- ١ -

)١ ( :

= = = = = م

ى و ھـ د حـ أ

م

أ

)٣ (

}

أ ب

ب أ

)٣ (

= ≠

٠١١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ٢ -

: أ بe أ ب ، أ بe أ ب الأ ب = أ ب ، أ ب

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ع، أ ص، أ س ٠٠٠٠، أ

e س أ ب e س

ع ص س ا

ب

٠ د٠ ٠

ص ) ( ١ ص ،

، ٢ ص ٢ ص ال ١ ص = Z

ص= أ ب آل ٢ ص آل ١ص ،

ص ١ص

٢ص

ا ب

س س

س س

- ٣ -

ف = س آل ٢ف آل ١ف ، Z= ٢ ف ال ١ف: ونالحظ

)٣ ( س

وتقطعھ فى ولتكن س فإن أ ب البد وأن تخترق المستوى ٢ فgب ، ١ فg وإذا كانت أ وتنتمى الى أ ب س حـ حیث حـ تقع فى المستوى

)٢ ( أ حـ ، س

) ٣ ( حـ د الحـ د حیث أ ب ، أ ب =c ھـ d س

) ٤ (

س

١ف

٢ف

حـ

ا

ب

ف

تعـــیین المستوى فى الفراغ

٠

٠ ٠

ا ب

حـ

س

ا ب

٠ ٠ حـ

س

ا

ب حـ

د ھـ

ا

حـ ب م د

)١ ( )٢ ( )٣ ( )٤ (

- ٤ -

: عالقة المستقیم بالمســــــــتوى : أوال المستقیم یقطع المستوى ) ٢( المستقیم یوازى المستوى ) ١ (

)فى نقطة واحدة یشتركان ()فى أى نقطة الیشتركان ( المستقیم یقع بتمامھ فى المستوى ) ٣(

) جمیع نقط المستقیم تنتمى للمستوى ( عالقة مستوى بمستوى فى الفراغ : ثانیا

المستویان یتوازیــــــان ) ٢( المستویان یتقاطعان ) ١ ( )ال یشتركان فى أى نقطة ( )یتقاطعان فى خط مستقیم (

: تقیم فى الفراغمسـمستقیم بعالقة : أوال ) ٣(

: المستقیمان یتوازیان ) ٢( :المستقیمان یتقاطعان فى نقطة ) ١ ( : ستقیمان متخالفانالم ) ٣( ) ویقال ان المستقیمین غیر مستویین معا أى ال یجمعھما مستوى واحد ال یتقاطعان وال یتوازیان(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

، سحـ د مستقیمان متخالفان حیث حـ د یقع فى المستوى ، أ ب ) ١( ففى الشكل

فى النقطة أ س أ ب یقطع المستوى ب أ ھـ ھى الزاویة بین < حـ د فتكون / / نرسم أ ھـ س من نقطة أ فى المستوى

حـ د ، ستقیمین المتخالفین أ ب الم ) ٢( و فى شكل

حـ د متعامدین ، قیل أن المستقیمین المتخالفین أ ب ٩٠) = ب أ ھـ < ( إذا كان ق

س

د حـ

ھـ أ

ھـ د حـ س أ

ب ١ل

١ل

)١( شكل )٢( شكل

ب

- ٥ -

: أتى أكمل ما ی )١( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠المستقیم عبارة عن مجموعة ) أ ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠أى نقطتین مختلفتین یمر بھمــــــــــــا ) ب ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠عن مجموعة المستوى عبـــــــارة ) حـ ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠إذا إشترك مستقیم ومستوى فى نقطتین فإن المستقیم ) د (

الحـــــــــــــــــــــــــــــل مجموعة غیر منتھیة من النقط ) أ ( مجموعة من النقط الغیر منتھیة والتى یقع ) حـ ( مستقیم وحیـــــــــــــــــد ) ب (

علیھا المستقیم فى أى وضع من أوضاعھ یقع بتمامھ على المستوى ) د (

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــ الشكل الموضح عبارة عن مستقیم ل ) ٢ ( : أكــــــــــــمل

جمیع نقط المستقیم ل غیر النقطة أ ) أ ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠ما تسمى كل منھ٠٠٠٠٠٠ تكون مجموعتین

٠٠٠٠٠٠ المستقیم مع النقطة أ تسمى نصف إتحاد مجموعة نقط ) ب ( الحــــــــــــــــــــــــــــــل

منفصلتین فعلیتین من نقط المستقیم كل منھما تسمى نصف المستقیم ) أ ( شـــــــعاع ) ب (

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ .أمام العبارة الخاطئة فیما یلى ) × ( أمام العبارة الصائیة وعالمة ) √( ضع عالمة ) ٣ ( ) √ ( س eل ) أ ( ) × ( س hأ ، ل gأ ) ب ( ) × ( Z= س الل ) حـ ( ) √( ل hحـ ، س gحـ ) د ( ) √ ( d أ c= ل الأ حـ ) ھـ ( ألنھما مشتركان فى أ ) × ( ل مستقیمان متخالفان ، أ حـ ) و (

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــ : فى الشكل الموضح ) ٣ ( ٠٠٠٠٠٠٠ = ص ال س) أ ( ٠٠٠٠٠ = ع ال ص ) حـ ( ٠٠٠٠٠ = ع ال س) ب (

أ

أح

ل س

أ

د ب

ح

ص س

ع

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ٦ -

٠٠٠٠٠ = س ال أ ب ) د ( ع ٠٠٠٠٠ب حـ ، س ٠٠٠٠٠٠ب حـ ) ھـ ( سم ٤= حـ د ، سم ٣= ب حـ ، ٩٠) = ب حـ د < ( نفرض أن ق ) و (

سم ٠٠٠٠٠٠٠= فإن ب د الحـــــــــــــــــــــــــل

ب حـ = ع ال س) ب ( أ حـ = ص ال س) أ ( أ ب = س الأ ب ) د ( حـ د = ع ال ص) حـ ( ع eب حـ ، س eب حـ ) ھـ ( سم ٤= حـ د ، سم ٣= ب حـ ، ٩٠) = ب حـ د < ( نفرض أن ق ) و (

م س٥= فإن ب د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

المستقیمان الموازیان لثالث فى الفراغ متوازیان : ففى الشكل

ل / / ٢ل، ل / / ١ل: إذا كان ٢ل / / ١ فإن ل

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٢ل = ١ل: إذا وفقط إذا كان س g ٢ل ، ١یتوازى مستقیمین ل Z = ٢ ل ال ١ أو ل

١ل

ل ٢ل

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ٧ -

/ د/ حـ/ب/ أ ب حـ د أ: ویسمى المنشور المرسوم

: مالحـــــــــظة ویسمى المنشور حسب عدد أضالع قاعدتھ

فإذا كان عدد أضالع قاعدة المنشور خمسة سمى منشور خماسى ،،،، وھكذا

.قاعدتا المنشور متوازیتین ومتساویتین أى مضلعان متطابقان ومتوازیان ) ١ ( B ھـ/ د/ حـ/ ب/ سطح المضلع أ≡ سطح المضلع أ ب حـ د ھـ / : أضالع المنشور متوازیة ومتساویة الطول أى أن ) ٢ ( / د د= / حـ حـ = / ب ب = / أ أ :فاع المنشور المائل ارت ) ٣ (

مستویى قاعدتیھ ھو البعد العمودى بین حاالت خـــــــــاصة للمنشور

:متوازى الســــــــــطوح ) ١ ( : متوازى السطوح القائم ) أ ( ) توازى األضالع وأحرفھ الجانبیة عمودیةعلى مستوى قاعدتیھ كل منھا مستطیلكل من قاعدتیھ سطح م ( :متوازى السطوح المائل ) ب ( ) كل منھا سطح متوازى األضالع وكل سطحین متقابلین منھا متوازیان ومتطابقانلھ ستة أوجھ (

المكعب )٤( : متوازى المستطیالت )٣( ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أ

بح

د

/أ

/ب /حـ

/ د

قاعدة

قاعدة

وجھ جانبى

وجھ جانبى

جانبىحرفخواص

المنشـــــــــور

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ٨ -

ة مضلعة ھى سطح المضلع أن ھناك منطق بفرض م نقطة ، س أ ب حـ د ھـ واقعة فى المستوى

فإنھ لكل نقطة ق س ال تنتمى الى المستوى تنتمى إلى المنطقة المضلعة توجد قطعة مستقیمة

م ق وإتحاد جمیع ھذه القطع المستقیمة یسمى ھرما لع وھى سطح المض( حیث القاعدة المضلعة

. م رأس الھرم ، تسمى قاعدة الھرم ) أ ب حـ د ھـ أ ب حـ د ھـ . ویسمى الھرم الخماسى م

وتسمى أسطح المثلثات قاعدتھ سطح المضلع الخماسى أ ب حـ دھـ، حیث م رأسھ ن القطع المستقیمة م ھـ أ باألوجھ الجانبیة للھرم كما أ، م د ھـ ، م حـ د ، م ب حـ ، م أ ب

. م ھـ تسمى باألحرف الجانبیة للھرم ، م د ، م حـ ، م ب ، م أ

مستوىالھو العمود الساقط من رأس الھرم على : إرتفاع الھرم . مثل م ن وطول م ن یساوى طول إرتفاع الھرم س \

أضالع یسمى الھرم ثالثیا أو رباعیا أو خماسیا على حسب عدد

. قاعدتھ أ ب حـ . والھرم الثالثى م

رأسھ م وقاعدتھ سطح المثلث أ ب حـ ویمكن كتابة الھرم الثالثى فقط الطرق

م ب حـ . أ ، أ ب حـ . م : اآلتیة م أ ب . حـ ، م أ حـ . ب ،

األحرف الستة للھرم الثالثة متساویة أى كانت أوجھإذا كانت

فى ھذه الحالة ھرما مثلثات متساویة األضالع سمى الھرم . منتظما

فى الھرم الثالثى المنتظم إرتفاعھ یالقى القاعدة عند مركزھا

ى الھندس نقطة تالقى متوسطات المثلث نم ن ھو ارتفاع الھرم الثالثى المنتظم حیث : ففى الشكل

أ ب حـ وھى فى نفس الوقت مركز الدائرة الخارجة والداخلة للمثلث أ ب حـ وبفرض أن ل = طول حرف الھرم

٦٠ل حا = فإن أ د ع= إرتفاعھ م ن ،

أ

ب

ح

دھ ن

ق قاعدة الھرم

حرف جانبى وجھ جانبى

س

م

)١( مالحظة

)٢( مالحظةم

أ

ب

ح ـ

م

أ

ب

ح ـ

د

- ٩ -

× = نأ ، أ د = نأ ، = أ د

× = أ د = د ن، = ن أ

= د ن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١مثــــــــــال

المستویین ورسم منھا حـ نقطة تقع خارج ، ا ب = ص ال س مستویان حیث ص ، س لمستوى على الترتیب وقطعا ا، و ، فى د س فقطعا المستوى نو حـ ، المستقیمان د حـ ھـ

. یتقاطعان فى نقطة على أ ب نھـ ، على الترتیب أثبت أن و د ن، فى ھـ ص الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

حـ نقطة خارج المستویین ، أ ب = ص ال س المعطیات سیقطعان المستوى و حـ ھـ ، المستقیمان د حـ ھـ ،

ن ، فى ھـ صالمستوى ، ھـ ، د فى یتقطعان فى نقطة على نھـ ، المطلوب إثبات أن و د

أ ب مستقیمان متقاطعان فى نقطة حـ نو ، د ھـ A البرھــــان

B عفھما یعینان مستویا واحدا ولیكن B د و e ن ھـ، المستوى ع e ع المستوى

B ھـ ن یتقطعان فى نقطة ولتكن م ، د و A ع ، س و د ھو خط تقاطع المستویان B م g ١ ( س المستوى( Aع ، صخط تقاطع المستویان ھـ ن ھو B م g ٢ ( ص المستوى (

) ٢( ، ) ١ ( من B ص ، س كل من المستويين الى تنتمى م B هـ ن، نقطة تقاطع د و م

أ ب g م B ص ، س تقع على خط تقاطع المستويين ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٢مثـــــــــال أثبت أن أضالع المستطيل

ــل الحــــــــــ A حـ د / / أ بB حـ د يعينان مستويا واحدا ، أ ب

س من المستوى e أ د B س وليكن د ، حـ ، ب ، أ B س من المستوى eب حـ ،

٣ ؟ ل ٢

٣ ل ٢ ٢ ؟

٣ ٢ ٣

؟ ل

٣ ١ ٣

٣ ١ ٣

٣ ل ٢ ؟

؟ ل

٦ ٣

م

أ

د حـ ب ن

ل ل

ل

ل ل

ل

أ

د و

م

ھـ

ن س ص

ب

حـ

د أ

ب حـ

- ١٠ -

. تقع جميعا فى مستوى واحد

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣مثـــــــــال

ب الشعاعان أ هـ ، ورسم من أ ، م ب = فى م بحيث أ م ستقطع المستوى أ ب و على الترتيب أثبت أن ، فى النقطتين هـ سمتوازيان ويقطعان المستوى ب و ، . و على استقامة واحدة ، م ، النقط هـ ) ١ ( . الشكل أ هـ ب و متوازى أضالع ) ٢ (

لحـــــــــــل ا A ب و / / أ هـBفهما يعينان مستويا ص ، س ھـ و ھو خط تقاطع المستویان B ص

A أ ب e فى م سأ ب قطع ، ص من المستوى B ص ، س م تنتمى الى خط تقاطع المستویین Bعلى استقامة واحدة و ، م ، ھـ

ب م و ، فى المثلثان أ هـ م بالتبادل ) ب < ( ق ) = أ < ( ق ) ٢( ب م = أ م ) ١ ( بالتقابل بالرأس ) ب م و < ( ق ) = أ م هـ < ( ق ) ٣ (

B المثلث ب و م ≡ المثلث أ هـ م B ب و = أ هـA ب و / / أ هـ B الشكل أ هـ ب و متوازى أضالع .

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤مثـــــــــال

سرسم أ د يقطع المستوى ، ب حـ = فى ب بحيث أ ب س أ حـ تقطع المستوى : فى و أثبت أن س فى د ثم نصف أ د فى هـ ورسم هـ حـ فقطع المستوى

. د على استقامة واحدة ، و ، النقط ب : أوال و حـ = هـ و ، و د = ب و : ثانيا

الحــــــــــــل A وليكنأ حـ متقاطعان فى أ فهما يعينان مستوى واحد ، أ د

ب ینتمیان للمستوى ، د ، صالمستوى e د ب A ص ص ، س د ب ھو خط تقاطع المستویان B س A ھـ حـ e سو ینتمى الى ، ص من المستوى B ص ، س و تنتمى الى خط تقاطع المستویان B د ب ويقطع أ حـ / / ن نرسم هـ. على استقامة واحدة ب ، و ، د

د ب / / نهـ ، فى المثلث أ د ب فيه هـ منتصف أ د . ن فى نقطة B منتصف أ ب ن .A المثلث حـ ب و R هـ ن المثلث حـ B = = =

أ

س

ب

و ھـ م

١ ٢

١ ٢

س ب

أ

حـ

د

ھـ

و

ن

حـ ب نحـ

ب و ھـ ن

حـ و هـ حـ

٢ ٣

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ١١ -

A هـ ن= ب و B ب د = هـ ن B ب د × = ب و

B د و × = ب د = ب وB د و = ب و

A حـ هـ = حـ وB هـ و ٣× = حـ و B هـ و ٢= حـ و

B حـ و = هـ و

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٢ ٣

١ ٢

٢ ٣

١ ٢

١ ٣

١ ٣

٣ ٢

١ ٢

٣ ٢

٣ ٢

١ ٢

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ١٢ -

: ففى الشكل أى مستوى يحتوى س ، صالمستوى / / أ ب

أ ب ويقطع المستوى ص فى حـ د B حـ د / / أ ب

ــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

سحـ د والمستوى / / أ ب : ففى الشكل يحتوى حـ د وال يحتوى أ ب فإنه

سالمستوى / / أ ب

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أ حـ ب

ص د

س

حـ

س د

ص أ

ب

- ١٣ -

س المستوى / / أ ب : ففى الشكل المقابل أ ب / / جـ د ، س g حـ ،

س e فإن حـ د

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ع قاطع لهما ، ص / / س: ففى الشكل حـ د / / حـ د فإن أ ب ، فى أ ب

المستقيم أ ب يقطع ص فى أ فإنه ، متوازيان ص ، سالمستويان : ففى الشكل فى مثال ب س يقطع

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

حـ

س د

أ

ب

)٢ (

س

ص

أ

بح

د

ع

)٣ (

س ص

ب أ

)٤ (

- ١٤ -

ص e ٢ل ، سe ١ل ، ٢ل/ / ١ل: ففى الشكل

ص ، سل خط تقاطع المستويين ، ٢ل/ / ١ل/ / ل فإن

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مستويين متقاطعين ص ، س: ففى الشكل أ ب = ص ال سحيث

فإن ص/ / ل ، س/ / ل ، ل / / أ ب

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : فى الشكل المقابل ) ١(

المستوى ص eحـ د ، أ ب = ص ال س أ ب < بحیث حـ د س ویوازى المستوى

. أثبت أن الشكل أ ب حـ د شبھ منحرف الحــــــــــل

A د حـ ، أ ب = ص ال س e سویوازى المستوى ، المستوى ص B أ ب / / حـ د ،A أ ب < حـ دB الشكل أ ب حـ د شبھ منحرف

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ فرضت نقطة م ال تنتمى للمستقیم أ حـ وفى الوقت . سالمستوى / / أ ب حـ مستقیم ) ٢ (

و ، ھـ ، م حـ فالقت المستوى س فى د ، م ب ، نفسھ ال تنتمى للمستوى ثم رسم م أ فأثبت أن ٣ : ٢= أ د : على الترتیب فإذا كان م أ

أ ب . د و = د ھـ . أ حـ ) نیا ثا( أ ب ٥= د ھـ ٢) أوال (

أ

س ص ب

٢ل ١ل

ل

)٥ (

ب

أ

ل

س

ص

أ

ب

د حـ

س

ص

- ١٥ -

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

A سالمستوى / / أ ب المستوى م د هـ gب ، أ ،

B د هـ / / أ بB ∇ م أ ب S ∇ م د هـ ) ١ ( أ ب : د هـ = م أ : م د

B أ ب : د هـ = ٢ : ٥B أ ب ٥= د ھـ ٢ م د و ∇ S م أ ب ∇بالمثل

) = ٢ ( ) = ٢( ، ) ١( من

B ٢( برهــــــــــــان أ ب . د و = د ھـ . أ حـ ( ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

المستقيم أ ب يوازى كال من ، حـ د = ص ال س مستويان بحيث ص ، س ) ٣( حـ د / / أ ب : أثبت أن ص ، س المستويين

الحـــــــــــــــــل A س/ / أ ب B هناك مستوى يعين بالمستقيم أ ب والنقطة

فى حـ م س يقطع المستوى ح حـ وليكن B ١( حـ م / / أ ب (

ل فى حـ ص يقطع ح والمستوى ص/ / أ ب B ٢( حـ ل / / أ ب (

حـ ل/ / حـ م / / أ ب B ) ٢( ، ) ١( من حـ ل تنطبق على حـ د ، وهذا مستحيل اال إذا كان حـ م

B حـ د / / أ ب ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

م ب فى ص ، ن أ ب مثلثان فى مستويين مختلفين نصف م أ فى س ، م أ ب ) ٤ ( ن أ بالمستوى / / س ص : أثبت أن

الحـــــــــــــــل م ب ، ص منتصفا م أ ، س

B أ ب / / س ص A ص ، سg للمستوى م أ ب أ ب = ن أ ب ال م أ ب

B المستوى ن أ ب / / س ص

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ رسم من أ . أ نقطة واقعة بين المستويين ، مستويان متوازيان ص ، س ) ٥ ( المستوى ص فى هـ، د ، فى ب سد أ هـ فقطعا المستوى ، لمستقيمان ب أ حـ ا

جـ أ ب

م

و ھـ د

م د أم

د و د ھـ أ حـ

أ ب د و أ حـ

حـ

س ص

د

أ

ب

م ل

م

أ

ب

ن س

ص

- ١٦ -

٢ سم٣٦= وكانت مساحة سطح المثلث أ هـ حـ = : حـ فإذا كان ،

فأوجد مساحة سطح المثلث أ ب د الحـــــــــــــــــــل

المستوى ص / / المستوى س B هـ حـ / / ب د B المثلث أ ب د S المثلث أ حـ هـ B = =

B = B ٢ سم١٦= أ ب د مساحة المثلث

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أ ب حـ د هرم رباعى رأسه م وقاعدته متوازى األضالع أ ب حـ د قطع . م ) ٦ (

ص ، م د فى س ، م حـ ، م ب ، الهرم بمستوى يوازى قاعدته أ ب حـ د ويقطع م أ . الع ل أثبت أن الشكل س ص ع ل متوازى أض، ع ،

الحـــــــــــــــل المستوى س ص ع ل / / أ ب حـ د

المستوى م أ ب تقطع المستويين B ١( أ ب / / س ص ( A أ ب حـ د متوازى أضالع B د حـ / / أ ب

ل بالمثل المستوى م د حـ يقطع المستويين س ص ع ) ٢( د حـ / / ل ع Bأ ب حـ د ،

) ٣( ل ع / / س ص B ) ٢( ، ) ١( من ) ٤( ، ) ٣( من ) ٤( ص ع / / بالمثل س ل

Bالشكل س ص ع ل متوازى اضالع ــــــــــــــــــــــــــــــــ

أ ب أ حـ

٢ ٣

س

ص

أ

ب

ح

د

ھ ٢) أ ب(

٢)أ حـ ( أ ب د مساحة المثلث أ حـ ھـ مساحة المثلث

٤ ٩

٣٦ ٤ ٩

أ ب د مساحة المثلث

م

أ

ح ب ـ

د

س

ع ص ل

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز / مستر

- ١٧ -

: ففى الشكـــــــل

عالمستوى / / صالمستوى / / س المستوى ١و للمستقيم ل، هـ ، قاطعان لهما فى د ٢ل ، ١ل ، ٢حـ للمستقيم ل، ب ، أ ،

: = فإن

هـ و = د هـ : ب حـ فإن = أ ب : إذا كان ) ١ ( . يسمى التمرين المشهور بنظــــرية تاليــــــس فى الفراغ ) ٢ (

ـــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

أ

ب

ح ـ

د

ھ ـ

و

س

ص

ع

٢ل ١ل

ب حـ أ ب

ھـ و د ھـ

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز / مستر

- ١٨ -

أ حـ مستقيمان فى ، أ ب : ففى الشكل

} أ {= أ حـ ∩أ ب ، س المستوى صالمستوى د و مستقيمان فى، د هـ ،

} د {= د و ∩ د هـ د هـ / / أ ب : فإذا كان

صالمستوى / / سالمستوى : فإن د و / / أ حـ ،

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

يمران بالنقطة ٣ل، ٢ل، ١المستقيمات ل، من نقطة أ س ⊥المستقيم ل : ففى الشكل وتسمى النقطة أ بموقع العمود٠٠٠٠٠ ٣ل ، ٢ل، ١ ل⊥ ل B أ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

س

ص

ح أ ـ

ب

دھ ـ و

المســــــتقيم العمــــــــودى على مســــتوى

س

أ

ل

٢ل ١ل ٣ل

)٣(

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ١٩ -

سمستقيمان في المستوى ٢ل، ١ل: إذا كان : ففى الشكل

ل مستقیم عمودى علیھما ، } أ { = ٢ ل∩ ١ حيث ل س ⊥ من نقطة أ فإن أ

ـــــــــــــــــــــــــــ

من نقطة أ س ⊥ل ، س g ٢ل، ١ل: ففى الشكل ٢ل، ١ فبرسم مستقيمين من نقطة أ كل منهما يوازى ل

B ٢ ل⊥ل ، ١ ل⊥ ل B سلمستوى ا⊥ ل

عمودية على ل من نقطة أ ٠٠٠٠٠٠٠٠، ٣ل ، ٢ل ، ١ل: ففى الشكل Bتقع جميعا فى مستوى واحد٠٠٠٠٠٠٠٠، ٣ل ، ٢ل ، ١ ل

عموديا على المستقيم المعلوم من نقطة أ س هو

٢ل ١ل

ل

أ

)١ (

٢ل ١ل

ل

س

١ل س

/ / ٢ل

س

أ

ل

٢ل ١لاجل

)٢ ( .

أ

/ /

- ٢٠ -

رسم أكثر من مستوى واحد يكون عموديا على أنه ال يمكن ) ٤( يستفاد من النتيجة علوم ويمر بنقطة معلومة ال تنتمى لهذا المستقيم مستقيم م

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:محور القطعة المستقيمة ) ١ (

أ ب⊥د هـ ، حـ منتصف أ ب : فى الشكل المقابل B د هـ محور تماثل أ ب وكما نعلم أن أى نقطة

. على محور التماثل د هـ يكون على بعدين متساويين من طرفيها

:محاور القطعة المستقيمة مستوى ) ٢ ( حـ منتصفها ، أ ب قطعة مستقيمة : ففى الشكل

المقطة حـ مستوى عمودى على أ ب ويمر ب س يسمى هذا المستوى مستوى محاور القطعة أ ب

س ونالحظ أن أى نقطة تنتمى الى المستوى تكون على بعدين متساويين من طرفى أ ب

س المستوى gهـ ب حيث هـ = هـ أ : أى أن ــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١مثــــــــال مربع طول أحد األقطار يساوى مجموع مربعات أطوال ثالثة (( فى متوازى المستطيالت )) أحرف متقاطعة فى نقطة

الحـــــــــــــل

)٣ ( س

)٤ (

:مالحـــــظة

:ملحوظــــات

ب أ

د

ھـ

حـ

س

ب أ

ھـ

حـ س

٠١١٩٩٠٥٣٦٩: موبایل محمد فواز/ مستر

- ٢١ -

ى على المستوى أ ب حـ د د د عمودA، نرسم ب د

B ب د ⊥ د د B ٩٠) = د د ب < ( ق ) ١ ( ٢)ب د + ( ٢)د د = ( ٢)د ب (

A أ ب حـ د مستطيل B ٩٠ ) = د حـ ب< ( ق B ) ٢ ( ٢)د حـ + ( ٢)ب حـ = ( ٢)ب د (

ب حـ = وحيث أ د )١( فى ) ٢( بالتعويض من B ) وهو المطلوب إثباته ٢)د حـ + ( ٢ )أ د + ( ٢)د د = ( ٢)د ب

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٢مثــــــــال

أ ب حـ د سطح مستطيل حيث : فى الشكل المقابل

المستوى ⊥ م ن ورسم } ن {= ب د ∩ أ حـ م د = م حـ = م ب = م أ : أ ب حـ د أثبت أن

ـــــــــــــــــل الحـــــ A المستوى أ ب حـ د ⊥ م ن B ن أ ⊥ ن م B ٩٠) = أ نم < ( ق ) ١ ( ٢ ) نأ + ( ٢ ) نم = ( ٢)م أ (

)٢ ( ٢)ن ب + ( ٢)م ن = ( ٢)م ب : ( بالمثل ) ٣ ( ٢)ن جـ + ( ٢)م ن = ( ٢)م حـ ( ، ب د = أ حـ B أ ب حـ د مستطیل A ) ٤ ( ٢)ن د + ( ٢)م ن = ( ٢)م د ( ، B ٥ ( ن د= ن حـ = ب ن = أ ن (

) ٥( ، ) ٤( ، ) ٣( ، ) ٢( ، ) ١ ( من B ) ٢)م د = ( ٢)م حـ = ( ٢)م ب = ( ٢)م أ

B ) م د = ( )م حـ = ( )م ب ) = ( م أ( ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٣مثــــــــال : فى الشكل المقابل

أ ب حـ د أ ب حـ د مكعب طول قطره . سم إحسب طول حرف المكعب ٣ ٦= ب د

الحــــــــــل A المكعب ب د قطر فىB ) المكعبحيث ل طول حرف ( ٢ل +٢ل + ٢ل = ٢)ب د ( B ) ب د(٢ ل٣ = ٢ B) ٢ ل٣ = ٢ )٣ ٦ B ٢ ل٣ = ٣ × ٣٦

B سم ٦) = ل ( طول حرف المكعب

أ حـ ب

د

أ حـ ب

/ د

/

/

/

/

/ / / /

/ /

أ

حـ ب

د

م

ن

أ حـ ب

د

أ حـ ب

/ / د/ /

- ٢٢ -

) )اإلسقــــاط العمــــــودى((

:الفصل الخامس

أ

أ س /

٠ س أ

: تعريف المسقط العمودى لنقطة معلومة على مستوى

معلوم هو النقطة التى هى موقع القطعة ودية المرسومة من النقطة المستقيمة العم

)١( المعلومة على المستوى كما فى شكل . هى أ سمسقط أ على المستوى

: مالحظــــــة هامة هى نفسها إذا كانت النقطة تقع على المســــــــتوى فإن مسقطها العمودى

أ هى مسقطها هى نفسها B س gأ ) ٢( كمــــــــــــا فى شكل

) ١( كل ش

/ ) ٢( كل ش

أ

ب

حـ

أ

ب حـ

/ /

/

: تعريف مسقط قطعة مستقيمة معلومةعلى مستوى معلوم هى قطعة مستقيمة ففى الشكل أ ب

سى المستوى قطعة مستقيمة مسقطها عل / / س eهى القطعة المستقيمة أ ب

: مالحظــــــة هامة ، والمستوى المكون من المستقيم أ ب )) مستوى المسقط (( يسمى س المستوى ))مستوى اإلسقاط (( يسمى / ب/ ومسقطه أ

- ٢٣ -

ــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أ

ب

/ ب / أ

أ

ب/ أ

ب أ

أ/

ب /

ب

أ

أ ع/

ب/

) ٢( كل ش ) ١( كل ش

) ٤( كل ش ) ٣( كل ش

: الحظــــــة هامة م )٢( مسقط القطعة المستقيمة العمودية أ ب هو نقطة وفى شكل ) ١( فى شكل

أصغر من القطعة / ب/ مسقط القطعة الستقيمة أ ب هو القطعة المستقيمة أ سمسقط القطعة المستقيمة أ ب الموازية للمستوى ) ٣( األصلية أ ب فى شكل

ى القطعة األصلية أ ب مسقط القطعة المستقيمة فى شكل تساو/ ب/ هو القطعة أ أصغر من / ب/ هو أ سحيث طرفيها فى جهتين مختلفتين من المستوى ) ٤ (

. القطعة األصلية

- ٢٤ -

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١ل

٢ل ھـ

س

: ومن الواضح أن ٩٠ ≤ ھـ ≤ ٠

الزاوية بين قطعة مستقيمة ومستوى

س

أ

/أ

: تعريف ى الزاوية بين قطعة مستقيمة ومستوى هالزاوية بين القطعة المستقيمة ومسقطها

أو هى الزاوية بين . سعلى المستوى المستقيم الحامل لهذه القطعة والمستوى

ب

س

على مستوىالعالقة بين طول قطعة مستقيمة وطول مسقطها

/ب

ھـ

ھـ

أ

/أ

ب

/ب

ل

و

Aمستطيل / بحـ أ / أ Bحـ أ= / ب/ أ ،A = حتـا هـ B أ ب حتـا هـ = / ب/أ= أ حـ

ح حـأ بأ

جیب تمام × طول القطعة المستقیمة = على مستوى طول مسقط قطعة مستقیمة . زاویة میل المستقیم الحامل لھا على المستوى

١ ≤ حتا ھـ ≤ ٠ B ٩٠ حتا ≥ حتا ھـ ≥ ٠ حتا B ٩٠ ≤ ھـ ≤ ٠وحیث Aأ ب حتا ھـ = / ب/ أB ب أ≤ / ب/ أ≤ ٠

- ٢٥ -

: متوازى مستطیالت أذكــــــــــــــــر / د/ حـ/ ب/أ ب حـ د أ ) ١ ( / ب/مسقط أ ب على المستوى ب حـ حـ) أ ( . على المستوى أ ب حـ د / د/مسقط حـ) ب ( / أ / مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب) حـ ( / حـ/ على المستوى حـ د د/ مسقط أ ب) د (

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

A أ ب حـ د مستطیل B ب حـ ⊥ أ ب Bھو / ب/مستوى ب حـ حـ مسقط أ ب على ال النقطة ب

ھو حـ د . على المستوى أ ب حـ د / د/مسقط حـ) ب ( ھو أ نفسھا / أ/ مسقط أ على أ ب بA / أ / مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب) حـ (

ھو أ ب / أ / مسقط أ حـ على المستوى أ ب بB ھو ب / أ/ ومسقط حـ على أ ب ب /ھو د حـ / حـ/ على المستوى حـ د د/ مسقط أ ب) د (

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢مثــــــــــــــــــــــــــــــــــال

تمیل على مستوى القاعدة / حـ حـ ، / ب ب ، / منشور ثالثى أحرفھ أ أ/ حـ / ب/ ب حـ أ أ . سم إحسب ٣ ١٢ وطول كل من ھذه األحراف یساوى ٦٠ أ ب حـ بزاویة

. على مستوى القاعدة أ ب حـ / طول مسقط ب ب ) ١ ( . عمودیة على القاعدة أ ب حـ / طول القطعة المستقیمة المرسومة من ب ) ٢ (

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

A ٦٠) = ب م /ب< ( ق ، م ب قایم الزاویة فى م /ب المثلث B ٣٠) = ب / م ب< ( ق A لى القاعدة ھى م ب ع/ مسقط الحرف ب ب A ب ب= ب م / B سم ٣ ٦= ب م

A ) ٢)ب م ( – ٢)/ ب ب = ( ٢)ب م B ) ٣٢٤= ٢ )٣ ٦ ( ــ ٢ )٣ ١٢ = ( ٢)ب م

B سم ١٨= ب م

تمــــــــــارين محلولة

أ ب

د

ح

/أ

/ب /حـ

/د

أ

ب

ح

/أ

/ب

/حـ

٦٠

سم ١٢ ٣

م

٢ ١

- ٢٦ -

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

) )( ( ))٤((

س

أ

ب د

ح

ن

وعمودى سأ ب مائل على : ففى الشكل حـ د ⊥ ن ب Bعلى حـ د

س مسقط أ ب على نحيث ب

)) ( ( ))٤((

س

أ

د

ح ن

ب ن مسقط سأ ب مائل على : ففى الشكل حـ د ⊥ نھذا المستقیم على المستوى ب

حـ د ⊥فإن أ ب

ب

ل خالصا لوجهك الكريم اللهم اجعل هذا العم

- ٢٧ -

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الحـــــــــــــــــــــــــــــــل

:فى شكل المقابل ) ١( ، سأ د مائالن على المستوى ، أ ب حـ د ⊥ وكان هـ ب س المستوى ⊥ أ هـ

سم ٥= ب د : فإذا كان س الواقع فى وقياس ، سم فأحسب طول أ ب ١٣= أ د ،

زاوية أ د ب

أ

ھـ

بح د

A س ⊥أ ھـ ، سمائل على أ ب B س ھـ ب مسقط أ ب على A حـ د ⊥ ھـ ب B حـ د ⊥ أ ب B ٩٠) = أ ب د< ( ق

سم ١٢ = ٢٥ - ١٦٩ = ٢)ب د ( – ٢)أ د = ( أ ب

A أ د ب<( حا = = ( B ق ) > ٦٧ /٢٢ //٤٨) = أ د ب

س

دأ ١٢ بأ

١٣

:فى شكل المقابل ) ٢( ) حـ < ( أ ب حـ د متوازى أضالع فيه ق

⊥رسم د هـ ، سم ٢٠= ب حـ ، ٦٠ = سم ١٠= المستوى أ ب حـ د حيث د هـ

أ ب ⊥ ثم رسم هـ و ب حـ = هـ و : أثبت أن

أ

ب

ح

د

ھـ

و

٦٠ سم٢٠

سم١٠

و د ⊥ هـ د B المستوى أ ب حـ د ⊥ هـ د Aنرسم و د : العمل Bد و د مسقط هـ و على المستوى أ ب حـ B ٤نظرية ( أ ب ⊥ د و (

- ٢٨ -

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل الحـــــــــــــ

Bخواص متوازى األضالع ٦٠) = أ < ( ق ، أ و د قائم الزاویة فى و المثلث B

سم فى المثلث و ھـ د القائم فى٣ ١٠= و د B ٣٠) = أ د و < ( ق

٢٠ = ٢ )١٠ + ( ٢ )٣ ١٠ = ( و ھـBو د ھـ < B ب حـ = و ھـ

٣٠ = )س ع ص < ( س ص ع مثلث فیھ ق ) ٣( سم رسمت س ل عمودية على مستوى ١٢= ع س ،

ص ع ⊥ سم ثم رسمت ل م ٨= المثلث بحيث كان س ل ل م وكذلك قياس ، تقابله فى م أوجد طول كل من س م

. زاوية ميل ل م على المستوى س ص ع

A المستوى س ص ع ⊥ س ل B س م ⊥ س ل B مسقط ل م على المستوى هو س م B ص ع ⊥ س م B ∇س م ع قائم الزاوية فى م B سم ٦= س م A ∇م س ل قائم الزاوية فى س B سم ١٠ = ٢ )٦ + ( ٢ )٨ ( =ل م A ل م س < ( حـا = (

B ٥٣ / ٧ / / ٤٨) = ل م س < ( ق

وهى الزاوية التى يميل بها المستقيم ل م على المستوى

س

ص ع

٣٠

ل

م

سم١٢

سم٨

٨ ١٠

- ٢٩ -

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

مستقيمة غير مستوية م ب ثالث قطع ، م ب ، م أ ) ٤ ( المستوى أ ب حـ ⊥ـ رسمت م ه، ومتعامدة مثنى مثنى

تقابله فى هـ فإذا قطع أ هـ الضلع ب حـ فى د فأثبت أن ب حـ وأستنتج أن ⊥ المستوى م ب حـ وأن م د ⊥ م أ هـ د × أ هـ = ٢)م هـ (

A م حـ ، عمودى على كل من م ب م أB م أ عمودى ) ١( المستوى م ب حـ ⊥ م أ B على مستویھما

B ب حـ ⊥ م أ A المستوى أ ب حـ ⊥ م ھـ B ب حـ ⊥ م ھـ B المستوى أ م ھـ ⊥ ب حـ B أ د ⊥ ب حـ B المستوى أ م د ⊥ ب حـ B ٢( م د برھــــــــــــا ⊥ ب حـ ( A م د ⊥ أ م B فیھ ٩٠) = أ م د < ( ق

حـالمستوى أ ب أ د حیث م ھـ عمودى على ⊥ م ھـ B ) ٣( ــــــــان برھــــ ھـ د × أ ھـ = ٢)م ھـ (

من نظریة إقلیدس

أ

م

حـ ب

ھـ

د

اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا وذدنا علما

- ٣٠ -

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الزاويـــــــة الزوجيــــــــــة

حـ

س ص

د

أ ب

٠ ٠

: تعریف یین لھما حد نصفى مستو ص ، س: إذا كان

إتحاد نصفى المستویین : مشترك ھو حـ د فإن ’’زاویة زوجیة ’’ مع حدیھما المشترك

)) بحرف الزاویة الزوجیة (( یسمى حـ د • ص ، سكما یسمى نصفى المستویین •

))وجھا للزاویة الزوجیة (( مع حـ د

ص ــ حـ د – سالزاویة الزوجیة ) ٢ ( الزاویة الزوجیة حـ د ) ١(

صg ب ، س g ب حیث أ- حـ د -الزاویة الزوجیة أ ) ٣(

الزاويـــــــــة الزوجيـــــة الناتجة عن تقاطع مستويين

ص س

أ

ب

حـ

د

ھـ

و

٠ ٠

٠ ٠

•

•

- ٣١ -

المســـــــتويةالزاوية زوجيـــــةزاويـــــــة ل

أ

ص

س

ب

ھـ د حـ

العمودى على أ ب وقطع عقطعھا المستوى

فى حـ ھـ صالوجھ ، فى حـ د سالوجھ

: تعریف

الزاویة المستویة لزاویة زوجیة ھى الزاویة التى تنشأ من تقاطع ھذه الزاویة الزوجیة بمستوى عمودى على حرفھا

ع

م ن

ـــــــة حقیقـــــــــــــــــــ جمیع الزوایا المستویة لزاویة زوجیة تكــــــــــــون متساویة فى القیاس

تعــــــــــــــریف قیاس الزاویة الزوجیة ھو قیاس أى زاویة من زوایاھا المســــــــــتویة

- ٣٢ -

ـــــــل ــــــــالحـ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

المستوى ⊥رسم ب د ، سم ١٠= أ ب ، ٣٠) = أ < ( حـ فیھ ق أ ب أ جـ یقابلھ فى ھـ أثبت ⊥ب ھـ سم ثم رسم ٥= أ ب حـ بحیث كان ب د

د ھـ وقیاس الزاویة الزوجیة ، أ حـ ثم أوجد طول كل من ب ھـ ⊥أن د ھـ ) . د - أ حـ -ب (

د

أ

ب

٣٠ حـ ھـ

سم١٠

سم٥A المستوى أ ب حـ ⊥ د ب B ب ھـ ⊥ د ب A د ھـ مائل على المستوى أ ب جـ ومسقطھ

)نظریة ( أ حـ ⊥ د ھـ B أ حـ ⊥ ب ھـ ) ١( برھــــــــــــــــــــان

A ٣٠) = أ < ( ق ، المثلث أ ھـ ب قائم فى ھـ B نتیجة ( سم ٥= ب ھـ (

فى المثلث د ب ھـ القائم فى ب ٤٥) = د ھـ ب ( ق B سم ٥= ب ھـ = د ب

وھى زاویة مستویة تساوى الزاویة الزوجیة ) د - أ حـ –ب (

مستوى⊥ ب د رسم، سم ١٥= أ ب ، = أ ب حـ مثلث فیھ طـا أ ) ٢( أوجد طول ب ھـ. أ حـ یقابلھ فى ھـ ⊥ سم ثم رسم ب ھـ ٩= المثلث بحیث ب د

) د - أ حـ –ب < ( أ حـ قم أوجد قیاس الزاویة الزوجیة ⊥ وأثبت أن د ھـ

٣ ٤

ب أ

د حـ

سم٩ ھـ

سم١٥

A طـا أ =Bأ حـا = B سم ٩= × ١٥= حـا أ × أ ب = ب ھـ

A د ھـ مائل على المستوى أ ب جـ ومسقطھ أ حـ ⊥ د ھـ B المستوى أ ب حـ ⊥ب ھـ

٣ ٤

٣ ٣ ٥

٥

- ٣٣ -

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

B ث

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

A ٩٠= د ب =ب ھـ ، المثلث د ھـ ب قائم فى ب B د - أ حـ –ب < ( وھى تساوى ق ٤٥) = د ھـ ب < ( ق (

مستوى المثلث فإذا كان ⊥رسم ب د ، أ ب حـ مثلث قا ئم الزاویة فى ب ) ٣( قیاس ب د فأثبت أن المثلث أ حـ د متساوى األضالع ثم أوحد = ب حـ = ب أ

) . د - أ حـ -ب < ( الزاویة الزوجیة

أ

ب

حـ أ

د

A د ب حـ كلھا قائمة ، أ ب د ، أ ب حـ المثلثات ألن د ب عمودى المستوى أ ب حـ وھى متطابقة

ة المحصورة القائمة أیضا بضلعین والزاویB أ د = حـ د = أ بB المثلث أ حـ د مثلث

) ١( متساوى األضالع برھـــــــــــــــــان أ حـ ثم نصل ھـ د ⊥نرسم ب ھـ

A ∇ أ حـ ⊥ب ھـ ، أ ب حـ متساوى الساقین ) نظریة ( أ حـ = ب ھـ Bھـ منتصف أ حـ

س = ب حـ = فى المثلث أ ب حـ نفرض أن أ ب B ٢س = أ حـ B ب ھـ = A ب ھـ د < ( طـا = = ( B یة وھى زاویة مستو٥٤ / ٤٤) = ب ھـ د ( ق

) د - أ حـ –ب < ( تساوى ق

ھـ

١ ٢

٢س ٢

د ب ب ھـ

س ٢ ٢ س

- ٣٤ -

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

مستوى المستطیل ⊥رسم م س ، أ ب حـ د مستطیل تقاطع قطراه فى م ) ٤( س ب أثبت أن ، ب حـ ثم رسمت س أ = بحیث كان م س

س ب= س أ ) أوال ( . ٢) = حـ - أ ب -س < ( ظل الزاویة الزوجیة ) ثانیا (

أ

حـ ب

د

م

س

A أ ب حـ د مستطیل B ب د = أ جـ B د م = حـ = ب م = أ م ⊥ب م س القائمان حیث س م ، أ م س ∇∇

على كل مستقیم في المستوى أ ب جـ د فیھما س م مشترك ) ٢( ب م = أ م ) ١(

٩٠) = ب م س < ( ق ) = أ م س < ( ق ) ٣( B ∇ أ م س k ∇ ب م س B ١( س ب برھـــــــــــــــا = أ س (

نصل ھـ م أ ب ثم ⊥ نرسم س ھـ A ھـ م مسقط س ھـ B ١( أ ب ⊥ ھـ م (

م متصف أ حـ ، فى المثل أ ب حـ القائم فى ب ) ١( ب حـ وذلك من / / م ھـ ،

B ٢( ب حـ = ھـ م ٢، ب حـ = ھـ م (

) = ـ م س ھ< ( طـا B ) ٢( ، ) ١( من B ٢) = = س ھـ م < ( طـا

س م = حیث ب حـ B ٢) = حـ - أ ب -س < ( طـا

ھـ

١ س م ٢

ھـ م س م٢

س م

- ٣٥ -

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

المستويات المتعامدة

: تعریف یقال لمستویان متقاطعان أنھمـــــــــــا متعامدان إذا كانت إحــــدى الزوایـــــــــــــا

. ة عن تقاطعھمــــــــــــــــــــا قائمة الزوجــــــــــــــیة الناشــــــــــــــئ

نظـــــــــــرية )٥(

مستقیم إذا كان مستقیم عمودیا على مستوى فكل مستو یمر بھـــــــذا ال یكـــــــــون عمودیا على ذلك المســــــــــــــــــــــــــــــــتوى

س

ص

أ

ب

ھـ حـ

د

ص والمستوى سالشكل المستقیم حـ د عمودى على المستوى ففى س المستوى ⊥ ص المستوى Bمار بالمستقیم حـ د

- ٣٦ -

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

تمـــــــــــارين محلولة ) ٥( نظریــــــــة

، المستــــــــوى أ ب حـ ⊥ثى فیھ أ د د أ ب حـ ھرم ثـــــــــــال ) ١( المستوى د أ ب ثم إستنتج ⊥ أثبت أن حـ ب ٩٠) = أ ب حـ < ( ق

د ب حـ متعـــــــــــــامدان، من ذلك أن المســــــــــــتویین د ب أ

د

أ

ب

حـ

A المستوى أ ب حـ ⊥ أ دB أ ب ⊥ أ د ، أ ب د⊥ المستوى أ ب حـ B ب حـ

A ب حـ e المستوى أ ب حـ B ١( ھان المستوى أ ب د بر⊥ ب حـ (

A المستوى د ب حـ مار بالمستقیم ب حـ B د ب أ متعامدین، المستوى د ب حـ

مستوى المستطیل ⊥ م ھـأ ب حـ د مستطیل تقاطع قطراه فى م ثم رسم) ٢( متصف د حـ أثبت أن ن، ط منتصف أ ب ، ب حـ = بحیث كان م ھـ

متعامدان ھـ حـ د، المستویین ھـ أ ب : ثانیا ٩٠ ) = نط ھـ < ( ق : أوال

١ ٢

أ

جـ ب

د م

ھـ

ن ط

م منتصفى ، نرسم ط م فى المثلث أ ب حـ ط ب حـ = ط م Bأ حـ على الترتیب ، أ ب

A ب حـ = ھـ مB ھـ م = ط م A المستوى أ ب حـ د ⊥ ھـ مB ط م ⊥ ھـ م

١ ١ ٢

٢

- ٣٧ -

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

B ط م = ھـ م ط مثلث قائم فیھ ھـ مB م ط ھـ< ( ق ) = ھـ ط م < ( ق ( B ٤٥) = ن ھـ م ( بالمثل ق ٤٥= ) ھـ ط م < ( ق B ١( برھــــــــــــــــان ٩٠) = ط ھـ ن < ( ق(

ومشتركان فى نقطة حـ ب حـ // م ن ، ب حـ // ط م : الحظ أن ( ( B ط ن یمر بنقطة م ((

A ھـ ن ⊥ ط ھـ A ط ھـ eھـ أ ب والمستقیم ھـ ن یمر المستوى

ھـ د حـ متعامدین ، المستویین ھـ أ ب Bبالمستوى د ھـ حـ

مستویان متقاطعان فى أ ب وقیاس الزاویة الزوجیة ص ، س ) ٣( المربع أ ب حـ د ثم نصفت حـ د فى ھـ س رسم فى المستوى ٦٠بینھما

نصفت أ ب فى م ثم رسمت ھـ م ، یقابلھ فى و صالمستوى ⊥ورسم ھـ و . ب متعامدین ھـ و، و م أثبت أن المستویین ھـ و أ ،

ص س

أ

ب

حـ

د

ھـ

م

م منتصف أ ب ، ھـ منتصف د حـ A وB ب حـ / / أ د / / ھـ مB أ ب ⊥ ھـ م A أ ب ⊥ھـ م ، ص ھـ م مائلة على المستوى

B أ ب أیضا ⊥ مسقطھا و م A > ھـ و م زاویة مستویة للزاویة الزوحیة

٦٠) = ھـ و م ( ق B) و – أ ب -ھـ < ( B ٣٠) = و ھـ م < ( ق B ھـ م = و م =

٩٠) = و م أ< ( ق B أ ب B ھـ و ، كل من ب و ⊥ أ وB المستوى ⊥ أ و

المستوى أ ھـ و مار المستقیم أ و Aھـ و ب المستوى أ ھـ و والمستوى ھـ و ب متعامدین

١ ١ ٢

٢

- ٣٨ -

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

نظـــــــــــرية )٦(

إذا تعامد مستویان ورسم فى إحداھما مستقیم عمودى على خط التقاطع عمودیا على المستوى اآلخركان ھذا المستقیم

س

ص

أ

ب

ھـ حـ

د

: ففى الشــــــــــــــــكل مستویان متعامدان وكان خط تقاطعھما المستقیم أ ب ص ، س: إذا كان

أ ب ⊥ وكان ھـ حـ سحـ ھـ مستقیم یقع فى المستوى ، . ص المستوى ⊥ فإن ھـ حـ

إذا كان كل من مستویین متقاطعین عمودیا على مستو ثالث كان خط تقاطع ھذین المستویین عمودیا على المستوى الثالث

ع ص س

مسویین عمودیان ص ، س: الشكل ففى وكان المستقیم ل خط ععلى المستوى

فإن ل ص ، ستقاطع المســـــــتویین ععمودى على المســــــــــــــــــتوى

ل

- ٣٩ -

ـــــل الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل الح

تمـــــــــــارين محلولة ) ٦( نظریــــــــة

ثالثى قائم قاعدتھ أ ب حـ مثلث متساوى منشور/ حـ/ ب/ أ ب حـ أ ) ١( حـ ب فإذا كانت د منتصف أ ب فأثبت أن = اقین حیث حـ أــــــــــــــــالس

/ أ/ توى أ ب بــــــــــــــ المس ⊥حـ د

أ

ب

حـ

/أ

/ب

/ حـ

د

A قـــــــــــائم / حـ/ ب/ أ ب حـ أ المنشور B عمودیة على / حـحـ ، /بب ، /أ أ

المستوى ⊥ / ب ب أ/ المستوى أB. القاعدتین د منتصف أ ب A أ ب حـ

B تقاطع بین أ ب ھو خط ال، أ ب ⊥ حـ د والمستوى أ ب حـ / ب ب أ/ المستوى أ

B ب ب أ/ المستوى أ⊥ حـ د /

د أ ب مستوى عمودى على ، أ ب وتر فیھا ، م دائرة مركزھا ) ٢( المستوى د أ ب⊥م ن : منتصف أ ب فأثبت أن نمستوى الدائرة فإذا كانت

م ٠

أ

ب

ن A مستوى الدائرة ⊥ المستوى د أ ب A منتصف أ ب ن B أ ب ⊥ م ن

A م ن مار بمستوى الدائرة B د المستوى أ ب⊥ ن م

د

- ٤٠ -

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

سم ١٠= أ حـ ، سم ٦= أ ب حـ مثلث قائم الزاویة فى ب فیھ أ ب ) ٣( ١٢= د حـ = د ب = د نقطة ال تنتمى لمستوى المثلث أ ب حـ بحیث د أ ،

المستویین د ھـ فأثبت أن ، سم فإذا كانت ھـ منتصف أ حـ ورسم ب ھـ وإذا فرضت النقطة و على أ حـ بحیث كان . أ ب حـ متعامدان ، د أ حـ

المستوى د أ حـ ⊥وب : فأثبت أن ٣٫٦= أ و

ب

ج أ

سم٦

سم١٠

د

سم١٢

ھـ

A ھـ منتصف أ حـ ، د حـ= أ د B سم من ١٣= د ھـ ، أ حـ ⊥ د ھـ أ ب حـ القائم فى المثلث فیثاغورس

ب ھـ متوسط فیھ Bھـ منتصف أ حـ ، B سم ٥= أ حـ = ب ھـ A ١٢= د ب B المثلث د ھـ ب قائم B٩٠) = د ھـ ب < ( ق B ب ھـ ⊥ د ھـ

١ ٢

و

B المستوى أ ب حـ ⊥ المستوى أ د حـ A ٣٦ = ١٠ ×٣٫٦= أ حـ × أ و A ) أ ب(٣٦ = ٢ B ) أ ب(أ حـ × أ و = ٢ ،A ق ) > ٩٠) = أ ب حـ B أ حـ ⊥ ب و ،A ب و e المستوى أب حـ B المســـــــــتوى أ حـ د ⊥ ب و

- ٤١ -

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تطبيــــقات فى الهـــــــــرم

أ

ب

ح

دھ ن

قاعدة الھرم

حرف جانبى وجھ جانبى

س

م

:ماسى ھرم خ فى الشكل ) م ( رأسھ النقطة •

وقاعدتھ سطح المضلع أ ب حـ د ھـ * ھو طول العمود الساقط من : ارتفاعھ *

رأس الھرم الى قاعدتھ أ ب حـ د ھـ م ب ، ھى م أ : رفھ الجانبیة وأح •

م ھـ ، م د ، م حـ ، المثلثات ھى سطوح: وأوجھھ الجانبیة *

م ھـ أ ، م د ھـ ، د م حـ ، م ب حـ ، م أ ب

الھـــــــــــــــــرم القـــــــــــــائم : تعریف

ـكل مضلع منتظم مركزه موقع العمود الھرم القائم ھو ھرم قاعدتھ على شــــــــ المرســـــــــــــوم من رأس الھرم علیھــــــــــــــــــــــــا

شروط الهــــــــرم القائم

: إذا تحقق اآلتى :یكون الھرم قائم : تكون قاعدة الھرم مضلع منتظم أى أن ) ١( قیاسات زوایاه الداخلیة متساویة ) ب ( أطوال أضالعھ متساویة ) أ ( ھوإرتفاع الھرم یالقى القاعدة عند مركزھا حیث مركز الشكل المنتظم ) ٢(

مركز الدائرة التى تمر برؤوسة من الخارج

- ٤٢ -

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الهــــــــرم الثالثى القائم

م

أب

ح ـ

: الھرم الثالثى القائم متساوى األضالع قاعدتھ سطح مثلث ) ١( متوسطاتھارتفاعھ یالقى القاعدة فى نقطة تقاطع ) ٢( اعاتھ ــــــــــــأو أرتف = نأ ، = أ د ) ٣(

حیث ل طول ضلع المثلث = د ن ن

د

٣ ل٢

٣ ل٣

٣ ل٦

الهــــــــرم الرباعى القائم

م

ب أ

ح ـ

د

: ى القائم الھرم الرباع قاعدتھ سطح مربع ) ١( قطریھ ارتفاعھ یالقى القاعدة فى نقطة تقاطع ) ٢( فإذا كان طول ضلع المربع ھو ل فإن = نأ ، ٢= أ حـ ) ٣( م حـ = م ب = م أ : جمیع أحرفھ الجانبیة متساویة ) ٤( م د = متساویة الساقین جمیع أوجھھ الحانبیة مثلثات ) ٥(

ومتطابقة جمیع إرتفاعاتھ الجانبیة متساویة وھى ارتفاعات ) ٦(

المثلثات المتساویة األضالع

ن

ل

ل ل٢ ٢

- ٤٣ -

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــ

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــل

فإذا كان أ ب ⊥م أ ، أ حـ ⊥ أ ب حـ ھرم ثالثى فیھ م أ م ) ١ ( .سم فأوجد طول أرتفاع الھرم ١٢= م أ

م

أ

ب

ح ـ

A أ ب ⊥م أ ، أ حـ ⊥ م أ B المستوى أ ب حـ ⊥ م أ B أ م ھو أرتفاع الھرم B سم ١٢= أرتفاع الھرم

سم ١٠= أ حـ = أ ب ، المستوى أ ب حـ ⊥ م أ ب حـ ھرم ثالثى فیھ م أ ) ٢( . د سم فإذا كانت د منتصف ب حـ فأوج١٢= ب حـ ، سم ٨= م أ ،

) أ - ب حـ –م < ( ق ) ثانیا ( طول أ د : أوال م ب حـ متعامدین ، أثبت أن المستویین م أ د ) ثالثا (

م

أ

ب

ح ـ

سم١٠

سم١٠

سم٨

د سم١٢

A ١٠= أ ب = المثلث أ ب حـ فیھ أ حـ ب حـ ⊥ أ د B د منتصف ب حـ،

A سم ٨ = ٢ )٦ ( - ٢ )١٠= ( أ د نصل م د

A المستوى أ ب حـ ⊥ أ م B أ د ⊥ أ م B م د = المثلث أ م د قائم فى أ فیھ أ م B ٤٥) = أ د م < ( ق B ٤٥) = أ - ب حـ –م < ( ق

تمــــــــــارين على الهـــــرم

- ٤٤ -

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل

A ب جـ ⊥أ د ، ب حـ ⊥م د B المستوى أ م د ⊥ ب حـ A المستوى م حـ ب یمر المستقیم ب حـ B م حـ ب ، المستویین أ م د

متعامدان

ائم رأسھ م وطول ضلع قاعدتھ یساوى رباعى قم أ ب حـ د ھرم ) ٣( ) حـ – أ ب –م < ( طول إرتفاع الوجھ الجانبى م أ ب إحسب ق

م

أب

ح ـ

د

ھـ

A م ھـ ، الوجھ م أ ب مثلث متساوى الساقین أ ب ⊥ أ ھـ Bارتفاع ھذا الوجھ

B ھـ منتصف أ ب ،A متوسط ھـ ن، ب قائم ن أ ل= أ ب = ھـ ن Bخارج من رأس القائمة

عمودیین على المستوى أ ب حـ د نم ، م ھـ B زاویة مستویة للزاویة الزوجیة ن الزاویة م ھـ

A نم ھـ < ( حتـا = = = ( ٦٠ ) = نم ھـ < ( ق Bل = م ھـ = حیث أ ب

ن

١ ٢

نھـ ھـ م

ل ل٢

١ ٢

الحمد هللا وحده الذى بنعمتھ تتم الصالحات الحمد هللا الذى أعاننى على إنھـــــــــــــــــــــاء ھذه المذكـــــــــــــــــرة فى وقت وجیز

- ٤٥ -