Γραμμική Άλγεβρα 2
description
Transcript of Γραμμική Άλγεβρα 2
![Page 1: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/45.jpg)
(Συνέχεια από προηγούμενο μάθημα)
Αποδεικνύω ότι η < , > ικανοποιεί την ανισότητα Cauchy-Schwartz: 2 2 2u v u v u v u v± ≤ + ⇒ + +
( ) ( )2 2 2 2 2 21 1, 2 24 4
u v u v u v u v u v u v< > = + − − = + + + −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 1 22 2
u v u v u v u v u v u v= + − − ≤ + + − − =
Έδειξα ότι ,u v u v< > ≤
Για a∈ ( )r∈ θέλω να δείξω ότι , ,cu v c u v< >= < > Αρκεί να δείξω ότι
, , , , , ,
( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,
, ( )
2
c u v cu v c u v r u v r u v cu v
c r u v c r u v c r u v c r u v
c r u v c r u r c r u v c r u v
c r u v
< > − < > = < > + < > − < > − < > =
= − < > − < − > ≤ − < > + < − > =
= − < > + − ⋅ ≤ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =
= − ⋅ ⋅
Είναι 2, ,u v σταθ
Για r c→ έχω αρχική ποσότητα = 0
Επαλήθευση: Η δοθείσα στάθμη προέρχεται από το εσωτερικό γινόμενο 2,u u u< >=
Έστω cV και έστω ότι [ ], εσωτερικό γινόμενο πραγματικό στο χώρο V όταν αυτός θεωρηθεί δ.χ. επί του
, με [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈
Έστω , η μιγαδικών τιμών συνάρτηση που ορίζεται ως εξής: [ ] [ ], , , , ,x y x y i x iy x y V= + ∀ ∈
Αποδείξτε ότι , είναι ένα ερμιτιανό γινόμενο στο V
Παρένθεση:
cV , { }1 2 3 4, , ,B u u u u= βάση του V και K =
dim 4V B= =
Αν Vω∈ τότε υπάρχουν 1 2 3 4, , ,C C C C ∈ τ.ώ. 1 1 2 2 3 3 4 4w C u C u C u C u= + + +
Αν C iλ λ λα β= + τότε ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4w i u i u i u i uα β α β α β α β= + + + + + + +
1 1 4 4 1 1 4 4.... ( ) .... ( )u u iu iuα α β β= + + + + +
![Page 46: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/46.jpg)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πράγματι,
α) Θδό: , ,x y y x=
[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= +
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , , ,y x y x i y ix y x y x i y ix y x x y i y ix= + ⇒ = − ⇒ = −
Αρκεί νδό [ ] [ ], ,i y ix i y ix= −
Όμως [ ] [ ]0 , ,x y ix iy x ix= + + = [ ] [ ], ,x iy y iy+ +
β) Θδο: , ,x ay a x y= [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , ,x ay ay x ay x i ay ix a y x i y ix a y x a x y= = + = + = =
γ) Θδο: , , ,x y z x y x z+ = +
Αποδεικνύω την προηγούμενη πρόταση και για τη μιγαδική περίπτωση, δηλ. αν V
εφοδιασμένος με
στάθμη που ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου υπάρχει εσωτερικό γινόμενο που την ικανοποιεί.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την πραγματική περίπτωση, μπορώ να προσδιορίσω εσωτερικό γινόμενο πραγματικό [ ], που προκύπτει από τη δοθείσα στάθμη.
Σε μια δεύτερη φάση, αποδεικνύοντας ότι το [ ], ικανοποιεί την [ ], 0x ix = προσδιορίζω το
[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= + από το οποίο η αρχική στάθμη δινόταν [ ] ( )2 21,4
x y x y x y= + − −
Θα δείξω για αυτό το εσωτερικό γινόμενο την ιδιότητα: [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈
Όμως [ ] ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1, 2 04 4 2
x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix= + − − = + − − − − = + − − =
(ισχύει από κανόνα παραλληλογράμμου)
![Page 47: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/50.jpg)
![Page 51: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/51.jpg)
![Page 52: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/52.jpg)
![Page 53: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/53.jpg)
![Page 54: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/55.jpg)
![Page 56: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/56.jpg)
![Page 57: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/57.jpg)
![Page 58: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/58.jpg)
![Page 59: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/59.jpg)
![Page 60: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/61.jpg)
![Page 62: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/63.jpg)
![Page 64: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/65.jpg)
![Page 66: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/67.jpg)
![Page 68: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/68.jpg)
![Page 69: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/69.jpg)
![Page 70: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/70.jpg)
![Page 71: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/71.jpg)
![Page 72: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/73.jpg)
![Page 74: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/74.jpg)
![Page 75: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/75.jpg)
![Page 76: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/76.jpg)
![Page 77: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/77.jpg)
![Page 78: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/78.jpg)
![Page 79: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/79.jpg)
![Page 80: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/80.jpg)
![Page 81: Γραμμική Άλγεβρα 2](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051212/55720879497959fc0b8bce1c/html5/thumbnails/81.jpg)