개념교재편(중① 2)

8 1. 도수분포와그래프

줄기와잎그림개념

1 줄기와잎그림

⑴변량: 키, 성적등과같이자료를수량으로나타낸것

⑵줄기와잎그림: 줄기와잎을이용하여자료를나타낸그림

①줄기: 세로선의왼쪽에있는숫자

②잎: 세로선의오른쪽에있는숫자

바른답·알찬풀이 2쪽

오른쪽그림은어느반학생들의 1분동안의줄넘기기록을조사하여

나타낸줄기와잎그림이다. 안에알맞은수를써넣어라.

⑴ 줄기가 2인잎은모두 개이다.

⑵ 잎이가장적은줄기는 이다.

1

2 줄기와잎그림을그리는방법

❶ 주어진자료에서가장작은변량과가장큰변량을찾는다.

❷ 변량을줄기와잎으로구분한다.

❸세로선을긋고, 세로선의왼쪽에줄기를작은값부터차례로세로로쓴다.

❹세로선의오른쪽에각줄기에해당되는잎을작은값부터차례로가로로쓴다.

| 참고 | ①줄기에는중복되는수를한번씩만쓰고, 잎에는중복되는수를모두쓴다.

② (잎의총개수)=(변량의개수)

③잎을작은값부터차례로나열하면특정한위치에있는변량을쉽게찾을수있다.

줄넘기기록 (1|6은 16회)

줄기 잎

123

601

945

56

78

8

<줄기와잎그림>(0|5는 5분)

잎

012

5

0

2

8

5

4

5

9

줄기

변량이두자리의수일때, 줄기는십의자리의숫자,잎은일의자리의숫자로한다.

1-1 줄기와잎그림, 도수분포표

세로선

▶줄기와잎그림그리기자세히알아보기

˙k24 31 21

30 21 27

34 16 12

24 31 21

30 21 27

34 16 12

(단위: m) (1|2는 12 m)

잎

123

210

611

44

7

줄기

가장큰변량 가장작은변량

변량

잎(일의자리)

줄기(십의자리)

중복되는수는모두쓴다.

줄기와잎그림

일의자리의숫자

십의자리의숫자

1-1. 줄기와잎그림, 도수분포표 9

대표문제반드시알아야할바른답·알찬풀이 2쪽

01 아래 자료는 중학교 1학년 학생들의 일주일 동안의

인터넷사용시간을조사한것이다. 다음물음에답하여라.

줄기와잎그림그리기

⑴줄기와잎그림을완성하여라.

⑵ 줄기가 3인잎을모두구하여라.

⑶ 잎이가장많은줄기를구하여라.

⑷ 잎의총개수를구하여라.

16 10 13 8 23 35 2 12 38

12 21 4 25 19 24 35 27 30

인터넷사용시간 (단위: 시간)

인터넷사용시간 (0|2는 2시간)

줄기 잎

02

02 아래그림은어느산악회의회원들의나이를조사하여

나타낸줄기와잎그림이다. 다음을구하여라.

줄기와잎그림의이해

회원들의나이 (2|2는 22세)

줄기 잎

234

210

331

543

5

4

5

7

7 9

⑴ 전체회원수

⑵ 나이가 33세미만인회원수

⑶ 나이가가장많은회원의나이

03 아래 그림은 명수네 반 학생들의 키를 조사하여 나

타낸줄기와잎그림이다. 다음을구하여라.

대표

학생들의키 (13 |3은 133 cm)

줄기 잎

13141516

3010

4231

4431

5552

8764

9966

88

9

⑴ 전체학생수

⑵ 키가 145 cm 이상 155 cm 미만인학생수

⑶ 키가 3번째로큰학생의키

04 아래 그림은 정택이네 반 남학생과 여학생의 앉은키

를조사하여나타낸줄기와잎그림이다. 다음을구하여라.

대표

앉은키 (7|5는 75 cm)

줄기잎(남학생) 잎(여학생)

789

501

653

76

878 7 5

9

947

836

⑴ 앉은키가가장작은학생의앉은키

⑵정택이의앉은키가 85 cm일때, 정택이보다앉은

키가큰학생수

두개의잎이있는줄기와잎그림


도수분포표개념


아래 자료는 모형 항공기 대회에 참가한 희망 중학교 학생들의 기록을 조사하여 나타낸 것이다. 다음

도수분포표를완성하여라.1

2 도수분포표를만드는방법

❶ 주어진자료에서가장작은변량과가장큰변량을찾는다.

❷ 계급의개수가 5~15개정도가되도록계급의크기를정한다.

❸ 각계급에속하는변량의수를세어계급의도수를구한다.

1 도수분포표

⑴계급: 변량을일정한간격으로나눈구간

①계급의크기: 구간의너비

②계급의개수: 변량을나눈구간의수

③계급값: 계급을대표하는값으로그계급의가운데값

⋯ k (계급값)=

⑵도수: 각계급에속하는변량의수

⑶도수분포표: 주어진자료를몇개의계급으로나누고, 각

계급에속하는도수를조사하여나타낸표

| 주의 | 계급, 계급의크기, 계급값, 도수는단위를포함하여쓴다.

(계급의양끝값의합)2

계급의양끝값의차

12 24 9 3 13

5 14 7 11 18

8 15 19 17 22

16 6 19 17 9

모형항공기기록 (단위: 초) 기록(초) 도수(명)

0`이상~ 5`미만 1

합계

˙k

변량의개수를셀때, 이나 를사용하면편리하다.

▶도수분포표만들기자세히알아보기

3 10 15

11 26 4

22 17 9

13 31 12

(단위: 회)

˙k ˙k

가장큰변량

가장작은변량 횟수(회)

0`이상~ 10`미만

10`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

20`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯

30`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯

합계

도수(명) 횟수(회)

0`이상~ 10`미만 310`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯ 620`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯ 230`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯ 1

합계 12

도수(명)

계급

({9

(계급의크기)=10(회)

도수의총합

(계급의크기)=60-50=10(kg)

(계급값)= =55(kg)50+602

계급

도수

<도수분포표>

학생수(명)

6

1

3

2 ({9(

{9

항상일정

몸무게(kg)

30이상~ 40미만

40⋯ ⋯~ 50⋯ ⋯

50⋯ ⋯~ 60⋯ ⋯

합계

가운데값

도수({9



01 오른쪽 표는 선희네

반 학생 25명의 멀리뛰기

기록을 조사하여 나타낸

도수분포표이다. 다음을

구하여라.

도수분포표의이해

멀리뛰기기록(cm) 도수(명)

170`이상~ 180`미만 1

4180`⋯ ⋯~ 190`⋯ ⋯

12190`⋯ ⋯~ 200`⋯ ⋯

5200`⋯ ⋯~ 210`⋯ ⋯

3210`⋯ ⋯~ 220`⋯ ⋯

25합계

⑴ 계급의크기

⑵ 계급의개수

⑶ 멀리뛰기기록이 190 cm인학생이속하는계급

⑷도수가가장작은계급의계급값

⑸멀리뛰기기록이 200 cm 이상인학생수

02 오른쪽 표는 미래네

반 학생들의 통학 시간을 조

사하여나타낸도수분포표이

다. 다음을구하여라.

대표

통학시간(분) 도수(명)

0`이상 ~ 10`미만 5

710`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

1320`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯

A30`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯

30합계

⑴ A의값 5

⑵ 도수가가장큰계급의계급값 25분

⑶통학시간이긴쪽에서6번째인학생이속하는계급

⑷계급값이 15분인계급의도수 7명

20분이상 30분미만

03 오른쪽 표는 세 이

네 반 학생들의 키를 조사

하여 나타낸 도수분포표이

다. 다음물음에답하여라.

키(cm) 도수(명)

145`이상~ 150`미만 4

A150`⋯ ⋯~ 155`⋯ ⋯

11155`⋯ ⋯~ 160`⋯ ⋯

6160`⋯ ⋯~ 165`⋯ ⋯

3165`⋯ ⋯~ 170`⋯ ⋯

30합계

⑴ A의값을구하여라.

⑵ 키가 150 cm이상 155 cm미만인학생은전체의

몇%인지구하여라.

대표04 다음 표는 혜진이네 반 학생들의 국어 성적을 조사

하여 나타낸 도수분포표이다. 국어 성적이 70점 미만인 학

생은전체의몇%인지구하여라. 36 %

국어성적(점) 도수(명)

50`이상~ 60`미만 A

660`⋯ ⋯~ 70`⋯ ⋯

1070`⋯ ⋯~ 80`⋯ ⋯

480`⋯ ⋯~ 90`⋯ ⋯

290`⋯ ⋯~ 100`⋯ ⋯

25합계

(백분율)= _100(%)(해당계급의도수)(도수의총합)

도수분포표에서특정계급의백분율


도수분포표에서의평균개념

1 평균

변량의총합을변량의총개수로나눈값 ˙k| 주의 | 평균은단위를포함하여쓴다.


아래 표는 학생 15명의수행평가성적을조사하여나타낸것이다. 다음과 같이 수행평가성적의 평균

을구할때, 안에알맞은수또는식을써넣어라.

˙k (평균)= =

˙k (평균)= = = (점)8

(변량)의총합(변량)의총개수

1

2 도수분포표에서평균을구하는방법

❶ 각계급의계급값을구한다.

❷ 각계급에서(계급값)_(도수)를구한다.

❸ {(계급값)_(도수)}의총합을구한다.

❹ ❸`에서구한값을도수의총합으로나눈다.

| 참고 | 도수분포표에서구한평균은실제평균과다를수있다.

(평균)={(계급값)_(도수)}의총합

(도수)의총합

성적(점) 7 8 9 10 합계

5 6 3 1 15학생수(명)

7_5+ +9_3+ 10_18_6

15

120

15

▶도수분포표에서평균을구하는방법(❶→❷→❸→❹)

˙k (평균)= =;;¡1¶0§;;=17.6(초){(계급값)_(도수)}의총합

(도수)의총합

자세히알아보기

기록(초)

14`이상~ 16`미만 216`⋯ ⋯~ 18`⋯ ⋯ 418`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯ 320`⋯ ⋯~ 22`⋯ ⋯ 1

합계 10

도수(명)15

171921

계급값(초)

15_2=3017_4=6819_3=5721_1=21

176

(계급값)_(도수)❶ ❷

❸

❹

˙k

단위를포함하여쓴다.

(평균)=(변량)의총합

(변량)의총개수



02 다음자료는학생 5명의일주일동안의독서시간을

조사한 것이다. 학생 5명의 일주일 동안의 독서 시간의 평

균이 5시간일때, x의값을구하여라. 2

4⋯ ⋯ ⋯ x⋯ ⋯ ⋯ 10⋯ ⋯ ⋯ 6⋯ ⋯ ⋯ 3

01 다음 표는 수현이네 반 학생들의 윗몸 일으키기 횟

수를 조사하여 나타낸 것이다. 학생들의 윗몸 일으키기 횟

수의평균을구하여라. 23회

횟수(회) 10 20 30 40 합계

4 8 6 2 20학생수(명)

03 다음은 형식이네 반 학생들의 어 성적의 평균을

구하는과정이다. 안에알맞은수를써넣어라.

도수분포표에서의평균

˙k (평균)= = (점)8220

1640

어성적(점) 도수(명)

60`이상~ 70`미만 2

670`⋯ ⋯~ 80`⋯ ⋯

880`⋯ ⋯~ 90`⋯ ⋯

490`⋯ ⋯~ 100`⋯ ⋯

20

계급값(점) (계급값)_(도수)

65 65_2=130

_6= 45075

_8= 68085

95_4=380

1640

75

85

95

합계

04 다음 표는 주 이네 반 학생들이 읽은 책의 수를 조

사하여 나타낸 도수분포표이다. 표를 완성하고, 학생들이

읽은책의수의평균을구하여라. 13.2권

책의수(권) 도수(명)

4`이상~ 8`미만 3

68`⋯ ⋯~ 12`⋯ ⋯

1012`⋯ ⋯~ 16`⋯ ⋯

516`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

120`⋯ ⋯~ 24`⋯ ⋯

25

계급값(권) (계급값)_(도수)

6 6_3=18

10_6=60

14_10=140

18_5=90

22_1=22

330

10

14

18

22

합계

05 아래표는유정이네반학생 20명의봉사활동시간을

조사하여나타낸도수분포표이다. 다음을구하여라.

대표

⑶ (계급값)_(도수)의총합을구하여도수의총합으로나누어야함을강조해주세요.

Y쌤

자료의평균

봉사활동시간(시간) 도수(명)

4`이상 ~ 6`미만 2

56`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯

88`⋯ ⋯~ 10`⋯ ⋯

510`⋯ ⋯~ 12`⋯ ⋯

20합계

⑴ 각계급의계급값 5시간, 7시간, 9시간, 11시간

⑵ 각계급의(계급값)_(도수) 10, 35, 72, 55

⑶ 학생들의봉사활동시간의평균 8.6시간

(단위: 시간)


핵심문제실력을다지는

01 줄기와잎그림오른쪽그림은어느야구동아리에서 1년동

안 타자들이 친 홈런의 개수를 조사하여 나

타낸줄기와잎그림이다. 물음에답하여라.

(단, 모든타자들은홈런을 1개이상쳤다.)

⑴ 전체타자의수를구하여라. 15명

⑵ 홈런을 4번째로많이친타자의홈런의개수를구하여라. 23개

04 도수분포표의이해오른쪽표는민준이네반학생들이 1년동안관람한

화의 수를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 다음 중

옳지않은것을모두고르면? (정답 2개)

① A의값은 4이다.

② 계급의크기는 5편이다.

③ 도수가가장큰계급의계급값은 5편이다.

④ 화를 10번째로 많이 관람한 학생이 속하는 계

급은 6편이상 8편미만이다.

⑤ 관람한 화가4편미만인학생은전체의 25 %이다.

홈런의개수 (0|1은 1개)

줄기 잎

0123

1205

3437

456

75 5 9

전체타자의수는잎의총개수와같다.Y쌤

02 두개의잎이있는줄기와잎그림

오른쪽 그림은 A`반과 B`반의 과학

수행평가 성적을 조사하여 나타낸 줄

기와잎그림이다. 물음에답하여라.

⑴ 점수가 가장 높은 학생은 어느

반에속하는지구하여라. B`반

⑵ 수행평가성적이 8점이상 17점미만인학생수는어느반이더많은지구하

여라. A`반

과학수행평가성적 (0|2는 2점)

줄기잎(A`반) 잎(B`반)

012

453

954

76

98

9867

355

224

03 도수분포표다음중도수분포표에대한설명으로옳지않은것은?

① 자료를수량으로나타낸것을변량이라한다.

② 변량을일정한간격으로나눈구간을계급이라한다.

③ 변량을나눈구간의너비를계급의크기라한다.

④ 각계급을대표하는값으로계급에서가장큰값을계급값이라한다.

⑤ 각계급에속하는변량의수를도수라한다.

계급a`이상~b`미만에서계급의크기 ˙k b-a

계급값 ˙k a+b2

Y쌤

화의수(편) 도수(명)

0`이상~ 2`미만 3

A2`⋯ ⋯~ 4`⋯ ⋯

124`⋯ ⋯~ 6`⋯ ⋯

96`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯

78`⋯ ⋯~ 10`⋯ ⋯

35합계

④각계급을대표하는값으로그계급의가운데값을계급값이라한다.

⑴ 4+6+3+2=15(명)⑵ 홈런의개수가많은쪽에서부터차례로나열하면 37개, 35개, 26개, 23개, 20개, y

이므로홈런을4번째로많이친타자의홈런의개수는23개이다.

⑴점수가가장높은학생의점수는28점이고, 이학생은B반에속한다.⑵수행평가성적이8점이상17점미만인학생수는

A반: 8점, 12점, 15점, 16점의4명, B반: 9점, 15점, 15점의3명따라서A반이더많다.

⑤ _100=20(%)3+435



05 도수분포표에서특정계급의백분율

오른쪽표는은수네반학생들의통학시간을조사하여

나타낸 도수분포표이다. 통학 시간이 10분 이상 20분

미만인학생이전체의 24 %일때, B의값을구하여라.


0`이상 ~ 10`미만 4

A10`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

520`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯

430`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯

B40`⋯ ⋯~ 50`⋯ ⋯

250`⋯ ⋯~ 60`⋯ ⋯

25합계

06 변량의범위계급의 크기가 8점인 어떤 도수분포표에서 a점 이상 b점 미만인 계급의 계급값이

72점일때, 이계급을구하여라. 68점이상 76점미만 어떤계급에속하는변량을x라하면

(계급값)- …x

<(계급값)+(계급의크기)

2

(계급의크기)2

Y쌤

07 도수분포표에서의평균오른쪽표는지현이네반학생들의일주일동안의운동

시간을 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 학생들의 운

동시간의평균을구하여라. 5시간

(평균)

={(계급값)_(도수)}의총합

(도수)의총합

Y쌤

08 도수분포표에서의평균오른쪽 표는 희주네 반 학생들이 가지고 있는 공책의

수를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 학생들이 가지

고있는공책의수의평균이 9권일때, A의값은?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

a=72-;2*;=68, b=72+;2*;=76

따라서구하는계급은68점이상76점미만이다.

_100=24에서A=6

∴B=25-(4+6+5+4+2)=4

A25

운동시간이6시간이상8시간미만인학생수를A명이라하면A=30-(3+6+12+3)=6

∴(평균)=

∴(평균)=;;¡3∞0º;;=5(시간)

1_3+3_6+5_12+7_6+9_330

공책의수(권) 도수(명)

0`이상 ~ 4`미만 4

64`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯

A8`⋯ ⋯~ 12`⋯ ⋯

512`⋯ ⋯~ 16`⋯ ⋯

216`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

합계

운동시간(시간) 도수(명)

0`이상~ 2`미만 3

62`⋯ ⋯~ 4`⋯ ⋯

124`⋯ ⋯~ 6`⋯ ⋯

66`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯

38`⋯ ⋯~ 10`⋯ ⋯

30합계

(평균)=

(평균)= =9(권)

150+10A=9(17+A)⋯ ⋯∴A=3

150+10A17+A

2_4+6_6+10_A+14_5+18_24+6+A+5+2

4


히스토그램개념

1 히스토그램

⑴히스토그램: 가로축에는 계급을, 세로축에는 도수를 차례로

표시하여직사각형모양으로나타낸그래프

⑵히스토그램을그리는방법

❶ 가로축에각계급의양끝값을차례로표시한다.

❷ 세로축에도수를차례로표시한다.

❸각계급의크기를가로로, 도수를세로로하는직사각형을

차례로그린다.


다음표는민호네반학생들의턱걸이횟수를조사하여나타낸도수분포표이다. 이를 이용하여히스토

그램을그려라.1

▶히스토그램그리기자세히알아보기

2 히스토그램의특징

⑴자료의분포상태를한눈에알아볼수있다.

⑵각직사각형의넓이는각계급의도수에정비례한다.

⑶ (직사각형의넓이의합)={(계급의크기)_(그계급의도수)}의합

=(계급의크기)_(도수의총합)

| 참고 | 히스토그램의각직사각형에서

(가로의길이)=(계급의크기), (세로의길이)=(도수), (직사각형의개수)=(계급의개수)

0(계급)

(

도수)

도수,

계급의,크기,

계급의,양 끝값,

각직사각형의넓이

0 5 10 15 20 25 30 (회)

(명)

6

8

10

4

2

턱걸이횟수(회) 도수(명)

5`이상 ~ 10`미만 5

1010`⋯ ⋯~ 15`⋯ ⋯

715`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

420`⋯ ⋯~ 25`⋯ ⋯

225`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯

28합계

˙k

몸무게(kg)20`이상~ 30`미만 430`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯ 840`⋯ ⋯~ 50`⋯ ⋯ 650`⋯ ⋯~ 60`⋯ ⋯ 2

합계 20

도수(명)

히스토그램

020 30 40 50 60

6

8

4

2

(명)

(kg)

계급의양끝값

1-2 히스토그램과도수분포다각형

<히스토그램>

계급

도수

도수

대표

1-2. 히스토그램과도수분포다각형 17


01 오른쪽 그림은 어느

마을의각가정에서하루동

안사용한수돗물의양을조

사하여 나타낸 히스토그램

이다. 다음을구하여라.

⑴ 계급의크기와개수 10 L, 6개

⑵ 전체가구수 40가구

⑶하루동안사용한수돗물의양이 50 L 이상 70 L

미만인가구수 20가구

⑷하루 동안 사용한 수돗물의 양이 14번째로 많은

가정이속하는계급 50 L 이상 60 L 미만

⑸ 직사각형의넓이의합 400

히스토그램의이해

020304050607080(L)

(가구)

681012

42

02 오른쪽 그림은 지 이

네 반 학생들이 모형 만들기

를 하는 데 걸린 시간을 조

사하여 나타낸 히스토그램이

다. 다음물음에답하여라.

⑴ 전체학생수를구하여라. 30명

⑵ 도수가가장작은계급의계급값을구하여라.

⑶ 모형만들기를하는데걸린시간이 8시간이상인

학생은전체의몇%인지구하여라. 30 %

대표

0 2 4 6 8 10 12 (시간)

(명)

6810

42

⑸직사각형의넓이는단위를정할수없으므로단위를쓰지않는다는것을설명해주세요.

Y쌤

04 오른쪽 그림은 세윤

이네 반 학생들의 운동 시

간을 조사하여 나타낸 히스

토그램이다. 학생들의 운동

시간의평균을구하여라.0 20 40 60 80 100120(분)

(명)

6

4

2

대표03 오른쪽 그림은 제호네

반 학생들의 1년 동안의 도서

관이용횟수를조사하여나타

낸 히스토그램이다. 다음을 구

하여라.

⑴ 전체학생수 25명

⑵ 학생들의도서관이용횟수의평균 14회

히스토그램에서평균구하기

(평균)={(계급값)_(도수)}의총합

(도수)의총합Y쌤

0 4 8 12 16 20 24 (회)

(명)

6810

42

05 오른쪽 그림은 학생 30

명의 몸무게를 조사하여 나타

낸 히스토그램인데 일부가 찢

어져 보이지 않는다. 몸무게가

45 kg 이상 50 kg 미만인학

생수를구하여라. 8명

찢어진히스토그램

0 35 40 45 50 55 60 (kg)

(명)

68

42

(보이지않는계급의도수)=(도수의총합)-(나머지계급의도수의합)

Y쌤

3시간

65.2분


도수분포다각형개념

1 도수분포다각형

다음과같은방법으로그린그래프를도수분포다각형이라한다.

❶ 히스토그램에서각직사각형의윗변의중앙에점을찍는다.

❷양끝에도수가 0인계급을하나씩추가하여그중앙에점을

찍는다.

❸ 위에서찍은점들을차례로선분으로연결한다.

| 참고 | 도수분포다각형은 히스토그램을 그리지 않고 도수분포표에서 각 계급값

을구하여바로그릴수도있다.


다음 안에알맞은말을써넣고, 도수분포다각형을그려라.1

▶ (도수분포다각형과가로축으로둘러싸인부분의넓이)=(히스토그램의직사각형의넓이의합)

오른쪽그림에서두삼각형㉠`과㉡`은밑변의길이와높이가각각같은직

각삼각형이므로넓이가같다.

즉, 도수분포다각형과가로축으로둘러싸인부분의넓이는히스토그램의

직사각형의넓이의합과같다.


2 도수분포다각형의특징

⑴자료의분포상태를연속적으로관찰할수있다.

⑵ 2개이상의자료의분포상태를동시에나타내어비교하는데편리하다.

⑶ (도수분포다각형과가로축으로둘러싸인부분의넓이)

=(히스토그램의직사각형의넓이의합)


5`이상~ 10`미만 3

510`⋯ ⋯~ 15`⋯ ⋯

1115`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

620`⋯ ⋯~ 25`⋯ ⋯

25합계0 5 10 15 20 25 (분)

(명)

6810

42

˙k

㉠,

㉡,

넓이가,같다,

(계급)

(

도수)

< >도수분포표 < >히스토그램

0 5 10 15 20 25 (분)

(명)

6810

42

˙k

<도수분포다각형>

(계급의크기)_(도수의총합)

0(계급)

(도수)

(계급값, 도수)점의좌표는 (계급값, 도수)이다.

<도수분포다각형>



01 오른쪽 그림은 민

이네 반 학생들의 국어 성

적을 조사하여 나타낸 도수

분포다각형이다. 다음을 구

하여라.


⑵ 도수가가장큰계급의계급값 65점

⑶ 국어성적이 60점이상 80점미만인학생수 17명

⑷ 국어성적이 10번째로높은학생이속하는계급

⑸도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의

넓이 350

도수분포다각형의이해

0 40 50 60 70 80 90100(점)

(명)

6810

42

70점이상 80점미만

02 오른쪽 그림은 학생

들이 점심 식사를 하는 데

걸리는 시간을 조사하여 나

타낸 도수분포다각형이다.

다음물음에답하여라.

⑴ 도수가가장작은계급의계급값을구하여라.

⑵ 점심식사시간이 7번째로느린학생이속하는계

급의도수를구하여라. 9명

⑶식사시간이 12분미만인학생은전체의몇%인

지구하여라. 25 %

대표

0 4 8 12 16 20 24 (분)

(명)

6810

42

03 오른쪽 그림은 서현

이네 반 학생들이 일주일

동안 TV를 시청하는 시

간을 조사하여 나타낸 도

수분포다각형이다. 다음을

구하여라.


⑵ 학생들의 TV시청시간의평균 16시간

도수분포다각형에서평균구하기

011 13 15 17 19 21 (시간)

(명)

10

15

5

04 오른쪽 그림은 예진

이네 반 학생들이 방학 동

안 봉사 활동을 한 횟수를

조사하여 나타낸 도수분포

다각형이다. 학생들의 봉사

활동횟수의평균을구하여라. 7.1회

대표

0 2 4 6 8 10 12 (회)

(명)

6810

42

찢어진도수분포다각형

05 오른쪽 그림은 학생

32명의 하루 동안의 수면

시간을 조사하여 나타낸

도수분포다각형인데 일부

가 찢어져 보이지 않는다.

수면시간이 8시간이상 9시간미만인학생수를구하여라.

대표

0 5 6 7 8 9 10 (시간)

(명)

6810

42

9명


Y쌤

6분



01 히스토그램다음중히스토그램에대한설명으로옳은것은?

① 직사각형의개수는계급의개수와같다.

② 각직사각형의가로의길이는도수와같다.

③ 각직사각형의세로의길이는계급의크기와같다.

④ 각직사각형의가로의길이는일정하지않다.

⑤ 각직사각형의넓이는각계급의도수에반비례한다.

히스토그램에서직사각형의개수˙k계급의개수직사각형의가로의길이˙k계급의크기직사각형의세로의길이˙k도수

Y쌤

02 히스토그램의이해오른쪽그림은성훈이네반학생들의앉은키를조사

하여나타낸히스토그램이다. 다음물음에답하여라.

⑴ 계급의크기를구하여라. 5 cm

⑵ 전체학생수를구하여라. 32명

⑶ 도수가가장큰계급의계급값을구하여라. 82.5 cm

⑷ 앉은키가 5번째로큰학생이속하는계급을구하여라. 85 cm 이상 90 cm 미만

0 70 75 80 85 90 95(cm)

(명)

68

42

03 히스토그램에서의평균오른쪽그림은민선이네반학생들이한달동안마

신 물의 양을 조사하여 나타낸 히스토그램이다. 학

생들이마신물의양의평균을구하여라. 52 L

0 20 30 40 50 60 70 80(L)

(명)

6810

42

히스토그램에서평균을구할때는먼저각계급의도수와도수의총합을구한다.

Y쌤

04 찢어진히스토그램오른쪽그림은지민이네반학생 30명이한달동안

도서관에서대여한책의수를조사하여나타낸히스

토그램인데 일부가 찢어져 보이지 않는다. 대여한

책의 수가 4권 이상 8권 미만인 학생은 전체의 몇

%인지구하여라. 60 % 0 4 6 8 10 12 14 (권)

(명)

6810

42


Y쌤

④각직사각형의가로의길이는계급의크기와같으므로일정하다.⑤ 각직사각형의넓이는각계급의도수에정비례한다.

(평균)=

(평균)= =52(L)208040

25_3+35_5+45_9+55_11+65_8+75_440

6권이상8권미만인학생수는30-(7+6+4+2)=11(명)이므로

4권이상8권미만인학생은전체의 _100=60(%)7+1130



05 도수분포다각형의이해오른쪽 그림은 민주네 반 학생들의 게임 점수를 조

사하여나타낸도수분포다각형이다. 다음물음에답하

여라.


⑵ 도수분포다각형과가로축으로둘러싸인부분의

넓이를구하여라. 80

⑶ 게임점수가 7번째로낮은학생이속하는계급의계급값을구하여라. 6점

⑷ 게임점수가 11점이상인학생은전체의몇%인지구하여라. 25 %

0 3 5 7 9 11 13 15 (점)

(명)

6810

42

도수분포다각형의특징①점의좌표는(계급값, 도수)이다.②(도수분포다각형과가로축으로둘러싸인부분의넓이)=(계급의크기)_(도수의총합)

③2개이상의자료의분포상태를동시에나타내어비교하는데편리하다.

Y쌤

06 도수분포다각형에서의평균오른쪽그림은어느해 9월의A지역의하루중최저

기온을조사하여나타낸도수분포다각형이다. A지역

의 9월최저기온의평균을구하여라. 15 ˘C

0 11 13 15 17 19 21 (æ)

(일)

6810

42

07 찢어진도수분포다각형오른쪽 그림은 야구 선수 20명이 친 홈런의 개수를

조사하여 나타낸 도수분포다각형인데 일부가 찢어져

보이지 않는다. 홈런의 개수가 25개 이상 30개 미만

인 선수가 30개 이상 35개 미만인 선수보다 3명이

많을때, 홈런의개수가 25개이상 30개미만인선수

는몇명인지구하여라. 5명

0 15 20 25 30 35 40 (개)

(명)

68

42

08 두도수분포다각형의비교오른쪽 그림은 미래 중학교 남학생과 여

학생의 키를 조사하여 나타낸 도수분포다

각형이다. 다음 보기 중 옳은 것을 모두

골라라. ㄱ, ㄷ

0135140145150155160165170175(cm)

(명)

681012

42

남학생,여학생,

보`기

ㄱ. 남학생수와여학생수는같다.

ㄴ. 키가제일작은학생은여학생이다.

ㄷ. 키가 160 cm 이상인학생은남학생이더많다.

ㄹ. 남학생의도수분포다각형에서도수가가장큰계급의계급값은

152.5 cm이다.

⑵ 2_40=80

⑶게임점수가7번째로낮은학생이속하는계급은5점이상7점미만이므로계급값은 =6(점)

⑷ ;4!0);_100=25(%)

5+72

홈런의개수가 25개이상30개미만인선수를x명이라하면30개이상35개미만인선수는(x-3)명4+8+x+(x-3)+1=20, 2x+10=20⋯ ⋯∴x=5

ㄴ. 남학생의도수분포다각형에서키가제일작은학생이속하는계급은 135 cm이상 140 cm미만이고, 여학생의도수분포다각형에서키가제일작은학생이속하는계급은 140 cm이상 145 cm미만이다. 따라서키가제일작은학생은남학생이다.

ㄹ. 145 cm이상 150 cm미만이므로계급값은 =147.5(cm)145+1502

(평균)=

(평균)=;;¢3∞0º;;=15(æ)

12_6+14_10+16_8+18_5+20_130

일부가찢어진그래프가주어지면도수의총합을이용한다.

Y쌤


상대도수개념


다음 표는 소라네 반 학생들의 일주일 동안의 독서 시간을 조사하여 나타낸 상대도수의 분포표이다.

안에알맞은수를써넣어라.1

▶상대도수의분포표자세히알아보기

1 상대도수

도수의총합에대한각계급의도수의비율

˙k (어떤계급의상대도수)=(그계급의도수)(도수의총합)

공식을변형하면(어떤계급의도수)=(도수의총합)_(그계급의상대도수)

(도수의총합)=(그계급의도수)

(어떤계급의상대도수)

2 상대도수의분포표

각계급의상대도수를구하여나타낸표

3 상대도수의특징

⑴상대도수의총합은항상 1이다.

⑵각계급의상대도수는그계급의도수에정비례한다.

⑶도수의 총합이 다른 두 집단의 자료의 분포 상태를 비교할 때, 상대도수를 이용하면 편리

하다.

(상대도수의총합)= = =1(도수의총합) (도수의총합)

(각계급의도수의합)(도수의총합)

(도수가가장큰계급)=(상대도수가가장큰계급)

독서시간(시간) 도수(명)

4`이상~ 5`미만 4

40

상대도수

=0.1440

5`⋯ ⋯~ 6`⋯ ⋯ 12 = 0.31240

6`⋯ ⋯~ 7`⋯ ⋯ 16 = 0.440

7`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯ 8 = 0.2

1합계

16

8

40

수학성적(점)

70`이상~ 80`미만 4 ;2¢0;=0.2

합계 20 1

도수(명) 상대도수

80`⋯ ⋯~ 90`⋯ ⋯ 10 ;2!0);=0.5

90`⋯ ⋯~ 100`⋯ ⋯ 6 ;2§0;=0.3

1-3 상대도수와그그래프

그계급의도수

도수의총합

항상 1이다.

상대도수는일반적으로각계급에해당하는도수의비율을쉽게비교하기위하여소수로나타낸다.

1-3. 상대도수와그그래프 23


01 다음 표는 형우네 반 학생들이 일주일 동안 받은 이

메일 수를 조사하여 나타낸 상대도수의 분포표이다. 표를

완성하여라.

상대도수의분포표의이해

이메일수(통) 도수(명)

0`이상~ 10`미만 4

810`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

1620`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯

1230`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯

40

상대도수

0.1

0.2

0.4

0.3

1합계

0통이상10통미만인계급의도수와상대도수를이용하여먼저도수의총합을구하도록지도해주세요.

Y쌤

02 오른쪽 표는 종현이

네반학생 40명이하루동

안 수업시간에 질문한 횟수

를 조사하여 나타낸 상대도

수의분포표이다. 다음물음

에답하여라.

⑴ A의값을구하여라.

⑵ 질문횟수가 5회미만인학생수를구하여라.

⑶ 질문횟수가 7회미만인학생은전체의몇%인지

구하여라. 55 %

질문횟수(회) 상대도수

1`이상 ~ 3`미만 A

0.13`⋯ ⋯~ 5`⋯ ⋯

0.255`⋯ ⋯~ 7`⋯ ⋯

0.47`⋯ ⋯~ 9`⋯ ⋯

0.059`⋯ ⋯~ 11`⋯ ⋯

1합계

03 아래 표는 희성이네 반 학생 20명의 키를 조사하여

나타낸상대도수의분포표이다. 다음물음에답하여라.

대표

키(cm) 도수(명)

140`이상~ 145`미만 5

6145`⋯ ⋯~ 150`⋯ ⋯

B150`⋯ ⋯~ 155`⋯ ⋯

3155`⋯ ⋯~ 160`⋯ ⋯

20

상대도수

A

0.3

C

D

1합계

E160`⋯ ⋯~ 165`⋯ ⋯ 0.1

⑴ A~E의값을각각구하여라.

⑵ 키가 155 cm 미만인학생수를구하여라. 15명

⑶키가 5번째로큰학생이속하는계급의상대도수를

구하여라. 0.15

⑷키가 155 cm 이상인학생은전체의몇%인지구

하여라. 25 %

04 다음 표는 학생들의 국어 성적을 조사하여 나타낸

상대도수의분포표인데일부가찢어져보이지않는다. 다음을

구하여라.

찢어진상대도수의분포표

국어 성적(점)이상,50 ~ 60미만,

60 ~ 70

70 ~ 80

도수(명)

2 0.04

0.3

상대도수,

=0.25

=0.2=4

=2

=0.15


⑵국어성적이 60점이상 70점미만인학생수 15명

12명

0.2

상대도수의분포표에서특정계급의백분율구하기

˙k _100(%)=(상대도수)_100(%)(그계급의도수)(도수의총합)

A=0.25, B=4, C=0.2, D=0.15, E=2


상대도수의분포를나타낸그래프개념

1 상대도수의분포를나타낸그래프

상대도수의분포를히스토그램이나도수분포다각형모양으로

나타낸그래프


다음표는태풍 20개의최대풍속을조사하여나타낸상대도수의분포표이다. 표를완성하고, 이 표를

도수분포다각형모양으로나타내어라.

1

▶ (상대도수의분포를나타낸그래프와가로축으로둘러싸인부분의넓이)=(계급의크기)

상대도수의분포를히스토그램모양의그래프로나타낸것을살펴보면각직사각형의가로의길이는계급

의크기가되고, 세로의길이는각계급의상대도수가된다. 이때직사각형을세로로이으면그길이의총합

은상대도수의총합과같으므로 1이된다.

(히스토그램모양의그래프에서직사각형의넓이)={(계급의크기)_(상대도수)}의총합

=(계급의크기)_(상대도수의총합)

=(계급의크기)_1=(계급의크기)

이때합동인직각삼각형에의해히스토그램과도수분포다각형의넓이는같다.

따라서상대도수의분포를나타낸도수분포다각형모양의그래프와가로축으로둘러싸인부분의넓이도계

급의크기와같다.


2 상대도수의분포를나타낸그래프를그리는방법

❶ 가로축에각계급의양끝값을차례로표시한다.

❷ 세로축에상대도수를차례로표시한다.

❸ 히스토그램또는도수분포다각형과같은방법으로그린다.

| 참고 | 상대도수의분포를나타낸그래프와가로축으로둘러싸인부분의넓이는계급의크기와같다.

0(계급)

(

상대도수)

(계급값, 상대도수)

017 25 33 41 49 57(m/초)

0.2

0.3

0.4

0.1

(

상대도수)

최대풍속(m/초) 도수(개)

17`이상~ 25`미만 2

425`⋯ ⋯~ 33`⋯ ⋯

833`⋯ ⋯~ 41`⋯ ⋯

541`⋯ ⋯~ 49`⋯ ⋯

20

상대도수

0.1

0.2

0.4

0.25

1합계

149`⋯ ⋯~ 57`⋯ ⋯ 0.05

˙k

<상대도수의분포를나타낸그래프>

대표



01 아래 그림은 학생 20명의 줄넘기 횟수에 대한 상대

도수의 분포를 그래프로 나타낸 것이다. 다음 물음에 답하

여라.

상대도수의분포를나타낸그래프의이해

030 40 50 60 70 80 (회)

0.2

0.3

0.1

(

상대도수)

⑴ 계급의크기를구하여라. 10회

⑵ 계급의개수를구하여라. 5개

⑶ 상대도수가가장큰계급의계급값을구하여라.

⑷ 줄넘기횟수가 40회미만인학생수를구하여라.

⑸ 줄넘기횟수가 60회이상 70회미만인학생은전

체의몇%인지구하여라. 15 %

02 아래 그림은 학생 40명의 멀리뛰기 기록에 대한 상

대도수의 분포를 그래프로 나타낸 것이다. 다음 물음에 답

하여라.

대표

0 160 170 180 190 200 210 220(cm)

0.2

0.3

0.4

0.1

(

상대도수)

⑴ 상대도수가가장작은계급의도수를구하여라.

⑵ 멀리뛰기 기록이 180 cm 이상 200 cm 미만인

학생수를구하여라. 22명

⑶멀리뛰기 기록이 200 cm 이상인 학생은 전체의

몇%인지구하여라. 25 %

03 아래그림은학생 40명의체육실기점수에대한상

대도수의분포를그래프로나타낸것인데일부가찢어져보

이지않는다. 다음을구하여라.

찢어진상대도수의분포를나타낸그래프

(상대도수)

06 7 8 9 10(점)

0.50.4

0.3

0.2

0.1

⑴ 7점이상 8점미만인계급의상대도수 0.4

⑵체육실기점수가 8점미만인학생수 20명

04 아래 그림은 한자 경시 대회에 참가한 학생 60명의

성적에대한상대도수의분포를그래프로나타낸것인데일

부가찢어져보이지않는다. 다음을구하여라.

040 50 60 70 80 90100(점)

0.2

0.3

0.1

(

상대도수)

⑴ 60점이상 70점미만인계급의상대도수 0.25

⑵한자경시대회성적이 60점이상 80점미만인학

생수 24명

상대도수의총합은1임을강조해주세요.Y쌤

55회

5명

2명


도수의총합이다른두집단의비교개념


오른쪽 표는미래중학교 1학년과 2학년의남학생수와여학생수를

조사하여나타낸것이다. 다음을구하여라.

⑴ 1학년의남학생의비율 0.6

⑵ 2학년의남학생의비율 0.75

⑶ 1학년과 2학년중남학생의비율이더높은학년 2학년

1

1 도수의총합이다른두집단의분포비교

도수의총합이다른두자료를비교할때, 상대도수또는상대도수의분포를나타낸그래프를이

용하면편리하다.

⑴도수의총합이다른두자료에대하여어떤계급의비율을비교할때는도수를그대로비교

하지않고상대도수를구하여각계급별로비교한다.

⑵도수의총합이다른두자료의분포상태를비교할때는상대도수의분포를나타낸그래프를

비교하면한눈에두자료의분포상태를쉽게알수있다.

▶도수의총합이다른두자료의비교

⑴ 어떤계급에속한학생의비율을비교할때 ˙k 상대도수비교

오른쪽표에서점수가 80점이상 85점미만인학생의비율은어느반이

더높다고할수있는지알아보자.

˙k전체학생수가다르므로단순히 5와 8을비교하는것은의미가없다.

이때 80점이상 85점미만인계급에서 1반, 2반의상대도수는각각

˙k 1반: ;2∞0;=0.25, 2반: ;4•0;=0.2

˙k따라서점수가 80점이상 85점미만인학생의비율이더높은반은 1반임을알수있다.

⑵두자료의분포상태를비교할때 ˙k 상대도수의분포를나타낸그래프비교

오른쪽그림에서1반과2반중어느반의성적이더좋은편인지알아보자.

˙k 1반의그래프가 2반의그래프보다전체적으로오른쪽에치우쳐있으

므로 1반의성적이 2반의성적보다높다고할수있다.

따라서 1반의성적이더좋은편임을알수있다.


1학년 2학년

남학생수(명) 36 30

여학생수(명) 24 10

(

상대도수)

0 75 80 85 90 95 100(점)

0.3

0.2

0.1

1반,2반,

점수(점)

⋯ ⋯

80`이상~ 85`미만 5⋯ ⋯

⋯

8⋯

합계 20 40

학생수(명)

1반 2반



대표01 아래 표는 어느 중학교 1학년과 2학년 학생들의 미

술 성적을 조사하여 나타낸 상대도수의 분포표이다. 다음

물음에답하여라.

도수의총합이다른두집단의상대도수

미술성적(점)1학년 2학년

도수(명) 상대도수 도수(명) 상대도수

50`이상~ 60`미만 1 2 C

60`⋯ ⋯~ 70`⋯ ⋯ A 0.2 0.2

70`⋯ ⋯~ 80`⋯ ⋯ 5 12 D

80`⋯ ⋯~ 90`⋯ ⋯ B 0.35 E

90`⋯ ⋯~ 100`⋯ ⋯ 3 0.15 0.1

합계 20 1 40 1

⑴ A~E의값을각각구하여라.

⑵ 미술성적이 80점이상인학생의비율은어느학

년이더높은지구하여라. 1학년

02 아래 그림은 어느 중학교 1학년 학생 400명과 2학

년학생 350명의일주일동안의 TV시청시간에대한상

대도수의 분포를 그래프로 나타낸 것이다. 다음 물음에 답

하여라.

도수의총합이다른두집단의분포비교

(

상대도수)

0 1 2 3 4 5 6(시간)

0.3

0.4

0.2

0.1

2학년,1학년,

⑴ 1학년에서도수가가장큰계급의계급값을구하

여라. 2.5시간

⑵ 1학년과 2학년중어느학년이상대적으로TV를

더오래시청하는편인지구하여라. 2학년

03 아래 그림은 어느 중학교 남학생과 여학생의 50 m

달리기기록에대한상대도수의분포를그래프로나타낸것

이다. 다음물음에답하여라.

(

상대도수)

8 98.5 109.5 1110.5 11.5

0.4

0.3

0.1

0

0.2

(초)

남학생,여학생,

⑴여학생중달리기기록이 9.5초이상 10초미만인

학생수가 15명일때, 여학생의전체학생수를구

하여라. 50명

⑵위의 그래프에서 남학생의 그래프와 가로축으로

둘러싸인부분의넓이와, 여학생의그래프와가로

축으로둘러싸인부분의넓이를비교하여라.

04 아래그림은A반과 B반학생들의사회성적에대한

상대도수의 분포를 그래프로 나타낸 것이다. 다음 물음에

답하여라.

대표

그래프가오른쪽으로치우쳐있을수록성적이좋은것임을강조해주세요.

Y쌤

도수의총합이다른두자료에대하여어떤계급의비율을비교할때는상대도수를이용함을강조해주세요.

Y쌤

050 60 70 80 90 100(점)

0.2

0.3

0.4

0.1

(

상대도수)

B반,A반,

⑴ A반, B반에서사회성적이 60점이상 70점미만인

학생이각각 2명, 3명일때, A반, B반의전체학생

수를각각구하여라. A반: 10명, B반: 20명

⑵ A반과 B반에서 사회 성적이 80점 이상인 학생의

비율은어느반이더높은지구하여라. B반

=4

=0.05

=0.3

=0.35=7

A=4, B=7, C=0.05, D=0.3, E=0.35

서로같다.



01 상대도수의분포표의이해오른쪽 표는 어느 중학교 학생 50명의 일

주일 동안의 독서 시간을 조사하여 나타낸

상대도수의 분포표이다. 다음 중 A~E의

값으로옳지않은것은?

① A=5 ② B=0.16

③ C=15 ④ D=0.23

⑤ E=1

독서시간(시간) 도수(명)

0`이상~ 2`미만 A

82`⋯ ⋯~ 4`⋯ ⋯

C4`⋯ ⋯~ 6`⋯ ⋯

136`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯

98`⋯ ⋯~ 10`⋯ ⋯

50

상대도수

0.1

B

0.3

D

0.18

E합계

①(어떤계급의상대도수)

⋯ =

②(어떤계급의도수)⋯ =(도수의총합)⋯ _(그계급의상대도수)

(그계급의도수)(도수의총합)

Y쌤

02 찢어진상대도수의분포표오른쪽 표는 학생들의 100 m 달리기 기록

을조사하여나타낸상대도수의분포표인데

일부가 찢어져 보이지 않는다. 14초 이상

16초미만인계급의상대도수를구하여라.

달리기 기록(초)이상,12 ~ 14미만,

14 ~ 16

16 ~ 18

도수(명)

2 0.08

5

상대도수,도수의총합을구할때는

도수와상대도수를모두알고있는계급을이용한다.˙k (도수의총합)

˙k =(그 계급의도수)


Y쌤

03 상대도수의분포표에서의평균오른쪽 표는 어느 야구 동호회 선수 20명이친 안타

수를 조사하여 나타낸 상대도수의 분포표이다. 선수

들의안타수의평균을구하여라. 17.5개

안타수(개) 상대도수 도수

5

7

6

2

20

0`이상 ~ 10`미만 0.25

0.3510`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

0.320`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯

0.130`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯

1합계

(평균)

=

={(계급값)_(상대도수)}의총합

{(계급값)_(도수)}의총합(도수)의총합

Y쌤

04 상대도수의분포를나타낸그래프의이해

오른쪽 그림은 은주네 학교 학생들의 가족 간의

대화 시간에 대한 상대도수의 분포를 그래프로

나타낸 것이다. 대화 시간이 40분 이상 50분 미

만인학생이 20명일때, 다음물음에답하여라.


⑵ 도수가가장큰계급의학생수를구하여라. 70명

⑶ 대화시간이 70분이상인학생은전체의몇%인지구하여라. 25 %

030 40 50 60 70 80 90 (분)

0.2

0.3

0.1

(

상대도수) ⑵ 각계급의상대도수는

그계급의도수에정비례한다.Y쌤

A=50_0.1=5, B=;5•0;=0.16, C=50_0.3=15, D=;5!0#;=0.26, E=1

(전체학생수)= =25(명) ⋯ ⋯∴ ;2∞5;=0.220.08

(평균)= =;;£2∞0º;;=17.5(개)5_5+15_7+25_6+35_220

⑴ (전체학생수)= =200(명)

⑵ 200_0.35=70(명)⑶ (0.15+0.1)_100=25(%)

200.1

=5

=15

=0.16

=0.26

=1

0.2



06 찢어진상대도수의분포를나타낸그래프

오른쪽 그림은 승혜네 반 학생들의 몸무게에 대한

상대도수의 분포를 그래프로 나타낸 것인데 일부가

찢어져 보이지 않는다. 몸무게가 55 kg 이상

60 kg 미만인 학생이 8명일 때, 몸무게가 45 kg

미만인학생수는?

① 6명 ② 7명 ③ 8명

④ 9명 ⑤ 10명

035 40 45 50 55 60 (kg)

0.2

0.3

0.1(

상대도수)

05 찢어진상대도수의분포를나타낸그래프

오른쪽그림은소연이네반학생 50명의음악성적에

대한 상대도수의 분포를 그래프로 나타낸 것인데 일

부가 찢어져 보이지 않는다. 성적이 70점 이상 80점

미만인학생이 20명일때, 80점이상 90점미만인계

급의상대도수를구하여라. 0.36

(

상대도수)

60 8070 10090

0.4

0.3

0.1

0

0.2

(점)

07 도수의총합이다른두집단의상대도수의비

A반과 B반의전체학생수의비가 3 : 2이고, 어떤계급에속하는학생수의비가

4 : 5일때, 이계급의상대도수의비를가장간단한자연수의비로나타내어라. 8 : 15A, B반의전체학생수를

각각 3a, 2a, 어떤계급의도수를각각 4b, 5b로놓고상대도수의비를구한다. (단, a, b는자연수)

Y쌤

08 도수의총합이다른두집단의분포비교

오른쪽 그림은 A중학교와 B중학교 학생들의

화 관람 횟수에 대한 상대도수의 분포를 그래프로

나타낸것이다. 다음보기중옳은것을모두골라라.

02 4 6 8 10 12(회)

0.2

0.3

0.4

0.1

(

상대도수)

B 중학교,A 중학교,

보`기

ㄱ. B중학교에서도수가가장큰계급은 8회이상 10회미만이다.

ㄴ. A중학교의학생수가 200명일때, 화를 4회이상 6회미만으로본학

생수는 40명이다.

ㄷ. 화관람횟수가 2회이상 6회미만인학생의전체에대한비율은B중

학교가더높다.

도수의총합이다른두집단의분포를비교할때는상대도수의분포를나타낸그래프를이용하는것이편리하다.

Y쌤

(전체학생수)= =40(명)

40 kg이상 45 kg미만인계급의상대도수는 1-(0.1+0.3+0.25+0.2)=0.15∴40_(0.1+0.15)=40_0.25=10(명)

80.2

70점이상80점미만인계급의상대도수는 ;5@0);=0.4

따라서80점이상90점미만인계급의상대도수는 1-(0.14+0.4+0.1)=0.36

A, B두반의전체학생수를각각3a명, 2a명이라하고어떤계급에속하는학생수를각각4b명, 5b명이라하면

이계급의상대도수의비는 : =8 : 155b2a

4b3a

ㄷ. A, B두중학교에서 2회이상6회미만인계급의상대도수의합은A중학교: 0.1+0.2=0.3, ⋯B중학교: 0.05+0.15=0.2따라서전체에대한비율은A중학교가더높다.

ㄱ, ㄴ


적중문제시험에꼭나오는

01 아래 그림은 어느 반 학생들의 통학 시간을 조사하

여나타낸줄기와잎그림이다. 다음 설명 중옳지않은것

은?

통학시간 (0|6은 6분)

줄기 잎

0123

6000

8122

9144

36

56

67

8 9

① 잎이가장많은줄기는 1이다.

② 통학시간이 11분인학생수는 2명이다.

③ 통학시간이 15분미만인학생수는 6명이다.

④ 통학시간이20분이상인학생은전체의 45%이다.

⑤ 통학시간이 4번째로긴학생의통학시간은 27분

이다.

③통학시간이15분미만인학생수는7명이다.

수학성적 (6|3은 63점)

줄기잎(남학생) 잎(여학생)

6789

5200

8525

548

76

97 8

8 68

846

6447

3024

02 다음 그림은 정아네 반 남학생과 여학생의 수학 성

적을 조사하여 나타낸 줄기와 잎 그림이다. 수학 성적이

75점 이하인 학생은 남학생과 여학생 중에 어느 쪽이 몇

명더많은지차례로나열한것은?

남학생6명, 여학생5명이므로남학생이 1명더많다.

03 어떤 도수분포표에서 계급의 크기가 10이고 계급값

이 15인계급에속하는변량 x의값의범위가 a…x<b일

때, a+b의값은?

① 24 ② 26 ③ 28

④ 30 ⑤ 32

15-;;¡2º;;…x<15+;;¡2º;;, 10…x<20⋯ ⋯∴a+b=10+20=30

04 오른쪽표는정민이네

반 학생들이 하루 동안 보낸

문자 메시지의 개수를 조사

하여 나타낸 도수분포표이

다. 다음 설명 중 옳지 않은

것을모두고르면?

(정답 2개)

①계급의개수는 5개이다.

② 도수가가장큰계급은 5개이상 10개미만이다.

③ 도수가 6명인계급의계급값은 17.5개이다.

④ 문자메시지를 15개이상보낸학생은전체의

25 %이다.

⑤ 문자메시지를 5번째로많이보낸학생이속하는

계급은 15개이상 20개미만이다.

②A=30-(2+8+6+3)=11이므로도수가가장큰계급은 10개이상15개미만이다.

④ _100=30(%)6+330

문자메시지(개) 도수(명)

0`이상 ~ 5`미만 2

85`⋯ ⋯~ 10`⋯ ⋯

A10`⋯ ⋯~ 15`⋯ ⋯

615`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

320`⋯ ⋯~ 25`⋯ ⋯

30합계

05 오른쪽 표는 나래네

반 학생들의 사회 성적을

조사하여 나타낸 도수분포

표이다. 나래네 반 학생들

의 사회 성적의 평균을 구

하여라. [5점] 80점

사회성적(점) 도수(명)

50`이상 ~ 60`미만 2

60`⋯ ⋯~ 70`⋯ ⋯

870`⋯ ⋯~ 80`⋯ ⋯

980`⋯ ⋯~ 90`⋯ ⋯

790`⋯ ⋯~ 100`⋯ ⋯

30합계

① 여학생, 1명 ②남학생, 1명

③ 여학생, 2명 ④남학생, 2명

⑤ 남학생, 3명

60점이상70점미만인계급의도수는30-(2+8+9+7)=4(명) ◀1점

∴(평균)= ◀3점

∴(평균)= =80(점) ◀1점240030

55_2+65_4+75_8+85_9+95_730

시험에꼭나오는적중문제 31


09 오른쪽 그림은 승호네

반 학생들의 어 단어 시험

성적을 조사하여 나타낸 도수

분포다각형인데 일부가 찢어

져 보이지 않는다. 성적이

80점 이상인 학생이 전체의

35 %일 때, 성적이 70점 이상 80점 미만인 학생 수를 구

하여라. [6점] 7명

050 60 70 80 90100(점)

(명)

6

8

4

2

06 오른쪽 그림은 형준이

네 반 학생들의 미술 성적을

조사하여 나타낸 히스토그램

이다. 다음 설명 중 옳지 않은

것은?

①도수가 가장 큰 계급의

계급값은 85점이다.

② 전체학생수는 30명이다.

③ 도수가 6명이하인계급의개수는 3개이다.

④ 점수가 가장 낮은 학생이 속하는 계급의 도수는

3명이다.

⑤ 직사각형의넓이의합은 50이다.

⑤ 10_30=300

050 60 70 80 90100(점)

(명)

6

8

10

4

2

07 오른쪽 그림은 성민이

네 반 학생 30명의 윗몸 일으

키기 횟수를 조사하여 나타낸

히스토그램인데 일부가 찢어

져 보이지 않는다. 윗몸 일으

키기 횟수가 40회 이상 50회

미만인학생수를구하여라. 8명

30-(4+5+9+3+1)=8(명)

0 10203040506070(회)

(명)

6810

42

08 오른쪽 그림은 효준이

네반학생들의던지기기록을

조사하여 나타낸 도수분포다

각형이다. 다음 설명 중 옳은

것을모두고르면? (정답 2개)

① 계급의개수는 7개이다.

② 계급의크기는 5 m이다.

③ 도수가 8명인계급의계급값은 22.5 m이다.

④ 던지기 기록이 10 m 이상 15 m 미만인 학생은

전체의 10 %이다.

⑤ 던지기기록이 9번째로좋은학생이속하는계급

은 15 m 이상 20 m 미만이다.

④ ;3£0;_100=10(%)

⑤던지기기록이 9번째로좋은학생이속하는계급은 25 m 이상 30 m 미만이다.

0 10 15 20 25 30 35(m)

(명)

6810

42

[10~11] 오른쪽 표는 찬호

네 반 학생들이 1학기 동안

학교 도서관에서 대여한 책

의 수를 조사하여 나타낸 상

대도수의 분포표이다. 다음

물음에답하여라.

10 대여한 책의 수가 8권 이상인 학생은 전체의 몇 %

인가?

① 30 % ② 35 % ③ 38 %

④ 41 % ⑤ 55 %

(0.25+0.05)_100=30(%)

11 전체 학생 수가 40명일 때, 대여한 책의 수가 4권

이상 6권미만인학생수는?

① 2명 ② 4명 ③ 6명

④ 8명 ⑤ 10명

4권이상6권미만인계급의상대도수는1-(0.1+0.4+0.25+0.05)=0.2이므로이계급의도수는40_0.2=8(명)

책의수(권) 상대도수

2`이상 ~ 4`미만 0.1

0.24`⋯ ⋯~ 6`⋯ ⋯

0.46`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯

0.258`⋯ ⋯~ 10`⋯ ⋯

0.0510`⋯ ⋯~ 12`⋯ ⋯

1합계

성적이70점이상80점미만인학생수를a명이라하면(전체학생수)=1+5+a+4+3=13+a(명) ◀3점

_100=35⋯ ⋯∴a=7 ◀3점713+a



발전문제

14 오른쪽 그림은 우빈

이네 반 학생들의 100 m

달리기기록을조사하여나

타낸 히스토그램이다. 직사

각형의 넓이의 합이 56일

때, a의값을구하여라.

15 오른쪽 표는 세경

이네 반 학생 30명이 가

지고 있는 볼펜의 개수를

조사하여나타낸상대도수

의분포표이다.

A : B=3 : 1일때, 2개

이상 4개 미만인 계급과

6개이상 8개미만인계급의도수를각각구하여라.

16 오른쪽 그림은

어느 반 학생들의 어

성적에 대한 상대도수

의 분포를 그래프로 나

타낸 것인데 일부가 찢

어져 보이지 않는다. 성

적이 80점미만인학생수가 12명이고, 80점미만인학

생수와 90점이상 100점미만인학생수의비가 3 : 2

일 때, 성적이 80점 이상 90점 미만인 학생 수를 구하

여라.

13 아래 그림은 어느 중학교 1학년 학생 180명과 2학

년 학생 200명의 과학 성적에 대한 상대도수의 분포를 그

래프로나타낸것이다. 다음설명중옳지않은것은?

011 13 15 17 19 21(초)

(명)

6

a

7

4

2

볼펜의개수(개) 상대도수

0`이상 ~ 2`미만 0.2

A2`⋯ ⋯~ 4`⋯ ⋯

0.44`⋯ ⋯~ 6`⋯ ⋯

B6`⋯ ⋯~ 8`⋯ ⋯

1합계

(

상대도수)

0 60 70 80 90 100 (점)

0.50.40.30.20.1

(

상대도수)

0 30 40 50 60 70 10080 90 (점)

0.3

0.2

0.1

2학년,

1학년,

① 1학년학생중성적이 40점미만인학생수는 9명

이다.

② 2학년학생중성적이 80점이상인학생수는 40명

이다.

③ 2학년 학생 중 성적이 가장 낮은 학생의 점수는

40점이다.

④ 1학년학생중성적이 90점이상인학생은전체의

10 %이다.

⑤ 1학년과 2학년에서도수가가장큰계급의계급값

은모두 65점이다.

③ 2학년학생중성적이가장낮은학생이속한계급은40점이상50점미만이지만정확한점수는알수없다.

12 다음표는어느반학생들의줄넘기횟수를조사하여

나타낸 상대도수의 분포표인데 일부가 찢어져 보이지 않는

다. 줄넘기 횟수가 30회 이상 40회 미만인 계급의 상대도

수는?

(전체학생수)= =60(명)

∴ ;6ª0;=0.15

30.05

줄넘기 횟수(회)이상,10 ~ 20미만,

20 ~ 30

30 ~ 40

도수(명)

3

5

9

0.05

상대도수,

① 0.05 ② 0.1 ③ 0.15

④ 0.2 ⑤ 0.25

교과서속서술형문제 33

바른답·알찬풀이 13쪽서술형문제교과서속

다음그림은어느동호회회원들의나이에대한상

대도수의 분포를 그래프로 나타낸 것이다. 나이가

20세 이상 40세 미만인 회원이 16명일 때, 나이가 40세

이상 60세미만인회원수를구하여라. [7점]

1

❶ 20세이상 30세미만, 30세이상 40세미만인계급의상대도

수의합은?

20세 이상 30세 미만, 30세 이상 40세 미만인 계급의

상대도수는각각 , 이므로상대도수의합은

+ = ◀ 2점0.320.220.1

0.220.1

❹ 나이가 40세이상 60세미만인회원수는?

40세 이상 50세 미만, 50세 이상 60세 미만인 계급의

상대도수의합은

+ =

따라서나이가 40세이상 60세미만인회원수는

_ = (명) ◀ 2점230.4650

0.460.20.26

❷ 어떤 계급의 상대도수와 도수가 주어질 때, 도수의 총합을 구

하는식은?

(도수의총합)=

❸ 전체회원수는?

(전체회원수)= = (명) ◀ 3점50

(그계급의 )도수

(어떤계급의 )상대도수

010 20 30 40 50 60 70 80(세)

0.2

0.3

0.1

(

상대도수)

다음그림은어느반학생들의일주일동안의라디

오 청취 시간에 대한 상대도수의 분포를 그래프로

나타낸 것이다.청취 시간이 12시간 이상인 학생이 18명일

때, 청취 시간이 3시간 이상 6시간 미만인 학생 수를 구하

여라. [7점]

2

❶ 12시간 이상 15시간 미만, 15시간 이상 18시간 미만인 계급

의상대도수의합은?

❷ 어떤 계급의 상대도수와 도수가 주어질 때, 도수의 총합을 구

하는식은?

❸ 전체학생수는?

❹ 청취시간이 3시간이상 6시간미만인학생수는?

03 6 9 12 15 18(시간)

0.2

0.3

0.4

0.1

(

상대도수)

12시간이상 15시간미만, 15시간이상 18시간미만인계급의상대도수는각각0.25, 0.05이므로상대도수의합은0.25+0.05=0.3 ◀2점

(도수의총합)=(그 계급의도수)


(전체학생수)= =60(명) ◀3점180.3

3시간이상6시간미만인계급의상대도수가0.1이므로청취시간이3시간이상6시간미만인학생수는60_0.1=6(명) ◀2점

0.32

16


서술형문제교과서속

다음그림은어느농구팀이참여한 50회의경기별

득점을 조사하여 나타낸 히스토그램인데 일부가

찢어져 보이지 않는다. 100점 이상 110점 미만을 득점한

경기 수가 전체의 32 %일 때, 110점 이상 120점 미만을

득점한경기수를구하여라. [5점]

4전체학생수의비가 5 : 4인 A중학교와 B중학

교의 학생들을 대상으로 몸무게를 조사하 더니

몸무게가 50 kg 이상 55 kg 미만인학생수의비가 1 : 2

이었다. 이 계급의 상대도수의 비를 가장 간단한 자연수의

비로나타내어라. [6점]

6

12회 2 : 5

A=6, B=0.05, C=1

오른쪽 표는 어느

반 학생들의 멀리

뛰기 기록을 조사하여 나

타낸 도수분포표이다. 멀

리뛰기 기록이 200 cm

미만인 학생이 전체의

30 %일 때, 다음 물음에

답하여라. [총 7점]

⑴ A, B의값을각각구하여라. [6점]

⑵ B-A의값을구하여라. [1점]

3다음 표는 어느 야구팀의 선수들이 한 시즌 동안

친 홈런의 개수를 조사하여 나타낸 상대도수의 분

포표이다. A, B, C의값을각각구하여라. [7점]

5

070 80 90 100110120130(점)

10

15

5

(회)

100점이상110점미만을득점한경기수가전체의 32 %이므로그경기수는50_0.32=16(회) ◀3점따라서110점이상120점미만을득점한경기수는50-(2+7+12+16+1)=12(회) ◀2점

⑴멀리뛰기기록이 200 cm미만인학생수는⋯ 40_0.3=12(명)이므로 ◀2점⋯ 4+A=12⋯ ⋯∴A=8 ◀2점⋯ B=40-(4+8+10+8)=10 ◀2점⑵ B-A=10-8=2 ◀1점

(전체선수수)= =20(명) ◀1점

A=20_0.3=6

B=;2¡0;=0.05

C=1 ◀각2점

40.2

A중학교와 B중학교의전체학생수의비가5 : 4이므로전체학생수를각각5a명, 4a명(a는자연수)이라하고 ◀2점몸무게가 50 kg 이상 55 kg 미만인학생수의비가 1 : 2이므로이계급에속하는학생수를각각b명, 2b명(b는자연수)이라하면 ◀2점이계급의상대도수의비는

: =2 : 5 ◀2점2b4a

b5a

멀리뛰기기록(cm) 도수(명)

180`이상~ 190`미만 4

A190`⋯ ⋯~ 200`⋯ ⋯

10200`⋯ ⋯~ 210`⋯ ⋯

B210`⋯ ⋯~ 220`⋯ ⋯

8220`⋯ ⋯~ 230`⋯ ⋯

40합계

⑴ A=8, B=10 ⑵ 2

홈런의개수(개) 도수(명)

0`이상~ 10`미만 7

A10`⋯ ⋯~ 20`⋯ ⋯

420`⋯ ⋯~ 30`⋯ ⋯

30`⋯ ⋯~ 40`⋯ ⋯

상대도수

0.3

0.2

0.1

C합계

140`⋯ ⋯~ 50`⋯ ⋯ B

36 2. 기본도형

도형의기본요소(점, 선, 면)개념

2-1 점, 선, 면

1 도형

⑴도형을구성하는기본요소: 점, 선, 면

⑵평면도형과입체도형

①평면도형: 한평면위에있는도형

②입체도형: 한평면위에있지않은도형

⑶교점과교선

①교점: 선과선또는선과면이만나서생기는점

②교선: 면과면이만나서생기는선

평면도형 입체도형


오른쪽그림의직육면체를보고, 다음물음에답하여라.

⑴ 평면도형인가? 입체도형인가? 입체도형

⑵ 몇개의면으로둘러싸여있는가? 6개

⑶ 교점의개수를구하여라. 8개

⑷ 교선의개수를구하여라. 12개

1

▶점, 선, 면

평면도형이나입체도형은점, 선, 면으로이루어져있으므로점, 선, 면은

도형의기본요소라할수있다.

선: 점이움직인자리→무수히많은점으로이루어져있음

면: 선이움직인자리→무수히많은선으로이루어져있음

▶입체도형에서의교점과교선

입체도형에서꼭짓점은모서리와모서리또는면과모서리가만나서생기는교점이고, 모서리는면과면이

만나서생기는교선이다.

따라서(교점의개수)=(꼭짓점의개수), (교선의개수)=(모서리의개수)이다.


교점, 교점, 교선(직선) 교선(곡선)

직선일수도있고곡선일수도있다.


2-1. 점, 선, 면 37

01 다음 보기 중 도형의 기본 요소에 대한 설명으로 옳

은것을모두골라라. ㄱ, ㄹ

도형의기본요소

02 오른쪽 그림과 같은 입체도

형에서다음을구하여라.

⑴ 교점

⑵ 교선

A

B

E

F G

H

D

C

점A, 점 B, 점 C, 점D, 점 E, 점 F, 점 G, 점H

AB”, BC”, CD”, DA”, AE”, BF”, CG”, DH”, EF”, FG”, GH”, HE”

06 오른쪽 그림과 같은 입체도형

에서 교점의 개수를 a개, 교선의 개

수를 b개라 할 때, b-a의 값을 구

하여라. 3

보`기

ㄱ. 면은무수히많은선으로이루어져있다.

ㄴ. 선과면이만나면교선이생긴다.

ㄷ. 교점은선과선이만날때만생긴다.

ㄹ. 면과면이만나서생기는선을교선이라한다.

03 오른쪽 그림과 같은 삼각기둥에서

다음을구하여라.

⑴ 면의개수 5개

⑵ 교점의개수 6개

⑶ 교선의개수 9개

교점, 교선의개수

04 오른쪽 그림과 같은 사각뿔에

서교점과교선의개수를차례로구하

여라. 교점: 5개, 교선: 8개

대표

입체도형에서(교점의개수)=(꼭짓점의개수), (교선의개수)=(모서리의개수)임을강조해주세요.

Y쌤

05 오른쪽 그림과 같은 입체도형에서

교점의 개수를 a개, 교선의 개수를 b개라

할때, a+b의값은?

① 5 ② 10

③ 15 ④ 20

⑤ 25

대표

38 2. 기본도형

직선, 반직선, 선분개념

1 직선, 반직선, 선분

⑴직선AB: 두점A, B를지나양쪽으로한없이곧게뻗은선

˙k 기호 ABÍ

⑵반직선AB: 점A에서시작하여점 B 방향으로한없이곧게뻗은선

˙k 기호 AB≥

⑶선분AB: 점A에서점B까지만연결한직선의일부분

˙k 기호 AB”

▶직선AB

⑴

▶선분AB

⑴

▶반직선AB

⑴

⑴반직선은시작점과뻗어나가는방향

이모두같아야같은반직선이다.



다음기호를주어진그림위에나타내고, 안에= 또는+ 중에서알맞은것을써넣어라.

⑴ ⋯

ABÍ BCÍ

⑵ ⋯

AB≥ BC≥

⑶ ⋯

AB” BA”

A B CA B C

A B CA B C

A B CA B C

1

˙k AB Í BC Í=

˙k AB≥ BC≥+

˙k AB” BA”=

A B

AB

A B

AB

A B

AB

2 직선의결정조건

⑴한점을지나는직선은무수히많다.

⑵서로다른두점을지나는직선은오직하나뿐이다. 서로다른두점은하나의직선을결정한다.

대표


2-1. 점, 선, 면 39

01 아래 그림과 같이 직선 l 위에 네 점 A, B, C, D

가있을때, 다음중옳지않은것은?

직선, 반직선, 선분

A B C Dl

① AB”=BA” ② AB Í=BC Í

③ BC≥=BD≥ ④ ACÍ=BDÍ

⑤ AC≥=CA≥

반직선은시작점과뻗어나가는방향이모두같아야같은반직선임을강조해주세요.

Y쌤

02 아래그림과같이직선 l 위에네점 P, Q, R, S가

있을때, 다음중 QS≥와같은것은?

P Q R Sl

① PR≥ ② QP≥

③ QR≥ ④ RS≥

⑤ SQ≥

03 오른쪽그림과같이직선 l

위에 세 점 A, B, C가 있다. 다

음 보기 중 서로 같은 것을 나타

내는것끼리짝지어라.

보`기

AB Í, AC”, AC≥, CB”, BC Í, AB”, BC”, AB≥

A

B

C

l

AB Í와 BCÍ, AC≥와 AB≥, CB”와 BC”

직선, 반직선, 선분의개수

04 오른쪽 그림과 같이 한 직선

위에 있지 않은 세 점 A, B, C가

있다. 다음을구하여라.

A

B

C

⑴ 두점을지나는직선의개수 3개

⑵ 두점을지나는반직선의개수 6개

⑶ 두점을지나는선분의개수 3개

두점A, B에대하여 AB Í=BA Í, AB”=BA”이지만

AB≥+BA≥이므로다음이성립한다.

① (직선의개수)=(선분의개수)

② (반직선의개수)=2_(직선의개수)

대표05 오른쪽 그림과 같이 어느 세

점도한직선위에있지않은네점

A, B, C, D 중두점을이어서만

들 수 있는 직선의 개수, 반직선의

개수, 선분의 개수를차례로구하여

라. 직선의개수: 6개, 반직선의개수: 12개, 선분의개수: 6개

A

B C

D

40 2. 기본도형

두점사이의거리개념


오른쪽그림에서다음을구하여라.

⑴ 두점 A, B 사이의거리 10 cm

⑵ 두점 B, D 사이의거리 6 cm

1

1 두점사이의거리

⑴두점A, B 사이의거리

두점A, B를양끝점으로갖는선중에서길이가가장짧은

선인선분AB의길이

| 참고 | ①선분AB의길이가 2 cm일때, AB”=2 cm와같이나타낸다.

②두선분AB와CD의길이가같을때, AB”=CD”와같이나타낸다.

⑵선분AB의중점

선분AB 위의점으로양끝점에서같은거리에있는점M

즉, A’M”=MÚB”=;2!;AB”

A B

두 점 A, B 사이의 거리,

A M B

선분 AB의 중점,

▶두점사이의거리 ▶선분의중점개념다시보기 가장짧은선인선분의길이와같다. 한가운데점

오른쪽 그림에서 점 M이 선분 AB의 중점일 때, 안에 알맞은 수

를써넣어라.

⑴ A’M”=4 cm일때, MÚB”= cm

⑵ AB”=12 cm일때, A’M”= cm6

4

2 A M B

A B

8 cm 6 cm

10 cm

9 cm 4 cm

C

D

선분AB의길이를이등분한다.

2-1. 점, 선, 면 41


대표02 아래 그림에서 AB”=BN”=NC”이고 점 M은 AB”

의중점일때, 다음중옳지않은것은?

선분의중점

A B NM C

① AB”=2A’M” ② AC”=3AB”

③ BN”=;3!;AC” ④ AN”=3A’M”

⑤ BC”=;3@;AC”

두점M, N이선분AB의삼등분점이면

˙k A’M”=MÚN”=NB”=;3!;AB”A M N B

01 아래그림에서두점 B, C가AD”의삼등분점일때,

다음중옳지않은것은?

A B C D

① AB”=;3!;AD” ② AC”=;3@;AD”

③ AC”=2BC” ④ BD”=2CD”

⑤ BD”=;3!;AD”

A M

7 cm

N CB

AB”의중점이M이므로 ˙k A’M”=MÚB”

BC”의중점이N이므로 ˙k BN”=NC”

④ AN”=4A’M”

⑤ BD”=;3@;AD”

두점B, N은AC”의삼등분점임을알려주세요.Y쌤

03 아래 그림에서 점 M은 AB”의 중점이고 점 N은

MÚB”의중점이다. AB”=32 cm일때, 다음을구하여라.

두점사이의거리

A M

32 cm

N B

⑴ MÚN”의길이 8 cm

⑵ AN”의길이 24 cm

04 다음 그림에서 두 점 M, N은 각각 AB”, BC”의 중

점이다. MÚN”=7 cm일때, AC”의길이는?

대표

① 12 cm ② 14 cm

③ 16 cm ④ 18 cm

⑤ 20 cm

AC”=2MÚN”임을설명해주세요.Y쌤

42 2. 기본도형

01 직선, 반직선, 선분다음중옳지않은것은?

① 한점을지나는직선은무수히많다.

② 한직선위에있는점은무수히많다.

③ 출발점이같은반직선은모두같다.

④ 두점을잇는선중에서길이가가장짧은것은선분이다.

⑤ 서로다른두점을지나는직선은오직하나뿐이다.

바른답·알찬풀이 16쪽핵심문제실력을다지는

③출발점이같아도뻗어나가는방향이다르면같은반직선이아니다.

02 직선, 반직선, 선분오른쪽 그림과 같이 직선 l 위에 네 점 A, B, C, D가

있다. 다음중옳지않은것을모두고르면? (정답 2개)

① DA≥=CA≥ ② BC”=CB” ③ AD≥=AC≥

④ AB Í=BC Í ⑤ BA≥=BD≥

A B C Dl

반직선은시작점과뻗어나가는방향이모두같아야같은반직선이다.

Y쌤

04 선분의중점오른쪽그림에서점M은AB”의중점이고점N은A’M”

의중점이다. 다음중옳은것은?

① A’M”=;2!;N’M” ② AB”=4MÚB” ③ AN”=;3!;AB”

④ NB”=2A’M” ⑤ MÚB”=2AN”

A N M B점M이선분AB의중점

이면

˙k A’M”=MÚB”=;2!;AB”

Y쌤

05 선분의삼등분점오른쪽그림에서두점M, N이AB”의삼등분점이고,

AN”=8 cm일때, AB”의길이를구하여라. 12 cm

8 cm

A M N B

MÚC”=;2!;AC”, CN”=;2!;CB”⋯ ⋯∴MÚN”=MÚC”+CN”=;2!;AC”+;2!;CB”=;2!;(AC”+CB”)=;2!;AB”=9(cm)

06 두점사이의거리오른쪽그림에서두점M, N은각각 AC”, CB”의중

점이고, AB”=18 cm일때, MÚN”의길이를구하여라. A NCM B

18 cm

두점M, N이선분AB의삼등분점이면

˙k A’M”=MÚN”=NB”=;3!;AB”

Y쌤

03 직선, 반직선, 선분의개수오른쪽 그림과 같이 직선 l 위에 네 점 A, B, C, D가

있다. 두 점을 이어서 만들 수 있는 직선의 개수를 a개,

반직선의개수를 b개라할때, a+b의값을구하여라. 7

A Dl

B C

① A’M”=2N’M”⋯ ⋯② AB”=2MÚB”⋯ ⋯③ AN”=;4!;AB”⋯ ⋯

④ NB”=N’M”+MÚB”=;2!;A’M”+A’M”=;2#;A’M”

A’M”=;3!;AB”, A’M”=;2!;AN”=4(cm)⋯ ⋯∴AB”=3A’M”=3_4=12(cm)

직선은직선 l의1개이므로a=1반직선은 AB≥, BC≥, CD≥, BA≥, CB≥, DC≥의6개이므로b=6⋯ ⋯∴a+b=7

9 cm

2-2. 각 43

각개념


오른쪽그림에서∠a, ∠b, ∠c를A, B, C를사용하여나타내어라.1

1 각

⑴각AOB: 한점O에서시작하는두반직선OA와OB로

이루어진도형 ˙k 기호∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a

⑵각AOB의크기: 꼭짓점O를중심으로OA≥가 OB≥까지

회전한양

∠AOB의크기가 60˘일때, ∠AOB=60˘와같이나타낸다.

AO

B

a

각의 변,각의 꼭짓점,

각의 크기,

각의 변,

▶각 ▶각의분류개념다시보기

aA

BC

cb

다음각을평각, 직각, 예각, 둔각으로분류하여라.

⑴ 90˘ 직각 ⑵ 86˘ 예각 ⑶ 180˘ 평각

⑷ 112˘ 둔각 ⑸ 150˘ 둔각 ⑹ 45˘ 예각

2

∠a=∠BAC=∠CAB, ∠b=∠ABC=∠CBA, ∠c=∠ACB=∠BCA

2 각의분류

⑴평각(180˘): 각의두변이한직선을이루는각

⑵직각(90˘): 평각의크기의 ;2!;인각

⑶예각: 크기가 0˘보다크고 90˘보다작은각

⑷둔각: 크기가 90˘보다크고 180˘보다작은각

0˘<(예각)<90˘ 90˘<(둔각)<180˘

(평각)=180˘ (직각)=90˘

꼭짓점을항상가운데에나타낸다.

2-2 각

대표

44 2. 기본도형


01 오른쪽 그림에서 다음 각을

평각, 직각, 예각, 둔각으로 분류하

여라.

각의분류

BOA

C D

⑴∠AOB 평각 ⑵∠DOB 예각

⑶∠AOD 둔각 ⑷∠BOC 직각

02 다음중둔각을모두골라라. 94˘, 105˘

0˘, ⋯ ⋯94˘, ⋯ ⋯90˘, ⋯ ⋯105˘, ⋯ ⋯69˘, ⋯ ⋯180˘,

05 오른쪽그림에서

∠AOC=∠COD이고

∠DOE=∠EOB일때,

∠COE의크기를구하여라. 90˘

각의등분

A

CD

E

O B

06 오른쪽 그림에서 ∠BOC의

크기가 ∠AOB의 크기의 3배일

때, ∠AOB, ∠BOC의 크기를

각각구하여라. ∠AOB=45˘, ∠BOC=135˘

C

B

O A


∠x : ∠y : ∠z=2 : 4 : 3일

때, ∠y의크기를구하여라. 80˘

각의크기의비

xy

z

다음그림에서∠x :∠y :∠z=a : b : c일때,

① ∠x=180˘_

② ∠y=180˘_

③ ∠z=180˘_ ca+b+c

ba+b+c

aa+b+c

xy

z

03 다음그림에서∠x의크기를구하여라.

⑴ ⑵

50˘x70˘x110˘ 40˘

대표04 오른쪽 그림에서 ∠x의 크

기를구하여라. 20˘

각의크기

2x+30˘x

평각의크기를이용함을강조해주세요.Y쌤

평각의크기는 180˘, 직각의크기는 90˘임을이용하여각의크기를구할수있도록설명해주세요.

Y쌤

2-2. 각 45

맞꼭지각개념


오른쪽그림에서다음각의맞꼭지각을구하여라.

⑴ ∠AOC ∠BOD ⑵ ∠FOD ∠EOC

⑶ ∠COB ∠DOA ⑷ ∠EOD ∠FOC

1

▶맞꼭지각

마주보는각이라해서항상맞꼭지각이되는것은아니다.

예를들어오른쪽그림에서∠a와∠c, ∠b와∠d는맞꼭지각이아니다.

˙k 반드시두직선이만나서생기는교각중에서마주보는각이어야맞꼭지각이다.

▶맞꼭지각의성질

평각의크기가 180˘임을이용하여맞꼭지각의크기가서로같음을확인해보자.

오른쪽그림에서

∠a+∠b=180˘, ∠b+∠c=180˘

이므로

∠a=180˘-∠b, ∠c=180˘-∠b⋯ ⋯

∴∠a=∠c

마찬가지로

∠a+∠b=180˘, ∠a+∠d=180˘

이므로

∠b=180˘-∠a, ∠d=180˘-∠a⋯ ⋯

∴∠b=∠d


1 맞꼭지각

⑴교각: 두직선이한점에서만날때생기는네개의각

˙k∠a, ∠b, ∠c, ∠d

⑵맞꼭지각: 두직선이한점에서만날때, 서로마주보는두각

˙k∠a와∠c, ∠b와∠d

⑶맞꼭지각의성질: 맞꼭지각의크기는서로같다.

˙k∠a=∠c, ∠b=∠d

| 참고 | 평각은서로다른두직선이한점에서만나서이루어지는각이아니므로맞꼭지각에서제외한다.

맞꼭지각,

a

cb d 맞꼭지각,

O

F

A B

D

EC

a

cb d

180˘a

cb d

46 2. 기본도형


05 다음그림에서∠x, ∠y의크기를각각구하여라.

⑴ ⑵

65˘

150˘

x

y40˘x2y


⑴ ⑵3x+20˘ 2x+25˘

2x

120˘

맞꼭지각의성질`⑴

60˘

5˘


⑴ ⑵135˘

75˘ x55˘

x145˘ 60˘


⑴ ⑵35˘

x

60˘ 40˘

x

맞꼭지각의성질`⑵

80˘ 55˘

맞꼭지각의성질을이용함을알려주세요.Y쌤

대표06 오른쪽 그림에서 ∠x+∠y

의값은?

① 70˘ ② 75˘

③ 80˘ ④ 85˘

⑤ 90˘

5x-25˘

3x+35˘y

∠x=40˘, ∠y=70˘ ∠x=85˘, ∠y=30˘

대표04 오른쪽 그림에서 ∠x의 크

기는?

① 20˘ ② 25˘

③ 30˘ ④ 35˘

⑤ 40˘

2x+80˘

3x-20˘

x

맞꼭지각의성질과평각의크기를이용함을알려주세요.Y쌤

2-2. 각 47

수직과수선개념


오른쪽그림에서∠AOC=90˘일때, 다음 안에알맞은것을써넣어라.

⑴ ABÍ CD Í

⑵ ABÍ의수선은 이다.

⑶ 점C에서 AB Í에내린수선의발은점 이다.

⑷ AO”=BO”일때, CD Í는 ABÍ의 이다.수직이등분선

O

CDÍ

⊥

1

1 수직과수선

⑴직교: 두직선AB와 CD의교각이직각일때, 이두직선은서로

직교한다고한다. k 기호 AB Í⊥CDÍ

⑵수직과 수선: 두직선이서로직교할때, 두직선은서로수직이라

하고한직선을다른직선의수선이라한다.

⑶수직이등분선: 선분 AB의중점M을지나고선분 AB에수직인

직선CD를선분AB의수직이등분선이라한다.

⋯ ˙k ABÍ⊥CDÍ, A’M”=B’M”=;2!;AB”

BM

D

C

A

AB⊥CD

▶직교하는두직선개념다시보기 ▶점과직선사이의거리

직각으로만난다. ˙k 직교한다.

B

D

C

A O

2 점과직선사이의거리

⑴수선의 발: 직선 l 위에있지않은한점P에서직선 l에그은수

선과직선 l의교점H

⑵점과직선사이의거리: 점P에서직선 l에내린수선의발H까지

의거리 ˙k PH”의길이 l

P

H

점 P와 직선 l사이의 거리,

수선의 발,

48 2. 기본도형


01 오른쪽 그림과 같은 사다리

꼴 ABCD에서 다음 선분과 직교

하는 선분을 모두 찾아 기호 ⊥를

사용하여나타내어라.

⑴ AD” AD”⊥AB”

⑵ AB” AB”⊥AD”, AB”⊥BC”

수직과수선

B

A

C

D

대표05 오른쪽 그림과 같은 삼

각형 ABC에서 점 A와 BC Í

사이의거리는?

① 4 cm ② 5 cm

③ 6 cm ④ 7 cm

⑤ 8 cm

A

B HC

6 cm5 cm

8 cm

4 cm

점A와직선 BC사이의거리는점A에서직선BC에내린수선의발H까지의거리, 즉AH”의길이임을강조해주세요.

Y쌤

04 오른쪽 그림을 보고, 다음을

구하여라.

10 cm

8 cm

7 cm

6 cm

B C

A D

⑴점C에서 AB”에내린수선의발 점 B

⑵점C와 AB” 사이의거리 8 cm

⑴점A에서 BC”에내린수선의발 점H

⑵점A와 BC” 사이의거리 5 cm

03 오른쪽 그림을 보고, 다음

을구하여라.

B H

A

5 cm6 cm 8 cm

C

02 오른쪽 그림과 같이 직선 AB

와직선 CD가서로직교하고

AH”=BH”일 때, 다음 중 옳지 않은

것은?

① AB”⊥CD”

② AH”=;2!;AB”

③∠BHD=90˘

④ AB”는 CD”의수선이다.

⑤ AB”는 CD”의수직이등분선이다.

B

D

C

A H

점과직선사이의거리

2-2. 각 49


01 각의크기다음그림에서∠x의크기를구하여라.

⑴ ⑵

2x-30˘

x

70˘2x-10˘

x-15˘ 45˘

40˘

02 각의등분오른쪽그림에서∠AOC=2∠COD,

∠EOB=2∠DOE일때, ∠COE의크기를구하여라.

BOA

CD

E60˘

04 맞꼭지각의성질오른쪽그림에서∠y-∠x의값을구하여라. 30˘

x+30˘60˘

y

2y

03 각의크기의비오른쪽 그림에서 ∠x :∠y :∠z=3 : 2 : 7일 때, ∠z의

크기를구하여라. 105˘

xy

z

05 맞꼭지각의쌍의개수오른쪽그림과같이세직선이한점 O에서만날때생기는

맞꼭지각은모두몇쌍인가?

① 3쌍 ② 4쌍 ③ 5쌍

④ 6쌍 ⑤ 7쌍

D

F

B

A

C

E

O

n개의서로다른직선이한점에서만날때생기는맞꼭지각의쌍의개수는 n(n-1)쌍이다.

Y쌤

06 점과직선사이의거리오른쪽 그림과 같은사다리꼴 ABCD에대한다음설

명중옳지않은것은?

① AD”와직교하는선분은 CD”이다.

② BC”는 CD”의수선이다.

③ CD”와수직으로만나는선분은 AD”와 BC”이다.

④ 점A와 BC” 사이의거리는 5 cm이다.

⑤ 점B에서 CD”에내린수선의발은점C이다.

B C

D

7 cm

3 cm

3 cm

5 cmA

2∠a+∠a+∠b+2∠b=3(∠a+∠b)=180˘, ∠a+∠b=60˘∴∠COE=∠COD+∠DOE=∠a+∠b=60˘

∠y+60˘=2∠y⋯ ⋯∴∠y=60˘(∠x+30˘)+2∠y=180˘⋯ ⋯∴∠x=30˘∴∠y-∠x=60˘-30˘=30˘

∠AOC와∠BOD, ∠AOD와∠BOC, ∠AOE와∠BOF, ∠AOF와∠BOE, ∠COF와∠DOE, ∠COE와∠DOF의6쌍이다.

⋯ 70˘+(2∠x-10˘)+(∠x-15˘)=180˘3∠x+45˘=180˘, 3∠x=135˘∴∠x=45˘

⋯ (2∠x-30˘)+∠x=90˘3∠x-30˘=90˘, 3∠x=120˘ ⋯ ⋯∴∠x=40˘

④점A에서 BC”에내린수선의발을H라하면점A와 BC”사이의거리는 AH”의길이와같으므로 AH”=CD”=3 cm

∠z=180˘_ =180˘_;1¶2;=105˘73+2+7

∠x :∠y :∠z=a : b : c일때

⋯ ①∠x=180˘_

⋯ ②∠y=180˘_

⋯ ③∠z=180˘_ ca+b+c

ba+b+c

aa+b+c

Y쌤

∠COD=∠a, ∠DOE=∠b라놓고주어진조건과평각의크기를이용한다.

Y쌤

50 2. 기본도형

동위각과엇각개념

1 동위각과엇각

한평면위에서서로다른두직선 l, m이다른한직선 n과만나서

생기는 8개의각중에서

⑴동위각: 같은위치에있는각

˙k∠a와∠e, ∠b와∠f, ∠c와∠g, ∠d와∠h

⑵엇각: 엇갈린위치에있는각

˙k∠b와∠h, ∠c와∠e

| 참고 | 서로다른두직선이다른한직선과만날때, 4쌍의동위각과 2쌍의엇각이생긴다.

| 주의 | 엇각은두직선 l, m 사이의각에대하여정의하므로∠a와∠g, ∠d와∠f는엇각이아니다.


다음그림과같이서로다른두직선이다른한직선과만날때, ∠a~∠d의동위각, 엇각을각각찾

아서그림에표시하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

dc

a

b

1

▶동위각 ▶엇각개념다시보기

a

b

e

f gh

cd

m

n

l

2-3 평행선의성질

∠a의엇각은없다.

∠d의엇각은없다.

2-3. 평행선의성질 51


대표01 오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m이다른한직선 n과만날때,

다음을구하여라.

⑴∠a의동위각 ∠e

⑵∠d의동위각 ∠h

⑶∠c의엇각 ∠e

⑷∠f의엇각 ∠d

동위각과엇각

대표03 오른쪽 그림과 같이 두 직

선 l, m이 다른 한 직선 n과 만

날때, 다음을구하여라.

⑴∠b의동위각의크기 80˘

⑵∠c의동위각의크기 100˘

⑶∠d의엇각의크기 70˘

⑷∠f의엇각의크기 110˘

동위각과엇각의크기

a b

c

d

n

l

me

f

70˘

80˘

04 다음 중 오른쪽 그림에서

∠b의동위각과∠d의엇각의크

기를차례로구한것은?

① 85˘, 95˘

② 85˘, 100˘

③ 95˘, 85˘

④ 95˘, 95˘

⑤ 95˘, 100˘

m

l

n

a b

c

d

e f

100˘

85˘

02 오른쪽 그림을 보고, 다음

보기 중 동위각과 엇각을 바르게

짝지은것을모두골라라. ㄱ, ㄹ

a

b

e

f gh

c

d

n

m

l

a

b

e

fgh

c

d n

l m

엇각은안쪽의엇갈린위치에있는각임을강조해주세요.Y쌤

보`기

<동위각> <엇각>

ㄱ. ∠a와∠e, ∠b와∠h

ㄴ. ∠b와∠d, ∠c와∠e

ㄷ. ∠g와∠c, ∠f와∠d

ㄹ. ∠h와∠d, ∠h와∠b

동위각끼리크기가항상같다고생각하지않도록주의시켜주세요.

Y쌤

52 2. 기본도형

평행선의성질개념

1 평행선의성질

⑴평행: 한평면위의두직선 l, m이만나지않을때, 두직선 l, m을평행

하다고한다. k 기호 l m

⑵평행선의성질

한쌍의평행선과다른한직선이만날때

①동위각의크기는서로같다. k l m이면∠a=∠b

②엇각의크기는서로같다. k l m이면∠c=∠d

| 주의 | 맞꼭지각의크기는언제나같지만동위각, 엇각의크기는두직선이

평행할때만같다.


다음그림에서두직선 l, m이평행한것은 `표, 평행하지않은것은×`표를하여라.

⑴ ⑵ ⑶

m

l50˘

140˘m

l120˘

60˘m

l50˘

50˘

1

평행선에서엇각의크기가같음을확인해보자.

오른쪽그림에서 l m이면

∠a와∠b는동위각이므로⋯ ⋯∠a=∠b

∠c와∠b는맞꼭지각이므로⋯ ⋯∠c=∠b⋯ ⋯

∴∠a=∠c


2 평행선이되기위한조건

서로다른두직선 l, m이다른한직선과만날때,

⑴동위각의크기가같으면두직선 l, m은평행하다.

˙k∠a=∠b이면 l m

⑵엇각의크기가같으면두직선 l, m은평행하다.

˙k∠c=∠d이면 l m

m

an n

cdb

l

m

l

m

l

bc

a

ml//m

l평행선,

m

an n

cdb

l

m

l

( ) ( ) ( )×



대표02 오른쪽 그림에서 l m일

때, ∠x의크기를구하여라. 45˘ x

m

l

x+90˘

두직선이평행하면동측내각의크기의합은180˘이다.˙k그림에서∠a+∠b=180˘이고,

l m이므로∠a=∠d (엇각) ⋯ ⋯∴∠b+∠d=180˘마찬가지로∠a+∠c=180˘

Y쌤

01 다음그림에서 l m일때, ∠x의크기를구하여라.

⑴ ⑵

xm

l55˘x

m

l

45˘

125˘

04 오른쪽 그림에서 l m일

때, ∠x의크기를구하여라. 50˘

대표

m

x

l75˘

125˘


⑴ ⑵

75˘

40˘

mx

lx

m

l80˘

40˘

60˘ 115˘

대표06 오른쪽 그림에서 l m일


25˘

65˘

x

m

l

오른쪽그림과같이꺾인점을지나

고 주어진 두 직선 l, m에 평행한

직선 n을 그은 후, 동위각, 엇각의

크기가각각같음을이용한다.

˙k ∠x=∠a+∠b


평행선에서각의크기 평행선의활용-보조선

⑴ ⑵

m

l45˘

40˘x

20˘

60˘ m

l

x

80˘ 85˘

m

n

la

b

xab

대표07 오른쪽 그림과 같이 직사

각형 모양의 종이를 접었을 때,

∠x의크기를구하여라. 35˘

평행선의활용-종이접기

110˘x

직사각형모양의종이를접었을때, 접은각의크기는엇각의

크기와같다.

평각의크기를이용함을알려주세요.Y쌤

54 2. 기본도형


01 동위각다음중오른쪽그림에서동위각끼리짝지어진것은?

① ∠a와∠f ② ∠b와∠h ③ ∠c와∠e

④ ∠d와∠h ⑤ ∠e와∠b

la

e

f g

h

b c

d

m

Y쌤

02 엇각다음중오른쪽그림에서∠c와엇각인것을모두고른것은?

① ∠e, ∠i ② ∠e, ∠j ③ ∠h, ∠i

④ ∠h, ∠j ⑤ ∠g, ∠i

a

e

f gh

ijk

l

bcd Y쌤

03 동위각과엇각오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m이 다른 한 직선과 만날

때, 다음중옳지않은것은?

① ∠c와∠f는동위각이다.

② ∠b와∠d는엇각이다.

③ ∠f의동위각의크기는 85˘이다.

④ ∠a의동위각의크기는 105˘이다.

⑤ ∠d의엇각의크기는 75˘이다.

95˘

75˘

l

m

a

e

f

b

c

d

동위각, 엇각의크기는두직선이평행할때만같다.Y쌤

04 평행선에서각의크기오른쪽그림에서 l m일때, ∠x+∠y의값을구하여라.65˘

50˘

l

x

y

m

05 평행선의활용-삼각형오른쪽그림에서 l m일때, ∠x의크기를구하여라. 30˘

80˘

70˘

x

l

m

삼각형의세각의크기의합은180˘임을이용한다.Y쌤

직선을분리하면오른쪽그림과같다.⁄ [그림1]에서∠c의엇각은∠e이다.¤ [그림2]에서∠c의엇각은∠i이다.

[그림1] [그림2]

③ ∠f의동위각은∠c이고95˘+∠c=180˘⋯ ⋯∴∠c=85˘④∠a의동위각은∠e이고∠e+75˘=180˘⋯ ⋯∴∠e=105˘⑤∠d의엇각은∠b이므로∠b=95˘ (맞꼭지각)

∠y=50˘ (엇각)∠x=65˘+∠y=65˘+50˘=115˘∴∠x+∠y=115˘+50˘=165˘

∠x+80˘+70˘=180˘∴∠x=30˘

165˘



06 평행선의활용-보조선 1개오른쪽그림에서 l m일때, ∠x의크기를구하여라. 34˘

58˘x-12˘

m

l

꺾인점이 2개이므로두직선 l, m과평행한보조선 2개를그어평행선의성질을이용한다.

Y쌤

07 평행선의활용-보조선 2개다음그림에서 l m일때, ∠x의크기를구하여라.

⑴ ⑵ 30˘

148˘

22˘x

m

l150˘

60˘

30˘

x

m

l

60˘ 84˘

08 평행선의활용-종이접기오른쪽그림과같이직사각형모양의종이를접었을때,

∠y-∠x의값을구하여라. 90˘150˘

xy Y쌤

09 평행선이되기위한조건다음중두직선 l, m이서로평행한것을모두고르면? (정답 2개)

① ② ③

④ ⑤ 55˘

45˘m

l75˘

95˘m

l

100˘80˘ m

l

35˘

150˘

m

l

m

l60˘

120˘

10 평행선이되기위한조건오른쪽그림에서두직선 l, m이평행하기위한∠x의


3x+20˘

x

ml

34˘+(∠x-12˘)=58˘∠x+22˘=58˘∴∠x=36˘

∠x=30˘+30˘=60˘ ∠x=22˘+62˘=84˘

∠x=30˘ (엇각)∠x+∠y+30˘=180˘⋯ ⋯∴∠y=120˘∴∠y-∠x=120˘-30˘=90˘

∠x+(3∠x+20˘)=180˘4∠x=160˘⋯ ⋯∴∠x=40˘

36˘

서로다른두직선 l, m이다른한직선과만날때, ①동위각의크기가같으면두직선 l, m은평행하다.

②엇각의크기가같으면두직선l, m은평행하다.

Y쌤

56 2. 기본도형

평면에서두직선의위치관계개념

1 점과직선의위치관계

⑴점A는직선 l 위에있다.

⑵점B는직선 l 위에있지않다.


오른쪽그림에서다음을모두구하여라.

⑴ 직선 l 위에있는점 점A, 점D

⑵ 직선 l 위에있지않은점 점 B, 점 C

1 B

D

CA

l

▶평면에서두직선의위치관계


① ADÍ와만나는직선: ABÍ, DCÍ

② ADÍ와평행한직선: BC Í

개념예로보기

2 평면에서두직선의위치관계

직선 l이점A를지난다.

직선 l이점 B를지나지않는다.점 B가직선 l 밖에있다.

| 참고 | 평면이하나로결정되는조건은다음의 4가지가있다.

①한직선위에있지않은서로다른세점

②한직선과그직선밖의한점

③한점에서만나는두직선

④서로평행한두직선

①한점에서만난다. ②일치한다. (l=m) ③평행하다. (l m)

⋯ ⋯ ⋯

m

ll, m

m

l교점이 1개 만나지않는다.두 직선을 하나의

직선으로생각한다.

2-4 점, 직선, 평면의위치관계

A

B

l

2-4. 점, 직선, 평면의위치관계 57


대표02 다음 보기 중 오른쪽 그림

에대한설명으로옳은것을모두

골라라. ㄴ, ㄹ

l

mB

D C

A

보`기

ㄱ. 점A는직선 l 위에있다.

ㄴ. 직선 l은점B를지난다.

ㄷ. 점C는직선 m 위에있지않다.

ㄹ. 직선 l과직선m의교점은점D이다.

점과직선의위치관계①점이직선위에있다. →직선이점을지난다. ②점이직선위에있지않다. →직선이점을지나지않는다.

Y쌤

01 오른쪽그림에서다음을모

두구하여라.

m

l

B

D

C

A

⑴ 직선 l 위에있는점 점 B, 점 C

⑵ 직선 m 위에있는점 점 B, 점D

⑶ 두직선 l, m 위에동시에있는점 점 B

대표04 아래 그림의 사다리꼴 ABCD에 대하여 다음 보기

중옳은것을모두골라라. ㄴ, ㄷ, ㄹ

A D

B C

보`기

ㄱ. AB” CD” ㄴ. AD” BC”

ㄷ. BC”⊥CD” ㄹ. AD”⊥CD”

03 오른쪽 그림의 정육각형에서 다

음을구하여라.

A

D

B F

C E

⑴ ABÍ와평행한직선 DEÍ

⑵ ABÍ와한점에서만나는직선 BC Í, CDÍ, EF Í, FAÍ

점과직선의위치관계 평면에서두직선의위치관계변을직선으로연장하여두직선의위치관계를파악하도록알려주세요.

Y쌤

58 2. 기본도형

공간에서두직선의위치관계개념


오른쪽그림에서다음을모두구하여라.

⑴ 면ADEB 위에있는꼭짓점 점A, 점 B, 점D, 점 E

⑵ 면ABC 위에있지않은꼭짓점 점D, 점 E, 점 F

1 A C

D F

B

E

▶공간에서두직선의위치관계

오른쪽그림에서모서리BC와

①한점에서만나는모서리: AB”, BF”, CD”, CG”

②평행한모서리: AD”, FG”, EH”

③꼬인위치에있는모서리: AE”, DH”, EF”, GH”

개념예로보기

2 공간에서두직선의위치관계

⑴꼬인위치: 공간에서두직선이만나지도않고평행하지도않을때, 두직선은꼬인위치에있다

고한다.

⑵공간에서두직선의위치관계

1 점과평면의위치관계

⑴점A는평면P 위에있다.

⑵점B는평면P 위에있지않다.

| 참고 | 평면은보통기호로대문자P, Q, R, y와같이나타내고, 그림으로나타낼때는

평행사변형모양으로그린다.

①한점에서만난다. ②일치한다. (l=m) ③평행하다. (l m) ④꼬인위치에있다.

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ m

lm

ll, m

m

l

한평면위에있다. 한평면위에있지않다.

점A가평면P에포함된다.

점 B가평면P에포함되지않는다.점 B가평면P 밖에있다.

A

B

P

교점

자기자신과①, ②`를제외한다.

대표



대표02 오른쪽 그림과 같은 직육

면체에서 모서리 AC와 꼬인 위

치에 있는 모서리를 다음 보기에

서모두골라라.

D

C

A

B

H

G

E

FBF”, DH”, EF”, EH”, FG”, GH”

01 다음 그림에서 모서리 AD와 꼬인 위치에 있는 모

서리를모두구하여라.

04 오른쪽 그림과 같이 밑면이 정

오각형인 오각기둥에서 다음 모서리의

개수를구하여라.

DE

G

A

F

C

HIJ

B

⑴ 모서리AF와평행한모서리 4개

⑵ 모서리AB와수직으로만나는모서리 2개

⑶ 모서리BC와꼬인위치에있는모서리 7개

03 오른쪽 그림과 같은 직

육면체에서 모서리 AB에 대

하여다음을모두구하여라.

공간에서두직선의위치관계

D

C

A

BH

G

E

F

⑴ 한점에서만나는모서리 AD”, AE”, BC”, BF”

⑵ 평행한모서리 DC”, EF”, HG”

⑶ 꼬인위치에있는모서리 CG”, DH”, EH”, FG”

꼬인위치

보`기

AE”, ⋯ ⋯BF”, ⋯ ⋯CG”, ⋯ ⋯DH”,

EF”, ⋯ ⋯EH”, ⋯ ⋯FG”, ⋯ ⋯GH”

꼬인위치에있는두직선

˙k 만나지도않고평행하지도않다.

주어진모서리와한점에서만나는모서리, 평행한모서리를제외하면꼬인위치에있는모서리를찾을수있음을알려주세요.

Y쌤

⑴ ⑵ D

C

A

B

H

G

E

F

D

A

B

CBC” BF”, CG”, EF”, GH”

60 2. 기본도형

직선과평면의위치관계개념


오른쪽그림과같은직육면체에서다음을모두구하여라.

⑴ 모서리AB와평행한면 면 CGHD, 면 EFGH

⑵ 면ABCD에포함되는모서리 AB”, BC”, CD”, DA”

⑶ 면ABCD와수직인모서리 AE”, BF”, CG”, DH”

⑷ 면ABCD와평행한모서리 EF”, FG”, GH”, HE”

1 D

C

A

B

H

GE

F

⑷면ABCD와평행한면에포함되는모서리와같음을설명해주세요.

Y쌤

1 직선과평면의위치관계

⑴공간에서직선과평면의위치관계

⑵직선과평면의수직

직선 l이평면P와한점H에서만나고, 점H를지나는평면P

위의모든직선과수직일때, 직선 l과평면P는직교한다또는

서로수직이다라고한다.

˙k 기호 l⊥P

| 참고 | 직선 l 위의점A와평면P 위의점들을이은선분중에서가장짧은선분의

길이인AH”의길이가점A와평면P 사이의거리이다.

①직선이평면에포함된다. ②한점에서만난다. ③평행하다. (l P)

⋯ ⋯ ⋯ l

PP

l

lP

교점

직선이평면위에있다. 만나지않는다.

l

P H

A점 A와 평면 P사이의 거리,

▶공간에서직선과평면의위치관계


①모서리BC를포함하는면: 면ABCD, 면BFGC

②모서리BC와한점에서만나는면: 면ABFE, 면CGHD

② ˙k BC”⊥면ABFE, BC”⊥면CGHD

③모서리BC와평행한면: 면AEHD, 면EFGH

개념예로보기

수직



대표03 오른쪽 그림과 같은 사각기둥

에서 면 ABCD와 평행한 모서리

의 개수를 a개, 수직인 모서리의 개

수를 b개라 할 때, a+b의 값을 구

하여라. 8

D

C

A

BH

G

E

F

02 오른쪽 그림은 직육면체를

비스듬히 자른 입체도형이다. 다

음을구하여라.

CA D

B

H

G

E

F

⑴ 모서리CD와수직인면의개수 2개

⑵ 면ABFE와평행한모서리의개수 2개

⑶ 면EFGH와수직인모서리의개수 2개

01 오른쪽 그림과 같은 삼각기둥

에서다음을모두구하여라.

A C

D F

B

E

⑴ 모서리AB를포함하는면 면ABC, 면ADEB

⑵ 모서리AB와한점에서만나는면

⑶ 면BEFC와수직인모서리 AB”, DE”

⑷ 면ABC와평행한모서리 DE”, EF”, FD” 04 오른쪽 그림과 같은 삼각

기둥에서다음을구하여라.

점과평면사이의거리

A

C

FB

5 cm

3 cm 4 cm

D

E

⑴ 점A와면 BCFE 사이의거리 5 cm

⑵ 점B와면 DEF 사이의거리 4 cm

직선과평면의위치관계

면ADFC, 면 BEFC

05 오른쪽그림과같은직육면

체에서 점 B와 면 AEHD 사이

의거리와점 E와면ABCD 사

이의거리의합을구하여라.

DA

CB

HE

G6 cm5 cm

7 cm

F12 cm

62 2. 기본도형

두평면의위치관계개념


오른쪽그림과같은직육면체에서다음을모두구하여라.

⑴ 면BFGC와만나는면 면ABCD, 면ABFE, 면 EFGH, 면 CGHD

⑵ 면BFGC와평행한면 면AEHD

⑶ 면BFGC와수직인면 면ABCD, 면ABFE, 면 EFGH, 면 CGHD

⑷ 모서리CD를교선으로하는두면 면ABCD, 면 CGHD

1

▶공간에서두평면의위치관계

오른쪽그림에서면ABCD와

①한직선에서만나는면: 면ABFE, 면BFGC, 면CGHD, 면AEHD

②평행한면: 면EFGH

③수직인면: 면ABFE, 면BFGC, 면CGHD, 면AEHD

개념예로보기

D

C

A

B

H

G

E

F

1 두평면의위치관계

⑴공간에서두평면의위치관계

⑵두평면의수직

평면Q가평면P에수직인직선 l을포함할때, 평면Q와평면P는

서로직교한다또는수직이다라고한다.

˙k 기호P⊥Q

| 참고 | 두 평면 P, Q가 평행할 때, 한 평면 위의 점에서 다른 평면에 그은 수선의 길이가

두평면P, Q 사이의거리이다.

˙k AB”=CD”

①한직선에서만난다. ②평행하다. (P Q) ③일치한다. (P=Q)

⋯ ⋯ ⋯

P, Q

P

QQ

P

P

Ql

PA

Q B

C

D

교선



대표02 오른쪽그림과같은입체도형

에서다음을구하여라.

A D

H

GF

B

E

C

⑴ 면AEGC와만나는면

⑵ 면AEGC와수직인면 면ABCD, 면 EFGH

01 오른쪽 그림과 같은 삼각기둥

에서다음면의개수를구하여라.

A C

D F

B

E

⑴ 면ABC와평행한면 1개

⑵ 면ABC와수직인면 3개

⑶ 면BEFC와수직인면 3개


육각형인 육각기둥에서 면 CIJD와

평행한면과수직인면을각각구하여

라.

A

H

B

K

E

I J

F

D

LG

C

평행한면: 면AGLF

수직인면: 면ABCDEF, 면 GHIJKL

04 공간에 서로 다른 두 직선 l, m과 서로 다른 두 평

면 P, Q가 있다. 다음 안에 , ⊥ 중 알맞은 기호를

써넣어라.

⑴ l m, l⊥P이면 m P

⑵ l⊥P, l⊥Q이면 P Q

⑶ l⊥P, P Q이면 l Q⊥

⊥

두평면의위치관계

면ABFE, 면AEHD, 면 EFGH, 면 BFGC, 면 CGHD, 면ABCD

공간에서여러가지위치관계

05 다음 보기 중 공간에서 서로 다른 두 직선 l, m과

서로 다른 세 평면 P, Q, R에 대한 설명으로 옳은 것을

모두골라라. ㄱ, ㄴ

대표

보`기

ㄱ. P Q, Q R이면P R이다.

ㄴ. P Q, Q⊥R이면P⊥R이다.

ㄷ. l P, m P이면 l m이다.

ㄹ. l P, l Q이면P Q이다.

서로 다른 직선 또는 평면 사이의 위치 관계의 일부가 주

어졌을 때, 나머지 위치 관계는 정육면체를 그려서 확인하

면편리하다.

˙k 각면을평면으로, 각모서리를직선으로생각한다.

정육면체를이용하여위치관계를파악해보도록지도해주세요.

Y쌤

64 2. 기본도형


01 점과직선의위치관계다음중오른쪽그림에대한설명으로옳지않은것은?

① 점B는직선 l 위에있다.

② 점D는직선 l 위에있지않다.

③ 직선n은점D를지난다.

④ 점A는두직선n, m의교점이다.

⑤ 점C는두직선 l, n의교점이다.

05 꼬인위치오른쪽 그림과 같은 사각뿔에서 모서리 CE와 꼬인 위치에

있는모서리를모두구하여라. AB”, AD”

BC

D

ln

m

A

02 평면에서두직선의위치관계다음중한평면위에있는두직선의위치관계가될수없는것은?

① 한점에서만난다. ② 평행하다. ③ 일치한다.

④ 수직이다. ⑤ 꼬인위치에있다.

03 평면에서세직선의위치관계다음중한평면위의서로다른세직선 l, m, n에대한설명으로옳지않은것을

모두고르면? (정답 2개)

① l m, m n이면 l n이다.

② l m, m⊥n이면 l⊥n이다.

③ l m, l⊥n이면m n이다.

④ l⊥m, m⊥n이면 l n이다.

⑤ l⊥m, l⊥n이면m⊥n이다.

04 공간에서두직선의위치관계오른쪽 그림과 같은 삼각기둥에서 모서리 AB와 수직으로

만나는 모서리의 개수를 x개, 모서리 CF와 평행한 모서리

의개수를 y개라할때, x+y의값을구하여라. ⋯5

A C

D F

B

E

A

C D

EB

③ ⋯ ⋯ ⋯⑤

m⊥n m n

모서리AB와수직으로만나는모서리는 AD”, BE”, BC”의3개이므로x=3모서리CF와평행한모서리는 AD”, BE”의2개이므로y=2∴x+y=3+2=5

④점A는두직선 l, m의교점이다.

①점이직선위에있다. ⋯ →직선이점을지난다. ②점이직선위에있지않다. →직선이점을지나지않는다.

Y쌤

꼬인위치는공간에서만존재한다.Y쌤

CE”와한점에서만나는모서리, 평행한모서리를제외한나머지모서리가꼬인위치에있는모서리이다.

Y쌤



06 직선과평면의위치관계다음 보기 중 오른쪽 그림과 같은 직육면체에 대한 설명

으로옳은것을모두골라라. ㄱ, ㄴ, ㄷ

D

C

A

B

H

G

E

F

보`기

ㄱ. EG”와평행한면은면ABCD이다.

ㄴ. 면AEGC와평행한모서리는 BF”, DH”이다.

ㄷ. AC”를포함하는면과수직인모서리는모두4개

이다.

ㄹ. EG”와꼬인위치에있는모서리는 4개이다.

07 직선과평면의위치관계다음중오른쪽그림과같이밑면이정오각형인오각기둥에

대한설명으로옳지않은것을모두고르면? (정답 2개)

① DE Í와 IJÍ는평행하다.

② ABÍ와 CD Í는꼬인위치에있다.

③ BC Í는면ABCDE에포함된다.

④ 면BGHC와 FJ Í는평행하다.

⑤ 면ABCDE와수직인모서리는 5개이다.

B E

A

C D

G JF

H I

08 두평면의위치관계오른쪽그림은직육면체를세꼭짓점 B, C, F를지나는평

면으로잘라낸것이다. 다음중옳지않은것은?

① 모서리BF와면ADGC는평행하다.

② 모서리BE와면ABC는수직이다.

③ 면ABC와면DEFG는평행하다.

④ 면ABED는모서리CG와꼬인위치에있다.

⑤ 모서리BF와꼬인위치에있는모서리의개수는 5개이다.

A C

G

FE

B

D

09 공간에서여러가지위치관계다음중공간에서서로다른세직선 l, m, n과서로다른세평면 P, Q, R에대

한설명으로옳은것을모두고르면? (정답 2개)

① l m, m n이면 l n이다.

② l m, m⊥n이면 l⊥n이다.

③ l⊥m, m⊥n이면 l⊥n이다.

④ P⊥Q, Q⊥R이면P R이다.

⑤ P Q, Q⊥R이면P⊥R이다.

ㄷ. AE”, BF”, CG”, DH”의4개 ㄹ. AB”, BC”, CD”, DA”, BF”, DH”의6개

②ABÍ와 CDÍ는한평면위에있으며, 한점에서만난다. ④ 면BGHC와 FJÍ는한점에서만난다.

④ 면ABED는모서리CG와평행하다. ⑤ AC”, AD”, CG”, DG”, DE”의5개이다.

③ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ④

②

l⊥n

l⊥n l nP R

꼬인위치한직선에서만난다.

꼬인위치

모서리를직선으로연장하여생각한다.Y쌤

정육면체를그려서생각하면편리하다. ˙k각면을평면으로, 각모서리

를직선으로생각한다.

Y쌤

66 2. 기본도형


01 오른쪽그림과같이직선 l 위에네점A, B, C, D

가있을때, 다음중옳지않은것은?

⑤ CA≥와 CD≥는시작점은같지만뻗어나가는방향이다르다. ∴CA≥+CD≥

A B C Dl

① ABÍ=CD Í ② AB≥=AD≥

③ AC”=CA” ④ CB Í=DBÍ

⑤ CA≥=CD≥

02 다음 그림에서 점 M은 AB”의 중점이고, 점 N은

A’M”의중점이다. N’M”=3 cm일때, AB”의길이는?

A’M”=2NM”=2_3=6(cm)∴AB”=2A’M”=2_6=12(cm)

A BN M

3 cm

① 10 cm ② 12 cm ③ 14 cm

④ 16 cm ⑤ 18 cm


∠x :∠y :∠z=3 : 7 : 5

일때, ∠y의크기는?

① 36˘ ② 48˘ ③ 60˘

④ 72˘ ⑤ 84˘

∠y=180˘_ =180˘_;1¶5;=84˘73+7+5

yx z


AB”⊥EO”이고

∠BOE=3∠DOE,

∠AOD=2∠COD

일때, ∠COE의크기는?

① 40˘ ② 50˘ ③ 60˘

④ 70˘ ⑤ 80˘

∠DOE=;3!;∠BOE=;3!;_90˘=30˘

따라서∠AOD=60˘이므로∠COD=30˘∴∠COE=∠COD+∠DOE=60˘

B

E

C

D

A O

05 오른쪽 그림에서 ∠y-∠x

의값을구하여라. [5점] 90˘

(3∠x-10˘)+(4∠x+30˘)+∠x=180˘ (평각)8∠x=160˘⋯ ⋯∴∠x=20˘ ◀2점∠y=4∠x+30˘=80˘+30˘=110˘ ◀2점∴∠y-∠x=110˘-20˘=90˘ ◀1점

3x-10˘

4x+30˘

yx


AB”⊥P’M”이고 점 M은 AB”의

중점일 때, 다음 보기 중 옳은 것

을모두골라라. ㄴ, ㄷ A M B

P

4 cm5 cm

보`기

ㄱ. 점P와직선 AB 사이의거리는 5 cm이다.

ㄴ. 점 M은점 P에서직선 AB에내린수선의발

이다.

ㄷ. AB”=2A’M”

ㄱ. 점P와직선 AB사이의거리는 P’M”=4 cm


때, ∠x, ∠y의 크기를 각각 구

하여라. ∠x=50˘, ∠y=70˘

l

m130˘

70˘

x y

∠y=70˘ (맞꼭지각)∠x+130˘=180˘이므로∠x=50˘



08 오른쪽 그림에서 l m

일때, ∠x의크기를구하여라.

45˘

l

m

x

2x+15˘45˘+(2∠x+15˘)+∠x=180˘3∠x=120˘⋯ ⋯∴∠x=40˘

40˘


일때, ∠x의크기를구하여라.

l

65˘

40˘

m

x105˘

∠x=40˘+65˘=105˘



l40˘

25˘

45˘ m

x∠x=65˘+45˘=110˘

11 오른쪽 그림과 같이 직사각

형 모양의 종이를 접었을 때, ∠x

의크기는?

① 15˘ ② 20˘

③ 25˘ ④ 30˘ ⑤ 35˘

60˘+2∠a=180˘⋯ ⋯∴∠a=60˘∠a+∠b+90˘=180˘⋯ ⋯∴∠b=30˘∠x+60˘=90˘⋯ ⋯∴∠x=30˘

60˘

x

12 오른쪽 그림에서 평행한

두 직선을 모두 찾아 기호로 나

타내어라. l m, p r

75˘ 105˘80˘

80˘

l

p q r

m

13 다음중한평면위에있지않은것은?

① 한직선위에있지않은서로다른세점

② 한점에서만나는서로다른두직선

③ 서로평행한두직선

④ 한직선과그직선위에있지않은한점

⑤ 꼬인위치에있는두직선

⑤꼬인위치에있는두직선은한평면위에있지않다.

14 오른쪽 그림과 같은 정육면체

에서모서리AE와는평행하고선분

BD와는 꼬인 위치에 있는 모서리

는?

① AD” ② BF”

③ CG” ④ DH” ⑤ EF”

D

C

A

B

H

G

E

F

꼬인위치①공간에서의두직선의위치관계에만있다. ②두직선이한평면위에있지않다.

Y쌤


발전문제

68 2. 기본도형

16 오른쪽 그림은 직육면체의

일부분을 잘라서 만든 입체도형이

다. 면 ABE와 평행한 면의 개수

를 a개, 면AEFD와수직인모서

리의개수를 b개, CD”와꼬인위치

에 있는 모서리의 개수를 c개라 할 때, a+b+c의 값을

구하여라. [8점] 6

면ABE와평행한면은면DCF의1개이므로 a=1 ◀2점면AEFD와수직인모서리는 BE”, CF”의2개이므로 b=2 ◀2점CD”와꼬인위치에있는모서리는 AE”, BE”, EF”의3개이므로 c=3 ◀3점∴a+b+c=1+2+3=6 ◀1점

A D

B C

FE


육각형인 육각기둥에 대한 다음 설명

중옳지않은것은?

① AG”와 GH”는수직이다.

② CD”와 IJ”는평행하다.

③ 면BHIC와면FLKE는평행하다.

④ 면AGHB와평행한모서리는 6개이다.

⑤ GH”와꼬인위치에있는모서리는 6개이다.

⑤ AF”, FE”, BC”, CD”, FL”, EK”, DJ”, CI”의8개

DC

AB

H I

G J

L K

F E

17 다음 중 공간에서 서로 다른 두 직선 l, m과 서로

다른 두 평면 P, Q에 대한 설명으로 옳은 것을모두 고르

면? (정답 2개)

① l P, m P이면 l m이다.

② l P, l Q이면P⊥Q이다.

③ l⊥P, l⊥Q이면P Q이다.

④ l⊥P, m⊥P이면 l⊥m이다.

⑤ l⊥P, l Q이면P⊥Q이다.

① l P, m P이면두직선 l, m은한점에서만나거나평행하거나꼬인위치에있다.

② l P, l Q이면두평면P, Q는한직선에서만나거나평행하다.④ l⊥P, m⊥P이면두직선 l, m은평행하다.

18 오른쪽 그림과 같이 시계

가 2시 20분을 가리킬 때, 시침

과분침이이루는각중에서작은

쪽의각의크기를구하여라.


이고, ∠BAC=∠DAC,

∠ABC=∠CBE일 때, ∠x

의크기를구하여라.

20 오른쪽 그림의 전개도

로 만들어지는 정육면체에

대하여다음중 AN”과는평

행하고, AB”와는 꼬인 위치

에있는모서리는?

① BC” ② DE” ③ FG”

④ GH” ⑤ IJÚ

12 12

3

4567

8

9

1011

A

B E

C

l

m

x

D

A

B C D EF G

H

IJKLM

N


오른쪽 그림에서 l m일

때, ∠x의크기를구하여라.

[6점]


1

❶ 두직선 l, m에평행한두직선 p, q를긋고∠a`~`∠d를이

용하여각을표시하면?

◀ 1점

18˘

28˘

l

m

q

p

dc

ba

오른쪽 그림에서 l m일

때, ∠x의크기를구하여라.

[6점]

2

❷ 평행선의성질을이용하여각의크기를구하면?

l p이므로

∠a= ˘ (엇각)

∠b=58˘-∠a= ˘

p q이므로

∠c=∠b= ˘ (엇각)

q m이므로

∠d= ˘ (엇각) ◀ 4점28

40

40

18

❸ ∠x의크기는?

∠x=∠c+∠d= ˘ ◀ 1점68

❶ 두직선 l, m에평행한두직선 p, q를긋고∠a`~`∠d를이

용하여각을표시하면?

❷ 평행선의성질을이용하여각의크기를구하면?

❸ ∠x의크기는?

18˘

58˘

28˘

l

m

x

30˘

70˘

l

m

x

◀1점

l p이므로∠a=30˘ (엇각)∠b=90˘-∠a=60˘p q이므로∠c=∠b=60˘ (엇각)q m이므로∠d=70˘ (엇각) ◀4점

∠x=∠c+∠d=130˘ ◀1점

70 2. 기본도형


다음그림에서점D는AC”의중점이고

3AC”=2AB”, AE”=3DE”이다. AB”=24 cm

일때, AE”의길이를구하여라. [7점]

3


AE”⊥BO”이고

∠AOB=5∠BOC,

∠COE=4∠COD일때,

∠BOD의크기를구하여라. [6점]

4

오른쪽 그림은 직사각형

모양의 종이테이프를 접

은것이다.

∠ABC=70˘, ∠BDE=60˘

일때, ∠CDB와∠DEF의크기를차례로구하여라.

[6점]

5

오른쪽 그림은 직육면체를

세 모서리의 중점을 지나

는 평면으로 잘라서 만든 입체도형

이다. FI Í와 꼬인 위치에 있는 직선

의 개수를 a개, 면 ABHG와 평

행한 직선의 개수를 b개, 면 BHIFC와 수직인 면의 개수

를 c개라할때, a+b+c의값을구하여라. [8점]

6

24 cm

A D E C B

EOA

B CD

70˘

60˘

A

B

D F

CE

A E

J

IH

B

G

C D

F

12 cm 35˘, 65˘

36˘ 14

3AC”=2AB”이고, AB”=24 cm이므로3AC”=2_24=48(cm)∴AC”=16(cm) ◀2점이때점D가AC”의중점이므로

AD”=DC”=;2!;AC”=;2!;_16=8(cm) ◀2점

또, AE”=3DE”이므로AD”=2DE”=8 cm에서 DE”=4(cm) ◀2점∴AE”=AD”+DE”=8+4=12(cm) ◀1점

∠AOB=90˘이므로∠AOB=5∠BOC=90˘⋯ ⋯∴∠BOC=18˘ ◀2점이때∠COE=90˘-18˘=72˘이고, ∠COE=4∠COD이므로4∠COD=72˘⋯ ⋯∴∠COD=18˘ ◀3점∴∠BOD=∠BOC+∠COD=18˘+18˘=36˘ ◀1점

∠CDB=∠CDH (접은각)이므로

∠CDB=;2!;∠BDH=;2!;_70˘=35˘ ◀3점

△BDE에서∠BED=180˘-(70˘+60˘)=50˘∠DEF=∠FEJ (접은각)이므로

∠DEF=;2!;∠JED=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ ◀3점

FI Í와꼬인위치에있는직선은ABÍ, AE”, CDÍ, GHÍ, GJ Í의5개이므로a=5 ◀3점면ABHG와평행한직선은DEÍ, DF Í, FIÍ, IJ Í, EJ Í의5개이므로b=5 ◀2점면BHIFC와수직인면은면ABCDE, 면ABHG, 면GHIJ, 면DFIJE의4개이므로 c=4 ◀2점∴a+b+c=5+5+4=14 ◀1점

72 3. 삼각형의작도와합동

간단한도형의작도개념

1 작도

눈금없는자와컴퍼스만을사용하여도형을그리는것

⑴눈금없는자: 두점을연결하는선분을그리거나선분을연장할때사용

⑵컴퍼스: 원을그리거나주어진선분의길이를다른직선위로옮길때사용


다음보기중작도할때사용하는도구를모두골라라. ㄱ, ㄹ1

2 길이가같은선분의작도

선분AB와길이가같은선분 CD는다음과같이작도한다.

3 크기가같은각의작도

∠XOY와크기가같고반직선 PQ를한변으로하는∠CPD는다음과같이작도한다.

A B C❶,

A B

❷,

C D

❸,

DQP❷,

❺,C

DQP

A

BOY

X❸, ❹,C

DQP

A

BOY

X

❶,

보`기

ㄱ. 컴퍼스 ㄴ. 각도기 ㄷ. 삼각자 ㄹ. 눈금없는자

3-1 삼각형의작도

∠XOY=∠CPD

AB”=CD”

▶크기가같은각의작도와성질자세히알아보기

C

PQ

A

B DOY

X

❶, ❷,

❸, ❹,

❺,

① OA”=OB”=PC”=PD”

② AB”=CD”

③∠XOY=∠CPD

˙k

3-1. 삼각형의작도 73


01 다음중작도에대한설명으로옳은것은 `표, 옳지

않은것은×`표를하여라.

⑴선분의길이를잴때눈금없는자를사용한다.

( )

⑵두점을연결하는선분을그릴때컴퍼스를사용

한다. ( )

⑶원을그릴때컴퍼스를사용한다. ( )

×

×

작도의뜻

P QA B

㉠, ㉢,㉡, ㉡→ → ㉢㉠

04 다음 그림은 ∠XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를

한 변으로하는 각을작도한것이다. 안에 알맞은 것을

써넣어라.

크기가같은각의작도

C

PQ

A

B DOY

X❶, ❸, ❹,❷,

❺,

❶점O를중심으로하는원을그려OX≥, OY≥와의교

점을각각A, B라한다.

❷점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인

⋯ 원을그려PQ≥와의교점을D라한다.

❸,❹점D를중심으로하고반지름의길이가 인

⋯ 원을그려❷`에서그린원과의교점을C라한다.

❺ PC≥를그으면∠XOY= 이다.∠CPD

AB”

OA”

05 다음 그림은 ∠XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를

한 변으로하는 각을작도한것이다. 안에 알맞은 것을

써넣어라.

대표

A

BOY

X

㉠,

㉡,

C

PQD

㉤,

㉣,

㉢,

⑴작도순서는㉡→ → → →㉢`이다.

⑵ OA”=OB”= =

⑶ AB”= CD”

PD”PC”

㉣㉠㉤

크기가같은각의작도과정에서길이가서로같은선분을찾을수있도록지도해주세요.

Y쌤

03 다음그림은AB”를점 B의방향으로연장하여

AC”=2AB”인 AC”를 작도한 것이다. 안에 알맞은 것

을써넣어라.

❶,❷, ❸,

A B C

❶ 를사용하여 AB”를점 B의방향으

⋯ 로연장한다.

❷ 를사용하여AB”의길이를잰다.

❸점 를중심으로하고반지름의길이가

⋯ 인원을그려이원과AB”의연장선이만나는점을

⋯ C라한다. k AC”= AB”2

AB”B

컴퍼스

눈금없는자

02 다음 그림은 선분 AB와 길이가 같은 선분 PQ를

작도한것이다. 작도순서를바르게나열하여라.

길이가같은선분의작도


삼각형ABC개념

1 삼각형ABC

한직선위에있지않은세점A, B, C를각각연결한세선분으로

이루어진도형 ˙k 기호△ABC

⑴대변: 한각과마주보는변

⑵대각: 한변과마주보는각


오른쪽그림의△ABC에서다음을구하여라.

⑴ ∠A의대변 BC” ⑵ ∠B의대변 AC” ⑶ ∠C의대변 AB”

⑷ AB”의대각 ∠C ⑸ BC”의대각 ∠A ⑹ AC”의대각 ∠B

1

▶대변과대각 ▶삼각형의세변의길이사이의관계개념예로보기

A

CBa

c b

변`BC의`대각,

∠A의`대변,

2 삼각형의세변의길이사이의관계

삼각형에서한변의길이는나머지두변의길이의합보다작다.

| 참고 | 세변의길이가주어졌을때, (가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)을 확인하면삼각형을만들수있

는지, 없는지를판단할수있다.

(한변의길이)<(나머지두변의길이의합)

삼각형을만들수있다.∠A의대변

BC”의대각

마주보는변

마주보는각

A

CB

오른쪽그림의△ABC를보고, 다음 안에알맞은부등호를써넣어라.

⑴ a b+c ⑵ b a+c ⑶ c a+b<<<

2 A

CBa

bc

일반적으로△ABC에서∠A, ∠B, ∠C의대변의길이를각각 a, b, c로나타낸다.



01 오른쪽그림의△ABC

에서다음을구하여라.

삼각형의대변과대각

75˘

45˘ 60˘

8 cm 6 cm

B

A

C

⑴∠B의대변의길이 6 cm

⑵∠C의대변의길이 8 cm

⑶ AB”의대각의크기 60˘

⑷ BC”의대각의크기 75˘

02 삼각형의 세 변의 길이가 다음과 같을 때, 삼각형을

만들수있으면 `표, 만들수없으면×`표를하여라.

⑴ 2 cm, 5 cm, 6 cm ( )

⑵ 5 cm, 7 cm, 14 cm ( )

⑶ 6 cm, 6 cm, 6 cm ( )

⑷ 8 cm, 3 cm, 13 cm ( )×

×

03 세 변의 길이가 다음과 같이 주어졌을 때, 삼각형을

작도할수없는것은?

① 3, 4, 5 ② 4, 5, 7

③ 5, 6, 9 ④ 6, 8, 14

⑤ 7, 7, 11

대표

04 다음은 삼각형의 세 변의 길이가 6, 7, x일 때, x의

값의 범위를 구하는 과정이다. 안에 알맞은 것을 써넣

어라.

가장긴변의길이가x일때

x<6+ ⋯ ⋯∴x<

가장긴변의길이가 일때

7 x+6⋯ ⋯∴x>

따라서구하는x의값의범위는

<x< 131

1<

7

137

05 삼각형의 세 변의 길이가 4 cm, 8 cm, x cm일

때, x의값의범위는?

① x<12 ② x>12

③ 0<x<12 ④ 4<x<12

⑤ x>4

대표

세변의길이a, b, c가주어졌을때, a의값의범위˙k b-c<a<b+c (단, b>c)

Y쌤

(가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)이성립하면삼각형을작도할수있음을알려주세요.

Y쌤

삼각형의세변의길이사이의관계


삼각형의작도개념

1 삼각형의작도

다음과같은세가지경우에삼각형을하나로작도할수있다.

⑴세변의길이가주어질때

❶ BC”를옮긴다.

❷ AC”를옮긴다.

❸ AB”를옮긴다.

❹ AC”, AB”를긋는다.

▶세변의길이가주어질때

▶두변의길이와그끼인각의크기가주어질때

개념다시보기

B

A

C

❷,

❶,

❸,

B

A

C❹,❹,

B C

A B

A C

❶ ∠B를옮긴다.

❷ BC”를옮긴다.

❸ AB”를옮긴다.

❹ AC”를긋는다.

B C

A B

B

❸,

C

A

Q

P

B C

A

Q

P

B❹,

❶,

QC

P

B❷,

⑵두변의길이와그끼인각의크기가주어질때

❶ BC”를옮긴다.

❷ ∠B를옮긴다.

❸, ❹ ∠C를옮긴다.C

PQ

B

❸,

❶,C

P

B

❷, A

C

PQ

B

❹,B C

B C

⑶한변의길이와그양끝각의크기가주어질때

a

cba

c b

a

c Ba

c

B

▶한변의길이와그양끝각의크기가주어질때

a

B CaB C

a, b, c

a, c ∠B

a ∠B, ∠C



01 다음은세변의길이가주어질때, △ABC를작도하는과정이다. 안에알맞은것을써넣어라.

삼각형의작도

❶한직선l을긋고그위에길이가 인선분BC를그린다.

❷점 를중심으로하고반지름의길이가 인원을그

⋯ 린다.

❸점 를중심으로하고반지름의길이가 인원을그

⋯ 려❷`에서그린원과의교점을 라한다.

❹점A와점B, 점A와점C를각각이으면△ABC가작도

된다.

A

bC

cB

a

a

c b

l

❶,

❷,❸,

❹,❹,

A

B C

a

c

b

02 다음은두변의길이와그끼인각의크기가주어질때, △ABC를작도하는과정이다. 안에알맞은것을써넣어라.

❶∠A와크기가같은∠PAQ를작도한다.

❷점 를중심으로하고반지름의길이가 인원을그

⋯ 려AP≥와의교점을 라한다.

❸점 를중심으로하고반지름의길이가 인원을그

⋯ 려AQ≥와의교점을B라한다.

❹두점B, C를이으면△ABC가작도된다.

cA

C

bAC❷,P❶,

Q

❹,A B

❸,

b

cA

c

b

03 다음은한변의길이와그양끝각의크기가주어질때, △ABC를작도하는과정이다. 안에알맞은것을써넣어라.

❶한직선l을긋고그위에길이가 인선분BC를그린다.

❷∠B와크기가같은∠PBC를작도한다.

❸∠ 와크기가같은∠QCB를작도한다.

❹ BP≥와 CQ≥가만나는점을 라하면△ABC가작도된다.A

C

a

B C

a ❹, ❷,

❶,

❸,PAQ

B Cal


삼각형이하나로정해지는경우개념

1 삼각형이하나로정해지는경우

다음과같은세가지경우에삼각형의모양과크기는하나로정해진다.

⑴세변의길이가주어질때

⑵두변의길이와그끼인각의크기가주어질때

⑶한변의길이와그양끝각의크기가주어질때


다음과같은조건이주어질때, 삼각형의모양과크기가하나로정해지면 `표, 정해지지않으면×`표를

하여라.

⑴ 세변의길이 ( ) ⑵ 세각의크기 ( )

⑶ 두변의길이와한각의크기 ( ) ⑷ 한변의길이와그양끝각의크기 ( )×

×

1

▶삼각형이하나로정해지지않는경우

⑴ (가장긴변의길이)æ(나머지두변의길이의합)일때

˙k 세변의길이가다음그림과같이주어질때, 삼각형은그려지지않는다.

⋯ ˙k

⑵두변의길이와그끼인각이아닌다른한각의크기가주어질때

˙k AB”=4 cm, AC”=3 cm, ∠B=40˘인삼각형은다음그림과같이 2개이다.

⋯ ˙k

⑶세각의크기가주어질때

˙k∠A=40˘, ∠B=50˘, ∠C=90˘인삼각형은다음그림과같이무수히많다.

⋯ ˙ky

40˘ 50˘40˘ 50˘40˘ 50˘

3 cm

40˘

4 cm 3 cm

B

4 cm 3 cm

40˘B C

4 cm3 cm

40˘B C

A A A

CC

또는,

A B

8 cm

3 cm 4 cm 4 cmC C

A B

7 cm

3 cmC C

개념예로보기

2 삼각형이하나로정해지지않는경우

⑴가장긴변의길이가나머지두변의길이의합보다크거나같을때

⑵두변의길이와그끼인각이아닌다른한각의크기가주어질때

⑶세각의크기가주어질때

그려지지않거나 1개또는 2개로그려진다.

삼각형은그려지지않는다.

모양은같지만크기가다른삼각형이무수히많이그려진다.

⑵`에서 삼각형이 그려지지 않는경우는다음과같다.

Y쌤

대표



03 다음보기중△ABC가하나로정해지는것을모두

골라라. ㄴ, ㄷ

보`기

ㄱ. ∠A=50˘, ∠B=60˘, ∠C=70˘

ㄴ. AB”=9, ∠A=120˘, ∠B=30˘

ㄷ. ∠A=50˘, BC”=8, ∠C=60˘

ㄹ. AB”=5, BC”=4, ∠A=50˘

ㅁ. AB”=5, BC”=12, CA”=6

ㄹ의경우, 삼각형이2개로그려짐을확인하도록지도해주세요.Y쌤

02 다음중△ABC가하나로정해지는것은?

①∠A=60˘, ∠B=70˘, ∠C=50˘

② AB”=9 cm, AC”=6 cm, ∠B=40˘

③∠A=30˘, AB”=8 cm, BC”=5 cm

④ BC”=5 cm, ∠B=50˘, ∠C=60˘

⑤ AB”=8 cm, AC”=3 cm, BC”=1 cm

05 오른쪽그림과같이△ABC

에서 BC”의 길이가 주어졌을 때,

다음 중 △ABC가 하나로 정해지

기위해더필요한조건인것은 `

표, 더필요한조건이아닌것은×`표를하여라.

⑴ AB”와 AC” ( )

⑵∠A와∠B ( )

⑶ AC”와∠A ( )

⑷ AB”와∠B ( )

×

A

CB a

01 다음과 같은 조건이 주어질 때, △ABC가 하나로

정해지면 `표, 하나로정해지지않으면×`표를하여라.

⑴ BC”=5, ∠A=40˘, ∠B=50˘ ( )

⑵ AB”=8, BC”=6, ∠C=40˘ ( )

⑶∠A=45˘, ∠B=45˘, ∠C=90˘ ( )×

×

04 다음중△ABC가하나로정해지지않는것은?

① AB”=3 cm, BC”=4 cm, CA”=5 cm

② CA”=3 cm, AB”=3 cm, ∠A=60˘

③ AB”=4 cm, BC”=1 cm, CA”=3 cm

④ BC”=4 cm, ∠A=50˘, ∠B=70˘

⑤ CA”=5 cm, ∠C=30˘, ∠A=30˘

삼각형이하나로정해지기위해추가로필요한조건

삼각형ABC를임의로그린후, 각조건에해당하는부분을표시하면서문제를해결하도록알려주세요.

Y쌤

삼각형이하나로정해지는경우



01 작도의뜻다음중작도에대한설명으로옳지않은것은?

① 원을그릴때컴퍼스를사용한다.

② 선분을연장할때눈금없는자를사용한다.

③ 두점을연결하는선을그릴때눈금없는자를사용한다.

④ 선분의길이를다른직선위에옮길때눈금없는자를사용한다.

⑤ 눈금없는자와컴퍼스를사용하여도형을그리는것을작도라한다.

02 크기가같은각의작도오른쪽그림은∠XOY와크기가같은각을

반직선 PQ를 한 변으로 하여 작도한 것이

다. 다음중옳지않은것은?

① AB”=CD” ② PC”=PD”

③ OB”=PD” ④ OA”=OB” ⑤ OA”=AB”

03 평행선의작도오른쪽그림은점 P를지나고직선 l에평행한직선m을

작도한것이다. 다음 안에알맞은것을써넣어라.

⑴ 작도순서는 →㉤→ → →

⋯ →㉠`이다.

⑵ ∠BAC= 가되도록작도하 으므로

⋯ l m이다.

∠QPR

㉣㉥㉡㉢

C

PQ

A

B DO

Y

X작도과정에서반지름의

길이가같은원을찾아본다.Y쌤


삼각형의세변의길이가 8 cm, 12 cm, x cm일때, 다음중 x의값이될수없는


① 4 ② 9 ③ 12

④ 17 ⑤ 20

삼각형의세변의길이 a,b, c 사이에 a<b+c, b<c+a,c<a+b가성립한다. (가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)

Y쌤

④선분의길이를다른직선위에옮길때컴퍼스를사용한다.

두점O, P를각각중심으로하고반지름의길이가 OA”인원을그린것이므로 OA”=OB”=PC”=PD”두점B, D를각각중심으로하고반지름의길이가 AB”인원을그린것이므로 AB”=CD”

⁄ x<8+12⋯ ⋯∴x<20¤ 12<x+8⋯ ⋯∴x>4⁄, ¤에서4<x<20

A

B

P

Q

R

C

㉣,

㉢,

l

m

㉥,㉤,

㉡,

㉠,

평행선의작도: 동위각또는엇각의크기가같도록크기가같은각을작도한다.

Y쌤




길이가다음과같은 4개의선분이있다. 이중서로다른 3개의선분으로만들수있

는삼각형의개수를구하여라. 3개

4 cm, 6 cm, 7 cm, 10 cm

가장긴변의길이가될수있는것부터찾아본다.Y쌤

⁄ 10=4+6 (×) , ⋯10<4+7 ( ) , ⋯10<6+7 ( )¤ 7<4+6 ( )⁄, ¤에서만들수있는삼각형의개수는(4 cm, 7 cm, 10 cm), (6 cm, 7 cm, 10 cm), (4 cm, 6 cm, 7 cm)의3개이다.

06 삼각형의작도오른쪽그림과같이두변AB, BC와∠B가주어질때,

다음중△ABC를작도하는순서로옳지않은것은?

① ∠B →AB” →BC” ② ∠B →BC” →AB”

③ AB” →∠B →BC” ④ AB” →BC” →∠B

⑤ BC” →∠B →AB”

BA

CB

B

07 삼각형이하나로정해지지않는경우

다음중△ABC가하나로정해지지않는것을모두고르면? (정답 2개)

① ∠A=30。, ∠B=50˘, ∠C=100˘

② AC”=5 cm, ∠B=60˘, ∠C=80˘

③ AB”=4 cm, BC”=8 cm, ∠A=90˘

④ AC”=5 cm, BC”=7 cm, ∠C=75˘

⑤ AB”=7 cm, BC”=5 cm, CA”=11 cm

08 삼각형이하나로정해지기위해추가로필요한조건

AB”=10 cm, ∠A=45˘일 때, 다음 보기 중 △ABC가 하나로 정해지기 위해

더필요한나머지한조건을모두골라라. ㄴ, ㄹ

보`기

ㄱ. ∠B=135˘ ㄴ. ∠C=60˘

ㄷ. BC”=8 cm ㄹ. CA”=6 cm

ㄴ. ∠C=60˘가주어지면∠B=180˘-(45˘+60˘)=75˘ㄱ. 따라서한변의길이와그양끝각의크기가주어진경우와같으므로△ABC가하나로정해진다. ㄹ. CA”=6 cm가주어지면두변의길이와그끼인각의크기가주어진경우이므로△ABC가하나로정해진다.

두변의길이와그끼인각의크기가주어질때, △ABC는다음과같이작도할수있다. ⁄한변을먼저작도한후에각을작도하고나머지변을작도한다. ¤③ AB”→∠B→ BC”또는⑤ BC”→∠B→ AB”¤각을먼저작도한후에두변을작도한다.¤①∠B→ AB”→ BC”또는②∠B→ BC”→ AB”

①모양은같지만크기가다른삼각형이무수히많이그려진다.②∠A=180˘-(60˘+80˘)=40˘⋯ 따라서한변의길이와그양끝각의크기가주어진경우와같으므로△ABC가하나로정해진다.③∠A는 AB”와 BC”의끼인각이아니므로△ABC가하나로정해지지않는다.

두 변의길이와그끼인각의크기가주어질때는길이가같은선분의작도를 2번, 크기가같은각의작도를 1번이용하여삼각형을작도한다.

Y쌤

ㄱ에서AB”의길이와그양끝각∠A, ∠B의크기가주어진것으로생각할수있으므로주의시켜주세요.

Y쌤


도형의합동개념


오른쪽 그림에서 사각형 ABCD와 사각형 EFGH가 서로

합동일때, 다음을구하여라.

⑴ 점A의대응점 점 E

⑵ EF”의대응변 AB”

⑶ ∠C의대응각 ∠G

1

▶△ABC와△DEF가서로합동일때

▶=와™의차이점

△ABC=△DEF: △ABC와△DEF의넓이가같다.

△ABC™△DEF: △ABC와△DEF가서로합동이다.

˙k합동인두도형의넓이는항상같지만두도형의넓이가같다고해서합동인것은아니다.


2 합동인도형의성질

두도형이서로합동이면

⑴대응변의길이는서로같다. ⑵대응각의크기는서로같다.

1 합동

한 도형을 모양이나 크기를 바꾸지 않고 옮겨서 다른

도형에 완전히 포갤 수 있을 때, 이 두 도형을 서로

합동이라한다.

△ABC와△DEF가서로합동일때,

기호로△ABC™△DEF와같이나타낸다.

⑴합동인 두 도형에서 포개어지는 꼭짓점과 꼭짓점,

변과변, 각과각을서로대응한다고한다.

⑵서로대응하는꼭짓점을대응점, 대응하는변을대응변, 대응하는각을대응각이라한다.

| 참고 | 두도형의합동을기호로나타낼때는반드시두도형의대응점을같은순서대로쓴다.

A

B C

D

E F

대응점,

대응각,

대응변,

△ABC™△DEF

B C

DA

F G

HE

3-2 삼각형의합동

대응점을같은순서대로!

AB”=DE”, BC”=EF”, AC”=DF”(대응변의길이는서로같다.)∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F(대응각의크기는서로같다.)

기호

대표

3-2. 삼각형의합동 83


01 다음 중 합동인 두 도형에 대한 설명으로 옳은 것은

`표, 옳지않은것은×`표를하여라.

⑴ 모양이같은두도형은합동이다. ( )

⑵ 합동인두도형은대응변의길이가서로같다.

( )

⑶ 합동인두도형은대응각의크기가서로같다.

( )

⑷ 넓이가같은두도형은합동이다. ( )×

×

합동인도형의성질

02 아래 그림에서△ABC™△DEF일 때, 다음을 구

하여라.

FEC45˘ 60˘B

A D

3 cm2 cm

⑴∠B의크기 60˘

⑵ DE”의길이 2 cm

03 아래그림에서사각형 ABCD와사각형 EFGH가

서로합동일때, 다음을구하여라.

5 cm3 cm

85˘75˘

F

E

A

D

C G HB

⑴∠E의크기 85˘

⑵ EH”의길이 3 cm

⑶∠D의크기 110˘

04 다음 그림에서 △ABC™△DEF일 때, x+y의

값은?

65˘

60˘7 cm

8 cm x cm

y˘

A

C FE

D

B

삼각형이뒤집혀있더라도합동기호를이용하여대응변, 대응각을찾을수있음을설명해주세요.

Y쌤

두도형의넓이가같다고해서항상합동인것은아님을예를들어설명해주세요.

Y쌤

① 67 ② 68

③ 70 ④ 72

⑤ 73


삼각형의합동조건개념

1 삼각형의합동조건

다음의각경우에두삼각형은서로합동이다. [△ABC™△DEF]

⑴대응하는세변의길이가각각같을때(SSS 합동)

˙k AB”=DE”, BC”=EF”, AC”=DF”

⑵대응하는두변의길이가각각같고, 그끼인각의크기가

같을때(SAS 합동)

˙k AB”=DE”, BC”=EF”, ∠B=∠E

⑶대응하는한변의길이가같고, 그양끝각의크기가각각

같을때(ASA 합동)

˙k BC”=EF”, ∠B=∠E, ∠C=∠F


다음조건에서△ABC와△DEF가서로합동이면 `표, 합동이아니면×`표를하여라.

⑴ AB”=DE”, BC”=EF”, AC”=DF” ( )

⑵ AB”=DE”, AC”=DF”, ∠B=∠E ( )

⑶ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F ( )×

×

1

▶삼각형의합동조건

⑴대응하는세변의길이가각각같을때(SSS 합동)

⋯

⑵ 대응하는두변의길이가각각같고, 그끼인각의크기가같을때(SAS 합동)

⋯

⑶ 대응하는한변의길이가같고, 그양끝각의크기가각각같을때(ASA 합동)

⋯ ˙k AB”=DE”=4 cm, ∠A=∠D=65˘, ∠B=∠E=40˘

이므로⋯ ⋯△ABC™△DEFCB

A

4 cm

40˘

65˘

40˘FE

D

4 cm 65˘

˙k AB”=DE”=6 cm, BC”=EF”=7 cm, ∠B=∠E=40˘

이므로⋯ ⋯△ABC™△DEF

A

B C7 cm

6 cm40˘

D

E F7 cm

6 cm40˘

˙k AB”=DE”=5 cm, BC”=EF”=6 cm, AC”=DF”=4 cm

이므로⋯ ⋯△ABC™△DEF5 cm 4 cm

A

B C6 cm

5 cm 4 cm

D

6 cmE F

개념예로보기

A

B C

D

E F

A

B C

D

E F

A

B C

D

E F

A

B C

D

E F

삼각형의작도, 삼각형이하나로정해지는경우와연관지어삼각형의합동조건을이해할수있도록설명해주세요.

Y쌤

대표

대표



02 다음보기중합동인삼각형끼리짝짓고, 합동조건을

말하여라.

삼각형의합동조건

보`기

ㄱ. ㄴ.

ㄷ. ㄹ.

ㅁ. ㅂ.

Q R

P

7 cm

6 cm30˘

7 cm

6 cm 5 cm

M

N O

7 cm

6 cm 5 cm

K

LJ

7 cm30˘ 80˘

G

H I

D F

E

7 cm

6 cm30˘

7 cm80˘70˘

B

A

C

01 다음과같이주어진두삼각형은서로합동이다. 기호

™를사용하여합동임을나타내고, 합동조건을말하여라.

⑴

⑵

⑶ A D

C F

72˘ 72˘

60˘ 48˘ EB

8 cm 8 cm

A

CB 5 cm45˘

D

FE

5 cm

7 cm

45˘

7 cm

A

B

C

4 cm

D

E

F

4 cm9 cm

8 cm

8 cm

9 cm

ㄱ과ㄷ(ASA 합동), ㄴ과ㅂ(SAS 합동), ㄹ과ㅁ(SSS 합동)

03 다음은 오른쪽 그림의 사각

형ABCD에서AB”=DC”,

AD”=BC”일때,

△ABD™△CDB임을 설명한

것이다. 안에알맞은것을써넣어라.

삼각형의합동조건의활용

A D

CB

△ABD와△CDB에서

AB”=CD”, AD”=CB”, 는공통

∴△ABD™△CDB ( 합동)SSS

BD”

04 다음은오른쪽그림에서

AC”와 BD”의교점을 O라하고

AO”=CO”, BO”=DO”일때,

△OAB™△OCD임을 설명한

것이다. 안에 알맞은 것을 써

넣어라.

A

O

D

CB

△OAB와 에서

AO”=CO”, BO”=DO”

∠AOB= (맞꼭지각)

∴△OAB™ ( 합동)SAS△OCD

∠COD

△OCD

05 오른쪽그림에서AC”와 BD”

의교점을 O라하고AD” BC”,

AD”=BC”일때,

△OAD™△OCB임을 설명하여

라.C

O

B

DA

AD” BC”이므로∠ADO=∠CBO (엇각), ∠DAO=∠BCO (엇각)또, AD”=CB”이므로△OAD™△OCB (ASA합동)

△ABC™△DEF (SAS합동)

△ABC™△DEF (ASA합동)

△ABC™△DEF (SSS합동)

주어진조건을활용하여합동조건을찾을수있도록충분히연습시켜주세요.

Y쌤

평행선의성질을이용할수있도록알려주세요.Y쌤



01 도형의합동다음중두도형이항상합동이아닌것을모두고르면? (정답 2개)

① 넓이가같은두원 ② 넓이가같은두마름모

③ 넓이가같은두직각삼각형 ④ 한변의길이가같은두정사각형

⑤ 둘레의길이가같은두정삼각형

02 합동인도형의성질오른쪽 그림에서 사각형 ABCD와 사

각형 EFGH가 서로 합동일 때, 다음

중옳지않은것은?

① BC”=8 cm ② EF”=5 cm

③ ∠B=70˘ ④ ∠E=135˘

⑤ ∠H=80˘

5 cm

8 cm

80˘

65˘ 70˘

A E

D H

B C G F

합동인두도형의성질①대응변의길이는서로같다.②대응각의크기는서로같다.

Y쌤

03 합동인삼각형찾기다음중오른쪽보기의삼각형과합동인것은?

① ② ③

④ ⑤

4 cm

5 cm60˘

5 cm50˘ 60˘

50˘70˘

60˘

5 cm

4 cm6 cm5 cm

70˘

60˘

보`기

5 cm

70˘60˘

ASA합동

04 삼각형의합동조건다음중△ABC™△PQR라할수없는조건은?

① AB”=PQ”, BC”=QR”, CA”=RP” SSS 합동

② AB”=PQ”, BC”=QR”, ∠C=∠R

③ AB”=PQ”, ∠A=∠P, ∠B=∠Q ASA 합동

④ BC”=QR”, ∠A=∠P, ∠B=∠Q ASA 합동

⑤ BC”=QR”, CA”=RP”, ∠C=∠R SAS 합동

삼각형의합동조건① ˙k SSS

② ˙k SAS

③ ˙k ASA

Y쌤

05 두삼각형이합동이기위해추가로필요한조건

오른쪽 그림에서 AB”=DE”, ∠B=∠E

일 때, 다음 중 △ABC™△DEF이기

위해 더 필요한 나머지 한 조건이 아닌


① AC”=DF” ② BC”=EF” SAS 합동 ③ CA”=DE”

④ ∠A=∠D ASA 합동 ⑤ ∠C=∠F ASA 합동

B

A

C E

D

F

④∠H=∠D=80˘이므로∠E=360˘-(80˘+65˘+70˘)=145˘

항상합동인두도형반지름의길이(또는둘레의길이/넓이)가같은두원한변의길이(또는둘레의길이/넓이)가같은두정다각형

Y쌤

② ③



06 삼각형의합동조건의활용다음은 점 P가 AB”의수직이등분선 l 위의한점일때, PA”=PB”임을설명한것

이다. ㈎`~`㈒`에알맞은것으로옳지않은것은?

△PAM과△PBM에서⋯ ⋯ 는(은) 공통

점M은AB”의중점이므로⋯ ⋯A’M”=

AB”⊥l이므로⋯ ⋯∠PMA= =90˘

∴△PAM™ ( 합동)

따라서 PA”=PB”이다.

㈒㈑

㈐

㈏

㈎

P

MA B

l

① ㈎ P’M” ② ㈏ BM” ③ ㈐∠PMB

④ ㈑△PMB △PBM ⑤ ㈒ SAS

09 삼각형의합동조건의활용오른쪽 그림에서 OA”=OC”, AB”=CD”일 때, 다음 중

옳지않은것은?

① OB”=OD” ② AD”=CB”

③ ∠AOD=∠CBO ④ ∠OBC=∠ODA

⑤ △AOD™△COB

O C D

B

A

07 삼각형의합동조건의활용오른쪽그림과같은사각형ABCD에서AB”=AD”,

BC”=DC”일때, △ABC와합동인삼각형을찾아기호™를

사용하여나타내고, 합동조건을말하여라.B D

A

C

대응하는세변의길이가각각같다. k SSS합동Y쌤

△ABC™△ADC (SSS 합동)

08 삼각형의합동조건의활용오른쪽그림에서AB”=AD”, ∠ABC=∠ADE일때,

△ABC™△ADE이다. 이때사용된합동조건은?

① AB”=AD”, AC”=AE”, BC”=DE”

② AB”=AD”, ∠ABC=∠ADE, ∠A는공통

③ AB”=AD”, AC”=AE”, ∠A는공통

④ AC”=AE”, BC”=DE”, ∠A는공통

⑤ ∠ABC=∠ADE, ∠ACB=∠AED, ∠A는공통

B

E

CA D

△AOD와△COB에서OA”=OC”, OD”=OB”, ∠O는공통∴△AOD™△COB (SAS합동)③∠AOD의대응각은∠COB이므로∠AOD=∠COB

△ABC와△ADC에서AB”=AD”, BC”=DC”, AC”는공통∴△ABC™△ADC (SSS합동)

△ABC와△ADE에서AB”=AD”, ∠ABC=∠ADE, ∠A는공통∴△ABC™△ADE (ASA합동)



01 다음 그림과 같이 두 점 A, B를 지나는 직선 l 위

에 BC”=2AB”인 점 C를 작도하려고 한다. 이때 필요한

작도도구는?

A B Cl

① 컴퍼스 ②각도기

③ 삼각자 ④눈금없는자

⑤ 눈금있는자

02 다음은 길이가 같은 선분의 작도를 이용하여 주어진

선분AB를한변으로하는정삼각형을작도한것이다. ㈎,

㈏`에알맞은것을써넣어라. ㈎ AB”⋯ ㈏ 정삼각형

❶두점 A, B를중심으로하고

⋯ 반지름의 길이가 인

⋯ 원을 각각 그려 두 원이 만나

는점을C라한다.

❷AC”와 BC”를그으면△ABC는 이다.㈏

㈎

C

A B

❶, ❶,

❷,❷,

03 아래 그림과 같이 ∠XOY와 크기가 같은 각을 작

도하 을때, 다음중길이가나머지넷과다른하나는?

OYB

AX

PQD

C

① OA” ② OB” ③ CD”

④ PC” ⑤ PD”

OA”=OB”=PC”=PD”, AB”=CD”

04 오른쪽 그림은 직선 AB

밖의 한 점 P를 지나고 직선 AB

와 평행한 직선을 작도한 것이다.

다음중옳지않은것은?

① CA”=PF”

② CD”=PE”

③∠CAD=∠EPF

④작도순서는㉠→㉤→㉢→㉥→㉡→㉣이다.

⑤ 두직선이다른한직선과만날때엇각의크기가

같으면두직선은서로평행하다는성질을이용한

것이다.

② CD”=EF”이지만 CD”=PE”인지는알수없다.

PF

EC

A D B

㉣,㉢,

㉥,㉤,

㉡,

㉠,

05 다음중삼각형의세변의길이가될수없는것은?

① 2 cm, 2 cm, 2 cm ② 3 cm, 6 cm, 8 cm

③ 4 cm, 9 cm, 10 cm ④ 5 cm, 5 cm, 8 cm

⑤ 5 cm, 7 cm, 12 cm

① 2<2+2 ( ) ② 8<3+6 ( ) ③ 10<4+9 ( )④ 8<5+5 ( ) ⑤ 12=5+7 (×)

06 삼각형의세변의길이가 x, x+2, x+5일때, x의

값의범위를구하여라. x>3

가장긴변의길이가x+5이므로x+5<x+(x+2), x+5<2x+2⋯ ⋯∴x>3

07 길이가 다음과 같은 4개의 선분이 있다. 이 중 서로

다른 3개의 선분으로 만들 수 있는 삼각형의 개수를 구하

여라. [6점] 2개

3 cm, 5 cm, 8 cm, 9 cm

⁄가장긴변의길이가 9 cm일때, 9>3+5 (×), 9<3+8 ( ), 9<5+8 ( )¤즉, 세변의길이가(3 cm, 8 cm, 9 cm), (5 cm, 8 cm, 9 cm)인삼각

형을만들수있다. ◀3점¤가장긴변의길이가 8 cm일때, 8=3+5 (×)¤즉, 가장긴변의길이가 8 cm인삼각형은만들수없다. ◀2점⁄, ¤에서만들수있는삼각형의개수는2개이다. ◀1점



08 다음 중 △ABC가 하나로 정해지는 것을 모두 고

르면? (정답 2개)

①∠A=50˘, ∠B=50˘, ∠C=80˘

②∠A=70˘, ∠B=40˘, AB”=6 cm

③∠A=35˘, BC”=6 cm, CA”=7 cm

④ CA”=9 cm, ∠A=105˘, ∠C=75˘

⑤ AB”=5 cm, BC”=7 cm, CA”=10 cm

09 △ABC에서∠A와다음조건이주어질때,

△ABC가하나로정해지지않는것은?

① AB”, CA” ② AB”, ∠B

③ CA”, ∠C ④ AB”, BC”

⑤ BC”, ∠B

④AB”, BC”가주어지면두변의길이와그끼인각이아닌다른한각의크기가주어진경우이므로△ABC가하나로정해지지않는다.

10 다음 중 합동인 두 도형에 대한 설명으로 옳지 않은

것은?

① 대응하는변의길이가서로같다.

② 대응하는각의크기가서로같다.

③ 넓이가같은두원은항상합동이다.

④ 두도형의넓이가서로같으면항상합동이다.

⑤ 한도형을다른도형에완전히포갤수있다.

④넓이가같다고해서두도형이항상합동인것은아니다.

①모양은같지만크기가다른삼각형이무수히많이그려진다.③∠A는 BC”와 CA”의끼인각이아니므로△ABC가하나로정해지지않

는다.④∠A+∠C=105˘+75˘=180˘이므로△ABC가그려지지않는다.⑤세변의길이가주어지고, 10<5+7이므로△ABC가하나로정해

진다.

11 아래 그림에서 사각형 ABCD와 사각형 PQRS가

서로합동일때, 다음중옳지않은것은?

B

C D S R

Q

P

5 cm

3 cm6 cm

70˘

85˘

130˘

A

①∠A=∠P, ∠C=∠R이다.

② ∠B의대응각은∠Q이다.

③ CD”의대응변은 RS”이다.

④ ∠D의크기는 75˘이다.

⑤ PQ”의길이는 3 cm이다.

12 다음 보기의 삼각형 중 합동인 것끼리 짝지어진 것

은?

보`기

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

ㄹ. ㅁ. ㅂ.

5 cm60˘

7 cm

70˘5 cm

7 cm

8 cm 70˘

45˘8 cm6 cm

7 cm

5 cm

7 cm

8 cm8 cm

70˘ 65˘

① ㄱ, ㄹ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㅂ

④ ㄷ, ㅁ ⑤ ㄹ, ㅁ

13 다음 중 △ABC™△DEF라 할 수 없는 조건을

모두고르면? (정답 2개)

① AB”=DE”, BC”=EF”, CA”=FD” SSS 합동

② AB”=DE”, BC”=EF”, ∠B=∠E SAS 합동

③ AB”=DE”, BC”=EF”, ∠C=∠F

④ AB”=DE”, ∠A=∠D, ∠B=∠E ASA 합동

⑤∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F

⑤ PQ”의대응변은AB”이므로주어진조건만으로는 PQ”의길이를알수없다.

ㄷ,ㅁ. 한변의길이가8 cm로같고, 그양끝각의크기가45˘, 70˘로같으므로ASA합동이다.




△ABC와 △ECD가 정

삼각형일 때, △ACD와

합동인삼각형을찾아라.

18 오른쪽그림에서△ABC

는정삼각형이고,

AD”=BE”=CF”일때, 다음 중

옳지않은것은?

① AF”=CE”

② DE”=EF”

③∠DEF=60˘

④∠ADE=∠DEC

⑤△ADF™△CFE (SAS 합동)

19 오른쪽 그림에서

△ABC가 직각이등변

삼각형이고 두 점 B, C

에서 점 A를 지나는 직

선 l에내린수선의발을각각D, E라하자.

BD”=12 cm, EC”=5 cm일 때, DE”의 길이를 구하

여라.

14 △ABC와 △DEF에서 ∠A=∠D, ∠B=∠E

일때, 다음보기중△ABC™△DEF이기위해더필요

한나머지한조건을모두골라라. ㄱ, ㄴ, ㄷ

보`기

ㄱ. AB”=DE” ㄴ. AC”=DF”

ㄷ. BC”=EF” ㄹ. ∠C=∠F

ㄱ. AB”=DE”이면ASA합동ㄴ, ㄷ. ∠C=180˘-(∠A+∠B)=180˘-(∠D+∠E)=∠Fㄴ. 이때 AC”=DF”또는 BC”=EF”이면ASA합동

15 다음은 ∠XOY의 이등분선 위의 점 P에서 OX≥,

OY≥에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 할 때, PA”=PB”

임을 설명한 것이다. ㈎`~`㈒`에 알맞은 것으로 옳지 않은

것은?

㈑∠OPA

△PAO와△PBO에서

는공통

OP≥가∠XOY의이등분선이

므로⋯ ⋯∠POA=

∠PAO= =90˘이므로

=∠OPB

∴△PAO™△PBO ( 합동)

따라서 PA”의대응변은 PB”이므로 PA”=PB”이다.

㈒

㈑

㈐

㈏

㈎

① ㈎ OP” ② ㈏∠POB ③㈐∠PBO

④ ㈑∠AOB ⑤ ㈒ ASA

16 오른쪽그림에서AB”=AD”,

BE”=DC”이고∠BAC=70˘,

∠ACB=30˘일때, ∠ADE의크

기를구하여라. [6점] 80˘

A CD

B

70˘30˘

E

△ABC와△ADE에서AB”=AD”, AC”=AE”, ∠A는공통이므로△ABC™△ADE (SAS합동) ◀4점이때∠ADE의대응각은∠ABC이므로∠ADE=∠ABC=180˘-(70˘+30˘)=80˘ ◀2점

AE

B DC

B

A

D

E

F

C

DA

E12 cm

5 cmCB

45˘

l

A

BO

P

Y

X

발전문제



오른쪽 그림과 같이 정삼

각형 ABC의 두 변 BC,

CA 위에 BD”=CE”가 되도록 두

점 D, E를 잡고 AD”와 BE”의 교

점을 P라 하자. ∠BAD=15˘일

때, ∠BPD의크기를구하여라. [7점]

1

❶ △ABD와△BCE에서길이가서로같은변을각각찾으면?

주어진조건에서

BD”= yy`㉠

또, △ABC는정삼각형이므로

=BC” yy`㉡ ◀ 1점AB”

CE”

오른쪽그림과같이정사각

형ABCD에서두변 BC,

CD 위에 BE”=CF”가 되도록 두

점 E, F를잡고AE”와 BF”의교점

을 P라 하자. 이때 ∠BPE의 크기

를구하여라. [7점]

2

❷ △ABD와△BCE에서∠ABD와∠BCE의 크기를 각각

구하면?

정삼각형의한각의크기는 이므로

∠ABD=∠BCE= yy`㉢ ◀ 1점60˘

60˘

❶ △ABE와△BCF에서길이가서로같은변을각각찾으면?

A

B CD

E

15˘

P

❸ 합동인두삼각형을기호로나타내면?

㉠, ㉡, ㉢`에서대응하는 변의길이가각각같고,

그 의크기가같으므로

△ABD™ ( 합동) ◀ 2점SAS△BCE

끼인각

두

❹ ∠CBE=∠a, ∠BEC=∠b라할때, ∠a+∠b의값은?

△BCE에서∠C=60˘이고, 삼각형의세각의크기의

합은 이므로

∠a+60˘+∠b=

∴∠a+∠b= 120˘

180˘

180˘

❺ ∠BPD의크기는?

∠ADB=∠BEC=∠b이므로△BPD에서

∠a+∠b+∠BPD=180˘

∴∠BPD= ◀ 3점60˘

A

B

D

P

CE

F

❷ △ABE와 △BCF에서 ∠ABE와 ∠BCF의 크기를 각각

구하면?

❸ 합동인두삼각형을기호로나타내면?

❹ ∠FBC=∠a, ∠BFC=∠b라할때, ∠a+∠b의값은?

❺ ∠BPE의크기는?

주어진조건에서BE”=CF” yy`㉠사각형ABCD가정사각형이므로AB”=BC” yy`㉡ ◀1점

정사각형의한각의크기는90˘이므로∠ABE=∠BCF=90˘ yy`㉢ ◀1점

㉠, ㉡, ㉢`에서대응하는두변의길이가각각같고, 그끼인각의크기가같으므로△ABE™△BCF (SAS합동) ◀2점

△BCF에서∠C=90˘이고, 삼각형의세각의크기의합은 180˘이므로∠a+90˘+∠b=180˘∴∠a+∠b=90˘

∠AEB=∠BFC=∠b이므로△BPE에서∠a+∠b+∠BPE=180˘∴∠BPE=90˘ ◀3점



세 변의 길이가 3 cm, 9 cm, x cm인 삼각형을

그릴때, x의값이될수있는자연수를모두구하

여라. [7점]

3오른쪽그림에서사각형

ABCD는 정사각형이고

△PBC는정삼각형일때, △PAB

와 합동인 삼각형을 찾고, 합동조건

을말하여라. [6점]

5 A D

P

B C

A

B C F

G

D20 cm

25 cm

5 cm

15 cm

E

오른쪽그림에서사각형

ABCD는 평행사변형

이고, 점 M은 BC”의 중점이다.

A’M”과 DC”의 연장선의 교점을

E라할때, △ABM™△ECM

이다. 이때사용된합동조건을말하여라. [6점]

4다음 그림에서 사각형 ABCD와 사각형 ECFG

가정사각형일때, DF”의길이를구하여라. [7점]6

7, 8, 9, 10, 11

ASA 합동 25 cm

△PDC, SAS 합동

A

B

D

C

E

M

삼각형의세변의길이가되려면(가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)을만족해야하므로⁄가장긴변의길이가 x cm일때

x<3+9⋯ ⋯∴x<12 ◀2점¤가장긴변의길이가 9 cm일때

9<3+x⋯ ⋯∴x>6 ◀2점⁄, ¤에서6<x<12 ◀1점따라서x의값이될수있는자연수는7, 8, 9, 10, 11이다. ◀2점

△PAB와△PDC에서△PBC가정삼각형이므로PB”=PC” yy`㉠ ◀1점사각형ABCD가정사각형이므로AB”=DC” yy`㉡ ◀1점∠ABP=90˘-∠PBC=90˘-∠PCB

=∠DCP=30˘ yy`㉢ ◀2점㉠, ㉡, ㉢`에서대응하는두변의길이가각각같고, 그끼인각의크기가같으므로△PAB™△PDC (SAS합동) ◀2점

△BCE와△DCF에서사각형ABCD가정사각형이므로BC”=DC”=20 cm yy`㉠사각형ECFG가정사각형이므로EC”=FC”=15 cm yy`㉡정사각형의한각의크기는90˘이므로∠BCE=∠DCF=90˘ yy`㉢ ◀3점㉠, ㉡, ㉢`에서대응하는두변의길이가각각같고, 그끼인각의크기가같으므로△BCE™△DCF (SAS합동) ◀2점이때 DF”의대응변은 BE”이므로DF”=BE”=25 cm ◀2점

△ABM과△ECM에서점M이BC”의중점이므로B’M”=C’M” yy`㉠ ◀1점∠AMB=∠EMC (맞꼭지각) yy`㉡ ◀1점사각형ABCD가평행사변형이므로 AB” CE”에서∠ABM=∠ECM (엇각) yy`㉢ ◀2점㉠, ㉡, ㉢`에서대응하는한변의길이가같고, 그양끝각의크기가각각같으므로△ABM™△ECM (ASA합동) ◀2점

94 4. 다각형의성질

다각형개념


다음보기중다각형인것을모두골라라. ㄴ, ㄹ1

▶다각형VS 정다각형개념다시보기

1 다각형

3개이상의선분으로둘러싸인평면도형

˙k선분의개수가 3개, 4개, y, n개인다각형을각각삼각형, 사각형,

y, n각형이라한다.

⑴내각: 다각형에서이웃하는두변이이루는각

⑵외각: 다각형의각꼭짓점에서한변과그변에이웃한변의연장선이

이루는각

| 참고 | ①다각형에서한내각에대한외각은 2개이지만서로맞꼭지각으로그크기가같으므로하나만생각한다.

②다각형의한꼭짓점에서 (내각의크기)+(외각의크기)=180˘이다.

꼭짓점,

변,

외각,

외각,

내각,

다각형을이루는각선분을다각형의변이라하고, 각선분의끝점이다각형의꼭짓점임을알려주세요.

Y쌤

2 정다각형

모든변의길이가같고, 모든내각의크기가같은다각형

˙k변의개수가 3개, 4개, 5개, y, n개인정다각형을각각정

삼각형, 정사각형, 정오각형, y, 정n각형이라한다.

| 주의 | ①모든변의길이가같다고해서항상정다각형인것은아니다.

②모든내각의크기가같다고해서항상정다각형인것은아니다.

정삼각형 정사각형 정오각형

4-1 다각형

보`기

ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. ㅁ. ㅂ.

4-1. 다각형 95


01 다음중다각형의개수는?

다각형

02 오른쪽 그림의 사각형 ABCD

에서다음각의크기를구하여라.

⑴∠A의내각 120˘

⑵∠C의외각 100˘

다각형의내각과외각의크기

B

AD

C

60˘

80˘

다각형의한꼭짓점에서 (내각의크기)+(외각의크기)=180˘임을강조해주세요.

Y쌤

04 다음중정다각형인것을모두고르면? (정답 2개)

① ②

③ ④

⑤

정다각형

05 다음중정다각형에대한설명으로옳지않은것은?

① 모든변의길이가같다.

② 모든내각의크기가같다.

③ 모든외각의크기가같다.

④ 세내각의크기가같은삼각형은정삼각형이다.

⑤ 한꼭짓점에서내각의크기와외각의크기의합은

360˘이다.

06 다음 조건을 모두 만족하는 다각형의 이름을 말하

여라. 정육각형

대표

㈎ 6개의선분으로둘러싸여있다.

㈏ 모든변의길이가같다.

㈐ 모든내각의크기가같다.

n개의선분으로둘러싸여있는다각형은n각형임을설명해주세요. 또, 모든조건을만족하는다각형을찾도록주의시켜주세요.

Y쌤

부채꼴⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯삼각형⋯ ⋯ ⋯ ⋯원기둥⋯

사다리꼴⋯ ⋯ ⋯ ⋯팔각형⋯ ⋯ ⋯ ⋯정육면체

① 1개 ② 2개

③ 3개 ④ 4개

⑤ 5개

03 오른쪽그림의△ABC에서

∠x+∠y의값을구하여라.

대표

B

A

75˘

40˘

y

x

C

245˘


다각형의대각선개념


다음과같이주어진다각형의표시한점에서대각선을그리고, 표를완성하여라. 1

1 다각형의대각선

⑴대각선: 다각형에서이웃하지않는두꼭짓점을이은선분

⑵대각선의개수

① n각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수: (n-3)개

② n각형의대각선의총개수: 개

| 참고 | n각형의한꼭짓점에서대각선을모두그었을때생기는삼각형의개수: (n-2)개

n(n-3)2

대각선,꼭짓점의개수 한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수

(자기자신)+(이웃하는 2개의꼭짓점)

▶오각형의대각선의개수개념예로보기

①한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수

˙k 5-3=2(개)

˙k 5_2=10(개)

그런데같은대각선이 2번씩세어졌으므로

=5(개)5_22

②대각선의총개수

다각형 꼭짓점의개수한꼭짓점에서그을수

있는대각선의개수대각선의총개수

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

n각형 n개 (n-3)개 개n(n-3)

2

4개 4-3=1(개) =2(개)4(4-3)

2

사각형

5개 5-3=2(개) =5(개)5(5-3)

2

오각형

6개 6-3=3(개) =9(개)6(6-3)

2

육각형

이웃하는꼭짓점

이웃하는꼭짓점

자기자신

4-1. 다각형 97


01 한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수가다음과

같은다각형의이름을말하여라.

⑴ 5개 팔각형 ⑵ 7개 십각형

⑶ 10개 십삼각형 ⑷ 13개 십육각형

다각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수

02 칠각형에대하여다음을구하여라.

⑴ 한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수 4개

⑵한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 생기는

삼각형의개수 5개

03 십이각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의

개수를 a개, 이때생기는삼각형의개수를 b개라할때,

b-a의값을구하여라. 1

대표

n각형에대하여한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는 (n-3)개이고, 이때만들어지는삼각형의개수는 (n-2)개임을구분하여기억할수있도록강조해주세요.

Y쌤

04 다음다각형의대각선의총개수를구하여라.

⑴ 칠각형 14개 ⑵ 십각형 35개

⑶ 십삼각형 65개 ⑷ 십육각형 104개

다각형의대각선의총개수

05 한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수가 11개인

다각형의대각선의총개수를구하여라. 77개

대표

06 대각선의총개수가 44개인다각형은?

① 오각형 ②칠각형

③ 구각형 ④십일각형

⑤ 이십각형

07 대각선의총개수가 20개인다각형의꼭짓점의개수

는?

① 7개 ② 8개

③ 10개 ④ 11개

⑤ 14개

08 대각선의총개수가 27개인다각형의한꼭짓점에서

그을수있는대각선의개수를구하여라. 6개

대표

구하는다각형을n각형이라하고, 식을세워n의값을구하도록지도해주세요.

Y쌤



01 다각형다음중다각형을모두고르면? (정답 2개)

① 원 ② 마름모 ③ 삼각기둥

④ 정사각형 ⑤ 직육면체

02 다각형다음중다각형에대한설명으로옳은것을모두고르면? (정답 2개)

① 3개이상의선분으로둘러싸인평면도형을다각형이라한다.

② 팔각형은 8개의변과 9개의꼭짓점을가지고있다.

③ 변의개수가가장적은다각형은삼각형이다.

④ 다각형에서이웃한두변이이루는각은외각이다.

⑤ 삼각형의대각선의개수는 1개이다.

03 다각형의내각과외각의크기오른쪽그림의사각형ABCD에서∠x+∠y의값은?

① 160˘ ② 170˘ ③ 180˘

④ 190˘ ⑤ 200˘65˘x y 105˘

130˘

B

A D

C

04 다각형의내각과외각의크기오른쪽그림의△ABC에서∠x의크기는?

① 30˘ ② 35˘ ③ 40˘

④ 45˘ ⑤ 50˘B

A

55˘

x

3x-20˘C

①원은선분이아닌곡선으로둘러싸여있으므로다각형이아니다.③, ⑤ 삼각기둥, 직육면체는입체도형이므로다각형이아니다.

②팔각형은8개의변과8개의꼭짓점을가지고있다. ④다각형에서이웃한두변이이루는각은내각이다.⑤삼각형은대각선을그을수없다.

∠x=180˘-65˘=115˘, ∠y=180˘-105˘=75˘∴∠x+∠y=115˘+75˘=190˘

∠x+(3∠x-20˘)=180˘, 4∠x=200˘⋯ ⋯∴∠x=50˘

다각형의한꼭짓점에서(내각의크기)+(외각의크기)=180˘

Y쌤

4-1. 다각형 99


05 조건을만족하는다각형다음조건을모두만족하는다각형의이름을말하여라. 정십각형

㈎모든변의길이가같다.

㈏ 모든내각의크기가같다.

㈐ 한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는7개이다.

06 다각형의대각선의총개수15개의선분으로둘러싸인다각형의대각선의총개수를구하여라. 90개

07 다각형의대각선의총개수한 꼭짓점에서대각선을모두그었을때생기는삼각형의개수가 10개인다각형의

대각선의총개수를구하여라. 54개n각형에서

①(한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수)=n-3(개)

②(한꼭짓점에서대각선을모두그었을때생기는삼각형의개수)=n-2(개)

③(대각선의총개수)

⋯ = (개)n(n-3)

2

Y쌤

08 다각형의대각선의총개수한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 6개인 다각형을 a각형이라 하고, 대

각선의총개수가 14개인다각형을 b각형이라할때, a-b의값은?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

09 다각형의대각선의응용오른쪽 그림과 같이 원 위에 6개의 점 A, B, C, D, E, F가

있다. 각점을연결하여만들수있는선분의총개수를구하여라. 이웃하는두꼭짓점끼리도연결해야함을주의시켜주세요.

Y쌤

㈎, ㈏`에서정다각형㈐`에서구하는다각형을정n각형이라하면n-3=7⋯ ⋯∴n=10따라서구하는다각형은정십각형이다.

십오각형의대각선의총개수는 =90(개)15_(15-3)

2

구하는다각형을n각형이라하면n-2=10⋯ ⋯∴n=12

∴ =54(개)12_(12-3)

2

a-3=6⋯ ⋯∴a=9

=14에서b(b-3)=28=7_4⋯ ⋯∴b=7

∴a-b=9-7=2

b(b-3)2

구하는선분은 AB”, BC”, CD”, DE”, EF”, FA”와육각형의대각선이므로

총개수는⋯ ⋯6+ =15(개)6_(6-3)

2

A

B

C

F

E

D

15개


삼각형의내각개념

1 삼각형의내각

△ABC에서∠A, ∠B, ∠C를△ABC의내각이라한다.


다음그림에서∠x의크기를구하여라.

⑴ ⑵ ⑶55˘

x

60˘

50˘

x45˘

35˘

x

1

평행선의성질을다시한번상기시켜주세요.<평행선의성질>한쌍의평행선이다른한직선과만날때, ⑴동위각의크기는서로같다. ⑵엇각의크기는서로같다.

Y쌤

▶평행선의성질을이용하여삼각형의세내각의크기의합알아보기

오른쪽그림과같이삼각형ABC에서변BC의연장선을긋고,

그위에한점D를잡자.

꼭짓점C에서 BA”에평행한반직선CE를그으면

BA” CE”이므로

∠A=∠ACE (엇각)

∠B=∠ECD (동위각)

∴∠A+∠B+∠C=∠ACE+∠ECD+∠C

=180˘


2 삼각형의세내각의크기의합

삼각형의세내각의크기의합은 180˘이다.

˙k△ABC에서⋯ ⋯∠A+∠B+∠C=180˘

| 참고 | 삼각형의세내각의크기의합이 180˘임을다음과같은방법으로알수있다.

[방법1] 오려모으기

×+○+●=180˘

B C

A

[방법2] 똑같은삼각형 3개붙이기

×+○+●=180˘

B C

A

[방법3] 접어모으기

×+○+●=180˘

B C

A

B C

A

내각,

BC D

E

A

35˘

70˘100˘

4-2 다각형의내각과외각

4-2. 다각형의내각과외각 101



⑴ ⑵

⑶ ⑷x

3x2x-30˘75˘ x+30˘

2x

40˘ x-20˘

x

3x 2x

삼각형의세내각의크기의합

18˘

25˘ 35˘

80˘


⑴ ⑵

50˘

A

B D C

x

70˘55˘

A

BC

x

대표

55˘

50˘

⑴맞꼭지각의크기는항상같음을이용하여∠ACB를먼저구할수있게설명해주세요.

⑵삼각형ABD의세내각의크기의합이 180˘임을먼저이용할수있게설명해주세요.

Y쌤

대표03 삼각형의세내각의크기의비가 1 : 2 : 3일때, 가장

큰내각의크기를구하여라. 90˘

삼각형의세내각의크기의비

문제를풀고난뒤, 공식을정리해주세요. 삼각형의세내각∠A, ∠B, ∠C에대하여∠A :∠B :∠C=a : b : c일때

∠A=180˘_ , ∠B=180˘_ , ∠C=180˘_ ca+b+c

ba+b+c

aa+b+c

Y쌤

04 삼각형의세내각의크기의비가 4 : 5 : 9일때, 가장

작은내각의크기는?

① 10˘ ② 20˘

③ 30˘ ④ 40˘

⑤ 50˘

대표05 오른쪽 그림에서 ∠x의


모양의도형에서각의크기구하기

06 오른쪽 그림의 △ABC에서

∠B와 ∠C의 이등분선의 교점을

D라할때, ∠x의크기를구하여라.

60˘

A

B C

Dx120˘

문제를풀고난뒤, ∠BDC=90˘+;2!;∠A임을설명해주세요.Y쌤

문제를풀고난뒤, 공식을정리해주세요.

˙k∠x=∠a+∠b+∠c

Y쌤

85˘25˘20˘ D

B C

A

x

삼각형ABC의세내각의크기의합이 180˘임을이용하여

∠DBC+∠DCB의값을먼저구한다.


삼각형의내각과외각사이의관계개념



⑴ ⑵

36˘ 84˘

x

45˘

30˘

x

1


⑴ ⑵

x

95˘

50˘

45˘ 130˘

x

2

75˘ 120˘

85˘

45˘

▶평행선의성질을이용하여삼각형의내각과외각사이의관계알아보기

오른쪽그림과같이삼각형ABC에서변BC의연장선을긋고,

그위에한점D를잡자.

꼭짓점C에서 BA”에평행한반직선CE를그으면

BA” CE”이므로

∠A=∠ACE (엇각), ∠B=∠ECD (동위각)

∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B

▶삼각형의세내각의크기의합을이용하여삼각형의내각과외각사이의관계알아보기

(내각의크기)+(외각의크기)=180˘이므로⋯ ⋯ + =180˘

(삼각형의세내각의크기의합)=180˘이므로⋯ ⋯ + + =180˘

따라서 + = + + 이므로⋯ ⋯ = +

˙k (∠C의외각의크기)=∠A+∠B


BC D

E

A

∠ACD와이웃하지않는두내각의크기의합∠C의외각

1 삼각형의내각과외각사이의관계

삼각형의한외각의크기는그와이웃하지않는두내각의크기의합과

같다.

˙k△ABC에서⋯ ⋯ (∠C의외각의크기)=∠A+∠B

A

BC

B C

A

대표




⑴ ⑵

150˘x

120˘

x50˘

삼각형의한외각의크기

110˘

120˘


⑴ ⑵

80˘

x3x+10˘

30˘

2x x+50˘20˘ 35˘

03 다음그림의△ABC에서∠x의크기를구하여라.

⑴ ⑵

130˘

A

BC

100˘

x

50˘45˘

A

B C

x

대표

95˘ 130˘

04 다음그림에서∠x, ∠y의크기를각각구하여라.

삼각형의내각과외각의크기

나누어진 각각의 삼각형에서 내각과 외각 사이의 관계를

이용한다.

⑴ ⑵

40˘40˘

45˘

80˘

x

y55˘

25˘35˘

xy

∠x=80˘, ∠y=65˘∠x=85˘, ∠y=40˘

05 오른쪽 그림에서 ∠x+∠y의

값을구하여라. 145˘

대표

55˘

45˘y

x

40˘


AD”가 ∠A의 이등분선일 때,


40˘80˘

CDB

A

x

나비모양을이용해쉽게설명해주세요.

˙k∠a+∠b=∠c+∠d

Y쌤

⑵∠x의크기를130˘의내각과100˘의내각의합으로구할수있게지도해주세요.

Y쌤


다각형의내각개념

1 다각형의내각의크기의합

⑴n각형의한꼭짓점에서대각선을모두그었을때생기는삼각형의개수: (n-2)개

⑵n각형의내각의크기의합: 180˘_(n-2)


팔각형에대하여다음을구하여라.

⑴ 한꼭짓점에서대각선을모두그었을때생기는삼각형의개수 6개

⑵ 내각의크기의합 1080˘

1

▶오각형의내각의크기의합개념예로보기

2 정다각형의한내각의크기

정다각형은모든내각의크기가같으므로정n각형의한내각의크기는

=180˘_(n-2)

n(정n각형의내각의크기의합)

n

정육각형에대하여다음을구하여라.

⑴ 내각의크기의합 720˘

⑵ 한내각의크기 120˘

2

삼각형의개수

꼭짓점의개수

삼각형의세내각의크기의합

다각형

사각형 오각형 육각형

n각형

삼각형의개수 4-2=2(개) 5-2=3(개) 6-2=4(개) (n-2)개y

y

내각의크기의합 180˘_2=360˘ 180˘_3=540˘ 180˘_4=720˘ 180˘_(n-2)y

삼각형으로

나눈다.

180˘

180˘

180˘˙k 180˘_3=540˘



01 다음다각형의내각의크기의합을구하여라.

⑴ 칠각형 900˘ ⑵십각형 1440˘

⑶ 십이각형 1800˘ ⑷십육각형 2520˘

다각형의내각의크기의합

02 다음물음에답하여라.

⑴한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수가 6개

인다각형의내각의크기의합을구하여라. 1260˘

⑵내각의크기의합이 720˘인다각형의대각선의총

개수를구하여라. 9개

대표


⑴ ⑵

110˘

75˘

140˘x

100˘

105˘ 65˘

x

90˘ 75˘

04 오른쪽 그림에서 ∠x의 크기를

구하여라. 110˘

대표

115˘

120˘105˘

x

⑵ 180˘_(n-2)=720˘의방정식을세워어떤다각형인지먼저구할수있도록설명해주세요.

⋯ 또, (n각형의대각선의총개수)= 임을다시한번상

⋯ 기시켜주세요.

n(n-3)2

Y쌤

먼저다각형의내각의크기의합부터구한다.Y쌤

05 다음정다각형의한내각의크기를구하여라.

⑴ 정팔각형 135˘ ⑵정십각형 144˘

⑶ 정십이각형 150˘ ⑷정이십각형 162˘

정다각형의한내각의크기

06 오른쪽그림의정오각형에서

∠ABC의크기를구하여라. 108˘

A

B

C

E

D

07 한 내각의 크기가 다음과 같은 정다각형의 이름을

말하여라.

⑴ 90˘ 정사각형 ⑵ 140˘ 정구각형

대표

08 한내각의크기가 156˘인정다각형의꼭짓점의개수를

구하여라. 15개

구하는정다각형을정n각형이라하고, 식을세워 n의값을구하도록지도해주세요.

Y쌤


다각형의외각개념

1 다각형의외각의크기의합

n각형의외각의크기의합은항상 360˘이다.


다음다각형의외각의크기의합을구하여라.

⑴ 팔각형 360˘ ⑵ 십삼각형 360˘

1

▶칠각형의외각의크기의합

이와같이다각형의외각의크기의합은카메라의조리개처럼모아서보면 360˘임을쉽게알수있다.

개념예로보기

다각형

삼각형 사각형 오각형

y n각형

(내각의크기의합)

+(외각의크기의합)180˘_3 180˘_4 180˘_5 180˘_ny

내각의크기의합 180˘ 180˘_2 180˘_3 180˘_(n-2)y

외각의크기의합 360˘ 360˘ 360˘ 360˘y

180˘_n-180˘_(n-2)=180˘_2=360˘

다음정다각형의한외각의크기를구하여라.

⑴ 정사각형 90˘ ⑵ 정육각형 60˘

2

2 정다각형의한외각의크기

정다각형은모든외각의크기가같으므로정n각형의한외각의크기는

= 360˘n

(정n각형의외각의크기의합)n

˙k ˙k ˙k

①

②

①-②

꼭짓점의개수




⑴ ⑵

65˘

85˘

x130˘

100˘

x

다각형의외각의크기의합

130˘ 120˘

02 오른쪽 그림에서 ∠x의 크


대표

95˘

50˘65˘

55˘x


⑴ ⑵

다각형의내각과외각의크기

85˘

120˘80˘

x 60˘

110˘85˘

x

65˘ 125˘

04 오른쪽그림에서∠x의크기를

구하여라. 130˘

대표

100˘

45˘

45˘130˘x

모든다각형의외각의크기의합은항상360˘임을다시한번상기시켜주세요.

Y쌤

⑴ p.103 03-⑵`번과비교하여두가지방법으로풀수있음을알려주세요.

Y쌤

육각형의내각의합을이용해도되지만모든다각형의외각의합은360˘임을이용하는것이더편리함을이해하도록설명해주세요.

Y쌤

대표05 한외각의크기가 45˘인정다각형의이름을말하여라.

정다각형의한외각의크기

정팔각형

=45˘의방정식을세워해결할수있도록지도해주세요.360˘nY쌤

06 한외각의크기가 18˘인정다각형의대각선의총개

수를구하여라. 170개

대표07 한내각의크기와한외각의크기의비가다음과같은

정다각형의이름을말하여라.

⑴ 3 : 2 정오각형 ⑵ 7 : 2 정구각형

정다각형의한내각과한외각의크기

08 내각의 크기의 합이 1800˘인 정다각형의 한 외각의

크기는?

① 24˘ ② 30˘

③ 36˘ ④ 40˘

⑤ 45˘

문제를풀고난뒤, 공식을정리해주세요.정다각형의한내각과한외각의크기의비가m : n일때,

(한내각의크기)=180˘_

(한외각의크기)=180˘_ nm+n

mm+n

Y쌤



01 삼각형의세내각의크기의비삼각형의세내각의크기의비가 3 : 4 : 5일때, 가장작은내각의크기와가장큰

내각의크기를차례로구하여라. 45˘, 75˘ 다른풀이(가장작은내각의크기)

=180˘_ =45˘33+4+5

Y쌤

02 삼각형의내각과외각의크기오른쪽그림에서∠x의크기는?

① 48˘ ② 52˘ ③ 58˘

④ 62˘ ⑤ 66˘

72˘x

36˘ 20˘

A

D

BC

E

03 삼각형의내각과외각의활용- 한내각의이등분선

오른쪽그림의△ABC에서 BD”가∠B의이등분선일때,

∠x의크기는?

① 100˘ ② 105˘ ③ 110˘

④ 115˘ ⑤ 120˘

A

D85˘

55˘

BC

x

04 삼각형의내각과외각의활용- 오목한다각형

오른쪽그림에서∠x의크기는?

① 95˘ ② 100˘ ③ 105˘

④ 110˘ ⑤ 115˘

A

B C

D27˘

25˘

x

48˘

05 삼각형의내각과외각의활용- 이등변삼각형

오른쪽그림에서AB”=AC”=CD”일때, ∠x의

크기는?

① 40˘ ② 45˘ ③ 50˘

④ 55˘ ⑤ 60˘

D

A

CBx

20˘

06 삼각형의내각과외각의활용- 별모양

오른쪽그림에서∠a+∠b+∠c+∠d+∠e의값을

구하여라. 180˘

a

b

c d

e 별모양의끝각의크기의합은항상180˘이다.Y쌤

삼각형의세내각의크기를3∠x, 4∠x, 5∠x라하면3∠x+4∠x+5∠x=180˘⋯ ⋯∴∠x=15˘따라서가장작은내각의크기는3∠x=45˘, 가장큰내각의크기는5∠x=75˘

△ABE에서∠AEB=180˘-(72˘+36˘)=72˘△DEC에서∠x+20˘=72˘⋯ ⋯∴∠x=52˘

55˘+∠ABD=85˘⋯ ⋯∴∠ABD=30˘이때∠ABC=2∠ABD=60˘이므로△ABC에서∠x=55˘+60˘=115˘

그림과같이BC”를그으면∠DBC+∠DCB=180˘-(48˘+25˘+27˘)=80˘∠x+80˘=180˘∴∠x=100˘

AB”=AC”이므로△ABC에서∠DAC=20˘+20˘=40˘또, AC”=CD”이므로∠CDA=∠CAD=40˘⋯ ⋯∴∠x=40˘+20˘=60˘

∠CGD=∠a+∠c, ∠EFD=∠b+∠e△GFD에서(∠a+∠c)+(∠b+∠e)+∠d=180˘∴∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180˘



09 다각형의외각의크기의합오른쪽그림에서∠x+∠y의값은?

① 145˘ ② 150˘ ③ 155˘

④ 160˘ ⑤ 165˘

50˘ 95˘

70˘

x

y

07 다각형의내각의크기의합내각의크기의합이 1620˘인다각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는?

① 8개 ② 9개 ③ 10개

④ 11개 ⑤ 12개

10 다각형의내각의크기의합과외각의크기의합

십오각형의내각의크기의합을 a˘, 외각의크기의합을 b˘라할때, a+b의값은?

① 1800 ② 1980 ③ 2160

④ 2340 ⑤ 2700

11 다각형의내각과외각다음중다각형에대한설명으로옳지않은것은?

① 육각형의외각의크기의합은 360˘이다.

② 정팔각형의한외각의크기는 45˘이다.

③ 십삼각형의내각의크기의합은 180˘_(13-2)이다.

④ 정십각형의한내각의크기는 36˘이다.

⑤ 정사각형의한내각의크기와한외각의크기는같다.

08 정다각형의한내각의크기한내각의크기가 150˘인정다각형의대각선의총개수는?

① 54개 ② 58개 ③ 60개

④ 62개 ⑤ 65개

12 정다각형의한내각과한외각의크기의비

한내각의크기와한외각의크기의비가 3 : 1인정다각형의이름을말하여라.정팔각형

(180˘-95˘)+50˘+∠x+70˘+∠y=360˘∴∠x+∠y=155˘

구하는다각형을n각형이라하면180˘_(n-2)=1620˘, n-2=9⋯ ⋯∴n=11∴11-3=8(개)

180˘_(15-2)=2340˘⋯ ⋯∴a=2340b=360⋯ ⋯∴a+b=2340+360=2700

구하는정다각형을정n각형이라하면 =150˘⋯ ⋯∴n=12

∴ =54(개)12_(12-3)

2

180˘_(n-2)n

(한외각의크기)=180˘_ =45˘


따라서구하는정다각형은정팔각형이다.

360˘n

13+1

④정십각형의한내각의크기는 =144˘180˘_(10-2)

10

n각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수˙k (n-3)개

Y쌤

n각형의대각선의총

개수˙k 개n(n-3)

2

Y쌤



01 다음중다각형의개수는?

03 대각선의 총 개수가 170개인 다각형의 선분의 개수

는?

① 17개 ② 18개 ③ 19개

④ 20개 ⑤ 21개

구하는다각형을n각형이라하면

=170, n(n-3)=340=20_17⋯ ⋯∴n=20

따라서이십각형의선분의개수는20개이다.

n(n-3)2

02 오른쪽그림의오각형

ABCDE에서 ∠x+∠y의 값

은?

① 132˘ ② 134˘

③ 136˘ ④ 138˘

⑤ 140˘

∠x=180˘-120˘=60˘, ∠y=180˘-102˘=78˘∴∠x+∠y=60˘+78˘=138˘

x

y

D

E

A

B120˘

102˘C

04 다음조건을모두만족하는다각형의이름을말하여라.

㈎`에서구하는다각형은정다각형이므로정n각형이라하면

㈏`에서 =135, n(n-3)=270=18_15⋯ ⋯∴n=18

따라서구하는정다각형은정십팔각형이다.

n(n-3)2

㈎모든변의길이가같고, 모든내각의크기가같다.

㈏ 대각선의총개수는 135개이다.

정십팔각형

05 오른쪽 그림과 같이 원 모양

의탁자에 6명이앉아있다. 양 옆에

있는 사람을 제외한 모든 사람과 서

로 한 번씩 악수를 하려고 할 때, 악

수는모두몇번하게되는지구하여

라. [5점] 9번

악수를한총횟수는육각형의대각선의총개수와같다. ◀2점

육각형의대각선의총개수는 =9(개)

따라서악수는모두9번하게된다. ◀3점

6_(6-3)2

06 삼각형의세내각의크기의비가 4 : 5 : 6일때, 가

장작은외각의크기는?

① 105˘ ② 108˘ ③ 110˘

④ 115˘ ⑤ 118˘

삼각형의세내각의크기를4∠x, 5∠x, 6∠x라하면4∠x+5∠x+6∠x=15∠x=180˘⋯ ⋯∴∠x=12˘따라서가장큰내각의크기는6∠x=72˘이므로가장작은외각의크기는180˘-72˘=108˘


∠x-∠y의값을구하여라. 5˘ x

y35˘

A

B C

D85˘

50˘

∠x+35˘=85˘⋯ ⋯∴∠x=50˘85˘+∠y+50˘=180˘⋯ ⋯∴∠y=45˘∴∠x-∠y=50˘-45˘=5˘


AB Í CD Í이고,

∠BAD=25˘, ∠BCD=50˘

일때, ∠x+∠y의값은?

① 200˘ ② 215˘ ③ 230˘

④ 245˘ ⑤ 260˘

xy

25˘

50˘

A B

O

C D

∠CDO=∠BAO=25˘ (엇각)∴∠y=180˘-25˘=155˘또, △OCD에서∠x=50˘+25˘=75˘∴∠x+∠y=75˘+155˘=230˘

마름모⋯ ⋯ 원기둥⋯ ⋯ 사다리꼴⋯ ⋯ 직육면체

정육각형⋯ ⋯ 직각삼각형⋯ ⋯ 반원⋯ ⋯ 삼각뿔

다각형인것은마름모, 사다리꼴, 정육각형, 직각삼각형의4개이다.

① 2개 ② 3개 ③ 4개

④ 5개 ⑤ 6개




기는?

① 60˘ ② 65˘

③ 70˘ ④ 75˘

⑤ 80˘

∠BDE=30˘+∠BAD, ∠CDE=25˘+∠CAD∠BDE+∠CDE=55˘+(∠BAD+∠CAD)즉, 115˘=55˘+∠x⋯ ⋯∴∠x=60˘

x

30˘115˘

25˘

A

D

B C


AB”=AC”=CD”일때, ∠x의

크기는?

① 30˘ ② 33˘

③ 36˘ ④ 40˘ ⑤ 43˘

∠ACB=∠ABC=∠x, ∠CAD=∠x+∠x=2∠x∴∠CDA=∠CAD=2∠x2∠x+108˘=180˘⋯ ⋯∴∠x=36˘

xC

A108˘

D

B

11 오른쪽 그림의 △ABC에서

AD”가∠A의이등분선일때, ∠x

의크기를구하여라. [6점] 80˘

B D C

A

130˘

120˘

x∠BAD=;2!;_(180˘-120˘)

∠BAD=30˘ ◀2점∠ABD=180˘-130˘=50˘ ◀2점△ABD에서∠x=∠BAD+∠ABD=80˘ ◀2점


∠x+∠y의값은?

① 36˘ ② 38˘

③ 40˘ ④ 42˘

⑤ 44˘

∠CGD=38˘+32˘=70˘, ∠EFD=∠y+35˘70˘+(∠y+35˘)+(∠x+35˘)=180˘∴∠x+∠y=40˘

32˘

38˘

35˘

x+35˘

y

13 오른쪽 그림에서 ∠x의 크기

는?

① 55˘ ② 60˘

③ 65˘ ④ 70˘

⑤ 75˘

∠x+(180˘-120˘)+(180˘-105˘)+40˘+(180˘-90˘)+35˘=360˘∴∠x=60˘

x

120˘

105˘

35˘

40˘



∠DCE+∠DEC=540˘-(95˘+95˘+65˘+60˘+110˘)=115˘△DCE에서∠x=180˘-(∠DCE+∠DEC)=65˘

A

B F

C

D

95˘

95˘

65˘ 60˘

110˘

E

x

15 오른쪽 그림과 같은 정오각

형에서∠x의크기는?

① 64˘ ② 68˘

③ 72˘ ④ 76˘

⑤ 80˘

=108˘⋯ ⋯∴∠ABC=108˘

∠BAC=∠BCA=;2!;_(180˘-108˘)=36˘

같은방법으로∠ABE=36˘⋯ ⋯∴∠x=∠ABF+∠BAF=72˘

180˘_(5-2)5

B

C D

E

A

Fx

16 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합이 같은 다각

형은?

① 칠각형 ② 육각형 ③오각형

④ 사각형 ⑤ 삼각형

구하는다각형을n각형이라하면180˘_(n-2)=360˘, n-2=2⋯ ⋯∴n=4따라서구하는다각형은사각형이다.



발전문제

20 오른쪽 그림의 △ABC

에서 ∠A의 외각의 이등분선

과 ∠C의 외각의 이등분선의

교점을 I라 할 때, ∠x의 크기

는?

① 45˘ ② 50˘ ③ 55˘

④ 60˘ ⑤ 65˘

17 다음중정팔각형에대한설명으로옳지않은것은?

①한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는 5개

이다.

② 대각선의총개수는 20개이다.

③ 내각의크기의합은 900˘이다.

④ 한내각의크기는 135˘이다.

⑤ 한외각의크기는 45˘이다.

① 8-3=5(개) ② =20(개)

③ 180˘_(8-2)=1080˘ ④ =135˘

⑤ =45˘360˘8

180˘_(8-2)8

8_(8-3)2

18 한내각의크기와한외각의크기의비가 4 : 1인정

다각형의대각선의총개수는?

① 27개 ② 35개 ③ 44개

④ 54개 ⑤ 65개

(한외각의크기)=180˘_ =36˘


∴ =35(개)10_(10-3)

2

360˘n

14+1

19 내각의크기와외각의크기를모두더한값이 1620˘

인정다각형의한외각의크기는?

① 20˘ ② 30˘ ③ 36˘

④ 40˘ ⑤ 60˘

구하는정다각형을정n각형이라하면180˘_(n-2)+360˘=1620˘, n-2=7⋯ ⋯∴n=9

∴ =40˘360˘9

B C

A

60˘

Ix

21 오른쪽그림은변의길

이가같은정육각형과정팔각

형의 한 변을 붙여 놓은 것이

다. ∠x의크기는?

① 100˘ ② 105˘ ③ 110˘

④ 115˘ ⑤ 120˘

x


∠a+∠b+∠c+∠d

+∠e+∠f

의값을구하여라.

100˘105˘

a

dc f

eb



다음그림의△ABC에서점 D는∠B의이등분

선과∠C의외각의이등분선의교점이다.

∠A=50˘일때, ∠x의크기를구하여라. [6점]

1

❶ △ABC에서∠ACE의크기와∠A, ∠ABC의크기사이의

관계는?

△ABC에서∠ACE는∠ACB의 이므로

∠ACE=∠A+∠ABC

외각

다음 그림의△ABC에서 점 D는∠B의 이등분

선과∠C의외각의이등분선의교점이다.

∠BDC=30˘일때, ∠x의크기를구하여라. [6점]

2

B C

50˘

E

AD

x

❷ ∠ABD=∠a라 할 때, ∠ACE의 크기를 ∠a를 사용하여

나타내면?

BD”가∠ABC의이등분선이므로

∠ABC= ∠ABD= ∠a

∴∠ACE=∠A+∠ABC

∴∠ACE= yy`㉠ ◀ 2점50˘+2∠a

22

❸ △DBC에서 ∠DCE의 크기를 ∠a, ∠x를 사용하여 나타

내면?

△DBC에서∠DCE는∠DCB의외각이므로

∠DCE=∠D+∠DBC

∠DCE= yy`㉡ ◀ 2점∠x+∠a

❹ ∠x의크기는?

∠ACE=2∠DCE이므로㉠, ㉡`에서

50˘+2∠a=2(∠x+∠a), 2∠x=

∴∠x= ◀ 2점25˘

50˘

x

A D30˘

C EB

❶ △DBC에서∠DCE의크기와∠D, ∠DBC의크기사이의

관계는?

❷ ∠DBC=∠a라 할 때, ∠DCE의 크기를 ∠a를 사용하여

나타내면?

❸ △ABC에서 ∠ACE의 크기를 ∠a, ∠x를 사용하여 나타

내면?

❹ ∠x의크기는?

△DBC에서∠DCE는∠DCB의외각이므로∠DCE=∠D+∠DBC

∠DCE=∠D+∠DBC=30˘+∠a yy`㉠ ◀2점

BD”가∠ABC의이등분선이므로∠ABC=2∠DBC=2∠a∴∠ACE=∠A+∠ABC

=∠x+2∠a yy`㉡ ◀2점

∠ACE=2∠DCE이므로㉠, ㉡`에서∠x+2∠a=2(30˘+∠a)∴∠x=60˘ ◀2점



내각의 크기의 합이 1260˘인 다각형의 대각선의

총개수를구하여라. [5점]3

한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 5 : 1인

정다각형의내각의크기의합을 a˘, 외각의크기의

합을 b˘라할때, a-b의값을구하여라. [7점]

6오른쪽그림의사각형

ABCD에서 ∠C, ∠D

의 이등분선의 교점을 E라 할 때,

∠DEC의크기를구하여라. [6점]

4

오른쪽 그림과 같은 정오

각형에서 ∠y-∠x의 값

을구하여라. [7점]

5

27개

100˘ 1440

36˘

120˘

80˘B

AD

C

E

B F

C D

E

A

yx

구하는다각형을n각형이라하면내각의크기의합이1260˘이므로180˘_(n-2)=1260˘, n-2=7∴n=9따라서구하는다각형은구각형이다. ◀3점이때구각형의대각선의총개수는

=27(개) ◀2점9_(9-3)

2

사각형의내각의크기의합은360˘이므로120˘+80˘+∠C+∠D=360˘, ∠C+∠D=160˘

∴∠ECD+∠EDC=160˘_;2!;=80˘ ◀3점

삼각형의내각의크기의합은180˘이므로△DEC에서∠DEC+∠ECD+∠EDC=180˘∠DEC+80˘=180˘⋯ ⋯∴∠DEC=100˘ ◀3점

(한외각의크기)=180˘_ =30˘

구하는정다각형을정n각형이라하면

=30˘⋯ ⋯∴n=12

따라서구하는정다각형은정십이각형이다. ◀3점이때정십이각형의내각의크기의합은180˘_(12-2)=1800˘이므로 a=1800 ◀2점또, 정십이각형의외각의크기의합은360˘이므로 b=360 ◀1점∴a-b=1800-360=1440 ◀1점

360˘n

15+1

정오각형의한내각의크기는

=108˘⋯ ⋯∴∠BAE=108˘ ◀2점

이때 AB”=AE”이므로△ABE는이등변삼각형이다.

∴∠x=∠ABE=;2!;_(180˘-108˘)=36˘ ◀2점

같은방법으로△ABC에서∠BAC=36˘△ABF에서∠y=∠ABF+∠BAF=36˘+36˘=72˘ ◀2점∴∠y-∠x=72˘-36˘=36˘ ◀1점

180˘_(5-2)5

116 5. 부채꼴의성질

원과부채꼴개념

1 원과부채꼴

⑴원: 평면위의한점O로부터일정한거리에있는모든점으로이루어진도형

⑵호AB: 원위의두점A, B를양끝점으로하는원의일부분

˙k 기호 µAB

⑶현 CD: 원위의두점C, D를이은선분 ˙k CD”

⑷부채꼴 AOB: 원O에서두반지름OA, OB와호AB로이루

어진도형

⑸중심각: 부채꼴AOB에서두반지름OA, OB가이루는각, 즉∠AOB를부채꼴AOB의

중심각또는호AB에대한중심각이라한다.

⑹활꼴: 현CD와호CD로이루어진도형

| 참고 | ①일반적으로 µAB는 길이가 짧은 쪽의 호를 나타내고, 길이가 긴 쪽의 호를 나타낼 때는

그호위에한점 C를잡아 ®ACB와같이나타낸다.

②원의지름은한원에서길이가가장긴현이다.

③반원은활꼴인동시에중심각의크기가 180˘인부채꼴이다.


오른쪽그림의원 O 위에다음을나타내어라.

⑴ 호AD

⑵ 현BC

⑶ 부채꼴AOD

⑷ 호BC와현BC로이루어진활꼴

1

▶호AB개념다시보기

O

BA

C D

부채꼴,

활꼴,

호 AB

현 CD 중심각,

DA

CB

O

5-1 부채꼴의뜻과성질

원의중심 반지름의길이

C

O

A BAB

ACB

▶현 CD ▶부채꼴AOB ▶중심각 ▶활꼴

5-1. 부채꼴의뜻과성질 117


대표03 다음 중 오른쪽 그림과 같이

AB”를 지름으로 하는 원 O에 대한

설명으로옳지않은것은?

① OA”=OB”=OC”

② AB”는현이다.

③ 호BC에대한중심각은∠AOB이다.

④ 두반지름OA, OC와호AC로이루어진도형은

부채꼴이다.

⑤ 호AC와현AC로이루어진도형은활꼴이다.

원과부채꼴의정의

O

A

B C

원과부채꼴에관련된용어들을정확히암기하도록강조해주세요.

Y쌤

02 다음중옳지않은것을모두고르면? (정답 2개)

①원은평면위의한점에서일정한거리에있는모

든점으로이루어진도형이다.

② 원위의두점을양끝점으로하는원의일부분을

호라한다.

③ 현은원위의두점을이은선분이다.

④ 부채꼴은지름과호로이루어진도형이다.

⑤ 활꼴은두반지름과호로이루어진도형이다.

01 다음 보기 중 오른쪽 그림의 원

O에서 A~E에 해당하는 용어를 골

라라.

B

AO

E

D

C

보`기

호⋯ ⋯ ⋯ ⋯부채꼴⋯ ⋯ ⋯활꼴⋯ ⋯ ⋯ ⋯현⋯ ⋯

중심⋯ ⋯ ⋯지름⋯ ⋯ ⋯ ⋯반지름⋯ ⋯ ⋯중심각

⑴ A 반지름 ⑵ B 부채꼴

⑶ C 현 ⑷ D 호

⑸ E 활꼴

04 오른쪽 그림과 같이 AC”를 지

름으로 하는 원 O에서 다음을 기호로

나타내어라.

원과부채꼴의기호

C

BA

O

⑴ µAB에대한중심각 ⑵ µBC에대한중심각

⑶∠AOB에대한호 ⑷∠AOB에대한현

∠AOB ∠BOC

µAB AB”

05 다음보기중옳은것을모두골라라. ㄱ, ㄴ, ㄹ

원과부채꼴의이해

보`기

ㄱ. 원에서길이가가장긴현은지름이다.

ㄴ. 반원은활꼴인동시에부채꼴이다.

ㄷ. 원의중심을지나는현은반지름이다.

ㄹ. 중심각의크기가 180˘인부채꼴은반원이다.

06 반지름의길이가 4 cm인원에서가장긴현의길이

는?

① 2 cm ② 4 cm

③ 6 cm ④ 8 cm

⑤ 10 cm


중심각의크기와호의길이, 부채꼴의넓이, 현의길이사이의관계

개념


다음그림의원 O에서 x의값을구하여라.

⑴ ⑵ ⑶

60˘60˘

x cm

8 cm

OO50˘

50˘

x cm¤

10 cm¤

O

4 cm

40˘

40˘

x cm

1


1 중심각의크기와호의길이, 부채꼴의넓이사이의관계

한원또는합동인두원에서

⑴크기가같은중심각에대한호의길이와부채꼴의넓이는각각같다.

⑵호의길이와부채꼴의넓이는각각중심각의크기에정비례한다. O

AB

C

E

D

2 중심각의크기와현의길이사이의관계

한원또는합동인두원에서

⑴크기가같은중심각에대한현의길이는같다.

⑵현의길이는중심각의크기에정비례하지않는다.O

BA C

▶중심각의크기와호의길이, 부채꼴의넓이

다음그림과같이중심각의크기가 2배, 3배, y가

되면호의길이와부채꼴의넓이도 2배, 3배, y가

된다.

˙k (중심각의크기의비)=(호의길이의비)

=(부채꼴의넓이의비)

▶중심각의크기와현의길이

다음그림과같이중심각의크기가 2배, 3배, y가

되어도현의길이는 2배, 3배, y가되지않는다.

˙k (중심각의크기의비)+(현의길이의비)

∠COE=2∠AOB이므로

µCE=2µAB, (부채꼴 COE의넓이)=2_(부채꼴AOB의넓이)

∠AOC=2∠AOB이지만 AC”<2AB”, 즉 AC”+2AB”

4

10 8



대표02 오른쪽그림의원 O에서

x, y의값을각각구하여라.

중심각의크기와호의길이, 부채꼴의넓이, 현의길이

중심각의크기와호의길이를모두알고있는부채꼴을기준으로비례식을세우도록알려주세요.

Y쌤

x=35, y=10

01 다음그림의원 O에서 x의값을구하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

O x˘

36 cm¤

24 cm¤

O140˘

35˘

x cm¤

4 cm¤

60˘

x˘

8 cm

20 cm

OO

30˘

x cm

3 cm 9 150

16 60

03 오른쪽 그림의 원 O에서 x의 `

값을구하여라. 45

O

45˘

x˘

9 cm

9 cm

대표05 오른쪽 그림의 반원

O에서 AD” OC”일 때, x

의값을구하여라. 21

호의길이의응용

보조선을그어이등변삼각형과평행선의성질을이용할수있도록알려주세요.

Y쌤

04 오른쪽그림의원 O에서

AB” OC”일 때, x의 값을 구하

여라. 4

O

A B

C

10 cm

100˘ x cm

대표06 오른쪽그림의원O에서

∠AOB=∠BOC=∠COD일

때, 다음보기중옳은것을모두골

라라. ㄱ, ㄴ, ㄷ

중심각의크기와호의길이, 부채꼴의넓이, 현의길이

사이의관계

A

C

DB

O

보`기

ㄱ. µAB=µCD ㄴ. µAD=3µBC

ㄷ. AB”=CD” ㄹ. AD”=3BC”

현의길이는중심각의크기에정비례하지않음을강조해주세요.

Y쌤

y cm

5 cm

7 cm

O

25˘

50˘x˘

한원에서호의길이와부채꼴의넓이는각각중심각의크기에정비례하므로비례식을세울수있도록알려주세요.

Y쌤

3 cm

x cm

20˘OA B

C

D



01 원과부채꼴의이해한원에서부채꼴과활꼴이같아질때의중심각의크기는?

① 45˘ ② 60˘ ③ 90˘

④ 120˘ ⑤ 180˘

02 중심각의크기와호의길이오른쪽그림의원 O에서∠x의크기를구하여라. 30˘

O6 cm

27 cm

4x+15˘

x

한원에서호의길이는중심각의크기에정비례한다.Y쌤

03 호의길이의비오른쪽그림과같이AC”를 지름으로하는원 O에서

µAB : µBC : µCA=3 : 2 : 5일때, ∠AOB의크기를

구하여라. 108˘ O

A B

C

∠AOB+∠BOC+∠COA=360˘

Y쌤

04 호의길이의응용오른쪽그림의반원 O에서AD” BC”이고

∠COD=30˘, µCD=5 cm일때, µAD의길이는?

① 12 cm ② 15 cm ③ 18 cm

④ 20 cm ⑤ 25 cm

OB

A

C

D5 cm

30˘보조선을긋고이등변삼

각형과평행선의성질을이용한다.

Y쌤

05 호의길이의응용오른쪽그림의원 O에서AB” OC”이고, µAB=2µBC일때,


A B

CO

x

부채꼴과활꼴이같아질때는반원인경우이므로중심각의크기는180˘이다.

(4∠x+15˘) :∠x=27 : 6=9 : 29∠x=2(4∠x+15˘)⋯ ⋯∴∠x=30˘

∠AOB :∠BOC :∠COA=µAB : µBC : µCA=3 : 2 : 5이므로

∠AOB=360˘_ =360˘_ =108˘310

33+2+5

∠x+∠x+2∠x=180˘, 4∠x=180˘⋯ ⋯∴∠x=45˘

∠ODA=∠DOC=30˘ (엇각)△AOD는이등변삼각형이므로∠OAD=∠ODA=30˘△AOD에서∠AOD=180˘-(30˘+30˘)=120˘

120 : 30=µAD : 5⋯ ⋯∴ µAD=20(cm)



06 중심각의크기와부채꼴의넓이오른쪽그림의원 O에서중심각의크기가 40˘인부채꼴

의넓이가 10 cm¤일때, 원 O의넓이를구하여라.10 cm¤O

40˘90 cm¤

한원에서부채꼴의넓이는중심각의크기에정비례한다.Y쌤

07 중심각의크기와부채꼴의넓이오른쪽 그림의 원 O에서 µAB=8 cm, µCD=3 cm이고

부채꼴 AOB의 넓이가 40 cm¤일 때, 부채꼴 COD의 넓

이를구하여라. 15 cm¤O

A

B

C

D

40 cm¤

8 cm

3 cm한원에서

(중심각의크기의비)=(호의길이의비)=(부채꼴의넓이의비)

Y쌤

08 중심각의크기와현의길이오른쪽그림과같이AD”를지름으로하는원 O에서

AB”=CD”=DE”이다. ∠COE=130˘일 때, ∠AOB의


B

A

E

D

130˘

C

O크기가같은중심각에대

한현의길이는같다.Y쌤

09 중심각의 크기와 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의관계

한원또는합동인두원에서다음설명중옳지않은것은?

① 길이가같은호에대한중심각의크기는같다.

② 크기가같은중심각에대한현의길이는같다.

③ 호의길이는중심각의크기에정비례한다.

④ 부채꼴의넓이는호의길이에정비례한다.

⑤ 현의길이는중심각의크기에정비례한다.

10 중심각의 크기와 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의관계

오른쪽 그림의 원 O에서 ∠AOB=∠BOC일 때, 다음 중

옳지않은것을모두고르면? (정답 2개)

① µAC=2µAB

② AB”=BC”

③ AC”=2AB”

④ (△AOC의넓이)=2_(△AOB의넓이)

⑤ (부채꼴AOC의넓이)=2_(부채꼴AOB의넓이)

O

A

C

B

한원또는합동인두원에서중심각의크기에

˙k⋯ 정비례하는것: 호의길이,부채꼴의넓이정비례하지않는것: 현의길이, 삼각형의넓이

Y쌤

원O의넓이를 x cm¤라하면40 : 360=10 : x⋯ ⋯∴x=90

40 : (부채꼴COD의넓이)=8 : 38_(부채꼴COD의넓이)=120∴(부채꼴COD의넓이)=15(cm¤ )

③현의길이는중심각의크기에정비례하지않으므로 AC”+2AB”④삼각형의넓이는중심각의크기에정비례하지않으므로 (△AOC의넓이)+2_(△AOB의넓이)

∠AOB=∠COD=∠DOE이므로

∠AOB=;2!;∠COE=;2!;_130˘=65˘


원의둘레의길이와넓이개념

▶원의넓이

오른쪽그림과같이원을한없이잘게잘라붙이면원의넓

이는직사각형의넓이와같아진다.

∴(원의넓이)=(직사각형의넓이)

∴(원의넓이)={원의둘레의길이의 ;2!;}_(반지름의길이)

∴(원의넓이)={2pr_;2!;}_r=pr¤


1 원주율

원의지름의길이에대한원의둘레의길이의비

˙k 기호p(파이)

| 참고 | ①원주율은원의크기에상관없이항상일정하다.

②원주율 p의정확한값은 3.141592y로불규칙하게한없이계속되는소수이다. 따라서원주율이특정한수치

로주어지지않는한문자 p를사용하여나타낸다.

원주율(p)=(원의둘레의길이)(원의지름의길이)

2 원의둘레의길이와넓이

반지름의길이가 r인원의둘레의길이를 l, 넓이를S라하면

⑴ l=(지름의길이)_(원주율)

=2r_p=2pr

⑵ S=(반지름의길이)_(반지름의길이)_(원주율)

=r_r_p=pr¤

O

Sr

l

l=2pr, ⋯S=pr¤

초등학교에서배운공식에서3.14를 p로바꾼다.


반지름의길이가 4 cm인원의둘레의길이와넓이를 p를사용하여차례로나타내어라.1

다음그림과같은원의둘레의길이와넓이를차례로구하여라.

⑴ ⑵ ⑶

10 cm7 cm3 cm

2

6p cm, 9p cm¤ 14p cm, 49p cm¤ 10p cm, 25p cm¤

5-2 부채꼴의호의길이와넓이

원주

8p cm, 16p cm¤

5-2. 부채꼴의호의길이와넓이 123


01 원의 둘레의 길이가 다음과 같을 때, 원의 반지름의

길이를구하여라.

⑴ 12p cm 6 cm ⑵ 20p cm 10 cm

원의둘레의길이와넓이

02 원의 넓이가 다음과 같을 때, 원의 반지름의 길이를

구하여라.

⑴ 100p cm¤ 10 cm ⑵ 144p cm¤ 12 cm

03 오른쪽 그림과 같이 넓이가

36p cm¤인 원의 반지름의 길이를 구

하여라. 6 cm

대표

36p cm¤

대표05 오른쪽 그림과 같은 반원의 둘

레의길이와넓이를차례로구하여라.

반원의둘레의길이를구할때, 반드시원의지름의길이를더해야함을강조해주세요.

Y쌤

20 cm(10p+20) cm, 50p cm¤

04 다음 그림과 같은 반원의 둘레의 길이와 넓이를 차

례로구하여라.

⑴ ⑵ 12 cm

4 cm

(4p+8) cm, 8p cm¤ (6p+12) cm, 18p cm¤

대표07 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의

둘레의길이와넓이를차례로구하여라.8 cm

24p cm, 48p cm¤

큰원의반지름의길이를이용하여작은원의반지름의길이를먼저구할수있도록알려주세요.

Y쌤

06 다음 그림에서 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이를

차례로구하여라.

⑴ ⑵

9 cm3 cm

3 cm 2 cm

16p cm, 16p cm¤ 24p cm, 72p cm¤

08 오른쪽 그림에서 색칠한 부분

의 둘레의 길이와 넓이를 차례로 구

하여라. 10p cm, ;;™2∞;;p cm¤ 5 cm5 cm

주어진도형의일부를적당히이동시켜넓이를구할수있도록설명해주세요.

Y쌤

반원의둘레의길이와넓이

색칠한부분의둘레의길이와넓이


부채꼴의호의길이와넓이개념


다음그림과같은부채꼴의호의길이와넓이를차례로구하여라.

⑴ ⑵

3 cm

120˘

6 cm60˘

1

2 부채꼴의호의길이와넓이사이의관계

반지름의길이가 r, 호의길이가 l인부채꼴의넓이를S라하면

S=;2!;rl

1 부채꼴의호의길이와넓이

반지름의길이가 r, 중심각의크기가x˘인부채꼴의호의길이를 l, 넓이를S라하면

⑴ l=(원의둘레의길이)_

l=2pr_;36{0;

⑵S=(원의넓이)_

S=pr¤ _;36{0;

(중심각의크기)360

(중심각의크기)360

l=2pr_;36{0;

S=pr¤ _;36{0;=;2!;rl

O

l

rx˘S

▶부채꼴의호의길이와넓이

부채꼴의호의길이와넓이는각각중심각의크기에정비례하므로

⑴ 360 : x=(원의둘레의길이) : (부채꼴의호의길이)

⋯ 360 : x=2pr : l에서 360_l=x_2pr⋯ ⋯∴ l=2pr_;36{0;

⑵ 360 : x=(원의넓이) : (부채꼴의넓이)

⋯ 360 : x=pr¤ : S에서 360_S=x_pr¤ ⋯ ⋯∴S=pr¤ _;36{0;

▶부채꼴의호의길이와넓이사이의관계

⑴`에서 ;36{0;= 이므로⑵`에대입하면⋯ ⋯S=pr¤ _;36{0;=pr¤ _ =;2!;rll2pr

l2pr


중심각이차지하는비율

반지름의길이가 8 cm이고, 호의길이가 2p cm인부채꼴의넓이를구하여라. 8p cm¤2

2p cm, 6p cm¤ 2p cm, 3p cm¤

중심각의크기를알지못할때사용한다.



01 오른쪽 그림과 같이 반지름

의길이가 9 cm이고, 호의길이가

3p cm인 부채꼴의 중심각의 크


부채꼴의호의길이와넓이

02 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길

이가 15 cm이고, 넓이가 45p cm¤ 인

부채꼴의호의길이를구하여라. 6p cm45p cm¤

15 cm

대표03 오른쪽 그림과 같은 부채꼴의

둘레의길이를구하여라.

부채꼴의둘레의길이

5 cm

108˘

(3p+10) cm

(부채꼴의둘레의길이)=(호의길이)+(반지름의길이)_2Y쌤

04 다음그림과같은부채꼴의둘레의길이를구하여라.

⑴ ⑵

9 cm

280˘

12 cm(6p+24) cm (14p+18) cm

05 다음그림에서색칠한부분의둘레의길이를구하여라.

⑴ ⑵

8 cm

8 cm

9 cm

60˘3 cm

색칠한부분의둘레의길이와넓이

(4p+12) cm (8p+8) cm

06 다음그림에서색칠한부분의넓이를구하여라.

⑴ ⑵

4 cm

4 cm10 cm

10 cm

(25p-50) cm¤ (16-4p) cm¤

07 오른쪽 그림에서 색칠한 부

분의 둘레의 길이와 넓이를 차례로

구하여라. 6p cm, (18p-36) cm¤

대표 6 cm

6 cm


분의둘레의길이와넓이를차례로

구하여라. 6p cm, 18 cm¤

대표

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

색칠한부분의둘레의길이를구할때는색칠한부분을둘러싸고있는선분과곡선의길이를모두더해야함을강조해주세요.

Y쌤

색칠한부분의넓이를구할때는주어진도형의일부를적당히이동시켜간단한도형이되도록해야함을설명해주세요.

Y쌤

9 cm

3p cm



01 원의둘레의길이와넓이오른쪽 그림에서 원 O의 둘레의 길이가 10p cm일 때, 원

O의넓이는?

① 5p cm¤ ② 10p cm¤ ③ 15p cm¤

④ 20p cm¤ ⑤ 25p cm¤

O

10p cm

반지름의길이가 r인원의둘레의길이를 l, 넓이를 S라하면① l=2pr ② S=pr¤

Y쌤

02 색칠한부분의둘레의길이와넓이

다음그림에서색칠한부분의둘레의길이와넓이를차례로구하여라.

⑴ ⑵

12 cm

6 cm8 cm

4 cm

24p cm, 16p cm¤ 18p cm, 27p cm¤

03 부채꼴의호의길이와중심각의크기

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 9 cm이고 호의 길이

가 10p cm인부채꼴의중심각의크기를구하여라. 200˘

9 cm

10p cm

반지름의길이가 r, 중심각의크기가 x˘인부채꼴의호의길이를 l이라하면

l=2pr_;36{0;

Y쌤

04 부채꼴의넓이오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 5 cm인 정오각형에서

색칠한부채꼴의넓이는?

① ;;¡2£;;p cm¤ ② 7p cm¤ ③ ;;¡2∞;;p cm¤

④ 8p cm¤ ⑤ ;;¡2¶;;p cm¤

5 cm

(정n각형의한내각의크기)

= 180˘_(n-2)n

Y쌤

원O의반지름의길이를 r cm라하면2pr=10p에서 r=5따라서원O의넓이는p_5¤ =25p(cm¤ )

⑴ (둘레의길이)=2p_6+2p_2+2p_4=24p(cm)⋯ (넓이)=p_6¤ -p_2¤ -p_4¤ =16p(cm¤ )

⑵(둘레의길이)=2p_9_;2!;+2p_3_;2!;+2p_6_;2!;=18p(cm)

⋯ (넓이)=p_9¤ _;2!;-p_6¤ _;2!;+p_3¤ _;2!;=27p(cm¤ )

2p_9_;36{0;=10p, ;36{0;=;9%;

∴x=200

(정오각형의한내각의크기)= =108˘이므로

(넓이)=p_5¤ _;3!6)0*;=;;¡2∞;;p(cm¤ )

180˘_(5-2)5



05 부채꼴의호의길이와넓이사이의관계

오른쪽그림과같이호의길이가 4p cm이고, 넓이가

12p cm¤인 부채꼴의 반지름의 길이와 중심각의 크기를 차

례로구하여라. 6 cm, 120˘12p cm¤

4p cm

반지름의길이가 r, 호의길이가 l인부채꼴의넓이를S라하면

S=;2!;rl

Y쌤

06 색칠한부분의둘레의길이와넓이

오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이를 차

례로구하여라. 10p cm, (100-25p) cm¤

10 cm

10 cm

07 색칠한부분의둘레의길이오른쪽그림은지름의길이가 12 cm인반원을점 A를중

심으로 45˘만큼회전시킨것이다. 색칠한부분의둘레의길

이는?

① 12p cm ② 13p cm ③ 14p cm

④ 15p cm ⑤ 16p cm

A B45˘

12 cm

B'(둘레의길이)

=µAB'+µAB+µBB'

=2µAB+ µBB'

Y쌤

08 색칠한부분의넓이오른쪽그림에서색칠한부분의넓이는?

① 32 cm¤ ② 40 cm¤ ③ 48 cm¤

④ 56 cm¤ ⑤ 64 cm¤

8 cm

8 cm주어진도형의일부분을

적당히이동하여색칠한부분이간단한모양이되도록한다.

Y쌤

반지름의길이를 r cm라하면 12p=;2!;_r_4p⋯ ⋯∴ r=6

중심각의크기를x˘라하면 4p=2p_6_;36{0;⋯ ⋯∴x=120

(둘레의길이)={2p_5_;3ª6º0;}_4=10p(cm)

(넓이)={5_5-p_5¤ _;3ª6º0;}_4

(넓이)={25-;;™4∞;;p}_4=100-25p(cm¤ )

(둘레의길이)=2µAB+µBB'

(둘레의길이)=2_{2p_6_;2!;}+2p_12_;3¢6∞0;

(둘레의길이)=15p(cm)

(넓이)=;2!;_8_8=32(cm¤ )



01 다음그림의원 O에서 x의값을구하여라. 4

02 오른쪽그림의반원 O에

서 µAC=10 cm, µBC=2 cm

일때, ∠COB의크기는?

① 20˘ ② 25˘

③ 30˘ ④ 35˘ ⑤ 40˘

O

C

A B

10 cm

2 cm

∠AOC :∠COB=µAC : µBC=5 : 1

∴∠COB=180˘_ =30˘15+1

03 오른쪽그림의원 O에서부채

꼴 COD의 넓이가 부채꼴 AOB의

넓이의 2배일 때, x의 값을 구하여

라. 10

O

A

2x˘(x+30)

B

C

D

2x : (x+30)=1 : 2에서4x=x+30⋯ ⋯∴x=10


∠AOB :∠BOC :∠COA

=3 : 5 : 4이다. 원 O의넓이가

96p cm¤ 일때, 부채꼴AOB의

넓이는?

① 20p cm¤ ② 22p cm¤ ③ 24p cm¤

④ 26p cm¤ ⑤ 28p cm¤

O

A

B

C

(부채꼴AOB의넓이) : (부채꼴BOC의넓이) : (부채꼴COA의넓이)=3 : 5 : 4이므로

(부채꼴AOB의넓이)=96p_ =24p(cm¤ )33+5+4


AO” BC”, µAB=9 cm일때,

µBC의길이는?

① 16 cm ② 18 cm

③ 20 cm ④ 22 cm

⑤ 24 cm

OA

B C

45˘9 cm

∠OBC=∠AOB=45˘ (엇각)△OBC는이등변삼각형이므로∠OCB=∠OBC=45˘∴∠BOC=180˘-(45˘+45˘)=90˘

45 : 90=9 : µBC, 1 : 2=9 : µBC⋯ ⋯∴ µBC=18(cm)

보조선을긋고, 평행선의성질을이용하도록지도해주세요.Y쌤

06 오른쪽 그림의 원 O에서

지름 AD의연장선과현 BC의

연장선의교점을 E라하자.

OC”=CE”, µCD=5 cm,

∠CED=25˘일 때, µAB의 길

이를구하여라. [8점] 15 cm

OA

B C

D25˘

5 cmE

△OCE에서∠COE=∠CEO=25˘ ◀1점∴∠OCB=25˘+25˘=50˘△OBC에서∠OBC=∠OCB=50˘ ◀2점△OBE에서∠AOB=50˘+25˘=75˘ ◀2점75 : 25=µAB : 5, 3 : 1=µAB : 5⋯ ⋯∴ µAB=15(cm) ◀3점


∠AOB=∠BOC=∠DOE일

때, 다음중옳지않은것은?

① µAB=µDE

② AB”=BC”

③ µAB=;2!; µAC

④ (부채꼴AOC의넓이)=2_(부채꼴DOE의넓이)

⑤ (△AOC의넓이)=2_(△DOE의넓이)

O

E

D

CA

B

⑤삼각형의넓이는중심각의크기에정비례하지않으므로⋯ (△AOC의넓이)+2_(△DOE의넓이)

(x+2) cm

(4x-1) cm

120˘48˘ O

48 : 120=(x+2) : (4x-1)에서 2 : 5=(x+2) : (4x-1)∴x=4



08 오른쪽그림에서원 O의넓이가

144p cm¤일 때, 원 O의 둘레의 길이

를구하여라. [5점] 24p cm

원O의반지름의길이를 r cm라하면pr¤ =144p=p_12_12⋯ ⋯∴ r=12 ◀2점∴(둘레의길이)=2p_12

=24p(cm) ◀3점

09 오른쪽 그림은 직각삼각

형의 세 변을 각각 지름으로 하

는 반원을 그린 것이다. 색칠한

부분의둘레의길이와넓이를차

례로구하여라. 12p cm, 24 cm¤

10 cm

8 cm6 cm

(둘레의길이)=2p_4_;2!;+2p_3_;2!;+2p_5_;2!;=12p(cm)

(넓이)=p_4¤ _;2!;+;2!;_8_6+p_3¤ _;2!;-p_5¤ _;2!;=24(cm¤ )

(둘레의길이)=2p_5+2p_;2%;

(둘레의길이)=15p(cm)


AB”=BC”=CD”=5 cm이고,

AD”가 가장 큰 원의 지름일 때,

색칠한부분의둘레의길이는?

① 15p cm ② 16p cm ③ 17p cm

④ 18p cm ⑤ 19p cm

A DB C


분의넓이를구하여라. 32 cm¤

8 cm

8 cm(넓이)=8_4=32(cm¤ )

12 오른쪽 그림과 같이 중심각의

크기가 72˘, 호의 길이가 4p cm인

부채꼴의넓이를구하여라. 20p cm¤

72˘

4p cm

13 오른쪽그림과같이반지름의길

이가 9 cm이고, 넓이가 54p cm¤ 인

부채꼴의호의길이는?

① 8p cm ② 9p cm

③ 10p cm ④ 12p cm ⑤ 13p cm

9 cm

54p cm¤

호의길이를 l cm라하면

;2!;_9_l=54p⋯ ⋯∴ l=12p

14 밑면의반지름의길이가 5 cm인원기둥 3개를다음

그림과 같이 A, B 두 가지 방법을 이용하여 끈으로 묶으

려고 한다. 각 방법에서 필요한 끈의 최소 길이의 차를 구

하여라. (단, 끈의매듭의길이는무시한다.) [8점] 10 cm

5 cm

5 cm

[방법 A] [방법 B]

[방법A]에서필요한끈의최소길이는20_2+2p_5=40+10p(cm) ◀3점[방법B]에서필요한끈의최소길이는10_3+2p_5=30+10p(cm) ◀3점∴(40+10p)-(30+10p)=10(cm) ◀2점

각원의중심에서끈에수직이되도록반지름을연결하고, 묶인끈을직선인부분과곡선인부분으로나누어생각하도록설명해주세요.

Y쌤

[방법A] [방법B]

O

144p cm¤

주어진부채꼴의반지름의길이를 r cm라하면

2pr_;3¶6™0;=4p⋯ ⋯∴ r=10

∴(넓이)=p_10¤ _;3¶6™0;=20p(cm¤ )



발전문제

18 오른쪽그림과같이반

지름의 길이가 3 cm인 원을

직사각형 ABCD의 변을 따

라 한 바퀴 돌렸을 때, 원이

지나간자리의넓이를구하여

라.

19 오른쪽그림과같이가

로의길이가 10 m, 세로의길

이가 6 m인직사각형모양의

울타리의A지점에길이가

8 m인끈으로소를묶어놓았

다. 소가울타리밖에서최대한움직일수있는 역의

넓이를구하여라.

(단, 끈의매듭의길이와소의크기는무시한다.)


분의넓이를구하여라.(32p-64) cm¤

8 cm

8 cm

∴(넓이)={p_4¤ _;3ª6º0;-;2!;_4_4}_8=32p-64(cm¤ )

16 오른쪽 그림과 같이 한 변

의 길이가 4 cm인 정사각형

ABCD에서 색칠한 부분의 넓이

를구하여라. {16-;3*;p} cm¤

4 cm

A D

B

E

C4 cm

17 오른쪽 그림과 같이 반원과 부

채꼴이 겹쳐져 있을 때, 색칠한 부분의

넓이를구하여라. (18p-36) cm¤

(넓이)=p_12¤ _;3¢6∞0;-;2!;_12_6

(넓이)=18p-36(cm¤ )

45˘O 6 cm

3 cm

A

B C

D

10 cm

8 cm

10 m

6 m

8 m

A△EBC는정삼각형이므로∠ABE=90˘-60˘=30˘∴(넓이)=(정사각형ABCD의넓이)-(부채꼴ABE의넓이)_2

∴(넓이)=4_4-{p_4¤ _;3£6º0;}_2

∴(넓이)=16-;3*;p(cm¤ )



다음그림과같은부채꼴에서색칠한부분의둘레의

길이와넓이를각각구하여라. [6점]1

O

A

C D

B

6 cm

6 cm120˘

(12p+12) cm, 36p cm¤

❶ 색칠한부분의둘레의길이를구하는식은?

(둘레의길이)

=µAB+ +AC”+ ◀ 1점BD”µCD

❸ 색칠한부분의넓이를구하는식은?

(넓이)

=(부채꼴 의넓이)-(부채꼴 의넓이)

◀ 1점

CODAOB

다음그림과같은부채꼴에서색칠한부분의둘레의

길이와넓이를각각구하여라. [6점]2

❷ ❶`의 식을이용하여색칠한부분의둘레의길이를구하면?

(둘레의길이)

=2p_ _ +2p_ _

+6+

= (cm) ◀ 2점12p+12

6

3606

36012

120 120

❹ ❸`의 식을이용하여색칠한부분의넓이를구하면?

(넓이)

=p_ ¤_ -p_ ¤_

= (cm¤ ) ◀ 2점36p

3606

36012

120 120

4 cm 4 cmO

C

A

DB

45˘

(3p+8) cm, 6p cm¤

❶ 색칠한부분의둘레의길이를구하는식은?

❷ ❶`의 식을이용하여색칠한부분의둘레의길이를구하면?

❸ 색칠한부분의넓이를구하는식은?

❹ ❸`의 식을이용하여색칠한부분의넓이를구하면?

(둘레의길이)=µAB+µCD+AC”+BD” ◀1점

(둘레의길이)=2p_8_;3¢6∞0;+2p_4_;3¢6∞0;+4+4

(둘레의길이)=3p+8(cm) ◀2점

(넓이)=p_8¤ _;3¢6∞0;-p_4¤ _;3¢6∞0;

(넓이)=6p(cm¤ ) ◀2점

(넓이)=(부채꼴AOB의넓이)-(부채꼴COD의넓이) ◀1점



오른쪽 그림과 같이 AC”

를지름으로하는원 O에

서 µAB=9p cm이고,

∠AOB :∠BOC=3 : 1일

때, 부채꼴 AOB의 넓이를 구하

여라. [6점]

4OA

C

B9p cm

오른쪽 그림은 AB”를 지

름으로 하는 반원 O를

점A를중심으로 60˘만큼회전시

킨 것이다. 색칠한 부분의 넓이가

24p cm¤일때, 색칠한부분의둘

레의길이를구하여라. [6점]

5

O60˘

A B

B'오른쪽 그림과 같이 AB”

를지름으로하는원 O에

서∠OBC=15˘일때,

µAC : µBC를 가장 간단한 자연수

의비로나타내어라. [5점]

3O

15˘

A

C

B

1 : 5

54p cm¤

∠AOB :∠BOC=3 : 1이므로

∠AOB=180˘_ =135˘ ◀2점

원O의반지름의길이를 r cm라하면

2p_r_;3!6#0%;=9p⋯ ⋯∴ r=12 ◀2점

따라서원O의반지름의길이는 12 cm이므로

(부채꼴AOB의넓이)=p_12¤ _;3!6#0%;

(부채꼴AOB의넓이)=54p(cm¤ ) ◀2점

33+1

△OBC는 OB”=OC”인이등변삼각형이므로∠OCB=∠OBC=15˘ ◀1점∴∠BOC=180˘-(15˘+15˘)=150˘ ◀1점∠AOC=180˘-150˘=30˘ ◀1점

이때∠AOC :∠BOC=µAC : µBC이므로

µAC : µBC=30 : 150=1 : 5 ◀2점 색칠한부분의넓이는부채꼴B'AB의넓이와같다. ◀2점반원O의지름의길이를 r cm라하면

p_r¤ _;3§6º0;=24p⋯ ⋯∴ r=12

따라서반원O의반지름의길이는 6 cm이다. ◀2점

∴(둘레의길이)=µAB'+µAB+µB'B=2µAB+µB'B

∴(둘레의길이)={2p_6_;2!;}_2+2p_12_;3§6º0;

∴(둘레의길이)=16p(cm) ◀2점

오른쪽 그림과 같이 한

변의 길이가 3 m인 정삼

각형 모양의 울타리의 A지점에

길이가 4 m인 끈으로 강아지를

묶어 놓았다. 강아지가 울타리 밖

에서최대한움직일수있는 역의넓이를구하여라.

(단, 끈의매듭의길이와강아지의크기는무시한다.) [7점]

6

16p cm

14pm¤

강아지가울타리밖에서최대한움직일수있는역은오른쪽그림의색칠한부분과같다. ◀3점

∴(넓이)={p_1¤ _;3!6@0);}_2+p_4¤ _;3#6)0);

∴(넓이)=14p(m¤ ) ◀4점

4 m

A3 m

134 6. 입체도형

다면체개념

1 다면체

다각형인면으로만둘러싸인입체도형을다면체라하고면의개수에

따라사면체, 오면체, 육면체, y라한다.

⑴면: 다면체를둘러싸고있는다각형

⑵모서리: 다면체를이루는다각형의변

⑶꼭짓점: 다면체를이루는다각형의꼭짓점

| 참고 | 면이 4개이상있어야입체도형이되므로면의개수가가장적은다면체는사면체이다.

| 주의 | 오른쪽그림과같이다각형이아닌원이나곡면으로둘러싸인입체도형은다면체가아

니다.


다음입체도형을보고, 표를완성하여라.1

▶다면체개념다시보기

면,

모서리,

꼭짓점,

모양은다르지만두도형모두면이 6개이다.

입체도형

꼭짓점의개수 6개

모서리의개수 9개

면의개수 5개

몇면체 오면체

5개

8개

5개

오면체

8개

12개

6개

육면체

6-1 다면체

6-1. 다면체 135


대표01 다음중다면체가아닌것을모두고르면?

(정답 2개)

① ②

③ ④

⑤

다면체

02 다음보기중다면체의개수를구하여라. 4개

보`기

ㄱ. 오각뿔 ㄴ. 직육면체 ㄷ. 사각기둥

ㄹ. 구 ㅁ. 원뿔 ㅂ. 사면체

03 오른쪽 그림의 입체도형은 몇 면체

인가?

① 오면체 ② 육면체

③ 칠면체 ④ 팔면체

⑤ 구면체

다면체의면, 모서리, 꼭짓점의개수

04 다음그림의입체도형은몇면체인지말하여라.

⑴ ⑵

오면체 육면체

05 오른쪽 그림과 같은 다면체에서

꼭짓점의개수를 a개, 모서리의개수를

b개, 면의개수를 c개라할때,

a+b+c의값을구하여라. 32

06 다음 중 오른쪽 그림과 같은 다면

체에대한설명으로옳지않은것은?

① 꼭짓점의개수는 6개이다.

② 모서리의개수는 10개이다.

③ 면의개수는 6개이다.

④ 점A에모인면의개수는 6개이다.

⑤ 육면체이다.

대표 A

④점A에모인면의개수는5개이다.

각뿔의꼭짓점에모이는면의개수는옆면의개수또는밑면의모서리의개수와같음을설명해주세요.

Y쌤

136 6. 입체도형

다면체의종류개념

1 다면체의종류

⑴각기둥: 두밑면이평행하면서합동인다각형이고, 옆면은모두직사각형인다면체

⑵각뿔: 밑면이다각형이고, 옆면은모두삼각형인

다면체

⑶각뿔대: 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서

생기는 두 입체도형 중에서 각뿔이 아닌 쪽의

입체도형


오른쪽그림의각뿔대에대하여다음을구하여라.

⑴ 옆면의모양 사다리꼴 ⑵ 밑면의모양 오각형

⑶ 각뿔대의이름 오각뿔대 ⑷ 몇면체인가? 칠면체

1

[사각뿔대]

옆면,밑면,

높이,

밑면,

다면체 n각기둥

겨냥도

n각뿔 n각뿔대

밑면의모양 n각형

삼각기둥 사각기둥

y

y 삼각뿔 사각뿔

y

y 삼각뿔대 사각뿔대

y

y

n각형 n각형

밑면의개수 2개 1개 2개

옆면의모양 직사각형 삼각형 사다리꼴

면의개수

˙k 몇면체

(n+2)개

˙k (n+2)면체

(n+1)개

˙k (n+1)면체

(n+2)개

˙k (n+2)면체

(옆면의개수)+(밑면의개수)

▶각뿔대

⑴각뿔대에서서로평행한두면을밑면, 밑면이

아닌면을옆면, 두밑면사이의거리를높이라

한다.

⑵각뿔대의 밑면은 다각형이고, 옆면은 모두 사

다리꼴이다.

⑶각뿔대는 각기둥, 각뿔과 같이 밑면의 모양에

따라삼각뿔대, 사각뿔대, 오각뿔대, y라한다.

▶다면체의면, 모서리, 꼭짓점의개수

˙k n각기둥과n각뿔대는면, 모서리, 꼭짓점의개

수가각각같다.


다면체 n각기둥 n각뿔 n각뿔대면의개수 (n+2)개 (n+1)개 (n+2)개

모서리의개수 3n개 2n개 3n개꼭짓점의개수 2n개 (n+1)개 2n개

대표

6-1. 다면체 137


01 다음중다면체가아닌것은?

① 삼각기둥 ②칠각뿔대

③ 원기둥 ④정육면체

⑤ 사각뿔

다면체의종류

02 아래 보기의 입체도형 중 다음을 만족하는 것을 모

두골라라.

보`기

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

ㄹ. ㅁ. ㅂ.

⑴ 밑면이 2개인도형 ⑵ 각기둥 ㄴ, ㅁ

⑶ 각뿔 ㄱ, ㅂ ⑷ 각뿔대 ㄷ, ㄹ

ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ

03 다음 중 다면체와 그 옆면의 모양을 바르게 짝지은

것은?

① 삼각뿔-사다리꼴

② 사각뿔대-직사각형

③ 오각기둥-오각형

④ 육각뿔대-사다리꼴

⑤ 칠각기둥-삼각형

대표

04 다음중팔면체가아닌것을모두고르면? (정답 2개)

① 육각기둥 ②칠각뿔

③ 육각뿔대 ④팔각기둥

⑤ 팔각뿔

다면체의면, 꼭짓점, 모서리의개수

05 다음중면의개수가가장많은다면체는?

① 사각뿔 ②사각기둥

③ 사각뿔대 ④직육면체

⑤ 칠각뿔

06 모서리의개수가 27개인각뿔대의면의개수를 a개,

꼭짓점의개수를 b개라할때, a+b의값을구하여라. 29

각기둥, 각뿔, 각뿔대의옆면의모양을정확하게암기하도록강조해주세요.

Y쌤

07 다음 조건을 모두 만족하는 입체도형의 이름을 말하

여라. 팔각뿔대

대표

㈎십면체이다.

㈏ 두밑면이서로평행하다.

㈐ 옆면의모양은사다리꼴이다.

(면의개수)=(옆면의개수)+(밑면의개수)Y쌤

138 6. 입체도형

정다면체개념

1 정다면체

다음두조건을모두만족하는다면체를정다면체라한다.

①모든면이합동인정다각형이다.

②각꼭짓점에모인면의개수가모두같다.

▶정다면체가 5가지뿐인이유

정다면체는입체도형이므로˙k①한꼭짓점에모인면의개수가 3개이상이어야하고

②한꼭짓점에모인각의크기의합이 360˘보다작아야한다.

따라서정다면체의면이될수있는것은정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이고각각한꼭짓점에모인면의

개수에따라만들수있는정다면체는다음과같다.


2 정다면체의종류

정다면체는정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지뿐이다.

정다면체 정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체

겨냥도

전개도

면의모양 정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형

한꼭짓점에모인면의개수

3개 3개 4개 3개 5개

면의개수 4개 6개 8개 12개 20개꼭짓점의개수 4개 8개 6개 20개 12개모서리의개수 6개 12개 12개 30개 30개

두조건중어느한가지만을만족하는것은정다면체가아니다.

한꼭짓점에모일수있는정다각형

정다각형의개수 정삼각형 3개

60˘60˘60˘

정삼각형 4개

60˘60˘60˘

60˘

정삼각형 5개

60˘60˘60˘

60˘

60˘

정사각형 3개

90˘

90˘ 90˘

정오각형 3개

108˘108˘

108˘


다음중정다면체에대한설명으로옳은것은 `표, 옳지않은것은×`표를하여라.

⑴ 각면이모두합동인정다각형으로이루어져있다. ( )

⑵ 각꼭짓점에모인면의개수가모두같다. ( )

⑶ 정다면체의종류는무수히많다. ( )×

1

정사면체 정팔면체 정이십면체 정육면체 정십이면체

6-1. 다면체 139


01 다음중정다면체와그면의모양이바르게짝지어진


① 정사면체-정사각형

② 정육면체-정사각형

③ 정팔면체-정삼각형

④ 정십이면체-정삼각형

⑤ 정이십면체-정오각형

정다면체의성질

02 아래보기중다음을만족하는것을모두골라라.

보`기

ㄱ. 정사면체 ㄴ. 정육면체 ㄷ. 정팔면체

ㄹ. 정십이면체 ㅁ. 정이십면체

⑴ 면의모양이정삼각형인정다면체 ㄱ, ㄷ, ㅁ

⑵한꼭짓점에모인면의개수가 3개인정다면체ㄱ, ㄴ, ㄹ

03 다음 조건을 모두 만족하는 정다면체의 이름을 말하

여라. 정팔면체

대표

㈎각면이모두합동인정삼각형이다.

㈏ 한꼭짓점에모인면의개수가 4개이다.

대표04 다음 중 오른쪽 그림과

같은 전개도로 만들어지는 정다

면체에대한설명으로옳지않은

것은?

① 정십이면체이다.

② 한꼭짓점에모인면의개수는 3개이다.

③ 꼭짓점의개수는 12개이다.

④ 평행한면이존재한다.

⑤ 모서리의개수는 30개이다.

정다면체의전개도면의개수를이용하여정다면체의이름을알수있음을설명해주세요.

Y쌤

06 오른쪽 그림과 같은 전개

도로 만들어지는 정다면체에서

점A와겹치는점을구하여라.

A NM L K

B

C I

HGFED

J

05 아래 그림과 같은 전개도로 만든 정다면체에 대하여

안에알맞은것을써넣고, 다음을구하여라.

대표

B

A( )

C

B( )

A F E

DC

⑴ 점A와겹치는점 점 E

⑵ CD”와겹치는모서리 CB”

⑶ CD”와꼬인위치에있는모서리 AF”(또는 EF”)

정다면체의분류Y쌤

①면의모양에따른분류⋯ 정삼각형: 정사면체, 정팔면체, 정이십면체정사각형: 정육면체정오각형: 정십이면체

②한꼭짓점에모인면의개수에따른분류⋯ 3개: 정사면체, 정육면체, 정십이면체4개: 정팔면체5개: 정이십면체

점K

140 6. 입체도형


01 다면체의면의개수다음중다면체와그면의개수가바르게짝지어진것은?

① 삼각기둥`-4개 ② 사각기둥`-5개 ③ 오각뿔`-5개

④ 육각뿔`-6개 ⑤ 육각뿔대`-8개

다면체의면의개수⋯ n각기둥: (n+2)개⋯ n각뿔: (n+1)개⋯ n각뿔대: (n+2)개

Y쌤

02 다면체의옆면의모양다음중다면체와그옆면의모양이바르게짝지어지지않은것은?

① 삼각기둥`-`직사각형 ② 오각뿔`-`삼각형

③ 사각기둥`-`직사각형 ④ 사각뿔대`-`사다리꼴

⑤ 육각뿔`-`육각형

다면체의옆면의모양⋯ 각기둥: 직사각형⋯ 각뿔: 삼각형⋯ 각뿔대: 사다리꼴

Y쌤

03 각뿔의꼭짓점, 모서리, 면의개수

꼭짓점의 개수가 14개인 각뿔의 면의 개수를 a개, 모서리의 개수를 b개라 할 때,

a+b의값을구하여라. 40n각뿔

⋯ 면의개수: (n+1)개⋯ 모서리의개수: 2n개⋯ 꼭짓점의개수: (n+1)개

Y쌤

04 각뿔대다음중각뿔대에대한설명으로옳지않은것을모두고르면? (정답 2개)

① 두밑면은서로평행하다.

② 두밑면은서로합동이다.

③ 옆면의모양은사다리꼴이다.

④ 삼각뿔대의모서리의개수는 9개이다.

⑤ n각뿔대의꼭짓점의개수는 3n개이다.

05 다면체의종류와성질다음조건을모두만족하는다면체의이름을말하여라. 팔각기둥

㈎두밑면은서로평행하다.

㈏ 옆면의모양은직사각형이다.

㈐ 모서리의개수가 24개이다.

주어진다면체의면의개수는다음과같다. ① 5개⋯ ⋯② 6개⋯ ⋯③ 6개⋯ ⋯④ 7개⋯ ⋯⑤ 8개

⑤육각뿔-삼각형

주어진각뿔을n각뿔이라하면n+1=14⋯ ⋯∴n=13∴a+b=14+26=40

②각뿔대의두밑면은모양은같지만크기가다르므로합동이아니다. ⑤ n각뿔대의꼭짓점의개수는2n개이다.

㈎, ㈏`에서구하는다면체는각기둥이다. 구하는각기둥을n각기둥이라하면㈐`에서모서리의개수가24개이므로3n=24⋯ ⋯∴n=8따라서구하는다면체는팔각기둥이다.

n각뿔대⋯ 면의개수: (n+2)개⋯ 모서리의개수: 3n개⋯ 꼭짓점의개수: 2n개

Y쌤

6-1. 다면체 141


06 정다면체다음중정다면체에대한설명으로옳지않은것은?

① 정다면체는모두 5가지뿐이다.

② 정다면체의각면은정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형이다.

③ 한꼭짓점에모인면의개수가 3개인정다면체는정사면체, 정육면체, 정십

이면체이다.

④ 정팔면체의모서리의개수는 12개이다.

⑤ 면의개수가가장적은정다면체의모서리의개수는 6개이다.

07 정다면체오른쪽 그림은 모두 합동인 정삼각형으로 이루어진 입체도형이

다. 이입체도형이정다면체가아닌이유를말하여라.각꼭짓점에모인면의개수가다르므로정다면체가아니다.

다면체중에서①모든면이합동인정다각형이라고해서항상정다면체인것은아니다.

②각꼭짓점에모인면의개수가모두같다고해서항상정다면체인것은아니다.

Y쌤

08 정다면체의전개도다음중오른쪽그림과같은전개도로만들어지는정다면

체에대한설명으로옳지않은것은?

① 정이십면체이다.

② 각면의모양은정삼각형이다.

③ 꼭짓점의개수는 12개이다.

④ 모서리의개수는 30개이다.

⑤ 한꼭짓점에모인면의개수는 3개이다.

09 정다면체의전개도오른쪽그림과같은전개도로정육면체를만들었을때,

AN”과꼬인위치에있는모서리는?

① NK” ② KD” ③ DE”

④ NC” ⑤ KJ”

A N KLM

J

B C D EF

H

I

G

②정다면체의각면은정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이다.

꼭짓점A에모인면의개수는3개이고, 꼭짓점B에모인면의개수는4개이다. 즉, 각꼭짓점에모인면의개수가다르므로정다면체가아니다.

⑤주어진전개도로만들어지는정다면체는정이십면체이므로한꼭짓점에모인면의개수는5개이다.

정다면체는5가지뿐이다.˙k정사면체, 정육면체, 정팔면

체, 정십이면체, 정이십면체

Y쌤

꼬인위치˙k만나지도않고평행하지도않

다.

Y쌤

142 6. 입체도형

회전체개념

1 회전체

⑴회전체: 평면도형을한직선 l을축으로하여 1회전시킬때생기는입체도형

①회전축: 회전시킬때축이되는직선 l

②모선: 회전체에서옆면을만드는선분

⑵원뿔대: 원뿔을밑면에평행한평면으로잘라서생기는두입체도형중에서원뿔이아닌쪽의

입체도형

⑶회전체의종류: 원기둥, 원뿔, 원뿔대, 구등이있다.

▶회전체 ▶원뿔대자세히알아보기

회전체 원기둥

겨냥도

회전시키기전의평면도형

직사각형

l

옆면,모선,

밑면,

밑면,

원뿔

직각삼각형

l

옆면,

밑면,

모선,

원뿔대

두각이직각인사다리꼴

l

옆면,모선,밑면,

밑면,

구

반원

l

| 참고 | ①구의옆면을만드는것은곡선이므로구에서는모선을생각할수없다.

②구는회전축이무수히많다.

회전축,

모선,

옆면,

밑면,

밑면,

밑면,옆면,

높이,

밑면,

6-2 회전체


다음중회전체에대한설명으로옳은것은 `표, 옳지않은것은×`표를하여라.

⑴ 회전시킬때축이되는직선을회전축이라한다. ( )

⑵ 회전체에서옆면을만드는선분을모서리라한다. ( )

⑶ 평면도형을한직선을축으로하여 1회전시킬때생기는입체도형을회전체라한다.

( )

⑷ 원뿔을밑면에평행한평면으로잘랐을때생기는두입체도형중원뿔이아닌쪽의입

체도형을원뿔대라한다. ( )

×

1

[회전체] [원뿔대]

6-2. 회전체 143


01 다음보기중회전체를모두골라라. ㄱ, ㄷ, ㄹ

회전체

보`기

ㄱ. ㄴ.

ㄷ. ㄹ.

ㅁ. ㅂ.

02 아래보기중다음도형에해당하는것을모두골라라.대표

보`기

ㄱ. 정사면체 ㄴ. 원뿔 ㄷ. 육각기둥

ㄹ. 사각뿔 ㅁ. 오각뿔대 ㅂ. 구

ㅅ. 원뿔대 ㅇ. 정팔면체 ㅈ. 원기둥

⑴ 다면체 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅇ ⑵ 회전체 ㄴ, ㅂ, ㅅ, ㅈ

03 다음중회전축이무수히많은도형은?

① 원기둥 ② 원뿔

③ 원뿔대 ④ 구

⑤ 반구

회전시키기전의평면도형을회전축에대하여좌우대칭이되도록그린후이모양이회전축을포함한단면의모양이되도록겨냥도를그리는방법을알려주세요.

Y쌤

대표05 다음 그림과 같은 평면도형을 직선 l을 회전축으로

하여 1회전시킬때생기는회전체의겨냥도를그려라.

⑴

˙kl

회전체의겨냥도

04 다음 그림과 같은 평면도형을 직선 l을 회전축으로

하여 1회전시킬때생기는회전체의이름을말하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷ ll

ll

⑵

˙kl

⑶

˙kl

회전시키기전의평면도형의변이회전축에붙어있지않으면속이뚫린회전체가생기는것을알려주세요.

Y쌤

원뿔 원뿔대

원기둥 구

144 6. 입체도형

회전체의성질개념

1 회전체의성질

⑴회전체를회전축에수직인평면으로자른단면은항상원이다.

⑵회전체를회전축을포함하는평면으로자른단면은모두합동이고, 회전축에대하여

선대칭도형이다.

| 참고 | 한평면도형을어떤직선을접는선으로하여접었을때, 완전히겹쳐지는도형을

선대칭도형이라한다.


다음중회전체의성질에대한설명으로옳은것은 `표, 옳지않은것은×`표를하여라.

⑴ 회전체를회전축에수직인평면으로자른단면은항상원이다. ( )

⑵ 원기둥을회전축을포함하는평면으로자른단면은회전축에대하여선대칭도형이다.

( )

⑶ 원뿔대를회전축을포함하는평면으로자른단면의모양은이등변삼각형이다. ( )

⑷ 구는어느방향으로자르더라도단면이항상원이다. ( )

×

1

▶회전체를자른단면의모양

①회전축에수직인평면으로자를경우

②회전축을포함하는평면으로자를경우


원기둥

▶구의단면

①구는어느방향으로자르더라도단면이항상원이다.

②구를자른단면이가장큰경우는구의중심을지나는평면으로잘랐을때이다.

l

원뿔

l

원뿔대

l

구

l

원기둥

l

직사각형,

원뿔

l

이등변삼각형,

원뿔대

l

사다리꼴,

구

l

원,

단면의모양은항상원이다.

회전축에대하여선대칭도형이다.

6-2. 회전체 145


01 다음그림의회전체를회전축에수직인평면으로자른

단면의모양을그려라.

⑴

˙k

회전축에수직인평면으로자른단면

⑵

˙k

⑶

˙k

⑷

˙k

02 다음 중 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를

때생기는단면의모양은?

① 삼각형 ② 직사각형

③ 사다리꼴 ④ 원

⑤ 타원

대표

⑵

˙k

⑶

˙k

⑷

˙k

03 다음 그림의 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로

자른단면의모양을그려라.

⑴

˙k

회전축을포함하는평면으로자른단면

04 오른쪽그림의회전체를회전축을

포함하는 평면으로 자른 단면의 넓이를

구하여라. 15 cm¤

대표

5 cm

3 cm

원뿔을회전축을포함하는평면으로자른단면은이등변삼각형임을알게하고, 원뿔에서단면인이등변삼각형의밑변의길이와높이를찾을수있도록알려주세요.

Y쌤

146 6. 입체도형

회전체의전개도개념

1 회전체의전개도

| 참고 | 구는전개도를그릴수없다.

| 주의 | 원뿔과원뿔대의전개도에서옆면을다음그림과같이다각형으로그리지않도록주의한다.

①원뿔 ②원뿔대

⋯ ⋯

⋯ `( ) ( × ) ⋯ ( ) ( × )

▶원기둥의전개도

오른쪽그림과같이원기둥의전개도는밑면인 2개의합

동인원과옆면인직사각형으로이루어져있다.

˙k (직사각형의가로의길이)=(밑면인원의둘레의길이)

(직사각형의세로의길이)=(원기둥의높이)

▶원뿔의전개도

오른쪽그림과같이원뿔의전개도는밑면인원과옆면인

부채꼴로이루어져있다.

˙k (부채꼴의반지름의길이)=(원뿔의모선의길이)

(부채꼴의호의길이)=(밑면인원의둘레의길이)

▶원뿔대의전개도

오른쪽그림과같이원뿔대의전개도는밑면인 2개의크

기가다른원과옆면인부채꼴의일부분으로이루어져있

다.

˙k (부채꼴에서곡선으로된두부분의길이)

=(밑면인두원의둘레의길이)


회전체 원기둥

겨냥도 모선,모선,

모선,

전개도 모선,

모선, 모선,

원뿔 원뿔대

r

hh

r

2pr

r

l

r2pr

l

r

R

r

R

2pR

2pr

대표

대표

대표

6-2. 회전체 147


01 다음 원기둥과 그 전개도를 보고 a, b, c의 값을 각

각구하여라.

⑴

4 cm

2 cm a cm

b cm c cm

원기둥의전개도

⑵

c cm 3 cm

3 cm

b cm

a cm

a=2, b=4p, c=4

a=3, b=3, c=6p

02 다음 원뿔과 그 전개도를 보고 a, b, c의 값을 각각

구하여라.

⑴

3 cm

4 cm5 cm

a cm

c cmb cm

원뿔의전개도

⑵

b cm

a cm

10 cm

c cm4 cm

a=5, b=3, c=6p

a=10, b=4, c=8p

03 다음 원뿔대와 그 전개도를 보고 a, b, c의 값을 각

각구하여라.

⑴

6 cm

10 cm

2 cm

c cm

b cma cm

a=2, b=10, c=6

⑵

b cm

a cm

3 cm

c cm

5 cm

8 cm

a=8, b=5, c=6p

04 다음그림은원뿔대와그전개도이다. 색칠한밑면의

둘레의길이와같은것을원뿔대의전개도에서찾으면?

A

C D

B

① AB” ② µAB ③ BD”

④ CD” ⑤ µCD

원뿔대의전개도

148 6. 입체도형


01 회전체다음중회전체가아닌것은?

① 원뿔 ② 오각기둥 ③ 구

④ 원기둥 ⑤ 원뿔대

회전체: 평면도형을한직선을축으로하여 1회전시킬때생기는입체도형

Y쌤

02 회전시키기전의평면도형오른쪽 그림과 같은 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전시킬

때생기는회전체는?

① ②

③ ④ ⑤

l

03 회전축을포함하는평면으로자른단면

다음중회전체와그회전체를회전축을포함하는평면으로자른단면의모양이바

르게짝지어지지않은것은?

① 구`-`원 ② 반구`-`반원

③ 원기둥`-`직사각형 ④ 원뿔`-`이등변삼각형

⑤ 원뿔대`-`직사각형

04 단면의넓이오른쪽그림과같은평면도형을직선 l을회전축으로하여 1회

전시킬 때 생기는 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른

단면의넓이를구하여라. 128 cm¤

②오각기둥은다각형인면으로만둘러싸인입체도형이므로다면체이다.

⑤ 원뿔대-사다리꼴

주어진평면도형을 1회전시킬때생기는회전체는원뿔대이고, 회전축을포함하는평면으로자른단면은오른쪽그림과같은사다리꼴이다.

∴(넓이)=;2!;_(12+20)_8=128(cm¤ )

l

8 cm

6 cm

10 cm

평면도형을회전시킬때생기는회전체를그리는순서❶주어진평면도형을회전축을축으로좌우대칭이되도록선대칭도형을그린다.

❷회전축을포함하는평면으로자른단면의모양이위의❶`에서그린도형이되도록겨냥도를그린다.

Y쌤

회전체를회전축을포함하는평면으로자른단면은회전축에대하여선대칭도형이다.

Y쌤

6-2. 회전체 149


05 회전체의단면의모양어떤평면으로잘라도그단면이항상원인회전체의이름을말하여라. 구

구의단면①구는어느방향으로자르더라도단면이항상원이다.

②단면이가장큰경우는구의중심을지나는평면으로잘랐을때이다.

Y쌤

06 회전체의성질다음중회전체에대한설명으로옳지않은것을모두고르면? (정답 2개)

① 평면도형을한직선을회전축으로하여 1회전시킬때생기는입체도형을회

전체라한다.

② 회전체를회전축에수직인평면으로자른단면은항상원이다.

③ 회전체를회전축을포함하는평면으로자른단면은회전축에대하여선대칭

도형이다.

④ 구를회전축에수직인평면으로자른단면은모두합동인원이다.

⑤ 원뿔대를회전축에수직인평면으로자른단면은사다리꼴이다.

07 회전체의단면의모양다음 중 오른쪽 그림과 같은 원뿔을 자른 단면의 모양이 될 수 없는

것은?

① ② ③

④ ⑤

원뿔을여러방향의평면으로잘라본다.Y쌤

08 회전체의전개도다음은 직각삼각형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형의

전개도이다. a, b, c의값을각각구하여라. a=10, b=12p, c=6

6 cm

8 cm10 cm

la cm

c cm

b cm

원뿔의전개도에서(부채꼴의반지름의길이)=(원뿔의모선의길이)(부채꼴의호의길이)=(원뿔의밑면인원의둘레의길이)

Y쌤

④구를회전축에수직인평면으로자른단면은항상원이지만모두합동인것은아니다. ⑤ 원뿔대를회전축에수직인평면으로자른단면은원이다.

원뿔의전개도에서부채꼴의반지름의길이는원뿔의모선의길이와같으므로a=10원의반지름의길이는원뿔의밑면인원의반지름의길이와같으므로 c=6부채꼴의호의길이는원뿔의밑면인원의둘레의길이와같으므로b=2p_6=12p

주어진원뿔을다음과같이자르면주어진단면이생긴다.① ⋯ ⋯② ⋯ ⋯③ ⋯ ⋯④

150 6. 입체도형

기둥의겉넓이개념

1 각기둥의겉넓이

(각기둥의겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이)

| 참고 | 밑면의넓이를밑넓이, 옆면의넓이를옆넓이라한다.

기둥의겉넓이를구할때는전개도를이용하여다음과같이구한다.


아래그림과같은삼각기둥의전개도에서 안에알맞은수를써넣고, 다음을구하여라.

⑴ 밑넓이 24 cm¤

⑵ 옆넓이 216 cm¤

⑶ 겉넓이 264 cm¤

1

▶삼각기둥과원기둥의겉넓이

다음그림과같이삼각기둥과원기둥은모두서로합동인 2개의밑면과옆면으로이루어져있다.

개념다시보기

2 원기둥의겉넓이

밑면의반지름의길이가 r, 높이가 h인원기둥의겉넓이를

S라하면

S=(밑넓이)_2+(옆넓이)=pr¤ _2+2pr_h

=2pr¤ +2prh

2prhh

rr

(밑면의둘레의길이)_(기둥의높이)

아래그림과같은원기둥의전개도에서 안에알맞은수를써넣고, 다음을구하여라.

⑴ 밑넓이 25p cm¤

⑵ 옆넓이 90p cm¤

⑶ 겉넓이 140p cm¤

2

6-3 기둥의겉넓이와부피

밑면이 2개

6 cm6 cm

10 cm

9 cm 8 cm8 cm

cm

cm

cmcm

9 cm

5 cm 5 cm

cmcm

6-3. 기둥의겉넓이와부피 151


01 다음그림과같은각기둥의겉넓이를구하여라.

⑴ ⑵

9 cm

7 cm 5 cm

8 cm

6 cm

5 cm4 cm

5 cm

각기둥의겉넓이

152 cm¤286 cm¤

02 오른쪽 그림과 같은 각기

둥의겉넓이를구하여라.

대표 7 cm

10 cm

3 cm

3 cm 5 cm210 cm¤

사다리꼴의넓이를구하는공식을이용하여밑넓이를구하도록알려주세요.

Y쌤

03 다음그림과같은원기둥의겉넓이를구하여라.

⑴ ⑵

7 cm

10 cm

8 cm

3 cm

원기둥의겉넓이

66p cm¤

120p cm¤

04 오른쪽 그림과 같이 밑면

이반원인기둥의겉넓이를구하

여라. (30+24p) cm¤

밑면이부채꼴인기둥의겉넓이

5 cm3 cm

밑면이반원인기둥에서

(옆면의가로의길이)=(반원의둘레의길이)

=(지름의길이)+(호의길이)

05 오른쪽 그림과 같이 밑면이

부채꼴인기둥의겉넓이는?

① (96+44p) cm¤

② (96+48p) cm¤

③ (96+52p) cm¤

④ (96+56p) cm¤

⑤ (96+60p) cm¤

대표

8 cm6 cm

120˘

부채꼴의둘레의길이가옆면의가로의길이임을설명해주세요.

Y쌤

대표06 오른쪽그림과같이가운데에

구멍이뚫린입체도형의겉넓이는?

① 190p cm¤ ② 192p cm¤

③ 194p cm¤ ④ 196p cm¤

⑤ 198p cm¤

구멍이뚫린기둥의겉넓이

4 cm

8 cm

2 cm

가운데에구멍이뚫린원기둥에서(밑넓이)=(큰원의넓이)-(작은원의넓이)(옆넓이)=(큰원기둥의옆넓이)+(작은원기둥의옆넓이)임을설명해주세요.

Y쌤

152 6. 입체도형

기둥의부피개념

1 각기둥의부피

밑넓이가S, 높이가h인각기둥의부피를V라하면

V=(밑넓이)_(높이)

=Sh

▶사각기둥과원기둥의부피

다음 그림과 같이 기둥의 부피는 기둥의 밑면을 기둥의 높이만큼 차곡차곡 쌓아올린 것으로 이해할 수

있다.

개념다시보기

2 원기둥의부피

밑면의반지름의길이가 r, 높이가h인원기둥의부피를V라하면

V=(밑넓이)_(높이)=pr¤ _h

=pr¤ h


아래그림과같은각기둥에서다음을구하여라.

⑴ 밑넓이 20 cm¤

⑵ 높이 6 cm

⑶ 부피 120 cm‹

1

아래그림과같은원기둥에서다음을구하여라.


⑵ 높이 8 cm

⑶ 부피 128p cm‹

2

S

h

h

r

6 cm

4 cm5 cm

8 cm

4 cm

대표

6-3. 기둥의겉넓이와부피 153


01 다음그림과같은각기둥의부피를구하여라.

⑴ ⑵

6 cm

8 cm2 cm

4 cm

10 cm

8 cm6 cm

5 cm

각기둥의부피

120 cm‹ 72 cm‹

02 오른쪽 그림과 같은 각기둥의

부피는?

① 120 cm‹ ② 130 cm‹

③ 140 cm‹ ④ 150 cm‹

⑤ 160 cm‹

5 cm

3 cm

8 cm

4 cm

밑면인다각형의넓이는삼각형으로나누어삼각형의넓이의합으로구해야함을알려주세요.

Y쌤

03 다음그림과같은원기둥의부피를구하여라.

⑴ ⑵ 7 cm

12 cm

5 cm

3 cm

원기둥의부피

75p cm‹

252p cm‹

04 오른쪽 그림과 같이 밑면이 반원

인기둥의부피는?

① 72p cm‹ ② 74p cm‹

③ 76p cm‹ ④ 78p cm‹

⑤ 80p cm‹

밑면이부채꼴인기둥의부피

9 cm 4 cm

05 오른쪽 그림과 같이 밑면이

부채꼴인기둥의부피를구하여라.

대표

12 cm

5 cm

30˘12 cm

60p cm‹

대표06 오른쪽그림과같이가운데에

구멍이뚫린입체도형의부피는?

① 55p cm‹ ② 60p cm‹

③ 65p cm‹ ④ 70p cm‹

⑤ 75p cm‹

구멍이뚫린기둥의부피

3 cm

5 cm

1 cm

(부피)=(큰원기둥의부피)-(작은원기둥의부피)임을알려주세요.Y쌤

154 6. 입체도형


01 기둥의겉넓이다음그림과같은기둥의겉넓이를구하여라.

⑴ ⑵

10 cm

270˘6 cm

6 cm

3 cm

4 cm

6 cm

5 cm 8 cm180 cm¤ (120+144p) cm¤

(사다리꼴의넓이)

=;2!;_{(윗변의길이)+(아랫변의길이)}

_(높이)

Y쌤

02 각기둥의부피오른쪽 그림과 같은 사각형을 밑면으로 하고, 높이가 6 cm인

사각기둥의부피는?

① 108 cm‹ ② 128 cm‹ ③ 144 cm‹

④ 180 cm‹ ⑤ 216 cm‹

4 cm

6 cm

2 cm

두개의삼각형으로밑넓이를구한다.Y쌤

03 원기둥의부피밑면의 반지름의 길이가 5 cm인 원기둥의 부피가 200p cm‹일 때, 이 원기둥의

높이를구하여라. 8 cm

04 전개도를이용한각기둥의겉넓이와부피

오른쪽 그림과 같은 전개도로 만들어지는 각기둥의 겉넓

이와부피를차례로구하여라. 96 cm¤ , 42 cm‹

3 cm 5 cm

7 cm4 cm

05 일부가잘린각기둥의겉넓이와부피

오른쪽그림의입체도형은큰직육면체에서작은직육면

체를 잘라낸 것이다. 이 입체도형의 겉넓이와 부피를 차

례로구하여라. 158 cm¤ , 114 cm‹ 6 cm

2 cm

1 cm2 cm

5 cm

06 회전체의겉넓이오른쪽 그림과 같은 직사각형을 직선 l을 회전축으로 하여

1회전시킬때생기는회전체의겉넓이를구하여라. 154p cm¤

8 cm

3 cm 2 cm

l주어진도형을 1회전시킬

때생기는회전체는가운데에구멍이뚫린원기둥이다.

Y쌤

07 쌓아올린원기둥의부피오른쪽그림과같은입체도형의부피를구하여라. 232p cm‹ 3 cm

4 cm7 cm

4 cm

⑴ (밑넓이)=;2!;_(3+6)_4=18(cm¤ )

⋯ (옆넓이)=(3+4+6+5)_8=144(cm¤ )⋯ ∴(겉넓이)=18_2+144=180(cm¤ )

⑵ (밑넓이)=p_6¤ _;3@6&0);=27p(cm¤ )

⋯ (옆넓이)=[(6+6)+2p_6_;3@6&0);]_10=120+90p(cm¤ )

⋯ ∴ (겉넓이)=27p_2+(120+90p)=120+144p(cm¤ )

주어진사각형의넓이는 ;2!;_6_4+;2!;_6_2=18(cm¤ )

따라서구하는사각기둥의부피는18_6=108(cm‹ )

(밑넓이)=;2!;_4_3=6(cm¤ )

(옆넓이)=(3+4+5)_7=84(cm¤ )∴(겉넓이)=6_2+84=96(cm¤ )(부피)=6_7=42(cm‹ )

(밑넓이)=7_3-2_1=19(cm¤ )(옆넓이)=(5+1+2+2+7+3)_6=120(cm¤ )∴(겉넓이)=19_2+120=158(cm¤ ), (부피)=19_6=114(cm‹ )

(밑넓이)=p_5¤ -p_2¤ =21p(cm¤ )(옆넓이)=2p_5_8+2p_2_8=112p(cm¤ )∴(겉넓이)=21p_2+112p=154p(cm¤ )

(부피)=(큰원기둥의부피)+(작은원기둥의부피)=p_7¤ _4+p_3¤ _4=232p(cm‹ )

원기둥의높이를 h cm라하면p_5¤ _h=200p⋯ ⋯∴h=8

뿔의겉넓이개념

1 각뿔의겉넓이

(각뿔의겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)

뿔의겉넓이를구할때는전개도를이용하여다음과같이구한다.

▶사각뿔과원뿔의겉넓이

다음그림과같이사각뿔과원뿔은모두 1개의밑면과옆면으로이루어져있다.

개념다시보기

2 원뿔의겉넓이

밑면의반지름의길이가 r, 모선의길이가 l인원뿔의

겉넓이를S라하면

S=(밑넓이)+(옆넓이)=pr¤ +;2!;_l_2pr

S=pr¤ +prl

l

r2pr

l

r

(부채꼴의넓이)=;2!;_(반지름의길이)_(호의길이)


아래그림과같은정사각뿔의전개도에서 안에알맞은수를써넣고, 다음을구하여라.

⑴ 밑넓이 100 cm¤

⑵ 옆넓이 260 cm¤

⑶ 겉넓이 360 cm¤

1

아래그림과같은원뿔의전개도에서 안에알맞은수를써넣고, 다음을구하여라.


⑵ 옆넓이 15p cm¤

⑶ 겉넓이 24p cm¤

2

6-4. 뿔의겉넓이와부피 155

6-4 뿔의겉넓이와부피

13 cm12 cm

10 cm 10 cm

cmcm

cm

5 cm4 cm

3 cm

cm

cmcm

156 6. 입체도형


01 다음그림과같은정사각뿔의겉넓이를구하여라.

⑴ ⑵

5 cm5 cm

7 cm

3 cm3 cm

6 cm

각뿔의겉넓이

45 cm¤ 95 cm¤

02 다음그림과같은원뿔의겉넓이를구하여라.

⑴ ⑵

5 cm

10 cm6 cm

2 cm

원뿔의겉넓이

16p cm¤ 75p cm¤

03 오른쪽 그림과 같은 원뿔의

전개도에서다음을구하여라.

⑴ 밑면인원의둘레의길이

⑵ 중심각∠x의크기 120˘

⑶ 원뿔의겉넓이 64p cm¤

대표 12 cmx

4 cm

옆면인부채꼴의호의길이는밑면인원의둘레의길이와같음을이용하여식을세워보도록설명해주세요.

Y쌤

04 오른쪽 그림과 같은 정사

각뿔대의겉넓이를구하여라.

뿔대의겉넓이

3 cm

4 cm3 cm

6 cm6 cm

117 cm¤

05 아래 그림과 같은 원뿔대의 전개도에서 안에 알

맞은수를써넣고, 다음을구하여라.

4 cm

6 cm

6 cm2 cm

cm

cm

cmcm

cm

cm

⑴ 작은밑면의넓이 4p cm¤

⑵ 큰밑면의넓이 16p cm¤

⑶ 옆넓이 36p cm¤

⑷ 겉넓이 56p cm¤

06 오른쪽그림과같은원뿔

대의겉넓이를구하여라.

대표

3 cm

6 cm

5 cm

5 cm90p cm¤

원뿔대의옆넓이를구할때, 원뿔대의전개도에서(옆넓이)=(큰부채꼴의넓이)-(작은부채꼴의넓이)임을강조해주세요.

Y쌤

8p cm


뿔의부피개념

1 각뿔의부피

밑넓이가S, 높이가h인각뿔의부피를V라하면

V=;3!;_(밑넓이)_(높이)

V=;3!;Sh


다음그림과같은뿔의부피를구하여라.

⑴ ⑵9 cm

5 cm4 cm

3 cm

5 cm

1

▶뿔의부피

다음그림과같이뿔모양의그릇에물을가득채워밑면이합동이고높이가같은기둥모양의그릇에부으

면물의높이는기둥모양의그릇의높이의 ;3!;이된다.


2 원뿔의부피

밑면의반지름의길이가 r, 높이가h인원뿔의부피를V라하면

V=;3!;_(밑넓이)_(높이)=;3!;_pr¤ _h

V=;3!;pr¤ h

S

h

h

r

20 cm‹ 75p cm‹

기둥의부피

대표

158 6. 입체도형


01 다음그림과같은뿔의부피를구하여라.

⑴ ⑵8 cm

6 cm8 cm6 cm

8 cm

뿔의부피

64 cm‹ 96p cm‹

02 아래 그림과 같이 밑넓이와 높이가 각각 같은 각기

둥과각뿔이주어졌을때, 다음을구하여라.

6 cm

5 cm 4 cm

6 cm

5 cm 4 cm

⑴ 각기둥의부피 60 cm‹

⑵ 각뿔의부피 20 cm‹

⑶ 각기둥과각뿔의부피의비 3 : 1

03 오른쪽그림과같이원뿔과원

기둥을붙인입체도형의부피는?

① 88p cm‹ ② 90p cm‹

③ 92p cm‹ ④ 94p cm‹

⑤ 96p cm‹

5 cm

3 cm

4 cm

주어진입체도형은원뿔과원기둥을합친것이므로각각의부피를구하여더하도록설명해주세요.

Y쌤

대표04 오른쪽그림과같이한모서리

의길이가 6 cm 정육면체를세꼭짓

점 B, G, D를 지나는 평면으로 자

를때생기는삼각뿔 C-BGD의부

피를구하여라. 36 cm‹

잘라낸삼각뿔의부피

6 cmA

B

F G

H

D

C

E

잘라낸삼각뿔을직각삼각형을밑면으로하는삼각뿔로생각하여밑넓이와높이를구해부피를구할수있도록설명해주세요.

Y쌤

05 오른쪽 그림과 같은 원뿔

대에서다음을구하여라.

⑴ 큰원뿔의부피 96p cm‹

⑵ 잘라낸작은원뿔의부피 12p cm‹

⑶ 원뿔대의부피 84p cm‹

뿔대의부피

3 cm

6 cm

4 cm

4 cm

06 다음그림과같은뿔대의부피를구하여라.

⑴ ⑵

8 cm

6 cm4 cm

6 cm

4 cm4 cm

2 cm

2 cm4 cm

4 cm

대표

cm‹1123

224p cm‹

(뿔대의부피)=(자르기전의큰뿔의부피)-(잘라낸작은뿔의부피)임을강조해주세요.

Y쌤



01 각뿔의겉넓이오른쪽 그림과 같은 전개도로 만들어지는 각뿔의 겉넓이

는?

① 168 cm¤ ② 176 cm¤ ③ 184 cm¤

④ 192 cm¤ ⑤ 200 cm¤

7 cm

8 cm8 cm

(뿔의겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)

Y쌤

02 원뿔의겉넓이오른쪽 그림과 같은 원뿔의 겉넓이가 27p cm¤일 때, 이 원

뿔의모선의길이는?

① 6 cm ② 7 cm ③ 8 cm

④ 9 cm ⑤ 10 cm3 cm

원뿔의옆면에서부채꼴의반지름의길이가모선의길이임을이용한다.

Y쌤

03 각뿔의부피밑면이한변의길이가 9 cm인정사각형인사각뿔의부피가 189 cm‹일때, 이사

각뿔의높이는?

① 3 cm ② 4 cm ③ 5 cm

④ 6 cm ⑤ 7 cm

04 원뿔의부피오른쪽 그림과 같이 2개의 원뿔을 붙인 입체도형의 부피를

구하여라. 48p cm‹

3 cm

6 cm

4 cm

(겉넓이)=8_8+{;2!;_8_7}_4

(겉넓이)=64+112=176(cm¤ )

원뿔의모선의길이를 l cm라하면

p_3¤ +;2!;_l_(2p_3)=27p, 3lp=18p

∴ l=6

사각뿔의높이를 h cm라하면부피가 189 cm‹이므로

;3!;_(9_9)_h=189⋯ ⋯∴h=7

(부피)=(작은원뿔의부피)+(큰원뿔의부피)

(부피)=;3!;_(p_4¤ )_3+;3!;_(p_4¤ )_6

(부피)=48p(cm‹ )

160 6. 입체도형


05 각뿔대의겉넓이와부피오른쪽 그림과 같은 정사각뿔대의 겉넓이와 부피를 차례

로구하여라. 153 cm¤ , 93 cm‹

7 cm

4 cm

4 cm4 cm

7 cm

3 cm

4 cm

(뿔대의겉넓이)=(작은밑면의넓이)+(큰밑면의넓이)+(옆넓이)

(뿔대의부피)=(자르기전의큰뿔의부피)-(잘라낸작은뿔의부피)

Y쌤

06 회전체의겉넓이와부피오른쪽 그림과 같은 사다리꼴을 직선 l을 회전축으로 하여

1회전시킬 때 생기는 회전체의 겉넓이와 부피를 차례로 구하

여라. 210p cm¤ , 312p cm‹

l

5 cm3 cm

8 cm

4 cm

10 cm

9 cm

07 잘라낸삼각뿔의부피오른쪽 그림과 같이 직육면체를 세 꼭짓점 B, G, D를

지나는평면으로자를때생기는삼각뿔 C-BGD의부

피가 40 cm‹일때, DH”의길이는?

① 3 cm ② 4 cm

③ 5 cm ④ 6 cm ⑤ 7 cm

4 cm12 cm

A

B

F G

H

D

CE

삼각뿔의밑면과높이를먼저정한다.Y쌤

08 그릇에담긴물의부피오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 8 cm, 높이가

12 cm인 원뿔 모양의 그릇에 1분에 4p cm‹씩 일정하게 물

을 담을 때, 빈 그릇에 물을 가득 채우려면 몇 분이 걸리겠는

가?

① 24분 ② 48분 ③ 52분

④ 64분 ⑤ 72분

8 cm

12 cm (물을가득채우는데걸리는시간)=(원뿔의부피)÷(1분에채워지는물의양)

Y쌤

(두밑면의넓이의합)=4_4+7_7=65(cm¤ )

(옆넓이)=[;2!;_(4+7)_4]_4=88(cm¤ )

∴(겉넓이)=65+88=153(cm¤ )

(큰정사각뿔의부피)=;3!;_(7_7)_7= (cm‹ )

(잘라낸작은정사각뿔의부피)=;3!;_(4_4)_4= (cm‹ )

∴(부피)= - = =93(cm‹ )2793

643

3433

643

3433

(두밑면의넓이의합)=p_9¤ +p_3¤ =90p(cm¤ )(옆넓이)=(큰부채꼴의넓이)-(작은부채꼴의넓이)

(옆넓이)=;2!;_15_(2p_9)-;2!;_5_(2p_3)=120p(cm¤ )

∴(겉넓이)=90p+120p=210p(cm¤ )

(큰원뿔의부피)=;3!;_(p_9¤ )_12=324p(cm‹ )

(잘라낸작은원뿔의부피)=;3!;_(p_3¤ )_4=12p(cm‹ )

∴(부피)=324p-12p=312p(cm‹ )

;3!;_{;2!;_12_4}_CG”=40⋯ ⋯∴CG”=5(cm)

∴DH”=CG”=5(cm)

(그릇의부피)=;3!;_(p_8¤ )_12=256p(cm‹ )

따라서빈그릇에물을가득채우는데걸리는시간은256p÷4p=64(분)

6-5. 구의겉넓이와부피 161

구의겉넓이와부피개념

1 구의겉넓이

반지름의길이가 r인구의겉넓이를S라하면

S=4_(반지름의길이가 r인원의넓이)=4_pr¤

=4pr¤

| 참고 | 반지름의 길이가 r인 구의 겉면을 노끈으로 감은 후 그 끈을 평면 위에

감아원을만들면반지름의길이가 2r가된다고알려져있다.

따라서구의겉넓이는다음과같이구할수도있다.

⋯ ⋯S=p_(2r)¤ =4pr¤


다음그림과같은구의겉넓이와부피를차례로구하여라.

⑴ ⑵

12 cm5 cm

1

▶구의겉넓이

반지름의길이가 r인구의겉넓이는반지름의길

이가 r인원의넓이의 4배이다.

▶구의부피

밑면의반지름의길이가 r이고높이가 2r인원기

둥 모양의 그릇에 물을 가득 채우고 구가 완전히

잠기도록 물 속에 넣었다가 빼면 흘러 나간 물의

양은구의부피와같다.


2 구의부피

반지름의길이가 r인구의부피를V라하면

V=;3@;_(원기둥의부피)=;3@;_pr¤ _2r

V=;3$;pr‹

r

2r

100p cm¤ , p cm‹5003 144p cm¤ , 288p cm‹

6-5 구의겉넓이와부피

(밑넓이)_(높이)

대표

162 6. 입체도형


01 겉넓이가다음과같은구의반지름의길이를구하여라.

⑴ 64p cm¤ 4 cm

⑵ 196p cm¤ 7 cm

구의겉넓이와부피

02 부피가 36p cm‹인구의반지름의길이는?

① 2 cm ② 3 cm

③ 4 cm ④ 5 cm

⑤ 6 cm

03 오른쪽그림과같은반구의겉넓

이를구하여라. 12p cm¤

반구의겉넓이와부피

반구는구를구의중심을지나는평면으로잘랐을때, 그한쪽에해당하는입체도형임을알려주세요.

Y쌤

반지름의길이가 r인구에대하여

(반구의겉넓이)=(밑면인원의넓이)+(구의겉넓이)_;2!;

(반구의겉넓이)=pr¤ +4pr¤ _;2!;=3pr¤

05 오른쪽 그림과 같이 반구와

원기둥을 붙인 입체도형의 겉넓이

와부피를차례로구하여라.

대표

6 cm 5 cm

3 cm

57p cm¤ , 63p cm‹

주어진입체도형은반구와원기둥을붙인것이므로겉넓이를구할때붙어있는부분의원의넓이는더하지않아야함을주의시켜주세요.

Y쌤

06 오른쪽 그림과같이 밑면의반지

름의길이가 3 cm인원기둥에꼭맞는

원뿔, 구가있다. 다음물음에답하여라.

⑴원뿔, 구, 원기둥의부피를차례

로구하여라.

⑵ 원뿔, 구, 원기둥의부피의비를가장간단한정수

의비로나타내어라. 1 : 2 : 3

원뿔, 구, 원기둥의부피의비

3 cm18p cm‹ , 36p cm‹ , 54p cm‹

2 cm

04 오른쪽 그림과 같은 반구의 부

피를구하여라. 486p cm‹ 18 cm

반지름의길이가 r인구에대하여

(반구의부피)=(구의부피)_;2!;

(반구의부피)=;3$;pr‹ _;2!;=;3@;pr‹

(원뿔의부피)=;3!;_(원기둥의부피)

(구의부피)=;3@;_(원기둥의부피)

˙k (원뿔의부피) : (구의부피) : (원기둥의부피)=1 : 2 : 3

Y쌤

6-5. 구의겉넓이와부피 163


01 구의겉넓이겉넓이가 324p cm¤인구모양의구슬의반지름의길이를구하여라.

02 구의겉넓이와부피겉넓이가 64p cm¤인구의부피를구하여라.반지름의길이가 r인구

에서

(겉넓이)=4pr¤ , (부피)=;3$;pr‹

Y쌤

03 일부가잘린구의겉넓이와부피

오른쪽 그림은 반지름의 길이가 8 cm인 구의 ;4!;을 잘라낸 것

이다. 이입체도형의겉넓이와부피를차례로구하여라.8 cm256p cm¤ , 512p cm‹

주어진입체도형은구의

;4!;을잘라낸것이므로남아있는

부분은구의 ;4#;이다.

Y쌤

04 회전체의겉넓이오른쪽 그림과 같이 중심각의 크기가 90˘인 부채꼴을 직선 l을

회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 회전체의 겉넓이를 구하

여라. 147p cm¤

l

7 cm

7 cm

반지름을회전축으로하여사분원을 1회전시키면반구가된다.

Y쌤

05 반구와원뿔의겉넓이와부피오른쪽 그림과 같이 반구와 원뿔을 붙인 입체도형의 겉넓이

와부피를차례로구하여라. 132p cm¤ , 240p cm‹

8 cm

6 cm

10 cm

06 원기둥과구의부피오른쪽 그림과 같이 원기둥 모양의 통에 지름의 길이가 6 cm인 공

2개가 꼭 맞게 들어 있다. 이 통에 물을 가득 채운 후 공 2개를 모두

꺼냈을때, 통에남아있는물의부피는?

① 36p cm‹ ② 72p cm‹ ③ 108p cm‹

④ 124p cm‹ ⑤ 144p cm‹

6 cm (원기둥모양의통의높이)=(공의지름의길이)_2(원기둥모양의통의밑면의반지름의길이)=(공의반지름의길이)

Y쌤

반지름의길이를 r cm라하면4pr¤ =324p, r¤ =81⋯ ⋯∴ r=9

구의반지름의길이를 r cm라하면4pr¤ =64p, r¤ =16⋯ ⋯∴ r=4

∴(구의부피)=;3$;p_4‹ = p(cm‹ )2563

(겉넓이)=(4p_8¤ )_;4#;+{p_8¤ _;3!6*0);}_2=256p(cm¤ )

(부피)={;3$;p_8‹ }_;4#;=512p(cm‹ )

(겉넓이)=(4p_7¤ )_;2!;+p_7¤

(겉넓이)=147p(cm¤ )

(겉넓이)=(4p_6¤ )_;2!;+;2!;_10_(2p_6)

(겉넓이)=132p(cm¤ )

(부피)=;3$;p_6‹ _;2!;+;3!;_(p_6¤ )_8

(부피)=240p(cm‹ )

(원기둥모양의통의부피)=(p_3¤ )_12=108p(cm‹ )

(공의부피)=;3$;p_3‹ =36p(cm‹ )

∴(남아있는물의부피)=(원기둥모양의통의부피)-(공의부피)_2=108p-36p_2=36p(cm‹ )

p cm‹2563

9 cm

164 6. 입체도형


01 다음중꼭짓점의개수가가장많은다면체는?

① 정사면체 ② 삼각기둥 ③ 사각뿔대

④ 정오각뿔 ⑤ 오각기둥

주어진다면체의꼭짓점의개수를각각구해보면① 4개⋯ ② 6개⋯ ③ 8개⋯ ④ 6개⋯ ⑤ 10개

02 삼각기둥의 면의 개수를 a개, 오각뿔대의 모서리의

개수를 b개라할때, a+b의값을구하여라. 20

a=3+2=5b=5_3=15∴a+b=20

03 다음조건을모두만족하는다면체의이름을말하여라.

㈎, ㈏`에서구하는다면체는정다면체이다. ㈐`에서꼭짓점의개수가12개이므로구하는다면체는정이십면체이다.

㈎각꼭짓점에모인면의개수가모두같다.

㈏ 각면이모두합동인정삼각형이다.

㈐ 꼭짓점의개수가 12개이다.

정이십면체

04 다음중정다면체에대한설명으로옳지않은것은?

①정다면체의 면의 모양은 정삼각형, 정사각형, 정

오각형뿐이다.

② 꼭짓점의개수가가장많은정다면체는정십이면

체이다.

③ 한꼭짓점에모인면의개수가 3개인정다면체는

2개이다.

④ 면의 모양이 정오각형인 정다면체는 정십이면체

이다.

⑤ 정팔면체는마주보는면끼리모두평행하다.

③한꼭짓점에모인면의개수가 3개인정다면체는정사면체, 정육면체, 정십이면체의3개이다.

05 오른쪽 그림과 같은 전개

도로 만들어진 정다면체에 대한

다음설명중옳지않은것은?

① EF”와평행한모서리는

BJ”이다.

② 점F와겹치는점은점D이다.

③ DE”와겹치는모서리는 EF”이다.

④ 삼각형BCJ와삼각형DEI는평행하다.

⑤ AJ”와꼬인위치에있는모서리는 EG”이다.

⑤ AJ”와 EG”는평행하다.

A

B

GC D E

F

J I H

06 오른쪽 그림과 같은 회전체는 다

음 중 어느 평면도형을 1회전시킨 것인

가?

① ②

③ ④ ⑤ lll

ll

07 오른쪽그림과같은평면도형을직선

l을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는

회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른

단면의넓이를구하여라. 21p cm¤

회전축에수직인평면으로자른단면은오른쪽그림과같다. ∴(넓이)=p_5¤ -p_2¤ =21p(cm¤ )

l

2 cm

3 cm



08 오른쪽 그림과 같은 전개도

로 만들어지는 회전체를 회전축을

포함하는 평면으로 자른 단면의 모

양은?

① 직사각형 ②사다리꼴

③ 원 ④정삼각형 ⑤이등변삼각형

주어진전개도로만든회전체는원뿔대이다. 따라서원뿔대를회전축을포함하는평면으로자른단면은②사다리꼴이다.

09 오른쪽 그림과 같은 각기

둥의 겉넓이가 240 cm¤ 일 때,

h의값은?

① 4 ② 5

③ 6 ④ 7 ⑤ 8

(밑넓이)=;2!;_12_5=30(cm¤ )

(옆넓이)=(13+12+5)_h=30h(cm¤ )이때겉넓이가 240 cm¤이므로30_2+30h=240⋯ ⋯∴h=6

5 cm

h cm13 cm

12 cm

10 오른쪽 그림과 같이 사각기

둥의속이원기둥모양으로뚫려있

을 때, 이 입체도형의 부피를 구하

여라. (60-5p) cm‹

5 cm

4 cm3 cm

2 cm

11 오른쪽 그림과 같은 전개도

로 만들어지는 원뿔의 겉넓이를 구

하여라. [6점] 16p cm¤

6 cm

120˘

밑면의반지름의길이를 r cm라하면

2p_6_;3!6@0);=2p_r⋯ ⋯∴ r=2 ◀3점

∴(겉넓이)=p_2¤ +p_2_6=16p(cm¤ ) ◀3점

(부피)=(3_4_5)-(p_1¤ _5)=60-5p(cm‹ )

12 오른쪽 그림과 같은 정사각뿔대

의겉넓이는?

① 134 cm¤ ② 140 cm¤

③ 146 cm¤ ④ 152 cm¤

⑤ 158 cm¤

(두밑면의넓이의합)=4_4+6_6=52(cm¤ )

(옆넓이)=[;2!;_(4+6)_5]_4=100(cm¤ )

∴(겉넓이)=52+100=152(cm¤ )

6 cm6 cm

4 cm

4 cm

5 cm

13 오른쪽 그림과 같이 한 변

의 길이가 12 cm인 정사각형 모

양의 색종이를 점선을 따라 접었

을 때 만들어지는 삼각뿔의 부피

를구하여라. [5점] 72 cm‹

(밑넓이)=;2!;_6_6=18(cm¤ ) ◀2점

(높이)=12 cm ◀1점

∴(부피)=;3!;_18_12=72(cm‹ ) ◀2점

12 cm

12 cm

14 오른쪽 그림과 같은 평면도형을

직선 l을 회전축으로 하여 1회전시킬

때 생기는 회전체의 겉넓이와 부피를

차례로구하여라. 48p cm¤ , 24p cm‹

l

5 cm4 cm

3 cm(겉넓이)

=p_3¤ +2p_3_4+;2!;_5_(2p_3)

=9p+24p+15p=48p(cm¤ )

(부피)=(p_3¤ )_4-;3!;_(p_3¤ )_4

(부피)=36p-12p=24p(cm‹ )

15 오른쪽그림은정육면

체의 일부를 잘라낸 것이다.

이 입체도형의 부피를 구하

여라. 196 cm‹

2 cm

6 cm6 cm

6 cm

1 cm

주어진입체도형의부피를구할수없으므로부피를구할수있는입체도형을찾을수있도록알려주세요.

Y쌤

(부피)=6_6_6-;3!;_{;2!;_6_4}_5=196(cm‹ )

166 6. 입체도형


발전문제

20 오른쪽그림과같은정팔면체

의 각 면의 한 가운데에 있는 점을

연결하여만든입체도형은?

①정사면체 ②육각기둥

③정팔면체 ④정육면체

⑤정육각뿔

21 오른쪽 그림과 같이 밑면의

반지름의 길이가 3 cm인 원뿔을

꼭짓점 O를 중심으로 굴릴 때, 원

뿔을 4바퀴 회전시켰더니 처음 위

치로돌아왔다. 원뿔의 겉넓이를구

하여라.

16 오른쪽 그림과 같은 원

뿔대의부피는?

① 384p cm‹

② 392p cm‹

③ 400p cm‹

④ 408p cm‹

⑤ 416p cm‹

(부피)=(큰원뿔의부피)-(잘라낸작은원뿔의부피)

(부피)=;3!;_(p_12¤ )_9-;3!;_(p_4¤ )_3

(부피)=416p(cm‹ )

5 cm

6 cm

3 cm

4 cm

12 cm

10 cm

17 오른쪽 그림은 반지름의 길이가

4 cm인구의 ;8!;을잘라낸것이다. 이

입체도형의겉넓이를구하여라.

4 cm

68p cm¤

(겉넓이)=(4p_4¤ )_;8&;+{;4!;_p_4¤ }_3

(겉넓이)=68p(cm¤ )

18 오른쪽 그림은 원기둥의 위와

아래에같은모양의반구를붙여만든

입체도형이다. 이입체도형의부피는?

① 56p cm‹ ② 60p cm‹

③ 64p cm‹ ④ 68p cm‹

⑤ 72p cm‹

(부피)=(구의부피)+(원기둥의부피)

(부피)=;3$;p_3‹ +(p_3¤ )_4

(부피)=72p(cm‹ )

3 cm

4 cm3 cm

19 오른쪽 그림과 같은 평면도형을

직선 l을 회전축으로 하여 1회전시킬

때생기는회전체의겉넓이와부피를차

례로구하여라. [8점]

3 cm

O

22 오른쪽 그림은 밑면

의 반지름의 길이가 3 cm

이고, 높이가 12 cm 원기둥

을 비스듬히 자른 것이다.

이입체도형의부피는?

① 54p cm‹ ② 60p cm‹ ③ 64p cm‹

④ 68p cm‹ ⑤ 72p cm‹

8 cm4 cm

3 cm

구하는회전체는오른쪽그림과같다.∴(겉넓이)=㉠+㉡+㉢

∴(겉넓이)=(4p_3¤ )_;2!;+(4p_5¤ )_;2!;+p_5¤ -p_3¤

∴(겉넓이)=84p(cm¤ ) ◀3점∴(부피)=(작은반구의부피)+(큰반구의부피)

∴(부피)=;3$;p_3‹ _;2!;+;3$;p_5‹ _;2!;= p(cm‹ ) ◀3점3043

◀2점

3 cm

5 cm

l

84p cm¤ , p cm‹3043



다음 그림과 같은 직육면체 모양의 그릇 A, B에

같은양의물이들어있을때, x의값을구하여라.

[6점]

1

❶ 그릇A에들어있는물의부피는?

그릇A에들어있는물의부피는삼각뿔의부피와같다.

∴(부피)=;3!;_{;2!;_9_8}_

∴(부피)= (cm‹ ) yy`㉠ ◀ 2점120

10

원뿔 모양의 그릇 A에 가득 채운 물을 원기둥 모

양의 그릇 B에 옮겨 담았더니 다음 그림과 같았

다. x의값을구하여라. [6점]

2

❷ 그릇 B에들어있는물의부피를 x에대한식으로나타내면?

그릇 B에 들어 있는 물의 부피는 삼각기둥의 부피와

같다.

(밑넓이)=;2!;_ _8= (cm¤ )

(높이)=5 cm

이므로구하는물의부피를x에대한식으로나타내면

cm‹ yy`㉡ ◀ 2점20x

4xx

❸ x의값은?

두그릇에들어있는물의부피가같으므로㉠, ㉡`에서

x= ◀ 2점6

❶ 그릇A에들어있는물의부피는?

❷ 그릇 B에들어있는물의부피를 x에대한식으로나타내면?

❸ x의값은?

8 cm5 cm

10 cm

x cm

10 cm 9 cm

8 cm

[그릇 A] [그릇 B]

x cm

5 cm

9 cm

5 cm

[그릇 A] [그릇 B]

그릇A에들어있는물의부피는원뿔의부피와같다.

∴(부피)=;3!;_(p_5¤ )_9

∴(부피)=75p(cm‹ ) yy`㉠ ◀2점

그릇B에들어있는물의부피는원기둥의부피와같다. (밑넓이)=p_5¤ =25p(cm¤ )(높이)=x cm이므로구하는물의부피를x에대한식으로나타내면25xp cm‹ yy`㉡ ◀2점

두그릇에들어있는물의부피가같으므로㉠, ㉡`에서75p=25xp⋯ ⋯∴x=3 ◀2점

168 6. 입체도형


다음 조건을 모두 만족하는 입체도형의 면의 개수

를 a개, 꼭짓점의개수를 b개라할때, a+b의값

을구하여라. [6점]

3오른쪽 그림의 색칠한 부분을

직선 l을 회전축으로 하여

1회전시킬때생기는회전체의겉넓이

를구하여라. [8점]

5

㈎밑면의개수는 1개이다.

㈏ 옆면의모양은삼각형이다.

㈐ 모서리의개수가 18개이다.

l

3 cm3 cm

3 cm

5 cm10 cm

오른쪽 그림과같은 직각삼

각형 ABC를 AC”를 회전

축으로 하여 1회전시킬 때 생기는

회전체가 있다. 이 회전체를 회전축

에 수직인 평면으로 자른 단면 중

넓이가가장큰단면의넓이를구하여라. [6점]

4다음 그림과 같은 반지름의 길이가 15 cm인 구

모양의 쇠구슬 한 개를 녹여서 반지름의 길이가

3 cm인구모양의쇠구슬을몇개만들수있는지구하여

라. [6점]

6

20

144p cm¤ 125개

105p cm¤

A

B C15 cm

20 cm 12 cm

㈎, ㈏`에서구하는입체도형은각뿔이다. 구하는각뿔을n각뿔이라하면㈐`에서모서리의개수가18개이므로2n=18⋯ ⋯∴n=9따라서구하는각뿔은구각뿔이다. ◀2점이때구각뿔의면의개수는9+1=10(개)이므로a=10또, 구각뿔의꼭짓점의개수는9+1=10(개)이므로b=10 ◀3점∴a+b=10+10=20 ◀1점

주어진직각삼각형을AC”를회전축으로하여1회전시킬때생기는회전체는오른쪽그림과같다.

◀2점이회전체를회전축에수직인평면으로자른단면중넓이가가장큰단면은반지름의길이가 12 cm인원이므로 ◀3점(넓이)=p_12¤ =144p(cm¤ ) ◀1점

색칠한부분을 1회전시킬때생기는회전체는오른쪽그림과같다. ◀2점∴(겉넓이)∴=(원뿔의옆넓이)

∴ +(구의겉넓이)_;2!;

∴ +{(원뿔의밑넓이)-(반구의밑넓이)} ◀3점

∴=;2!;_10_(2p_6)+(4p_3¤ )_;2!;+(p_6¤ -p_3¤ )

∴=60p+18p+27p=105p(cm¤ ) ◀3점

(반지름의길이가 15 cm인구모양의쇠구슬의부피)

=;3$;p_15‹ =4500p(cm‹ ) ◀2점

(반지름의길이가 3 cm인구모양의쇠구슬의부피)

=;3$;p_3‹ =36p(cm‹ ) ◀2점

따라서만들수있는쇠구슬의개수는4500p÷36p=125(개) ◀2점

15 cm

y

3 cm

개념교재편(중① 2)

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