第 3 章 单粒子轨道理论

在等离子体中，如忽略带电粒子间的相互作用，只需考察其中单个带电粒子在电磁场中的运动，这就是单粒子运动模型

模型虽然粗糙，但简单直观，所得结果仍可说明受控核聚变中粒子约束问题

一般地，粒子运动速度 v<c ，因此可以用非相对论性的经典力学方经来研究单粒子运动。

3.1 带电粒子在均匀恒定磁场中运动

质量为 m 电荷为 q 的粒子，磁场中运动方程

一般情况，是非线性方程，它的解析解是不可能得到的

如果磁场均匀恒定 , 则容易求解 现取直角坐标： B 沿 z 轴

dm qdt

v

v B m q r r B

方程与方程的的解

0

c

c

x y

y x

z

/c qB m

0

0

0

sin( )

cos( )

cc

cc

x t x

y t y

z t z

v

v

v

粒子的运动轨迹 垂直磁场方向作均速圆周运动（称回旋运动），曲率中心称引导中心或回旋中心。

在平行磁场方向是做均速直线运动。 回旋中心位置是固定的，所以粒子的运动轨迹是绕固定一根磁力线作等螺距螺旋线运动。

这就是磁场对等离子体实现横向约束的依据。

两重要参量—回旋频率与回旋半径

回旋频率 回旋半径

ωc与电荷 q 符号有关 逆磁性

/c q B m

/ /c cr m q B v v

运动守恒量

由于粒子受的洛仑兹力始终垂直于粒子运动速度，因而磁场对粒子不做功，所以粒子动能 W 是守恒量，这一结果对非均匀磁场也是适用的。

粒子平行磁场方向运动的动能 W∥、垂直方向动能 W⊥、带电粒子总动能 W 都是守恒量

W 、 W∥ 、 W⊥都是守恒量

磁矩守恒量 磁矩定义

μ 与 B 是反平行的，而且与粒子的电荷无关，表明等离子体是抗磁性，这是等离子体的基本特性。 W⊥是守恒量， μ 也是守恒量。

通过回旋轨道所围面积的磁通量也是守恒量

22 2

2c c

q B WI r r

m B B B

n

B B

22

2c c

mr B

q

重要特征参量 电子与离子的回旋频率、回旋半径之比

T =10keV, B =1T

高温等离子体，离子回旋频率比较低，属低频，电子回旋频率很高，属微波段。离子的回旋半径不大，电子的则很小，这表明强磁场能约束高温等离子体。

1ce ci i em m 1ce ci e ir r m m

11 1 7 11.76 10 4.8 10ce ci s s弧度 ， 弧度

0.024cm, 1.44cmce cir r

3.2 电场及其它外力引起的漂移 如果磁场不是均匀恒定的，但随时间空间变化很缓慢 : 时间在一个回旋周期内，空间在一个回旋半径范围，磁场的变化很小 ;

如果在均匀恒定磁场中还存在小的横向电场 磁场的变化很小或电场经强度很弱，粒子运动轨道与螺旋形运动轨道偏离不大，这样可以把粒子的运动近似地看成：粒子导向中心运动和绕导向中心的回旋运动——这种近似处理方法称漂移近似。

电场引起的漂移

假定在均匀恒定的磁场之外，还有小的电场 E 存在，设 E⊥B ，只要研究粒子的横向运动，其方程为

横向运动分解为导向中心运动和绕导向中心的回旋运动两部分：

( )d

m q qdt

vv B E

D v v v

代入方程得

选取

要求满足

方程简化为

新的方程与均匀恒定磁场形式是完全相同 就是 E引起的漂移速度。

粒子运动描写为一个引导中心的运动和绕引导中心的回旋运动是有条件的，即均匀恒定磁场的作用是主要的，外加电场是微扰。

( ) ( )D

dm q q qdt

vv vB B E

2D B v E B

( ) 0Dq q v B E

( )d

m qdt

vv B

2D B v E B

电场引起的漂移物理图象 电场 E 引起的漂移与粒子的质量、电荷都无关。其结果使等离子体中所有带电粒子的回旋中心都以同一速度垂直于磁场方向运动。这种漂移是破坏等离子体磁约束的一种重要机制。

垂直磁场方向的其它外力微扰 qE应该用 F 代替：

重力 F = mg, 引起的漂移

重力引起的漂移与粒子的质量、电荷大小及符号都有关

2D qB

v

F B

2D

m

qB

v

g B

3.3 带电粒子在不均匀磁场中漂移 对于不均匀磁场，因为运动方程是非线性的，难于求得它的精确解。

如果磁场的不均匀性很小，即在回旋半径范围内磁场 B 的变化满足缓慢变化条件

讨论两种简单情况：磁场梯度和磁力线弯曲引起的漂移。

c B r B

1. 梯度漂移 设磁场 B 沿 z 轴，在 y 轴方向有梯度

运动方程

方程是非线性的，难于求得它的精确解

y

BB

y

e

( )d

m qdt

v

v B r

由 B 满足缓慢变化条件，可在引导中心处作展开，只保留一级小量项

B0是引导中心处的磁场 设 是回旋运动， 是漂移（常矢量），方程为

下面是代表均匀恒定磁场中的回旋运动

0 0( )c B B r B

0 D v v v

00 0 0 0 0( ) ( ) ( ) [( ) ]D D c

dm q q qdt

v

v v v vB B r B

Dv

0 (cos , sin ,0)c ct t v vsin , cos ,0c c cc c

t t

r

v v

0v

在一个回旋周期上求时间平均，得

上式，得

0 0 0( ) ( ) 0D cq q v vB r B

20 0 0 0[ ( ) ] /D c B v v r B B

20

0

1

2 xc

B

B y

ev

3 2

( )D

W BB

qB qB

v

BB

梯度漂移与粒子的电荷及符号有关，因此正负粒子的漂移方向相反。

梯度漂移是由等效力 F 所引起的

漂移速度：

BF

2D qB

v

F B2

( )B

qB

B

2. 曲率漂移 如果磁力线有轻微的弯曲(R＞＞ rc)，而且满足磁场变化缓慢条件 可以用漂移近似，引导中心沿力线运动，同时粒子绕弯曲的磁力线作回旋运动。但在以曲率中心为原点的坐标系中，带电粒子将感受到一个惯性离心力。这个力会引起漂移

c B r B

2

2=m

RF Rv

惯性离心力引起的漂移速度

曲率半径 R 定义

0 0

1/l l

Rl llim lim

b

20

( )lR l l Rlim

n b b R

b b =

2

2 2 2 2

2D

m W

qB R qB R R B R B

vv

2

2D

W

qB B B

B BB v

利用

漂移速度可简化为

一般地，磁力线弯曲时必定存在磁场梯度，因此粒子的总漂移应该是梯度漂移与曲率漂移的叠加。

总漂移速度

3

2D

WB

qB B v

3 2 2

2 2D

W W W WB

qB qB R

B R Bv

2

B

R B B B R

n B B R

3.4 浸渐不变量及其应用

在经典力学中，为了求粒子的运动轨道，必须求解微分方程。但如果能找到某类运动积分（运动常量），则求解就容易多了

在研究带电粒子在电磁场中运动时，可以证明，当某些参量变化足够缓慢时，有些物理量是近似的运动常量（守恒量），则称这些物理量为浸渐不变量。

1. 磁矩不变性与磁镜约束原理

在磁场中粒子回旋运动的磁矩

可以证明，当磁场随空间、时间缓慢变化时，磁矩是浸渐不变量。

W B