˘ ˆ ˇ˙ ˇ ˝ ˛ ˛ ˚ - Fakultetifakulteti.edukacija.rs/testovi-za-prijemni/visoke-skole/...3...

��

��

��

��

��

� !"#$�%�

�&'()*+,-�.,',/0,�#$�1�

1

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA S U B O T I C A 01.07.1995.

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

1. Uprostiti izraz =��

��

�

+−⋅�

�

��

�

−+⋅�

�

��

�

−+

+−+

ba

b

ba

b

ba

ba

ba

ba 41

23

3

3

3

3 (6 bodova)

2. Rešiti jedna�inu:364

5

81182

12 +

=−

−− xx

x

x. (6 bodova)

3. Rešiti eksponencijalnu jedna�inu: xxx 4269 ⋅=+ . (6 bodova)

4. Rešiti logaritamsku jedna�inu: 7logloglog 2416 =++ xxx . (6 bodova)

5. Na�i sva rešenja jedna�ine: 44422 cossin =+ xx . (6 bodova)

6. Dato je sinα=2

1 (α<90o). Na�i sin2α, cos2α, sin3α i cos3α. (6 bodova)

7. Temena trougla ABC su ta�ke: A(0, 0), B(–2, 3) i C(4, 6). Napisati jedna�inu visine koja je povu�ena iz temena A. (6 bodova)

8. Dat je krug 3422 =+ yx i prava koja prolazi kroz ta�ke A(6, 10) i B(9, –2). Koja je ta�ka na pravoj najbliža kružnici i koja je ta�ka na kružnici najbliža pravoj?

(6 bodova)

9. Površina drvene kocke je 864 cm2. Kocka je ofarbana (cela površina) crvenom bojom, zatim je razreza na kockice od po 1cm3. a) Kolika je ivica date kocke? b) Koliko jedini�nih kocki dobijamo tim komadanjem? c) Koliko je tih kocki ofarbano sa 3 strane? d) Sa 2 strane? e) Sa 1 strane? f) Koliko kockica uopšte nije ofarbana? (6 bodova)

10. Proizvod prva tri �lana geometrijskog niza je 216. Ukoliko se tre�i �lan smanji za 3 dobijamo prva tri �lana jednog aritmeti�kog niza. Koji su to brojevi? (6 bodova)

2

M�SZAKI F�ISKOLA S Z A B A D K A 1995.07.01.

MIN�SÍT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL

1. Egyszer�sítse a kifejezést: =��

��

�

+−⋅�

�

��

�

−+⋅�

�

��

�

−+

+−+

ba

b

ba

b

ba

ba

ba

ba 41

23

3

3

3

3 (6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet:364

5

81182

12 +

=−

−− xx

x

x. (6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: xxx 4269 ⋅=+ . (6 pont)

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: 7logloglog 2416 =++ xxx . (6 pont)

5. Határozza meg az egyenlet minden megoldását: 44422 cossin =+ xx . (6 pont)

6. Adva van sinα=2

1 (α<90o). Határozza meg sin2α, cos2α, sin3α i cos3α értékét.

(6 pont) 7. Az ABC háromszög csúcspontjai: A(0, 0), B(–2, 3) i C(4, 6). Írja fel az A ponton

áthaladó magasság egyenletét. (6 pont)

8. Adott az 3422 =+ yx kör, és az A(6, 10) és B(9, –2) pontokhoz illeszked� egyenes. Melyik pont van az egyenesen legközelebb a körhöz, és melyik a

körnek az egyeneshez legközelebbi pontja? (6 pont)

9. A fából készült kocka felszíne 864 cm2. A kocka teljes felszínét befestettük, majd feldaraboltuk 1cm3 térfogatú kis kockákra.

a) Mekkora az adott kocka éle? b) Hány egységkockát nyertünk? c) Hány kis kocka van 3 oldaláról befestve? d) és 2 oldaláról? e) és 1 oldaláról? f) Hány kocka egyáltalán nincs befestve? (6 pont)

10. Egy mértani sorozat els� három tagjának szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük,

egy számtani sorozat els� három tagját nyerjük. Melyik mértani sorozatról van szó? (6 pont)

3

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA M�SZAKI F�ISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A 01.07.1995. 1995.07.01

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E Š E N J A

MIN�SÍT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K

1. =��

��

�

+−⋅�

�

��

�

−+⋅�

�

��

�

−+

+−+

ba

b

ba

b

ba

ba

ba

ba 41

23

3

3

3

3

( )( ) ( )( )

( )( )=

+−+

⋅−

+−⋅

−−−++−+

=ba

bba

ba

bba

baba

babababa 4233

33

3333

( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

633

33633

33

66 22

=+−−−−−+−

=+−

⋅−−

⋅−−

−=

babababa

babababa

ba

ba

ba

ba

baba

ba,

uz uslov: .3,3,, babababa ≠≠−≠≠

2.364

5

81182

12 +

=−

−− xx

x

x⇔

)9(4

5

)9)(9()9(2

1

+=

+−−

− xxx

x

x

Za x ≠ 9 i x ≠ –9 imamo: )9(54)9(2 −=−+ xxx ili 7x = 63, x=9. Rešenje se ne prihvata, prema tome jedna�ina nema rešenja.

3. xxx 4269 ⋅=+ Podelimo jedna�inu sa 4x i dobijamo:

024

6

4

9=−�

�

��

�+��

��

�xx

⇔ 022

3

2

32

=−��

��

�+��

��

�xx

. Stavimo smenu t

x

=��

��

�

2

3 :

t2 + t – 2 = 0. Rešenja su t1 =1 i t2 = –2. Iz t1 =1 sledi x = 0, dok t2 = –2 ne prihvatamo, jer mora biti t > 0.

4. 7logloglog 2416 =++ xxx ⇔ 7loglog2

1log

4

1222 =++ xxx ⇔

⇔ 28log7 2 =x ⇔ 4log2 =x ⇔ x = 16.

5. 44422 cossin =+ xx . Zamenimo li sin2

x = 1 – cos2x, i stavimo smenu tx =

2cos4

dobijamo: 41

4 =+⋅ tt

⇔ t2 – 4t + 4 = 0 ⇔ (t – 2)2 = 0 ⇔ t = 2.

Iz navedenog sledi 242cos =x ⇔ 22

2cos2 =x ⇔ 1cos2 2 =x , odnosno

2

2cos ±=x . Prema tome sva tražena rešenja su

24

ππkx += za k∈Z.

6. Za sinα=2

1 (α<90o) imamo cosα =

2

3

4

11sin1 2 =−=− α . Sledi:

4

sin2α = 2sinα cosα = 2⋅2

3

2

3

2

1=⋅ , cos2α = cos2α – sin2α =

2

1.

sin3α = sin(α +2α) = sinα cos2α + cosα sin2α = 1,

cos3α = cos(α +2α) = cosα cos2α – sinα sin2α =0.

7. Odredimo prvo koeficijent pravca duži BC: 2

1

24

36=

+−

=−−

=BC

BC

BCxx

yyk . Tražena visina prolazi

kroz ta�ku A i normalna je na pravu (BC), zato je koeficijent pravca

te prave 21

−=−=BC

hAk

k . Jedna�ina visine je: y = –2x.

8. Povu�emo normalu kroz centar kruga 3422 =+ yx na pravu (AB). Tražene ta�ke

su presek ove nove prave sa kružnicom i sa pravom (AB). pAB: y = – 4x + 34.

Normala na ovu pravu iz ta�ke (0, 0) je x – 4y = 0.

Preseci su tražene "najbliže" ta�ke: Na kružnici ( )2,24K , a na pravoj P(8, 2).

9. a) Neposredno se dobija, da je ivica kocke a = 12 cm, jer je 6a2 = 864 cm2.

b) Broj jedini�nih kocki je zapremina, tj a3 = 123 = 1728 cm3 .

c) 8 kocki, koje se nalaze na temenima velike kocke ofarbano je sa 3 strane.

d) sa 2 strane ofarbano je na svakoj ivici po 10 kockica, tojest 120 kocki.

e) sa 1 strane su ofarbane kocke na svakoj od 6 strana po 100, tojest 600 kocki.

f) neofarbane su kocke "ispod površinskog sloja" a to je 103 = 1000 kocki.

10. To su brojevi a, aq i aq2. Njihov proizvod je a3

q3 = 216, iz �ega sledi da je srednji

broj aq = 6. Koristimo �injenicu, da je (aq2 – 3) – aq = aq – a. Neposrednom

zamenom dobija se kvadratna jedna�ina po q: 2q2 – 5q + 2 = 0. Odavde je q1 = 2,

i q2 = 1/2. Kao rešenje dobijamo ista tri broja u obrnutom redosledu 3, 6 i 12,

odnosno 12, 6 i 3.

�

5



1. Uprostiti izraz: 11

1

1 3

1 31

1 3

1 31

1

1 3

1 31

1 3

++

+−

−+−

�

�

��

�

�

��

−+

+−

−+−

�

�

��

�

�

��

a

aa

a

a

aa

a

:

2. Rešiti jedna�inu (odabrati pogodnu zamenu!): 16

1

1

16

5

25 5

x

x

x

x−+

−=

3. Rešiti sistem jedna�ina: 2 2 12

5

x y

x y

+ =

+ =

4. Rešiti jedna�inu: log log22

22 2 0x x+ − =

5. Svesti izraz na funkcije ostrih uglova, zatim izra�unati vrednost bez upotrebe kalkulatora:

sin cos tg

ctg sin cos

750 390 1140

405 1860 780

o o o

o o o

6. Rešiti jedna�inu: xxx 5cos3cos2cos =

7. Centar kružnice se nalzi na pravama x + 2y = 6 i x – y = 0, a prolazi kroz ta�ku T(–1, –1). Napisati jedna�inu te kružnice.

8. Odrediti jedna�ine zajedni�kih tangenti parabole y x2 4= i elipse x y2 24 8+ = .

9. U pravilnu �etvorostranu jednakoivi�nu piramidu upisana je lopta. Koliko procenata iznosi zapremina lopte od zapremine piramide?

10. Aritmeti�ki i geometrijski niz imaju isti tre�i �lan, koji iznosi 4. Proizvod prvih �lanova je 2, drugih 6. Koji su ti nizovi?

NAPOMENA: svaki zadatak se boduje maksimalno sa 6 bodova.

6

M�SZAKI F�ISKOLA S Z A B A D K A 1995.09.05

MIN�SÍT� VISGA MATEMATIKÁBÓL .

1. Egyszer�sítse a következ� kifejezést: 11

1

1 3

1 31

1 3

1 31

1

1 3

1 31

1 3

++

+−

−+−

�

�

��

�

�

��

−+

+−

−+−

�

�

��

�

�

��

a

aa

a

a

aa

a

:

2. Oldja meg a következ� egyenletet: 16

1

1

16

5

25 5

x

x

x

x−+

−=

3. Oldja meg a következ� egyenletrendszert: 2 2 12

5

x y

x y

+ =

+ =

4. Oldja meg a következ� egyenletet: log log22

22 2 0x x+ − =

5. Vezesse vissza a szögfüggvényeket hegyesszögek függvényeire, majd számítsa ki

a kifejezés érékét kalkulátor használata nélkül: sin cos tg

ctg sin cos

750 390 1140

405 1860 780

o o o

o o o

6. Oldja meg a következ� egyenletet: cos cos cos2 3 5x x x=

7. A kör középpontja az x + 2y = 6 és az x – y = 0 egyenesek metszéspontjában van, valamint áthalad a T(–1, –1) ponton. Írja fel a kör egyenletét!.

8. Határozza meg az y x2 4= parabola, és a x y2 24 8+ = . ellipszis közös érint�inek egyenletét!

9. A szabályos négyoldalú (egyenl�él�) gúlába gömböt rajzoltunk. Hány százaléka a gúla térfogatának a gömb térfogata?

10. Egy számtani és egy mértani sorozatnak is a harmadik tagja 4. Az els� tagok szorzata 2, a második tagok szorzata pedig 6. Melyik ez a két sorozat?

MEGJEGYZÉS: mindegyik feladat megoldásáért legfeljebb 6 pont jár.

7

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA M�SZAKI F�ISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A 20.09.1995. 1995.09.20.



1. 11

1

1 3

1 31

1 3

1 31

1

1 3

1 31

1 3

++

+−

−+−

�

�

��

�

�

��

−+

+−

−+−

�

�

��

�

�

��

a

aa

a

a

aa

a

: =

��

�

�

��

�

�

−−−−

−++−

−

��

�

�

��

�

�

−−−−

−++−

+=

a

aaa

aa

a

aaa

aa

31

333131

131

31:

31

333131

131

1

=��

��

�

+

−+�

�

��

�

+

−−=�

�

��

�

−−

−−�

�

��

�

−−

−+=

a

a

a

a

a

a

a

a

31

131:

31

11

62

2231:

62

221

aaa

a

a

aa

a

aa=

++=�

�

��

�

+

−++��

��

�

+

+−+=

31

4:

31

4

31

3331:

31

131, za

3

1≠a i

3

1−≠a .

2.16

1

1

16

5

25 5

x

x

x

x−+

−= za x ≠ 1 i x ≠ 0 stavljamo smenu: 5

1

16

−=

x

xt . Sledi jedna�ina:

02522

51 2 =+−⇔=+ ttt

t . Rešenja su: t1 = 2, i t2 = ½.

Za t1 = 2 imamo: 21

162 1

5 =�−

= xx

x, za t2 = ½ imamo:

511

1

1

16

2

12

5 −=�−

= xx

x.

3.2 2 12

5

x y

x y

+ =

+ =. Zamenimo iz druge jedna�ine y = 5 – x u prvoj jedna�ini:

03221221222 25 =+⋅−�=+ − xxxx . Nakon stavljanja smene xt 2= dobijemo jedna�inu:

032122 =+− tt . Rešenja su: t1 = 8, i t2 = 4.

Za t1 = 8 imamo: .2,382 ==�= yxx Za t2 = 4 imamo: .3,242 ==�= yxx

4. log log22

22 2 0x x+ − = . Primenom osobina logaritma i stavljanja smene xz 2log= imamo

jedna�inu: 022 =−+ xz sa rešenjima: z1 = –2, i z2 = 1, odnosno : x1 = ¼, i x2 = 2.

8

5.sin cos tg

ctg sin cos

750 390 1140

405 1860 780

o o o

o o o=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =

+⋅⋅+⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅+⋅oooooo

oooooo

603602cos603605sin451802cot

01808tan30360cos303602sin

0=

⋅⋅

⋅⋅==

2

1

2

31

02

3

2

1

60cos60sin45cot

0tan30cos30sinooo

ooo

.

6. cos cos cos2 3 5x x x= . Primenom formule ( ) ( )( )βαβαβα −++=⋅ coscos2

1coscos dobijemo

( )xxxx cos5cos2

13cos2cos += .

Zamenimo li to u datoj jedna�ini imamo: 0cos5cos =− xx .

Pošto je 2

sin2

sin2coscosβαβα

βα−+

−=− sledi: 02sin3sin2 =− xx .

Odatle se rešenja: sin3x = 0 �3

πkx = , ili sin2x = 0 �

2

πkx = , za k ∈ Z.

7. Presek pravih x + 2y = 6 i x – y = 0 je ta�ka C(2, 2).

Polupre�nik kružnice je je rastojanje CT = 18 .

Iz toga neposredno sledi jedna�ina tražene kružnice: (x – 2)2 + (y – 2)2 = 18.

8. Jedna�ine zajedni�kih tangenti parabole y x2 4= i 84 22 =+ yx tražimo u obliku y = kx + n.

Uslov dodira parabole je p = 2kn, gde je p parametar parabole. Sledi n

k1

= .

Uslov dodira elipse je 2222 nbka =+ , gde su a i b poluose elipse. Sledi: 4

12 =k .

Objedinjavaju�i zaklju�ke dobijamo za 2

1=k n =2, i za

2

1−=k n = –2. Slede jedna�ine

zajedni�kih tangenti: 22

1,2

2

1−−=+= xyxy .

9. Posmatrajmo osni presek KLS. KS = h = 2

3a, MS = H =

2

2a, PS = h – ( )13

22−=

aa,

OS = H – r =2

2a–r. Pošto je r2 = OS

2 – PS2 dobijamo ( )26

4−=

ar . Zapremina piramide

9

je: 6

2

3

32

1

aHaV == , a zapremina lopte je: ( )2563

123

4 33

2 −==π

πa

rV .

Traženi procentni broj je ( ) %8,3053350100

1

2 ≈−== πV

Vp .

10. Neka su �lanovi aritmeti�ke progresije a1 , a2 i a3 , a �lanovi geometrijskog niza su b1 , b2 i b3 , pri �emu je a3 = b3 = 4, zatim a1 ⋅ b1 = 2 i a2 ⋅ b2 = 6. Na osnovu svojstava aritmeti�kog i geometrijskog niza zapisujemo:

a2 = a3 – d = 4 – d i a1 = a3 – 2d = 4 – 2d . dok je qq

bb

432 == i

22

31

4

qq

bb == .

Po uslovu zadatka je a1 ⋅ b1 = 2 = ( )2

424

qd ⋅− , i a2 ⋅ b2 = 6 = ( )

qd

44 ⋅− . Iz ove druge

jedna�ine sledi: 2

38 qd

−= . Zamenimo li to u prethodnu jedna�inu dobijamo: 0862 =+− qq .

Rešenja po nepoznatom q su: q1 = 2 i q2 = 4.

Za q1 = 2 dobijamo d1 = 1, pa je traženi aritmeti�ki niz 2, 3, 4, a geometrijski je 1, 2, 4.

Za q2 = 4 dobijamo d2 = –2, pa je traženi aritmeti�ki niz 8, 6, 4, a geometrijski je ¼, 1, 4. �

2 2K

M

•

•S

a

a

a

2a2

•

•

•

•

•S

O

P Q

•M L

•K

L

r

r

a a

•

•

10



1. Uprostiti izraz: ( )1 1

1 1 22 2

2

2 2

a b

x

aba b x

a b ab

x

a b

+ −��

�� + +

+ + −.

2. Rešiti jedna�inu: x x x+ − − =1 1 .

3. Rešiti eksponencijalnu jedna�inu: 1012310310 44 =��

�� −−�

��

�� +

xx

.

4. Rešiti logaritamsku jedna�inu: ( ) ( )log log4 2 2 2 2 31 1 7 0x x+ − + − = .

5. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu: 25cos25cossin30sin9 22 =+− xxxx .

6. Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α , ako je 3

22

πα π< < ,

i 3

3ctg −=α .

7. Izra�unati površinu trougla obrazovanog tangentama elipse x y2 2

20 51+ = povu�ene

iz ta�ke P10

3

5

3,

��

�� , i ose Ox.

8. U krug jedini�nog polupre�nika upisan je pravougaonik sa odnosom stranica 1:3. Koliko procenata �ini površina pravougaonika od površine kruga?

9. Osnova prave prizme je pravougli trougao ABC. AC = 1dm. Prav ugao je kod temena C, dok ugao kod temena A iznosi 600 . Ugao izmedju bo�nih dijagonala koje ishode iz ta�ke A je 300 . Izra�unati zapreminu prizme!

10. Ako se od 4 broja odbaci prvi, ostali �ine geometrijsku progresiju. Ako se odbaci poslednji, ostaje aritmeti�ka progresija. Zbir brojeva iz geometrijske progresije je 13, a zbir tri broja iz aritmeti�ke progresije iznosi 3. Na�i te brojeve.

Napomena: Svaki zadatak se boduje maksimalo sa 6 bodova.

11

M�SZAKI F�ISKOLA S Z A B A D K A 1995.09.20


1. Egyszer�sítse a kifejezést: ( )1 1

1 1 22 2

2

2 2

a b

x

aba b x

a b ab

x

a b

+ −��

�� + +

+ + −.

2. Oldja meg az egyenletet: x x x+ − − =1 1 .

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 1012310310 44 =��

�� −−�

��

�� +

xx

.

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: ( ) ( )log log4 2 2 2 2 31 1 7 0x x+ − + − = .

5. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: 25cos25cossin30sin9 22 =+− xxxx .

6. Határozza meg az α szög többi szögfüggvényét, ha 3

22

πα π< < és

3

3ctg −=α .

7. Számítsa ki annak a háromszögnek a területét, amelyet az x y2 2

20 51+ = ellipszishez

a P10

3

5

3,

��

�� pontból húzott érint�k és az Ox tengely alkotnak.

8. Az egységsugarú körbe téglalapot rajzoltunk amely oldalainak aránya 1:3. A kör területének hány százaléka tartozik a téglalaphoz?

9. Az egyenes hasáb alaplapja az ABC derékszög� háromszög. AC = 1dm. A derékszög a C pontnál van, míg az A pontnál lév� szög 600 . Az A pontból kiinduló oldalátlók egymás között 300 -os szöget zárnak be. Határozza meg a hasáb térfogatát!

10. Ha 4 szám közül elhagyjuk az els�t, a megmaradók mértani sorozatot alkotnak. Ha az utolsót hagyjuk el, akkor számtani sorozat marad. A mértani sorozathoz tartozó számok összege 13, míg a számtanihoz tartozók összege 3. Melyik ez a 4 szám?

Megjegyzés: A feladatok mindegyike legfeljebb 6 ponttal értékelhet�.

12




1. Za a≠0 i b≠0 imamo: ( )1 1

1 1 22 2

2

2 2

a b

x

aba b x

a b ab

x

a b

+ −��

�� + +

+ + −

( )=

−++

++−+

=

22

222 2

ba

xabab

xbaab

xab

( )( )

( )( )( )

ab

ab

xba

xba

ab

xba

xbaxba=

−+

−+=

−+

++−+=

22

22

22 , pod uslovom da je x ≠±(a+b).

2. Za x ≥ 0 i 1 ≥ x imamo: x x x+ − − =1 1 ⇔ xxx −=−− 11 .

Kvadriramo li jedna�inu, dobijamo: xxxx +−=−− 211 ⇔ xx 211 −=−− .

Ponovnim kvadriranjem: xxx 4411 +−=− ⇔ xx 54 = ⇔ 16x = 25x2.

Rešenja ove poslednje jedna�ine su x1 = 0 i x2 = 16/25, od kojih brojeva samo ovaj

drugi zadovoljava polaznu jedna�inu!

3. 1012310310 44 =��

�� −−�

��

�� +

xx

. Uo�iti, da je 310

1310

−=+ , pa je

mogu�a smena ( )4310x

t += . Dobija se jedna�ina 0110122 =−− tt �ija su

rešenja 191062

1 ±=t . Pošto mora biti t > 0, sledi ( )2

31019106 +=+=t .

Kona�no rešenje je: ( ) ( )24 310310 +=+x

⇔ x = 8.

4. ( ) ( )log log4 2 2 2 2 31 1 7 0x x+ − + − = . Primenom osobine logaritma dobijamo:

( ) ( ) 071log91log16 2224 =−+−+ xx . Stavimo smenu )1(log 22 += xt :

07916 2 =−− tt . Rešenja ove poslednje jedna�ine su 32

2392

1

±=t .

Negativno rešenje se odbacuje zbog kvadrata, pa �e biti 1)1(log 22 =+= xt ,

sledi: 1)1log( 2 ±=+x . Za +1 dobijamo x2 + 1 = 10, odnosno x = ±3.

13

Drugo rešenje (–1) odbacujemo jer ne postoji realno x za koje je 1)1log( 2 −=+x ,

naime, trebalo bi da bude x2 =10–1 – 1 = –0,9.

5. 25cos25cossin30sin9 22 =+− xxxx . Nakon smene cos2x = 1 – sin2

x imamo:

–16sin2x – 30 sinx⋅ cosx = 0 ⇔ sinx (8 sinx + 15 cosx) = 0 ⇔

⇔ sinx = 0, što zna�i x = kπ, ili je 8 sinx + 15 cosx = 0, to jest tgx = –8/15.

Ovo zadnje rešenje zna�i x = 118°56' + kπ, gde je k∈ Z.

6. Pošto je ctgα = −3

3zato je 3

1−==

αα

ctgtg .

Imamo identi�nost 2

3

1sin

2 ±−

=+±

=α

αα

tg

tg. Zbog uslova

3

22

πα π< <

dobijemo, da je 2

3sin −=α . Sli�no zbog uslova zadatka je

2

1cos +=α .

7. Neka je jedna�ina tangente Ax + By + C = 0. Uslov dodira je a2A

2 + b2B

2 – C2 = 0,

gde su a i b poluose elipse. To zna�i: 20A2 + 5B

2 – C2 = 0. Pored toga prava prolazi

kroz ta�ku P10

3

5

3,

��

�� : 0

3

5

3

10=+⋅+⋅ CBA . Rešavanjem sistema od ove dve jedna�ine

dobijamo tangente: x + y = 5 i x + 4y = 10. Koordinate preseka ovih pravih sa osom Ox

su ta�ke A(5, 0) i B(10, 0). Prema tome osnova trougla je duž AB=5, a visina trougla je

ordinata ta�ke P. Zato je tražena površina6

25

23

55

=⋅

=∆p .

8. Pravougaonik upisan u krug jedini�nog polupre�nika ima dijagonalu dužine 2, a jedna

stranica ima dužinu x, dok druga 3x. Po Pitagorinoj teoremi je x2 + 9x2 = 4, odnosno

x2 = 2/5. Površina pravougaonika je x⋅3x = 3x2 =6/5 = 1,2. Pošto je površina kruga π,

traženi procenat �e biti %2,38%1002,1

%1002

1 ≈⋅π

=⋅=p

pk .

14

9. Pošto je osnova "polovina" jednakostrani�nog -

trougla, dužine ivica su: AC=1, AB=2 i

BC= 3 .

Prava B1C1 je normalna na celu bo�nu stranu

ACC1A1, pa je normalna i na duž AC1.

To zna�i da je trougao AC1B1 pravougli sa

pravim uglom kod ta�ke C1. Prema tome i to

je "polovina" jednakostrani�nog trougla, zato

iz B1C1= 3 sledi: AB1 =2 3 .

Visinu H ra�unamo pomo�u Pitagorine

teoreme: H2 =(2 3 )2 – 22 = 8. Sledi H= 22 , a tražena zapremina je:

622

31

2 1

=⋅

=

⋅⋅

=⋅=⋅=

V

BBBCAC

HpHBVABC

10. Neka su prva tri broja, koji �ine aritmeti�ku progresiju ozna�eni sa a, a+d, a+2d. �etvrti

�lan je deo geometrijske progresije �iji su prvi i drugi �lan a+d, a+2d, zato je koli�nik te

progresije (a+2d)/( a+d). Dok je �etvrti broj jednak (a+2d)2/( a+d). Po uslovima zadatka

imamo: ( ) ( ) ( )13

22

2

=+

+++++

da

dadada , i a + (a+d) + (a+2d) = 3

Iz ovog sistema jedna�ina slede rešenja. Za d1 = –5 dobijemo a = 6 i brojeve: 6, 1, –4, 16,

a za d2 = 2 dobijemo a = –1 i brojeve –1, 1, 3, 9. �

60o

90o

30o

2

3

32

3

B

A

C

C1

B1

A1

H

1

15



11. Uprostiti izraz =+++

++

+−+

baa

ba

a

ba

aba

2

2

2

22

1

(6 bodova)

12. Rešiti jedna�inu: 42

1

1

1=

−+

+

− x

x

x. (6 bodova)

13. Rešiti eksponencijalnu jedna�inu: 122

7

2

1

3229 −++

−=− xxx

x . (6 bodova)

14. Rešiti logaritamsku jedna�inu: 3log4log2log 2832 =+− xxx . (6 bodova)

15. Dokazati identi�nost 03

4sin

3

2sinsin =�

�

��

� ++��

��

� ++π

απ

αα . (6 bodova)

16. Na�i sva rešenja trigonometrijske jedna�ine: 04sin3sin2sinsin =+++ xxxx . (6 bodova)

17. Osnova jednakokrakog trougla ABC je duž AB: A(–1, 5), B(5, 3). Odrediti površinu tog trougla ako se tre�e teme nalazi na osi Ox. (6 bodova)

18. Pod kojim uglom se vidi krug 014222 =+−−+ yxyx iz ta�ke P(5, 2). (6 bodova)

19. Odrediti površinu i zapreminu lopte koja je opisana oko kocke, �ija je zapremina

V1 = 24 3 cm3 . (6 bodova)

20. Tri broja �ine aritmeti�ki niz, a njihov zbir je 12. Ako se poslednji pove�a za vrednost prvog broja, dobija se geometrijski niz. Koji so to brojevi? (6 bodova)

16



1. Egyszer�sítse a kifejezést =+++

++

+−+

baa

ba

a

ba

aba

2

2

2

22

1

(6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet: 42

1

1

1=

−+

+

− x

x

x. (6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 122

7

2

1

3229 −++

−=− xxx

x . (6 pont)

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: 3log4log2log 2832 =+− xxx . (6 pont)

5. Igazolja az alábbi azonosságot: 03

4sin

3

2sinsin =�

�

��

� ++��

��

� ++π

απ

αα . (6 pont)

6. Határozza meg a trigonometriai egyenlet minden megoldását: 04sin3sin2sinsin =+++ xxxx . (6 pont)

7. Az ABC egyenl�szárú háromszög alapja az AB szakasz: A(–1, 5), B(5, 3). Határozza meg a háromszög területét, ha a harmadik csúcspont az Ox

tengelyhez illeszkedik. (6 pont)

8. Mekkora szög alatt látszik az 014222 =+−−+ yxyx kör a P(5, 2) pontból? (6 pont)

9. Határozza meg a kocka köré írt gömb felszínét és térfogatát, ha a kocka térfogata

V1 = 24 3 cm3 . (6 pont)

10. Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 12. Ha az utolsó számot megnöveljük az els� szám értékével, akkor mértani sorozatot nyerünk. Melyek ezek a számok? (6 pont)

17




1. =+++

++

+−+

baa

ba

a

ba

aba

2

2

2

22

1

=++

+

++

++

−+

baa

ba

aba

ba

aba2

2

2

2

22

ba

b

baba

b

+

+=

++

+=

222

11

2. Jedna�ina 42

1

1

1=

−+

+

− x

x

xima smisla za x ≥ 0. Eliminacijom razlomaka:

)1(8)1)(1()1(2 xxxx +=+−+− ⇔ xxx 88122 +=−+− ⇔

⇔ xx 89 =− ↑2 ⇔ 081822 =+− xx . Rešenja su x1 = 1 i x2 = 81.

Proverom se utvrdjuje da samo broj 81 zadovoljava polaznu jedna�inu.

3. 122

7

2

1

3229 −++

−=− xxx

x ⇔ 2

1

2

71 2222399 xxxx +=⋅+ − ⇔

⇔ ( )18223

119 2

1

+=��

��

� + xx ⇔ 2

32

1

2

9

3

429

2

9��

��

�=⋅

=��

��

�x

⇔ 2

3=x .

4. 3log4log2log 2832 =+− xxx ⇔ ( ) ( ) 3loglog23

1log1

5

1222 =++−+ xxx ⇔

⇔ 52log13 2 =x ⇔ 4log2 =x ⇔ x = 16.

5. Za dokaz jednakosti 03

4sin

3

2sinsin =�

�

��

� ++��

��

� ++π

απ

αα primenimo identi�nost:

18

2

β−αβ+α=β+α cos

2sin2sinsin . Spojimo prvi i tre�i sabirak na predloženi na�in

��

��

� ++��

��

�−��

��

� +=��

��

� ++��

��

� ++3

2sin

3

2cos

3

2sin2

3

2sin

3

4sinsin

πα

ππα

πα

παα

Pošto je 2

1

3

2cos

3

2cos −=�

�

��

�−=��

��

� ππ, sledi da je tvrdjenje zadatka ta�no:

03

2sin

3

2sin

2

12 =�

�

��

� ++��

��

� +��

��

�−π

απ

α .

6. 04sin3sin2sinsin =+++ xxxx .

Primenimo formulu iz prethodnog zadatka na sabirke 1 i 4, odnosno na 2 i 3.

02

sin2

5sin2

2

3cos

2

5sin2 =+

xxxx⇔ sin

2

5x= 0 ili 0

2sin

2

3cos =+

xx.

Prva mogu�nost neposredno daje πkx

=2

5, odnosno

5

2 πkx = za k∈Z.

Drugu jedna�inu napišimo u obliku zbira sinusa, zatim opet primenimo formulu

za zbir sinusa: 02

sin2

3cos =+

xx ⇔ 0

2sin

2

3

2sin =+�

�

��

� −xxπ

⇔

⇔ 04

cos24

sin2 =��

��

� −��

��

� − xx ππ

. Iz te jedna�ine slede još dve serije rešenja:

ππ

kx 22

−= i 4

ππ −= kx za k∈Z

7. Napišimo jedna�inu visine trougla ABC koja pripada duži AB: To je simetrala duži

A(–1, 5), B(5, 3). Prolazi kroz središte duži a to je ta�ka C1(2, 4) i normalna je na

(AB). Pošto je kAB = –1/3, zato ta visina ima jedna�inu y – 4 = 3(x – 2). Ta prava

se�e osu Ox u ta�ki C(2/3, 0). Dužina osnovice je AB = 102 , visina trougla je

CC1 = 103

4. Prema tome, površina je:

3

40

2

103

4102

21 =

⋅=

⋅=∆

CCABp .

8. Povucimo tangete kruga 014222 =+−−+ yxyx iz ta�ke P(5, 2). To �e biti

prave y – 2 = k (x – 5) koje sa kružnicom imaju jednu zajedni�ku ta�ku. Situacija

se poklapa ako posmatramo centralni krug 422 =+ yx i ta�ku Q(4, 0), odnosno

pravu y = k (x – 4) (jer je centar polazne kružnice C(1, 2) a polupre�nik r = 2 ).

19

Uvrstimo u jedna�inu kružnice i zahtevamo jedno rešenje. To nas dovodi do

izjedna�avanja diskriminante sa nulom a to je jedna�ina: ( ) 44 22 =−+ kkxx ⇔

⇔ 04168)1( 2222 =−+−+ kxkkx ⇔ 0)416)(1(464 224 =−+−= kkkD ⇔

⇔ 3

3

3

1013

21

2 ±=±=⇔=− kk .

To su koeficijenti pravaca tangenti. Tangens ugla izmedju njih je:

� ϕ = 60°.

9. Ta lopta ima pre�nik, koji je jednak telesnoj dijagonali kocke: 2R = a 3 .

Iz zapremine kocke V1 = 24 3 cm3 sledi: a3 =24 3 . O�evidno mora biti

a = t 3 , gde je t zasad nepoznat broj. Odavde je a3 = t3 3 3 . Zaklju�ujemo:

a3 =24 3 = t3 3 3 . Pa mora biti t3 = 8 odnosno t = 2, pa �e biti a = 2 3 .

Pošto je 2R = a 3 sledi 2R = 2 3 3 . To zna�i: R = 3.

Zapremina te lopte je V = 108π/3 cm3, dok je površina P = 36π cm2.

10. Neka su to brojevi a, a+d i a+2d, pri �emu je 3a+3d = 12, ili a+d = 4.

Druga jedna�ina se dobija iz koli�nika geometrijskog niza: da

ada

a

da

+++

=+ )2(

,

ili ( ) ( )daada 222 +=+ . Rešavanjem ovog sistema jedna�ina dobijemo:

d = a = 2. To zna�i, traženi su brojevi: 2, 4, 6.

�

2

3

3

23

3

3

11

3

3

3

3

1 21

12 ==−

+=

+

−=ϕ

kk

kktg

20



1. Izra�unati ( ) ( ) 11 11 −− +++ ba ako je ( ) ( ) 1132,32

−−−=+= ba . (6 bodova)

2. Rešiti jedna�inu: 1322 =−−+ xx . (6 bodova)

3. Rešiti eksponencijalnu jedna�inu:x

x

−

−��

��

�=⋅

2

25.04125.0 12 . (6 bodova)

4. Rešiti logaritamsku jedna�inu: 06

7log2log 4 =+− xx . (6 bodova)

5. Ako je 7

1tg =α i

4

πβα =+ odrediti βtg . (6 bodova)

6. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu: xx 2sin24cos2 =+ . (6 bodova)

7. Težište T trougla ABC pripada osi Ox, teme C pripada osi Oy, dok temena A i B su data: A(2,–3), B(–5,1). Odrediti koordinate ta�aka T i C. (6 bodova)

8. Oko kružnice 10022 =+ yx opisan je tangentni �etvorougao �ija su dva suprotna temena A(–14,–2) i C(20,10). Odrediti koordinate temena B i D. (6 bodova)

9. Iz pravog kružnog valjka polupre�nika R=5 cm i visine H=150 cm ise�eno je 15 kugli polupre�nika r=5 cm. Kolika je zapremina otpada i koliko je to procenata od zapremine valjka? (6 bodova)

10. �etiri broja �ine geometrijski niz, a njihovi logaritmi za osnovu 3 �ine aritmeti�ki niz �iji je zbir 18, a razlika d=1. Koji so to brojevi? (6 bodova)

21



1. Számítsa ki ( ) ( ) 11 11 −− +++ ba értékét, ha ( ) ( ) 1132,32

−−−=+= ba .(6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet: 1322 =−−+ xx . (6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: x

x

−

−��

��

�=⋅

2

25.04125.0 12 . (6 pont)


7log2log 4 =+− xx . (6 pont)

5. Ha 7

1tg =α és

4

πβα =+ , határozza meg βtg értékét. (6 pont)

6. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: xx 2sin24cos2 =+ . (6 pont)

7. Az ABC háromszög T súlypontja az Ox tengelyhez illeszkedik, míg a C csúcspont az Oy

tengelyhez tartozik. Ismertek A és B pontok koordinátái: A(2,–3), B(–5,1). Határozza meg T és Cpontok koordinátáit. (6 pont)

8. Az 10022 =+ yx kör köré érint�négyszöget rajzoltunk, amelyben ismertek az egyik átlójának végpontjai: A(–14,–2) és C(20,10). Határozza meg a másik átló végpontjainak, B-nek és D-nek koordinátáit. (6 pont)

9. Az R=5 cm sugarú és H=150 cm magasságú egyenes körhengerb�l kimetszettünk 15 gömböt, mindegyiknek a sugara r=5 cm. Mekkora a hulladék térfogata, és hány százaléka ez a henger térfogatának? (6 pont)

10. Négy szám mértani sorozatot alkot, míg a hármasalapú logaritmusaik egy számtani sorozat elemei, amelyek összege 18, a különbsége d pedig 1. Melyek

ezek a számok? (6 pont)

22



MIN�SIT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K

1. ( ) ( ) 11 11 −− +++ ba =( ) ( )

=+−

+++

=+

++ −−

132

1

132

1

1

1

1

111ba

=−

−+

+

+=

−

−+

+

+=

+−

++

+

=33

32

33

32

32

33

1

32

33

1

132

11

132

11

( )( ) ( )( )( )( ) 1

6

6

39

332336332336

3333

33323332==

−−+−+−−+

=−+

+−+−+= .

2. 1322 =−−+ xx O�evidno mora biti x ≥–2 i x ≥3/2 , tojest x ≥3/2.

1322 =−−+ xx ↑2 � ( ) ( ) 13232222 =−+−+−+ xxxx �

� ( )( )322223 −+=− xxx ↑2 � ( )634244129 22 −−+=+− xxxxx �

� 24484129 22 −+=+− xxxx � 028162 =+− xx � x1 =2 i x2 =14.

Proverom utvrdjujemo, da se rešenje x1 =2 prihvata dok se x2 =14 odbacuje.

3.x

x

−

−��

��

�=⋅

2

25.04125.0 12 .

Pošto je 328

1125.0 −== , 4=22, 22

4

125.0 −== i 2

1

22

1 −=

sledi:

x

x

−−

−−−

��

��

�⋅=⋅ 2

12243 2222 � 2

554 22

x

x =− �2

554

xx =− �

3

10=x

4. 06

7log2log 4 =+− xx � 0

6

7

2log2

12log =+−

x

x .

Smena: tx =2log � 06

7

2

1=+−

tt � 0376 2 =−+ tt �

23

�2

3,

3

121 −== tt � 3

21

23

1

1 22,822 21−

===== ttxx .

4

13

=

5. ( )βα

βαβα

tgtg

tgtgtg

⋅−

+=+

1 �

β

βπ

tg

tg

tg

⋅−

+=�

�

��

�

7

11

7

1

4 � ββ tgtg +=−

7

1

7

11 �

� βtg��

��

� +=−7

11

7

11 �

4

3=βtg .

6. xx 2sin24cos2 =+ � 1sin22sin2cos1 222 −=−+ xxx �

� 1sinsin2cos2sin1 2222 −+=+− xxxx � 02cos2cos2 2 =+ xx �

� ( ) 012cos22cos =+xx � 02cos =x ili 2

12cos −=x �

� .,324

Zkzakxilik

x ∈=±=+= ππππ

7. Pošto je T ∈ Ox � T(tx , 0 ), dok je C ∈ Oy � C (0, cy ). Takodje je:

3

xxx

x

cbat

++= i

3yyy

y

cbat

++= � 1

3

052−=

+−=xt i

3

130 yc++−

= ,

odatle sledi cy = 2. Prema tome: T(–1, 0), C(0, 2).

8. O�evidno, potrebno je odrediti tangente tAB i tAD zatim na�i B i D.

Tangenta kružnice koja prolazi kroz ta�ku A je: y + 2 = k( x + 14 ). Iz uslova

dodira r2 (k2 + 1) = l2 , gde je l = 14k -2 imamo 4

3,

3

421 −== kk .

Tangente kroz ta�ku C dobijaju se na sli�an na�in: y – 10 = k( x – 20 ). Pa iz uslova dodira sledi

3

4,0 43 == kk .

tAB: 2

25

4

3−−= xy , tCB

3

50

3

4−= xy , a njihov presek je ta�ka B(2, –14).

tAD: 3

50

3

4+= xy , tCD y = 10, a njihov presek je ta�ka D(–5, 10).

24

9. Zapremina valjka je Vv = R2 π H = 3750 π cm3. Zapremina jedne lopte je:

VL = 4 r3 π/3 = 500 π/3 cm3. Otpad je Vo = Vv – 15 VL = 1250 π cm3. Pošto je to

ta�no tre�ina zapremine valjka zato je to u procentima 33,33%.

10. Neka su to brojevi a, aq, aq2 i aq

3, a njihovi logaritmi su:

log3 a, log3 a + log3 q, log3 a + 2log3 q i log3 a + 3log3 q .

Zbir tih brojeva je: 4 log3 a + 6 log3 q = 18, a diferencija je log3 q = 1.

Iz navedenog sledi q = 3, i 4 log3 a =12 � log3 a = 3 � a = 33 = 27.

Prema tome traženi brojevi su: 27, 81, 243, 729.

�

25

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA SUBOTICA 02.07.1997.

��

1. Uprostiti izraz: =��

��

�−

−+

��

��

�

+−

− aa

a

a

a

1

1

1

11 : . (6 bodova)

2. Rešiti jedna�inu: xx =−+ 162 . (6 bodova)

3. Rešiti eksponencijalnu jedna�inu: 3066 21 =− −+ xx . (6 bodova)

4. Rešiti jedna�inu:

32 21

4

25

5

2xlogxlog −+

��

��

�=��

��

�. (6 bodova)

5. Izra�unati )sin( β−α , ako je 17

15 i

5

3=β=α cos,sin . (6 bodova)

6. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu: 2

5

2

12

12

2=

−+

− xsin

xsin

xsin

xsin. (6 bodova)

7. Dat je trougao ∆ABC koordinatama svojih temena: ( ) ( ) .,C,,B,,A ��

��

�−2

11

2

33431 Dokazati da je

trougao pravougli i izra�unati njegove oštre uglove. Kako glasi jedna�ina prave koja sadrži stranicu AB? (6 bodova)

8. Data je jedna�ina kružnice 04

1986 22 =+−+− yyxx . Na�i dužinu tetiva, koje kružnca odseca na

koordinatnim osama. Povu�i tangentu na kružnicu u kranjoj ta�ki tetive koja pripada osi Oy i koja je bliža koordinatnom po�etku. (6 bodova)

9. Na�i zbir svih trocifrenih neparnih prirodnih brojeva. (6 bodova)

10. Oko kvadra dimenzija a=32cm, b=24cm, c=30cm opisana je sfera. Na�i površinu sfere i zapreminu lopte koju ograni�ava ta sfera. (6 bodova)

26

M�SZAKI F�ISKOLA SZABADKA 1997.07.02.

��

1. Egyszer�sítse a kifejezést: =��

��

�−

−+

��

��

�

+−

− aa

a

a

a

1

1

1

11 : . (6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet: xx =−+ 162 . (6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 3066 21 =− −+ xx . (6 pont)

4. Oldja meg az egyenletet:

32 21

4

25

5

2xlogxlog −+

��

��

�=��

��

�. (6 pont)

5. Számítsa ki )sin( β−α értékét, ha 17

15

5

3=β=α cos,sin . (6 pont)

6. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: 2

5

2

12

12

2=

−+

− xsin

xsin

xsin

xsin. (6 pont)

7. Adottak az ABC háromszög csúcspontjai: ( ) ( ) .,C,,B,,A ��

��

�−2

11

2

33431 Bizonyítsa be, hogy a

háromszög derékszög�. Határozza meg a háromszög minden szögét. Irja fel az AB oldalhoz illeszked� egyenes egyenletét is! (6 pont)

8. Adott a kör egyenlete: 04

1986 22 =+−+− yyxx . Határozza meg a kör által a

koordinátatengelyekb�l kimetszett húrok hosszúságát. Irja fel a kör azon érint�jének az egyenletét is, amely az Oy tengelyen kimetszett húrnak az O ponthoz közelebb es� végpontjában érinti a kört! (6 pont)

9. Számítsa ki a háromjegy� páratlan természetes számok összegét. (6 pont)

10. Az a=32cm, b=24cm, c=30cm élhosszúságú téglatest köré gömböt rajzoltunk. Számítsa ki a gömb felszínét és térfogatát. (6 pont)

27




1. =��

��

�−

−+

��

��

�

+−

− aa

a

a

a

1

1

1

11 :

( ) ( )

( )( )( )22

22

11

12

1

1

1

21

1:

1

2

1

1:

1

11

1

11:

1

11

aa

aa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aaa

a

aa

a

aaa

a

aa

++

−=

+

−⋅

+=

=−

++

=−

+−++

+−+=

−−−+

+−−+

2. xx =−+ 162 2↑ (uslovi rešavanja su: 160160016 ≥�≥∧≥�≥∧≥− xxxxx )

( ) xxx =−+−⋅+ 1616224 � 164164 +−−=− xxx �

� 12164 =−x 2↑ �

( )

25

916

16/14416

1441616

=

=−

=−

=−

x

x

x

x

Rešenje zadovoljava gore navedeni uslov, zna�i prihvatamao ga: { }25=R

3. 3066 21 =− −+ xx � 306666 2 =⋅−⋅ −xx

306

13666 =⋅−⋅

x

x tsmena x =6: � tt

t ⋅=⋅−⋅ / 301

366

036306

303662

2

=−−

=−

tt

tt �

( ) ( )12

36643030 2

2/1

−⋅⋅−−±=t �

12

42302/1

±=t

1

66

12

726

1

1

1

1

1

=

=

==

x

t

x

x

16

12

126

2

22

−=

−==

x

xt

Pošto exponencijalni izraz ne može imati negatinvu vrednost, drugo rešenje ne prihvatamo, zna�i { }1=R .

4.

32 21

4

25

5

2xlogxlog −+

��

��

�=��

��

�

uslov rešavanja je 0>x

28

xlogxlog

32212

5

2

5

2−−+

��

�

�

��

�

��

��

�=��

��

��

( )xlogxlog 32212

5

2

5

2−−+

��

��

�=��

��

��

� ( )xlogxlog 32212 −−=+ �

4

5

10

4

5

54

6412

=

=

=

+−=+

x

xlog

xlog

xlogxlog

Rešenje zadovoljava gore navedeni uslov, zna�i prihvatamao ga: �

��

= 4

5

10R .

5. βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅−⋅=−

Pošto je zadato, da je 17

15 i

5

3=β=α cos,sin , sledi

5

4

25

16

5

311

22 ==�

�

��

�−=−= αα sincos

17

8

289

64

289

225289

17

1511

22 ==

−=�

�

��

�−=−= ββ cossin

85

13

85

3245

17

8

5

4

17

15

5

3=

−=⋅−⋅=− )sin( βα

6. 2

5

2

12

12

2=

−+

− xsin

xsin

xsin

xsin

(uslovi rešavanja su 02

102012 ≠∧≠�≠∧≠− xsinxsinxsinxsin )

( ) xsinxsin/xsin

xsin

xsin

xsin122

2

5

2

12

12

2−⋅=

−+

−( )( ) ( ) xsinxsinxsinxsinxsinxsin 125121222 −=−−+⋅

xsinxsinxsinxsinxsin 5101444 222 −=+−+012 2 =++− xsinxsin

( ) ( )4

12411 2

21

−

⋅−−±−=xsin � ( )

4

312

1−

±−=xsin

ππ

ππ

kxkxxsin 26

26

7

2

111111 +−=∨+=�−=

ππ

kxxsin 22

1 212 +=�=

7. ( ) ( ) .,C,,B,,A ��

��

�−2

11

2

33431

dužina stranice ( )( ) ( ) 5253314 22 ==−+−−=AB

29

5432

25

4

50

4

25

4

253

2

114

2

32

2 ,BC ≈==+=��

��

� −+��

��

� −=

( ) 5432

25

4

50

4

25

4

253

2

111

2

32

2 ,AC ≈==+=��

��

� −+��

��

� −−=

ABBCAC <= , zna�i AC i BC bi trebale biti katete (jednakokrakog) pravouglo trougla, a AB bi trebala biti hipotenuoza. Prema tome po Pitagorinoj teoremi

2

22

222

52

25

2

25=�

��

��

�+�

��

��

�

=+ ABBCAC

�

254

100

254

50

4

50

=

=+

Uslov je zadovoljen, zna�i trougao je pravougli. ( )→→

→→

=∠ACAB

ACABAcos

�

( ) ( ) ( )

( ) ��

��

�=−−��

��

�=

=−−=→

→

2

5

2

531

2

11

2

3

053134

,,,AC

,,,AB

�

2

25

5

==

==

→

→

ACAC

ABAB

( ) ��45

2

2

2

1

2

255

2

50

2

55

=∠�==

⋅

⋅+⋅==∠

→→

→→

A

ACAB

ACABAcos

( )→→

→→

=∠BCBA

BCBABcos

� �

( )

( ) ��

��

�−=−��

��

�=

−=−=→

→→

2

5

2

534

2

11

2

3

05

,,,BC

,ABBA

2

25

5

==

==

→

→

BCBC

ABBA

� ( ) �452

2

2

1

2

255

2

50

2

55

=∠�==

⋅

⋅+��

��

�−⋅−=∠ BBcos

(Pošto je trougao jednakokraki, naspram jednakih stranica leže jednaki uglovi, prema tome i bez ra�una �45=∠=∠ BA ). Jedna�ina prave kroz dve ta�ke

( )xxxx

yyyy −

−

−=− 1

12

121 , gde je

( ) ( )( ) ( )34

31

11

11

,y,xB

,y,xA

=

−=

prema tome jedna�ina prave AB je ( ) 303141

333 =�=−�−−

−−−

=− yyxy

(Pošto A i B imaju iste y=3 koordinate, one su na pravoj y=3 paralelnoj Oy osi.)

30

8. 04

1986 22 =+−+− yyxx � ( ) ( )

4

1991616896 22 −+=+−++− yyxx

( ) ( )4

8143 22 =−+− yx

Preseci sa osama se ra�unaju kao rešenja sistema jedna�ina:

�

2

538

8

51232

8

72032

8

3041024322

1

±=

±=

±=

−±=y

Preseci kružne linije i Oy su ��

��

� −��

��

� +2

5380

2

5380 ,B,,A

12

6 36 19 6 17

2 2x

± − ±� = =

Preseci kružne linije i Ox su ��

��

� −��

��

� +0

2

1760

2

176,D,,C .

Dužina tetive 532

538

2

5380

2

=��

��

� +−

−+=AB , 17=CD .

Treba povu�i tangentu lkxy:t += u ta�ci A.

( ) ( ) ( ) ( ) 22222

4

8143 rqypxyx =−+−⇔=−+− ,

( ) ( )

( ) ( )

019324

4/04

198

4

811689

4

81430

04

8143

2

2

2

22

22

=+−

⋅=+−

=+−+

=−+−

=

=−+−

yy

yy

yy

y

x

yx

( ) ( )

( ) ( )

04

196

4

811696

4

8143

04

8143

2

2

22

22

=+−

=++−

=−+−

=

=−+−

xx

xx

x

y

yx

t

C DB0

2

4

6

8

y

-1 1 2 3 4 5 6 7 x

(p,q)=(3,4)

A

31

jedna�ina tangente u zadatoj ta�ci ( )112

5380 y,x,A =�

��

��

� + je

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )4

8144

2

538330

211

=−��

��

�−

++−−

�=−−+−−

yx:t

rqyqypxpx:t

9. 999997105103101 +++++= ...zbir , što je zbir prvih n=450 �lanova aritmeti�kog niza sa prvim �lanom 1011 =a i distancom d=2. Prema tome

2475002

999101450

2450 4501 =

+=

+=

aazbir .

10. Polupre�nik lopte je polovina dijagonale kvadra.

cmcbaD

R 252

2500

2

302432

22

222222

==++

=++

==

22 250062544 cmRPsfere πππ =⋅==

�

32



1. Uprostiti izraz: ( )222 224

4

44

2

−��

��

�

++

−+

+− x

x:

x

a

x

a

xx

a. (6 bodova)

2. Skratiti razlomak: 483

4432

23

++

−+

xx

xxx. (6 bodova)

3. Rešiti eksponencijalnu jedna�inu: 122

1

2

1

2334 −+−−=− x

xxx . (6 bodova)

4. Rešiti logaritamsku jedna�inu: xx xlg 101 =+ . (6 bodova)

5. Bez upotrebe ra�unskih pomagala odrediti u stepenima, zatim u radijanima uglove �etvorougla ako se oni me�usobno odnose kao 6:8:9:13. (6 bodova)

6. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu: 021 =−− xcosxsin . (6 bodova)

7. Kroz ta�ku A(x,3) na pravoj 3y – x = 9 povu�ena je normala na ovu pravu. Odrediti površinu ograni�enu ovim pravima i osom Ox. (6 bodova)

8. Kružnica 2544 22 =+ yx i prava 2y – 14x + 25 = 0 se seku. Odrediti: a) koordinate preseka; b) dužinu zajedni�ke tetive; c) centralni ugao koji pripada toj tetivi. (6 bodova)

9. Oko dve lopte koje se dodiruju spolja, opisana je kupa. Zapremina jedne lopte je 8 puta ve�a od zapremine druge lopte, a polupre�nik manje lopte je 12 cm. Izra�unati površinu omota�a kupe. (6 bodova)

10. Tri broja su uzastopni �lanovi geometrijske progresije, njihov zbir je 42, a proizvod srednjeg �lana sa zbirom krajnjih �lanova iznosi 360. Koji su to brojevi? (6 bodova)

33



1. Egyszer�sítse a kifejezést: ( )222 224

4

44

2

−��

��

�

++

−+

+− x

x:

x

a

x

a

xx

a. (6 pont)

2. Egyszer�sítse a törtet: 483

4432

23

++

−+

xx

xxx. (6 pont)


1

2

1

2334 −+−−=− x

xxx . (6 pont)

4. Oldja meg az egyenletet: xx xlg 101 =+ . (6 pont)

5. Segédeszközök igénybevétele nélkül határozza meg a négyszög szögeit fokokban és radiánokban is, ha azok aránya 6:8:9:13. (6 pont)

6. Oldja meg az egyenletet: 021 =−− xcosxsin . (6 pont)

7. A 3y – x = 9 egyenesen elhelyezked� A(x,3) pontból mer�legest emeltünk erre az egyenesre. Határozza meg a két egyenes és az Ox tengely által határolt terület nagyságát.

(6 pont)

8. A 2544 22 =+ yx kör és a 2y – 14x + 25 = 0 egyenes metszik egymást. Határozza meg:

a) A metszéspontok koordinátáit; b) A közös húr hosszát; c) A húrhoz tartozó középponti szög nagyságát. (6 pont)

9. Két egymást kívülr�l érint� gömb köré kúpot rajzoltunk. Az egyik gömb térfogata a másik gömb térfogatának a nyolcszorosa, a kisebb gömb sugara 12cm. Határozza meg a kúp palástfelületének nagyságát. (6 pont)

10. Három szám egy mértani sorozat egymás után következ� tagjai. A számok összege 42, míg a középs�nek és a két széls� összegének a szorzata 360. Melyek ezek a számok? (6 pont)

34




1. ( )

=−

��

��

�

++

−+

+− 222 224

4

44

2

x

x:

x

a

x

a

xx

a

( ) ( )( ) ( )=

−��

��

�

++

+−+

−=

22 2222

4

2

2

x

x:

x

a

xx

a

x

a

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

=+

+−+−++=

−⋅��

��

�

+−

−+−++=

2

4484422

22

22422 22

2

2

xx

aaxaxaaxaax

x

x

xx

xaxaxa

( )( )( )

axx

xax

xx

axax=

++

=+

+2

2

2

22

, (pod uslovima 02 ≠±≠ x,x ).

2. =++−+

483

4432

23

xx

xxx

( ) ( ) ( )

( )

( )( )23

23

3

23

2

3

223

3

223

483

443

483

4432

2

2

2

+−

=

��

��

� +

��

��

� −=

��

��

� ++

��

��

� −+=

++

−+=

++

−+=

x

xx

x

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxx

(pod uslovima 3

22 −≠−≠ x,x )

3. 122

1

2

1

2334 −+−−=− x

xxx � xxxxx / 4 2433334 12

1

2

1−−

−=− �

� t

xx

x

x

x

x

x

x

=��

��

�=�

�

��

�=−=⋅−

2

2

3

4

3

4

3 smena

2

13

4

3

3

1

4

31 �

32 2

13

3

11 ⋅−=− /tt � 36232 −=− tt � 338 =t

3

2

3��

��

�=t �

2

332

2

3

2

323

=�=��

��

�=�

��

��

�xx

x

4. Uslov rešavanja 0>x lg/xx xlg 101 =+ � xlgxlg xlg 101 =+ �

� ( ) txlgxlglgxlgxlg =+=+ smena 101

( ) 11 +=+ ttt � 12 =t � 1±=t

10

1101

101

122

11

==�−=

=�=

−xxlg

xxlg

35

5. 13986 :::::: =δγβα

6. 021 =−− xcosxsin � ( ) 01 22 =−−− xsinxcosxsin �

� ( ) 011 22 =−−−− xsinxsinxsin � 02 2 =− xsinxsin �

� ( ) 012 =−xsinxsin � 2

10 =∨= xsinxsin

Zk,kxkxkx ∈+=∨+=∨= 26

5 2

6 π

ππ

ππ

a: 3y –x = 93

9+=⇔

xy7.

A(x,3) ∈ 3y – x = 9 � x = 0.

33 +−=�⊥ xy:bab

152

310=

⋅=∆ABCP

8. k: 2

2222

2

52544 �

�

��

�=+⇔=+ yxyx ,

p: 2

2514025142

−=⇔=+−

xyxy .

a) pkxy

yx∩

��

�

−

=

=+

2

25142544 22

��

��

��

��

��

�

�

1301013

90109

80108

60106

1036036

36013986

360

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=�=

=+++

�=+++

δ

γ

β

α

δγβα

kk

kkkk

18

13

1813

2189

9

4

188

3186

18236

213986

2

ππδ

ππγ

ππβ

ππα

ππ

ππδγβα

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=�=

=+++

�=+++

kk

kkkk

2

32

4

48497

0672

0600700200

256257001964

252

251444

21

21

2

2

22

22

==

−±=

=+−

=+−

=+−+

=��

��

� −+

x,x

x

xx

xx

xxx

xx

C(1,0)

B(-9,0)

A(0,3)

ab

36

R

R

R2

R2

R1

R1

x

y

Ta�ke preseka su .,B,,A ��

��

��

��

� − 22

3

2

32

b) dužinu zajedni�ke tetive: .AB2

25

4

49

4

12

2

3

2

32

22

=+=��

��

� −−+��

��

� −=

c) centralni ugao koji pripada toj tetivi, na osnovu cosinus pravila

( ) ( )∠⋅⋅−+= AOBcosrrrrAB 222

( ) ( )�900

50

5050

2

25

2

25

2

52

22

22

2

22

=∠�=−

=

��

��

�

��

��

�−�

�

��

�

=−

=∠ AOBr

ABrAOBcos .

9. �=�= 813

4

3

481

32

31

21 :R

:R

:V:Vππ

243

48

3

1242

32

3

=�=⋅⋅

RR ππ

( ) ( )

12

212

121

2112

21122121

122

RR

RRRxRRRxRxR

xRRRxRR:RxRR:x

xRRH

−

+=�+=−

�++=�=++

++=

3612

288144=

+=x

963612242 =++⋅=H

37

( ) ( )248

4608576518424362412 2222

221

2

=

=−=−++=−++=

y

RxRRy

2242

48

296

46089216

2

22

==−

=−

=y

yHR

272224248 =+=+= Rys

πππ 3456224272 =⋅== RsOmotac .

10. Uzastopni �lanovi geometrijskog niza: bq,b,q

b. Iz uslova

Iz zbira tri broja sledi: bbqq

bbqb

q

b−=+�=++ 4242

Iz drugog uslova je: 360=��

��

�+⋅ bq

q

bb . Zamenom iz preve jedna�ine:

( ) 03604236042360 2 =+−�=−�=��

��

�+⋅ bbbbbq

q

bb

30,12,2

144017644221

21 ==

−±= bbb .

Pošto je iz prve jedna�ine 421

=��

��

�+ q

qb , slede dve mogu�nosti:

Za b1 = 30 dobijamo jedna�inu, koja nema realnih rešenja: .0525 2 =+− qq

Za b2 = 12 dobijamo jedna�inu 0252 2 =+− qq �ija su rešenja q1 = 2 i q2 = ½. Prvo rešenje daje brojeve 6, 12, 24, a drugo rešenje daje iste brojeve u suprotnom redosledu. Obe trojke su rešenja zadatka.

( )2222

222

2 HRRRyy

HRRy

+=++

+=+

38

��

S U B O T I C A 29.06.1998.

��

1. Zaokružiti ta�an odgovor: =− 2)( yx ?

a) 22 yx + ; b) 22 2 yxyx +− ; c) 22 yx − . [6 bodova]


2

)1(

1

+−

x

x= [6 bodova]

3. Rešiti exponencijalnu jedna�inu 622 3 =+ −xx . [6 bodova]

4. Zaokružiti ta�an rezultat: =⋅

25

625125log5

a) 1 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 5 . [6 bodova]

5. Na�i 5

4sin je ako2cosi2sin =ααα . [6 bodova]

6. Na�i sva rešenja jedna�ine .03sin3cos2 2 =−+ xx [6 bodova]

7. Data je jedna�ina prave: 6

1

3

2−= xy . Zaokružiti ta�ku koja pripada toj pravi.

��

��

�

6

1,0A ; �

�

��

�0,

4

1B ; �

�

��

�

2

1,1C . [6 bodova]

8. Napisati jedna�inu tetive i na�i koordinate kranjih ta�aka tetive kružnice 4922 =+ yx , koju ta�ka A(1,2) deli na dva jednaka dela. [6 bodova]

9. Zbir svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000 je: a) paran broj b) neparan broj c) nula. [6 bodova]

10. Ravan paralelna osi pravog valjka se�e ga tako da od kruga osnove odseca odse�ak kome odgovara centralni ugao od 120o. Ako je visina valjka 10 cm, a rastojanje ravni od ose valjka 2 cm, izra�unati površinu preseka. [6 bodova]

39

��

S Z A B A D K A 1998.06.29.

��

1. Karikázza be a helyes választ: =− 2)( yx ?

a) 22 yx + ; b) 22 2 yxyx +− ; c) 22 yx − . [6 pont]

2. Egyszer�sítse a törtet: 2

2

)1(

1

+−

x

x= [6 pont]

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet 622 3 =+ −xx . [6 pont]

4. Karikázza be a helyes választ: =⋅

25

625125log5

a) 1 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 5 . [6 pont]

5. Határozza meg α2sin és α2cos értékét, ha5

4sin =α [6 pont]

6. Határozza meg az egyenlet minden megoldását: .03sin3cos2 2 =−+ xx [6 pont]

7. Adva van az egyenes egyenlete: 6

1

3

2−= xy . Karikázza be az egyeneshez tartozó

pontot.

��

��

�

6

1,0A ; �

�

��

�0,

4

1B ; �

�

��

�

2

1,1C . [6 pont]

8. Írja fel a 4922 =+ yx kör azon húrjának az egyenletét, amelynek a felez�pontja A(1,2). Határozza meg a húr végpontjainak koordinátáit is. [6 pont]

9. Az 1000-nél kisebb páratlan természetes számok összege: a) páros szám, b) páratlan szám, c) nulla. [6 pont]

10. A hengert a tengelyével párhuzamos síkkal metszettük úgy, hogy az alapkörb�l lemetszett körszelethez tartozó középponti szög 120o. Számítsa ki síkmetszet területét, ha a henger magassága 10 cm, a metszet távolsága a henger tengelyét�l pedig 2 cm. [6 pont]

40

��

S U B O T I C A SZABADKA 29.06.1998. 1998.06.29.

��

�� !� "#$ �%� �&%��'

R E Š E N J A

MIN�SIT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villamossági és gépészeti szak)

M E G O L D Á S O K

1. =− 2)( yx 22 2 yxyx +− (zaokružiti b.)

2. 1

1

)1)(1(

)1)(1(

)1(

12

2

+

−=

++

+−=

+

−

x

x

xx

xx

x

x, x+1≠0.

3. xxxxx 26822/622 23 ⋅=+�⋅=+ −

2,4086sedobija2za 212 ==�=+−= ttttt x

122;242 21 =�==�= xx xx

4. 55log55log5

55log

25

625125log 5

552

43

55 ===⋅

=⋅

(zaokružiti d).

5. αααα 222 sin1cos1cossin −±=�=+

00<α<900 � cosα > 0 . 5

3

5

41cos

2

=��

��

�−+=α

25

24

5

3

5

42cossin22sin =⋅⋅=⋅= ααα

25

7

5

4

5

3sincos2cos

2222 −=�

�

��

�−��

��

�=−= ααα

6. ( ) .01sin3sin203sin3sin1203sin3cos2 222 =+−�=−+−�=−+ xxxxxx

2

1;10132imamosinZa 21

2 ===+−= tttttx

ππ

kxtx 22

1sin 11 +=�== , k∈ Z.

ππ

ππ

kxkxtx 26

5ili2

62

1sin 322 +=+=�== , k∈ Z.

41

7. 6

1

3

2−= xy

2

10

6

1

14

10

−y

x zaokružiti B i C.

8. Koeficijent pravca prave p(OA)=2 – sledi jedna�ina tetive t: ).1(2

12 −−=− xy

Krajnje ta�ke su preseci prave t: 52 =+ yx i kružnice 4922 =+ yx .

Metodom zamene dobijamo: 024205049)25( 222 =−−�=−+− yyyy

5

5545

10

554202

12

1

�=�

±= xy . Krajnje ta�ke tetive su:

M ��

�

�

��

�

� +−

10

55420,

5

5545N �

�

�

�

��

�

� −+

10

55420,

5

5545.

9. Prvi neparan prirodan broj je 1, dok zadnji koji je manji od 1000 je 999.

Pošto je nnaan

S nn 500

2

)9991(

2

)( 1 =+

=+

= , pa je traženi zbir paran broj.

(Zaokružiti a)

10. Ravan paralelna osi pravog valjka se�e ga tako da od kruga osnove odseca odse�ak kome odgovara centralni ugao od 120o. Ako je visina valjka 10 cm, a rastojanje ravni

od ose valjka 2 cm, izra�unati površinu preseka. Posmatrajmo bazu. Ona je prese�ena po tetivi AB, kojoj pripada centralni ugao od

120o . Neposredno se uo�avaju slede�e �injenice: r=4cm, 342

32 =⋅=

rAB ,

pa je tražena površina preseka p= 3401034 =⋅=⋅ HAB .

C

r60o 60o

2A B

D

42

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA

S U B O T I C A 04.09.1998.

�� (elektrotehni�ki i mašinski odsek)

1. Zaokružiti ta�an odgovor: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 bodova]

2. Skratiti razlomak: =−

++4

442

2

x

xx? [6 bodova]

3. Rešiti iracionalnu jedna�inu: 15 =−+ xx . [6 bodova]

4. Zaokružiti ta�no tvr�enje: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 bodova]

5. Iz ta�ke A vrh stuba se vidi pod uglom od 30o. Iz ta�ke koja ja 10 metara bliža, vrh stuba se vidi pod uglom od 45o. Kolika je visina stuba? [6 bodova]

6. Na�i sva rešenja jedna�ine: 2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 bodova]

7. Kolika je površina trougla odre�enog pravama p i q i osom Ox, ako je: p: 3x – y + 4 = 0 i q: x + y – 4 = 0 ? [6 bodova]

8. Ta�ka A(2,-1) pripada krugu koji je oivi�en kružnicom (kružnom linijom) 16)3()1( 22 =++− yx . a) DA b) NE [6 bodova]

9. Na�i bar dve trojke prirodnih brojeva, koji u datom redosledu obrazuju aritmeti�ki niz, a ako najve�em još dodamo broj 4, tada �e obrazovati geometrijski niz. [6 bodova]

10. Površina drvenog kvadra dimenzija 4✕5✕6cm ofarbana je sa nekom bojom. Kvadar je zatim rase�en na kockice dimenzija 1✕1✕1cm. Koliko takvih kockica se dobije a) neofarbanih; b) ofarbanih sa jedne strane; c) ofarbanih sa 2 strane; i d) ofarbanih sa 3 strane? [6 bodova]

43

M�SZAKI F�ISKOLA

S Z A B A D K A 1998.09.04.

�� (elektrotechnikai és gépészeti szak)

1. Jelölje meg a helyes választ: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 pont]

2. Egyszer�sítse a törtet: =−

++4

442

2

x

xx? [6 pont]

3. Oldja meg az iracionális egyenletet: 15 =−+ xx . [6 pont]

4. Karikázza be a helyes választ: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 pont]

5. Az A pontból az oszlop csúcsa 30o-os szög alatt látszik. 10 méterrel közelebbr�l ez a szög 45o. Milyen magas az oszlop? [6 pont]

6. Határozza meg az egyenlet minden megoldását:

2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 pont]

7. Mekkora a háromszög területe amelyet a p és a q egyenes zár be az Ox

tengellyel, ha: p: 3x – y + 4 = 0 és q: x + y – 4 = 0 ? [6 pont]

8. Az A(2,-1) pont illeszkedik a körhöz, amelyet a 16)3()1( 22 =++− yx körvonal határol. a) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont]

9. Irja fel a természetes számok legalább két hármasát, amelyek az adott sorrendben számtani sorozatot alkotnak, de a legnagyobb számot 4-gyel növelve mértani sorozattá alakulnak. [6 pont]

10. A 4✕5✕6cm kiterjedés� téglatest felszínét befestettük. Ezután a testet 1✕1✕1cm-es kiterjedés� kockákra daraboltuk. Hány ilyen kocka van:

a) befestetlen; b) 1 oldaláról befestve; c) 2 oldaláról besestve; és d) 3 oldaláról befestve? [6 pont]

.

44

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA M�SZAKI F�ISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A

04.09.1998. 1998.09.04



1. =+− 962 xx 2)3( −x , odgovor a).

2. ( )

( )( )( )( )2

2

22

2

4

44 2

2

2

−+

=+−

+=

−

++x

x

xx

x

x

xx

3. Uslovi rešivosti: 0005 >�>∧>+ xxx

215 ↑=−+ xx �

( )( )

( )

4

1

14

445

25

24252

1525

22

2

=

=

++=+

↑+=+

+=+

=++−+

x

x

xxx

xxx

:/xxx

xxxx

4. 2100254

100002521025224 24 ==

⋅=−−=−−= logloglogloglogloglogA , odgovor je a).

5.

x

10 m45ox

30o

( ) ( )1352

1310

13

10

102

32

+=+

=−

=

+=

x

xx

45

6.

( )( ) ( ) ( )

ππ

ππ

ππ

ππ

kxkxxsint

kxkxxsint

t

tt

txsin

xsinxsinxsin

26

112

6

7

2

1

2

1

24

32

42

2

2

2

4

2222

4

2222

4

282222

02222

2222

432

211

22

21

2

2

+=∨+=�−=�−=

+=∨+=�=�=

+±+−=

+±+−=

+−±+−=

=−−+

=

=−+

7.

8. Ako ta�ka A(2,-1) pripada krugu koji je oivi�en kružnicom (kružnom linijom) 16)3()1( 22 =++− yx , onda je njeno odstojanje od centra (1,-3) kruga manje od polupre�nika

kruga r=4. Proverimo:

453112 22 <=+−+− )()( , zna�i odgovor je DA.

9. �lanovi aritmeti�kog niza su: a, a+d, a+2d

�lanovi geometrijskog niza su: a, a+d, a+2d+4da

da

a

da

+++

=+

�42

( ) ( )2

422422

2222 daaadadadadaada =�++=++�++=+�

Prema tome mogu�i su naprimer slede�i nizovi Za 12 =�= ad , pa je aritmeti�ki niz: 1, 3, 5, .... geometrijski niz: 1, 3, 9,... ili za 44 =�= ad , pa je aritmeti�ki niz: 4, 8, 12, ....geometrijski niz: 4, 8, 16,...

10. a) neofarbanih=4⋅3⋅2=24 b) ofarbanih sa jedne strane =2⋅3⋅4+2⋅2⋅3+2⋅2⋅4=52 c) ofarbanih sa 2 strane=4⋅4+4⋅3+4⋅2=36 d) ofarbanih sa 3 strane=8

y = - x+4

C(4,0)

B(-4/3,0)

A(0,4)

y = 3x+4

3

32

2

43

44

=⋅��

��

� +=P

46

�� !�"#��#$%�

S u b o t i c a 05.07.2000.

��

1. Faktorisati slede�e izraze: a) =− 22 254 yx

b) =++ 22 363 baba

2. Rešiti jedna�inu : 6132 +=− xx .

3. Rešiti nejedna�inu: 02

3>

+−

x

x.

4. Rešiti jedna�inu: 12)134(log3 +=−⋅ xx .

5. Izra�unati ostale trigonometrijske funkcije oštrog ugla α , ako je 5

4cos =α .

6. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu: 0cos3cossin7sin4 22 =+− xxxx .

7. Sastaviti jedna�inu prave koja prolazi kroz presek pravih 112 =+ yx i 8=+ yx , a paralelna je sa pravom 0235 =−+ yx .

8. Ispitati me�usobni odnos kružnica: 078 22 =++− yxx i 01948 22 =+++− yyxx . Nacrtati obe krive!

9. Pravougaonik sa stranicom cma 12= i dijagonalom cmd 13= rotira oko kra�e stranice. Izra�unati zapreminu i površinu nastalog tela.

10. Zbir prva tri �lana aritmeti�kog niza je 36. Ako se drugi �lan pove�a za 2, a tre�i za 11, niz postaje geometrijski. Odrediti prva tri �lana oba niza.

�(#� )#&#�#�%�*�&+,�"#�% "#��%#-*�&�(#.

47

��&'(�#��)�'#&%�

S z a b a d k a 2000.07.05.

��

1. Bontsa tényez�kre: a) =− 22 254 yx

b) =++ 22 363 baba

2. Oldja meg az egyenletet : 6132 +=− xx .

3. Oldja meg az egyenl�tlenséget: 02

3>

+−

x

x.

4. Oldja meg az egyenletet: 12)134(log3 +=−⋅ xx .

5. Számítsa ki az α hegyesszög többi trigonometrikus szögfüggvényét, ha adott 5

4cos =α .

6. Oldja meg a trigonometrikus egyenletet: 0cos3cossin7sin4 22 =+− xxxx .

7. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét amely keresztülhalad a 112 =+ yx és 8=+ yx egyenesek metszéspontján, és párhuzamos az 0235 =−+ yx egyenessel.

8. Vizsgálja ki az 078 22 =++− yxx és 01948 22 =+++− yyxx körök kölcsönös helyzetét. Rajzolja le mindkét görbét!

9. A téglalapot, amelynek egyik oldala cma 12= és átlója cmd 13= megforgatjuk a rövidebb oldala körül. Számítsa ki az így kapott test térfogatát és felszínét.

10. Egy számtani sorozat els� három tagjának összege 36. Ha a második tagot megnöveljük 2-vel a harmadikat pedig 11-gyel, mértani sorozatot kapunk. Határozza meg mindkét sorozat els�három tagját.

� �&��/��#&#��0�1**-2��#�3��3��4.

48

��

��

S U B O T I C A S Z A B A D K A 05.07.2000. 2000.07.05.

�� R E Š E N J A


1. a) ( )( )yxyxyx 5252254 22 +−=−

b) ( ) ( )22222 323363 bababababa +=++=++

2. Jedna�ina je definisana pod uslovom da je:

3

1

63

1

06013

≥

−≥∧≥

≥+∧≥−

x

xx

xx

Rešimo sada jedna�inu:

( )

11

10

1011

6412

6134

/6132 2

=

=

+=−

+=−

+=−

x

x

xx

xx

xx

11

10=x zadovoljava uslov

3

1≥x , zna�i da se prihvata kao rešenje date jedna�ine.

49

3. 02

3≥

+−

x

x

x ∞− -2 -2 3 3 ∞x-3 – – + 2+x – + +

x

x

+−

2

3+ – +

( ) [ )+∞∪−∞−∈ ,32,x

4. ( ) 12134log3 +=−⋅ xx

0143

3:smena

013433

1343

2

x

2

12

=+−

=

=+⋅−⋅

−⋅=+

tt

t

xx

xx

103

1313

3

11

6

246

12164

21

21

21

21

−==

==

==

±=

−±=

xx

tt

t

t

xx

Oba rešenja zadovoljavaju datu logaritamsku jedna�inu, pa je { }0,1−∈x .

5.5

4cos =α , �� 900 << α

5

3sin

25

9sin

125

16sin

1cossin

2

2

22

+=

=

=+

=+

α

α

α

αα

3

4

tg

1ctg

4

3

5

45

3

cos

sintg

==

===

αα

αα

α

6. xxxxx 222 cos:/0cos3cossin7sin4 =+−

tx

xx

=

=+−

tg:smena

03tg7tg4 2

50

πππ

kxkx

xx

tt

t

tt

+=+=

=∨=

==∨=

±=

−±=

=+−

4

3arctg

4

4

3tg1tg

4

3

8

61

8

17

8

48497

0374

21

21

21

2

7. Presek datih pravih je ta�ka:

8

112

=+

=+

yx

yx

( )5,3

5

3

A

y

x

=

=

Prava koja prolazi kroz ovu ta�ku A i paralelna je sa datom pravom 0235 =−+ yx ima isti koeficijent pravca kao i ova prava:

21 3

53

2

3

5

kk

xy

=−=

+−

=

pa je jedna�ina tražene prave, napisana kroz ta�ku A:

( )

155153

33

55

+−=−

−−=−

xy

xy

03035 =−+ yx .

8. Prvo rešenje:

Transformišimo jedna�ine datih kružnica u oblik iz kojeg se �ita centar i polupre�nik:

078: 221 =++− yxxk

( ) 94

071616822

22

=+−

=++−+−

yx

yxx

01948: 222 =+++− yyxxk

( ) ( )( ) ( ) 124

0194216422

22

=++−

=+−++−−

yx

yx

Ako nacrtamo ove kružnice u istom kordinatnom sistemu, vide�emo da se oni dodiruju

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

-3

-2

-1

y

x•

•(4, -2)

(4, 0)

(x-4)2+y2=9

(x-4)2+(y+2)2=1

51

iznutra u ta�ci ( )3,4 −A .

Drugo rešenje:

01948

7807822

2222

=+++−

−=+−�=++−

yyxx

yxxyxx

43124

01947

=�−=�−=

=++−

xyy

y

Jedina zajedni�ka ta�ka datih kružnica je ( )3,4 −A .

9.

222 1213 −=b

1441692 −=b

cmb

b

5

252

=

=

BHV = MBP += 2 HrV π2= HrrP ππ 22 2 +=

baV π2= baaP ππ 22 2 += 5144π=V ππ 120288 +=P

3720 cmV π= 2408 cmP π=

10. 321 ,, aaa je aritmeti�ki niz, tada je : 23131

2 22

aaaaa

a =+�+

= ,

11,2, 321 ++ aaa je geometrijski niz, tada je : ( )112 312 +=+ aaa .

Iz uslova zadatka sledi da je :

13312

2

22

321

242412

363

362

36

aaaaa

a

aa

aaa

−=�=+�=

=

=+

=++

Uvrštavaju�i u uslov geometrijskog niza, dobijamo da je:

( )1124212 11 +−=+ aa

( )11 3514 aa −= 2

1135196 aa −=

019635 12

1 =+− aa

2

2125

2

784122535211

±=

−±=a

a=12cm

d=13cmb=5cm

52

174

1212

728

33

22

11

=−=

==

=∨=

aa

aa

aa

Jedno rešenje je : 4,12,28 − je aritmeti�ki niz sa 16−=d

7,14,28 je geometrijski niz sa 2

1=q .

Drugo rešenje je : 17,12,7 je aritmeti�ki niz sa 5=d

28,14,7 je geometrijski niz sa 2=q .

53

��

S U B O T I C A 11.09.2000.

��

(elektrotehni�ki i mašinski odsek)

1. Zaokružiti ta�an odgovor: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 bodova]

2. Skratiti razlomak: =−

++4

442

2

x

xx? [6 bodova]

3. Rešiti iracionalnu jedna�inu: 15 =−+ xx . [6 bodova]

4. Zaokružiti ta�no tvr�enje: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 bodova]

5. Iz ta�ke A vrh stuba se vidi pod uglom od 30o. Iz ta�ke koja ja 10 metara bliža, vrh stuba se vidi pod uglom od 45o. Kolika je visina stuba? [6 bodova]

6. Na�i sva rešenja jedna�ine: 2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 bodova]

7. Kolika je površina trougla odre�enog pravama p i q i osom Ox, ako je: p: 3x – y + 4 = 0 i q: x + y – 4 = 0 ? [6 bodova]

8. Ta�ka A(2,-1) pripada krugu koji je oivi�en kružnicom (kružnom linijom) 16)3()1( 22 =++− yx . a) DA b) NE [6 bodova]

9. Na�i bar dve trojke prirodnih brojeva, koji u datom redosledu obrazuju aritmeti�ki niz, a ako najve�em još dodamo broj 4, tada �e obrazovati geometrijski niz. [6 bodova]

10. Površina drvenog kvadra dimenzija 4✕5✕6cm ofarbana je sa nekom bojom. Kvadar je zatim rase�en na kockice dimenzija 1✕1✕1cm. Koliko takvih kockica

se dobije a) neofarbanih; b) ofarbanih sa jedne strane; c) ofarbanih sa 2 strane; i d) ofarbanih sa 3 strane? [6 bodova]

54

��

S Z A B A D K A 2000.09.11.

��

(elektrotechnikai és gépészeti szak)

1. Jelölje meg a helyes választ: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 pont]

2. Egyszer�sítse a törtet: =−

++4

442

2

x

xx? [6 pont]

3. Oldja meg az irracionális egyenletet: 15 =−+ xx . [6 pont]

4. Karikázza be a helyes választ: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 pont]

5. Az A pontból az oszlop csúcsa 30o-os szög alatt látszik. 10 méterrel közelebbr�l ez a szög 45o. Milyen magas az oszlop? [6 pont]

6. Határozza meg az egyenlet minden megoldását:

2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 pont]

7. Mekkora a háromszög területe amelyet a p és a q egyenes zár be az Ox

tengellyel, ha: p: 3x – y + 4 = 0 és q: x + y – 4 = 0 ? [6 pont]

8. Az A(2,-1) pont illeszkedik a körhöz, amelyet a 16)3()1( 22 =++− yx körvonal határol. a) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont]

9. Irja fel a természetes számok legalább két hármasát, amelyek az adott sorrendben számtani sorozatot alkotnak, de a legnagyobb számot 4-gyel növelve mértani sorozattá alakulnak. [6 pont]

10. A 4x5x6cm kiterjedés� téglatest felszínét befestettük. Ezután a testet 1x1x1cm-es kiterjedés� kockákra daraboltuk. Hány ilyen kocka van:

a) befestetlen; b) 1 oldaláról befestve; c) 2 oldaláról befestve; és d) 3 oldaláról befestve? [6 pont]

55

��


��

R E Š E N J A


1. ( )22 396 −=+− xxx , zaokružiti pod a) .

2.( )

( )( ) 2

2

22

2

4

44 2

2

2

−+

=+−

+=

−

++x

x

xx

x

x

xx pod uslovom da je 2±≠x .

3. Jedna�ina je definisana pod uslovom da je:

0

05

005

>

>∧−>

>∧>+

x

xx

xx


2/15 +=+ xx � 125 ++=+ xxx � 42 =x � 2=x � 4=x zadovoljava uslov, pa se prihvata kao rešenje date iracionalne jedna�ine.

4. ( ) ( ) =⋅−=+−=−−=−−= 254log425log4log425log2log425log2log24 2A

224100log4 =−=−= , zaokružiti pod a).

5. Imamo dva pravougla trougla. Ozna�imo visinu stuba sa H, a odstojanje ta�ke A od stuba

sa x. Iz jednog trougla: 3

3

3

330tg xH

x

H

x

H=�=�=�

Iz drugog trougla: 1011010

45tg −=�=−

�−

= xHx

H

x

H�

3

3310

3

3110

3

31010

3

3 −=��

��

��

�−=�−=�−= xxxxxx

56

( )

( ) 3515335

39

3330

33

33

33

30

+=+=

=−

+=

+

+⋅

−=x

( )315355

10351510

+=+=

=−+=−= xH

zna�i da je visina stuba

H = ( )315 + metara.

6. 2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx

( ) 02sin22sin2 2 =−−+ xx u ovoj jedna�ini uvedimo smenu tx =sin ,

( ) 02222 2 =−−+ tt

( )4

22422222

21

⋅+−±+−=t �

4

2822442221

++−±+−=t

�4

22442221

++±+−=t �

( ) ( )4

2222

4

22222

21

+±+−=

+±+−=t

ππ

ππ

ππ

kxkxkx

xx

tt

22

32

4

3,2

4

1sin2

2sin

14

4

4

2222

2

2

4

22

4

2222

321

21

+=+=+=

−==

−=−

=−−+−

=∨==+++−

=

7. Nacrtajmo obe prave u istom kordinatnom sistemu:

3

40

40

043:

−=�=

=�=

=+−

xy

yx

yxp

40

40

04:

=�=

=�=

=−+

xy

yx

yxq

Ove prave i Ox osa odre�uju trougao �ija su temena ta�ke ( ) ( )4,0,0,4,0,3

4CBA �

�

��

�− ;

osnovica leži na Ox osi i dužina joj je 3

15=a , dok je visina 4=h . Površina trougla je

prema tome .3

210

3

152

2

43

15

2=⋅=

⋅=

⋅=

haP

�

H

A10 �

x

••30o45o

57

8. Kružnica ( ) ( ) 1631 22 =++− yx ima

centar u ta�ki ( )3,1 −C i polupre�nik 4=r .

Ako nacrtamo ovu kružnicu i ta�ku ( )1,2 −A

u istom kordinatnom sistemu, možemo

konstatovati da ta�ka A pripada krugu

koji je oivi�en datom kružnom linijom.

9. Neka je n prirodan broj. Tada trojku prirodnih brojeva koji obrazuju aritmeti�ki niz

možemo napisati kao: dndnn 2,, ++ , gde je i d prirodan broj. Ako najve�em broju

dodamo još 4 dobi�emo niz 42,, +++ dndnn , koji treba da bude geometrijski niz.

dndnn 2,, ++ aritmeti�ki iz,

42,, +++ dndnn geometrijski niz, iz kojeg se može napisati da je

dn

dn

n

dn

+++

=+ 42

� ( ) ( )422 ++=+ dnndn � nndndndn 422 222 ++=++

ndnd 242 +=�= gde d mora biti prirodan broj, a to se može posti�i npr. za

,...16,9,4,1 ==== nnnn

Za 21 =�= dn , pa se dobijaju nizovi: 5,3,1 aritmeti�ki niz,

9,3,1 geometrijski niz.

Za 44 =�= dn , pa se dobijaju niyovi: 12,8,4 aritmeti�ki niz,

16,8,4 geometrijski niz.

Tražene trojke prirodnih brojeva koji zadovoljavaju date uslove mogu biti naprimer:

5,3,1 ili 12,8,4 .

10. O�evidno, zapremina kvadra, to jest broj jedini�nih kockica je 120. Kada smo ofarbali

telo, tada kocke na temenima budu ofarbane sa tri strane, kocke na ivicama (bez kocki

na temenima) budu ofarbane sa dve strane, kocke na stranama tela, bez onih na rubovima

bi�e ofarbane sa jedne strane a kocke u "dubini" kvadra ne�e biti ofarbane.

a) 24; b) 52; c) 36; d) 8.

�

• • • • •

•

•

• •

•

C(1,-3)

A(2,-1)

r=4

O x

y

58

��

S U B O T I C A 04.07.2001.

�� (elektrotehni�ki odsek)

1. Skratiti razlomak 22

2

2

22

4

2

2

44

yx

xyx

yxy

yxyx

−

−⋅

+

++ [6 bodova]

2. Zaokružiti ispravnu vrednost broja X=−++ 487487 .

a) 14 b) 4 c) ±4 [6 bodova]

3. Rešiti nejedna�inu15

7

24

73<

+

−

x

x. [6 bodova]

4. Rešiti jedna�inu: log3(5 + 4 log3(x–1))=2 [6 bodova]

5. Dokazati identitet: 2

tancos1

cos

2cos1

2sin αα

αα

α=

+⋅

+ [6 bodova]

6. Odrediti sva rešenja jedna�ine 1cos2

sin =+ xx

[6 bodova]

7. Odrediti jedna�inu prave koja prolazi kroz ta�ku (4,–3) i odseca jednake odse�ke na koordinatnim osama. [6 bodova]

8. Odrediti jedna�ine onih tangenti kružnice 012 22 =−++ yxx

koje sa osom Ox zaklapaju ugao od 45o. [6 bodova]

9. Odrediti prvi �lan i koli�nik (a1 i q) geometrijskog niza, ako je: a1 + a5 = 1285 i a2 ⋅ a4 = 6400. [6 bodova]

10. Rotiramo jednakokraki trapez oko ve�e osnove. Izra�unati zapreminu dobijenog rotacionog tela, ako su osnove trapeza a = 9, b = 3 a kraci: c = 5. [6 bodova]

59

��

S U B O T I C A 04.07.2001.

�� (mašinski odsek)


2

66

33

bab

aba

−

−+ [6 bodova]

2. Izra�unati: =��

��

��

��

�−��

��

��

��

�131366

11

5

5

12

5

3

3

13 [6 bodova]

3. Rešiti jedna�inu po nepoznatoj x: ax–7= a7–x. [6 bodova]

4. Odrediti ispravan odgovor: log2 8 – 2 log3 9 – log1/5 5 =A

a) A = 1 b) A = –1 c) A = 0 [6 bodova]

5. Dokazati identi�nost 2

tan2sinsin2

2sinsin2 2 ααααα

=+

− [6 bodova]

6. Rešiti jedna�inu 02sinsincos3 22 =−− xxx [6 bodova]

7. Odrediti jedna�inu prave koja prolazi kroz ta�ku (4,–3) i odseca jednake odse�ke na koordinatnim osama. [6 bodova]

8. Odrediti centar i polupre�nik kružnice 082222 =−−−+ yxyx , kao dužinu njene tetive koja pripada Ox osi. [6 bodova]

9. Odrediti prvi �lan i razliku (a1 i d) aritmeti�kog niza, ako je dato: a n = 21, n = 7 i S n = 105. [6 bodova]

10. Rotiramo pravilan šestougao oko duže dijagonale. Izra�unati zapreminu dobijenog rotacionog tela, ako je stranica �estougla a = 10. [6 bodova]

60

��

S Z A B A D K A 2001.07.04.

�� (elektrotechnikai szak)

1. Egyszer�sítse a 22

2

2

22

4

2

2

44

yx

xyx

yxy

yxyx

−

−⋅

+

++ törtet [6 pont]

2. Karikázza be X helyes értékét, ha X=−++ 487487 .

a) 14 b) 4 c) ±4 [6 pont]

3. Oldja meg az egyenl�tlenséget15

7

24

73<

+

−

x

x. [6 pont]

4. Oldja meg az egyenletet: log3(5 + 4 log3(x–1))=2 [6 pont]

5. Igazolja a 2

tancos1

cos

2cos1

2sin αα

αα

α=

+⋅

+ azonsságot! [6 pont]

6. Határozza meg a 1cos2

sin =+ xx

egyenlet minden megoldását! [6 pont]

7. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a (4,–3) ponton és a koordinátatengelyekb�l egyenl� szakaszokat metsz le. [6 pont]

8. Határozza meg az 012 22 =−++ yxx körhöz húzható érint�k közül azokat amelyek az Ox tengellyel 45o-os szöget zárnak be. [6 pont]

9. Határozza meg a mértani sorozat els� elemét és hányadosát (a1 és q), ha a1 + a5 = 1285 és a2 ⋅ a4 = 6400. [6 pont]

10. Forgassunk meg egy egyenl�szárú trapézt a nagyobb alapja körül! Mekkora a kapott forgástest térfogata, ha a párhuzamos oldalak a = 9 és b = 3, a szárak pedig: c = 5? [6 pont]

61

��

S Z A B A D K A 2001.07.04.

�� (gépészeti szak)

1. Egyszer�sítse a 2

2

66

33

bab

aba

−

−+ törtet! [6 pont]

2. Számítsa ki: =��

��

��

��

�−��

��

��

��

�131366

11

5

5

12

5

3

3

13 [6 pont]

3. Oldja meg az egyenletet x ismeretlenre ax–7= a7–x. [6 pont]

4. Állapítsa meg a helyes választ: log2 8 – 2 log3 9 – log1/5 5 =A

a) A = 1 b) A = –1 c) A = 0 [6 pont]

5. Igazolja a 2

tan2sinsin2

2sinsin2 2 ααααα

=+

− azonsságot! [6 pont]

6. Határozza meg a 02sinsincos3 22 =−− xxx egyenlet megoldásait! [6 pont]

7. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a (4,–3) ponton és a koordinátatengelyekb�l egyenl� szakaszokat metsz le. [6 pont]

8. Határozza meg az 082222 =−−−+ yxyx kör középpontját és sugarát, valamint Ox tengelyb�l kimetszett húrjának hosszúságát. [6 pont]

9. Határozza meg a számtani sorozat els� elemét és különbségét (a1 és d), ha a n = 21, n = 7 és S n = 105. [6 pont]

10. Forgassunk meg egy szabályos hatszöget a nagyobb átlója körül, és számítsuk ki a keletkezett forgástest térfogatát, ha a hatszög oldala a = 10. [6 pont]

62

��


��

�� !� �&%��'

R E Š E N J A

MIN�SIT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villamossági szak)


1.( )

( )( )

( )( ) y

x

yxyx

yxx

yxy

yx

yx

xyx

yxy

yxyx=

+−

−⋅

+

+=

−

−⋅

+

++

22

2

2

2

4

2

2

44 2

22

2

2

22

pod uslovom da je 0≠y i yx 2±≠ .

2. 631641211

5

5

11

5

3

3

10

11

5

5

12

5

3

3

13 136

136131366

=−=−=��

��

� ⋅−��

��

� ⋅=��

��

��

��

�−��

��

��

��

�

3. 71427777 =�=�−=−�= −− xxxxaa xx

4. ( )( ) ( ) ( ) �=−�=−+�=−+ 11log31log4521log45log 32

333 xxx

431 1 =�=−� xx

5.4

3

tg

1ctg

3

4tg ==�=

ααα

3

cos4sin

3

4

cos

sin

3

4tg

αα

αα

α =�=�=

5

3cos

5

3cos9cos251cos

9

cos161cossin 22

222

−=�

�±=�=�=+�=+

α

αααα

αα

5

4

5

3

3

4

3

cos4sin −=�

�

��

�−⋅==α

α

63

6. 1cos2

sin =+ xx

� xx

cos12

sin −= � 2

sin22

sin 2 xx= �

� 02

sin212

sin =��

��

� −xx

�

ππ

ππ

π

ππ

ππ

π

kxkxkx

kx

kx

kx

xx

43

54

32

26

5

22

622

2

1

2sin0

2sin

321 +=+==

+=∨+==

=∨=

7. 111

134

11 =�=�=−

+�=+�=∧=+ nnnnn

y

n

xnm

n

y

m

x

011111

=−+�=+�=+ yxyxyx

je jedna�ina tražene prave.

8. ( ) �=++�=−+++�=−++ 210212012 222222 yxyxxyxx

( ) 20,1 =∧−� rC

nxy

k

nkxyt

+=

===

+=

145tgtg

:21

�α

uslov dodira: ( ) ( )222 1 nqkpkr +−=+

( ) ( )( )

( ) 1,32114

011112

212

2

−==�±=−�−=

+−−⋅=+

nnnn

n

pa su jedna�ine traženih tangenti: 3:1 += xyt i 1:2 −= xyt .

9. ( ) ( ) 9212

7105

2 1121 =�+=�+= aaaan

Sn

( ) 2692111 =�+=�−+= dddnaan

traženi niz je: ,...21,19,17,15,13,11,9

64

10. 2

3ar =

valjkakupe VVV += 2

πππππ

1258

1000

8234

3

233

322

===⋅⋅=⋅==aaaarBH

Vkupe

πππ 750103252 =⋅⋅=== arBHVvaljka

πππ 10007501252 =+⋅=V je volumen rotacionog tela.

65

��


��

�"#$ �%� �&%��'

R E Š E N J A

MIN�SIT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (gépészeti szak)


1.( )( ) b

a

bab

baa

bab

aba

26

3

66

332

2

=−−

=−

− pod uslovom da je 0≠b i ba ≠ .

2. 631641211

5

5

11

5

3

3

10

11

5

5

12

5

3

3

13 136

136131366

=−=−=��

��

� ⋅−��

��

� ⋅=��

��

��

��

�−��

��

��

��

�

3. 71427777 =�=�−=−�= −− xxxxaa xx

4. 221431223A A 5log - 9 log 2 - 8 log 532 −=�−=−−=−⋅−=�= A

5. �� 180905

4sin <<= αα

αααα 22 sin1cossin1cos −−=�−±= zbog drugog kvadranta,

5

3

25

9

25

161cos −=−=−−=α

3

4

5

35

4

cos

sintg −=

−==

αα

α

4

3

tg

1ctg −==

αα

6. 02sinsincos3 22 =−− xxx

66

0cosxjegdecos/0cossin2sincos3 222 ≠=−− xxxxx

0tg2tg3 2 =−− xx

txx =�=−+ tg03tgx2tg 2

2

42

2

1242032 21

2 ±−=

+±−=�=−+ ttt

( ) Zkkxkx

xx

tt

∈+−=+=

−==

−=∨=

,3arctg4

3tg1tg

31

21

21

πππ

7. 111

134

11 =�=�=−

+�=+�=∧=+ nnnnn

y

n

xnm

n

y

m

x

011111

=−+�=+�=+ yxyxyx

je jedna�ina tražene prave.

8. 082222 =−−−+ yxyx

( ) ( )( ) ( ) ( ) 10,1,11011

081111

0822

22

22

22

=�=−+−

=−−−+−−

=−−+−

rCyx

yx

yyxx

9. ( ) ( ) 9212

7105

2 1121 =�+=�+= aaaan

Sn

( ) 2692111 =�+=�−+= dddnaan

traženi niz je: ,...21,19,17,15,13,11,9

10.2

3ar =

valjkakupe VVV += 2

πππππ

1258

1000

8234

3

233

322

===⋅⋅=⋅==aaaarBH

Vkupe

πππ 750103252 =⋅⋅=== arBHVvaljka

πππ 10007501252 =+⋅=V je volumen rotacionog tela.

67

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA SUBOTICA 06.09.2001.

��

KANDIDAT:_______________________________ Konkursni broj:___________

1. Zaokružite ta�an rezultat: =++

−

96

92

2

xx

x

a) x6

1− b)

3

3

+

−

x

x [6 bodova]

2. Rešiti jedna�inu: 7132 +=− xx [6 bodova]

3. Rešiti jedna�inu: 3223 =− x [6 bodova]

4. Zaokružiti ta�an odgovor: log 2 4 + log 3 27 – log 5 1 = a) 5 b) 30 [6 bodova]

5. Izra�unati vrednost od sin (α – β) za oštre uglove α i β, ako je sin α = 5

3 i cos β =

17

15.

[6 bodova]

6. Rešiti jedna�inu: 2 sin x cos x – cos x = 0 [6 bodova]

7. Kroz ta�ku A (2,3) postaviti pravu paralelnu sa pravom 2x – 3y + 1 = 0. [6 bodova]

8. Odrediti dužini zajedni�ke tetive parabole y 2 = 3 x i kružnice x 2 + y 2 = 4 .[6 bodova]

9. Izra�unati površinu i zapreminu lopte opisane oko kocke ivice a = 32 . [6 bodova]

10. Izra�unati zbir prvih 10 �lanova aritmeti�kog niza, ako je diferencija (razlika) d = 3, a šesti �lan je a 6 = 16. [6 bodova]

68

SZABADKAI M�SZAKI F�ISKOLA 2001.09.06.

��

A PÁLYÁZÓ NEVE:_____________________________________, Jelentkezési szám:______

1. Karikázza be a helyes választ: =++

−

96

92

2

xx

x

a) x6

1− b)

3

3

+

−

x

x [6 pont]

2. Oldja meg az egyenletet: 7132 +=− xx [6 pont]

3. Oldja meg az egyenletet: 3223 =− x [6 pont]

4. Karikázza be a helyes választ: log 2 4 + log 3 27 – log 5 1 = a) 5 b) 30 [6 pont]

5. Számítsa ki sin (α – β) értékét, ha α és β, hegyes szögek és sin α = 5

3 i cos β =

17

15.

[6 pont]

6. Oldja meg az egyenletet: 2 sin x cos x – cos x = 0 [6 pont]

7. Az A (2,3) ponthoz illesszen a 2x – 3y + 1 = 0 egyenessel párhuzamos egyenest. [6 pont]

8. Határozza meg az y 2 = 3 x parabola és az x 2 + y 2 = 4 kör közös húrjának hosszúságát. [6 pont]

9. Számítsa ki az a = 32 cm él� kocka köré írt gömb felszínét és térfogatát. [6 pont]

10. Számítsa ki a számtani sorozat els� 10 tagjának összegét, ha a sorozat differenciája (különbsége) d = 3, a hatodik tagja pedig a 6 = 16. [6 pont]

69

��


��

R E Š E N J A


1.( )( )

( ) 3

3

3

33

96

922

2

+−

=+

+−=

++

−x

x

x

xx

xx

x pod usovom da je 3−≠x . Zaokružiti b).

2. Jedna�ina je definisana pod uslovom da je :

3

1

73

1

07013

≥

−≥∧≥

≥+∧≥−

x

xx

xx


( )

1

1111

7412

7134

/7132 2

=

=

+=−

+=−

+=−

x

x

xx

xx

xx

1=x zadovoljava uslov 3

1≥x , zna�i da se prihvata kao rešenje date iracionalne jedna�ine.

3. 3223 =−x

53

22 53

=−

=−

x

x

2−=x je rešenje date eksponencijalne jedna�ine.

4. 5032 1 log -27log 4 log 532 =−+=+ , zaokružiti a).

70

5. �� 900,900 <<<< βα

5

4

25

16

25

91sin1cos

5

3sin 2 ==−=−+=�= ααα

17

8

289

64

289

2251cos1sin

17

15cos 2 ==−=−+=�= βββ

( )85

13

85

32

85

45

17

8

5

4

17

15

5

3sincoscossinsin =−=⋅−⋅=−=− βαβαβα

( )85

13sin =− βα .

6. 0coscossin2 =− xxx

( )

Zkkxkx

xkx

xx

xx

∈+=+=

=+=

=−∨=

=−

,26

52

6

2

1sin

2

01sin20cos

01sin2cos

32

1

ππ

ππ

ππ

7. Odredimo prvo koeficijent pravca date prave: 3

2

3

120132 1 =�

+=�=+− k

xyyx .

Zbog paralelnosti koeficijent pravca druge prave je 3

212 == kk .

Jedna�ina prave kroz datu ta�ku glasi: ( )23

23 −=− xy .

4293 −=− xy

0532 =+− yx je jedna�ina tražene prave.

8. Na�imo prvo prese�ne ta�ke parabole i kružnice:

4

322

2

=+

=

yx

xy

412

1693

043

43

21

21

2

2

−==

+±−=

=−+

=+

xx

x

xx

xx

za 42 −=x parabola nije definisana, zna�i da je apscisa prese�nih ta�aka 1=x .

( ) ( )3,1,3,1331 212 −�±=�=�= BAyyx su prese�ne ta�ke.

71

Dužina zajedni�ke tetive je dužina duži AB :

( ) ( ) 3234340331122 =⋅=⋅+=++−=AB je dužina zajedni�ke tetive.

9. Površina lopte je π24RP = , zapremina je 3

4 3πRV = , gde je R polupre�nik lopte.

Kod lopte opisane oko kocke polupre�nik je polovina od prostorne dijagonale:

32

332

2

3

2=

⋅===

aDR ,

ππ 3694 =⋅=P ,

ππ

363

274=

⋅=V .

10. 1163516516 1116 =�=⋅+�=+�= aadaa je prvi �lan niza.

Traženi zbir prvih deset �lanova aritmeti�kog niza je:

( )( ) ( ) 951953922

1012

2 110 =⋅=⋅+=−+= dnan

S .

72



(Zaokružite odgovor ili odgovore koje smatrate ispravnim!)

1. Na�i uproš�eni oblik izraza: =−

++49

49142

2

a

aa

A. 7

1

−a B.

7

1

+a C.

7

7

−+

a

a

2. Odrediti vrednost izraza: ( )=−−− 6410064100 A. 1 B. 4 C. –4

3. Na�i rešenje iracionalne jedna�ine 11317 =− x

A. 1 B. 4 C. –4

4. Rešiti nejedna�inu 0562 ≤+− xx

A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞)

5. Odrediti rešenje eksponencijalne jedna�ine xx 2100101000 =⋅ A. 1 B. 4 C. –4

6. Koja su rešenja trigonometrijske jedna�ine 65ctgtg =+ xx

A. ππ

k4

+ B. ππ

k3

+ C. ππ

k6

+

7. Na�i jedna�inu prave, koja je normalna na pravu 032 =+− yx , i prolazi kroz ta�ku A(1,4). A. 032 =++ yx B. 092 =−− yx C. 092 =−+ yx

8. Kolika je dužina tetive koju odseca kružnica 2522 =+ yx na pravoj 1+= xy ?

A. 27 B. 72 C. 14

9. Pravougli trougao sa jednom katetom dužine 5 i hipotenuzom dužine 13 rotiramo oko duže katete. Kolika je zapremina tako nastalog tela?

A. 100π B. 1000π C. 10π

10. Tri broja obrazuju aritmeti�ki niz, njihov zbir je 15. Dodamo li prvom broju 1, drugom broju 4, a tre�em 19, dobija se geometrijski niz. Na�i ta tri broja!

A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

SVAKI ZADATAK SE VREDNUJE NAJVIŠE SA 6 BODOVA. MAKSIMALNI BROJ BODOVA JE 60.

73



(A helyes választ vagy válaszokat kérjük karikázza be!)

1. Egyszer�sítse a következ� kifejezést: =−

++49

49142

2

a

aa

A. 7

1

−a B.

7

1

+a C.

7

7

−+

a

a

2. Határozza meg a ( )=−−− 6410064100 kifejezés értékét: A. 1 B. 4 C. –4

3. Határozza meg a 11317 =− x irracionális egyenlet megoldását: A. 1 B. 4 C. –4

4. Oldja meg az 0562 ≤+− xx egyenl�tlenséget: A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞)

5. Oldja meg az xx 2100101000 =⋅ exponenciális egyenletet: A. 1 B. 4 C. –4

6. Mely számok a 65ctgtg =+ xx trigonometriai egyenlet megoldásai?

A. ππ

k4

+ B. ππ

k3

+ C. ππ

k6

+

7. Melyik egyenes mer�leges a 032 =+− yx egyenesre és áthalad az A(1,4) ponton is?

A. 032 =++ yx B. 092 =−− yx C. 092 =−+ yx

8. Mekkora hosszúságú húrt metsz ki a 2522 =+ yx kör az 1+= xy egyenesb�l?

A. 27 B. 72 C. 14

9. A derékszög� háromszög egyik befogójának hossza 5, átfogója pedig 13. Forgassuk meg a háromszöget a hosszabb befogója körül. Mekkora a keletkezett

forgástest térfogata? A. 100π B. 1000π C. 10π

10. Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 15. Ha a számokat sorban 1-gyel, 4-gyel és 19-cel növeljük, mértani sorozatot nyerünk. Melyik ez a három szám?

A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MINDEN FELADAT LEGFELJEBB 6 PONTTAL ÉRTÉKELHET�. A MAXIMÁLIS PONTSZÁM 60.

74

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA M�SZAKI F�ISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A 03.07.2002. 2002.07.03.�



��

1. ( )

( )( )7,

7

7

77

7

49

4914 2

2

2

−≠−+

=+−

+=

−++

aa

a

aa

a

a

aa� � � � ��

�

2. ( )=−−− 6410064100 481066410036 =+−=+− ��

3. 11317 =− x � x31117 =− � 63 =x � 2=x � x = 4 � � ��

4. 0562 ≤+− xx � ( )( ) 051 ≤−− xx � ( ) ( ) 0501 ≤−∧≥− xx �x∈[1,5] � ��

5. xx 2100101000 =⋅ � xx

43 1010 =+

�x

x4

3 =+ 0432 =−+ xx � 4,1 21 −== xx ��

�

6. 1k4

ctgk4

tg =��

��

� +=��

��

� + ππ

ππ

� 6k4

5ctgk4

tg =��

��

� ++��

��

� + ππ

ππ

� � � ��

7. p: 032 =+− yx � 32 += xy � 2=p

k ,

pq ⊥ �2

1−=

pk , A∈q � q: ( )1

2

14 −−=− xy � q: 092 =−+ yx � ��

�

8. ( ) 2511

25 22

22

=++��

+=

=+xx

xy

yx� 02422 2 =−+ xx �

� �=−+ 0122 xx 3,44,3 2121 −=�−==� yyxx �

�P(3,4), Q(–4,–3) � PQ= 274949 =+ � � � ��

9. Hbraacbca ==�=−=−=�== ,122516915,5 22 �

� πππ ⋅=⋅⋅⋅== 10012253

1

3

1 2 HrV � � � � � ��

10. 2 + 5 + 8 = 15, 5 – 2 = 8 – 5, �

� 2+1=3, 5+4=9, 8+19=27 � 3, 9, 27, 9:3 = 27:9� � � � �

75

VIŠA TEHNI�KA ŠKOLA S U B O T I C A

06.09.2002.


(Zaokružite odgovor ili odgovore koje smatrate ispravnim!)

1. Na�i uproš�eni oblik izraza: =−

++

36

36122

2

x

xx

A. 6

1

−x B.

6

1

+x C.

6

6

−+

x

x

2. Odrediti vrednost izraza: ( ) =−−− 3610036100 A. 1 B. 4 C. –4

3. Na�i rešenje iracionalne jedna�ine 11317 =− x

A. 1 B. 4 C. –4

4. Rešiti nejedna�inu 0562 ≥+− xx

A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞)

5. Odrediti rešenje eksponencijalne jedna�ine xx 210010 = A. 1 B. 2 C. –4

6. Koja su rešenja trigonometrijske jedna�ine 65ctgtg =+ xx

A. ππ

k4

+ B. ππ

k3

+ C. ππ

k6

+

7. Na�i jedna�inu prave, koja je paralelna sa pravom 032 =+− yx , i prolazi kroz ta�ku A(1,4).

A. 032 =++ yx B. 022 =+− yx C. 092 =−+ yx

8. Kolika je dužina tetive koju odseca kružnica 2522 =+ yx na pravoj 1+= xy

A. 27 B. 72 C. 14 9. Pravougli trougao sa jednom katetom dužine 5 i hipotenuzom dužine 13 rotiramo

oko kra�e katete. Kolika je zapremina tako nastalog tela? A. 24π B. 2400π C. 240π

10. Tri broja obrazuju aritmeti�ki niz, njihov zbir je 15. Dodamo li prvom broju 1, drugom broju 4, a tre�em 19, dobija se geometrijski niz. Na�i ta tri broja!

A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

SVAKI ZADATAK SE VREDNUJE NAJVIŠE SA 6 BODOVA. MAKSIMALNI BROJ BODOVA JE 60.

76

M�SZAKI F�ISKOLA S Z A B A D K A

2002.09.06.


(A helyes választ vagy válaszokat kérjük karikázza be!)

1. Egyszer�sítse a következ� kifejezést: =−

++

36

36122

2

x

xx

A. 6

1

−x B.

6

1

+x C.

6

6

−+

x

x

2. Határozza meg a ( ) =−−− 3610036100 kifejezés értékét: A. 1 B. 4 C. –4

3. Határozza meg a 11317 =− x irracionális egyenlet megoldását: A. 1 B. 4 C. –4

4. Oldja meg az 0562 ≥+− xx egyenl�tlenséget: A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞)

5. Oldja meg az xx 210010 = exponenciális egyenletet: A. 1 B. 2 C. –4

6. Mely számok a 65ctgtg =+ xx trigonometriai egyenlet megoldásai?

A. ππ

k4

+ B. ππ

k3

+ C. ππ

k6

+

7. Melyik egyenes párhuzamos a 032 =+− yx egyenessel és áthalad az A(1,4) ponton is?

A. 032 =++ yx B. 022 =+− yx C. 092 =−+ yx

8. Mekkora hosszúságú húrt metsz ki a 2522 =+ yx kör az 1+= xy egyenesb�l?

A. 27 B. 72 C. 14

9. A derékszög� háromszög egyik befogójának hossza 5, átfogója pedig 13. Forgassuk meg a háromszöget a rövidebb befogója körül. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata?

A. 24π B. 2400π C. 240π

10. Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 15. Ha a számokat sorban 1-gyel, 4-gyel és 19-cel növeljük, mértani sorozatot nyerünk. Melyik ez a három szám?

A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MINDEN FELADAT LEGFELJEBB 6 PONTTAL ÉRTÉKELHET�. A MAXIMÁLIS PONTSZÁM 60.\

77




��

1. ( )

( )( )6,

6

6

66

6

36

3612 2

2

2

≠−+

=+−

+=

−

++x

x

x

xx

x

x

xx ��

�

2. ( ) =−−− 3610036100 461083610064 =+−=+− ��

3. 11317 =− x � x31117 =− � 63 =x � 2=x � x = 4 � � ��

4. 0562 ≥+− xx � ( )( ) 051 ≥−− xx � ( ] [ )+∞∪∞−∈�≥∨≤ ,51,51 xxx ��

5. xx 210010 = � 244

1010 24

=�=�=�= xxx

xxx � ��

�

6. 1k4

ctgk4

tg =��

��

� +=��

��

� + ππ

ππ

� 6k4

5ctgk4

tg =��

��

� ++��

��

� + ππ

ππ

� � � ��

�

7. p: 032 =+− yx � 32 += xy � 2=p

k ,

pq � 2=qk , A∈q � q: ( )124 −=− xy � q: 022 =+− yx � � � ��

8. ( ) 2511

25 22

22

=++��

+=

=+xx

xy

yx� 02422 2 =−+ xx �

� �=−+ 0122 xx 3,44,3 2121 −=�−==� yyxx �

�P(3,4), Q(–4,–3) � PQ= 274949 =+ ��

9. Harbacbca ==�=−=−=�== ,122516915,5 22 �

� πππ ⋅=⋅⋅⋅== 24051443

1

3

1 2 HrV � � � � � � ��

�

10. 2 + 5 + 8 = 15, 5 – 2 = 8 – 5, � � 2+1=3, 5+4=9, 8+19=27 �

� 3, 9, 27, 9:3 = 27:9 ��

78

Viša tehni�ka škola 03.07.2003. S u b o t i c a


1. Zaokružiti ta�an odgovor: =��

��

� +−��

�

��

�

−− 1

1:

1

31

2

2

x

x

x

x

a) 1 b) x

x

++

−1

21 c)

x

x

++

1

21

2. Rešenje nejedna�ine 34

32>

−−x

x je interval:

a) [ )4,3 b) (3, 4) c) ),4()3,( ∞∪−∞

3. Zaokružiti ta�no rešenje jedna�ine 12

12

11

=��

��

�⋅++ x

x

x

.

a) { }1,1−∈x b) ∈x ∅ c) { }1∈x

4. Zaokružiti ta�no rešenje jedna�ine ( ) 13log25log =−−− xx .

a) ∈x ∅ b) �

�� ∈

9

25x c) { }5,3∈x

5. Izra�unati ααα 2tg,2cos,2sin , ako je παπ

α 22

3,

13

5cos <<= .

6. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu 1cossin2 2 =− xx .

7. Odrediti jedna�inu prave koja sadrži ta�ku ( )2,1A i normalna je na pravu 0132: =−+ yxp .

8. Odrediti jedna�inu kružnice ako joj je centar u ta�ki ( )3,3C i ta�ka ( )0,3A pripada kružnici.

9. Pravougli trapez osnovica cma 9= i cmb 2= i dužeg kraka cm25 rotira oko manje osnovice. Izra�unati površinu i zapreminu nastalog tela. Zaokružiti ta�an odgovor:a) 32 6528,828 cmVcmP ππ ==

b) 32 6528,1608 cmVcmP ππ ==

c) 32 3840,1608 cmVcmP ππ ==

10. Zbir tri broja koji �ine geometrijski niz je 28. Ako se najve�i broj umanji za 4, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmeti�ki niz. Na�i te brojeve.

S v a k i z a d a t a k s e v r e d n u j e m a k s i m a l n o s a 6 b o d o v a ! Ž e l i m o V a m u s p e š a n r a d !

79

M�szaki F�iskola 2003.07.23. S z a b a d k a


1. Karikázza be a helyes válasz el�tti bet�t: =��

��

� +−��

�

��

�

−− 1

1:

1

31

2

2

x

x

x

x

a) 1 b) x

x

++

−1

21 c)

x

x

++

1

21

2. A 34

32>

−−x

x egyenl�tlenség megoldáshalmaza az alábbi intrevallumok egyike:

a) [ )4,3 b) (3, 4) c) ),4()3,( ∞∪−∞

3. Karikázza be a 12

12

11

=��

��

�⋅++ x

x

x

egyenlet megoldása el�tt álló bet�t:

a) { }1,1−∈x b) ∈x ∅ c) { }1∈x

4. Karikázza be a ( ) 13log25log =−−− xx egyenlet megoldását jelöl� bet�t:.

a) ∈x ∅ b) �

�� ∈

9

25x c) { }5,3∈x

5. Számítsa ki a ααα 2tg,2cos,2sin értékeket, ha παπ

α 22

3,

13

5cos <<= .

6. Oldja meg a 1cossin2 2 =− xx trigonometrikus egyenletet.

7. Határozza meg az ( )2,1A ponton áthaladó egyenes egyenletét úgy, hogy az mer�leges legyen a 0132: =−+ yxp egyenesre.

8. Határozza meg a kör egyenletét, ha a középpontja a ( )3,3C pont, valamint áthalad az ( )0,3A

ponton.

9. A deréksz�g� trapézt, amelynek párhuzamos oldalai cma 9= és cmb 2= , a hosszabb szára pedig cm25 , forgatjuk a rövidebb alapja körül. Határozza meg az így keletkezett forgástest felszínét és térfogatát. Karikázza be a helyes választ:a) 32 6528,828 cmVcmF ππ ==

b) 32 6528,1608 cmVcmF ππ ==

c) 32 3840,1608 cmVcmF ππ ==

10. Három szám, amelyek összege 28, mértani sorozatot alkot. Ha a legnagyobbat 4-gyel csökkentjük, akkor egy számtani sorozat három tagját nyerjük. Melyik ez a három szám?

A f e l a d a t o k m i n d e g y i k e 6 p o n t t a l é r t é k e l h e t � ! J ó m u n k á t k í v á n u n k !

80

Viša tehni�ka škola M�szaki F�iskola S u b o t i c a S z a b a d k a 03.07.2003. 2003.07.03.

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE REŠENJA

MIN�SÍT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL MEGOLDÁSOK

1. =��

��

� +−��

�

��

�

−− 1

1:

1

31

2

2

x

x

x

x=

−−+

−

−−1

1:

1

312

22

x

xx

x

xx=

−−

⋅−

−12

1

1

412

2

x

x

x

x

( )( )

x

x

xxx

xxx

++

=−+−

−+−=

1

21

)12)(1()1(

)1(2121 c)

x

x

++

1

21

2. 34

32>

−−x

x� 03

4

32>−

−−x

x� 0

4

31232>

−+−−

x

xx� 0

4

155>

−−

x

x� 0

4

)3(5>

−−

x

x

–∞ 3 3 4 4 ∞

x – 3 – + +

4 – x + + –

x

x

−−

4

)3(5– + –

b) (3,4)

3. 12

12

11

=��

��

�⋅++ x

x

x

� 12)1(

1

=+−

+x

x

x

� 0)1(1

=+−+

xx

x � 01 2 =−−+ xxx �

� 012 =−x � x = ± 1 a) { }1,1−∈x

4. ( ) 13log25log =−−− xx � 13

5log =

−−

x

x � 10

3

5=

−−

x

x � xx 10305 −=− �

� 259 =x �9

25=x . b)

�

�� ∈

9

25x

5. Zbog uslova παπ

22

3<< je

13

12

169

144

169

251cos1sin 2 −=−=−−=−−= αα .

169

120

13

5

13

122cossin22sin −=�

�

��

�⋅��

��

�−== ααα .

169

119

169

144

169

25

13

12

13

5sincos2cos

2222 −=−=�

�

��

�−−��

��

�=−= ααα .

119

120

2cos

2sin2tg ==

αα

α .

6. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu 1cossin2 2 =− xx .

81

( )

.4

31

4

811012cos

01coscos2

01coscos2201coscos12

21

2

2

22

±−=

+±−=�=−+�=

=−+�

�=−−−�=−−−

ttttx

xx

xxxx

ππππ

kxkx

xx

tt

223

1cos2

1cos

12

1

32

1

21

+=+±=

−==

−==

7. Odrediti jedna�inu prave koja sadrži ta�ku ( )2,1A i normalna je na pravu 0132: =−+ yxp .

2

313

2

3

1

3

2:

=−=�

�−=�+−=

p

q

p

kk

kxyp

Jedna�ina prave kroz jednu ta�ku:

( )12: −=− xkyq q � ( )12

32: −=− xyq �

� 22

3

2

3: +−= xyq �

2

1

2

3: += xyq �

� 3 x – 2y + 1 = 0.

8. Odrediti jedna�inu kružnice ako joj je centar u ta�ki ( )3,3C i ta�ka ( )0,3A pripada kružnici.

Centar kružnice je ta�ka

( ) ( ) 333,3, =∧=�= qpCqpC . Opšti oblik jedna�ine kružnice je :

( ) ( ) 222: rqypxk =−+−

( ) ( ) 222 33: ryxk =−+−

Ako ta�ka A pripada kružnici, tada je

( ) ( ) 222 3033 r=−+−

39 2 =�= rr

Jedna�ina tražene kružnice glasi

( ) ( ) 933: 22 =−+− yxk .

9. Pravougli trapez osnovica cma 9= i cmb 2= i dužeg kraka cm25 rotira oko manje osnovice. Izra�unati površinu i zapreminu nastalog tela. Zaokružiti ta�an odgovor:

a) 32 6528,828 cmVcmP ππ ==

��

��

��

��

� ��

� ��

�•

••

•

��•

�� •�

�

82

b) 32 6528,1608 cmVcmP ππ ==

c) 32 3840,1608 cmVcmP ππ ==

Rotacijom se dobija složeno telo, iz valjka je izva�ena kupa.

Valjak i kupa imaju istu osnovu sa polupre�nikom : 57649625725 222 =−=−=r

cmr 24= .

Površina složenog tela sastoji se od jedne kružnice, od omota�a valjka i od omota�a kupe:

srHrrP

MMrP

valjka

kupevaljka

πππ

π

++=

++=

22

2

25249242576 ⋅+⋅⋅+= πππP

πππ 600432576 ++=P

21608 cmP π=

kupavaljak

kupavaljak

HrHrV

VVV

ππ 22

3

1−=

−=

71923

19576 ⋅⋅−⋅= ππV

ππ 13445184 −=V

33840 cmV π=

c) 32 3840,1608 cmVcmP ππ ==

10. Zbir tri broja koji �ine geometrijski niz je 28. Ako se najve�i broj umanji za 4, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmeti�ki niz. Na�i te brojeve.

321 ,, aaa je geometrijski niz � 2111 ,, qaqaa

4,, 321 −aaa je aritmeti�ki niz

282111 =++ qaqaa

42 2111 −+= qaaqa 22 71471 qqqq +−=++

( ) 281 21 =++ qqa 06156 2 =+− qq � 0252 2 =+− qq

4)12( 21 =+− qqa 16,8,4:42 11 subrojatriaq �=�=

721

12

2

=+−

++

qq

qq 4,8,16:16

2

111 subrojatriaq �=�= .

��

��

��

��

��

83

Viša tehni�ka škola 05.09.2003. S u b o t i c a


1. Zaokružiti ta�an odgovor: =��

��

� −��

��

� −22

11:

11

nmnm

a) nm

m

+ b)

nm

mn

+ c)

nm

n

+

2. Rešenje nejedna�ine 23

6−<

−−

x

x je interval:

a) [ ]4,3 b) ( )4,3 c) ( ) ( )∞∪∞− ,43,

3. Zaokružiti ta�no rešenje jedna�ine x

x

x

1

24+

= .

a) { }1∈x b) �

�� −∈ 1,

2

1x c)

�

�� −∈ 1,0,

2

1x

4. Zaokružiti ta�no rešenje jedna�ine ( ) ( ) 28log19log 2 =−−+ xx .

a) nema rešenje b) { }91,9∈x c) { }9∈x

5. Izra�unati ααα 2tg,2cos,2sin , ako je 2

3,

5

3sin

παπα <<−= .

6. Rešiti trigonometrijsku jedna�inu 12coscos =− xx .

7. Odrediti jedna�inu prave koja sadrži ta�ku ( )2,1A i paralelna je sa pravom 03: =−+ yxp .

8. Odrediti jedna�inu kružnice na kojoj su ta�ke ( )0,2A i ( )0,8B krajnje ta�ke dijagonale.

9. Pravougli trapez osnovica cma 10= i cmb 2= i površine 290cm rotira oko ve�e osnove. Izra�unati površinu i zapreminu nastalog tela. Zaokružiti ta�an odgovor:a) 32 1050,600 cmVcmP ππ ==

b) 32 1050,540 cmVcmP ππ ==

c) 32 150,540 cmVcmP ππ ==

10. Tri broja, �iji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se tim brojevima doda redom 1,6 i 3, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmeti�ki niz. Na�i te brojeve.

S v a k i z a d a t a k s e v r e d n u j e m a k s i m a l n o s a 6 b o d o v a ! Ž e l i m o V a m u s p e š a n r a d !

84

M�szaki F�iskola 2003.09.05. S z a b a d k a


1. Karikázza be a helyes válasz el�tti bet�t: =��

��

� −��

��

� −22

11:

11

nmnm

a) nm

m

+ b)

nm

mn

+ c)

nm

n

+

2. A 23

6−<

−−

x

x egyenl�tlenség megoldáshalmaza az alábbi intrevallumok egyike:

a) [ ]4,3 b) ( )4,3 c) ( ) ( )∞∪∞− ,43,

3. Karikázza be a x

x

x

1

24+

= egyenlet megoldása el�tt álló bet�t:

a) { }1∈x b) �

�� −∈ 1,

2

1x c)

�

�� −∈ 1,0,

2

1x

4. Karikázza be a ( ) ( ) 28log19log 2 =−−+ xx egyenlet megoldását jelöl� bet�t:

a) nem megoldható b) { }91,9∈x c) { }9∈x

5. Számítsa ki a ααα 2tg,2cos,2sin értékeket, ha 2

3,

5

3sin

παπα <<−= .

6. Oldja meg a 12coscos =− xx trigonometrikus egyenletet.

7. Határozza meg az ( )2,1A ponton áthaladó egyenes egyenletét úgy, hogy az párhuzamos legyen a 03: =−+ yxp egyenessel.

8. Határozza meg a kör egyenletét, ha az ( )0,2A és ( )0,8B pontok az átmér�jének végpontjai.

9. A deréksz�g� trapézt, amelynek párhuzamos oldalai cma 10= és cmb 2= , területe 290cm , forgatjuk a hosszabb alapja körül. Határozza meg az így keletkezett forgástest felszínét és térfogatát. Karikázza be a helyes választ:a) 32 1050,600 cmVcmF ππ ==

b) 32 1050,540 cmVcmF ππ ==

c) 32 150,540 cmVcmF ππ ==

10. Három szám, amelyek összege 26, mértani sorozatot alkot. Ha a számokat sorrendben növeljük az 1,6 és 3 számokkal, akkor egy számtani sorozat három tagját nyerjük. Melyik ez a három szám?

A f e l a d a t o k m i n d e g y i k e 6 p o n t t a l é r t é k e l h e t � ! J ó m u n k á t k í v á n u n k !

85

Viša tehni�ka škola M�szaki F�iskola S u b o t i c a S z a b a d k a 05.09.2003. 2003.09.05.

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE REŠENJA

MIN�SÍT� VIZSGA MATEMATIKÁBÓL MEGOLDÁSOK

1. =��

��

� −��

��

� −22

11:

11

nmnm

nm

mn

mnmn

nm

mn

mn

nm

mn

mn

mn

+=

+−⋅

−=

−−))((

:22

22

22

b) nm

mn

+.

2. 23

6−<

−−

x

x0

3

)4(302

3

6<

−−

�<+−−

�x

x

x

x:

–∞ 3 3 4 4 ∞

3 – x + – –

4 – x + + –

x

x

−−

3

)4(3+ – +

b) (3, 4)

3. x

x

x

1

24+

=x

xxx

x

x 1222

12 +

=�=�+

4

31

4

811012

21

2 ±=

+±=�=−−� xxx . b)

�

�� −∈ 1,

2

1x

11. ( ) ( ) 28log19log 2 =−−+ xx 1008

19100log

8

19log

22

=−+

�=−+

�x

x

x

x

08191002 =+−� xx . b) { }91,9∈x

5. 2

3,

5

3sin

παπα <<−= �

5

4sin1cos 2 −=−−= αα .

25

24cossin22sin == ααα , ,

25

7sincos2cos 22 =−= ααα

7

24

2cos

2sin2tg ==

αα

α .

6. 12coscos =− xx �=−−−� 01)sin(coscos 22 xxx

86

01sincoscos 22 =−+− xxx �=−� 0cos2cos 2 xx

.2

1cos0cos0)cos21(cos =∨=�=− xxxx

Sledi: ,21 ππ

kx += ,232 ππ

kx += .23

53 π

πkx += , k∈ Z.

7. Prave koje prolaze kroz ta�ku ( )2,1A imaju jedna�inu oblika y – 2 = k (x – 1). Sve prave paralelne sa pravom 03: =−+ yxp imaju koeficijent pravca k = –1. Prema tome jedna�ina prave koju tražimo je sama prava: 03: =−+ yxp .

8. Centar kružnice je središte C duži AB: Pošto je ( )0,2A i ( )0,8B sledi C(5, 0). Neposredno se uo�ava, da je polupre�nik r = 3, pa jedna�ina tražene kružnice je: (x – 5)2 + y 2 = 9.

9. Rotacijom se dobija složeno telo sastavljeno od valjka i kupe. Valjak i kupa imaju istu osnovu sa polupre�nikom koja je jednaka visini trapeza. Pošto je površina trapeza

902

210

2=

+=

+= hh

bap

sledi: h = r = 15 cm. Kosi krak trapeza je s = 17 cm. (Pitagora). Površina složenog tela sastoji se od jednog kruga, od omota�a valjka i od omota�a kupe. Visina valjka je b, visina kupe je a–b:

srHrrP

MMrP

valjka

kupevaljka

πππ

π

++=

++=

22

2

17152152225 ⋅+⋅⋅+= πππP ,

2540 cmP π= . Zapremina složenog tela je zbir zapremine valjka i kupe:

222 105082253

12225

3

1cmHrHrVVV kupavaljakkupavaljak πππππ =⋅+⋅=+=+= .

b) 32 1050,540 cmVcmP ππ ==

10. Neka su traženi brojevi a, aq i aq2. Njihov zbir je a + aq + aq

2 = 26. Nakon uve�anja za 1, 6 i 3 imamo brojeve a + 1, aq + 6 i aq

2 + 3 koji obrazuju aritmeti�ki niz, pa je: ).6(2)3()1( 2 +=+++ aqaqa Rešavaju�i dobijeni sistem jedna�ina dobijemo:

26)1( 2 =++ qqa i 8)21( 2 =+− qqa . Po deljenju leve i desne strane (a se skra�uje):

3

1,303103

8

26

21

121

2

2

2

==�=+−�=+−

++qqqq

qq

qq. Obe mogu�nosti daju iste

brojeve, samo u suprotnom redosledu: 2, 6, 18, odnosno 18, 6, 2.

h

a=10cm

b=2cm

s

87

��

��

�� !��"�#�!$#�!��$��

�� !�"�#�$�!��$%&#&��'��&�(�)"��"*��+)*�� #��#)�&�(��,& -�.��&�#�/�,��"*��)"&�0��"��-�

��

�� .��1),&��(�+)",��#��'+),&��'&��&!��!��33

22

++++−−

yxyx

yxyx�+)2� � � � �

�%�y

y

++

3

23�� %��

y

y

−−

3

23�� %��

y

y

+−

3

2-�

�� 4��+��)�',&��),��+)",�/&,)� 152 +=− xx �+)2� � � � � �

�%� 3� � � �%� �3� � � �%�� -� ��

&� 5��),�+)",�/&,)� 2173 2 =⋅ −xx�!�"��'+��')")1&�$�'��2-� � � � �

�%� ( )1,∞−∈x 3� � �%� [ )3,1∈x 3� � �%�� [ )∞∈ ,3x -��

�� 6�&��),��+)",�/&,)� 02log2log 222 =−+ xx �+)2� � �

�%�� 3� � � �%� �� 3� � � �%�� -�

'� ��+)�tgα = 2��#�"��+)��)",��#�&!��!��αααα

33

33

cossin

cossin

−

+�+)",��+$2�

�%��3

53� � � �%�

5

73� � � �%��

7

9-��

�(�� 4��+��)7),+��#�&*�,� )#�&+��)�+)",�/&,)� 0sin2cos3 2 =− xx �$�&,#)��'$��

��

�−2

,2

ππ �+)2� � �

�%�� 3� � � �%� �3� � � �%�� -� � ��

�� 8�#��$�#�&�$!��#�(,��#) ),��(��')'�*�� ABCD 2� ( ) ( ) ( ).3,1,3,5,5,3 −−− CBA �� 5��"&,�#)�/)#��#�*�#) ),��$2��

�%�� D(–3, 1)�3� � �%� D(–1, 3)�3� � �%�� D(3, –1).� � ��

)� 9�� 243 =− ymx �+)�#�,*),#��&()��')� 3622 =− yx -�5��"��#�(�� )#��m�& ��)",��#2�

�%�� m2 = 163� � �%� m

2 = 253� � �%�� m2 = 36.� � �

�*� ��,��,)�&�&�)�(��)�#��,)�(�&! )��$� cma 4= �� cmb 5= �� cmc 7= -�:&�&,��#)'��+)�+)",��&�&,&�

��,��)��+��(�&(�"��,�+��1�+�&�&�&-�6�(�) &,��(�&! )�+)22�

�%� 358 cmV = 3�� %� 348cmV = 3�� %� 338 cmV = ��

�� &# )#&/�� ,&!$�(��&�/'�,�+)��!�&��(��&��()#�/'�,��+)�+)",��/)#��#&,&�!�&��&"$1&��()#�/'�,��-�8&;)�),�&+��!'&��#�*�,&!��+)2��%�� d+3� � � �%� d+�3� � � �%�� d+,-� � �

�-�� .��.��/�0��1��2�3�

� �

88

#4/5��6�/�� 5��2��

��

#��7�8!7��"�9��#�!$#�!��:;<��

<&,")*&��;)'�"�#,='��=�� ='��!')�)#>�?*��,-�5��&�=!!��)��)')��='��!�)'>##�=''@��)#A#-�<&,"),��)')��='��!�0�(�,#�#�?�-�

��

�� B*�!)�A�C#?��$#=,��33

22

++++−−

yxyx

yxyx��&;)+)!?��'��+��D�)#�)!>2� � � � �

�%�y

y

++

3

23�� %��

y

y

−−

3

23�� %��

y

y

+−

3

2-�

�� 152 +=− xx �)*),')#��'@�� )*�'"=��&,��!= �2� � � � � �

�%� 3� � � �%� �3� � � �%�� -� ��

&� �� 2173 2 =⋅ −xx�)*),')#�*D�)��&)'?*C#&��!��'=��&�;)'#?#)'#2� � � � �

�%� ( )1,∞−∈x 3� � �%� [ )3,1∈x 3� � �%�� [ )∞∈ ,3x ��

�� 02log2log 222 =−+ xx �)*),')#�*D�)&,)��D��!)*)2� � �

�%�� 3� � � �%� �� 3� � � �%�� -�

'� E��tgα = 2��αααα

33

33

cossin

cossin

−

+��&;)+)!?��?�#?�)2�

�%��3

53� � � �%�

5

73� � � �%��

7

9-��

�(�� 0sin2cos3 2 =− xx �)*),')#��

��

�−2

,2

ππ �&,#)��''$ ��!�#��#�!@�*D�)&,)��!= �2� �

�%�� 3� � � �%� �3� � � �%�� -� � ��

�� "�##��!�ABCD (��')'�*�� =�� )* =�#��D�)#>��F��2 ( ) ( ) ( ).3,1,3,5,5,3 −−− CBA �� ,)*)"&��F��(�,#��"&,=#=&2��

�%�� D(–3, 1)�3� � �%� D(–1, 3)�3� � �%�� D(3, –1).� � ��

)� �!� 243 =− ymx �)*),)��?�&,#&��!� 3622 =− yx ��&()��'=#-��!�m�(�� ?#)��,?*!)#)2�

�%�� m2 = 163� � �%� m

2 = 253� � �%�� m2 = 36.� � �

�*� ��=�� '"�'F�)*),)��=��'�(?')&2� cma 4= �� cmb 5= �� cmc 7= -��=�� *��=*��

$*�,�� &,#��!��'�('�(�')*�&�)��?'?�)!�#��#�!@� �*��=*�-��=��#?#;�*�#�2�

�%� 358 cmV = 3�� %� 348cmV = 3�� %� 338 cmV = ��

�� != #�,&��!�#�)'�>� #�*+�� C*��!�)'�>�D#� #�*�D��!)*)�)*),'>��D�)#�)!>�D#� #�*�D��!)*?,)��,)*)"�?�!?�)'-��!�#��G'D,��?*)��"&;;)�),�&=+��2��%�� d+3� � � �%� d+�3� � � �%�� d+,-� � �

�=�>��.��?��@�A�?��3�

�

89

��

��

��

��

��

��33

22

++++−−

yxyx

yxyx�

yxyx

yxyx

+++−−+

33

22�

)1()1(3

)1()1(2

++++−+

xyx

xyx� 1,

3

2

)3)(1(

)2)(1(−≠

+−

=++−+

xy

y

yx

yx�� %

� � � � �

�� 8�� &� ��),� +)",�/&,) 152 +=− xx � �&�� )�'�,� ��+�� "�� !�"��'+&� $�'��) 5≥x � &�

1−≥x -��9�) ��#� )�� *$1��)�',��)7),+��$�$��$($� 5≥x -�

152 +=− xx �� 152 +=− xx �� 062 =−− xx �-�H)7),+��#)�+)",�/&,)��$��&�I��"��+&��

�� +��(�&(�"��"�!��'+),� �&,#)��'$��(��+)��+��)�',&��)7),+��-�� %�

�

&� 2173 2 =⋅ −xx�� 21773 2 =⋅⋅ − xx

��49

21

7

3=�

�

��

�x

�� 17

3

7

3=�=�

�

��

�x

x

-� � � �%

� � � �

�� 02log2log 222 =−+ xx �� 02loglog 2

22 =−+ xx -�6�� xt 2log= ��')"&2 .022 =−+ tt � �

H)7),+��#)��"��#,)�+)",�/&,)��$2 12 21 =−= tit -�H)7),+��(�'�!,)�+)",�/&,)��$ 24

121 == xix -�

6�&��"��+��+)��-�� %�

'�αααα

33

33

cossin

cossin

−

+� .

7

9

12

12

1

1

1cos

sincos

1cos

sincos

3

3

3

3

3

33

3

33

=−

+=

−

+=

��

��

�−

��

��

�+

αα

αα

α

αα

α

tg

tg�� %�

�(� 0sin2cos3 2 =− xx � �� 0)cos1(2cos3 2 =−− xx � �� 02cos3cos2 2 =−+ xx -� 6�� xt cos= �

�')"&2� .0232 2 =−+ tt �H)7),+��#)��"��#,)�+)",�/&,)��$22

12 21 =−= tit -��/)�&",��t1 ,)�"�+)�

�)7),+)��"��t2�2

1cos == x �+)�!�"��'+),��!��"�)��)",��#&�&!�#�*�&,#)��'�2�!��

3

π±=x -�� %�

��

90

�� J)��+)�(�)�)��"&+�*�,�'��(��')'�*�� )')%),��O-�K��#�/��+)��)"&,��"$%&�AC��(��$�,+),)�

��"&,�#)2� )1,1(2

35,

2

13−≡�

�

��

� +−−OO -�L�#��) ),��#��#�/��+)�&��)"&7#)�"$%&�BD-�J)��+)��

#) )�D�m��n��#�"��+)� .2

3,

2

5��

��

� −+ nmO �.')"&�m��I�&�n��-�� %�

��

)� ��'��"�"&��(��)� nkxy += �&��&()��')� 12

2

2

2

=−b

y

a

x�+)�

2222 bkan −= -��'$/�+$�"�#)�(��)�+)2�

83

−= xm

y ��(��$�$�'��$�"�"&�� %) ��!� ),&#&� 36,8,3

22 ==−== banm

k 2��

369

36642

−=m

-��"��")��')"&�m2 = 25.�� %�

�*� 5��&71),+) �E)��,��*��&!��/$,� ��(��7&,$��!)2�

641348))()(( =⋅⋅⋅=−−−= csbsassB ��+)��+)� cmcba

s 82

=++

= -�:&�&,��!)��+��

(�&(�"��&�&�&�a�"��&+��)�&!�$�'��22

ahaB

⋅= �#��+)�#2�

2

464 ah

= -��#$"��+)� 62== Hha cm-�

.')"&�!�(�) &,��(�&! )2�3486264 cmHBV =⋅=⋅= -�� %�

�

�� 9��$�'��$�!�"�#��+)� ( )109876543211 4

1,1 aaaaaaaaaaa ++++=++++= -�

��!� ),& ��&�/'�,��/&,+),&�� dndnaa nn )1(1)1( −+=−+= �"��&+� ��+)",�/&,$�&!��

��+)��')"&��"��+)�d+,-�� %��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

91

�

��B��!$C��D��B��E;�!��'��

�

�

�"�;�F��#G�"��7��'��

�

�� !��"�#�!$#�!��$��#��7�H!7��"�9��#�!$#�!��:;<��

�Zaokružiti slovo �%I��%�ili��% ispred odgovora kojeg

smatrate ispravnim. Od ponudjena tri odgovora SAMO JE JEDAN TA�AN! Ta�no zaokružen odgovor vredi 6 bodova, neta�an odgovor i bez odgovora 0 bodova.

Karikázza be az �%I��%�vagy a��% bet�t, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli. CSAK EGY

HELYES VÁLASZ VAN! A pontos válasz 6 pontot ér, a téves válaszra és válasz nélküli kérdésre 0 pont jár.

Prezime i ime kandidata Konkursni broj: A jelölt családneve és neve: Jelentkezési szám:

�

�

Σ��

�

�� Skra�eni oblik datog izraza je:

ax

ax

−

−

5

55

22

�

�

Az adott kifejezés egyszer�sített alakja:

� �%��x–5a;�� %�� x+5a;�� %��25

5ax + . ��

��Broj realnih rešenja date jedna�ine je:

5

18

22=

−+

+ x

x

x

x�

�

Az adott egyenlet valós gyökeinek száma:

� �%�� ;�� %��;�� %��. ��

&�� Kojem kvadrantu pripadaju ta�ke �ije su koordinate date rešenjima sistema jedna�ina:

5

3633

=+

=+

yx

yx

�

�

Melyik síknegyedhez tartoznak a pontok, amelyek koordinátái az egyenletrendszer megoldásai?

� �%��LLL;�� %��LL;�� %��L. ��

��Rešenja date logaritamske jedna�ine su:

4

510log

4

1log =+ xx �

�

A logaritmusos egyenlet megoldásai:

� �%�{ 10 ,10}; �� %�{ 3 10 ,10};�� %��{ 4 10 ,10}. ��

92

'��Neka je na datoj slici BD = 3 . Kolika je dužina stranice AC = x ?

��

BC

A

D

x

��

�

�

Legyen az adott ábrán BD = 3 . Mekkoraaz AC = x oldal hosszúsága?

� �%��x =4

1;�� %��x =

2

3;�� %��x =

4

5. �

(�� Skup rešenja date trigonometrijske jedna�ine koja pripadaju intervalu [0, π] je:

0cossin =+ xx ��

Az adott trigonometrikus egyenlet [0, π] intervallumhoz tartozó gyökeinek halmaza:

� ��%��

��

4

3�;�� %��

�

��

4

3,

6

��;�� %��∅ �

�� Za ta�ku A simetri�na slika u odnosu na datu pravu je ta�ka:

A(1; 4), x – y + 2 = 0��

Az A pont tükrözésével az adott egyenesre nézve az alábbi pontot kapjuk:

� ��%��A' (4; 1);�� %��A' (3; 2)�;�� %��A' (2; 3) �

)��Broj zajedni�kih ta�aka elipse i kružnice je:

16

364922

22

=+

=+

yx

yx�

�

Az ellipszis és a kör közös pontjainak száma:

� ��%�� ;�� %��;�� %��-��

*�� Data je trostrana prizma na slici sa bo�nim. stranama �ije su površine 72cm2, 96cm2, 48cm2.Zapremina prizme je:

ab

c

H=12cm

�

�

A háromoldalú hasáb oldallapjainak területei sorban: 72cm2, 96cm2, 48cm2. A hasáb térfogata:

� ��%��32 15 cm3;�� %�� 1534 cm3;�� %�� 1536 cm3. �

�� Koli�nik geometrijskog niza, �iji je prvi �lan 1, a šesti �lan 1024 jeste broj:

a1=1, a6 = 1024, q =? �

A mértani sorozat els� tagja 1, a hatodik pedig 1024. A sorozat hányadosa:

� ��%��q = 6;�� %��q = 4;�� %��q = 2;��

93

�J$B$�=��,�#$9��F:��

�

��a

x

ax

−

−

5

55

22

.55

)5)(5(

5

55

25 22

axax

axax

ax

ax

+=−

+−=

−

−

= �� %�

�

��5

18

22=

−+

+ x

x

x

x nakon množrnja jedna�ine sa 5(x–2)(x+2), pri �emu je x≠±2

)2)(2(18)2(5)2(5 +−=++−� xxxxxx �−=� 721810 22 xx

.3,39 212 −==�=� xxx Prema tome postoje dva rešenja..� � � � �%�

�

&�� Rešenja su (2,3) i (3,2). Obe ta�ke pripadaju I kvadrantu.� � � � � �%��

�� Iskoristimo identi�nost: x

x log

110log = . Dobija se kvadratna jedna�ina po log x.

4log2x –5logx +1=0. Rešnja su: log x = 1, log x =

4

1. To zna�i: x1=10, x2= 4 10 .� �� %�

�

'�� Trougao ABD je jednakokraki (pošto je i ugao ∠BAD = 300), sledi BD = AB = 3 .

Otuda je x = .2

3

2

33

2

3=

⋅=

AB� � � � � � � � �%�

(�� Prostom proverom se uo�ava da je jedna�ina istinita u datom intervalu jedino za 4

3�.��%�

�� Jedna�ina normale kroz ta�ku A na datu pravu je: y – 4 = –1(x – 1), odnosno: x + y – 5 = 0. Presek date prave i dobijene normale je rešenje sistema jedna�ina: x + y – 5 = 0, x – y + 2 = 0.

Taj presek je ta�ka ��

��

�

2

7;

2

3S . Ova ta�ka je sredina duži, �ija druga krajnja ta�ka jeste

simetri�na slika ta�ke A(1; 4) u odnosu na datu pravu. Koristimo poznate formule za izra�unavanje koordinata središta duži. Ako je A'(x1; y1), tada se dobija:

22

3

2

11

1 =�=+

xx

i 32

7

2

41

1 =�=+

yy

, to jest: A' (2; 3) .� � � � �%�

)�� Poluose elipse su a = 2 i b = 3, dok polupre�nik kružnice je r = 4. Obe linije su sa centrom u koordinatnom po�etku, prema tome elipsa se cela nalazi u krugu koji je oivi�en datom kružnicom. Prema tome, linije nemaju zajedni�kih ta�aka.�� %��

*�� Pretpostavimo, da je aH = 72cm2, bH = 96cm2, cH = 48cm2. Pošto je H = 12cm, sledi:

� a = 6cm, b = 8cm, c = 4cm. Heronovim obrascem se izra�una površina baze B = 135 cm2,

ili B = 153 cm2. Otuda je zapremina prizme V = BH = 12⋅ 153 = 1536 .� �� %��

�� Pošto je 411024 5516 =�⋅=�= qqqaa .� � � � � � �%�

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

94

�

��B��!$C��D��B��E;�!��*��'��

�

�

�"�;�F��#G�"��7��'��*��

�

�� !��"�#�!$#�!��$��#��7�H!7��"�9��#�!$#�!��:;<��






�

�

Σ��

�

�� Skra�eni oblik datog izraza je: ��

��

�

++

++

��

��

�

+−

++

3

2

1

1:

3

1

1

2

x

x

xxx

x��


� �%��;�� %�� ;�� %��x. ��

��Broj realnih rešenja date jedna�ine je:

15 =−+ xx ��

Az adott egyenlet valós gyökeinek száma:

� �%�� ;�� %��;�� %��. ��

&�� Kojem kvadrantu pripadaju ta�ke �ije su koordinate date rešenjima sistema jedna�ina:

325

655

−=+

=+

yx

yx

�

�

Melyik síknegyedhez tartoznak a pontok, amelyek koordinátái az egyenletrendszer megoldásai?

� �%��LLL;�� %��LL;�� %��L. ��

��Rešenje date logaritamske jedna�ine je:

02log2log 222 =−+ xx �

�

A logaritmusos egyenlet megoldása:

� �%��

��

4

1,2 ; �� %��{ }2,1 − ;�� %��{ }4,2 . �

�

95

��

'�� Koliki je zbir vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α ?.

3

3ctg −=α ,

3

22

πα π< <

sinα + cosα + tgα = ?�

�

Mekkora az α szög többi trigonometriai függvényének összege?

� �%� 32

3

2

1++ ;�� %�� 3

2

3

2

1+− ;�� %�� 3

2

3

2

1−− . �

(�� Najmanje pozitivno rešenja date trigonometrijske jedna�ine je:

0coscossin2 =− xxx ��

Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyöke:

� ��%��2

�;�� %��

6

�;�� %��

3

�. �

�� Površina trougla odre�enog pravama p i q i osom Ox je: p: 3x – y + 4 = 0

q: x + y – 4 = 0�

A p és q egyenesekkel valamint az Ox tengely által körühatárolt háromszög területe:

� ��%��0��;�� %��;�� %��M��. �

)��Broj zajedni�kih ta�aka elipse i kružnice je:

2544

364922

22

=+

=+

yx

yx�

�

Az ellipszis és a kör közös pontjainak száma:

� ��%�� ;�� %��;�� %��-��

*��Zapremina kocke je V1 = 24 3 cm3. Površina lopte opisane oko te kocke je:

a

D=2R

�

�

A kocka térfogata V1 = 24 3 cm3 . A kocka köré írt gömb felszíne:

� ��%��48πcm2;�� %��36πcm2;�� %��24πcm2. �

�� Zbir svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000 je:

1 + 3 + 5 + ... + 999 = ? �

Az 1000-nél kisebb páratlan természetes számok összege:

� ��%�� ;�� %�� ;�� %�� ;��

96

��

J$B$�=��,�#$9��F:��

��

��

�

++

++

��

��

�

+−

++

3

2

1

1:

3

1

1

2

x

x

xxx

x=

++

++++

++

+−++=

)3)(1(

)2)(1()3(:

)3)(1(

)1()3)(2(

xx

xxx

xx

xxx�

� .154

54

223

1652

2

2

2

=++

++=

+++++

−−++=

xx

xx

xxxx

xxx�� %�

�

�� 15 =−+ xx ( )215 xx +=+� �++=+� xxx 215

.4242 =�=�= xxx To je jedino rešenje, drugo rešenje ne postoji.� � �%��

&�� Rešenja su (–1,–2) i (–2,–1). Obe ta�ke pripadaju III kvadrantu.� � � � �%��

�� To je kvadratna jedna�ina po log2x: 02loglog 222 =−+ xx .

Rešnja su: log x2 = 1, log2 x = –2. To zna�i: x1=2, x2=4

1.� �� %�

�

'�� Za ugao 3

22

πα π< < je: .

2

3sin,

2

1cos,3tan,

3

3cot −==−=−= αααα � � �%�

(�� Prostom proverom se uo�ava da je najanji pozitivan koren 6

�.�� %�

�� Prave se seku na osi Oy u ta�ki (0, 4). Prava p se�e osu Ox u ta�ki ��

��

�− 0,3

4, dok prava q

se�e osu Ox u ta�ki (4, 0): Sledi: imamo trougao �ija je osnovica a =3

16

3

44 =+ , a visina

h = 4. Otuda površina trougla je .3

32

2

43

16

2=

⋅=

⋅=∆

hap � � � � � �%�

)�� Poluose elipse su a = 2 i b = 3, dok polupre�nik kružnice je r = 5/2. Obe linije su sa centrom u koordinatnom po�etku, prema tome elipsa u 4 ta�ke se�e kružnicu.� � � �%��

*�� Pošto je 331 324== Va , D=a 3 = 3 6232332427324 6 6623 =⋅=⋅=⋅⋅= ,

sledi R = 3cm. Površina lopte je Pl=4r2π=36πcm2. � �� %�

�

�� Uo�iti, da je to aritmeti�ka progresija sa a1=1, an=999, gde je n = 500. Zbir prvih 500 neparnih prirodnih brojeva je

( )nn aan

S += 12� ( ) 25000010002509991

2

500500 =⋅=+=S .� � � � �%�

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

�

97

��

��B��!$C��D��B��E;�!��&��(��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��7��(��(�&��

�

�� !��"�#�!$#�!��$��#��7�H!7��"�9��#�!$#�!��:;<��






�

�

Σ��

�

�� Skra�eni oblik datog izraza je: =��

�

��

�+��

�

��

�−

yxx

y

y

x 11: ��


� �%��x–2y;�� %�� x – y;�� %��2x+ y. ��

��Zbir svih realnih rešenja date jedna�ine je:

087 36 =−− xx ��

Az adott egyenlet valós gyökeinek összege:

� �%��;�� %��,�;�� %�� . ��

&�� Rešenja date eksponencijalne jedna�ine pripadaju intervalu:

xxx 121213 1 += −�

�

Az adott exponenciális egyenlet megoldásai a következ� intervallumhoz tartoznak:

� �%��(–5, 1);�� %��[–5, 1);�� %��(–5, 1]. ��

�� Ako je a rešenje date logaritamske jedna�ine, tada je zadovoljen uslov:

203loglog)83(log 555 =++ xx �

�

Ha x a logaritmusos egyenlet megoldása, akkor teljesül a következ� feltétel:

��%��

�� −−∈ 7,

3

29x ; � �%� 492 =x ;�� %��x = 0. �

��

98

'�� Data trigonometrijska jednakost je: a) istinita; b) neistinita; c) ne znam.

ooo 15sin75sin45sin −= ��

Az adott trigonometrikus egyenl�ség: a) igaz; b) hamis; c) nem tudom.

� �%�� %��⊥�� %��K �

(�� Broj rešenja date trigonometrijske jedna�ine u intervalu [0, π] je:

xx 2sin5cos =− -��

Az adott trigonometriai egyenlet gyökeinek száma a [0, π] intervallumban:

� ��%��1; � ��%��5; �� % 0. �

�� Date su koordinate temena trougla ABC.

Koordinate težišne ta�ke T datog trougla su: A(5; 5), B(–2; 6), C(–4; 2).��

Adottak az ABC háromszög csúcspontjai. A háromszög T súlypontjának koordinátái:

� ��%�� ;�� %��

��

�

3

13;

3

1T �;�� %��

�

��

�−2

13;

3

1T - �

)��Koordinate ta�ke C, centra date kružnice su:

-��

Az adott kör C középpontjának koordinátái:

� ��%�C(–3, –2);�� %��C(3, –2);�� %��C(–3, 2). �

*��Neka je dužina ivice pravilnog tetraedra

a = 2 , a duž EF spaja sredine dveju nesusednih ivica. Dužina EF je:

�4

�

8

B

N

�

�

�

��

��

��

�

�

A szabályos tetraéder élhossza.a = 2 , az EF szakasz a szemközti (nemszomszédos) élek felez�pontjait köti össze. EF hosszúsága:

� ��%��EF =1;�� %�EF = 2 ;�� %��EF = 3 . �

�� Vrednost datog izraza je: .......2222 =

�

Az adott kifejezés értéke:

� ��%�� ;�� %�� ;�� %��;��

�

��

��

�−3

13;

3

1T

0104622 =+−++ yxyx

99

��

��B��!$C��D��B��E;�!��&��(��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��7��(��(�&��

�

�� !��"�#�!$#�!��$��#��7�H!7��"�9��#�!$#�!��:;<��

�

��

J$B$�=��,�#$9��F:��

�� =��

��

�+��

�

��

�−

yxx

y

y

x 11: yxyx

xy

xy

yxyx

xy

xy

xy

yx−=

+⋅

+−=

+− ))((:

22

�%

�� 087 36 =−− xx ,

11,281,8087 32

3121

23 −=−===�−==�=−−�= xxtttttx . Pri korenovnaju su uzeti u obzir samo realni koreni. Zato, odgovor na postavljeno pitanje je: .1)1(221 =−+=+ xx � � � � � � � � � �%��

� &�� xxx 121213 1 += − . Ako podelimo jedna�inu sa 12x imamo: 12

1312

12

1112

12

13 1 =+=+= −x

x

.

Iz te jedna�ine neposredno sledi: x = 1, tojest: x ∈(–5, 1]. �%�� 203loglog)83(log 555 =++ xx .20383203log)83(log 2

55 =+�=+� xxxx

Rešenja kvadratne jedna�ine ��

��

−=−⋅−±−

==−+3

29

7

6

)203(12648:su 020383

21

2 xxx .

O�evidno, polaznu jedna�inu zadovoljava samo x = 7, jer za negativne brojeve logaritam nije definisan. �%��

� '� ooo 15sin75sin45sin −= . Pošto je 2

sin2

cos2sinsinβαβα

βα−+

=− ,

za α=75o i β=15o jednakost je istinita, jer je:�

ooo

oooooo

45sin2

2

2

1

2

2230sin45cos2

2

1575sin

2

1575cos215sin75sin

====

=−+

=− ��

�� ! xx 2sin5cos =− - Iz date jedna�ine sledi, da bi trebalo biti zadovoljen slede�i zahtev: 5sincos 2 =− xx -�O�evidno, to nije mogu�e, jer je i sin2

x i cosx uvek manji od 1, te njihova razlika ne može biti 5. Jedna�ina uopšte nema rešenja pa ni u intervalu [0, π].�"��

100

�

� #! Koordinate težišta trougla su: ( ) ��

��

� ++++=

3,

3, 321321 yyyxxxyx TT . U datom

slu�aju su te koordinate:� ��

�� $! Jedna�ina se svodi na ( ) ( ) 323 22 =−++ yx . Otuda se zaklju�uje, da je centar date kružnice ta�ka C(–3, 2). "�� %! Pošto je ta duž normalna na te ivice, njenu dužinu ra�unamo pomo�u Pitagorine teoreme iz trougla AFE. Prav ugao je kod ta�ke E, prema tome EF

2 = AF2 – AE

2. S obzirom na to, da je AF visina jednakostrani�nog trougla, AE je pak polovina ivice, imamo:

14

2

4

6

2

2

2

3222

2 =−=��

��

�−�

��

��

� ⋅=EF . � ��

�

� &'!�1. na�in:� .......2222 =x. Nakon kvadriranja imamo 2 .......2222 =x2, to jest

2x = x2, odnosno x = 2.

2. na�in: .......2222...

8

1

4

1

2

1

8

1

4

1

2

1

2....222+++

=⋅⋅= . U izložiocu imamo zbir

beskona�nog

geometrijskog reda: 1

2

11

2

1

...8

1

4

1

2

1=

−=+++ , pa je rezultat i ovako 2. �%��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

�

�

��

��

�−3

13;

3

1T

0104622 =+−++ yxyx

101

��

��B��!$C��D��B��E;�!��*��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��7��(��*��

�

�� !��"�#�!$#�!��$��#��7�H!7��"�9��#�!$#�!��:;<��






�

�

Σ��

�

�� Za date izraze A i B važi tvr�enje:

.2322

,2421

+=

+=

B

A�

�

Az adott A és B kifejezésekre fennáll:

� �%��A<B;�� %�� A>B;�� %��A=B. ��

��Ako su x1 i x2 koreni date jedna�ine, tada je:

0156 2 =+− xx ��

Ha x1 és x2 az adott egyenlet gyökei, akkor:

� �%��x1 + x2 = 6

1;�� %��x1 + x2 = –

6

5;�� %��x1 + x2 =

6

5 . �

�

&�� Rešenje date eksponencijalne jedna�ine pripada intervalu:

11 4455 −− ++= xxxx�

�

Az adott exponenciális egyenlet megoldása a következ� intervallumhoz tartozik:

� �%��(2, 3);�� %��[2, 3);�� %��(2, 3]. ��

�� Ako je ure�eni par (x, y) rešenje datog sistema jedna�ina, tada je zadovoljen uslov:

3loglog

90

=+

=−

yx

yx�

�

Ha az (x, y) számpár az egyenletrendszer megoldása, akkor teljesül a következ� feltétel:

��%��x+ y = 101; � �%�x+ y = 110;�� %��x+ y = 111. ��

102

�

'�� Vrednost datog izraza je: (Bez upotrebe pomo�nih sredstava)

=+ oo 75cos105cos ��

Az adott kifejezés értéke: (Segédeszközök használata nélkül)

� �%�� 0 ; � �%��1 ; � �%��0,5 . �

(�� Broj rešenja date trigonometrijske jedna�ine u razmaku [0, 2π] je:

0sin2cos2 2 =+− xx -��

Az adott trigonometriai egyenlet gyökeinek száma a [0, 2π] intervallumban:

� ��%��1; � ��%��2; �� % 3. �

�� Date su koordinate temena trougla ABC. Dužina težišne duži koja ishodi iz ta�ke A je:

A(5; 5), B(–2; 6), C(–4; 2).��

Adottak az ABC háromszög csúcspontjai. Az A pontból kiinduló súlyvonal hossza:

� ��%�� 64=at ;�� %�� 65=at �;�� %�� 66=at - �

)��Pre�nik date kružnice je:

-��

Az adott kör átmér�jének hossza:

� ��%� 10 ;�� %�� 11 ;�� %�� 12 . �

*��Oko pravilne trostrane prizme osnovne ivice a i visine H opisan i u nju i upisan valjak. Odnos zapremina tih valjaka je: H

.�

.

rR aa

a �

�

A szabályos háromoldalú hasáb alapéle a, magassága H. A hasáb köré és a hasábba beírt hengerek térfogatainak aránya:

��%��V1 : V2 = 1 : 3; � �%�V1 : V2 = 1 : π;�� %��V1 : V2 = 1 : 4. �

�� Dat je �etvrti i dvanaesti �lan aritmeti�kog niza. Zbir prvih 40 �lanova tog niza je:

?,3,7 40124 === Saa�

Adott a számtani sorozat 4. és 12. tagja. A sorozat els� 40 tagjának összege:

� ��%�� 50 ;�� %�� 500 ; �� %�� –50. ��

�

0104622 =+−++ yxyx

103

��

��B��!$C��D��B��E;�!��*��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��7��(��*��

�

�� !��"�#�!$#�!��$��#��7�H!7��"�9��#�!$#�!��:;<��

�

��

J$B$�=��,�#$9��F:��

��.2322

,2421

+=

+=

B

A�

.506245232322222

,5042452424212212

2

⋅+=+⋅⋅+=

⋅+=+⋅⋅+=

B

A�A

2<B2 �A<B �%

��

��Po Vijetovom pravilu za korene kvadratne jedna�ine ax2+bx+c=0 važi:

a

bxx −=+ 21 .

U slu�aju jedna�ine 0156 2 =+− xx x1 + x2 = 6

5.� � � � � �%�

��

� &�� 11 4455 −− ++= xxxx � ��

��

� +=��

��

� −4

114

5

115 xx � 2

16

25

4

5=�= x

x

x

∈�[2, 3). �%��

��

� ��3loglog

90

=+

=−

yx

yx�

1000

90

=

+=

xy

yx� y

2+90y–1000 = 0�y1 =10, y2 =–100.

Negativno rešenje jedna�ine (zbog logaritma) se ne prihvata, pa je x=100, y =10, odnosno x + y = 110. �%��

� '� Pošto je 2

cos2

cos2coscosβαβα

βα−+

=+ , za α=105o i β=75o imamo:�

015cos90cos22

75105cos

2

75105cos275cos105cos oo

oooooo ==

−+=+ . ��

�� ! 0sin2cos2 2 =+− xx � ( ) 01sin01sin2sin 22 =+�=++ xxx , tojest sin x= –1-

U datom intervalu jedna�ina je zadovoljena samo za 2

3π=x . Broj rešenja 1.� � ��

�� #! Koordinate sredine duži BC su: A1(–3, 4). Duž t = AA1 = 65=at .� � � (��

104

�� $! Jedna�ina se svodi na ( ) ( ) 323 22 =−++ yx .

Polupre�nik date kružnice je 3 , dok je pre�nik 2 123 = . "�� %! Pošto je odnos polupre�nika osnove ovih valjaka je r:R = 1:2, sledi: odnos površina baznih krugova B1 : B2 = 1 : 4. Pošto su visine jednake, zato je i V1 : V2 = 1 : 4� "�� &'!� Na osnovu datih brojeva imamo sistem jedna�ina:

a1+3d = 7 i a1+11d = 3. Iz toga se izra�unava .50,2

17,

2

1401 −==−= Sad �%��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

�

0104622 =+−++ yxyx

105

��

��!$C��D��B��E;�!��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��

�

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��






�

�

Σ��

�

��Skra�eni oblik datog izraza je (uslov):

a

aa

55

2

−−

��

A kifejezés egyszer�sített alakja (feltétel):

� �%�� 1,5

≠aa

� �� %�� 5,5

≠aa

�� %�� 0,5

≠aa

��

��Realno rešenje date jedna�ine:

223 =−−− xx ��

Az adott egyenlet valós megoldása:

� �%��O�� %��P�� %��,)�(��#�+&�I�,) �'?#)!&�. ��

&�� Rešenja date kvadratne jedna�ine su realni brojevi, ako parametar a ima vrednost:

042 =++ axax ��

Az adott másodfokú egyenlet gyökei valós számok, ha az a paraméterre igaz hogy:

� �%�� a�QR�R � �%��aPR�R� � �%��a�S�R�R ��

��Proizvod korena date eksponencijalne jedna�ine je:

10)33(3 =+ − xx�

�

Az adott exponenciális egyenlet gyökeinek szorzata:

��%��I� � �%�� %��

106

'�� Vrednost datog logaritamskog izraza je:

( )72007 20072007log ⋅ ��

Az adott logaritmusos kifejezés értéke:

� �%��7

1� �%��

7

8� �%��7 �

(�� Ako je 2

0π

α << i 2

0π

β << i važe dati

uslovi, vrednost )sin( βα + je: 2

1sin =α ��

5

3cos =β �

�

�

Ha 2

0π

α << és 2

0π

β << akkor az adott

feltételekkel )sin( βα + értéke:

��%��10

343 +��%��

10

343 −��%��

10

343 −−�

�� Koliko rešenja ima data trigonometrijska jedna�ina u razmaku ],0[ π :

01sin3sin2 2 =++ xx ��

Az adott trigonometrikus egyenlet ],0[ πintervallumhoz tartozó megoldásainak száma:

� ��%�� %�� %��

)�� Dužina tetive kružnice, koja pripada datoj pravoj je:

04

1622

=−+

=+

yx

yx�

�

A kör húrjának a hossza, amely az adott egyeneshez tartozik:

� ��%�� %�� 24 � � �%�� 34

*�� "Mala" kocka ima telesnu dijagonalu D1

jednaku sa bo�nom dijagonalom d2 "velike" kocke. Odnos površine "male" kocke i "velike" kocke je P1 : P2 = D1

a1 a2

d2

�

�

A "kissebb" kocka testátlója D1 egyenl� a "nagyobb" kocka d2 oldalátlójával. A "kis" kocka és a "nagy" kocka felszíneinek aránya: P1 : P2 =

� ��%��3 : 2�� %� 2 : 3�� %��2 : 2 �

�� Aritmeti�ki niz, �iji �lanovi zadovoljavaju date jedna�ine je:

15

96

38

1175

=−

=++

aa

aaa�

Az adott egyenleteket kielégít� számtani sorozat tagjai:

� �%��M��--- � �%��---�� %��0��--- �

107

��

��!$C��D��B��E;�!��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��

�

�� !��"�#�!$#�!��$��#��7�H!7��"�9��#�!$#�!��:;<��

�

��

J$B$�=��,�#$9��F:��

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

�

108

��

��!$C��D��B��E;�!��*��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��

�

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��






�

�

Σ��

�

�� Dati izraz nema smisla u slu�aju, ako je a =

9

2482

23

−

+

a

aa�

�

Az adott kifejezés nem értelmezett, ha a =

� �%�� %�� %��

��Za realno rešenje date jedna�ine važi:

2028 =+− x ��

Az adott egyenlet valós megoldására teljesül:

� �%�� ),2[ ∞−∈x �� %�� )2,( −−∞∈x �� %�� ∈x ∅. ��

&�� Rešenja date kvadratne jedna�ine nisu realni brojevi, ako parametar a ima vrednost:

0122 =++ axax ��

Az adott másodfokú egyenlet gyökei nem valós számok, ha az a paraméterre igaz, hogy:

� �%�� Q a�Q�� %�� Q�a P�� %�� P�a Q� ��

��Zbir korena date eksponencijalne jedna�ine je:

522 2 =+ −xx�

�

Az adott exponenciális egyenlet gyökeinek összege:

��%�� %��I� � �%��

109

�

'�� Vrednost datog logaritamskog izraza je:

( )322007 20072007log ⋅ ��


� �%��3

2� �%��

3

7� �%��

(�� Ako važe dati uslovi, vrednost )cos( βα − je: 5

4sin =α � �

�

��

� << παπ2

��

2

1cos −=β ��

�

��

� <<2

3πβπ �

�

Az adott feltételekkel )cos( βα − értéke:

��%��10

343 −��%��

10

343 +��%��

10

343 −−�

�� Koliko rešenja ima data trigonometrijska jedna�ina u razmaku ]2,[ ππ :

03cos5cos2 2 =−− xx ��

Az adott trigonometrikus egyenlet ]2,[ ππintervallumhoz tartozó megoldásainak száma:

� ��%�� %�� %��

)�� Dužina tetive kružnice, koja pripada datoj pravoj je:

05

2522

=+−

=+

yx

yx�

�

A kör húrjának a hossza, amely az adott egyeneshez tartozik:

� ��%��5 � �%�� 25 �� %�� 35

*�� Jednakostrani�na kupa (s1 = 2r1) i jednakostrani�ni valjak (H2 = 2r2) imaju iste visine: H1 = H2. Odnos njihovih zapremina je V1 : V2 =

s1

2r1

H1H2

2r2 �

�

Az egyenl�oldalú kúpnak (s1 = 2r1), és az egyenl�oldalú hengernek (H2 = 2r2) megegyezik a magassága: H1 = H2. Térfogataik aránya V1 : V2 =

� ��%��4 : 9�� %��9 : 4�� %��3 : 9 �

�� Aritmeti�ki niz, �iji �lanovi zadovoljavaju date jedna�ine je:

2975

482

25

64

=−

=+

aa

aa�

Az adott egyenleteket kielégít� számtani sorozat tagjai:

� ��%��M��---� � �%��M��---�� %��I��I��---��

��

110

��

��!$C��D��B��E;�!��*��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��

�

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

�

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

�

111

��

��!$C��D��B��E;�!��)��

�

�"�;�F��#G�"��"��7��)��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

Zaokružiti jedno ili dva od slova �%I��%I��%�ili�2% ispred onih odgovora koje smatrate ispravnim.

Od ponudjena �etiri odgovora UVEK SU TA�NA DVA ODGOVORA!

---------------------------------------- Ako zaokružite više od dva odgovora = minus 1 bod!

-------------------------------------- Ako je zaokružen samo jedan ispravan odgovor, tada se

vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------

Ako su zaokružena dva odgovora, od kojih je jedan ispravan, a dugi neispravan, vrednujemo sa 2 boda.

-------------------------------------- Ako su zaokružena ta�no dva ispravna odgovora,

vrednujemo sa 6 bodova. --------------------------------------

Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda.

------------------------------------- UKUPNI MOGUI BROJ BODOVA JE 60.

Karikázzon be egy vagy két bet�t az �%I��%I��%�és�2%bet�k közül, amelyek a véleménye szerint a helyes válaszokat jelölik. A felkínált lehet�ségek között.

MINDIG KÉT HELYES VÁLASZ VAN! -----------------------------------

Ha több mint két bet�t karikáz be = mínusz 1 pont! ------------------------------------

Ha egyetlen választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük.

------------------------------------ Ha két választ karikázott be, és az egyik jó, a másik rossz, akkor 2 ponttal értékeljük .

------------------------------------ Ha két választ karikázott be és mindkett� jó,

akkor 6 pont a feladat értéke. ---------------------------------------

Ha csak téves választ (vagy válaszokat) karikázott be, illetve ha nics bekarikázott válasz, akkor 0 pont jár.

------------------------------------- AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET


�

Σ��

�� Uproš�ena vrednost datog izraza je: 5 5

5 5

a a

a a

+ −− =

− +��


��%��2

20

25

a

a −�� %��

2

20

25a −��%�

( )( )20

5 5

a

a a− +��2%��

( )( )5 5

a

a a− + �

�� Uproš�ena vrednost datog izraza je: 7

8·aa a a−

= ��


��%��1 �� %�� 1a �� %�� 0 ��2%�� 0a �

&�� Ako su x i x rešenja date jedna�ine, tada važi:

( )2 2 1x x= − ��

Ha x és x az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

��%�� 1 2 2x x+ = ��%�� 1 2 2x x i− = ��%�� 1 2 2x x i+ = − ��2%�� 1 2 2x x+ = − �

��Rešenje date jedna�ine nalaze se u skupu: 2 403·55 1xx − =+ �

�

112

Az egyenlet megoldása a következ� halmazhoz tartozik:

��%�� {1,2,4}A = ��%�� {2,3, 4}B = �%� {1,3,4}C = ��2%� {2,4,5}D = �

'��Ako je 0x rešenje date logaritamske jedna�ine, tada važi:

( )( )3 3log 5 4log 1 2x+ − = ��

Ha a logaritmusos egyenlet megoldása 0x , akkor fennáll:

��%�� ( )0 2,5x ∈ ��%�� ( )0 3,6x ∈ �� %�� ( )0 4,7x ∈ ��2%�� ( )0 1,4x ∈ �

(��Bez kalkulatora izra�unata vrednost izraza je: 7

·cos s7

co ins10

·sin5 10 5

π π π π+ = ��

A kifejezés segédeszközök nélkül kiszámított értéke:

��%��1

2 ��%�� cos

2

π��%�� 0 �� 2%�� cos

3

π �

�� Najmanje pozitivno rešenje 0x trigonometrijske

jedna�ine zadovoljava uslov 0x ϕ> , gde je: 2sin 5 1 0x − = �

�

Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére 0x -ra teljesül: 0x ϕ> , ahol:

��%��41

400ϕ = ��%��

11

100ϕ = ��%��

21

200ϕ = ��2%��

31

300ϕ = �

)�� Data je jedna�ina kružnice �iji je centar ta�ka C , a polupre�nik r . Važe slede�a tvr�enja: 2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + = ��

Adott a C középpontú és r sugarú kör egyenlete. Igazak a követlez� állítások.

��%�� 4r = ��%�� (4;5)C ��%�� (5;4)C ��2%�� 5r = �

*�� Date su jednakoivi�na trostrana piramida i jednakoivi�na �etvorostrana piramida, dužine ivica a . Neka su 1P i 2P

površine, a 1V i 2V zapremine u datom redu. Važi:

�

�

Az egyenl�él� háromoldalú gúla és az egyenl�él� négyoldalú gúla élei a hosszúságúak. A testek felszíne 1P és 2P ,

térfogatuk pedig 1V és 2V az adott sorrendben. Igaz:

��%�� 1 2: 2 : 3V V = ��%� 1 2: 1: 2V V = ��% 21 2P P a− = ��2%� 3

1 2P P a− = �

�� Zbir tri broja, koji �ine geometrijsku progresiju je 12 . Ako se drugom broju doda 18 dobija se aritmeti�ki niz. Na�i te brojeve, i utvrditi koje tvr�enje je istinito: , ,a b c �

�

A mértani sorozatot alkotó három szám összege 12 . Ha a második számot 18 -al növeljük, akkor számtani sorozatot nyerünk. A kapott számokra igaz állítások:

��%�� 19a b+ = ��%�� 20a c+ = �%� 20a b+ = ��2%�� 2 4a b c+ + = �

113

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��2�

��

��

��

��

��2�

��2�

��

��2�

�

114

��

��!$C��D��B��E;�!��*��(��*��

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��(��*��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��





vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------
















�

Σ��

�� Skra�eni oblik datog algebarskog razlomka je: 3

2 2

9 3

2 1 1·

2 8 3

a a a

a a a a

− −=

− + +��

Az adott algebrai tört egyszer�sített alakja:

��%��0.2 �� %�� 2 ��%�1

2��2%�� 12− �

�� Ta�na vrednost datog izraza pripada intervalu: 4 4 2 2

1 8 3 13 · 3 · 1

4 13 7 6� � � � � � � �−� � � � � � � ��

= ��

Az adott kifejezés pontos értéke a következ� intervallumba esik:

��%��[ ]1,0 ;− �� %�� ( )1,1 ;− �� %�� [ 1,0)− ��2%�� (0,1] �

&�� Ako su celi brojevi x i x rešenja date jedna�ine, tada važi:

2 211 11 42x x+ + + = ��

Ha x és x egész számok az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

��%�� 1 2x x= ��%�� 1 2x x= ��%�� 1 2 10x x+ = ��2%�� 1 2 20x x+ = �

115

��Rešenje date jedna�ine nalaze se u skupu:

1 17 6·7 5·7 14xx x+ −− =− ��


��%�� {1,2,4}A = ��%�� {2,3, 4}B = �%� {1,3,4}C = ��2%� {3, 4,5}D = �

'�� Ako je (bez kalkulatora izra�unata) vrednost datog izraza A , tada važi: 2 49

3 4

1log log 7

2log100 log log 64

A = + +

+ +��

Ha a kifejezés (segédeszközök nélkül kiszámított) értéke A , akkor teljesül:

��%�� ( )4,8A∈ ��%�� ( )1,5A∈ �� %�� ( )3,7A∈ ��2%�� ( )2,6A∈ �

(��Ako važe dati uslov za ugao α , tada je: 5

,13

c2

osπ

α α π= − < < ��

Ha α szög kielégíti az adott feltételeket, akkor igaz:

��%��169

60t ctggα α+ = − ��%

60

169t ctggα α+ = − ��%�

169·coi ss

60n α α = − ��2%�� 60

·coi s1

s69

n α α = − �

�� Najmanje pozitivno rešenje 0x trigonometrijske

jedna�ine zadovoljava uslov: ·cos 24sin 2 01x x + = �

�

Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére 0x -ra teljesül:

��%�� 0

3 5

24 24x

π π< < ��%�� 0

4 6

24 24x

π π< < ��%� 0

5 7

24 24x

π π< < ��2%�� 0

6 8

24 24x

π π< < �

)�� Ako je ta�ka C centar, a r polupre�nik date kružnice, tada za ta�ke ,A B i C važi:

( ) ( )

2 2 4 2 4

1,1 , 3, 1

x

A

y y

B

x =− −

−

+��

Ha C az adott kör középpontja, r pedig a sugara, akkor ésCpontra teljesül:

��%�� AC r≤ ��%�� AC r> ��%�� BC r≤ ��2%�� BC r> �

*��Jednakoivi�na prava trostrana prizma ima zapreminu 1V , dok

zapremina jednakoivi�ne prave �etvorostrani�ne piramide je 2V .

Ako su ivice tih tela iste dužine a ,tada je istinito tvr�enje:

�

�

Az egyenl�él� háromoldalú hasáb és az egyenl�él� négyoldalú gúla

élei a hosszúságúak. A testek térfogata 1V és 2V az adott

sorrendben. Teljesül a következ� állítás:

��%�� 1

2 22

33V

V= ��%� 1

2 32

23V

V= ��% 1

2 24

39V

V= ��2%� 1

2 34

29V

V= �

�� Koja tvr�enja su ta�na za �lanove aritmeti�kog niza zadatog sistemom jedna�ina? 5 7 11

8 3

96

15

a a a

a a

+ + =

− = ��

A mellékelt egyenletrendszerrel adott számtani sorozat tagjaira vonatkozó állítások közül igazak:

116

��%�� 1 2 26a a+ = ��%�� 1 2 27a a+ = �%� 2 3 33a a+ = ��2%�� 3 4 40a a+ = �

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��2�

��

��

��

��2�

��2�

��2�

��

��2�

��

�

117

��

��!$C��D��B��E;�!��)��*��*��

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��*��)��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��





vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------
















�

Σ��

�� Skra�eni oblik datog algebarskog razlomka je: 2 2

3

2 2 8 8

2·

4

a a a a

a a a

+ − +=

− −��


��%��1

2�� %�� 2 ��%� 0.2 ��2%�� 4 �

�� Ta�na vrednost datog izraza pripada intervalu:

( ) ( ) ( )44

22

4 20

0

2 34 · 5 2 16 ·

3=

−−

� ��

�

�

Az adott kifejezés pontos értéke a következ� intervallumba esik:

��%��[ ]4,0 ;− �� %�� ( )5,5 ;− �� %�� [ 4,0)− ��2%�� (0,5] �

&�� Ako su x i x rešenja date jedna�ine, tada važi:

3 2 32 5 3x x− = ��

Ha x és x az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

��%�� 1 2 27x x+ < ��%�� 1 2 27x x+ > ��%�� 1 2· 3x x > ��2%�� 1 2· 3x x < �

118

��Rešenje date jedna�ine nalaze se u skupu: 24 3 1 31

· 2 88

x−+ = ��


��%�� {1,2,4}A = ��%�� {2,3, 4}B = �%� {1,3,4}C = ��2%� {2,4,5}D = �

'��Ako je 0x rešenje date logaritamske jedna�ine, tada važi:

( ) ( )3 3log 1 log 3 1 0x x+ + + − = ��

Ha a logaritmusos egyenlet megoldása 0x , akkor fennáll:

��%�� ( )0 4, 1x ∈ − − ��%�� ( )0 1,6x ∈ − ��%�� 0 [0,7)x ∈ ��2%�� 0 [ 1,0)x ∈ − �

(��Pri datim uslovima za vrednost ( )cos α β+ važi:

5sin ,

13

0, , ,2

sin

2

α β

π πα β π

= =

� � � �∈ ∈� � � ��

��

Az adott feltételek mellett ( )cos α β+ értékére igaz:

��%�� ( )cos 0α β+ < ��% ( )cos 1α β+ = − ��%� ( )cos 1α β+ = ��2%�� ( )cos 0α β+ > �

�� Dva najmanja nenegativna rešenja 1x i 2x

trigonometrijske jedna�ine zadovoljava uslov: sin cos 1 sin ·cosx x x x+ = + �

�

Az adott trigonometriai egyenlet két legkisebb nemnegatív gyökére 1x és 2x -re teljesül:

��%�� 1 2 2x x

π+ = ��%�� 1 2 2

x xπ

+ > ��%� 1 2 2x x

π+ < ��2%�� 1 2· 0x x = �

)�� Ako je ta�ka C centar, a r polupre�nik date kružnice, tada za ta�ke ,A B i C važi:

( ) ( )

2 2 4 2 1 0

1,1 , 5,0A

x y x y

B

+ − − + =��

Ha C az adott kör középpontja, r pedig a sugara, akkor ésCpontra teljesül:

��%�� AC r≤ ��%�� AC r> ��%�� BC r≤ ��2%�� BC r> �

*�� Prava trostrana prizma ima u osnovi trougao sa stranicama , ,a b c . Visina joj je jednaka poluobimu baze. Za merni broj

površine P te prizme važi:

�

�

Az egyenes háromoldalú hasáb alapélei , ,a b c , magassága

H egyenl� az alaplap félkerületével. A test felszínének mér�száma P . Erre a számra teljesül:

��%�5400 5600P< < ��%�5500 5700P< < �%5600 5800P< < ��2%�5700 5900P< < �

�� lanovi jednog geometrijskog niza zadovoljavaju datu jedna�inu. Koja tvr�enja su ta�na za rešenje te jedna�ine?

3 96 812 1x…+ =+ + + ��

Egy mértani sorozat elemei kielégítik a következ� egyenletet. Mely állítások igazak az adott egyenlet megoldására?

��%�� 4 25a = ��%�� 6x a= �%� 8 665S = ��2%�� 7 381S = �

119

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��2�

��

��

��

��

��

��2�

��2�

��

��2�

�

120

�

��!$C��D��B��E;�!��*��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��(��*��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��





vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------

Ako su zaokružena ta�no dva ispravna odgovora, vrednujemo sa 6 bodova.

-------------------------------------- Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema

nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda. -------------------------------------

UKUPNI MOGUI BROJ BODOVA JE 60.




Ha egy választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük.




------------------------------------- AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET.


�

�

Σ��

�

�� Skra�eni oblik datog algebarskog razlomka je: 2 2

2 2

4 12 9

4 9

4 6·2 3

x xy y

xx

x

yy

y+ +=

−−+

��


��%��2; �� %�� 2x

y; ��%�

8

4; ��2%��

2y

x. �

�� Ta�na vrednost datog izraza je: 3 34 8 4 8− ⋅ + = ��

Az adott kifejezés pontos értéke:

��%�� 3 ; ��%�� 2;�� %�� 4 ; ��2%�� 2 . �

&�� Skup rešenja date nejedna�ine sadrži kao podskup i sve elemente navedenih skupova.

25 19 4 0x x− − + ≥ ��

Az adott egyenl�tleség megoldáshalmazához tartozik az

alább felsorolt halmazok mindegyik eleme is:

��%��1

45

x− ≤ ≤ ; ��%��1

45

x− ≤ < ; ��%� 4 1x− < < ; 2%��1 1

, ,10 2e

π −� � �

. �

121

�� Rešenja date jedna�ine zadovoljavaju uslov:

2 .x x+ = ��

Az adott egyenlet megoldásaira teljesül:

��%�� [ 1, 2)x ∈ − ��%� ( 1, 2]x ∈ − �%� � ( 1, 2)x ∈ − ��2%�� [ 1, 3)x ∈ − �

'��Rešenja date eksponencijalne jedna�ine zadovoljavaju uslov:

08264 =+⋅− xx ��

Az adott exponenciális egyenlet megoldásaira teljesülnek:

��%�� =+ 21 xx 2 ��%� =⋅ 21 xx 3 �%� � =+ 21 xx 3 �� 2%�� =⋅ 21 xx 2 �

(�� Vrednost broja A zadovoljava uslov:

( )34 22010log 2010 2010A = ⋅

�

�

Az A szám értéke kielégíti az alábbi feltételt:

��%�� ;3

14=A ��%� A=2010; �%� � );5,4(∈A ��2%�� ].4,3[∈A �

�� Pri datim uslovima za uglove α i β vrednost

X= ( )sin α β+ zadovoljava jednakost: sin

co

8, 0,

17 2

3 3) , , 2

2s

5(

πα α

πβ β π

� �= ∈� ��

� �= ∈� ��

��

Az α és β szögekre adott feltételek esetén

X= ( )sin α β+ értékére teljesül:

��%��X+1�49

85= ; ��%� X�

36

85= − ; �%�X�

36

85= ; �2%��X+1�

49

85= − . �

)�� Koordinate (x,y) prese�nih ta�aka date kružnice i prave zadovoljavaju uslov:

02

422

=+−

=+

yx

yx��

Az adott kör és egyenes metszésponjainak (x,y) koordinátáira

igaz:

��%�� x + y = 0 ��%��x + y = 2 �%� �x + y = 4�� 2%��x + y = –2 �

*�� Jednakoivi�na prava trostrana prizma ima površinu baze B. Površina P prizme je:

a

aa

a

a

aa�

Az egyenl�él� egyenes háromoldalú hasáb alaplapjának

területe B. A hasáb F felszíne:

��%�� 2272

39cm��

��

�+ ��%� 2

2

2739cm

+ ��%�� 232

39 cm�

��

��

�+ ��2%�� 245cm �

�� Dat je prvi �lan i koli�nik geometrijskog niza. Ako je zbir prvih n �lanova 765, tada za n važi:

1 3, 2.a q� � ��

Adott a mértani sorozat els� eleme és hányadosa. Ha az els�

n tag összege 765, akkor n-re érvényes, hogy:

��%�� n>7; ��%�� n<9; �%� n>8; ��2%��n<8; �

29 3

4B cm=

122

�

��!$C��D��B��E;�!��*��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��(��*��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

��

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

��2�

��2�

��2�

��

��

��2�

��

��

�

&!�( )

( )( )( )22 2

2 2

2 34 12 9

4 9

2 2 34 6· · 22 3 2 32 3 2 3

x yx y

x

x yx xy y

x y x y x xyy y

++ +=

−

− +−

=+ +−

. !��

"�!��

)!� ( )( )3 3 3 334 8 4 8 4 8 4 8 16 8 8 2− ⋅ + = − + = − = = . !��(�

"�!��

*!�� 25 19 4 0x x− − + ≥ ( ) 1 15 4 0 4 i .

5 5x x x x

� �⇔ − + − ≥ ⇔ ≥ − ≤� ��

!��

+�!��,! 2 .x x+ = Sledi: 22x x+ = , odnosno 2

1 22 0 2, 1x x x x− − = � = = − ,

medjutim samo x=2 zadovoljava datu jedna�inu. !��(�+�!��-! 08264 =+⋅− xx Za tx =2 imamo: 1,22,4086 2121

2 ==�==�=+− xxtttt . !��"�+�!��

! ( )34 22010log 2010 2010A = ⋅ (Rešenje:

3

14) !��

"�!��

#! Ako je sin cos(8 3 3

, 0, , ) , , 217 2 5 2

π πα α β β π� � � �= ∈ = ∈� � � �

� � � �,

tada važi: ( ) 46sin

85α β = −+ , jer je:

15 4cos , sin

17 5α β= = − , dok je

X= ( )sin sin co cos sinsα β α β α β=+ + ⋅⋅8 3 15 4 36

17 5 17·

5 85·

� �= + − = −� ��

. !��

(�!�

$!� �Kružnica i prava 02

422

=+−

=+

yx

yxseku se u ta�kama A(0, 2) i B(–2, 0), pa je

x + y = 2, ili je x + y = –2. !��(�+�!�

123

�

%!� P= 2272

39cm��

��

�+ = 23

2

39 cm�

��

��

�+ !��

"�!��

&'! Dat je prvi �lan i koli�nik geometrijskog niza. Ako je zbir prvih n �lanova 765, tada za n važi:

1

1 2 1765 3 2 1 255 2 256 8

1 2 1

n nn n

n

qS a n

q

− −= � = ⋅ � − = � = � =

− − !��

(�!�

�

124

��

��!$C��D��B��E;�!��'��*��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��'��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��





vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------

Ako su zaokružena ta�no dva ispravna odgovora, vrednujemo sa 6 bodova.

-------------------------------------- Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema

nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda. -------------------------------------

UKUPNI MOGUI BROJ BODOVA JE 60.




Ha egy választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük.




------------------------------------- AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET .


�

�

Σ��

�

�� Skra�eni oblik datog algebarskog razlomka je:

:1

·

1 a

a

b

a bb

� �+ =� ��

+��


��%��1; �� %�� a ; ��%� a b

b a

++

; ��2%��b. �

�� Ta�na vrednost datog izraza je: 13

8 33 2 24a a a⋅ ⋅ = ��


��%�� 6

5

a ; ��%�� a; �� %�� 5

5

a ; ��2%�� 5

6

a . �

&�� Skup rešenja date nejedna�ine sadrži kao podskup i sve elemente navedenih skupova.

� 22 10 0x x− − < ��

Az egyenl�tleség megoldáshalmazához tartozik az alább

felsorolt halmazok mindegyik eleme is:

��%��5

32

x− < < ; ��%��5

22

x− < < ; ��%�5 5

2 2x− < < ; 2%��

5, ,

2 2 2

eπ � �−� � ��

. �

�� Rešenja date jedna�ine zadovoljavaju uslov: 2 5 2.x x+ = + �

�

125

Az adott egyenlet megoldásaira teljesül:

��%�� 4 4x− < < ��%� 4 4x− < ≤ �%� �� 3 5x− < < �� 2%�� 5 3x− < < �

'��Rešenja date eksponencijalne jedna�ine zadovoljavaju uslov:

0273129 =+⋅− xx ��

Az adott exponenciális egyenlet megoldásaira teljesülnek:

��%�� =+ 21 xx 2 ��%� =⋅ 21 xx 2 �%� � =+ 21 xx 3 �� 2%�� =⋅ 21 xx 3 �

(�� Vrednost broja A zadovoljava uslov:

( )4 332009 20092009log ⋅=A ��

Az A szám értéke kielégíti az alábbi feltételt:

��%�� A=2009; ��%�� ;4

15=A �%� � );5,4(∈A ��2%�� ].5,3[∈A �

�� Dati su uslovi za ugao α. Pri tim uslovima za vrednosti X=

( )sin 2α i Y= ( )cos 2α važi: 4cos , ,

5 2

πα α π� �= − ∈� �

� ��

�

Az α szögre igazak az adott feltételek. Ezen feltételek mellett

X= ( )sin 2α és Y= ( )cos 2α értékeire teljesül :

��%� X=24

25− ; ��% Y=

7

25; ��%��X–Y=

7

25; �� 2%��X+Y=

24

25− . �

)�� Koordinate (x,y) prese�nih ta�aka date kružnice i prave zadovoljavaju uslov:

03

922

=+−

=+

yx

yx�

�

Az adott kör és egyenes metszésponjainak (x,y)koordinátáira igaz:

��%�� x + y = –3 ��%��x + y = 0 �%� �x + y = 3�� 2%��x + y = 6 �

*�� Jednakoivi�na prava trostrana prizma ima obim baze O = 15 cm. Površina P prizme je:

a

aa

a

a

aaO=15cm

�

�

Az egyenl�él� egyenes háromoldalú hasáb alaplapjának

kerülete O = 15 cm. A hasáb F felszíne:

��%�� 2125 3 cm ��%� ( ) 2362

25cm+ ��%�� 2105cm ��2%� 275

2

325cm��

��

�+ �

�� lanovi aritmeti�kog niza zadovoljavaju dati sistem jedna�ina. Koja tvr�enja su ta�na za taj niz?

1 5

7 3

8

12

a a

a a

+ =

− = �

�

Egy számtani sorozat elemei kielégítik az adott egyenlet-

rendszert. Mely állítások igazak erre a sorozatra?

��%� 1 1a d� � ; ��%� 1 3, 3a d� � ; �%� 1 1a d� � ; ��2%� 1 5a d� �� ; ��

126

��

��!$C��D��B��E;�!��'��*��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��'��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

��

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

��2�

��

��

��2�

��

��

��2�

��2�

�

&!� : · 1·

1 1 a b b a

a b ab

ab

a b a b

+� �+ =+

�� +� =

� !��

"��!�

)!�3 2 1 3 2 1313 13 24

8 33 2 8 3 8 8 24 2424 24 24a a a a a a a a a⋅ + +

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = . !�(�"�!��

*!�� 22 10 0x x− − < ( )5 52 2 0 2 ili .

2 2x x x x� �⇔ − ⋅ + < ⇔ > − <� ��

� � � � !�(�

+�!��

,! 2 5 2.x x+ = + Sledi: 22( 5) 4 4x x x+ = + + , odnosno 12

2 16 0 4x x− = � ± ,

medjutim samo x=4 zadovoljava datu jedna�inu. !�(�"��!��

-! 0273129 =+⋅− xx Za tx =3 imamo: 1,23,902712 21212 ==�==�=+− xxtttt .

!�(�"�!�

! ( )4 332009 20092009log ⋅=A (Rešenje:

4

15) !�(�

+�!�

#! Ako je 4

cos , ,5 2

πα α π� �= − ∈� �

� � za 2α važi: X= ( ) 24

sin 225

α = − , Y= ( ) 7cos 2

25α = jer je:

2 2 2 216 9 9 3sin 1 cos sin 1 sin sin sin

25 25 25 5α α α α α α= − � = − � = � = � = , dok je

( )sin 2 2sin cosα α α=3 4 24

25 5 25� �= ⋅ ⋅ − = −� ��

,

( ) 2 2cos 2 cos sinα α α= −2 2

4 3 7

5 5 25� � � �= − − =� � � ��

!��

(�!�

$! Kružnica i prava 03

922

=+−

=+

yx

yxseku se u ta�kama A(0, 3) i B(–3, 0), pa je

x + y = 3, ili je x + y = –3. !��"�!��

127

%!� P = ( ) 2362

25cm+ = 275

2

325cm��

��

�+ !�(�

+��!�&'! �lanovi aritmeti�kog niza zadovoljavaju sistem jedna�ina, tada zbog ( )1 1na a n d= + − važi:

( )

( )11 11 5 1 1

1 17 3

18 44 88 2 4 8 22

6 2 1212 4 12 12 3

4

a da a da a a d a

a d a da a d dd

= −+ + =+ = + = = −⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ − + =− = = ==

. !��

+��!��

128

�

��!$C��D��B��E;�!��)��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��(��)��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

Zaokružiti slovo �%I��%�ili��% ispred ta�nog odgovora.

Od ponu�ena tri odgovora SAMO JE JEDAN TA�AN!

---------------------------------------- Ta�no zaokružen odgovor vredi 6 bodova.

-------------------------------------- Neta�an odgovor i bez odgovora vredi 0 bodova.

---------------------------------------- UKUPNI MOGUI BROJ BODOVA JE 60.

Karikázza be az �%I��%�A�MN��% bet�t, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli.

A felkínált lehet�ségek között CSAK EGY HELYES VÁLASZ VAN!

----------------------------------- A helyes válasz 6 pontot ér.

------------------------------------ A téves válaszra és válasz nélküli kérdésre 0 pont jár.

------------------------------------ AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET.


�

�

Σ��

�

��Skra�eni oblik datog algebarskog izraza je: 3 2

2

1 3 3 3:

1 2 2

a a a

a a

− + +− +

��


�%2

3�%

2 2

3 3

a

a

+−

�%3

2 �

��Ta�na vrednost datog izraza je: 7

3 3 5 54 12 12a a b a b⋅ ⋅ ⋅ ��


�% 2a b �% 2ab �% ab �

&��Rešenje date jedna�ine je:

( ) ( )4 5 1 1

1 5 5 1

x

x x x x

++ =

+ ⋅ + + +��

Az adott egyenlet megoldása:

�%1

4�%

1

4− �%

2

3 �

129

�� Realna rešenja date jedna�ine su:

5 11 1x x− = − ��

Az adott egyenlet valós megoldásai:

�% 1 23, 4x x= = − �% 1 24, 3x x= = − �% 1 23, 4x x= = �

'��Rešenja datog sistema jedna�ina u skupu celih brojeva su: 2

2 2 10x y

y x− =

+ =��

Az adott egyenletrendszer egész számú megoldásai:

�% ( )1,3 �% ( )3,1 �% Ne postoji �

(��Vrednost datog logaritamskog izraza je:

2011

79log 3

22

log 3 49 log 49

2011 log 4 log 16

+ ⋅

+ +��


�% 20 �% 9 �% 3 �

�� Pri datim uslovima, ta�na vrednost izraza c 2s 2 no siα α+je: 4

, 0,c s5

o2

πα α � �= ∈� �

� ��

�

Az adott feltételek esetén, a c 2s 2 no siα α+ kifejezés pontos értéke:

�%31

25�%

17

25− �% 1 �

)��Kordinate ta�ke C , centra date kružnice su:

2 2 10 6 18 0x y x y+ − + + = ��

Az adott kör C középpontjának koordinátái:

�% ( )5, 3C − − �% ( )5, 3C − �% ( )5,3C − �

*�� Odnos dužina ivica jednog kvadra je 3: 4 :5 . Njegova

zapremina je 31620cm . Dužine njegovih ivica su:

�

�

Egy téglatest éleinek hossza úgy viszonyul egymáshoz, mint

3: 4 :5 . A téglatest térfogata 31620cm . Ennek a téglatestnek az éleinek hossza:

�% 9cm, 12 cm, 15 cm �% 4cm, 15 cm, 27 cm �% 5cm, 12 cm, 27 cm

�� Sedmi �lan aritmeti�kog niza je 27 , a jedanaesti �lan niza je 43 . Zbir prvih 20 �lanova niza je:

7

11

20

27

43

?

a

a

S

=

=

=

�

Egy számtani sorozat 7. tagja a 27 , a sorozat 11. tagja pedig a 43 . A sorozat els� 20 tagjának az összege:

�% 793 �% 79 �% 820 �

a

b

c

130

�

��!$C��D��B��E;�!��)��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��(��)��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

131

�

��!$C��D��B��E;�!��'��*��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��'��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

Zaokružiti slovo �%I��%�ili��% ispred odgovora kojeg smatrate ispravnim.





Karikázza be az �%I��%�A�MN��% bet�t, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli. A felkínált

lehet�ségek között CSAK EGY HELYES VÁLASZ VAN!





�

�

Σ��

�

��Skra�eni oblik datog izraza je:

2

8 121

9 4

a

a

−+

−��


�%2

2

9 12 4

9 4

a a

a

+ +−

�%3 2

3 2

a

a

−+

�%3 2

3 2

a

a

+− �

��Ta�na vrednost datog izraza je: 3 3

3 1 3· 27· 8 2 · 1

2 56

� � � �− −� � � ��

��


�% 0 �% 23 �% 11 �

&��Rešenje date jedna�ine je: 3 3 1

23 3 1

x x

x x

− −+ =

+ +��

Az adott egyenlet megoldása:

�%3

5− �% 3− �%

1

3− �

��

132

�� Realna rešenja date jedna�ine su:

2 5 10 8 2x x x− + = − ��

Az adott egyenlet valós megoldásai:

�% 6x = �% 3x = �% 1 26, 3x x= = �

'��Rešenja datog sistema jedna�ina u skupu celih brojeva su:

3·2 4

3

2 1x y

x y+ =

+ =��

Az adott egyenletrendszer egész számú megoldásai:

�% ( )1, 2 �% ( )2,1 �% ( ) ( )1, 2 , 2,1 �

(��Rešenje date logaritamske jedna�ine je:

2 4 16log 2·log 4·log 6x x x+ + = ��

Az adott logaritmusos egyenlet megoldása:

�% 2 �% 6 �% 4 �

�� Pri datim uslovima, ta�na vrednost izraza s 2n 2 si coα α+je: 4 3

s ,2o ,5 2

cπ

α α π� �= ∈� ��

��

Az adott feltételek esetén, a s 2n 2 si coα α+ kifejezés pontos értéke:

�%31

25�%

17

25− �% 1 �

)�� Površina trougla odre�enog pravama p , q i x -osom je: : 3

: 8

p y x

q y x

=

= − +��

A p és q egyenesekkel valamint az x -tengely által

körülhatárolt háromszög területe:

�% 24 �% 36 �% 48 �

*�� Odnos dužina ivica jednog kvadra je 2 : 3 : 4 . Njegova

zapremina je 3648cm . Dužine njegovih ivica su:

�

�

Egy téglatest éleinek hossza úgy viszonyul egymáshoz, mint

2 : 3 : 4 . A téglatest térfogata 3648cm . Ennek a téglatestnek az éleinek hossza:

�% 4cm, 6 cm, 27 cm �% 4cm, 9 cm, 18 cm �% 6cm, 9 cm, 12 cm

�� Šesti �lan aritmeti�kog niza je 17 , a dvanaesti �lan niza je 35 . Zbir prvih 40 �lanova niza je:

6

12

40

17

35

?

a

a

S

=

=

=

�

Egy számtani sorozat 6. tagja a 17 , a sorozat 12. tagja pedig a 35 . A sorozat els� 40 tagjának az összege:

�% 2380 �% 2420 �% 4840 �

a

b

c

133

�

��!$C��D��B��E;�!��'��*��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��'��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

��

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

134

�

��!$C��D��B��!JE��C��!EF�=�I��E;�!��

��

�

�"�;�F��#G�"��"��7��I��"�;�F��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��












�

�

Σ��

�

��Skra�eni oblik datog algebarskog izraza je: 2

2 2

4 4 2:

4 4 4

x x x

x x x

+ + +− − +

�Az adott kifejezés egyszer�sített alakja:

�% 1, 2x ≠ ± �% , 22x x− ≠ ± �% , 22x x+ ≠ ± �

��Za brojeve A i B važi: · 3 2 2

5 21· 5

3

1

2 2

2B

A +

= − +

= −�

Az A és B számokra érvényes:

�% 2· 3A B = �% 1A B− = �% : 2B A = �

&��Rešenje date nejedna�ine je:

20

3

3

x

x −≥

+�

Az adott egyenl�tlenség megoldása:

�%2

3,3

� �− �� % ( ] 2

,,3

3� �− ∪ +∞ ∞��

− ��

�%2

3,3

� �−� ��

�

��

Broj realnih rešenja date jedna�ine je:

4 2 6 1x x+ − − = �Az adott egyenlet valós megoldásainak száma:

�% 1 �% 0 �% 2 �

135

'��Rešenje date eksponencijalne jedna�ine je: 12 ·5 53 555 x xx ++ +− = ��

Az adott exponenciális egyenlet megoldása:

�% 0 �% 1�% nema rešenje - nincs megoldása �


2 5 3log 4 2log 25 lo 73 g 2− + �Az adott logaritmusos kifejezés értéke:

�% 5 �% 0 �% 7 �

��

Broj rešenja date trigonometrijske jedna�ine na intervalu

( )0, 2π je: ·co s n2si sn ix xx = �

Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a

( )0, 2π intervallumon:

�% 1 �% 2 �% 3 �

)��

Tetiva 1 2M M kruga k pripada pravoj koja sadrži ta�ku A i

normalna je na pravu p . Odrediti dužinu tetive 1 2M M . 2 2: 4 4 0k x y x y+ + − =

:p y x=

( )1, 1A − �Határozza meg a k kör 1 2M M húrjának hosszát, ha a húr

azon az egyenesen fekszik, amely mer�leges a p egyenesre

és áthalad az A ponton.

�% 1 2 4 2M M = �% 1 2 1M M = �% 1 2 2 16M M = �

*��

Dužina ivice kocke je a . Površina sfere upisane u kocku je UP .

Površina sfere opisane oko kocke je OP . Odrediti odnos površina

UP i OP .

�

A kocka élének hossza a . A kockába írt gömb felszíne BF . A

kocka köré írt gömb felszíne KF . Határozza meg a felszínek

:B KF F arányát.

�% 1 �%1

3�%

1

3

��

Zbir prvog i tre�eg �lana rastu�eg geometrijskog niza je 20 a zbir prva tri �lana je 26 . Na�i prvi �lan i koli�nik niza.

1 3

1 2 3

20

26

a a

a a a

+ =

+ + =A növekv� mértani sorozat els� és harmadik tagjának összege 20 , az els� három tagjának összege pedig 26 . Határozza meg a sorozat els� tagját és a hányadosát.

�% 1

118,

3a q= = �% 1 2, 3a q= = �% 1 3, 2a q= = �

a

a

a

Cr

R

136

�

��!$C��D��B��E;�!��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

137

�

��!$C��D��B��E;�!��(��*��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��*��(��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

Zaokružiti slovo �%I��%�ili��% ispred odgovora kojeg smatrate ispravnim.





Karikázza be az �%I��%�A�MN��% bet�t, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli. A felkínált

lehet�ségek között CSAK EGY HELYES VÁLASZ VAN!





�

�

Σ��

�

��Skra�eni oblik datog algebarskog izraza je: 2

2

4 4 2:

4 2

x x x

x x

+ + +− −

�Az adott kifejezés egyszer�sített alakja:

�% 1, 2x ≠ ± �% 2x − �% 2x + �

��Za brojeve A i B važi: · 4 7

6 11·

7

6 11

4

B

A +

= − +

= −�

Az A és B számokra érvényes:

�% 2A B− = �% 2A B+ = �% · 15A B = �

&��Rešenje date nejedna�ine je:

30

5

2

x

x +<

−�

Az adott egyenl�tlenség megoldása:

�%3

,52

� �−� �� %

3,5

2� �−� ��

�%3

,52

� �−� ��

138

�� Broj realnih rešenja date jedna�ine je:

2 2 3 1x x+ − − = �Az adott egyenlet valós megoldásainak száma:

�% 2 �% 1 �% 0 �

'��Rešenje date eksponencijalne jedna�ine je: 1 17 6·7 5·7 14xx x+ −− =− ��

Az adott exponenciális egyenlet megoldása:

�% 0 �% 7 �% 2 �


2 3 5log 8 2log 9 log 25− + �Az adott logaritmusos kifejezés értéke:

�% 1 �% 3− �% 9 �

��


( )0,π je: ·co c s2si sn ox xx = �

Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a

( )0,π intervallumon:

�% 1 �% 2 �% 3 �

)��

Odrediti ta�ke preseka 1P i 2P kružnice odre�ene sa centrom

C i polupre�nikom r sa pravom koja prolazi kroz ta�ke A i B .

( )

( ) ( )

2, 3

5

0,6 , 3,3

C

r

A B

−

= �Határozza meg a C középpontú és r sugarú kör 1P és 2P

metszéspontjait az egyenessel, amely áthalad az A és Bpontokon.

�% ( ) ( )1 20,6 , 3,3P P �% ( ) ( )1 26,0 , 5,1P P �% ( ) ( )1 20,6 , 5,1P P �

*��

Odrediti odnos zapremine upisane sfere UV i opisane sfere

OV kocke sa dužinom ivica a .

�

Határozza meg az a él� kockába írt gömb és köré írt gömb

térfogatainak BV és KV arányát.

�% 1 �%2

9�%

1

3 3

��

Zbir prvog i tre�eg �lana aritmeti�kog niza je 26 a proizvod drugog i �etvrtog je 195 . Odrediti prvi �lan i razliku niza.

1 3

2 4

26

195

a a

a a

+ =

=, 1 ?, ?a d= =

A számtani sorozat els� és harmadik tagjának összege 26 , a második és negyedik tagjának szorzata pedig 195 . Határozza meg a sorozat els� tagját és különbségét.

�% 1 12, 1a d= = �% 1 1, 12a d= = �% 1 6, 2a d= = �

a

a

a

Cr

R

139

�

��!$C��D��B��E;�!��(��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��(��

O J�;��%� J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��O J<;�%��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

140

�

��!$C��D��B��!JE��C��!EF�=�I��E;�!��

��&��

�

�"�;�F��#G�"��"��7��I��"�;�F��&��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��












�

�

Σ��

�

��Najjednostavniji oblik datog algebarskog izraza je: ( ) ( )2

2

0, , 0

:

0

x x y x yy

y x

x y x y

− −� �+ =� �

�

≠ ≠ − ≠� �

Az adott algebrai kifejezés legegyszer�bb alakja:

�%y

x�%

x

y�% x y− �

��Za date brojeve A i B vrednost izraza

2

AB je: 3 3

3 3

· 5 17

10 10

5

1· 10 10

7

1

1

B

A = − +

= − +�

Az A és B számokra az 2

AB kifejezés értéke:

�% 1− �% 0 �% 1 �

&��Skupu rešenja date nejedna�ine pripadaju brojevi:

23 2 1 0x x+ − ≤ �Az adott egyenl�tlenség megoldáshalmazához tartoznak a következ� számok:

�%1 1

, ,13 3

−� � �

�%2 2

, 1,3 3

− −� � �

�%1

1,0,3

−� � �

�

141

�� Broj rešenja date iracionalne jedna�ine je:

2 3 1 7 0x x− − + = �Az adott irracionális egyenlet megoldásainak száma:

�% 0 �% 1 �% 2 �

'��Sva rešenja slede�e jedna�ine pripadaju intervalu:

32 2 9x x−+ = ��

Az egyenlet minden megoldása a következ� intervallumba tartozik:

�% [ 5,1)− �% [ 5,5)− �% [1,5) �

(��Vrednost datog logaritamskog izraza je: ( )5 3

1log log ·9

23

5+ = �


�%1

2�% 1 �% 1− �

��


[ ]0,π je: 21

sin 4 sin 02

x x− + = �Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a

[ ]0,π intervallumon:

�% 1 �% 2 �% 0 �

)��

Odrediti ta�ke preseka 1P i 2P prave p i kružnice k , ako je

prava p normalna na pravu q i ako prolazi kroz ta�ku A . 2 2: 4k x y+ =

: 6q y x= − +

( )4,2A �Határozza meg a k kör és p egyenes 1P és 2P metszés-

pontjait, ha a p egyenes mer�leges a q egyenesre és áthalad

az A ponton.

�%( )( )

1

2

2,0

0, 2

P

P −�%

( )( )

1

2

2,0

0, 2

P

P

−�%

( )( )

1

2

0,0

2, 2

P

P −�

*��

Odrediti zapreminu kocke, ako je data njena prostorna

dijagonala 2 3D cm= .

�Határozza meg a kocka térfogatát, ha a testátlója

2 3D cm= .

�% 36cm �% 34cm �% 38cm

��

Zbir prva jedanaest �lana aritmeti�kog niza je 99− . Odrediti aritmeti�ki niz, ako zadovoljava datu jedna�inu 11

1 4

1

99

2 15

?, ?

S

a a

a d

= −

− =

= =A számtani sorozat els� tizenegy tagjának összege 99− . Ha a számtani sorozat tagjai eleget tesznek az adott egyenletnek, határozza meg a sorozatot.

�% 1 3, 6a d= − = �% 1 6, 3a d= = − �% 1 6, 3a d= − = − �

142

�

��!$C��D��B��E;�!��&��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��&��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

143

�

��!$C��D��B��!JE��C��!EF�=�I��E;�!��

�'��*��&��

�

�"�;�F��#G�"��"��7��I��"�;�F��&��*��'��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��












�

�

Σ��

�

��Najjednostavniji oblik datog algebarskog izraza je: ( ) ( )2

2

0, , 0

:

0

a a b a bb

b a

a b a b

+ +� �+ =� �

�

≠ ≠ + ≠� �

Az adott algebrai kifejezés legegyszer�bb alakja:

�%a

b�%

b

a�% 1 �

��Za date brojeve A i B vrednost izraza

2

A B+ je: 3 3

3 3

· 6 35

11 12

6

2· 11 12

5

2

3

B

A = − +

= + −�

Az A és B számokra az 2

A B+ kifejezés értéke:

�% 1− �% 0 �% 1 �

&��Skupu rešenja date nejedna�ine pripadaju brojevi:

22 5 3 0x x+ − ≥ �Az adott egyenl�tlenség megoldáshalmazához tartoznak a következ� számok:

�%1

3,0,2

−� � �

�% { }4, 3,0− − �%1

4, 3,2

− −� � �

�

144

�� Broj rešenja date iracionalne jedna�ine je:

5 1x x+ − = �Az adott irracionális egyenlet megoldásainak száma:

�% 4 �% 1 �% 0 �

'��Sva rešenja slede�e jedna�ine pripadaju intervalu:

22 2 5x x−+ = ��

Az egyenlet minden megoldása a következ� intervallumba tartozik:

�% [ 3,1)− �% [ 1,3)− �% [1,3) �

(��Vrednost datog logaritamskog izraza je: ( )2 3

1log ·8 log

92 + = �


�% 1.5 �% 0.5 �% 2 �

��


[ ]0,π je: 22

cos 2cos 6 03

x x+ − = �Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a

[ ]0,π intervallumon:

�% 0 �% 1 �% 2 �

)��

Odrediti ta�ke preseka 1P i 2P prave p i kružnice k , ako je

prava p paralelna sa pravom q i ako prolazi kroz ta�ku A . ( ) ( )2 2: 1 1 4k x y− + − =

: 3q y x= − −

( )2,2A − �Határozza meg a k kör és p egyenes 1P és 2P metszés-

pontjait, ha a p egyenes párhuzamos a q egyenessel és

áthalad az A ponton.

�%( )( )

1

2

1, 1

1,1

P

P

− −�%

( )( )

1

2

1,0

0,1

P

P�%

( )( )

1

2

1, 1

1,1

P

P

−

− �

*��

Odrediti površinu kocke, ako je data njena bo�na dijagonala

3 2d cm= .

�

Határozza meg a kocka felszínét, ha az oldalátlója

3 2d cm= .

�% 215cm �% 254cm �% 236cm

��

Zbir prva dva �lana geometrijskog niza je 9 . Odrediti geometrijski niz, ako zadovoljava datu jedna�inu. 2

2 1

1

9

3 2 12

?, ?

S

a a

a q

=

− =

= =A mértani sorozat els� két tagjának összege 9 . Ha a mértani sorozat tagjai eleget tesznek az adott egyenletnek, határozza meg a sorozatot.

2% 1 2, 3a q= = �% 1 6, 2a q= = P% 1 3, 2a q= = �

145

�

��!$C��D��B��E;�!��'��*��&��

�

�

�"�;�F��#G�"��"��7��&��*��'��

J�=$#�� !��"�#�!$#�!��$��$��L!$��"�9��#�!$#�!��:;<��

��

�

�� &� �� '� (� �� )� *� ��

��

��

˘ ˆ ˇ˙ ˇ ˝ ˛ ˛ ˚ - Fakultetifakulteti.edukacija.rs/testovi-za-prijemni/visoke-skole/...3...

Documents

Transcript of ˘ ˆ ˇ˙ ˇ ˝ ˛ ˛ ˚ - Fakultetifakulteti.edukacija.rs/testovi-za-prijemni/visoke-skole/...3...