1

Κεφάλαιο 3. Η επαφή p-n

Στα προηγούμενα κεφάλαια ασχοληθήκαμε με την συγκέντρωση φορέων και φαινόμενα

μεταφοράς σε ομογενή ημιαγώγιμα υλικά. Στο παρόν κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με την

συμπεριφορά ενός μονοκρυσταλλικού ημιαγώγιμου υλικού που έχει περιοχές p και περιοχές

n, που σχηματίζουν μια επαφή p-n.

Η πιο σημαντική ιδιότητα της επαφής p-n είναι ότι λειτουργούν σαν ανορθωτές (rectifiers),

δηλαδή επιτρέπουν την διέλευση ρεύματος μόνο σε μια διεύθυνση. Το Σχήμα 1 δείχνει την

χαρακτηριστική I-V σε μια τυπική επαφή p-n σε Si. Όταν εφαρμόσουμε «ορθή πόλωση» στην

επαφή, το ρεύμα αυξάνεται απότομα με την αύξηση της τάσης. Αντίθετα, όταν εφαρμόζεται

«ανάστροφη τάση», τότε το ρεύμα που διαρρέει την δίοδο είναι πολύ μικρό, πρακτικά μηδέν.

Καθώς αυξάνεται η ανάστροφη τάση, το ρεύμα παραμένει πολύ μικρό, μέχρι μια κρίσιμη τιμή

τάσης, στο οποίο το ρεύμα αυξάνει ξαφνικά. Αυτή η ξαφνική αύξηση του ρεύματος είναι

γνωστή σαν διάσπαση επαφής (junction breakdown). Η εφαρμοζόμενη τάση ορθής πόλωσης

είναι συνήθως μικρότερη από 1 V, αλλά η ανάστροφη κρίσιμη τιμή τάσης, ή τάση διάσπασης,

μπορεί να κυμαίνεται από μερικά volts μέχρι αρκετές χιλιάδες volts, εξαρτώμενη από την

συγκέντρωση προσμίξεων και άλλες παραμέτρους της διάταξης.

Σχήμα 1. Η χαρακτηριστική ρεύματος – τάσης (I-V) σε μια τυπική επαφή p-n πυριτίου.

Η επαφή p-n υπηρετεί έναν σημαντικό ρόλο στις σύγχρονες ηλεκτρονικές εφαρμογές και στην

κατανόηση άλλων ημιαγώγιμων διατάξεων. Χρησιμοποιείται εκτεταμένα στην ανόρθωση,

σαν ηλεκτρονικός διακόπτης, σαν βάση των φωτοβολταϊκών και σε άλλες λειτουργίες

ηλεκτρονικών κυκλωμάτων. Είναι το βασικό δομικό στοιχείο του διπολικού τρανζίστορ και

του θυρίστορ, καθώς επίσης και του JFET και MOSFET. Κάτω από κατάλληλες συνθήκες

πόλωσης ή όταν εκτίθεται σε φως, η επαφή p-n χρησιμεύει είτε σαν μικροκυματική διάταξη

ή σαν φωτονική διάταξη.

2

Στο κεφάλαιο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τις βασικές εξισώσεις που παρουσιάζονται στα

προηγούμενα κεφάλαια για να αναπτύξουμε τα ιδανικά στατικά και δυναμικά

χαρακτηριστικά της επαφής p-n. Επίσης, θα συζητήσουμε τις αποκλίσεις από τα ιδανικά

χαρακτηριστικά εξαιτίας των φαινομένων γένεσης και επανασύνδεσης και άλλων

φαινομένων. Επίσης, θα συζητήσουμε τοπική αποθήκευση φορέων μειονότητας και το πώς

επηρεάζουν την μεταβατική απόκριση της διάταξης. Στην συνέχεια, θα ασχοληθούμε με την

διάσπαση της επαφής. Τέλος, θα δούμε την διάταξη Schottky.

3.1. Συνθήκη θερμικής ισορροπίας

Στο Σχήμα 2α βλέπουμε τις δύο περιοχές p και n ενός ημιαγώγιμου υλικού που είναι

ομοιόμορφα ντοπαρισμένες και είναι ξεχωριστές πριν τον σχηματισμό της επαφής p-n.

Σημειώνουμε ότι το επίπεδο Fermi 𝐸𝐹 είναι κοντά στην ζώνη σθένους στο ημιαγωγό τύπου p

και κοντά στην ζώνη αγωγιμότητας στον ημιαγωγό τύπου n. Ο ημιαγωγός τύπου p έχει

μεγάλη συγκέντρωση οπών και λίγα ηλεκτρόνια, ενώ ο ημιαγωγός τύπου n έχει μεγάλη

συγκέντρωση ηλεκτρονίων και λίγες οπές.

Η επαφή p-n σχηματίζεται όταν αυτές οι δύο περιοχές ενώνονται. Η επαφή p-n

κατασκευάζεται με τεχνικές όπως η διάχυση, η ιοντική εμφύτευση και η επιταξία. Αυτές οι

τεχνολογίες θα αναλυθούν σε μαθήματα ειδίκευσης της κατεύθυνσης ηλεκτρονικής (ροή Η).

Η μεγάλη βάθμωση συγκέντρωσης φορέων στην διεπαφή προκαλεί διάχυση φορέων. Οπές

από την πλευρά p διαχέονται στην περιοχή n και ηλεκτρόνια από την περιοχή n διαχέονται

στην πλευρά p. Καθώς οι οπές φεύγουν από την περιοχή p, κάποια από τα αρνητικά ιόντα

αποδέκτες (𝑁𝐴−) κοντά στην διεπαφή μένουν αναντιστάθμιστα, δεδομένου ότι οι αποδέκτες

είναι σταθεροί σε θέση, ενώ οι οπές κινούνται. Παρόμοια, καθώς τα ηλεκτρόνια φεύγουν

από την περιοχή n, κάποια από τα θετικά ιόντα δότες (𝑁𝐷+) κοντά στην διεπαφή μένουν

αναντιστάθμιστα για τον ίδιο λόγο. Κατά συνέπεια, δημιουργείται ένα αρνητικό φορτίο

χώρου στην περιοχή p κοντά στην διεπαφή και ένα θετικό φορτίο χώρου στην περιοχή n

κοντά στην διεπαφή. Αυτή η ηλεκτρικά φορτισμένη περιοχή δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο

με διεύθυνση από το θετικό φορτίο προς το αρνητικό φορτίο, όπως δείχνεται στο Σχήμα 2.

3

Σχήμα 2. (α) Ομοιόμορφα ντοπαρισμένοι ημιαγωγοί τύπου p και n πριν την δημιουργία της

επαφής. (β) Σχηματική αναπαράσταση του ηλεκτρικού πεδίου και του διαγράμματος ζωνών

της επαφής p-n σε θερμική ισορροπία.

Το ηλεκτρικό πεδίο είναι στην αντίθετη διεύθυνση από το ρεύμα διάχυσης σε κάθε τύπο

φορτίου. Η κάτω σχηματική παράσταση στο Σχήμα 2β δείχνει ότι το ρεύμα διάχυσης οπών

περνάει από τα αριστερά προς τα δεξιά, ενώ το ρεύμα ολίσθησης οπών εξ’ αιτίας του

ηλεκτρικού πεδίου περνάει από τα δεξιά προς τα αριστερά, ήτοι την αντίθετη διεύθυνση. Το

ρεύμα διάχυσης ηλεκτρονίων έχει φορά από τα αριστερά προς τα δεξιά, ενώ το ρεύμα

ολίσθησης ηλεκτρονίων έχει την αντίθετη φορά. Να σημειωθεί ότι εξαιτίας του αρνητικού

φορτίου, τα ηλεκτρόνια διαχέονται από τα δεξιά προς τα αριστερά, αντίθετα από την φορά

του ρεύματος ηλεκτρονίων.

Σε συνθήκες θερμικής ισορροπίας, δηλαδή σε συνθήκες μόνιμης κατάστασης σε δοσμένη

θερμοκρασία, χωρίς καμιά εξωτερική διέγερση, το συνολικό ρεύμα που διαρρέει την επαφή

είναι μηδέν. Έτσι, για κάθε τύπο φορέα το ρεύμα ολίσθησης εξαιτίας του ηλεκτρικού πεδίου

πρέπει να αναιρεί ακριβώς το ρεύμα διάχυσης εξαιτίας της βάθμωσης συγκέντρωσης. Από

την εξίσωση 32 και 8 του Κεφαλαίου 2, έχουμε:

𝐽𝑝 = 𝐽𝑝(𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡) + 𝐽𝑝(𝑑𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛) = 𝑞𝜇𝑝𝑝𝐸 − 𝑞𝐷𝑝𝑑𝑝

𝑑𝑥= 𝑞𝜇𝑝𝑝 (

1

𝑞

𝑑𝐸𝑖

𝑑𝑥) − 𝑘𝑇𝜇𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑥= 0 (1)

Όπου 𝐷𝑝 =𝑘𝑇𝜇𝑝

𝑞, η σταθερά Einstein. Αντικαθιστώντας την έκφραση της συγκέντρωσης

οπών:

𝑝 = 𝑛𝑖𝑒𝐸𝑖−𝐸𝐹𝑘𝑇 (2)

Και της παραγώγου της

𝑑𝑝

𝑑𝑥=

𝑝

𝑘𝑇(𝑑𝐸𝑖

𝑑𝑥−𝑑𝐸𝐹

𝑑𝑥) (3)

Στην εξίσωση 1, καταλήγει στην ολική πυκνότητα ρεύματος οπών:

𝐽𝑝 = 𝜇𝑝𝑝𝑑𝐸𝐹

𝑑𝑥= 0 (4)

ή

𝑑𝐸𝐹

𝑑𝑥= 0 (5)

Παρομοίως, η πυκνότητα ρεύματος ηλεκτρονίων είναι:

𝐽𝑛 = 𝐽𝑛(𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡) + 𝐽𝑛(𝑑𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛) = 𝑞𝜇𝑛𝑛𝐸 + 𝑞𝐷𝑛𝑑𝑛

𝑑𝑥= 𝜇𝑛𝑛

𝑑𝐸𝐹

𝑑𝑥= 0 (6)

Έτσι, από αυτές τις δύο συνθήκες μηδενικού ρεύματος οπών και ηλεκτρονίων, το επίπεδο

Fermi παραμένει σταθερό (δηλαδή ανεξάρτητο του x) κατά μήκος όλου του υλικού (περιοχή

p και περιοχή n) όπως δίνεται από το διάγραμμα ζωνών του Σχήματος 2β. Αυτό είναι το πρώτο

βασικό συμπέρασμα στην επαφή p-n.

Το σταθερό επίπεδο Fermi που απαιτείται στην θερμική ισορροπία έχει σαν αποτέλεσμα μια

μοναδική κατανομή φορτίου χώρου στην επαφή. Επαναλαμβάνουμε την μονοδιάστατη

επαφή p-n και το συνεπαγόμενο διάγραμμα ισορροπίας ενεργειακών ζωνών στο Σχήμα 3α

4

και 3β αντίστοιχα. Η κατανομή φορτίου χώρου και το ηλεκτροστατικό δυναμικό V δίνονται

από την εξίσωση Poisson:

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2= −

𝑑𝐸

𝑑𝑥= −

𝜌𝑠

𝜀𝑠= −

𝑞

𝜀𝑠(𝑁𝐷 −𝑁𝐴 + 𝑝 − 𝑛) (7)

Όπου υποθέτουμε ότι όλοι οι δότες και οι αποδέκτες είναι ιονισμένοι.

5

Σχήμα 3. (a) Η επαφή p-n με τις απότομες μεταβολές προσμίξεων στην μεταλλουργική επαφή,

(b) διάγραμμα ενεργειακών ζωνών σε θερμική ισορροπία, (c) κατανομή φορτίου χώρου, (d)

τετραγωνική προσέγγιση της κατανομής φορτίου χώρου.

Σε περιοχές μακριά από την μεταλλουργική επαφή, διατηρείται η ουδετερότητα φορτίου και

η ολική πυκνότητα φορτίου είναι μηδέν. Για αυτές τις ουδέτερες περιοχές, εξίσωση 7

απλοποιείται στην:

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2= 0 (8)

Και

𝑁𝐷 −𝑁𝐴 + 𝑝 − 𝑛 = 0 (9)

Για μια ουδέτερη περιοχή τύπου p, υποθέτουμε ότι 𝑁𝐷 = 0 και 𝑝 ≫ 𝑛. Το ηλεκτροστατικό

δυναμικό της ουδέτερης περιοχής σε σχέση με το επίπεδο Fermi, που συμβολίζεται σαν 𝑉𝑝

(στο σχήμα 3 συμβολίζεται σαν 𝜓𝑝), μπορεί να υπολογισθεί θέτοντας 𝑁𝐷 = 𝑛 = 0 στην

εξίσωση 9 και αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα 𝑁𝐴 = 𝑝 στην εξίσωση 2:

𝑉𝑝 ≡ −1

𝑞(𝐸𝑖 − 𝐸𝐹)|𝑥≤−𝑥𝑝 = −

𝑘𝑇

𝑞ln(

𝑁𝐴

𝑛𝑖) (10)

Ομοίως, επιτυγχάνουμε το ηλεκτροστατικό δυναμικό της ουδέτερης περιοχής n σε σχέση με

το επίπεδο Fermi, δίνεται από την:

𝑉𝑛 ≡ −1

𝑞(𝐸𝑖 − 𝐸𝐹)|𝑥≥𝑥𝑛 =

𝑘𝑇

𝑞ln(

𝑁𝐷

𝑛𝑖) (11)

Η ολική διαφορά ηλεκτροστατικού δυναμικού μεταξύ της ουδέτερης περιοχής p και της

ουδέτερης περιοχής n ονομάζεται δομημένο δυναμικό 𝑉𝑏𝑖:

𝑉𝑏𝑖 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑝 =𝑘𝑇

𝑞ln(

𝑁𝐴𝑁𝐷

𝑛𝑖2 ) (12)

Μετακινούμενοι από την ουδέτερη περιοχή προς την επαφή p-n, παρατηρούμε μια στενή

περιοχή μετάβασης, που δίνεται στο Σχήμα 3c. Εδώ το χωρικό φορτίο των ιόντων πρόσμιξης

αντισταθμίζεται μερικώς από κινούμενους φορείς. Πέρα από την περιοχή μετάβασης

μπαίνουμε σε μια τελείως απογυμνωμένη περιοχή όπου οι πυκνότητες φορέων είναι μηδέν.

Αυτή η ζώνη ονομάζεται ζώνη απογύμνωσης. Για τυπικές επαφές p-n σε Si & GaAs, το εύρος

κάθε περιοχής μετάβασης είναι μικρό σε σχέση με το εύρος της περιοχής απογύμνωσης. Κατά

συνέπεια, μπορούμε να αγνοήσουμε την περιοχή μετάβασης και να αποδώσουμε την

περιοχή απογύμνωσης ως τετραγωνική διατομή (Σχήμα 3d) όπου 𝑥𝑝 και 𝑥𝑛 δηλώνουν τα

εύρη απογύμνωσης στις περιοχές p και n αντίστοιχα. Για την τελείως απογυμνωμένη ζώνη με

𝑝 = 𝑛 = 0, η εξίσωση 7 γίνεται:

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2= −

𝑞

𝜀𝑠(𝑁𝐷 −𝑁𝐴) =

𝑞

𝜀𝑠(𝑁𝐴 −𝑁𝐷) (13)

Οι τιμές των |𝑉𝑝| και 𝑉𝑛 υπολογίζονται από τις εξισώσεις 10 και 11 και δίνονται στο Σχήμα 4

σαν συνάρτηση της συγκέντρωσης προσμίξεων στο Si και στο GaAs. Για μια δοσμένη

συγκέντρωση προσμίξεων, το ηλεκτροστατικό δυναμικό του GaAs είναι μεγαλύτερη λόγω της

μικρότερης ενδογενούς συγκέντρωσης 𝑛𝑖.

Άσκηση: Υπολογίστε το δομημένο δυναμικό 𝑉𝑏𝑖 για μια επαφή Si p-n με 𝛮𝛢 = 1018𝑐𝑚−3 και

𝛮𝐷 = 1015𝑐𝑚−3 στους 300Κ.

6

Λύση: Από την εξίσωση 12 έχουμε:

𝑉𝑏𝑖 =𝑘𝑇

𝑞ln (𝑁𝐴𝑁𝐷𝑛𝑖2) = (0.0259)

1018 × 1015

(1.45 × 1010)2= 0.755𝑉

Επίσης από το Σχήμα 4:

𝑉𝑏𝑖 = |𝑉𝑝| + 𝑉𝑛 = 0.3𝑉 + 0.46𝑉 = 0.76𝑉

Σχήμα 4. Δομημένα δυναμικά 𝑉𝑏𝑖 στην περιοχή p και στην περιοχή n σε απότομες επαφές Si

και GaAs σαν συνάρτηση της συγκέντρωσης προσμίξεων.

3.2. Περιοχή απογύμνωσης

Για να λύσουμε την εξίσωση Poisson (εξ. 13) πρέπει να ξέρουμε την κατανομή προσμίξεων.

Εδώ θα μελετήσουμε δύο σημαντικές περιπτώσεις, την απότομη επαφή και την γραμμικά

7

μεταβαλλόμενη επαφή.

Σχήμα 5. Προσέγγιση προφίλ προσμίξεων. (α) απότομη επαφή, (β) Γραμμικά μεταβλητή

επαφή.

Το Σχήμα 5α δείχνει μια απότομη επαφή, ήτοι μια επαφή p-n που δημιουργείται από ρηχή

διάχυση ή από ιοντική εμφύτευση χαμηλής ενέργειας. Η κατανομή προσμίξεων της επαφής

μπορεί να προσεγγισθεί από μια απότομη μετάβαση της συγκέντρωσης προσμίξεων από την

περιοχή n στην περιοχή p. Το Σχήμα 5β δίνει μια γραμμικά μεταβλητή επαφή. Είτε για την

περίπτωση βαθιών διαχύσεων ή για ιοντικές εμφυτεύσεις υψηλής ενέργειας, τα προφίλ

προσμίξεων προσεγγίζεται από γραμμικά μεταβλητές επαφές, ήτοι, η κατανομή προσμίξεων

μεταβάλλεται γραμμικά κατά μήκος της επαφής. Θα μελετήσουμε το βάθος της περιοχής

απογύμνωσης και στους δύο τύπους επαφής.

3.2.1. Απότομη επαφή

8

Η κατανομή φορτίου χώρου μια απότομης επαφής δείχνεται στο Σχήμα 6α. Στην περιοχή

απογύμνωσης οι ελεύθεροι φορείς είναι τελείως απογυμνωμένοι, και κατά συνέπεια η

εξίσωση Poisson (εξίσωση 13), απλοποιείται στην:

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2=𝑞𝑁𝐴

𝜀𝑠, για −𝑥𝑝 ≤ 𝑥 < 0 (14α)

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2= −

𝑞𝑁𝐷

𝜀𝑠, για 0 < 𝑥 ≤ 𝑥𝑛 (14β)

Σχήμα 6. (α) Κατανομή φορτίου χώρου στην περιοχή απογύμνωσης σε θερμική ισορροπία.

(β) Κατανομή ηλεκτρικού πεδίου. Η διαγραμμισμένη περιοχή είναι το δομημένο δυναμικό.

Η συνολική ουδετερότητα του φορτίου χώρου του ημιαγωγού απαιτεί ότι το συνολικό

αρνητικό φορτίου χώρου ανά μονάδα επιφανείας στην περιοχή p πρέπει να είναι απολύτως

ίσο με το συνολικό αρνητικό φορτίου χώρου ανά μονάδα επιφανείας στην περιοχή n:

𝑁𝐴𝑥𝑝 = 𝑁𝐷𝑥𝑛 (15)

Το ολικό βάθος απογύμνωσης 𝑊 δίνεται από την:

𝑊 = 𝑥𝑝 + 𝑥𝑛 (16)

Το ηλεκτρικό πεδίο που δίνεται στο Σχήμα 6β επιτυγχάνεται από την ολοκλήρωση των

εξισώσεων 14α και 14β, που δίνει:

𝐸(𝑥) = −𝑑𝑉

𝑑𝑥= −

𝑞𝑁𝐴(𝑥+𝑥𝑝)

𝜀𝑠 για −𝑥𝑝 ≤ 𝑥 < 0 (17a)

Και

𝐸(𝑥) = −𝑑𝑉

𝑑𝑥= −𝐸𝑚 +

𝑞𝑁𝐷𝑥

𝜀𝑠=𝑞𝑁𝐷

𝜀𝑠(𝑥 − 𝑥𝑛) για 𝑥 < 0 ≤ 𝑥𝑛 (17β)

Όπου 𝐸𝑚 είναι το μέγιστο πεδίο στο 𝜒 = 0 και που δίνεται από την:

𝐸𝑚 =𝑞𝑁𝐷𝑥𝑛

𝜀𝑠=𝑞𝑁𝐴𝑥𝑝

𝜀𝑠 (18)

9

Ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις 17α και 17β στην ζώνη απογύμνωσης δίνει την συνολική

μεταβολή του δυναμικού, ήτοι του δομημένου δυναμικού 𝑉𝑏𝑖:

𝑉𝑏𝑖 = −∫ 𝐸(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑛−𝑥𝑝

= −∫ 𝐸(𝑥)𝑑𝑥|𝑝−𝑠𝑖𝑑𝑒0

−𝑥𝑝− ∫ 𝐸(𝑥)𝑑𝑥|𝑛−𝑠𝑖𝑑𝑒

𝑥𝑛0

=𝑞𝑁𝐴𝑥𝑝

2

2𝜀𝑠+𝑞𝑁𝐷𝑥𝑛

2

2𝜀𝑠=

1

2𝐸𝑚𝑊 (19)

Κατά συνέπεια, η τριγωνική περιοχή του πεδίου στο Σχήμα 6β αντιστοιχεί στο δομημένο

δυναμικό 𝑉𝑏𝑖.

Ο συνδυασμός των εξισώσεων 15 και 19 δίνει το συνολικό βάθος απογύμνωσης σαν

συνάρτηση του δομημένου δυναμικού:

𝑊 = √2𝜀𝑠

𝑞(𝑁𝐴+𝑁𝐷

𝑁𝐴𝑁𝐷)𝑉𝑏𝑖 (20)

Όταν η συγκέντρωση προσμίξεων στην μια πλευρά μιας απότομης επαφής είναι πολύ

μεγαλύτερη από αυτή της άλλης πλευράς, η επαφή ονομάζεται απότομη επαφή μονής

περιοχής (Σχήμα 7α). Το Σχήμα 7β δείχνει την κατανομή φορτίου χώρου στην απότομη επαφή

μονής περιοχής p+-n επαφής, όπου 𝑁𝐴 ≫ 𝑁𝐷.

Σχήμα 7. (α) Απότομη επαφή μονής περιοχής p+-n (με 𝑁𝐴 ≫ 𝑁𝐷). (β) Κατανομή φορτίου

χώρου. (γ) Κατανομή ηλεκτρικού πεδίου. (δ) Κατανομή δυναμικού συναρτήσει της

απόστασης, όπου 𝑉𝑏𝑖 είναι το δομημένο δυναμικό.

Στην περίπτωση αυτή το βάθος (μήκος) απογύμνωσης της πλευράς p είναι πολύ μικρότερο

από αυτό της πλευράς n (𝑥𝑝 ≪ 𝑥𝑛) και το βάθος 𝑊 απλοποιείται στην:

10

𝑊 ≅ 𝑥𝑛 = √2𝜀𝑠𝑉𝑏𝑖

𝑞𝑁𝐷 (21)

Η έκφραση της κατανομής του ηλεκτρικού πεδίου είναι ίδια με την εξίσωση 17β:

𝐸(𝑥) = −𝐸𝑚 +𝑞𝑁𝐵𝑥

𝜀𝑠 (22)

Όπου 𝑁𝐵 είναι η συγκέντρωση του ελαφρά ντοπαρισμένου ημιαγωγού (δηλαδή 𝑁𝐷 στην

περίπτωση της p+-n επαφής). Το πεδίο μειώνεται στο μηδέν για 𝑥 = 𝑊. Έτσι:

𝐸𝑚 =𝑞𝑁𝐵𝑊

𝜀𝑠 (23)

Και

𝐸(𝑥) =𝑞𝑁𝐵

𝜀𝑠(−𝑊 + 𝑥) = −𝐸𝑚(1 −

𝑥

𝑊) (24)

Που δείχνεται στο Σχήμα 7γ.

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση Poisson ακόμη μια φορά δίνει την κατανομή δυναμικού:

𝑉(𝑥) = −∫ 𝐸𝑑𝑥𝑥

0= 𝐸𝑚 (𝑥 −

𝑥2

2𝑊) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 (25)

Με μηδενικό δυναμικό στην ουδέτερη πλευρά ως αναφορά (𝑉(0) = 0 και εμπλέκοντας την

εξίσωση 19:

𝑉(𝑥) =𝑉𝑏𝑖𝑥

𝑊(2 −

𝑥

𝑊) (26)

Η κατανομή δυναμικού δείχνεται στο Σχήμα 7δ.

Άσκηση: Για μια απότομη επαφή μονής περιοχής p+-n με 𝛮𝛢 = 1019𝑐𝑚−3 και 𝛮𝐷 =

1016𝑐𝑚−3, υπολογίστε το βάθος απογύμνωσης και το μέγιστο πεδίο σε μηδενική πόλωσης

(Τ=300Κ).

Λύση: Από τις εξισώσεις 12, 21 και 23, έχουμε:

𝑉𝑏𝑖 = 0.0259𝑙𝑛1019 × 1016

(1.45 × 1010)2= 0.874𝑉

𝑊 ≅ √2𝜀𝑠𝑉𝑏𝑖𝑞𝑁𝐷

= 3.37 × 10−5𝑐𝑚 = 0.337𝜇𝑚

𝐸𝑚 =𝑞𝑁𝐵𝑊

𝜀𝑠= 5.4 × 104

𝑉

𝑐𝑚

Οι προηγούμενες αναλύσεις αφορούν σε μια επαφή p-n σε θερμική ισορροπία χωρίς

εξωτερική πόλωση. Το διάγραμμα ισορροπίας ενεργειακών ζωνών (Σχήμα 8α) δείχνει ότι το

συνολικό ηλεκτροστατικό δυναμικό κατά μήκος της επαφής είναι 𝑉𝑏𝑖 και ότι η διαφορά της

δυναμικής ενέργειας από την πλευρά p στην πλευρά n είναι 𝑞𝑉𝑏𝑖. Αν εφαρμόσουμε μια

θετική τάση 𝑉𝐹 στην πλευρά p σε σχέση με την πλευρά n, η επαφή p-n γίνεται ορθά

πολωμένη, όπως δείχνεται στο Σχήμα 8β. Το συνολικό ηλεκτροστατικό δυναμικό κατά μήκος

της επαφής μειώνεται κατά 𝑉𝐹, ήτοι γίνεται 𝑉𝑏𝑖 − 𝑉𝐹. Έτσι, η ορθή πόλωση μειώνει το μήκος

απογύμνωσης.

11

Αντιθέτως, όπως δείχνεται στο Σχήμα 8γ, αν εφαρμόσουμε θετική τάση 𝑉𝑅 στην πλευρά n σε

σχέση με την πλευρά p, η επαφή p-n γίνεται τώρα ανάστροφα πολωμένη, δηλαδή το

δυναμικό γίνεται 𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅. Στην περίπτωση αυτή η ανάστροφη πόλωση μεγαλώνει το βάθος

απογύμνωσης. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές τάσης στην εξίσωση 21 δίνει τα βάθη

απογύμνωσης σαν συνάρτηση της εφαρμοζόμενης τάσης:

𝑊 = √2𝜀𝑠(𝑉𝑏𝑖−𝑉)

𝑞𝑁𝐵 (27)

Όπου 𝑁𝐵 είναι η συγκέντρωση της ελαφριάς πρόσμιξης και 𝑉 η τάση πόλωσης, που είναι

θετική για ορθή πόλωση και αρνητική για αρνητική πόλωση. Να σημειώσουμε ότι το βάθος

απογύμνωσης 𝑊 μεταβάλλεται με την τετραγωνική ρίζα της συνολικής διαφοράς δυναμικού

κατά μήκος της επαφής p-n.

Σχήμα 8. Σχηματική αναπαράσταση του βάθους απογύμνωσης και των διαγραμμάτων

ενεργειακών ζωνών. (α) Συνθήκες θερμικής ισορροπίας (β) Συνθήκες ορθής πόλωσης (γ)

Συνθήκες ανάστροφης πόλωσης.

3.2.2 Γραμμικά βαθμωτή επαφή

Θα ασχοληθούμε κατ’ αρχήν με την θερμική ισορροπία. Η κατανομή προσμίξεων σε μια

γραμμικά βαθμωμένη επαφή δίνεται στο Σχήμα 9α. Η εξίσωση Poisson στην περίπτωση αυτή

είναι:

12

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2=−𝑑𝐸

𝑑𝑥=−𝜌𝑠

𝜀𝑠=−𝑞

𝜀𝑠𝑎𝑥 για −

𝑊

2≤ 𝑥 ≤

𝑊

2 (28)

Όπου 𝑎 η βάθμωση των προσμίξεων σε 𝑐𝑚−4 και 𝑊 το βάθος απογύμνωσης.

Σχήμα 9. Γραμμικά βαθμωμένη επαφή σε θερμική ισορροπία. (α) Κατανομή φορτίου χώρου

(β) Κατανομή ηλεκτρικού πεδίου (γ) Κατανομή δυναμικού συναρτήσει της απόστασης (δ)

διάγραμμα ενεργειακών καταστάσεων.

Έχουμε υποθέσει ότι οι κινούμενοι φορείς είναι απειροελάχιστοι στην περιοχή

απογύμνωσης. Ολοκληρώνοντας την εξίσωση 28 με οριακές συνθήκες ότι το ηλεκτρικό πεδίο

είναι μηδέν στα σημεία −𝑊

2 και

𝑊

2, βρίσκουμε την κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου, όπως

δείχνεται στο Σχήμα 9:

𝐸(𝑥) = −𝑞𝑎

𝜀𝑠((𝑊

2)2−𝑥2

2) (29)

13

Το μέγιστο πεδίο στο σημείο 𝑥 = 0 είναι:

𝐸𝑚 =𝑞𝑎𝑊

8𝜀𝑠 (29α)

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση 28 ακόμη μια φορά μας δίνει και την κατανομή δυναμικού και

το διάγραμμα ενεργειακών ζωνών που δίνονται στο Σχήμα 9γ και 9δ αντίστοιχα. Το δομημένο

δυναμικό και το βάθος απογύμνωσης δίνονται από τους τύπους:

𝑉𝑏𝑖 =𝑞𝑎𝑊3

12𝜀𝑠 (30)

Και

𝑊 = (12𝜀𝑠𝑉𝑏𝑖

𝑞𝑎)13⁄

(31)

Δεδομένου ότι οι τιμές της συγκέντρωσης προσμίξεων στα όρια της περιοχής απογύμνωσης

(−𝑊

2 και

𝑊

2) είναι ίδια και ίσα με

𝑎𝑊

2, το δομημένο δυναμικό για μια γραμμικά βαθμωτή

επαφή μπορεί να εκφραστεί από μια σχέση παρόμοια με την εξίσωση 12:

𝑉𝑏𝑖 =𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛 (

𝑎𝑊

2

𝑎𝑊

2

𝑛𝑖2 ) =

2𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛 (

𝑎𝑊

2𝑛𝑖) (32)

Με βάση μια ακριβή αριθμητική τεχνική, το δομημένο δυναμικό είναι:

𝑉𝑏𝑖 =2

3

𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛 (

𝑎2𝜀𝑠𝑘𝑇/𝑞

8𝑞𝑛𝑖2 )

Για δοσμένη βάθμωση προσμίξεων, η 𝑉𝑏𝑖 είναι μικρότερη από την υπολογισμένη (εξίσωση

32) κατά 0.05𝑉 έως 0.1𝑉.

Αν αντικαταστήσουμε το 𝑊 από την εξίσωση 31 στην εξίσωση 32, μας δίνει την το δομημένο

δυναμικό σαν συνάρτηση του 𝑎. Τα αποτελέσματα για γραμμικά βαθμωτές επαφές Si και

GaAs δίνονται στο Σχήμα 10.

14

Σχήμα 10. Το δυναμικό 𝑉𝑏𝑖 σε γραμμικά βαθμωτές επαφές Si και GaAs σαν συνάρτηση της

βάθμωσης προσμίξεων.

Όταν εφαρμόζεται είτε ορθή είτε ανάστροφη πόλωση σε μια γραμμικά βαθμωτή επαφή, οι

μεταβολές του βάθους απογύμνωσης και των διαγραμμάτων ενεργειακών ζωνών θα είναι

παρόμοιες με αυτές που δείχνονται στο Σχήμα 8 για απότομες επαφές. Όμως, το βάθος

απογύμνωσης θα αλλάζει με το (𝑉𝑏𝑖 − 𝑉)13⁄ , όπου 𝑉 είναι θετική για ορθή πόλωση και

αρνητική για ανάστροφη πόλωση, ενώ για τις απότομες επαφές το 𝑊 αλλάζει με το

(𝑉𝑏𝑖 − 𝑉)12⁄ .

3.3. Χωρητικότητα απογύμνωσης

Η χωρητικότητα απογύμνωσης ανά μονάδα επιφάνειας ορίζεται ως 𝐶𝑗 =𝑑𝑄

𝑑𝑉, όπου 𝑑𝑄 είναι

η απειροελάχιστη μεταβολή του φορτίου ανά μονάδα επιφάνειας στην περιοχή

απογύμνωσης για κάθε απειροελάχιστη αλλαγή της εφαρμοζόμενης τάσης 𝑑𝑉.

Το Σχήμα 11 δείχνει την χωρητικότητα απογύμνωσης μιας επαφής p-n με τυχαία κατανομή

προσμίξεων. Η κατανομή του φορτίου και του ηλεκτρικού πεδίου που δίνονται από τις

συνεχείς γραμμές αντιστοιχούν σε μια τάση 𝑉 που εφαρμόζεται στην επαφή n (ανάστροφη

πόλωση).

Σχήμα 11. (α) Επαφή p-n με τυχαία κατανομή προσμίξεων κάτω από ανάστροφη πόλωση. (β)

Μεταβολή της κατανομής του φορτίου χώρου λόγω της αλλαγής του της τάσης πόλωσης. (γ)

Αντιστοιχούσα μεταβολή της κατανομής ηλεκτρικού πεδίου.

Αν αυτή η τάση αυξάνεται κατά 𝑑𝑉, η κατανομή του φορτίου και του ηλεκτρικού πεδίου θα

εξαπλωθούν στις περιοχές που δείχνονται από τις διακεκομμένες γραμμές. Στο Σχήμα 11β, η

15

απειροελάχιστη αλλαγή φορτίου 𝑑𝑄 αντιστοιχεί στην σκιασμένη περιοχή μεταξύ των δύο

καμπυλών κατανομής φορτίου σε κάθε πλευρά της περιοχής απογύμνωσης. Οι

απειροελάχιστες μεταβολές του φορτίου χώρου στις πλευρές n και p της περιοχής

απογύμνωσης είναι ακριβώς ίσες αλλά με αντίθετο πρόσημο, διατηρώντας έτσι την συνολική

ουδετερότητα φορτίου. Αυτή η απειροελάχιστη μεταβολή 𝑑𝑄 έχει σαν αποτέλεσμα την

αύξηση του ηλεκτρικού πεδίου κατά 𝑑𝐸 = 𝑑𝑄/𝜀𝑠 (εξίσωση Poisson). Η αλλαγή που

αντιστοιχεί στην εφαρμοζόμενη τάση 𝑑𝑉 δίνεται στην σκιασμένη περιοχή στο Σχήμα 11γ και

είναι περίπου ίση με 𝑊𝑑𝐸 που ισούται με 𝑊𝑑𝑄/𝜀𝑠. Κατά συνέπεια η χωρητικότητα

απογύμνωσης ανά μονάδα επιφανείας δίνεται από την:

𝐶𝑗 =𝑑𝑄

𝑑𝑉=

𝑑𝑄

𝑊𝑑𝑄

𝜀𝑠

=𝜀𝑠

𝑊𝐹/𝑐𝑚2 (33)

Η εξίσωση της χωρητικότητας απογύμνωσης ανά μονάδα επιφανείας είναι η ίδια με έκφραση

του πυκνωτή παραλλήλων πλακών όπου η απόσταση μεταξύ των δύο πλακών αναπαριστά

το εύρος της ζώνης απογύμνωσης. Η εξίσωση ισχύει για κάθε τυχαία κατανομή προσμίξεων.

Για την εξίσωση 33 υποθέσαμε ότι στην διαμόρφωση της χωρητικότητας συνεισφέρει μόνο

η κατανομή του φορτίου χώρου. Αυτή είναι σίγουρα μια καλή υπόθεση για την ανάστροφη

πόλωση, όπως είδαμε. Για ορθές πολώσεις μια μεγάλη ποσότητα ρεύματος μπορεί να ρέει

κατά μήκος της επαφής που αντιστοιχεί σε έναν μεγάλο αριθμό κινούμενων φορέων που

είναι παρόντα στην περιοχή απογύμνωσης. Η απειροελάχιστη μεταβολή αυτών των

κινούμενων φορέων σε σχέση με την τάση πόλωσης συνεισφέρει με έναν συμπληρωματικό

όρο, που ονομάζεται χωρητικότητα διάχυσης, που θα την αναλύσουμε πιο κάτω (στο

υποκεφάλαιο 3.5).

Για επαφή μονής περιοχής p+-n, με βάση τις εξισώσεις 27 και 33 έχουμε:

𝐶𝑗 =𝜀𝑠

𝑊= √

𝑞𝜀𝑠𝑁𝐵

2(𝑉𝑏𝑖−𝑉) (34)

Ή

1

𝐶𝑗2 =

2(𝑉𝑏𝑖−𝑉)

𝑞𝜀𝑠𝑁𝐵 (35)

Από την εξίσωση 35 γίνεται προφανές ότι η εξάρτηση του 1

𝐶𝑗2 από την 𝑉 είναι μια ευθεία

γραμμή στην επαφή μονής περιοχής p+-n. Η κλίση δίνει την μικρή συγκέντρωση 𝑁𝐵 (στην

περίπτωση αυτή είναι ίση με 𝑁𝐷) και η τομή στο 1

𝐶𝑗2 = 0, δίνει το 𝑉𝑏𝑖.

Οι χαρακτηριστικές χωρητικότητας – τάσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να

μελετήσουμε την τυχαία κατανομή προσμίξεων. Θεωρούμε την επαφή μονής περιοχής p+-n

με ένα προφίλ προσμίξεων στην επαφή n όπως δείχνεται στο Σχήμα 12β. Όπως και

προηγουμένως, η απειροελάχιστη αλλαγή στο φορτίο της ζώνης απογύμνωσης ανά μονάδα

επιφανείας 𝑑𝑄 για μια απειροελάχιστη μεταβολή της εφαρμοζόμενης τάσης 𝑑𝑉 δίνεται από

την 𝑞𝑁(𝑊)𝑑𝑊 (που δίνεται στην σκιασμένη περιοχή του Σχήματος 11β). Η αντιστοιχούσα

αλλαγή στην εφαρμοζόμενη τάση (σκιασμένη περιοχή στο Σχήμα 11γ) είναι:

𝑑𝑉 ≅ (𝑑𝐸)𝑊 = (𝑑𝑄

𝜀𝑠)𝑊 =

𝑞𝑁(𝑊)𝑑(𝑊2)

2𝜀𝑠 (36)

16

Αντικαθιστώντας το 𝑊 από την εξίσωση 33, έχουμε την έκφραση της συγκέντρωσης

προσμίξεων στο όριο της περιοχής απογύμνωσης:

𝑁(𝑊) =2

𝑞𝜀𝑠

(

1

𝑑(1

𝐶𝑗2)

𝑑𝑉⁄

)

(37)

Έτσι, μπορούμε να μετρήσουμε την χωρητικότητα ανά μονάδα επιφανείας ως προς την

ανάστροφη πόλωση και να φτιάξουμε το διάγραμμα 1

𝐶𝑗2 ως προς 𝑉. Η κλίση του

διαγράμματος, δηλαδή το 𝑑 (

1

𝐶𝑗2)

𝑑𝑉⁄ δίνει το 𝑁(𝑊). Επίσης, το 𝑊 υπολογίζεται επίσης από

την εξίσωση 33. Μια σειρά από τέτοιους υπολογισμούς δημιουργεί ένα πλήρες προφίλ

προσμίξεων. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται ως η 𝐶 − 𝑉 μέθοδος υπολογισμού του προφίλ

προσμίξεων.

17

Σχήμα 12. (α) p+-n επαφή με μια τυχαία κατανομή προσμίξεων. (β) Μεταβολή της κατανομής

φορτίου χώρου στην ελαφρά νοθευμένη περιοχή λόγω της αλλαγής της τάσης πόλωσης. (γ)

Επακόλουθη αλλαγή της κατανομής του ηλεκτρικού πεδίου.

Σε μια γραμμικά βαθμωτή επαφή, η χωρητικότητα της περιοχής απογύμνωσης επιτυγχάνεται

από τις εξισώσεις 31 και 33:

𝐶𝑗 =𝜀𝑠

𝑊= (

𝑞𝑎𝜀𝑠2

12(𝑉𝑏𝑖−𝑉))13⁄

𝐹𝑐𝑚2⁄ (38)

Σε μια τέτοια επαφή μπορούμε να μετρήσουμε το 1𝐶3⁄ ως προς 𝑉 και να βρούμε την

βάθμωση προσμίξεων και την 𝑉𝑏𝑖 από την κλίση την τομή της καμπύλης στο 𝑉 = 0.

Πολλές κυκλωματικές εφαρμογές σχετίζονται με τις ιδιότητες μεταβλητής τάσης στην

ανάστροφη πόλωση επαφών p-n. Η επαφή p-n που σχεδιάζεται για τέτοιες εφαρμογές,

λέγεται varactor, που είναι η σύντμηση του variable reactor. Όπως αποδείχτηκες

προηγουμένως, η χωρητικότητα ανάστροφης πόλωσης δίνεται από την:

𝐶𝑖 ∝ (𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅)−𝑛 (39)

Ή

𝐶𝑖 ∝ (𝑉𝑏𝑖)−𝑛 για 𝑉𝑅 ≫ 𝑉𝑏𝑖 (39α)

Όπου 𝑛 =1

3 για γραμμικά βαθμωτή επαφή και 𝑛 =

1

2 για την απότομη επαφή. Έτσι, η

ευαισθησία της εξάρτησης της χωρητικότητας 𝐶 (δηλαδή της εξάρτησης της 𝐶 από την 𝑉𝑅)

είναι μεγαλύτερη σε μια απότομη επαφή από ότι σε μια γραμμικά βαθμωτή επαφή.

Μπορούμε να αυξήσουμε την ευαισθησία μέτρησης χρησιμοποιώντας μια υπερ-απότομη

επαφή έχοντας εκθετικό 𝑛 >1

2.

Το Σχήμα 13 δείχνει τρία p+-n προφίλ προσμίξεων με κατανομή δοτών 𝑁𝐷(𝑥) που δίνεται από

την 𝐵(𝑥 𝑥𝑜⁄ )𝑚, όπου 𝐵 και 𝑥𝑜 είναι σταθερές και 𝑚 = 1 για γραμμωτά βαθμωτή επαφή, 𝑚 =

0 για μια απότομη επαφή και 𝑚 = −3/2 για μια υπεραπότομη επαφή. Για να βρούμε την

σχέση χωρητικότητας – τάσης, λύνουμε την εξίσωση Poisson:

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2= −𝐵 (

𝑥

𝑥𝑜)𝑚

(40)

18

Σχήμα 13. Προφίλ προσμίξεων για υπεραπότομη, απότομη μονής περιοχής και μονής

περιοχής βαθμωτής επαφής.

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση 40 διπλά με κατάλληλες οριακές συνθήκες δίνει την εξάρτηση

του βάθους απογύμνωσης από την ανάστροφη τάση:

𝑊 ∝ (𝑉𝑅)1(𝑚+2)⁄

(41)

Έτσι:

𝐶𝑖 =𝜀𝑠

𝑊∝ (𝑉𝑅)

−1 (𝑚+2)⁄ (42)

Συγκρίνοντας την εξίσωση 42 με την εξίσωση 39α οδηγεί 𝑛 = 1 (𝑚 + 2)⁄ . Για υπεραπότομες

επαφές με 𝑛 > 1/2, το 𝑚 πρέπει να είναι αρνητικός αριθμός.

Επιλέγοντας διαφορετικές τιμές του 𝑚 βρίσκουμε μεγάλες μεταβολές του 𝐶𝑖 ως προς 𝑉𝑅 για

ειδικές εφαρμογές. Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα δείχνεται στο Σχήμα 13, στην περίπτωση

𝑚 = −3/2. Για την περίπτωση αυτή 𝑛 = 2. Όταν αυτός ο varactor συνδέεται με επαγωγή 𝐿

σε ένα κύκλωμα συντονισμού, η συχνότητα συντονισμού μεταβάλλεται ανάλογα με την τάση

που εφαρμόζεται στον varactor:

𝜔𝑠 =1

√𝐿𝐶𝑗∝

1

√𝑉𝑅−𝑛= 𝑉𝑅 για 𝑛 = 2 (43)

19

3.4. Χαρακτηριστικές ρεύματος – τάσης

Η τάση που εφαρμόζεται στην επαφή p-n θα διαταράξει την ισορροπία μεταξύ των ρευμάτων

διάχυσης και ολίσθησης των ηλεκτρονίων και των οπών. Κάτω από ορθή πόλωση, η τάση που

εφαρμόζεται μειώνει το ηλεκτροστατικό δυναμικό κατά μήκος της περιοχής απογύμνωσης

όπως δείχνεται στο Σχήμα 14α. Το ρεύμα ολίσθησης μειώνεται σε σχέση με το ρεύμα

διάχυσης. Έχουμε μια αυξημένη διάχυση οπών από την περιοχή p στην περιοχή n, καθώς

επίσης και αυξημένη διάχυση ηλεκτρονίων από την πλευρά n στην πλευρά p. Κατά συνέπεια,

προκαλούνται εγχύσεις φορέων μειονότητας, δηλαδή ηλεκτρόνια εγχέονται στην πλευρά p

και οπές εγχέονται στην περιοχή n. Σε συνθήκες ανάστροφης πόλωσης, η εφαρμοζόμενη

τάση μεγαλώνει το ηλεκτροστατικό δυναμικό κατά μήκος της περιοχής απογύμνωσης όπως

δείχνεται στο μέσο του Σχήματος 14β. Αυτό μειώνει δραματικά τα ρεύματα διάχυσης,

έχοντας σαν αποτέλεσμα ένα μικρό ανάστροφο ρεύμα. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε

την χαρακτηριστική απόκριση μιας ιδανικής διόδου. Στην συνέχεια θα συζητήσουμε την

απομάκρυνση από αυτές τις ιδανικές συνθήκες και θα δούμε άλλα φαινόμενα, όπως γένεση

και επανασύνδεση κλπ.

Σχήμα 14. Περιοχή απογύμνωσης, διάγραμμα ενεργειακών ζωνών και συγκέντρωση φορέων

σε (α) ορθή πόλωση και (β) ανάστροφη πόλωση.

20

3.4.1. Ιδανική δίοδος

Στην συνέχεια θα μελετήσουμε την χαρακτηριστική ρεύματος – τάσης, βασιζόμενοι στις

παρακάτω υποθέσεις:

• Απότομη περιοχή απογύμνωσης, ήτοι η ζώνη απογύμνωσης έχει απότομα όρια και

έξω από αυτά τα όρια, ο ημιαγωγός υποτίθεται ότι είναι ουδέτερος

• Οι πυκνότητες φορέων στα όρια σχετίζονται με την ηλεκτροστατική διαφορά

δυναμικού της επαφής

• Συνθήκη χαμηλής έγχυσης, ήτοι οι φορείς μειονότητας είναι λίγοι σε σχέση με την

πυκνότητα των φορέων πλειονότητας (με άλλα λόγια οι πυκνότητες των φορέων

πλειονότητας αλλάζουν ελάχιστα στα όρια των ουδέτερων περιοχών από την

επιβαλλόμενη τάση

• Δεν συμβαίνουν ούτε φαινόμενα γένεσης ούτε επανασύνδεσης στην περιοχή

απογύμνωσης και τα ρεύματα ηλεκτρονίων και οπών διατηρούνται σταθερά καθ’ όλο

το μήκος της περιοχής απογύμνωσης

Αποκλίσεις από αυτές τις συνθήκες θα συζητηθούν στο επόμενο κεφάλαιο.

Στην θερμική ισορροπία, η πυκνότητα των φορέων πλειονότητας είναι πρακτικά ίση με την

συγκέντρωση προσμίξεων. Θα χρησιμοποιήσουμε τους δείκτες 𝑛 και 𝑝 για να δείξουμε τον

τύπο του ημιαγωγού και τον δείκτη 𝜊 για να προσδιορίσουμε την συνθήκη θερμικής

ισορροπίας. Κατά συνέπεια, 𝑛𝑛𝑜 και 𝑛𝑝𝑜 είναι οι πυκνότητες ηλεκτρονίων σε συνθήκες

ισορροπίας στις περιοχές 𝑛 και 𝑝 αντίστοιχα. Παρόμοια, 𝑝𝑛𝑜 και 𝑝𝑝𝑜 είναι οι πυκνότητες οπών

σε συνθήκες ισορροπίας στις περιοχές 𝑛 και 𝑝 αντίστοιχα. Η έκφραση του δομημένου

δυναμικού της εξίσωσης 12 μπορεί να ξαναγραφεί ως:

𝑉𝑏𝑖 =𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛𝑝𝑝𝑜𝑛𝑛𝑜

𝑛𝑖2 =

𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛𝑛𝑛𝑜

𝑛𝑝𝑜 (44)

Όπου ο νόμος δράσης των μαζών μας δίνει 𝑝𝑝𝑜𝑛𝑝𝑜 = 𝑛𝑖2. Ξαναγράφοντας την εξίσωση 44:

𝑛𝑛𝑜 = 𝑛𝑝𝑜𝑒𝑞𝑉𝑏𝑖𝐾𝑇 (45)

Ομοίως:

𝑝𝑝𝑜 = 𝑝𝑛𝑜𝑒𝑞𝑉𝑏𝑖𝐾𝑇 (46)

Από τις εξισώσεις 45 και 46 έχουμε ότι η πυκνότητα ηλεκτρονίων και οπών στις δύο άκρες

της ζώνης απογύμνωσης ρυθμίζονται από το δομημένο δυναμικό 𝑉𝑏𝑖σε συνθήκες θερμικής

ισορροπίας. Η ηλεκτροστατική διαφορά δυναμικού αλλάζει από την εξωτερική τάση

τροφοδοσίας και αναμένουμε να ισχύει η ίδια σχέση.

Όταν εφαρμόζεται ορθή τάση, η διαφορά ηλεκτροστατικού δυναμικού μειώνεται στο 𝑉𝑏𝑖 −

𝑉𝐹. Αλλά όταν εφαρμόζεται ανάστροφη τάση, η διαφορά ηλεκτροστατικού δυναμικού

αυξάνεται στο 𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅. Έτσι, η εξίσωση 45 γίνεται:

𝑛𝑛 = 𝑛𝑝𝑒𝑞(𝑉𝑏𝑖−𝑉)

𝐾𝑇 (47)

Όπου 𝑛𝑛 και 𝑛𝑝 είναι οι εκτός ισορροπίας πυκνότητες ηλεκτρονίων στα όρια της ζώνης

απογύμνωσης στις πλευρές 𝑛 και 𝑝 αντίστοιχα και τάση 𝑉 είναι θετική για ορθή πόλωση και

21

αρνητική για ανάστροφη πόλωση. Για συνθήκες χαμηλής έγχυσης, η πυκνότητα των

εγχυμένων φορέων μειονότητας είναι πολύ μικρότερη από την πυκνότητα φορέων

πλειονότητας. Κατά συνέπεια 𝑛𝑛 ≅ 𝑛𝑛𝑜. Αντικαθιστώντας αυτή την συνθήκη και την εξίσωση

45 στην εξίσωση 47 δίνει την πυκνότητα ηλεκτρονίων στο όριο της περιοχής απογύμνωσης

στην περιοχή p (𝑥 = −𝑥𝑝):

𝑛𝑝 = 𝑛𝑝𝑜𝑒𝑞𝑉

𝐾𝑇 (48)

Ή

𝑛𝑝 − 𝑛𝑝𝑜 = 𝑛𝑝𝑜(𝑒𝑞𝑉

𝐾𝑇 − 1) (48α)

Ομοίως:

𝑝𝑛 = 𝑝𝑛𝑜𝑒𝑞𝑉

𝐾𝑇 (49)

Ή

𝑝𝑛 − 𝑝𝑛𝑜 = 𝑝𝑛𝑜(𝑒𝑞𝑉

𝐾𝑇 − 1) (49α)

Στο 𝑥 = 𝑥𝑛 για το όριο της περιοχής n. Τα Σχήματα 14α και 14β δείχνουν τα διαγράμματα

ζωνών και τις συγκεντρώσεις φορέων στην επαφή p-n κάτω από ορθή ή ανάστροφη πόλωση

αντίστοιχα. Οι πυκνότητες φορέων μειονότητας στα όρια −𝑥𝑝 και 𝑥𝑛 αυξάνονται σημαντικά

πάνω από τιμές ισορροπίας των κάτω από ορθή πόλωση, ενώ μειώνονται κάτω από τις τιμές

ισορροπίας των κάτω από ανάστροφη πόλωση. Οι εξισώσεις 48 και 49 προσδιορίζουν τις

πυκνότητες φορέων μειονότητας στα όρια της ζώνης απογύμνωσης. Αυτές οι εξισώσεις είναι

οι πλέον σημαντικές οριακές συνθήκες για τον προσδιορισμό της χαρακτηριστικής ρεύματος

– τάσης.

Λαμβάνοντας υπόψη τις ιδανικές προϋποθέσεις μας, δεν δημιουργείται ρεύμα μέσα στην

ζώνη απογύμνωσης: όλα τα ρεύματα προέρχονται από τις ουδέτερες περιοχές. Στην

ουδέτερη περιοχή n δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο και έτσι η εξίσωση συνέχειας ανάγεται

στην:

𝑑2𝑝𝑛

𝑑𝑥2−𝑝𝑛−𝑝𝑛𝑜

𝐷𝑝𝜏𝑝= 0 (50)

Η λύση της εξίσωσης 50 με τις οριακές συνθήκες της εξίσωσης 49 και 𝑝𝑛(𝑥 = ∞) = 𝑝𝑛𝑜, δίνει:

𝑝𝑛 − 𝑝𝑛𝑜 = 𝑝𝑛𝑜 (𝑒𝑞𝑉

𝑘𝑇 − 1) 𝑒−𝑥−𝑥𝑛𝐿𝑝 (51)

Όπου 𝐿𝑝(= √𝐷𝑝𝜏𝑝) είναι το μήκος διάχυσης οπών (φορείς μειονότητας) στην περιοχή n. Στο

𝑥 = 𝑥𝑛:

𝐽𝑝(𝑥𝑛) = −𝑞𝐷𝑝𝑑𝑝𝑛

𝑑𝑥|𝑥𝑛 =

𝑞𝐷𝑝𝑝𝑛𝑜

𝐿𝑝(𝑒

𝑞𝑉

𝑘𝑇 − 1) (52)

Ομοίως για την ουδέτερη περιοχή p:

𝑛𝑝 − 𝑛𝑝𝑜 = 𝑛𝑝𝑜 (𝑒𝑞𝑉

𝑘𝑇 − 1) 𝑒𝑥+𝑥𝑝

𝐿𝑛 (53)

και

22

𝐽𝑛(−𝑥𝑝) = 𝑞𝐷𝑛𝑑𝑛𝑝

𝑑𝑥| − 𝑥𝑝 =

𝑞𝐷𝑛𝑛𝑝𝑜

𝐿𝑛(𝑒

𝑞𝑉

𝑘𝑇 − 1) (54)

Όπου 𝐿𝑛(= √𝐷𝑛𝜏𝑛) είναι το μήκος διάχυσης ηλεκτρονίων (φορείς μειονότητας) στην

περιοχή p. Οι πυκνότητες των φορέων μειονότητας (εξισώσεις 51 και 53) δίνονται στο μέσο

του Σχήματος 15. Οι γραφικές δείχνουν ότι οι εγχυμένοι φορείς μειονότητας

επανασυνδέονται με τους φορείς πλειονότητας καθώς οι φορείς μειονότητας φεύγουν από

τις οριακές συνθήκες. Τα ρεύματα οπών και ηλεκτρονίων δίνονται στο κάτω τμήμα του

Σχήματος 15. Τα ρεύματα οπών και ηλεκτρονίων στα όρια δίνονται από τις εξισώσεις 52 και

54 αντίστοιχα. Το ρεύμα διάχυσης οπών θα μειώνεται εκθετικά στην περιοχή n με μήκος

διάχυσης 𝐿𝑝 και το ρεύμα διάχυσης ηλεκτρονίων θα μειώνεται εκθετικά στην περιοχή p με

μήκος διάχυσης 𝐿𝑛.

Σχήμα 15. Κατανομή εγχυμένων φορέων μειονότητας και ρεύματα ηλεκτρονίων και οπών: (α)

ορθή πόλωση, (β) ανάστροφη πόλωση.

23

Το συνολικό ρεύμα είναι συνεχές κατά μήκος της διάταξης και είναι το άθροισμα των

εξισώσεων 52 και 54:

𝐽 = 𝐽𝑝(𝑥𝑛) + 𝐽𝑛(−𝑥𝑝) = 𝐽𝑠(𝑒𝑞𝑉

𝑘𝑇 − 1) (55)

𝐽𝑠 ≡𝑞𝐷𝑝𝑝𝑛𝑜

𝐿𝑝+𝑞𝐷𝑛𝑛𝑝𝑜

𝐿𝑛 (55α)

Όπου 𝐽𝑠 είναι η πυκνότητα ρεύματος κορεσμού. Η εξίσωση 55 είναι η εξίσωση ιδανικής

διόδου. Η ιδανική χαρακτηριστική δίνεται στο Σχήμα 16α και 16β Καρτεσιανά και

ημιλογαριθμικά διαγράμματα αντίστοιχα.

24

Σχήμα 16. Ιδανική χαρακτηριστική ρεύματος – τάσης. (α) Καρτεσιανό διάγραμμα, (β)

Ημιλογαριθμικό διάγραμμα.

Στην διεύθυνση ορθής πόλωσης με θετική τάση στην επαφή p, για 𝑉 ≥ 3𝑘𝑇 𝑞⁄ , ο ρυθμός

αύξησης του ρεύματος είναι σταθερός (Σχήμα 16β). Στους 300Κ για κάθε δεκάδα αλλαγής

ρεύματος η αλλαγή τάσης στην ιδανική δίοδο είναι 60 𝑚𝑉(= 2.3𝑘𝑇 𝑞⁄ ). Στην ανάστροφη

διεύθυνση, η πυκνότητα ρεύματος δίνει κορεσμό στο −𝐽𝑠.

3.4.2. Γένεση και επανασύνδεση φορέων

Η εξίσωση της ιδανικής διόδου, εξίσωση 55,περιγράφει την χαρακτηριστική της επαφής p-n

σε γερμάνιο σε χαμηλές πυκνότητες ρεύματος. Για τις επαφές p-n σε Si & GaAs η ιδανική

εξίσωση μπορεί να δώσει μόνο ποιοτική συμφωνία εξαιτίας της γένεσης και επανασύνδεσης

των φορέων στην περιοχή απογύμνωσης.

Σε συνθήκες ανάστροφης πόλωσης, οι συγκεντρώσεις των φορέων στην ζώνη απογύμνωσης

βρίσκονται πολύ μακριά από τις συγκεντρώσεις ισορροπίας. Οι βασικές διαδικασίες γένεσης

και επανασύνδεσης που συζητήθηκαν στο Κεφάλαιο 2 είναι εκείνες που αφορούν στις

εκπομπές ηλεκτρονίων και οπών μέσω των κέντρων γένεσης και επανασύνδεσης που

βρίσκονται στο ενεργειακό διάκενο. Η παγίδευση φορέων δεν είναι σημαντική διότι οι

ρυθμοί της είναι ανάλογη της συγκέντρωσης των ελεύθερων φορέων που είναι πολύ μικρές

στην ζώνη απογύμνωσης στην περίπτωση της ανάστροφης πόλωσης.

Αυτές οι δύο διαδικασίες εκπομπής στην μόνιμη κατάσταση λειτουργούν με την εναλλαγή

εκπομπής ηλεκτρονίων και οπών. Ο ρυθμός γένεσης ενός ζεύγους ηλεκτρονίου – οπής μπορεί

να επιτευχθεί από την εξίσωση 63 του Κεφαλαίου 2 με συνθήκες 𝑝𝑛 < 𝑛𝑖 και 𝑛𝑛 < 𝑛𝑖:

𝐺 = −𝑈 = (𝜎𝑝𝜎𝑛𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡

𝜎𝑛𝑒𝐸𝑡−𝐸𝑖𝑘𝑇 +𝜎𝑝𝑒

𝐸𝑖−𝐸𝑡𝑘𝑇

)𝑛𝑖 ≡𝑛𝑖

𝜏𝑔 (56)

Όπου 𝜏𝑔, ο χρόνος ζωής της γένεσης, είναι το ανάστροφο της παρένθεσης στην εξίσωση 56.

Από αυτή την έκφραση μπορούμε να οδηγηθούμε σε μια σημαντική διαπίστωση για την

γένεση ηλεκτρονίου και οπής. Ας θεωρήσουμε μια απλή περίπτωση όπου 𝜎𝑛 = 𝜎𝑝 = 𝜎𝜊. Για

την περίπτωση αυτή, η εξίσωση 56 ανάγεται στην:

𝐺 = −𝑈 =𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡𝑛𝑖

𝑒𝐸𝑡−𝐸𝑖𝑘𝑇 +𝑒

𝐸𝑖−𝐸𝑡𝑘𝑇

=𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡𝑛𝑖

2cosh(𝐸𝑡−𝐸𝑖𝑘𝑇

) (57)

Ο ρυθμός γένεσης φτάνει σε μια μέγιστη τιμή στην 𝐸𝑡 = 𝐸𝑖 και μειώνεται εκθετικά καθώς η

𝐸𝑡 κινείται στις δύο διευθύνσεις από το κέντρο του ενεργειακού διάκενου. Έτσι, μόνο εκείνα

τα κέντρα με ενεργειακό επίπεδο 𝐸𝑡 κοντά στο ενδογενές επίπεδο Fermi μπορούν να

συνεισφέρουν σημαντικά στον ρυθμό γένεσης.

Το ρεύμα εξαιτίας της γένεσης στην περιοχή απογύμνωσης είναι:

𝐽𝑔𝑒𝑛 = ∫ 𝑞𝐺𝑑𝑥𝑊

0≅ 𝑞𝐺𝑊 =

𝑞𝑛𝑖𝑊

𝜏𝑔 (58)

Όπου 𝑊 είναι το βάθος της ζώνης απογύμνωσης. Το ολικό ρεύμα ανάστροφης πόλωσης σε

μια επαφή p+-n (όπου 𝑁𝐴 ≫ 𝑁𝐷 και για 𝑉𝑅 ≫ 3𝑘𝑇/𝑞, μπορεί να προσεγγισθεί από το

άθροισμα του ρεύματος διάχυσης των ουδέτερων περιοχών και της γένεσης φορέων στην

ζώνη απογύμνωσης:

25

𝐽𝑅 ≅ 𝑞√𝐷𝑝

𝜏𝑝

𝑛𝑖2

𝑁𝐷+𝑞𝑛𝑖𝑊

𝜏𝑔 (59)

Για ημιαγωγούς με μεγάλη τιμή του 𝑛𝑖, όπως το Ge, το ρεύμα διάχυσης κυριαρχεί σε

θερμοκρασία δωματίου και το ανάστροφο ρεύμα διόδου ακολουθεί την ιδανική εξίσωση

διόδου. Αλλά, αν το 𝑛𝑖 είναι μικρό, όπως στο Si και στο GaAs το ρεύμα γένεσης της ζώνης

απογύμνωσης, μπορεί να κυριαρχεί.

Σε ορθή πόλωση, οι συγκεντρώσεις και των ηλεκτρονίων και των οπών βγαίνουν από τις τιμές

ισορροπίας. Οι φορείς θα επιχειρήσουν να επιστρέψουν στις τιμές ισορροπίας των μέσω

επανασύνδεσης. Κατά συνέπεια οι κυρίαρχες διαδικασίες γένεσης – επανασύνδεσης στην

περιοχή απογύμνωσης είναι η διαδικασία παγίδευσης (capture process). Από την εξίσωση

49, έχουμε:

𝑝𝑛𝑛𝑛 ≅ 𝑝𝑛𝑜𝑛𝑛𝑜𝑒𝑞𝑉

𝑘𝑇 = 𝑛𝑖2𝑒

𝑞𝑉

𝑘𝑇 (60)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση 60 στην εξίσωση 66 του κεφαλαίου 2 και θεωρώντας ότι 𝜎𝑛 =

𝜎𝑝 = 𝜎𝜊:

𝑈 =𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡𝑛𝑖

2(𝑒𝑞𝑉𝑘𝑇−1)

𝑛𝑛+𝑝𝑛+2𝑛𝑖cosh(𝐸𝑖−𝐸𝑡𝑘𝑇

) (61)

Ο ρυθμός επανασύνδεσης έχει ένα ευρύτερο μέγιστο από ότι ο ρυθμός γένεσης (Σχήμα 15

του κεφαλαίου 2). Πάντως, είτε στην επανασύνδεση ή στην γένεση, τα πιο αποτελεσματικά

κέντρα είναι αυτά που βρίσκονται γύρω από το 𝐸𝑖. Ως πρακτικά παραδείγματα, ο χρυσός και

ο χαλκός δίνουν αποτελεσματικά κέντρα γένεσης και επανασύνδεσης στο πυρίτιο όπου οι

τιμές 𝐸𝑡 − 𝐸𝑖 είναι 0.02 𝑒𝑉 για τον χρυσό και -0.02 𝑒𝑉 για τον χαλκό. Στο GaAs το χρώμιο δίνει

ένα αποτελεσματικό κέντρο με τιμή 𝐸𝑡 − 𝐸𝑖 στα 0.08 𝑒𝑉.

Η εξίσωση 61 μπορεί να απλοποιηθεί για την περίπτωση τιμές 𝐸𝑡 = 𝐸𝑖:

𝑈 = 𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡

𝑛𝑖2(𝑒

𝑞𝑉𝑘𝑇−1)

𝑛𝑛+𝑝𝑛+2𝑛𝑖 (62)

Για μια ορθή πόλωση, το 𝑈 φθάνει σε μια μέγιστη τιμή σε μια θέση στην περιοχή

απογύμνωσης είτε όταν το πηλίκο 𝑛𝑛 + 𝑝𝑛 + 2𝑛𝑖 γίνεται ελάχιστο είτε όταν το άθροισμα των

συγκεντρώσεων ηλεκτρονίων και οπών 𝑛𝑛 + 𝑝𝑛 είναι στην ελάχιστη τιμή της. Δεδομένου ότι

το γινόμενο αυτών των συγκεντρώσεων είναι μια σταθερά που δίνεται από την εξίσωση 60,

η συνθήκη 𝑑(𝑛𝑛 + 𝑝𝑛) οδηγεί στην:

𝑑𝑝𝑛 = −𝑑𝑛𝑛 =𝑝𝑛𝑛𝑛

𝑝𝑛2 𝑑𝑝𝑛 (63)

Ή

𝑝𝑛 = 𝑛𝑛 (64)

Ως η συνθήκη για αυτό το ελάχιστο. Αυτή η συνθήκη ευρίσκεται στην τοποθεσία της περιοχής

απογύμνωσης όπου το 𝐸𝑖 είναι στην μέση μεταξύ του 𝐸𝐹𝑝 και 𝐸𝐹𝑛 όπως δείχνεται στο κέντρο

του Σχήματος 14α. Εδώ, οι συγκεντρώσεις των φορέων είναι:

26

𝑝𝑛 = 𝑛𝑛 = 𝑛𝜄𝑒𝑞𝑉

𝑘𝑇 (65)

Και κατά συνέπεια:

𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡

𝑛𝑖2(𝑒

𝑞𝑉𝑘𝑇−1)

2𝑛𝑖(𝑒𝑞𝑉2𝑘𝑇+1)

(66)

Για 𝑉 ≥ 3𝑘𝑇 𝑞⁄ :

𝑈𝑚𝑎𝑥 ≅1

2𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡𝑛𝑖𝑒

𝑞𝑉

2𝑘𝑇 (67)

Έτσι, το ρεύμα επανασύνδεσης είναι:

𝐽𝑟𝑒𝑐 = ∫ 𝑞𝑈𝑑𝑥𝑊

0≅𝑞𝑊

2𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡𝑛𝑖𝑒

𝑞𝑉

2𝑘𝑇 =𝑞𝑊𝑛𝑖

2𝜏𝑟𝑒𝑞𝑉

2𝑘𝑇 (68)

Όπου 𝜏𝑟 είναι ο φαινόμενος χρόνος ζωής επανασύνδεσης και ισούται με 1 𝜎𝜊𝑣𝑡ℎ𝑁𝑡⁄ . Το ολικό

ρεύμα ορθής πόλωσης είναι κατά προσέγγιση ίσο με το άθροισμα των εξισώσεων 55 και 68

και για 𝑝𝑛𝑜 ≫ 𝑛𝑝𝑜 και για 𝑉 ≫ 3𝑘𝑇/𝑞, έχουμε:

𝐽𝐹 = 𝑞√𝐷𝑝

𝜏𝑝

𝑛𝑖2

𝑁𝐷𝑒𝑞𝑉

𝑘𝑇 +𝑞𝑊𝑛𝑖

2𝜏𝑟𝑒𝑞𝑉

2𝑘𝑇 (69)

Εν γένει, τα πειραματικά αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν εμπειρικά από την:

𝐽𝐹 ∝ 𝑒𝑞𝑉

𝑛𝑘𝑇 (70)

Όπου ο συντελεστής 𝑛 ονομάζεται συντελεστής ιδεατότητας. Όταν κυριαρχεί το ιδανικό

ρεύμα διάχυσης, 𝑛 = 1. Όταν κυριαρχεί το ρεύμα επανασύνδεσης 𝑛 = 2. Όταν τα δύο

ρεύματα είναι συγκρίσιμα, τότε το 𝑛 έχει τιμή μεταξύ 1 και 2.

Το Σχήμα 17, δείχνει τις πειραματικές τιμές ορθής πόλωσης μιας επαφής p-n Si και GaAs σε

θερμοκρασία δωματίου. Σε χαμηλά επίπεδα ρεύματος, κυριαρχεί το ρεύμα επανασύνδεσης

και 𝑛 = 2. Σε μεγαλύτερα ρεύματα, κυριαρχεί το ρεύμα διάχυσης και το 𝑛 είναι κοντά στο 1.

27

Σχήμα 17. Σύγκριση των χαρακτηριστικών ορθής πόλωσης σε διόδους Si και GaAs στους 300Κ.

Οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν κλίσεις με διαφορετικά 𝑛.

Σε ακόμη μεγαλύτερα επίπεδα ρεύματος, παρατηρούμε ότι το ρεύμα ξεκινά από 𝑛 = 1 και

μεγαλώνει σταδιακά με την τάση ορθής πόλωσης. Αυτό σχετίζεται με δύο φαινόμενα: την εν

σειρά αντίσταση και την μεγάλη έγχυση. Θα μελετήσουμε αρχικά την αντίσταση εν σειρά.

Στα μικρά και μεσαία επίπεδα ρεύματος η πτώση τάσης 𝐼𝑅 στις ουδέτερες περιοχές είναι

συνήθως μικρή σε σύγκριση με το 𝑘𝑇 𝑞⁄ (26𝑚𝑉𝜎𝜏𝜊𝜐𝜍300𝛫) όπου 𝐼 το ρεύμα ορθής

πόλωσης και 𝑅 η εν σειρά αντίσταση. Για παράδειγμα, για μια δίοδο πυριτίου με 𝑅 =

1.5𝑜ℎ𝑚𝑠 η πτώση τάσης στο 1 mA είναι μόλις 1.5𝑚𝑉. Όμως στα 100 mA η πτώση τάσης

είναι 150𝑚𝑉, που είναι 6 φορές μεγαλύτερη από το 𝑘𝑇 𝑞⁄ . Αυτή η πτώση τάσης μειώνει την

πόλωση κατά μήκος της ζώνης απογύμνωσης. Έτσι το ρεύμα της διόδου γίνεται:

𝐼 ≅ 𝐼𝑠𝑒(𝑞(𝑉−𝐼𝑅)

𝑘𝑇)=𝐼𝑠𝑒

(𝑞𝑉𝑘𝑇)

𝑒(𝑞𝐼𝑅𝑘𝑇

) (71)

Όπου το ιδανικό ρεύμα διόδου μειώνεται κατά 𝑒(𝑞𝐼𝑅

𝑘𝑇).

Σε μεγάλες πυκνότητες ρεύματος, η πυκνότητα των εγχυμένων φορέων μειονότητας είναι

συγκρίσιμη με την συγκέντρωση πλειονότητας, που σημαίνει ότι στη περιοχή n 𝑝𝑛(𝑥 = 𝑥𝑛) ≅

𝑛𝑛. Αυτή είναι η συνθήκη υψηλής έγχυσης. Αντικαθιστώντας την συνθήκη υψηλής έγχυσης

της εξίσωσης 60, έχουμε 𝑝𝑛(𝑥 = 𝑥𝑛) ≅ 𝑛𝑖𝑒𝑞𝑉

2𝑘𝑇⁄ . Χρησιμοποιώντας αυτήν την οριακή

28

συνθήκη το ρεύμα γίνεται ανάλογο του 𝑒𝑞𝑉

2𝑘𝑇⁄ . Έτσι, το ρεύμα αυξάνεται με χαμηλότερο

ρυθμό σε συνθήκες υψηλής έγχυσης.

3.4.3. Φαινόμενα θερμοκρασίας

Η θερμοκρασία λειτουργίας έχει σημαντική επίδραση στην απόδοση της διάταξης. Σε

συνθήκες ορθής και ανάστροφης πόλωσης οι τιμές των ρευμάτων διάχυσης και γένεσης-

επανασύνδεσης εξαρτώνται ισχυρά από την θερμοκρασία. Θα θεωρήσουμε κατ’ αρχήν την

ορθή πόλωση. Ο λόγος του ρεύματος διάχυσης οπών ως προς το ρεύμα επανασύνδεσης

είναι:

𝐼𝑑𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛

𝐼𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛= 2

𝑛𝑖

𝑁𝐷

𝐿𝑝

𝑊

𝜏𝑟

𝜏𝑝𝑒𝑞𝑉

2𝑘𝑇 ∝ 𝑒(−

𝐸𝑔−𝑞𝑉

2𝑘𝑇) (72)

Αυτή η σχέση εξαρτάται και από την θερμοκρασία και από το ενεργειακό διάκενο του

ημιαγωγού. Το Σχήμα 18α δείχνει την εξάρτηση θερμοκρασίας στην χαρακτηριστική μιας

διόδου Si. Σε θερμοκρασία δωματίου για μικρές τάσης ορθής πόλωσης κυριαρχεί το ρεύμα

επανασύνδεσης, ενώ για μεγαλύτερες τάσης ορθής πόλωσης το ρεύμα διάχυσης κυριαρχεί

συνήθως. Σε μια δοσμένη ορθή πόλωση, καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία το ρεύμα διάχυσης

θα μεγαλώνει πιο γρήγορα από ένα ρεύμα επανασύνδεσης. Κατά συνέπεια, η εξίσωση

ιδανικής διόδου θα ακολουθείται από μια μεγάλη γκάμα από ορθές πολώσεις καθώς

μεγαλώνει η θερμοκρασία.

Σχήμα 18. Η εξάρτηση της θερμοκρασίας από την χαρακτηριστική ρεύματος – τάσης σε μια

δίοδο Si: α) ορθή πόλωση, (β) ανάστροφη πόλωση.

Η θερμοκρασιακή εξάρτηση της πυκνότητας ρεύματος κορεσμού 𝐽𝑠 (εξίσωση 55α) για μια

επαφή μονής όψης p+-n στην οποία κυριαρχεί το ρεύμα διάχυσης δίνεται από την:

29

𝐽𝑠(≅𝑞𝐷𝑝𝑝𝑛𝑜

𝐿𝑝≈ 𝑛𝑖

2 ≈ 𝑒(−𝐸𝑔

𝑘𝑇) (73)

Έτσι, η ενέργεια ενεργοποίησης που βρίσκεται από την κλίση του διαγράμματος 𝐽𝑠 ως προς

1/Τ αντιστοιχεί με το ενεργειακό διάκενο Eg.

Στην συνθήκη ανάστροφης πόλωσης για μια επαφή p+-n, η σχέση του ρεύματος διάχυσης ως

προς το ρεύμα γένεσης είναι:

𝐼𝑑𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛

𝐼𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛= 2

𝑛𝑖

𝑁𝐷

𝐿𝑝

𝑊

𝜏𝑔

𝜏𝑝𝑒𝑞𝑉

2𝑘𝑇 ∝ 𝑒(−

𝐸𝑔−𝑞𝑉

2𝑘𝑇) (74)

Η σχέση είναι ανάλογη με τον αριθμό των ενδογενών φορέων 𝑛𝑖. Καθώς αυξάνεται η

θερμοκρασία το ρεύμα διάχυσης κυριαρχεί. Το Σχήμα 18β δείχνει τα αποτελέσματα της

θερμοκρασίας στην ανάστροφη πόλωση μιας διόδου πυριτίου. Σε χαμηλές θερμοκρασίες

κυριαρχεί το ρεύμα γένεσης και το ανάστροφο ρεύμα εξαρτάται από το √𝑉𝑅 σύμφωνα με

την εξίσωση 58 για μια απότομη επαφή (ήτοι 𝑊 ∝ √𝑉𝑅. Καθώς η θερμοκρασία μεγαλώνει

πάνω από τους 175oC, το ρεύμα δείχνει μια τάση για κορεσμό για 𝑉𝑅 ≥3𝑘𝑇

𝑞, όπου κυριαρχεί

το ρεύμα διάχυσης.

3.5. Αποθήκευση φορτίου και μεταβατική συμπεριφορά

Σε συνθήκες ορθής πόλωσης, τα ηλεκτρόνια εγχέονται από την περιοχή n στην περιοχή p και

οι οπές εγχέονται από την περιοχή p στην περιοχή n. Μετά την έγχυσή τους από την επαφή,

οι φορείς μειονότητας επανασυνδέονται με τους φορείς μειονότητας και μειώνονται

εκθετικά με την απόσταση όπως δείχτηκε νωρίτερα στο Σχήμα 15α. Αυτές οι κατανομές

φορέων μειονότητας οδηγούν σε ροή ρεύματος και στην αποθήκευση φορτίου στην επαφή

p-n. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την αποθήκευση φορτίου, την επίδρασή του

στην χωρητικότητα της επαφής και στην μεταβατική συμπεριφορά της επαφής p-n εξαιτίας

ξαφνικών αλλαγών πόλωσης.

3.5.1. Αποθήκευση φορέων μειονότητας

Το φορτίο των εγχυμένων φορέων μειονότητας ανά μονάδα επιφάνειας που αποθηκεύεται

στην ουδέτερη περιοχή της περιοχής n μπορεί να βρεθεί με την ολοκλήρωση των παραπάνω

οπών στην ουδέτερη περιοχή, που δίνεται ως σκιασμένη επιφάνεια στο Σχήμα 15α μέσω της

εξίσωσης 51:

𝑄𝑝 = 𝑞 ∫ (𝑝𝑛 − 𝑝𝑛𝑜)∞

𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑞 ∫ 𝑝𝑛𝑜 (𝑒

𝑞𝑉

𝑘𝑇 − 1)𝑒−𝑥−𝑥𝑛𝐿𝑝

∞

𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑞𝐿𝑝𝑝𝑛𝑜 (𝑒

𝑞𝑉

𝑘𝑇 − 1) (75)

Μια παρόμοια έκφραση παράγεται για τα αποθηκευμένα ηλεκτρόνια στην ουδέτερη

περιοχή. Ο αριθμός των αποθηκευμένων φορέων μειονότητας εξαρτάται και από το μήκος

διάχυσης και από την πυκνότητα φορτίου στο όριο της περιοχής απογύμνωσης. Η

αποθηκευμένη ενέργεια μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του ρεύματος από τις εξισώσεις

52 και 75:

𝑄𝑝 =𝐿𝑝2

𝐷𝑝𝐽𝑝(𝑥𝑛) = 𝜏𝑝𝐽𝑝(𝑥𝑛) (76)

Η εξίσωση 76 δηλώνει ότι η ποσότητα του αποθηκευμένου φορτίου είναι το γινόμενο του

ρεύματος και του χρόνου ζωής των φορέων μειονότητας. Αυτό ισχύει διότι οι εγχυμένες οπές

30

διαχέονται περαιτέρω στην περιοχή n πριν επανασυνδεθούν, εάν ο χρόνος ζωής τους είναι

μεγαλύτερος. Έτσι, αποθηκεύονται περισσότερες οπές.

3.5.2. Χωρητικότητα διάχυσης

Η χωρητικότητα της ζώνης απογύμνωσης που συζητήθηκε προηγουμένως αφορά στο

μεγαλύτερο μέρος τους την χωρητικότητα επαφής όταν η επαφή είναι ανάστροφα

πολωμένη. Όταν η επαφή είναι ορθά πολωμένη, υπάρχει μια σημαντική επιπλέον

συνεισφορά στην χωρητικότητα επαφής από την αναδιάταξη των αποθηκευμένων φορέων

στις ουδέτερες περιοχές. Αυτή ονομάζεται χωρητικότητα διάχυσης και συμβολίζεται ως 𝐶𝑑,

έναν όρο που προέρχεται από την περίπτωση της ιδανικής διόδου στην οποία οι φορείς

μειονότητας κινούνται κατά μήκος της ουδέτερης περιοχής λόγω διάχυσης.

Η χωρητικότητα διάχυσης των αποθηκευμένων οπών στην ουδέτερη περιοχή n επιτυγχάνεται

εφαρμόζοντας τον ορισμό 𝐶𝑑 =𝛢𝑑𝑄𝑝

𝑑𝑉 στην εξίσωση 75:

𝐶𝑑 =𝛢𝑞2𝐿𝑝𝑝𝑛𝑜

𝑘𝑇𝑒𝑞𝑉

𝑘𝑇 (77)

Όπου 𝛢 είναι η διατομή της επαφής. Στην 𝐶𝑑 μπορούμε να προσθέσουμε την συνεισφορά

των αποθηκευμένων ηλεκτρονίων στην ουδέτερη περιοχή p σε περιπτώσεις μεγάλης

αποθήκευσης. Όμως, σε μια επαφή p+-n ισχύει ότι 𝑛𝑝𝑜 ≪ 𝑝𝑛𝑜 και η συνεισφορά των

αποθηκευμένων ηλεκτρονίων στην 𝐶𝑑 είναι ασήμαντη. Σε ανάστροφη πόλωση (η 𝑉 είναι

αρνητική), η εξίσωση 77 δείχνει ότι η 𝐶𝑑 είναι ασήμαντα μικρή λόγω της αμελητέας

αποθήκευσης φορέων μειονότητας.

Σε πολλές εφαρμογές προτιμούμε να αναπαριστούμε μια επαφή p-n από ένα ισοδύναμο

κύκλωμα. Συμπληρωματικά της χωρητικότητας διάχυσης 𝐶𝑑 και της χωρητικότητας

απογύμνωσης 𝐶𝑗, πρέπει να συμπεριλάβουμε και την αγωγιμότητα για να πάρουμε υπόψη

το ρεύμα που διαρρέει την διάταξη. Σε μια ιδανική δίοδο η αγωγιμότητα μπορεί να

υπολογισθεί από την εξίσωση 55:

𝐺𝐴𝑑𝐽

𝑑𝑉=𝑞𝐴

𝑘𝑇𝐽𝑠𝑒

𝑞𝑉

𝑘𝑇 =𝑞𝐴

𝑘𝑇(𝐽 + 𝐽𝑠) ≅

𝑞𝐼

𝑘𝑇 (78)

Το ισοδύναμο κύκλωμα της διόδου δίνεται στο Σχήμα 19, όπου η 𝐶𝑗 συμβολίζει την συνολική

χωρητικότητα απογύμνωσης (ήτοι το αποτέλεσμα της εξίσωσης 33 πολλαπλασιασμένο με την

διατομή 𝐴. Για χαμηλή τιμή τάσης, η ημιτονοειδής διέγερση μιας διόδου που πολώνεται στο

dc, το κύκλωμα του Σχήματος 19 προσδίδει ικανοποιητική ακρίβεια. Κατά συνέπεια,

αναφερόμαστε στο κύκλωμα αυτό, ως ισοδύναμο κύκλωμα διόδου μικρού σήματος.

31

Σχήμα 19. Ισοδύναμο κύκλωμα μικρού σήματος σε μια επαφή p-n

3.5.3. Μεταβατική απόκριση

Για εφαρμογές διακόπτη, η μετάβαση από ορθή σε ανάστροφη πόλωση πρέπει να είναι

σχεδόν απότομη και ο μεταβατικό χρόνος μικρός. Το Σχήμα 20α δείχνει ένα απλό κύκλωμα

όπου το ρεύμα ορθής πόλωσης 𝐼𝐹 ρέει κατά μήκος της επαφής p-n. Σε χρόνο 𝑡 = 0 ο

διακόπτης 𝑆 γυρνάει ξαφνικά στη δεξιά πλευρά και ρέει ένα αρχικό ανάστροφο ρεύμα 𝐼𝑅 ≅𝑉

𝑅. Ο χρόνος μετάβασης 𝑡𝑜𝑓𝑓 που δίνεται στο Σχήμα 20β, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να

φτάσει το ρεύμα το 10% του αρχικού ρεύματος ανάστροφης πόλωσης 𝐼𝑅.

Σχήμα 20. Μεταβατική συμπεριφορά της επαφής –p-n. (α) Βασικό κύκλωμα έναυσης (β)

μεταβατική απόκριση του ρεύματος από την ορθή στην ανάστροφη πόλωση.

32

Σχήμα 21. Κανονικοποιημένος χρόνος μετάβασης ως προς τον λόγο ρεύματος ορθής πόλωσης

προς το ρεύμα ανάστροφης πόλωσης.

Ο χρόνος μετάβασης μπορεί να υπολογισθεί ως ακολούθως. Σε συνθήκες ορθής πόλωσης οι

αποθηκευμένοι φορείς μειονότητας στην περιοχή n για μια επαφή p+-n δίνεται από την

εξίσωση 76:

𝑄𝑝 = 𝜏𝑝𝐽𝑝 = 𝜏𝑝𝐼𝐹

𝐴 (79)

Όπου 𝐼𝐹 είναι το ολικό ρεύμα ορθής πόλωσης και 𝐴 η επιφάνεια της διάταξης. Αν το μέσο

ρεύμα που διέρχεται κατά την διάρκεια της περιόδου αποκοπής είναι 𝐼𝑅,𝑎𝑣𝑒, ο χρόνος

διακοπής είναι το διάστημα του χρόνου που απαιτείται να μετακινήσει το συνολικό

αποθηκευμένο φορτίο 𝑄𝑝:

𝑡𝑜𝑓𝑓 ≅𝑄𝑝𝐴

𝐼𝑟,𝑎𝑣𝑒= 𝜏𝑝 (

𝐼𝐹

𝐼𝑟,𝑎𝑣𝑒) (80)

Έτσι, ο χρόνος διακοπής εξαρτάται και από την σχέση ορθού και ανάστροφού ρεύματος και

τον χρόνο ζωής των φορέων μειονότητας. Το αποτέλεσμα ενός ακριβέστερου υπολογισμού

του χρόνου διακοπής που παίρνει υπόψη την χρονο-εξαρτώμενη διάχυση φορέων

μειονότητας δίνεται στο Σχήμα 21. Για ταχείς διατάξεις διακοπής, πρέπει να μειώσουμε τον

χρόνο ζωής των φορέων μειονότητας. Έτσι, εισάγονται συνήθως τα κέντρα γένεσης-

επανασύνδεσης που έχουν ενεργειακά κέντρα κοντά στην μέση του ενεργειακού διακένου,

όπως ο χρυσός στο πυρίτιο.

3.6. Κατάρρευση επαφής

33

Όταν μια αρκετά μεγάλη τάση ανάστροφης πόλωσης εφαρμόζεται σε μια επαφή p-n, η

επαφή καταρρέει και άγει πολύ μεγάλο ρεύμα. Ενώ η διαδικασία κατάρρευσης δεν είναι κατ’

ανάγκη καταστρεπτική, το μέγιστο ρεύμα πρέπει να περιορίζεται από ένα εξωτερικό

κύκλωμα για να αποφευχθεί η υπερβολική θέρμανση της επαφής, η οποία είναι

καταστρεπτική. Οι δύο σημαντικοί μηχανισμοί κατάρρευσης είναι το φαινόμενο σήραγγας

και ο πολλαπλασιασμός χιονοστιβάδας. Θα δούμε συνοπτικά τον πρώτο μηχανισμό και μετά

θα συζητήσουμε αναλυτικότερα τον μηχανισμό χιονοστιβάδας, διότι η κατάρρευση

χιονοστιβάδας θέτει ένα άνω όριο στην ανάστροφη τάση για τις περισσότερες διόδους. Η

κατάρρευση χιονοστιβάδας περιορίζει επίσης την τάση του συλλέκτη σε ένα διπολικό

τρανζίστορ και την τάση διέλευσης σε ένα MOSFET. Επιπλέον, οι μηχανισμοί

πολλαπλασιασμού χιονοστιβάδας μπορούν να δημιουργήσουν μικροκυματική ισχύ, όπως η

δίοδος IMPATT, έχοντας την δυνατότητα ανίχνευσης οπτικών σημάτων, όπως σε έναν

φωτοανιχνευτή χιονοστιβάδας.

3.6.1. Φαινόμενο σήραγγας

Όταν ένα υψηλό ηλεκτρικό πεδίο εφαρμόζεται στην επαφή p-n στην ανάστροφη διεύθυνση,

ένα ηλεκτρόνιο σθένους μπορεί να μεταβεί από την ζώνη σθένους στην ζώνη αγωγιμότητας,

όπως δείχνεται στο Σχήμα 22α. αυτή η διαδικασία, στην οποία ένα ηλεκτρόνιο μεταδίδεται

μέσω του ενεργειακού διακένου, ονομάζεται φαινόμενο σήραγγας.

Το φαινόμενο σήραγγας συμβαίνει μόνο αν το ηλεκτρικό πεδίο είναι πολύ υψηλό. Η τυπική

τιμή ενός τέτοιου πεδίου στο Si και το GaAs είναι περίπου 106 V/cm ή και μεγαλύτερο. Για να

επιτευχθεί τέτοιο μεγάλο πεδίο, η συγκέντρωση προσμίξεων και για τις δύο περιοχές p και n

πρέπει να είναι αρκετά μεγάλη (> 5 × 1017𝑐𝑚−3. Οι μηχανισμοί κατάρρευσης για επαφές Si

και GaAs με τάσεις κατάρρευσης μικρότερες από 4𝐸𝑔

𝑞⁄ , όπου 𝐸𝑔 είναι το ενεργειακό διάκενο

είναι το αποτέλεσμα του φαινόμενο σήραγγας. Για επαφές με τάσεις κατάρρευσης πάνω από

6𝐸𝑔𝑞⁄ , ο μηχανισμός κατάρρευσης είναι το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού χιονοστιβάδας.

Για τάσεις κατάρρευσης μεταξύ 4𝐸𝑔

𝑞⁄ και 6𝐸𝑔

𝑞⁄ η κατάρρευση οφείλεται σε μίξη των δύο

μηχανισμών.

3.6.2. Πολλαπλασιασμός χιονοστιβάδας

Η διαδικασία πολλαπλασιασμού χιονοστιβάδας δείχνεται στο Σχήμα 22β. Η επαφή p-n με

μέτρια νόθευση, όπως η απότομη επαφή p+-n μονής πλευράς με συγκέντρωση 𝑁𝐷 ≅

1017𝑐𝑚−3 ή λιγότερο, είναι σε συνθήκες ανάστροφης πόλωσης. Ένα θερμικά διεγερμένο

ηλεκτρόνιο (που σημειώνεται σαν -1-) κερδίζει κινητική ενέργεια από το ηλεκτρικό πεδίο. Αν

το πεδίο είναι αρκετά μεγάλο, το ηλεκτρόνιο μπορεί να κερδίσει αρκετή κινητική ενέργεια η

οποία, με την επαφή με ένα άτομο μπορεί να σπάσει τον δεσμό του πλέγματος

δημιουργώντας ένα ζεύγος οπής-ηλεκτρονίου (2 και 2’). Αυτή η διαδικασία ονομάζεται

ιονισμός πρόσκρουσης. Αυτό το νέο ζεύγος οπής – ηλεκτρονίου παίρνουν κινητική ενέργεια

από το πεδίο και δημιουργούν αντίστοιχα ζεύγη οπής ηλεκτρονίου (3 και 3’). Αυτά με την

σειρά τους συνεχίζουν την διαδικασία δημιουργώντας άλλα ζεύγη οπών – ηλεκτρονίων. Αυτή

η διαδικασία ονομάζεται διαδικασία χιονοστιβάδας.

34

Σχήμα 22. Ενεργειακά διαγράμματα σε συνθήκες κατάρρευσης επαφής. (α) Φαινόμενο

σήραγγας (β) Πολλαπλασιασμός χιονοστιβάδας

Για να βρούμε την συνθήκη κατάρρευσης, θεωρούμε ότι ένα ρεύμα 𝐽𝑛𝑜 εισέρχεται στην

αριστερή πλευρά της περιοχής απογύμνωσης μήκους 𝑊 όπως δείχνεται στο Σχήμα 23.

Σχήμα 23. Περιοχή απογύμνωσης σε επαφή p-n με πολλαπλασιασμό ρεύματος εισόδου.

Αν τα ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή απογύμνωσης είναι αρκετά υψηλό για να ξεκινήσει την

διαδικασία πολλαπλασιασμού χιονοστιβάδας, το ρεύμα ηλεκτρονίων 𝐽𝑛 θα μεγαλώσει με την

απόσταση στην περιοχή απογύμνωσης για να φτάσει την τιμή 𝑀𝑛𝐽𝑛𝑜 στο 𝑊, όπου 𝑀𝑛 είναι

ένας πολλαπλασιαστικός συντελεστής που εξ’ ορισμού ισούται με:

𝑀𝑛 ≡𝐽𝑛(𝑊)

𝐽𝑛𝑜 (81)

Ομοίως, το ρεύμα οπών 𝐽𝑝 αυξάνει από το 𝑥 = 𝑊 έως το 𝑥 = 0. Το συνολικό ρεύμα 𝐽 = (𝐽𝑛 +

𝐽𝑝) είναι σταθερό σε συνθήκες μόνιμης κατάστασης. Η απειροελάχιστη αύξηση του ρεύματος

ηλεκτρονίων στο 𝑥 ισούται με τον αριθμό των ζευγών οπών – ηλεκτρονίων που γεννιούνται

στην μονάδα του χρόνου σε μήκος 𝑑𝑥:

35

𝑑 (𝐼𝑛

𝑞) = (

𝐼𝑛

𝑞) (𝑎𝑛𝑑𝑥) + (

𝐼𝑝

𝑞) (𝑎𝑝𝑑𝑥) (82)

Ή

𝑑𝐼𝑛

𝑑𝑥+ (𝑎𝑝 − 𝑎𝑛)𝐼𝑛 = 𝑎𝑝𝐼 (82α)

Όπου 𝑎𝑛 και 𝑎𝑝 είναι οι ρυθμοί ιονισμού ηλεκτρονίων και οπών αντίστοιχα. Αν

χρησιμοποιήσουμε την απλούστευση 𝑎𝑝 = 𝑎𝑛 = 𝛼, η λύση της 82α είναι:

𝐼𝑛(𝑊)−𝐼𝑛(0)

𝐼= ∫ 𝑎𝑑𝑥

𝑊

0 (83)

Από τις εξισώσεις 81 και 83 έχουμε:

1 −1

𝑀𝑛= ∫ 𝑎𝑑𝑥

𝑊

0 (83α)

Η τάση κατάρρευσης χιονοστιβάδας ορίζεται σαν η τάση όπου το 𝑀𝑛 γίνεται άπειρο. Έτσι, η

συνθήκη κατάρρευσης δίνεται από την:

∫ 𝑎𝑑𝑥𝑊

0= 1 (84)

Από αυτή την συνθήκη και την εξάρτηση του ρυθμού ιονισμού από το πεδίο, μπορούμε να

υπολογίσουμε το κρίσιμο πεδίο (ήτοι το μέγιστο ηλεκτρικό πεδίο κατάρρευσης) στο οποίο

λαμβάνει χώρα η διαδικασία χιονοστιβάδας. Χρησιμοποιώντας τα μετρήσιμα 𝑎𝑛 και 𝑎𝑝

(Σχήμα 27 στο Κεφάλαιο 2), μπορεί να υπολογιστεί το κρίσιμο πεδίο 𝐸𝑐 για μονές απότομες

επαφές Si και GaAs που δείχνεται στο Σχήμα 24 σαν συνάρτηση της πυκνότητας προσμίξεων.

Στο ίδιο Σχήμα σημειώνεται και το κρίσιμο πεδίο για το φαινόμενο σήραγγας. Μπορούμε να

δούμε ότι το φαινόμενο σήραγγας συμβαίνει μόνο σε ημιαγωγούς που έχουν υψηλή

συγκέντρωση προσμίξεων.

Έχοντας υπολογίσει το κρίσιμο πεδίο χιονοστιβάδας, μπορούμε να υπολογίσουμε τις τάσεις

κατάρρευσης. Όπως είδαμε προηγουμένως, οι τάσεις στην περιοχή απογύμνωσης

υπολογίζονται από την λύση της εξίσωσης Poisson:

𝑉𝐵(𝐵𝑟𝑒𝑎𝑘𝑑𝑜𝑤𝑛𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑔𝑒) =𝐸𝑐𝑊

2=𝜀𝑠𝐸𝑐

2

2𝑞𝑁𝐵 (85)

Για απότομες επαφές μονής περιοχής και:

𝑉𝐵 =2𝐸𝑐𝑊

3=4𝐸𝑐

32⁄

3(2𝜀𝑠

𝑞)12⁄(𝑎)−

12⁄ (86)

Για γραμμικά βαθμωτές επαφές, όπου θυμίζουμε ότι το 𝑁𝐵 είναι η συγκέντρωση προσμίξεων

στην ελαφρά νοθευμένη πλευρά, 𝜀𝑠 είναι η διηλεκτρική σταθερά του ημιαγωγού και 𝑎 είναι

η βάθμωση των προσμίξεων. Δεδομένου ότι το κρίσιμο πεδίο είναι μια αργά μεταβαλλόμενη

συνάρτηση είτε του 𝑁𝐵 είτε του 𝑎, η τάση κατάρρευσης σε προσέγγιση πρώτης τάξης

μεταβάλλεται ανάλογα του 1

𝑁𝐵 για απότομες επαφές και ανάλογα του

1

𝑎 για γραμμικά

βαθμωτές επαφές.

36

Σχήμα 24. Το κρίσιμο πεδίο κατάρρευσης συναρτήσει των προσμίξεων για απότομες επαφές

μονής περιοχής Si και GaAs.

Σχήμα 25. Τάση κατάρρευσης χιονοστιβάδας συναρτήσει της συγκέντρωσης προσμίξεων για

απότομη επαφή μονής περιοχής και τάση κατάρρευσης χιονοστιβάδας συναρτήσει της

βάθμωσης των προσμίξεων για γραμμικά βαθμωτές επαφές Si και GaAs. Η καμπύλη στο κάτω

δεξιά μέρος του Σχήματος δείχνει το φαινόμενο σήραγγας (σε μεγάλες νοθεύσεις).

Το Σχήμα 25 δείχνει τις υπολογισμένες τάσεις διάσπασης για επαφές Si και GaAs. Η μικρή

καμπύλη κάτω δεξιά (υψηλές νοθεύσεις) αντιστοιχεί στο φαινόμενο σήραγγας. Το GaAs έχει

μεγαλύτερες τάσεις διάσπασης από ότι το Si για δοσμένη νόθευση 𝑁𝐵 ή 𝑎 κυρίως εξαιτίας

37

του μεγαλύτερου ενεργειακού διακένου. Όσο μεγαλύτερο είναι το διάκενο, τόσο μεγαλύτερο

πρέπει να είναι το ηλεκτρικό πεδίο για να προσφέρει σημαντική κινητική ενέργεια μεταξύ

των προσκρούσεων. Όπως δείχνουν οι εξισώσεις 85 και 86, όσο μεγαλύτερο είναι το κρίσιμο

ηλεκτρικό πεδίο, τόσο μεγαλύτερη είναι η τάση κατάρρευσης.

Το Σχήμα 26 δείχνει την τάση κατάρρευσης σε μια ιδιαίτερη επαφή με γραμμική βάθμωση

προσμίξεων κοντά στην επιφάνεια και σταθερή συγκέντρωση προσμίξεων μέσα στον

ημιαγωγό που ονομάζεται επαφή διάχυσης. Η τάση κατάρρευσης βρίσκεται μεταξύ δύο

ακραίων καταστάσεων απότομης επαφής και γραμμικά βαθμωτής επαφής. Για μεγάλο 𝑎 και

μικρό 𝑁𝐵 η τάση κατάρρευσης δίνεται από τις 2-3 τελευταίες καμπύλες του Σχήματος 26,

ενώς για μικρό 𝑎 και μεγάλο 𝑁𝐵, οι τάσεις κατάρρευσης είναι όλες οι υπόλοιπες παράλληλες

γραμμές του σχήματος.

Σχήμα 26. Η τάση κατάρρευσης σε μια επαφή διάχυσης. Το ένθετο δείχνει την κατανομή

φορτίου στον χώρο.

Στα Σχήματα 25 και 26 υποθέτουμε ότι ο ημιαγωγός είναι αρκετά παχύς για να υποστηρίξει

την ζώνη απογύμνωσης 𝑊𝐵 σε συνθήκες κατάρρευσης με ανάστροφη πόλωση. Αν το εύρος

𝑊 είναι μικρότερο από 𝑊𝑚 όπως δείχνεται στο Σχήμα 27, η διάταξη θα καταστραφεί, δηλαδή

η ζώνη απογύμνωσης θα φτάσει στο όριο 𝑛 − 𝑛+ πριν την κατάρρευση. Περαιτέρω αύξηση

της ανάστροφης πόλωσης θα καταστρέψει την δίοδο. Το κρίσιμο πεδίο 𝐸𝑐 είναι το ίδιο με

αυτό που δείχνεται στο Σχήμα 24. Έτσι, η τάση κατάρρευσης 𝑉′𝐵 για μια τέτοια δίοδο είναι:

𝑉′𝐵

𝑉𝐵=𝜎𝜅𝜄𝛼𝜎𝜇έ𝜈𝜂𝜀𝜋𝜄𝜑ά𝜈𝜀𝜄𝛼𝜎𝜏𝜊έ𝜈𝜃𝜀𝜏𝜊𝜏𝜊𝜐𝛴𝜒27

(𝐸𝑐𝑊𝑚)2⁄

= (𝑊

𝑊𝑚) (2 −

𝑊

𝑊𝑚) (87)

38

Σχήμα 27. Τάση κατάρρευσης για επαφές p+-π-n+ και p+-ν-n+. 𝑊 είναι το πάχος της ελαφρά

νοθευμένης περιοχής p ή n.

Καταστροφή της διόδου συμβαίνει όταν η συγκέντρωση προσμίξεων 𝑁𝐵 γίνει αρκετά χαμηλή

όπως στην επαφή p+-π-n+ και p+-ν-n+, όπου το π και το ν στην περίπτωση αυτή συμβολίζουν

ελαφρά νοθευμένη περιοχή p και n. Οι τάσεις κατάρρευσης σε τέτοιες διόδους υπολογίζονται

από τις εξισώσεις 85 και 87 και δείχνονται στο Σχήμα 27. Για δοσμένο πάχος, η τάση

κατάρρευσης προσεγγίζει μια σταθερή τιμή όσο αυξάνεται η συγκέντρωση προσμίξεων.

Μια άλλη σημαντική παράμετρος της τάσης κατάρρευσης είναι η επίδραση της γεωμετρίας

της επαφής. Όταν η επαφή p-n διαμορφώνεται με διάχυση σε ένα παράθυρο του ημιαγωγού,

οι προσμίξεις θα διαχυθούν προς τα κάτω και πλευρικά. Έτσι, η επαφή έχει μια περιοχή με

σχεδόν κυλινδρικά όρια όπως δείχνεται στο Σχήμα 28α. Αν η μάσκα διάχυσης περιέχει

απότομες γωνίες, η άκρη της επαφής θα έχει ένα περίπου σφαιρικό σχήμα όπως δείχνεται

στο Σχήμα 28β. Δεδομένου ότι οι σφαιρικές ή κυλινδρικές περιοχές της επαφής, έχουν

υψηλότερη ένταση πεδίου, αυτές θα καθορίσουν την τάση κατάρρευσης χιονοστιβάδας. Τα

αποτελέσματα αυτής της γεωμετρίας δείχνονται στο Σχήμα 29 για απότομη επαφή μονής

περιοχής πυριτίου. Η συνεχόμενη γραμμή αφορά στις ιδεατές επαφές χωρίς την επίδραση

της κυλινδρικότητας ή σφαιρικότητας της επαφής. Σημειώνουμε ότι όσο μειώνεται η ακτίνα

καμπυλότητας 𝑟𝑗 τόσο αυξάνεται η τάση κατάρρευσης, και μάλιστα σε σφαιρικές επαφές

μικρής συγκέντρωσης προσμίξεων.

39

Σχήμα 28. (α) Διαδικασία προσμίξεων με την μέθοδο της διάχυσης που δημιουργεί

καμπυλότητα κοντά στα όρια της μάσκας διάχυσης, όπου 𝑟𝑗 είναι η ακτίνα καμπυλότητας. (β)

Διαμόρφωση κυλινδρικών και σφαιρικών περιοχών σε μια ορθογώνια μάσκα.

40

Σχήμα 29. Τάση κατάρρευσης συναρτήσει της πυκνότητας προσμίξεων για απότομη επαφή

μονής περιοχής με κυλινδρικές και σφαιρικές γεωμετρίες.

3.7. Επαφές μετάλλου – ημιαγωγού

Η πρώτη πρακτικά εφαρμόσιμη διάταξη ημιαγωγών ήταν η επαφή μετάλλου – ημιαγωγού

στην μορφή ενός σημειακού ανορθωτή, δηλαδή μια μικρή ποσότητα μετάλλου πάνω σε μια

επιφάνεια ημιαγωγού. Αυτή η διάταξη βρήκε πολλές εφαρμογές από το 1904. Το 1938, ο

Schottky πρότεινε ότι η ανορθωτική συμπεριφορά μπορεί να οφείλεται σε ένα φράγμα

δυναμικού που είναι αποτέλεσμα σταθερών φορτίων χώρου στον ημιαγωγό. Το μοντέλο

αυτό είναι γνωστό σαν φράγμα Schottky (Schottky barrier). Οι επαφές μετάλλου – ημιαγωγού

μπορεί επίσης να είναι μη ανορθωτικές. Δηλαδή η επαφή έχει μικρή αντίσταση ανεξαρτήτως

της φοράς της τάσης πόλωσης. Αυτή η επαφή ονομάζεται ωμική επαφή. Όλες οι ημιαγώγιμες

διατάξεις καθώς επίσης και τα ολοκληρωμένα κυκλώματα χρειάζονται ωμικές επαφές για να

δημιουργήσουν επαφές με άλλες διατάξεις σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα. Θα μελετήσουμε

το ενεργειακό διάγραμμα και τις χαρακτηριστικές ρεύματος – τάσης και στην διάταξη

ανόρθωσης και στην ωμική επαφή μετάλλου – ημιαγωγού.

3.7.1. Ενεργειακά διαγράμματα

Οι χαρακτηριστικές των σημειακών ανορθωτών που κατασκευάζονταν με μη

μικροηλεκτρονικές τεχνικές, δεν ήταν αναπαραγόμενες από διάταξη σε διάταξη και

αντικαταστάθηκαν από επαφές μετάλλου – ημιαγωγού με επίπεδες τεχνολογίες

μικροηλεκτρονικής (αυτές τις τεχνικές θα τις μελετήσουμε στα μαθήματα ειδίκευσης της

ροής της Ηλεκτρονικής). Ένα σχηματικό μιας τέτοιας διάταξης δίνεται στο Σχήμα 30α. Για να

κατασκευαστεί η διάταξη, ανοίγεται ένα παράθυρο σε ένα στρώμα οξειδίου, στην συνέχεια

τοποθετείται ένα στρώμα μετάλλου με τεχνικές κενού, και διαμορφώνεται η επαφή με

τεχνικές λιθογραφίας (αυτό είναι αντικείμενο του μαθήματος μικροηλεκτρονική τεχνολογία

στο 4ο έτος σπουδών). Θα μελετήσουμε μια μονοδιάστατη κατασκευή μετάλλου – ημιαγωγού

όπως δίνεται στο Σχήμα 30γ.

(γ)

V Μέταλλο

Ημιαγωγός

41

Σχήμα 30. (α) Σχηματικό της επαφής μετάλλου – ημιαγωγού που κατασκευάζεται με τεχνικές

μικροηλεκτρονικής. (β) Διατομή της διόδου MOS (γ) μονοδιάστατη διάταξη επαφής μετάλλου

– ημιαγωγού.

Το Σχήμα 2 δείχνει το ενεργειακό διάγραμμα ενός απομονωμένου μετάλλου, δίπλα σε έναν

απομονωμένο ημιαγωγό. Η συνάρτηση έργου του μετάλλου είναι εν γένει διαφορετική από

την συνάρτηση έργου του ημιαγωγού. Η συνάρτηση έργου είναι η διαφορά ενέργειας μεταξύ

της ενέργειας Fermi και του επιπέδου κενού (ήτοι, 𝑞𝜑𝑚 για το μέταλλο και 𝑞𝜑𝑠 για τον

ημιαγωγό). Επίσης δείχνεται η ηλεκτρονιακή συνάφεια 𝑞𝜒 που είναι η διαφορά ενέργειας

μεταξύ της ζώνης αγωγιμότητας και του επιπέδου κενού του ημιαγωγού. Όταν το μέταλλο

έρχεται σε επαφή με τον ημιαγωγό, τα επίπεδα Fermi των δύο υλικών πρέπει να εξισώνονται

σε συνθήκες θερμικής ισορροπίας. Εκτός αυτού, το επίπεδο κενού πρέπει να είναι συνεχές.

Αυτές οι δύο απαιτήσεις καθορίζουν ένα μοναδικό ενεργειακό διάγραμμα ζωνών για μια

ιδεατή επαφή μετάλλου ημιαγωγού (Σχήμα 31β). Για αυτή την ιδανική περίπτωση το φράγμα

𝑞𝜑𝐵𝑛 είναι η διαφορά μεταξύ της συνάρτησης έργου του μετάλλου και της ηλεκτρονιακής

συνάφειας του ημιαγωγού:

𝑞𝜑𝐵𝑛 = 𝑞(𝜑𝑚 − 𝜒) (88)

42

Σχήμα 31. (α) Διάγραμμα ενεργειακών ζωνών ενός μετάλλου και ενός ημιαγωγού που είναι

απομονωμένοι μεταξύ τους, (β) ενεργειακό διάκενο επαφής μετάλλου – ημιαγωγού σε

θερμική ισορροπία, (γ) Κατανομή φορτίου, (δ) Κατανομή ηλεκτρικού πεδίου

Για μια ιδεατή επαφή μεταξύ ενός μετάλλου και ενός ημιαγωγού τύπου p, το φράγμα 𝑞𝜑𝐵𝑝

μπορεί να προσδιορισθεί από με παρόμοιο τρόπο:

𝑞𝜑𝐵𝑝 = 𝐸𝑔 − 𝑞(𝜑𝑚 − 𝜒) (89)

Όπου 𝐸𝑔 είναι το ενεργειακό διάκενο του ημιαγωγού. Έτσι, για έναν δοσμένο ημιαγωγό και

οποιοδήποτε μέταλλο, το άθροισμα των φραγμάτων του τύπου n και του τύπου p ισούνται

με το ενεργειακό διάκενο:

𝑞(𝜑𝐵𝑛 + 𝜑𝐵𝑝) = 𝐸𝑔 (90)

Το Σχήμα 31γ δείχνει την κατανομή φορτίου μια επαφής μετάλλου με ημιαγωγό τύπου n με

(αρνητικό) επιφανειακή κατανομή φορτίου στο μέταλλο και ένα ίσο σε ποσότητα και μια

αντίστροφη σε πρόσημο (θετικό) κατανομή φορτίου χώρου στον ημιαγωγό. Αυτή η κατανομή

φορτίου είναι η ίδια με την επαφή p+-n με επακόλουθα ίδια κατανομή πεδίου (Σχήμα 31δ).

43

Το Σχήμα 32 δείχνει τα μετρημένα φράγματα για ημιαγωγούς Si και GaAs τύπου n.

Σημειώνεται ότι το 𝑞𝜑𝐵𝑛 αυξάνεται με την αύξηση του 𝑞𝜑𝑚. Όμως, αυτή η εξάρτηση δεν

είναι τόσο ισχυρή όσο φαίνεται από την εξίσωση 88. Αυτό ισχύει διότι σε μια δίοδο Schottky,

η καταστροφή του κρυσταλλικού πλέγματος στην επιφάνεια του ημιαγωγού δημιουργεί έναν

μεγάλο αριθμό επιφανειακών ενεργειακών καταστάσεων που είναι εντοπισμένες στην

απαγορευμένη ζώνη. Αυτές οι επιφανειακές καταστάσεις συμπεριφέρονται σαν δότες ή

αποδέκτες, που επηρεάζουν τον τελικό προσδιορισμό του φράγματος. Για Si και GaAs η

εξίσωση 88 υποτιμά το φράγμα τύπου n και η εξίσωση 89 υπερτιμά το φράγμα τύπου p.

Παρόλα αυτά, το άθροισμα των 𝑞𝜑𝐵𝑛 και 𝑞𝜑𝐵𝑝 είναι σε συμφωνία με την εξίσωση 90. Όταν

ένα μέταλλο έρχεται σε επαφή με έναν ημιαγωγό, οι ζώνες αγωγιμότητας και σθένους των

ημιαγωγών έρχονται σε ενεργειακή σχέση με το επίπεδο Fermi του μετάλλου. Όταν αυτή η

σχέση είναι γνωστή (ήτοι τα φράγματα του Σχήματος 32, χρησιμεύει σαν οριακή συνθήκη για

την επίλυση της εξίσωσης Poisson στον ημιαγωγό.

Σχήμα 32. Μετρημένα φράγματα για επαφές μετάλλου-Si και μετάλλου-GaAs.

Τα διαγράμματα ενεργειακών ζωνών των για μέταλλα και ημιαγωγούς τύπου p και n δίνονται

στο Σχήμα 33 για διαφορετικές συνθήκες πόλωσης. Το δυναμικό 𝑉𝑏𝑖 σε έναν ημιαγωγό τύπου

n δίνεται από την:

𝑉𝑏𝑖 = 𝜑𝐵𝑛 − 𝑉𝑛 (91)

Όπου 𝜑𝐵𝑛 είναι το φράγμα της επαφής μετάλλου – ημιαγωγού και 𝑉𝑛 είναι η διαφορά μεταξύ

της ενέργειας Fermi και 𝐸𝐶. Παρόμοια αποτελέσματα προκύπτουν για ημιαγωγούς τύπου p.

Στην συζήτηση που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με ημιαγωγούς τύπου n. Φυσικά, τα

αποτελέσματα είναι το ίδιο εφαρμόσιμα σε ημιαγωγούς τύπου p με κατάλληλες αλλαγές στα

σύμβολα.

Για την προσέγγιση απότομης επαφής όπου 𝜌𝑠 ≅ 𝑞𝑁𝐷 για 𝑥 < 𝑊, καθώς επίσης και 𝜌𝑠 = 0,

& 𝑑𝜓

𝑑𝑥≅ 0 για 𝑥 > 𝑊, όπου 𝑊 το μήκος απογύμνωσης, τα αποτελέσματα για την επαφή

μετάλλου – ημιαγωγού είναι παρόμοια με αυτά της απότομης επαφής μονής περιοχής που

δείχνονται στα Σχήματα 31 γ και δ. Έτσι έχουμε:

44

𝑊 = √2𝜀𝑠

𝑞𝑁𝐷(𝑉𝑏𝑖 − 𝑉) (92)

|E(x)| =𝑞𝑁𝐷

𝜀𝑠(𝑊 − 𝑥) = 𝐸𝑚 −

𝑞𝑁𝐷

𝜀𝑠𝑥 (93)

𝜓(𝜒) =𝑞𝑁𝐷

𝜀𝑠(𝑊𝑥 −

1

2𝑥2) − 𝜑𝐵𝑛 (94)

Όπου η εφαρμοζόμενη τάση 𝑉 της εξίσωσης 92 είναι θετική για ορθή πόλωση (ήτοι θετική

τάση στο μέταλλο σε σχέση με τον ημιαγωγό τύπου n) και αρνητική για ανάστροφη τάση.

Επίσης 𝐸𝑚 είναι η μέγιστη τιμή πεδίου που επιτυγχάνεται στο 𝑥 = 0:

𝐸𝑚 = 𝛦(𝑥 = 0) = √2𝑞𝑁𝐷

𝜀𝑠(𝑉𝑏𝑖 − 𝑉) =

2(𝑉𝑏𝑖−𝑉)

𝑊 (95)

Το φορτίο χώρου 𝑄𝑠𝑐 ανά μονάδα επιφανείας του ημιαγωγού και της χωρητικότητας της

περιοχής απογύμνωσης ανά μονάδα επιφανείας δίνονται από την:

𝑄𝑠𝑐 = 𝑞𝑁𝐷𝑊 = √2𝑞𝜀𝑠𝑁𝐷(𝑉𝑏𝑖 − 𝑉)𝜎𝜀𝐶𝑐𝑚2⁄ (96)

𝐶 = |𝑑𝑄𝑠𝑐

𝑑𝑉| = √

𝑞𝜀𝑠𝑁𝐷

2(𝑉𝑏𝑖−𝑉)=𝜀𝑠

𝑊𝜎𝜀 𝐹

𝑐𝑚2⁄ (97)

Η εξίσωση 97 μπορεί να γραφεί ως:

1

𝐶2=2(𝑉𝑏𝑖−𝑉)

𝑞𝜀𝑠𝑁𝐷 (98α)

Ή

−𝑑(1

𝐶2)

𝑑𝑉=

2

𝑞𝜀𝑠𝑁𝐷 (98β)

𝑁𝐷 =2

𝑞𝜀𝑠(

−1

𝑑(1

𝐶2)

𝑑𝑉

) (98γ)

45

Σχήμα 33. Διάγραμμα ενεργειακών ζωνών επαφής μετάλλου – ημιαγωγού τύπου n και

μετάλλου – ημιαγωγού τύπου σε διαφορετικές συνθήκες πόλωσης. (α) Θερμική ισορροπία

(β) ορθή πόλωση (γ) ανάστροφη πόλωση.

Έτσι, οι μετρήσεις της χωρητικότητας 𝐶 ανά μονάδα επιφανείας σαν συνάρτηση της τάσης

μπορεί να προσδιορίσει την κατανομή προσμίξεων κατευθείαν από την εξίσωση 98γ. Αν το

𝑁𝐷 είναι συνεχές κατά μήκος της περιοχής απογύμνωσης θα έπρεπε να πετυχαίναμε μια

ευθεία γραμμή ως συνάρτηση του 1

𝐶2 με το 𝑉. Το Σχήμα 34 είναι η παράσταση της

μετρούμενης χωρητικότητας ως προς ως προς την τάση για διόδους Schottky τύπου

βολφραμίου-Si και βολφραμίου-GaAs. Από την εξίσωση 98α η τομή στο 1

𝐶2= 0 αντιστιχεί

στην τάση 𝑉𝑏𝑖. Με τον προσδιορισμό του 𝑉𝑏𝑖, το φράγμα 𝜑𝐵𝑛 μπορεί να υπολογισθεί από την

εξίσωση 91:

𝜑𝐵𝑛 = 𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑛 (99)

46

Η τιμή του 𝑉𝑛 μπορεί να βρεθεί από την συγκέντρωση προσμίξεων.

Σχήμα 34. 1

𝐶2 συναρτήσει της εφαρμοζόμενης τάσης για δίοδο W-Si & W-GaAs.

Άσκηση: Βρείτε την συγκέντρωση δοτών και το φράγμα σε μια δίοδο βολφραμίου – πυριτίου

που δίνεται στο Σχήμα 34.

Λύση: Η εξάρτηση του 1

𝐶2 από την τάση 𝑉 είναι μια ευθεία γραμμή, που σημαίνει ότι η

συγκέντρωση δοτών είναι σταθερή κατά μήκος της ζώνης απογύμνωσης. Έτσι:

𝑑 (1𝐶2)

𝑑𝑉=6.2 × 1015 − 1.8 × 1015

−1− 0= −4.4 × 1015,

(𝑐𝑚2

𝐹⁄ )2

𝑉

Από την εξίσωση 98γ έχουμε:

𝑁𝐷 =2

𝑞𝜀𝑠

(

−1

𝑑 (1𝐶2)

𝑑𝑉 )

= (

2

1.6 × 10−19 × (11.9 × 8.85 × 10−14)(

1

4.4 × 1015)

= 2.7 × 1015𝑐𝑚−3

47

𝑉𝑛 =𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛 (

𝑁𝐶𝑁𝐷) = 0.0259𝑙𝑛 (

2.8 × 1019

2.7 × 1015) = 0.24𝑉

Αφού η τομή της ευθείας στον άξονα Χ είναι 0.42, 𝑉𝑏𝑖 = 0.42𝑉 και το φράγμα είναι 𝜑𝐵𝑛 =

𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑛 = 0.66𝑉

3.7.2. Χαρακτηριστικές ρεύματος – τάσης

Η μεταφορά ρεύματος στις επαφές μετάλλου – ημιαγωγού οφείλεται κυρίως στους φορείς

πλειονότητας, σε αντίθεση με τις επαφές p-n, όπου το ρεύμα οφείλεται κυρίως στους φορείς

μειονότητας. Για διόδους Schottky σε μέτρια νοθευμένους ημιαγωγούς (πχ Si με 𝑁𝐷 ≤

1017𝑐𝑚−3) που λειτουργεί σε μέτριες θερμοκρασίες (πχ 300Κ), ο βασικός μηχανισμός

μεταφοράς είναι η θερμιονική εκπομπή των φορέων πλειονότητας από τον ημιαγωγό πάνω

από το φράγμα δυναμικού στο μέταλλο.

Το Σχήμα 35 δείχνει την διαδικασία θερμιονικής εκπομπής. Σε θερμική ισορροπία (Σχήμα

35α) η πυκνότητα ρεύματος εξισορροπείται από δύο ίδιες σε μέγεθος και αντίθετες σε φορά

ροές φορέων, και κατά συνέπεια υπάρχει μηδενική ροή ρεύματος. Τα ηλεκτρόνια στον

ημιαγωγό τείνουν να ρέουν (ή εκπέμπονται) στο μέταλλο, και υπάρχει μια ανάποδη ροή

ηλεκτρονίων από το μέταλλο προς τον ημιαγωγό. Αυτές οι συνιστώσες ρεύματος είναι

ανάλογες με την πυκνότητα ηλεκτρονίων στην διεπιφάνεια. Στην επιφάνεια του ημιαγωγού

η πυκνότητα ηλεκτρονίων 𝑛𝑠 είναι:

𝑛𝑠 = 𝑁𝐷𝑒(−𝑞𝑉𝑏𝑖𝑘𝑇

)= 𝑁𝐷𝑒

(−𝑞(𝜑𝐵𝑛−𝑉𝑛)

𝑘𝑇)= 𝑁𝐷𝑒

(𝑞𝑉𝑛𝑘𝑇)𝑒(−𝑞

𝜑𝐵𝑛𝑘𝑇)= 𝑁𝐶𝑒

(−𝑞𝜑𝐵𝑛𝑘𝑇) (100)

όπου 𝑁𝐶 είναι η πυκνότητα καταστάσεων στην ζώνη αγωγιμότητας.

Σχήμα 35. Ρεύμα που προκαλείται από την διαδικασία θερμιονικής εκπομπής. (α) Θερμική

ισορροπία (β) Ορθή πόλωση (γ) ανάστροφη πόλωση

Σε θερμική ισορροπία έχουμε:

|𝐽𝑚→𝑠| = |𝐽𝑠→𝑚| ∝ 𝑛𝑠 (101)

Ή

|𝐽𝑚→𝑠| = |𝐽𝑠→𝑚| = 𝐶1𝑁𝐶𝑒(−𝑞𝜑𝐵𝑛𝑘𝑇

) (101α)

48

Όπου το ρεύμα 𝐽𝑚→𝑠 είναι το ρεύμα από το μέταλλο προς τον ημιαγωγό, 𝐽𝑠→𝑚 είναι το ρεύμα

από τον ημιαγωγό προς το μέταλλο και 𝐶1 ένας συντελεστής αναλογίας.

Όταν η ορθή πόλωση 𝑉𝐹 εφαρμόζεται στην επαφή (Σχήμα 35β), η διαφορά ηλεκτροστατικού

δυναμικού κατά μήκος του φράγματος μειώνεται και η πυκνότητα ρεύματος στην επιφάνεια

μεγαλώνει στο:

𝑛𝑠 ≅ 𝑁𝐷𝑒(−𝑞(𝑉𝑏𝑖−𝑉𝐹)

𝑘𝑇)= 𝑁𝐶𝑒

(−𝑞(𝜑𝐵𝑛−𝑉𝐹)

𝑘𝑇) (102)

Το ρεύμα 𝐽𝑠→𝑚 που είναι το αποτέλεσμα της ροής ηλεκτρονίων από τον ημιαγωγό προς το

μέταλλο αλλάζει με τον ίδιο τρόπο (Σχήμα 35β). Η ροή των ηλεκτρονίων από το μέταλλο προς

τον ημιαγωγό, παραμένει η ίδια διότι το φράγμα 𝜑𝐵𝑛 παραμένει στην τιμή ισορροπίας. Το

καθαρό ρεύμα σε ορθή πόλωση είναι:

𝐽 = 𝐽𝑠→𝑚 − 𝐽𝑚→𝑠 = 𝐶1𝑁𝐶𝑒(−𝑞(𝜑𝐵𝑛−𝑉𝐹)

𝑘𝑇)− 𝐶1𝑁𝐶𝑒

(−𝑞𝜑𝐵𝑛𝑘𝑇

)=

= 𝐶1𝑁𝐶𝑒(−𝑞𝜑𝐵𝑛𝑘𝑇

)(𝑒(𝑞𝑉𝐹𝑘𝑇)− 1) (103)

Χρησιμοποιώντας το ίδιο ισχυρισμό για συνθήκη ανάστροφης πόλωσης (Σχήμα 35γ), η

έκφραση του καθαρού ρεύματος είναι ακριβώς η ίδια με την εξίσωση 103, μόνο που η τάση

𝑉𝐹 αντικαθίσταται από την −𝑉𝑅.

Ο συντελεστής 𝐶1𝑁𝐶 ισούται με 𝛢∗𝛵2, όπου 𝛢∗ ονομάζεται σταθερά Richardson (σε

𝛢𝛫2 − 𝑐𝑚2⁄ και 𝛵 η απόλυτη θερμοκρασία. Οι τιμές της σταθεράς 𝛢∗ εξαρτώνται από την

φαινόμενη μάζα και είναι ίση με 110 και 32 για Si τύπου n και p αντίστοιχα και 8 και 74 για

GaAs τύπου n και p αντίστοιχα. Η χαρακτηριστική της επαφής μετάλλου – ημιαγωγού σε

συνθήκες θερμιονικής εκπομπής είναι κατά συνέπεια:

𝐽 = 𝐽𝑠(𝑒(𝑞𝑉𝐹𝑘𝑇)− 1) (104)

Και

𝐽𝑠 = 𝐴∗𝑇2𝑒

(−𝑞𝜑𝐵𝑛𝑘𝑇

) (105)

Όπου 𝐽𝑠 είναι η πυκνότητα ρεύματος κορεσμού και η εφαρμοζόμενη τάση είναι θετική για

ορθή πόλωση και αρνητική για ανάστροφη πόλωση. Στο Σχήμα 36 δίνονται πειραματικές

χαρακτηριστικές 𝐼 − 𝑉 για διόδους Schottky. Προβάλλοντας την απόκριση 𝐼 − 𝑉 στο 𝑉 = 0

βρίσκουμε το 𝐽𝑠. Από το 𝐽𝑠 και την εξίσωση 105 μπορούμε να βρούμε το φράγμα 𝜑𝐵𝑛.

Συμπληρωματικά του ρεύματος φορέων πλειονότητας (ηλεκτρόνια), σε μια επαφή μετάλλου

– ημιαγωγού, υπάρχει και ένα ρεύμα μειονότητας (οπές) εξαιτίας της έγχυσης οπών από το

μέταλλο στον ημιαγωγό. Η έγχυση οπών είναι η ίδια όπως και στην επαφή p+-n (εξίσωση 52).

Η πυκνότητα ρεύματος είναι:

𝐽𝑝 = 𝐽𝑝𝑜(𝑒(𝑞𝑉

𝑘𝑇)− 1) (106)

Όπου

49

𝐽𝑝𝑜 =𝑞𝐷𝑝𝑛𝑖

2

𝐿𝑝𝑁𝐷 (107)

Σε κανονικές συνθήκες λειτουργίας, το ρεύμα φορέων μειονότητας είναι τάξεις μεγέθους

μικρότερο από το ρεύμα φορέων πλειονότητας. Έτσι, η επαφή Schottky είναι ανορθωτής.

Σχήμα 36. Ρεύμα ορθής πόλωσης συναρτήσει της τάσης σε επαφή W-Si & W-GaAs.

Άσκηση: Για μια δίοδο W-Si με 𝑁𝐷 = 1016𝑐𝑚−3, βρείτε το φράγμα 𝜑𝐵𝑛 και το εύρος

απογύμνωσης από το Σχήμα 36. Να συγκρίνετε το ρεύμα κορεσμού με το ρεύμα 𝐽𝑠 με το 𝐽𝑝𝑜

με την προϋπόθεση ότι ο χρόνος ζωής των φορέων μειονότητας στο Si είναι 10-6 s.

Λύση: Από το Σχήμα 36 έχουμε 𝐽𝑠 = 6.5 × 10−5 𝐴

𝑐𝑚2⁄ . Το φράγμα 𝜑𝐵𝑛 βγαίνει από την

εξίσωση 105:

𝜑𝐵𝑛 =𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛 (

𝐴∗𝑇2

𝐽𝑠) = 0.0259𝑙𝑛 (

110 × 3002

6.5 × 10−5) = 0.67𝑉

Αυτό το αποτέλεσμα είναι σε συμφωνία με την απόκριση 𝐶 − 𝑉 (Σχήμα 34). Το δυναμικό 𝑉𝑏𝑖

είναι ίσο με 𝜑𝐵𝑛 − 𝑉𝑛.

𝑉𝑛 =𝑘𝑇

𝑞𝑙𝑛 (

𝑁𝐶𝑁𝐷) = 0.17𝑉

Οπότε

50

𝑉𝑏𝑖 = 0.67 − 0.17𝑉 = 0.5𝑉

To εύρος απογύμνωσης δίνεται από την εξίσωση 92 με 𝑉 = 0:

𝑊 = √2𝜀𝑠𝑉𝑏𝑖𝑞𝑁𝐷

= 2.6 × 10−5𝑐𝑚

Για να υπολογίσουμε την πυκνότητα του ρεύματος μειονότητας 𝐽𝑝𝑜 χρειαζόμαστε το 𝐷𝑝 που

είναι ίσο με 36 𝑐𝑚2

𝑠⁄ για 𝑁𝐷 = 1016𝑐𝑚−3 και το 𝐿𝑝 που είναι √𝐷𝑝𝜏𝑝 = 6 × 10

−3𝑐𝑚. Έτσι:

𝐽𝑝𝑜 =𝑞𝐷𝑝𝑛𝑖

2

𝐿𝑝𝑁𝐷=1.6 × 10−19 × 36 × (1.45 × 1010)2

(6 × 10−3)1016= 2 × 10−11𝐴

𝑐𝑚2⁄

Ο λόγος των δύο πυκνοτήτων ρεύματος είναι:

𝐽𝑠𝐽𝑝𝑜

=6.5 × 10−5

2 × 10−11= 3.2 × 106

Από αυτή τη σύγκριση βλέπουμε ότι το ρεύμα φορέων πλειονότητας είναι πάνω από 6 τάξεις

μεγέθους μεγαλύτερο από το ρεύμα φορέων μειονότητας.

3.7.3. Ωμική επαφή

Μια ωμική επαφή ορίζεται ως μια επαφή μετάλλου – ημιαγωγού που έχει πολύ μικρή

αντίσταση σε σχέση με την αντίσταση του ημιαγωγού. Μια ικανοποιητική ωμική επαφή θα

έπρεπε να μην μειώνει σημαντικά την απόδοση μιας διάταξης και είναι ικανή για την

διέλευση ρεύματος με πτώση τάσης που να είναι μικρή σε σχέση με την πτώση τάσης στην

ενεργό περιοχή της διάταξης.

Η τιμή της ωμικής επαφής που λέγεται ειδική αντίσταση επαφής ορίζεται ως:

𝑅𝐶 ≡ (𝑑𝐽

𝑑𝑉)𝑉=0

−1𝛺𝑐𝑚2 (108)

Για επαφές μετάλλου – ημιαγωγού με χαμηλές συγκεντρώσεις προσμίξεων η θερμιονική

εκπομπή ρεύματος κυριαρχεί όπως δίνεται από την εξίσωση 104. Έτσι:

𝑅𝐶 =𝑘

𝑞𝐴∗𝑇𝑒(𝑞𝜑𝐵𝑛𝑘𝑇

) (109)

Η εξίσωση 109 δείχνει ότι για να έχουμε μικρή αντίσταση 𝑅𝐶 χρειαζόμαστε μικρό φράγμα

𝜑𝐵𝑛.

Για επαφές με μεγάλες προσμίξεις στον ημιαγωγό, το εύρος του φράγματος γίνεται πολύ

μικρό και το ρεύμα σήραγγας μπορεί να κυριαρχεί. Το ρεύμα σήραγγας όπως δείχνεται στο

πάνω ένθετο του Σχήματος 37 είναι ανάλογο της πιθανότητας διέλευσης σήραγγας που

δίνεται από την:

𝐼 ∝ 𝑒−2𝑊√2𝑚𝑛(𝑞𝜑𝐵𝑛−𝑞𝑉)ℏ2 (110)

51

Όπου το 𝑊 είναι το εύρος της περιοχής απογύμνωσης και μπορεί να προσεγγισθεί ως

√(2𝜀𝑠

𝑞𝑁𝐷⁄ ) (𝜑𝐵𝑛 − 𝑉). Αντικαθιστώντας το 𝑊 στην εξίσωση 110, έχουμε:

𝐼 ∝ 𝑒(−𝐶2(𝜑𝐵𝑛−𝑉)

√𝑁𝐷) (111)

Όπου 𝐶2 = 4√𝑚𝑛𝜀𝑠

ℏ⁄ . Η ειδική αντίσταση επαφής για μεγάλη πρόσμιξη είναι:

𝑅𝑐 ∝ 𝑒(𝐶2𝜑𝐵𝑛

√𝑁𝐷) (112)

Σχήμα 37. Υπολογισμένες και μετρημένες τιμές της ειδικής αντίστασης επαφής. Το πάνω

ένθετο δείχνει την διαδικασία σήραγγας. Το κάτω ένθετο δείχνει την θερμιονική εκπομπή σε

συνθήκες χαμηλού φράγματος.

52

Η εξίσωση 112 δείχνει ότι στο εύρος προσμίξεων για την επαφή σήραγγας, η ειδική αντίσταση

επαφής εξαρτάται ισχυρά από την συγκέντρωση προσμίξεων και μεταβάλλεται εκθετικά με

τον συντελεστή 𝜑𝐵𝑛

√𝑁𝐷.

Οι υπολογισμένες τιμές της 𝑅𝑐 δίνονται στο Σχήμα 37 σαν συνάρτηση του 1

√𝑁𝐷. Για 𝑁𝐷 ≥

1019𝑐𝑚−3, η 𝑅𝑐 κυριαρχείται από την διαδικασία σήραγγας και μειώνεται ραγδαία από την

συγκέντρωση προσμίξεων. Από την άλλη, όταν 𝑁𝐷 ≤ 1017𝑐𝑚−3, το ρεύμα οφείλεται στην

θερμιονική εκπομπή και η 𝑅𝑐 είναι ανεξάρτητη από την νόθευση (=συγκέντρωση

προσμίξεων). Στο Σχήμα 37 δίνονται επίσης πειραματικά δεδομένα για διόδους (PtSi-Si) και

(Al-Si) που συμφωνούν με τις θεωρητικές τιμές. Το Σχήμα 37 δείχνει ότι η υψηλή

συγκέντρωση, το χαμηλό φράγμα, ή και τα δύο πρέπει να είναι παρόντα για να επιτευχθεί

χαμηλή τιμή της 𝑅𝑐. Αυτές οι δύο προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται για όλες τις ωμικές επαφές.