第第 55 章 波与粒子章 波与粒子福建师大附中 李明哲

第 1 节 光电效应

引子

• 19 世纪末，牛顿定律在各个领域里都取得了很大的成功：在机械运动方面不用说，在分子物理方面，成功地解释了温度、压强、气体的内能。在电磁学方面，建立了一个能推断一切电磁现象的 Maxwell 方程。另外还找到了力、电、光、声等都遵循的规律 ---能量转化与守恒定律。当时许多物理学家都沉醉于这些成绩和胜利之中。他们认为物理学已经发展到头了。

“ 科学的大厦已经基本完成，后辈的物理学家只要做一些零碎的修补工作就行了。”

“ 但是，在物理学晴朗天空的远处，还有两朵令人不安的乌云， ----”

开尔文

普朗克

• 普朗克后来又为这种与经典物理格格不入的观念深感不安，只是在经过十多年的努力证明任何复归于经典物理的企图都以失败而告终之后，他才坚定地相信 h 的引入确实反映了新理论的本质。

• 1918 年他荣获诺贝尔物理学奖。• 他的墓碑上只刻着他的姓名和

M.Planck 德 1858 － 1947

346.626 10 sh J

能量子假说

• 辐射黑体分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。但是这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不象经典物理学所允许的可具有任意值。相应的能量是某一最小能量 ε （称为能量子）的整数倍，即：ε, 1ε, 2ε, 3ε, ... nε. n 为正整数，称为量子数。 h

光电效应

• 1888 年，霍瓦 (Hallwachs) 发现一充负电的金属板被紫外光照射会放电。近 10 年以后，因为 1897 年， J.Thomson才发现电子 ，此时，人们认识到那就是从金属表面射出的电子，后来，这些电子被称作光电子 (photoelectron) ，相应的效应叫做光电效应。人们本着对光的完美理论（光的波动性、电磁理论）进行解释会出现什么结果？

光电效应现象

• 当光线照射在金属表面时，金属中有电子逸出的现象，称为光电效应。逸出的电子称为光电子。

光电效应的实验规律

• 极限频率– 每种金属材料，都相应的有一确定的最小频率 – 当入射光频率大于极限频率时，才会不发生光电效应– 当入射光频率小于极限频率时，无论光强多大也会不发生光电效应

• 光电流与光强的关系– 饱和光电流强度与入射光强度成正比，即发生光电效应

时光强越大，单位时间内逸出的电子数越多。

• 光电效应是几乎是瞬时的– 从光开始照射到光电逸出所需时间 t <10-9s 。

光电效应的理论解释

• 经典电磁理论的困难– 经典认为，入射光的光强越大，光波的电场强

度的振幅也越大，作用在金属中电子上的力也就越大，光电子逸出的能量也应该越大。也就是说，光电子的能量应该随着光强度的增加而增大，不应该与入射光的频率有关，更不应该有什么极限频率。

– 而经典认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间，即需能量的积累过程。

光电效应的理论解释

• 爱因斯坦光子说– 光不仅在发射和吸收时以能量为 hν 的微粒形式出现，而且在空间传播时也是如此。也就是说，频率为的光是由大量能量为 E = hν 光子组成的粒子流，这些光子沿光的传播方向以光速 c 运动。

• 光电效应方程– 逸出功 W

– 最大初动能 mv2/2

21

2h W mv

光电效应的理论解释

• 1. 光强大，光子数多，释放的光电子也多，所以光电流也大。

• 2. 电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，所以不需时间的累积。

• 3. 从方程可以看出光电子初动能和照射光的频率成线性关系。

• 4. 从光电效应方程中，当初动能为零时，可得极极限频率。

光电效应理论的验证

• 美国物理学家密立根，花了十年时间做了“光电效应”实验，结果在 1915 年证实了爱因斯坦方程， h 的值与理论值完全一致，又一次证明了“光量子”理论的正确。

• 由于爱因斯坦提出的光子假说成功地说明了光电效应的实验规律 , 荣获 1921 年诺贝尔物理学奖。

光电效应的应用

• 光电管• 光电成像• 光电池 •光

电源

电流计

I

AK

放大器

控制机构

可以用于自动控制，自动计数、自动报警、自动跟踪等。

1. 光控继电器K

1K2K

3K4K

5K

A

可对微弱光线进行放大，可使光电流放大105~108 倍，灵敏度高，用在工程、天文、科研、军事等方面。

2. 光电倍增管

光电效应的应用

第 2 节 康普顿效应

光的散射

• 光在介质中与物质微粒相互作用 , 因而传播方向发生改变 , 这种现象叫做光的散射

康普顿效应

• 1923 年康普顿在做 X 射线通过物质散射的实验时，发现散射线中除有与入射线波长相同的射线外，还有比入射线波长更长的射线，其波长的改变量与散射角有关，而与入射线波长和散射物质都无关。

晶体

光阑

X 射线管

探测器

X 射线谱仪 石墨体( 散射物质 )

0

散射波长

康普顿散射的实验装置

称为电子的 Compton 波长

只有当入射波长 0 与 c 可比拟时，康普顿效应才显著，因此要用 X 射线才能观察到康普顿散射，用可见光观察不到康普顿散射。入射波长较长时，主要产生光电效应。

波长的偏移只与散射角 有关，而与散射物质种类及入射的 X 射线的波长 0 无关，

0(1 cos )

c

c = 0.0241Å=2.4110-3nm （实验值）

康普顿效应发生的条件

经典电磁波理论的困难

• 根据电磁波理论，当电磁波通过物质时，物质中带电粒子将作受迫振动，过物质时，物质中带电粒子将作受迫振动，射光频率应等于入射光频率。

• 无法解释波长改变和散射角的关系。

光子说对康普顿效应的解释

• 康普顿效应是光子和电子弹性碰撞的结果• 若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分

能量传给电子 ,散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长。

• 若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，光子将与整个原子交换能量 ,由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变。

• 因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。

康普顿散射实验的意义

• 有力地支持了爱因斯坦“光量子”假设

• 首次在实验上证实了“光子具有动量” 的假设；

• 证实了在微观世界的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然是成立的。

1925—1926 年，吴有训用银的 X 射线 (0 =5.62nm)

为入射线 , 以 15 种轻重不同的元素为散射物质，

吴有训对研究康普顿效应的贡献1923 年 , 参加了发现康普顿效应的研究工作 .

对证实康普顿效应作出了重要贡献。

在同一散射角 ( ) 测量各种波长的散射光强度，作了大量 X 射线散射实验。

0120

（ 1897-1977 ） 吴有训

2

2

2

E mc E h

hm

cP mc

h h hc

c c

光子的动量和能量

hE

h

P

动量能量是描述粒子的 ,

频率和波长则是用来描述波的

光的波粒二象性

第 3 节 波粒二象性

德布罗意

• 法国物理学家， 1929 年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。– 德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。

他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。– 1923 年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。 1924 年，在博士论文《关于量子理论的研究》中提出德布罗意波 ,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。

– 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。

德布罗意波

• De . Broglie 1923 年发表了题为“波和粒子”的论文，提出了物质波的概念。

• 他认为，“整个世纪以来（指 19 世纪）在光学中比起波动的研究方法来，如果说是过于忽视了粒子的研究方法的话，那末在实物的理论中，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想得太多，而过分忽略了波的图象呢”

2E mc h

hP m

能量为 E 、动量为 p 的粒子与频率为 v 、波长为的波相联系，并遵从以下关系：

这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波(物质波或概率波 ), 其波长称为德布罗意波长。

德布罗意波

一切实物粒子都有波动性

　　后来，大量实验都证实了：质子、中子和原子、分子等实物微观粒子都具有波动性，并都满足德布洛意关系。

　一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？

　　： 质量 m = 0.01kg ，速度 v = 300 m/s 的子弹的德布洛意波长为　　　　　　

计算结果表明，子弹的波长小到实验难以测量的程度。所以，宏观物体只表现出粒子性。

由光的波粒二象性的思想推广到微观粒子和任何运动着的物体上去，得出物质波（德布罗意波）的概念：任何一个运动着的物体都有一种波与它对应，该波的波长 λ= 。 ph /

【例 1 】试估算一个中学生在跑百米时的德布罗意波的波长。

mmp

h 3634

109.1750

1063.6

解：估计一个中学生的质量 m≈50kg ，百米跑时速度 v≈7m/s ，则

由计算结果看出，宏观物体的物质波波长非常小，所以很难表现出其波动性。

例题 2 (1) 电子动能 Ek=100eV ； (2) 子弹动量 p=6.63×106kg.m.s-1, 求德布罗意波长。 解 (1) 因电子动能较小，速度较小，可用非相对论公式求解。

,22

1 22

m

pmυEk

2410452 .mEmυp k

61093.5

p

h

mυ

h =1.23Å

(2) 子弹 :p

h

h= 6.63×10-34

= 1.0×10-40m

可见，只有微观粒子的波动性较显著；而宏观粒子 ( 如子弹 ) 的波动性根本测不出来。

一个质量为 m 的实物粒子以速率 v 运动时，即具有以能量 E 和动量 P 所描述的粒子性，同时也具有以频率和波长。

hE P

h＝德布罗意关系

如速度 v=5.0102m/s 飞行的子弹，质量为 m=10-2Kg ，对应的德布罗意波长为：

nmmv

h 25103.1

如电子 m=9.110-31Kg ，速度 v=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：

nmmv

h 2104.1

太小测不到！ X 射线波段

德布罗意波的实验探索

• 戴维孙 -革末实验• 汤姆孙电子衍射实验

电子衍射 X 光衍射

• L.V. 德布罗意 • 电子波动性的理论研究

1929诺贝尔物理学奖

• C.J.戴维孙 • 通过实验发现晶体对

电子的衍射作用

1937诺贝尔物理学奖

电子波动性的应用

第四节、概率波

电子双缝衍射

1) 用足够强的电子束进行双缝衍射

—— 出现了明暗相间的衍射条纹，体现电子的波动性—— 衍射条纹掩饰了电子的粒子性 未能体现电子在空间分布的概率性质

—— 得到的结果与光的双缝衍射结果一样

2) 用非常弱的电子束进行双缝衍射

—— 单个电子的运动方向是完全不确定的 __ 具有概率分布 一定条件下，电子运动方向的概率具有确定的规律

—— 开始电子打在屏幕上的位置是任意的 随着时间推移，电子具有稳定的分布 出现清晰衍射条纹 __ 和强电子束在短时间形成的一样

物质波不是经典波

—— 经典的波是介质中质元共同振动的形成的 双缝衍射中体现为无论电子强度多么弱 屏幕上出现的是强弱连续分布的衍射条纹

—— 实际上在电子强度弱的情形中 电子在屏幕上的分布是随机的，完全不确定的

微观粒子不是经典粒子

—— 经典粒子双缝衍射

—— 子弹可以看作是经典粒子 假想用机关枪扫射双缝 A 和 B ，屏幕 C收集子弹数目

1) 将狭缝 B挡住

—— 子弹通过 A 在屏幕 C 上有一定的分布

—— 类似于单缝衍射的中央主极大P1 —— 子弹落在中央主极大范围的概率分布

2) 将狭缝 A 挡住

—— 子弹通过狭缝 B 在屏幕 C 上有一定的分布 —— 类似于单缝衍射的中央主极大

P2 —— 子弹落在中央主极大范围的概率分布

1 2P P P

3) A 和 B狭缝同时打开

—— 子弹是经典粒子 原来通过 A狭缝的子弹 —— 还是通过 A

原来通过 B狭缝的子弹 —— 还是通过 B

屏幕 C 上子弹的概率分布

不因两个狭缝同时打开每颗子弹会有新的选择！

—— 电子双缝衍射

—— 电子枪发射出的电子，在屏幕 P 上观察电子数目

1) 将狭缝 B 挡住—— 电子通过狭缝 A

在屏幕 C 有一定分布—— 类似于单缝衍射 的中央主极大

2) 将狭缝 A挡住

—— 电子通过狭缝 B 在屏幕 C 上有一定的分布 类似于单缝衍射的中央主极大

3 ） A 和 B狭缝同时打开

—— 如果电子是经典粒子 原来通过 A狭缝的电子 —— 还是通过 A

原来通过 B狭缝的电子 —— 还是通过 B

屏幕上电子的概率分布

屏幕 C —— 实际观察到类似光的双缝衍射条纹

屏幕 C 上电子的概率分布

—— 只开一个狭缝和同时开两个狭缝 电子运动的方向具有随机性

—— A 和 B狭缝同时开时 电子似乎“知道” 两个狭缝都打开！

双缝和屏幕之间 —— 到底发生了什么？

屏幕上电子的分布 —— 有了新的概率分布

电子 —— 不是经典粒子

光子在某处出现的概率由光在该处的强度决定

I 大 光子出现概率大 I 小 光子出现概率小

统一于概率波理论

单缝衍射

光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比

第 5 节 不确定关系

玻恩 (M. Born. 1882-1970) 德国物 理 学 家 。1926 年提出波函数的统计意义。为此与博波 (W.W.G Bothe. 1891-1957)共享 1954 年诺贝尔物理学奖。　

玻 恩 M. Born.

二、德布罗意波的统计解释

1926 年，德国物理学玻恩 (Born , 1882--1972) 提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。

二 . 经典波动与德布罗意波 ( 物质波 ) 的区别

经典的波动 ( 如机械波、电磁波等 ) 是可以测出的、实际存在于空间的一种波动。

而德布罗意波 ( 物质波 ) 是一种概率波。简单的说，是为了描述微观粒子的波动性而引入的一种方法。

不确定度关系（ uncertainty relatoin)

经典力学：运动物体有完全确定的位置、动量、能量等。

微观粒子：位置、动量等具有不确定量（概率）。

一、电子衍射中的不确定度

一束电子以速度 v 沿 oy 轴射向狭缝。

电子在中央主极大区域出现的几率最大。

a

o

x

y

在经典力学中，粒子（质点）的运动状态用位置坐 标和动量来描述，而且这两个量都 可以同时准确地予

以测定。然而，对于具有二象性的微观粒子来说，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？下面我们以电子通过单缝衍射为例来进行讨论。设有一束电子沿 轴射向屏 AB上缝宽为 的狭缝，于是，在照相底片 CD上，可以观察到如下图所示的衍射图样。如果我们仍用坐标 和动量 来描述这一电子的运动状态，那么，我们不禁要问：一个电子通过狭缝的瞬时，它是从缝上哪一点通过的呢 ?也就是说，电子通过狭缝的瞬时，其坐标 为多少 ?显然，这一问题，我们无法准确地回答，因为此时该电子究竟在缝上哪一点通过是无法确定的，即我们不能准确地确定该电子通过狭缝时的坐标。

Oy b

x p

x

对于第一衍射极小，

asin 1

式中 为 电子的德布罗意波长。

电子通过狭缝的瞬间，其位置在 x 方向上的不确定量为

p

1

a

o

x

y

ax

电子的位置和动量分别用 和 来表示。x p

同一时刻，由于衍射效应，粒子的速度方向有了改变，缝越小，动量的分量 Px变化越大。

p

1

a

o

x

y

4

hpx x

分析计算可得 :

①许多相同粒子在相同条件下实验 , 粒子在同一时刻并不处在同一位置。②用单个粒子重复 , 粒子也不在同一位置出现。

动量不确定度位置不确定度

zyx ppp

zyx

,,

,,

不确定性关系

(1901~1976)德国物理学家 , 量子力学矩阵形式的创建人 , 1932 年获诺贝尔物理学奖。

经严格证明应为：

2xpx

这就是著名的海森伯测不准关系式

2ypy

2zpz

2

h

（约化普朗克常量）

能量与时间的不确定关系：

2tE

原子在激发态的平均寿命 相应地所处能级的能量值一定有一不确定量。

s10t 8

ev10t2

E 8

称为激发态的能级宽度。

我们知道，原子核的数量级为 10-15m，所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。

11 smkg0.2smkg20001.0 mvp

1414 smkg100.2smkg2100.1%01.0 pp

例 1. 一颗质量为 10g 的子弹，具有 200m·s-1 的速率，若其动量的不确定范围为动量的 0. 01%( 这在宏观范围是十分精确的了 )，则该子弹位置的不确定量范围为多大 ?

解 : 子弹的动量

动量的不确定范围

由不确定关系式 (17-17)，得子弹位置的不确定范围

mmp

hx 31

4

34

106.2100.214.34

1063.6

4

　我们知道原子大小的数量级为 10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已是没有实际意义。

128131 smkg108.1smkg200101.9 mvp

132

1284

smkg0.18.1

smkg0.18.1100.1%01.0

pp

例 2 . 一电子具有 200 m/s的速率，动量的不确定范围为动量的 0. 01%( 这已经足够精确了 )，则该电子的位置不确定范围有多大 ?解  : 电子的动量为

动量的不确定范围

由不确定关系式，得电子位置的不确定范围mm

p

hx 3

32

34

109.2108.114.34

1063.6

4

宏观物体 微观粒子具有确定的坐标和动量 没有确定的坐标和动量可用牛顿力学描述。 需用量子力学描述。

有连续可测的运动轨道，可 有概率分布特性，不可能分辨 追踪各个物体的运动轨迹。 出各个粒子的轨迹。

体系能量可以为任意的、连 能量量子化 。续变化的数值。

不确定度关系无实际意义 遵循不确定度关系

微观粒子和宏观物体的特性对比

不确定关系的物理意义和微观本质

1. 物理意义：

微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量 x越小，动量的不确定量 Px 就越大，反之亦然。

2. 微观本质：

是微观粒子的波粒二象性及粒子空间分布遵从统计规律的必然结果。

不确定关系式表明： １．微观粒子的坐标测得愈准确 ( x0) ，动量就愈不准确 (px) ； 微观粒子的动量测得愈准确 (px0) ，坐标就愈不准确 ( x) 。 但这里要注意，不确定关系 不是说微观粒子的坐标测不准； 也不是说微观粒子的动量测不准； 更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准； 而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。

这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。 这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。 由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观规律 , 不是测量技术和主观能力的问题。 ３．不确定关系提供了一个判据： 当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用经典理论来研究粒子的运动。 当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能用量子力学理论来处理问题。

２．为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准 ?