第 27 课时　梯形

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第 27课时┃考点聚焦

考点聚焦

考点 1 　梯形的有关概念

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梯形

定义一组对边 ______，另一组对边 ________的四边形叫做梯形

等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形

直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形

平行不平行


考点 2 　等腰梯形

等腰梯形的性质

轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴

性质定理1

等腰梯形同一底上的两 ________相等

性质定理2

等腰梯形的对角线 ________

等腰梯形的判定

判定方法 (1)定义法； (2)同一底上的两个角 ________的梯形是等腰梯形

判定步骤(1)先判定它是梯形；

(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”或“对角线相等”来判定它是等腰梯形

底角相等

相等



考点 3 　梯形中常用的辅助线

辅助线添加方法及目的图形

平移一腰

从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形

作两高从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形

平移对角线

移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形

来研究梯形



辅助线添加方法及目的图形

延长两腰

延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以

梯形两底为底的等腰三角形

连接中点并延长

连接梯形一顶点与一腰的中点并延长与另一底的延长线相交，可得一三角形，将梯形的面积转化为三角形的面积，将梯形

的上下底转移到同一直线上


命题角度：1．梯形的定义及分类；2．梯形的中位线及有关计算．

探究一、梯形的基本概念及性质

归类探究

第 27课时┃归类探究

例 1． [2012• 滨州 ] 我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．



如图 27－ 1 ，在梯形 ABCD

中， AD BC∥ ，点 E、 F 分别是AB、 CD 的中点，那么 EF 就是梯形 ABCD 的中位线．通过观察、测量，猜想 EF和 AD、 BC 有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．

图 27－ 1

解析　　连接 AF并延长交 BC的延长线于点 G，则△ ADF GCF≌△ ，可以证得 EF是△ ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得．



解析 EF∥ AD∥ BC，EF＝12(AD＋BC)．

证明：连接 AF并延长交 BC的延长线于点 G. ∵ AD∥ BG ∴ ∠， DAF＝∠G. 在△ ADF和△ GCF中，

∠DAF＝∠G，∠DFA＝∠CFG，DF＝CF，

∴ △ ADF≌ △ GCF. ∴ AF＝FG，AD＝CG.

又∵ AE＝EB ∴， EF∥ BG，EF＝12(BC＋CG)，

即 EF∥ AD∥ BC，EF＝12(AD＋BC)．



方法点析　　梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决．常用添加辅助线的方法有： (1)平移一腰； (2)过同一底上的两个顶点作高； (3)平移对角线；(4)延长两腰； (5)连接一腰并延长．


命题角度：1．等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；2．等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；3．等腰梯形的对角线的大小关系．

探究二、等腰梯形的性质


例 2． [2012• 苏州 ] 如图 27－ 2 所示，在梯形 ABCD 中，已知 AD BC∥ ， AB＝ CD ，延长线段 CB到 E ，使 BE＝ AD ，连接AE、 AC.

(1) 求证：△ ABE CDA; ≌△(2) 若∠ DAC＝ 40° ，求∠ EAC 的度数．

图 27－ 2



解析　　 (1)由等腰梯形的性质可得∠ ABE＝∠ CDA，从而得到两个三角形全等； (2)由 (1)得到∠ AEB＝∠ CAD， AE＝AC，进而利用三角形的内角和求得．



解 : (1)证明：在梯形 ABCD中， ∵ AD∥ BC，AB＝CD， ∴ ∠ABE＝∠BAD ∠， BAD＝∠CDA. ∴ ∠ABE＝∠CDA. 在△ ABE和△ CDA中，

AB＝CD，∠ABE＝∠CDA，BE＝AD，

∴ △ ABE≌△ CDA. (2)由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC， ∴ ∠AEB＝∠ACE.∵ ∠DAC＝40° ， ∴ ∠AEB＝∠ACE＝40° . ∴ ∠EAC＝180° －40° －40° ＝100° .


命题角度：1．定义法；2．从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；3．从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形．

探究三、等腰梯形的判定


例 3． [2013• 钦州 ] 如图 27－ 3 所示，梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， AB DE∥ ，∠ DEC ＝∠ C.

求证：梯形 ABCD 是等腰梯形．图 27－ 3



解析　　证明：∵ AB DE∥ ，

∴∠B＝∠ DEC.

∵∠DEC＝∠ C，∴∠ B＝∠ C.

又∵四边形 ABCD是梯形，

∴ 梯形 ABCD是等腰梯形．

方法点析　　证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，或对角线相等即可．


命题角度：1．常用辅助线；2．动态几何问题；3．梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用．

探究四、梯形的综合应用


例 4 ．如图 27－ 4 ，在梯形 ABCD

中， AD BC∥ ，∠ B＝ 90°， AB＝ 14 cm，AD＝ 18 cm， BC＝ 21 cm ，点 P 从点 A

开始沿 AD 边向点 D以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B以 2 cm/s 的速度移动，如果 P、 Q 分别从点 A、 C 同时出发，设移动时间为 t 秒，求 t 为何值时，梯形 PQCD 是等腰梯形？

图 27－ 4



解析　　如图，因为 AD BC∥ ，等腰梯形是轴对称图形，要说明四边形 PQCD是等腰梯形，则可以从 QN＝MC中得到解决．特别需要注意的是 P、 Q的运动方向是相反的．

解：　　设 P、 Q运动到如图位置时，梯形 PQCD是等腰梯形．平移 AB到 PN、DM位置，得 QN＝MC＝ BC－ BM＝BC－ AD＝ 21－ 18＝ 3(cm)．

又 QN＝ BN－ BQ＝ AP－ BQ＝ t－(21－ 2t)＝ 3t－ 21，所以 3t－ 21＝ 3，即 t＝ 8.

所以 t＝ 8秒时，梯形 PQCD是等腰梯形 .


教材母题

解梯形问题的基本思路

第 27课时┃回归教材

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如图 27 － 5 所示，等腰梯形 ABCD 中，AD BC∥ ， AD ＝ 3 ， AB ＝ 4 ， BC

＝ 7 ，求∠ B 的度数．

图 27－ 5



解析　　过点 A作 AE DC. AD BC∥ ∵ ∥ ，∴四边形 AECD为平行四边形．∴ CE＝ AD＝ 3， AE＝ CD. BC∵ ＝ 7， CE＝3，∴ BE＝ 4，∵四边形 ABCD是等腰三角形，∴ CD＝ AB＝4，∴ AB＝ BE＝ AE＝ 4. ABE∴△ 是等边三角形．

∴∠B＝ 60°



中考预测

如图 27 － 6 所示，直角梯形 ABCD 中，AB CD∥ ，∠ C ＝ 90° ，∠ BDA ＝ 90° ，AB ＝ a ， BD ＝ b ， CD ＝ c ， BC ＝ d ，AD ＝ e ，则下列等式成立的是 ( 　　 )

A ． b2 ＝ ac B ． b2 ＝ ce

C ． be ＝ ac D ． bd ＝ ae 图 27－ 6

A



解析过点D作DE⊥AB，垂

足为 E.∵ ∠C＝∠CBA＝∠DEB

＝90° ∴，四边形 CBED是矩形，

∴ DE＝CB＝d，BE＝CD＝c ∴，

AE＝a－c.在 Rt△ DEA中，DE2＋AE2＝AD2，即 d2＋

(a－c)2＝e2 ∴， a2－2ac＋c2＋d2＝e2，即 a2－e2－

2ac＋c2＋d2＝0.在 Rt△ BDA中，a2－e2＝b2.在 Rt

△ BCD中，c2＋d2＝b2.∴ a2－e2－2ac＋c2＋d2＝0可

整理为 b2－2ac＋b2＝0 ∴， b2＝ac.在 Rt△ BDA中，

利用面积法有 ad＝be，故 B、C、D错误，所以选 A.


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