2-й урок

Урок – семінар з теми «Трикутники».

Мета: узагальнити і систематизувати всі відомості про трикутник, що

вивчаються в курсі планіметрії в 7 – 9 класах;

- застосування здобутих знань при розв’язанні різного роду

планіметричних задач;

- формування світоглядних питань єдності і зв’язку математичних

понять.

Очікувані результати:

1. Вміти застосовувати теоретичний матеріал про трикутники до

розв’язування практичних задач.

2. Вміти виконувати творчі завдання: скласти власну задачу з даної теми

або перетворити одну із відомих.

Тип уроку: Урок узагальнення і систематизації знань.

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань, навичок і умінь учнів з даної теми.

На початку уроку проводиться опитування за інтерактивною

технологією «Мікрофон» з метою удосконалення знань закріплення основних

формул, понять і тверджень, пов’язаних з трикутником, що сприяє

створенню логічних зв’язків між окремими питаннями теми, а також

підвищує якість, як репродуктивного, так і продуктивного мислення.

ІІ. Узагальнення і систематизація вивчених понять.

1. Біля дошки відповідають учні з кожної із 4-х груп, які раніше підготували

теми: «Властивості бісектриси, висоти і медіани трикутника»;

«Рівнобедрений трикутник і його властивості»; «Прямокутний трикутник.

Вписане й описане коло»; «Задачі на доведених різноманітних властивостей

трикутника.»

Пропонується застосування інтерактивної технології «Синтез думок».

2. Розглядаються способи розв’язання окремих із запропонованих задач, які

учні розв’язували вдома і які викликали найбільші затруднення (розв’язання

всіх запропонованих учням задач додається, див. далі). Даються пояснення,

записи на дошці виконують учні окремих груп, інші доповнюють і записують

в зошитах.

3. Розв’язуються більш складні задачі. Учні працюють за технологією «Два –

чотири – всі разом».

1) В m В АВС бісектриса АК ділить

с a2 К n сторону ВС на відрізки ВК = m і КС = n.

Аa2 C Довести що АК2 = la

2 = bc – mn.

Доведення:

а) Розглянути АВК. За теоремою косинусів записати, чому дорівнює m2;

б) Розглянути АСК і за теоремою косинусів записати n2.

в) З обох рівностей знайти cos a2 і прирівняти.

г) Розв’язати отримане рівняння щодо la.

д) Знаходимо, що la2 = bc – mn.

2) Довести, що для довільного трикутника la=2bc ·cos

a2

b+c.

Доведення: використаємо попередній малюнок. SABC= SABK + SACK.

Використовуючи формулу площі трикутника S = 12bc sina маємо:

12bc sina =

12 b lasin

a2 +

12 c lasin

a2 .

la = bc ·sin a

(b+c ) sina2

= bc ·2 sin

a2·cos

a2

(b+c ) sina2

= 2bc ·cos

a2

(b+c). Значить la=

2bc ·cosa2

b+c.

3) Довести, що для довільного трикутника la = 2b+c · √ p (p−a )bc, де

Р – півпериметр трикутника.

Доведення: Знайдемо la2.

(2b+c · √ p (p=−a )bc ¿2 = 4

¿¿ · p(p – a)bc = 4bc¿¿ (

12(a + b + c) – a) =

bc¿¿(a + b + c)(b + c – a) = bc¿¿((b + c¿2 - a2) = bc - a

2bc¿¿

= bc – mn = la2;

де mn = a2bc¿¿ . Значить, la =

2b+c · √ p (p−a )bc .

4) Вивести формулу медіани трикутника: ma = 12√2b2+2c2−a2

.

B a2 Нехай а1=а2=а2 .

c M a За теоремою Стюарта:

Amaa2 АМ2 = a1b

2+a2c2−a1a2aa

, маємо:

B С ma2 =

а2b2+ a

2c2−a

3

4a

= 2b2+2c2−a2

4

ma = 12√2b2+2c2−a2

.

B

5) В рівнобедреному трикутнику

K основа і бічна сторона дорівнюють

відносно 5 і 20 см. Знайти бісектрису кута

O основи трикутника.

A D C

Розв’язання:

Нехай в рівнобедреному АВС : АС = 5 см. АВ = ВС = 20 см. Знайдемо

бісектрису АК кута ВАС.

За властивістю бісектриси кута трикутника ВК : КС = АВ : АС;

ВК20−ВК

= 205

; 5ВК=400 – 20ВК;

25ВК = 400;

ВК = 16;

КС = 20 – 16 = 4(см)

За формулою la = √bc−mn, маємо√АВ·АС−ВК ·КС = √100−64 = 6(см)

Відповідь: 6 см

6) Записуються формули ліній трикутника і половинок кутів:

1) 1r =

1ha

+ 4hb

+ 1hc

;

2) ma2 + mb

2 + mc2 =

34 (a2 + b2 + c2)

3) sinaβ = √ ( p−b ) ·( p−c)

bc , p – півпериметр;

4) cos a2 = √ p( p−a)bc

; 5) tga2 = √ ( p−b )( p−c )

p( p−a)

6) R = a+b+c

8 cosa2

cosβ2

cosγ2

7) r = p · tg a2 · tg

β2 · tg

γ2; 8) r = (p – a) · tg

a2

9) r = 4R · sin a2 · sin

β2 · sin

γ2

7) Розв’язується задача.

В Основа трикутника дорівнює 20 см,

К L медіани дорівнюють 18 см і 24 см.

А C Знайти площу трикутника.

M Розв’язання:

Нехай АС = 20 см; КС = 18 см; АL = 24 см; ВМ, СК, АL – медіани. Знайдемо

SABC

Формулою a = 23 √2mb

2+2mc2−mc

2 знайдемо медіану ВМ, проведену до сторони

АС.

АС2 = 23√2 (КС2+А L2 )−BM2

; 400 = 49 (2(324 + 576) – ВМ2) ;

900 = 1800 - ВМ2

ВМ2 = 900

BМ = 30

Нехай Sm - площа трикутника, у якого довжини сторін дорівнюють довжинам

медіан АВС. Тоді SABC= 43 Sm

Sm = √ p (p−a ) ( p−b )( p−c) = √36 ·18 ·12·6 = 216

SABC=43

216=288(см2)

ІІІ. Підсумки уроку.

Оголошуються оцінки учням. Більшість учнів одержують оцінки за

розв’язані задачі і створені презентації, а також за розв’язання задач біля

дошки. Вчитель зупиняється на тому, що повторили і систематизували учні

на уроці, як на уроці здійснювалось практичне застосування теорії з теми

«Трикутники».

IV. Завдання додому:

Повторити тему «Чотирикутники», «Багатокутники» (Основні теореми,

формули, властивості, ознаки). Клас розбивається на 5 груп, кожній з яких

пропонується розв’язати по 10 задач з тем «Паралелограм, ромб і його

властивості», «Задачі на трапецію з використанням різноманітних

властивостей планіметрії».