第 3 章 比與比例式
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第 3章 比與比例式
3-2 比例式
一、章節內容
1. 比的相等:兩個比相等,它們的比值也會相等;而兩個 比的比值相等時,則這兩個比也會相等。
2. 比的性質:一個比的前項與後項同乘或同除一個不為 0 的數 字時,它的比值不變。 即 a : b=(a ×m) : (b ×m) , m≠0 a : b=(a ÷m) : (b ÷m) , m≠0 例 1 : 15 : 24 = (15 ÷3) : (24 ÷3) = 5 :8 例 2 : 3 : 5 = (3 ×2) : (5 ×2) = 6 : 10
3. 最簡整數比:如果一個比的各項都是整數,且它們的最大公 因數是 1 ,那麼就說這個比是最簡整數比。
4. 比例式:若兩個比 a : b 與 c : d (b≠0 , d≠0) 的比值相同, 則這兩個比相等,可以寫成 a : b = c : d ,這類的 等式就做比例式。 a 和 d 叫做這個比例式的外項, b 和 c 叫做這個比例式的內項。
5. 比例積:比例式中的外項乘積等於內項乘積。也就是 若 a : b = c : d ,則 ad=bc 。
6. 比值法:如果 x : y = a : b (a≠0) ,則 ,也就是 x : a =y : b ,由此可設 x=ar , y=br (r≠0) 。
by
ax
二、範例講解
1. 若 3(x+y) : 2y=5 : 2 ,求 (2x+3y) : (6x-7y) 的比值。 解 : 3(x+y) : 2y=5 : 2 23(x+y)=52y
6x+6y=10y6x=4y
x: y = 2: 3
令 x=2r , y=3r ,則 (2x+3y) : (6x-7y) =13r: (-9r) = 13: (-9)
913
答 :9
13
2. 設 x : y=4 : 5 ,且 2x-y=12 ,求 (x-1) : (y+1) 的比值。 解 : x : y = 4 :5
令 x=4r, y = 5r2(4r)-(5r)=123r=12r=4
(x-1): (y+1) = (16-1): (20+1) = 5: 7 = 5/7
答 :75
3. 設 x 、 y 皆為正整數,求滿足 (x-y+1) : (x+y-3)=3 : 2的解。 解 : (x-y+1) : (x+y-3) = 3 :2
2(x-y+1)=3(x+y-3)2x-2y+2=3x+3y-911=x+5y
x
y 16
21
答 : x=6 、 y=1
注意: x=1 、 y=2 使得 x-y+1=0 所以, x=1 、 y=2 不合。
4. 若 2x-3y+z=2 ,且 3x-2y+2z=4 。 (1) 求 x : y= ? (2) 當 x=8 時,求 z= ?
42z2y3x2z3y2x
解 :
(2)42z2y3x(1)42z6y4x
(1)-(2) 得 x-4y=0 x=4y
x: y = 4 : 1
x=8 時, y=2 2(8)-3(2)+z=210+z=2z= -8
答 : (1)x : y = 4 : 1 (2)z= -8
5. 甲、乙兩人每月收入比為 4 : 5 ,支出比為 6 : 7 ,若甲每月結 餘 4000 元,乙每月結餘 6000 元,求兩人每月收入各多少元? 解 : 設甲、乙兩人每月收入分別為 4x 與 5x
甲、乙兩人每月支出分別為 6y 與 7y ,則
60007y5x40006y4x
(2)3600042y30x(1)2800042y28x
(2)-(1) 得 2x=8000 x=40004x=16000, 5x=20000
答 : 甲每月收入為 16000 元、乙每月收入為 20000元
6. 兄弟原有錢數的比為 7 : 9 ,各用去 60 元後,兄弟剩下錢數 的比為 2 : 3 ,則兄原有 元,弟原有 元。 解 : 設兄弟原有錢數分別為 7x 與 9x ,則
(7x-60) : (9x-60) = 2 : 3 21x-180 = 18x-1203x=60x=207x=140, 9x=180
答 : 兄原有 140 元、弟原有 180 元
7. 某公司原有員工若干人,女性人數與男性人數的比例為 4 : 5 , 今該公司又新進 26 名員工,其中 6 人為女性,最後女性員工占 全體員工的七分之三。試問該公司原有員工多少人? 解 : 設女性人數與男性人數分別為 4x 與 5x ,則
最後女性員工有 4x+6
最後全體員工有 9x+26
(4x+6) : (9x+26) = 3 : 7 28x+42 = 27x+78x=369x=324
答 : 公司原有 324 人
8. 兄弟二人 4 年前的年齡比為 4 : 3 ,距今 4 年後的年齡比為 6 :5 , 求兄弟兩人現年各是幾歲? 解 : 設 4 年前兄的年齡為 4x ,弟的年齡為 3x ,則
現年兄的年齡為 4x+4 ,弟的年齡為 3x+4
4 年後兄的年齡為 4x+8 ,弟的年齡為 3x+8
(4x+8) : (3x+8) = 6 : 5 20x+40 = 18x+482x=8
x=4
答 : 兄現年 20 歲,弟現年 16 歲
9. 甲、乙二國中男女生人數之比分別為 5 : 3 及 3 : 2 ,二國中 合併後,男女生人數之比為 11 : 7 ,求甲、乙二國中學生 總數之比為多少? 解 : 設甲國中男生有 5x ,女生有 3x
乙國中男生有 3y ,女生有 2y
合併後男生有 5x+3y ,女生有 3x+2y
(5x+3y) : (3x+2y) = 11 : 7 35x+21y=33x+22y2x=y
甲、乙二國中學生總數之比 = 8x : 5y = 8x : 10x =4 : 5
答 : 4 : 5
10. 某國中應屆畢業生,參加高中升學考試男女生人數之比為 15 : 8 ,錄取者男女生之比為 3 : 2 ,未錄取者男女生之比為 2 : 1 ,求男生錄取率為多少? 解 : 設錄取的男生有 3x ,女生有 2x
未錄取的男生有 2y ,女生有y 男生總共有 3x+2y ,女生有 2x+y
(3x+2y) : (2x+y) = 15 : 8 24x+16y=30x+15yy=6x
男生錄取率 =51
12x3x3x
2y3x3x
=20 ﹪
答 : 20 ﹪
三、自我測驗
1. 下列何式中的 x 的值最小? (A)(x-1) : 3=(x+1) : 6 (B)9 : 15=3 : x (C)3 : 5=x : 20 (D)24 : x=12 : 7 。
解 : (x-1) : 3=(x+1) :6
6x-6=3x+3 x=3
9:15=3: x
9x=45 x=5
3: 5=x: 20 60=5x
x=14 24: x=12: 7 168=12x
x=12
答 : A
2. 設 x : y=3 : 7 ,則 (A)(x+y) : y=10 : 7 (B)(x-y) : y= -4 : 7 (C)(x+y) : (x-y)=5 : (-2) (D) 以上全對 。 解 : (x+y) : y = (3r+7r) : 7r = 10 :7 (x-y): y = (3r-7r): 7r = -4: 7
(x+y): (x-y) = (3r+7r): (3r-7r) = 5:(-2)
答 : D
3. 若 7 : 3=7×5 : 3×a=35 : b ,則 a 、 b 的大小關係為 (A)a > b (B)a=b (C)a < b (D) 以上皆非 。 解 : a=5 , b=15
答 : C
4. 下列選項中,那兩個比相等? (A)11 : 8 , 4 : 3 (B)0.4 :1.2 ,
0.5 : 1.3 (C)6 : 8 , : (D)7 : 6 , 6 : 5 。 21
32
11: 8 = 33: 24 , 4: 3 = 32:24
解 :
0.4: 1.2 = 0.52: 1.56, 0.5: 1.3 = 0.6: 1.56
6 : 8 = 3 : 4 , : = 3 : 4
21
32
7: 6 = 35: 30, 6: 5 = 36: 30
答 : C
5. 設 a : b=8 : 5 ,且 a-b=1500 ,則 a+b= (A)6300 (B)6500 (C)3400 (D)1200 。
解 : 令 a=8r , b=5r
8r-5r=15003r=1500r=500
a=4000, b=2500a+b=6500
答 : B
6. 某校共有學生 4607 人,其中男生人數與女生人數的比為 9 :8 , 則男生有多少人? (A)2166 (B)2439 (C)2176 (D)2451 人。 解 : 令男生有 9r ,女生有 8r ,則
9r+8r=4607 r=2719r=2439
答 : B
7. 一條鐵線長 60 公分,按 2 : 3 的比剪成兩段,每段折成正方形, 則這兩正方形的面積和為多少平方公分? (A)24 (B)36 (C)117 (D)119 平方公分。 解 : 設兩段鐵線長為 2r 與 3r ,則
2r+3r=60 r=12兩段鐵線長為 24 公分與 36 公分兩正方形的邊長為 6 公分與 9 公分兩正方形的面積和為 36+81=117
答 : C
8. 設 x 、 y 皆不為 0 ,若 5x=4y ,則 (x2+y2) : (x2-y2) 的比值=
(A) (B) (C) (D) 。 9
41
9
41
41
9
41
9
解 : 5x=4y x : y = 4 : 5
令 x=4r, y=5r (x2+y2) : (x2-y2)
=(16r2+25r2) : (16r2-25r2)
=41r2: (-9r2)
9
41
答 : B
9.(x+y) : (x+2y)=2 : 3 ,則 (A)x : y=2 : 3 (B)(x+3y) : (x+4y)=5 : 4 (C)(x+3y) : (x+2y)=3 : 4 (D) (2x+3y) : (x+2y) =5 : 3 。 解 : (x+y) : (x+2y) = 2 : 3 3x+3y=2x+4y
x=y
x: y=1: 1
(x+3y): (x+4y)=4 :5(x+3y): (x+2y)=4: 3
(2x+3y): (x+2y)=5: 3
答 : D
10. 設 a 、 b 、 c 、 d 都不是 0 ,若 a : b=c : d ,則下列何者不成立? (A)a : c=b : d (B)d : b=c : a (C)b : a=d : c (D)a : d=c : b 。 解 : a : b=c : d bc=ad
a: c=b: d bc=ad
d: b=c: a bc=ad
b: a=d: c bc=ad
a: d=c: b dc=ab
答 : D
11. 父子兩人五年前年齡比為 3 : 1 ,若五年後年齡比為 a : b ,則 (A) (B) (C) (D) 以上皆非 。 1
3ba
13
ba
13
ba
解 : 設 5 年前父的年齡為 3x ,子的年齡為 x ,則 現在父的年齡為 3x+5 ,子的年齡為 x+5
5 年後父的年齡為 3x+10 ,子的年齡為 x+10
13
10x20
310x
2010)3(x10x103x
ba
答 : C
( 假分數分子分母同加正數愈加愈小 )
12. 某公司原有員工若干人,女性人數與男性人數的比率為 5 :7 ,今該公司又新進 32 名員工,其中 5 人為女性,最後女性員工 佔全體員工的 ,試問該公司原有員工多少人? (A)100 (B)108 (C)120 (D)140 人。
145
解 : 設女性人數與男性人數分別為 5x 與 7x ,則最後女性員工有 5x+5
最後全體員工有 12x+32
(5x+5) : (12x+32) =5 :14 70x+70=60x+16010x=90x=9
答 : 公司原有 108 人12x=108
13. 已知酒精溶液中,若酒精與水的比為 5 : 7 ,若水比酒精多 300 公克,則溶液中含酒精 公克。
解 : 設酒精溶液中,酒精重為 5x ,水重 7x ,則 7x-5x=300 2x=300
x=150 5x=750
答 : 750 公克
14. 父子現年年齡比為 10 : 3 ,五年前父子年齡比為 9 : 2 ,則 父親現在 歲。
解 : 設現在父的年齡為 10x ,子的年齡為 3x ,則 5 年前父的年齡為 10x-5 ,子的年齡為 3x-5
(10x-5) : (3x-5) = 9 : 2
20x-10=27x-4535=7x x=510x=50
答 : 50 歲
15. 兄弟二人經商,最初資本額的比是 7 : 4 。以後兄損失 5600 元 ,弟獲利 5600 元,則兄弟資本額的比是 5 : 6 。則兄原有資本 額 元;弟原有資本額 元。 解 : 設兄弟原有資本額分別為 7x 與 4x ,則
(7x-5600) : (4x+5600)=5 : 6
42x-33600 = 20x-28000
後來兄弟資本額分別變為 7x-5600 與 4x+5600 ,則
42x-33600 = 20x+2800022x = 61600 x = 2800 7x=19600; 4x=11200
答 : 兄原有資本額 19600 元;弟原有資本額 11200元
16. 在一群男女生中,男生走了 15 人時,剩下來的男女生之 比為 3 : 4 ,之後女生走了 11 人時,男女生之比變為 5 : 3 ,則最初男女生各有多少人? 解 : 依題意設原有男生有 3x+15 ,女生有 4x
最後男生有 3x ,女生有 4x-11
3x : (4x-11) = 5 : 3 9x = 20x-5555 = 11x x = 53x+15=30; 4x=20
答 : 最初男生有 30 人;女生有 20 人
17. 某年度,報考高中與五專升學考試的人數比為 2 : 1 ,高中與 五專錄取者之比為 4 : 1 ,落榜者比為 3 : 2 ,則高中的錄取率 = 。 解 : 設錄取高中的人數為 4x ,五專的人數為 x未錄取高中的人數為 3y ,五專的人數為 2y
考高中的人數為 4x+3y ,五專的人數為 x+2y
(4x+3y) : (x+2y) = 2 : 1 4x+3y = 2x+4y2x = y
高中錄取率 = 104
6x4x4x
3y4x4x
= 40 ﹪
答 : 40 ﹪
18. 甲、乙兩個人調酸梅湯。甲用 5 杯酸梅原汁加 7 杯水調成, 乙用 4 杯酸梅原汁加 6 杯水調成,則 (1) 甲、乙兩個人所調出的酸梅湯,誰的較酸? (2) 若甲再添加 7 杯酸梅原汁,則甲需再加多少杯水才和
乙 的酸梅湯一樣酸? 解 : 甲調出的酸梅湯濃度 =
60
25
12
575
5
乙調出的酸梅湯濃度 =60
24
10
464
4
設甲需再加 x 杯水,則 (5+7) : (12+7+x) = 4 : 10 120 = 76+4x x = 11
答 : (1) 甲 (2)11