Suan Sunandha Rajabhat University · Web viewจากภาพท 7.1 จะเห นได ว าการพ ฒนาระบบสารสนเทศจะเร มต
ม 3-เทอม 1thaicadet.org/StudyOnline/Math/บทที่ 5... ·...
Transcript of ม 3-เทอม 1thaicadet.org/StudyOnline/Math/บทที่ 5... ·...
คณตศาสตร ม.3 - 35 -
บทท 5 จานวนจรง
1. จานวนจรง (Real Number) จานวนจรงประกอบดวยจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ แสดงไดดวยโครงสรางของระบบจานวนจรง (The Real Number System) ดงน
จานวนจรง
จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวนเตม เศษสวน ทศนยม
จานวนเตมลบ จานวนเตมศนย จานวนเตมบวก
2. จานวนตรรกยะ (Rational Number)
จานวนตรรกยะ คอ จานวนทเขยนแทนไดในรปเศษสวน ba เมอ a และ b เปนจานวนเตมท b≠0 หรออยในรปทศนยมซา
เชน จานวนเตม – 3, 2, 5, 8
เศษสวน –59
, –32
, 83 ,
138
ทศนยม – 0.27, 7.403, 3.76 เปนตน การเขยนเศษสวนใหอยในรปทศนยม โดยทวไปใชวธการนาสวนไปหารเศษ โดยการหารยาวแบบธรรมดา ตวอยาง จงเขยนเศษสวนตอไปนใหอยในรปทศนยม
(1.) 85 (2.)
1613 (3.)
32
วธทา 0.625
_508 0.8125
_13016 0.66...
_203 48 128 18 20 _ 20 _ 20 16 16 18 40 _ 40 _ 20 40 32 18 0 80 _ 2 80 0
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 36 -
จากตวอยางขางตน จะเหนวามทศนยมอย 2 แบบ คอ
1. ทศนยมรจบ ไดแก ทศนยมทจานวนตวเลขหลงจดทศนยมเปนจานวนรจบ หรอมศนยซา เชน 0.6250, 0.81250 , 0.3, 3.735 เปนตน
2. ทศนยมไมรจบ ไดแก ทศนยมทจานวนตวเลขหลงจดทศนยมเปนจานวนไมรจบ แบงไดเปน 2 ประเภท คอ
2.1 ทศนยมไมรจบแบบซา ไดแก ทศนยมทมตวเลขหลงจดทศนยมตวหนงหรอมากกวาซากนอยางเปนระบบ เชน
–2.3666... = –2 .36 0.757575… = 0.7 5
3.235353535… = 3.23 5 เปนตน
2.2 ทศนยมไมรจบแบบไมซา ไดแก ทศนยมทมตวเลขหลงจดทศนยมมากมายแบบไมเปนระบบ และไมซากนเลย เชน 1.4142135..., 2.3764853287... เปนตน (* ทศนยมแบบนอยในเซตของจานวนอตรรกยะนนเอง)
การเขยนทศนยมใหเปนเศษสวน ตองเปนทศนยมรจบ และทศนยมไมรจบแบบซากนเทานน
1. การเขยนทศนยมรจบ (ทศนยมซาศนย) ใหเปนเศษสวนนน ทาไดโดยการทาสวนใหเปนเลขพหคณของ 10 ขนอยกบวาจานวนนนมทศนยมกตาแหนง เชน
0.4 = 104
2.37 = 100237
0.067 = 000,167
2. การเขยนทศนยมแบบซา ใหเปนเศษสวน ทาไดดงวธตอไปน
ตวอยางท 1 จงเขยนทศนยมซาตอไปน ใหอยในรปเศษสวน
(1.) 0.7 วธทา ให N = 0.7 = 0.777… (1) คณสมการท (1) ดวย 10 จะได 10 N = 7.777… (2) (2)–(1) ; 10N – N = 7.777… – 0.777… 9N = 7
∴N = 97
ดงนน 0.7 จงมคาเทากบ 97 ตอบ
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 37 -
(2.) 1.23 วธทา ให N = 1.23 = 0.1232323… (1) คณสมการท (1) ดวย 100 จะได 100N = 123.232323… (2) (2)–(1) ; 100N – N = 123.23… – 1.23… 99N = 122
∴N = 99
122
ดงนน 1.23 จงมคาเทากบ 99
122 ตอบ
จากตวอยางขางตนจะเหนไดวา การเขยนทศนยมไมรจบแบบซาใหเปนเศษสวนนน สามารถทาไดดวยวธลด โดยใชหลกการดงน
สวนเศษ
= จบ)นยมไมรนเทากบทศซงมจานว 9 (เเล
จบเลขตวทร เลขทงหมด−
สาหรบทศนยมไมรจบลวน ๆ จากหลกการดงกลาว สามารถสรปงาย ๆ โดยใหเขยนจานวนทเปนเลขหลงจดทศนยมเปนเศษ แลวสวนเปน 9 ซงจานวนของเลข 9 ทเปนสวน จะเทากบจานวนตวเลขทอยหลงจดนน ตวอยางท 2 จงเขยนทศนยมซาตอไปนใหอยในรปเศษสวน
(1.) 0.57 = 9957
(2.) 13.268 = 13999268
(3.) 3.8609 = 399998609
ตอบ
* จะสามารถทาตวอยางตอไปนไดอยางงาย ๆ ดงน
0.9 = 99
= 1
6.99 = 69999
= 7
2.9 99 = 2999999
= 3
จะเหนวา ถาสวนทศนยมเปนรปแบบของ 0.9 , 0.99 , 0.9 99 คาของจานวนจะถกปดขนเปนจานวนเตมบวกตวแรก คอ เลข 1
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 38 -
ทศนยมไมรจบแบบผสม คอ ทศนยมทมทงแบบรจบ และไมรจบอยในจานวนเดยวกน จากหลกการสามารถสรปงาย ๆ โดยการนาตวเลขหลงจดทศนยมทงหมดตง ลบดวยตวเลขทเปนทศนยมรจบ แลวหารดวย 9 ซงมจานวนเทากบตวเลขทเปนทศนยมไมรจบ แลวเตมศนยหลงเลข 9 ตามจานวนทศนยมทรจบ ตวอยางท 3 จงเขยนทศนยมซาตอไปนใหอยในรปเศษสวน
(1.) 0.25 = 90
2 - 25 =
9023
(2.) 1.274 = 1900
27 -274 = 1
900247
(3.) 14.235 = 14990
2 - 235 = 14
990233
ตอบ
3. จานวนอตรรกยะ (Irrational Number)
จานวนอตรรกยะ คอ จานวนทไมสามารถเขยนแทนไดดวยเศษสวน ba
เมอ a และ b เปนจานวนเตมท b≠0 หรอ
ไมสามารถเขยนใหอยในรปของทศนยมไมรจบแบบซาได แตสามารถหาคาประมาณในรปของทศนยมซา หรอเศษสวนได
ตวอยางเชน 2 , 3 , 5 , 7 , 133 , π, 0.676776777... เปนตน พจารณาจานวน 2 = 1.4142135… 3 = 1.7320508… 5 = 2.2360679…
π = 3.14159265… ดงนน ในการคานวณทศนยมใชจานวนตรรกยะเปนคาประมาณของจานวนอตรรกยะ เชน
7
22 หรอ 3.142 เปนคาประมาณของ π
1.414 เปนคาประมาณของ 2 1.732 เปนคาประมาณของ 3 เนองจากจานวนตรรกยะทกจานวนสามารถแทนไดดวยจดบนเสนจานวน สาหรบจานวนอตรรกยะกสามารถแทนไดโดยจดบนเสนจานวนเชนเดยว
การหาจดทแทนท π บนเสนจานวน
∵π = นยกลางเสนผานศความยาวของ
รปวงกลมความยาวรอบ
จะเหนไดวา เลขทกจานวนเปนทศนยมไมรจบแบบไมซา หมายถง ไมสามารถหาคาทแทจรงไดนนเอง
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 39 -
เนองจากวงกลมทกวงจะมรปแบบอตราสวนขางตนนเหมอนกนหมด แตเศษสวนขางตนจะไมสามารถเขยนเปนจานวนตรรกยะได จงมการหาอตราสวนตาสดทเปนรปการหารของเลขจานวนเตมทงเศษและสวน และพบวาถากาหนดความยาว รอบรปวงกลมเปน 22 หนวย จะทาใหไดความยาวของเสนผานศนยกลางเปน 7 หนวยพอด (ซงถาความยาวรอบรปวงกลมเปน
เลขจานวนเตมตวอน กจะไมไดความยาวของเสนผานศนยกลางเปนจานวนเตม) ทาให 7
22 เปนเศษสวนอยางตาของคา π
โดยเราใช π เพอหาคาตอไปน
ความยาวรอบรปวงกลม = 2πr
พนทวงกลม = πr 2
พนทผวทรงกลม = 4πr 2
ปรมาตรทรงกลม = 34πr 2 เปนตน
การหาจดบนเสนจานวนทแทน 5 , – 5 ใชทฤษฎบทของพทาโกรสชวยหาจดบนเสนจานวน ดงน
นนคอ จานวนอตรรกยะทกจานวนแทนดวยจดบนเสนจานวนได เชนเดยวกบจานวนตรรกยะ จงเรยกเสนจานวนนนวา “เสนจานวนจรง”
4. สมบตของจานวนจรง
สมบตการบวกของจานวนจรง ให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ 1. a + b เปนจานวนจรง (สมบตปด) 2. a + b = b + a (สมบตการสลบท) 3. (a + b) + c = a + (b + c) (สมบตการเปลยนกลม) 4. a + 0 = a = 0 + a นนคอ 0 เปนเอกลกษณสาหรบการบวก 5. a + (-a) = 0 = (-a) + a นนคอ –a เปนอนเวอรสสาหรบการบวกของ a สมบตการคณของจานวนจรง ให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ
1. a × b เปนจานวนจรง (สมบตปด)
2. a × b = b × a (สมบตการสลบท)
3. (a×b)× c = a×(b×c) (สมบตการเปลยนกลม)
4. a×1 = a = 1×a นนคอ 1 เปนเอกลกษณสาหรบการคณ
5. a×a1 = 1 เมอ a ≠ 0 นนคอ a หรอ
a1
เปนอนเวอรสสาหรบการคณซงกนและกน
6. a×(b + c) = (a×b) + (a×c) หรอ (b + c)×a = (b×a) + (c×a) (สมบตการแจกแจงบนการบวก)
-3 -2 -1 0 1 2 3 - 5 5
5 5 1 1
จากสามเหลยมมมฉากทมดานประกอบมมฉากยาว 2 หนวย และ 1 หนวย ใหหาดานตรงขามมมฉาก (แทนคาดวย x)
จะได x 2 = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 ดงนน x = 5± นนเอง
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 40 -
5. รากทสอง (Square Root)
บทนยาม ให a แทนจานวนจรงบวกใด ๆ หรอศนย รากทสองของ a คอ จานวนจรงทยกกาลงสองแลวได a
ขอสงเกต 1. ถา a = 0 รากทสองของ a คอ 0
2. รากทสองของจานวนจรงบวกใด ๆ ทเปนจานวนตรรกยะไมนยมเขยนรากทสองของจานวนนนในรปทใชเครองหมาย เชน เขยน 15 แทน 225 และเขยน -15 แทน – 225 เปนตน
3. รากทสองของจานวนจรงบวก จะเปนจานวนตรรกยะ หรอจานวนอตรรกยะอยางใดอยางหนงเทานน ตวอยางท 4 1.) รากทสองของ 25 คอ 25 และ – 25
ดงนน 25 = 5 และ – 25 = -5
นนคอ รากทสองของ 25 คอ ± 5 2.) รากทสองของ 0.36 คอ 0.36 และ – 0.36
ดงนน 0.36 = 0.6 และ – 0.36 = -0.6
นนคอ รากทสองของ 0.36 คอ ± 0.6 3.) รากทสองของ 23 คอ 23 และ – 23
เนองจากไมสามารถหาจานวนเตม หรอเศษสวน หรอทศนยมซาทนามายกกาลงสองแลวได 23 ทาให 23 เปนจานวนอตรรกยะ ตอบ
บทนยาม
ถา a เปนจานวนจรงใด ๆ จะได aa2 = เมอ a แทนคาสมบรณของ a
ตวอยางท 5 จงหาคาของจานวนตอไปน
(1.) – 324 = – 218 = – 18
* (2.) 2)14(− = 14− = 14
** (3.) – 42dc = – ( )22cd = – 2cd ตอบ
ขอสงเกต ในรากคใด ๆ แลว (เชนในกรณรากท 2, 4, 6, ...) จานวนในรากนน ๆ ตองไมตดลบ
ดงนน *(ขอ 2) 2)14(− จะไมตอบ -14 และเราสามารถแกโจทยนอยางละเอยดไดดงน
2)14(− = 2(14)] (-1)[ = 22 (14) . (-1) = 2(14)1 = 14 ซงคาเปนบวกไมตดลบ
**(ขอ 3) – 42dc = – 2cd เพราะถาจานวนทอยภายใตรากทสองเปนตวแปร
จะไมถอดออกมานอก (นอกคาสมบรณ)
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 41 -
ตวอยางท 6 จงหารากทสองของจานวนตอไปน (1.) 45 วธทา รากทสองของ 45 คอ 45 และ – 45 นนคอ 45 = 533 ×× = 53 = 53 – 45 = – 533 ×× = – 53 = – 53 ดงนน รากทสองของ 45 คอ 53 และ – 53
(2.) 0.0049 วธทา รากทสองของ 0.0049 คอ 0049.0 และ – 0049.0
นนคอ 0049.0 = 2)07.0( = 07.0 = 0.07
– 0049.0 = – 2)07.0( = – 07.0 = –0.07 ดงนน รากทสองของ 0.0049 คอ 0.07 และ –0.07 ตอบ ตวอยางท 7 จงหารากทสองทเปนบวกของจานวนตอไปน (1.) 1,024 วธทา รากทสองทเปนบวกของ 1,024 คอ 024,1
นนคอ 024,1 = 2)32( = 32 = 32 ดงนน รากทสองทเปนบวกของ 1,024 คอ 32
(2.) 0.0169 วธทา รากทสองทเปนบวกของ 0.0169 คอ 0169.0
นนคอ 0169.0 = 2)13.0( = 13.0 = 0.13 ดงนน รากทสองทเปนบวกของ 0.019 คอ 0.13 ตอบ ตวอยางท 8 จงหารากทสองทเปนลบของจานวนตอไปน (1.) 2,209 วธทา รากทสองทเปนลบของ 2,209 คอ – 209,2
นนคอ – 209,2 = – 2)47( = – 47 = –47 ดงนน รากทสองทเปนบวกของ 2,209 คอ -47
(2.) 0.0729 วธทา รากทสองทเปนลบของ 0.0729 คอ – 0729.0
นนคอ – 0729.0 = – 2)27.0( = – 27.0 = –0.27 ดงนน รากทสองทเปนลบของ 0.0729 คอ –0.27 ตอบ
ขอสงเกต 1. คาวารากทสองของจานวนใด ๆ จะมคา 2 คา คอ คาเปนบวกและคาเปนลบ สวนรากทสองทเปนบวกมคาเดยว เชนเดยวกบรากทสองทเปนลบกมคาเดยว
2. รากทสองของ 15 ≠ 15 แตรากทสองทเปนบวกของ 15 = 15 นนคอรากทสองของ 15 = ± 15
สมบตของ a เมอ a ≥ 0
1. ถา a ≥ 0, b ≥ 0 แลว ab = a b
2. ถา a ≥ 0, b ≥ 0 แลว ba
= ba
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 42 -
การแกปญหาโจทยลกษณะน ใหพจารณาเรองตวประกอบเปนสาคญ หากแยกตวประกอบไดคลองกจะแกปญหาโจทยไดอยางรวดเรว ตวอยางท 9 จงหาผลลพธของจานวนตอไปน (1.) 328 + = 32222 +×× = 3222 + = ( )322 +
(2.) )133(3 − = ( )( ) ( )( )13333 −
= ( ) 333 2 − = ( ) 333 − = 39− (3.) )133(32 − = ( )( ) ( )( )1323332 −
= ( )( )( ) 32332 2 − = ( )( )( ) 32332 − = ( )392 −
(4.) 2
2472 − =
224
272−
= 2
32227
×××−
= 2
627 −
= 67 −
(5.) 43π−
เมอ π ≈3.14 = 4(3.14) 3)(−
= 2.355
(6.) 025,2
729 = 2
2
)45(
)27(
= 2
2
)45(
)27(
= 4527
= 0.6 ตอบ
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 43 -
การหารากทสองของจานวนใด ๆ มวธทงหมด 4 แบบ ดงน
1. การหารากทสองโดยการแยกตวประกอบ ตวอยางท 10 จงหารากทสองของจานวนทกาหนดใหตอไปน
(1.) 4,096 วธทา รากทสองของ 4,096 = 096,4±
= 222222222222 ×××××××××××±
= 122±
= 26 )2(±
= 62± = 64±
(2.) 11,025 วธทา รากทสองของ 11,025 = 025,11±
= 775533 ×××××±
= 2)753( ××± = )753( ××± = 105± ตอบ
2. การหารากทสองโดยวธเฉลย พจารณาจากตวอยางตอไปน ตวอยางท 11 จงหาคาประมาณของ 19 เปนทศนยมสองตาแหนง
วธทา ขนท 1 หาจานวนเตมบวกสองจานวนเรยงกน → จานวนเตมบวกสองจานวนนนคอ 4 และ 5
ทกาลงสองของจานวนเตมทงคมากกวา ดงนน 42 < ( )219 < 52
และนอยกวากาลงสองของ 19 นนคอ 4 < 19 < 5
ขนท 2 นาจานวนเตมทงสองทหาไดในขนท 1 → เฉลย 4 และ 5 จะได 2
54+ = 4.5
มาหาคาเฉลย
ขนท 3 นาคาเฉลยจากขนท 2 ไปหาร 19 แลว → นาคาเฉลย 4.5 ไปหาร 19 จะได 5.4
19 ≈ 4.22
นามาเปรยบเทยบคา จะได 4.22 × 4.22 < 19 < 4.5 × 4.5
นนคอ (4.22)2 < 19 < (4.5)2
∴ 4.22 < 19 < 4.5
ขนท 4 หาคาเฉลยทงสองจานวนทหาไดจาก → เฉลย 4.22 และ 4.5 จะได 2
5.422.4 + = 4.36
ขนท 2 และขนท 3 อกครง แลวนา นาคาเฉลย 4.36 ไปหาร 19 จะได 36.4
19≈ 4.358
คาเฉลยทไดไปหาร 19 นามาเปรยบเทยบ จะได 4.358 × 4.358 < 19 < 4.36 × 4.36
คาเชนเดยวกบขนท 3 อกครงหนง นนคอ (4.358)2 < 2)19( < (4.36)2 เนองจาก 4.358 ≈ 4.36 ดงนน คาประมาณของ 19 เปนทศนยมสองตาแหนง คอ 4.36 ตอบ
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 44 -
3. การหารากทสองจากตาราง (ดตารางไดจากหนงสอเรยนของตวเองครบ)
ตวอยางท 12 จงหาคารากทสองทเปนบวกของ 33 ใหถกตองถงทศนยมตาแหนงทสามโดยใชตาราง
วธทา ขนท 1 ดคา n ในตารางทตรงกบ 33 ขนท 2 ดคาของ n ในตารางทตรงกบ 33 นนคอ n = 33 n = 5.745 หมายความวา 33 มคาเทากบ 5.745 ดงนน 33 = 5.745 ตอบ 4. การหารากทสองโดยวธตงหาร มหลกการทาดงน
ขนท 1 นาจานวนทตองการหารากทสองมาแบงออกเปนชด ชดละ 2 ตว โดยจานวนเตมเรมนบจากหลกหนวยไปทางซาย สวนทศนยมเรมนบจากตาแหนงท 1 ไปทางขวา เชน แบงเลข 23071.465 ไดเปน 2, 30, 71.46, 5
ขนท 2 นาจานวนทตองการหารากทสองมาตงหารยาว หาจานวน 2 จานวนทเทากนมาคณกน ไดผลลพธเทากบจานวนชดแรก หรอนอยกวาแตเกอบเทากน แลวใสเปนตวหารและผลลพธดาเนนตามวธการหารยาว
ขนท 3 ยกจานวนชดตอไปลงมาเปนตวตงชดใหมตอไป ถาตวตงหมดหรอตวตงถงจดทศนยมใหใสจดทศนยมทผลลพธ แลวเตม 0 ทตวตงชดละ 2 ตว หรอยกเลขหลงจดทศนยมคตอไปลงมา
ขนท 4 นา 2 ไปคณกบผลลพธ แลวนาผลมาใสไวเปนตวหารตวใหม จากนนหาจานวนทเหมอนกนมาเตมใสทผลลพธ และตวหารตวหลงสด แลวดาเนนการตามวธหารยาวตอไป
ขนท 5 ดาเนนตามหลกการขนท 3 และขนท 4 ตอไปเรอย ๆ จนกระทงไดจานวนตามตองการ ตวอยางวธหารยาว จงหารากทสองทเปนบวกของ 31,275.9225 ใหคาตอบเปนทศนยมสองตาแหนง 76 . 85 . 1 3 , 12 , 75 . 92 , 25 , 00 ผลลพธทไดเตมหลงตวหารทาใหเกดผลลพธใหม 1 × 2 1 . 1 × <-- ผลลพธ 7 2 1 2 1 8 9 . 27 × ⑦ 17 × 2 34 6 2 3 7 5 2 0 7 6 . 346 × ⑥ 176 × 2 352 8 2 9 9 9 2 2 8 2 2 4 . 3528 × 1768 × 2 3536 5 1 7 6 8 2 5 1 7 6 8 2 5 35365 ×⑤ 0 ดงนน 9225.275,31 = 176.85 ตอบ
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 45 -
6. รากทสาม (Cuberoot)
บทนยาม ให a แทนจานวนจรงบวกใด ๆ รากทสามของ a คอ จานวนจรงทยกกาลงสามแลวได a เขยนแทนดวยสญลกษณ 3 a
สญลกษณ 3 a อานวา รากทสามของ a
จากบทนยามจะได ( 3 a )3 = a
การหารากทสามในทนจะกลาวถงวธหา 2 แบบ คอ
1. การหารากทสามโดยการแยกตวแยกตวประกอบ ตวอยางท 13 จงหาคารากทสามของจานวนทกาหนดใหตอไปน
(1.) 2,744 วธทา เนองจาก (14)3 = 2,744 ดงนน รากทสามของ 2,744 คอ 14
นนคอ 3 314 = 14 (2.) -9,261 วธทา เนองจาก (–21)3 = –9,261
ดงนน รากทสามของ -9,261 คอ –21
นนคอ 3 321)(− = –21 ขอสงเกต 1. รากทสามของจานวนจรงใด ๆ มรากเดยวเทานน 2. จานวนจรงลบเมอยกกาลงสามไมเทากบจานวนบวก แตเปนจานวนลบเชนเดม 3. รากทสามของจานวนจรงใด ๆ จะเปนจานวนตรรกยะหรอจานวนอตรรกยะอยางใดอยางหนงเทานน
สาหรบจานวนจรงใด ๆ เนองจาก a เปนรากทสามของ a3 และ 3 3a เปนรากทสามของ a3
ดงนน 3 3a = a เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ ตวอยางท 14 จงหาคาของจานวนทกาหนดใหตอไปน
(1.) 3 963 )cb(a− = 3 332 )cab(− = –ab2c3
(2.) 3 343169 + = 3 32 7)13( + = 13 + 7 = 20
(3.) 3
3
512331.1
81−
× = 3 3
3 32
)8(
)1.1(9
−× = 9 ×
)8(1.1−
= –1.2375 ตอบ
THAI CADET
คณตศาสตร ม.3 - 46 -
2. การหารากทสามจากตาราง เชนเดยวกบการหารากทสอง สามารถดตารางเพอหาคารากทสามไดในหนงสอเรยน
ตวอยางท 15 จงหารากทสามของจานวนทกาหนดใหถกตองถงทศนยมตาแหนงทสามโดยใชตาราง
(1.) 43 วธทา รากทสามของ 43 คอ 3 43
ใชตารางดคา n = 43 แลวไปดตารางชอง 3 n ในบรรทดเดยวกน
นนคอ 3 43 = 3.503
(2.) –65 วธทา รากทสามของ –65 คอ 3 65−
นนคอ 3 65− = –4.021 ตอบ
7. รากท n
บทนยาม เมอ a แทนจานวนจรงบวกใด ๆ รากท n ของ a คอ จานวนจรงทยกกาลง n แลวได a
เขยนแทนดวยสญลกษณ n a
ดงนน n na = a เมอ n เปนจานวนค
n na = a เมอ n เปนจานวนค
สมบตของรากท n เมอ a ≥ 0, b ≥ 0
1. n na = a 2. n ab = n a . n b 3. nba
= n
n
ba
4. m n a = mn a
ตวอยางท 16 จงทาใหเปนผลสาเรจ
(1.) 9 9
3618
z
y512x⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− = 9
9
949299
z
]).(y).(x2 [1)(−
= (–1) . (2) . z.yx 42
= zyx
242
−
(2.) 7 2114 .y2,187x = 7 73727 ).(y).(x3
= 32y3x
(3.) ( )55
5 75 33 23
7
7733
×+× =
55
57
53
32
31
7
.77.33 +
= 7
73
510
33
+
= 7
73
2+
= 10 ตอบ
THAI CADET
ถงนองๆ ทกคนครบ ทกเดอนมนาคม เดอนททกโรงเรยนปดเทอม หลายๆ คนหยดอยบานอยางสบายใจ หลายคน
ไปเทยวตางจ งหวด ในขณะท เดกผชายมฝนอกหลายๆ คนเกบกระเปาและหอบหนงสอกองโตไปฝงต ว
ทโรงเรยนกวดวชาเตรยมทหารตามทแตละคนไดไปสมครเรยนไว เพอวงตามความฝนของแตละคน จรงๆ แลว
การเตรยมตวสอบเขาเตรยมทหารนนไมใชเรองงายๆ เพราะในแตละปจะมเดกๆ ม.3 หรอเทยบเทา (จบ ม.3 แลว
แตอายยงไมเกน 17 ป) จากท วประเทศลงสนามสอบแขงขนรวมกบนองๆ เหลาละประมาณ 20,000 – 25,000 คน
แตมคนทพรอมสาหรบการสอบจรงๆ เพยงเหลาละไมเกน 1,000 – 1,500 คนเทานน สงเกตไดอยางชดเจนถงผลสอบ
รอบแรกของทกๆ เหลา (เนองจากแตละเหลาทพเปดโอกาสใหคน 1 คน สามารถสมครและเขาสอบไดมากกวา 1 เหลา) วา
คนทสอบตดเหลาหนงแลว มกจะสอบตดเหลาอนๆ ดวย แนนอนมคนสอบตดรอบแรก 4 เหลา ในขณะทอกมมหนง
เปนมมทใหญมากๆ นนคอคนทสอบไมตดกจะสอบไมตดสกเหลา ซงมเยอะมากๆ คดเปนประมาณ 92% - 95%
ของผสมครสอบเลยทเดยว คาถามคอ สอบเตรยมทหารมนยากขนาดนนเลยหรอ ??? ใชครบ สาหรบคนทไมเคยสมผสสนามสอบระดบประเทศลกษณะน จะยงไมเขาใจความรสกของการทา
ขอสอบวชาหลกท ง 5 วชา ทมท งความยากและจานวนขอทมากมาย ภายใตระยะเวลาทจากด แลวเราตองทาใหได
มากกวาคนอนๆ ดวย มนใหความรสกกดดนขนาดไหน และยงกวานน เมอประกาศผลสอบแลว ถาคนทเรารจก หรอ
เพอนของเราสอบตดแตเราสอบไมตด เมอเพอนเรากาวเดนตอไปในเสนทางทท งเขาและเราเลอกทจะฝาฟนแลว
ท งเขาและเรากอยากทาใหได แตเราทาไมได ความรสกทเกดขนมนเปนอยางไร ??? ดงนน การจะเรยนกวดวชา เฉพาะเพยงไมก ว น ก เดอน แลวจะมาคาดหว งว า เราจะทา ไดน น
มนเปนไปไมไดครบ ยกเวนนองๆ จะเรยนเกงโครตๆ เกงจรงๆ ประเภทเหนโจทยป บแลวสามารถตความและแกปญหา
โจทยขอนนๆ ไดอยางรวดเรวและไมมขอผดพลาด แตการจะไปใหถงจดนนไดเราตองอาศยการฝกฝนอยางตอเนอง
ตงแตการทาความเขาใจความรพนฐานในวชาทใชในการทาการสอบ การทาแบบฝกหดใหมากทสดเทาทจะทาได และ
การตะลยทาโจทยขอสอบเกา รวมท งขอสอบจากแหลงอนๆ ทมความยากในระดบทใกลเคยงกนใหเยอะทสดเทาท
จะทาได เพอใหเราเชยวชาญและมความม นใจวา เราสามารถทาขอสอบจรงไดดไมแพกบสงทเราฝกฝนเชนกน
เพราะคาวา อยากได กบ ทาได มน “สะกดตางกนนดเดยว”
แตเมอตองทาจรง ๆ แลว … “ไมใชทกคนทจะทาได”
THAI CADET
thaicadet จงใหความสาคญกบการเตรยมตวต งแตแรกๆ เปนอยางมาก เปรยบเสมอนเรามเวลา 1 ป สาหรบ
การสรางบานหลงเลกๆ หลงหนง หลายคนคดวา เดยวคอยทา เดยวคอยทา ไปทาเอาตอนเดอนตลาคม 2555 และ
เดอนมนาคม 2556 กทน ในขณะทถาเราเรมทา ณ วนน เดอนน แลวทาไปเรอยๆ เตรยมพนดน ตงเสาเอก เทพน
กอผนง เดนสายไฟฟา นบจากวนน, กลางเดอนมถนายน 2555, จนถงเดอนตลาคม, พฤศจกายน 2555 เรากไดสราง
บานเลก ๆ ของเราไปไดมากแลว เราไดเจอปญหาตางๆ และแกปญหาทเราไมเขาใจนนๆ ไปมากมาย ทาใหม
ประสบการณในการแกโจทยปญหาตางๆ ไมวาจะเปนรปแบบใดกตาม นองๆ ลองคดงายๆ วา เมอถงปลายเดอน
พฤศจกายน 2555 ทมการสอบโครงการชางเผอกของโรงเรยนนายเรออากาศแลว คนทเตรยมตวต งแตวนน กบคนท
ไมไดเตรยมตวอะไรเลย ใครจะทาผลสอบไดดกวากน ??? และเพราะเวลาเดนไวมาก เมอถงเดอนมนาคม 2556 บานหลงเลกๆ ทเราพยายามสรางต งแตวนน กเสรจ
สมบรณ เปรยบเสมอนความร ความคด ประสบการณในการแกโจทยปญหาของเรานนมมากมายเตมเปยม เราจงพรอม
สาหรบการสอบเตรยมทหารจรง ในชวงปลายเดอนมนาคม 2556 เปนตนไป ในขณะทคนอก 95% ทเพงจะมาขยน
ในเดอนมนาคม 2556 เขาเหลานนจงไมมทางทสรางบาน, ทตองใชเวลาทาจรงๆ 1 ปเตม, ใหเสรจภายในเวลา
1 เดอนได จรงไหมครบ ??? สทธพเศษ : สาหรบนองๆ ทเรยนพเศษกบ thaicadet.org 1. พวกเราจะเปนทปรกษา แนะแนวทาง และรวมกนวางแผนการเตรยมตวสอบ รวมทงแผนการอานหนงสอตลอดทงป 2. ไดรบสวนลดคาเรยนพเศษลดลง 2,000 บาท ในคอรสเรยนตอ ๆ ไป 3. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนตลาคม : ลดคาเรยน 50% ใหแกนอง ๆ ทผานการสอบคดเลอกเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร ภาควชาการ
ในปทผานมา 4. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนมนาคม : ลดคาเรยน 50% ใหแกนอง ๆ ทผานการสอบคดเลอกเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร ภาควชาการ
ในปทผานมา หรอนองทสอบผานเกณฑไดรบคดเลอกเขาเปนนกเรยนโครงการชางเผอก โรงเรยนนายเรออากาศ ประจาป 2556 5. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนมนาคม : นอง ๆ ทสามารถสอบตดเปนนกเรยนเตรยมทหารได “thaicadet คนเงนคาเรยนใหท งหมด” หมายเหต : ทกคอรสเปดรบสมครตลอดเวลา ... ทงนเพอเปนการลดภาระของทานผปกครอง thaicadet จะคดคาเรยนลดหลนตามจานวนวนท
เหลออยเทานน และยนดทบทวนเนอหาวชาใหกบนองๆ ทมาเรยนทหลงดวยครบ
คอรสตวเขมปดเทอมเดอนตลาคม 2555 ราคา 17,000 บาท (หนงหมนเจดพนบาทถวน) เรมเรยน วนอาทตยท 7 ตลาคม ถง วนอาทตยท 28 ตลาคม 2555 (รวม 22 วน)
“เกดมาชวตหนง จะมโอกาสสกกคร ง” ตวนองเทานน ทจะตอบคาถามนไดครบ
เวบไซตนายรอยไทย : บนไดขนแรกสรวโรงเรยนเตรยมทหาร “เราจะปนเดกธรรมดาคนหนง ใหเปนนกเรยนเตรยมทหาร”
www.thaicadet.org www.facebook.com/thaicadet www.youtube.com/thaicadet
e-mail : [email protected] โทร. 087 561 2511 และ 086 571 4623
THAI CADET
THAI CADET
THAI CADET
THAI CADET