Александр Шень — Неразрешимые задачи и нижние оценки

Неразрешимые задачи и нижние оценки

[email protected], LIRMM, Montpellier,ИППИ

13 сентября 2014

[email protected], LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки

Abstract

Понятно, зачем теоретики находят эффективныеалгоритмы решения задач какого-то класса, а потомпрактики их реализуют. Но теоретики стараются такжедоказать, что для некоторых задач эффективныхалгоритмов (и даже вообще никаких алгоритмов) несуществует. Что при этом им удаётся и не удаётся, изачем это может быть нужно? Речь пойдёт о «проблемеостановки» и задачах, к которым она сводится, ознаменитом классе NP, а также о простых нижнихоценках.


Примение компьютеров: условная схема

жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»



жизненная ситуация, требующая улучшений

математическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»



жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачи

алгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»



жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачу

программная реализация этого алгоритма«внедрение»



жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма

«внедрение»



жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»


Возможные препятствия

жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы



жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)

математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы



жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задаче

математическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы



жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешима

неизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы



жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритм

программа неправильнааппаратные проблемы



жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильна

аппаратные проблемы



жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы


Неразрешимые проблемы: что это значит?

«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]



«допрыгнуть до Луны» [не удастся]

бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]



«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]

10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]



«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]

разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]



«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]


«Проблема остановки»

утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть



утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятие

теория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть



утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)

первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть



утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»

определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть



утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли она

нет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть



утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)

не просто сейчас нет, а не может быть



утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть


Варианты проблемы остановки сводятся друг к другу

останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы



останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)

останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы



останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)

сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы



останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметр

в другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы



останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constant

зависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы



останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы


В чём сила проблемы остановки?

к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)



к ней сводятся многие другие проблемы

если бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)



к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимо

верна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)



к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2

есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)



к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числа

бесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)



к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)


Диагональный аргумент Кантора

бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1

1a12a

13 . . ., a2 = a2

1a22a

23 . . ., a3 = . . ., то

есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai

i ⊕ 1



бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .

множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1

1a12a

13 . . ., a2 = a2

1a22a

23 . . ., a3 = . . ., то


i ⊕ 1



бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётно

нельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1

1a12a

13 . . ., a2 = a2

1a22a

23 . . ., a3 = . . ., то


i ⊕ 1



бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумеровать

если есть последовательность дробейa1 = .a1

1a12a

13 . . ., a2 = a2

1a22a

23 . . ., a3 = . . ., то


i ⊕ 1




1a12a

13 . . ., a2 = a2

1a22a

23 . . ., a3 = . . ., то

есть и дробь, не входящая в этупоследовательность

почему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai

i ⊕ 1




1a12a

13 . . ., a2 = a2

1a22a

23 . . ., a3 = . . ., то

есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции i

bi = aii ⊕ 1




1a12a

13 . . ., a2 = a2

1a22a

23 . . ., a3 = . . ., то


i ⊕ 1


Вычислимый вариант диагонального аргумента

вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора



вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместе

вариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора



вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)

все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора



вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимы

но есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора



вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дроби

расположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора



вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора


Неразрешимость проблемы остановки

почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).



почему в предыдущем нет противоречия?

пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).



почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)

тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).



почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробей

пусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).



почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)

некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).



почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)

если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).



почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).


Парадоксы самоприменимости

цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?



цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется сам

прилагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?



цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?

множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?



цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элемента

программа p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?



цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?


Проблема остановки неразрешима, и что?

мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима



мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)

но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима



мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратное

проблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима



мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановки

и потому задача X алгоритмическинеразрешима



мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима


Игра FRACTRAN Конвея

игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима



игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rk

если можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима



игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из списка

если нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима



игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчивается

задача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима



игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игра

теорема: эта задача алгоритмическинеразрешима



игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима


Доказательство неразрешимости

доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A



доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигры

специальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A



доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программирования

но опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A



доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот язык

программа: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A



доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонули

x ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A



доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1

x ← x − 1, exception: goto A



доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A


Как что-то запрограммировать

безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .



безусловный переход goto A

(специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .



безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)

if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .



безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto B

x ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .



безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto A

цикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .



безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью if

арифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .



безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое число

массив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .



безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .


Сведение программы к игре

значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19

1717 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется 19

2·17 ;2317



значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простых

а команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19


2·17 ;2317



значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей команды

пусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19


2·17 ;2317



значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется

2·1917


2·17 ;2317




17


2·17 ;2317




1717 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется

192·17 ;

2317





2·17 ;2317


Теоретическая и практическая разрешимость

многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .


en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzle



многие задачи могут быть решены перебором

в шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .





многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничью

рассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .





многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собрать

можно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .





многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,

тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .





многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматам

конкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .





многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzle

криптография, SSL, банки,. . .





многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .




Полиномиальные задачи

полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входа

пример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел

столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбиком

деление длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел

уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)

сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива

даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырьком

соответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)



полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)


Полиномиальные задачи с нетривиальнымиалгоритмами

паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах



паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)

проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах



паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли число

эйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах



паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)

разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах



паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах


Переборные задачи (NP)

спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)



спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойством

объект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)



спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размера

и свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)



спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемое

но объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)



спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много

(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)



спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)


P=NP?

многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP


P=NP?

многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеют

примеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP


P=NP?

многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числах

гамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP


P=NP?

многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)

разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP


P=NP?

многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множители

но теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP


P=NP?

многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)

не доказано (но правдоподобно), что P6=NP


P=NP?

многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP


И что же, совсем ничего не известно?

NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость



NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задача

научившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость



NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи

(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость



NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)

про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость



NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнота

с практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость



NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость


Ближе к жизни

нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов



нижние оценки времени работы — делосложное

более ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов



нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмов

скажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов



нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировке

для сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов



нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)

для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов



нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов


Александр Шень — Неразрешимые задачи и нижние оценки

Documents

Transcript of Александр Шень — Неразрешимые задачи и нижние оценки