Тема 4. Статистические...

Тема 4. Статистические распределения

4.1. Барометрическая формула

Толщина атмосферы ≈ 30 км

0 constз

hg

R

600,2 const

300

TT

T

0

h

h dh

p+dp

p gdm

SRT

gh

epp 0

T = const

N2

O2

P

h

4CH

кг16

кмоль

возд

кг29

кмольP

h

4CH

кг16

кмоль

возд

кг29

кмоль

P

h

ΔP0

ΔP1

ΔP2

Следствие:

RT

gh

enn 0

Температурный градиент атмосферы

1dT g

dh R


4.2. Понятие о функции распределения вероятностей

lim ii

N

NW

N

Вероятность - мера возможности

наступления события

1

1

6W

14W1 4

1

36W W

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

WΣ

n

WΣ


4.3. Распределение Больцмана

Больцман Людвиг

(20.II.1844–5.IX.1906)

dN – число молекул в dV

dV=dxdydz

x

y

z

r

x

z

dF

dV=dxdydz

x

y

z

r

x

z

dF

dV=Sdl

x

y

z

r ( )

0( )U r

kTn r n e

1 2

1

2

U U

kTn

en

Общая форма записи распределения Больцмана

dV=dxdydz

x

y

z

r

( )( ) ;

dN rf r dV

N

( )

1U r

kT

V

C

e dxdydz

функция распределения Больцмана V

1( )

U r

kT

U r

kT

f r e

e dV

Равновесие жидкость-пар

0

0 парU

U жидкость

0п жU U U

п kT kT

ж

ne e

n

0п жU U U

kT kTп ж An n e N e

0U

kTP nkT RTe

lnP

1

T

0

ln

1

PU k

T


4.4. Распределение Максвелла (1860 г.)

Максвелл Джеймс (1831–79)

dN(υx) – число молекул, имеющих проекции

скорости в диапазоне от υx до υx+dυx

( )xx x x

dNdP f d

N

υz

υx

υy( )x

x

x

dNf

Nd

dN( ) – число молекул, имеющих скорости с проекциями в

диапазоне от υx до υx+dυx, от υy до υy+dυy, от υz до υz+dυz

( )

x y z

dNF

Nd d d

Предпосылки Максвелла:

1) , ,x y zf f f имеют одинаковый вид

22) ,x x x xf f тогда f f

23) F F F

, ,4) . . ,i j k i j k

x y z x x y y z z

тк P PPP то

F d d d f d f d f d

R 8300 T 30028

f v( )2 R T

1

2

e

v2

2R T

v 0 0.01 . 15000 0.01 .f 0 0.1 ....30 0.1 ....3

1000 800 600 400 200 0 200 400 600 800 1000

5 104

0.001

f v( )

v

Распределение Максвелла по проекции

скорости

21

22

2

xm

kTx

mf e

kT

xf

x

Распределение Максвелла по

проекции скорости

f(Vx)

0 V1x V2x Vx

21

22

2

xm

kTx

mf e

kT

22

1 2

1

1

22

2

x x

x x

x

m

kTx

mP e d

kT

f1;f2

Vx

Vy

Vx

Vy

23

22 24

2

m

kTm

ekT

24F F

28 R 8300 T 250

F v( ) 4 v2

2 R T

3

2

e

v2

2 R T

F 0 0.1 . 10 0.1 .

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0.001

0.002

F v( )

v


скоростям

υ

F(υ)

υdυ

0

( ) 1F d

( )dN

N

Условие нормировки:

1

υ

F(υ)

T1 < T2 < T3

Влияние температуры

23

22 2( ) 4

2

m

kTm

F ekT

28 R 8300 T 250

F v( ) 4 v2

2 R T

3

2

e

v2

2 R T

F 0 0.1 . 10 0.1 .

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0.001

0.002

F v( )

v


скоростям

M

RT

m

kTVНВ

22

M

RT

m

kTVСР

88

M

RT

m

kTV КВСР

33.

Следствия:

2 2НВ

kT RT

m M

8 8СР

kT RT

m M

.

3 3СР КВ

kT RT

m M


4.5. Распределение Максвелла-Больцмана

Больцман

Людвиг

(1844–1906)

Максвелл

Джеймс Клерк

(1831–1879)

dV=dxdydz

x

y

z

r

2

2

( , )

mU r

kTF r Ce

32

( )

1

2U r

kT

V

mC

kTe dV

Функция распределения Максвелла-Больцмана:υ

( , )( , ) ;x y z

dN rF r dVd d d

N

Опыт Штерна (1920)

ω


ω = const

υ2 > υ1

υ3 > υ2

ω


l

lt

l

Тема 4. Статистические...

Documents

Transcript of Тема 4. Статистические...