第 3 回

この講義の要点• 大気の鉛直構造（気圧・密度分布）を決

定する支配法則の導出・理解• その法則から導かれること

– 気圧の意味– 高さとともに気圧はどう変化するか ?

• 高い山の上では気圧が低いことはどう理解されるか ?

• その発展として考えたいこと– [ おまけ ] 惑星大気温度の測り方の一例

地球大気の鉛直構造温度で区分• 熱圏： 90 km ~

• 中間圏： 50~90 km

• 成層圏： 10~50 km

• 対流圏： 0~10 km– 雲ができる層対流圏

成層圏

中間圏

熱圏（高度 [km] ）

（温度 [k] ）0km

10km

50km

90km

280K200k

Andrews et al., 1987: Middle atmosphere dynamics,Academic Press, Fig. 1-1.

（新訂地学図表 , 浜島書店 , より引用）

この回の講義のキーワード• 静水圧平衡（静力学平衡 , hydrostatic

equilibrium ）– 大気（地球のみならず惑星の大気）の大規模

な鉛直構造（気圧・密度分布）を支配する法則

静水圧平衡の導出の準備• 地面から宇宙まで延びる

仮想的な気柱を考える– 円柱の底面積：

• 下から n 番目の層の体積：

– 大気の密度（単位体積あたりの質量）：

• 下から n 番目の層の質量：

dzA

dzAn 2/1

2/1n

A

番目の層の空気に働く力• 考える条件

– 風が吹いていない• 大気が運動していない

– または惑星全体の平均を考える

• 全体の平均としてみれば止まっているのと同じ .

• もし上向きの速度を持つならば，空気は宇宙に向かって逃げてしまう .

• もし下向きの速度を持つならば，宇宙から空気が降り積もってくる .

• 空気が止まっているならば，空気に働いている力はつりあっている（力の総和はゼロ）

　番目の層の空気に働く力を詳しく考える

• 空気に働く重力– 質量 × 重力加速度– 重力加速度：– 下向きに

• 上面に働く圧力 :– 力は下向きに

• 下面に働く圧力 :– 力は上向きに

• 3 つの力のつりあいApn 1

Apn

dzAg

np

1np

g

前の考察をまとめると• 上向きの力

• 下向きの力

• これらを使うと ,

Apn 1

ApndzAg

dzAgApAp nn 1

結果を整理• 最終的に

より ,

静水圧平衡（静力学平衡）

dzAgApAp nn 1

dzgpp nn 1

Apn 1

Apn

dzAg

結果について考察（１）• 上空に行くと気圧は？

• 　　と　　　　の大小関係– 　　　　なの

で

dzgpp nn 1

np 1np

0dzg

nn pp 1

結果について考察（１）• 上空に行くと気圧は？

• 　　と　　　　の大小関係– 　　　　なので

• 上空にいくと気圧は下がる– 経験的に知っている通り

dzgpp nn 1

np 1np

0dzg

nn pp 1

結果について考察（２）• 気圧とは何か ?

結果について考察（２）• 気圧とは何か ?

– 答え• １ m ２の上に乗って

いる空気の質量

結果について考察（２）• 先に導出した式

dzgpp nnn 2/11


• 最下層ではdzgpp nnn 2/11

dzgpp 2/110


• 最下層では

• 2 番目の層では

dzgpp nnn 2/11

dzgpp 2/110

dzgpp 2/321


• 最下層では



dzgpp nnn 2/11

dzgpp 2/110

dzgpp 2/321

dzgpp 2/532

• 繰り返していくとdzgpp 2/110 dzgpp 2/321 dzgpp 2/532

1 層目

2 層目

3 層目

‥ ‥ ‥

dzgpp 2/743 4 層目

dzgpp 2/954 5 層目

• 繰り返していくと1 層目

2 層目

3 層目

‥ ‥ ‥

各層の重さ

4 層目

5 層目

dzgpp 2/110 dzgpp 2/321 dzgpp 2/532 dzgpp 2/743 dzgpp 2/954

• 下から上まで足すdzgpp 2/110 dzgpp 2/321 dzgpp 2/532

1 層目

2 層目

3 層目

‥ ‥ ‥＋


1 層目

2 層目

3 層目

‥ ‥ ‥＋

...2/32/10 dzgdzgp


1 層目

2 層目

3 層目

‥ ‥ ‥＋

...2/32/10 dzgdzgp gdzdz ...)( 2/32/1

gdzdzp ...)( 2/112/10

1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の重さ

gdzdzp ...)( 2/112/10

1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の重さ

...2/112/10 dzdzg

p

1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の質量

結果のまとめ

...2/112/10 dzdzg

p

わかったこと :

（気圧） ÷ （重力加速度）＝（地面から大気の端までの空気の質量）

1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の質量

計算問題：地球の空気の質量• 先の結果を使って空気の質量を求めなさい

– 先の結果 ,

1 m2 あたりの空気の質量は

• 地球全球の質量は ?

...2/112/10 dzdzg

pM a


計算問題：地球の空気の質量• 先の結果を使って空気の質量を求めなさ

い• 地球全球の質量は ?

• 必要な値は以下の 3 つ .– 地面気圧– 重力加速度– 地球の半径

g0p

a

地球の空気の質量• 地球の地面気圧は

– ~1000 hPa = 100000 Pa– h : ヘクト

• 100 のこと

– Pa : kg m s-2

地球の空気の質量• 地球の地面気圧は

– ~1000 hPa = 100000 Pa– h : ヘクト

• 100 のこと– Pa : kg m s-2

• 重力加速度– ~9.8 ~10 m s-2

• 地球半径– ~6400 km

g

0p

a

地球の空気の質量• 先の結果を使って空気の質量を計算

...2/112/10 dzdzg

pM a


1000000 p 108.9 g[Pa = kg m s-2] [m s-2]


...2/112/10 dzdzg

pM a


1000000 p 108.9 g[Pa = kg m s-2] [m s-2]

1000010

1000000 g

pM a

[kg]


...2/112/10 dzdzg

pM a


1000000 p 108.9 g[Pa = kg m s-2] [m s-2]

1000010

1000000 g

pM a

[kg]

1 m-2 あたり , 頭上には約 10 トンの空気がある .

地球の全球の空気の質量• 先の結果

を使って地球全体の空気の質量を計算

]kg[1000010

1000000 g

pM a

1 m-2 あたり , 頭上には約 10 トンの空気 .

地球の全球の空気の質量• 先の結果

を使って地球全体の空気の質量を計算

]kg[1000010

1000000 g

pM a

1 m-2 あたり , 頭上には約 10 トンの空気 .

]kg[105]kg[0000000005000000000 18

220 ])km[6400(4]kg[100004 ag

pM a

地球の空気の質量• この大気の質量は固体地球の何％か ?

]kg[1054 1820 ag

pM a 大気の質量


大気の質量

]kg[100.6 24EM固体の質量

]kg[1054 1820 ag

pM a


なので ,

]kg[103.1 1820 ag

pM a 大気の質量

]kg[100.6 24EM固体の質量

%0001.010100.6

105 624

18

E

a

M

M

惑星大気の空気の質量• 先の結果を使って惑星の大気の質量を計

算してみる

惑星地面気圧(Pa)

重力加速度 (ms-1)

惑星半径 (km)

大気質量(kg)

金星 9.2x106 8.90 6052 4.8x1020

地球 1.0x105 9.78 6378 5.2x1018

火星 6x102 3.72 3397 2.3x1016

まとめ• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目し

て– 静水圧平衡（ hydrostatic equilibrium ）

• 上記の構造を説明する物理法則によって以下のことを説明– 山に登ると気圧が下がる– 気圧は , それよりも上空にある大気の質量と

等価

話していないこと• 上空にいくと気圧はどのくらい下がるの

か？– 理想気体の状態方程式と静水圧平衡を組み合

わせると結果を微分方程式として書くことができる．

– その解を用いることで上記の質問に答える事ができる．

おまけ (1)微分方程式を用いて計算すると

• 結果は次のようになる

H

z

epzp

)0()( mg

kTH

m

k

)0(p 地面気圧

スケールハイト（ただし , 温度一定を仮定）

大気分子 / 原子質量ボルツマン定数

気圧は高さに対して指数関数的に変化 .

気圧高度計はこの原理を使っているのだろう .

気圧高度計


• 地球の場合 , 気圧は高さに対して図のように減少する

気圧 (hPa)

高さ

(km

)


• 地球の場合 , 気圧は高さに対して図のように減少する

気圧 (hPa)

高さ

(km

)

例えば , 富士山頂 (z=3776 m) では , p ～ 650 hPa. 地面気圧の 65%.

エベレスト山頂 (z=8848 m) では , p ～ 370 hPa. 地面気圧の 37%.

国際線旅客機が飛ぶ高度 (z ～ 10 km) では , p ～ 320 hPa. 地面気圧の 32%.

おまけ (2)密度観測に基づく温度測定

• 先の微分方程式を用いた気圧の式

を気体の状態方程式を用いて変形すると ,

密度も , 気圧と同じように , 高さに対して指数関数的に変化 .

H

z

ezT

Tz

)0(

)(

)0()(

H

z

epzp

)0()(


• 先の密度の式を変形すると ,

より

• ポイントは , 密度から温度を求めることができること .

• この原理を使って惑星の温度を観測することができる . （実際の計算には違う式が使われます . ）

H

z

eTz

zT

)0()(

)0()(

H

z

ezT

Tz

)0(

)(

)0()(


• 惑星の大気の温度を測るには , – 惑星の大気の密度を測る– 静水圧平衡と状態方程式の原理を使って温度

を計算


• 惑星の大気の密度をどのように測るのか ?

• 一つの方法は , 惑星に着陸する探査機（着陸機 , lander ）が大気を横切るときに観測 .

Mars Pathfinder (Mars Pathfinder のサイト http://mars.jpl.nasa.gov/MPF/index0.htmlより引用 )


Mars Pathfinder のサイト http://mars.jpl.nasa.gov/MPF/mpf/edl/edl1.html より引用 .



重力

摩擦力



重力

摩擦力着陸機 (lander) に働く摩擦力は大気が濃いほど（密度が高いほど）大きい .着陸機の減速の大きさから密度を観測 .


• 惑星の大気の温度を測るには , – 惑星の大気の密度を測る– 静水圧平衡と状態方程式の原理を使って温度

を計算


• そのようにして求めた密度と温度 .

(Schofield et al. (1997) より引用 )

まとめ• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して

– 静水圧平衡（ hydrostatic equilibrium ）• 上記の構造を説明する物理法則によって以下のこ

とを説明– 山に登ると気圧が下がる

• 気圧 , 密度は高さに対して指数関数的に減少 .– 国際線の飛行機が飛ぶ高度では , 気圧は地面気圧の 30% 程度 .

– 気圧は , それよりも上空にある大気の質量と等価• 静水圧平衡と気体の性質（状態方程式）を組み合

わせた原理を用いて惑星の温度を測ることができる .

まとめ• いくつかの日常経験を論理的に組み合わせて，も

のの理を説明する• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して

– 静水圧平衡（ Hydrostatic Balance ）• 上記の構造を説明する物理法則は，下記と等価

– 山に登ると気圧が下がる– 気圧 , 密度は高さに対して指数関数的に減少 .

• 国際線の飛行機が飛ぶ高度では , 気圧は地面気圧の 30% 程度 .

• 静水圧平衡と気体の性質（状態方程式）を組み合わせた原理を用いて惑星の温度を測ることができる .

• 金星 , 木星など載せられる ?


• 状態方程式の直感的な説明

地球の空気の質量• 先の結果を使って空気の質量を計算する

...2/112/10 dzdzg

pM a


計算問題：地球の空気の質量• 先の結果を使って空気の質量を求めなさ

い...2/112/1

0 dzdzg

pM a


（地面の気圧）と（重力加速度）の値が必要 .g0p

まとめ• いくつかの日常経験を論理的に組み合わせて，

ものの理を説明する• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して

– 静水圧平衡（ Hydrostatic Balance ）• 上記の構造を説明する物理法則は，下記と等価

– 山に登ると気圧はどのように変化するか？– 気圧は下がる– アルキメデスの原理– 海や風呂にはいると体が軽くなった感じがする．浮

く．

結果について考察（３）• 静水圧平衡

• これを用いて , 温度と密度の関係を導出

dzgpp nnn 2/11

結果について考察（３）• 静水圧平衡

• 気体の状態方程式– 高校化学によると ,

– という関係式が成り立つ .

• 静水圧平衡と状態方程式を使って式を変形 .

dzgpp nnn 2/11

RTp R T温度気体定数

dzgTT nnnnn 2/111

• 繰り返していくと

全部足すと・・・うまい具合に

1 層目の重さ

2 層目の重さ

3 層目の重さ

地上より上にある空気の重さ

＋

地上の気圧

dzgpp 2/110 dzgpp 2/1121 dzgpp 2/1232

• 繰り返していくと


1 層目の重さ

2 層目の重さ

3 層目の重さ


＋

地上の気圧

• さっきの結果

• 空気の質量

• p(0)~1,000 [h Pa]• Pa

とは　 kg m /s2 　のこと• 　 h と

は 100 のこと• g ~ 10 [m/s2] • p(0)/g ＝

1,000×100/10=10,000 [kg]• 1 平方メートルあたり 10 ト

ン

1 平方メートルあたりどのくらいの空気が乗っかっているか？

2.4 　もっとネチネチと吟味（３）浮力

• 水の中に物を沈める– 出来るだけ軽い物がいい

• 上向きの力が働く• 何故でしょう？• 静力学平衡を使うと説明できる

• 静水圧平衡の式（水の場合も OK ）

• 移項して下面に働く圧力上面に働く圧力重力

下向きの力上向きの力

浮力

今日のキーワード•静水圧平衡（静水圧平衡（ Hydrostatic Hydrostatic

equilibriumequilibrium ））–地球大気・海洋，他惑星（金星，

火星など）の大気の鉛直構造を支配している法則

この講義で何がわかるのか？• 大気の鉛直構造を支配している法則を導

出• 物理法則には一般性があります

– その物理法則からいろいろなことが導かれる• 気圧の意味• 山に登ると気圧はどのように変化するか？• 海や風呂にはいると体が軽くなった感じがする・

・・浮力• ペットボトルを使った手品ができる！

2 ．静水圧平衡の導出

• 地面から宇宙まで延びる非常に背の高い仮想的な気柱を考える– 円柱の底面積：

• 下から n 番目の層の体積：

– 大気の密度（単位体積あたりの質量）：

• 下から n 番目の層の質量：

　番目の層の空気に働く力を考える

• 空気はどのような速度で運動しているか？– 地球上のあらゆるところで平

均すると０であろう• もし，上向きの速度を持つなら

ば，空気は宇宙空間に向かって逃げてしまう

• 逆に，下向きの速度を持つならば，宇宙から空気が降り積もってくる

• 空気が止まっているときには，空気に働いている力はバランスしている（力の総和はゼロ）

1. 上面に働く圧力 :☆ 力は下向きに

2. 下面に働く圧力 :☆ 力は上向きに

3. 空気に働く重力☆ 質量 × 重力加速度☆ 重力加速度：☆ 下向きに

• 3 つの力がバランスしている

　番目の層の空気に働く力を詳しく考える

（力）＝（圧力） × （面積）

単位質量の物体を地球が引っ張る力の大きさ

前の考察をまとめると

• 上向きの力

• 下向きの力

• 最終的に

•静水圧平衡静水圧平衡

結果を整理する• さっきの結果

• ちょっと複雑．．． Aが邪魔

　　　　　　　　　

2.2 　結果をネチネチと吟味（１）

• 上空に行くと気圧は？

• 　　と　　　　の大小関係は？

• 　　　　（質量なので）

• つまり上空にいくと気つまり上空にいくと気圧は下がっていく圧は下がっていく

2.3 　他に何がわかるか？まだまだネチネチと吟味（２）

• １ m ２の上に乗っている空気の質量は？

• さっきの式

• 面積　　なので• 最下層では


• この議論を続けていくと


1 層目の重さ

2 層目の重さ

3 層目の重さ


＋

地上気圧とはその上に乗っかっている空気の重さのことで地上気圧とはその上に乗っかっている空気の重さのことである！ある！

地上の気圧

1 平方メートルあたりどのくらいの空気が乗っかっているか？

• さっきの結果

• 空気の質量

p(0)~1,000 [h Pa]

Pa とは　 kg m /s2 　のこと　 h とは 100 のことg ~ 10 [m/s2]

p(0)/g ＝ 1,000×100/10=10,000 [kg]

1 平方メートルあたり 10 トン

2.4 　もっとネチネチと吟味（３）浮力

• 水の中に物を沈める– 出来るだけ軽い物がい

い• 上向きの力が働く• 何故でしょう？• 静力学平衡を使うと

説明できる

• 静水圧平衡の式（水の場合も OK ）

• 移項して下面に働く圧力上面に働く圧力重力

下向きの力上向きの力

浮力

• いくつかの日常経験を論理的に組み合わせて，ものの理を説明する

• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して☆静水圧平衡（静水圧平衡（ Hydrostatic BalanceHydrostatic Balance））

• 上記の構造を説明する物理法則は，下記と等価– 山に登ると気圧はどのように変化するか？

• 気圧は下がる–アルキメデスの原理

• 海や風呂にはいると体が軽くなった感じがする．浮く．

まとめ

話していないこと• 上空にいくと気圧は下がると言ったがど

のくらい下がるのか？– 理想気体の状態方程式と静水圧平衡を組み合

わせると– 結果は微分方程式として書ける．– その解として上記の質問に答える事ができる．

第 3 回

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