คณิตศาสตร์ 5 - satreephuket.ac.th · ค32102 คณิตศาสตร์4...
-
Upload
vuongkhanh -
Category
Documents
-
view
562 -
download
1
Transcript of คณิตศาสตร์ 5 - satreephuket.ac.th · ค32102 คณิตศาสตร์4...
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
0
คณตศาสตร4
ค32102 ชนมธยมศกษาป�ท 5 ภาคเรยนท 2 ป�การศกษา 2561
ชอ........................................ชน ม.5/.......เลขท…….
ครเณรศา พรหมวลย โรงเรยนสตรภเกต
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
1
ในการแนะนากฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบในทนจะเรมจากตวอยางสองตวอยางเพอเชอมโยงไปสความ
เขาใจกฎเกณฑดงน
ตวอยางท 1 ปรชามเสอ 4 ตวแตกตางกน มกางเกง 3 ตวแตกตางกน จงหาวาปรชาจะมวธแตงกาย จากชดท
กาหนดใหไดกวธ วธทา ให ส1, ส2, ส3, ส4 แทน เสอตวทหนงถงเสอตวทส
ก1, ก2, ก3 แทน กางเกงตวทหนงถงเสอตวทสาม
อาจใชแผนภาพตนไมแสดงการจบคเสอและกางเกง ดงน
สามารถจบคเสอและกางเกง ดงน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
จะสงเกตไดวา สามารถหาจานวนวธแตงกายจากชดทกาหนดใหไดโดยการคณ คอ นาจานวนชดของเสอคณจานวน
ชดของกางเกง จะได ................... วธ
กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
2
ถาสามารถทางานอยางแรกวธตางๆ ได n1 วธ และแตละวธของการทางานอยางแรกสามารถทางานอยางทสองวธตางๆ ได n2 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานอยางทหนงตามดวยการทางานอยางทสอง สามารถทาวธตางๆ ได n1 n2 วธ
กฎขอท 1
ตวอยางท 2 ในการเลอกรบประทานอาหารประเภทละหนงอยาง จากอาหารสามประเภท คอมแกงอย 2
อยาง มตมจดอย 3 อยาง และมขนมหวานอย 2 อยาง จะมวธเลอก รบประทานไดทงหมดกวธ วธทา ให ก1, ก2 แทน แกงอยางทหนงและอยางทสองตามลาดบ จ1, จ2, จ3 แทน ตมจดอยางทหนงถงอยางทสามตามลาดบ ข1, ข2 แทน ขนมอยางทหนงและอยางทสองตามลาดบ วธเลอกรบประทานอาหารประเภทละหนงอยาง พจารณาไดจากแผนภาพตนไม ดงน ซงจะได 12 วธ คอ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. วธเลอกทงหมดพจารณาไดจากการทางานสามงาน คอ 1) มวธเลอกแกงได 2 วธ 2) แตละวธของการเลอกแกงจะมวธเลอกตมจดได ……………. วธ 3) แตละวธของการเลอกแกงและเลอกตมจดจะมวธเลอกขนมหวานได ……………วธ ดงนน จะมวธเลอกทงหมด เป�น ……………….= ………… วธ
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
3
ลองทาด
1. ถามวธเดนทางจากปราจนบรไปกรงเทพมหานครได 3 วธ และมวธเดนทางจากกรงเทพมหานครไป
สมทรสาครได 4 วธ จะมวธเดนทางจากปราจนบร ผานกรงเทพมหานครไปสมทรสาครไดทงหมดกวธ
(เขยนแผนภาพตนไม)
2. มดนสอแตกตางกน 3 แทง ไมบรรทดแตกตางกน 4 อน และสมดแตกตางกน 5 เลม ถาตองการเลอก
ดนสอ ไมบรรทด และสมดอยางละ 1 เลม จะมวธเลอกตางๆ กน ไดกวธ (ใชกฎการนบ)
ถาสามารถทางานอยางแรกวธตางๆ ได n1 วธ แตละวธของการทางานอยางแรกสามารถทางานอยางท
สองวธตางๆ ได n2 วธ และแตละวธของการทางานอยางแรก และอยางทสองสามารถทางานอยางท
สามตางๆ กนได n3 วธ ... เปนเชนนถงการทางานอยางท k ซงสามารถทางานวธตางๆ กนได n
k วธ
ดงนน จานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานอยางแรกตามดวยการทางานอยางทสอง ตามดวยการ
ทางานอยางทสาม ... จนถงการทางานอยางท k สามารถทาวธตางๆ ได n1 n
2 n
3 ...n
k วธ
กฎขอท 2
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
4
ตวอยาง ในการทอดลกเตา 1 ลก 2 ครง (1) มกวธทผลรวมของแตมทขนทงสองลกนอยกวา 8 แตม (21 วธ) (2) มกวธทผลรวมของแตมทขนทงสองลกเป�นจานวนค (18 วธ)
.....................................................................................................................................................
แบบฝ�กหดโจทยพนฐาน …………………………………………………………………………………………………………………………………. 1. มเสนทางจากตาบล ก ไปตาบล ข อย 4 เสนทาง มเสนทางจากตาบล ข ไปตาบล ค อย 3 เสนทาง ถา
เดนทางจากตาบล ก ไปยงตาบล ค โดยผานตาบล ข จะมเสนทางการเดนทางแตกตางกนไดกวธ (12 วธ)
…
2. เพญศรมกระโปรง 4 ตว มเสออย 5 ตว และเขมขด 2 เสน จะมวธแตงตวแตกตางกนไดทงหมดกวธ
(40 วธ)
ในการทางานอยางหนงมวธการทางานได k แบบ แตละแบบทางานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน
แยกกรณ
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
5
3. มเรอขามฟากระหวางทาน�าราษฎรบรณะและทาน�าสะพานสงอย 8 ลา ถาสมนกตองการขามฟากและกลบระหวางทาน�าราษฎรบรณะและทาน�าสะพานสง โดยขากลบจะไมขนซ�าเรอลาเดยวกบขาไป สมนกจะมวธใชเรอขามฟากไดทงหมดกวธ (56 วธ)
4. บรษทผลตรถยนตแหงหนง ตองการผลตรถยนต4 แบบ แตละแบบมสอย 5 ส ถาจะจดหองแสดงรถยนตทกแบบ
ทกสอยางละหนงคน จะตองจดทจอดรถทงหมดกท (20 ท)
.
. 6. อาหารป��นโตเสนอรายการอาหาร ดงน แกง 3 ชนดแตกตางกน ตมจด 4 ชนดแตกตางกน ผดผก 2 ชนดแตกตางกน และขนมหวาน 5 ชนดแตกตางกน ถาผสงอาหารป��นโตแตละ รายเลอกแกงไดหนงอยาง ตมจดหนงอยาง ผดผกหนงอยาง และขนมหวานหนงอยาง จะมวธเลอกรายการอาหารตางๆ ไดทงหมดกวธ
( 120 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
6
7. มหนงสอคณตศาสตรแตกตางกน 3 เลม วทยาศาสตรแตกตางกน 4 เลม ภาษาองกฤษ แตกตางกน 6 เลม
และภาษาไทยแตกตางกน 5 เลม ในการเลอกหนงสอวางบนโตะชดหนง ซงประกอบดวย คณตศาสตรหนง
เลม วทยาศาสตรหนงเลม ภาษาองกฤษหนงเลม และภาษาไทยหนงเลม จะมวธเลอกตางๆ กนไดทงหมดกวธ
(360 วธ)
8. มวธทจดคน 8 คนใหนงเกาอทวางอยเป�นแถวจานวน 4 ตว ไดกวธ โดยในแตละวธจะมคนไมไดนงสคน
(1,680 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
7
1 สถาบนทดสอบความพรอมเพอเขาเรยนตอในมหาวทยาลยไดกาหนดรหสของ นกศกษาดวยอกษรภาษาไทย 1 ตว และตามดวยตวเลขสตว สถาบนจะมวธกาหนดรหสของผเขาสอบไดแตกตางกนทงหมดกวธ ถา
1) ไมมขอกาหนดใดๆ เพมเตม 2) หามออกบตรทตวเลขเป�นศนยพรอมกนทงสหลก วธทา 1) ไมมขอกาหนดใดๆ เพมเตม ดงนนการจดรหสจะเหมอนกบการทางาน 5 ขนตอน ขนทหนง มวธเลอกอกษรภาษาไทยได ………….. วธ ขนทสองถงขนทหา มวธเลอกตวเลขได ขนตอนละ …………… วธ ดงนน จะออกรหสไดทงหมด …………………………….. = ………………. วธ 2) กรณทออกบตรทตวเลขเป�นศนยพรอมกนทงสหลกมวธออกบตรได………………… = …………. วธ ดงนน กรณทออกบตรทตวเลขไมเป�นศนยพรอมกนทงสหลกจะมวธออกบตรได …………………..…………………. วธ 2 สถาบนทดสอบศกยภาพทางภาษาองกฤษของสถาบนแหงหนงมวธกาหนดรหสประจาตวของผเขาสอบดวยอกษรภาษาองกฤษ 2 ตว และตามดวยตวเลขอก 4 ตว สถาบนจะมวธกาหนดรหสของผเขาเรยนไดแตกตางกนทงหมดกวธ ถา
1. ไมมขอกาหนดใดๆ เพมเตม (6,760,000 วธ) 2. หามออกบตรทตวเลขเป�นศนยพรอมกนทงสหลก (6,759,324 วธ)
โจทยประเภทตาง ๆ
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
8
3. ถาในการกาหนดเลขทะเบยนรถยนตจะตองใชพยญชนะนาหนา 2 ตว (ซ�ากนได) จากพยญชนะทงหมด 44 ตว และกาหนดใหมตวเลขไมเกน 4 หลก ถากาหนดปายทะเบยนเป�นสแบบดงน
1) มตวเลข 1 หลก (จาก 1 ถง 9) (17,424 ปาย) 2) มตวเลข 2 หลก (จาก 10 ถง 99) (174,240 ปาย) 3) มตวเลข 3 หลก (จาก 100 ถง 999) (1,742,400 ปาย) 4) มตวเลข 4 หลก (จาก 1000 ถง 9999) (17,424,000 ปาย) อยากทราบวา จะออกปายทะเบยนรถยนตไดแบบละกปาย
วธทา
4. บรษทแหงหนง กาหนดใหมรหสประจาตวพนกงาน ซงประกอบดวยตวอกษรภาษองกฤษ 1 ตว และเลขโดด
3 ตว ตวอยางเชน A-123 อยากทราบวารหสประจาตวของพนกงานในบรษทนจะมไดทงหมดกรหส ถารหส
ประจาตวพนกงานตองไมมเลขโดดทซ�ากน (18,720 วธ)
วธทา
5. จะออกหมายเลขโทรศพททใชตวเลข 9 ตว เมอหมายเลขตวทหนงเป�น 0 และหมายเลขตวทสองเป�นตวเลข
1 และตามดวยตวเลข 7 หลกไดกวธถา
1) ตวเลขทเหลอไมเป�นศนยพรอมกนทงเจดตว (9,999,999 วธ)
2) ตวเลขทเหลอไมใชตวเลขซ�า (604,800 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
9
6. หมายเลขโทรศพทซงประกอบดวยเลขโดด 9 ตว และหาตวแรกเป�น 02392 มไดทงหมดกหมายเลข (10,000 หมายเลข) 7. เดมหมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพประกอบดวยตวอกษรยอชอ จงหวด พยญชนะอก 1 ตว และเลขโดดตามหลงอก 4 ตว เชน กท.อ. 0278 จงหาวา กองทะเบยนจะใชระบบนออกทะเบยนใหรถยนตไดทงหมดกคน (สมมตวาใชพยญชนะครบทกตว) และถากองทะเบยนรถเปลยนระบบออกทะเบยนรถยนตโดยใชตวเลข 1 ถง 9 นาหนาพยญชนะ 1 ตว และตามดวยเลขโดด 4 ตว เชน 5ค-5985 โดยวธนกองทะเบยนจะออกหมายเลขทะเบยนรถยนตเพมขนจากเดมเทาไรโดยแตละแบบตองไมเป�น 0 พรอมกนหมด
(3,519,648 ทะเบยน)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
10
1 จานวนคบวกซงมสามหลกมทงหมดกจานวน วธทา เลขโดดทใชในการเขยนตวเลขแสดงจานวนทตองการในหลกทงสามตางกเป�นสมาชกของเซต S โดยท S = {……………………………………………………………….} การเลอกเลขโดดมาใชเขยนในหลกรอยเป�นได ............. วธ เนองจาก................................................. .................................................................................................................................................................... การเลอกเลขโดดในหลกสบเป�นได...............วธ คอจะเป�นสมาชกตวใดตวหนงของ S กได การเลอกเลขโดดมาเขยนในหลกหนวยเป�นได ..................วธ เนองจาก.................................. .......................................................................................................................................................... ดงนน จานวนคทมสามหลกมทงหมด..........................................................จานวน 2. จงหาวา 1) จานวนเตมบวกซงมหกหลกมทงหมดกจานวน (900,000 วธ) 2) จานวนเตมบวกทเป�นจานวนคซงมหกหลกมกจานวน (450,000 วธ)
3) จานวนเตมบวกซงมหกหลก และหลกหนวยเป�น 9 มทงหมดกจานวน (90,000 วธ)
3. จงหาวา จะมวธเขยนตวเลขแสดงจานวนตอไปนไดกวธโดยใช 1) เลขโดด 2 ถง 9 เขยนตวเลขแสดงจานวนคทมสามหลก (256 วธ) 2) เลขโดด 1 ถง 8 เขยนตวเลขแสดงจานวนคทมสหลก (2,048 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
11
4. มจานวนนบทมากกวา 400 อยกจานวนทเป�นจานวนไมเกนสหลกและแตละหลกใชเลขโดด 2, 3, 4 หรอ5 โดยไมมเลขโดดซ�า (36 จานวน)
5. จะสรางจานวนสามหลกจากเลขโดด 0, 1 , 2, 5, 7, 9 โดยทจานวนนนหารดวย 5 ลงตวไดทงหมดกจานวน
ถา
(1) ใชเลขโดดซ�ากนได (60 จานวน)
(2) หามใชเลขโดดซ�ากน (36 จานวน)
6. ถาตองการสรางจานวนเตมทมคาอยระหวาง 2,000 และ 4,000 โดยสรางจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะสรางไดทงหมดกจานวน ถา
(1) เลขแตละหลกซ�ากนได (431 จานวน)
(2) เลขแตละหลกไมซ�ากน (120 วธ)
(3) เป�นจานวนค (216 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
12
ทาความเขาใจ เกยวกบ การ โยน ทอด ทอย เหรยญหรอลกเตา แมวาจะเป�นการโยนออกจากมอพรอมกน แตผลลพธทแสดงออกมาหลงจากโยนตกถงพนไมพรอมกน (ไมเหมอนการหยบ หยบพรอมกนจะไมรลาดบกอนหลง) เชน (1) โยนลกเตา 1 ลก 2 ครง ไดผล (1, 2) หมายถงผลของครงท 1 และครงท 2 (2) โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง ไดผล (1,2) หมายถงผลของลกท 1 และ ลกท 2
1. ถาโยนลกเตาสองลก เราจะใชคอนดบแสดงหนาทแตมปรากฏของลกเตาลกทหนง และลกเตาลกทสอง เชน
(4, 2) บอกใหทราบวาลกเตาลกทหนงขนหนา 4 แตม และลกเตาลกทสอง ขนหนา 2 แตม ดงนนเมอโยน
ลกเตาสองลก จะมคอนดบแสดงหนาทปรากฏตางๆ กนทงหมดกวธ อะไรบาง
(36 คอนดบ)
2. ในการทอดลกเตาสองลกพรอมๆ กน จงหาจานวนวธทจะไดเหตการณดงน
1) ผลรวมของแตมเทากบ 8 (5 วธ)
2) ผลรวมของแตมมากกวา 7 (15 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
13
3. ในการทอดลกเตาสองพรอม ๆ กน จงหาจานวนวธจะไดผลลพธเหลาน 1) จานวนแตมตรงกน (6 วธ)
2) ผลรวมของแตมเทากบสบ (3 วธ) 3) จานวนแตมตางกน (30 วธ)
4) ผลรวมของแตมนอยกวาสบ (30 วธ) 3. จงหาจานวนวธทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาสามลกมากกวา 4 เมอทอดลกเตาสามลกพรอมกน
(212 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
14
1. โยนเหรยญ 3 เหรยญ 1 ครง จงหา 1) จานวนวธทงหมด (8) 2) จานวนวธทเหรยญขนหวมากกวากอย (4) 3) จานวนวธทขนหนาเดยวกนหมดทง 3 เหรยญ (2) 2. โยนเหรยญ 1 เหรยญและตามดวยลกเตา 2 ลก จงหา 1) จานวนวธทงหมด
2) จานวนวธทเหรยญขนหว และลกเตาทง 2 ลกขนแตมมากกวา 5 3) จานวนวธทเหรยญขนกอย และผลบวกของลกเตานอยกวา 5
ใช H หรอ ห แทน หว T หรอ ก แทน กอย
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
15
1. หยบไพจากสารบขนมา 1 ใบ 2 ครงโดยไมใสคน มกวธท 1) ไดไพหนาโพดาทง 2 ใบ (156) 2) ไดไพสเดยวกน (1300) 2. หยบไพ 1 ใบจากสารบ จงหาวธทหยบไดไพโพแดง หรอ แตม 5 (16 วธ)
มลกบอลสแดง ฟา เขยว อยางละ 1 ลกอยในถง จงหาจานวนวธหยบลกบอลดงน 1. หยบครงละ 2 ลก พรอมกน ( 3 วธ) 2. หยบครงละ 1 ลก 2 ครงโดยใสคน (9 วธ) 3. หยบครงละ 1 ลก 2 ครงโดยไมใสคน (6 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
16
”
1. มถนนจากโรงเรยนสตรภเกต ถงหางเซนทรล 3 สาย และมถนนจากหางเซนทรลถงหางจงซลอน 4 สาย ถาจะขบรถไปและกลบจากโรงเรยนสตรภเกตถงหางจงซลอน จะใชเสนทางทตางกนไดทงหมดกวธ
(144 วธ)
2. จากขอ 1. ถาเดนทางไปและกลบ โดยทขากลบไมใชวธเดยวกบขาไป ไดกวธ (132 วธ)
”
1 .สนามกฬาแหงหนงมประตอย 4 ประต ถาจะเขาประตหนงแลวออกอกประตหนงไมใหซ�ากบประตทเขามา จะมวธเขาและออกจากสนามกฬาแหงนไดทงหมดกวธ (12 วธ) 2. สวนสาธารณะแหงหนงมประตเขาออก 5 ประต นาย ก,ข และ ค จะเขาและออกจากสวนสาธารณะไดกวธถา
(1) ทงสามคนจะเขาออกประตใดกได ( 56 วธ) (2) แตละคนเขาประตใดจะออกประตนนไมได ( 53x43วธ)
(3) ตอนออกไมซ�ากบตอนกบตอนเขา และทงสามจะไมใชวธเดยวกน (6,840 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
17
1. ตองการนาตวอกษร จากคาวา IPHONE ครงละ 3 ตวไมซ�ากน มาสรางคาใหม โดยไมคานงถงความหมาย และขนตนดวยสระ จะสรางไดกคา (60 คา)
2. ตองการนาตวอกษร จากคาวา ELENENTARY ครงละ 4 ตวไมซ�ากน มาสรางคาใหม โดยไมคานงถงความหมาย และขนตนดวยสระ จะสรางไดกคา ถาคาทสรางขนมาขนตนดวยสระและลงทายดวยพยญชนะ
(360 คา) 3. มหนงสอวชาคณตศาสตรแตกตางกน 3 เลม ภาษาองกฤษแตกตางกน 2 เลม ถานาหนงสอทงหมดขนเรยงบนชนหนงสอ โดยใหหนงสอวชาเดยวกนอยตดกนไดกวธ (24 วธ) 4. นานกเรยนชาย 3 คน นกเรยนหญง 2 คน มายนเรยงแถวหนากระดานไดกวธ ถานกเรยนชายยนสลบทกบนกเรยนหญง (12 วธ) 5. นานกเรยนชาย 3 คน นกเรยนหญง 3 คน มายนเรยงแถวหนากระดานไดกวธ ถานกเรยนชายยนสลบทกบนกเรยนหญง (72 วธ) 6. มลกเสอ 5 คน ตองจดแถวยนเรยงหนากระดานไดกวธถา 6.1) หวหนายนหวแถวเสมอ
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
18
6.2) หวหนายนหวแถว รองหวหนายนทายแถว 6.3) หวหนายนรมแถว 7. ตองการคดพนกงาน 5 คน มาดารงตาแหนงหวหนา รองหวหนา และเลขาฯ ตาแหนงละ 1 คนไดกวธ (60 วธ) 8.นกทองเทยว 5 คน เชารถเกง 5 ทนง 1 คน จะมวธการนงไดกวธถา 2 ใน 5 คน ขบรถเป�น (48วธ)
รมแถวหมายถงหวแถวหรอทายแถวกได ตองคด 2 กรณคด 2
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
19
1. มจดหมายทแตกตางกน 4 ฉบบ ตองการทงจดหมายทงหมดในตไปรษณย ซงมทงหมด 5 ต จะมจานวนวธทงจดหมายกวธ ถา
(1) ไมมเงอนไขเพมเตม (625 วธ) (2) จดหมายแตละฉบบตองไมซ�าตกน (120 วธ) (3) มจดหมายอยางนอย 2 ฉบบทงในตเดยวกน (505 วธ) (4) ทงตเดยวกนทง 4 ฉบบไมได (620 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
20
2. มหนงสอทแตกตางกน 4 เลม ตองการนาหนงสอใสกระเปาหนงสอ 5 ใบทแตกตางกน อยากทราบวา จะมวธการนาหนงสอทง 4 เลม ใสกระเปาหนงสอไดกวธ ถา
(1) หนงสอแตละเลมจะใสในกระเปาใดกได (54 วธ) (2) กระเปาแตละใบใสหนงสอไดไมเกน 1 เลม (120 วธ) (3) หนงสอทง 5 เลมอยในกระเปาใบเดยวกน ( 4 วธ) (4)*** มประเปาอย 1 ใบทใสหนงสอไดเพยงเลมเดยว (44 +44 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
21
4. ญาญามเพอน 5 คน ตองการเชญเพอนมารวมรบประทานอาหารไดกวธถา (1) ตองเชญเพอนอยางนอย 1 คน (2) ตองเชญเพอนอยางนอย 1 คน และจะเชญภรรยาของเพอนมาดวยกได (สมมตเพอนทกคนมภรรยาและภรรยาจะมาไดกตอเมอสามตองมาดวย) 5.นกฝงหนงม 10 ตว บนไปเกาะกงไม 7 กงไดกวธ ถา
(1) ไมมเงอนไขเพมเตม (2) ถานกหวหนาฝงเกาะกงไมใด นกตวอนจะไมเกาะกงไมนน
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
22
6. ในวนครสตมาส ครเตรยมของขวญไว 3 ชน เพอจบฉลากใหนกเรยน 20 คนไดกวธถา (1) นกเรยนมสทธไดของขวญเกน 1 ชน (203 วธ)
(2) นกแตละคนมสทธรบรางวลไมเกน 1 ชน (6,840 วธ)
7. ถาตองการเลอกผลไม 3 ชนดจาก 5 ชนด ไดแก สม ชมพ มงคด มะมวงและนอยหนา โดยมเงอนไขวาสมและชมพ ถาถกเลอกจะตองเลอกทง 2 ชนด จะเลอกไดทงหมดกวธ (4 วธ)
ในการเลนเกมชนดหนงระหวาง ก กบ ข โดยมเงอนไขวา ถาผใดชนะกอน 2 เกมตดตอกน จะเป�นผชนะ หรอผใดชนะ 3 เกมกอน กจะเป�นผชนะ อยากทราบวา มวธการเลนไดกวธ (10 วธ)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
23
ความนาจะเป�น เป�นการหาวาโอกาสทเหตการณใด จะเกดขนมมากนอยเพยงใด ซงกอนหาความนาจะเป�นของเหตการณใด ผเรยนตองเขาใจความหมายของการทดลองสม แซมเป�ลสเปซ เหตการณ กอน
การทดลองสม คอ การทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเป�นอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอนวาแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเป�นอะไรในบรรดาผลทอาจเป�นไดเหลานน ตวอยาง การทดลองสม 1. การแขงขนฟตบอลของทมโรงเรยนพานพทยาคมทจะทาการแขงขนกบทมโรงเรยนแมลาววทยาคมในสปดาหหนา ซงผลทอาจเกดขนทงหมดไดแก ชนะ แพ เสมอ (เรารวาผลทอาจเกดขนม 3 แบบน แตไมรวาถาลงแขงขนกนจรง ๆ ผลจะเป�นอยางไร) 2. การทอดลกเตาลกเดยวหนงครง ถอวาเป�นการทดลองสมเพราะสามารถบอกไดวาผลลพธทอาจเกดขนคอแตม 1, 2, 3 , 4 , 5 , 6 3. การโยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน เป�นการทดลองสม เพราะสามารถบอกไดวาผลลพธทอาจเกดขนคอ หวหว , กอยกอย , หวกอย , กอยหว
ปรภมตวอยาง หรอ แซมเป�ลสเปซ (Sample space)
ตวอยาง แซมเป�ลสเปซ 1.ในการทอดลกเตาหนงลก สนใจหนาทออก แซมเป�ลสเปซ คอ S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 2.ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกนสนใจหนาทออก แซมเป�ลสเปซ คอ S = {(1,1), (1,2) , (1,3), … , (6,4) , (6,5) , (6,6) } 3. เพศของบตรครอบครวทมบตร 2 คนเรยงตามลาดบการเกดกอนหลง แซมเป�ลสเปซ คอ S ={ชายชาย , ชายหญง , หญงชาย ,หญงหญง }
ความนาจะเป�น
การทดลองสม
ปรภมตวอยาง
บทนยาม แซมเป�ลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเป�นผลลพธทอาจเป�นไปไดทงหมดของการทดลองสม แตละสมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง (sample point หรอ outcome)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
24
1. ในการตรวจสภาพของสนคาชนดหนงซงผลตจากเครองจกรโดยการหยบขนมาตรวจ 3 ชน หยบทละชนโดยไมเจาะจงถอวาเป�นการทดลองสม ถาผลลพธทสนใจคอสภาพของสนคาทง 3 ชน ทหยบขนมาวาชารดหรอไมชารด ใหสนคาทชารดแทนดวย “ช” และสนคาทไมชารดแทนดวย “ม” แซมเป�ลสเปซจะเป�นเซตซงประกอบดวยสมาชกดงน S1 = ……………………………………………………………………………….
แตถาผลลพธทสนใจคอ จานวนชนทชารดโดยไมสนใจวาเรยงลาดบอยางไร แซมเป�ลสเปซ คอ S2 = ………………………………………………………………………………
2. จงเขยนแซมเป�ลสเปซของการทดลองสมในแตละขอตอไปน
(1) ทมฟตบอล ก ลงแขงกบทมฟตบอล ข และสนใจผลการแขงขนของทม ก S1 = …………………………………………………………………
(2) โยนเหรยญหนงอนสครงและสนใจจานวนครงทขนหว S2 = …………………………………………………………………
(3) ผลตหลอดไฟฟา 5 หลอด และสนใจจานวนหลอดทเสยเมอผลตครบ 24 ชวโมง S3 = …………………………………………………………………
(4) หยบลกป�งปองหนงลกออกมาจากกลองซงมลกป�งปองสขาว สแดง และสนใจวาไดลกป�งปองสใด S4 = …………………………………………………………………
ในการทดลองสมใด ๆ แซมเป�ลสเปซเป�นเซตของผลลพธทงหมดทอาจเกดขนเกดขน แตเหตการณเป�นเซตของผลลพธทเป�นไปตามเงอนไขทสนใจ ดงนนเซตของเหตการณอาจมจานวนสมาชกมากเทาใดกไดแตจะไมเกนจานวนสมาชกของแซมเป�ลสเปซ
เหตการณ ( Events )
เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
25
1.ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกนแซมเป�ลสเปซ คอ S = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , …(6,4), (6,5 , (6,6)} ถา E1 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนคทงสองจานวนแลว E1 = ………………………………………………………………………………………………
ถา E2 เป�นเหตการณทผลรวมบนหนาลกเตาเป�น 10 แลว E2 = ………………………………………………………………………………………………
ถา E3 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 1แลว E3 = ………………………………………………………………………………………………
ถา E4 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 3 แลว E4 = ………………………………………………………………………………………………
ถา E5 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตารวมกนได 8แลว E5 =………………………………………………………………………………………………..
ถา E6 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 10 แลว E6 = ……………………………………………………………………………………………… 2. ในการทอดลกเตาลกเดยวหนงครง ถาผลลพธทสนใจคอแตมทได แซมเป�ลสเปซ คอ S = ...................................................................................{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ถา E1 เป�นเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว จะได E1 = ………………………{ 3, 6 } ถา E2 เป�นเหตการณทไดแตมต�ากวา 4 จะได E2 = ……………………….{ 1, 2, 3 } 3. ในการชงน�าหนกนกเรยนแตละคนในชน ถาแทนเซตของผลของการชงน�าหนกซงมหนวยเป�นกโลกรมดวย แซมเป�ลสเปซ S S = { w | w > 0 } ( น�าหนกของนกเรยนเป�นจานวนจรงทมากกวา 0 เสมอ ) เหตการณทสนใจอาจเป�นเหตการณทน�าหนกของนกเรยนแตละคนในชนนนเกน 60 กโลกรม และถาแทนเหตการณนดวย E1 จะได E1 = ………………………………………………{ W | W > 60 } แตถาเหตการณทสนใจคอน�าหนกของนกเรยนแตละคนในชนนนทหนกตงแต 50 กโลกรม ถง 60 กโลกรม และแทนเหตการณนดวย E2 จะได E2 = ………………………………………………{ W | 50 ≤ W ≤ 60 }
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
26
ถา E1 และ E2 เป�นเหตการณสองเหตการณแลว ยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 คอเหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 หรอของเหตการณ E2 หรอของทงสองเหตการณ เขยนแทน ยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 ดวยสญลกษณ E1 ∪ E2 ตวอยางท 1 ในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก ถา E1 เป�นเหตการณทไดผลรวมของแตมเป�น 10 และ E2 เป�น
เหตการณทไดผลรวมของแตมหารดวย 5 ลงตว ถาผลลพธทสนใจคอ ผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองจงหายเนยนของเหตการณ E1 และ E2
วธทา แซมเป�ลสเปซซงเป�นเซตทประกอบดวยผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองทอาจเป�นไปไดทงหมด คอ S = ……………………………………………………………..{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } ดงนน E1 = ……………………………{ 10 } E2 = ……………………………{ 5, 10 } ดงนน E1∪ E2 = …………………{5,10}ซงกคอเหตการณทไดผลรวมของแตมเป�น 10 หรอผลรวมของแตมหารดวย 5 ลงตว =======================================================================
ถา E1 และ E2 เป�นเหตการณสองเหตการณณแลว อนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 คอเหตการณซงประกอบดวยสมาชกทอยทงในเหตการณ E1 และเหตการณ E2 เขยนแทน อนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 ดวยสญลกษณ E1 ∩ E2 ตวอยางท 2 อนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 ในตวอยางท 1 คอเหตการณทไดผลรวมของแตมเป�น 10
และหารดวย 5 ลงตว ดงนน E1 ∩ E2 = ………………………………{ 10 } ตวอยางท 3 ในการรบสมครเขาทางานของหนวยงานแหงหนง ถาให E1 เป�นเหตการณทผสมครจะตองมอายตงแต 20 ป�ขนไป และ E2 เป�นเหตการณทผสมครจะตองเป�นชายแลว
E1 ∩ E2 คอเหตการณทผสมครจะตองเป�นชายทมอายตงแต 20 ป�ขนไป =======================================================================
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
27
ถา E1 และ E2 เป�นเหตการณสองเหตการณ และ E1 ∩ E2 = ∅ แลว จะเรยกเหตการณ E1 และ E2 วาเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยางท 4 ในการทอดลกเตาลกหนง ให E1 เป�นเหตการณทจะไดแตมเป�นจานวนค และ E2 เป�นเหตการณท
จะไดแตมเป�นจานวนค จะได E1 = ....................................{2,4,6}และ E2 = ………………………… { 1, 3, 5 } E1 ∩ E2 = ∅ ดงนน E1 และ E2 เป�นเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยางท 5 ในการหยบไพหนงใบจากไพทงสารบ ถา E1 เป�นเหตการณทไดโพแดง และ E2 เป�นเหตการณท
ไดดอกจก E1 และ E2 เป�นเหตการณทไมเกดรวมกน เพราะไพใบหนงจะเป�นทงโพแดงและดอกจกในขณะเดยวกนไมได =======================================================================
ถา S เป�นแซมเป�ลสเปซ และ E เป�นเหตการณทเป�นสบเซตของ S แลว คอมพลเมนตของเหตการณ E คอเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในแซมเป�ดสเปซ S แตไมอยในเหตการณ E เขยนแทนคอมพลเมนตของเหตการณ E ดวยสญลกษณ E′ ตวอยางท 6 คอมพลเมนตของเหตการณ E1 ในตวอยางท 5 คอ
1E′ = ……………………………………………………….{ โพดา, ดอกจก, ขาวหลามตด } ตวอยางท 8 ในการสอบวชาภาษาองกฤษซงมคะแนนเตม 10 คะแนน ถาพจารณาเฉพาะคะแนนซงเป�นจานวน
เตมเทานน แซมเป�ลสเปซ S คอ S = …………………………………………………………{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } ถาให E เป�นเหตการณทคะแนนของเดกชายกาธรเป�น 6 ขนไป กลาวคอ E = ………………………………………….…………….{ 6, 7, 8, 9, 10 } คอมพลเมนตของเหตการณ E คอ E′ = ………………………………………………………. { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ======================================================================
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
28
1. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 2 ลก โดยทลกบอลทกลกแตกตางกน หยบลกบอลออกมา 2 ลก โดยการหยบมเงอนไขวาใหหยบทละ 1 ลก และใหคนลกแรกลงไปกอนทจะหยบลกทสอง จงหา (1) ปรภมตวอยาง S = ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (2) เหตการณทไดลกบอลทงสองลกเป�นสขาว E = ……………………………………………………………………………………….. 2. จากการทดลองโยนเหรยญหนงอน 3 ครง จงหา (1) ปรภมตวอยางของการโยนเหรยญและสนใจการขนหนาของเหรยญ S = …………………………………………………………………………………………………………………………….. (2) เหตการณทออกหวอยางนอยหนงครง E1 = ……………………………………………………………………………………….. (3) เหตการณทออกหวเพยงหนงครง E2 = ……………………………………………………………………………………….. (4) เหตการณทออกหวสามครง E3 = ……………………………………………………………………………………….. (5 เหตการณทไมออกหวเลย E4 = ……………………………………………………………………………………….. 3. การโยนเหรยญอนหนงกบทอดลกเตาลกหนง จงหา (1) เหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเป�นจานวนค E1 = ……………………………………………………………………………………….. (2) เหตการณทลกเตาขนแตมเป�นจานวนทหารดวย 3 ลงตว E2 = ……………………………………………………………………………………….. (3) เหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเป�นจานวนค E3 = ……………………………………………………………………………………….. 4. โยนเหรยญ 3 เหรยญ หนงครง ผลลพธทสนใจคอ หนาของเหรยญทงสามเหรยญทขน จงหา (1) ปรภมตวอยาง S = ………………………………………………………………………………………………………………………….
(2) E1 ซงแทนดวยเหตการณทเหรยญทงสามเหรยญขนหนาเหมอนกน E1 = ………………………………………………………………………………………..
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
29
(3) E2 ซงแทนดวยเหตการณทเหรยญขนหนาหวอยางนอย 2 เหรยญ E2 = ………………………………………………………………………………………..
(4) E3 ซงแทนดวยเหตการณทมเหรยญขนหนากอยมากกวาขนหนาหว E3 = ……………………………………………………………………………………….. (5) 21 EE ∪ =…………………………………………………………………………………………………
(6) 31 EE ∪ =…………………………………………………………………………………………………
(7) 32 EE ∪ =…………………………………………………………………………………………………
(8) 21 EE ∩ =…………………………………………………………………………………………………
(9) 31 EE ∩ =…………………………………………………………………………………………………
(10) 32 EE ∩ =…………………………………………………………………………………………………
(11) 1E′ =………………………………………………………………………………………………………….
(12) 2E′ =………………………………………………………………………………………………………….
(13) 3E′ =………………………………………………………………………………………………………….
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
30
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
31
ความนาจะเป�นของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E)
1.หาจานวนสมาชกในแซมเป�ลสเปซ ของการทดลองสมนน แทนดวย n(S) 2.หาจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจ แทนดวย n (E) 3.หาความนาจะเป�นของเหตการณ จากสตรการคานวณคา P(E) ผเรยนจะพบวาตวเลขทแทนความนาจะเป�นของเหตการณจะมคามากสดเป�น 1 และมคานอยทสดเป�น 0 ถา P(E) = 1 หมายความวาเหตการณทสนใจจะเกดขนแนนอน และถา P(E) = 0 หมายความวาเหตการณทสนใจไมมโอกาสเกดขนเลย ถาเหตการณใดมโอกาสเกดขนมากความนาจะเป�นจะมคาเขาใกล 1 และเหตการณใดมโอกาสเกดขนนอยความนาจะเป�นจะมคาเขาใกล 0 ตวอยางเชน ในการทดลองลกเตาลกเดยวหนงครง ถาเหตการณทสนใจคอไดแตม 3 ในทนแซมเป�ล สเปซคอ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } สมาชกแตละตวของ S มโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน สวนเหตการณทสนใจคอ
E = { 3 } โอกาสทเหตการณ E จะเกดขนเทากบ 6
1 ซงเป�นอตราสวนระหวางจานวนสมาชกของ E กบจานวน
สมาชกของ S พจารณาอกตวอยางหนง ในการทอดลกเตาสองลกหนงครง ถาเหตการณทสนใจคอไดผลรวมของแตมเป�น 5 แซมเป�ลสเปซเป�น 5 แซมเป�ลสเปซ S และเหตการณทสนใจ E อาจเขยนไดดงน S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } และ E = { 5 }
วธนไมถกตองเนองจากสมาชกแตละตวของ S ในทน มโอกาสเกดขนไดไมเทากน เชนการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 2 มโอกาสทจะเกดขนไดวธเดยว คอ (1,1) แตการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 4 มโอกาสทจะเกดขนไดถง 3 วธ คอ (1,3), (3,1), (2,2) จะเหนวาการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 4 มโอกาสทจะเกดขนไดมากกวาการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 2
)S(n)E(n)E(P =
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
32
เพอใชในการคานวณหาโอกาสทจะไดผลรวมของแตมเป�น 5 จะตองพจารณาแซมเป�ลสเปซ S1 ทง 36 วธทอาจเป�นไปไดในการทอดลกเตาสองลก กลาวคอ S1 = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } ให E1 แทนเหตการณทจะไดผลรวมของแตมเป�น 5 จะได E1 = { (1, 4), (2, 3) (3, 2) (4, 1) } ดงนน โอกาสทจะไดผลรวมของแตมเป�น 5 คอ อตราสวนระหวางจานวนสมาชกใน E1 กบจานวน
สมาชกใน S1 ซงเทากบ 9
1
36
4=
ถาสมาชกของแซมเป�ลสเปซมโอกาสเกดขนเทา ๆ กนแลว เรยกอตราสวนระหวางจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจกบจานวนสมาชกของแซมเป�ลสเปซ วา ความนาจะเป�นของเหตการณ อาจกลาวไดวา ความนาจะเป�น เป�นจานวนทบอกใหทราบวาเหตการณทเราสนใจมโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด กลาวคอ
ถา P (E) = 0 หมายความวาเหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย หรอเป�นไปไมไดทเหตการณ E จะเกดขน เชน ถา E เป�นเหตการณทไดเตม 7 จากการทอดลกเตาหนงลกครงเดยว ถา P (E) = 1 หมายความวาโอกาสทเหตการณ E จะเกดขนอยางแนนอน เชน ถา E เป�นเหตการณทไดแตมเป�นจานวนคหรอจานวนคจากการทอดลกเตาหนงลกครงเดยว
ถา P (E) = 2
1 หมายความวาโอกาสทเหตการณ E จะเกดหรอไมเกดมเทา ๆ กน เชน E เป�น
เหตการณทไดแตมคจากการทอดลกเตาหนงลกครงเดยว
ถา P (E1) = 5
1 และ P(E2) = 52 หมายความวาเหตการณ E2 มโอกาสทจะเกดขนมากกวาเหตการณ E1
จากทไดกลาวมาแลว อาจสรปสมบตทสาคญของความนาจะเป�นไดดงน
(1) ความนาจะเป�นของเหตการณ E ใด ๆ จะมคาตงแต 0 ถง 1 เสมอ นนคอ 0 ≤ P (E) ≤ 1 (2) ความนาจะเป�นของแซมเป�ลสเปซ S มคาเทากบ 1 นนคอ P (S) = 1 (3) ความนาจะเป�นของเหตการณทเป�นเซตวางมคาเทากบ 0 นนคอ P (∅) = 0
บทนยามทใหไวใชคานวณความนาจะเป�นของเหตการณจากแซมเป�ลสเปซทเป�นเซตจากดและสมาชกแต
ละตวมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน สวนการคานวณจากแซมเป�ลสเปซทเป�นเซตอนนตจะยงไมกลาวถงในชนน
วธทถกตองคอ
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
33
ตวอยาง 1 ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกน จงหาความนาจะเป�นท 1.แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน 2.แตมบนหนาลกเตาตางกน 1 3.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 10 4.แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนคทงสองจานวน 5.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 20 6.แตมบนหนาลกเตารวมกนไดคามากกวา 0 วธทา หาผลทอาจเกดขนทงหมดจากการทอดลกเตาสองลกไดดงน แซมเป�ลสเปซ คอ S = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } n(S) = ………………………………………………… 1. แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน เหตการณทแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน E1 =……………………………………………………. n(E1) = ……… ความนาจะเป�นททอดลกเตาสองลกแลวไดแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน แทนดวย P(E1)
P(E1) = =)S(n)E(n 1 ………………………………………………………….
2.แตมบนหนาลกเตาตางกน 1 เหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 1 (E2) = …………………………………………………………n(E2)= ………… ความนาจะเป�นททอดลกเตาสองลกแลวไดแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนตางกน 1 = P(E2)
P(E2) = =)S(n)E(n 2 …………………………………………………………………………………………………………
3.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 10 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนคทงสองจานวน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
34
5.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 20 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6.แตมบนหนาลกเตารวมกนไดคามากกวา 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตวอยางท 2 กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 3 ลก โดยทกลกตางกน ทาการหยบลกบอลออกมา 2 ลกพรอมกนจงหาความนาจะเป�นทจะหยบไดลกบอล
(1) เป�นสเดยวกน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… เป�นสตางกน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เป�นสแดงทงสองลก ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………เป�นสแดง 1 ลก สฟา 1 ลก ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………… ตวอยางท3 ถงใบหนงบรรจลกบอลทมหมายเลขกากบตงแตหมายเลข 1 ถง 50 จงหาความนาจะเป�นท 1.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขเป�นจานวนค …………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………… 2.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขมากกวา 20 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขทหารดวย 3 ลงตว ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
35
4.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขทเป�นจานวนเฉพาะ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………… 5.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขทเป�นพหคณของ 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………… ตวอยางท 4 ในการซอสลากกนแบงรฐบาลทประกอบดวยเลข 6 หลก นายดาเลอกซอ หมายเลข 867532 จงหาความนาจะเป�นท 1. นายดาจะถกรางวลท 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. นายดาจะถกรางวลเลขทายสองตว ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. จงหาความนาจะเป�นทนายดาจะถกรางวลเลขทายสามตว ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. จงหาความนาจะเป�นทนายดาจะถกรางวลทหา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 5 ถาสมครอบครวทมบตรสองคนมาครอบครวหนง โดยคานงถงลาดบของบตรคนท 1 และคนท 2 ถาสนใจเพศของบตร จงหาความนาจะเป�นของเหตการณทครอบครวนน
(1) มบตรคนแรกเป�นชาย บตรคนทสองเป�นหญง (2) มบตรเป�นชายอยางนอย 1 คน
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
36
(3) ไมมบตรชายเลย (4) มบตรชาย 1 คน บตรหญง 1 คน (5) มบตรหญง 3 คน
ตการณทจะหยบไดลกแกวสขาว 1 ลก สแดง 1 ลก
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
37
ลองคดด..??? 1. นาย ก ข ค เลนเกมทอดลกเตา 2 ลก 1ครง ซงกตกาคอ ถาลกเตาขนแตมคทงสองลก นาย ก ชนะ ถาลกเตาขนแตมคทงสองลก นาย ข ชนะ ถาลกเตาขนคและค หรอ แตมคและคอยางละลก นาย ค ชนะ ใครไดเปรยบทสด (นาย ค.ไดเปรยบทสด) 2. จงความนาจะเป�นของการชวนเพอน 5 คนไปเทยวเสมดนางช โดยจะตองมเพอนอยางนอย 1 คนไปดวย
(3231 )
3. ขอประเภท choices แตละขอม 3 ตวเลอกคอ ก, ข, ค จานวน 10 ขอและแตละขอมขอถกอยเพยงขอเดยว ถาเดกหญงเอเดาขอสอบทงหมด จงหาความนาจะเป�นทเดกหญงเอจะไดคะแนนเตม
( 1031 )
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
38
4. เดกชายมดแดง และเพอนอก 4 คนยนเรยงแถวหนากระดาน จงหา
4.1 ความนาจะเป�นทเดกชายมดแดงยนหวแถว (51 )
4.2 ความนาจะเป�นทเดกชายมดแดงยนรม (2ขาง) (52 )
4.3 ความนาจะเป�นทเดกชายมดแดงยนตรงกลาง (51 )
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
39
กฎขอท 1 ถา A และ B เป�นเหตการณใดๆ ทเป�นสบเซตของแซมเป�ลสเปซ S แลว P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) กฎขอท 2 ถา A และ B เป�นเหตการณใดๆ ทไมเกดรวมกนแลว P(A∪ B) = P(A) + P(B) กฎขอท 3 ถา A เป�นเหตการณใดๆ ทเป�นสบเซตของแซมเป�ลสเปซ S แลว P( A′ ) = 1 - P(A) กฎขอท 4 ถา A และ B เป�นเหตการณใดๆ ทเป�นสบเซตของแซมเป�ลสเปซ S แลว P (A-B) = P(A) – P(A ∩ B) ตวอยางท 1 หมบานแหงหนงมปะชากรอาศยอย 200 ครอบครว มครอบครวทปลกขาว 100 ครอบครว ปลกขาวโพด 120 ครอบครว และปลกทงขาวและขาวโพด 40 ครอบครว จงหาความนาจะเป�นทครอบครวหนงในหมบานนนจะปลกขาวหรอขาวโพด วธทา ให 1E เป�นเซตของครอบครวทปลกขาว ให 2E เป�นเซตของครอบครวทปลกขาวโพด วธท 1 จากสงทกาหนดใหในโจทย เขยนแผนภาพแสดงจานวนสมาชกของแตละสวนของ 1E ∪ 2E ไดดงน
ดงนน ความนาจะเป�นทครอบครวหนงในหมบานนนจะปลกขาวหรอขาวโพดเทากบ .......................
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
40
ตวอยางท 2 โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชนมธยมศกษาป�ท 5 จานวน 80 คน นกเรยนแตละคนจะตองเรยนวชาฟ�สกส เคม หรอคณตศาสตรอยางนอยหนงวชา จากการนบจานวนนกเรยนทเลอกเรยนในแตละวชา ปรากฏวามนกเรยนทเลอกเรยนวชาฟ�สกส เคม หรอคณตศาสตรเป�นจานวน 50 ,40 และ 33 คน ตามลาดบ ในจานวนดงกลาวน มผทเลอกเรยนทงสามวชาอย 5 คน เลอกเรยนวชาคณตศาสตรอยางเดยว 10 คน เลอกเรยนวชาเคมอยางเดยว 12 คน และเลอกเรยนทงวชาเคม และวชาคณตศาสตร 13 คน จงหาความนาจะเป�นทนกเรยนคนหนงในชนนจะเรยนวชา (1) ฟ�สกสหรอเคม (0.875) (2) คณตศาสตรหรอฟ�สกส (0.850) (3) เคมหรอคณตศาสตร (0.750) วธทา ให
1E , 2E และ
3E เป�นเหตการณทนกเรยนคนหนงในชนนจะเรยนวชาฟ�สกส เคม และคณตศาสตร ตามลาดบ เขยนแผนภาพแสดงจานวนสมาชกไดดงรป
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
41
1. เดกคนหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 4 ลก อยในกระเปากางเกงเป�นสแดง 2 ลก สเขยวและ สเหลองอยางละ 1 ลก จงหาความนาจะเป�นทเดกคนนนลวงกระเปา หยบลกแกวขนมาหนงลก แลว (1) ไดลกแกวสแดงหรอลกแกวสเขยว (0.75) (2) ไมไดลกแกวสแดงหรอสเขยว (0.25) 2. ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน จงหา (1) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน หรอ ผลรวมของแตมมากกวา 10
)92(
(2) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน หรอ ผลรวมของแตมเทากบ 7 )31(
(3) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาไมเหมอนกน )65(
(4) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกนแตผลรวมของแตมไมมากกวา 10
)365(
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
42
3. มสลาก 6 ใบ แตละใบเขยนกากบเลขโดดไว 1 ตวคอ 1, 2, 3, 4, 7, 8 (1) ถาสรางจานวนจากการหยบสลากมาทละ 1 ใบ 2 ครงโดยไมใสคน จงหาความนาจะเป�นทจานวนทสรางได
เป�นจานวนค (21 )
(2) ถาสรางจานวนจากการหยบสลากมาทละ 1 ใบ 2 ครง โดยหยบครงแรกแลวใสคน จงหาความนาจะเป�นท
จานวนทสรางไดมหลกหนวยเป�น 8 (61 )
4. มนกเรยนชาย 3 คน นกเรยนหญง 2 คน ยนเรยงหนากระดานถายรปจงหาความนาจะเป�นท
(1) นกเรยนชายยนสลบทกบนกเรยนหญง (101 )
(2) นกเรยนชายยนตดกน (103 )
(3) นกเรยนหญงยนตดกน (52 )
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
43
5. ขอสอบชนดเตมเครองหมายถกผด จานวน 10 ขอ ถานกเรยนคนหนงเดาขอสอบทกขอ ความนาจะเป�นท
นกเรยนคนนทาขอสอบถกหมดเป�นเทาใด ( 1021 )
6. ในกลองใบหนงมบอล 3 ส คอ สมวง ฟา และเขยว จานวนลกแกวสมวงเทากบสฟา จานวนลกแกวสเขยวเป�น 2 เทาของสฟา หยบลกบอลมา 1 ลก จงหาความนาจะเป�นทจะไดลกบอลสมวง (0.25) 7. สมหยบสลาก 1 ใบจาก 10 ใบทกากบตวเลข 1 ถง 10 ไว ให E1 แทนเหตการณทหยบไดจานวนเฉพาะ E2 แทนเหตการณ ทหยบไดจานวนค จงหา (1) P(E1 ∪ E2) (0.6) (2) P(E1 ∩ E2) (0.3)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
44
1. กลองใบหนงมลกบอล 30 ลก เป�นลกบอลสแดง 10 ลก สเขยว 10 ลก และสเหลอง 10 ลก ถาหยบลกบอลครงละ 1 ลก 3 ครง โดยหยบแลวไมใสคน คงหาความนาจะเป�นทจะไดลกบอลสแดง 2 ลก และสเหลอง 1 ลก
ตามลาดบ (406
15 )
2. มคน 10 คนซงใน 10 คนน มปารมและภผาอยดวย ถาจดคน 10 คน นงเป�นวงกลมจงหาความนาจะเป�นท
ปารม และภผานงตดกน (9
2)
3. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองใบน 3 ใบพรอมกน จงหา
ความนาจะเป�นทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10 (51 )
4. นกเรยนชาย 4 คน นกเรยนหญง 4 คน ยนเรยงแถวหนากระดาน จงหาความนาจะเป�นทนกเรยนชายและ
นกเรยนหญงยนสลบกนคนตอคน (351 )
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
45
5. กลองในหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 13 ลก เป�นสแดง 6 ลก สขาว 4 ลก และสเหลอง 3 ลก โดยทลกแกวทกลกแตกตางกน ถาสมหยบลกแกวออกมา 3 ลก แลว จงหาความนาจะเป�นทจะไดลกแกวสตางกนทง 3 ลก
(14336 )
6. นกเรยนคนหนงมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม หนงสอเคม 2 เลม และหนงสอฟ�สกส 1 เลม โดยทหนงสอทกเลมแตกตางกน ถานกเรยนคนนสมหยบหนงสอไปโรงเรยนอยางนอย 1 เลมแลว จงหาความนาจะเป�นท
1) ไดเฉพาะหนงสอคณตศาสตร (91 )
2) ไดเฉพาะหนงสอเคม (211 )
3) ไดเฉพาะหนงสอฟ�สกส (631 )
4) ไดหนงสอครบทกวชา (31 )
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
46
7. ชายคนหนงมเสออย 5 ตวเป�นเสอสขาว 3 ตว สฟา 2 ตว และมกางเกงขายาว 4 ตว เป�นกางเกงสขาว 1 ตว สเทา 3 ตว ถาชายคนนแตงตวออกจากบานโดยไมเจาะจงแลว จงหาความนาจะเป�นทชายคนนจะสวมเสอและ
กางเกงสตางกน (2017 )
8. ตะกราใบหนงมสม มงคด และมะมวงรวมกน 10 ลก โดยทจานวนสมเป�น 2 เทาของจานวนมงคด และมมะมวงอย 1 ลก โดยทผลไมทกลกแตกตางกน ถาหยบผลไมอยางไมเจาะจงจากตะกราใบนจานวน 3 ลก จงหาความ
นาจะเป�นทจะหยบผลไมชนดละ 1 ลก (303 )
9. ถาความนาจะเป�นท นายธงชย จะสอบผานวชาคณตศาสตรและวชาภาษาองกฤษเป�น 0.6 และ 0.5 ตามลาดบ และความนาจะเป�นทผานอยางนอย 1 วชาเป�น 0.8 จงหาความนาจะเป�นทนายธงชยจะผานทงสองวชาน (0.3)
========================================================================================
ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================
47
10. มนกเรยนกลมหนงจานวน 120 คน ในจานวนนพบวา มนกเรยนทชอบเรยนวชาคณตศาสตร 60 คน มนกเรยนทชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ 50 คน และมนกเรยนทชอบเรยนทงสองวชา 20 คน ถาสมเลอกนกเรยนจากกลมนมา 1 คน แลว จงหาความนาจะเป�นทนกเรยนคนทจะเลอกมาจะ 1) ชอบเรยนอยางนอย 1 วชา 2) ไมชอบเรยนทงสองวชา 3) ชอบเรยนวชาคณตศาสตร แตไมชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ 4) ชอบเรยนอยางมาก 1 วชา
========================================================================================