康軒 國中數學 3下 課本ppt 1-2 二次函數的最大值、最小值
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搭配課本第 42頁
那麼,對於像 y=x2+6x、y=2x2+12x+9
這樣形如 y=ax2+bx+c (a≠ 0)的二次函數,
如果能以第三冊學過的配方法化成像
y=a(x-h)2+k這樣的式子,也就能掌握它
的圖形。接下來,我們以一些例題說明如何
利用配方法操作。
例 1 利用配方法求二次函數的圖形
(1)y=x2+4x 將 x2+4x加( 42 )2配成
完全平方式,再減( 42 )2 =x2+4x+22-22
=(x2+4x+22)-22
=(x+2)2-4 搭配課本第 42頁
Hint x2 ± px+( p2 )2=(x ± p2 )2
例 1 利用配方法求二次函數的圖形
其圖形是以直線 x+2=0為對稱軸,
(-2 , -4)為頂點,開口向上的拋物 線。
搭配課本第 42頁
二次函數 y=x2+4x利用配方法
可化成 y=(x+2)2-4,
描點後以平滑曲線依序把各點連接起來,
如下圖所示:
例 1 利用配方法求二次函數的圖形
搭配課本第 43頁
O x
y
( 1 , 3) ( 2 , 4)
x 2 0
( 3 , 3)
(0 , 0) ( 4 , 0)
例 2 利用配方法求二次函數的圖形(1)y=2x2+12x+10
=(2x2+12x)+10
=2(x2+6x)+10
=2(x2+6x+32-32)+10
=2[(x2+6x+9)-9]+10
=2(x+3)2-18+10 =2(x+3)2-8
先考慮 x2項和 x項
提出 x2項的係數 2
將 x2+6x加( 62 )2配成
完全平方式,再減( 62 )2
搭配課本第 44頁
例 2 利用配方法求二次函數的圖形二次函數 y=2x2+12x+10利用配方法
可化成 y=2(x+3)2-8,
其圖形是以直線 x+3=0為對稱軸, (-3 , -8)為頂點,開口向上的拋物線。
搭配課本第 44頁
例 2 利用配方法求二次函數的圖形描點後以平滑曲線依序把各點連接起來,
如下圖:
O x
y
(-2,-6)
(-3,-8)
x+3=0
(-4,-6)
(-1,0) (-5,0)
搭配課本第 44頁
求下列各二次函數圖形的對稱軸方程式、
頂點坐標及開口方向。
(1)y=-3x2+12x-1
y=-3x2+12x-1=-3(x2-4x)-1 =-3(x2-4x+4-4)-1=-3(x-2)2+11 其圖形是以 x-2=0為對稱軸, (2 , 11)為頂點,開口向下的拋物線
搭配課本第 45頁
y= 12 x2-3x+ 72
= 12 (x2-6x)+ 72
= 12 (x2-6x+9-9)+ 72
= 12 (x-3)2-1
其圖形是以 x-3=0為對稱軸,
(3 , -1)為頂點,開口向上的拋物線
搭配課本第 45頁
例 3 二次函數圖形的應用二次函數 y=3x2+bx+c的 x2項係數為 3, 且頂點坐標為(2 , -5), 得此函數為 y=3(x-2)2-5
=3(x2-4x+4)-5 =3x2-12x+12-5 =3x2-12x+7
與 y=3x2+bx+c比較係數, 故 b=-12、c=7。
搭配課本第 46頁
二次函數 y=-x2+bx+c的 x2項係數為-1 且頂點坐標為(-3 , 1) 得此函數為 y=-(x+3)2+1
=-(x2+6x+9)+1 =-x2-6x-9+1 =-x2-6x-8
與 y=-x2+bx+c比較係數 故 b=-6、c=-8
搭配課本第 46頁
另外,不論 x的值是多少,
(x+3)2 0
2(x+3)2 0
2(x+3)2-9 -9
當 x+3=0(或 x=-3)時,
二次函數 y=2(x+3)2-9有最小值-9。
由此可知(-3 , -9)就是此函數圖形的最低點。
兩邊同時減 9
搭配課本第 47頁
另外,不論 x的值是多少,
(x-3)2 0
-2(x-3)2 0
-2(x-3)2+4 4
當 x-3=0(或 x=3)時,
二次函數 y=-2(x-3)2+4有最大值 4。
由此可知(3 , 4)就是此函數圖形的最高點。
兩邊同時加 4
搭配課本第 47頁
二次函數 y= a(x- h)2+ k 的最大值與最小值1. 當 a>0時,函數 y=a(x-h)2+k在
x-h=0(或 x=h)時有最小值 k,
(h , k)為此函數圖形的最低點。
2. 當 a<0時,函數 y=a(x-h)2+k在
x-h=0(或 x=h)時有最大值 k,
(h , k)為此函數圖形的最高點。
搭配課本第 47頁
例 4 二次函數的最大值或最小值(1)由二次函數 y=3(x-2)2+6,
可知此二次函數圖形開口向上,
當 x=2時,
二次函數 y=3(x-2)2+6有最小值 6。
搭配課本第 48頁
Hint∵ 3(x-2)2 0
∴ y=3(x-2)2+6 6
例 4 二次函數的最大值或最小值(2)由二次函數 y=-
34(x+1)2-5,
可知此二次函數圖形開口向下,
當 x=-1時,
二次函數 y=-34(x+1)2-5有最大值-5。
搭配課本第 48頁
Hint ∵ - 34 (x+1)2 0
∴ y=- 34 (x+1)2-5 -5
判斷下列二次函數在 x為多少時,y有最大
值或最小值,並求其值。
(2)y=-(x+4)2+7
由二次函數 y=-(x+4)2+7
可知此二次函數圖形開口向下
當 x=-4時,
二次函數 y=-(x+4)2+7有最大值 7 搭配課本第 48頁
例 5 利用配方法求二次函數的最大值或最小值(1)將 y=x2-6x+1配方,
y=(x2-6x+32-32)+1=(x-3)2-9+1,
得到 y=(x-3)2-8,
可知當 x=3時,
二次函數 y=x2-6x+1有最小值-8。
搭配課本第 49頁
例 5 利用配方法求二次函數的最大值或最小值(2)將 y=-2x2+4x-3配方,
y=-2(x2-2x)-3=-2(x2-2x+12-12)-3
=-2(x-1)2+2-3=-2(x-1)2-1,
得到 y=-2(x-1)2-1,
可知當 x=1時,
二次函數 y=-2x2+4x-3有最大值-1。
搭配課本第 49頁
將 y=-2x2-4x配方 y=-2(x2+2x)=-2(x2+2x+12-12)
=-2(x+1)2+2 得到 y=-2(x+1)2+2 可知當 x=-1時, 二次函數 y=-2x2-4x有最大值 2
搭配課本第 49頁
例 6 二次函數圖形與兩軸的交點坐標(1)由於 y軸上的點,其 x坐標都為 0,
所以要求二次函數圖形與 y軸交點坐標,
可以令 x=0,
代入 y=x2-3x+2中,得 y=2,
即二次函數 y=x2-3x+2的圖形與 y軸的
交點坐標為(0 , 2)。
搭配課本第 50頁
例 6 二次函數圖形與兩軸的交點坐標(2)由於 x軸上的點,其 y坐標都為 0,
所以要求二次函數圖形與 x軸交點坐標,
可以令 y=0,
得 0=x2-3x+2,(x-2)(x-1)=0,
搭配課本第 50頁
故 x=2或 x=1,
令 y=0,得 0=-x2+4x-4,x2-4x+4=0
(x-2)2=0,得 x=2(重根)
即二次函數 y=-x2+4x-4的圖形與 x軸的
交點坐標為(2 , 0) x O
y
(0,-4)
(2,0)
搭配課本第 50頁
由例 6及隨堂練習,我們知道二次函數
y=ax2+bx+c的圖形與兩軸的相交情形:
(1)與 y軸的交點坐標為(0 , c),
(2)與 x軸的相交情形,則要討論
ax2+bx+c=0的解。
搭配課本第 51頁
1.當判別式 b2-4ac>0時:
方程式有兩個相異解
x= -b+ b2-4ac
2a 和 x= -b- b2-4ac
2a ,
即二次函數 y=ax2+bx+c的圖形
與 x軸有兩個交點,如圖 3,其坐標為
( -b+ b2-4ac
2a , 0)及( -b- b2-4ac
2a , 0)。
搭配課本第 51頁
2.當判別式 b2-4ac=0時:
方程式有重根 x= -b2a,
即二次函數 y=ax2+bx+c的圖形
與 x軸恰有一個交點,也就是頂點,如圖 4,
其坐標為( -b2a , 0)。
搭配課本第 51頁
例 7 二次函數圖形與 x 軸的交點個數判斷下列二次函數圖形與 x軸的交點個數。
(1)y=2x2-3x+1
(1)判別式:(-3)2-4×2×1=1>0,
可知二次函數 y=2x2-3x+1的圖形
與 x軸有兩個交點。
搭配課本第 52頁
例 7 二次函數圖形與 x 軸的交點個數判斷下列二次函數圖形與 x軸的交點個數。
(2)y=12x+9+4x2
(2)判別式:122-4×4×9=0,
可知二次函數 y=12x+9+4x2的圖形
與 x軸恰有一個交點。
搭配課本第 52頁
例 7 二次函數圖形與 x 軸的交點個數判斷下列二次函數圖形與 x軸的交點個數。
(3)y=-x2+2x-4
(3)判別式:22-4×(-1)×(-4)=-12<0,
可知二次函數 y=-x2+2x-4的圖形
與 x軸沒有交點。
搭配課本第 52頁
例 8 二次函數圖形與 x 軸的交點個數(1)二次函數 y=-2(x-3)2+5的圖形開口
向下,
而頂點(3 , 5)在 x軸的上方,
根據這些資料可以約略畫出此二次函數的
圖形,
搭配課本第 53頁
判斷下列二次函數圖形與 x軸的交點個數。
(1)y=(x+4)2- 52
二次函數 y=(x+4)2- 52
的圖形開口向上
而頂點(-4 , - 52 )在 x軸的下方
故可知此二次函數圖形與 x軸有兩個交點
x O
y
(-4,- 52 )
搭配課本第 54頁
判斷下列二次函數圖形與 x軸的交點個數。
(2)y=3(x-4)2
二次函數 y=3(x-4)2
的圖形開口向上
而頂點(4 , 0)恰在 x軸上
故可知此二次函數圖形與 x軸恰有一個交
點
x O
y
(4,0)
搭配課本第 54頁
判斷下列二次函數圖形與 x軸的交點個數。
(3)y=-(x+1)2-3
二次函數 y=-(x+1)2-3
的圖形開口向下
而頂點(-1 , -3)在 x軸的下方
故可知此二次函數圖形與 x軸沒有交點
x
O
y
(-1,-3)
搭配課本第 54頁
二次函數的最大值與最小值 2(1)形如 y=a(x-h)2+k的二次函數:
a> 0 a< 0
開口向上 開口向下有最低點 (h , k) 有最高點 (h , k)
x= h時,有最小值 k x= h時,有最大值 k
搭配課本第 55頁
二次函數的最大值與最小值 2
例
(2)形如 y=ax2+bx+c的二次函數,可利
用配方法把它化成 y=a(x-h)2+k的形
式,再來討論函數的最大值或最小值。
二次函數 y=x2-6x+1=(x-3)2-8,
其圖形開口向上,
頂點(3 , -8)是最低點,
當 x=3時有最小值-8。 搭配課本第 55頁
二次函數 y= ax2+ bx+ c 的圖形與兩軸的交點 3(1)令 x=0,可得 y軸的交點坐標為(0 , c)。
(2)令 y=0,求與 x軸的交點坐標,
即求 ax2+bx+c=0的解。
(3)與 x軸的交點個數,
可由判別式 b2-4ac來判斷。
(4)與 x軸的交點個數,可由函數圖形的
頂點及開口方向來判斷。 搭配課本第 55頁
二次函數 y= ax2+ bx+ c 的圖形與兩軸的交點 3例 二次函數 y=x2-6x+5,
(1)令 x=0,得 y=5,
故與 y軸的交點坐標為(0 , 5)。
(2)令 y=0,得 x=5或 x=1,
故與 x軸的交點座標為(5 , 0)與(1 , 0)。
搭配課本第 55頁
二次函數 y= ax2+ bx+ c 的圖形與兩軸的交點 3(3)判別式 b2-4ac=(-6)2-4×1×5=
16>0,故與 x軸有兩個交點。
(4)二次函數 y=x2-6x+5=(x-3)2-4
的圖形開口向上,
其頂點(3 , -4)在 x軸的下方,
故與 x軸有兩個交點。
搭配課本第 55頁
1
搭配課本第 56頁
(1)y=-3x2+12x-8
y=-3x2+12x-8
=-3(x2-4x)-8
=-3(x2-4x+22)+12-8
=-3(x-2)2+4
對稱軸方程式:x-2=0
頂點坐標:(2 , 4)
開口方向:向下
1
搭配課本第 56頁
(2)y=2x2-4x-3
y=2x2-4x-3
=2(x2-2x)-3
=2(x2-2x+12)-2-3
=2(x-1)2-5
對稱軸方程式:x-1=0
頂點坐標:(1 , -5)
開口方向:向上
2
搭配課本第 56頁
求下列各二次函數圖形的頂點坐標及其
最大值或最小值。
(5)y=2x2-8x-1 y=2x2-8x-1=2(x2-4x)-1
=2(x2-4x+4)-8-1=2(x-2)2-9
圖形的頂點坐標為(2 , -9),
其最小值為-9
2
搭配課本第 56頁
求下列各二次函數圖形的頂點坐標及其
最大值或最小值。
(6)y=-3x2-6x-3
y=-3x2-6x-3=-3(x2+2x)-3
=-3(x2+2x+1)+3-3=-3(x+1)2
圖形的頂點坐標為(-1 , 0),
其最大值為 0
3
搭配課本第 57頁
二次函數 y=-2x2+bx+c的 x2項係數為
-2,且頂點坐標為(4 , 6)
故此二次函數為 y=-2(x-4)2+6
=-2(x2-8x+16)+6
=-2x2+16x-32+6
=-2x2+16x-26
與 y=-2x2+bx+c比較係數
可得 b=16、c=-26
4
搭配課本第 57頁
(1) 令 x=0,得 y=-3
其圖形與 y軸的交點坐標為(0 , -3)
(2) 令 y=0,得 0=2x2-5x-3
(2x+1)(x-3)=0,x=- 12或 x=3
其圖形與 x軸的交點坐標為
(- 12 , 0)與(3 , 0)