Определение. Определение.

aa aa

S A

F

ND

H

HNaDHaNDaFSaAFaASa ,,,,,

Прямая называется перпендикулярной к Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.прямой, лежащей в этой плоскости.

Повторение

qq

pp

aa

aa p, p,

p p ,,aa q, q, qq ,,

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

aa

Повторение

Если прямая перпендикулярна к двум Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.она перпендикулярна к этой плоскости.

ПланиметрияПланиметрия СтереометрияСтереометрия

Отрезок АН – перпендикулярОтрезок АН – перпендикулярТочка Н – основание перпендикуляраТочка Н – основание перпендикуляраОтрезок АМ – наклоннаяОтрезок АМ – наклоннаяТочка М – основание наклонной Точка М – основание наклонной

Н

А

а

А

НМ М

Отрезок МН – проекция Отрезок МН – проекция наклонной на прямую анаклонной на прямую а

Отрезок МН – проекция Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость наклонной на плоскость

ПланиметрияПланиметрия СтереометрияСтереометрия

Расстояние от точки до Расстояние от точки до прямой – длина прямой – длина перпендикуляраперпендикуляра

Н

А

а

А

НМ М

Расстояние от точки до Расстояние от точки до плоскости – длина плоскости – длина перпендикуляраперпендикуляра

Из всех расстояний от точки А Из всех расстояний от точки А до различных точек до различных точек прямой апрямой а наименьшим является длина наименьшим является длина перпендикуляра.перпендикуляра.

плоскости плоскости

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли

Н а

к л

о н

н а

я Н

а к л о

н н

а я

ПЕРПЕНДИКУЛЯР Проекция Проекция

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.расстоянием между параллельными плоскостями.

II

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

aa II

aa

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.ей плоскостью.

aa II

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

aa

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между расстоянием между скрещивающимися прямыми.скрещивающимися прямыми.

bb

aa bb

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между расстоянием между скрещивающимися прямыми.скрещивающимися прямыми.

АА

ВВ

В

С

П-Р

MП-ЯП-Я

Н-ЯН-Я

А

Н-ЯН-Я

П-ЯП-Я

A

К

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 600. Угол между наклонными 900. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости равно см.

600

600

СВ

18

18

A

В

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины которых равны 26 см и см. Их проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А до плоскости .

СМ

133226

1332

??

А

Н

П-Р

М

Теорема о трех перпендикулярах.Теорема о трех перпендикулярах.Прямая, проведенная в плоскости через основание Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Н-я

П-я

aa

А

Н

П-Р

М

Обратная теорема.Обратная теорема.Прямая, проведенная в плоскости через основание Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.перпендикулярна и к ее проекции.

Н-я

П-я

aa

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.

В

С

А М

№148. КК

П-я

П-РП-Р Н-я

TTП BC ABC AММ

П-яП-я BC MBC MКК

Н-яН-я

Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.

В

С

А N

№149 (дом.) DD

П-я

П-РП-РН-я

TTП BC AN BC AN

П-яП-я BC DN BC DN

Н-яН-я

АN и DN – искомые расстояния

55

1212

66

В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см. DC (АВС). DC= Найдите расстояния: а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.

606000СА

N

DD

П-я

П-РП-Р

Н-я

TTП АВАВ ССN N

П-яП-я AB DN AB DN

Н-яН-я

CN и DN – искомые расстояния

12

В

56

56

П-я

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ =

А

В

С

№155. ММ

П-РП-Р Н-я

TTП AAВВ ССF F

П-яП-я AAВВ MF MF

Н-яН-я

МF – искомое расстояние

F

.72 см

4472

П-я

Один из катетов прямоугольного треугольника равен тт, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через вершину прямого угла С проведена прямая СD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = nn. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

А

В

С

№156. DD

П-РП-Р Н-я

TTП AAВВ ССF F

П-яП-я AAВВ DF DF

Н-яН-я

DF – искомое расстояние

тт

nn

F