Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ
Transcript of Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ
CompanyLOGO
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ§ Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
Δευτεροβάθμια εξίσωση
Company Logo
www.themegallery.com
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Άνοιξε το αρχείο:Η ΒΕΡΑΝΤΑ.gsp
Company Logo
ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Μια εξίσωση της μορφής: αχ2 + βχ + γ = 0 (α≠0)
λέγεται εξίσωση β΄ βαθμού.
Οι αριθμοί α,β,γ λέγονται συντελεστές, το γ ειδικά λέγεται και σταθερός ορος ενώ πάντα ισχύει ότι α≠0
Company Logo
ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β΄ΒΑΘΜΟΥ
Η αχ2+βχ+γ =0(α≠0)
Α ΜΕΘΟΔΟΣΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ
(Αν αβ=0 τότε
α=0 ή β = 0)
Β ΜΕΘΟΔΟΣΜΕ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟ ΡΙΖΩΝ
(Δ = β2 – 4αγ)
Α΄ ΜΕΘΟΔΟΣ
Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Παραγοντοποιούμε την εξίσωση και δημιουργούμε γινόμενο παραγόντων. Με βάση την ιδιότητα:
Αν αβ = 0 τότε α=0 ή β=0 Βάζουμε κάθε παράγοντα ισο με το 0 και
λύνουμε την κάθε μια πρωτοβάθμια εξίσωση που προκύπτει.
Company Logo
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ
1 2 3
αχ2 + βχ = 0 αχ2 + γ = 0 αχ2+βχ+γ = 0
1. αχ2 + βχ = 0
αχ2 + βχ = 0 → χ(αχ+β) = 0 → χ=0 ή αχ+β=0 → χ=0 ή χ = -β/αΠαράδειγμα3χ2=6χ → 3χ2 - 6χ = 0 → χ(3χ-6)=0 →χ=0 ή 3χ-6=0 → χ=0 ή χ= 6/3 →χ=0 ή χ=2
▲
2. αχ2+γ = 0
Αν α, γ ομοσημοι τότε η αχ2+γ = 0 είναι αδύνατη.
Αν α, γ ετερόσημοι τότε η αχ2+γ = 0 μετατρέπεται σε διαφορά τετραγώνων και παραγοντοποιείται.
Παραδειγματα1. χ2+4 = 0 είναι αδύνατη2. Χ2-4 = 0→(χ-2)(χ+2) = 0→χ-2=0 ή χ+2=0
→χ=2 ή χ=-2☻
3. αχ2+βχ+γ=0
Χρησιμοποιούμε την παραγοντοποιηση τριωνύμου δηλ την ισότητα:
χ2 + (α+β)χ +αβ = (χ+α)(χ+β)και μετά κάθε παράγοντα ισο με μηδέν.παράδειγμα 1. χ2-8χ+12 = 0 → (χ-2)∙(χ-6) = 0→ χ-2=0 ή χ-6=0→ χ = 2 ή χ = 6
Βρίσκω δυο αριθμούς ώστε(-2)∙(-6)=12, (-2)+(-6)=-8 οπότε
Company Logo
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ
1 23
4χ2 = 9 4χ2-9 = 0(2χ-3)(2χ+3)=02χ-3=0 ή 2χ+3=0 οποτεχ = 3/2 ή χ = -3/2
χ2 = 8χ χ2-8χ=0χ(χ-8)=0χ=0 ή χ-8=0χ=0 ή χ=8
5χ2 – 15χ=05χ(χ-3)=05χ= 0 ή χ-3=0χ=0 ή χ = 3
δ) χ2-4χ = -4 ε) χ2+5χ+6 = 0χ2-4χ + 4=0 χ2+(2+3)χ+2∙3=0(χ-2)2=0 (χ+2)(χ+3) = 0χ-2=0 χ+2 = 0 ή χ+3 = 0χ = 2 χ = -2 ή χ = - 3
Company Logo
Β΄ ΜΕΘΟΔΟΣ
Δ>0 Δ=0 Δ<0
ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ: Δ = β2 – 4αγ
Η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες
Η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες (διπλή ρίζα)
Η εξίσωση δεν έχει ρίζες (αδύνατη)
Company Logo
- β + √ΔΧ1 = ----------------
2α
Αν Δ = β2 – 4αγ > 0 οι ρίζες είναι:
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ
- β - √ΔΧ2 = ----------------
2α
Company Logo
- β χ1 = χ2 = ---------
2α
Αν Δ = β2 – 4αγ = 0 Η διπλή ρίζα είναι:
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ
Company Logo
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
5. χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 1
4. 3χ2 – 12(χ-1) = 12
3. 3χ2 – 2(χ-1) = 2χ+1
2. -2χ2 + χ + 6 = 0
1. 2χ2 – 3χ + 1 = 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. 2χ2 – 3χ + 1 = 0 ΛΥΣΗΔ= (-3)2 – 4∙2∙1 = 9-8 = 1 > 0Οπότε έχουμε τις λύσεις
413
2213
2,1xχ1 = 4/4 = 1
χ2 = 2/4 = 1/2
2. -2χ2 + χ + 6 = 0ΛΥΣΗΔ = 12 – 4∙(-2)∙6 = 1+48 = 49 > 0 οπότε έχουμε τις λύσεις:
471
)2(2491
2,1xχ1= 6/(-4) = -3/2
χ2= -8(-4) = 2
3. 3χ2 – 2(χ-1) = 2χ+1ΛΥΣΗ3χ2 – 2(χ-1) = 2χ+1 3χ2-2χ+2-2χ-1 = 0 3χ2-4χ+1=0 και Δ=(-4)2-4∙3∙1=16-12 = 4Οπότε έχουμε τις λύσεις:
624
3244
2,1xχ1 = 6/6 = 1
χ2 =2/6 = 1/3
4. 3χ2 – 12(χ-1) = 12 ΛΥΣΗ 3χ2 – 12(χ-1) = 12 3χ2 – 12χ + 12 -12 = 0 3χ2 – 12χ = 03χ(χ-4) = 0
3χ=0 ή χ-4 = 0
χ =0 ή χ = 4
5. χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 1
ΛΥΣΗ χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 18χ –χ2 –(3χ2+6χ+χ+2) = 1 8χ –χ2 –3χ2-6χ-χ-2 -1 = 0-4χ2 +χ – 3 = 04χ2-χ+3=0 έχει Δ = (-1)2 – 4∙4∙3 = 1-48 = -47 < 0 ΑΡΑ είναι αδύνατη
Το συντριβανι
Ανοίξτε το αρχείο: ΣΥΝΤΡΙΒΑΝΙ.gsp
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΚΑΝΟΝΑΣ
Αν ρ1, ρ2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης:
αχ2+βχ+γ=0 με α≠0 τότε το τριώνυμο παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:
αχ2+βχ+γ =α(χ-ρ1)(χ-ρ2)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
3χ2–8χ +5 = 3(χ-2)(χ-2/3)
Αφού έχει ρίζες το 2 και το 2/3
2χ2+5χ+3 = 2(χ+1)(χ+3/2)
Αφου εχει ριζες το -1 και το -3/2
ΤΕΛΟΣ