dt

f t

RK4نق ك تطلح مل ح ا طرل

1 1 2 3 4

1

2 1

3 2

4 3

12 2

6

1 1

2 2

1 1

2 2

,

,

,

,

i i

i i

i i

i i

i i

k k k k h

k f t

k f t h k h

k f t h k h

k f t h k h

0 ح ل 0i ق نر 00 1200, Kt ح ل اناط 001 ,tfk

12 4 80 1200 2 2067 10 1200 81 10 4 5579, . .f

hkhtfk 1002

2

1,

2

1

2405579.4

2

11200,240

2

10f

12 4 8120 653 05 2 2067 10 653 05 81 10 0 38347 , . . . .f

hkhtfk 2003

2

1,

2

1

24038347.0

2

11200,240

2

10f

الباب السادس

___________________________________________________

-267-

12 4 8120 1154 0 2 2067 10 1154 0 81 10 3 8954, . . . .f

hkhtfk 3004 , 240894.31200,2400 f

12 4 8240 265 10 2 2067 10 265 10 81 10 0 0069750 , . . . .f 1تطلح مل لع طو لما

hkkkk )22(6

1432101

240069750.08954.3238347.025579.46

11200

1200 2 1848 240 675 65. . K حلقما حلحقرمتم لررد حلعرحرة نر 1عم إل

1 0 0 240 240 = t t t h 1i ثطنمط نر 1 ح ل 1240 675 65, . Kt ح ل اناط

1 1 1

12 4 8240 675 65 2 2067 10 675 65 81 10 0 44199

,

, . . . .

k f t

f

2 1 1 1

12 4 8

1 1

2 2

1 1240 240 675 65 0 44199 240

2 2

360 622 61 2 2067 10 622 61 81 10 0 31372

,

, . .

, . . . .

k f t h k h

f

f

3 1 1 2

12 4 8

1 1

2 2

1 1240 240 675 65 0 31372 240

2 2

360 638 00 2 2067 10 638 00 81 10 0 34775

,

, . .

, . . . .

k f t h k h

f

f

4 1 1 3

12 4 8

240 240 675 65 0 34775 240

480 592 19 2 2067 10 592 19 81 10 0 25351

,

, . .

, . . . .

k f t h k h

f

f

2تطلح مل لع طو لما

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-268-

2 1 1 2 3 4

12 2

6

1675 65 0 44199 2 0 31372 2 0 34775 0 25351 240

6

1675 65 2 0184 240 594 91

6

( )

. . . . .

. . . K

k k k k h

حلقما حلحقرمتم لررد حلعرحرة نر 2عم إل 2 1 240 240 480 = t t t h

t 40 در عل حلا طرل حلحلطلأم ح حلاثطل حل طتق نر ( :6-10)مثال رلمق . اثل حلنطحج تمطنمط

حلعل ( 6.67)مدييطر عييل ي ا طرليي حلطلييأم أيي حلصيي رة ترنييطاج ق تحصييامك ي ف نقيي ك

إرخيطل ت يل حلتمطنيط إل عم معحطج حلترنطاج طرمق ر نج ا حط لأرحت حلرحت تط حخرحك : ااط مأ

h نرال لاط تطلرال Step Sizeإرخطل لما ط ل حلخط ة )إرخييطل حلرحليي , )f x y نراييل لاييط ( 6.67)أيي حلصيي رة لأا طرليي حلحلطلييأم ت يير ليي اط

) تطلرال , )f x y .0x،0yال خطل حل رط حقتحرح لما الإر

xf نرال لاط تطلرال yحلاطأ و نر ط ع طو لما xإرخطل لما

م حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم نر حنل

step size=240

the function f(x,y)=-2.2067*10^(-12)*(y^4-81*10^8)

x0=0

y0=1200

xf=2400

>>

الباب السادس

___________________________________________________

-269-

clc

clear all

syms f x y

h = input('step size=');

f = input('the function f(x,y)=');

X(1) = input('x0=');

Y(1) = input('y0=');

xf = input('xf=');

for i=1:(xf-X(1))/h

y=Y(i);

x=X(i);

k1=subs(f);

y=Y(i)+0.5*k1*h;

x=X(i)+0.5*h;

k2=subs(f);

y=Y(i)+0.5*k2*h;

x=X(i)+0.5*h;

k3=subs(f);

y=Y(i)+k3*h;

x=X(i)+h; k4=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h; X(i+1)=X(i)+h; end plot (X,Y,'b.') % numerical solution

طرمق تط حخرحك ( 6.67)مدطر عل ي ا طرل حلطلأم أ حلص رة إ(: 6-6)برنامج ر نج ا حط لأرحت حلرحت

42 حا ل ررد حلعرحرة ت ر ال ، د حلعرحرة اال حللالحغمر رر (6-9) ال ماثل

األل 424.6رلمق

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-270-

0 500 1000 1500 2000 2500400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

t

y

مر ررد حلعرحرة تطلاألل اال حللال حغ :( 6-9)شكل

الباب السادس

___________________________________________________

-271-

طريقة رونج كوتا من الرتبة الرابعة لحل مجموعة من المعادالت : رابعاا األولىالتفاضلية ذات الرتبة

تحرح م ا أ ا أ حلص رة حتقمك ل حأل ل لرمنط ا طرلحمل ال حلرحت تلرل 0 y F( x, y,v ), y( ) ------------------- (6.21) 0 v G( x, y,v ), v( ) ------------------- (6.22)

ادا ت ، لرمنط ادا حمل ال لمك حلث ح ح للرمنط ا طرلحمل حلطلأمحمل عم إل ااط مأ m حلث حت ادا kحلث حت

1

2 1 1

3 2 2

4 3 3

1

2 1 1

3 2 2

4 3

1 1 1

2 2 21 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 21 1 1

2 2 2

i i i

i i i

i i i

i i i

i i i

i i i

i i i

i i i

k F x , y ,v

k F x h, y hk ,v hm

k F x h, y hk ,v hm

k F x h, y k h,v hm

m G x , y ,v

m G x h, y hk ,v hm

m G x h, y hk ,v hm

m G x h, y k h,v 3 hm

حخييا mحيي عييمل ل حلث حتيي (6.21) حخييا حلا طرليي kقعييظ نييط ل لييمك حلث حتيي (6.22)حلا طرل

1ماال ع طو لمك طلحطل ت 1 i iy ,v ط مأ اا

1 1 2 3 4

1 1 2 3 4

12 2

61

2 26

i i

i i

y y k k k k h

v v m m m m h

ا يطرق حلحلطليأم ح ي يرر ايل حلط تق ح حنحطج طرمقي ر نيج ا حيط أل ماال اا حلحطل ل ، تلرل ادا ال ثال ا طرق حلطلأم ما ل عأاط أ حلنع حلرحت حأل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-272-

0 y F( x, y,v,w), y( ) ------------------- (6.23) 0 v G( x, y,v,w), v( ) ------------------- (6.24) 0 w H( x,y,v,w), w( ) ------------------- (6.25)

لرمنط ثال ادا ط ال حلث حت ، ادا ح لا طرق لرمنط ثالعم إل ااط مأ n حلث حت ادا mادا حلث حت ، kحلث حت

1

2 1 1 1

3 2 2 2

4 3 3 3

1

2 1 1 1

3

1 1 1 1

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 21

2

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i

k F x , y ,v ,w

k F x h, y hk ,v hm ,w hn

k F x h, y hk ,v hm ,w hn

k F x h, y hk ,v hm ,w hn

m G x , y ,v ,w

m G x h, y hk ,v hm ,w hn

m G x h, y

2 2 2

4 3 3 3

1

2 1 1 1

3 2 2 2

4 3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

hk ,v hm ,w hn

m G x h, y hk ,v hm ,w hn

n H x , y ,v ,w

n H x h, y hk ,v hm ,w hn

n H x h, y hk ,v hm ,w hn

n H x h, y hk ,v hm ,w hn

1ماال ع طو لمك طلحطل ت 1 1 i i iy ,v ,w ااط مأ

1 1 2 3 4

1 1 2 3 4

1 1 2 3 4

12 2

61

2 261

2 26

i i

i i

i i

y y k k k k h

v v m m m m h

w w n n n n h

الباب السادس

___________________________________________________

-273-

طريقة رونج كوتا من الرتبة الرابعة لحل المعادالت التفاضلية : خامساا من الرتبة الثانية

أ حلص رة تلرل حلا طرل حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم 0 0 y f ( x, y, y ), y( ) , y ( ) ------------ (6.26)

أي حأل ل ادا ال حلا طرق حلحلطلأم ح حلرحت إل تحع مل حلا طرل حلحلطلأم حلحطل حلنع

0 0

y v, y( ) ,v f ( x, y,v ), v( )

------------------- (6.27)

حأل ليي ادا يي اييل ا ييطرق حلررديي إليي ا طرليي حلررديي حلثطنميي ليير حع ليي حيي ل تايي ح حلح ما ل عأاط أ حلص رة

1

2 1

3 2

4 3

1

2 1 1 1

2

3 2 2 1 2

4

0 50 5

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 4 2

i

i

i

i

i i i

i i i i i i i

i i i i i i i

i i

k vk v . hmk v . hmk v hm

m f x , y ,v

m f x h, y hk ,v hm f x h, y hv ,v hm

m f x h, y hk ,v hm f x h, y hv h m ,v hm

m f x h, y 2

3 3 2 3

1

2

i i i i ihk ,v hm f x h, y hv h m ,v hm

y لييييع ت ييييتو ايييي ل kقعييييظ حلحغميييير حليييي ي عيييير لادا يييي حلث حتيييي v رحليييي حييييx لاحغمرمل تمر ا حارة أ ح حقط vحلاحغمر , y حا ل لمك y ,v حلحطل أ حلنع

1 1 2 3 4

1 2 3

2

1 2 3

1 1 2 3 4

12 2

61

2 0 5 2 0 56

1 =

61

2 26

i i

i i i i i

i i

i i

y y k k k k h

y v v . hm v . hm v hm h

y hv m m m h

v v m m m m h

k حاطاط ال حلاحغمرح طلمل حلا طرق خ نالعظ نط

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-274-

1x نر حلحطلم در عل ا نل حلقمك حقتحرح م ( :6-11)مثال تط ل خط ة اقرحرم0 1h .

23 5 0 1 0 0y xy y x , y ( ) , y ( ) الحل

ادا ال ا طرق حلررد إل تحع مل حلا طرل حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم حأل ل

2

0 13 5 0 0

y v , y ( )v x xv y , v ( )

23ن حنحج ل ( 6.67) تاقطرنحاط تطلا طرل 5f ( x , y ,v ) x xv y 0عم إل 0 0 1y ( ) , v ( ) ح ل:

0 ح ل 0i نر : ق 0 00 1 0 0 1 x , y , v , h . 2

1 0 0 0 0 0 0 0

2 1

2

3 1 2

2

4 3 3

0 1 0 3 5 =2 000

1 1 10 05 1 0 1 2 008

2 2 21 1 1 1

0 05 1 005 1 004 =2 0022 2 4 2

1

2

i i i i

i i i i

i i i i

m f x , y ,v f , , x x v y .

m f x h, y hv ,v hm f ( . , , . ) .

m f x h, y hv h m ,v hm f ( . , . , . ) .

m f x h, y hv h m ,v hm

0 1 1 01 0 2002 2 01998f ( . , . , . ) .

2

1 1 2 3

2

1 0 0 1 2 3

1 1 2 3 4

1 0 1 2 3 4

1

61

1 01006

12 2

61

2 2 0 20076

i i i

i i

y y hv m m m h

y y hv m m m h .

v v m m m m h

v v m m m m h .

1iت لال : ثطنمط 1 ح ل 1 10 1 1 01 0 2007 0 1 x . , y . , v . , h . 1 1 1 1

2 1

2

3 2 2

2

4 3 3

2 020

1 1 1 2 047

2 2 21 1 1 1

2 0422 2 4 2

12 079

2

i i i i

i i i i

i i i i

m f x , y ,v .

m f x h, y hv ,v hm .

m f x h, y v h h m ,v hm .

m f x h, y v h h m ,v hm .

الباب السادس

___________________________________________________

-275-

2

1 1 2 3

2

2 2 1 1 2 3

1 1 2 3 4

2 1 1 2 3 4

1

61

1 04036

12 2

61

2 2 0 40536

i i i

i i

y y hv m m m h

y y hv m m m h .

v v m m m m h

v v m m m m h .

تحارحر اط تق نعصل أ 3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10

1 0913 0 61761 1642 0 84101 2600 1 07831 3804 1 33181 5270 1 60281 7015 1 89211 9060 2 19962 1420

y . , v .y . , v .y . , v .y . , v .y . , v .y . , v .y . , v .y . , 10 2 5246v .

ترنطاج لمق ك تاط حك ح حلاثطل حل طتق ااط مأ حصامك ماال إرخطل ت ل حلتمطنط ااط مأ إل عم معحطج حلترنطاج

h مرال لاط تطلرال Step Sizeإرخطل لما ط ل حلخط ة )إرخطل حلرحل , , )f x y v ( 6.67)لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص رة

.0x،0y،0vال خطل حل رط حقتحرح لما الإر xf نرال لاط تطلرال y ،vحلاطأ و نر ط ع طو لما xإرخطل لما

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-276-

طرمق ر نج تط حخرحك ا طرق حلحلطلأم ال حلرحت حلثطنم حلحمدطر عل (: 6-7)برنامج ا حط لأرحت حلرحت

clc

clear all

syms f x y v

h = input('step size=');

f = input('the function f(x,y,v)=');

X(1) = input('x0=');

Y(1) = input('y(x0)=');

V(1)= input('v(x0)=');

xf = input('xf=');

for i=1:(xf-X(1))/h

y=Y(i);

x=X(i);

v=V(i);

m1=subs(f);

x=X(i)+0.5*h;

y=Y(i)+0.5*h*V(i);

v=V(i)+0.5*h*m1;

m2=subs(f);

x=X(i)+0.5*h;

y=Y(i)+0.5*h*V(i)+0.25*h^2*m1;

v=V(i)+0.5*h*m2;

m3=subs(f);

x=X(i)+h;

y=Y(i)+h*V(i)+0.5*h^2*m2;

v=V(i)+h*m3;

m4=subs(f);

Y(i+1)=Y(i)+h*V(i)+(1/6)*(m1+m2+m3)*h^2;

V(i+1)=V(i)+(1/6)*(m1+2*m2+2*m3+m4)*h;

X(i+1)=X(i)+h;

end

subplot(1,2,1)

plot (X,Y,'b.') % numerical solution

subplot(1,2,2)

plot (X,V,'b.') % numerical solution

الباب السادس

___________________________________________________

-277-

حلحطلم نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة step size=0.1

the function f(x,y,v)=3+5*x^2-x*v-y

x0=0

y(x0)=1

v(x0)=0

xf=1

>>

(6-62)ج ح حلترنطاج ح ال طحظار نح

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

X

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

V

xاال y,vحل الل اطتمل ال ال ( :6-11)شكل

اايط حي يال د طي ل رح ي oتليرل دي ر تنير ل ا أيق نير حلنقطي ( :6-12)مثال

ي حللح مي تطلحقييرمر تلييرل ل Pارال ييط نير حلنقطي mليد احأي اقيرحر ط ( 66-6)حلييرح ري حلحيي مصيين اط رح حلتنيير ل اييال حلاعيي ر حلر يي ، ديير حلا طرليي حلحلطلييأم حلحيي

.حلعرا حصف

صف عرا حلتنر ل : (11-6)شكل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-278-

حلعل ايييل ليييال حل يييا ل، ايييل حلختيييرح حل اأمييي مت ييير حعيييرر Pحلا ييينل حصيييف عراييي

محليييي ل عرايييي حلتنيييير ل حخايييير اييييال حقييييرك حلييييلال ايييي لع حلييييلال تييييمل عراييييط حلتنيييير ل .حلاحنردع حلاح طلت مقل

حلا طرل حلرمنطامامي لنمي حل تعمي حاي ل حلقي ة حلا يتت تط حخرحك حعرر Pتلرل ل عرا لأعرا

eF ma ------------------- (6.28)

حيييي ل، م ييييط ي NPطيييي ل حلقيييي نعميييي إل 2

2

da

dt اناييييط ححعيييي ل

إل ( 6.68)طرل حلا eF ma m

حلدط تم ارات ل ة 1F تلرل ل، Pحؤثر أ F حلق ة أ إ حتطر ل 1 g>0.F mg sin ,

أ حلص رة حلق ة حلاخارة حلح2F تلرل ل حلق ة 2 0F c , c .

ل إل حلاقط ا حا ل ح لي ل إل خرإل ، أ إححرحل إ اطل 2 1rF F F mg sin c

حلحطل أ لع حا ل ا طرل حلعرا أ حلنع 0 0

c gm mg sin c sin

m

0 حاثل ا طرل حلعرا لأتنر ل تطل ر ط حقتحرح م (0)=0( ) , ثطنميي إ ح أايي ل 65حل ييطتق خييالل حيي حلاثييطل صييف عرايي حلتنيير ل ( :6-13)مثااال

حلحطل حلا طرل حلحلطلأم حلح حصف عراح أ حلنع 00 3 0 0 45 0 0. sin , ( ) , ( )

0 أ ح حتطر ل ط ل حلخط ة اقرحرم 01h .. حلعيييل

RK4طرمق تط حخرحك حلطلأم عل حعأمأ نق ك تعأاط م در لحأع حلا طرل حل ق

الباب السادس

___________________________________________________

-279-

حلحطل أ حلنع حأل ل ادا ال ا طرق حلررد إل نق ك تحع مل حلا طرل

0 10 3 0 0

v , ( )v . v sin , v ( )

لعل حأع حلا نل ااط مأ (6-7) نق ك تحنلم ترنطاج

حلحطلم مظار ح حلنطح ة حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط حتط ط ااط ح غملنر

step size=0.1

the function f(x,y,v)=-0.3*v-sin(y)

x0=0

y(x0)=1

v(x0)=pi/4

xf=15

>>

(6-12)ا ل تطل ال نعصل أ حلانعن ااط

0 5 10 15-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Theta

0 5 10 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

V

حلعرا حلاخارة لعرا حلتنر ل :( 6-12)شكل

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-280-

ة العادية لحل المعادالت التفاضلي محدودهطريقة الفروق ال : سادساا لعيل حلا يطرق حلحلطليأم حل طرمي (Finite difference)طرمقي حللير ق حلاعير رم ح حخرك

يطرة ايط . نر نقطي حلترحمي حقيط وليس (boundary condition) حدوديةلديها شروط حلح (.Boundary-Value Problems)نطأييق أيي حأييع حلا ييط ل ا ييط ل حلقييمك حلعر رميي

حلحلطليأم ايل حأيع حلا يطرق إلي حي ي ح حلديلء ي ف نح يرل . BVP إخحصطرح ح ا حلحطلم م حلح أ حلص رة حلرحت حلثطن

2

2( , , '),

d yf x y y a x b

dx ------------ (6.26)

حلحطلم تطل ر ط حلعر رم a by(a) y , y(b) y ----------------- (6.32)

( simply supported beam) حيي حييو y( deflection) عييرحفحآلن : (6-14)اثييطل T( tensile axial) عايل ير اعي ري qعايل انيحظك ا يرل ل( 6-63)ااط ح ال م ط تطل الل

EI

xLqx

EI

Ty

dx

yd

2

)(2

2 --------------- (6.36)

عم لx ا لال أ حل حو ي(in) T عال حل ر حلاؤثر (lbs)

E ا طال منج(Young’s modulus )

I حل لك حلثطن لأا طع(in4) q اثطح حلعال حلانحظك(lb/in) L ط ل حل حو(in)

تا أ ام 47200 lbs, 5400 lbs/in, 75 in, 30 Msi, 120 in T q L E I

x"50 در حنعرحف حل حو نر 25ط ل خطي ة اقيرحر ط تط حخرحك "h تط يحخرحك ( central divided difference approximation)حلحقرمو حللرل حلاق ك حق ط

الباب السادس

___________________________________________________

-281-

حو اثت أ ر طاط :( 6-13)شكل

حلعيييل

تطلح مل تطلقمك حلا ططة ح حلا طرل ححلحلطلأم EI

xLqx

EI

Ty

dx

yd

2

)(2

2 ، نعصل أ

)120)(1030(2

)75()5400(

)120)(1030(

7200662

2

xxy

dx

yd

)75(105.7102 76

2

2

xxydx

yd -------- (6.36)

تحقرميو حلا يحق حلثطنمي 2

2

dx

yd تط يحخرحك(central divided difference approximation )

ااط مأ i نر حل قرم

طحلاق ك حأل حلحقرمو حللرل طرمق تط حخرحك اعر رمحللر ق حل :( 6-14)شكل

2

1 1

2 2

2

( )

i i iy y yd y

dx h

------------ (6.33)

حلا طرل حلحلطلأم ، نعصل أ تطلح مل ناط ح 6 71 1

2

22 10 7.5 10 (75 )

( )

i i ii i i

y y yy x x

h

------(6.34)

q

y

L

x

T T

1i i 1i

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-282-

25hعميييي إل ، لييييرمنط رتييييال قيييير حيييي ل(4 nodes ) طيييي ل حل حييييو عميييي إل 75L ت ص

25hتط حخرحك 75xإل 0xال اعر رمحللر ق حل: (6-15)شكل

رت قر ااط مأ أ لع ما ل ا لال حأل

1 0x 2 1 0 25 25 x x h 3 2 25 25 50 x x h 4 3 50 25 75 x x h

تاحطت حلا طرل نر ال قرم نعصل أح ل ( simply supported beam) حيو اثتي ايل حلطيرحمل نيد عمي :األولاى العقده

نعصل أ 0x نر 01 y ------------------- (6.35)

تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطنم نعصل أ ، :العقده الثانية )75(105.7102

)25(

222

7

2

6

2

123 xxyyyy

)2575)(25(105.70016.0003202.00016.0 7

321 yyy 4

321 10375.90016.0003202.00016.0 yyy --- (6.36) تاحطت حلا طرل لأ قرم حلثطلث نعصل أ ، :العقده الثالثة

)75(105.7102)25(

233

7

3

6

2

234 xxyyyy

)5075)(50(105.70016.0003202.00016.0 7

332 yyy 4

332 10375.90016.0003202.00016.0 yyy ------ (6.37) 75xل نر حو اثت ال حلطرحمل ح ند عم :العقده الرابعة نعصل أ

1i 2i 3i 4i

0x 25x 50x 75x

الباب السادس

___________________________________________________

-283-

04 y --------------------------- (6.38) ادط مل ا طرق خطم ح رت رت ( 6.35-6.38) حلا طرق حل طتق

حلحطل ماال احطتحاط أ حلنع

0

10375.9

10375.9

0

1000

0016.0003202.00016.00

00016.0003202.00016.0

0001

4

4

4

3

2

1

y

y

y

y

ااط مأ MATLABتط حخرحك تعل حأع حلا طرق

a=[ 1 0 0 0 ;0.0016 -0.003202 0.0016 0; 0 0.0016 -0.003202 0.0016; 0 0 0 1] b=[0 9.375*10^-4 9.375*10^-4 0]'; y=inv(a)*b

نعصل أ

0

5852.0

5852.0

0

4

3

2

1

y

y

y

y

)2 لما 50x"عرحف نر نحق ما ل )y x تا ن "5852.0)()50( 22 yxyy

2 دييير عيييل ا ييينل حلقيييمك حلعر رمييي ( :6-15)مثاااال 2y y x ايييال حل أيييك ل(0) 0, (1) cosh(1) -1 y y 0.25طيييي ل خطيييي ة اقييييرحر ط تط ييييحخرحكh تط ييييحخرحك .حلحقرمو حللرل حلاق ك حق ط

حلعل

تحقرمو حلا حق حلثطنمي 2

2

dx

yd تط يحخرحك(Central Divided Difference Approximation )

( 6.33)ح ااط i نر حل قرم

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-284-

نعصل أ حلا طرل حلحلطلأم ، تطلح مل ناط ح 21 1

2

22

( )

i i ii

y y yy x

h

------------------- (6.39)

(6-63)ااط ح ال قر خا لرمنط، 0.25hعم إل

0xال اعر رمحللر ق حل ( :6-16)شكل 1إلx 0.25تط حخرحكh

قر ااط مأ حلخا أ لع ما ل ا لال

1 0x 2 1 0 0.25 0.25x x h 3 2 0.25 0.25 0.5x x h 4 3 0.5 0.25 0.75x x h

5 4 0.75 0.25 1x x h تاحطت حلا طرل نر ال قرم نعصل أ

(0) عم :األولى العقده 0y نعصل أ 01 y ------------------------ (6.40)

حلثطنم نعصل أ تاحطت حلا طرل لأ قرم :العقده الثانية 23 2 1

2 22

21

(0.25)

y y yy x

23 2 12 1 2 32

2(0.25) 1 2.0625 0.2344

(0.25)

y y yy y y y ---(6.41)

حلثطلث نعصل أ تاحطت حلا طرل لأ قرم :العقده الثالثة 24 3 2

3 32

21

(0.25)

y y yy x

24 3 23 2 3 42

2(0.5) 1 2.0625 0.1875

(0.25)

y y yy y y y ---(6.42)

نعصل أ حلرحت م تاحطت حلا طرل لأ قر :العقده الرابعة

0x 0.25x 0.5x

1i 2i 3i 4i

0.75x

5i

1x

الباب السادس

___________________________________________________

-285-

25 4 34 42

21

(0.25)

y y yy x

25 4 34 3 4 52

2(0.75) 1 2.0625 0.1094

(0.25)

y y yy y y y -- (6.43)

(1)عم :حل قرم حلخطا cosh(1) 1 y نعصل أ 5 cosh(1) 1 y ------------------- (6.44)

ييي خاييين ا يييطرق خطمييي حييي خا ييي ادط ميييل ( 6.40-6.44) حلا يييطرق حل يييطتق حلحطل أ حلنع أ ص رة اصل ح ماال احطتحاط

1

2

3

4

5

1 0 0 0 0 0

1 2.0625 1 0 0 0.2344

0 1 2.0625 1 0 0.1875

0 0 1 2.0625 1 0.1094

0 0 0 0 1 cosh(1) 1

y

y

y

y

y

ااط مأ MATLABترنطاج تط حخرحك تعل حأع حلا طرق

a=[ 1 0 0 0 0 ;1 -2.0625 1 0 0;0 1 -2.0625 1 0;0 0 1 -2.0625 1; 0 0 0 0 1]; b=[0 -0.2344 -0.1875 -0.1094 cosh(1)-1]'; y=inv(a)*b

نعصل أ

1

2

3

4

5

0

0.3876

0.05651

0.5903

0.5431

y

y

y

y

y

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-286-

( :6-1)تمارين 2 دييييير عيييييل حلا طرلييييي حلحلطليييييأم (1) 4

0 02 , ( )yy y x x طرمقييييي تط يييييحخرحك0 مأيير تا أ اميي 1.h اييال حلعييل حلحييطك أمييد لييطرل حلعييل حلحقرمتيي حليي ي عصييأ

.لحأع حلا طرل حلحلطلأم 2لطلييييأم ديييير عييييل حلا طرليييي حلح (2)

0 02 , ( )y x

yy e e x طرمقيييي تط ييييحخرحك0 مأيير تا أ اميي 05.h اييال حلعييل حلحييطك أمييد لييطرل حلعييل حلحقرمتيي حليي ي عصييأ

.لحأع حلا طرل حلحلطلأم (إ حخرك ر خط ح ) حآلحم طتق لط رة مأر أ ال ال حلا طرق حلحلطلأم (3)

0 1 0 1

0 1 0 01

2 0 0 0 1

) , ( ) , .

) , ( ) , .

) , ( ) , .

dyi y y h

dt

dyii y y h

dt

dyiii ty y h

dt

(إ حخرك ر خط ح ) طتق طرمق ر نج ا حط لعل ا نل حلقما حقتحرح م (4)2 2 0 0 0 1, ( ) , .

dyy y h

dt

10طرمقييي مأييير حييي حللحيييرة تط يييحخرحك دييير عيييل نظيييطك حلا يييطرق حلحلطليييأم (5) t 0تط حخرحك 1.h

2 3 0 2 1

2 0 2 8

, ( ) . ,

, ( ) . .

dxx y x

dt

dyx y y

dt

حلطلأم حتر حلا طرل حلح (6)2

24 5 0 0 3 0 5, ( ) , ( )

d y dy dyy y

dt dt dt

تر ل م حلا طرل حلحلطلأم تنظطك ال حلا طرق حلحلطلأم 10ح يييحخرك طرمقييي ر نيييج ا حيييط لعيييل ييي ح حلنظيييطك حييي حللحيييرة t تطييي ل

0 اقرحرمخط ة 1.h

الباب السادس

___________________________________________________

-287-

1 ديير عييل حلا طرليي حلحلطلييأم (7) 2 0 0, ( )y xy y طرمقيي ر نييج تط ييحخرحك0ا حط ال حلررد حلثطنم تط ل خط ة 1.h .

0ح يييحخرك طرمقييي ر نيييج ا حيييط تطييي ل خطييي ة اقيييرحرم (8) 05.h لعيييل نظيييطك حلا يييطرق ،0ح حللحرة حآلحم حلحلطلأم 2x

2 2

2

2

2 0 0

0 0

2 0 0

2 0 0

, ( )

, ( )

, ( )

- , ( )

y x w z y

v y z v

w x vx z w

z x vx w z

اال حلعل حلحطك أ أمد حل ي عص لطرل حلعل 2 2 21, , ,y x v w x z x

حلحطلميييي تط ييييحخرحك طرمقيييي ر نييييج ا حييييط تطيييي ل خطيييي ة ديييير عييييل حلا طرليييي حلحلطلييييأم (9)0 01.h 0ح حللحرة 10x ثك اثل حلعل تمطنمط .0 2 0 0 0 0

4( . ) sin , ( ) , ( )y y y y y

0حرم ح ييحخرك طرمقيي ر نييج ا حييط تطيي ل خطيي ة اقيير (11) 05.h لعييل نظييطك حلا ييطرق ،0ح حللحرة حآلحم حلحلطلأم 3x

2 2

2 2

1 0 0

1 0 1

, ( )

- - , ( )

y v y v y

v y y v v

sin لطرل حلعل اال حلعل حلحطك , cosy x v x )4 ديييييير لمايييييي (11) )y 26لأا طرليييييي حلحلطلييييييأم 0 5. , y(0)=0, y(12)=0y x x

حلحقرميييو حللرلييي حلاق يييك حق يييط طرمقييي تط يييحخرحك اعييير رمطرمقييي حللييير ق حل تط يييحخرحك4hتط ل خط ة اقرحر ط .

)4 ديييير لمايييي (12) )u لأا طرليييي حلحلطلييييأم2

23 7 6 , u(0)=4, u(12)=9d u u

xdx x

يييط حلحقرميييو حللرلييي حلاق يييك حقطرمقييي تط يييحخرحك اعييير رمطرمقييي حللييير ق حلتط يييحخرحك 4hتط ل خط ة اقرحر ط .

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________

-288-

4إ ح اييييييطل (13) 5y x y 0 اطنيييييي 36 1 21( . ) .y إع ييييييو لماييييييy نيييييير 0 4 0 44 0 48. , . , .x

yإ ح اطل (14)y

x y

0 اطن 4 10 5( . ) .y إع و لماy 0 نر 8.x