1

Лекція 3

Класична лінійна багатофакторна модель.

Кафедра інформаційних технологій доцент Бесклінська О.П.

2

Зміст: 1. Методи побудови багатофакторної регресійної моделі2. Етапи дослідження загальної лінійної моделі множинної регресії3. Приклад параметризації та дослідження багатофакторної регресійної моделі

3

1. Методи побудови багатофакторної регресійної моделі

Метод усіх можливих регресій Метод усіх можливих регресій

Метод виключень Метод виключень

Покроковий регресійний метод Покроковий регресійний метод

1

2

3

4

2. Етапи дослідження загальної лінійної моделі

множинної регресії

Розглядається багатофакторна лінійна регресійна модель

mm xaxaxaay ...22110

5

Для дослідження моделі слід виконати такі кроки.

1. За даними спостережень оцінити параметри а1 , а2 ,..., ат1. За даними спостережень оцінити параметри а1 , а2 ,..., ат

2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислити:2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислити:

а) залишки моделі — розбіжності між спостереженими та розрахунковими значеннями

залежної змінної , і = 1, 2,..., п

а) залишки моделі — розбіжності між спостереженими та розрахунковими значеннями

залежної змінної , і = 1, 2,..., пiii yyu ˆ

б) відносну похибку залишків та її середнє значенняб) відносну похибку залишків та її середнє значення

1

2

6

в) залишкову дисперсіюв) залишкову дисперсію

г) коефіцієнт детермінаціїг) коефіцієнт детермінації

д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції

д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції

7

3. Перевірити статистичну значущість отриманих результатів:

3. Перевірити статистичну значущість отриманих результатів:

а) перевірити адекватність моделі загалом: за допомогою F-критерію Фішера перевірити гіпотезу

Н0 :

проти альтернативної

НА: існує хоча б один коефіцієнт

0...21 maaa

0ja

3

8

б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу

Н0 : R = 0

б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу

Н0 : R = 0

в) перевірити істотність коефіцієнтів регресії: за допомогою t-критерію Стьюдента

перевірити гіпотезуН0 : для всіх j = 1, 2,..., т

проти відповідних альтернативних гіпотезНА : для всіх j = 1, 2,..., т;

0ja

0ja

9

4. Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності

4. Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності

5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості α.

5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості α.

6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії.

6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії.

4

5

6

10

7. Обчислити прогнозні значення ур

за значеннями , що перебувають за межами

базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів

індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів

середнього прогнозу.

7. Обчислити прогнозні значення ур

за значеннями , що перебувають за межами

базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів

індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів

середнього прогнозу.

mppp xxx ,...,, 21

7

11

3. Приклад параметризації та дослідження

багатофакторної регресійної моделі

12

Прибуток підприємства

у(i) Прибуток підприємства

у(i)

Інвестиції

х1(i) Інвестиції

х1(i)

Витрати на рекламу

х2(і)

Витрати на рекламу

х2(і)

Заробітна плата

х3(і)

Заробітна плата

х3(і)

13

Припустимо, що між економічним показником у і факторами х1 , х2 , х3

існує лінійний зв'язок.

3322110 xaxaxaay

параметри моделі, які потрібно оцінити параметри моделі, які потрібно оцінити

3210 ,,, aaaa

14

Вихідні дані в умовних одиницях

Номер спост. х1(і) х2(і) х3(і) у(і)

1 17,37 5,28 1,42 15,7

2 18,24 6,47 1,58 17,34

3 22,47 6,98 1,98 21,57

4 18,47 7,05 2,04 33,5

5 16,82 7,94 2,38 32,30

...... ...... ...... ...... ......

14 35,67 18,47 8,58 62,22

15 47,87 19,64 9,47 77,58

15

Знайдемо МНК-оцінки параметрів

моделі. 1

х1(і) х2(і) х3(і)

16

Обчислимо оцінки регресійних коефіцієнтів за формулою

де XT — транспонована матриця X

YXXXa TT 1)(

17

Виконавши обчислення, одержимо параметри моделі:

Функція регресії з урахуванням знайдених оцінок параметрів моделі набуває вигляду

321 856,11728,2252,0108,26 xxxy

a0

a1

a2

a3

18

Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислимо:

2

а) Залишки iii yyu

б) Відносну похибку розрахункових значень регресії:

%100i

ii y

u

середнє значення відносної похибки

n

n

1ii

52783,0У нас

19

в) Обчислимо середньоквадратичну помилку дисперсії збурень

1ˆˆ 1

2

mn

uS

n

ii

uu

7357,5ˆ uSУ нас

20

г) Перевіримо тісноту загального зв'язку (впливу) незалежних змінних на залежну змінну. Для цього треба обчислити коефіцієнт детермінації за формулою

91436,02 RУ нас

Висновок: чим ближчий він до одиниці, тим більше варіація залежної змінної y визначається варіацією незалежної

змінної x (є тісний зв'язок між залежною та незалежними змінними).

n

ii

n

ii

yy

uR

1

2

1

2

2

)(1

21

д) Перевіримо на значущість вибірковий коефіцієнт кореляції.

Для цього обчислимо - коефіцієнт кореляції (характеризує тісноту лінійного зв'язку всіх незалежних факторів xi із

залежною змінною y).

2RR

У нас 956222,091436,02 RR

22

Перевіримо статистичну значущість отриманих результатів.

3

а) Обчислимо F-статистику за формулою

m

mn

R

RFексп

1

1 2

2

Знайти табличне значення:

і порівняти його з обчисленою F – статистикою: якщо

то гіпотеза відхиляється, інакше приймається.

),1,( mnmF

),1,( mnmFFексп

23

Маємо Fексп=39,14827,

табличне значення:

У нас

59,3)05,0;11;3(F

Порівняємо його з обчисленою F-статистикою. Оскільки

нульова гіпотеза відхиляється, тобто коефіцієнти регресії є значущими.

)05,0;11;3(FFексп

24

б) Обчислимо t-статистику за формулою

21

1

R

mnRt

Якщо

де відповідне табличне значення t-розподілу з (n-m-1) ступенями свободи, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежними змінними моделі.

)1,2/( mntt табл

)1,2/( mntтабл

25

Маємо t = 37,03215. Відповідне табличне значення

У нас

593097,2)11;025,0( таблt

Оскільки

можна зробити висновок про достовірність коефіцієнта кореляції, який характеризує тісноту зв'язку між залежною та незалежними змінними моделі.

)11;025,0(таблtt

26

Для вибраного рівня значущості і відповідного ступеня вільності k=n-т-1

записати межі надійності для множинного коефіцієнта кореляції R:

(R-R; R+R), де

n

RtR k

1

,2/

27

Маємо

У нас

029311,015

956222,01593,2

R

отже

)985533,0;926911,0();( RRRR

28

в) Перевіримо значущість окремих коефіцієнтів регресії.

Визначимо t-статистику за формулою

ja

j

jju

jj S

a

c

at

2

де - діагональний елемент матриці ,

- стандартизована помилка оцінки параметра моделі.

jjc 1)( XX T

jaS

29

Значення tj-критерію порівнюється з

табличними при k = n-m-1 ступенях свободи і рівні значущості : якщо |tj| >t /2,k , то відповідна оцінка

параметра регресійної моделі є значуща; інакше приймаємо гіпотезу про рівність

aj нулю

30

696681,2;09688,1

;67081,0;105278,3

32

10

tt

tt

У нас

табличне значення 593097,2)11,025,0( таблt

Оскільки kkkk tttttttt ,2/3,2/2,2/1,2/0 ;;;

відповідно оцінки є значущими 30 ˆ,ˆ aa

а оцінки не є значущими 21 ˆ,ˆ aa

31

Обчислимо коефіцієнти еластичності за формулою

4

.y

x

x

y i

ii

коефіцієнт еластичності є показником впливу зміни питомої ваги xi на y у припущенні, що

вплив інших факторів відсутній: показує, що регресанд y зміниться на %, якщо фактор x зміниться на 1%

32

321 x856,11x728,2x252,0108,26y

137,008,43

416,23252,0

y

x

x

y 1

11

252,0x

y

1

416,23x1

08,43y

33

α1= -0,137; α2 = -0,699; α3 = 1,24

У нас

У нашому випадку він показує, що прибуток підприємства зменшиться на 0,14 %, якщо

інвестиції зростуть на 1%, прибуток підприємства зменшиться на 0,7 %, якщо

витрати на рекламу зростуть на 1 %, прибуток підприємства збільшиться на 1,24 %,

якщо заробітна плата зросте на 1 %.

34

Загальна еластичність Y від усіх факторів хi дорівнює:

m

ii

1

Цей показник свідчить, що на % зміниться y , якщо одночасно

збільшити на 1% всі фактори xi)

α=0,394033.У нас

35

Обчислимо довірчі інтервали для математичного сподівання

і для кожного спостереження y

5

),,,1( )(3)(2)(1 iiiT

i xxxX

iTT

iuki

iiii

XXXXSty

yyyy

1,2/ )(ˆˆ

,ˆˆ;ˆˆ

де

36

де — незміщена оцінка дисперсії залишків:

uS

У нас 7357,5ˆ uS

Виконавши необхідні розрахунки, отримаємо довірчі зони регресії:

(23,430; 24,904)(22,594; 22,604)(24,730; 25,041)..........................(62,887; 63,558)(68,229; 68,712)(71,961;73,556)

37

Побудуємо довірчі інтервали для параметрів регресії.

6

);( 2,2/

2,2/ jjukjjjukj ctacta

Довірчий інтервал при рівні надійності (1-) є інтервал з випадково залежними межами і накриває істинне значення коефіцієнта регресії aj з рівнем довіри (1-).

jjc діагональний елемент матриці1)( XX T

38

jju c220,2)11;025,0( таблt

Стандартні похибки

У нас

)44,21;195,2()801,2;126,8(

)539,0;095,1()47,44;85,7(

32

10

aa

aa

39

За допомогою пакету Excel. Виконати команду Сервис/Анализ данных

40

Обчислимо прогнозні значення і знайдемо межі довірчих інтервалів індивідуальних

прогнозних значень і межі довірчих інтервалів для математичного сподівання

(точковий та інтервальний прогнози).

7

41

а) для обчислення прогнозних значень у рівняння

прpi Yy

3322110 ˆˆˆˆˆ xaxaxaay

тобто

321 856,11728,2252,0108,26ˆ xxxy

підставимо задані значення pix

42

Підставимо

У нас

25,10,04,20,82,48 321 прпрпр xxx

одержимо

68,80прy

43

б) знайдемо межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою:

прTT

прuпр

прпрпрпрпр

XXXXtY

YYYYY

12/ )(1ˆˆ

,ˆˆˆˆ

де

44

У нас

68,80ˆ прY 7357,5u

25,10;04,20;82,48прX

)64,102;72,58(прY

тоді

інтервальний прогноз індивідуального значення

45

в) знайдемо межі довірчих інтервалів для математичного сподівання значення ypi за

формулою:

прTT

прu

прпрпр

XXXXt

YYMY

12/1

11

)(ˆ

,ˆ)(ˆ

де

46

У нас

68,80ˆ прY 7357,5u

тоді

довірчий інтервал для математичного сподівання.

)83,96;52,64()( прYM

47

Завдання для самостійної роботи

?

Лугінін О.Є. Економетрія. Стор.123-132.Приклад 6.3 розібрати розв‘язок.

48

Експрес контрольЗнайти значення критерію Фішера

для парної регресії, якщо n=10+k, R2=0,9t,

де k- номер по списку,

t- номер групи (1,2,3,4,5,6,7)