คณิตศาสตร์ ม.3...

32
ปริมาตรและพื้นที่ผิว ทรงสามมิติ ไดแก ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึม ทรงกระบอก ฯลฯ ตัวอยางของทรงสามมิติ ปริมาตรของรูปทรงตาง ๆ 1. รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปทรงที่มีดานกวาง ดานยาว และดานสูง และมีมุมทุกมุมเปนมุมฉาก สูตร ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยม = กวาง × ยาว × สูง หรือ = พื้นที่ฐาน × สูง

Transcript of คณิตศาสตร์ ม.3...

ปริมาตรและพื้นท่ีผิว

ทรงสามมิติ

ไดแก

ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ปริซึม

ทรงกระบอก

ฯลฯ

ตัวอยางของทรงสามมิติ

ปริมาตรของรูปทรงตาง ๆ

1. รูปทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก คือ รูปทรงที่มีดานกวาง ดานยาว และดานสูง และมีมุมทุกมุมเปนมุมฉาก

สูตร ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยม = กวาง × ยาว × สูง

หรือ = พื้นที่ฐาน × สูง

2. รูปทรงลูกบาศก คือ รูปทรงที่มีดานทุกดานเทากันเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีมุมทุกมุมเปนมุมฉาก

สูตร ปริมาตรทรงลูกบาศก = ดาน × ดาน × ดาน

หรือ = ( ดาน ) 3

3. รูปทรงกลม คือ รูปทรงกลมตันที่ลอมรอบดวยผิวโคงที่มีระยะหางจากจุดศูนยกลางเทากัน

สูตร ปริมาณทรงกลม = 3.34 rπ

722 , r = รัศมีทรงกลม )

4. รูปทรงกระบอก คือ รูปทรงที่มีพ้ืนที่หนาตัดเปนวงกลมทั้งดานบนและดานลาง ซึ่งมีขนาดเทากัน พ้ินที่ผิวดานขางเปนร ูปสี่เหลี่ยมพื้นผา

สูตร ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง

หรือ = พื้นที่วงกลม × สูง

หรือ = hr .2.π

( h = สวนสูง )

5. รูปทรงกรวยกลม คือ รูปทรงที่มีฐานเปนวงกลมผิวดานขางโคง และสวนยอดแหลม

สูตร ปริมาตรทรงกรวยกลม = × พื้นที่ฐาน × สูงตรง ( h )

= hr .2.31 π

31

6. รูปพีระมิด คือ รูปทรงที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมตาง ๆ แลวมียอดแหลมและหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่จุดยอดรวมกัน การเรียกพีระมิดจะเรียกตามชื่อรูปเหลี่ยมที่ฐาน

สูตร ปริมาตรทรงพีระมิด = × พื้นที่ฐาน × สูงตรง ( h ) 31

7. รูปทรงปริซึม คอื รูปทรงเหลี่ยมหนาตัดหัวทายเปนรูปเหลี่ยมเหมือนกันและเทากันพื้นที่ผิวดานขางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาการเรียกช่ือจะเรียกตามรูปหนาตัดปริซึม

สูตร ปริมาตรทรงปริซึม = พื้นที่หนาตัด ( ฐาน ) × ความยาว ( สูง )

ทบทวนความรู้ที่จำเป็นในการนำมาใช้คำนวนปริมาตรและพื้นที่ผิวของรูปทรงเรขาคณิต 3 มิติ

1. การหาพื้นที่ คิดเพียง 2 มติิ มีหนวยการวัดเปนตารางหนวย 2. การหาปริมาตร คิด 3 มิติ มีหนวยการวัดเปนลูกบาศกหนวย 3. สมบัติ เกี่ยวกบัมุม ดาน และเสนทแยงมมุ ของรูปสี่เหล่ียมและรูปสามเหลี่ยม 4. สูตรการหาพืน้ที่รูปเหล่ียมตาง ๆ 4.1 สามเหลี่ยมใด ๆ = ×

21 ฐาน× สูง

= ( )( ) )( csbsass −−− เมื่อ a,b,c เปนความยาวของดานทั้งสาม และ S =

2cba ++

4.2 สามเหลี่ยมมุมฉาก = ×21 ผลคูณของดานประกอบมุมฉาก

4.3 สามเหลี่ยมดานเทา = 43 × (ดาน)2

4.4 สามเหลี่ยมฐานโคง = r360D

π×2 (เมื่อ D คือมุมยอด)

4.5 ส่ีเหล่ียมจัตุรัส = (ดาน) 2 หรือ (เสนทแยงมุม) 2

4.6 ส่ีเหล่ียมผืนผา = กวาง × ยาว 4.7 ส่ีเหล่ียมดานขนาน = ฐาน × สูง 4.8 ส่ีเหล่ียมขนมเปยกปูน = ×

21 ผลคูณของเสนทแยงมุม หรือ ฐาน× สูง

4.9 ส่ีเหล่ียมคางหมู = ×21 สูง ×ผลบวกดานคูขนาน หรือ

4.10 ส่ีเหล่ียมดานไมเทา = ×21 เสนทแยงมุม ×ผลบวกของเสนกิ่ง

4.11 ส่ีเหล่ียมรูปวาว = ×21 ผลคูณของเสนทแยงมุม

4.12 เสนรอบวงของวงกลม = 2 rπ หรือ Dπ (เมื่อ D คือเสนผานศูนยกลาง) 4.13 พื้นที่วงกลม = 2rπ

4.14 พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 2rπ

4.15 พื้นที่ผิวกรวยกลม = rlπ (l = สงเอียง)

2

4.16 ปริมาตรของทรงกลม = 3r34π

4.17 ปริมาตรทรง มุมฉาก = พื้นที่ฐาน × สูง หรือ กวาง × ยาว × สูง 4.18 ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูงตรง 4.19 พื้นที่ผิวขางทรงกระบอก = 2 rhπ หรือ เสนรอบวงที่ฐาน × สูง 4.20 ปริมาตรของพีระมิด = ×

31 พื้นที่ฐาน × สูงตรง

4.21 ปริมาตรของกรวยกลม = ×31 พื้นที่ฐาน × สูง

5. ความรูเกี่ยวกบัทฤษฎีทั่ว ๆ ไป ∆ 5.1 การเทากันทกุประการของ 1.1 ด.ด.ด. 1.2 ด.ม.ด. 1.3 ด.ฉ.ด. 1.4 ม.ด.ม.

5.2 ทฤษฎีปทาโกรัส a และ b เปนดานประกอบมมุฉาก และ c เปนดานตรงขามมุมฉาก จะได c2 = a2 + b2

5.3 การเทากันของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท : สามเหลี่ยมสองรูปถามีฐานยาวเทากนัหรือยูบนฐานเดยีวกันและมีสวนสูง เทากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะมีพื้นที่เทากัน

D C

A

B

จากรูปพื้นที่รูป∆ ABD เทากับพื้นที่รูป∆ADC

การหาปริมาตรของทรงสามมิติใด

จะตองตรวจสอบดูวา

ความกวาง

ความยาว

และความสูง

ของทรงสามมิตินั้น

วัดโดยใชหนวยวัดเดียวกันหรือไมถาหนวยวัด

ไมเหมือนกันจะตองเปลี่ยนใหเปนหนวยวัดเดียวกันกอน

ปริมาตร = พ้ืนที่ฐาน

×

สูง

พ้ืนที่ฐานของรูปทรงที่เรียนกันจะมี 7 ชนิด

คือ

- พ้ืนที่สามเหลี่ยมมุมฉาก = 21

×

สูง

×

ฐาน

- พ้ืนที่สามเหลี่ยมใด

ๆ = ))()(( csbsass −−−

โดย s = 2

cba ++

- พ้ืนที่สามเหลี่ยมดานเทา = ×43

ดาน2

- พ้ืนที่ส

ี่เหลี่ยมจัตุรัส = ดาน

×

ดาน

- พ้ืนที่สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง

×

ยาว

- พ้ืนที่หกเหลี่ยมดานเทา = 6 ×

พ้ืนที่สามเหลี่ยมดานเทา

= 6 ×

×43

ดาน2

- พ้ืนที่วงกลม = 2.rπ

นิยามของลูกบาศก และ ปริซึม

ลูกบาศก (Cube)

- ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวยเทากัน- กําหนดใหมีปริมาตร 1 ลูกบาศกหนวย

ปริซึม (Prism)

- ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเปนรูปเหลี่ยมที่เทากันทุกประการฐานทั้งคูอยูในระนาบที่ขนานกัน- ดานขางแตละดานเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

พื้นที่ผิวของทรงสามมิติ (Surface area of solid)

พื้นที่ผิวของทรงสามมิติ เทากับ ผลรวมของพื้นที่ผิวทุกดานของทรงสามมิติ หรือ เทากับ หัวทาย + ขาง หรือ เทากับ 2 เทาของพื้นที่ฐาน + (เสนรอบรูปฐาน × ความสูง)

ปริซึมทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ปริซึมหนาตัดสามเหลี่ยม ปริซึมหนาตัดหาเหล่ียม

ปริซึม (Prism) คือทรงสามมิติที่มีหนาตัดหัวทายเปนรูปเหลี่ยมตาง ๆ เหมือนกนัทั้งหวัและทาย

โดยมีพื้นทีเ่ทากัน รูปแบบเดยีวกันและขนานกัน ดานขางของปริซึมขนานกันและเปนความยาวของปริซึม

โดยพื้นทีด่านขางเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาทุกรูป

ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยูกับหนาตดัของรูปนั้น ๆ เชน หนาตดัเปนรูปสามเหลี่ยม เรียกปริซึม

สามเหลี่ยม หนาตัดเปนรูปหาเหล่ียม เรียกปริซึมหาเหล่ียม เปนตน

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่หนาตัดหัวทายพื้นที่ผิวขางของปริซึม = ความยาวเสนรอบฐาน × ความสูงปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

(3)

ตอบ 20 ลูกบาศก์เมตร

ตอบ 60 ลูกบาศก์เมตร

1. จงหาปริมาตรของทรงสามมิติตอไปนี้

(1)

(2)

ตัวอยาง

(6)

(5)

(4)

(8)

(7)

กลองกระดาษทรงสี่เหลี่ยม มีพ้ืนที่กนกลอง 300 ตารางเซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร กลองใบนี้มีความจุเทาใด

วิธีทํา ปริมาตรของกลองกระดาษ = พ้ืนที่ฐาน × สงู พ้ืนที่กนกลอง = 300 ตารางเซนติเมตร ความสูงของกลอง = 20 เซนติเมตร

∴ กลองมีความจุ = 300 × 20 ลูกบาศกเซนติเมตร

∴กลองใบนี้จุ 6,000 ลูกบาศกเซนตเิมตร ตอบ

ตัวอยาง ถังน้ําสี่เหล่ียมมุมฉากกวาง 3 เมตร ยาว 7 เมตร มีน้ําบรรจุอยู 105 ลูกบาศกเมตร

ระดับน้ําจะสูงกี่เมตร ปริมาตร = กวาง × ยาว × สูง สูง = ยาวกวาง

ปริมาตร×

ระดับน้ําสูง = 73105× = 5 เมตร

ตอบ 5 เมตร

ตัวอยาง

วิธีทํา

16.5 พีระมิด (Pyramid) คือ รูปทรงสามมิติที่มีพ้ืนฐานเปนรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดรวมกันที่ยอด

แหลมนั้นนิยมเรียกช่ือของพีระมิดตามลักษณะของฐาน เชน พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา พีระมิดฐานหกเหลี่ยม ดานเทา เปนตน พีระมิดแบงออกเปน 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง ในระดับ ม.3 จะกลาวถึงเฉพาะพีระมิดฐานตรง ก. ลักษณะของพีระมิด

พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเปนเหลี่ยมดานเทามุมเทา มีสันยาวเทากันทุกเสน จะมีสูงเอียงทุกเสนยาวเทากัน และสูงจะตั้งฉาก

กับฐานที่จุดซึ่งอยูหางจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เปนฐานเปนระยะเทากันมีหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว พีระมิดตามลักษณะของฐาน

พีระมิดสามเหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผา พีระมิดฐานหาเหลี่ยมดานเทา

สูตรการหาพืน้ท่ีผิวของพีระมิด

พื้นที่ผิวขาง 1 ดาน = 21 × ฐาน × สูงเอียง

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พืน้ที่ผิวขางทุกดาน

ในกรณีที่เปนพีระมิดตรงและมีฐานเปนรูปเหลี่ยมดานเทาทุกเทา

พื้นที่ผิวขางทกุดาน = 21 × ความยาวเสนรอบฐาน × สูงเอียง

ปริมาตรของพีระมิด = 31 × พื้นที่ฐาน × สูง

พื้นท่ีผิวของพรีะมิด (Surface area of pyramid) พื้นที่ของหนาทุกหนาของพรีะมิดรวมกันเรียกวา พื้นที่ผิวขางของพีระมิด และพืน้ทีผิ่วขาง

ของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรยีกวา พื้นที่ผิวของพีระมิด

��'����� �����%���@��*#��*�"�%#����.��'���.�"� %#�����-X��3��������������"��;����3�����������1�*�������� �#����������%

�#3���

�#3������������� �#����������% ?��������� �RSE�T������� �REQ�T������� �RQU�T������� �RUV

��T������� �RVS��.�������� ��RSE ?������� �REQ�?������� �RQU�?������� �RUV?������� �RVS

%������������� �#����������%�?�;��B��

� �-X��;�C�������3�������

�������?�>;X�������3�������'����������� �#����������%��.�!�,�>;X�������3�������

�#3������2 �������0������%���@��*#��*�"�%#����.��'���.�

�1�!������������� �#����������%

�����%���@����*�"�1��'�����%#��"� %#�����:X��3����������������;�3�������

1�*�������� ��������%�#3���

1�!����RS��?��SE��?��EQ��?��QR ?���:X���3������������YU ?����;��3�������

���� �YUV����0��������*�"��'�D�!����YUV����0��'�D�!

��1�7%#��YV- ?��YU-��T�UV-

?���;-��T�-X-

?���--;�T�:XX

��YV- ?��=-;��YV ?��-;��3�������

�����1�!��0������%@����*�"�1��'���

%�������������� �#����������% ?�����

� �� ��"� ��,@���������"�

?������

� �B:��:XC��-;�������3�������

������� �#����������% ?��-+XXX�������3����������������@����������% ?��:X��:X�?��+=XX�������3��������������������� ��������% ?��������� �#���T������@��

?���-+XXX�T��+=XX�������3�������?���6+=XX�������3�������

'����������� ��������%��.�!�,��6+=XX�������3�������

?���������������� ��"� ��,@�����������"��-

'������������ �#����������%��.�!�,��>;X��������3�������

?���������������B;��-XC�����;��������3��������-

��4������>;X����������3�������

��'�����

��'����� �����%@����*�"�1��'���"� %#������=��3�����������������"���>��3�������1�*����������������%

�#3���

1�!��� �����%@����*�"�1��'����SEQU��� ��"� %#������=��3�������������"��RO�?��>��3�������RV���0�� �������������%

1�!�����������*�"��'�D�!�RVO���'��RVO���0��'�D�!�1�7%#RV- ? RO-�[�VO-

RV- ? �>-��[�\-

? -\]�[�=:RV- ? --;RV ? �;��3�������

�����������%�����;��3������������@����������%���?��=���=�?�-;=�������3�������

8����'� ���������������% ?���

� ������@�������

?���

� �-;=���;���!,�5!)�3�������

?��+-\X���!,�5!)�3�������'������������������%��.�!�,��+-\X���!,�5!)�3�������

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

ทรงกระบอก คือ รูปทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เท ากันทุกประการ

พ้ืนที่ผิวของทรงกระบอก

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ประกอบดวยพ้ืนที่ผิวขางของทรงกระบอกและพื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก ดังนั้น พ้ืนที่ผิวของทรงกระบอก = ขาง + หัวทาย

= π2 + 22 rπ

เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของทรงกระบอก ปริมาตรของทรงกระบอก ปริมาตรของทรงกระบอก = พ้ืนที่ฐาน x สูง = hr 2π เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของทรงกระบอก

rh

'��������1�*�������� ������!��,�!�1�!���

-X�3��

:X�3��

�#3���1�!������������ ������!��,�! ?���-πA�BM�T�AC �����*�. "

?���-×�π�×�-X�×�B:XT-XC ������3�������?���:X�π×�=X ������3�������

������� ������!��,�! ?���-:XXπ ������3�������π ≈���6��:

������� ������!��,�! ≈���-:XX×�6��: ������3�������≈���>+;6=�XX ������3�������

'����������� ���!��,�!�������>+;6=���������3��������)�)2�%�#&�'����������������*��,���������$%�/����� �#��L%"��,����D�!!�,*�#���%*���@������������*�#���%*���

@�������������!����&.�����34��������!��,�!���'���,���%��!�.� �����������������������/ ?��������@������� ����7�

%������ �������������!��,�! ?��������@���×���� ��!,�5!)*�. "?���πA-M ��!,�5!)*�. "

�����A������5����@��������!��,�!�������M����� �����������!��,�!

�������������!��,�!?���πA-M�����A������5����@��������!��,�!M����� �����������!��,�!

�&����'1����!��*��������������!��,�!��$&#7%#�����������������!��,�!�������������������!��,�!��"�

��'����� 1�*��������������!��,�!����1�!���

-�3��

:�3��

�#3�����������������!��,�! ?���πA-M?���π ×�--�×�: ��!,�5!)�3�������?����=π ��!,�5!)�3�������

π ≈���6��:�������������!��,�!�≈���=�×�6��:�≈��;X�-:�����!,�5!)�3�������'�������!��,�!�������������������;X�-:�����!,�5!)�3�������

1�*��������������!��,�!��"��1�!���

�#3�����������������!��,�! ?���πA-M?���π�×� ×�: ��!,�5!)�3�������

?���:]π ��!,�5!)�3�������

π ≈�������������!��,�!�≈�:]�×�����������≈��;:���!,�5!)�3�������'������!��,�!����������������;:���!,�5!)�3�������

>�3��

:�3��

-->

-->

>-B����C

-

��'�����

��'����� 1�*��������������!��,�!����1�!���

-�3��

:�3��

�#3�����������������!��,�! ?���πA-M?���π ×�--�×�: ��!,�5!)�3�������?����=π ��!,�5!)�3�������

π ≈���6��:�������������!��,�!�≈���=�×�6��:�≈��;X�-:�����!,�5!)�3�������'�������!��,�!�������������������;X�-:�����!,�5!)�3�������

1�*��������������!��,�!��"��1�!���

�#3�����������������!��,�! ?���πA-M?���π�×� ×�: ��!,�5!)�3�������

?���:]π ��!,�5!)�3�������

π ≈�������������!��,�!�≈�:]�×�����������≈��;:���!,�5!)�3�������'������!��,�!����������������;:���!,�5!)�3�������

>�3��

:�3��

-->

-->

>-B����C

-

��'�����

��'����� ,.��������!��,�!���#��.��5��")!������@���:�-�������4!�=������,.������� ��1'

!��!,�5!)����

!��*�%$*#�π���.��������#3��� �������������!��,�! ?���πA-M

����������,.��������!��,�! ?���π�× ������������� ×�=���!,�5!)����?���-=�:=π ������!,�5!)����

π �≈

-->

-->

B��C:�- -

-

,.��������!��,�!�������� ≈���-=�:=��× �������!,�5!)����≈���\6��= ��������!,�5!)����

'���,.��������!��,�!���������������\6��=���!,�5!)����

-->

พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย

กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมมียอดแหลม เสนที่ตอระหวางจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง

ที่ยาวเทากัน เรียกวา สูงเอียงของกรวยตรงยาวเทากัน พื้นที่ผิวของกรวย พ้ืนที่ผิวของกรวย เปนพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง ประกอบดวยพ้ืนที่ผิวขาง กับพื้นที่ฐานของกรวย

ดังนั้น พ้ืนที่ผิวของกรวย = กน + ขาง

= 2rrπ + rrlπ

ถากรวยมีสวนเอียงยาว l หนวย และ รัศมีที่ฐานยาว r หนวย

ปริมาตรของกรวย = 31

× พ้ืนที่ฐาน × ความสูง

= hr 2.31π

เมื่อ r แทนรัศมีฐานกรวย และ h แทนความสูงของกรวย

างตัวอย กระทงกรวยใบหนึ่ง มีเสนผานศูนยกลางปากกรวย 3 เซนติเมตร สูง 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของกรวยนี้

วิธีทํา ปริมาตรของกรวยกลม = hr .2.31 π

= 72

23

722

31

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛××

= 7.23.

23

722

31

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛××

= 233

= 16.5

∴ ปริมาตรของกระทงกรวย 16.5 ลูกบาศกเซนติเมตร

'������� 1�*�������� ���!� "�34����5����@���6;��3����������������-��3��������#3��� ��5����@��!� ""� 6;��3�������

!� "����� �-��3�����������RE���������"�%�������RE- ?�SE-�T�RS-

?�6;-�T��--

RE ?� ����

RE ?�6>��3�������1�!������������ ���!� " ?���πAa�T�πA-

?���Bπ�×�6;×6>C�T�Bπ ×�6;-C ������3�������?����-];π�T��--;π ������3�������

��������!� " ?���-;-Xπ ������3�������

π ≈������� ���!� " ≈��-;-X��× �≈��>]-X�����������3�������'���������� !� "��.��������>]-X�������3�������

�-�3��

6;�3��

R

E QS

-->-->

'������� !� "���#��.��5��")!������@��"� ��X��3������������� �������-��3�������1�*�������� �#�����!� "�������������!� "

�#3��� 1�!��� a ? ��� +

a ?�� �� �� �������� =+

��������������∴ ?����6��3�������1�!������������ �#�����!� " ?����πAa

?����π�×�;�×��6��������3�������?���=;π�������3�������

π ≈���6��:∴������� �#�����!� "�≈�=;�×�6��:�≈�-X:��X�������3�������

1�!���� N ?��� πA-M∴����������!� " ?�����������×�π�×�;-�×�- ��!,�5!)�3�������

?�����XXπ ��!,�5!)�3�������

���������������!� " ≈�����XX��×�6��:��≈�6�: ��!,�5!)�3�������������� �#�����!� "�������-X:��X��������3�����������������!� "�������6�:���!,�5!)�3�������

�-3��

�X�3��

�6�6

)��))

^'��

าง

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

พ้ืนที่ผิวของทรงกลมเปนสี่เทาของพื้นที่ของรูปวงกลมซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลมนั้น

นั่นคือ พ้ืนที่ผิวของทรงกลม = 2.4 rπ

ปริมาตรของทรงกลม = 3.34

เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม

ตัวอย ลูกเหล็กลูกหนึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 3.5 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของลูกเหล็กนี้

วิธีทํา ปริมาตรของทรงกลม = 3.34 rπ

= 3

25.3.

722

34

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25.3.

25.3.

25.3.

722

34

= 22.46 ลูกบาศกเซนติเมตร

∴ ลูกเหล็กนี้มีปริมาตร 22.46 ลูกบาศกเซนติเมตร ตอบ

รัศมี

ทรงกลม (Sphere) คือทรงสามมิติที่มีผิวเรียบโคงและจุดทุกจุดบนผวิโคงอยูหางจากจุดคงที่จุดหนึง่เปนระยะเทากนั จุดคงที่นัน้เรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม และระยะที่เทากนันั้นเรียกวา รัศมีของทรงกลม

วงกลมใหญ

เสนผานศูนยกลางวงกลมใหญ

จุดศูนยกลาง

ผิวโคงเรียบ

4.

3.

แบบฝึกหัด

1. ทรงขอใดตอไปนี้เปนปริซึม

2. ทรงขอใดตอไปนี้ไมเปนปริซึม

ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดานประกอบมุมฉากยาว 16 และ 12 เซนติเมตร ถาปริซึมนี้สูง 10 เซนติเมตรปริซึมนี้มีพ้ืนที่ผิวทุกดาน ก่ีตารางเซนติเมตร

ก. 492 ตารางเซนติเมตร ข. 592 ตารางเซนติเมตร ค. 672 ตารางเซนติเมตร ง. 762 ตารางเซนติเมตร

กําหนดปริซึมสามเหลี่ยมดานเทา มีความยาวของดานของฐานเทากับ a หนวย ถาปริซึมยาว 80 เซนติเมตร และปริมาตร1280 3 ลูกบาศกเมตร แลว a มีคาเทากับขอใด

ก. 8 เซนติเมตร ข. 9 เซนติเมตร ค. 10 เซนติเมตร ง. 11 เซนติเมตร

7.

6.

5.

8.

9.

10. ถังทรงกระบอก สูง 2 เมตร พ้ืนที่หนาตัด 4 ตารางเมตร ถาเปดใหน้ําออก 2 ลูกบาศกเมตร น้ําจะลดลงมากี่เมตร

ก. 0.5 เมตร ข. 1 เมตร ค.1.5 เมตร ง. 1.25 เมตร

11. ทรงสามมิติที่กําหนดใหมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร

ก. 180 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 182 ลูกบาศกเซนติเมตร ค. 195 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 200 ลูกบาศกเซนติเมตร

แทงแกวทรงปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดานตรงขามมุมฉากยาว 13 เซนติเมตร ดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งยาว 12 เซนติเมตรถาพื้นที่ผิวของแทงแกวนี้เทากับ 810 ตารางเซนติเมตร แลว ปริมาตรของแทงแกวนี้เทากับเทาใดก. 750 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 760 ลูกบาศกเซนติเมตร ค. 770 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 780 ลูกบาศกเซนติเมตร

ถาน้ํามัน 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 0.85 กรัม ถังน้ํามันใบหนึ่งทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 25 เซนติเมตร ยาว 40 เซนติเมตรในถังบรรจุน้ําหนัก 17 กิโลกรัม น้ํามันในถังมีระดับน้ํามันสูงกี่เซนติเมตร

ก. 16 เซนติเมตร ข. 18 เซนติเมตร ค. 20 เซนติเมตร ง. 22 เซนติเมตร

ปริซึมสามเหลี่ยมสูง 12 เซนติเมตร ดานฐานเปนรูปสามเหลี่ยม มีความยาวดาน 5, 12 และ 13 เซนติเมตร

ปริมาตรของปริซึมแทงนี้ เทากับกี่ลูกบาศกเซนติเมตร

ก. 720 ข. 640 ค. 450 ง. 360

บอเลี้ยงปลากวาง 12 เมตร ยาว 21 เมตร ลึก 1.2 เมตร ถาคาแรงขุดบอ 100 ลูกบาศกเมตรแรก ลูกบาศกเมตรละ 20 บาท ตอไปลูกบาศกเมตร ละ 22 บาท ขุดหนึ่งบอจะสิ้นเงินเทาไรก. 6,452.8 บาท ข. 6,300 บาท ค. 6,228.4 บาท ง. 6,200.5 บาท

กรวยกลมมีเสนรอบปากยาว 52.8 เซนติเมตร มีความสูง 3.5 เซนติเมตร แลวกรวยมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร (π = 722)

ก. 258.72 ข. 250.72 ค. 28.872 ง. 25.872

12.

13.

14.

15.

16.

17. ปริซึมสามเหลี่ยม มีดานทั้งสามยาว 8, 15, 17 เซนติเมตร ถาปริซึมสูง 821

เซนติเมตร พ้ืนที่ผิวทั้งหมดของปริซึมนี้เทากับกี่

ตารางเซนติเมตร

ก. 360 ตารางเซนติเมตร ข. 400 ตารางเซนติเมตร ค. 460 ตารางเซนติเมตร ง. 500 ตารางเซนติเมตร

ไมทอนหนึ่งมีลักษณะ ดังรูป ตัวเลขที่กํากับแทนความยาวของดานที่มีหนวยเปนเซนติเมตร ปริมาตรของไมทอนนี้เทากับก่ีลูกบาศกเซนติเมตร

ก. 12,500 ข. 15,000 ค. 16,800 ง. 17,200

แปลงปลูกตนไมกวาง 2 เมตร ยาว 4.50 เมตร ตองการรถเดินรอบแปลงใหเปนทางเดินกวาง 2 เมตร และดินสูงจากพื้นดิน 12 เซนติเมตร จะใชดินมาถมกี่ลูกบาศกเมตร

ก. 3.84 ข. 4.64 ค. 5.04 ง. 6.14

สระน้ํารูปทรมสี่เหลี่ยมผืนผา ลึก 3 เมตร เทากันโดยตลอด สระกวาง 15 เมตร ยาว 30 เมตร ตองการปูกระเบื้องขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 15 เซนติเมตร จะตองใชกระเบื้องกี่แผน เมื่อปูภายในของสระทกุ ๆ ดานก. 32,000 ข. 34,800 ค. 35,200 ง. 53,200

ถังน้ําฝน มีน้ําฝนอยู 16.2 ลูกบาศกเมตร ซึ่งคิดเปน43ของความจุของถัง ถากนถังเปนรูปสี่เหลี่ยมกวาง 2 เมตร ยาว 5.4 เมตร

แลวถังนี้สูงกี่เมตรก. 1 ข. 1.5 ค. 2 ง. 2.5

แทงโลหะทรงสี่เหลี่ยมผืนผามีดานยาวกวาง และสูง เปน 5 ฟุต 4 ฟุต และ 12 นิ้ว ตามลําดับ มีปริมาตรเทาไร

ก. 20 ลูกบาศกนิ้ว ข. 20 ลูกบาศกฟุต ค. 240 ลูกบาศกนิ้ว ง. 240 ลูกบาศกฟุต

18. ขุดสระเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กวาง 8 เมตร สูง 8 เมตร จุน้ําได 560 ลูกบาศกเมตร

ตองการปูพลาสติกปองกันน้ําซึมออกทางกน สระและดานขางจะตองใชพลาสติกทั้งหมดอยางนอยก่ีตารางเมตร

ก. 233 ตารางเมตร ข. 323 ตารางเมตร ค. 332 ตารางเมตร ง. 338 ตารางเมตร

19. พ้ืนที่ผิวทั้งหมดของลูกบาศกลูกหนึ่งเทากับ 486 ตารางเซนติเมตร ลูกบาศกนี้มีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร

ก. 324 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 729 ลูกบาศกเซนติเมตร ค. 937 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 1,331 ลูกบาศกเซนติเมตร

20. แทงโลหะรูปสี่เหลี่ยมฐานยาว 10 เซนติเมตร กวาง 6 เซนติเมตร แทงโลหะนี้สูง 18 เซนติเมตร เจาะรูตรงกลางเปนรูปสามเหลี่ยม

มุมฉากที่มีดานประกอบมุมฉากยาว 1.5 และ 2 เซนติเมตร ตลอดความสูงของแทงโลหะนี้ จงหาน้ําหนัก ของโลหะกลวงแทงนี้

เมื่อโลหะนี้ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กิโลกรัม

ก. 1.023 กิโลกรัม ข. 1.033 กิโลกรัม ค. 1.043 กิโลกรัม ง. 1.053 กิโลกรัม