บทที่ 5 - teerasak.rmutl.ac.th for Engineer/5_6_web.pdf · บทที่ 5...

บทที่ 5 อินทิกรัลหลายชั้น

5.6 การเปล่ียนตัวแปรในอินทิกรัลสามชั้น (Change of variables in a triple integrals)

จากอินทิกรัลสองช้ันเราทราบแลววา อินทิกรัลสองช้ันบางชนิดนั้นสามารถหาคาไดงายในพิกัดเชิงข้ัว ในทํานองเดียวกันอินทิกรัลสามช้ันบางคร้ังบริเวณของการอินทิเกรต หรือฟงกชันท่ีจะอินทิเกรต อยูในรูปแบบท่ีอาจจะยุงยากเม่ืออินทิเกรตเทียบกับตัวแปร yx , หรือ z แตถาเปล่ียนเปนตัวแปรอ่ืนแลวทําใหงายข้ึนหรือหาคาไดงายกวาตัวแปรท่ีมีประโยชน และชวยในการหาคาอินทิกรัลสามช้ันคือ การเปล่ียนตัวแปรในพิกัดทรงกระบอกหรือพิกัดทรงกลม

อินทิกรัลสามชั้นในพิกัดทรงกระบอก

ความสัมพันธระหวางพิกัดฉากกับพิกัดทรงกระบอก

พิกัดทรงกระบอกเปนระบบท่ีกําหนดจุดP ใด ๆ ซ่ึงมีพิกัด ( )zyx ,, ในพิกัดฉากดวยพิกัด ( )zr ,,θ เม่ือ ( )θ,r เปนพิกัดเชิงข้ัวของ ( )yx , ซ่ึงเปนโพรเจกชันของ P บนระนาบXY

โดยท่ี r คือ ระยะทางท่ีQ ซ่ึงเปนโพรเจกชันของ P บนระนาบXY ท่ีหางจากจุดกําเนิด θ คือ มุมท่ี OQ ซ่ึงเปนโพรเจกชันของ OP บนระนาบXY ทํากับแกนX โดยกําหนดให θ มีคาเปนบวก โดยวัดออกจากแกนX ในทิศทวนเข็มนาฬิกา z คือ พิกัด z ในพิกัด ( )zyx ,, ดังรูป 5.69

2 อินทิกรัลหลายชั้น

Z

( )zyxP ,, • ( )zr ,,θ

O θ r Y ( )0,, yxQ ( )0,,θr X รูป 5.69 นั่นคือจะไดวา

( ) θθ cos,, rzrXx == ( ) θθ sin,, rzrYy == ( ) zzrZz == ,,θ และสามารถหาความสัมพันธของ zr ,,θ ในรูปของ zyx ,, ไดดังนี้

22 yxr +=

0,tan ≠= xxyθ

เง่ือนไขสําหรับ θ,r กําหนดแบบเดียวกับพิกัดเชิงข้ัวดังนี้

กําหนดให 0≥r และ [ ]00 2, θπθθ +∈ เม่ือ 00 =θ หรือ 20πθ −=

จากอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดฉาก เรานิยามอินทิกรัลสามช้ันของฟงกชันตอเนื่อง f บนบริเวณรูปทรงสามมิติ S ในรูปลิมิตดังนี้

( )∫∫∫S

dvzyxf ,, ( )∑∑∑= = =

∗∗∗

+∞→+∞→+∞→

Δ=m

i

n

j

p

kijkkji

pnm

Vzyxf1 1 1

,,lim เม่ือลิมิตหาคาได

เม่ือ ijkVΔ แทนปริมาตรของรูปทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีอยูขางใน S และ ( )∗∗∗kji zyx ,,

เปนจุดใด ๆ ในรูปทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากยอยนี้ ดังรูป 5.70

อินทิกรัลหลายชั้น 3

Z

( )∗∗∗

kji zyx ,, ปริมาตร ijkVΔ=

S

Y X รูป 5.70 เราจะนิยามอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลมในทํานองเดียวกันกับในพิกัดฉาก เพียงแตแตกตางกันท่ีการแบงบริเวณ S จะไมเปนรูปทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากยอย ๆ แตจะแบงออกเปนบริเวณท่ีเหมาะสมกับพิกัดท้ังสอง ในพิกัดทรงกระบอก จะแบง S โดยการใชพื้นผิวซ่ึงมีสมการตอไปนี้ 0rr = แทน สมการของทรงกระบอกกลมตรงท่ีมีรัศมี 0r และมีศูนยกลางอยูบน แกน Z 0θθ = แทน สมการของกึ่งระนาบต้ังท่ีทํามุม 0θ กับระนาบXZ ยึดตามแนวแกนZ 0zz = แทน สมการของระนาบซ่ึงขนานกับระนาบXY ตามแนวนอน และหางจาก ระนาบXY เทากับ 0z ตามแนวนอน ดังรูป 5.71

.


Z Z Z

0 Y 0 Y 0 θ

X X X 0rr = 0θθ = 0zz =

รูป 5.71 และคูของแตละพื้นผิวเหลานี้ประกอบกันทําใหเกิดรูปทรงสามมิติท่ีเรียกวา ล่ิมทรงกระบอก ซ่ึงล่ิมทรงกระบอกรูปหนึ่งจะถูกลอมโดยพ้ืนผิว 6 พื้นผิวดังนี้ รูปทรงกระบอก 2 รูป ( )2121 , rrrrrr <== กึ่งระนาบ 2 รูป ( )2121 , θθθθθθ <== ระนาบนอน 2 รูป ( )2121 , zzzzzz <== ดังรูป 5.72

Z

2z

1z

0 Y 2θ 1r 1θ 2r

X รูป 5.72

Y


โดยเรียก ผลตางของ 12 θθ − วา มุมกลาง ผลตางของ 12 rr − วา ความหนา ผลตางของ 12 zz − วา ความสูงของล่ิม ในการนิยามอินทิกรัลสามช้ันบนบริเวณS ของฟงกชัน ( )zrf ,,θ ในพิกัดทรงกระบอก จะดําเนินการตามข้ันตอนดังนี้

1. สรางกริด (grid) 3 มิติท่ีประกอบดวยรูปทรงกระบอกกลมตรง โดยมีศูนยกลาง อยูบนแกนZ สมการกึ่งระนาบท่ียึดไปตามแกนZ และสมการระนาบตามแนวนอน บล็อกท่ีเกิดข้ึนจากกริดเปนล่ิมทรงกระบอก แลวใชกริดเหลานี้แบงบริเวณS ออกเปนบริเวณยอยและจะไมพิจารณาบริเวณยอยท่ีรวมสวนท่ีอยูบนพื้นผิวของรูปทรงสามมิติS จึงเหลือเฉพาะล่ิมทรงกระบอกท่ีอยูขางในS ดังรูป 5.73 และแทนปริมาตรของล่ิมทรงกระบอกเหลานี้โดย

nVVV ΔΔΔ ,...,, 21

Z

( )∗∗∗kkk zr ,,θ

ปริมาตร ijkVΔ=

S

Y X รูป 5.73

2. เลือกจุด ๆ หนึ่งในล่ิมทรงกระบอกแตละช้ิน และแทนจุดท่ีเลือกนั้นโดย ),,(),...,,,(),,,( ****

2*2

*2

*1

*1

*1 nnn zrzrzr θθθ ดังรูป 5.73

3. สรางผลบวก kkkk

n

kVzrf Δ∑

=

),,( ***

1θ

4. ทําข้ันตอน 1 – 3 ซํ้าอีก ดวยการแบงล่ิมทรงกระบอกเปนจํานวนมากข้ึนโดยทําให ความสูงความหนาและมุมกลางของล่ิมแตละช้ัน มีคาเขาใกลศูนย และ n (จํานวนล่ิมทรง กระบอก) เขาใกล ∞+ และนิยาม

.


kkkk

n

kSn

VzrfdVzrf Δ= ∑∫∫∫=+∞→

),,(lim),,( ***

1θθ

การหาคาอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกระบอกบนรูปทรงสามมิติ สามารถอินทิเกรตซํ้าไดโดยอาศัยทฤษฎีบทตอไปนี้ ใหS เปนรูปทรงสามมิติท่ีมีพื้นผิวบน กําหนดโดยสมการ ( )θ,2 rgz = และพ้ืนผิวลางกําหนดโดยสมการ ( )θ,1 rgz = ในพิกัดทรงกระบอก ถา S ′ เปนโพรเจกชันของรูปทรงสามมิติบนระนาบXY และถา ( )zrf ,,θ เปนฟงกชันตอเนื่องบน S แลว

( ) ( )( )

( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

S S

rg

rg

dAdzzrfdVzrfθ

θ

θθ,

,

2

1

,,,,

เม่ืออินทิกรัลสองช้ันบนบริเวณS ′ คํานวณคาในพิกัดเชิงข้ัว ถาโพรเจกชัน S ′ เปน

บริเวณตามท่ีแสดงดังรูป 5.74

Z

( )θ,2 rgz =

S

( )θ,1 rgz =

0 Y 2θ 1θ ( )θ1r ( )θ2r X รูป 5.74

แลวจะเขียน ไดเปน

( ) ( ) θθθθ

θ

θ

θ

θ

θ

rdzdrdzrfdVzrfS

rg

rg

r

r

,,,,),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

2

1

∫∫∫ ∫∫∫=

สูตรนี้ใชกับทรงสามมิติดังรูป 5.74


หมายเหตุ จะพิจารณาถึงท่ีมาของพจน r โดยพิจารณาจากนิยาม

kkkk

n

kSn


),,(lim),,( ***

1θθ

ในสูตรนี้ปริมาตร kVΔ ของล่ิมทรงกระบอกช้ินท่ี k สามารถเขียนอยูในรูป

kVΔ = [ พื้นท่ีของฐาน ]× [ ความสูง ]

ถาให kkr θΔΔ , และ kzΔ แทนความหนา มุมกลาง และความสูงของล่ิมทรงกระบอกตามลําดับแลว และถาเลือกจุด ( )*** ,, kkk zr θ ใหอยูเหนือศูนยกลางของฐาน ดังรูป 5.75

Z

kzΔ ( )*** ,, kkk zr θ

0 Y kθΔ ∗

kr krΔ พื้นท่ีฐานเทากับ kkk rr θΔΔ∗

X รูป 5.75

พิจารณาพื้นท่ีฐาน สมมติจุด ),( **kkr θ ท่ีเลือกมานั้นอยูท่ีศูนยกลางของรูปส่ี เหล่ียมผืนผา

เชิงข้ัวรูปท่ี k กลาวคืออยูท่ีระยะกึ่งกลางระหวางขอบเขตอารกวงกลม และอยูบนเสนรังสีท่ีแบงคร่ึงอารกดังกลาว ดังรูป 5.76

•

•


krΔ21 ),( **

kkr θ

krΔ21 .

∗kr

kθΔ krΔ

รูป 5.76

นอกจากนี้สมมติวารูปส่ีเหล่ียมผืนผาเชิงข้ัวมีมุมท่ีรองรับคือ kθΔ และมีความหนา

ตามแนวรัศมี คือ krΔ ดังนั้นรัศมีดานในของรูปส่ีเหล่ียมเชิงข้ัวนี้คือ kk rr Δ−21* และรัศมีดาน

นอกคือ kk rr Δ+21* ถาพิจารณาพื้นท่ี krΔ ของรูปส่ีเหล่ียมผืนผาเชิงข้ัวนี้วาเปนผลตางของพื้นท่ี

ของสองเซกเตอร แลวจะได

kΔΑ = kkkkkk rrrr θθ ΔΔ−−ΔΔ+ 2*2* )21(

21)

21(

21

( จากพื้นท่ีสามเหล่ียมฐานโคง ⋅=21 (รัศมี 2 )(มุมท่ีรองรับท่ีจุดศูนยกลาง)

kΔΑ ( ) ( ) ( ) ( ) kkkkkkkkkk rrrrrrrr θθ Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+Δ−−Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+Δ+= ∗∗∗∗ 2222

41

21

41

21

kΔΑ kkk rr θΔΔ= * นั่นคือจะไดพื้นท่ีฐานคือ kkk rr θΔΔ* ดังนั้นจะเขียน kVΔ ไดเปน

kkkkk zrrV ΔΔΔ=Δ θ*

จาก kkkk

n

kSn


),,(lim),,( ***

1θθ

แทน kVΔ ได

∫∫∫ ∑ ΔΔΔ==+∞→

Skkkkkkk

n

knzrrzrfdVzrf θθθ ****

1),,(lim),,(

นั่นคือ

( ) ( ) θθθθ

θ

θ

θ

θ

θ

rdzdrdzrfdVzrfS

rg

rg

r

r

,,,,),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

2

1

∫∫∫ ∫∫∫=

การใชสูตร ( )( )

( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

S S

rg

rg

dAdzzrfdVzrfθ

θ

θθ,

,

2

1

,,),,(


และ ( ) ( ) θθθθ

θ

θ

θ

θ

θ

rdzdrdzrfdVzrfS

rg

rg

r

r

,,,,),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

2

1

∫∫∫ ∫∫∫= ควรดําเนินการดังนี้

1. เขียนรูปทรงสามมิติ S 2. หาลิมิตของการอินทิเกรตดังนี้

2.1 ใหพื้นผิวบนของรูปทรงสามมิติ S คือ ( )θ,2 rgz = และพ้ืนผิวลางคือ ( )θ,1 rgz = ซ่ึงฟงกชัน ( )θ,1 rg และ ( )θ,2 rg จะกําหนดลิมิตของการอินทิเกรตเทียบ

กับ z (ถาพื้นผิวบนและพื้นผิวลางกําหนดมาในรูปพิกัดฉาก ใหเปล่ียนสมการเปนพิกัดทรงกระบอก)

2.2 เขียนภาพฉายS ′ ของ S ในระนาบ XY จากภาพฉายน้ีจะหาลิมิตของการ อินทิเกรตเทียบกับr และθ ไดเชนเดียวกับอินทิกรัลสองช้ันในพิกัดเชิงข้ัว

หมายเหตุ การหาคาอินทิกรัลสามช้ันบางคร้ังทําไดยากในพิกัดฉาก แตสามารถทําไดงายเม่ือ เขียนตัวถูกอินทิเกรตและลิมิตของการอินทิเกรตในพิกัดทรงกระบอก วิธีนี้จะใชไดเสมอเม่ือตัวถูก

อินทิเกรตหรือลิมิตของการอินทิเกรตเขียนอยูในรูปของ 22 yx + หรือ 22 yx + เพราะวารูปเหลานี้เขียนในพิกัดทรงกระบอกไดงาย ๆ เปน 2r หรือ r ตามลําดับ


ตัวอยาง 5.6.1 ให S เปนบริเวณในออคแทนทท่ี 1 ท่ีถูกปดลอมดวยรูปทรงกระบอก

422 =+ yx รูปทรงกระบอก 922 =+ yx ระนาบ xy3

1= ระนาบ xy 3= ระนาบ

3=z และระนาบ 5=z จงเขียนบริเวณของการอินทิเกรตในพิกัดทรงกระบอก

วิธีทํา โดยใชความสัมพันธ θθ sin,cos ryrx == และ zz = แทนลงในสมการพ้ืนผิว ไดดังนี้

รูปทรงกระบอก 422 =+ yx เปล่ียนเปนพิกัดทรงกระบอกไดเปน 42 =r นั่นคือ 2±=r แตเนื่องจาก 0≥r ดังนั้น 2=r

ในทํานองเดียวกัน รูปทรงกระบอก 922 =+ yx เปล่ียนเปนพิกัดทรงกระบอกไดเปน

3=r

ระนาบ xy3

1= เปล่ียนเปนพิกัดทรงกระบอกได

θθ cos3

1sin rr =

3

1cossin

=θθ

3

1tan =θ

นั่นคือ 6πθ = หรือ

67πθ =

แตเนื่องจากบริเวณของการอินทิเกรตอยูในออคแทนทท่ี 1 ดังนั้น 6πθ =

ในทํานองเดียวกัน ระนาบ xy 3= จะได 3tan =θ ดังนั้น 3πθ =

และบริเวณของการอินทิเกรตในพิกัดทรงกระบอกคือ

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤≤≤≤≤ 53,32,36

,, zrzr πθπθ

ดังรูป 5.77


Z

5 422 =+ yx หรือ 2=r 3

922 =+ yx หรือ 3=r

0 Y X รูป 5.77

ตัวอยาง 5.6.2 จงใชอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกระบอกหาปริมาตรของรูปทรงสามมิติ S ท่ีถูก

ปดลอมดานบนโดยคร่ึงทรงกลม 2225 yxz −−= ดานลางโดยระนาบ XY และปดดานขางโดยทรงกระบอก 922 =+ yx วิธีทํา เขียนกราฟทรงสามมิติ S และภาพฉาย S ′บนระนาบ XY ดังรูป 5.78

Z

S 2225 yxz −−= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= 225 rz

S ′ 0 Y 922 =+ yx ( )3=r

X

6π

3π


Y 922 =+ yx ( )3=r X รูป 5.78

ในพิกัดทรงกระบอกพื้นผิวบนของ S คือ คร่ึงทรงกลม 2225 yxz −−= นั่นคือ

( )2225 yxz +−= จะได 225 rz −= และพ้ืนผิวลางคือ ระนาบ XY นั่นคือ 0=z

ดังนั้นจากสูตร ( )( )

( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

S S

rg

rg

dAdzzrfdVzrfθ

θ

θθ,

,

2

1

,,),,( จะได

ปริมาตรของ S คือ ( )

( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

S S

rg

rg

dAdzdVVθ

θ

,

,

2

1

dAdzS

r

∫∫ ∫′

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

225

0

สําหรับอินทิกรัลสองช้ันบน S ′ จะใชพิกัดเชิงข้ัวไดดังนี้

∫ ∫ ∫−

=π

θ2

0

3

0

25

0

2

rdzdrdVr

( )∫ ∫−=

==

π

θ2

0

3

0

25

0

2

drdrzrz

z

∫ ∫ −=π

θ2

0

3

0

225 drdrr

( )∫ ∫ −−−=π

θ2

0

23

0

2 25252 drdr

( ) θπ

drr

r

3

0

2

0

23

22531 =

=∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

( ) θπ

drr

r

3

0

2

0

23

22531 =

=∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

S ′

S ′


( ) ( ) θπ

d∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

2

0

23

23

251631

( ) θπ

d∫ −−=2

0

1256431

( ) θπ

d∫ −−=2

0

6131

∫=π

θ2

0

6131 d

( )π

θ2

061

31

=

( )012231

−= π

π3

122=

ตัวอยาง 5.6.3 จงใชอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกระบอกหาปริมาตรของรูปทรงสามมิติ S ท่ีถูกปดลอมพื้นผิวทรงกระบอก 2522 =+ yx ระนาบ 8=++ zyx และระนาบ XY

วิธีทํา เขียนกราฟทรงสามมิติ S และภาพฉาย S ′บนระนาบ XY ดังรูป 5.79

Z

( )8,0,0

2522 =+ yx S 8=++ zyx ( )5=r

S ′ 0 Y ( )0,8,0

X ( )0,0,8


Y 2522 =+ yx ( )5=r X รูป 5.79 ในพิกัดทรงกระบอกพื้นผิวบนของ S คือ ระนาบ 8=++ zyx นั่นคือ

yxz −−= 8 จะได θθ sincos8 rrz −−= หรือ ( )θθ sincos8 +−= rz และพ้ืนผิวลางคือ ระนาบ XY นั่นคือ 0=z


( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

S S

rg

rg

dAdzzrfdVzrfθ

θ

θθ,

,

2

1

,,),,( จะได


( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

S S

rg

rg

dAdzdVVθ

θ

,

,

2

1

( )dAdz

S

r

∫∫ ∫′

+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

θθ sincos8

0


( )

∫ ∫ ∫+−

=π θθ

θ2

0

5

0

sincos8

0

rdzdrdVr

( )( )

∫ ∫+−=

==

π θθθ

2

0

5

0

sincos8

0drdrz

rz

z

( )( )∫ ∫ +−=π

θθθ2

0

5

0

sincos8 drdrr

( )( )∫ ∫ +−=π

θθθ2

0

5

0

2 sincos8 drdrr

( )∫=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

π

θθθ2

0

5

0

32 sincos

34 drr

r

r

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

π

θθθ2

0

sincos3

125100 d

S ′

S ′


( )π

θθθ2

0cossin

3125100 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−= 0cos0sin3

12502cos2sin3

125200 πππ

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 1

31251

3125200π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3125

3125200π

π200=

ตัวอยาง 5.6.4 จงใชพิกัดทรงกระบอกหาคาของ dzdydxxyxx

x

29

0

9

9

3

3

222

2∫∫∫−−−

−−−

วิธีทํา พิจารณาลิมิตของการอินทิเกรตเทียบกับ z จะได

พื้นผิวบนของ z คือ รูป พาราโบลอยด 229 yxz −−=

และพ้ืนผิวลางคือ ระนาบ XY หรือ 0=z

พิจารณาลิมิตของการอินทิเกรตเทียบกับ x และ y จะได

33 ≤≤− x และ 22 99 xyx −≤≤−− หรือ 922 =+ yx

ซ่ึงเปนภาพฉายS ′ โดยเปนบริเวณในระนาบXY ท่ีถูกปดลอมโดยวงกลม 922 =+ yx


Z

229 yxz −−= ( )29 rz −=

S

0S ′ Y 922 =+ yx ( )3=r X


Y 922 =+ yx ( )3=r X

รูป 5.80

dzdydxxyxx

x

29

0

9

9

3

3

222

2∫∫∫−−−

−−−∫∫∫=S

dvx 2

= ( ) dvrS

2cos∫∫∫ θ ( )θcosrx =

= dArr

S ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫∫∫−

′

θ229

0

cos2

( ) θθπ

dzdrdrrr

229

0

3

0

2

0

cos2

∫∫∫−

=

θθπ

dzdrdrr

239

0

3

0

2

0

cos2

∫∫∫−

=

( ) θθπ

drdzrrz

z

29

0

233

0

2

0

cos−=

=∫∫=

( )( ) θθπ

drdrr 2323

0

2

0

cos9 −= ∫∫

( ) θθπ

drdrr 2533

0

2

0

cos9 −= ∫∫

θθπ

drr r

r

3

0

2642

0

cos64

9 =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

( ) ( ) θθπ

d2642

0

cos6

3439

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

( ) θθπ

d22

0

4 cos69

493 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫

S ′

S ′


( ) θθπ

d22

0

cos12

182781 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ∫

( ) θθπ

d22

0

cos12981 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

θθπ

d22

0

cos4

243∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θθπ

d∫=2

0

2cos4

243

( ) θθπ

d2cos121

4243 2

0

+= ∫

( ) θθπ

d∫ +=2

0

2cos18

243

π

θθ2

02sin

21

8243

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 0sin

2102sin

212

8243 ππ

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 0212

8243 π

π4

243=


ตัวอยาง 5.6.5 จงใชอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกระบอกหาปริมาตรของรูปทรงสามมิติ S ท่ีอยูเหนือระนาบXY และถูกปดลอมดานบนโดยพาราโบลอยด 22 yxz += และปดดานขางโดยทรงกระบอก 422 =+ yx

วิธีทํา เขียนกราฟทรงสามมิติ S และภาพฉาย S ′บนระนาบ XY ดังรูป 5.81

Z

S 22 yxz += ( )2rz =

S ′ 0 Y 422 =+ yx ( )2=r

X Y 422 =+ yx ( )2=r X รูป 5.81

ในพิกัดทรงกระบอกพื้นผิวบนของ S คือ พาราโบลอยด 22 yxz += นั่นคือ 2rz = และพ้ืนผิวลางคือ ระนาบ XY นั่นคือ 0=z

S ′

S ′



( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

S S

rg

rg

dAdzzrfdVzrfθ

θ

θθ,

,

2

1

,,),,( จะได


( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

S S

rg

rg

dAdzdVVθ

θ

,

,

2

1

dAdzS

r

∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

2

0


∫ ∫ ∫=π

θ2

0

2

0 0

2

rdzdrdVr

( )∫ ∫=

==

π

θ2

0

2

0 0

2

drdrzrz

z

( )∫ ∫=π

θ2

0

2

0

2 drdrr

∫ ∫=π

θ2

0

2

0

3drdr

θπ

dr r

r

2

0

2

0

4

4

=

=∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θπ

d∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

0

4

42

θπ

d∫=2

0

4

∫=π

θ2

0

4 d

( )π

θ2

04=

( )π24=

π8=


ตัวอยาง 5.6.6 จงหาคาของ ∫∫∫

S

zdv เม่ือ S เปนบริเวณซ่ึงอยูภายในทรงกลม

6222 =++ zyx และอยูเหนือพาราโบลอยด 22 yxz +=

วิธีทํา เขียนกราฟทรงสามมิติ S ดังรูป 5.82

Z

6222 =++ zyx

S 26 rz −=

22 yxz += ( )2rz =

0 Y X รูป 5.82 เพื่อความสะดวกในการอินทิเกรต จะเปล่ียนในพิกัดทรงกระบอก ซ่ึงทรงกลม

6222 =++ zyx จะเปล่ียนเปน 622 =+ zr หรือ 22 6 rz −= และพาราโบลอยด 22 yxz += จะเปล่ียนเปน 2rz =

พิจารณาสมการรอยตัดของพื้นผิวท้ังสอง ไดจากการแกสมการดังนี้

22 6 rz −= …………….. ( )1

2rz = …………….. ( )2 แทน 2rz = ใน ( )1 จะได

( ) 222 6 rr −=

24 6 rr −= 0624 =−+ rr

( )( ) 023 22 =−+ rr

32 −=r หรือ 22 =r


ดังนั้น 2=r

สมการรอยตัดของพื้นผิวท้ังสอง คือ 2=r นั่นคือ 222 =+ yx หรือ 222 =+ yx ซ่ึงเปนสมการวงกลมและไดภาพฉาย S ′บนระนาบ XY ดังรูป 5.82

Y

2=r

X รูป 5.82

ในพิกัดทรงกระบอกพื้นผิวบนของ S คือ ทรงกลม 6222 =++ zyx นั่นคือ 26 rz −= และพ้ืนผิวลางคือ พาราโบลอยด 22 yxz += นั่นคือ 2rz =


( )

∫∫∫ ∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

S S

rg

rg

dAdzzrfdVzrfθ

θ

θθ,

,

2

1

,,),,( จะได

จะได ∫∫∫S

zdv ( )

( )dAzdz

S

rg

rg∫∫ ∫′ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

θ

θ

,

,

2

1

dAzdzS

r

r∫∫ ∫′

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

2

2

6


∫∫∫S

zdv ∫ ∫ ∫−

=π

θ2

0

2

0

6 2

2

rzdzdrdr

r

∫ ∫−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π

θ2

0

2

0

62 2

22drdzr

rz

rz

( )∫ ∫

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=π

θ2

0

2

0

22

22

22

6drdrr

r

∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

π

θ2

0

2

0

42

226 drdrrr


( )∫ ∫ −−=π

θ2

0

2

0

53621 drdrrr

∫=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

π

θ2

0

2

0

642

643

21 drrr

r

r

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

π

θ2

0 68

446

21 d

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

π

θ2

0 3416

21 d

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

θ2

0 311

21 d

π

θ2

0311

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 02

311

21 π

π3

11=


อินทิกรัลสามชั้นในพิกัดทรงกลม

ความสัมพันธระหวางพิกัดฉากกับพิกัดทรงกลม

พิกัดทรงกระบอกเปนระบบท่ีกําหนดจุดP ใด ๆ ซ่ึงมีพิกัด ( )zyx ,, ในพิกัดฉากดวยพิกัด ( )φθρ ,, โดยท่ี ρ คือ ขนาดของเวกเตอร OP θ คือ มุมท่ีเวกเตอร OP ทํากับแกนX โดยวัดออกจากดานบวกของแกนX ในทิศทวนเข็มนาฬิกา โดยท่ี πθ 20 ≤≤ φ คือ มุมท่ีเวกเตอร OP ทํากับแกนZ โดยวัดออกจากดานบวกของแกนZ โดยท่ี

πφ ≤≤0 ดังรูป 5.83

Z

( )zyxP ,, • ( )φθρ ,, φ ρ φ

O Y θ ( )0,, yx X รูป 5.83 นั่นคือจะไดวา

( ) θφρφθρ cossin,, == Xx

( ) θφρφθρ sinsin,, == Yy

( ) φρφθρ cos,, == Zz

เราจะไดวา 222 zyx ++=ρ เง่ือนไขสําหรับ φθρ ,, กําหนดดังนี้


0≥ρ และ [ ]00 2, θπθθ +∈ เม่ือ 00 =θ หรือ 20πθ −= และ πφ ≤≤0

เราจะนิยามอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกลม โดยการแบงบริเวณ S ออกเปนบริเวณท่ีเหมาะสมกับพิกัดทรงกลม ซ่ึงในพิกัดทรงกลมจะแบง S โดยการใชพื้นผิวซ่ึงมีสมการดังตอไปนี้ 0ρρ = แทน สมการของทรงกลมท่ีมีศูนยกลางท่ีจุดกําเนิดและมีรัศมีเทากับ 0ρ 0θθ = แทน สมการของกึ่งระนาบต้ังท่ีทํามุม 0θ กับระนาบXZ ยึดตามแนวแกนZ 0φφ = แทน สมการของกรวยกลมท่ีมีจุดยอดท่ีจุดกําเนิดทํามุม 0φ กับแกนZ ดังรูป 5.84

Z Z Z 0φ

0 Y 0 Y 0 0θ X 0ρρ = X 0θθ = X 0φφ =

Z

0φ 0φφ = 0ρρ =

O Y 0ρ 0θ X 0θθ = รูป 5.84

Y


และคูของแตละพื้นผิวเหลานี้ประกอบกันทําใหเกิดรูปทรงสามมิติท่ีเรียกวา ล่ิมทรงกลม ซ่ึงล่ิมทรงกลมรูปหนึ่งจะถูกลอมโดยพ้ืนผิว 6 พื้นผิวดังนี้

รูปทรงกลม 2 รูป ( )2121 , ρρρρρρ <== กึ่งระนาบ 2 รูป ( )2121 , θθθθθθ <== รูปกรวยกลมตรง 2 รูป ( )2121 , φφφφφφ <==


Z

2φ 1φ

2ρ 1ρ

0 Y 2θ 1θ

X รูป 5.85

โดยเรียก ผลตางของ 1212 , θθρρ −− และ 12 φφ − วา มิติของล่ิม

ในการนิยามอินทิกรัลสามช้ันบนบริเวณS ของฟงกชัน ( )φθρ ,,f ในพิกัดทรงกลมคลายกับอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกระบอกตางกันท่ีการแบง S ออกเปนล่ิมทรงกลม ซ่ึงดําเนินการตามข้ันตอนดังนี้

2. สรางกริด (grid) 3 มิติท่ีประกอบดวยรูปทรงกลมท่ีมีศูนยกลางอยูท่ีจุดกําเนิด ท่ี ยึดตามแกนZ และรูปกรวยกลมท่ีมีจุดยอดอยูท่ีจุดกําเนิด และมีแกนZ เปนแกนสมมาตร ดังรูป 5.86


Z

( )∗∗∗kkk φθρ ,,

ปริมาตร kVΔ=

S

Y X รูป 5.86

2. เลือกจุด ๆ หนึ่งในล่ิมทรงกลมแตละช้ิน และแทนจุดท่ีเลือกนั้นโดย ),,(),...,,,(),,,( ****

2*2

*2

*1

*1

*1 nnn φθρφθρφθρ ดังรูป 5.86

และ kVΔ คือปริมาตรของล่ิมทรงกลมช้ินท่ี k ท่ีอยูขางในS

3. สรางผลบวก kkkk

n

kVf Δ∑

=

),,( ***

1φθρ

4. ทําข้ันตอน 1 – 3 ซํ้าอีก ดวยการแบงล่ิมทรงกลมเปนจํานวนมากข้ึนโดยทําให มิติของล่ิมทรงกลมแตละช้ินท่ีอยูขางในS มีคาเขาใกลศูนย และ n (จํานวนล่ิมทรงกลม) มีคาเขา ใกล ∞+ และนิยามอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกลม โดยสมการ

kkkk

n

kSn

VfdVf Δ= ∑∫∫∫=+∞→

),,(lim),,( ***

1φθρφθρ

การหาคาอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกลมรูปทรงสามมิติ สามารถอินทิเกรตซํ้าไดดังนี้

Z

•


∗kρ

0 Y

X รูป 5.87

จากรูป 5.87 ถาเลือกจุด ( )∗∗∗kkk φθρ ,, ใหเปนพิกัดของจุดA แลว สามารถประมาณ

kVΔ ของล่ิมทรงกลมท่ีมีมิติเปน kk φρ ΔΔ , และ kθΔ ไดเปน

ADACABVk ××≈Δ

โดยท่ี kkAB φρ Δ⋅= ∗

∗∗ ⋅⋅Δ=′′= kkkCAAC φρθ sin kAD ρΔ=

ดังนั้น ( )( )( )kkkkkkkV ρφρθφρ Δ⋅⋅ΔΔ⋅≈Δ ∗∗∗ sin

kkkkkkV θφρφρ ΔΔΔ≈Δ ∗∗ sin2

และจาก

kkkk

n

kSn

VfdVf Δ= ∑∫∫∫=+∞→

),,(lim),,( ***

1φθρφθρ

จะได

kkkkkkkk

n

kSn

fdVf θφρφρφθρφθρ ΔΔΔ= ∗∗

=+∞→∑∫∫∫ sin),,(lim),,(

2***

1

ซ่ึงนําไปสูสูตรสําหรับการหาคาอินทิกรัลสามช้ันในพิกัดทรงกลม โดยการอินทิเกรตซํ้าไดดังนี้

A C

B

D

A′

C ′kθΔ

kρΔ

kφΔ∗kφ

∗∗kk φρ sin


( ) ( ) θφρφρφθρφθρ dddfdVfS T

sin,,,, 2∫∫∫ ∫∫∫=

เม่ือ ( )( ){ }ST ∈= φρθφρθφρφθρ cos,sinsin,cossin,,

ขอสังเกต สังเกตแฟกเตอร φρ sin2 ท่ีปรากฎในตัวถูกอินทิเกรตของอินทิกรัลซํ้าบนดานขวามือนั้น เกิดข้ึนแบบเดียวกับท่ีแฟกเตอร r ท่ีปรากฎในการอินทิเกรตในพิกัดทรงกระบอก

ในการเซต T พิจารณาวิธีเดียวกันกับในพิกัดทรงกระบอก โดยเปล่ียนสมการของพ้ืน ผิวท่ีปดลอมรอบทรงตัน S ใหอยูในพิกัดทรงกลม แลวพิจารณา θρ , และ φ ซ่ึงลิมิตของการ อินทิเกรตนั้น จะแตกตางกันไปตามรูปรางของรูปทรงสามมิติ S และสําหรับ S ทุกแบบ จะ ใชลําดับของการอินทิเกรตเหมือนกันหมดกลาวคือ อินทิเกรตเทียบกับ ρ กอน แลวเทียบกับ φ และสุดทายเทียบกับ θ ตัวอยางเชน ตองการอินทิเกรตฟงกชัน ( )φθρ ,,f บนรูปทรงสามมิติ S ท่ีปดลอมโดยทรงกลม 0ρρ = แนวคิดเบ้ืองตนคือ ตองเลือกลิมิตของการอินทิเกรตโดยทําใหจุดทุกจุดของ S รวมอยูในข้ันตอนการอินทิเกรต ซ่ึงอาจจะทําโดยวิธีตอไปนี้

1. ให θ และ φ คงตัวสําหรับการอินทิเกรตคร้ังแรก และให ρ แปรคาจาก 0 ถึง 0ρ การกระทําเชนนี้ทําใหไดเสนตามแนวรัศมีเสนหนึ่งจากจุดกําเนิดไปยังพื้นผิวทรงกลม ดังรูป 5.88

Z

0ρρ =

0 Y

X ρ แปรคาจาก 0 ถึง 0ρ โดยท่ี θ และ φ คงตัว รูป 5.88

2. ตอไปให θ คงตัวและให φ แปรคาจาก 0 ถึง π ทําใหเสนตามแนวรัศมีกวาด


ออกไปเปนบริเวณรูปพัด ดังรูป 5.89

Z

0 Y

X φ แปรคาจาก 0 ถึง π โดยท่ี θ คงตัว รูป 5.89

3. ข้ันสุดทายให θ แปรจาก 0 ถึง π2 ทําใหบริเวณรูปพัดกวาดไปจนท่ัวทรงกลม ดังรูป 5.90

Z

0 Y

X θ แปรคาจาก 0 ถึง π2 รูป 5.90

ดังนั้นอินทิกรัลสามช้ันของ ( )φθρ ,,f บนรูปทรงกลม S จะหาคาไดจากอินทิกรัลซํ้าดังนี้

( ) θφρφρφθρφθρρππ

dddfdVfS

o

sin,,),,( 2

00

2

0∫∫∫ ∫∫∫=

หมายเหตุ การหาคาอินทิกรัลสามช้ันบางคร้ังทําไดยากในพิกัดฉาก แตสามารถทําไดงายเม่ือ เขียนตัวถูกอินทิเกรตและลิมิตของการอินทิเกรตในพิกัดทรงกลม วิธีนี้จะใชไดเสมอเม่ือตัวถูกอินทิเกรต

อยูในรูปของ ( )nzyx 222 ++ การอินทิเกรตก็จะงายข้ึน


ตัวอยาง 5.6.7 ให S เปนบริเวณในออคแทนทท่ี 1 ท่ีถูกปดลอมดวยรูปทรงกลม

4222 =++ zyx รูปทรงกลม 9222 =++ zyx รูปกรวย 22 yxz += รูปกรวย

( )223 yxz += ระนาบ xy3

1= และระนาบ xy 3= จงเขียนบริเวณ S ของการ

อินทิเกรตในพิกัดทรงกลม

วิธีทํา โดยใชความสัมพันธ θφρθφρ sinsin,cossin == yx และ φρ cos=z เปล่ียนสมการพื้นผิวในพิกัดทรงกลมไดดังนี้

รูปทรงกลม 4222 =++ zyx เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมไดเปน 42 =ρ นั่นคือ 2±=ρ แตเนื่องจาก 0≥ρ ดังนั้น 2=ρ

ในทํานองเดียวกัน รูปทรงกลม 9222 =++ zyx เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมไดเปน

3=ρ รูปกรวย 22 yxz += เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมได

( ) ( )22 cossinsinsincos θφρθφρφρ +=

( ) φρφρθθφρφρ sinsincossinsincos 222222 ==+=

1cossin

=φφ

1tan =φ นั่นคือ 4πφ =

ในทํานองเดียวกันรูปกรวย ( )223 yxz += เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมได

φρφρφρ sin3sin3cos 22 ==

3

1cossin

=φφ

31tan =φ

นั่นคือ 6πφ =

ระนาบ xy3

1= เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมได

( )θφρθφρ cossin3

1sinsin =

3

1cossin

=θθ

31tan =θ


นั่นคือ 6πθ =

ระนาบ xy 3= เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมได

( )θφρθφρ cossin3sinsin =

3cossin

=θθ

3tan =θ

นั่นคือ 3πθ =

และบริเวณของการอินทิเกรตในพิกัดทรงกระบอกคือ

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤≤≤≤≤46

,36

,32,, πφππθπρφθρ


Z

32 =ρ

21 =ρ

0 Y

3π

6π

X รูป 5.91


โดยอาศัยแนวทางของการพิจารณาการใสลิมิตของการอินทิเกรตในพิกัดทรงกลมบนรูปทรงสามมิติ S บางแบบ ไดดังนี้

1. ถาบริเวณ S เปนสวนของรูปคร่ึงทรงกลมรัศมี 0ρ ในออคแทนทท่ี 1 ดังรูป 5.92 แลวลิมิตของการอินทิเกรตจะเปน

( ) θφρφρφθρρ

ππ

dddf sin,, 2

0

2

0

2

0

0

∫∫∫

Z

Y X รูป 5.92

2. ถาบริเวณ S เปนรูปทรงสามมิติรูปกรวยไอซครีม (ice – cream – cone) ท่ีได จากการตัดรูปทรงกลม 0ρρ = โดยกรวย 0φφ = ดังรูป 5.93 แลวลิมิตของการอินทิเกรตจะเปน

( ) θφρφρφθρρφπ

dddf sin,, 2

00

2

0

00

∫∫∫

Z

Y X รูป 5.93


3. ถาบริเวณ S เปนรูปทรงสามมิติท่ีไดจากการตัดรูปทรงกลม 0ρρ = โดยรูป

กรวย 1φφ = และ 2φφ = ดังรูป 5.94 แลวลิมิตของการอินทิเกรตจะเปน

( ) θφρφρφθρρφ

φ

π

dddf sin,, 2

0

2

0

02

1

∫∫∫

Y X รูป 5.94

4. ถาบริเวณ S เปนรูปทรงสามมิติท่ีปดลอมดานขางโดยรูปกรวย 0φφ = และดาน บนโดยระนาบ az = ( )φρ seca= ดังรูป 5.95 แลวลิมิตของการอินทิเกรตจะเปน

( ) θφρφρφθρφφπ

dddfa

sin,, 2sec

00

2

0

0

∫∫∫

Z

Y X รูป 5.95


5. ถาบริเวณ S เปนรูปทรงสามมิติท่ีอยูระหวางรูปทรงกลมรวมศูนยกลาง 1ρρ =

และ 2ρρ = ดังรูป 5.51 แลวลิมิตของการอินทิเกรตจะเปน

( ) θφρφρφθρρ

ρ

ππ

dddf sin,, 2

0

2

0

2

1

∫∫∫

Z

Y

X รูป 5.96

ตัวอยาง 5.6.8 จงหาคาของ dVzyxT∫∫∫ ++ 222 เม่ือ T เปนบริเวณในออคแทนทท่ี 1 ท่ีถูก

ปดลอมดวยรูปทรงกลมท่ีมีรัศมี k หนวย

วิธีทํา พิจารณากราฟของบริเวณ T ไดดังรูป 5.97

Z ( )k,0,0

( )0,,0 k

0 Y

( )0,0,k

X รูป 5.97


และเขียนบริเวณ T ในพิกัดทรงกลมไดดังนี้

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤≤≤≤≤=2

0,2

0,0,, πφπθρφθρ kT

ดังนั้นจะได

θφρφρρ

ππ

ddddVzyxk

T

sin22

0

2

0

2

0

222 ⋅=++ ∫∫∫∫∫∫

θφρφρ

ππ

dddk

sin3

0

2

0

2

0∫∫∫=

θφφρ ρ

ρ

ππ

ddk=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫

0

42

0

2

0

sin4

θφφ

ππ

ddk sin4

42

0

2

0∫∫=

θφφ

ππ

ddk sin4

2

0

2

0

4

∫∫=

( ) θφ

πφ

φ

π

dk 2

0

2

0

4cos

4

=

=−= ∫

( ) θππ

dk⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫ 0cos

2cos

4

2

0

4

θ

π

dk∫=2

0

4

4

( )2

0

4

4

π

θk=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

24

4 πk

π8

4k=


ตัวอยาง 5.6.9 จงใชพิกัดทรงกลมหาปริมาตรของรูปทรงสามมิติ S โดยปดลอมดานบนโดย

รูปทรงกลม 16222 =++ zyx และปดดานลางโดยรูปกรวย 22 yxz +=

วิธีทํา พิจารณากราฟ S ไดดังรูป 5.98 Z

16222 =++ zyx ( )4=ρ

22 yxz += ( )4=φ

Y

X รูป 5.98

โดยใชความสัมพันธ θφρθφρ sinsin,cossin == yx และ φρ cos=z เปล่ียนสมการพื้นผิวในพิกัดทรงกลมไดดังนี้

รูปทรงกลม 16222 =++ zyx เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมไดเปน 162 =ρ นั่นคือ 4±=ρ แตเนื่องจาก 0≥ρ ดังนั้น 4=ρ

รูปกรวย 22 yxz += เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมได

( ) ( )22 cossinsinsincos θφρθφρφρ +=

( ) φρφρθθφρφρ sinsincossinsincos 222222 ==+=

1cossin

=φφ


และเขียนบริเวณ S ในพิกัดทรงกลมไดดังนี้

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤≤≤≤≤=4

0,20,40,, πφπθρφθρS


ดังนั้นปริมาตรของ S หาไดจากสูตร

∫∫∫=S

dVV

θφρφρ

ππ

dddsin24

0

4

0

2

0∫∫∫=

θφφρ ρ

ρ

ππ

dd4

0

34

0

2

0

sin3

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫

θφφ

ππ

ddsin3

644

0

2

0∫∫=

θφφ

ππ

ddsin3

64 4

0

2

0∫∫=

( ) θφ

πφ

φ

π

d4

0

2

0

cos3

64=

=−= ∫

( ) θππ

d⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∫ 0cos4

cos3

64 2

0

θπ

d⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ 2

213

64 2

0

( )π

θ2

0222

364

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

( )π22

223

64⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

( )π223

64−=


ตัวอยาง 5.6.10 จงใชพิกัดทรงกลมหาปริมาตรของรูปทรงสามมิติ S โดยท่ีอยูภายในรูปทรงกลม

kzzyx 2222 =++ เม่ือ k เปนคาคงตัวบวก และอยูเหนือรูปกรวย 222 yxz +=

วิธีทํา พิจารณากราฟ S ไดดังนี้ Z

kzzyx 2222 =++ ( )φρ cos2k=

222 yxz += ( )4=φ

Y

X รูป 5.99

โดยใชความสัมพันธ θφρθφρ sinsin,cossin == yx และ φρ cos=z เปล่ียนสมการพื้นผิวในพิกัดทรงกลมไดดังนี้ รูปทรงกลม kzzyx 2222 =++ เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมไดเปน

φρρ cos22 k= นั่นคือ φρ cos2k= รูปกรวย 222 yxz += เปล่ียนเปนพิกัดทรงกลมได

( ) ( ) ( )222 sinsincossincos θφρθφρφρ += ( )θθφρθφρθφρφρ 222222222222 sincossinsinsincossincos +=+= φρφρ 2222 sincos =

1cossin

=φφ



( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤≤≤≤≤=4

0,20,cos20,, πφπθφρφθρ kS


ดังนั้นปริมาตรของ S หาไดจากสูตร

∫∫∫=S

dVV

θφρφρφ

ππ

dddk

sin2cos2

0

4

0

2

0∫∫∫=

θφφρ φρ

ρ

ππ

ddk cos2

0

34

0

2

0

sin3

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫

θφφφ

ππ

ddk sincos38 33

4

0

2

0∫∫=

( ) θφφ

ππ

ddk coscos3

8 34

0

2

0

3

∫∫−=

θφπ

φ

φ

π

dk 4

0

42

0

3

4cos

38

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

( ) θφ

πφ

φ

π

dk 4

0

42

0

3cos

32

=

=∫−=

θππ

dk⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= ∫ 0cos

4cos

32 44

2

0

3

θπ

dk⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ 1

22

32

42

0

3

θπ

dk⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫ 1164

32 2

0

3

θπ

dk∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

2

0

3

43

32

( )π

θ2

0

3

2k

=

( )π22

3k=

π3k=


ตัวอยาง 5.6.11 จงใชพิกัดทรงกลมหาคา

dzdydxzyxzyxx

x

22224

0

4

4

2

2

222

2

++∫∫∫−−−

−−−

วิธีทํา เขียนรูปบริเวณ S กอน โดยพิจารณาไดดังนี้ จากลิมิตของการอินทิเกรตของ z จะพบวา พื้นผิวบนของ S คือรูปคร่ึงทรงกลม

224 yxz −−= และพ้ืนผิวลางคือ 0=z หรือระนาบ XY

จากลิมิตของการอินทิเกรตของ x และ y นั่นคือ 22 44 xyx −≤≤−− และ 22 ≤≤− x ไดภาพฉายของ S บนระนาบ XY คือ บริเวณท่ีปดลอมโดยวงกลม 422 =+ yx

ซ่ึงบริเวณ S แสดงไดดังรูป 5.100

Z 224 yxz −−=

Y 422 =+ yx X รูป 5.100

โดยใชความสัมพันธ θφρθφρ sinsin,cossin == yx และ φρ cos=z เปล่ียนสมการพื้นผิวในพิกัดทรงกลมไดดังนี้

( ) φρρφρ 23222222 coscos ==++ zyxz 224 yxz −−= เปล่ียนไดเปน

θφρθφρφρ 222222 sinsincossin4cos −−=

( )θθφρφρ 2222 sincossin4cos +−=

φρφρ 22 sin4cos −=

φρφρ 2222 sin4cos −= ( ) 4sincos 222 =+ φφρ

42 =ρ นั่นคือ 2±=ρ แต 0≥ρ ดังนั้น 2=ρ

0=z จะได 0cos =φρ ดังนั้น 0cos =φ นั่นคือ 2πφ =

2



( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤≤≤≤≤=2

0,20,20,, πφπθρφθρS

ดังนั้น dzdydxzyxzyxx

x

22224

0

4

4

2

2

222

2

++∫∫∫−−−

−−−

dVzyxzS∫∫∫ ++= 2222

( )dVS

φρ 23 cos∫∫∫=

( ) θφρφρφρ

ππ

dddsincos 2232

0

2

0

2

0∫∫∫=

θφρφφρ

ππ

dddsincos 252

0

2

0

2

0∫∫∫=

θφφφρ ρ

ρ

ππ

dd2

0

262

0

2

0

sincos6

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫

θφφφ

ππ

ddsincos3

32 22

0

2

0∫∫=

( ) θφφ

ππ

dd coscos3

32 22

0

2

0∫∫−=

θφπ

φ

φ

π

d2

0

32

0 3cos

332

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

θππ

d⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= ∫ 0cos

2cos

932 33

2

0

θπ

d∫=2

0932

( )π

θ2

0932

=

( )π29

32=

π9

64=


แบบฝกหัด 5.6

ขอ 1 – 4 จงหาคาอินทิกรัลซํ้า

1. θπ

zrdzdrdr

∫∫∫− 21

0

1

0

2

0

2. θθθ

π

dzdrdrr

sin2

0

cos

0

2

0∫∫∫

3. θπ

zrdzdrdr

626

0

2

0

2

0∫∫∫−

4. θπ

rdzdrdzr

22

2

1

0

2

0

5∫∫∫

ขอ 5 – 10 จงใชพิกัดทรงกระบอกหาปริมาตรของทรงสามมิติท่ีกําหนดให

5. ทรงสามมิติท่ีถูกปดลอมโดยพาราโบลอยด 22 yxz += และระนาบ 9=z

6. ทรงสามมิติท่ีถูกปดลอมดานบนและลางโดยทรงกลม 9222 =++ zyx และดานขางโดยทรงกระบอก 422 =+ yx

7. ทรงสามมิติท่ีอยูระหวางพื้นผิว 2022 =+ zr และพ้ืนผิว 2rz =

8. ทรงสามมิติท่ีอยูระหวางกรวย ahrz = และระนาบ hz =

9. ทรงสามมิติในออคแทนทท่ี 1 ซ่ึงอยูใตทรงกลม 16222 =++ zyx และอยูขางในทรงกระบอก xyx 422 =+

10. ทรงสามมิติซ่ึงอยูใตทรงกลม 16222 =++ zyx และอยูขางในทรงกระบอก

yyx 422 =+

ขอ 11 – 14 จงหาคาอินทิกรัลซํ้า

11. θφρφφρ

ππ

dddcossin31

0

2

0

2

0∫∫∫ 12. )0(,sin2

sec

0

4

0

2

0

>∫∫∫ addda

θφρφρφ

ππ

13. θφρφφρ

ππ

dddcossin34

0

4

0

2

0∫∫∫ 14. θφρφρ

θφπ

π

dddsin9 2cossin4

0

4

0

2

0∫∫∫

ขอ 15 – 20 ใชพิกัดทรงกลมหาปริมาตรของทรงสามมิติท่ีกําหนดให

15. ทรงสามมิติปดลอมดานบนโดยรูปทรงกลม 4=ρ และปดดานลางโดยรูปกรวย 3πφ =

16. ทรงสามมิติในออคแทนทท่ี 1 ปดลอมโดยรูปทรงกลม 2=ρ ระนาบพิกัด และ

รูปกรวย 6πφ = และ

3πφ =


17. ทรงสามมิติอยูภายในรูปกรวย 4πφ = และอยูระหวางทรงกลม 1=ρ และ 2=ρ

18. ทรงสามมิติอยูภายในรูปทรงกลม 9222 =++ zyx และอยูนอกรูปกรวย 22 yxz += และอยูเหนือระนาบ XY

19. ทรงสามมิติปดลอมโดยรูปทรงกลม 2222 4azyx =++ และระนาบ 0=z และ az = 20. ทรงสามมิติอยูภายนอกรูปทรงกลม zzyx =++ 222 และอยูภายในรูปทรงกลม

zzyx 4222 =++

21. จงหาปริมาตรของทรงกลม 2222 azyx =++ โดยใช 21.1 พิกัดทรงกระบอก 21.2 พิกัดทรงกลม

ขอ 22 – 25 จงใชพิกัดทรงกระบอกหรือพิกัดทรงกลมหาคาอินทิกรัลท่ีกําหนด

22. )0(,2

000

22222

>∫∫∫−−−

adzdydxxyxaxaa

23. dzdxdyzyx

yx

y2

84

0

2

0

22

22

2

∫∫∫−−

+

−

24. ( ) dzdydxe zyxyxx

23

222222 1

0

1

0

1

1

++−−−−

−∫∫∫

25. dzdxdyzyxyx

yx

y

y

2229

9

9

9

3

3

22

22

2

2

++∫∫∫−−

−−−

−

−−−

26. ให S เปนทรงสามมิติในออคแทนทท่ี 1 ปดลอมโดยรูปทรงกลม 4222 =++ zyx และระนาบพิกัด จงหาคา ∫∫∫

S

dVxyz โดยใช

26.1 พิกัดฉาก 26.2. พิกัดทรงกระบอก 26.3 พิกัดทรงกลม


คําตอบแบบฝกหัด 5.6

1. 4π 2.

201

3. π22 4. π8

5. π2

81 6. ( )55273

4−

π

7. ( )π1951038

− 8. 2

3haπ

9. ( )439

32−π 10. ( )43

9128

−π

11. 16π 12. π

3

3a

13. π32 14. ( )838 −π

15. π3

64 16. ( )π1332

−

17. ( )π2237

− 18. π29

19. π3

11 3a 20. π2

21

21. π3

4 3a 22 π48

6a

23. ( )π2241516

− 24. πe

e3

1−

25. π81 26. 34

บทที่ 5 - teerasak.rmutl.ac.th for Engineer/5_6_web.pdf · บทที่ 5...

Documents

Transcript of บทที่ 5 - teerasak.rmutl.ac.th for Engineer/5_6_web.pdf · บทที่ 5...