ροπές πυθαγόρειο 2
Transcript of ροπές πυθαγόρειο 2
![Page 1: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/1.jpg)
Από το
Θεώρημα των Ροπών
στο
Πυθαγόρειο Θεώρημα
Ομιλητής: Αναστάσιος ΙωσήφΜηχανολόγος – Εκπαιδευτικός
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ – Παράρτημα Κέρκυρας
![Page 2: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/3.jpg)
Μ
F
d
F
M = F×duur r
![Page 4: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/6.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
![Page 7: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/7.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
![Page 8: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/8.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
![Page 9: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/9.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄+ =
2 2 2
ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄
![Page 10: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/10.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄+ =
2 2 2
ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄
![Page 11: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/11.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄+ =
2 2 2
ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄
ΒΒ΄+ ΔΔ΄= 2ΟΟ΄
Όμως 2ΟΟ΄= ΓΓ΄
Επομένως ΒΒ΄+ΔΔ΄= ΓΓ΄ ο.ε.δ
![Page 12: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/12.jpg)
o Λύση άσκησης Ικανοποίηση – επιβράβευση.
o Αναζήτηση εφαρμογής της άσκησης.
o Όλες οι επιστήμες χρησιμοποιούν τις γνώσεις των Μαθηματικών (Φυσική, Μηχανολογία, Αρχιτεκτονική κ.λπ.).
o Κάθε στοιχείο του περιβάλλοντος έχει τη δική του αντιστοιχία με μια εξίσωση, ένα θεώρημα ή μια γεωμετρική κατασκευή και αντιστρόφως.
![Page 13: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/13.jpg)
Κι εκείνο το φυτό αντίκρισα που διαιρεί άνισα, πλην σωστά το χώρο,είναι η αόρατη Γεωμετρία που διέπει στο βάθος ολάκερη την οικουμένη.
Οδυσσέας Ελύτης
![Page 14: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/14.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
![Page 15: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/15.jpg)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
Μ1
Μ2
Μ3
1 2 3
1 1 1AB×MM + AΔ×MM = AΓ×MM
2 2 2
1 2 3AB×MM +AΔ×MM =AΓ×MM
![Page 16: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/16.jpg)
Μ1 2 3AB×MM +AΔ×MM =AΓ×MM
Μ1
Μ3
1 3AB×MM + 0 =AΓ×MM
1 3AB×MM =AΓ×MM
![Page 17: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/17.jpg)
Μ
Μ1
Μ3
1 3(AB)×(MM )=(AΓ)×(MM )
2 2
(ΑΒΜ) = (ΑΓΜ)
1 2 3AB×MM +AΔ×MM =AΓ×MM
1 3AB×MM + 0 =AΓ×MM
1 3AB×MM =AΓ×MM
![Page 18: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/18.jpg)
Μ
1 2 3AB×MM - AΔ×MM =AΓ×MM
Μ1
Μ3
Μ2 1 2 3AB×MM =AΔ×MM +AΓ×MM
31 2 (AΓ)×(MM )(AB)×(MM ) (AΔ)×(MM )= +
2 2 2
(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)
![Page 19: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/19.jpg)
Μ
1 2 3AB×MM - AΔ×MM =AΓ×MM
Μ1
Μ3
Μ2 1 2 3AB×MM =AΔ×MM +AΓ×MM
31 2 (AΓ)×(MM )(AB)×(MM ) (AΔ)×(MM )= +
2 2 2
(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)
![Page 20: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/20.jpg)
Μ
(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)
(ΜΑ) (ΒΒ΄) = (ΜΑ) [(ΒΕ΄)+(Ε΄Β΄)]× ×
(ΜΑ) (ΒΒ΄) = (ΜΑ) (ΒΕ΄)+(ΜΑ) (Ε΄Β΄)× × ×
(ΜΑΒ) = (ΜΑΓ) + (ΜΑΔ) ο.ε.δ.
Α΄
Ε
Ε΄
Δ΄
Β΄
Γ΄
Όμως ΒΕ΄=ΔΔ΄ και Ε΄Β΄=ΓΓ΄
(ΜΑ) (ΒΒ΄) = (ΜΑ) (ΔΔ΄)+(ΜΑ) (ΓΓ΄)× × ×
(ΜΑ)×(ΒΒ΄) (ΜΑ)×(ΔΔ΄) (ΜΑ)×(ΓΓ΄)= +
2 2 2
![Page 21: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/21.jpg)
Μ
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)-
(ΜΑΔ) = (ΜΑΓ) + (ΜΑΒ)
![Page 22: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/22.jpg)
+
Α Β
Δ Γ
![Page 23: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/23.jpg)
+
Α Β
Δ Γ
+
![Page 24: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/24.jpg)
+
Α Β
Δ Γ
+Μ Δ΄
Β΄
![Page 25: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/25.jpg)
+
+
Α Β
Δ Γ
Μ
ΜΑ = ΑΓ
και ΜΑ⊥ΑΓΔ΄
Β΄
![Page 26: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/26.jpg)
+
+
Α Β
Δ Γ
Μ
ΜΑ = ΑΓ
και ΜΑ⊥ΑΓΔ΄
Β΄
(ΜΑΓ) = (ΜΑΒ) + (ΜΑΔ)
![Page 27: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/27.jpg)
+
+
Α Β
Δ Γ
Μ
ΜΑ = ΑΓ
και ΜΑ⊥ΑΓ
(ΜΑΓ) = (ΜΑΒ) + (ΜΑΔ)
ΑΓ×ΑΜ ΑΔ×ΜΔ΄ ΑΒ×ΜΒ΄= +
2 2 2
Δ΄
Β΄
ΑΓ ΑΜ=ΑΔ ΜΔ΄+ΑΒ ΜΒ΄× × ×
Όμως ΑΜ=ΑΓ, ΑΔ=ΜΔ΄ και ΑΒ=ΜΒ΄, επομένως
2 2 2ΑΓ = ΑΔ + ΑΒ
![Page 28: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/28.jpg)
Β
Α
Γ
Μ
Α΄
Μ΄
1 1ΒΜ×ΑΑ΄= ΑΒ×ΜΜ΄
2 2Όμως ΑΑ΄= ΒΑ΄΄, ΒΜ=ΓΒ και ΜΜ΄= ΑΒ
Α΄΄
2ΓΒ×ΒΑ΄΄=ΑΒ
![Page 29: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/29.jpg)
Β
Α
Γ
Μ
Α΄
Α΄΄
Δ1 1
ΒΜ×ΑΑ΄= ΑΒ×ΜΜ΄2 2
Όμως ΑΑ΄= ΒΑ΄΄, ΒΜ=ΓΒ και ΜΜ΄= ΑΒ
2ΓΒ×ΒΑ΄΄=ΑΒ
1 1ΓΔ×ΑΕ= ΑΓ ΔΔ΄
2 2×
Ε
Δ΄Όμως ΑΕ=Α΄΄Γ , ΓΔ=ΓΒ και ΔΔ΄=ΑΓ
2ΓΒ×Α΄΄Γ=ΑΓ
(1)
(2)
(1),(2) ΓΒ⇒ (ΒΑ΄΄+Α΄΄Γ)=ΑΒ2 +ΑΓ2
ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2
![Page 30: ροπές πυθαγόρειο 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052908/55952d661a28ab687f8b4613/html5/thumbnails/30.jpg)
Ευχαριστώ για
την προσοχή σας