4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

27

Transcript of 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

Page 1: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

���������� � � ������� � ����� ���������� �"!�� #%$'&(� )�* � +,&-) .0/213*,&(#4&657)�*8&6� �

9 ������:<;=� �4> �?�����%�A@%B

C8D�E-FHGIGIFJELKJFNMPORQTSTUWVYX6ZT[]\?S_^a`6ZT[cbRdIe6[]egf'hi eg^aD,[]X6[ i e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhiIsut hiIv ^aOwMqXNh[]`qhiIv ^�KJxIy oz|{}KIKIKJ~�o��'QT\ i n7[]Xg`=o�z,Q v d i e-^IM���[uS�X6VY`6[H���_�_�'�L�_�w�-�����������_���I�I�_���T��M8�-�T����KJ�H�I~�{N�I�_�NKIM

�  ¢¡ ¡ £¥¤§¦�£©¨ ª¬«w­¢«P¨ «®¦�¯ ° ±²¦³ª´ ¢«P¨ µ ±¶¡ ¨

· ¡ «P¸ · £ ª´£�±¶¹�«wº»±²¦¼«w ¢¡ µ  ¾½ ­¾ª´±À¿ Á µ

²ÃuÄ]Ä2ÅÇÆÉÈRÊrËÍÌ�Î ÆÉÎ<Ï ÐÑÃLÒ�ÌÇÓÑÅÔÌ�ÓÕÏ×ÖÆÉÎ

ØÚÙ7ÛÝÜHÞÚß7à�á3ß7âpâpã

Page 2: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

����������� ����������������������! �"#�%$�&�'('�&*) +,& K

- Ì�Î<Î/.8È102.8Ï Ó�Ã�3rà Ï4Ã�054 6 Æ70PÓ®Ì Ã Ï�ËÑÆÔÎ<Ï 8<Î4Ã:9;8<. Ó=. Æ ÄuÃ!> Æ70RÃLÌ�Î�ËÌ@?A3�ÓwÆCBED�Ë

FHGJIKIMLÕÙ7ÜON�P(QSR2T�ÙUR�VXWYG[Z\QpÛ]LSQ Û^V]_Ù5R2T*T

`badc!e:f�gih(ejlk )Km�nporq,situnpv�siw(xdy �u��zb|{2���|}~nptrw�tu��� w(n����^�Cxpnps�q�q,o���q,miminps��Yv(�\w]�(� w�������nps

�S�����]qHtu�iw(xpx�v�six�����v�sit npm�q!�r�^|��|�|���M��� w(orq!��v(�u��t!�=nps��1�inp� �<�u��q���v�)[v(� minps�w���q,t7v(�w(xpx5�u��q��(q!� �unp��q,t�v(�2��w�� qMw(x��(q!��� w(np�!w(xpx���nps�m�q!��q,sim�q,s^�!�� ¡�2vb�¢��w(orq!�2v(� �Ot���v(�£�¤w��uqu¥!¦��¢§(������� ¨n��©��v(�u� q,t���v�siminps��7q,m��(q,t�nps��u�iq#�K��vC��� w(orq!��v(�u��t1��w,�(q#�u�iq�tuw(orq�x�q,s��(�u���j �¢� w(oªq!�2v(�u�Ynpt�w�¦��i�[¥�¦�r�u ���«��¬*�( ������Yv(�­�Xn®sY�©�~n���q!�(q!� ��q,¯O°in���w(x�q,s^�£�¢��w(orq!�2v(� ��!w(sª��q�v(���uw(nps�q,mª���uv�o¤n��=�O�7w#� n���npmC��v�s��(� °�q,si��q1v(��� � �=±�� °i��q�²�q,sim�� n®�u��t�v�sª�i� v:�(q,m�u�iw��³n��d�´�iw(t³w7°isinp¯O°�q�� q,w(xpn�µ,w��un�v�s@npsb� � �u�iq,s��¶n®t1· k¡¸ +:¹K)K��v�sisiq,����q,mHw(simb�uq,mi°is�)miw(s^�ux���� n���n®m���²�qM��v�s�º�q,���u°��uq,mY�u��w��1q!�(q!�u�;�uq,w(xpn�µ,w��unpv�s~v(��w�· k�¸ +:¹K)K��v�s�s�q,����q,m�w(sim�uq,mi°�simiw(s^�ux��b��n���npm��(� w����;nps~�S��n®t­°isin®¯^°�q(�¡ ���npt­��v�s�º�q,���u°��uq7npt­��� °�q#��v(� kC» +���°���³w(t#minptu�i�uv:�(q,mY�O�Y¼­v(��q!�u��½�v�s�s�q,xpx��;�¢v(� k�¾�¿ �C�]qª�uq,tuv�x��(qª�u��qª� q,oªw(npsinpsi�@v(��q,s�!w(t�q@�^�]tu�iv:�­npsi�H�u�iw��M²1q,simi� np�u��t�v�s�ÀÁt���v�s�º�q,���u°��uq�npt£��� °�qb�¢v(� k]» &O� j t#w���v(�uv�xÂ)xpw��u�M��q1m�q,mi°���q��u�iw���q!�(q!� �ª�uq,w(xpn�µ,w��unpv�srv(�¨w�Ã*)K��v�sisiq,����q,mb�(��w����Cw(t2w�&*)Kminpoªq,situn�v�siw(x�(q,s�q!� n®�=��� w(orq!��v(�u�#nptdw1°�sinp¯O°�q=�uq,w(xpnpµ,w��un�v�s��=Ä\°��5���uv^v(�in®t5��w(tuq,m#v�s7w�s�q!�Ånpsimi°i���unp�(q� ��w�� w(����q!� n�µ,w��un�v�s~v(� ¿ )K��v�sis�q,����q,m;�(� w����it¡�1��v�t�q£� n���n®min��K�boªw����uv�npmHn®t¡��v�sis�q,����q,m��

Æ Ç=ÈYÉ�Ê­Ë�ÌÅÍÅΣɡÏ�Ë~È

�³[ X6Z i UYU�j]m v X6VY\T[ue�Ð v VY`6[ dIe i nTZTX7Ñ8V ` ZTmHQ�`AUYm�mIn�Xuo t QTUY`6VWnTUY[Ô[]\TdI[]XlmIeAVWXgmIU i ` [u\�fI[]eg` VYju[]XuMCÒÓ E \TV t [ v X6VYm vTi U�Ô!Õ�ÖO×;Ø*Ù1Ú^Õ,Û�VYX i n i VWe�Ü�ÝHÞ�ß5à oiÑ8ZT[]e6[rÝâáãÜåä¡Þ�æ�àRVWX i dIe i nTZ iIv \�ß�VWX iÇtri nç e6m t ä ` m@è � MP�³[ jum v X6VW\�[ue�`6ZT[ ç e iIt [*Ñ�mIe|é�` m S7[ i Xg`6e i VYdIZ `'UYV v [,[ t S�[u\�\TV v dÉm ç Ý V v è �V v Ñ8ZTVWjLZ�`6ZT[@ê®Ø*ë�ìOí[îcm ç iIv [u\TdI[Mï5ð;ñòæ©VYX'dIV fI[ v S ^r`6ZT[ bRQTj]UWVW\�[ iIv \�VWXg` iIv j][ S�[]`�Ñ�[u[ v ` Z�[n7mHV v ` X�ß=ÜKïdà iHv \�ß=ÜKð�à MÍC\Ñ'm ç e iIt [*Ñ�mIe|é_X­Ü�ÝHÞ�ß5à iIv \YÜ�ÝHÞ�óOà i e6[�Ø�ô�õ�ö�÷%Ö�ê®Ø*ë¨í V ç jumIege6[]X6n�m v \TV v d[u\TdH[uXÍm ç `6ZT[3`�Ñ�m ç e iIt [*Ñ�mIe|é_XÕZ i fI[3` ZT[3X iIt [RUW[ v dH` Z MÍ��[RX i ^c` Z i `Õ`�Ñ�m ç e iIt [:Ñ'mHe|é_X­Ü�ÝHÞ�ß5à oÜ�ÝHÞ�óOà i e6[�ø!Ú^ë�ì^Õ:õ�Ø*ë¨íÕV ç ` ZT[]e6[ VYX i e6VYdIVW\�jum v dIe6Q�[ v j][YÜ V M [�M�` e iIv X6U i ` VYm v mIe,e6mH` i ` VYm v à'm ç è �Ñ8ZTVWjLZ tri n�XCß=ÜKð�à�m v `6mùóúÜKð�à ç mIe [ i jLZûðXñüärM ��[<XgZ i UWU8X i ^¬` Z i `òÜJÝ~ÞJß5à�VYX i õ�ë�öKô�õ�ØÕ|Ø�Ö�êÂö¢ý�Ö�íKöJÚ^ë�m ç ݶV v è � V ç []fH[ue-^ ç e iIt [*Ñ�mIe|éòÑ8ZTVYjLZ³VYXÔ[*þ_QTVYf i UY[ v `c` mÿÜ�ÝHÞ�ß5àAVWXcjum v dIe6Q�[ v `` m¶Ü�ÝHÞ�ß5à M§C|ZT[�õ�ë�öKô�õ�Ø<Õ|Ø�Ö�êÂö¢ý�Ö�í[öJÚ^ë��¨Õ�Ú���ê®Ø*×¢VWX�` m�\T[uj]VW\T[/Ñ8ZT[]`6ZT[ue i dIV fI[ v e6[ i UWV sui `6VWm v

������� ������������������������������������ �"!#�$�&%$'�(*)��"��!+�,��-�.�'�/0!��21���-%3� �4.5����67��!#8���!�'��9�2� �;:<!#8>=?����8@'�67��!�8���!+:5ABDC �E'�:F!�G�����!#8@HI��JK�����2�ML NPO�Q�R�S�T@U�V�W#XDY&Z�[�\]O3R S<OM[ T^� )#_�_���-3���"8a` .b����5=?��.D���#� ���$�2���4.�c�d0)�!#G���-�����!be*����8����a.���f����� �"!#�$�g:<h�����!�G��^iF-���G�-���j�j��H

���lk*��_#��-3���j��!D�g���?m*_E��-�����2��!#%^=?�"%��"��-��7'�:*n����1@n�D%o/0!��21��"-�%�� �4.�'7i�p��q��rp��!D.sitp�$���"-^%�p����p��! .uA�c�v5']A�A�Alwjxy)�J8���_��&%4�"'�d0)�!�GD��-�.�H]�$Jz�����2�KL|{DV�}�~�R�W#X S�UIO3� \����<OK��[>� )#_�_���-3���"8�`D.t����od0)�!�GD��-�����!������ �"!D��� ���0=?�&%3�&��-����)�!�8G�-���!��P!��#HF�?���Dw�� B wD'������ BD� ����' ��!#8����g�fi�G�-��!D�P!���HF�#A B �Dc������#A�H

���D�����������f�E��� �

Page 3: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ���������� �����z�������E������� F

VWXcQ v V¢þ_QT[HM�� i�� [�� K=����n�e6m�fI[]\�` Z i `c` ZTVYXÔn�e6mISTUY[ t VYXÔ� OPE Z i e6\pM �³[�mIS�` i V v�i nTe6mHSTUW[ t m ç\TV��7[ueg[ v `A` ^Nn�[HopZTm(Ñ�[]fH[ueuoÕV ç Ñ'[�[ � juUWQ�\T[ � \�[udI[ v [ue i ` [�!pj i Xg[uX]MCÒ ç e iIt [*Ñ�mIe|éÜJÝ~Þ�ߨà,VWX X i VY\` m�S7[�ì�Ø*ëUØ*Õ,öJøÔV ç ` ZT[ jumNmIeg\TV vTi ` [uXÔm ç i UWUP`6ZT[rn�mIV v `6X i e6[ i UWdI[]STe i VWj i UWUY^�V v \T[un�[ v \�[ v `Çm�fI[]e` ZT[�e i `6VWm vTi UWXuM�� v Ñ8Z i ` ç mIUWUYm�Ñ8XªÑ�[aX6Z i UYU�j]m v XgVW\T[]eÉ` Z�[�Q v V¢þNQ�[�e6[ i UWV sui `6VWm v nTe6mHSTUW[ t ç mIedI[ v [ue6VYj ç e iIt [*Ñ�mIe�éNX]MÒ§XgV t nTUW[ v [uju[]X6X i eg^ jum v \�VY` VYm v ç mIeÕQ v V�þ_QT[�e6[ i UWV sui `6VWm v m ç dI[ v []e6VYj ç e iHt [:Ñ'mIe�é_XwVYXwegVWdIVY\TVY` ^�M� v ` QTV ` VYfH[uU ^Io8` ZTVYX t [ iIv X�` Z i `?V ç Ñ�[�`6ZTV v ém ç i Ó E \TV t [ v X6VYm vTi U ç e iIt [*Ñ�mIe�éXÜ�ÝHÞ�ß5à i X ijumIUYUW[]j]` VYm v m ç S i egX iIv \#"gmIV v ` X�Ñ8ZT[]e6[�n7mIV v ` X�jumIege6[]X6n�m v \`6m$"gmHV v ` X iIv \[ i jLZ§[]\TdI[?` m ie6VYdIVW\�S i e%"gmIV v V v d<V ` XÉ[ v \�E n7mHV v ` X]o�` ZT[ v ` ZT[ ç e iIt [*Ñ�mIe|é�VYX e6VYdIVW\�V ç V ` Z i X v m v m v E `6e6V f�V i Ujum v `6V v QTmIQTX \T[ ç mIe t i ` VYm v X]M¼� `rVYXHé v m�Ñ v � K=���|` Z i `regVWdIVY\TVY` ^�VYX i dI[ v [uegVWj?nTe6mHn7[]eg` ^Io3` Z i `VWX]o�` ZT[�e6VWdHVW\TV ` ^%m ç Ü�ÝHÞ�ß5àc\T[un�[ v \TX�m v U ^�m v ` ZT[�dIe i n�Z Ý o�V ç ÜJÝ~Þ�ߨàÔVWXÉdI[ v [ue6VYjHM<��[�X i ^` Z i ` ` Z�[�dIe i nTZ Ý×VWX egVWdIVY\³V v è � V ç []fH[ue-^´dI[ v [uegVWj�eg[ i UYV sui ` VWm v m ç ݾV v è � VYX e6VYdIVW\ M�ÜKÒjum t STV vTi ` mIegV i U®\T[:Ð v V ` VWm v ç mIe `6ZT[ÇegVWdIVY\TVY` ^?m ç Ý V v è'&�Ñ8VWUYUwS�[ÇdIV fI[ v V v ��[]j]`6VWm v F�m ç ` ZTVYXn i n�[ue]MÉ��[�e6[ ç []eA` ZT[�eg[ i \�[ueA` m(� K���o�K�)�� ç mHe i ç mIe t i Uw\T[*Ð v VY` VYm v4iIv \�\�[]` i VWUW[]\%X6QTe-fI[ ^%m ç` ZT[cegVWdIVY\TVY` ^ m ç Ó E \TV t [ v X6VYm vTi U ç e iIt [*Ñ�mIe|é_X]MÂàC|ZT[ v [uju[]X6X i eg^aj]m v \TV ` VYm v m ç e6VWdHVW\TV ` ^�Ñ i X�Xg`6e6[ v dH` ZT[ v [u\?S ^�z [ v \Te6VYj!éNXgm v �*)�� i X ç mIUYUWm(Ñ8XuM

Ò�dIe i n�ZòÝ VWX FJE e6VYdIVW\aV v è � V ç \T[]UW[]`6V v d iIv ^?[u\�dI[Ém ç Ý�e6[]X6QTU ` X8V v�i dHe i nTZ/Ñ8ZTVWjLZ�VWX8e6VYdIVW\V v è � MAÜ�+ ` Z�[ue i Q�`6ZTmIe6X�Z i fH[�Q�X6[u\2` Z�[?`6[ue t X�eg[u\TQ v \ iIv ` U ^¼e6VYdIVW\ iIv \¬[]\TdI[?STVYe6VWdHVW\ ç mIeFJE egVWdIVY\pM à2�3^%QTX6V v d t [ ` ZTmN\TX ç e6m t \�V��7[ue6[ v ` V i U�` mIn�mIUYmIdH^IoÕz,[ v \�e6VWj!é_Xgm v nTegmJfH[u\³`6Z i `c` Z�[FJE egVWdIVY\TVY` ^ m ç Ý VWX i Xg`6e6m v dH[ue v []ju[]X6X i eg^Çj]m v \TV ` VYm v ç mIeÍ` ZT[�Q v V¢þNQ�[�e6[ i UWV sui STVYUWV ` ^ m ç i dI[ v []e6VYjç e iIt [*Ñ�mIe�éòÜ�ÝHÞ�ß5à Mz [ v \TegVWj!é_X6m v �*)�� i UYX6m¬n7mHV v ` []\»mIQ�`?`6Z i `�` ZT[´Ü Ó�, K�à E jum vTv [uj]`6VYfNVY` ^ m ç Ý VWX iIv m�` ZT[]ev [uj][uXgX i e-^�jum v \�VY` VYm v ç mIe i Ó E \TV t [ v X6VYm vTi U ç e iHt [:Ñ'mIe�éùÜJÝ~Þ�ߨà ` m?S7[ i Q v V�þ_QT[�e6[ i UWV sui `6VWm vm ç Ý��ÔV ç Ý×Z i X i `ÉUY[ i X-` Ó-, FafH[ue-` VWj][uX iIv \�Z i X i fI[]eg`6[ � X6[]n i e i ` mIecm ç X6V s [ Ó oÕ` ZT[ v Ñ�[j iIv mIS�` i V v¼iIv [�þ_QTVYf i UY[ v ` ç e iHt [:Ñ'mIe�é³` m ÜJÝ~ÞJß5à S ^¼e6[�.q[uj ` V v dÿÝ i UWm v d4` ZTVYX�X6[un i e i `6mIeuM��Q t tri e6VWXgV v dbÑ'[cZ i fI[/1032�465�2�7 869:869<;>=@?<A Ô�Ö]ì�Ø*ëUØ*Õ,öJø£Ô!Õ|ÖO×;Ø*Ù1Ú^Õ,ÛYÜ�ÝHÞ�ß5à�öCB~Ö<õ�ë�öKô�õ�Ø~Õ|Ø�Ö�êÂö¢ý�Ö�í[öJÚ^ë Ú�ÔªÝ ö�ëòè �íKî�Ø*ë Ø*ö[íKî�Ø*Õ]Ý öCBòí[î�Ø�ø!Ú^×s�5ê®Ø�í�Ø<ì^Õ�Ö��¨î´Ù¡ö[íKîûÖ�í�×;Ú�B:í Ó , K ÷^Ø*Õ:í[öJø!Ø�BED�Ú^ÕÅíKî�Ø�Ô*ÚOê�ê®Ú^Ù¡ö�ë�ìø!Ú^ëGFOö[íKöJÚ^ëHB7î�ÚOêIF�JK ÖMLCÝ öCBbÜ ÓN, K�àPO�ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF�D­ÖOëGFK �RLCÝ öCBTS�UåÕ:ö¢ì^ö:F�Vz [ v \TegVWj!é_X6m v � ~�oT��o�)��pj]m v "g[]j]` Q�e6[u\?` Z i `|jum v \TVY`6VWm v X7Ü i à iIv \ Ü S¨à i eg[lX6Q�W juVY[ v `|` m�dHQ i e-E

iIv ` [][A` Z i ` iIv ^�dI[ v [uegVWj ç e iIt [:Ñ'mHe|é<Ü�ÝHÞ�ß5à3VYX i Q v V¢þ_QT[Ae6[ i UWV sui `6VWm v m ç Ý M�C|ZTVWX|j]m v "g[uj ` QTeg[VWXÔ[ i X-^�`6m<nTegm�fI[ ç mIe Ó á¢K�XgV v j][YݶVWXÔe6VYdIVW\�V v è0V ç iIv \´m v U ^�V ç ݶVWXÔjum vTv [uj ` []\YX�ݶVYXFJE egVWdIVY\aV v è¥V ç iIv \<m v U ^?V ç ݲVYXAF�E [u\�dI[ E jum vTv [uj]`6[u\YX iIv \�Ü�ÝHÞ�ß5à|VWX i Q v V¢þ_QT[ÉdH[ v []e6VWjÔe6[ i U EV s]i ` VYm v m ç Ý V v è V ç iIv \�m v UY^�V ç Ý�VWX'FJE j]m vTv []j]` []\pM'+ v ` Z�[ mH`6ZT[ue3Z iIv \ oqy'm vTv [uUWU ^Z�\[�� Z i XX6ZTm(Ñ v ` Z i `,z,[ v \�e6VWj!é_Xgm v ! X j]m v "g[uj ` QTeg[ÉVYX ç i UWXg[ ç mIe Ó^] [�MP��[cX6Z i UWUpXg[]`6`6UW[A`6ZT[ce6[ t i V v V v dj i Xg[ÉS ^�X6Z�m�Ñ8V v dr`6Z i `8` Z�[Éj]m v "g[uj ` QTeg[ VYX8`6e6QT[ ç mIe Ó á�F�M�Ò X i jumIegmIUWU i eg^~Ñ�[ \T[]\TQTju[Ô` Z i `Q v V¢þNQ�[ eg[ i UYV s]i STVWUYVY` ^aVYX i UWXgm i dH[ v []e6VWj�n�e6mIn�[ue-` ^Io®` Z i `cVWXA` m?X i ^<` ZT[�Q v V¢þ_QT[�e6[ i UWV sui STVYUWV ` ^m ç i FJE \TV t [ v X6VYm vTi U}dI[ v [uegVWj ç e iIt [:Ñ'mHe|éòÜJÝ~ÞJß5à�\T[]n7[ v \TX,m v UY^rm v ` Z�[ldIe i n�Z<Ý�M`_qmIUWUYm(Ñ8V v dy'm vTv []UWU ^a�*[���o�Ñ'[ÔX i ^a` Z i ` i dIe i n�Z<Ý VYX#ìOê®Ú���Ö�ê�êcbHÕ:ö¢ì^ö:FcV v è � V ç [ fI[]eg^?dI[ v [uegVWjce6[ i UWV sui `6VWm vm ç ÝÀV v è � VWX i Q v V�þ_QT[�e6[ i UWV sui `6VWm v M-+AQTelX6mIUYQ�` VYm v m ç ` ZT[�j]m v "g[uj ` QTeg[rV t n�UWVW[]X `6Z i `CÝÀVYXdIUWmHS i UWU ^�egVWdIVY\?V v è & V ç iIv \<m v UY^aV ç Ý VYX i jum t nTUY[]` [cdIe i nTZ�m v�i ` t mIXg`8`6ZTe6[][ÔfH[ueg`6VWj][uX mHeÝ©VWXd[JE jum vTv [uj ` []\ iIv \<FJE e6VWdHVW\pM

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 4: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ���������� �����z�������E������� [

+AQTe�n�e6mNm ç m ç `6ZT['j]m v "g[uj ` QTeg[�VWXwS i Xg[u\�m vÇiHv V v \�QTj]`6VYfI[�jum v Xg` egQTj]`6VWm v ç mIe i UWU [ÝE j]m vTv []j]`6[u\FJE egVWdIVY\4dIe i nTZTX]MÇ�³[�X6Z i UWUPXgZTm(Ñ ` Z i `c[]fH[ueg^�dIe i nTZ�V v `6ZTVWX ç iIt VWU ^�j iIv S7[�S�QTVWU `lQTn ç e6m t����ÜKÑ8ZTVYjLZ4VWX8dIUYmIS i UYUY^re6VWdHVW\¨à'S ^ iIv<i nTnTe6mHnTe6V i ` [cX6[*þ_QT[ v j][�m ç mIn�[ue i ` VYm v X]o�Ñ8ZT[ueg[Ç[ i jLZ�m ç` ZT[l`�Ñ�mrmHn7[]e i `6VWm v X\Ñ�[cQTX6[ÔnTeg[uX6[]egfH[uX dHUWmIS i Upe6VYdIVW\TV ` ^IM+ v [�mIn�[ue i ` VWm v VWX~ØQF�ì�Ø�Ö�F�FOö[í[öJÚ^ë}�MÑ�[ i \�\ i�v [:Ñ [u\�dI[�jum vTv [uj]`6V v d�X6m t [�n i VWeAm ç v m v E

i \�" i j][ v `�fH[ueg`6VWj][uXuMRC|ZT[ mH` ZT[]e'VYX�� U Ø��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ë}�2Ñ�[AX6QTS�\TV f�VY\T[ iHv [u\TdH[7ï¨ð�S_^ iÇv [:Ñ fI[ue-` [ �� o iIv \ i \T\ i?v [*Ñ�[]\TdI[ � ç mIelXgm t [ ��áüï=Þ�ð}M y'UW[ i e6U ^Iop`6ZT[�Ðqe6X-`ÉmHn7[]e i `6VWm v nTeg[uXg[uegfH[uXdIUWmHS i UÕe6VYdIVW\TV ` ^IM,��m�\Tm�[]X ` Z�[ÇX6[]jum v \ MAC|ZTVWX ç i j]` ç mIUWUYm(Ñ8X ç egm t×i \T[u[]n%e6[]X6QTU `Am ç y'm vTv [uUYUY^� ���#Ü X6[][ i UWXgm � F�� oC� ��� à o©Ñ8ZTm�\T[]fH[uUYmIn7[]\ i X6Q�Wrj]VW[ v `Éjum v \TVY`6VWm v ç mIeA`6ZT[�dIUWmHS i U�egVWdIVY\TVY` ^�m ç idI[ v [ue6VYj ç e iIt [*Ñ�mIe|é�V v ` []e t X�m ç ` ZT[ e iIv é�m ç VY`6X � Xg`6e6[]X6X t i ` egV � ! MP� i Xg[u\�m v ` Z�VWX3jum v \�VY` VYm v oZT[,nTe6m�fI[]\r`6Z i `3V ç Ý VWX�dIUYmIS i UYUY^Ée6VWdHVW\�V v è & iIv \YÝ� �VYXRmIS�` i V v []\ ç egm t Ý S ^ i K E [ � `6[ v XgVWm v o` ZT[ v Ý� �VWX i UYX6m�dIUYmIS i UYUY^�e6VYdIVW\aV v è & M� v Ñ8Z i ` ç mIUWUYm(Ñ8XdÑ'[RXgZ i UWU i X6XgQ t [�`6Z i ` Ó á»F�Mw� v `6ZTVWX®j i X6[3S7m�` Zcjum v \TVY`6VWm v X V v z [ v \TegVWj!éIEX6m v ! X|j]m v "g[uj ` QTeg[cj iIv S�[ljLZ i e i j]` []e6V s [u\Ü iIv \?[MW juVY[ v ` U ^�`6[uXg`6[u\¨à'S ^an�QTe6[]UY^rjum t S�V vTi `6mIe6V i Ut [ ` ZTmN\TX]M�C|ZTVYX3VYXPXg`6e i VYdIZ ` ç mIe Ñ i e6\ ç mIe [ÝE jum v�v [uj ` VYfNV ` ^IMP� v ` Z�[,j i X6[8m ç FJE e6VYdIVW\TV ` ^IoÝ` ZT[|j]m t ESTV v�i ` mIegV i U�jLZ i e i j]`6[uegV sui ` VWm vaiIv \ i UWdImHe6VY`6Z t²i e6[lS i X6[]\�m v ` Z�[ ç mIUWUYm�Ñ8V v dÇeg[uX6Q�UY`8m ç�� iItriHv� KHK��M-_}mHe i dHe i nTZ ÜJÝ~Þ�æ�à iIv \ i X6QTS�X6[]`�� ��ä�UY[]`����¡Ü��à�Ü mIelX6V t nTU ^��|Ü��à�Ñ8Z�[ v VY`lVYXmIS fNVWmIQTX3` m@Ñ8Z�VWjLZadIe i nTZ�Ñ�[ i e6[ e6[ ç [ue6egV v d�àR\T[ v mH`6[ ` ZT[ v Q t S7[]e�m ç []\TdI[uX'V v `6ZT[ XgQTSTdIe i nTZV v \�QTju[]\�S ^��¢V v Ý M�C|ZT[ dIe i nTZ�Ý�VYX�X i VW\ ` mÉS7[ t V v V t i UYUY^Ôe6VYdIVW\�V ç Ý VWX3e6VWdHVW\po iIv \YÝ����VWX v m�`8e6VWdHVW\ ç mIe i UYU��ªñòæ�M/1032�465�2�7 869��Y9<; ��� ? � ì^Õ�Ö��¨î Ý á Üåä¡Þ�æ�àòöCBÅ×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb Õ,ö¢ì^ö:F´ö�ëûè & ö Ô ÖOëGFAÚ^ë¨êcb ö Ô! æ ! á»F ! ä ! � [òÖOëGF

��Ü"�à$# F ! � ! � [bÔ*Ú^ÕbÖ�ê�ê%�'&�ä Ù¡ö[í[î ! � ! ] F)( ÜgK(à� m�` [8` Z i ` i dIe i nTZrVYXRe6VWdHVW\�V ç iIv \ m v U ^�V ç VY`RZ i X iÔt V v V t i UWU ^ce6VYdIVW\�Xgn iIvTv V v dÔX6QTSTdHe i nTZ M� `8j iHv S�[AXg[u[ v ç e6m t C|ZT[]mIe6[ t KIM FÉ` Z i ` i FJE egVWdIVY\�dIe i nTZ�Ý á Ü�ä�Þ|æ�à­Ñ8VYUWU�Z i fI[ i `|UY[ i X-`

ç mIQTe,fI[ue-` VYju[uX iIv \ i ` UW[ i Xg`AF ! ä ! �Fr[]\TdI[]XuM ��[ j i UWUÕdIe i nTZTXMÑ8Z�VWjLZ i eg[�FJE e6VYdIVW\ iIv \4Z i fH[` ZTVYX t V v V t Q t¾v Q t S7[]eÔm ç []\TdI[uX+* E juVWegjuQTV ` X]M-,�mH` V f i ` [u\�S ^�z [ v \TegVWj!é_X6m v ! XÉjum v "g[]j]`6QTe6[�oy'm vTv []UWU ^�jum v "g[]j]`6QTe6[]\ÅÜ Xg[u[A[�M dTM%�/.�oNnpM ) )�� oY� K��No�npM K��I����à�V v ` ZT[ÉK�)I�IG�! XR` Z i ` i UYU6[ÝE j]m vTv []j]`6[u\* E j]VWegjuQTV ` XÇj iIv S7[amIS�` i V v [u\ ç e6m t �0�rS ^ K E [ � `6[ v XgVWm v X]M´� `�VWX [ i X-^´` m%Xg[u[a` Z i `�` ZT[%K]E[ � ` [ v X6VYm v mIn�[ue i ` VYm v nTe6[]X6[ue-fI[]Xd[ÝE j]m vTv []j]` V fNVY` ^ iIv \ ` Z i `'V `�j]e6[ i ` []X iIv * E juVYe6j]QTVY` ç e6m t�iIv* E j]VWegjuQTV `=M3C|ZT[ mH`6ZT[ue8\TVYe6[]j]` VYm v VWX t mHe6[l\TV Wrj]QTUY`uM'� `,VWX8[*þNQ�VYf i UW[ v `,`6mrX i ^�V v dr`6Z i `,[]fH[ue-^[ÝE j]m vTv []j]`6[u\ * E j]VWegjuQTV `|m vai `|UY[ i X-`\ÐTfH[AfI[ue-` VYju[uX8Z i X i fI[ue-` [ � m ç \T[udHe6[u[A`6ZTe6[][7Ñ8ZTVWjLZ?j iIvS7[�16X6Q�nTnTe6[]X6Xg[u\32?S ^�`6ZT[ V v fI[uegX6[�mIn�[ue i ` VYm v ` m4K]E [ � ` [ v X6VYm v o�X6m�`6Z i ` ` ZT[Ée6[uXgQTUY`6V v drdIe i nTZVWX i X t i UYUW[ue [ÝE j]m vTv []j]` []\�* E juVYe6j]QTVY`uMC|ZT[ÉV v fI[]e6X6[ÔmIn�[ue i ` VYm v ` m�K]E [ � `6[ v XgVWm v VWX8j i UWUW[]\�B �5êÂö[íJí[ö�ë�ì]Ú548�RVY`,jLZTmNmIX6[]X i fI[]eg` [ � ð�m ç\T[udHe6[u[�`6ZTe6[][8V vÇi dIe i nTZHÝ�o \T[uUY[]` []X¡ð�Ü iIv \�` Z�[|[u\TdI[]X�V v j]VW\T[ v `�` mrð�à iIv \ i \�\TX ilv [*Ñ[u\�dI[jum v�v [uj ` V v d�`�Ñ�m v m v E i \�" i ju[ v ` v [uVYdIZ_S7mHQTe6Xcm ç ð�Mr� ç Ý�VWX i [ÝE j]m vTv []j]`6[u\6* E juVYe6juQ�VY`rÑ8VY`6Zi `ÉUW[ i Xg`CÐTfI[�fH[ue-` VWj][uX iHv \ i `ÉUW[ i Xg`Ém v [rm ç ` Z�[�X6n�UWVY`g` V v dIXcm ç ð�e6[]X6QTU ` XÉV v³i [ÝE j]m vTv []j]`6[u\* E j]VWegjuQTV `=oH`6ZT[ v Ñ'[8X i ^É` Z i `�` ZT[�fH[ueg`6[ � ðÔVWXSÔ*Ø�Ö�B,ö���ê®ØuMÍ� `Rj iIv S�[|X6[][ v ` Z i `R[ i jLZ-* E j]VWe6j]QTVY`Ý Z i X i `,UW[ i Xg` ç mIQTe|fI[]eg`6VWju[]X m ç \T[udIeg[u[c` ZTeg[u[�M|� ` VYX v mH`8` e6Q�[Ho�ZTm(Ñ'[ fI[ue]o7`6Z i ` [ i jLZ�fI[ue-` [ �m ç \T[]dIe6[][Ç` ZTeg[u[�V v Ý VYX ç [ i XgVWSTUY[HMAC|Z�[�[ � VWX-` [ v ju[�m ç X6Q�jLZ i fH[ue-` [ � Ñ i X fI[uegV¢Ðq[]\�S_^4�'[uegdiIv \?` ZT[cXg[ujum v \ v�iIt []\ i Q�` ZTmHe<� K�ÕV v ` ZT[]VWe|eg[uju[ v ` XgmIUWQ�`6VWm v `6m�y'm vTv [uUYUY^G! X|jum v "g[]j]`6QTe6[�M

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 5: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ������� � �� �����C�����"���]���b� � � � � �R�����C��� ���,� �z����C� �

� v ` ZTVYX n i n7[]e7Ñ'[�XgZ i UWUÍX6Z�m�ÑÚ` Z i `l[]fH[ue-^a[ÝE j]m vTv []j]`6[u\�FJE egVWdIVY\�dHe i nTZ%j iIv S�[�mIS�` i V v []\ç e6m t ��� S ^¼[u\�dI[ i \T\TV ` VYm v X iIv \ K E [ � `6[ v XgVWm v X�S ^¼[ � ` [ v \TV v d�` Z�[ t [ ` ZTmN\TX�V v � K� M³��[X6ZTm(Ñ�` Z i `A[ fI[ue-^#[ÝE jum v�v [uj ` [u\�F�E e6VYdIVW\?dIe i nTZÅݲm v�i `AUY[ i X-`MÐTfH[ fI[]eg` VYju[]XA[uV ` ZT[]e jum v ` i V v XiIv [u\TdI[-�rXgQTjLZ³`6Z i `bÝ � � VWX<[ÝE jum vTv [uj]`6[u\ iIv \³FJE egVWdIVY\popmIe i fI[ue-` [ � ð<m ç \T[]dIe6[][ `6ZTe6[][X6QTjLZ�` Z i `8X6nTUYVY`6`6V v d�m��Åð�V v Ý¥e6[uXgQTUY`6X8V v?i dIe i n�Z/Ñ8ZTVYjLZ�VYXd[ÝE j]m vTv []j]`6[u\ iIv \<FJE egVWdIVY\pMC|ZT[ÔXg`6e6QTj ` QTeg[Ôm ç `6ZT[cn i n�[ue|VWX i X ç mHUWUWm(Ñ8X]MP� v �N[uj]`6VWm v F@Ñ�[Ôeg[]fNVW[:Ñ []UW[ t [ v ` i eg^aeg[uXgQTUY`6Xm v egVWdIVY\TVY` ^��2Ñ�[A\T[:Ð v [A`6ZT[Ae6VYdIVW\�VY` ^ t i ` egmIVW\ m ç i dHe i nTZ iHv \�QTXg[lVY`3` mÇdIV fI[ jum t S�V vTi `6mIe6V i U\T[*Ð v VY`6VWm v X ç mHe7Ñ8ZT[ v�i dIe i n�Z�VYXle6VYdIVW\po®FJE egVWdIVY\4mIe iIv * E juVWegjuQTV `=MÇ� v ��[]j]` VYm v [�Ñ�[�jLZ i e(Ei j]`6[uegV s [�* E jum v�v [uj ` [u\�dIe i nTZTX~Ü dIe i nTZTXrÑ8V ` Z i j]m vTv []j]`6[u\³egVWdIVY\TVY` ^ t i ` egmIVW\¨à M���[]j]` VYm v �\T[uXgjuegVWS�[uX iIv \³[ � `6[ v \TX�UY[ t tri X ç egm t � K�'m v X6n�UWVY`g` V v d?m �§V v * E juVYe6j]QTVY`6XuM�� v ��[uj ` VYm v ��oÑ'[�QTXg[�` ZT[�jum v ju[]n�`Ôm ç iHv [ i el\T[]jum t n7mHX6VY`6VWm v m ç i?t i ` egmIVW\�` ma[ � `6[ v \�` ZT[�XgnTUWV `6` V v d�m �` ZT[]mIe6[ t m ç � K� ç egm t * E juVYe6j]QTVY`6X ` m * E jum vTv [uj]`6[u\�dIe i nTZTXuMÔ�³[�Q�X6[�` ZTVYXAV v �N[uj]`6VWm v .�`6mmIS�` i V v mIQTe i S�m�fI[ t [ v ` VYm v [u\ e6[]juQTegX6V fI[ j]m v X-` e6Q�j]` VYm v ç mIe`[ÝE j]m vTv []j]`6[u\aF�E e6VYdIVW\�dHe i nTZ�X iHv \ZT[ v ju[ÔX6mIU fI[Ôz [ v \Te6VYj!é_X6m v ! X,jum v "g[]j]`6QTe6[�M

� Ï��~Ï(Ì �~Ê����������@ÈÅÌ É���� Ê­Ï��~Ï(ÌÅÏ�É�� � �CɳÊ�Ë~Ï(Ì

� v ` ZTVYX�Xg[uj]`6VWm v Ñ'[4n�e6m�fI[ i´v Q t S7[]e�m ç nTeg[uUWV t V vTi e-^´UW[ trt i X iIv \ S i X6VYj4e6[]X6QTU ` Xuo t mIXg`m ç Ñ8ZTVYjLZ i e6[òé v m(Ñ v M +AQTe�dHm i U,VWXr`6m tri éH[�`6ZT[%n i n�[uerX6[]U ç E j]m v ` i V v [u\ iIv \ ` m¼dHVYfI[ iQ v V®Ðq[u\�n�VWj]`6QTe6[,m ç `6ZT[uXg[ ç e6[*þNQ�[ v ` U ^rQ�X6[u\aX-` i `6[ t [ v ` X]M +lQ�e�nTegm�m ç X i eg[ S i X6[u\am v � iIt iIv ! X` ZT[]mIe6[ t¥iHv \ÇQTXg[�m v U ^cdIe i n�Z ` ZT[]mIe6[ ` VYj i U i e6dHQ t [ v ` XuMP��m t ['m ç `6ZT[uXg[�e6[]X6QTU ` Xwj iIv S�[ ç mIQ v \V v � .�opKJF�o K .�opK���o®K�)�� M� []`;Ý á Üåä¡Þ�æ�à S�[ i dIe i nTZpM � []` ��S7[ i�v m v E [ t n�` ^¼XgQTSTXg[]`rm ç æ�o iIv \"! S7[a` Z�[

X6QTS�dIe i n�Z�m ç Ý V v \TQTju[]\�S ^a[]\TdI[cX6[ `���MP��[cX i ^a` Z i `#�¬VWX7ö�ëGFiØ��úØ*ëGFiØ*ë¨í7V ç�%$MÜ"�à # F ! � ! � [ ç mIe i UWU � ��ä~Ü&!Åà1Ñ8V ` Z ! � ! ] F)( Ü FOà

C|ZT[|[ t n�` ^ X6[]`PVWX i UYX6mA\�[*Ð v []\ `6mlS7['V v \T[]n7[ v \T[ v `uMPC|ZT[7Õ,ö¢ì^ö:FOö[í bb×~Ö�í[Õ|Ú^ö:F(' Ü�Ýbà¡á ÜJæ;Þ&)�àVWX|\T[:Ð v []\<m v ` Z�[Ô[]\TdI[ÔX6[ ` m ç Ý©S ^

) á+*,� �Aæ²���VYX|V v \T[]n7[ v \T[ v ` V v Ý.- (Cwm X6[u[�`6Z i `/' Ü�ÝbàÍVWXwV v \�[u[u\ iAtri ` e6mHVW\po�Ñ'[|XgZ i UYUNfH[ue6V ç ^c` Z i `w` ZT[ ç mIUWUYm�Ñ8V v d8` ZTeg[u[ t i ` egmIVW\i�� VWm t X i e6[aX i ` VWX Ðq[u\ MAÜ _qmIeÉS i X6VYj tri ` e6mHVW\´\T[:Ð v V ` VWm v X v mH`ÇdIVYfH[ v ZT[ueg[a` ZT[aeg[ i \T[]e tri ^jum v X6QTU `|` ZT[cS�m�m�é#� K�[ ��M àÜ�,³K(à(0;ñ1),oÜ�,%FOà'V ç32 & � ñ4) `6ZT[ v 2 ñ1),oÜ�,�[�à ç mIe []fH[ueg^<æ+ �Xæ0`6ZT[ t i�� V t i UpV v \T[un�[ v \T[ v `lXgQTSTX6[ ` Xlm ç æ+ pZ i fH[ ` Z�[ X iHt [Ôj i eg\TV EvTi UYVY` ^IM� []`\Ýâá Üåä¡Þ�æ�à�S�[ i dHe i nTZ M`_}mHe �EÞ 2 Þ�5 &�ä o�UY[]`1æYÜ�� àRS�[ `6ZT[ Xg[]`|m ç [u\TdI[]X�m ç Ý � ����o

Ó Ü��òÞ 2 à¡á ! æYÜ��76 2 à � ÜJæ�Ü��à86~æYÜ 2 à|à ! o iHv \ Ó Ü��EÞ 2 Þ�57à¡á ! æYÜ��76 2 6157à � ÜJæ�Ü��à96æYÜ 2 à:6/æ�Ü;57à�à ! MR��[Ô\�[*Ð v [c` Z�[^FiØ�ì^Õ|Ø!Ø|m ç � S ^ Ó Ü��à�á Ó Ü��EÞ,ä � �à M3C|ZT[Ô\T[udHe6[u[Ôm ç ifI[]eg` [ � ð�VWX|XgV t nTUY^r\T[ v mH` []\<S ^ Ó ÜJð�à MP��[cX6Z i UWU v [][u\�` ZT[ ç mIUYUWm(Ñ8V v d [�þ_Q i UYVY` VY[uX]oúÑ8ZTVWjLZ i eg[[ i X-^�` m jLZT[]j!é�S ^aj]mIQ v ` V v d�` ZT[cj]m v ` e6VYSTQ�`6VWm v m ç iIv [u\TdH[Ô`6m [ i jLZ�m ç `6ZT[uVYe�`�Ñ'mrX6VY\T[uX]M

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 6: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ������� � �� �����C�����"���]���b� � � � � �R�����C��� ���,� �z����C� �

� 2�7 7��6�Y9 869�� Ø�í�Ý �!Ø�Ö�ì^Õ�Ö��¨î/ÖOëGF+�òÞ 2 ��ä;Ü�ÝbàV��=î�Ø*ë�|Ü��à , ��Ü 2 à , Ó Ü��EÞ 2 à¡á ��Ü�� 6 2 à , �|Ü���� 2 à ( Ü [�à

� 2�7 7��6�Y9 �Y9�� Ø�í�Ý �!Ø�Ö�ì^Õ�Ö��¨î/ÖOëGF+�òÞ 2 Þ 5 ��ä�ÜJÝ@àMV�=î�Ø*ë��Ü"�à , �|Ü 2 à , ��Ü&57à , Ó Ü��EÞ 2 Þ 57à á �|Ü�� 6 2 6�57à , ��Ü"�� 2 à , �|Ü�����57à ,

�|Ü 2 � 57à��6�|Ü���� 2 ��5Mà (��[AX i ^�` Z i `'` Z�[ dIe i nTZ ! á Ü�ä�Þ��@àRVWX * E�ö�ëGFiØ��úØ*ëGFiØ*ë¨í}V ç �ÚVYX�V v \T[]n7[ v \T[ v `|V v ' Ü%!Åà M

�³[cj i UWU i Xg[]` � ��ä ø*Õ,ö[í[öJø�Ö�ê�V ç �|Ü��à¡á F ! � ! � [ ZTmHUW\TX]M� 2�7 7��6�Y9� Y9�� Ø�í ! álÜåä¡Þ��@à �!Ø * Uåö�ëGFiØ��úØ*ëGFiØ*ë¨í1ÖOëGFYê®Ø�í �òÞ 2 &¤ä �!Ø�ø*Õ,ö[íKöJø�Ö�ê B�Ø�í�Bªö�ë! Ù¡ö[í[î ! ��� 2 ! ] FHV��=î�Ø*ë ��� 2 ÖOëGF+� 6 2 ÖOÕ|Ø�Ö�ê B�ÚYø*Õ,ö[í[öJø�Ö�ê D­ÖOëGF Ó Ü��òÞ 2 à¡á»G V� 5�4Y4���� ��V v ju[ ! VYX * E V v \T[un�[ v \T[ v `=o2Ü FOà'ZTmIUW\�XuMR��^ Ü [�à1Ñ�[ÉZ i fH[F ! � ! � [ , F ! 2 ! � [Cá �|Ü��à , ��Ü 2 à�á ��Ü"��� 2 à , ��Ü�� 6 2 à�� Ó Ü��òÞ 2 à$#F ! ��� 2 ! � [ , F ! � 6 2 ! � [ � Ó Ü��òÞ 2 àòá F ! � ! � [ , F ! 2 ! � [ � Ó Ü��òÞ 2 à (3C|Z_QTXÓ Ü��òÞ 2 à@á¶G iIv \´[*þNQ i UWV ` ^�Z�mIUW\TXÔ[]fH[ue-^�Ñ8Z�[ue6[�M%C|ZT[ueg[ ç mIeg[ ��� 2 iHv \ � 6 2 i e6[ i UWXgmjuegVY` VYj i U M �� 2�7 7��6�Y9�� 9�� Ø�í³ÝâálÜåä¡Þ�æ� pà �!Ø�ÖHì^Õ�Ö��¨î]Ù¡ö[í[î ! æ� ! ] K]ÖOëGFYê®Ø�í�� � æ+ g�!Ø�Ö�×~Ö �^ö�×~Ö�êö�ëGFiØ��úØ*ëGFiØ*ë¨í B,õ]��B�Ø�í�Ú�Ô�æ+ �V�=î�Ø*ë

! � ! á t V v * �� � ���Ü�F ! ��! � [�à - Ü ��à

Ù¡î�Ø*Õ|Ø@íKî�Øb×�ö�ë�ö�×�õ�× öCBCí�ÖOÛ^Ø*ëÿÚ^÷^Ø*ÕbÖ�ê�ê�ø!ÚOê�ê®Ø!ø�í[öJÚ^ëHBbÚ�Ô B,õf��B�Ø�í B * � � Þ � & Þ ( ( (�Þ � � -EÚ�Ô�ä~Ü�ÝbàB,õ�ø*î�í[î�Ö�í�*�æYÜ�� � à,Þ�æYÜ"� & à:Þ ( ( (�Þ�æ�Ü�� � à�- ��ÖOÕ*í[ö[í[öJÚ^ëHB�æ+ :V� 5�4Y4���� �NV v j][��0VWXlV v \T[]n7[ v \T[ v `uo=Ñ�[�Z i fI[ ! � �òæYÜ"� � à ! # F ! � � ! � [ ç mIe i UWU�K # � #"! MC|Z_QTX ! � ! #$# �� ��� Ü F ! �

�! � [�à ç mIe iIv ^�jumIUYUW[uj ` VYm v m ç XgQTSTXg[]` X * � � Þ � & Þ ( ( (®Þ � � -�X i ` VYX ç ^NV v d` ZT[cZ ^Nn7m�` ZT[]X6VWX,m ç ` ZT[cUY[ t tri MCÍmXg[u[�`6Z i `?[*þNQ i UWV ` ^ j iIv S�[ i `6` i V v []\po UY[]` ! S7[%` Z�[�XgQTSTdIe i nTZ m ç Ý"V v \TQTj][u\ S_^� M�y'm v X6VY\T[ueÔ` ZT[ tri�� V tri U�jue6V ` VYj i U�Xg[]` X�� � Þ � & Þ ( ( (®Þ � � V v !³M?��^ � [ t t i FNM [�Ñ'[�Z i fH[! �

� ���&% ! # K ç mIe i UYUÕK+# �('*)-#+! M3��V v j][A[]fH[ue-^�X6V v dIUY[ []\TdI[lm ç ��V v \�QTju[]X i juegVY`6VWj i U�Xg[]`uoVY` ç mHUWUWm(Ñ8X�`6Z i `�*�æ $MÜ"� � à,Þ�æ $MÜ"� & à:Þ ( ( (®Þ�æ $MÜ"� � à -ÉVWX i n i e-` VY`6VWm v m ç ��M�C|Z_QTX! � ! á ��

�! æ#$�Ü��

�à ! á

���Ü�F ! ��! � [�à (

Cwm�jum t nTUY[]`6[Ç` ZT[�nTegm�m ç Ñ�[rXgZTm(Ñ ` Z i `.*�æ �³Ü"� � à:Þ�æ �³Ü�� & à,Þ ( ( (®Þ�æ �³Ü�� � à -rVWX i n i e-` V ` VWm v m çæ+ WM y'Z�m�mIXg[bï¨ð�ñæ+ )�,� M,��V v ju[���VWX i�t i�� V t i UpV v \T[un�[ v \T[ v `lXgQTSTX6[ `Am ç æ+ o-� , ï¨ð�VYX\T[un�[ v \T[ v `=M3C|Z_QTX�` Z�[ue6[ [ � VWX-` X i Xg[]`$�'��ä¥X6Q�jLZ?`6Z i `�ï�Þ|ð�ñ�� iHv \ �&$MÜ��à¡á F ! � ! �a[�Mz [ v ju[�� VWX i j]e6VY`6VWj i U7Xg[]`,V v !�M�C|ZTVWX|V t nTUYVW[]X�` Z i `$�'� ��iHv \?ZT[ v j][ªï5ð;ñòæ �¡Ü��

�à ç mIe

X6m t [�K�# � #+! M �� ` ç mIUWUYm(Ñ8X ç e6m t ` Z�[,\�[*Ð v V ` VYm v m ç V v \�[un�[ v \T[ v ju[8` Z i `�' Ü�ÝbàwX i ` VWX Ðq[uX i�� VYm t X\Ü�,³K�à iHv \

Ü�,%FOà M � [ t tri F�M ��V t nTUWVY[uXR` Z i `(' Ü�Ýbà i UYX6mÇX i ` VYX�Ðq[]XªÜ�,�[�à M�� ` i UYX6mÇ\T[ ` []e t V v []X'` ZT[le iIv éç Q v j ` VWm v m ç ' ÜJÝ@à oúÑ8ZTVWjLZ�Ñ�[ÉXgZ i UWU \T[ v m�` [cS ^/. �%mIe8X6V t nTU ^�S ^0.NM

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 7: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

� � � �I � ,����� ,�@� ���C�����"���]� � .

� 465�4���� ��5�� �Y9Y9�� ö�ÕEB:í � Ø�í©Ýâá Ü�ä�Þ�æ�à9�!ØCÖbì^Õ�Ö��¨î�V �=î�Ø*ë ' Ü�Ýbà#öCB7ÖH×~Ö�í[Õ|Ú^ö:F�D�ö�ë/Ù¡î�öJø*îíKî�ØbÕ�ÖOë�Û~Ú�ÔCÖ~ëUÚ^ë6U Ø*×s�5í:b B�Ø�í2æ �Aæ Ú�ÔCØQF�ì�Ø�BröCBMì^ö�÷^Ø*ë �Mb

.�ÜJæ à�á t V v * �� � ���Ü F ! ��à ! � [�à -

Ù¡î�Ø*Õ|Ø�íKî�ØM×�ö�ë�ö�×�õ�×löCB#íJÖOÛ^Ø*ë<Ú^÷^Ø*ÕMÖ�ê�ê�ø!ÚOê�ê®Ø!ø�íKöJÚ^ëHBMÚ�Ô B,õf��B�Ø�í B * � � Þ5� & Þ ( ( (*Þ � � -;Ú�Ô­Ý B,õ�ø*îíKî�Ö�í�*�æYÜ"� � à:Þ�æ�Ü�� & à,Þ ( ( (*Þ�æYÜ"� � à - ��ÖOÕ:íKö[í[öJÚ^ëHB#æ+ �V��[|X i ^ `6Z i ` i dIe i nTZHÝâáãÜåä¡Þ�æ�àwVYX�Õ,ö¢ì^ö:F|V ç .�ÜJæ�à¡á»F ! ä ! � [AV v Ü%' à*ÜJÝ@à M�C|ZT[|dHe i nTZHÝVWX�×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb@Õ,ö¢ì^ö:F V ç VY`�VWX3e6VYdIVW\ iIv \ ! æ ! á F ! ä ! ��[�MPC|Z_QTXuoTV ç Ý�VWX3e6VYdIVW\ iIv \4! á Üåä¡Þ�æ à

VWX i Xgn iIvTv V v drX6QTSTdHe i nTZ<m ç Ý�o}`6ZT[ v ! VWX t V v V tri UWUY^ egVWdIVY\�V ç iIv \<m v U ^?V ç æ VWX i S i Xg[ V v' Ü�Ýbà MwC|ZT[umIeg[ t KIM Fc[ v X6Q�e6[uX3` Z i `3`6ZT[uXg[ \�[*Ð v V ` VYm v X i dIeg[u[£Ñ8VY`6Z `6ZT[8V v ` QTV ` V fI[8\T[*Ð v VY`6VWm v Xç mIe|e6VYdIVW\�VY` ^ dIVYfH[ v V v ��[]j]` VYm v KIMÒ� _E�B�Ø���ÖOÕ�Ö�í[öJÚ^ë�m ç i dHe i nTZ ! á Ü�ä�Þ�æ�à�VWX i n i VWerÜ%! � Þ�! & à'm ç [u\TdI[ E \TVYX "gmIV v `|X6QTS�dIe i n�ZTXm ç Ý [ i jLZ�Ñ8VY` Z i `�UW[ i Xg`� , K�fI[]eg`6VWju[]X�X6QTjLZ�` Z i `�! á ! � 6 ! & iIv \ ! ä;Ü&! � à �rä�Ü%! & à ! á� 7MC|ZT[ÇdIe i nTZ ! VWX,X i VY\�`6m�S7[� U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQFÉV ç VY` Z i X i ` UY[ i X-`� , K fI[]eg` VYju[]X iIv \4Z i X v m )IEX6[]n i e i ` VWm v ç mIe i UYU�G�# ) #� ��KIM�� ç Ü%! � Þ�! & à VWX i E X6[]n i e i ` VYm v m ç !³oP` Z�[ v Ñ'[?X i ^` Z i `bä�Ü&! � à �ÿä�Ü%! & àAVWX i U B�Ø���ÖOÕ�Ö�íåÚ^Õ m ç !³M _qmIe � ��ä�UW[ `���Ü"�àA\T[ v m�` [�` ZT[�Xg[]`Ôm ç

ëUØ*ö¢ì^îI�!Ú^õ�ÕEB�m ç � Ü ` Z i `8VWXuo���Ü�� à|� á *�ð;ñ ä � � ��ï¨ð;ñòæ ç mIe|X6m t [ªïEñ � -^à M

����� � ��� ��!#"�$�$&%#'���()��*+(,'-"/.�021

�³[rÐqegXg`,V v fH[uXg`6VWd i ` [A` Z�[Ôj]m vTv []j]`6VYfNVY` ^?nTegmIn�[ueg`6VW[]X|m ç t V v V t i UWU ^�e6VYdIVW\adIe i nTZTX]M� 2�7 7��6�Y93Y9�� Ø�í�ÝâáãÜåä¡Þ�æ�à �!Øb×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb~Õ,ö¢ì^ö:F;Ù¡ö[í[î ! ä ! ] [ V�=î�Ø*ëK ÖMLCÝ öCB F�U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF�VK �RL�Ô*Ú^ÕMØ*÷^Ø*Õ�b 0 �á �'&�äüÙ1Ø�î�ÖO÷^Ø Ó Ü"�à ] FYÖOëGFbö Ô Ó Ü��à¡á F;î�ÚOêIF�B�í[î�Ø*ëòØ*ö[í[î�Ø*Õ ! � ! á�KÚ^Õ ! ä � � ! á�K�D

� 5�4Y4���� ��QTnTn�mIXg[�` Z i ` ç mIe�Xgm t [ðüñ ä `6ZT[�dIe i n�ZXÝ �âð VWX�\TVYX6jum vTv [uj ` []\ iIv \ UW[]`4 665ÑS�[ i n i eg` V ` VYm v m ç ä �¶ðEÑ8V ` Z Ó Ü 4 Þ75�àrá²G�M�C|ZT[ v Ü F�àAdIV fI[uX ! æ ! á0F ! ä ! � [�á��Ü 4 , ð�à , ��Ü85 , ðúà # F�Ü ! 4 ! , K�à ��[ , FúÜ ! 5 ! , K�à � [7á FúÜ ! 4 ! , ! 5 ! , K�à �<�ªá F ! ä ! �<�Toi jum v ` e i \TVYj]` VYm v M�C|ZTVYX|nTe6m�fH[uX�Ü i à M9 XgV v d<Ü i à o�Ñ�[ÉZ i fH[ Ó Ü�� à ] F ç mIe|[]fH[ue-^ 0 �á � &�ä M���Q�nTn7mHX6[ ! � ! Þ ! ä � � ! ] F�M3��^

Ü F�à£Ñ'[�mHS�` i V v ! æ ! á ��Ü"�à , �|Üåä ���à ,¶Ó Ü��à #ÚF ! � ! � [ , F ! ä � � ! � [ ,ûÓ Ü��à£áF ! ä ! �6. , Ó Ü�� à¡á ! æ ! � [ , Ó Ü��à M�C|ZTVWX|V t n�UWVW[]X Ó Ü��à ] [ iIv \�nTegm�fI[uXbÜ S�à M �� []`1ðÇS�[ i fI[]eg` [ � V vri dIe i nTZ;Ý Ñ8V ` Z Ó ÜJð�à¡á [ iIv \:��ÜJð�à�á *�ï=Þ Þ � -_M�D,[]j i UYUT` Z i `3` Z�[mIn�[ue i ` VWm v B �5êÂö[íKí[ö�ë�ìÚ54 t [ iIv XÔ\T[uUY[]`6V v d�ð Ü iHv \�`6ZT[�[]\TdI[]XÉV v juVY\T[ v `Ô` m/ðúà iIv \ i \T\�V v d i

v [*Ñ []\TdI[�o�X i ^~ï o_j]m vTv []j]` V v dÉ`�Ñ�m v m v E i \ " i ju[ v `3fI[]eg`6VWju[]X'm ç ��ÜJð�à MPC|ZT[ eg[uXgQTUY`6V v dÔdIe i nTZVWX�\T[ v mH`6[u\�S ^~Ý ;=<> iIv \HÑ'[,X i ^Ç`6Z i `R` Z�[,XgnTUWV `6`6V v dlVYX tri \�[CÚ^ë�íKî�Ø>��ÖOö�Õ³ï¨ð¨Þ ð�Mw� m�` [|` Z i `ð�j iIv S�[cX6nTUYVY`|m��%V v?i ` t mIXg`|`6ZTe6[][É\�V��7[ue6[ v `£Ñ i ^NXuM� []`CÝ á Ü�ä�Þ�æ�à S�[ t V v V t i UWU ^�egVWdIVY\ iIv \%UY[]`rð?S�[ i fI[]eg` [ � Ñ8VY`6Z Ó ÜJð�à�á [�M ��nTUWV `6`6V v dm �òð�m v `6ZT[ln i VYe�ï¨ð¨Þ ð�VYX'X i VW\�`6mÇS7[ B,õ�ö[íJÖ7��ê®Ø'V ç Ý ;?<> VWX t V v V t i UWU ^ egVWdIVY\pMw��[ i UYX6mÇj i UWU i

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 8: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

� � � �I � ,����� ,�@� ���C�����"���]� � ~

fI[]eg` [ � ð^B,õ�ö[íJÖ7��ê®Ø'V ç `6ZT[ueg[ VYX iIv X6QTV ` i STUY[8X6nTUYVY`6`6V v d i `1ð}M��³[ X6Z i UWU}X6ZTm(Ñ ` Z i `'[ fI[]eg^ fI[ue-` [ �m ç \T[udIeg[u[l` Z�e6[u[ÔV v?i�t V v V tri UYUY^�egVWdIVY\�dIe i nTZ�VWX|X6Q�VY` i STUW[�M� 2�7 7��6�Y9�� 9�� Ø�í¡Ýlá�Üåä¡Þ�æ�àu�!Ø�×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb~Õ,ö¢ì^ö:F�ÖOëGF�ê®Ø�í �òÞ 2 Þ 5 &âä �!ØHø*Õ,ö[í[öJø�Ö�ê B�Ø�í�Bö�ë�Ý Ù¡ö[íKî ! � � 2 ! á ! � � 5 ! á ! 2 � 5 ! á�K]ÖOëGF+� � 2 � 5 á 06V��=î�Ø*ë � 6 2 6 5üöCBø*Õ,ö[íKöJø�Ö�ê D­ÖOëGF Ó Ü"�òÞ 2 Þ 57à¡á G V� 5�4Y4���� ��V v ju[AÝ VWX t V v V t i UWU ^»egVWdIVY\ iIv \ mIQTe�X6[]`6X i e6[§jue6V ` VYj i U o � [ trt i F�M F dIV fI[]XF ! � ! � [ , F ! 2 ! � [ , F ! 5 ! � [ , Ó Ü��òÞ 2 Þ 5Mà¡á ��Ü"�à , �|Ü 2 à , ��Ü&57à , Ó Ü��EÞ 2 Þ�57à #��Ü"� 6 2 6 5Mà # F�Ü ! ��6 2 6 5 ! à � [�á FúÜ ! � ! , ! 2 ! , ! 5 ! � [�à �N[@á F ! � ! � [ , F ! 2 ! � [ , F ! 5 ! �N[)(z [ v ju[ Ó Ü��òÞ 2 Þ 5Mà¡á G iIv \?[�þ_Q i UYVY` ^�ZTmIUW\�X,[ fI[]eg^iÑ8ZT[ueg[HM�C|ZNQ�X � 6 2 6�5 VYX|jue6V ` VYj i U M �� 2�7 7��6�Y9��Y9�� Ø�í2ð �!Ø@Ö�÷^Ø*Õ:í�Ø��;ö�ë ÖOëÅ×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcbHÕ:ö¢ì^ö:F�ì^Õ|Ö��¨î�Ýâá Üåä¡Þ�æ�àVK ÖML A Ô Ó ÜKðúà¡á F<í[î�Ø*ë�Ý � ðÅöCBr×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcbHÕ,ö¢ì^ö:F�VK �RL A Ô Ó ÜKðúà¡á [Eí[î�Ø*ë]ðÅöCB B,õ�ö[íJÖ7��ê®Ø�V� 5�4Y4���� O i eg`]Ü i à ç mHUWUWm(Ñ8XÉ[ i XgVWUY^ ç egm t Ü�F�à iHv \ ç e6m t ` Z�[a\T[*Ð v VY` VYm v m ç t V v V tri UWUY^�e6VYdIVW\dIe i nTZTXuMCÍm´nTe6m�fH[ùÜ S�à UW[ ` ��ÜJð�à�á *�ï=Þ Þ � -_M � `rVWX [ i X-^2` m³Xg[u[�` Z i `�X6nTUYVY`g` V v d�m�� ð¼m v ` Z�[n i VYe]ï5ð¨Þ ð§VYX v mH`�X6QTV ` i STUY[%V ç iIv \ m v UY^ V ç ` ZT[]e6[�[ � VWX-` X i j]e6VY`6VWj i UAX6[ ` � & ä Ñ8VY`6Zï=Þ ñ � iIv \ ð¨Þ ���ñ �¼M Ò UYX6m�mISTX6[]egfH[�`6Z i ` v m�jue6V ` VYj i U�X6[]`45'� ä � ð´j iIv X i ` VYX ç ^Ó ÜJð¨Þ 57à ] [�o�X6V v ju[�mH` ZT[]e�Ñ8VYX6[]æYÜJÝ^� 5 6"*�ð9-���àcVWX v mH`ÇV v \T[un�[ v \T[ v `�V v Ý o�j]m v ` e i \TVWj ` V v d` ZT[ ç i j]`�` Z i `ùÝ VYX t V v V tri UWUY^ e6VYdIVW\ M C|Z_QTX¼V ç ð�VWX v mH`´XgQTVY` i STUY[` Z�[ v ` Z�[ue6[§[ � VWX-`tri�� V tri U�juegVY`6VWj i U�X6[ ` X � ;?< Þ � ;�� Þ � <�� &�ä �]ðÇ[ i jLZ�jum v ` i V v V v dcnTeg[ujuVYX6[]UY^Ç`�Ñ�m v []VWdIZ_S�mIQTegXÜ *�ï=Þ -iÞ *�ï=Þ � -iÞ * � -_oÉeg[uXgnpMÂà m ç ð}M �3^ � [ trt i F�M [ iIv \Ú`6ZT[ t i�� V t i UYVY` ^ m ç `6ZT[uXg[X6[ ` XEÑ�[ t QTX-`4Z i fI[ ! � ;?< � � ;�� ! á ! � ;=< � � <�� ! á ! � ;�� � � <�� ! á KHM�C|Z_QTXuoÉS_^� [ t tri F�M ~ ` ZT[ÉX6[ ` 2 � á � ;=< 6 � ;�� 6 � <� VWX i UWXgm�j]e6VY`6VWj i U�M8�NV v j][���ÜKð�à � 2 o5Ñ'[ÇZ i fH[Ó ÜJð¨Þ 2 à ] [�M�C|ZTVYX�VWXPV t n�mIX6XgVWSTUY[�S ^�mHQTePnTeg[]fNVWmIQ�X�mISTX6[]egf i `6VWm v MwC|ZT[ueg[ ç mIeg[£ð VYXPX6QTV ` i S�UW[HM��C|ZT[ t V v V tri UYUY^�e6VWdHVW\<dHe i nTZ �0� � ��X6Z�m�Ñ8Xl`6Z i ` iIt m v d�`6ZT[Ç` Z�e6[u[�n�mIXgX6VWS�UW[ÇXgnTUWV `6` V v dIX

i ` i fI[]eg` [ � m ç \�[udIeg[u[l` ZTeg[u[c` ZT[]e6[ t i ^�S7[cm v UY^�m v [rÑ8ZTVWjLZ�VWX|XgQTVY` i STUW[�M��[ v m�Ñ©\T[*Ð v [ `6ZT[�e6[ fI[uegX6[ mIn�[ue i ` VWm v Xlm ç fI[ue-` [ � \T[uUY[]` VYm v%iIv \�fI[]eg`6[ � X6n�UWVY`g` V v d�QTXg[u\V v � [ t tri F�M ��M�C|ZT[ÉmHn7[]e i `6VWm v G�U Ø��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ë i \T\TX irv [:Ñ fI[]eg`6[ � ð iIv \�`�Ñ'mr[u\TdH[uX#ð�ï=Þ�ð Ñ8VY`6Zùï �á M%C|ZT[�mHn7[]e i `6VWm v K U Ø��OíåØ*ëHB,öJÚ^ë�XgQTS7\�VYfNVW\T[]X iIv []\TdI[Yï S ^ i%v [*Ñ fI[]eg` [ � ðiIv \ i \T\TX i�v [*Ñ []\TdI[Cð � ç mIe8X6m t [ � �á ï=Þ M�Ò v Ø��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ë�VYX,[]VY`6ZT[ue i GJE [ � `6[ v XgVWm v mIe iK]E [ � ` [ v X6VWm v M�C|ZT[ v [ � `,UW[ trt i ç mIUWUYm(Ñ8X�[ i XgVWU ^ ç e6m t Ü FOà M� 2�7 7��6�Y9�Y9�� Ø�í¨Ý �!Ø�×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcbMÕ,ö¢ì^ö:FbÖOëGFCê®Ø�í¨Ý� y�!ØMÚ���íJÖOö�ëUØQF�Ô!Õ|Ú^× Ý �MbCÖOë]Ø��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ë V�=î�Ø*ë�Ý� �öCBª×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb�Õ,ö¢ì^ö:F�V/1032�465�2�7 �Y9:8�� 9�� Ø�í¡Ýlá�Ü�ä�Þ�æ�àu�!Ø@×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb�Õ,ö¢ì^ö:F�ÖOëGF�ê®Ø�í�Ý á Ü�ä Þ�æ à �!ØHÖY×�ö�ë�ö U×~Ö�ê�êcb�Õ,ö¢ì^ö:F B,õf��ì^Õ�Ö��¨îbÚ�Ô=Ý V �=î�Ø*ëªÝ ø�ÖOë �!Ø£Ú���íJÖOö�ëUØQF2Ô!Õ|Ú^×�Ý ]�Mb7Ö B�Ø�ô�õ�Ø*ëUø!Ø£Ú�Ô­Ø��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ëHBV� 5�4Y4���� ��[4XgZ i UWU,nTegmJfH[4` Z i `]Ý j iIv S�[4mIS�` i V v [u\ ç egm t Ý S ^ i X6[*þNQ�[ v j][�m ç fI[ue-` [ �X6nTUYVY`g` V v dIX iIv \ \T[]UW[]`6VWm v X�m ç fH[ueg`6VWj][uX�Ü m ç \T[udHe6[u[8`�Ñ�mià M�C|ZT[8` Z�[umIeg[ t Ñ8VYUWU�`6ZT[ v ç mIUWUYm(ѧXgV v j][` ZT[]X6[ i e6[A`6ZT[cV v fI[]e6Xg[ÉmIn�[ue i ` VYm v X|m ç [ � `6[ v XgVWm v X]M

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 9: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

� � � �I � ,����� ,�@� ���C�����"���]� � �

C|ZT[�nTegm�m ç VWX S ^�V v \�QTj]`6VWm v m v ! ä �¶ä ! Ml��V v j][�Ý VWX t V v V t i UWU ^�egVWdIVY\po}VY` t QTXg` S7[ iIvV v \�QTju[]\�XgQTSTdIe i nTZ�m ç Ý�M�C|Z_QTXÔ`6ZT[�` ZT[]mIe6[ t ZTmIUY\TXA` egVYfNV i UWUY^�Ñ8ZT[ v ! ä �Aä ! á²G�M�� m(ÑX6QTn�n7mIXg[ ` Z i ` 2 áãä �¶ä �á 0TMl�NV v j][�Ý� iIv \òÝ i e6[ t V v V t i UWU ^�egVWdIVY\poqVY` VWX,[ i X-^�`6m�X6[][` Z i ` ! æ �Åæ� ! á»F ! 2 ! ZTmIUW\�XuM�C|ZT[]e6[ ç mHe6[Ho�V ç ! 2 ! á¥KIoN` ZT[ v Ñ'[ t QTXg`�Z i fI[ Ó ÜJð�à¡á»F ç mHe�` Z�[Q v V¢þNQ�[ÉfI[]eg`6[ � ð/ñ 2 M,z,[ v j][Ho S ^ � [ t tri F�M ��Ü i à o5Ý � ðaVWX i�t V v V tri UYUY^ e6VYdIVW\?XgQTSTdIe i nTZm ç Ý Ñ8ZTVYjLZ�j]m v ` i V v X�Ý� iIv \?Z i X ! ä�Ü�Ý ��ð�à �ùä� ! ' ! ä �ùä� ! o iHv \a` ZT[A`6ZT[umIeg[ t ç mIUWUYm�Ñ8XS ^aV v \�QTj]`6VWm v M�C|Z_QTX�Ñ�[ t i ^ i XgX6Q t [l` Z i ` ! 2 ! ] F�M� � ���:7 �Y9 868G9<A Ô ! 2 ! ] F<íKî�Ø*ë # >���� Ó ÜJð�à # � ! 2 ! � [HV� 5�4Y4���� ��V v ju[ ! ä ! ] F iIv \ ! ä � ä� ! ] FNo�Ñ'[cj iHv�i n�nTUY^ � [ trt i F�M .�Ü S�à�` m�\T[u\�QTju[c` Z i `Ó Ü 2 à ] [�M3�NV v j][���Ü 2 à , Ó Ü 2 à­á ! æ � æ� ! á F ! 2 ! oúÑ'[cmIS�` i V v

�>����

Ó ÜKð�à¡á»F �|Ü 2 à , Ó Ü 2 à¡á � ! 2 ! � Ó Ü 2 à # � ! 2 ! � [%(

�� ` ç mIUWUYm�Ñ8X ç egm t y'U i V t F�M KIK;Ü iIv \ ç e6m t ` ZT[ ç i j]`8`6Z i `,` ZT[ t V v V t Q t \T[]dIe6[][ÉV v Ý�VYX i `UW[ i Xg` `�Ñ'mià `6Z i `A`6ZT[ueg[ÇVWX i fI[ue-` [ � ðÅñ 2 Ñ8V ` Z�F # Ó ÜKðúà # [�MÔ�,m�Ñ � [ t t i F�M ��V t nTUWVY[uX` Z i `'[]VY` Z�[ue1Ý �/ðÇmIe]o ç mIeRXgm t [,[u\�dI[uX1ð�ï=Þ�ð oiÝ ;=<> VWX i t V v V t i UWU ^ce6VWdHVW\�nTe6mHn7[]e�XgQTSTdIe i nTZm ç Ý Ñ8ZTVWjLZ�jum v ` i V v X�Ý M�Ò X i S7m�fI[�oT` ZT[l`6ZT[umIeg[ t ç mIUYUWm(Ñ8X�S ^?V v \TQTj]`6VWm v M ���^<jLZTm�mHX6V v d]Ý ` maS�[ iIv4i egSTVY`6e i e-^�[u\TdI[�m ç Ý Ñ�[�mIS�` i V v `6ZT[ ç mIUYUWm(Ñ8V v d jum v Xg`6e6QTj ` VYfH[jLZ i e i j]`6[ue6V sui `6VWm v m ç t V v V t i UWU ^8e6VYdIVW\ldIe i nTZTX1Ü j i UWUY[u\l` Z�['z,[ vTv []S7[]e6dAmHewz,[ vTv [uS�[ue6dÝE � iIt iIvjum v Xg` egQTj]`6VWm v oqjHM ç M � K�G�o®KIKM� à M

� 465�4���� ��5�� �Y9 8)� 9 ÝXá Üåä¡Þ�æ�à�öCB�×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcbCÕ,ö¢ì^ö:F�ö ÔMÖOëGFHÚ^ë¨êcb@ö Ô­Ý ø�ÖOë �!تÚ���í�ÖOö�ëUØQF\Ô!Õ|Ú^×� & �Mb�Ö B�Ø�ô�õ�Ø*ëUø!Ø�Ú�ÔCØ��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ëHBV/1032�465�2�7 �Y9:8 Y9�� Ø�í¡Ý � á�Üåä � Þ�æ � à@ÖOëGF�Ý & álÜ�ä & Þ|æ & à �!Ø�í[Ù1Ú�×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb;Õ,ö¢ì^ö:F~ì^Õ�Ö��¨î BÙ¡ö[íKî ! ä � �ä & ! ] FHV �=î�Ø*ëÅÝ � 6Ý & öCB@Õ,ö¢ì^ö:F�V�� Ú^Õ|Ø!Ú^÷^Ø*ÕED�ö ÔrÝ � � Ý & öCB�×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb]Õ,ö¢ì^ö:FíKî�Ø*ë/Ý � 6EÝ & öCBr×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcbHÕ,ö¢ì^ö:F]Ö�BrÙ1Ø�ê�ê V� 5�4Y4���� � []` �� �S�[ iÔtri�� V tri UNV v \T[un�[ v \�[ v `'Xg[]`3V v ' ÜJÝ � �CÝ & à M � []` � � S�[8`6ZT[8jum t nTUY[]` [dIe i nTZ<Ñ8V ` Z?fI[ue-` [ � Xg[]`ªä~Ü�Ý � �EÝ & à iIv \ �²S�[ i S i XgVWX,m ç ' Ü � � à|jum v ` i V v V v d � WM � []` !S7[ i t V v V t i UWU ^ egVWdIVY\�X6n iHvTv V v d�X6QTSTdHe i nTZ?m ç Ý & , Ü � � � �à­Ñ8ZTVWjLZ?j]m v ` i V v X � M3�NQTjLZ iIv! [ � VWXg`6XuoÍX6V v ju[;Ý & o iIv \³ZT[ v ju[;Ý & , Ü � �+� à oÍVWXcegVWdIVY\pM/Ü CÍm�Xg[u[�` Z i `&� iIv \ ! [ � VWX-`Ñ'[�QTXg[ `6ZT[ ç i j]`l`6Z i ` iIv ^%V v \T[]n7[ v \T[ v `ÉX6[ `ÉV v�i�t i `6e6mIVY\%j iIv S�[ [ � ` [ v \T[u\³`6m i S i X6VYXuM à� m(Ñ C|Z�[umIeg[ t F�M K�GÇV t nTUYVW[uX3` Z i ` ! j iIv S7[cmIS�` i V v [u\?S ^ i X6[�þ_QT[ v ju[ m ç [ � ` [ v X6VYm v X ç e6m tÜåä � ��ä & Þ��bà MPC|ZT[,X iHt [,X6[*þNQ�[ v j][Am ç [ � `6[ v XgVWm v Xuo i nTnTUYVW[u\�` mbÝ � o_^NVY[uUW\�X iÉt V v V t i UYUY^ce6VYdIVW\X6n iHvTv V v d XgQTSTdIe i nTZ�m ç Ý � 6EÝ & S ^ � [ t t i F�M )�M�C|ZTVWX8nTegmJfH[uX8` Z i `MÝ � 6EÝ & VYX|e6VWdHVW\pMC|ZT[ÇXg[uj]m v \ i XgX6[ue-` VYm v ç mIUYUWm(Ñ8X ç e6m t ` Z�[ ç i j ` `6Z i `AV ç Ý � �òÝ & VWX t V v V t i UYUY^ e6VYdIVW\a` Z�[ v� á �� iIv \ ! á Ý & M �� 465�4���� ��5�� �Y9 8 �39�� Ø�í2Ý � á Ü�ä � Þ|æ � àCÖOëGF�Ý & á Ü�ä & Þ�æ & à �!Øbí[Ù1Ú;Õ,ö¢ì^ö:F�ì^Õ�Ö��¨î BrÙ¡ö[íKî ! ä � �ä & ! ] F�V��=î�Ø*ë�Ý � 6/Ý & öCBrÕ,ö¢ì^ö:F�V

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 10: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

� |� �����R�����M��� � �b� H�@&��K�@� ���C�����"���]� � )

� []`;Ý á Ü�ä�Þ|æ�àÇS7[ i dIe i nTZpM��V v ju[?[]fH[ue-^[]\TdI[?m ç Ý�V v \�QTju[]X i e6VYdIVW\¼XgQTSTdIe i nTZ¬m çÝ o7y'mIegmIUWU i eg^?F�MYKu�rV t nTUYVW[]X�` Z i `8`6ZT[ t i�� V t i UpegVWdIVY\�XgQTSTdIe i nTZTX�� � Þ�� & Þ ( ( (®Þ�� � Ü j i UYUW[u\?` Z�[Õ,ö¢ì^ö:Fÿø!Ú^×s�úÚ^ëUØ*ë¨í�B�Ú�ÔªÝbàÔm ç Ý i eg[�n i VWe�Ñ8VYX6[ [u\TdH[ E \�VWX "gmHV v ` iHv \ùæYÜ�� � à,Þ�æYÜ�� & à:Þ ( ( (¢Þ�æ�Ü�� � àVWX i n i e-` VY`6VWm v m ç æ�M¬C|Z_QTX i dIe i nTZ¬VWX�e6VYdIVW\2V ç iIv \m v UY^´V ç V ` Z i X�nTe6[]juVYX6[uU ^2m v [?e6VYdIVW\jum t n�m v [ v `uM

��� � � � ��'���� ��� 1 "��2* ß '���()��* ()'-"/.�021

kcV fI[ v¬i dIe i nTZ Ý á Üåä¡Þ�æ�à o i XgQTSTdIe i nTZ ! á Ü��ÿÞ��bà VWX�X i VW\´` m�S�[ iIv * U ø*ö�Õ|ø*õ�ö[í|V vÝ�V ç ��VWX i j]VWe6j]QTVY`~Ü V�M [HM i<t V v V tri UÍ\T[]n7[ v \T[ v `�Xg[]`!àcV v ' ÜJÝ@à M�� v n i eg`6VWjuQ�U i e]o=Ý×VYX iIv* U ø*ö�Õ|ø*õ�ö[íRV ç æ×VYX i j]VWe6j]QTVY`cV v ' Ü�Ýbà M _qmIel[ ��iIt nTUY[Ho ����o ����� � nTUYQTX iIv [u\TdI[�o iHv \ ����� �i e6[ i UWU�* E juVYe6juQ�VY` X]M�9 XgV v d/Ü FOà1Ñ'[ tri ^�\T[u\TQ�ju[H�� 2�7 7��6�Y9 8 Y9�� Ø�í2Ýâá Ü�ä�Þ�æ�à �!Ø�ÖHì^Õ�Ö��¨î�V��=î�Ø�Ô*ÚOê�ê®Ú^Ù¡ö�ë�ì B:íJÖ�íåØ*×;Ø*ë¨í�BbÖOÕ|Ø�Ø�ô�õ�ö�÷%Ö�ê®Ø*ë¨í VK ÖMLCÝ öCBbÖOë * U ø*ö�Õ|ø*õ�ö[í VK �RL ! æ ! á F ! ä ! �2FEÖOëGF@Ý ����öCBª×�ö�ë�ö�×~Ö�ê�êcb�Õ,ö¢ì^ö:FMÔ*Ú^ÕCÖ�ê�ê �bñòæ VK øRL ! æ ! á F ! ä ! �2FEÖOëGF+��Ü�� à # F ! � ! � [ªÔ*Ú^ÕbÖ�ê�ê3�'��ä Ù¡ö[íKî F # ! � ! # ! ä ! � K�V��[�X6Z i UYU v [][u\%` Z�[ ç mIUWUYm(Ñ8V v dr[uUW[ t [ v ` i e-^<nTegmIn�[ueg`6VW[]XAm ç * E j]VWegjuQTV ` XMÑ8ZTVYjLZ%j iIv S�[Ç\T[ Ee6V fI[u\�V v?i X6V t VYU i e�Ñ i ^a`6m � [ trt i F�M .�M� 2�7 7��6�Y9 8 3Y9<; ��D � Ø*×�×~Ö S�V�� ? � Ø�í/! á Ü�ä�Þ�æ�à �!Ø@ÖOë * U ø*ö�Õ�ø*õ�ö[í VK ÖML � Ú^Õ#Ø*÷^Ø*ÕPb 0 �á � &�ä�Ù1Ø£î�ÖO÷^Ø Ó Ü�� à ] [;ÖOëGFrö Ô Ó Ü�� à¡á [Hî�ÚOêIF�B�í[î�Ø*ë�Ø*ö[í[î�Ø*Õ ! � ! á�KÚ^Õ ! ä � � ! á�K�DK �RL A Ô � &�ä öCBCø*Õ:ö[í[öJø�Ö�êSÙ¡ö[í[î ! � ! ] [<íKî�Ø*ë ! � ����öCB F�U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF�V� []` ! á Üåä¡Þ�æ�à�S7[ i FJE j]m vTv []j]`6[u\�dHe i nTZ iIv \rXgQTnTn�mIX6[8` Z i `#Ü&! � Þ�! & àPVWX i FJE X6[]n i e i ` VWm vm ç Ý Ñ8VY`6Zÿä�Ü&! � à �ä;Ü&! & àMá *��¨Þ�� -_M _qmIeÇK # � #©F�o®UW[ ` !

�á !�, ���ÇV ç ��� �ñ æYÜ&!

�à

iIv \�mH` Z�[ue�Ñ8VYX6[ÔnTQ�`#! �á !�MR��[ÉX i ^a`6Z i `#! � Þ�! & i e6[l` Z�[�ø�ê®Ø�ÖO÷%Ö�ì�ØMì^Õ|Ö��¨î B�mIS�` i V v []\?S_^

ø�ê®Ø�ÖO÷(ö�ë�ìCÝ Ö�ê®Ú^ë�ì *��¨Þ�� -_M�C|ZT[lV v fH[ue6Xg[lmIn�[ue i ` VWm v m ç j]UW[ i fNV v dÇVWX8F�E X6Q t �wdIVYfH[ v `�Ñ�m dHe i nTZ�X! � áãÜåä � Þ�æ � à iIv \ ! & á Ü�ä & Þ�æ & à³Ñ8V ` Z~ä � �bä & á 0 iIv \�`�Ñ�mÔ\T[uXgVWd vTi ` [u\ [u\�dI[uX�ï � ð � ñòæ �iIv \/ï & ð & ñòæ & oT` ZT[ F�U B,õ�שm ç ! � iIv \ ! & Ü i UYm v dÇ` Z�[É[]\TdI[cn i VYe£ï � ð � o�ï & ð & à oq\�[ v mH`6[u\�S_^! �! & ! & o�VWXR` Z�[AdIe i nTZ�mIS�` i V v [u\ ç egm t ! � �Åï � ð � iIv \ ! & �òï & ð & S ^�VY\T[ v `6V ç ^NV v dCï � Ñ8VY`6Zï & iHv \<ð � Ñ8VY` Z�ð & MP�³[cXgZ i UWU®Q�X6[l` ZT[ ç mIUYUWm(Ñ8V v dÇe6[]X6QTU ` X8m v FJE XgQ t X iHv \�FJE Xg[un i e i ` VYm v X]M� 2�7 7��6�Y9 8 � 9<; ��D � Ø*×�×~Ö"�6V � ?�� Ø�í£Ý � á Üåä � Þ�æ � àYÖOëGF�Ý & á Üåä & Þ�æ & àr�!Ø * U ø*ö�Õ|ø*õ�ö[í BÖOëGF;ê®Ø�í©ï � ð � ñòæ � ÖOëGFCï & ð & ñòæ & V��=î�Ø*ëòí[î�Ø F U B,õ�×lÝ �# & Ý & Ö�ê®Ú^ë�ìHíKî�Ø@ØQF�ì�Øt��ÖOö�Õ�ï � ð � Dï & ð & öCBbÖOë * U ø*ö�Õ|ø*õ�ö[í V� 2�7 7��6�Y9 8�Y9<; ��D � Ø*×�×~Ö$�6V�S ? � Ø�í�Ýâá Ü�ä�Þ�æ�à �!ØbÖOë * U ø*ö�Õ|ø*õ�ö[í1ÖOëGF;ê®Ø�í�Ý� ³ÖOëGF@Ý o�!ØíKî�Øbì^Õ�Ö��¨î B~Ú���íJÖOö�ëUØQFªÔ!Õ|Ú^× Ý �Mb<ø�ê®Ø�ÖO÷(ö�ë�ìHÝ Ö�ê®Ú^ë�ì/Ö�F�U B�Ø���ÖOÕ�Ö�íåÚ^ÕV �=î�Ø*ëòÝ 1ÖOëGF;Ý 1ÖOÕ|Ø�!ÚOíKî�* U ø*ö�Õ�ø*õ�ö[í�BVD8[uj i UWUw`6Z i ` i dIe i nTZ Ý VYXlF�UåÕ,ö¢ì^ö:FÇV ç Ý0Z i X i `AUY[ i X-` `�Ñ�m?[u\TdI[]X iIv \ Ý � ��VWX egVWdIVY\ ç mIe

i UWU �/ñ´æ�M�* E j]VWegjuQTV ` X i e6[�[ ��iIt n�UW[uXcm ç Ü t V v V tri UWUY^úà8FJE e6VWdHVW\4dIe i nTZTX]M��,mH` [ i UYX6ma` Z i ` idIe i nTZEÝ VYX FJE egVWdIVY\aV ç iIv \<m v UY^aV ç Ý VYX8e6VWdHVW\ iIv \�[ i jLZ�[u\TdH[Ém ç Ý S7[]UWm v dIX|` m i j]VWe6j]QTVY`,V v' Ü�Ýbà'V�M [HM iIv * E juVYe6juQ�VY`8m ç Ý M

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 11: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ������� �� ��^�"���<����� � � � � ��� � ��� � � �@� ���C��� ���,� �z������ K�G

� ` ç mIUYUWm(Ñ8X ç e6m t C|ZT[]mIe6[ t F�M K�[�` Z i ` iIv ^4`�Ñ�m t i�� V t i UwFJE egVWdIVY\<XgQTSTdIe i nTZTXcm ç i dIe i nTZÝ á Ü�ä�Þ�æ�à j iIv Z i fI[ i ` t mIXg`�m v [?fH[ue-` [ � V v jum t t m v o iIv \¬ZT[ v j][ i e6[?[u\TdH[ E \�VWX "gmHV v `=M�A[*Ð v V v d i S�UåÕ,ö¢ì^ö:F<ø!Ú^×s�úÚ^ëUØ*ë¨íÕm ç Ý ` m�S7[Ç[]VY`6ZT[ue iat i�� V t i UÍFJE e6VYdIVW\�X6QTSTdHe i nTZ%m ç Ý�o mHei XgQTSTdIe i nTZ%V v \TQTju[]\4S ^ iHv [u\�dI[@Ñ8ZTVYjLZ4S7[]UWm v dIX,`6m v m * E j]VWe6j]QTVY` m ç Ý�o5Ñ�[Ç\T[]\TQTj][ ` Z i `` ZT[ÇFJE egVWdIVY\?jum t n7m v [ v ` X m ç ݲn i e-` VY`6VWm v æ�M ��V v ju[Ô[ i jLZ�F�E e6VYdIVW\?j]m t n�m v [ v `AVWX,e6VYdIVW\ oT` ZTVYXn i e-` VY`6VWm v VWX i e6[*Ð v [ t [ v `,m ç ` ZT[cn i e-` V ` VWm v m ç æ²dIV fI[ v S ^a`6ZT[ce6VWdHVW\�j]m t n�m v [ v ` X8m ç Ý�M��[ÔXgZ i UYU v [u[]\�`�Ñ�mr[]UW[ t [ v ` i eg^�UW[ t t i X�m v FJE e6VWdHVW\TV ` ^IM� 2�7 7��6�Y9 8Y9<A Ô@Ý öCB�F UåÕ:ö¢ì^ö:F ÖOëGF/Ý �öCBYÚ���íJÖOö�ëUØQFHÔ!Õ|Ú^× Ý �Mb ÖOëûØQF�ì�Ø/Ö�F�FOö[í[öJÚ^ë¶Ú^Õ]ÖK U Ø��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ëHD¡í[î�Ø*ë/Ý 2öCB F�UåÕ,ö¢ì^ö:F�V� 5�4Y4���� C|ZTVYX ç mIUYUWm(Ñ8X ç egm t ` ZT[�\�[*Ð v V ` VYm v m ç FJE e6VYdIVW\TV ` ^ iIv \Ç`6ZT[ ç i j ` X�`6Z i `�[u\TdI[ i \T\TV ` VWm v XuoGÝE [ � ` [ v X6VWm v X iIv \�K]E [ � `6[ v XgVWm v X,n�e6[uXg[ue-fI[ egVWdIVY\TVY` ^HM �� 2�7 7��6�Y9 � � 9<A Ô�Ý öCBTS�UåÕ,ö¢ì^ö:FYÖOëGF *�ï=Þ�ð9-YöCBCÖ^S�U B�Ø���ÖOÕ�Ö�í�Ú^Õrö�ë/Ý í[î�Ø*ë Ó ÜJïUà:Þ Ó ÜKð�à ] �6V� 5�4Y4���� ��QTn�n7mIXg[ Ó ÜJïUà # [�M�C|Z�[ v Ñ�[�j iIv jLZTm�mHX6[ iHv [u\TdH[ ��V v juVW\�[ v `É`6mEï¼XgQTjLZ´` Z i `Ý ���ÉVYX v mH` FJE j]m vTv []j]`6[u\pM���^ � [ t tri FNM .�Ü i à o¨Ý ���ÉVWX v m�`8e6VWdHVW\pM�C|ZTVYX8jum v ` e i \TVYj]` X8` Z�[FJE egVWdIVY\TVY` ^ m ç Ý�M �

� � Ê���������� Ï�É � � Î#Ë~ÈÅÈ��r룃 �7Ì Ê­Ï��~Ï(ÌÅÏ�É�� � �bÉ�Ê�Ë;Ï(Ì

kcV fI[ v4i�t i ` egmIVW\ ' á ÜKæ�Þ&)�à oUÑ�[ \T[:Ð v [ i eg[uU i ` VYm v m v æ0S ^�X i ^NV v dr` Z i ` ��Þ�ñÿæ i eg[e6[]U i `6[u\%V ç �Há�³mHelV ç ` Z�[ue6[�VYX i juVYe6juQ�VY` �0V v * Ñ8VY`6Z ��Þ ñ ��MÉ� `lVYX7Ñ'[]UWU E�é v m(Ñ v ` Z i `` ZTVYX VYX iIv [*þNQ�VYf i UW[ v ju[ e6[uU i ` VYm v MAC|Z�[�[�þ_QTVYf i UY[ v j][ÇjuU i X6Xg[uX i e6[Çj i UWUY[u\<`6ZT[�ø!Ú^×s�úÚ^ëUØ*ë¨í�B8m ç' M�� ç ' Z i X i `cUY[ i X-`l`�Ñ'm�[uUW[ t [ v ` X iIv \�m v U ^4m v [ j]m t n7m v [ v `c` ZT[ v ' VWXlX i VW\�` m?S�[ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQFIMR� ç ' Z i X8j]m t n�m v [ v ` X#æ � Þ|æ & Þ ( ( (*Þ|æ � iIv \ '

�VYX|` ZT[ t i ` egmIVW\aeg[uXg`6e6VYj]` VYm v m ç

' m v `6m;æ�` Z�[ v ' á ' � ' & ( ( ( ' � VYX�` ZT[c\TVYe6[]j]`,X6Q t m ç `6ZT[ '

�! XuM

��['X i ^c` Z i ` i dIe i nTZ�Ý á Üåä¡Þ�æ�à®VWX * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF'V ç ' Ü�ÝbàpVWXÍjum vTv [uj]`6[u\pM _}mHeÍ[ ��iIt n�UW[Ho� ��� �0VWX-* E j]m vTv []j]`6[u\ ç mIe i UWU� ] ��M»C|ZT[ * U ø!Ú^×s�úÚ^ëUØ*ë¨í B m ç Ý i eg[�` Z�[4X6QTS�dIe i n�ZTXm ç Ý¢V v \TQTju[]\2S_^³` ZT[aj]m t n�m v [ v ` X�m ç ' Ü�Ýbà M³��V v ju[�` Z�[ * E j]VWe6j]QTVY`6X�m ç Ý i eg[�FJE egVWdIVY\po[]fH[ueg^ * E juVYe6juQ�VY`cm ç Ý�VWXcjum v ` i V v []\³V v m v [rm ç `6ZT[�F�E e6VYdIVW\%j]m t n7m v [ v ` Xcm ç Ý MrC|ZNQ�XÉ` Z�[n i e-` VY`6VWm v m ç æ�Ü�Ýbà,dIV fI[ v S_^�` Z�[ * E j]m t n7m v [ v ` XAVYX i e6[*Ð v [ t [ v `lm ç `6ZT[Çn i eg` V ` VYm v dHVYfI[ vS ^%` ZT[rFJE e6VWdHVW\%jum t n�m v [ v `6X iIv \³Z�[ v j][ i ç QTeg`6ZT[ueceg[*Ð v [ t [ v `Çm ç ` ZT[ n i e-` V ` VWm v dIVYfH[ v S_^` ZT[ e6VWdHVW\�j]m t n7m v [ v ` X]M _qQTe-` ZT[]e t mIe6[�o ' ÜJÝ@à3j iIv S�[A[ � nTeg[uXgX6[u\ i X'`6ZT[A\TVYe6[uj `|X6Q t m ç ` Z�[e6VYdIVW\TV ` ^ tri ` e6mHVW\TX m ç ` ZT[�egVWdIVY\4jum t n�m v [ v `6Xlm ç Ý op`6ZT[ FJE egVWdIVY\<j]m t n�m v [ v ` Xlm ç Ý�opmIeA` Z�[* E j]m t n7m v [ v ` X8m ç Ý M� 2�7 7�� Y9 869�� õ#���úÚ�B�ØCíKî�Ö�í2Ý öCB * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF�V��=î�Ø*ë]Ý öCB F�UåÕ,ö¢ì^ö:F�V� 5�4Y4���� Ý©VYX|e6VYdIVW\po�X6V v ju[cmH`6ZT[ue Ñ8VWX6[CÝ©Z i X i `8UW[ i Xg`|`�Ñ�mregVWdIVY\ajum t n�m v [ v `6X iHv \?ZT[ v j][ i `UW[ i Xg`c`�Ñ�m * E jum t n7m v [ v ` X]M?��V v ju[ ' Ü�Ýbà VWXcjum vTv [uj ` []\poP[]fH[ue-^�[]\TdI[-��VWXcj]m v ` i V v [u\�V v�ijuVYe6juQ�VY`|m ç ' Ü�Ýbà M�C|Z_QTX�Ý VWX,F�E e6VYdIVW\ M �

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 12: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ������� �� ��^�"���<����� � � � � ��� � ��� � � �@� ���C��� ���,� �z������ KIK

C|ZT[ tri V v eg[uX6Q�UY`Rm ç ` ZTVYX�X6[]j]` VYm v jLZ i e i j]`6[ue6V s []X­Ñ8ZTVYjLZ�F�E e6VYdIVW\ÉdIe i nTZTX i e6[ * E jum vTv [uj ` []\pM�³[ X i ^ ` Z i ` i dIe i nTZ]Ý VYX�ëUØ�ÖOÕ:êcbT[�U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF V ç ÝÚj iIv S�[ t i \T[ [ÝE j]m vTv []j]`6[u\aS ^ i \T\TV v di ` t mIXg`8m v [ v [*Ñ []\TdI[�M/1032�465�2�7 Y9��Y9�� õ����úÚ�B�ØòíKî�Ö�íªÝ öCB<ëUØ�ÖOÕ:êcba[�U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF ÖOëGF³F UåÕ:ö¢ì^ö:F�V �=î�Ø*ë¶Ý öCB * Uø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF�V� 5�4Y4���� _}mHe i j]m v ` e i \TVWj ` VWm v X6QTn�n7mIXg[A` Z i `£Ý¥VYX v m�` * E jum vTv [uj]`6[u\ iIv \�UY[]`(! � o8! & oYM M MYo !��S7[Ô` ZT[ * E j]m t n�m v [ v ` XAm ç Ý�M � []`��

�á ä�Ü%!

�à � 6 %���

�ä;Ü%! %*à,\�[ v mH`6[ ` Z�[ÇX6[ `lm ç fI[]eg`6VWju[]XS7[]UWm v dIV v dÇ`6m v m�mH` ZT[]e * E j]m t n�m v [ v `,`6Z iIv !

�o iIv \?UY[]`��

�áXä~Ü&!

��"�

�ç mIelK�# � #Aó�M

� []`���á ! ä�Ü&!

�à ! o��á ! ��! o,ß�á ! ��! MPy'UY[ i egUY^Io�

�á���, ß�iIv \ ! ä ! á # �� ��� �

�, ! 6 ����� ��! M

,<mIeg[um�fI[]euo�Ñ'[ÔZ i fI[ # �� ��� ß�] F ! 6 �

���� ��! M3��V v ju[c[ fI[ue-^?[u\TdH[Ôm ç Ý VYX|V v X6m t [�* E juVWegjuQTV `=o

iIv \´[ fI[]eg^6* E juVYe6j]QTVY`ÉZ i X i ` UY[ i X-` ç mIQ�eÔfH[ueg`6VWj][uXuo³Ñ�[�Z i fH[�` Z i `���] � ç mHerK # � # ó�M

_qQTeg`6ZT[ue t mIeg[Ho7X6V v ju[HݲVWX v [ i e6U ^�[JE jum vTv [uj ` []\poúß�] F ç mIe i UYU�K�# � #âóNo iIv \Yß

�] [ ç mIe

i UWU7STQ�` i ` t mIXg`|`��m * E jum t n�m v [ v `6XuM� []`|Q�X|jLZTm�mHX6[ i S i X6VYX 5

�V v [ i jLZaegVWdIVY\TVY` ^ t i `6e6mIVY\ ' Ü%!

�à M�9,X6V v d ` ZT[ i S7m�fH[AV v [*þ_Q i U EVY`6VW[uX1Ñ'[ÔZ i fI[

! 6 ����� 5�! á

�� ����! 5�! á

�� ����Ü F���� [�à¡á F

�� ������� [^ó ]

Ü F�� ������,

�� ����ß�à ,

�� ����ß�� [Oó ] F ! ä ! , [Oó �2F � [Oóªá»F ! ä ! �2F)(

��V v ju[ .úÜ ' Ü�Ýbà|à­á F ! ä ! � [�oq` ZTVYX8V t nTUWVY[uX'`6Z i ` 6 ����� 5�jum v ` i V v X i juVWegjuQTV `=oqj]m v ` e i \TVWj ` V v d` ZT[ ç i j `|` Z i `,`6ZT[�5

�! X i e6[cS i X6[uX ç mIe�`6ZT[ ' Ü&!

�àP! X iIv \ ' ÜJÝ@à¡á

�� ��� ' Ü%!�à M �

Ò©dHe i nTZòÝ VYXu�*ö�Õ,ö¢ì^ö:F V ç Ý � ð?VYX egVWdIVY\ ç mIe i UWU=ð/ñ ä�ÜJÝ@à M � `�Ñ i XAX6ZTm(Ñ v S ^4��[ue-f i ` VWQ�X� K���oTC|ZT[]mIe6[ t F�M F �­Ü QTXgV v d i X6V t VYU i e i e6dHQ t [ v `,`6m�mIQTe8nTe6mNm ç m ç C|ZT[umIeg[ t [�M F�à�`6Z i `8[]fH[ue-^STVWegVWdIVY\<dIe i nTZ�VWX * E j]m vTv []j]` []\pM�C|ZT[]mIe6[ t [�M F�[ � ` [ v \TXÔ`6ZTVWX e6[uXgQTUY`uo®X6V v ju[�STVYe6VWdHVW\<dHe i nTZ�Xi e6[3juUY[ i egUY^T[JE jum vTv [uj ` []\ iIv \�F�E e6VYdIVW\ M®C|ZT[1Ñ8ZT[][uUYX\Ü m vÇi `ÍUW[ i Xg`P�8fH[ueg`6VWj][uX!à i e6[ [ÝE j]m vTv []j]`6[u\FJE egVWdIVY\�dIe i nTZTX£Ñ8ZTVYjLZ i eg[ v mH`,STVYe6VWdHVW\pMwC|ZTVWX|XgZTm(Ñ8X ` Z i `|` ZT[c[ � `6[ v XgVWm v VWX|n�e6mIn�[ue]M��[ v [u[u\ `6ZT[ ç mIUWUYm(Ñ8V v d�e6[uXgQTUY`6X�` m2jum t nTUY[]`6[4mIQTe�jLZ i e i j ` []e6V s]i ` VYm v m ç * E jum vTv [uj]`6[u\dIe i nTZTXuMRC|ZT[rÐqegXg`8`�Ñ�m�UW[ trt i X ç mIUWUYm�Ñ ç egm t � [ t t i X,F�M KJ~ iIv \<F�MYK=��oTe6[]X6n�[uj ` VYfH[uU ^IM� 2�7 7�� Y9� Y9�� õ#���úÚ�B�Ø#Ý � ÖOëGF@Ý & ÖOÕ|Ø * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF�V �=î�Ø*ë]Ý �# & Ý & öCB * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF�V� 2�7 7�� Y9�� 9�� õ#���úÚ�B�ØòÝ � ÖOëGFùÝ & ÖOÕ|Ø Ú���í�ÖOö�ëUØQFEÔ!Õ|Ú^× Ý �Mb ø�ê®Ø�ÖO÷(ö�ë�ì�Ý Ö�ê®Ú^ë�ì¶Ö2F�UB�Ø���ÖOÕ�Ö�íåÚ^ÕV A Ô�Ý öCB * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF�í[î�Ø*ë/Ý � ÖOëGF�Ý & ÖOÕ�ØbÖ�ê B�Ú * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF�V� []`1Ý á Ü�ä�Þ|æ�à�S�[ i F�E jum vTv [uj ` []\rdIe i nTZpo� ] [AS�[ iIv V v ` []dI[ue]o iIv \�UW[ `�Ü�� � Þ � & Þ ( ( (¢Þ5���uàS7[cj ^�j]UWVYj i UYUY^ mIe6\�[ue6[]\<XgQTSTX6[ ` X,m ç ä�X i ` VYX ç ^NV v d<Ü S ^�` i é_V v d ����� � á � � à �Ü V à ! �� � �&% ! áÚKIo ç mIe ! ��� ) ! áÚKIo iIv \ � � � �&%£á 0 ç mIe ! ��� ) ! ] F�o iIv \

Ü VYV�à *�æ�Ü�� � à:Þ|æYÜ�� & à,Þ ( ( (®Þ�æYÜ"��� à -ÉVWX i n i e-` VY`6VWm v m ç ærMC|ZT[ v Ñ'[ÇX i ^�`6Z i `@Ü�� � Þ � & Þ ( ( (¢Þ ��� à|VWX i �úÚOêcb�ì�Ú^ë K Ú�Ô B,ö¢ý(Ø� QLcV v Ý�M8� `AVWX8[ i Xg^�` mrX6[u[Ô` Z i `V ç ï iIv \<ð i e6[c\TVWX-` V v j]`|fH[ueg`6VWj][uX�Ñ8VY` Z�*�ï -ªá ��� � � �

�iIv \�*�ð9-rá ��% � �&%�� � o ç mIe|Xgm t [K # �|Þ ) #� JoT` Z�[ v [uVY`6ZT[ue *�ï=Þ�ð9-ÉVWX i FJE X6[un i e i `6mIe|V v Ý©mHe ��á ) iIv \ � � á *�ï=Þ�ð9-_M

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 13: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ������� �� ��^�"���<����� � � � � ��� � ��� � � �@� ���C��� ���,� �z������ KJF

� 2�7 7�� Y9Y9�� õ#���úÚ�B�ØCíKî�Ö�í2Ýâá Üåä¡Þ�æ�àrî�Ö�BbÖ,�úÚOêcb�ì�Ú^ëÿÚ�ÔNB,ö¢ý(Ø �V��=î�Ø*ëK ÖMLCÝ öCBªëUÚOí�* U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF�VK �RL A Ô ] �òíKî�Ø*ë/Ý öCBrëUÚOí�Õ,ö¢ì^ö:F�V� 5�4Y4���� � []` � � Þ � & Þ ( ( (®Þ ���'S�[ i n�mIUY^NdIm v�iHv \<UY[]`#æ

�á æYÜ"�

�à ç mIecK # � #� JM�� m�` [l` Z i `

æ � Þ|æ & Þ ( ( (¢Þ|æ ��VWX i n i e-` V ` VWm v m ç ærM�9 XgV v d�` ZT[cn�mIUY^NdIm v Xg` egQTj]`6QTe6[ªÑ�[ÉmIS�` i V v.�ÜJæ�à$# �� �

���.�ÜJæ � à$# �� �

���Ü�F ! ��! � [�à¡á F ! ä ! , F� � [ �á F ! ä ! � ( Ü �Oà

C|Z_QTX ç mIe ] ��Ñ�[ÇZ i fI[�.úÜKæ�à #�F ! ä ! �2�To iHv \4ZT[ v ju[�ݲVWX v mH` e6VYdIVW\pM8C|ZTVYX nTegm�fI[uXHÜ S¨à MCwm�nTe6m�fI[YÜ i à|X6QTn�n7mIXg[ ` Z i `rÝ�VWX * E jum vTv [uj]`6[u\pM C|ZT[ v ݲVWX,e6VYdIVW\ iIv \ .�ÜJæ�à\áÚF ! ä ! � [�M��^�Ü S�à�` Z�VWX�^NVW[uUY\TX Åá [�M ,�mIe6[]mJfH[ue]o,[*þ_Q i UWV ` ^ t QTX-`�ZTmHUW\¬[]fI[]eg^iÑ8ZT[]e6[%V v Ü ��à M C|Z_QTX.úÜKæ�àrá # �� ��� .úÜKæ�à M C|ZNQ�X�' Ü � àlVYXl` ZT[�\TVYe6[uj `ÔX6Q t m ç VY`6Xle6[uX-` egVWj]`6VWm v Xc`6m�`6ZT[�X6[ ` X@æ

�M

C|ZTVWX8j]m v ` e i \TVWj ` X�` Z�[ ç i j]`8` Z i ` ' Ü�Ýbà'VWX i jum vTv [uj]`6[u\ tri `6e6mIVY\pM ���[ÇX i ^?` Z i ` i F�E X6[]n i e i ` mIe *�� � Þ�� & -/ø*Õ|Ú�BEB�Ø�B iHv mH` Z�[uelF�E X6[]n i e i ` mIe *�� � Þ�� & -�V v<i dIe i nTZÝ o®V ç � � iHv \�� & i e6[ÇV v \TV��7[ueg[ v `cjum t n�m v [ v `6Xlm ç Ý � *�� � Þ�� & -_MÉ� `cVWXA[ i Xg^4`6maX6[][�`6Z i `lV ç*�� � Þ�� & -aj]e6mIXgX6[]X *�� � Þ�� & -�` ZT[ v *�� � Þ�� & -�juegmIX6Xg[uX1*�� � Þ�� & -_M�C|Z_QTX]o�Ñ'[rj iIv X i ^%` Z i `É`6ZT[uXg[FJE Xg[un i e i `6mIe6X i e6[òø*Õ�Ú�BEB,ö�ë�ìHM�� `ÇVYX i UYX6m<[ i Xg^�` m<X6[u[r` Z i ` juegmIX6XgV v d�FJE X6[]n i e i ` mIegX V v \TQTju[ in7mHUY^NdIm v m ç X6V s [ ç mIQTe8V v Ý MRC|Z_QTX � [ trt i [�M �úÜ i à'Z i X|` ZT[ ç mIUYUWm(Ñ8V v dÇjumIegmIUWU i eg^��� 2�7 7�� Y93Y9�� õ#���úÚ�B�Ø]í[î�Ö�í�Ý öCB�Õ,ö¢ì^ö:F K ÖOëGFÅî�Ø*ëUø!ØrF�U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQFML V �=î�Ø*ë´í[î�Ø*Õ�Ø<ÖOÕ�ØYëUÚø*Õ|Ú�BEB,ö�ë�ì S�U B�Ø���ÖOÕ�Ö�íåÚ^ÕEBrö�ë�Ý V� []`CÝ á Ü�ä�Þ�æ�à S�[ i FJE j]m vTv []j]` []\�dIe i n�ZòÑ8VY` Z v majuegmIX6XgV v d�FJE X6[un i e i `6mIe6X]McC|ZT[/ø�ê®Ø�ÖO÷ U

Ö�ì�Ø]õ�ë�ö[í�BÇm ç Ý i e6[�`6ZT[adIe i nTZTXÇmIS�` i V v [u\¼S ^¼eg[ujuQ�e6X6V fI[]UY^´j]UW[ i fNV v d Ý i UYm v d4[ i jLZ¬m ç VY` XFJE Xg[un i e i `6mIe6X]M²��V v ju[ Ý"Z i X v m¬j]e6mIXgX6V v d F�E X6[]n i e i ` mIegX�` ZTVYX�X6[*þ_QT[ v j][³m ç mIn�[ue i ` VYm v X�VYXQ v V¢þNQ�[uUY^ \�[*Ð v []\ iIv \ e6[]X6QTU ` X�V v i Q v V�þ_QT[�X6[]`�m ç dIe i n�ZTX�[ i jLZ m ç Ñ8ZTVWjLZ Z i fI[ v m FJEX6[]n i e i ` mIegXuM§C|Z_QTXr[ i jLZjuUY[ i f i dI[?Q v V `rm ç Ý�VWX�[]VY` Z�[ue [ÝE j]m vTv []j]`6[u\§mHe []UWXg[ i jum t nTUY[]` [dIe i nTZ4m v `6ZTe6[][ fI[]eg`6VWju[]XuMAC|Z�[ÇXg`6e6m v dH[ueAZ ^Nn7m�` ZT[]X6VWX ` Z i `7Ý Z i X v m�n7mIU ^NdIm v X#Ñ8VWUWUÕV t nTU ^` Z i `A[ i jLZ%juUW[ i f i dI[ Q v VY` m ç Ý�VWX i [ÝE j]m vTv []j]` []\%dIe i nTZpM � v ` ZTVYX j i X6[Ho iIv [*þNQ�VYf i UW[ v `A\T[ ç EV v V ` VYm v ç mHe ` ZT[ juUW[ i f i dI[ÇQ v V ` XAVYX `6mYÐqe6X-`ljum v Xg` egQTj]`l`6ZT[�ÖOõ�ì^×;Ø*ë¨íåØQF;ì^Õ�Ö��¨î��Ý ç e6m t Ý S_^i \T\TV v d i UYU [u\�dI[uX�ï¨ð ç mIe1Ñ8ZTVWjLZ�*�ï=Þ�ð9-ÉVYX i FJE Xg[un i e i `6mIe|m ç Ý iIv \�ï¨ð �ñòæro iIv \a`6ZT[ v ` i é�[` ZT[lj]UW[ i f i dH[AQ v V ` X'`6m�S7[A`6ZT[ tri�� V tri U [JE jum vTv [uj ` []\�XgQTSTdIe i nTZTX|m ç �Ý�M�Ü C|ZT[]X6[Ô\T[*Ð v VY`6VWm v Xi e6[ i X6n�[uj]V i U3j i X6[�m ç i dI[ v [ue i U'\T[]jum t n7mHX6VY`6VWm v ` Z�[umIe-^ ç mIe FJE jum vTv [uj]`6[u\¼dIe i nTZTX \TQT[r`6mCwQ�`6` [ � KJ~�� MÂà/1032�465�2�7 Y9 � 9�� ì^Õ�Ö��¨î Ý öCB�* U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQFö Ô�ÖOëGF�Ú^ë¨êcb ö ÔYö[íröCBrF�U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF�Dªî�Ö�BYëUÚ�úÚOêcb(ì�Ú^ëHD�ÖOëGF]Ø�Öiø*î/Ú�Ôrö[í�B@ø�ê®Ø�ÖO÷%Ö�ì�ØCõ�ë�ö[í�BªöCB S�UåÕ,ö¢ì^ö:F�V� 5�4Y4���� � ç Ý VYX * E jum vTv [uj ` []\pol` ZT[ v Ý VWX?e6VYdIVW\ iHv \»ZT[ v ju[´FJE j]m vTv []j]`6[u\»S ^ � [ t t iF�M .�Ü i à o�ݾZ i X v m%n7mHUY^NdIm v X S_^ � [ t tri [�M .�oR[ i jLZ2juUW[ i f i dI[�Q v V `�m ç ݾVYX * E jum vTv [uj]`6[u\S ^ � [ t t i [�M �To iIv \4ZT[ v ju[ [ i jLZ%j]UW[ i f i dI[ÉQ v V ` VYXlFJE e6VWdHVW\?S ^ � [ t t i [�M KIMN+ v ` ZT[Çm�` ZT[]eZ iIv \ oNV ç Ý VWX3FJE jum vTv [uj]`6[u\poNZ i X v mcn�mIUY^NdIm v X iIv \ [ i jLZ juUY[ i f i dI[8Q v V `RVWX3FJE e6VYdIVW\poÝ` ZT[ v [ i jLZjuUY[ i f i dI[3Q v VY`ÍVYX�* E jum v�v [uj ` [u\�S ^ÔC|ZT[]mIe6[ t [�M F�o iIv \@Ý VYX * E j]m vTv []j]` []\�S ^ � [ trt i [�M [�M��

���������ÿ�úu���%�i���������­J�����! ="#�%$�&�'('�&*) +,&

Page 14: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ��������� �� �,T� � �R��� � � � �-�I� �>��� � � �I �����R� ���M��� � � K�[

C|ZT[#Ñ'[ i éH[]e�Z ^�n�mH`6ZT[uXgVWX�`6Z i `�Ý VWX'FJE j]m vTv []j]`6[u\poNZ i X v m n�mIU ^�dHm v Xuo iIv \�VWX'FJE e6VWdHVW\�VWX v m�`X6Q�W j]VW[ v `�` mÇV t nTU ^ `6Z i `�ÝÚVYX * E jum v�v [uj ` [u\ M3C|Z�VWX'j iIv S�[ Xg[u[ v S_^ j]m v X6VY\T[uegV v dÔ` ZT[ dIe i nTZÝ¥mIS�` i V v [u\ ç egm t ` ZT[A`6e6V iHv dIQTU i eRnTe6VYX t ! á � ��� � & S ^re6[un�U i j]V v dÇ[ i jLZ?[u\TdH[rð

�ð %,m ç !

S ^ i jum t nTUY[]`6[,dHe i nTZ~Ñ8VY`6Z fH[ueg`6[ � X6[ ` *�ð�Þ�ð %(Þ�ð� � Þ�ð� % -_o�Ñ8ZT[]e6[�ð � Þ|ð % �ñÅä;Ü&!òà MPC|ZT[ dIe i nTZ�ÝVWX3FJE e6VYdIVW\ÇXgV v j][8VY`�VYX�e6VWdHVW\ iIv \ []fH[ue-^�[u\TdI[8S�[uUYm v dIXP`6m iHv * E juVYe6juQ�VY`#Ü i j]m t n�UW[]`6[|dIe i nTZ�m v

ç mIQTe8fI[]eg` VYju[]X!à M8CÍm�Xg[u[É`6Z i `MÝ�VWX v mH` * E j]m vTv []j]` []\òÑ'[CÐqe6X-` v mH` [Ô` Z i `#! VWX v mH`AFJE egVWdIVY\pMC|ZTVWX ç mIUYUWm(Ñ8X8X6V v ju[É`6ZT[ueg[É[ � VWXg`6X � &Xä�Ü&!òà\Ñ8V ` Z ! � ! á [�á Ó $�Ü��à M,y'ZTmNmIX6V v d iHv [u\�dI[�ÔV v ! ç e6m t � ` m;ä~Ü&!Åà � �¼o�Ñ'[ t i ^rQTXg[ � [ trt i F�M .�Ü S�à3` m�\T[]\TQTj][c`6Z i ` ! � �cVWX v m�`e6VYdIVW\pM8��[ tri ^ v m(Ñ¥\T[u\TQ�ju[Ç` Z i `rݲVWX v mH` * E jum v�v [uj ` [u\�XgV v j][.! VWX i juUY[ i f i dI[ÇQ v VY` m çÝ o iIv \�[]fI[]eg^�juUY[ i f i dI[lQ v VY`8m ç iIv * E j]m vTv []j]`6[u\4dIe i nTZ?VWX * E jum vTv [uj ` []\4S ^ � [ t tri [�M ���[Ôj]UWmIXg[A` ZTVYX�X6[]j]`6VWm v S ^�mIS�` i V v V v d `�Ñ�m ç QTeg`6ZT[ue|eg[uX6Q�UY` X8m v * E jum v�v [uj ` VYfNV ` ^�Ñ8ZTVYjLZ/Ñ�[Ñ8VWUYU v [][u\<U i ` []euM� 2�7 7�� Y9��Y9�� Ø�íSÝâá Ü�ä�Þ�æ�à��!ØrÖÔF�U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQFrì^Õ�Ö��¨î~ÖOëGF.*�ï=Þ�ð9- �!ØrÖcF�U B�Ø���ÖOÕ�Ö�í�Ú^ÕrÚ�Ô­ÝB,õ�ø*îHí[î�Ö�íSï¨ð�ñEæ$V �=î�Ø*ë~ÝüöCB * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF�ö Ô#ÖOëGFHÚ^ë¨êcbbö Ô ! á�Ý �]ï¨ð/öCB * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF�V� 5�4Y4���� C|ZTVWX ç mIUYUWm(Ñ8X ç e6m t C|ZT[umHe6[ t [�M ~%X6V v ju[/Ý�VWX F�E jum vTv [uj ` []\§V ç iIv \m v UY^¼V ç ! VYXFJE j]m vTv []j]`6[u\po5Ý©Z i X v mrn�mIUY^NdIm v X|V ç iIv \�m v U ^�V ç ! Z i X v m n7mHUY^NdIm v X]o iIv \ �Ýâá �! X6m�` Z�[juUY[ i f i dI[lQ v V ` X8m ç Ý iIv \ ! i e6[cVY\T[ v ` VYj i U M �� 2�7 7�� Y9�Y9<A Ô\Ý öCB * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�íåØQF;ÖOëGF@Ý� 2öCBCÚ���í�ÖOö�ëUØQF�Ô!Õ�Ú^×lÝ �Mb�ÖOëÅØQF�ì�ØbÖ�F�FOö[í[öJÚ^ë Ú^ÕÖ�K U Ø��Oí�Ø*ëHB,öJÚ^ëHD¡í[î�Ø*ë/Ý 2öCB * U ø!Ú^ë�ëUØ!ø�í�ØQF�V� 5�4Y4���� � m�` ['`6Z i `�XgV v j][£Ý VYX * E jum vTv [uj]`6[u\po�Ý Z i X v mln�mIUY^NdIm v X�S ^ � [ trt i [�M . iIv \�[ i jLZjuUY[ i f i dI[�Q v V `lm ç ÝÀVYX * E j]m vTv []j]` []\³S ^ � [ t t i [�M �TM ��[�nTe6mNju[][u\�S_^4V v \TQ�j]` VYm v m v ` Z�[v Q t S�[ueAm ç j]UW[ i f i dH[ÇQ v V ` X m ç Ý�MÔ��QTn�n7mIXg[HÝ VYX v [ i e6U ^�[JE jum vTv [uj ` []\pMcC|ZT[ v Ý VWX v [ i egUY^[ÝE j]m vTv []j]`6[u\pM3��V v ju[MÝÚVYX * E jum vTv [uj ` []\po¨Ý VWX|F�E e6VYdIVW\�S ^ � [ trt i [�MYKHM�z [ v ju[rÝ� TVYX|FJE e6VYdIVW\S ^ � [ t tri F�M K�)�MPC|Z_QTXMÝ }VYX * E j]m vTv []j]`6[u\4S ^aC|ZT[]mIe6[ t [�M F�Mz [ v ju[ Ñ�[ t i ^ X6QTn�n7mIXg[¼` Z i `ÿÝ VYX v mH` v [ i e6U ^ [ÝE jum vTv [uj]`6[u\pM C|ZT[ v Ñ�[j iIv Ð v \i FJE Xg[un i e i ` VYm v Ü�Ý � Þ!Ý & à�V v Ý"X6Q�jLZ»` Z i `?S7mH`6Z [ v \�fH[ueg`6VWj][uX<m ç ��S7[]UWm v d¼`6m¶Ý � Ñ8Z�[ vÝ á�Ý , �Io iIv \rXgQTjLZr`6Z i ` i UYU v []VWdIZ_S�mIQTe6XRm ç ð S�[uUYm v dl` mCÝ � Ñ8ZT[ v Ý VWX i K]E [ � ` [ v X6VYm v m çÝ S ^Hð�M � [ ` ! � Þ�! & S�[|` ZT[,juUY[ i f i dI[8dIe i nTZTXRm ç Ý j]mIe6eg[uXgn7m v \TV v dc` mCÝ � Þ!Ý & o_e6[uXgn7[]j]`6VYfI[]UY^HMC|ZT[ v ! � Þ ! & i e6[-* E j]m vTv []j]`6[u\2S ^ � [ t t i [�M �TM � []`.! � S�[�mHS�` i V v [u\ ç e6m t ! � V v ` Z�[X iIt []Ñ i ^¼`6Z i `;Ý Ñ i X mIS�` i V v []\ ç egm t Ý�M§��^´V v \TQ�j]` VYm v ! � VWX0* E jum vTv [uj ` []\pM C|Z_QTX! úá ! � & ! & oqVWX * E jum v�v [uj ` [u\<S_^ � [ trt i [�M [�MR� ç ! �á¤Ý }` Z�[ v Ñ'[ i e6[l\�m v [HMR� ç v mH`=o` ZT[ v Ý� úá ! , � �7o�Ñ8ZT[]e6[�*��©Þ � -MáXä�ÜJÝ � à ��ä�ÜJÝ & à o iIv \;Ñ�[ i e6[8\Tm v [,S ^ � [ trt i [�M ��M(�

� Ì�� Ï � ��Ï� ��� �3� �(Ï�É�É¡Ï(È�� � Ï(È � �¨Î�Ï�Ê­Î#ÍÅÏ�É��

����� ÝâálÜåä¡Þ�æ�à�� ����������� �!��" #!$%�&� ä ��á *�ðYñä(' Ó ÜKð�à¡á [ -�)+* � Ñ-, $.$/���:ç0�1���3254����6� ,%7 ��8, " ä��(ÜJÝ@à ��8 ëUÚ FiØ�B 2Oç Ý ��" #9�32:��� �;8�< � ������� � Ý^� ä �@� ��8���� � ëUÚ FiØU B,õf��ì^Õ�Ö��¨î 2Oç Ý�)¡Ò " 2=#>�2Oç Ý Ñ-, ���?# �1���6�1�@���-A�2�86�-2�" � Ü � � � 7 �3$CB9� Ñ 2 DE� � � 7 �3$.B��3� �6�1� à�, "9�3� �@" 2F# �HGI8�< � ������� �J2Oç Ý, 8 7 ��$%$.�1#9� ê®Ø�Ö|Ô�ëUÚ FiØrÜ B�Ø*Õ,öJØ�B7ëUÚ FiØ D �*Õ|ÖOëUø*î�ö�ë�ì�ëUÚ FiØ D>�6�186�K� 7 � , 4���$.B à&)�Ò Ù¡î�Ø!Ø�ê �MLbá Üåä¡Þ�æ�à, 8;�N�������>�O2�" � ]QP 4����6� ,%7 ��8 Ñ � ,%7 � � ��8;�94����6�3� � � Ñ � ,%7 � , 8;��# " � 7 �1"R�;��2?��$%$S�3� �T2U�3� ���

V-WYX+V[Z]\>^`_3acb�de_6f�g Xh^ji�k1lnmSopkcq[r�stsur�vxwHr

Page 15: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

��� ��������� �� �,T� � �R��� � � � �-�I� �>��� � � �I������R� ���M��� � � � P

4����6� ,.7 ��8;��" #/ç02�� Ñ � ,%7 � �ML � ä � � �[, 8 � 7 B 7 $.� )�� �F<>8 �3� � " 2F# �&G 8�< � ������� � 2�� ���-�>�1�1$ �OL� , ��� ���5, 8p� 7 B 7 $%� )� ������8p8��>2��-" , "�� � D�����A�A���� ) ��� �3� ��� , ��� , 8p��"�� G 71, � 7 < , ���3�>�1"� , �3� ����� , 8 ���-�>�1�1$[2�������� � � , 8 ���02�����86� ) � � �:� �62=2�� 7 ��" � � �"!F���1" # ��# ��2#� G 7 2�" ">� 7 ���1#������� � 8��325� , 4�� '$&%(')'�*�+-,/.0,214365 �87 3 �:9<;>=@?A? 3 ; 5B3DC(EGFIH �KJML ?�= 5ON�POQR3>36SUTV5WQR3 ? 5WQR3 ?�= C(3 L�= H �KJI? C�X ; 3N H =@Y 3 L 5 JI?Z� E* �T��$%862N" ���1#O�[��2?�6�186< $.��8;2�"\� G 71, � 717 < , ��8]�0��2�A^� �6� )�� � �T� �62=2��+2@� �3� �2_ ��86�;$%�1A�A�� , 8

8 , A , $%���+�32T�3�>���p2�������A�A��`� )�a>)$&%(')'�*�+-,cb4,ed[fgTG143�h�h`NZiREMjlk214365 �nm8oB�OpDq�r`7 3�N ?\�:9<;�JIYD; X J 5�N ? C�Ss365�t pluwvx�y7 3;�YzJ 5 J{; N|S L 365 L P J 5/Q�} t�~ u }� � N ? C} t�� u }���} � }|� � E)�-QR3 ? t8~ u N ? C�t�� u N Y 37>= 5WQ ;�YzJ 5 J{; N|SUT&N ? C2� o t pDu�r�m�� E$&%(')'�*�+-,c�4,ed[fgT�143�h�h`N�iREM�lk214365�� m�oB�OpDq�r�7 3�N ?\�:9<;�JIYD; X J 5�N ? C�Ss365&t v���7 3�N;�YzJ 5 J{; N|S L 365�E��-QR3 ?�� ��t ;>=@? 5�N JI?�L N|5]Ss3DN L 5 =@? 3 ?�= C(3�E���X Y 5/QR3 Y h =@Y 3"T J H�} � ��t�}4 � T5WQR3 ?�� ��t ;>=@? 5�N JI?�L N|5&Ss3DN L 5�5WP =�?�= C(3 L E* � 8�� ��$.$ 86�uB��3� �U��8�� $ , �6� , ">� 2�� �T" 2=#>��� , "9��"Z� G 7 2�" ">� 7 ���1#!������� � , 8 N C�h JML>LzJ{7 Ss3�, � , �

� ����8����64���8�� G 7 2�" " � 7 � , 4 , �IB�D���� ���O� , 8[��" N C�h JML>LzJ{7 Ss3 ?�= C(3 , � , � �>��8 ��"T��#>A , 8�8 ,.� $%�h8��>$ , �6� , " � D��" #]2��3� ���¡� , 8��N��� ���¢� , 8�?�=@?09 N C�h JML>LzJ{7 Ss31)#£ 2�������� ��� ��" ��#>A , 8�8 ,.� $%�586� $ , ��� , " �J2�� , "]��"� G 7�, � 7 < , ������8�< $C�38 , "?��"Z� G 7 2�">" � 7 �3�1# ������� �#� , �3� } q } m¤� } � }�� �=D ��"># � ��" 7 �@�6�18�<>$.�38 , "��" 2���� �1��� G 71, � 7 < , � )V� � �e�02�$%$%2�� , " �:����8�< $C���02�$%$.2��-8 �1��8 , $CB��0��2�A8���1A�A��`� ) � �=)$&%(')'�*�+-,¥+-,ed[fgT�1¦3�h�h`N#j(EIf¡k�14365O� mxoB�OpDq�r27 3�N ?Z�:9<;�JIYD; X J 5�N ? C ��7 3�N ?�= C(3 JI?��P J 5WQ¢§ o{�Rr�m©¨�ª-pD«2p>¬®­ E��-QR3 ?#L[¯ S J 5W5 JI?R°�=¡±��²=@? 5/QR3 ¯ N JIY�ª0�0pD« �#JML�?�= 5�N C�h JML>LzJ{7 Ss3 J H N ? C=@? S´³ J H�5WQR3 Y 3 JML N ;�YzJ 5 J{; N|S L 365µt v�� P J 5/Q ª-pD«¤¶ t N ? C �·pD¬²¸¶ t¹E �º� , 85�]">2=# � , " � ���6��� ���»� , �3� § oW�Rr�m^¨�ªµpl«2p>¬R­!��"># t , 85� 7 � , � ,.7 ��$ 86����� , ���

ª-pD«¤¶ t ��" #��0p>¬²¸¶ t �3� ��"���� 7 ��$.$ t �¢�·9<;�YzJ 5 J{; N|S L 365 =@?Z¨�ªµpl«¢­�DR2��+8 , A��>$.BT�¢�·9<;�YzJ 5 J{; N|SL 365j)� � t , 8:�²��G 7 � , � ,.7 ��$ 86���52�"¼¨�ª-pD«e­��02�� 8�2�A��N" 2F# ���\� , ��� § oW�Rr�m½¨�ª-pD«¢p>¬R­�D ��" #� o�¬ r P D>��� �1" t , 8�8�� , #?�32 � ��?�= C(3 9<;�YzJ 5 J{; N|S )¾;< �-" �"!F�p$%��A�A��T�"!F���1" # 82� � D0���1A�A�� a>) � � )

$&%(')'�*�+-,c¿4,214365A� 7 3�N ?¢�À9<;�JIYl; X J 5/T�} ��o � r }(��(T¦N ? C ��7 3�N ?�=@?09 N C�h JML>LzJ{7 Ss3�Ss3DNlH ?�= C(3JI? �ÁP J 5WQ�§ oW�Âr�mè�ĦpDÅ�pD¬R­ E�ÆAX ¯ ¯Â=gL 3Ç5/Q®N|5 ?�= 5/P =�? 3 Jc° Q 7>= X YzLÇ= H � N Y 3eN �R9�L 3 ¯ N Y N|5 =@Y JI?��EÈ N�É�FIH ¬�JML N ?�= C(3 = H���5/QR3 ? H =@Y N ? ³ ¯ N JIY t�Ê p t`Ë = H �·9<;�YzJ 5 J{; N|S L 365 L]=@?�¨�Å·p>¬R­ TµN ? C ¨�Ħp>¬R­ TY 3 L[¯ 3 ; 5 JIÌ 36S´³�TOP�3¢Q®N Ì 3`} t�Ê-~#t�Ë|}( � N ? C¢t�ÊÍ�#t�Ë m¤��o � r � � EÈ 7 É\FIH ��JML²?�= 5�N ClÎ"N ; 3 ? 525 = N ?�= C(3�5WQR3 ? 5WQR3 Y 3)3>Ï JML 5�5WP =\�09<;�Y"J 5 J{; N|S L 365 L t�Ê p t`ËP J 5/Q} t�Ê-~Zt`Ë�}( � T¦t�ʵ�Ðt`Ë mÑ��o � r � � EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�* �Ç_E�686� 7 2�" 8 , # ���p��� � 7 ��8��e�-� �1"²¬ , 8-��" 2=#>� 2�� � )�×=, " 7 �Ç� , 8p">2�"=GI��# A , 8�8 ,%� $.��D���1A�A�� P ) P , A�� $ , ��8N�3� �U� � � �����]�"! , 8x� �[� 2���G 7 � , � ,%7 ��$;8��&�38�D t�Ê 2�":¨�Å·p>¬R­ ��" # t`Ë 2�"¨�Ħp>¬R­ )O �S�3�>�;�1# ���18�Ä0¬T��" #�ÅR¬:���6� � 2U�3�9� �6�186�1"R� , "�q�o � rHD=��� �1"²¨�ĦpDÅ0­ , 8 ���uG 8��1�>��������2��1D7 2�"R������# ,.7 � , " �]��" �RBF�K2���� �18 , 892@� �3� �M$.�1A�A�� )�� ��< 8�� �MA��tB ��8�8�<>A��UD�� , �3� 2�<>�N$.2�8�8�2�����1">�1����$ , �IB�DF��� ����Ŭ�¸¶�q )V� � �1"#�02��h�3� �]�RG 7 � , � ,.7 ��$E86��� t�Ê 2�"�Å�p>¬e��� A:<>86� �>�u4�� } t�Êg}(Øa>)

V-WYX+V[Z]\>^`_3acb�de_6f�g Xh^ji�k1lnmSopkcq[r�stsur�vxwHr

Page 16: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

����������� �������������������������� !���"�#���$&%'�(�� �*) ����+,�.-��"��� � �

/ B��S��A�A��Ð� ) ��0 o � r � � t�Ê � , 8Ç�uG 7 2�">" � 7 �3�1# D���" #O� ��" 7 ��¬?� ��8 �[��2J" � , ��� � 2�< ��8 , " t�Ê�)Ç �¬ � ��8 " 2 " � , ��� � 2�<>��8 , " t�Ë �3� ��"�Ä0¬Ø¸¶ q�o t`Ë r&D } t`Ë�}µna D ��" #�¬ , 8���" , 8�2�$.���3��#O4��1�x�3�z!, " � � t`Ë � )²� � , 8¢� 2�< $.# 7 2�"R������# ,.7 ���S��A�A���� ) ��0 o � r )21 ��" 7 �ЬM�>��8 �M">� , ��� � 2�< � , " t`Ë�)×=, " 7 �e¬ , 8p��" 2F# �@��" # � ��8��[��2�" � , ��� � 2�< ��8 , " t�Ê DE�3� , 8 , A�� $ , �18 ��� ��� } t�ʵ~Zt`Ë|}® � )3/ B���1A�A�� P ) ���3� , 8 � , 4���8 ��� ��� t�ÊÍ��t�Ë , 8 ��$%8�2 7 � , � ,%7 ��$ )�×=, " 7 � � oW�0p t�ÊÍ��t`Ë r Ãa D ���1A�A��� ) � �:, A�� $ , �18 ��� ��� t�ʵ�Ðt`Ë mÑ��o � r � � )O� ��< 8¢oj� r�� 2�$%#>8 )£ 2�� 86< � � 2�8�� ��� ����� , 8 " 2�� ��#'46� 7 �1"R� ��2 � ">2=# � ) ×=, " 7 ��� , 8 ">2�"=GI��# A , 8�8 ,%� $.��D

���1A�A�� P ) P , A�� $ , �189��� ���!�3� ����� �z! , 86� �3� �6�1����G 7 � , � ,%7 ��$;86���38 t pDu&p65 2�"©¨�Å�pD¬R­�D�¨�Ħp>¬R­��" # ¨�ĦpDÅ0­�D ����8�� � 7 � , 4��1$.B )�× <>� �K2�8��?�3� �U�5" 2M�[��2 2��-�3�>�18��J86���38 , "����1�68�� 7 �5�1� 7 � 2���� �1� , "��� $%�1��86�@�[��2 4��1�x� ,.7 �18 )Ð� � �1"�� �9��$.8�2!� �t4�� t ~ u ~ 5 m87 ) ���1A�A���� ) � , A�� $ , ��8 �3� �U�t½� u � 5 , 8 7 � , � ,%7 ��$h��" # � o t plu�p65 r`m � )�×=, " 7 � � oW�·p tw� u � 5�r�m a DO� �?# �1# < 7 ��3� �U� t � u � 5 mn� � ��oj2���� �1�<� , 8���o t�� u � 5�r:9Ø�!4 , 2�$%�U�3�18Ç����A�A��Z� ) � � r )`×F, " 7 �} � }�y� D�����$%����86��2�" �!2�� �3� �!�3� �6�1� 7 � , � ,%7 ��$ 86���38 t pDu&p65yoj8��tB�D t r:8���� , 8¡_ �18 } t�}�½a>)/ <>�Ç� ��� �t4�� � o t pDu�p,5�r�m �=DY��" # � ��" 7 �`Å·p>¬ , 8 �²�tGI8���� ���6���32�� , " � D 7 2�"R�3�6��# ,%7 � , " �J��"�RB=� 2���� �18 , 8!2�� ��� �]$.�1A�A�� ) � � , 8 7 2�"R������# ,.7 � , 2�" 8��>2��-8!�3� �U�Z� � 7 ��" 7 � 2=2�8�� �[��2 8�����8t�Ê p t`Ë ¶¹¨ t pDu&p65e­¢� , �3� } t�ʵ~�t`Ë�}� � )G� � ��" t�ÊV�Zt`Ë , 8 7 � , � ,.7 ��$ � B����1A�A�� P ) ����" #8�2 t�Ê �ºt`Ë mÑ� � �e�02�$%$.2��-81D�< 8 , " �Ç����A�A��e� ) � � ��" # � o{�0p t�� u�rOm a=)V� ��< 8]o � r[� 2�$%# 8 )<;

� � ��" �"!F�p$%��A�A��T�"!F���1" # 82� � D0���1A�A�� a>)�a � )$&%(')'�*�+-,�=4,214365G� m»oB�OpDq�r�7 3#N ?�À9<;�JIYl; X J 5�POQ J{; Q JML�?�= 5�N�POQR3>36SUT N ? C²Ss365 ��7 3�N?�= C(3�E�14365�§ o{�Rr¢m»¨�ĦpDÅ·p>¬R­ N ? C�Ss365&t 7 3ÐN �09<;�YzJ 5 J{; N|S L 365 =@?)ĦplÅ P J 5/Q�� o{¬ r P N ? C} t�}(Øa�E�ÆAX ¯ ¯Â=gL 3e5WQ®N|5G3 J 5WQR3 YÈ N�É�5/QR3 Y 3 JML N ?�=@?09 N C�h JML>LzJ{7 Ss3 L 3 YzJ 3 L¢?�= C(3 ª�¶�� ��tw� � P J 5/Q�3>Ï|N ; 5WS´³ =@? 3 ? 3 Jc° Q 7>= X Y«nJI? t)T&N ? C «nJML N ?�= C(3"T =@YÈ 7 É�5/QR3 Y 3 JML N ?�=@?09 N C�h JML>LzJ{7 Ss3eSs3DNlH ?�= C(3�> ¶\� ��t�� � E�-QR3 ? 3 J 5WQR3 Y 5/QR3 Y 3 JML N �R9�L 3 ¯ N Y N|5 J{=@?�o �`Ê p ��Ë r²= H�� P J 5/Qt ? ��o �`Ê r²=@Y 5/QR3 Y 3 JML N?�= C(3 9<;�YzJ 5 J{; N|S L 365¦tA@2P J 5/Q�t v tA@�EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× < �>�K2�86�`_ ��86�@��� ����oj�(r 2 717 < ��8@��">#]$.��� § oWª�rºm8¨�«¢pCB¦pED(­ )F/ BO2�< �@��8�86< A��=� , 2�"§ oWª r ~2t m ¨�«e­ ��" # � o{«ºrOm a>)�×=, " 7 �]ª , 8+� 86�1� , �18 " 2F# ��D®��� 7 ��"9��8�8�<>A��-�3� �U� � o$B·rOm a��" # � o�D|r P )�×=, " 7 ��ª , 8 " 2�"=G ��# A , 8�8 ,%� $.��DE�3�>�1��� �"! , 8x�38;�#ª G 7 � , � ,%7 ��$�8��&�ºu 2�")¨�«2pCB4­ � B���1A�A�� P ) P )`£ 2�� � , 8 " 2U� �Ð�-� ���1$ DY��" # � ��" 7 � � ���!G � 7 2�"R�3� , " 8@" 2 7 B 7 $%��8 � B���1A�A��P ) � )º� ��< 8HBA«»¸¶�q ��">#O� �1" 7 � } u }�©a>)º� � , 8 , A�� $ , ��81D � B����1A�A��#� ) 0 oj�(rHDK�3�>���º��� u � , 8�uG 7 2�" " � 7 ���1#/DR��">#T� �1" 7 ��u 7 2�"R��� , " 8Y�[��2@" � , ��� � 2�< �68 2��·« )V×=, " 7 � } t�}(Øa D ���1A�A��Ç� ) 0 oj�(r, A�� $ , �18+�3� �U����� t � , 8��uG 7 2�" " � 7 ���1#/DE��">#!�>�1" 7 � ��� $%�1��86�-2�" � 2@�Y��� �@" � , ��� � 2�< ��8�2��µ« , "#uA:< 8x� � � , " t )�� ��< 8 } tK~ u }A � ) ����� tI@ m t � u )�* � �>�u4�� tA@J? � � ª � DFDK��" #���1A�A�� P ) � , A�� $ , �18-�3� ��� tA@;, 8 �#ª G 7 � , � ,%7 ��$�8����@2�"�¨�«2pCB ­ )Ç×=, " 7 � � oKD�r P ��" #LB ¸¶ t D�3� �@86��� tA@-, 8��5" 2F# �&G 7 � , � ,.7 ��$K8������-� ,.7 � � �62�� �1��$CB 7 2�"R�3� , " 8 t )* ��" �z!=�[8�< �>�K2�86� ��� ����o � r�2 7�7 < �68 )Y* � A:< 86� � �t4�� } § o > r ~�t�}(� �=Dc8 , " 7 � } § o > r ~�t�} m a

��2�< $%# , A�� $CB5�3� ��� t 9 > 4 , 2�$%�����18����1A�A���� ) � � o 7 r )O � } § o > r ~#t�} mÑ� �3� ��" t 9 > , 8���$%8627 � , � ,.7 ��$Y��" # � B 7 �>2=2�8 , " � tI@ m t 9 > �3� �T$.�1A�A����02�$%$.2��-8 )º� ��< 8º���5A��uB ��868�< A��:�3� �U�} § o > r ~Zt�}(� � )×=, " 7 � > , 8 �J" 2�"=G ��# A , 868 ,%� $%� $.�1���h" 2F# �UDÍ����A�A�� P )U�?, A��>$ , ��8 ��� ���@� , �3� ���;�3� ����� , 8 ���uG

8���� �����U�32�� 7 2�" 8 , 86� , " �:2@� �[� 25" � , ��� � 2�<>��8�2�� > 2�� �3�>�1��� �z! , 86���[� 2 > G 7 � , � ,%7 ��$K86����8�u Ê ��" #Ðu Ë� , ����u ÊO� u Ë m8� �*> D } u Ê�~ u Ë�}Í �=D[��" # 862 �3� �U� , � > � ��8 � ">� , ��� � 2�< �NM#�-� ,%7 � , 8��

V-WYX+V[Z]\>^`_3acb�de_6f�g Xh^ji�k1lnmSopkcq[r�stsur�vxwHr

Page 17: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

�������������'������+ �&��� ���� �����"������ ��� ���������$����������<�� !�$�"�#����&%'�(�� � ) � ��� ��������� % +��, �� ��0

" 2F# � �3� ��" M�¶�u ʵ~ u Ë�)� "!��� �º�02���A��1� 7 ��86�e� �@�����@# 2�">��o�8 , " 7 �e��� t � , 8]�uG 7 2�" " � 7 ���1# � B���1A�A��]� ) 0 oj� r���" # �>�1" 7 � t , 8 7 2�"R�3� , " ��# , " 2�">� 8 , # �h2��>��� � 7 2��6���186�K2�" # , ">���uG 8���� �����U� , 2�"0r )× < � � 2�86����� ���@�3� ��$%�U���3��� 7 ��86���>2�$%# 8 )�£ 2��3�T�3�>���eu Ê ��" #u Ë ������" 2F# �&G 7 � , � ,.7 ��$ 8 , " 7 � >;, 8� $.�1��� ">2=# � ��" # } u Ê�} p } u Ëg}��a=)¤×=, " 7 �Zu Ê�� u Ë m � � > D > ¸¶ t D ��" # } t�}� a DG� �� �t4�� } t ~ u Ê�}- �J2�� } t ~ u Ë�}- � ) ����� < 8@��8�86< A��UDÍ� , �3� 2�<=� $.2�8�8@2�� ����" �1�6��$ , �IB�D��3� �U�} t ~ u Êg}0 ��� 2�$.# 8 ) / B²����A�A�� P ) �=D t8� u Ê , 8 � 7 � , � ,.7 ��$�86��� )º � § o > r ~�t ? u Ê DK�3�>�1"�3� � $%�1A�A��¢�02�$.$%2��-8 � B 7 � 2=2�8 , ">� tA@ m t�� u Ê�) o � � � 8��&� tA@ , 8 > G 7 � , � ,%7 ��$ ��" #N��� � < " ,�� <>�" � , ��� � 2�< ��2�� > , "�� ��tA@ � ��8-# ���������º�02�< � , " � ) r� ��< 8²� � A��tB ��868�< A�� �3�>��� § o > r ~�t m ¨� �­ ��">#� ��¶wu Ê � 2�$.# 8 ) � � , 8 , A�� $ , �18

�3� �U� � o� �r P Dh8 , " 7 � , � � o� �r`m a ��� �1"¹� � � �t4��� �¶ u Ê�~ u Ë ��8�">2��3��# � � 2t4�� )¼×F, " 7 �u ʵ� u Ë m©� � > D0� �:� �t4��� �¶u Ë�) 1 ��" 7 � , � } t8~ u Ë�}A �5�3�>�1"�� �:���6� # 2�">��D ��8 � � 2t4��UD� B 7 � 2F2�8 , " �:�3�>� > G 7 � , � ,%7 ��$K86��� tA@ m tn� u Ë�)O� ��< 81D�� �@A��tB�8�< �>�K2�86� �3� ��� } t�~ u Ë�} m � )×=, " 7 � � o > p t�� u Ê r�m a D/��" # t8� u Ê , 8 7 � , � ,.7 ��$jD�����A�A��Ð� ) � �N, A�� $ , �18 t�� u Ê m � � >H)×=, " 7 ��u Ê4� u Ë m¤� �A> DÂ��� �>�u4��`o t � �r ? u Ê&)O� �F<>8 � � u Ê m©¨� |p > ­ )�� � , 8 7 2�"R������# ,.7 ��8���1A�A�� P )�a D 8 , " 7 � � o� �r P D ��" # 7 2�A�� $.���3��8 �3� �@� �62=2@�[2��Y�3�>��$.�1A�A�� ) ;

� ��������� �"!$# %&!$')(+*)(,!.-/'0�1-/� ���/# (2')')(,354,� '�%542(+*�*)(2-�6.'7(2-� �8�"!$-/-�� �9*)� � 6�����%5:/'

�����<; m:oWq�p�=�r � � � A����3�62 , #@��" # $%���<> Ê p?> Ë p,@�@A@sp?>CB � ��� " 2�"=G �1A��>�IB@8�� � <>�1" 7 �p2@� 71, � 7 < , �382��D; ) �����FEHG�m�> Ê0� > Ë�� @A@A@ � >IGG�02�� � �KJ�� >H) * � 86�tB���� ���9> Ê p?> Ë p,@A@�@sp?>CB , 8��ǯ N Y 5 J N|S3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@?�2��<; , �-�02�����4��1�6B�� �ML�� > ��� �º�02�$%$.2�� , " �:� �62�� �1�6� , ��8�� 2�$%# 'oON � rF>CP ~ E1PRQ Ê �m 7 DoON��|rF>CP � E1PRQ Ê �m 7 DoON a r9" 2 71, � 7 < , �S> TP 86��� , 8¡�eB , ">��oUN � r9��" #:oON��|r9� ��8V>HTP � E1PRQ Ê � ��2��K����$.B 7 2�"R�3� , " ��# , ">CP � E1PRQ Ê�)� � �?86����>CP � E1PRQ Ê , 8 7 ��$%$%��#]��� � S = 7 3 2�� 7�, � 7 < , �W>CP D[��" # , 8 # ��" 2��3��# � BYX>CP )[Z " 3DN Y

C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@? 2���� , 8S�p� ���x� , ��$R�1���S# � 7 2�A��K2�8 , � , 2�"º� , �3��EWB4m�q )Y* � ">�1�1# �3� ���02�$%$.2�� , " ��0� 7 ��8;� � 2�<>� �1���;#>� 7 2�A�� 2�8 , � , 2�" 8 )]� � �:� �62=2@�+2���oj�(rp��" #�o � r , " �3� �:">�"!F� $%��A�A�� 7 ��" � ��02�< " # , "� � � )�� � �@� ��2F2�� 2��Go 7 r , 8�����86BJ��" # , 8�2�A , �6�3�1# )$&%(')'�*�¿4,/.0,214365 ; 7 32N�h`N|5 Yl=@J C(E��-QR3 ?È N�É ; JML¢;>=@?A? 3 ; 5�3DC J HeN ? C =@? S´³ J H ; Q®N L N ? 3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@? EÈ 7 ÉÇFIH ; JMLÇ;>=@?A? 3 ; 5�3DC�5WQR3 ? N ? ³ ¯ N Y 5 J N|S 3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@?²= H ; ; N ?�7 3¢3>Ï�5B3 ? C(3DC�5 = N ?3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@?\= H ; EÈ ; É¢F/H > Ê p?> Ë p,@A@�@sp?>CBGJML N ? 3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@?= H ; 5WQR3 ?

MRo�E1P/r � MRo�E1PRQ Ê rOm } X>CP }�� � H =@Y � �ML&� > @ o 0 r

Z 8 ��" �z!>��A�� $.��D ��" �1���xGI#>� 7 2�A�� 2�8 , � , 2�"\> Ê p?> Ë 2������ �N� , � , # , �IB A��U�3��2 , # 2���� m0] G_^ `7 ��" � ��2 � ��� , ">�1# � BJ�3�ba , " �5�3� ���1# ��� 8��&�38 2�� �[� 2N# , � �����1"R�c] G_^ d;86< � ���6��� � 8 2���� )G� � ��8��8�< � �������>� 8 ������o , "R�3�1�68�� 7 � , " �(r�� G 71, � 7 < , �38 , "�� ��" #J�3� � , ��< " , 2�" 7 2�"R��� , " 8���$%$/��# ���18p2��V� )

V-WYX+V[Z]\>^`_3acb�de_6f�g Xh^ji�k1lnmSopkcq[r�stsur�vxwHr

Page 18: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

�������������'������+ �&��� ���� �����"������ ��� ���������$����������<�� !�$�"�#����&%'�(�� � ) � ��� ��������� % +��, �� ���

$&%(')'�*�¿4,cb4,214365 �Ám oB�OpDq�r�7 3\N ?��:9<;>=@?A? 3 ; 5B3DC °@Y N ¯ Q¹N ? C��`Ê p ��Ë p,@+@,@�p � B�7 3�5/QR3�À9<;�JIYl; X J 5 L�= H ��JI? C�X ; 3DC 7 ³ÐN ? 3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@?)= H ; o��¢r P J 5WQ >� � Ee14365O� m � B Tu:mÑ��o � r ��� B Q ÊP�� Ê ��o � PIr T 5�m�q�o � r ��� B Q ÊP�� Ê q�o � P/r T�N ? C�Ss365µt m¤��o � r � u E`�-QR3 ?��È N�É�3 J 5/QR3 Y]u:m 7 N ? C�} 5 } m � T =@Y�u �m 7 N ? CÐ3 Ì 3 Y ³�3DC ° 3�� ¶A5 JMLÇJI?�;�J C(3 ? 5&5 =2u�È 7 É#} 5 } m¤� } u } 9 � �È ; ɺt JML2;�YzJ 5 J{; N|S JI? � �È C�É ��� u � JML¢;>=@?A? 3 ; 5�3DC(EÈ 3<É¢F/H � JML a 9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC�5/QR3 ? } t¼}(ØaAEÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�×=, " 7 �#� G 7 2�" ">� 7 ���1# ���6��� � 8:�����9� , � , #/D , �¢�02�$.$%2��-8@�3� ������D � B Q ÊP�� Ê � P D ��" # � ���6���$%$ � , � , # ):� ��< 8�oUN a r , A�� $ , �18���� ���o��(rN� 2�$.# 8 )� < �x�3� ����A�2����UD MRo{q�r�m � } � }0� a ��" #MÂo � B Q ÊP�� Ê q�o � PIrlr�m � } � � u }g��a=) / B��S��A�A�� �=) � o 7 r �3� , 8 , A�� $ , �18 ��� ����� } u } m } X>CB }g� � m} 5 } � � )O� � , 8-� , 4���8¢o � r )×=, " 7 � � , 8 ��"Ð� G 71, � 7 < , ��D®��� �>�u4�� } q�o � r } m¤� } �`o � r }"� � )(1 �1" 7 ��DE8 , " 7 � } t�}( �FD4o � r

, A�� $ , �18h�3� ��� t , 8 7 � , � ,%7 ��$ , " � ��" #J� �1" 7 ��o 7 r � 2�$.# 8 )� 2 � �62t4�� oj#0r 86< � � 2�8�� �3� �U� u 7 ��" � � � ���6� , � , 2�" �1# , "R�32 �[��2 " 2�"FGI�1A��>�IB

8��&�38½u Ê pDu Ë � , ��� � oWu Ê pDu Ë r m � ) ×F, " 7 � t , 8 7 � , � ,.7 ��$ ��" # � , 8 ��" � G71, � 7 < , ��D���� A:< 86� � �t4�� L oWu G"r 9 � oWu G�p t r � � } u G } �02�� J m � p>� ) � � , 8 � , 4���8} 5 } m � ËG � Ê L o{u G�r 9 � oWu G�p t r � �Âo } u Ê�} 9 } u Ë@} r � � } u } D 7 2���� � ��� ,.7 � , ���Ão��0r������ ���FG �!�IB²o r��"��#$#%���'&��"� �)(*�,+ �"��-.�/�,+��)� 10 �,+ ��u �m 72�)��� t 0 &3�4& �5��� �)� ��� 0 ����o765& 0 �5�#o7- rlr�8����u:m 79����� } t�} m } ��o � r }( P o�& 0 �5- � 0 &:�����<;=- 0 �>-16 0 �zr�� ;

� ���?� �����<;=- 0 � -.6 0 �18��@� �A���B� ���º�?���5� § o{�Rr#mÁ¨�ĦplÅ�p>¬®­C� × 0 ��- � � Ä0¬0 &4� 0 � 0 �D8O� � � 0 &E� 0 � 0 �A�CF�� ((G�²�H�JIÂo7�(rK� � +B65&��ML ^ NO m�� � �F9�ÄAÅ 0 &4� 0 � 0 �D� × 0 ��- } �`o��ML ^ NO r } m � } q�o��ML

^ NO r }@� �H8¦�ML

^ NO -1����� � 0 ��&M�P65� 0 � 6 �Q;=- 0 � -.6 0 �H>9�MR +5��S > m:�TL ^ NO0 �����5�U�)��#%F 0 �V�,+ & ��# 0 � � 0 ���W���&�X�����(ĦpD�(Å 0 &�����( 0 &>& 0 ��# � �/���)�18µ��oO>2r 0 &Y�,+ ( 0 � 0 (��#

��;=-1� 0 � 0 -1�)#�& �Z����¨�ĦpDÅ·­ 0 ���9�$&%(')'�*�¿4,c�4,214365 �y7 3�N ?²�À9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC °@Y N ¯ Q�N ? C��`Ê p ��Ë p+@,@,@6p � Bº7 3`5/QR3 �À9<;�JIYl; X J 5 L= H � JI? C�X ; 3DC 7 ³�N ? 3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@?Ñ= H ; o��¢r P J 5WQ >) � Ex1¦365�� m � B T u m��o � r ��� B Q ÊP�� Ê ��o � PIr N ? C�t m¤��o � r � u E�14365 �Ð7 3]N ?�= C(3 = H �ÀJI?�u TµN ? C¢Ss365 ĦplÅ�¶ § oW�RrP J 5WQ Ä8¸¶ t�EØ14365 > 7 3�5WQR3�X ?AJ�[ X�3 �À9<;�JIYl; X J 5 JI? � L ^ NO E�F/H q�o�>¢r ~ q]\�o t r �m 7 N ? Cq�o � L ^ NO r � qZ\]o t r�v q�o�>¢r T�5/QR3 ?²L[¯ S J 5W5 JI?R°2�=@?Ð�(ĦpD�(ŲJML N C�h JML>LzJ{7 Ss3 JI?Z� EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ � � � Tnm � L ^ NO 8^����� § o{�Rr^m ¨�ĦplÅ�p>¬®­C� �_& 6H`G- &_�,�a& +5��� �,+��b�q�o ��Ê r"pDq�o ��Ë r"p+@,@,@6plq�o � B Q Ê rzpDq�oO>2r 0 &:��� ���!;c� -.��(G�d��& 0 � 0 ���P���<; o��ML ^ NO r:& 0 ��- �,+ 0 &�� 0 #$#0 (��#%Fe�,+��b���ML ^ NO 0 &¢�<;=-.����� -.� �D�²� �1E1B Q Ê m � B Q ÊP�� Ê q�o � PIr�� � + ��qZ\]o t r ? EWB Q Ê �CF� ((G� � �´�Âo��(r�� × 0 ��- q�o � L ^ NO r � qZ\]o t rv^q�oO>2rK8 � B Q ÊP�� Ê q�o � P/r � q�o�>¢r²mÁq�o{�TL ^ NO r����� ��� �!� 0$ &2oUN � r�8ÍoON��|r:������oON a r:��� -1# ���>#%FP&>�)� 0 &¡_ ���"���]� ��L�� >O� � �:�f�>��� �>�=F)oUN � r�"��#$#%���'&2�"���Wg L m >Kh �"� ��(i�,+ +�FB���b�,+ & 0 &j� +��)��q�oO>2r ~ q]\ o t r5�m 7U�)���k�,+ �"��-��j�,+��b�qZ\]o t r ? E1B Q Ê �A�f�>��� �>�=F�oON��|r2+��)#$��&2�"�)�Wg L m >Kh & 0 �5- ÄAÅ ¶¤q�o�>¢r � E1B Q Ê � � �l& . �,+��b�ZoON a r2+���#%��&2�"���mg L m >Kh � ���>�H- 1 �n��F@-.�����,�>��� 0 -�� 0 ���D� × 6����d��& �,+5�)�j�,+ � o0 &2����<;=- 0 �>-16 0 �1> T�� 0 � +�q�oO>HT r ~ E1B Q Ê �m 7 �m8q�oO>HT r � EWB Q Ê �)���K>HT � E1B Q Ê v > � EWB Q Ê �× 0 �5- q�o �`Ê r"plq�o ��Ë rzp,@,@,@�pDq�o � BWrZ& �b� 0 &<_ &�oON a r�8�� (E65&>�M+��pS ÄAÅ�¶�q�o�> T¥rK�Ç� � > T Tq� ���5� � 0 � ���"� �)( > T ��Fr� � ; !B� ��& 0 ���D84�'+ 0 -s+t� # � &��,+ E ��� ÄAÅ�8D�)����&��P� �uS �!� !��d8������,+ Z ��� &G�(ĦpD�(Å�pl�R¬H� £ ��� > T T S 0 ��#$�b� &]oON a r�� 0 � +W� & � -��v�,�w�,+ ] �)�3� -1��(���)& 0 � 0 ���

V-WYX+V[Z]\>^`_3acb�de_6f�g Xh^ji�k1lnmSopkcq[r�stsur�vxwHr

Page 19: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

�������������'������+ �&��� ���� �����"������ ��� ���������$����������<�� !�$�"�#����&%'�(�� � ) � ��� ��������� % +��, �� � I

q�o ��Ê r"pDq�o ��Ë r"p+@,@,@6plq�o � BWr3�@��; o{�2rK8 �-.�����,�>��� 0 -�� 0 ���D� ;

£ �b� � +��)� 0 �Y& ��# 0 � � 0 ���\�k��#%������(ĦpD�(Å 0 &����( 0 & & 0 ��# P0 � � 83� + �^� + +�FB�d�)�,+ & &m���� ((G� � � a ��� � � 0 S 0 ��#$# F9& �)� 0 &¡_ � & 0 �5- � +��pS >Ãm � L ^ NO ���� %(Ô0Óg%(' ¿4,s+-,214365 �n7 3]N�a 9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC �À9<;>=@?A? 3 ; 5B3DC °@Y N ¯ Q2POQ J{; Q JML�?�= 5µN ?��À9<;�JIYl; X J 5BE14365Í�`Ê p ��Ë p,@,@,@�p � B�7 3Ç5WQR3 �À9<;�JIYl; X J 5 L2= H �KJI? C�X ; 3DC 7 ³�N ? 3DN Y C(3 ;>= h ¯Â=gLzJ 5 J{=@?²= H ; o{�2r EÆAX ¯ ¯Â=gL 3 5/Q®N|5 � �o� JML�?�= 5 �:9<;>=@?A? 3 ; 5B3DCGH =@Y N|SISB� ¶²q�o � BWr �Z� B Q ÊP�� Ê q�o � P/r E��-QR3 ?���o � BWr �� B Q ÊP�� Ê ��o � P/re;>=@? 5{N JI?�L N ? N C�h JML>LzJ{7 Ss3 ?�= C(3 = H � EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× 6����d��& �,+ � + ��� ( 0 &��"�)#$& ���5�X# �]�*� �W-.��6���� � !H��(��# � × 0 ��- � 0 &'���b������<;=- 0 � -.6 0 �18�� +��pS >� �H��� � � m � B=80uÀm¤��o � r ��� B Q ÊP � Ê ��o � P/rK8 t m¤��o � r � uW�× 0 �5- � � � 0 &�5�)���Q;=-1�)��� -�� �¼�"���9��#$# � ¶:q�o � BWr �¤� B Q ÊP�� Ê q�o � P/rK8�� +��pS u �m 7�8��F�� ((G� � �U�Âo7�(rK��� ��E m � B Q ÊP�� Ê ��o � P/rK� × 0 �5- � 0 & a ;=-1�)��� -�� �D8�� +5��S } t�}�8a��F�� ((G� � �´�Ro rK� £ �)� � +��)� S �!F �5� � ¶¹q�o � r �¼� B Q ÊP�� Ê q�o � PIr 0 & 0 ��- 0 � ����� �#u �CF� ((G� � �U�Âo��(r��× 6��5����& � m�]�dp� � + �e�,+ a ;=-.����� -.� 0 S 0 �=Fm�@��� 0 (G�5# 0$ &/� +��)� } u } m � ��� � �`o � rOm

¨��0pDĦpDÅ·p>¬R­C8Â�'+ � uxm:¨�Å0­C� � + ��� � �(Ä 0 &'� � ; !B� ��& 0 ���X����E1B Q Ê � � +C6�&.8���FZ� ((�a ���58g� � �(Ä 0 &¦�Q;=-1�)��� -�� �D8)-.�����,� �)� 0 -�� 0 �5�:���T+CFB�d�)�,+ & 0 & ���H� + �,+ ��� ( � � +C6�& � �m�]$dp�/ Fe� ((��& P � a �)��� � �´�Âo�-�rK8guQ-.�����,� 0 ��& �]�5�H� � × 0 ��- � 0 & ���)� ���¢�<;=- 0 �>-16 0 � 8g� �m���5�

� ((G� P � � 0 (G��# 0$ &��,+��)�e� -1�)�@-s+��B��& �X���B� �t����� 0 �u &>6�-s+ �,+5�)�2� 0 &4�e# ��� 0 ���� u ~ �!G � m � � u ~ �!G � �&� � § o{�Rr�m ¨�ĦplÅ�p>¬®­C��� * �W' ¿4,c¿4, � C = 3 L�?�= 5&Q®N Ì 3¢5/Q Y 3>3 ? 3 Jc° Q 7>= X Y>LºJI? t¹EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖr �)�M�e-.�����,� �)� 0 -�� 0 �)�A&>6����d��& § oW�Âr�v t � � + � 8 ��F� ((G� � �U�Âo7�Ar�8¦� (E6�&!�+��pS } u } m�¨��0­C� �]ÄAÅ ¶Ãq�o�E�r4�,+ ��� � ÄAÅ 0 &E� � ; !B� �5& 0 �)� �@�cEX� � +C6�&`� � ÄAÅ0 &��<;=-.����� -.� �u��F¤� (G(� a ���58Ç�'+ 0 -s+ -.�����,�>��� 0 -��,&r�)� +CFB�d�)�,+ & 0 &r���9�,+ �,+ ��� (e�1 ��- ÄAÅ�¸¶\q�oOE#r:�����X&>��# 0 � � 0 ���9���\�P��� �,+ ��� 0 ���®Ä¦pl�®ÅP� 0 S &cE 9�ÄAÅd8A�'+ 0 -s+ 0 &'����� 0 ��<;=-.����� -.� �X��FZ� ((� a ���H� � +B65&]� 0 &:���o����( 0 &>& 0 �5# ���B� ������ ;

�� * �W' ¿4,�=4, � C = 3 L�?�= 5&Q®N Ì 3¢5/P =�? 3 Jc° Q 7>= X YzL�JI? t�EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ � � § o{�Rr ~�t m ¨�ĦplÅ·­C� �3&>��# 0 � � 0 ���G����� ��#$���5��Ä0¬ �)�ºÅ¬ 0 &M����( 0 & & 0 ��# 20 � ��,+ � �CF�� ((G� � � a 0 � 0 &2���k����( 0 &>& 0 �5# & ��# 0 � 0 �¹�� 1 ��- 8/��F�� (G(�������8�� (G�pF��& &>6�( �,+��)�j� + � P ! 0 &!�j�[�3�U( 0 � 0 (G��#V-.� 0 � 0 -.��#3& � & t�Ê p t�Ë 0 � � � 0 �,+¹Ä¦p>¬�¶ t�Ê �)���Å�pD¬\¶ t`Ë � £ �)� �,+5�)�T�,+ ( 0 � 0 (G��# 0 �=Fo��� t�Ê 0 (G��# 0$ &Y�,+��b�w� + 6�� 0 � 6 �<;c- 0 � -16 0 � > T 0 �� L ^ �O & �)� 0 &<_ &]��oO>HT r&m t�Ê �× 6��5����& } tn~Ðt�Êg}( �B� � + � t �#t�Ê ����� tn~Ðt�Ê ��� -1� 0 � 0 -1��#������ � o t p t�Ê r&m��j�CF

� ((G�����U�H� × 0 ��- � oW�·p t �Ðt�Ê rOm a 8A� (G(�`�H� � � ����� 0 (��# 0$ &f�,+��b� t �#t�Ê m � � �d�1 ��- o{q�o � L ^ �O r � q�o t r¡r ? q�o�> T¥r�� × 0 �5- t8~Ðt�Ê 0 &'-.� 0 � 0 -.��# 8 � � tK~Zt�Ê � 0 &:-1����� -.� �o 0 � 0 & .0 � + ��] Ë �)� 0 &���;c-1���5� -�� �k��F)� ((G���H� 0 o7� rlrM�����@+ ��- q�o t r ~ q�o�> T¥rV�m 7��� +C6�&Ç� 0 &M�)��( 0 & & 0 ��# 40 �)� �CF²� ((G� � � a � 1 �5- t�~�t�Ê mK¨�Ä4­G�����D8q��Ft&!FB(G( � �>F�8tK~Ðt`Ë m ¨�Å·­C� � } t�ʵ~�t`Ë�}� �9� + � t�ÊÍ��t`Ë m ��o � r � �P�����¨�ĦpDÅ·­ 0 &]����;=& �����>�)�,�)� 0 ���9� � + 0 &

-1����� � ��� 0 -.� &f� + a ;c-1���5� -�� 0 S 0 �=Fj���-� �����G+ �5- } t�Ê�~2t�Ë|} m � � £ ���Ø� (G(���B�´� 0 (��# 0% &

���������]\>^`_3acb�de_6f�g��h^ji�k1lnmSopkcq[r�stsur�vxwHr

Page 20: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

�������������'������+ �&��� ���� �����"������ ��� ���������$����������<�� !�$�"�#����&%'�(�� � ) � ��� ��������� % +��, �� � �

�,+��b� � o t p t�Ê p t`Ë r�m��5� � + 0 &3�)��� 0 � 0 (��# 0% & � +��)� ¨�ĦplÅ·­ 0 &3���p;=& �����>�)�,��� 0 ���8B�����P� 0 S &�9-1�����,�>��� 0 -.� 0 ���D� ;

�� * �W' ¿4,���,��-QR3 Y 3 JML N L 365Ât T v���o � r�L X ; Qe5/Q®N|5Ât T JML&?�= C(3 9<;�YzJ 5 J{; N|S JI? �½N ? CGt ?�t T EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖÇ ���"��#%#$���'&G�"� �)(��3#$� 0 (& � � � 8 � � 0 �,+��)���W+���&'�)�'(��&>�'��� � 10 �)+B�d��6�� 0 � t � *��6%�. �G+���& !H��-��,# FP��� � .0 ��+C�d��6��185& �pF#Äq8 0 � t �× 0 �5- � 0 &V�w# ��� 8@� (G�pF2��& &>6�( � 0 �,+���6H��#$��&>&f�@� � � �>��# 0 �=F4� +��)� � \�o{ÅÂr ��� ��& ��# 0 � � 0 ������²�9��#%������Ä0¬j����Ŭ 0 &3����( 0 &>& 0 ��# ]0 � � � + �o��F#� (G(� � � a 0 � 0 &v�)�P����( 0 & & 0 ��# &>��# 0 � 0 ��� 1 ��- 8D��F²� (G(� �5����8·� (�pFX�)& & 65( � +��)�Z�,+ � j ! 0 &>���[�/�P( 0 � 0 (��#q-.� 0 � 0 -.��# & � &t�Ê p t`Ë 0 � � � 0 �,+²Ä¦p>¬#¶ t�Ê �����²Å·p>¬�¶ t`Ë � � } t ~�t�Ê@}A �j�,+ �\� (G(� ���´� 0 (��# 0% &�,+��b� t �Ðt�Ê 0 &v� + � & 0 � � ���H� -.� 0 � 0 -.��# & �]-1�)�C� � 0 � 0 ��� t 0 � � � 1 ��-

tK~Zt�Ê mè�Ä4­ @ o � r

× 6��5����& } t ~¹t`Ë|}Ç �H� � + ��� ((G� �5�´� 0 (��# 0$ &�,+��b� t^�¹t�Ë 0 &P-.� 0 � 0 -.��#Y�)���� o t p t�Ë r�m¤�5� × 0 ��- § oW�Âr ? t8�Ðt�Ë 8�� (G(���H� � � � 0 S & tK�Zt`Ë mÃ��o � r � � � 1 ��- �,+ 6�� 0 � 6 - 0 �>-16 0 � > T 0 � � N �O & �b� 0 &<_ &�o{q�o � N ^ �O r � q�o t rlr ? q�oO> T r �)���¢q�o t r ~ q�oO> T r �m 7o7� -.��6�& t ~#t�Ë 0 &:��#$&>�j-1� 0 � 0 -1��#78H&>� � � t ~�t`Ë � 0 &:-.����� -.� �0r�� � +C6�&�� 0 &:����( 0 & & 0 ��# Y0 �� ��FZ� ((G� � � a � 1 ��-

} tK~Ðt`Ë|}(� � @ o I|r � } t�Ê�~\t`Ë|}Í �P�,+ ��� (G�pFU� ��6�- ��&4�)���pS �,+��)� t�Ê���t`Ë m8��o � r � �t(E6�&!�

+���#%�D� × 0 ��- } t�}A a 8��,+ 0 &Y-.�����,�>��� 0 -��,& .0 � + �2o � r'����o7I r�� � +C6�& t�ÊÍ~²t`Ë m�¨g¬R­C� 1 ��- ¬ 0 &'���b�Y�G���H� ��F�� (G(� ��� � o7�(rK� � +C6�& � \ o{¬ r ���vR �����_-s+��B��& �W-.� 0 � 0 -.��#q& � t G0 � � � 0 �,+ÐĦpDÅ�¶ t Geo 0 � 0 �:� 0 �P���)� ! 0 &>�:� + � & �5# 0 �>� 0 ���2�G��#$���5��ÄAÅ��/��6�#%� � ����( 0 &>& 0 ��# 0 ���2rK� / FA&!FB(G( � �>F�� +��pS } t G ~t`Ë�} m � � � } t G ~�t�}Í �P�,+ � t»�\t G 0 &T�,+ � & 0 � �m���B� ;=-1� 0 � 0 -1�)#�& � � 1 ��- } t G ~2t�} m � ������� (G(���B�´�T� 0 S &��,+��)� t�ÊA�2t�Ë·�2t G0 &/-1� 0 � 0 -1��#7� 1 ��- t�Ê0�`t`Ë �`t GGmÑ��o � r � �d� R (�pF����� � ��6�- �,+��b� } t¼}(� �H85& 0 ��- t ?�t�Ê ��t`Ë-��t G'����� t ~ o t�Ê4��t G>r&mè�Ä4­2�)��� } t ~�t`Ë�}®� � � � + 0 &v-.�����,� �)� 0 -��,&v�,+ �"��-.�:� +��)� } t¼} �a � *��6%\b�§ o{�Rr ~Ðt m 7��R +��pS ĦplÅ�p>¬�¶Ãum� × 0 �5- � 0 &j�l# �@�]� (G�pF@�)& & 65( 8�� 0 � +���65�9#%��& &j�@�Y� � �>��# 0 �=F�8�,+��b� � \�oWÄ·r �l����� � \ oWÅ�r ����� (G(� � � a 0 (��# 0% &T�,+��b��� 0 &j���)�j&>��# 0 � �,�)��# ��#$���5�Ŭk���Ь@Äq� � +B65& � + � U ! 0 &>� ( 0 � 0 (G�)#]-.� 0 � 0 -.��#]& � & t�Ê ����� t`Ë 0 � � ���è�Å�pD¬R­ �)���¨g¬ÂpDÄ4­X� &>� -.� 0 S #%F)� �Y�[�/�U� 10 ��+C����65� &9������"��� ( ����;c& ����� �b�,��� 0 � � 8f� + � �,+ �"��-���,+��b���� t � 0 &t-1���5� -�� � 0 (��# 0$ & �,+��b�r�,+ 0 &²� 0 #%#4��#%& � � ����;=& �����>�)�,�)� 0 � �9� � + 0 &-1����� � ��� 0 -.� &]� + a ;c-1���5� -�� 0 S 0 �=FP�����9��� ((G� ��� � ����� 0 (G�5# 0$ &v�,+��b� } t�ʵ~Zt`Ë|}� ��)���t�Ê��t`Ë m»�`o � r � ��o7�d��& & 0 #%FU��� � �E� ���)( 0 ����ĦpDÅ·p>¬ 0 � �,+ -.��& �'+ � � \ o{¬ r �(r��× 0 �5- } t�}Í a 8µ� (�pFU��& &>6�( ��F &!FH(( �,�!Fl�,+��)� } t�Ê�~t�}Í �H� £ ��� � ((G� ���U�0 (��# 0% &f�,+��)� tK�Zt�Ê 0 &v� + � � 6 0 � ����;=-.� 0 � 0 -.��#d& �Z-1�)�C� � 0 � 0 ��� t � ;

�3+��B��& �^(�@! 0 (��#M���B� ;c-1� 0 � 0 -1��#M& � tI@ v �`o � r�� 0 � + t ? tA@ � � + � tA@ 0 &��;=-1� 0 � 0 -1�)#��"���W&>��( ���B� �d� Z �5��#%F 0 �5��� ((G� ��� a �,�U�,+ -1� 0 � 0 -1��#'& � t @ � ¨��A­C8�� � �56�- �,+��)� � �#t @ � �E-.�����,� 0 ��&��4���B� ��� (G(� ��� � �5��� 0 (G�5# 0$ & � +��)�&� (G�pFj-s+5�H��&

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$

Page 21: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

����������������� +�� ����� ���

��# ���A« 0 � � ���!G �¢t @ � � � � � + ��«^+��)& �)� (��&!� ��� � 10 ��+C���)6�� 0 � t @ o��)�,+ �¡� 0 & t @ 9�«�3�)6�#$� 10 �,+ ��-1�����,�>��� 0 -.�&� ((G�¢�H� � � ���V� �w#%��� � � ���B� -1� 0 � 0 -1�)#5& �/� +���� t @ �Ur � +C6�&�«0 & 10 �,+ �/�4# �@� 0 � � � � G � ��� 0 &f�2& � 0% &/���H� � 0 �,+W�46�� 0 � 6 � .0 ��+C�d��6�� M 0 � tA@ 8H&>6�-s+m�,+��b�M 0 &w�X���B� ���Z& 0 ����� ((G� ��� 0 8 � + a ;c-1���5� -�� 0 S 0 �=Fl����� ����� � + (�@! 0 (��# 0 �=Fe��� tA@ 8� -1���j� ��6�- �,+��)�V« 0 & ����( 0 &>& 0 ��# �0 � � o7���5�E+ �5- :0 ���2rK� � + 0 & ���>��S & � + �,+ ��� ( � ;

R &>+���#%#q��#$&>�j� 1 ���� %(Ô0Óg%(' ¿4,�4,ed[fgTe�-QR3 =@Y 3�h»j(E�lkº14365 �½7 3�N`a 9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC �:9<;�JIYD; X J 5�P J 5/Q²N|5�Ss3DN L 5 � Ì 3Ì 3 Y 5 J{; 3 L E��-QR3 ? 3 J 5WQR3 Y2� Q®N L 5/Q Y 3>3 ?�=@?09 N ClÎ"N ; 3 ? 5]N C�h JML>LzJ{7 Ss3 ?�= C(3 L�=@Y�� Q®N L H = X Y N C 9h JML>LzJ{7 Ss3 ?�= C(3 L E� + ��� (G& � ���4����� � �JI58C���5�#� ((G��& a � a �)��� a ��� 0 (G�5#%F2� + �"�)#$#$��� 0 ��� !B� ��& 0 ���m����� � 8

� + �)� ( �5��� � � Ô0ÓgÔ � � *ÂÓ�� ¿4,��4, � m oB�OpDq�r�JML��À9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC J HÐN ? C =@? S´³ J H �^JML N ;>=@?A? 3 ; 5�3DC °@Y N ¯ Q= 7 5�N JI? 3DC�H Yl= h C JML Î =@JI? 5 ;>="¯0J 3 LZ= H ]$d�� L�7 ³ Y 3 ; X Y>LzJIÌ 36S´³�N ¯ ¯ S´³ JI?R° 3DC ° 3�N C C J 5 J{=@?�L N ? C � 93>Ï�5B3 ?�LzJ{=@?�L P J 5/Q JI? N ;>=@?A? 3 ; 5�3DC ;>= h ¯Â=@? 3 ? 5ITeN ? C5�N�� JI?R°Z�R9�L X®h LZ= H#C J ± 3 Y 3 ? 5 ;>=@?A? 3 ; 5�3DC;>= h ¯Â=@? 3 ? 5 L E

� � � (2��� '

Z �)� ����+�� 0 &f��7�YzJ{; � 0 � 0 � 0 & a ;c-1���5� -�� �W�������Q;=-1�)��� -�� �D� Z ��� 0 -?a`�ÃmÀo���plq�r 0 &�& � 0 ��,��� h JI?AJ h`N|S 0 �0� �9� 0 & ���)� �M��� 0 -?ae�"�)� ��#%# � ¶²qW� Z � �5� �� ���·� 0 & N C�h JML>LzJ{7 Ss3 0 �0� � �0 &��<;c-1���5� -�� � � Z ���B� �2�@�4� 0 & H�3DN LzJ{7 Ss3 0 � � O 0 &V�4��� 0 -?a2�"�)�V& ��( & ��# 0 �>� 0 �5�Ç� O ���¦� �b�� � Z�H Y N ° h�3 ? 5 0 �X����;=-.����� -.� �t��� �)��+ � 0 &Z�G& � t ? ��o � r:& 6�-s+r� +��)� } § \]o t r } m©������ � �x} t¼}(�x} ��o � r }z�a ��� � § � ����;c& ����� �b�,��� 0 � � 8®Ä¦pDÅ�¶���o � r������ � ¶²q�o � r��R & �pF9�,+5�)� § L 3 ¯ N Y N|5B3 L�Ä N ? C Å 0 �4ÄW������Åj� #%�����T�,�4� 0 � � ���3-.��(����� ���,&f��� �©��§ �R & �pFo�,+5�)� § L 3 ¯ N Y N|5�3 L�Ä N ? Cj� 0 � .0 � + ��Är����� � � #%�����9�,�� 0 � � ���Y-.��(����� ���,&]����8��§ 8 ��� � 0 &:��� �5� �"� ��( § � �G�9-.��(G�d��� ���'��� � �¹§ �'+ 0 -s+e��� &'���b�'-1�����,� 0 �ZÄq���� %(Ô0Óg%(' =4,W.0,214365 �»7 3�N�h JI?AJ h`N|S 7�Y"J{; �@E�F/H � �m�]�d 5/QR3 ?Z� Q®N L N�H�3DN LzJ{7 Ss3 ?�= C(3�EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ R �5� �B- 1 �^��F -1�)�C� � ��� 0 -.� 0 ��� � × 65�����)& � + �,+ ��� ( 0 &��"��#$& �����^# �`�?� �r-1�)6���� � !H��(��# � 0 �,+@�)&2� � S �>� 0 - &j��&E�d��& & 0 ��# � �]� 0 &2( 0 � 0 (G�)#$#%F��<;c-1����� -.� ��,+ �¤� +��)& �)� ����( 0 &>& 0 ��# &>��# 0 � � 0 ���¹�ML ^ N� ��F � + �)� (& � ��� ����� � � I5� × 0 ��- � 0 &P�-1��65�C� � !H��(��# � �Z� + �,+ ��� ( 8|� T�m��TL ^ N� 0 & ���)� a ;=-.����� -.� �D��¾��2� + �)� + � +������ 8 0 �0�0 & �5�)�V( 0 � 0 (G��#%#%F �<;=-.����� -.� �D8C�,+ ��� +���& ���j����( 0 &>& 0 �5# f ��� �� � × 0 ��- � 0 & �M( 0 � 0 (��#��� 0 -?a 8O�HT�m�� � �n0 &w���)� a ;=-.����� -.� �D�XR ����� -1�)��& 0 � �4��#$#��d��& & 0 ��# -s+�� 0 - &2�"���w�������( 0 &>& 0 �5# & ��# 0 �>� 0 �5�2�����W���P����( 0 &>& 0 �5# ' ��� 8����5�P-s+��H�)& ��� & 6�-s+P� +��)�v&>��( �"� ���)( �C�t ��� � + � & 6�# � 0 �5���Q;=-1�)��� -�� �X���>����+�� T 0 &:( 0 � 0 (��#A� 0 �,+o� & � -��Z� � 0 ��-.#$6�& 0 ���D�R &>+���#%#3���>��S �,+��)� t -.�����,� 0 ��&j��� ��& 0 ��# ���B� ��� �9� × 0 ��- � T 0 &��Q;=-1�)��� -�� �D8

�HT +���&E( 0 � 0 (E6�( � ��� 1 �)�2# ��&>�4�,+�� 1 ���5�k+ ��- } t¼}O �H� / F�� (G(� a � � 8O� TV+��)&���m�d��#%FB���)��&1�]� � §�� m § �"! o t r�mx¨�ª-pD�A­C�]� � � p ] � �,+ -.# ��S ��� ���>����+�&Y���5�,� 0 � ���FX-.# �pS 0 �5��� Tq�)�2¨�ª-pD�A­C8A�'+ � t mÀ��o � r � ¨�ª-pD�A­C� £ �)� �,+��)�Z�,+ ( 0 � 0 (��# 0 �=FW�@� t�����X� + �"�)-.�]�,+��)� � T +���&Z���m�d��#%FB���)��& 0 (G�5#%FW� +��)� � 0 &]�W-.# ��S ��� 6�� 0 �Z���&� T 8��)���X�,+ a ;=-.����� -.� 0 S 0 �=FW����� 0 (G�5# 0$ &/� +��)� ] � ¨�ªµpl�0­ 0 &:-1����� -.� �D�

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$

Page 22: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

����������������� +�� ����� � �

��� T mÀ� L ^ N� ���5� § o{«�r]m�¨�ĦpDÅ�pD¬R­C8 �,+ �t# �e� @ o � r�m tw� ¨�ĦpDÅ·p>¬R­9�����\q @ o � r�mo{q�o � r ~ q�o{�2r¡r � ª0�d��o � + a ;=-.����� -.� 0 S 0 �=FW����� 0 (G�5# 0$ &/� +��)� 10 �,+ ��ĦpDÅ�¶ tK�Z§ �)���¬Z¶���o�]\r ��§ 8���� ĦpDÅ�¶���oO]\r]�����²¬Z¶ t �´r�¾M�e�,+ �b�,+ �Y+����5�D8 0 �O�HT�m©� � � �)���� m�ŬH8)�,+ �G# �&� @ o � r&m tÃ� ¨�Å�p>¬®­Z�)����q @ o � rOm�q�o � r � ª0� �Go � + a ;=-.����� -.� 0 S 0 �=F4���� 0 (G�5# 0$ & �,+��b� ¨�Å·p>¬R­ ~�t �m 7E������¨�Å�p>¬®­ ~ oB��oO]\r �\§ r �m 7��Ur�� ���emØÄAÅ 0 �-� T m�� L ^ N�������ÄAÅ�¶²q�o � r�8C# ���emѬ 0 �¦� T�m��TL ^ N� �)����ÄAÅ5�¶�q�o � r�8C�����G# ���T� �,+ 6�� 0 � 6 S �!� !��� t �'+ 0 -s+ 0 & 0 �5- 0 � ���'�,� �r0 �Z� 0 �V� T�m�� � � ��� * �W' =4,cb4,Ç� JML a 9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC(EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�� + 0 &��"��#$#%���'&2& 0 �5- �HT�+5��&j���l���)#%FB������&2����� + ��- ��#$# 0 �,&2-1# �pSb�)� 6�� 0 �,&j��� a ;=-.����� -.� �D� ;

�� * �W' =4,c�4, ª·�[�¶²q�o{�2r EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× 6����d��& ª0��¶ q�o��¢r�� × 0 ��- �HT 0 &��<;c-1���5� -�� � 8:������ªµpl� 0 &9�)��;c& �5��� �)� ���18� ((G� a � I 0 (��# 0$ &E� +��)���HT � ª0� 0 &��<;=-.����� -.� �D� × 0 ��- � � ª0� 0 &G���H�,� 0 � ���"� ��(� T � ª0�^��F .0 � + �o��� ��� �)��� 0 � 0 ��� �)�P� � ; !B� ��& 0 ���D8º� � ª·� 0 &Ð�<;c-1���5� -�� � �CF� ((G� a ���5� 65�,+ � (��� 8G� T � ª0�@-1�)�C� � 0 �5&� +�� . X0 ��� � �5��#$# F@� 0 &"4>� 0 �C�`ª0��;=���b�,+�&Zo��[�/�0 � ��� ª0�k�CF �3#$� 0 ( 0 �U�A����� ��� r0 �M] � ª·�RrK� � +C6�&Ð� � ª0�k+��)&W�,+�� 1 t0 �C� �>����#$# F� 0 &�4>� 0 ���`ª0��;=���)� +�&9�����^� + a ;=-.����� -.� 0 S 0 �=F ���Ç� 0 (G��# 0$ &2�,+��b��� � ª0� 0 & a ;c-1���5� -�� � �� + 0 &'-.�����,� �)� 0 -��,&v�,+ �"�)-.�'�,+��b��� 0 &:�9( 0 � 0 (��# ��� 0 -?a � ;

�� * �W' =4,¥+-,Ç� N ? C ] N Y 3 �À9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC(EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖÇ� + 0 &G�"��#$#%���'&G�"� ��(K� (G(� a ���9& 0 �5- �HT 0 &��<;=-.����� -.� �r�����Z� TÂm ���ÇË ]@� ;

�� * �W' =4,c¿4,�ÆAX ¯ ¯Â=gL 3�5/Q®N|5 � � � JML��À9<;>=@?A? 3 ; 5B3DC`H =@Y�L6= h�3W� ¶ q @ o � r EÀ�-QR3 ? ���¨�ª-pD�0p � ­�JML2;>=@?A? 3 ; 5�3DC(EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ²× 6����d��& �»� ¨�ªµpl�·p � ­G+5��&w�[�/� -1��(���)� ���,& �`Ê p ��Ë � �3+��B��& L ¶Ñ¨ � p>�®­W&>6�-s+�,+��b��� �¶K��o � P/r � q�o � P/r�� � + �¤�`o � P/r 0 &m���"�>����( ���m���¢� � � �'+ 0 -s+ 0 &G��� ��� �>#%F-1����� � 0 � � 0 � t � � + 0 &:-.�����,�>��� 0 -��,&:�,+ -s+5� 0 - �@��� T ����� t � ;

�� * �W' =4,�=4, � �k� JMLÇ?�= 5 �:9<;>=@?A? 3 ; 5B3DC]H =@Y N|SIS � ¶²q @ o � r EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ2× 6��5����& � +��)��� � � 0 &��<;c-1����� -.� ���"�)�]&>��( w ��� � m���º¶�q @ o � rK� × 0 ��- �0 &'�( 0 � 0 (��#d��� 0 -?ad80� � � 0 &'���)� a ;c-1���5� -�� � �G� ��^� ����;=& ���)� �)� ��� 0 ��� � � � × 0 ��- � 0 & a ;c-1����� -.� �D8� & �����>�)� & �r�)������� ��� T mn� L ^ N� �,+ ��� ((���B�´��� 0 (G��# 0$ &Y�,+��b�« �¶�:�× 0 ��- � T 0 &��<;=-.����� -.� �D8 0 � 0 &���;=� 0 � 0 �D� 1 ��- �,+ �)� ����+�� T TÂmÑ�HT � � 0 &:� 0 � 0 �D� � +C6�&

�HT T 0 &���;c-1���5� -�� � �CF�� ((G���H� 0 o��(r�� �3# ���>#%F�8� ����� § ��� ��;c& ����� �b�,���>& 0 ��� T T � / F� ((G� a � 0 8� ���5� § ���P���)��-1� �)& & 0 �\� T T$� / F �3#$� 0 ( 0 � � 8 ��� ¨�ª-pD�0p � ­ 0 &Y-1�)��� -�� �D�× 0 �5- �·p���¶ t©��§ �)����k& �����>�)� &��j������� 0 ��� �e� 8R� +��pS ~2t �m 74������� T TI� t � 0 &

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$

Page 23: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

����������������� +�� ����� �|�

�j-1��(�d��� ���:�@�µ� T T �)§ � × 0 ��- ����� § �5�j���)�:-.� ��&>&18Â� +��pS ~ oB� ��t �§ r&m 7��× 0 �5- ] �ѧ 0 &9-.����� -.� �D8:& �)( -1�)(G�d��� �C��� T ����� T T � m � T � ��� *-1�)�C� � 0 �5&� �\t ��§ ��� ���l� �,+ -1��(���)� ���:���µ� �U�G� ¹�'+ 0 -s+o-1����� � 0 ��&�� ��t �§ � � + �� �¹t vÀ��o��µr ��§ � Q�� o��µr����X�)� �pS �18 0 �&�HT¦mx� � 8 � + �t�,+ � 10 ��+C����65� o7&DrZ���&« 0 � t��� -1�����,� 0 � � 0 �Z��o��µr �Ч � Q���o��µr�85�����D8 0 �µ� T mÑ� � � �,+ �o� + M �5�5S �>� ! ��� �r0 � t 0 &-1����� � 0 � � 0 �)��o��-r �\§ � Q��6o��-r�� � + 0 & 0 (��# 0% & 0 �l���)� +l-1��& &T�,+��)�M� + S �>� !U& �2���f�,+ -1��(�d��� ���4����� � �º� � 0 &>� 0 ��-.�Ç�"�>��(� 0 &w�e���>��� �w& 6���& �2��� t � � + 0 &w-1����� � ��� 0 -.� &�,+ ( 0 � 0 (G�)# 0 �=FE��� t � ;

�� * �W' =4,���,Ç��� � JML�?�= 5 �À9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC H =@Y N|SIS � ¶�q @ o � r EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ× 6����d��& �w� � 0 &¢�<;c-1����� -.� �D� � + ��� T � � m»o �w� � r �ÇË ] �)����� T � �0 &2�<;=-.����� -.� �n��F �3#$� 0 ( 0 ���X�����¹� ((G� a � a � × 0 �5- 8V��F�� (G(� a ���58 � + ���>��� �>�=F���f� .0 �����<;=-.����� -.� � 0 &���� & �>S � ��F ��� ���5� 0 � 0 ���r�)��� � ; !B� �5& 0 �)�D8 0 �]�"��#$#%���'&]�,+��b�� � � 0 &��<;c-1����� -.� �D� � + 0 &'-.�����,� �)� 0 -��,&"�3#$� 0 ( 0 � 0 � ;

�� * �W' =4,��4,�ÆAX ¯ ¯Â=gL 3 Bض�� @ o � r`JML N ?�= C(3 = H � T�§ � o�B·r2m»¨ D®p |p > ­ T�N ? C �� ^ B� JML2�À9;>=@?A? 3 ; 5B3DC(E��-QR3 ? � ^ B� � ¨�ª-pD�A­�JML2;>=@?A? 3 ; 5B3DC(EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× 65�����)& � ^ B� � ¨�ª-pD�A­ 0 &M� 0 & -1�)��� -�� �D� � + � �»� ¨�ª-pD�A­+���&M� � ;c& ����� �b� 0 �)�o �`Ê p ��Ë rÍ�'+ � ��o ��Ê r ~ ��o ��Ë r�m©¨,B4­C8 |p > ¶\��o �`Ê r �)��� D2¶��o ��Ë rK� �3+��B��& L ¶�¨ � p>�®­& 6�-s+P� +��)��� �¶\�`o � P/r � q�o � PIr�� � + �Z��o � P/r � B 0 &3�¢�"� ����( ���3���µ�� ^ B� �'+ 0 -s+ 0 &f��� ��� �>#%F-1����� � 0 � � 0 � t � � + 0 &:-.�����,�>��� 0 -��,&:�,+ -s+5� 0 - �@��� Td����� t � ;

�� * �W' =4,��4, � � JMLÇ?�= 5 �À9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC H =@Y N|SIS ?�= C(3 L<B�= H �8JI?�� @ o � r EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ × 6����d��& �,+5�)��� � m½�� ^ B� 0 &��<;c-1����� -.� �¼�"�)�j& ��( ���H� Bn����� 0 �¼� @ o � r�8� 0 � + § � o$B·r¢mw¨ D®p |p > ­C� × 0 ��- � 0 &4�X-1��6���� � !H��(G�5# � �e� + � + ��� ( 8O�� ^ B� 0 &4�5�)� a ;-1���5� -�� � ��� ��k� ����;c& ����� �b�,��� 0 ���� ^ B� � × 0 ��- � 0 & a ;c-1���5� -�� � 8 k& ����� �b� &9 > �)���DH� ���HTÂm��TL ^ N� �,+ �²� ((G�`�B�´��� 0 (G��# 0$ &/�,+5�)��« �¶�:�× 0 ��- � T 0 &��<;=-.����� -.� �D8 0 � 0 &���;=� 0 � 0 �D� 1 ��- � T � B!D 0 &W� 0 � 0 � � × 0 �5- � T � B 0 &

���5� � 0 � ���"�>��( � T � B D ��FQ� # � 0 �5�n� S �>� ! �@�E� ��� . �[�/��8 0 � 0 &o� 0 � 0 �<��F�� ((��H� I�o7�0rK� × 0 ��- � T T m^o{� T r ^ B� 0 &j���5�,� 0 � �¹�"�>��(^� T � B ��Fk��� �5� ����� 0 � 0 �)�D8 0 � 0 &j��#$&>�� 0 � 0 �D� � +C6�&e� T T 0 &���;=-.����� -.� �U�CF²� ((G�Ð�B� 0 o��(r�� �3# ���>#%F�8 <���5� § �)� ��;c& ����� �b�,���>&0 �\� T T � / F�� ((� a � 0 8 ����� § ���o���b�T-1� �)& & 0 �� T T � / F �3#%� 0 ( 0 � I58 � ^ B� � ¨�ª-pD�A­ 0 &-1���5� -�� � � × 0 ��- D®p |p > ¶ tK�Z§ ���5� & ���)� �)� & > ����� D 0 �Z� T T 8�� +��pS ~Ðt �m 7�����¹� T TW� t � B � 0 &E�t-.��(����� ���9����� T T ��§ � × 0 ��- ����� § ���t�5�)�9-1�>��& &.8�� (E6�&!�+��pS ~ oB� ��t���§ r�m 7�� 1 ��- &>��( -1��(���)� ��� � Td���V� T T � �m�� T� � ^-1�)�C� � 0 �5&� ��t �¹§ �]� ���k� � + -.��(G�d��� ���Y���O� ^ B� � ¼�'+ 0 -s+r-1����� � 0 ��&�� ��t ��§ � � +C6�&� ��t v ��o��-r �§ ��� o��µrK���X�)� �pS �18 0 ���HT�mK� � 8 �,+ � � + � 10 �)+B�d��6��6o7&DrM�@�G« 0 � t��� ��#$&>�t-1�����,� 0 � � 0 ����o��µr ��§ ��� o��µr�8����5�D8 0 �]� TGm�� � � �,+ � � + P �5�5S �>� ! ��� �0 � t 0 &Y-1�����,� 0 � � 0 �)��o��-r �\§ ��� o��µr�� � + 0 & 0 (G��# 0$ & 0 �t�d�)� +U-.��& &M�,+��)�M� + S �>� !U& ������,+ -.��(����� ���T����� � � ��'+ 0 -s+ 0 &�� 0 &>� 0 ��-����"� ��(�� 0 &��P�5� ��� �M&>6���& �2�@� t � � + 0 &-1����� � ��� 0 -.� &'� + ( 0 � 0 (��# 0 �=Fj��� t � ;

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$

Page 24: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

����������������� +�� ����� � a

�� * �W' =4,/.��-,Ç� � JMLº?�= 5 �À9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC H =@Y N|SIS ?�= C(3 L<B�= H �8JI?�� @ o � r EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× 6����d��& � � 0 &��<;=-.����� -.� �D� � + �²� T� m�o � � r �ÇË ] ������� T� 0 &��<;c-1����� -.� ���F �3#$� 0 ( 0 ���W���5��� ((� a � a � × 0 �5- �,+ ��� �)� �>�=Fo��� � .0 �����<;=-.����� -.� � 0 &]�5� & �!S ���F ��� �)��� 0 � 0 ���j�)��� � ; !B� ��& 0 ���D8 0 �O�"��#$#%���'& �,+��b�&� � 0 &��<;c-1���5� -�� � � � + 0 &�-1����� � ��� 0 -.� &�3#$� 0 ( 0 ���5� ;

�� * �W' =4,/.0.·,Ç� JML N ?Z�À9<;�JIYl; X J 5�EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× 6��5����& � 0 &M���)�T���)�<;=- 0 �>-16 0 � � × 0 ��- � 0 &Ç�Q;=-1�)��� -�� �@��F �3#$� 0 ( 0 ����8¦� (G�pFX-s+��H�)& ��� �)�M� -.��(G�d��& 0 � 0 ���/> Ê p > Ë p,@,@,@�p?>CBf��� ; o��¢r��2� � � P�� � + �<;=- 0 � -.6 0 ���� � 0 ����6�- � ��F >CP��"��� � � LÇ� > � / F� ((G� � � � o��0r]� (��Fr& 6����d��& �,+5�)�M�,+ �)�� -.��(����& 0 � 0 ���e+���&�� 1 �U-s+5��& �U&>6�-s+l�,+��)� �`Ê -1�����,� 0 ��&�ª0�o����� �B� / F �3#%� 0 (& 0 �´�B8 0 � ������ � + �)� ( � ���58 � B ��� B Q ÊP � Ê � Pf-1�)�C� � 0 �5&M���A�)��( 0 & & 0 ��# ���B� B �@�G� 0 �)� @ o � r�� � + 0 &-1����� � ��� 0 -.� & �3#%� 0 ( 0 � � �5� ;

�� * �W' =4,/.Rb¦,Ç� JMLºJML6= h =@Y[¯ Q J{; 5 =1]�d EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ × 6��5����& � 0 &V���)� 0 & �)(G���>��+ 0 -/�,� ]�dp� / F �3#$� 0 ( 0 � � �58)���T���H� ��� � 0 �`� @ o � r 0 &����( 0 &>& 0 �5# :0 � � � × 0 ��- ª0��¶�q�o � r�8 �3#$� 0 ( 0 �U�T�)��� � + ��� ( � �JI 0 (��#%F4�,+��b�G� T m�� L ^ N� 8ĦpDÅ�¶�`o � rK8 �����Ъ-pD�0pDĦpDÅW�)� �,+ ���5#%Fm�)��( 0 & & 0 ��# ���B� & 0 � � � R &>+���#%#D& +���� � +��)��Ä0 &:��� �)& 0 �5# ���B� T0 �Ð�9�× 0 ��- Ä 0 &2���k���5( 0 & & 0 ��# ���B� �@� � 8 � ^ BL 0 &2�<;=-.����� -.� ���"�)�2& �)(  p > ¶ § \ o{Ä·r��

� � § \�oWÄ·r�mx¨ DRp?  p > ­C� × 0 �5- ÄAÅ 0 &Z�)� �5� ��� � ���5�²Å 0 &]�W���B� ��� � 8A� (E65&>��+5��S Å�¶�¨� |p > ­C� R 0 �,+5��65�f#$��&>&����D� � �>��# 0 �=F�8(Å�m > � × 0 ��- o�� Tsr ^ NL m � ^ NL �ºË ]@8�3#$� 0 ( 0 ���4�)���� ((G� a � a 0 (��#%FP� +��)��o{� T r ^ NL 0 &��<;c-1����� -.� �D� × 0 ��- � ^ �L 0 &Z� � ; !B� ��& 0 ���t����o�� T r ^ NL�����P& 0 ��- �,+ �5� ��� �!�=Fm��� � 10 �5���<;=-.����� -.� � 0 &3��� & �>S �e�CF � ; !B� �5& 0 �)�\o7��F#� ((�a ��� r�8 0 ���"��#$#%���'&3�,+��b���� ^ �L 0 &��<;c-1���5� -�� � �× 6��5����& � ^ NL � ¨�ªµpl�0­ 0 &V� 0 &>-1����� -.� �D� � + � �¤� ¨�ª-pD�A­Z+���&�� � ;=& �����>�)� 0 ���Ðo �`Ê p ��Ë r

�'+ � ��o �`Ê r ~ ��o ��Ë r2m»¨�Ä4­C8I |pDŹ¶���o �`Ê rT����� D\¶Ñ��o ��Ë rK� � + ����o ��Ë r � Ä 0 &w��"� ���)( �C�'�@�V� ^ �L �'+ 0 -s+ 0 &:�5� ��� �>#%Fm-.�����,� 0 � � 0 � t � � + 0 &'-1�)�C� � ��� 0 -.� &v�,+ -s+�� 0 - ���V� T����� t � � +C6�& � ^ NL � ¨�ª-pD�A­ 0 &:-1���5� -�� � �× 0 ��- � 0 &E�t-.��6���� � !H��(��# �,�r� + �,+ ��� (e8�� ^ �L 0 &2���)� a ;c-1���5� -�� � ��� � u�

�)��;=& �����>�)�,�)� 0 ���� ^ �L � × 0 ��- � 0 & a ;c-1����� -.� �D8� & �����>�)� &� « ����� DB� × 0 ��- �HT 0 &�<;=-.����� -.� �D8 0 � 0 &`��;=� 0 � 0 �D� 1 �5- �HT � Ä!D 0 &E� 0 � 0 �D� × 0 ��- �HT � Ä 0 &j���5�,� 0 � ���"� ��(�HT � Ä!D �CF � # � 0 ��� �nS �!� ! ���j� ��� 1 �[�/��8 0 � 0 & � 0 � 0 �<��F�� (G(�¼�H�JIÂo7�0rK� × 0 ��- �HT TÍm o�� T¥r NL 0 &M���5� � 0 � ��"�>��(w� T � ÄA��Fl��� ��� ����� 0 � 0 ���D8 0 � 0 &M��#%& �o� 0 � 0 �D� � +C6�&2�HT T0 &���;c-1����� -.� �n�CF�� (G(�)�H� 0 o7�(rK� �3# ��� # F�8�*����� § �)� ��;=& ���)� �)� ��� & 0 ��� T T3�)��� & ����� �b� & ÅW���5� D 0 �Z� T T � / FÐ� ((� a � 0 8 ^����� § ���9���)�]-1�>��& &.� × 0 ��- � ^ NL � ¨�ª-pD�A­0 &M-.����� -.� �D8 DRp |pDŶ t��§ 8 ����� & ����� �b� &� År���5� D 0 �\�HT T 8¦� +��pS ~�t �m 7�����#� T TW� tn� Ä � 0 &3�E-.��(����� ���v���µ� T T �\§ � × 0 ��- ����� § �5�E���)�3-1� �)& &18R� (26�&>�:+5��S ~ oB� ��t»�¼§ r�m 7�� 1 ��- &>��( -1��(���)� ����� Tq���&� T T � mno�� Tsr ^ NL � Q-1�)�C� � 0 �5&� ��t»�¹§ ��� � �@� �,+ -1�)(G�d��� �C�Z������ ^ NL � ¼�'+ 0 -s+X-1�)�C� � 0 �5& � ��t��¹§ � � + �� �\t v���o��-r ��§ ����� �

�o��-r�� �X��� �pS �18A« �����#Å��� �)#$& �2-1�����,� 0 � � 0 �Ð��o��µr ��§ ����� �� o��µr��� + 0 & 0 (��# 0$ &v� +��)�]�,+ S �>� !r& �Y��� � + -.��(G�d��� ���Y���O� ^ NL � ¼�'+ 0 -s+ 0 &Z� 0 &>� 0 ��-����"� ��(

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$

Page 25: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

����������������� +�� ����� � �

� 0 &:�9��� �)� �]&>6���& �Z��� t � � + 0 &'-1�)�C� � ��� 0 -.� &:�,+ ( 0 � 0 (G��# 0 �=Fj�@� t � ;

�� * �W' =4,/.R�¦, � TÂmÑ�ML ^ N� T ĦpDÅ�¶\��o � r T�N ? C�QR3 ?�; 3 �em�ÄAÅ�¶²q�o � r EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ × 65�����)& � +��)� � + -.#$� 0 ( 0 &©�"��#$& � � + � � 0 &u� S �>� ! 0 � t 8<�)�����o � r m ¨�ª-pD�0p �Rp > ­C� � � > � � + S �>� !���� t � 0 &>� 0 ��-����"� ��( �H� � + � > 0 &@����B� ���º�� R & +5��#$#]& +���� � +��)�#��� ^ OB 0 &� ��� 0 -?a � £ �)� �,+5�)��ª0� �¶Àq�o��¢r��F �3#$� 0 (0 � a � £ �)� �"6��>� + ��,+��)��� �

^ OB -.��� � ���5� � 0 � �¼�"� �)( ] ��Fn� & � 6 �5- ��� 10 �,+ �W��� � ; !B� �5& 0 �)�<�)��� �)� t ��� ;=�)��� 0 � 0 ��� o 0 �¢� T�m � � � r�8]���m�[�/� � ; !B� ��& 0 ����&o���5� ��� ��� ;=�)��� 0 � 0 ����o 0 �&� T-m �ML ^ N� r�� × 0 ��- ] 0 &Ç�<;c-1����� -.� �U��F �3#$� 0 ( 0 ���58 0 ���"�)#$#$���'&��"� ��(� ((G� a ���r�,+��b�`� �

^ OB 0 &��<;c-1����� -.� �D� × 0 ��- � 0 &j���'4>��- ���9�,�\ªn�)����� 8V�,+ � o0 &j�����;=& ���)� �)� 0 ���t& �����>�)� 0 ��� ���"� ��( ª0� 0 �\� �

^ OB � � +B65&¢� � ^ OB 0 & a ;=-.����� -.� �A�)���A+ ��- 0 &M���� 0 -?a � ;

�� * �W' =4,/.(+µ,�t �m ¨�ĦplÅ·­ EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× 6����d��& � +��)� t m½¨�ĦpDÅ0­C� � + ��ĦplÅA��� ���B� &j�@����rR & +5��#$#f& +���� �,+��b�� � ^ OL 0 &2�t�5� 0 -?a � £ �b� � +��)��«]���¶¤q�o��¢rw& 0 ��- �,+ � 10 �)+B�d��6��2����« � 0 &>� 0 ��-.�¢�"� ��(yĦpDÅ� #$���5��&V�,��� �Zt���§ � £ �)� �"6��!�,+ �f� +��)��� � ^ OL -1���G� ���5� � 0 � ���"�>��( ] ��F�4& � 6 ��- ���3�[�/� � ; !B� ��& 0 ����&.� × 0 ��- ] 0 &¢�Q;=-1�)��� -�� �k�CF��3#%� 0 ( 0 ���58 0 �Ç�"��#$#%���'&��"�>��(½� ((�a ���W�,+��)�º� � ^ OL 0 &º�<;c-1����� -.� �D� × 6����d��& �,+��)�e� � ^ OL 0 &Y���)� a ;=-1�)��� -�� �D� � + �t�,+ � j0 &�²�p;=& �����>�)�,��� 0 ��� � ^ OL 8 & �����>�)� 0 ���Ъ@�����)« � � × 0 ��- ª-pD«¢pD������r��� �)#$# � .0 ��+C�d��6��>&���eÅ 0 ��� � ^ OL 8�� (26�&>�o+��pS Å:¶ :� × 0 �5- � � ^ OL 0 &#�<;c-1���5� -�� � �����ØÅ 0 &m� ���H� 0 �2� � ^ OL 8)�,+ 0 & -1�����,�>��� 0 -.�,&Í� ((G���H�U���5� � +B65&O� � ^ OL 0 & a ;c-1����� -.� �E�)���E+ ��- v0 & �Z��� 0 -?a � ;

R -1���t�5��� -.��(G�5# � � + ���>�H�����@�V�,+ � + �)� ( � �]& 0 �5� �3#$� 0 (G& 0 � � a ���5� 0 � � ��8 �)���� #$��� #%# 0 �5� 0 �:� - & & �)�>F�8O� (��FU&>6����d��& � +��)� t m»¨�Ħp > ­o����� § mw¨�ª-pDÅ0­C� � +C6�&�Ä0 &��o���B� �����9�2R & +���#%# &>+���� �,+5�)�e� � ^ BL 0 &M�P��� 0 -?a � £ �)� � +��)�Ç« > �¶�q�o��¢rZ& 0 ��- �,+ � 10 ��+C���)6��:����« � 0 &>� 0 ��-����"� ��(KĦpDÅm� #$�)����&v�,��� ��t��¹§ � £ �)� �"6��>� + �'�,+��b��� � ^ BL -.���� ���5�,� 0 � ���"� ��(7] ��Fr�P& � 6 �5- ���V�[�/� � ; !B� ��& 0 ����&.� × 0 �5- ] 0 & �<;=-.����� -.� �U�CF�3#$� 0 ( 0 ����8 0 ���"�)#$#$���'&��"� ��(n� ((� a ���4� +��)��� � ^ BL 0 &��<;=-.����� -.� �D� × 6����d��& �,+��)�G� � ^ BL 0 &���)� a ;=-1�)��� -�� �D� � + �l� + � j0 &�����;c& ����� �b�,��� 0 �\� � ^ BL 8D& ����� �b� 0 �5�#ªA���5�« > � × 0 ��- ª > 0 &:��� �5� ���V� � ^ BL 8Â� (E6�&>�'+5��S > ¶�:� × 0 ��- � � ^ BL 0 &G�<;=-.����� -.� �e�)��� > 0 &v�9���H� 0 ��� � ^ BL 8)�,+ 0 & -1�)�C� � ��� 0 -.� &�� ((G���H�´�@�5� � +C6�&&� � ^ BL 0 & a ;=-.����� -.� �9�����j+ ��- '0 & �M��� 0 -?a � ;

R +5��S � + �"��#$#%��� 0 ���E-.��� �)#$#$�)� 0$ & ���� %(Ô0Óg%(' =4,W.R¿4, �nm oB�OpDq�r2JML N 7�YzJ{; � J H�N ? C =@? S´³ J H � ; N ?�7 3 = 7 5{N JI? 3DCÇH Yl= h ]$dÐ7 ³� 9 3>Ï�5�3 ?�LzJ{=@?�L N ? CÐ3DC ° 32N C C J 5 J{=@?�L EÒeÓgÔ4Ô0ÕDÖ�× 0 ��- ]�d 0 &Ç�<;=-.����� -.� �D8 & 65`- 0$ �5-.F��"��#%#$���'& �"� �)(w� ((G� a ���58q�)���U� + �"��-���,+��b� ��� ����� 0 � 0 �)�U�)��� � ; !B� ��& 0 ��� �5� & �!S a ;c-1���5� -�� 0 S 0 �=F�� £ - & & 0 �=F�"��#$#%���'& ��& 0 #%F��F 0 ���56�-.� 0 ���o��� } q } 8�65& 0 �5� � + ��� ( 0 � � � ;

£ �b� �,+��b�T� �5� 0 -?a²� ��� &T���)�T� - & & �)� 0 # Ft+��pS �o& ���)��� 0 �5� &>6������>����+\�'+ 0 -s+ 0 &M� a ;-1���5� -�� ���<;c- 0 �>-16 0 � � ���"��-.�18��,+ ��� 0 -?a�] G_^ `V+���&V�5�M& �����5� 0 ���e�<;c- 0 � -16 0 �,& �)�V��#%#H& 0 ��- ��#$#

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$

Page 26: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

� ��� � + � !� � � � �

��� 0 �,&]�<;=- 0 � -.6 0 � &Y��� 40 & ��(���>��+ 0 -M� ��] G_^ d�� � + 0 &Z&>+����'&��,+��)�Z��� (G�pF � . �X� �m��#%� �>���)� � �[� . �X� + �[�3���� �>�)� 0 ����&:��� � + �)� ( 0 � � � �'+ 0 # �56 0 #%� 0 ���j65� ���� 0 -?a��"�>��( ]�dp�� + ��� ( a �´� 0 (��# 0% &�,+��)� � ��� �)��+ 0 &P�n�5� 0 -?a 0 �2�)��� �)��#%F 0 � 0 � 0 &���;c� 0 � 0 � ���5� a ;

-1���5� -�� � � � +B65& � + ��� ( 0 � � � � 0 S & ��� 0 ����6�-�� 0 S -.����&>� � 6�-�� 0 �����"��� a ;c-1���5� -�� ����;c� 0 � 0 ���� �)��+�&1� × 0 �5- ]�d 0 &Z��#$���5��#$# Fm� 0 � 0 � 8d�)��� �5� ����� 0 � 0 ��� ��& � #$# ��& � ; !H� ��& 0 ���t�5� & �!S ��#$�)����#3� 0 � 0 � 0 �=F¼o7��Fk� + � &>6�#%���� �3����� #$# FØ� � � ( ��� 0 �)� � 0 � × -.� 0 ��� � r�8�� -1�)�n������ �56�- �,+��b� 1 �5��� 0 -?aB&>��� h &Y-.���'4 -��,6�� 40 &v�,�>6 T0 �o� 0 ( �5& 0 �)�Z�H���� %(Ô0Óg%(' =4,W. =4,214365 � 7 3eN °@Y N ¯ Q�P J 5/Q²} ��o��¢r }( � E��-QR3 ?#� JML�° S = 7 N|SIS´³ YzJc°@J C JI?�� Ë J HN ? C =@? S´³ J H �8JML a 9<;>=@?A? 3 ; 5B3DC�N ? C �R9BYzJc°@J C(E� +C6�&Y�)#$�����)# � 0 � 0 � 0 �=F���µ�"� ��( �/���_aC& 0 &'�9� � � 0 -M���>��� �>�=F 0 ��� Ë ��q�pS���)&��j����� ( 0 � 0 � � � � ���>��S �l�,+��b� 0 ;c-1����� -.� �l���>����+�&��)� ��;c� 0 � 0 ��o7�����r� +��)�Z�,+ 0 &

���)6���� 0 &Y� &>�T�d��& & 0 ��# r��MR 0 �,+r�,+ 0 &�� & 65#%�M���5� � + ��� ( 0 � ��0 � -1�)�U&>+����u� +��)�T&>65`j;- 0% ���,# Fj+ 0 �)+�#%Fj-.����� -.� �m���>����+�&f��� ��#%������#%#%Fw� 0 � 0 � � ���"�)-.� 8�� + &>��( � ��� . �@�D-1�)��� -K;� 0 S 0 �=Fm&>65`- &.���� %(Ô0Óg%(' =4,W. ��,214365 � 7 3 0 9<;>=@?A? 3 ; 5�3DC(E��-QR3 ?Ð�8JML ° S = 7 N|SIS´³ YzJc°@J C JI?�� Ë E� + 0 &]&>��#%S &2� 0 80¾�� � � 6 &>� 0 ��� ����� �g� �

� �� �c��� -/�"� '

� �6������������������� �!��"�#$�%��&��� 8 Z ���>�H���'�@� �3����� #$#%F h &E-1�)�'4 -��,6�� ��� a ;=-.����� -.� �- 0 � -16 0 �,&������,+ � 0 � 0 � 0 �=F4(G�b�,� � 0 �D8�' E)( = h 7�JI? N|5 =@YzJ N|SÍ�-QR3 =@Y ³gTÍÆ�3 Y E+*]E 8-,���# ��I�I58 ��� ; � � 8���|� a �

� � ��.��0/1#�������23254 876 0 � 0 � 0 �=F����� � � �)F)8 F ?AÌ 3 ? 5BE%8�N|5/QRE = = o:9 ��I �|rK85���5�%9�8;9<9>= a|a �� a ��.��)/�#$������2?2>4 8�¾��m� � � 0 -Y��#%������# � 0 � 0 � 0 �=F)8 Z ���5# 0$ �m� ��( �,�!F9�����P� 0 & -1� � (�)�,+H;

(�)� 0 -1&.8+9 � � =+9 ��� 8-@ � Z � ×�× �.�A@ 0 & -.� � �X�)�,+ � � + ��� �1��3�)(G��6H� � × - 0 � 8 �58 Z ( �1��X�)� +D� × �B-)� 8 �f�>�pS 0 � �5- 8+6 8%9 � �B9)�

� � ��.��0/1#�������23254 8�6�����6��5# 0 &>+ � (���C6�& -.� 0 �H� 8;9 �)I �5�� � �C/C�D.��E/�#$F�232?���%�G�����IHJ�LKM��2323�+��NPO;��QR� 8 ��� � ��� ��- �)��� �d���>�G��� �)-1# &��"���

(G�b�,� � 0 ��&.80� 0 �,+r�)�X�����5# 0 -.�)� 0 ���P�,�m-.��(��65�,�b� 0 �)����#q# ��� � 0 ���9�,+ ���>F)8 ( = h 7�JI? N|5 =@YzJ{; N9 0 oS9 � � 0 r�85�����·�H8;9 I �T=Â���)I5�

� 0@�L"%�7UE�%�3V$���XWY�E�XZ[�+�-VA�\O;QRF�N-WY�����]K��7Z[���-VB�BO;QRF�N 8 �3��(E� 0 ���)� ��� 0 ��#�6 0 � 0 � 0 �=F�8 Z � ×^T�>����6��b� × �,65� 0$ & 0 ���X�)� + (�)� 0 -1&�,���#7�0�H8;9 � � a �

� �g�L�E�)KM�����$�%Q`_�aYNT#$� 8 �3����� 0 � 0 �)��&��"���Z65� 0 � 6 ��� �)��+ (E� ��� 0 ����&18 � -s+5� 0 -.��#Y6 �d���!�I�I ; � � �58B@ �5�1� ��� �3�)(G��6H� � × - 0$ ��- 8 �3��� � #$# �]� 0 S � & 0 �=F)8%9 ��I�I5�

� I �L�E�MKM�����$�%Q`_�aYNT#$� 8 � + (G�)# -.6�# ��� ���5# ( � @ � �>( 0 � 0 (�@-.���Â�"���>(G�)� 0 �����"� ��(��� 0 �¡� 0 & � 0 &>�,�)��- &18V��+D�b@E�H�,+ & 0 &18�@ �5� �H���%�3��(G�565� � × - 0% ��- 8 �3���>� #%# �]� 0 S � & 0 �=F)89 � �|�H�

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$

Page 27: 4> e6jLZ%kle6mHQTnpoqOrhsitharam/PartI-notes/lec13.pdfk-ÌÎ

� ��� � + � !� � � � 0

� � �L�E�XKM�����$�%Q`_[a NT#$� 8��3����� 0 � 0 ����&G�"���36�� 0 � 6 ���>����+ � ��# 0 �1�)� 0 ����&.8 ÆRF � 8 ' E0( = h ¯ XÂ5�Eb4. oS9 � � �|r�85�����;9�8 0 � ; I �5�

� 9 � ��H �XKM���������+�+��� 8X@ 0% ��� �)��+ 0 &>-s+ × �,�b� 0 aG� �'&!�,���>� � × FB&>� ( 8�� 10 �B� 0 ��9 �B9<9��� 9 9 �CU �)H0��� ��� 8�¾M�e��� �)��+�&Y�)���X� 0 � 0 � 0 �=FG���V��#%��� &_a # �,�)# &!�,� 65-.�,65� &.81' E�� ?R°@JI? 3>3 YzJI?R°8�N|5/QRE �Zo:9 � � � rK8 a|a 9�; a � �H�

� 9�� ��H �[H�#;V�&�$N�C������ ��!��� QR��Q 8 ¾M�j� � � 0 -3� 0 � 0 � 0 �=F 0 �2� + ��#%��� 8 ÆRF � 8 ' E � S ° 3 7�Y N J{; JML6;�Y 365B3�8�365/Q = C L a oS9 ��I �|rK8������;9)8 �B9>= ��IH�

� 9 a �L"%�`U ������23� 4 8 �X�)� � � 0 � �,+ ���>F)8 ¾]!®�"��� � × - 0$ ��- ��6���# 0 -1�b� 0 �)��&1� � + �3#$��� ���5������ &>&18 ¾]!R�"�)� � �Z� 0 S � & 0 �=FP��� & &18 £ � f����a 8%9 � � �H�®! 0%0 9 ��a �w���D�

� 9 � �L"%� �M�JZ[���$� 8�Nf(2� ������� 0 # 0 �=FX����� 10 ��+�� �l���>����+�& 0 ���C;=&>����- j0 &M&>� � ���5��#%F £ � ;=+5��� �D8� -s+D�?6 ���)�>� 8 �3��(��65� � × - 0$ ��- @ �5���>� ( �C�18 �3��� � � 0$ ;�� #$#%��� �Z� 0 S � & 0 �=F�8C� 0 �>�,&!;��6��>��+D8 � Z 8%9 � � �H�

� 9 � �L�E�7Z����-VA�\O;QRF�N 8 / 0 � 0 � 0 � 0 �=F 0 �m�,+ ��#%��� 8 ÆRF � 8 ' E� JML6;�Y 365�318²N|5WQRE �#oS9 ��I � r�8H��������8� I �P= � I �5�

� 9 0@�L�!�RZ$�L� �A4 ������� ������QRO;��2?�\4 8 ^ � � �)� 0 ��� 0 & ��&!�,�)� 0 -��"� �)( �3����aC&18 Æ05 Y X ; 5/X Y N|S� ="¯Â= S =>° ³ 9 9�8;9 ��I � 85��� �·�A9.; 0 �5�

� 9 �g��� � �E�)�LF�O;O;� 8 ( =@?A? 3 ; 5 JIÌ�J 5W³ JI?���Y N ¯ Q L�8 �Z� 0 S � & 0 �=Fo��� � �)� �����,�9��� & &¢oS9 � 0&0 r��� 9 I ��� ������QRO;��23�\4 8 × �)( (G�)� � � 0 ��&��"� ��(�� 0 & -1� � ������# 0$ �W� ��( �,�!F�� �X�)�,�>� 0 ��,+ ���>F

o × �)� � # 8 R Z 8X9 � � � r�8 9 � 9>= a 9 9�8!�3����� (G� � �X�)�,+ �%8)9 � � 8 Z ( �1� �X�)�,+ � × �H-b�%8 ��� �pS 0 ;� �5- 8+6 8%9 � � 0 �

� 9 � ��� ������QRO��+23�\4 8 �X�)�,�>� 0 �5&P�����Q� 0 � 0 � &!�,�>6�-.� 6�� &18 �X�b�,� � 0 � �����5# 0 -.�)� 0 ����&.8�9 = ��a 8N���-.FB-1#%��� � 0 � �X�b�,+D� Z ����# � 8�� �H8 �3��(E��� 0 ��� �Z� 0 S�� ��� & &.8 �3��(E��� 0 ��� 8;9 � �|�H�

������������� ����������������������! "��#%$�&'&($*),+-$