2

ЭДУАРД КАЗАРЯН СОС МАИЛЯН

ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА (МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ)

Ереван Издательство РАУ

2018

3

ԷԴՈՒԱՐԴ ՂԱԶԱՐՅԱՆ

ՍՈՍ ՄԱՅԻԼՅԱՆ

ՖԻԶԻԿԱ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ (ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ ԿԱՊԵՐ)

Երևան ՀՌՀ հրատարակչություն

2018

4

ՀՏԴ 53:51 ԳՄԴ 22.3+22.1 Ղ 158

Գրքույկը հրատարակվում է Հայ-Ռուսական համալսարանի

հրատարակչական խորհրդի երաշխավորությամբ

Խմբագիր՝ ֆիզ.մաթ. գիտ. թեկնածու, փիլ. գիտ. դոկտոր, պրոֆեսոր Պ.Ս. Ավետիսյան

Ղազարյան Է.Մ., Մայիլյան Ս.Ս. Ղ 158 Ֆիզիկա և մաթեմատիկա (միջառարկայական կապեր):

Գումարների հաշվման մեթոդները և դրանց կիրառու-թյունները ֆիզիկայում/ Է.Մ. Ղազարյան, Ս.Ս. Մայիլյան. - Եր.: ՀՌՀ հրատարակչություն, 2018. – 152 էջ:

Գրքույկը նվիրված է ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի մի-ջառարկայական կապերին: Դիտարկված են որոշ՝ լայն տարածում գտած գումարների (վերջավոր և «անվերջ») հաշվման մաթեմատիկական հնարներն ու եղանակները: Այդ գումարների հաշվման արդյունքներն օգտագործված են ֆիզիկական մի շարք խնդիրների լուծման համար:

Գրքույկը նախատեսված է ընթերցողների լայն շրջա-նակի՝ ինչպես բուհերի ուսանողների, այնպես էլ ավագ դպրոցի աշակերտների և ուսուցիչների համար: Թեմանե-րը շարադրված են հնարավորինս պարզ, այնպես որ, կարծում ենք, գրքույկը մատչելի կլինի հիմնական դպրո-ցի հետաքրքրասեր աշակերտներին նույնպես:

ՀՏԴ 53:51 ԳՄԴ 22.3+22.1

ISBN 978-9939-67-204-5 © ՀՌՀ հրատարակչություն, 2018

5

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Նախաբան ………………………………………………… 7

Մաս I. Վերջավոր գումարների հաշվման հնարները և մեթոդները 1. Պատմություն փոքրիկ Գաուսի մասին, ով հետա-

գայում դարձավ մաթեմատիկոսների արքա կամ ինչպե՞ս հաշվել առաջին n բնական թվերի գումարը. 10

2. Ինչպե՞ս գտնել 1-ից մինչև n բոլոր բնական թվերի քառակուսիների գումարն արտահայտող բանաձևը 13

3. Մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդ ………….... 17 4. Նոր հնար արդեն լուծված խնդրի համար ………….. 20 5. Նոր մեթոդի այլ կիրառություններ …………………... 22 6. 3S -ի հաշվման այլ, բայց արդեն ծանոթ եղանակ….. 24 7. Խնդիրը երբեմն հուշում է, թե ինչ հնարով

լուծել այն ……………………………………………….. 25 8. Ինչպե՞ս հաշվել 4S գումարը ………………………… 27 9. Եռանկյունաչափական գումար ……………………... 31

Մաս II. «Անվերջ» գումարների հաշվման մեթոդները 1. Բազմանդա՞մ է, արդյոք, 1(1 )x −+ -ը …………………. 34 2. Շարքեր, որոնց անդամները կազմում են անվերջ

նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա …………….. 40 3. Շարք, որի անդամները, սկսած երկրորդից,

նախորդ և հաջորդ անդամների հարմոնիկ միջինն են ………………………………………………. 43

4. Հարմոնիկ շարքից «սերած» շարքեր (1) ……………. 50 5 . Հարմոնիկ շարքից «սերած» շարքեր (2) ……………. 57 6. «Հակադարձ քառակուսիների» շարքը ……………… 62 7. Գաղափար ֆունկցիոնալ շարքերի մասին:

Թեյլոր-Մակլորենի շարքը …………………………… 66

6

Մաս III. Ֆիզիկական խնդիրներ, որոնք լուծվում են գումարների հաշվմամբ

Ներածություն …………………………………….……….. 76 1. Լիցքավորված հաղորդչի էներգիան ……………….... 77 2. Մի գծով դասավորված գնդերի զանգվածների

կենտրոնը ……………...……………………….………. 80 3. Ծանր զսպանակից կախված ծանրոցի սեփական

տատանումների պարբերությունը …………….……. 83 4. Բյուրեղում իոնների էլեկտրաստատիկ

փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան ………… 88 5. Լիցքավորված գնդի սեփական էլեկտրական

էներգիան ………………………………………………. 91 6. Հարմոնիկ միջինը ֆիզիկայում (1):

Լիցքավորված հաղորդիչ գնդերի պոտենցիալը …... 95 7. Հարմոնիկ միջինը ֆիզիկայում (2): Աղյուսների

խնդիրը …………………………………………………. 101 8. Հարմոնիկ թվերը ֆիզիկայում: Անձրևորդի

խնդիրը ……...………………………………………….. 102 9. Աքիլեսը և կրիան …………………………………….… 104 10. Փոփոխական արագությամբ շարժման

ճանապարհի հաշվումը ……………………………… 109 11. Ջրածնի ատոմի էներգիական մակարդակների

այլասերման աստիճանը …………………………….. 114 12. Մասնիկների համակարգի վիճակագրական

նկարագրությունը …………….……………………….. 119 Ներածություն (ընդհանուր տեղեկություններ քվանտային վիճակագրությունների մասին) ……… 119

12ա. Ֆոտոնային գազ ……………………………………. 127 12բ. Էլեկտրոնային գազ …………………………………. 133 Վերջաբան ………………………………………………… 147 Գրականություն …………………………………………... 150

7

ՆԱԽԱԲԱՆ

Ներկայումս, կարծում ենք, բնավ անհրաժեշտու-թյուն չկա ապացուցելու ուսուցման գործընթացում մի-ջառարկայական կապերի կարևորությունը: Իրոք, գի-տության զարգացման արդի փուլը բնորոշվում է տար-բեր գիտությունների, հատկապես մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի՝ միմյանց մեջ փոխներթափանցմամբ, իսկ միջառարկայական կապերը հարկավոր է դիտարկել որպես միջգիտական կապերի արտացոլում ուսումնա-կան գործընթացում: Դժվար է նույնիսկ երևակայել, որ կարելի է ֆիզիկա սովորել (կամ՝ սովորեցնել) առանց մաթեմատիկայի: Այդ երկու առարկաներն անխզելիո-րեն կապված են իրար հետ: Մաթեմատիկան ֆիզի-կային տալիս է միջոցներ և հնարներ՝ արտահայտելու համար ճշգրիտ կախվածությունն այն ֆիզիկական մե-ծությունների միջև, որոնք բացահայտվում են գիտա-փորձի կամ տեսական հետազոտությունների արդյուն-քում: Ուստի ֆիզիկայի ուսուցման բովանդակությունը և մեթոդները կախված են աշակերտների՝ մաթեմատի-կայից ստացած գիտելիքների մակարդակից: Ընդգը-

8

ծենք, որ ֆիզիկայի դպրոցական ծրագիրը կազմված է այնպես, որ յուրաքանչյուր նոր թեմա ուսումնասիրե-լիս աշակերտներն արդեն յուրացրած լինեն անհրա-ժեշտ մաթեմատիկական դասանյութերը, իսկ ուսուցի-չը, կարծում ենք, պետք է քաջածանոթ լինի մաթեմա-տիկայի դպրոցական դասընթացի բովանդակությանը:

Հավելենք, որ ֆիզիկան նույնպես մաթեմատի-կային, հատկապես երկրաչափությանը, տալիս է հնարներ և միջոցներ՝ առավել դյուրությամբ լուծելու մի շարք երկրաչափական խնդիրներ: (Այդպիսի մե-թոդներից է, օրինակ, բարիցենտրիկ (ծանրության կենտրոնի) մեթոդը, որը ներառված է արտերկրյա որոշ երկրների երկրաչափության դպրոցական դասընթա-ցում:)

Հետևաբար, կարելի է պնդել, ինչպես Ռիչարդ Ֆեյնմանը, որ թեպետ ֆիզիկան մաթեմատիկա չէ, իսկ մաթեմատիկան էլ ֆիզիկա չէ, այդուհանդերձ, լինելով իրարից այդքան տարբեր, նրանք իրար այնքա՜ն մոտ են, որ մեկը, «ձեռքը պարզելով», կարող է օգնել մյու-սին: Ֆիզիկան, որ զբաղվում է բնության օրենքների բացահայտմամբ, այդ օրենքները նկարագրում է մա-թեմատիկորեն: Բայց չի նշանակում, որ մաթեմատի-կան պարզապես լեզու է՝ գումարած դատողություն-ներ. այն, կարծես, լեզու և տրամաբանություն է՝ միա-

9

սին վերցրած, այլ կերպ ասած, մաթեմատիկան մտա-ծողության միջոց է, և ֆիզիկան չի կարելի պատկերաց-նել առանց մաթեմատիկայի, թեպետ ֆիզիկան զարգա-նում է ոչ թե մաթեմատիկական տրամաբանության, այլ ֆիզիկական ներըմբռնողության շնորհիվ:

Ներկայացվող գրքույկում, «ֆիզիկա և մաթեմա-տիկա» միջառարկայական կապերը խորացնելու նպա-տակով, կանգ ենք առել որոշ՝ լայն տարածում գտած գումարների (վերջավոր և «անվերջ») հաշվման մաթե-մատիկական հնարների և եղանակների վրա: Այդ գու-մարների հաշվման արդյունքներն օգտագործվում են մի շարք ֆիզիկական խնդիրների լուծման համար:

Հեղինակներն իրենց խորին երախտագիտու-թյունն են հայտնում պրոֆ. Պ.Ս. Ավետիսյանին, ով մեծ սիրով հանձն է առել խմբագրելու մեր գրքույկը և, ման-րակրկիտորեն ընթերցելով այն, արել օգտակար դիտո-ղություններ:

Մեր հատուկ շնորհակալությունն ենք հայտնում պրոֆ. Գ.Ա. Կարապետյանին, ով մեզ օգնել է մաթեմա-տիկային վերաբերող մի շարք հարցեր առավել մատ-չելի ներկայացնելու համար:

10

Մաս I. Վերջավոր գումարների հաշվման հնարները և մեթոդները

1. Պատմություն փոքրիկ Գաուսի մասին, ով հետագայում դարձավ մաթեմատիկոսների արքա կամ ինչպե՞ս հաշվել առաջին n բնական թվերի գումարը

«Դա պատահել է, երբ փոք-

րիկ Գաուսը (Կառլ Ֆրիդրիխ

Գաուս, գերմանացի հանճարեղ

մաթեմատիկոս) նոր էր հաճա-

խում դպրոց: Մի անգամ ուսու-

ցիչն աշակերտներին հանձնա-

րարեց դժվարին խնդիր՝ գումա-

րել 1-ից մինչև 20-ը ներառյալ բոլոր բնական թվերը:

Նա հույս ուներ մի փոքր հանգստանալ, քանի դեռ երե-

խաները զբաղված էին հաշվմամբ, և որքան զարմա-

ցավ, երբ փոքրիկ Գաուսն իրեն մոտեցավ այն ժամա-

նակ, երբ մնացած աշակերտները դեռ նոր էին սկսել ի-

11

րենց հաշվումները, և, ուսուցչին հանձնելով իր տախ-

տակը, ասաց. «Պատրաստ է»: (Գաուսի ժամանակնե-

րում գրաֆիտե ձողիկներով (գրիֆելներով) գրում էին

քարե տախտակների վրա:) Ուսուցիչը մինչև անգամ

չնայեց փոքրիկ Գաուսի տախտակին, և նույնիսկ

պատրաստվում էր պատժել տղային աննրբանկատու-

թյան համար: Եվ սպասեց այնքան, մինչև բոլոր աշա-

կերտները կատարեցին իրենց աշխատանքը և տախ-

տակները դրեցին փոքրիկ Գաուսի տախտակի վրա:

Դրանից հետո միայն ուսուցիչը հանեց նրա տախտա-

կը և նայեց: Որքա~ն էր ուսուցչի զարմանքը, երբ տախ-

տակին տեսավ մեն-միակ թիվ՝ ճիշտ պատասխանը: Ի-

՞նչ թիվ էր դա, և ինչպե՞ս էր փոքրիկ Գաուսն այն ստա-

ցել» [1]:

Վերջին հարցին կարելի է միայն պատասխանել

ենթադրաբար: Հավանաբար, փոքրիկ Գաուսը նկատել

էր, որ առաջին և վերջին (1+20), երկրորդ և նախավեր-

ջին (2+19), այսինքն՝ 1-ից և 20-ից հավասարահեռ բո-

լոր տասը զույգ թվերի գումարները նույնն են և հավա-

սար են 21-ի, հետևաբար՝ մեկից մինչև քսանը բոլոր

բնական թվերի գումարը հավասար կլինի 210-ի:

Այժմ ընդհանրացնենք խնդիրը՝ 20-ի փոխարեն

վերցնելով կամայական բնական n թիվ, և գումարենք

12

առաջին n բնական թվերը, այսինքն՝ գտնենք հետևյալ

գումարը՝

1 2 3 :nS n= + + +L

Հաշվարկը կատարենք այնպես, ինչպես, հավա-

նաբար, կատարել էր փոքրիկ Գաուսը: Դրա համար

գրենք nS գումարը երկու անգամ, նախ՝ հաջորդաբար

1-ից մինչև ,n ապա՝ հակառակ կարգով՝ n -ից մինչև 1.

1 2 3 ( 2) ( 1) ,nS n n n= + + + + − + − +L

( 1) ( 2) 3 2 1:nS n n n= + − + − + + + +L

Գումարելով այս երկու արտահայտությունները՝

ստանում ենք.

2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) :nS n n n n n n= + + + + + + + + + + + +L

Աջ մասի գումարելիների թիվը n է, հետևաբար՝

2 ( 1),nS n n= + որտեղից՝

( 1)1 2 3 :2n

n nS n += + + + + =L (1.1)

Վարժություն 1. Օգտվելով վերը նկարագրված՝

փոքրիկ Գաուսի մեթոդից՝ ապացուցեք, որ.

ա) 2 4 6 2( 2) 2( 1) 2 ( 1),n n n n n+ + + + − + − + = ⋅ +L (1.2)

բ) 21 3 5 (2 5) (2 3) (2 1) :n n n n+ + + + − + − + − =L (1.3)

13

2. Ինչպե՞ս գտնել 1-ից մինչև n բոլոր բնական թվերի քառակուսիների գումարն արտահայտող բանաձևը

Նշանակենք որոնելի գումարը nS -ով՝

2 2 2 21 2 3 :nS n= + + +L

Ինչպե՞ս հաշվել nS -ը, ինչի՞ց սկսել: Նման իրավի-

ճակներում, սովորաբար, դիտարկում են համանման

խնդիր, որի լուծումը, սակայն, ավելի պարզ է, և փոր-

ձում են կապ գտնել տրված և համանման խնդիրների

միջև: Ասվածին համապատասխան անմիջապես հի-

շում ենք նախորդ խնդիրը, որի լուծումն արտահայտ-

ված է (1.1) բանաձևով: Նշանակելով այդ գումարը nS -ի

փոխարեն nσ -ով՝

( 1)1 2 3 ,2n

n nnσ += + + + + =L

փորձենք կապ որոնել nS -ի և nσ -ի միջև: Դրա համար

հաշվենք nS -ը և nσ -ը n -ի մի քանի արժեքների հա-

մար՝ լրացնելով հետևյալ աղյուսակը.

14

Աղյուսակ 1

n 1 2 3 4 5 6

nS 1 5 14 30 55 91

nσ 1 3 6 10 15 21

Ֆիզիկոս-փորձարարները, օրինակ, նմանատիպ

աղյուսակներից օգտվելով, կարողանում են հաճախ

կապ հաստատել հետազոտվող և համանման մեծու-

թյունների միջև՝ հաշվելով դրանց հարաբերության

արժեքները: Մենք նույնպես ստանանք n

n

Sσ

հարաբե-

րության արժեքները, երբ 1, 2,3, 4,5,6.n =

5 7 11 131, , ,3, , , ,3 3 3 3

n

n

Sσ

= L

կամ

3 5 7 9 11 13, , , , , , :3 3 3 3 3 3

n

n

Sσ

= L (1.4)

Իսկ ի՞նչ են մեզ տալիս (1.4) հարաբերություն-

ները: Շատ բան: Քանի որ այդ հարաբերությունների

հայտարարները նույնն են և հավասար են 3-ի, իսկ

համարիչները կենտ թվեր են, ապա դժվար չէ արդեն

ենթադրել, որ

15

2 1,3

n

n

S nσ

+=

որտեղից էլ ստանում ենք՝

2 1 2 1 ( 1) ( 1)(2 1) :3 3 2 6n n

n n n n n n nS σ+ + + + += ⋅ = ⋅ =

Այսպիսով՝ հանգեցինք այն ենթադրության, որ

որոնելի գումարն արտահայտվում է հետևյալ բանա-

ձևով՝

2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 :6n

n n nS n + += + + + + =L (1.5)

Բայց… այս ենթադրությանը մենք եկանք, դի-

տարկելով մի քանի մասնավոր օրինակ: Որքանո՞վ

ենք վստահ, չի գտնվի 6-ից մեծ n -ի որևիցե արժեք,

որի դեպքում (2 1) 3:n nS nσ ≠ + Ուստի չենք կարող

վստահաբար ասել, որ (1.5) բանաձևը ճիշտ է կամայա-

կան n -ի համար:

Իսկ ինչու՞ չենք կարող ասել՝ կհարցնեն ոմանք:

Չէ՞ որ n -ի վեց արժեքի համար բանաձևն ստուգվեց:

n -ի քանի՞ արժեքի համար է հարկավոր (1.5) բանաձևն

ստուգել: Բավարար չէ՞, արդյոք, n -ի վեց արժեքը: Այս-

16

պես մտածող աշակերտներին համոզելու համար,

կարծում ենք, ուսանելի կլինի հետևյալ օրինակը:

Օրինակ 1. Դիտարկենք 2( ) 41P n n n= + + քառա-

կուսային եռանդամը, որտեղ n -ը բնական թիվ է: Կազ-

մենք հետևյալ աղյուսակը:

Աղյուսակ 2

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( )P n 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197

Աղյուսակից նկատում ենք, որ ( )P n -ի բոլոր ար-

ժեքները, երբ 1, 2, ,12,n = K պարզ թվեր են: Կարելի՞ է

այս արդյունքների հիման վրա ենթադրել, որ ( )P n -ը n -ի

կամայական արժեքի դեպքում պարզ թիվ է: Պարզվում

է՝ ոչ, քանի որ արդեն 40n = -ի համար ( )P n -ը պարզ

թիվ չէ: Իրոք, 2 2(40) 40 40 41 40(40 1) 41 41 ,P = + + = + + =

այսինքն՝ (40)P -ը բաղադրյալ թիվ է:

Դիտարկված օրինակը թույլ է տալիս եզրակաց-

նելու, որ պնդումը կարող է ճշմարիտ լինել մի շարք մասնավոր դեպքերում, այդուհանդերձ անճիշտ լինել ընդհանուր առմամբ:

Այժմ առաջանում է այսպիսի հարց: Դիցուք՝ ա-

ռաջադրված վարկածը (պնդումը) ճշմարտացի է մի

քանի մասնավոր դեպքերում: Բոլոր մասնավոր դեպ-

17

քերը, բնականաբար, դիտարկել հնարավոր չէ: Ինչ-

պե՞ս իմանալ, ճշմարտացի՞ է արդյոք այդ վարկածն

առհասարակ:

Առաջ քաշված հարցին երբեմն հնարավոր է լի-

նում լուծում տալ, կիրառելով դատողությունների ա-

ռանձնահատուկ մի եղանակ, որը մաթեմատիկայում

անվանում են

3. Մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդ

Վերնագրյալ մեթոդով որևէ վարկածի (պնդման)

ապացույցը բաղկացած է երկու մասից.

1) համոզվում ենք, որ վարկածը ճշմարտացի է

1n = -ի համար,

2) ապացուցում ենք, որ եթե այդ վարկածը ճշմար-

տացի է որևէ n k= բնական թվի համար, ապա այն

ճշմարտացի է նաև 1n k= + -ի համար:

Այստեղից հետևում է, որ դիտարկված վարկածը

ճիշտ է կամայական բնական n -ի համար:

Կրկին դառնանք (1.5) բանաձևին:

Հեշտ է համոզվել, որ այդ բանաձևը ճիշտ է, երբ

1n = :

18

Այժմ ենթադրենք, որ այն ճշմարտացի է n k=

դեպքում, որտեղ k -ն կամայական բնական թիվ է, այ-

սինքն՝ ենթադրենք, որ

( 1)(2 1)6k

k k kS + +=

հավասարությունը ճիշտ է: Այդ դեպքում

21

( 1)(2 1) ( 1)( 2)(2 3)( 1) :6 6k

k k k k k kS k++ + + + += + + =

Այսպիսով, տեսնում ենք, որ n k= դեպքում մեր

առաջ քաշած վարկածի՝ (1.5) հավասարության ճշմա-

րիտ լինելուց հետևում է այդ վարկածի ճշմարիտ լինե-

լը, երբ 1:n k= + Բացի այդ, մենք համոզվեցինք, որ վար-

կածը (այսինքն՝ (1.5) հավասարությունը) ճշմարիտ է

նաև 1n = դեպքում: Այդ ամենից բխում է (1.5) բանա-

ձևի ճիշտ լինելը կամայական n -ի համար:

Եվս մեկ օրինակ մաթեմատիկական ինդուկցի-

այի մեթոդի կիրառմամբ: Հաշվել

1 1 11 2 2 3 ( 1)nS

n n= + + +

⋅ ⋅ +L

գումարը:

Հեշտ է ստուգել, որ

19

11 1 ,

1 2 2S = =

⋅ 2

1 1 2 ,1 2 2 3 3

S = + =⋅ ⋅

31 1 1 3 :

1 2 2 3 3 4 4S = + + =

⋅ ⋅ ⋅

Դիտարկված գումարների հաշվարկման արդյունք-

ները հնարավորություն են տալիս ենթադրելու, որ n -ի

յուրաքանչյուր արժեքի համար nS -ն արտահայտվում

է մի կոտորակով, որի հայտարարը 1-ով մեծ է համա-

րիչից, այսինքն՝ :1n

nSn

=+

Արված ենթադրությունը

(վարկածը) ստուգելու համար օգտվենք մաթեմատի-

կական ինդուկցիայի մեթոդից:

1n = -ի համար վարկածը ճշմարիտ է, քանի որ

11 :2

S =

Ենթադրենք, որ վարկածը ճշմարիտ է n k= բնա-

կան թվի համար, այսինքն՝

1 1 1 :1 2 2 3 ( 1) 1k

kSk k k

= + + + =⋅ ⋅ + +

L

Ապացուցենք, որ այդ դեպքում վարկածը ճիշտ

կլինի նաև 1n k= + -ի համար, այսինքն՝ 11 :2k

kSk+

+=+

Իրոք,

20

1

2

1 1( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)

2 1 1 :( 1)( 2) 2

k kkS S

k k k k kk k kk k k

+ = + = + =+ + + + +

+ + += =+ + +

Այսպիսով, կարող ենք պնդել, որ 1n

nSn

=+

բա-

նաձևով արտահայտվող վարկածը ճշմարիտ է

կամայական n -ի համար՝

1 1 1 :1 2 2 3 (n 1) 1n

nSn n

= + + + =⋅ ⋅ + +

L (1.6)

4. Նոր հնար արդեն լուծված խնդրի համար

Մաթեմատիկան լի է հնարներով. հարկավոր է միայն կարողանալ ընտրել

դրանցից անհրաժեշտը և կիրառել: Ջորջ Պոյա

(1.5) բանաձևը կարելի է արտածել նաև այլ կերպ,

եթե միայն կարողանանք կռահել, որ այդ նպատակի

համար հարկավոր է օգտվել 3 3 2( 1) 3 3 1n n n n+ − = + +

նույնությունից: Այդ նույնության մեջ տեղադրելով

1, 2,3, , ( 1), `n n n= −K կստանանք հետևյալ n հավասա-

րությունները՝

21

3 3

3 3 2

3 3 2

3 3 2

3 3 2

2 1 3 1 1,3 2 3 2 3 2 1,4 3 3 3 3 3 1,.....................................

( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 1,( 1) 3 3 1:n n n nn n n n

− = ⋅ +− = ⋅ + ⋅ +− = ⋅ + ⋅ +

− − = ⋅ − + ⋅ − ++ − = ⋅ + ⋅ +

Նկատում ենք, որ գրված հավասարությունների

ձախ մասերում կան փոխադարձաբար իրար ոչնչաց-

նող անդամներ՝ 32 և 32 ,− 33 և 33 ,− 34 և 34− և այլն:

Դա մեզ գլխի է գցում, որ հարկավոր է այդ հավա-

սարություններն անդամ առ անդամ գումարել: Այդ

դեպքում կստանանք՝ 3 2 2 2( 1) 1 3 (1 2 ) 3 (1 2 )n n n n+ − = ⋅ + + + + ⋅ + + + + =L L

( 1)3 3 ,2n

n nS n+= + ⋅ +

որտեղ 2 2 21 2 :nS n= + + +L Ստացված հավասարու-

թյունից կարող ենք որոշել nS -ը՝

( 1)(2 1) :6n

n n nS + +=

Վարժություն 2. Օգտվելով (1.5) բանաձևից՝ հաշ-

վեք հետևյալ գումարները.

ա) 2 2 2 22 4 6 (2 ) ,n+ + + +L

22

բ) 2 2 2 21 3 5 (2 1) ,m+ + + + +L

գ) 2 2 2 2 1 21 2 3 4 ( 1) :n n−− + − + + −L

5. Նոր մեթոդի այլ կիրառություններ

Փորձենք օգուտ քաղել նախորդ օրինակի լուծման

համար կռահած հնարից: Դրա համար ընդհանրաց-

նենք դիտարկված օրինակը և գրենք 1-ից մինչև n բո-

լոր բնական թվերի k -րդ աստիճանների գումարը՝

1 2 3 :k k k kkS n= + + + +L

Նախորդ օրինակը, փաստորեն, 2S -ի հաշվումն էր՝

2 2 2 22

( 1)(2 1)1 2 3 ,6

n n nS n + += + + + + =L

իսկ դրանից առաջ հաշվել էինք 1S -ը (տե´ս 1.1 բանա-

ձևը)՝

1( 1)1 2 3 :

2n nS n += + + + + =L

0S -ն, ակներևաբար,հավասար է՝

0 0 0 00 1 2 3 1 1 1 1 :S n n= + + + + = + + + + =L L

Այժմ, նոր մեթոդի կիրառմամբ, կարող ենք հաշվել 3S -ը՝

3 3 3 33 1 2 3 :S n= + + + +L

23

Դրա համար գրենք բինոմական բանաձևը 4 ցուցչի

համար: Այդ բանաձևը կարող ենք ստանալ դյուրությամբ:

Իրոք 4 2 2 4 3 2( 1) ( 1) ( 1) 4 6 4 1,n n n n n n n+ = + + = + + + + հե-

տևաբար՝ 4 4 3 2( 1) 4 6 4 1:n n n n n+ − = + + +

Այս հավասարությունը գրենք 1, 2,3, ,n n= L արժեքնե-

րի համար՝ 4 4 3 2

4 4 3 2

4 4 2 2

4 4 3 2

2 1 4 1 6 1 4 1 1,3 2 4 2 6 2 4 2 1,4 3 4 3 6 3 4 3 1,.................................................( 1) 4 6 4 1:n n n n n

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ +− = ⋅ + ⋅ + ⋅ +− = ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ − = + + +

Անդամ առ անդամ գումարելով այս հավասարություն-

ները՝ կստանանք՝ 4

3 2 1 0( 1) 1 4 6 4n S S S S+ − = + + +

կամ 4

3( 1)(2 1) ( 1)( 1) 1 4 6 4 ,

6 2n n n n nn S n+ + ++ − = + + ⋅ +

որտեղից ստանում ենք՝

23 3 3 3

3

2

( 1)1 2 32

(1 2 3 ) :

n nS n

n

+⎡ ⎤= + + + + = =⎢ ⎥⎣ ⎦= + + + +

L

L

(1.7)

24

Մենք հանգեցինք ցանկալի արդյունքի, օգտագոր-

ծելով նույն հնարը երկրորդ անգամ: Նշանակում է, այդ

հնարն արդեն ուսանելի է: Արժե հիշել մեծ մանկավարժ-

ների իմաստալից խոսքը. «Այն հնարը, որն օգտագոր-

ծում եք երկու անգամ, արդեն դառնում է մեթոդ»:

6. 3S -ի հաշվման այլ, բայց արդեն ծանոթ

եղանակ

Ուշադիր նայելով (1.7) հավասարությանը՝ նկա-

տում ենք, որ 3 3

3 3 2

3 3 3 2

3 3 3 3 2

1 1 ,1 2 9 (1 2) ,1 2 3 36 (1 2 3) ,1 2 3 4 100 (1 2 3 4) :

=+ = = ++ + = = + ++ + + = = + + +

Բնական է ենթադրել, որ 2

3 3 3 33

( 1)1 2 3 :2

n nS n +⎡ ⎤= + + + + = ⎢ ⎥⎣ ⎦L (1.8)

(1.8) արտահայտությամբ ներկայացվող վարկա-

ծի՝ առհասարակ ճշմարիտ լինելու մեջ համոզվենք,

օգտվելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդից:

1,2,3,4n = արժեքների համար մենք համոզվե-

ցինք, որ ներկայացվող վարկածը ճշմարիտ է: Դիցուք՝

25

վարկածն արտահայտող (1.8) հավասարությունը ճիշտ

է, երբ ,n k= այսինքն՝ 2

3 3 3 3 ( 1)1 2 3 :2

k kk +⎡ ⎤+ + + + = ⎢ ⎥⎣ ⎦L

Այդ հավասարության երկու մասին էլ ավելաց-

նենք 3( 1) :k + Այդ դեպքում կունենանք՝ 2 2

3 3 3 3 3 3( 1)1 2 3 ( 1) ( 1)4

k kk k k++ + + + + + = + + =L

2 2( 1) ( 2) :4

k k+ +=

Այսպիսով, (1.8) բանաձևը ճիշտ է կամայական

n -ի համար:

Վարժություն 3. Հաշվել հետևյալ գումարները.

ա) 3 3 3 32 4 6 (2 ) ,n+ + + +L

բ) 3 3 3 31 3 5 (2 1) :n+ + + + −L

7. Խնդիրը երբեմն հուշում է, թե ինչ հնարով լուծել այն

Մեթոդների իմացությունն ավելի կարևոր է, քան խնդիրն այս կամ այն կերպ լուծելը:

Ջորջ Պոյա Ապացուցել, որ

( 1) ( 1)1 2 2 3 ( 1) :3

n n nn n − +⋅ + ⋅ + + − =L (1.9)

26

(1.9) բանաձևն, իհարկե, դժվար չէ ապացուցել

մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով, բայց մի

հարց, այդուհանդերձ, կարող է մտատանջել ընթերցո-

ղին. իսկ ինչպե՞ս է «հայտնաբերվել» այդ հավասարու-

թյան աջ մասը: Այդ պատճառով էլ, կարծում ենք, արժե

որևէ հնարով հայտնագործել (1.9)-ի աջ մասը:

Ուշադիր նայելով (1.9) հավասարության ձախ

կողմին՝ ուշիմ ընթերցողը կարող է նկատել հետևյալ օ-

րինաչափությունը. 1 2 2 3 ( 1) 1 (1 1) 2 (2 1) 3 (3 1)n n⋅ + ⋅ + + − = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +L L

[ ]( 1) ( 1) 1n n+ − − + =L

[ ]2 2 2 21 2 3 ( 1) 1 2 3 ( 1) :n n⎡ ⎤= + + + + − + + + + + −⎣ ⎦L L

Այսպիսով, օրինաչափությունը հայտնագործված է:

Հաշվելիք գումարը նշանակելով nS -ով՝ համաձայն

(1.1) և (1.5) բանաձևերի, կարող ենք գրել, որ

( 1) (2 1) ( 1) ( 1) (2 1 3)6 2 6n

n n n n n n n nS − − − − − += + = =

( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) ,6 3

n n n n n n− ⋅ + − += =

այսինքն՝

( 1) ( 1)1 2 2 3 ( 1) :3n

n n nS n n − += ⋅ + ⋅ + + − =L (1.10)

27

Վարժություն 4. Ապացուցել, որ

( 1)( 2)( 3)1 2 3 2 3 4 ( 1)( 2) :4

n n n nn n n + + +⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + + =L

Ցուցում: Խնդիրը կարելի է լուծել վերը դիտարկվածի

նման՝ նկատելով, որ 3 2( 1)( 2) 3 2k k k k k k+ + = + ⋅ + ⋅ : Այդ

դեպքում ապացուցվելիքի հավասարության ձախ մասի

գումարը, երբ 1, 2,3, , ,k n= K արտահայտվում է 3 ,S 2 ,S

1S գումարների միջոցով (տե´ս դրվագ 5):

8. Ինչպե՞ս հաշվել 4S գումարը

Ընթերցողն այժմ տիրապետում է բավարար չա-

փով հնարների՝ հաշվելու համար 4 4 4 4

4 1 2 3S n= + + + +L

գումարը: Հիշեք, օրինակ, թե ինչպես հաշվեցինք 2S

գումարը սկզբում: Հանգույն ձևով որոշենք 4S -ը: Դրա

համար հաշվենք 4S և 2 2 2 22 1 2 3S n= + + + +L գումար-

ները, երբ 1, 2,3, 4,5,6,n = և գրանցենք աղյուսակ 3-ում:

Աղյուսակ 3

n 1 2 3 4 5 6

4S 1 17 98 354 979 2275

2S 1 5 14 30 55 91

28

Հաշվենք 4

2

SS

հարաբերության արժեքները, երբ

1, 2,3, 4,5,6.n =

4

2

17 59 891, ,7, , , 255 5 5

SS

= կամ

4

2

5 17 35 59 89 125, , , , , :5 5 5 5 5 5

SS

=

Փոքր-ինչ մտածելով՝ դժվար չէ նկատել, որ

ստացված հարաբերությունների համարիչները կարե-

լի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. 5 3 2 1 3 1 2 1,= ⋅ − = ⋅ ⋅ −

17 3 6 1 3 2 3 1,= ⋅ − = ⋅ ⋅ −

35 3 12 1 3 3 4 1,= ⋅ − = ⋅ ⋅ −

59 3 20 1 3 4 5 1,= ⋅ − = ⋅ ⋅ −

89 3 30 1 3 5 6 1,= ⋅ − = ⋅ ⋅ −

125 3 42 1 3 6 7 1:= ⋅ − = ⋅ ⋅ −

Այստեղից անմիջապես կռահում ենք, որ 4

2

SS

հա-

րաբերությունների համարիչներն ունեն 3 ( 1) 1n n + −

տեսքը: Հետևաբար, 4

2

3 ( 1) 15

S n nS

+ −= , որտեղից էլ գտնում

29

ենք որոնելի 4S գումարը՝

4 4 4 44 2

3 ( 1) 11 2 35

n nS n S+ −= + + + + = ⋅ =L

3 ( 1) 1 ( 1)(2 1)5 6

n n n n n+ − + += ⋅ =

2( 1)(2 1)(3 3 1) :30

n n n n n+ + + −=

Քանի որ ստացված արդյունքը, վերջին հաշվով,

գտանք կռահմամբ, ապա այն հարկավոր է համարել

վարկած և այդ վարկածն ապացուցել մաթեմատիկա-

կան ինդուկցիայի մեթոդով: Դրա համար.

1) Համոզվում ենք, որ 1n = -ի համար վարկածը

ճշմարիտ է:

2) Այնուհետև ենթադրում ենք, որ վարկածը

ճշմարիտէ n k= -ի համար, այսինքն՝ 2

4( )( 1)(2 1)(3 3 1) ,

30kk k k k kS + + + −=

և ապացուցում, որ այդ դեպքում

2

4( )

( 1)( 2)(2 3) 3( 1) 3( 1) 130k+1

k k k k kS

⎡ ⎤+ + + + + + −⎣ ⎦= =

2( 1)( 2)(2 3)(3 9 5) :30

k k k k k+ + + + += (1.11)

Իրոք,

30

24 4

4( ) 4( )( 1)(2 1)(3 3 1)( 1) ( 1)

30k+1 kk k k k kS S k k+ + + −= + + = + + =

2 4( 1)(2 1)(3 3 1) 30( 1)30

k k k k k k+ + + − + += =

2 2 3( 1) (2 )(3 3 1) 30( 1)30

k k k k k k⎡ ⎤+ + + − + +⎣ ⎦= =

4 3 2( 1)(6 39 91 89 30) :30

k k k k k+ + + + +=

Համարիչի 2-րդ փակագծերի միջի բազմանդամը,

սովորական թվերի բաժանման կանոնով, փորձենք

բաժանել 2( 2)(2 1) 2 7 6k k k k+ + = + + եռանդամի վրա.

Բաժանվե´ց: Հետևաբար՝ կարելի է գրել՝

4 3 2 26 39 91 89 30 ( 2)(2 3)(3 9 5)k k k k k k k k+ + + + = + + + + ,

ինչը նշանակում է, որ (1.11) բանաձևի ճշմարիտ լինելն

ապացուցվեց:

31

Այսպիսով՝ 2

4 4 4 44

( 1)(2 1)(3 3 1)1 2 330

n n n n nS n + + + −= + + + + =L (1.12)

բանաձևով արտահայտվող մեր վարկածը ճիշտ է

կամայական բնական n -ի համար:

9. Եռանկյունաչափական գումար

Ֆիզիկայի՝ երբեմն բնույթով իրարից էապես

տարբերվող շատ խնդիրների լուծումը հաճախ հան-

գում է միևնույն մաթեմատիկական արտահայտու-

թյան, օրինակ՝ եռանկյունաչափական (ներդաշնակ)

ֆունկցիաների գումարի հաշվարկմանը: Բերենք օրի-

նակ: Դիցուք՝ n միատեսակ մեներանգ լույսի աղբյուր-

ներ շղթա են կազմում, իսկ նրանց արձակած կոհե-

րենտ ալիքները (որոնք նկարագրվում են եռանկյունա-

չափական ֆունկցիաների միջոցով), հանդիպելով տա-

րածության մի որոշ կետում, վերադրվում են: Այդ դեպ-

քում լույսի արդյունարար ուժգնությունն արտահայտ-

վում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի

տեսքով: Կարելի է բերել այլ օրինակներ ևս [5]: Ահա

թե ինչու է կարևոր եռանկյունաչափական գումարի

հաշվման հնարների դիտարկումը:

32

Հաշվենք, օրինակ, հետևյալ եռանկյունաչափա-

կան գումարը՝

2 :nS sinx sin x sinnx= + + +L (1.13)

Աչքի անցկացնելով եռանկյունաչափական դպրո-

ցական բանաձևերը՝ կարելի է նկատել, որ երկու տար-

բեր արգումենտների սինուսների արտադրյալի կրկնա-

պատիկը արտահայտվում է այդ արգումենտների կո-

սինուսների տարբերությամբ՝

2 ( ) ( )sin sin cos cosα β α β α β= − − + :

Իսկ տարբեր նշաններով անդամների մեջ գուցե

լինե՞ն իրար փոխչեզոքացնող անդամներ: Ահա այս

սևեռուն մտքով տոգորված՝ (1.13) գումարի աջ մասը

բազմապատկենք 2

22

2

xsin

xsin-ով՝

1 2 2 2 2 32 2 22

2

nx x xS sinxsin sin xsin sin xsinxsin

⎛= + + +⎜⎝

L

2 ( 1) 22 2x xsin n xsin sinnxsin ⎞+ − + =⎟

⎠L

1 3 3 52 2 2 22

2

x x x xcos cos cos cosxsin

⎛= − + − +⎜⎝

L

33

2 3 2 1 2 1 2 1 :2 2 2 2

n n n ncos x cos x cos x cos x− − − + ⎞+ − + − ⎟⎠

L

Հրաշալի է: Փակագծերի ներսում արտահայտու-

թյուններից մնում են միայն առաջին և վերջին գումա-

րելիները: Հետևաբար՝

2 1 12 2 2 2 :

22 2

n

x n n ncos cos x sin xsin xS x xsin sin

+ +−= =

Այսպիսով՝

12 2 :

2

n

n nsin xsin xS sinx sin2x sinnx xsin

+

= + + + =L (1.14)

Վարժություն 5. Օգտագործելով վերը կիրառված

հնարը՝ հաշվել 2cosx cos x cosnx+ + +L գումարը:

Պատասխան՝

12 2 :

2

n nxcos xsin

xsin

+

34

Մաս II. «Անվերջ գումարների» հաշվման

մեթոդները

1-ին աշակերտ. «Այսօր մաթեմատի-կայի նախասիրա-կան դասերին մենք ծա-նոթացանք մի շարք «անվերջ գումարների» հաշվման եղանակներին»:

2-րդ աշակերտ. «Անվերջ գումա՞ր… ի՞նչ անհեթե-թություն: Իսկական գումարը միշտ վերջավոր է…»:

1. Բազմանդա՞մ է, արդյոք, 1(1 )x −+ -ը

Յուրաքանչյուր դպրոցական գիտե, որ (1 )nx+ -ը

n -րդ աստիճանի բազմանդամ է, եթե n -ը բնական թիվ

է: Իսկ եթե n -ը բնական թիվ չէ՞. ասենք՝ բացասական

ամբողջ թիվ է, կամ կոտորակ: Օրինակ՝ բազմանդա՞մ

է 1 1(1 )1

xx

−+ =+

-ը: Համոզվելու համար, որ այն բազմ-

անդամ լինել չի կարող, ենթադրենք հակառակը,

այսինքն՝ պատկերացնենք, թե 11 x+

-ը n -րդ աստիճա-

նի բազմանդամ է: Վերջինս նշանակելով ( )nP x -ով՝

կարող ենք գրել 1 ( )1 nP x

x=

+ հավասարությունը, որ-

տեղից՝ 1 (1 ) ( ) :nx P x= + ⋅

35

Բայց (1 ) ( )nx P x+ ⋅ արտադրյալը, ակներև է, տա-

լիս է ( 1)n + -րդ աստիճանի բազմանդամ, և ոչ մի դեպ-

քում՝ 1 (այն է՝ զրո աստիճանի բազմանդամ):

Ստանալու համար 1(1 )x −+ -ի տեսքը, սովորական

բաժանման կանոնով 1-ը բաժանենք (1 )x+ -ի (տե´ս

մաս I, դրվագ 8).

Եվ որքան էլ շարունակենք բաժանման պրոցեսը,

միևնույն է, այն երբեք չի ավարտվելու, և ամբողջ ժա-

36

մանակ քանորդում մեկը մյուսի հետևից հայտնվելու

են նորանոր անդամներ:

Քանորդում, ճիշտ է, աստիճանի տեսքով գրված

անդամները, կարծես, իրոք գումարելիներ են, բայց

գումարման արդյունք դրանք չեն տալիս: Հետևաբար,

առայժմ քանորդը պետք է պատկերացնենք որպես

սիմվոլ (խորհրդանշան) և գրենք հետևյալ հավասա-

րությունը

2 3 4 51 1 ,1

x x x x xx

= − + − + − ++

L (2.1)

որտեղ աջ մասի արտահայտությանը բնորոշ է այն, որ

չի պարունակում վերջին անդամ, բայց յուրաքանչյուր

անդամի հաջորդում է մեկ ուրիշը, որն x -ի ավելի մեծ

ցուցիչով աստիճան է: Այսպես, 5x− -ին հաջորդում է 6x -ը, վերջինիս՝ 7x− -ը, այնուհետև գալիս է 8x -ը և

այսպես շարունակ: Այսօրինակ արտահայտություն-

ները չի կարելի անվանել բազմանդամ, քանի որ բազմ-

անդամը միշտ պարունակում է որոշակի թվով ան-

դամներ, որոնց մեջ միշտ հնարավոր է մատնանշել այն

անդամը, որը պարունակում է x -ի ամենամեծ ցուցի-

չով աստիճանը: (2.1)-ի աջ մասի 2 3 4 51 x x x x x− + − + − +L (2.2)

37

սիմվոլը («անվերջ գումարը») կարելի է դիտարկել

որպես 1-ը (1 )x+ -ին բաժանելուց ստացված ճշգրիտ

քանորդ: Այն կարելի էր անվանել, օրինակ, «անվերջ-

անդամ», բայց մաթեմատիկայում գործածական է շարք

եզրույթը: Քանի որ 21, , ,x x− + L «գումարելիները» (շար-

քի անդամները) x -ի՝ տարբեր ցուցիչով աստիճաններ

են, ուստի (2.2) շարքը կոչվում է աստիճանային շարք: Ասվածն ըմբռնելու համար x -ը որոշակիացնենք՝

տալով նրան, օրինակ, 14

x = թվային արժեքը (ուշա-

դրություն դարձրեք, որ 1 1x− < < ): Այդ դեպքում (2.1)

հավասարության ձախ մասը հավասար կլինի՝

1 1 4 0,8,11 514

x= = =

+ + իսկ աջ մասում կստանանք՝

2 3 4 51 1 1 1 11 :4 4 4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L Սակայն

2 3 4 51 1 1 1 10,8 14 4 4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L (2.3)

հավասարությունը իմաստ կունենա միայն այն

ժամանակ, երբ կկարողանանք գումարել այդ հավա-

սարության աջ մասի անվերջ մեծ թվով գումարելինե-

րը. այդ գործողությունը, բնականաբար, ավարտին

38

հասցնել չենք կարող: Բայց պետք է մի հնար գտնել, և

փոքր-ինչ մտածելուց հետո, ընտրում ենք գումարը

քայլ առ քայլ հաշվելու ուղին: Իսկ այդ ուղին հետևյալն

է. սկզբից (2.3)-ի աջ մասից վերցնում ենք մեկ անդամ

(առաջին անդամը՝ 1), ապա՝ առաջին երկուսի գումա-

րը, այնուհետև՝ առաջին երեքի գումարը, և այսպես

շարունակ (մինչև հոգնենք): Ամեն անգամ ստացված

գումարները համեմատում ենք ձախ մասի՝ 0,8-ի հետ:

Այսպիսով՝ կունենանք ՝ 0,8 1,0,8 0,75,0,8 0,8125,0,8 0,796875,0,8 0,80078125,

=====

……………………….:

հավասարությունները, որոնք, ակներև է, մոտավոր են,

այսինքն՝ ոչ մի միջանկյալ արդյունք հավասար չէ 0,8-ի:

Սակայն նկատում ենք, որ ինչքան ավելի շատ են գու-

մարվող անդամները, այնքան ստացված արդյունքն ա-

վելի մեծ ճշգրտությամբ է հավասար 0,8-ի:

Այսպիսով կարծես բոլոր հիմքերն ունենք պնդե-լու, որ (2.1) հավասարությունը ճշմարիտ է բոլոր այն x -երի համար, որոնք բացարձակ արժեքով փոքր են 1-ից:

39

Բայց մեր պնդմանը ինչպես դուք, սիրելի ընթերցող-ներ, այնպես էլ մենք, ավելի կվստահենք միայն այն դեպքում, երբ սահմանենք (2.2) շարքի գումարը: Իսկ մինչ այդ կատարենք հետևյալ նշանակումները՝ 1 1,a =

2 ,a x= − 23 ,a x= 4

5 ,a x= 5 1 16 1, , ( 1) , :n n

na x a x− −−= − = −K K

Այնուհետև սկսենք հաջորդաբար գումարել (2.2)

շարքի անդամները՝ կազմելով հետևյալ գումարները

(որոնց թիվն անվերջ մեծ է)՝

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3

,,

,...........................

......................................... :n n

S aS a aS a a a

S a a a a

== += + +

= + + + +L

Վերոգրյալ գումարները կոչվում են մասնակի գումարներ: Մասնակի գումարների

1 2 3, , , , ,nS S S SK K (2.4)

հաջորդականության վերջավոր կամ անվերջ սահմա-

նը, երբ n → ∞ ՝

lim ,nnS S

→∞= (2.5)

անվանում են շարքի գումար՝ գրառելով այն այսպես.

1 21

:nn

S a a a∞

=

= + + =∑L

40

Եթե շարքն ունի վերջավոր գումար, ապա կոչ-

վում է զուգամետ, այլապես (այսինքն՝ գումարը հա-

վասար է ±∞ կամ գոյություն չունի)՝ տարամետ: Հաջորդիվ մեր խնդիրն է լինելու որոշ զուգամետ

շարքերի գումարի հաշվումը:

2. Շարքեր, որոնց անդամները կազմում են անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

(2.1) hավասարության մեջ փոխենք ձախ և աջ

մասերի տեղերը՝

2 3 4 5 1 1 11 ( 1) :1

n nx x x x x xx

− −− + − + − + + − + =+

L L (2.6)

Համոզվենք՝ (2.6) հավասարության ձախ մասի

շարքի գումարն իրո՞ք հավասար է 11 x+

-ի:

Փոքր-ինչ ուշադիր լինելով՝ հնարավոր չէ չնկա-

տել, որ հիշատակվող շարքի («անվերջ գումարի») ան-

դամների հաջորդականությունը անվերջ նվազող երկրա-

չափական պրոգրեսիա է (քանի որ յուրաքանչյուր ան-

դամ, սկսած երկրորդից, հավասար է իրեն նախորդող

անդամին՝ բազմապատկած x− -ով, իսկ 1 1x− < < )՝

∺ 2 3 1 11, , , , , ( 1) ,n nx x x x− −− − −K K

41

Այս անվերջ պրոգրեսիայից առանձնացնենք ա-

ռաջին n անդամներից կազմված վերջավոր պրոգրե-

սիան՝

∺ 2 3 1 11, , , , , ( 1) ,n nx x x x− −− − −K (2.7)

և գտնենք այդ անդամների nS գումարը՝ 2 3 1 11 ( 1) :n n

nS x x x x− −= − + − + + −L (2.8)

(2.8) առնչության երկու մասն էլ բազմապատկենք x -ով 2 3 4 1( 1)n n

nxS x x x x x−= − + − + + −L

և ապա ստացված հավասարությունն անդամ առ անդամ

գումարենք (2.8)-ի հետ: Արդյունքում կստանանք՝

1(1 ) 1 ( 1) ,n nnS x x−+ = + − որտեղից՝

11 ( 1) :1

n n

nxS

x

−+ −=+

nS -ը (2.6) հավասարության ձախ մասում գրված

շարքի n -րդ մասնակի գումարն է: Ուստի, համաձայն

(2.5) սահմանման, այդ շարքի S գումարը հավասար է՝ 11 ( 1)lim lim ,

1

n n

nn n

xS Sx

−

→∞ →∞

+ −= =+

և քանի որ 1x < , ապա 0,nx → երբ ,n → ∞ այդ պատ-

ճառով՝ 1 :1

Sx

=+

Այսպիսով, համոզվեցինք, որ (2.6), հետևաբար՝

նաև (2.1) բանաձևերը, իրոք, ճշմարիտ են:

42

Օրինակ 1: Հաշվենք 2 3 11 nx x x x −+ + + + + +L L

շարքի գումարը, երբ 1 1:x− < <

(2.6) հավասարության ձախ մասում x -ը փոխա-

րինենք ( )x− -ով. կստանանք՝

2 3 1 1 2 31 ( 1) ( ) 1n nx x x x x x x− −+ + + + + − ⋅ − + = + + + +L L L

1 1 1( 1) ( 1)n n nx− − −+ − ⋅ − ⋅ + =L L

2 3 11 ,nx x x x −= + + + + + +L L

որը ոչ այլինչ է, եթե ոչ տրված շարքը: Նմանօրինակ

փոխարինմամբ (2.6)-ի աջ մասում կունենանք 1 :1 x−

Հետևաբար՝

2 3 1 11 :1

nx x x xx

−+ + + + + + =−

L L (2.9)

Վարժություն 1: ա) Հաշվեք (2.9)-ի ձախ մասի

շարքի առաջին n անդամների nS գումարը՝ 2 11 :n

nS x x x −= + + + +L (2.10)

Ցուցում: (2.10)-ի երկու կողմն էլ բազմապատկեք

x -ով և հանեք իրարից:

Կստանաք

2 1 11 :1

nn

nxS x x xx

− −= + + + + =−

L (2.11)

43

բ) Հաշվեք 1 1 112 4 8

+ + + +L թվային շարքի գումարը:

Ցուցում: (2.9) բանաձևում համարեք 12

x = և ար-

դյունքում կստանաք՝ 1 1 11 2 :2 4 8

S = + + + + =L (2.12)

3. Շարք, որի անդամները, սկսած երկրորդից, նախորդ և հաջորդ անդամների հարմոնիկ միջինն են

Այդ շարքն այդպես էլ անվանում են՝ հարմոնիկ շարք: Հարմոնիկ եզրույթը ծագում է հունարեն ՙ բառից, որ նշանակում է կապ, ներդաշնակություն, հա-մաչափություն:

Ահավասիկ վերնագրյալ (հարմոնիկ) շարքը՝

1

1 1 1 1 11 ,2 3 4n n n

∞

=

= + + + + + +∑ L L (2.13)

որի՝ երկրորդից սկսած յուրաքանչյուր անդամ իր հար-

ևանների հարմոնիկ միջինն է, այսինքն՝ նրա հակա-

դարձը հարևան անդամների հակադարձների թվաբա-

նական միջինն է (հարմոնիկ միջինի մասին առավել

հանգամանորեն կարող եք կարդալ [5] մեթոդական

ձեռնարկում, էջ 234-246):

44

Նախորդ դրվագի վարժություն 1բ-ի

1

1 1 1 112 4 8 2n−+ + + + + +L L (2.14)

զուգամետ շարքի անդամները կազմում են անվերջ

հաջորդականություն, որի n -րդ անդամը ձգտում է

զրոյի, երբ անդամների թիվն անվերջորեն աճում է,

այսինքն՝ 1

1 0,2n− → երբ :n → ∞ Հարմոնիկ շարքի ան-

դամները նույնպես կազմում են հաջորդականություն,

որի n -րդ անդամը՝ 1 0,n

→ երբ :n → ∞ Առաջին հա-

յացքից թվում է, թե հարմոնիկ շարքը ևս պետք է լինի

զուգամետ: Բայց ամեն պնդում, եթե աքսիոմ չէ, հար-

կավոր է ապացուցել:

Դրա համար ենթադրենք (ինչպես որ մենք կար-

ծում ենք), թե (2.13) հարմոնիկ շարքը զուգամետ է և

հաշվենք այդ շարքի 2n -րդ և n -րդ մասնակի գու-

մարների տարբերությունը՝

21 1 1 1 1 11 12 1 2 2n nS S

n n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + + + + + + − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L L

1 1 1 1 1 1 1 :1 2 2 2 2 2 2 2

n n

nn n n n n n n

= + + + > + + + = =+ +

L L144424443 144424443

³Ý¹³Ù ³Ý¹³Ù

45

Իսկ զուգամետ շարքի երկու մասնակի գումարների

տարբերությունը պետք է ձգտի զրոյի, ինչպես, օրի-

նակ, (2.14) զուգամետ շարքի համար է, որի n -րդ և 2n -

րդ մասնակի գումարներն են՝

1

1 1 11 ,2 4 2n nS −= + + + +L

2 1 2 1

1 1 1 :2 2 2n n n n nS S + −= + + + +L

Այդ տարբերության սահմանը, երբ ,n → ∞

հավասար է՝

2 1 2 1

1 1 1lim( ) lim2 2 2n n n nn n nn n

S S S S+ −→∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞− = + + + + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦L

1 2 1

1 1 1lim 0 :2 2 2n n nn + −→∞

⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

L

Նշանակում է, եթե հարմոնիկ շարքը զուգամետ է,

ապա նրա երկու մասնակի գումարների 2n nS S−

տարբերությունը ևս պետք է ձգտի զրոյի, երբ ,n → ∞

մինչդեռ հարմոնիկ շարքի 2( )n nS S− -ը մեծ է 12

-ից: Հե-

տևաբար, մեր ենթադրությունը ճիշտ չէ, ինչը նշա-

նակում է, որ հարմոնիկ շարքը չի կարող լինել զու-

գամետ:

46

Եթե ընթերցողին համոզիչ չթվա այս ապացույցը,

ներկայացնենք մեկ ուրիշը ևս:

Դրա համար հարմոնիկ շարքը բաժանենք առան-

ձին խմբերի: Օրինակ, շարքի առաջին 100 անդամները

տրոհենք տասնյակների, հաջորդ անդամները՝ մինչև

1000-րդը, հարյուրյակների և այլն: Ուշադրություն

դարձրեք այն բանին, որ առաջին 9 անդամներից յու-

րաքանչյուրը մեծ է 110

-ից, ուստի՝

1 1 1 91 :2 3 9 10

+ + + + >L

Հաջորդ 90 անդամներից յուրաքանչյուրը մեծ է 1

100-ից, այդ պատճառով՝

1 1 1 1 1 990 :10 11 12 99 100 10

+ + + + > ⋅ =L

Հաջորդ 900 անդամներից ամեն մեկը մեծ է 11000

-

ից, ուրեմն՝

1 1 1 1 900 9100 101 102 999 1000 10

+ + + + > =L

և այսպես շարունակ՝

1 1 1 1 9000 91000 1001 1002 9999 10000 10

+ + + + > =L և այլն:

47

Հետևաբար, շարքի բոլոր անդամների գումարը

մեծ է

9 9 9 910 10 10 10

+ + + +L

շարքի գումարից, որը, ակներև է, անվերջ մեծ է: Այս-

տեղից էլ հետևում է, որ հարմոնիկ շարքը տարամետ է:

Հետաքրքիր է իմանալ

Հարմոնիկ թվեր

Հարմոնիկ շարքի մասնակի գումարները նշանակ-

վում են nH -ով և կոչվում են հարմոնիկ թվեր (« H »-ը

«harmonic» բառի առաջին տառն է)`

1

1 1 112

n

nk

Hn k=

= + + + =∑L :

Հարմոնիկ թվերի մասին պատկերացում կազմելու

համար բերենք դրանցից մի քանիսի արժեքները.

Աղյուսակ 4

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

nH

1 32

116

2512

13760

4920

363140

761280

71292520

73812520

48

Թեպետ հարմոնիկ շարքի անդամները, համարի

աճմանը զուգընթաց, նվազում են` ձգտելով զրոյի`

1lim 0n n→∞

= , այդուհանդերձ, ինչպես վերը տեսանք, հար-

մոնիկ շարքը տարամետ է (այս փաստն առաջինն

ապացուցել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Նիկոլա

Օրեմը (1323-1383)):

Ճիշտ է, nH հարմոնիկ թվերը ձգտում են անվեր-

ջության, սակայն դրանք անվերջության են ձգտում

լոգարիթմական օրենքով, այսինքն` չափազանց դան-

դաղ: Օրինակ, Շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ

Էյլերը (1707-1787) 1000H և 1000000H հարմոնիկ թվերի

համար ստացել է, համապատասխանաբար, 1000 7, 48H ≈

և 1000000 14,39H ≈ արժեքները:

Նկ. 1

49

Նկ. 2

Քանի որ nH -ը ( )f x ln x= ֆունկցիան է ,x n n N= ∈ ,

ընդհատ արժեքների համար, իսկ ln x -ը որոշվում է

որպես վերևից 1 x կորով սահմանափակված սեղա-

նակերպի մակերես, ապա, օգտվելով ( ) 1f x x= ֆունկ-

ցիայի գրաֆիկից, կարող ենք գնահատել nH -ը:

( ) 1f x x= ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա կազմենք այն-

պիսի ուղղանկյուններ, ինչպես ցույց է տրված նկ. 1-

ում: Արդյունքում կորով սահմանափակված մակերե-

սը, երբ x -ը փոփոխվում է 1-ից մինչև n , հավասար է

ln n և փոքր է n ուղղանկյուններով սահմանափակ-

ված պատկերի մակերեսից, որը հավասար է`

1

1n

nk

Hk=

=∑ : Հետևաբար` l n n < nH :

Նույն կերպ կազմելով ուղղանկյուններ կորից

ներքև, կստանանք nH -ի վերին սահմանը: Այս անգամ

50

n ուղղանկյուններով սահմանափակված nH մակերե-

սը փոքր է կորով սահմանափակված սեղանակերպի

մակերեսի և առաջին ուղղանկյան մակերեսի գումա-

րից (նկ. 2): Հետևաբար`

l n n < 1,nH ln n< + երբ 2,3, 4, :n = K

Թեպետ nH → ∞ , ,l n n → ∞ երբ ,n → ∞ այդուհան-

դերձ ( )nH ln n− տարբերությունը ձգտում է 1-ից փոքր

սահմանի` :)(lim CnnlH nn=−

∞→ C -ն անվանում են Էյլե-

րի հաստատուն`

K5772156649,0=C

4. Հարմոնիկ շարքից «սերած» շարքեր (1)

Հարմոնիկ շարքը թեպետ տարամետ է, բայց

հաճախ, անսպասելիորեն, հայտնվում է ֆիզիկական

խնդիրներում: Այդ մասին ընթերցողի հետ կզրուցենք

մաս III-ում, իսկ առայժմ խոսենք մի շարքի մասին,

որը հարմոնիկ շարքն է՝ մեկընդմեջ բացասական նշան

ունեցող անդամներով (այդպիսի շարքերն անվանում

են նշանափոխ շարքեր): Ահավասիկ այդ շարքը՝

11 1 1 1 1 11 ( 1) :2 3 4 5 6

n

n+− + − + − + + − +L L (2.15)

51

Ինչպես կտեսնենք ստորև, այս շարքը նույնպես

հանդիպում է ֆիզիկայի խնդիրներում, ուստի արժե,

որ փոքր-ինչ մանրամասնորեն ընթերցողի հետ զրու-

ցենք այդ շարքի մասին:

Նախ համոզվենք, որ (2.15) շարքը զուգամետ է:

Դրա համար այն ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

1 1 1 1 1 1 112 3 4 5 6 2 1 2n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠L L

1 1 1 1 :1 2 3 4 5 6 (2 1) 2n n

= + + + + +⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

L L (2.15 )′

Այնուհետև դիտարկենք այսպիսի շարք՝

1 1 1 1 1 ,1 2 2 3 3 4 4 5 ( 1)n n

+ + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

L L (2.16)

որի n -րդ մասնակի գումարը, ձևափոխելով, կստա-

նանք՝

1 1 1 1 1 111 2 2 3 ( 1) 2 2 3nS

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L

1 1 1 1 11 :1 1 1n n n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠L

Բայց 1lim lim 1 1,1nn n

Sn→∞ →∞

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠ ինչը նշանակում է,

որ (2.16) շարքը զուգամետ է և նրա գումարը հավա-

սար է 1-ի:

52

Համեմատելով (2.15 )′ և (2.16) շարքերն իրար հետ`

նկատում ենք, որ ( 15 )2. 2( ).16′

------------

1 11 2 1 2

=⋅ ⋅

1 13 4 2 3

<⋅ ⋅

1 15 6 3 4

<⋅ ⋅

……………..

1 1(2 1) 2 ( 1)n n n n

<− ⋅ +

………………………..

Եվ քանի որ (2.16) շարքը զուգամետ է, ապա,

բնականաբար, (2.15 )′ շարքը, կամ, որ նույնն է, (2.15)

շարքը ևս կլինի զուգամետ:

Մեզ մնաց միայն գնահատել (2.15) շարքի գու-

մարը: Կարելի է նույնիսկ միկրոհաշվիչով հաշվել, օ-

րինակ, այդ շարքի առաջին տասն անդամների 10S

գումարը:

Եթե S -ի համար որպես գնահատական վերց-

նենք 10S -ի՝ պակասորդով և հավելուրդով արժեքների

53

թվաբանական միջինը, ապա կունենանք հետևյալ

գնահատականը՝

0,6910 :S ≈ (2.17)

Իսկ ի՞նչ ֆունկցիայի արժեք է ստացված թիվը:

Կրկին ձեր ուշադրությունը սևեռեք (2.15) շարքի վրա,

որի գումարը մոտավորապես 0,69 է, կամ դրան մոտ

թիվ՝

11 1 1 1 1 11 ( 1) 0,69 :2 3 4 5 6

n

n+− + − + − + + − + ≈L L

Այժմ ուշադրություն դարձրեք (2.6) հավասարու-

թյան վրա՝ x -ը համարելով 1-ից փոքր ոչ բացասական

թիվ: Ոչինչ չեք նկատի: Բայց… մի փոքր մտորեք և հե-

տո կազմեք աղյուսակ, որի առաջին տողի վանդակնե-

րում (2.6) հավասարության ձախ մասի շարքի անդամ-

ներն են և աջ մասը, որն այդ շարքի գումարն է, իսկ ե-

րկրորդ տողում այն ֆունկցիաները, որոնց ածանցյալ-

ները հավասար են առաջին տողի համապատասխան

վանդակներում գրված ֆունկցիաները: (Այդպիսի

ֆունկցիաներն անվանում են ածանցյալ-ֆունկցիանե-

րի նախնականներ:) Աղյուսակը կունենա ահա այսպի-

սի տեսք.

54

55

Ուրեմն, (2.15) շարքի գումարը հավասար է ln2 -ի՝

11 1 1 1 1 11 ( 1) :2 3 4 5 6

n ln2n

+− + − + − + + − + =L L(2.18)

Հետաքրքիր է իմանալ Պարադոքս

Դիտարկենք

1 1 1 1 112 4 8 16 32

− + − + − +L (2.19)

զուգամետ շարքը, որն իրենից ներկայացնում է ան-

վերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի (որի հայ-

տարարը 12

− է) անդամների գումար, որը հավասար է՝

1 2 :1 312

S = =⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.19) շարքի գումարը հաշվենք փոքր-ինչ այլ կերպ՝

1 21 1 1 1 1 1 1 11 2 2 ,2 4 8 16 32 2 8 32

S S S⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + − ⋅ + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L

որտեղ

11 1 1 11 2,12 4 8 1

2

S = + + + + = =−

L

56

2

11 1 1 22 :12 8 32 31

4

S = + + + = =−

L

Հետևաբար՝

2 22 2 :3 3

S = − ⋅ =

S -ի համար ստացանք նույն արժեքը: Անշուշտ,

սպասելի արդյունք. չէ՞ որ (2.19) շարքում կատարել

էինք անդամների որոշ փոխատեղումներ, ինչպիսիք

կատարում ենք վերջավոր գումարներ հաշվելիս, և ու-

րիշ ոչինչ:

Այժմ նման փոխատեղումներ կատարենք (2.18)

շարքի անդամների նկատմամբ.

1 1 1 1 112 3 4 5 6

ln2 = − + − + − + =L

1 1 1 1 1 1 1 11 22 3 4 5 6 2 4 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0,2 3 4 5 6 2 3 4 5 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + − + + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L

այսինքն՝ 0ln2 = . անհեթեթ արդյունք:

Այստեղից միայն կարելի է եզրակացնել, որ հաշ-

վումներում տարամետ շարքերի և դրանց «անվերջ

57

գումարների» օգտագործումը կարող է հանգեցնել պա-

րադոքսների:

Ի՞նչն է պատճառը: Ինչու՞ նույն ձևափոխություննե-

րի դեպքում (2.19) զուգամետ շարքի գումարը մնաց

նույնը, իսկ (2.18), դարձյալ զուգամետ շարքի գումարը

փոխվեց: Ուշադիր հետևելով կատարված ձևափոխու-

թյուններին՝ նկատում ենք, որ թեպետ և´ (2.18) և´

(2.19) շարքերն էլ նշանափոխ և զուգամետ են, բայց

դրանց անդամների բացարձակ մեծություններով

կազմված շարքերն իրարից տարբերվում են: (2.18)-ի

դրական անդամներով շարքը հարմոնիկ շարքն է, որը

տարամետ է, իսկ (2.19)-ի դրական անդամներով շար-

քը զուգամետ է (և գումարն էլ հավասար է 2-ի): Իսկ

ձևափոխությունների ժամանակ երկու շարքի դեպքում

էլ փակագծերում օգտագործվում են դրանց դրական

անդամներով շարքերը, ընդ որում մի դեպքում օգտա-

գործվող շարքը զուգամետ է, երկրորդ դեպքում՝ տա-

րամետ. փակագծերում հանդես եկող շարքի տարա-

մետ լինելն էլ հանգեցնում է պարադոքսի:

5 . Հարմոնիկ շարքից սերած շարքեր (2)

Վերնագրյալ շարքն է՝

58

11 1 1 1 11 ( 1)3 5 7 9 2 1

n

n−− + − + + + − +

−L L : (2.20)

Այնքան էլ դժվար չէ համոզվել, որ գրված շարքը

զուգամետ է: Իրոք, կատարելով նշանակումներ՝ 1 1,a =

21 ,3

a = 31 ,5

a = 41 , ,7

a = K (2.20) շարքի զույգ կարգի

մասնակի գումարը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( ) :n n nS a a a a a a−= − + − + + −L

Քանի որ 1 ,n na a+ < ապա փակագծերում գրված

տարբերությունները դրական են, ուստի n -ի աճմանը

զուգընթաց 2nS -ը ևս աճում է:

2nS մասնակի գումարը կարելի է գրել նաև այ-

սպես՝

2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2( ) ( ) ( ) :n n n nS a a a a a a a a− −= − − − − − − − −L

Դժվար չէ տեսնել, որ 2nS -ը սահմանափակ է վերևից՝

2 1 :nS a<

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացից ձեզ

հայտնի է, որ եթե հաջորդականությունը մոնոտոն

աճող է և սահմանափակ՝ վերևից, ապա այն ունի վեր-

ջավոր սահման: }{ 2nS հաջորդականությունը բավա-

րարում է այս պայմանը, հետևաբար՝ ունի վերջավոր

սահման՝

59

2lim :nnS S

→∞=

(2.20) շարքի կենտ կարգի 2 1nS + մասնակի գումա-

րը՝ 2 1 2 2 :n n nS S a+ = + Քանի որ 21 ,

4 1nan

=−

ապա 2 0,na →

երբ :n → ∞ Հետևաբար`

( )2 1 2 2 2lim lim lim :n n n nn n nS S a S S+→∞ →∞ →∞

= + = =

Այստեղից հետևում է, որ S -ը տրված շարքի գումարն

է, այսինքն՝ (2.20) շարքը զուգամետ է:

Այժմ հաշվենք (2.20) շարքի գումարը: Դրա հա-

մար 2-րդ դրվագից հիշենք (2.6) հավասարության ձախ

մասի շարքը: Այդ շարքի գումարը, երբ 1 1,x− < <

հավասար է 11 x+

-ի, այսինքն՝

2 3 4 5 11 :1

x x x x xx

− + − + − + =+

L

x -ը փոխարինենք 2x -ով: Արդյունքում կունենանք՝

2 4 6 8 102

11 :1

x x x x xx

− + − + − + =+

L (2.21)

այսինքն՝ 2 4 6 8 101 x x x x x− + − + − +L (2.21 )′

շարքը ևս զուգամետ է, երբ 1 1,x− < < և գումարն էլ

հավասար է 2

11 x+

-ի:

60

Դարձյալ կազմենք աղյուսակ (Աղյուսակ 6), որի

առաջին տողի վանդակներում գրված են (2.21 )′ շարքի

անդամները և շարքի գումարը, իսկ երկրորդ տողի

համապատասխան վանդակներում դրանց նախնական-

ները:

Այսպիսով, նախնականների շարքն ունի հետևյալ

տեսքը՝

3 5 7 9 111 1 1 1 13 5 7 9 11

x x x x x x− + − + − +L

( )2 1

11 :2 1

nn x

n

−−+ − +

−L L

3 5 7 9 111 1 1 1 13 5 7 9 11

x x x x x x− + − + − +L

( )2 1

11 :2 1

nn x

n

−−+ − +

−L L (2.22)

Ի տարբերություն (2.21 )′ շարքի, (2.22) շարքը զուգա-

մետ է նաև 1x = դեպքում: Իրոք, երբ 1,x = ապա (2.22)-ը

վերածվում է (2.20) թվային շարքի, որը զուգամետ է:

Քանի որ 1 ,4

arctg π= ապա 1x = դեպքում կունենանք՝

( ) 11 1 1 1 11 1 :3 5 7 9 2 1 4

n

nπ−− + − + − + − =

−L

(2.23)

61

62

6. «Հակադարձ քառակուսիների» շարքը Այսպես է կոչվում

2 2 2 2

1 1 1 112 3 4 n

+ + + + + +L L (2.24)

շարքը:

Քննենք վերոգրյալ շարքի զուգամիտության հարցը, այդ շարքը համեմատելով (2.16) զուգամետ շարքի հետ:

Հարմար է, սակայն, (2.24) շարքի առաջին անդա-մը դեն գցենք. եթե (2.24) շարքը զուգամետ է, ապա ստացված

2 2 2 2

1 1 1 12 3 4 n

+ + + + +L L (2.25)

շարքը ևս կլինի զուգամետ, և նրա գումարը հավասար

կլինի (2.24) շարքի գումարին՝ հանած դեն գցված ան-

դամը՝ 1-ը: Համեմատելով (2.25) և (2.16) շարքերն իրար

հետ՝ նկատում ենք, որ

(2.25) (2.16)

2

1 12 1 2

<⋅

2

1 13 2 3

<⋅

2

1 14 3 4

<⋅

……………

2

1 1( 1)n n n

<−

………………..

63

Եվ քանի որ (2.16) շարքը զուգամետ է, ապա,

բնականաբար, (2.25) շարքը, հետևաբար նաև՝ (2.24)

շարքը, նույնպես կլինեն զուգամետ:

Հակադարձ քառակուսիների շարքի գումարը

դպրոցական մաթեմատիկայի ընձեռած հնարավորու-

թյուններով հաշվել չենք կարող, ուստի դպրոցի աշա-

կերտներին այդ գումարի արժեքը կներկայացնենք

պատրաստի՝ 2

2 2 2 2

1 1 1 11 :2 3 4 6n

π+ + + + + + =L L(2.26)

Նրանց համար, ովքեր ծանոթ են բարձրագույն

մաթեմատիկայի հիմունքներին, հակադարձ քառակու-

սիների, ինչպես նաև հակադարձ չորրորդ աստիճան-

ների շարքերի գումարը կհաշվենք 7-րդ դրվագում:

Նրանց համար, ովքեր ուզում են իմանալ ավելին

Ընդհանրացված հարմոնիկ շարքը Այսպես են անվանում

1 1 1 11 2 3s s s sn

+ + + + +L L (2.27)

շարքը, որի զուգամիտության կամ տարամիտության

հարցը պայմանավորված է այն բանով, թե ի՞նչ թվային

64

միջակայքերում է ընկած s ցուցիչը: Ակներև է, որ 1s =

դեպքում (2.27) շարքը վերածվում է հարմոնիկ շարքի

և, այդ պատճառով, տարամետ է: 1s < և 1s > դեպքերը

քննենք առանձին-առանձին:

ա. Դիցուք՝ 1s < : Այդ ժամանակ (2.27) շարքի ան-

դամները, սկսած երկրորդից, մեծ են հարմոնիկ շարքի

համապատասխան համարով անդամներից (առաջին

անդամները հավասար են): Իրոք, 1s < դեպքում 2 ,s

3 ,...s թվերը փոքր են 2, 3,... թվերից, հետևաբար՝

1 1,1s = 1 1 ,

2 2s > 1 1 1 1, , , :3 3s sn n

> >L L

Այստեղից դժվար չէ եզրակացնել, որ նշված պայ-

մանով դեպքում (2.27) շարքը, բնականաբար, տարա-

մետ է:

բ. 2s > դեպքում (2.27) շարքի անդամները փոքր

են հակադարձ քառակուսիների (2.24) շարքի համա-

պատասխան անդամներից: Հետևաբար, 2s ≥ դեպքում

(2.27) շարքը պետք է զուգամիտի:

Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացում ցույց

է տրվում, որ երբ 1 2,s< < (2.27) շարքը դարձյալ զու-

գամետ է:

Այսպիսով, (2.27) շարքը զուգամետ է, երբ 1,s > և

տարամետ է 1s ≤ դեպքում:

65

Իմանալով հակադարձ քառակուսիների շարքի գու-

մարը՝ կարող ենք դյուրավ հաշվել կենտ թվերի քառա-

կուսիների հակադարձներից կազմված շարքի գումա-

րը: Իրոք, հետևյալ ձևափոխությունները, կարծում ենք,

բացատրության կարիք չունեն՝

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11 13 5 7 9 2 3 4 5

⎛ ⎞+ + + + + = + + + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

L L

2 2 2 2

1 1 1 12 4 6 8

⎛ ⎞− + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

L

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 4 5 2 2 2 2 3 2 4 2 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + − + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠L L

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 4 5 4 2 3 4 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + − + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L

2 2

2 2 2 2

3 1 1 1 1 31 :4 2 3 4 5 4 6 8

π π⎛ ⎞= + + + + = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Այսպիսով՝ 2

2 2 2 2

1 1 1 11 :3 5 7 9 8

π+ + + + + =L(2.28)

Նույնպիսի թեթևությամբ կարող ենք հաշվել նաև

հակադարձ քառակուսիների նշանափոխ շարքի գու-

մարը՝

66

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 4 5 6 3 5 2 4 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + = + + + − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L L

2 2 2 2

2 2

1 1 1 11 ,8 4 2 3 8 4 6 12

π π π π⎛ ⎞= − − + + + = − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

L

այսինքն՝ 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 11 :2 3 4 5 6 12

π− + − + − + =L(2.29)

7. Գաղափար ֆունկցիոնալ շարքերի մասին:

Թեյլոր-Մակլորենի շարքը

Ուսուցանելիս օրինակներն ավելի

կարևոր են, քան կանոնները:

Իսահակ Նյուտոն

Հետադարձ հայացք ձգենք (2.2) արտահայտու-

թյանը՝ 2 3 4 51 x x x x x− + − + − +L ,

որի մեջ մտնող x փոփոխականի յուրաքանչյուր ար-

ժեքի համապատասխանում է թվային շարք: Այսպիսի

ֆունկցիոնալ համապատասխանությամբ որոշվող ար-

տահայտությունն անվանում են ֆունկցիոնալ շարք: Ինչպես արդեն գիտենք, (2.2) ֆունկցիոնալ շարքը (-1,1)

67

միջակայքին պատկանող յուրաքանչուր x -ի համար

զուգամետ է. այդ միջակայքն այդպես էլ անվանում են՝

(2.2) ֆունկցիոնալ շարքի զուգամիտության տիրույթ կամ միջակայք:

Օրինակ՝ (2.27) ընդհանրացված հարմոնիկ շարքը

զուգամետ է, երբ 1s > , և տարամետ է 1s ≤ դեպքում:

Հետևաբար, այդ շարքի զուգամիտության միջակայքը

որոշվում է 1s > անհավասարությամբ:

Ուսանող ընթերցողները բարձրագույն մաթեմա-

տիկայի դասընթացից գիտեն, որ եթե ( )f x ֆունկցիան

մի որոշ փակ միջակայքում ունի ամեն կարգի ա-

ծանցյալ, ապա ֆունկցիայի համար կարելի է գրել

Թեյլորի բանաձևը n -ի կամայական արժեքի համար

(Բրուկ Թեյլոր, 1685-1731, անգլիացի մաթեմատիկոս)՝ ( )

2(0) (0) (0)(0) ( ) :1! 2! !

nn

nf f ff x x x S x

n′ ′′

+ + + + =L

Նշանակենք՝ ( ) ( ) ( ) :n nf x S x R x− = Եթե

( ) 0,nR x → երբ ,n → ∞

ապա ( )

2(0) (0) (0)(0)1! 2! !

nnf f ff x x x

n′ ′′

+ + + + +L L

շարքը զուգամիտում է, և նրա գումարը ( )f x -ն է:

68

Այսպիսով, ( )f x ֆունկցիան կարելի է ներկա-

յացնել ( )

2(0) (0) (0)( ) (0)1! 2! !

nnf f ff x f x x x

n′ ′′

= + + + + +L L (2.30)

շարքի տեսքով, որն անվանում են այդ ֆունկցիայի

Թեյլոր-Մակլորենի շարք (Կոլին Մակլորեն, 1698-1746,

շոտլանդացի մաթեմատիկոս):

Ներկայացնենք մեզ արդեն ծանոթ մի քանի ֆունկ-

ցիաների Թեյլոր-Մակլորենի շարքերը.

2 3 4 5 1 11 1 ( 1) ,1

n nx x x x x xx

− −= − + − + − + + − ++

L L

1 1,x− < <

2 3 4 11 1 1(1+ ) = ( 1) ,2 3 4

nn xln x x x x x

n+− + − + + − +L L

1 1,x− < ≤

(տե´ս աղյուսակ 2.2): 2 1

3 5 7 11 1 1 ( 1) ,3 5 7 2 1

nn xarctgx = x x x x

n

−−− + − + + − +

−L L

1 1,x− ≤ ≤

Հակադարձ քառակուսիների շարքի գումարը հաշ-

վելիս մեզ համար կարևորվում է sinx ֆունկցիայի Թեյ-

լոր-Մակլորենի շարքը: Այդ նպատակով նախապես

հաշվենք sinx -ի ածանցյալները՝

69

,d sinx cosxdx

= 2

2 ,d sinx sinxdx

= − 3

3 ,d sinx cosxdx

= −

4

4 , ,d sinx sinxdx

= K

այնուհետև՝ այդ ածանցյալների արժեքները, երբ 0 :x =

Համաձայն (2.30) բանաձևի՝ կստանանք հետևյալ վեր-

լուծությունը՝ 3 5 2 1

1( 1) :1! 3! 5! (2 1)!

nnx x x xsinx

n

−−= − + − + − +

−L L (2.31)

Ունենալով sinx ֆունկցիայի (2.31) վերլուծու-

թյունը՝ հետևյալ դատողությունների օգնությամբ ստա-

նանք հակադարձ քառակուսիների շարքի գումարը:

Բերվող դատողություններն Էյլերինն են: Աջ մասի

շարքը պատկերացնենք որպես «անվերջ աստիճանի

բազմանդամ»: Բնականաբար, քանի որ այդ «բազմ-

անդամի» աստիճանն անվերջ մեծ է, ապա «բազմ-

անդամը» պետք է ունենա անվերջ շատ արմատներ

(ինչպես, օրինակ, 22 ( )P x ax bx c= + + եռանդամը կարող

է ունենալ ամենաշատը երկու իրական արմատ՝ 1x և

2 ,x և այդ դեպքում այն վերլուծվում է արտադրիչների

հետևյալ կերպ՝ 2 1 2( ) ( )( )P x a x x x x= − − ): Հիանալի է,

քանի որ (2.31) վերլուծության ձախ մասում sinx

ֆունկցիան է, որի արմատների թիվը նույնպես անվերջ

70

մեծ է. այդ արմատներն են՝ x = k ,π որտեղ

= 0, 1, 2, :k ± ± L

Այժմ փորձենք (2.31)-ի աջ մասի «անվերջ-

անդամը» վերլուծել արտադրիչների: Թվում է, թե այդ

վերլուծությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ

տեսքով՝ ( )( )( 2 )( 2 ) ,sinx x x x x xπ π π π= − + − + L

բայց, նույնիսկ մակերեսային զննումը ցույց է տալիս, որ

այդ դեպքում փակագծերը բացելուց հետո ստացվում են

π -ին բազմապատիկ ամբողջաթիվ գործակիցներ, ինչը

չի համապատասխանում (2.31) բանաձևին:

Մի փոքր խորհելուց հետո դժվար չէ կռահել, որ

sinx -ի վերլուծության յուրաքանչյուր փակագծի ներ-

սում երկանդամները հարկավոր է ձևափոխել. x kπ−

երկանդամը պարունակող փակագծի ներսում (որը

զրո է դառնում, երբ x kπ= ) այդ երկանդամի փոխարեն

վերցնենք 1 xkπ

− երկանդամը: Այդ դեպքում sinx

ֆունկցիայի վերլուծությունը կլինի այսպիսին՝

1 1 1 12 2

x x x xsinx xπ π π π

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

L

2 2

2 21 14

x xxπ π

⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠L (2.32)

71

(2.32) վերլուծությունն ավելի ճշմարտանման է:

Կարելի է ցույց տալ, որ այն զուգամիտում է կամա-

յական x -ի դեպքում: Այժմ, ունենալով sinx ֆունկ-

ցիայի (2.32) վերլուծությունը և (2.31) Թեյլոր-Մակ-

լորենի շարքը, փորձենք հաշվել վերլուծության 3x -ի

գործակիցը: Դրա համար, ըստ երևույթին, հարկավոր է

«բացել» վերլուծության մի քանի փակագիծ, որից հե-

տո, կարծում ենք, կնկատվի այն օրինաչափությունը,

որն էլ հնարավորություն կտա որոնելի գործակիցը

հաշվելու: Սկսենք՝ բացելով երեք փակագիծ՝ 2 2 2

2 2 21 1 14 9

x x xxπ π π

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠L

22 4

2 2 4 2

1 1 11 14 4 9

xx x xπ π π π

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞= − + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠L

2 4 2 42 2 4 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 114 4 9 4 9

x x x x xπ π π π π π π

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

[6 36 2 4 2

1 1 1 136 4 9

x x xπ π π π

⎤ ⎛ ⎞− = − + + +⎜ ⎟⎥⎦ ⎝ ⎠L

5 74 4 4 6

1 1 1 1 :4 9 36 36

x xπ π π π

⎛ ⎞ ⎤+ + + −⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎦L

Բնական է, որ եթե կարողանայինք բացել բոլոր

փակագծերը, կստանայինք, որ 3x -ի գործակիցը

72

2 2 2

1 1 14 9π π π

⎛ ⎞− + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

L

շարքի գումարն է:

Մյուս կողմից, sinx -ի Թեյլոր-Մակլորենի շարքից

երևում է, որ 3x -ի գործակիցը հավասար է՝

1 1 1 :3! 1 2 3 6

− = − = −⋅ ⋅

Հետևաբար՝

2 2 2

1 1 1 1 ,4 9 6π π π

+ + + =L

որտեղից էլ գտնում ենք հակադարձ քառակուսիների

շարքի գումարը՝ 2

2 2

1 11 :2 3 6

π+ + + =L

Այսքան հաճելի չարչարանքից հետո, կարծում

ենք, դժվար չէ հաշվել «հակադարձ չորրորդ աստի-

ճանների»

4 4 4

1 1 112 3 4

+ + + +L (2.33)

շարքի գումարը:

Դարձյալ կրկնենք Էյլերի դատողությունները:

(2.32) հավասարության երկու կողմն էլ լոգարիթմենք՝

1 1 1 1 ,2 2

x x x xlnsinx= lnx ln ln ln lnπ π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L

73

և ապա՝ ածանցենք, որից հետո կստանանք՝

1 1 1 1 12 2

ctgxx x x x xπ π π π

= + − + − + =+ − + −

L

1 1 1 1 12 2x x x x xπ π π π

= + + + + + =+ + − −

L L

1 1

1 1 1 :k kx x k x kπ π

∞ ∞

= =

= + ++ −∑ ∑

Համաձայն (2.1) բանաձևի՝ յուրաքանչյուր 1x kπ+

( 1, 2, )k = ± ± L կոտորակի համապատասխանում է ան-

վերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի շարք,

այսինքն՝ 2 3

2 2 3 3

1 1 1 1 11

x x xxx k k k k k kk

π π π π π ππ

⎛ ⎞= = − + − + =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠+

L

2 3

2 2 3 3 4 4

1 :x x xk k k kπ π π π

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

L

Հանգունորեն, համաձայն (2.9) բանաձևի՝ 2 3

2 2 3 3 4 4

1 1 1 1 :1

x x xxx k k k k k kk

π π π π π ππ

= − = − − − −− −

L

Հետևաբար, ctgx -ի շարքը կարող ենք ներկայացնել հե-

տևյալ կերպ՝

74

2 3

2 2 3 3 4 41

1 1k

x x xctgxx k k k kπ π π π

∞

=

⎛ ⎞= + − − − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ L

2 3 3

2 2 3 3 4 4 2 2 4 41 1 1

1 1 2 1 2 1k k k

x x x x xk k k k x k kπ π π π π π

∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞+ − − − − − = − − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑L L

3

2 2 2 2 4 4 4 4

1 2 1 1 1 2 1 1 11 1 :2 3 4 2 3 4

x xx π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + + − + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L L

(2.34)

Մեզ մնաց անելու վերջին քայլը՝ գրելու 1ctgxx

−

ֆունկցիայի Թեյլոր-Մակլորենի շարքը

0 0x xπ π− < < ∪ < <

միջակայքի համար: Քանի որ 0x = դեպքում դիտարկ-

վող ֆունկցիան իմաստ չունի, այն լրացնենք հետևյալ

կերպ. երբ 0,x = ապա 1( ) 0 :f x ctgxx

= − = Հետևաբար,

այս նոր՝ ընդլայնված ֆունկցիայի վերլուծությունը

կարող ենք գրել xπ π− < < միջակայքի կամայական

x -ի համար: Այդ պատճառով, օգտվելով [8] տեղե-

կատուից (կամ համացանցից), կարող ենք ներկա-

յացնել 1ctgxx

− ֆունկցիայի վերլուծությունը՝

3 5 71 2 :3 45 945 4725x x x xctgx =

x− − − − −L (2.35)

75

(2.34) և (2.35) բանաձևերի համեմատությունից ստաց-

վում են ինչպես հակադարձ քառակուսիների, այնպես

էլ հակադարձ չորրորդ աստիճանի շարքերի գումարը:

Դրա համար բավական է իրար հավասարեցնել նշված

բանաձևերի ,x և ապա 3x պարունակող «անդամների»

գործակիցները՝

2 21

2 1 1 ,3k kπ

∞

=

− = −∑

որտեղից ստանում ենք հակադարձ քառակուսիների

շարքի գումարը (արդեն երկրորդ անգամ)՝ 2

2 2

1 11 :2 3 6

π+ + + =L

Իսկ 3x -ի գործակիցների հավասարեցումից ստանում

ենք՝

4 41

2 1 145k kπ

∞

=

− = −∑

հավասարությունը, որտեղից՝ 4

4 4

1 11 :2 3 90

π+ + + =L(2.36)

76

Մաս III. Ֆիզիկական խնդիրներ,

որոնք լուծվում են գումարների հաշվմամբ

Դեպի ֆիզիկա տանող ուղին

անցնում է մաթեմատիկայով…

Ռիչարդ Ֆեյնման

Ներածություն

Եվ իրոք, ինչպես նշված է բնաբանում, ֆիզիկան

չի կարելի շարադրել այլ կերպ, քան մաթեմատիկայի

լեզվով: Եթե դու, սիրելի ընթերցող, ուզում ես ճանաչել

բնությունը, գնահատել նրա գեղեցկությունը, ապա

պետք է հասկանաս այն լեզուն, որով խոսում է նա:

Նախորդ դրվագներում մենք քեզ հետ զրուցեցինք

այն մեթոդների և հնարների մասին, որոնցով դու ար-

դեն ի զորու ես հաշվելու մի շարք այնպիսի գումարներ

(վերջավոր և «անվերջ»), որոնք կիրառվում են ֆիզի-

կայի շատ խնդիրներում: Այդ խնդիրների մեծ մասը,

համոզված ենք, կարող է լուծել (կամ, գոնե, լուծումը

հասկանալ) յուրաքանչյուր դպրոցական, բայց կան

նաև խնդիրներ, որոնք «հասանելի» են միայն ուսանող-

ներին: Հեղինակները համոզված են, որ ֆիզիկայի այն

77

խնդիրները, որոնք դու կհասկանաս, ընթերցելով այս

փոքրիկ գրքույկը, կհետաքրքրեն, հնարավոր է նաև՝

կհրապուրեն քեզ, սիրելի ընթերցող, քանզի դրանք քեզ

համար արդեն կլինեն դյուրավ հասկանալի:

Ահա այն ֆիզիկական խնդիրները, որ հեղինակ-

ները պատրաստել են քեզ համար: Ուշադիր կարդա

ամեն մի խնդիր, նախ փորձիր այն լուծել ինքնուրույն,

իսկ չստացվելու դեպքում երբեք մի վհատվիր և նայիր

լուծումը: Ընտրված յուրաքանչյուր խնդիր մի ամբողջ

աշխարհ է: Համարձակորեն մտի´ր այդ աշխարհները,

մտորի´ր ամեն մի խնդրի շուրջ, և մենք համոզված ե-

նք, որ այնտեղից դուրս կգաս առավել իմաստացած,

քան էիր: Դրանից հեղինակները միայն երախտա-

պարտ կլինեն քեզ:

1. Լիցքավորված հաղորդչի էներգիան Ինչու՞ է լիցքավորված հաղորդիչն օժտված էներ-

գիայով: Հիշենք, որ էներգիան, անկախ իր տեսակից,

բնութագրում է մարմնի՝ աշխատանք կատարելու ու-

նակությունը: Դիցուք՝ հաղորդիչը լիցքավորելու հա-

մար կատարվել է ինչ-որ աշխատանք, և, հետևաբար,

հաղորդիչը ձեռք է բերել էներգիա: Լիցքավորված հա-

78

ղորդչի էներգիան պայմանավորված է բոլոր լիցքերն

անվերջությունից հաղորդչի մակերևույթ տեղափոխե-

լիս կատարված աշխատանքով:

Ենթադրենք՝ հաղորդչին հաղորդվում է դրական

լիցք: Լիցքերի առաջին տարրական բաժինն անվերջու-

թյունից հաղորդչի մակերևույթ տեղափոխելն աշխա-

տանք չի պահանջում, քանի որ հաղորդչի պոտենցի-

ալն սկզբում զրո է: Հաղորդչին առաջին բաժին լիցքը

հաղորդելուց հետո նրա պոտենցիալը դառնում է

զրոյից տարբեր (դրական), որի հետևանքով երկրորդ

բաժին լիցքի տեղափոխումն արդեն պահանջում է ո-

րոշ աշխատանք: Քանի որ հաղորդչի լիցքի մեծաց-

մամբ նրա պոտենցիալն աճում է, ապա յուրաքանչյուր

հաջորդ բաժին լիցքը տեղափոխելիս պետք է կատար-

վի ավելի և ավելի մեծ աշխատանք: Այդ աշխատանքը

ծախսվում է հաղորդչի էներգիան մեծացնելու համար:

Դիցուք՝ անհրաժեշտ է հաղորդչին հաղորդել q

լիցք: Վերջինս բաժանենք շատ մեծ թվով փոքր 0q լից-

քերի 0 :q qn

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

1) Ակներև է, որ առաջին բաժին 0q լիցքը հաղորդ-

չի մակերևույթ տեղափոխելիս աշխատանք չի կա-տարվում:

79

2) Երկրորդ բաժին 0q լիցքը տեղափոխելիս կա-

տարվում է 1 0 0A q ϕΔ = աշխատանք:

3) Երրորդ բաժին 0q լիցքը տեղափոխելիս կկա-

տարվի 2 0 02A q ϕΔ = աշխատանք:

………………………….

n ) n -րդ բաժին 0q լիցք տեղափոխելիս՝

1 0 0( 1)nA q n ϕ−Δ = − աշխատանք:

Ամբողջ աշխատանքը հաշվելու համար անհրա-

ժեշտ է տարրական աշխատանքները գումարել.

[ ]1 2 1 0 0 1 2 ( 1) :nA A A A q nϕ−= Δ + Δ + + Δ = + + + −L L

Փակագծերի ներսում 1-ից մինչև ( 1)n − բնական

թվերի գումարն է, որը հեշտ է հաշվել՝ օգտվելով փոք-

րիկ Գաուսի մեթոդից (տե´ս (1.1) բանաձևը)՝

( 1)1 2 ( 1) :2

n nn −+ + + − =L

Հետևաբար՝

0 0( 1) :

2n nA q ϕ −=

Քանի որ n -ը շատ մեծ է, ապա նրա նկատմամբ

1-ը կարելի է անտեսել: Եվ հաղորդչի էներգիայի հա-

մար կստանանք՝

0 0

2 2nq n qW A ϕ ϕ⋅= = =

80

բանաձևը, որտեղ 0nϕ ϕ= հաղորդչի պոտենցիալն է՝

պայմանավորված նրա 0q nq= լիցքով:

Հաշվի առնելով հաղորդչի ունակության, լիցքի և

պոտենցիալի միջև qCϕ

= առնչությունը՝ կարելի է գրել՝

2 2

:2 2q CWC

ϕ= =

2. Մի գծով դասավորված գնդերի զանգվածների կենտրոնը

n գնդեր, որոնց զանգվածները թվաբանական պրո-

գրեսիայի՝ իրար հաջորդող անդամներ են, ամրացված

են անկշիռ մետաղաձողին այնպես, որ դրանց կեն-

տրոններն իրարից a հեռավորությամբ են: Ապա-

ցուցենք, որ համակարգի ծանրության կենտրոնը ամե-

նաթեթև գնդի կենտրոնից հեռու է 23

L -ով, որտեղ L -ը

մետաղաձողի երկարությունն է:

Ապացուցման համար ենթադրենք, թե գնդերի

զանգվածներն են՝ 1 ,m m= 2 2 ,m m= 3 3 ,m m= K

1 ( 1) ,nm n m− = − ,nm nm= որտեղ m -ը՝

1 2, , , nm m m÷ K

81

թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունն է՝

2 1 1 :n nm m m m m−− = = − =L Քանի որ հարևան գնդերն

իրարից հեռու են a -ով, ապա ձողի երկարությունը՝

( 1)L n a= − (նկ. 3):

Նկ. 3

Ֆիզիկայի դպրոցական դասընթացից [12] ընթեր-

ցողին հայտնի է, որ եթե իրար հետ կոշտ ամրացված

մարմինների համակարգի ծանրության կենտրոնում

կիրառենք ուղղաձիգով դեպի վեր ուղղված Fr

հավա-

սարակշռող ուժ, ապա համակարգը կգտնվի հավա-

սարակշռության մեջ: Այդ դեպքում բոլոր ուժերի մո-

մենտների գումարը որևէ կետով (օրինակ՝ ձողի շա-

րունակության վրա գտնվող O կետով) անցնող առանցքի

նկատմամբ պետք է հավասար լինի զրոյի: Fr

հավա-

սարակշռող ուժը բացարձակ արժեքով հավասար է՝

82

1 2 (1 2 ) :nF m g m g mg mg n mg mg n= + + = + + + ⋅ = + + +L L L

Փակագծի ներսի արտահայտությունը 1-ից մինչև

n բնական թվերի գումարն է, որը, համաձայն (1.1) բա-

նաձևի, հավասար է ( 1)2

n n + -ի: Հետևաբար՝

( 1) :2

n nF mg += (3.1)

Մյուս կողմից, համաձայն մոմենտների կանոնի՝

1 1 2 2 0,n n Cm g x m g x m g x F x⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ =L

որտեղից կարող ենք որոշել համակարգի C ծանրու-

թյան կենտրոնի Cx կոորդինատը՝

1 2 3( 2 3 ) :nC

mg x x x nxxF

+ + + += L

Նկատի ունենալով (3.1) առնչությունը՝ Cx -ի հա-

մար կունենանք՝ 2 2 2 22 ( 2 2 3 3 ) 2 (1 2 3 )

( 1) ( 1)Cmg a a a n na a nx

n n mg n n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + += =

+ +L L :

(1.5) բանաձևի համաձայն՝

2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ,6

n n nn + ++ + + + =L

հետևաբար՝

( 1)(2 1)26 (2 1) :

( 1) 3C

n n na ax nn n

+ +⋅= = +

+

83

Այսպիսով, ծանրության C կենտրոնի հեռավո-

րությունն ամենաթեթև գնդից կլինի՝

(2 1) (2 1 3)3 3C Ca al x a n a n= − = + − = + − =

2 2(2 2) ( 1) ,3 3 3a a Ln n= − = − =

որն էլ պահանջվում էր ապացուցել:

3. Ծանր զսպանակից կախված ծանրոցի Սեփական տատանումների պարբերությունը

Զսպանակավոր ճոճանակի սեփական տատա-

նումների պարբերության

2 mTk

π= (3.2)

բանաձևն արտածելիս ( k -ն զսպանակի կոշտությունն

է) ենթադրվում էր, որ զսպանակի m′ զանգվածն ան-

համեմատ փոքր է նրանից կախված ծանրոցի m

զանգվածից՝ ,m m′ << այլ կերպ ասած՝ զսպանակը

համարվում էր անկշռելի: Իսկ եթե զսպանակը ծա՞նր

է, այսինքն՝ նրա զանգվածը համեմատելի է ծանրոցի

զանգվածի հե՞տ: Այդ դեպքում, բնականաբար, զսպա-

նակավոր ճոճանակի տատանումների պարբերու-

թյունն այլևս չի կարելի որոշել (3.2) բանաձևով: (Հի-

84

շեցնենք, որ (3.2) բանաձևն արտածված է «ավան-

դական» մեթոդով՝ Նյուտոնի 2-րդ օրենքի օգտագործ-

մամբ:)

Ծանր զսպանակի դեպքում նրանից կախված

ծանրոցի տատանումների պարբերությունը մենք

կհաշվարկենք այլ եղանակով, որի հիմքում էներգիայի

պահպանման և փոխակերպման օրենքն է: Այդ եղա-

նակը հայտնի է «էներգիական մեթոդ» անվանմամբ, և

ավելի մատչելի է, քան ավանդականը, քանի որ, ի

տարբերություն վերջինիս, հիմնվում է ոչ թե վեկտո-

րական, այլ սկալյար մեծությունների վրա [12,13]:

Այդ մեթոդով, օրինակ, նկ. 4-ում պատկերված

ծանր զսպանակից կախված ծանրոցի սեփական տա-

տանումների հաճախությունը (կամ պարբերությունը)

որոշելու համար կատարենք հետևյալ քայլերը: x -երի

առանցքն ուղղենք ուղղաձիգով դեպի ներքև: Այդ դեպ-

քում զսպանակավոր ճոճանակի տատանումները կն-

կարագրվեն

0 0( ) ( )x x t Asin tω ϕ= = + (3.3)

ներդաշնակ ֆունկցիայով, որտեղ 0ϕ -ն տատանում-

ների սկզբնական փուլն է, x -ը՝ ծանրոցի (որը համա-

րում ենք նյութական կետ) շեղումն է հավասարա-

կշռության դիրքից:

85

( )x t ֆունկցիան ածանցելով ըստ t -ի՝ կգտնենք

արագության կախումը ժամանակից արտահայտող

բանաձևը՝

0 0 0( ) ( ),t cos tω ϕ= = +v v v

որտեղ

0 0Aω=v (3.4)

մեծությունը v արագության ներդաշնակ տատանում-

ների լայնույթն է: (3.3) և (3.4) առնչությունները հնարա-

վորություն են տալիս որոշելու տատանումների հա-

ճախությունը (կամ պարբերությունը):

Իրոք, իրար հավասարեցնելով ճոճանակի պո-

տենցիալ և կինետիկ էներգիա-

ների առավելագույն արժեքնե-

րը, ստանում ենք՝ 220

2 2mkAE E= ⇒ = v

åmax Ïmax

կամ 2 2 20 ,kA m Aω=

Նկ. 4 որտեղից էլ միանգամից որոշվում է 0ω -ն (կամ T -ն):

Այժմ կրկին վերադառնանք մեր «ծանր» ճոճա-նակին:

Դիցուք՝ ծանրոցը կատարում է ներդաշնակ տա-

տանումներ 0ω սեփական հաճախությամբ և A

86

լայնույթով: Այդ դեպքում զսպանակի յուրաքանչյուր

գալար, որը ճոճանակի դադարի վիճակում կախման

C կետից x հեռավորությամբ դիրքում է, ունի

xa Al

=

տատանումների լայնույթ, որտեղ l -ն ամբողջ զսպա-

նակի երկարությունն է դադարի վիճակում:

Եթե զսպանակն ունի N գալար, ապա, կախման

կետից հաշված i -րդ գալարի տատանումների լայնույթը՝

:iAa iN

=

Զսպանակի կինետիկ էներգիան, ակներև է, հա-

վասար է բոլոր գալարների կինետիկ էներգիաների

գումարին: Քանի որ յուրաքանչյուր գալարի զանգվածը

mN

′ է, ապա i -րդ գալարի կինետիկ էներգիան կլինի

21 ,2i i

mEN

′=Ï v

որտեղ iv -ն i -րդ գալարի արագությունն է:

Երբ ծանրոցն անցնում է հավասարակշռության

դիրքով, զսպանակի կինետիկ էներգիան առավելա-

գույնն է՝ 2 2

2 2 2 200 0 2

1 1 1

1 1 :2 2 2

N N N

i ii i i

Am m mE a iN N N N

ωω= = =

′ ′ ′′ = = =∑ ∑ ∑vÏmax

87

Համաձայն բնական թվերի քառակուսիների գումարի

(1.5) բանաձևի՝

2 2 2 2 2

1

( 1)(2 1)1 2 3 ,6

N

i

N N Ni N=

+ += + + + + =∑ L

ուստի՝ 2 20

3

( 1)(2 1) :2 6

m A N N NEN

ω′ + +′ = ⋅Ïmax

Եթե գալարների թիվը շատ մեծ է՝ 1,N >> ապա 3( 1)(2 1) 2 ,

6 6 3N N N N N N N+ + ⋅ ⋅≈ =

և զսպանակի առավելագույն կինետիկ էներգիան՝

2 20

1 :2 3

mE Aω′′ ≈Ïmax

Հետևաբար՝ «բեռ+զսպանակ» համակարգի առավելա-

գույն կինետիկ էներգիան՝

2 2 2 2 2 20 0 0

1 1 1 :2 2 3 2 3

m mE m A A A mω ω ω′ ′⎛ ⎞≈ + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠Ïmax

Առավելագույն ձգման (կամ սեղմման) պահին զսպա-

նակի պոտենցիալ էներգիան՝ 2

:2

kAE =Ïmax

2 2 20 ,

3mE E kA m Aω

′⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Ïmax åmax կամ 20 :

3k

m mω =

′+

Հետևաբար, տատանումների պարբերությունը՝

88

32 :m mTk

π ′+=

Ակնհայտ է, որ եթե զսպանակի զանգվածը շատ

փոքր է ծանրոցի զանգվածից՝ ,m m′ << ապա կարող

ենք օգտվել (3.2) բանաձևից:

4. Բյուրեղում իոնների էլեկտրաստատիկ Փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան

Հայտնի է, որ իոնային բյուրեղներում քիմիական

կապը պայմանավորված է տարանուն իոնների միջև

էլեկտրաստատիկ (կուլոնյան) փոխազդեցությամբ: Այդ-

պիսի իոններ առաջանում են արժեքական էլեկտրոն-

ների՝ մի ատոմից մյուսն անցնելու հետևանքով: Իոնա-

յին բյուրեղի օրինակ է կերակրի աղը ( ),NaCl որի բյու-

րեղացանցը կազմված է միմյանց հերթագայող դրա-

կան և բացասական իոններից, որոնք օժտված են

գնդային համաչափությամբ. կերակրի աղի բյուրեղում

այդ իոններն են նատրիումի ( )Na+ և քլորի ( )Cl− իոն-

ները: Այժմ պատկերացնենք նմանօրինակ բյուրեղների

համակցություն, որը, սակայն, իրենից ներկայացնում է

միաչափ, բավականաչափ երկար շղթա (նկ. 5), և հաշ-

վենք այդ շղթայի պոտենցիալ էներգիան:

89

Նկ. 5

Ֆիզիկայի դպրոցական դասագրքից [14] ընթեր-

ցողը գիտե, որ N լիցքից կազմված համակարգի պո-

տենցիալ էներգիան արտահայտվում է

1

1 ,2

N

i ii

W qϕ=

= ∑

առնչությամբ, որտեղ iϕ -ն ( 1, 2, , ),i N= K բացի i -րդից,

մնացած 1N − կետային լիցքերի ստեղծած էլեկտրա-

կան դաշտի պոտենցիալն է iq լիցքի զբաղեցրած կե-

տում:

Համաձայն վերադրման սկզբունքի [13]՝

,ji j

j i j i ij

qk

rϕ ϕ

≠ ≠

= =∑ ∑ հետևաբար՝

1

:2

Ni j

i j i ij

q qkWr= ≠

= ∑∑ (3.5)

Քանի որ կամայական հարևան իոնների հեռավո-

րությունները նույնն են, ապա կարող ենք կատարել

հետևյալ նշանակումը՝ ,ijr Rn= 1, 2, :n = K Իոնների

լիցքերի բացարձակ արժեքներն իրար հավասար են՝

90

i jq q e= = ( 191,6 10e −= ⋅ Կլ), ուստի, նկ. 5-ին նույնիսկ

հպանցիկ նայելուց հետո նկատում ենք, որ 2 ,i jq q e= −

երբ 1,3,5,n = K և 2 ,i jq q e= երբ 2, 4,6, :n = K Հետևա-

բար, եթե n -ն իր արժեքներն ընդունում է հերթակա-

նորեն, ապա կարելի է գրել, որ. 22 1 1 11

2 3 4i j i j

j i jij

q q q q er Rn R≠

⎛ ⎞= = − + − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ L

22 1 1 11 :2 3 4

eR

⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

L

2 գործակիցը երևան եկավ այն պատճառով, որ

յուրաքանչյուր ijr հեռավորությունում կա նույն նշանի

երկու իոն. մեկը՝ տրված 1 իոնից աջ, մյուսը՝ ձախ:

Փակագծերի ներսում գումարի փոխարեն գրեցինք

անվերջ «գումար» (շարք), քանզի նկատի ունեցանք, որ,

ըստ պայմանի, միաչափ շղթան բավականաչափ եր-

կար է, ինչը նշանակում է, որ իոնների թիվը շատ մեծ

է: Ինչպես ընթերցողը նկատեց, այդ շարքը նշանափոխ

հարմոնիկ շարքն է, ուստի, համաձայն (2.18) բանա-

ձևի՝

1 1 11 2 :2 3 4

ln− + − + =L

Հետևապես՝

91

2

1 1

2 1 1 112 2 2 3 4

N Ni j

i j i iij

q qk k eWr R= ≠ =

⎡ ⎤⎛ ⎞= = − − + − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑∑ ∑ L

2 21 1 11 2 :2 3 4

ke keN NlnR R

⎛ ⎞= − − + − + ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

L

5. Լիցքավորված գնդի սեփական էլեկտրական էներգիան Դիցուք՝ q լիցքը հավասարաչափ բաշխված է R

շառավղով գնդի ողջ ծավալով: Հարկավոր է որոշել

գնդի W սեփական էլեկտրական էներգիան, ինչպես

նաև գնդի ներսում տեղափակված 1W էներգիայի հա-

րաբերությունը գնդից դուրս էլեկտրական դաշտի 2W

էներգիային:

Դպրոցական դասագրքից [14] գիտեք, որ գնդի ներ-

սում և գնդից դուրս էլեկտրական դաշտի լարվա-

ծությունները համապատասխանաբար հավասար են՝

1 3

2 2

, ,

, :

qE k r r RRqE k r Rr

= ≤

= ≥

Գնդի ներսում էլեկտրական դաշտի էներգիան

հաշվարկելու համար գունդը մտովի բաժանենք հա-

92

վասար հաստությամբ բավականաչափ բարակ համա-

կենտրոն թաղանթների այնպես, որ յուրաքանչյուր

թաղանթի ներսի կետերում էլեկտրական դաշտի լար-

վածության արժեքը կարելի լինի համարել գրեթե

նույնը: Դիցուք՝ թաղանթների թիվը n է: Այդ դեպքում

յուրաքանչյուր թաղանթի հաստությունը՝

1 ,i ir r r R n−Δ = − = 1, 2, ,i n= K , իսկ i -րդ թաղանթի ծա-

վալը՝ 24i iV r rπΔ ≈ ⋅ Δ (նկ.6):

Նկ. 6

Հետևաբար՝ 2

2 21 0 1 0 3

1 1

1 1 42 2

n n

i i i ii i

qW E V k r r rR

ε ε π= =

⎛ ⎞= Δ = ⋅ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ :

Քանի որ 01 ,

4 kε

π= ,Rr

nΔ = ապա վերջին արտա-

հայտությունը կարելի է շարունակել այսպես՝

93

2 2 2 22 4

1 6 51 1

1 1 142 4 2

n ni

i ii i

k q r R k qW r rk R n R n

ππ= =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =∑ ∑

24 4 4

1 25 ( ) :2 nkq r r rR n

= + + +L

Նկատի ունենալով, որ

0 0,r = 1 ,Rrn

= 2 2 , ,Rrn

= ⋅ K ,nRr nn

=

կստանանք՝ 4 4 42

1 5

1 22k q R R RW n

R n n n n⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

L

24 4 4

5

1 (1 2 ) :2kq n

R n= + + +L

Համաձայն (1.12) բանաձևի՝

4 4 4 211 2 ( 1)(2 1)(3 3 1),30

n n n n n n+ + + = + + + −L

ուստի՝ 2 2

1 5

1 ( 1)(2 1)(3 3 1)2 30kq n n n n nW

R n+ + + −= ⋅ =

2

2

1 1 3 11 2 3 :60kq

R n n n n⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Շատ մեծ n -երի դեպքում՝ 1 1,n

<< հետևապես՝

2 2

1 1 2 360 10kq kqW

R R= ⋅ ⋅ ⋅ = :

94

Համապատասխանաբար, 2W -ի համար կունենանք՝ 2

22 0 2 2

1 1

1 4 :2 2

n n

ii ii i

kq kq rW r rr r

ε π= =

⎛ ⎞ Δ≈ ⋅ Δ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Երբ n -ը բավականաչափ մեծ է, իսկ 1,i ir r r −Δ = −

1, 2, , ,i n= K 0 ,r R= 2ir -ն փոխարինելով 1i ir r− ⋅ -ով,

կստանանք՝ 2 2

1 1 0 12 12

1 1 0 1 1 2 12 2

ni i n n

i i i n n

r r r r r rr rkq kqWr r r r r r r r

− −

= − −

⎛ ⎞− − −−= = + + + =⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠∑ L

2 1 1 :2 n

kqR r

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Շատ մեծ n -երի դեպքում՝ ,nr → ∞ ուստի՝ 1 0,nr

→

այնպես որ 2

2 :2kqW

R=

Հետևաբար՝ 2

1 23 ,5

kqW W WR

= + = 1

2

1 :5

WW

=

Ուշագրավ է, որ 1 2W W հարաբերությունը կախված չէ

գնդի շառավղից:

95

6. Հարմոնիկ միջինը ֆիզիկայում (1):

Լիցքավորված հաղորդիչ գնդերի պոտենցիալը

Դիցուք` 1r և 2r շառավիղներով երկու հաղորդիչ

գնդեր ունեն 1q և 2q լիցքեր և միմյանցից այնքան հեռու

են, որ նրանցում լիցքերի վերաբաշխում տեղի չի

ունենում: Միացնելով գնդերը հաղորդալարով` հաշ-

վենք համակարգի ϕ պոտենցիալը, երբ. ա) գնդերի

լիցքերը հավասար են, իսկ շառավիղները` տարբեր,

բ) գնդերի շառավիղները հավասար են, իսկ լիցքերը`

տարբեր:

Ինչպես հայտնի է ֆիզիկայի դպրոցական դասըն-

թացից [14], առանձնացված հաղորդչի պոտենցիալը`

Cq=0ϕ : Եթե հաղորդիչը r շառավղով գունդ է, ապա

նրա էլեկտրաունակությունը` krC = , որտեղ k -ն Կու-

լոնի հաստատունն է` 99 10k = ⋅ մ/Ֆ: Հետևաբար`

rkq=0ϕ , այնպես որ գնդերից յուրաքանչյուրի պո-

տենցիալը, նախքան հաղորդալարով իրար միացնելը,

հավասար է`

1 1 1 2 2 2, :kq r kq rϕ ϕ= = (3.6)

Հաղորդալարով միացնելուց հետո լիցքը վերա-

բաշխվում է գնդերի միջև այնպես, որ վերջիններիս

96

պոտենցիալները հավասարվեն: Նշանակելով այդ ըն-

դհանուր պոտենցիալը ϕ -ով և նկատի առնելով, որ

գնդերի գումարային լիցքը պահպանվում է, կարող ենք

գրել`

2

2

1

1

rqk

rqk ′

=′

=ϕ ,

2121 qqqq ′+′=+ , (3.7)

որտեղ 1q′ -ը և 2q′ -ը գնդերի լիցքերն են վերաբաշ-

խումից հետո, որոնք կարող ենք որոշել (3.6) առնչու-

թյուններից`

krq

krq ϕϕ 2

21

1 , =′=′ : (3.8)

ա) դեպքում ),( 2121 rrqqq ≠== (3.7) հավասա-

րության փոխարեն, հաշվի առնելով (3.8) առնչություն-

ները, ստանում ենք`

)(2 21 rrk

q += ϕ :

(3.6) առնչություններից որոշելով գնդերի 1r և 2r

շառավիղները` 11 ϕkqr = , 22 ϕkqr = , վերջին հավա-

սարության փոխարեն կունենանք`

,11221⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

ϕϕϕ kqk

q

որտեղից`

97

,11211

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ϕϕϕ կամ

21

212ϕϕϕϕϕ

+= :

բ) դեպքում ),( 2121 rrrqq ==≠ , ինչպես երևում է

(3.8) առնչություններից, վերաբաշխումից հետո գնդե-

րի լիցքերը նույնպես հավասարվում են`

krqq ϕ=′=′ 21 :

(3.6) առնչություններից որոշելով գնդերի լիցքերը

նախքան վերաբաշխումը` ,, 2211 krqkrq ϕϕ == և

նկատի ունենալով վերոգրյալը, (3.7) հավասարության

փոխարեն կարող ենք գրել`

,2)( 21 kr

kr ϕϕϕ =+

որտեղից`

:2

21 ϕϕϕ +=

Ստացված արդյունքներից հետևում է, որ պայ-

մաններից կախված՝ գնդերի համակարգի ϕ պոտեն-

ցիալը մի դեպքում հավասար է առանձնացված գնդե-

րի 1ϕ և 2ϕ պոտենցիալների հարմոնիկ միջինին, մյուս

դեպքում` թվաբանական միջինին:

98

Հետաքրքիր է իմանալ

Պատմական ակնարկ

Միջին մեծությունները հայտնի են եղել դեռևս

անտիկ շրջանի մաթեմատիկոսներին և, մասնավո-

րապես, մեծ դեր են խաղացել երաժշտության տեսու-

թյան մեջ: Հույն մաթեմատիկոս Արքիտասի (մ.թ.ա.

428-365 թթ.) աշխատություններում երկու (դրական)

թվերի m թվաբանական միջինը, g երկրաչափական

միջինը և h հարմոնիկ միջինը սահմանվում էին, հա-

մապատասխանաբար, որպես թվաբանական, երկրա-

չափական և հարմոնիկ համեմատությունների միջին

անդամներ` ,bmma −=−

,:: bgga =

::)(:)( bbhaha −=−

Այս հավասարություններից ստանում ենք`

:211

2,,2 ba

ab

ba

habgbam+

=+

==+=

Ավանդության համաձայն, հարմոնիկ միջինը

ներմուծել է Պյութագորասը (մ.թ.ա. VI դար):

Հին հույն մաթեմատիկոսներին հայտնի էին նաև

99

տրված a և b հատվածների միջոցով նշյալ միջինների

կառուցման մի քանի եղանակներ: Պապպոս Ալեքսան-

դրացու (մ.թ. III–IV դդ.) «Մաթեմատիկական ժողո-

վածու» աշխատության մեջ, օրինակ, նկարագրված է,

թե ինչպես վերոնշյալ միջինները կառուցել միևնույն

երկրաչափական պատկերի ներսում, ինչը թույլ է տա-

լիս նաև ապացուցելու այդ միջինների կապն արտա-

հայտող անհավասարությունները: Այդպիսի մի կա-

ռուցման օրինակ ցույց է տրված նկ. 7-ում:

AB հատվածի` որպես տրամագծի, վրա կառուց-

ված է կիսաշրջանագիծ, որի կենտրոնը O կետն է:

Տրամագիծը կամայական C կետով տրոհված է երկու

հատվածների` aAC = և bCB = , հետևաբար, շրջա-

նագծի շառավիղը հավասար է AC և CB հատված-

ների թվաբանական միջինին, այսինքն` 2

ba + -ի: C

կետում AB ուղղին տարված է ուղղահայաց, որի

100

հատման կետը շրջանագծի հետ նշված է N -ով`

ABCN ⊥ :

ANB ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ( o90=∠ANB

որպես տրամագծի վրա հենված ներգծյալ անկյուն)

NC բարձրությունը AC և CB հատվածների միջին

համեմատականն է` abNC = : Դիցուք` NM -ը NC -ի

պրոյեկցիան է NO -ի վրա: Այդ դեպքում կարող ենք

գրել` NONMNC ⋅=2 , այն է`2

baNMab +⋅= , որտեղից

ստանում ենք` ba

abNM+

= 2 , ինչը նշանակում է, որ

NM -ը AC և CB հատվածների հարմոնիկ միջինն է:

Քանի որ որևէ կետից ուղղին տարված ուղղահայացը

միշտ փոքր է թեքից, ապա, ինչպես երևում է նկ. 7-ից,

ONNCNM << : Եթե CBAC = , ապա O և C կետերը

համընկնում են, հետևաբար նաև` համընկնում են բո-

լոր դիտարկվող հատվածները` ONNCNM == : Այս-

պիսով, կամայական դրական a և b թվերի համար

ճշմարտացի են հետևյալ անհավասարությունները`

22 baab

baab +≤≤+

,

ընդ որում` հավասարությունները տեղի ունեն այն

դեպքում, երբ ba = :

101

7. Հարմոնիկ միջինը ֆիզիկայում (2): Աղյուսների խնդիրը

Որմնադիրը շենքի քիվը շարելու համար պետք է

օգտագործի 4 աղյուս, այնպես, որ աղյուսներն իրար

վրա դրվելուց ելուստ ունենան: Ինչքա՞ն պետք է լինեն

ելուստների առավելագույն երկարությունները, որոնց

դեպքում աղյուսները դեռ կգտնվեն հավասարա-

կշռության մեջ, եթե աղյուսի երկարությունը 2l է, և

շաղախ չի օգտագործվում:

Եթե աղյուսները համասեռ են, ապա ծանրության

կենտրոնը աղյուսի եզրից ունի l հեռավորություն:

Ուստի վերին աղյուսի թույլատրելի ելուստը կլինի l : I

և II աղյուսների ընդհանուր ծանրության կենտրոնը

կգտնվի II աղյուսի ծայրից 2l չափով հեռացած C

102

կետում: Վերին երեք աղյուսների ծանրության կեն-

տրոնը կգտնվի AC հատվածի վրա, որտեղ A կետը III

աղյուսի կենտրոնն է (անկյունագծերի հատման կետը):

AC -ի վրա ծանրության կենտրոնը կարելի է որոշել

( ) 2P l x Px− = առնչությունից ( P -ն աղյուսի կշիռն է),

որտեղից կստանանք` 3x l= , հետևաբար` III աղյուսի

ելուստը կլինի 3l (նկ. 8): Ուշադրություն դարձրեք

ստացված l , 2l և 3l թվերին, որոնք հարմոնիկ շար-

քի առաջին երեք անդամներն են, այսինքն՝ 2l -ը l -ի և

3l -ի հարմոնիկ միջինն է:

8. Հարմոնիկ թվերը ֆիզիկայում: Անձրևորդի խնդիրը

Անձրևորդը 1 մետր երկարությամբ ռետինե քուղի

մի ծայրից մյուսը դանդաղ առաջ է շարժվում` 1 սմ-ն

անցնելով 1 րոպեում: Ինչ-որ մեկը, որին անվանենք K ,

և որի միակ նպատակն անձրևորդին խանգարելն է,

յուրաքանչյուր 1 րոպեն լրանալուց հետո, ռետինե քու-

ղը ծայրերից ձգում է` ակնթարթորեն մեծացնելով քու-

ղի երկարությունը ևս 1 մ-ով: 1-ին րոպեից հետո անձ-

րևորդն անցած է լինում 1 սմ և նրան մնում է անցնելու

103

99 սմ, իսկ 2-րդ րոպեից հետո նրա անցած ճանա-

պարհը դառնում է 2 սմ, բայց անցնելիքը մեծանում է՝

դառնալով հավասար 198 սմ-ի, և այդպես շարունակ:

Այսպիսով, որքան անձրևորդն առաջ է շարժվում,

այնքան ավելի է հեռանում նրանից նպատակակետը:

Կհասնի՞ արդյոք իր նպատակին անձրևորդը:

Երբ K -ն ձգում է ռետինե քուղը, ապա այն մասը,

որտեղ գտնվում է անձրևորդը, մնում է իր տեղում

նույնությամբ: Հետևաբար, 1-ին րոպեի ընթացքում

անձրևորդը կանցնի ճանապարհի 1

100 մասը, 2-րդ րո-

պեի ընթացքում` 1

200 մասը, 3-րդ րոպեի ընթացքում`

1300

մասը և այդպես շարունակ: Ռետինե քուղի այն

մասը, որը կանցնի անձրևորդը n րոպե հետո, հա-

վասար կլինի՝

1 1 1 1 1 1 1 11 ,100 200 300 100 100 2 3 100

nHn n

⎛ ⎞+ + + + = + + + + =⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠L L

որտեղ nH -ը հարմոնիկ շարքի n -րդ մասնակի

գումարն է: Այսպիսով, անձրևորդը կհասնի իր

նպատակին, հենց որ nH -ը գերազանցի 100-ը:

104

Նույն դատողությունները կարելի է անել նաև այն

թրթուրի համար, որը, ի տարբերություն անձրևորդի , 1

րոպեում անցնում է 50 սմ: Հետևաբար, n րոպե հետո

թրթուրը կանցնի ռետինե քուղի 2

nH երկարությունը,

այսինքն` թրթուրը նպատակին կհասնի նախքան n -ը

կգերազանցի 4-ը, քանի որ 4 2 :H >

9. Աքիլեսը և կրիան

Այս խնդրի, իրականում՝ պարադոքսի հեղինակն

է Զենոն Էլեացին (մ.թ.ա. 490–430), ով, Արիստոտելի

բնորոշմամբ, դիալեկտիկայի հայրն է, սակայն դիա-

լեկտիկան ծառայեցնում է ոչ իր նպատակին, այլ սո-

փեստության (հունարեն – կեղծ եզրահան-

գում): Զենոնը կասկածանքի է ենթարկում տարածու-

թյունը և մերժում շարժումը: Վերջինիս բացասումը

հաստատելու համար իբրև ապացույց Զենոնը բերում է

Աքիլեսի և կրիայի օրինակը, որը հայտնի է իբրև Աքի-

լեսի և կրիայի պարադոքս: (Աքիլեսը Տրոյական

պատերազմի և, առհասարակ, հունական դիցաբա-

նության մեծագույն հերոսներից է: Պատմում են, որ

նա, դեռևս երեխա ժամանակ, այնքան արագ էր

105

վազում, որ կարող էր անցնել եղջերվից, և այնքան

ուժեղ էր, որ կարող էր առյուծ սպանել:) Պարադոքսը

ներկայացնենք այնպես, ինչպես շարադրել է մ.թ. VI

դարի հույն գիտնական Սիմպլիկիոսը:

Արագավազ Աքիլեսը, ըստ Զենոնի տրամաբա-

նության, երբեք չի կարող վազանցել կրիային, որին

հետապնդում է, քանի որ նախքան նրան հասնելը, նա

պետք է հասնի այն կետին, որտեղից կրիան սկսել է իր

շարժումը: Բայց այդ ընթացքում կրիան կանցնի ևս մի

որոշ ճանապարհ, որը թեպետ փոքր է այն ճանապար-

հից, որ անցնում է Աքիլեսը, այդուհանդերձ թույլ է

տալիս պնդելու, որ կրիան, միևնույն է, առաջ է ընկել

տրոյական հերոսից (նկ. 9): Դիցուք՝ Աքիլեսը երկու

անգամ արագ է վազում կրիայից, որը գտնվում է նրա-

նից առաջ: Ենթադրենք, թե Աքիլեսը 100 մետր հետ է

մնացել կրիայից. եթե նա անցնի 100 մետր առաջ, ապա

կրիան կկտրի 100 մետրի կեսին հավասար հեռա-

վորություն, իսկ եթե Աքիլեսն անցնի այդ հեռավո-

րությունը, կրիան նրանից առաջ կընկնի 100 մետրի

քառորդին հավասար հեռավորություն և այդպես շա-

րունակ: Այլ կերպ ասած, արագավազ Աքիլեսը, միև-

նույն է, երբեք չի կարող հասնել կրիային:

106

Նկ. 9

Խնդիրը նկարագրենք ավելի պատկերավոր: Եթե

Աքիլեսն A դիրքից դուրս գա, այդ պահին կրիան

կշարժվի B դիրքից: Եթե Աքիլեսը հասնի 1B դիրքին,

կրիան հասած կլինի 2B դիրքը, և այսպես շարունակ

Աքիլեսը կհետապնդի կրիային, անսահմանորեն կմո-

տենա, բայց երբեք էլ չի հասնի նրան, քանի որ, ըստ Զենոնի, չի կարելի անվերջ հեռավորությունն անցնել վերջավոր ժամանակում:

Ճի՞շտ էր, արդյոք, տրամաբանում Զենոնը: Ըստ

նրա՝ կրիային հասնելու համար Աքիլեսը պետք է հաղ-

թահարեր անվերջ մեծ թվով ճանապարհի տեղամա-

սեր, որոնք անցնելու համար նա պետք է ծախսեր

107

նույնպես անվերջ մեծ թվով ժամանակահատվածներ,

որոնց գումարը, ըստ Զենոնի, անվերջ մեծ է: Բայց ի-

րո՞ք այդպես է: Զենոնն անտիկ (ինչու չէ, նաև՝ ժամա-

նակակից) ընթերցողին գցում է «ծուղակը» և կարողա-

նում է նրան համոզել իր տրամաբանության ճշմար-

տացիությունը, թեպետ ընթերցողը համոզված էր, որ

արագավազ Աքիլեսն ի վերջո ոչ միայն կհասնի, այլև

նույնիսկ առաջ կանցնի դանդաղաշարժ կրիայից:

Ստացված պարադոքսը հանգուցալուծելու հա-

մար այն վերաձևակերպենք՝ «թարգմանելով» ժամա-

նակակից լեզվի, իսկ դրա համար հարկավոր է խնդրի

մեջ օգտագործել «արագություն» ֆիզիկական մեծու-

թյունը, որն անծանոթ էր Զենոնին (ինչպես նաև ան-

տիկ շրջանի հույն գիտնականներին): Դիցուք՝ Աքիլեսը

վազում է հաստատուն v արագությամբ, իսկ կրիան՝

երկու անգամ դանդաղ, այսինքն՝ 2v

արագությամբ:

Ենթադրենք նաև, որ «մրցման» սկզբնապահին Աքի-

լեսը կրիայից հեռու է s -ով, որն անցնելու համար Աքի-

լեսից կպահանջվի 1st =v

ժամանակ: Կրիան այդ ըն-

թացքում կանցնի 2s

ճանապարհ, որը հաղթահարելու

108

համար Աքիլեսից պահանջվող ժամանակը կլինի՝

2 ,2st =v

և այսպես շարունակ: Հետևաբար, կրիային

հասնելու համար անհրաժեշտ ժամանակը հավասար

կլինի 1

ii

t∞

=∑ շարքի գումարին՝

1 2 31 2 4i

i

s s st t t t t∞

=

= = + + + = + + + =∑ L Lv v v

1 11 :2 4

s ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Lv

Փակագծերի ներսում գրված շարքի անդամները

12

հայտարարով անվերջ նվազող երկրաչափական

պրոգրեսիայի անդամներն են, հետևաբար, համաձայն

(2.12) բանաձևի՝

1 11 2,2 4

+ + + =L

և որոնելի t ժամանակը կլինի՝ 2 :st =v

Մասնավո-

րապես, եթե 100s = մ, 10=v մ/վ, ապա Աքիլեսը կրի-

ային կհասնի 2 100 20

10t ⋅= = վ-ում: Ահա այսպես: Եր-

բեմն, իրոք, կարելի է անվերջ շատ տեղամասերից

կազմված ճանապարհն անցնել վերջավոր ժամանա-

կում:

109

10. Փոփոխական արագությամբ շարժման ճանապարհի հաշվումը

Դիտարկենք հետևյալ խնդիրը, որում նույնպես

օգտագործվում է 1-ից մինչև n բնական թվերի քառա-

կուսիների գումարն արտահայտող (1.5) բանաձևը:

Իսկ խնդիրն այսպիսին է.

0t = պահին մարմինը, դուրս գալով կոորդի-

նատների սկզբնակետից, շարժվում է x -երի առանցքի

դրական ուղղությամբ: Մարմնի արագությունը ժամա-

նակի ընթացքում փոփոխվում է հետևյալ օրենքով.

ա. 2 ,tα=v որտեղ α -ն մի որոշ դրական հաս-

տատուն է: Պահանջվում է որոշել մարմնի անցած s

ճանապարհը 0t = -ից մինչև 0t t= պահն ընկած ժամա-

նակամիջոցում (նկ. 10):

Նկ. 10

110

բ. 20 ,tα= −v v որտեղ 0v -ն 0t = պահին մարմնի

արագությունն է: Այս անգամ անհրաժեշտ է պարզել,

թե ի՞նչ ճանապարհ կանցնի մարմինը մինչև կանգ

առնելը (նկ. 11):

Նկ. 11

Խնդրի երկու պահանջներում էլ ( )tv կախման

կորն իրենից ներկայացնում է պարաբոլի մի որոշ

աղեղ: Առաջին պահանջին համապատասխանող պա-

րաբոլի աղեղը պատկերված է նկ. 10-ում, իսկ երկ-

րորդին համապատասխանող աղեղը՝ նկ. 11-ում:

Դպրոցական դասընթացից [12] դուք գիտեք, որ

եթե տրված է ( )tv կախման գրաֆիկը 1t -ից մինչև 2t

ժամանակային միջակայքում, ապա վերջինիս միջոցով

կարելի է որոշել մարմնի անցած s ճանապարհն այդ

ընթացքում: Դրա համար հարկավոր է հաշվել ( )tv

111

գրաֆիկի տակ ընկած պատկերի մակերեսը, որն էլ

թվապես հավասար է s ճանապարհին:

10-րդ և 11-րդ նկարներում այդ պատկերները կո-

րագիծ «եռանկյուններ» են (նկարներում այդ եռան-

կյուններն մգացված են):

Նախ հաշվենք նկ. 10-ում պատկերված կորագիծ

«եռանկյան» մակերեսը: Դրա համար դիտարկենք հե-

տևյալ մաթեմատիկական խնդիրը. որոշել [ ]0,a միջա-

կայքում 2y x= պարաբոլի աղեղով, աբսցիսների ա-

ռանցքով և x a= ուղղով սահմանափակված կորագիծ «եռանկյան» մակերեսը (նկ. 12): Դա անելու համար

[ ]0,a միջակայքը

,x h= 2h 3 , ,h nh a=K

կետերով տրոհենք n թվով բավականաչափ փոքր տե-

ղամասերի և այդ տարրական տեղամասերի՝ որպես

հիմքերի, վրա կառուցենք ուղղանկյուններ, որոնց

բարձրությունները, հավասար են՝ 2 2 2 2 2, (2 ) , (3 ) , , ( )h h h nh a=L (նկ. 13):

Ակներև է, որ այդ ուղղանկյունների հիմքերը հավա-

սար են h -ի: Կորագիծ «եռանկյան» S մակերեսը մո-

տավորապես հավասար է բոլոր ուղղանկյունների մա-

կերեսների գումարին՝

112

2 2 2 2(2 ) (3 ) ( )nS S h h h h h h h nh≈ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =L 3 2 2 2 2(1 2 3 ) :h n= + + + +L

Նկ. 12

Նկ. 13

Համաձայն (1.5) բանաձևի՝

2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ,6

n n nn + ++ + + + =L

113

ուստի՝

33

3

1 11 2( 1)(2 1) :

6 6n

nn n n a n nS h

n

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Հետևաբար, կորագիծ եռանկյան մակերեսը՝

33

1 11 2lim lim :

6 3nn n

an nS S a→∞ →∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

Այսպիսով, 2y x= պարաբոլի աղեղի տակ ընկած

պատկերի մակերեսը հավասար է x a= և 2y a= կող-

մեր ունեցող ուղղանկյան մակերեսի 13

-ին:

Անցնելով ֆիզիկական խնդրի առաջին պահան-

ջին՝ դժվար չէ եզրակացնել, որ առաջին դեպքում

որոնելի Is ճանապարհը թվապես հավասար կլինի 0t

և 20tα երկարություններով կողմեր ունեցող ուղղան-

կյան մակերեսի 13

-ին, այսինքն՝ 3I 0 3 :s tα=

2-րդ դեպքում որոնելի IIs ճանապարհը կարելի է

դյուրավ գտնել: Իրոք, համեմատելով 2tα=v և 2

0 tα= −v v պարաբոլները, նկատում ենք, որ երկրորդը

կարելի է ստանալ առաջինից հետևյալ երկրաչա-

փական ձևափոխությունների միջոցով.

114

2 2t tα α→ − (պարաբոլը շրջվում է «գլխիվայր»), 2 2 2t a tα α− → − (շրջված պարաբոլը զուգահեռ տե-

ղափոխվում է y -ների առանցքի երկայնքով դեպի վեր՝

a չափով):

Այս ձևափոխությունների հետևանքով ստացված

պարաբոլի աղեղի տակ ընկած պատկերի (մգացված

կորագիծ «եռանկյան») մակերեսը (նկ. 11) հավասար է

նկ. 10-ում պատկերված կորագիծ «եռանկյան» (չմգաց-

ված) մակերեսին, այսինքն՝ 0t և 20tα կողմեր ունեցող

ուղղանկյան մակերեսի 2 3 -ին՝ 3 0II 0 0

2 2 :3 3

s tαα

= = vv

11. Ջրածնի ատոմի էներգիական մակարդակների այլասերման աստիճանը (Նրանց համար, ովքեր ծանոթ են քվանտային ֆիզիկայի տարրերին)

Համաձայն քվանտամեխանիկական պատկերա-

ցումների՝ էլեկտրոնի վիճակը ջրածնի ատոմում լիո-

վին որոշվում է չորս ֆիզիկական մեծությունների ար-

ժեքներով: Այդ մեծություններն են՝ էներգիան ( ),E իմ-

պուլսի ուղեծրային մոմենտը ( )L , այդ մոմենտի պրո-

115

յեկցիան մի որոշ՝ կամայականորեն ընտրված z ա-

ռանցքի վրա ( )zL և սպինային մոմենտի պրոյեկցիան

այդ նույն z առանցքի վրա:

(Ընթերցողին հիշեցնենք, որ սպինային մոմենտը

էլեկտրոնի իմպուլսի սեփական մեխանիկական մո-

մենտն է և որևիցե կապ չունի միջուկի շուրջն էլեկ-

տրոնի ուղեծրային շարժման հետ:)

Վերոթվարկյալ բոլոր մեծությունների հնարավոր արժեքները քվանտացված են և որոշվում են համա-պատասխան քվանտային թվերով՝ n , l , m , sm : Առա-

ջին երեքը՝ n -ը, l -ը և m -ն ի հայտ են գալիս քվան-տային մեխանիկայի ոչ ռելյատիվիստական (Շրյոդին-գերի) հավասարումը լուծելիս, իսկ sm քվանտային

թիվը, որը բնութագրում է էլեկտրոնի սպինի szL պրո-

յեկցիան՝ ռելյատիվիստական (Դիրակի) հավասարման լուծման ընթացքում:

(Հիշեցնենք, որ Դիրակի հավասարումը Շրյոդին-

գերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարման ռելյատի-

վիստական ընդհանրացումն է, իսկ սպինը ռելյատի-

վիստական բնութագիր է, ուստի չի մտնում Շրյոդին-

գերի հավասարման մեջ:)

n -ը, ինչպես գիտեք, կոչվում է գլխավոր քվան-

տային թիվ և որոշում է էլեկտրոնի էներգիան՝

116

2

1 ,n RE En

= − ⋅ 1, 2,3, ,n = K (3.9)

որտեղ 4

2 13,62

eR

km eE = =h

էՎ:

RE մեծությունն այն էներգիան է, որն անհրաժեշտ է

ջրածնի ատոմն իոնացնելու համար. էներգիայի այդ

քանակն անվանում են մեկ ռիդբերգ ( ),Ry այսինքն՝

1 13,6Ry = էՎ:

Ուղեծրային (կամ ազիմուտային) քվանտային l

թիվը բնութագրում է էլեկտրոնի ուղեծրային իմպուլսի

մոմենտը՝

( 1) :L l l= + ⋅h (3.10)

Տրված n -ի դեպքում l -ը կարող է ընդունել հետևյալ

արժեքները՝ 0,1, 2, , ( 1) :l n= −K

Մագնիսական քվանտային թիվը ( )m որոշում է

իմպուլսի մոմենտի zL պրոյեկցիան՝

:zL m= h (3.11)

Տրված l -ի դեպքում մագնիսական քվանտային թիվը

կարող է ընդունել հետևյալ արժեքները՝

117

0, 1, 2, , :m l= ± ± ±K

Սպինային քվանտային թիվը որոշում է սպինա-

յին մոմենտի szL պրոյեկցիան՝

:sz sL m= h (3.12)

sm քվանտային թվի հնարավոր արժեքները երկուսն

են՝

1 :2sm = ±

,n ,l ,m sm քվանտային թվերը լիովին որոշում են

ջրածնի ատոմում կապված էլեկտրոնի քվանտամե-

խանիկական վիճակը:

Էլեկտրոնի nE էներգիան կախված է միայն n

գլխավոր քվանտային թվից, ուստի տրված n -ով մեկ էներգիական մակարդակին համապատասխանում են մի քանի տարբեր էլեկտրոնային վիճակներ, որոնք տարբերվում են ,l ,m sm քվանտային թվերի արժեքնե-

րով: Այն էներգիական մակարդակը, որին համապա-

տասխանում է լոկ մեկ քվանտային վիճակ, անվանում են չայլասերված, իսկ եթե մեկ էներգիական մակար-դակին համապատասխանում են մի քանի տարբեր քվանտային վիճակներ, ապա մակարդակը կոչվում է այլասերված:

118

Հաշվենք n -ի տրված արժեքով որոշվող nE էներ-

գիայով մակարդակին համապատասխանող վիճակնե-

րի ( )nβ թիվը:

Տրված n -ի և l -ի համար վիճակների թիվը կորոշ-վի m -ի և sm -ի բոլոր հնարավոր արժեքներով: Քանի

որ m -ը տրված l -ի դեպքում կարող է ընդունել 2 1l + արժեք, իսկ sm -ը՝ 2 արժեք, ապա վիճակների թիվը

կլինի՝ 2(2 1) :l +

Տրված n -ի դեպքում l -ը կարող է ընդունել 0-ից

մինչև ( 1)n − արժեքները, ուստի տարբեր վիճակների

ընդհանուր թիվը ստանալու համար վերոգրյալ ար-

տահայտության արժեքները պետք է գումարենք ըստ

l -ի՝ 1

0

( ) 2 (2 1) 2(1 3 5 2 1)n

ln l nβ

−

=

= + = + + + + −∑ L

Փակագծերի ներսի արտահայտությունը 1,3,5, ,÷ K

2 1,n − թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n ան-

դամների գումարն է, որը, համաձայն (1.3) բանաձևի,

հավասար է 2n -ու: Հետևաբար՝ n գլխավոր քվան-

տային թվի որևէ մեկ արժեքին համապատասխանող

այլասերման աստիճանը (տարբեր քվանտային վի-

ճակների թիվը)՝ 2( ) 2 :n nβ =

119

12. Մասնիկների համակարգի վիճակագրական նկարագրությունը Ներածություն (ընդհանուր տեղեկություններ քվանտային վիճակագրությունների մասին)

Ֆիզիկայի բուհական դասընթացից յուրաքան-

չյուր ուսանող գիտե, որ մեծ թվով շարժվող և փոխազ-

դող մասնիկներից (ատոմներից, մոլեկուլներից, է-

լեկտրոններից, ֆոտոններից և այլն) կազմված համա-

կարգերի ուսումնասիրման համար անհրաժեշտ են

միանգամայն նոր մեթոդներ: Ստեղծված է երկու այդ-

պիսի մեթոդ, որոնցից առաջինի վրա վեր է խոյանում

ջերմադինամիկայի, իսկ երկրորդի վրա՝ վիճակագրա-կան ֆիզիկայի վեհաշուք շենքը:

Ի տարբերություն ջերմադինամիկայի, որը հիմն-

ված չէ նյութի կառուցվածքի վերաբերյալ որևէ պատ-

կերացման վրա, վիճակագրական ֆիզիկայի մեթոդա-

բանական հիմքը մարմինների ատոմամոլեկուլային

կառուցվածքի հայեցակարգն է՝ մաթեմատիկական վի-

ճակագրության օգտագործմամբ:

Վիճակագրական ֆիզիկայում, կախված պայ-

մաններից, համակարգի մասնիկների շարժումները

120

նկարագրվում են կա´մ դասական, կա´մ քվանտային

մեխանիկայի օրենքներով: Համապատասխանաբար,

տարբերում են դասական և քվանտային վիճակագրու-թյուններ: Վերջին դեպքում մասնիկների վարքի վիճա-

կագրական նկարագրությունը հետևանքն է այդ մաս-

նիկների ալիքամասնիկային երկվության: Քվանտային մասնիկների համակարգն օժտված է

այնպիսի հատկություններով, որոնցով օժտված չէ ոչ

միայն դասական մասնիկների համակարգը, այլև ա-

ռանձին վերցրած յուրաքանչյուր քվանտային մասնիկ

(եթե համակարգի մեջ մտնող մասնիկները, իհարկե,

միատեսակ են, այսինքն՝ նրանց զանգվածները, լիցքե-

րը, սպինները և մնացած այլ ներքին բնութագրերը

միևնույնն են. միատեսակ են, օրինակ՝ բոլոր էլեկտ-

րոնները և բոլոր ֆոտոնները):

Այստեղից դժվար չէ եզրակացնել, որ քվանտային

մասնիկների համակարգի հատկությունները պետք է

նկարագրվեն բոլորովին այլ՝ դասական մասնիկներին

ոչ բնորոշ օրինաչափություններով: (Ինչպես գիտեք,

դասական մասնիկների համակարգը նկարագրվում է

Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխման օրենքով:) Այդ տարբե-

րեւթյունը պայմանավորված է քվանտային վիճակագ-

րության երկու անառարկելի սկզբունքներով, որոնք են.

121

• Միատեսական մասնիկների նույնականության

սկզբունքը,

• Պաուլիի սկզբունքը:

Համաձայն քվանտամեխանիկական պատկերա-

ցումների՝ միատեսակ մասնիկ-ները սկզբունքորեն

անզանազանելի են: Եթե, օրինակ, երկու էլեկտրոններ

փոխեն իրենց տեղերը, ապա այդպիսի փոխատեղ-

մամբ նոր վիճակ չի ստեղծվում: Հետևաբար, հնարա-

վոր չէ փորձնականորեն տարբերել միատեսակ (նույ-

նական) մասնիկները: Այս պնդումն անվանում են մի-ատեսակ մասնիկների նույնականության (անզանա-զանելիության) սկզբունք:

Ի հետևանս նույնականության սկզբունքի՝ քվան-

տային մասնիկների համակարգի այն վիճակները, ո-

րոնք ստացվում են մեկը մյուսից՝ միատեսակ մասնիկ-

ների փոխատեղմամբ, հարկավոր է դիտարկել որպես

մեկ վիճակ: Բայց այդ դեպքում հնարավոր է, որ նույ-

նական մասնիկների համակարգի լրիվ ալիքային

ֆունկցիան կամ փոխի իր նշանը, կամ՝ չփոխի՝ կախ-

ված արտաքին մագնիսական դաշտի Br

վեկտորի ուղ-

ղությունն ունեցող z առանցքի վրա այդ մասնիկների

սպինների szL պրոյեկցիայից:

122

Էլեկտրոնները, նուկլոնները և բոլոր այն մաս-նիկները, որոնց սպինային մեխանիկական մոմենտի

szL պրոյեկցիան հավասար է կենտ թվով 2h -ի, անվա-

նում են ֆերմիոններ: Միատեսակ ֆերմիոնների հա-

մակարգի վարքը նկարագրող ալիքային ֆունկցիան,

մասնիկների փոխատեղումից, փոխում է իր նշանը: Այն մասնիկները, որոնց szL -ը հավասար է զրոյի

կամ էլ զույգ թվով 2h -ի, անվանում են բոզոններ: Մի-

ատեսակ բոզոնների համակարգի ալիքային ֆունկցի-

ան, կամայական երկու մասնիկների փոխատեղման

հետևանքով, մնում է անփոփոխ: Միատեսակ (նույնական) ֆերմիոնների համա-

կարգի վարքի առանձնահատ-կությունն արտահայ-

տում է Պաուլիի սկզբունքը, համաձայն որի՝

միատեսակ ֆերմիոնների տրված համակարգում միևնույն քվանտային վիճակում միաժամանակ չի կա-րող գտնվել մեկից ավելի ֆերմիոն:

Վիճակագրական ֆիզիկայի հիմնական խնդիրն է.

Որոշել քվանտային մասնիկների ամբողջ համա-

կարգի մակրովիճակը բնութագրող ֆիզիկական մեծու-

թյունների (պարամետրերի) միջին արժեքները, ինչի

համար անհրաժեշտ է՝

123

• հաշվել այն քվանտային վիճակների թիվը, ո-

րոնք համապատասխանում են համակարգի՝

տրված ընդգրկույթում ընկած էներգիայի ար-

ժեքներին,

• գտնել համակարգի մասնիկների բաշխման

ֆունկցիան ըստ այս կամ այն պարամետրի՝ իմ-

պուլսի, էներգիայի և այլն:

Ֆերմիոնների և բոզոնների համակարգերի հա-

մար այդ խնդիրները լուծվում են համանմանորեն,

բայց որոշ տարբերությամբ. չէ՞ որ բոզոնները չեն են-

թարկվում Պաուլիի ամենազոր սկզբունքին: Դրան հա-

մապատասխան՝ տարբերում են երկու քվանտային վի-

ճակագրություններ՝ Ֆերմի-Դիրակի և Բոզե-Այնշտայնի:

Մասնիկների համակարգի նկարագրման համար

վիճակագրական ֆիզիկայում օգտվում են փուլային տարածության հասկացությունից: Փուլային տարա-

ծության չափումների թիվը վեցն է՝ , , , , , :x y zx y z p p p

Առաջին երեք չափումները մասնիկի կոորդինատներն

են, իսկ վերջին երեքը՝ նրա pr իմպուլսի պրոյեկցիա-

ները համապատասխան կոորդինատային առանցքնե-

րի վրա: Դասական մասնիկի վիճակը (մասնիկի կոոր-

դինատները և իմպուլսները) փուլային տարածության

124

մեջ, բնականաբար, պատկերվում է կետով: Բայց եթե

մասնիկների վարքը նկարագրվում է քվանտային մե-

խանիկայի օրենքներով, ապա հարկավոր է հաշվի առ-

նել դրանց հատկությունների երկվությունը:

Ի հակադրություն դասական մեխանիկայի՝

քվանտային մեխանիկայում գոյություն չունի այնպիսի

վիճակ, որում մասնիկի կոորդինատը և նրան համա-

պատասխանող իմպուլսի պրոյեկցիան միաժամանակ

ունենան ճշգրիտ արժեքներ: Հետևաբար՝ կոորդինատը

և իմպուլսի համապատասխան պրոյեկցիան միաժա-

մանակ կարող են որոշվել xΔ և xpΔ անորոշություննե-

րով, որոնք իրար հետ կապված են Հայզենբերգի ան-

հավասարությամբ՝

:xx p hΔ ⋅Δ ≥

Նշանակում է՝ լավագույն դեպքում, երբ վերոգ-

րյալ արտահայտության մեջ անհավասարության նշա-

նի փոխարեն դրված է հավասարման նշան, ապա

( , )xx p փուլային հարթության մեջ վիճակը պատկեր-

վում է ոչ թե կետով, այլ ուղղանկյունով, որի նվազա-

գույն մակերեսը xx p hΔ ⋅Δ = է:

Ընդհանրացնելով՝ կարելի է, բնականաբար, հա-

մարել, որ փուլային տարածության մեջ մասնիկի

125

տրված վիճակին կետի փոխարեն պետք է համապա-

տասխանի բջիջ, որի փուլային ծավալը հավասար է՝

:x y zx y z p p pΔ Δ Δ Δ Δ Δ Փուլային տարածության ծավալի

dΓ տարրն իրենից ներկայացնում է սովորական կոոր-

դինատային տարածության ծավալի dV dxdydz= տար-

րի և իմպուլսային տարածության ծավալի

x y zdV dp dp dp=ÇÙå տարրի արտադրյալը՝

:x y zd dVdV dxdydzdp dp dpΓ = =ÇÙå (3.13)

Այժմ որոշենք քվանտային վիճակների թիվը,

որոնք համապատասխանում են համակարգի այն

էներգիաներին, որոնց արժեքները ε -ից մինչև ε ε+ Δ

ընդգրկույթում են: Վիճակների այդ թիվը նշանակենք

( )ε εΔΩ = Ω Δ -ով: Յուրաքանչյուր վիճակի համապա-

տասխանում է փուլային տարածության 3h -ին հա-

վասար ծավալ: Ուստի վիճակների որոնելի թիվը

կգտնենք, եթե հաշվենք ε և ε ε+ Δ ընդգրկույթում

ընկած էներգիաներին համապատասխանող փուլային

ծավալը և բաժանենք 3h -ի:

Փուլային ծավալը հաշվելիս կհամարենք, որ

մասնիկի իմպուլսը փոփոխվում է գրեթե անընդհատո-

րեն, և փուլային տարածության ծավալի տարրը կգ-

րենք (3.13) տեսքով: Փուլային տարածության այն ծա-

126

վալը, որը համապատասխանում է տրվածից փոքր

արժեքներով էներգիաներին, ստացվում է (3.13) ար-

տահայտության ինտեգրմամբ՝ ըստ բոլոր կոորդի-

նատների և բոլոր իմպուլսների, որոնք բավարարում

են max0 2p mε≤ ≤ պայմանը: Անցնելով գնդային կոոր-

դինատների՝ կարող ենք գրել՝ 2

x y zd dxdydzdp dp dp dxdydz p dpsin d d ,ϑ ϑ ϕΓ = = ⋅

հետևաբար՝ 2

2

0 0 0

p

x y zV V

dxdydz dp dp dp V p dp sin d dπ π

ϑ ϑ ϕΓ = = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ÇÙå

33

04( ) 2 :

3 3pV cos Vpπϑ π π= ⋅ ⋅ − ⋅ =

Համարելով 1V = միավոր՝ իմպուլսների ,p p dp+

ընդգրկույթին համապատասխանող փուլային տարա-

ծության ծավալը կարող ենք ներկայացնել

24d dp p dpp

π∂ΓΓ = =∂

տեսքով: Ուստի, այն մասնիկի վիճակների թիվը, որի

իմպուլսներն ընկած են ,p p dp+ ընգրկույթում,

հավասար է՝

23 3

1 4( ) :d p dp dp p dph p h

π∂ΓΩ = Ω = =∂

(3.14)

127

Եթե տրված է ε էներգիայով մասնիկների միջին

թիվը (մասնիկների բաշխման խտություն կամ ֆունկ-

ցիա) նշանակենք f -ով, ապա ε և dε ε+ ընդ-

գրկույթում էներգիա ունեցող մասնիկների միջին թիվը

կլինի՝

,dn fd= Ω (3.15)

իսկ այդ մասնիկների միջին էներգիան՝

:dE dn fdε ε= = Ω (3.16)

Ստորև դիտարկել ենք երկու տիպի մասնիկնե-րից՝ բոզոններից և ֆերմիոններից, բաղկացած համա-կարգեր, համապատասխանաբար՝ ֆոտոնային գազը և «ազատ» էլեկտրոններից կազմված գազը (էլեկտրո-նային գազը) մետաղներում՝ բացարձակ զրոյին մոտ ջերմաստիճաններում: Օգտվելով այդ գազերի բաշխ-ման օրենքն արտահայտող f´á½»-²ÛÝßï³ÛÝ և fü»ñÙÇ-¸Çñ³Ï

ֆունկցիաներից՝ որոշել ենք այդ համակարգերի միջին էներգիան՝ կիրառելով հաշվարկի ընթացքում առաջ եկած շարքերի գումարների՝ մեր կողմից արդեն ստացված բանաձևերը:

12ա. Ֆոտոնային գազ

Ընթերցողին դեռևս դպրոցական դասընթացից

[15] հայտնի է, որ արդի քվանտային տեսության պնդ-

128

մամբ էլեկտրամագնիսական ճառագայթումը, մասնա-

վորապես՝ լույսը, ալիքային հատկությունների հետ

մեկտեղ, օժտված է նաև մասնիկային հատկանիշնե-

րով, այլ կերպ ասած՝ ճառագայթումը կարելի է պատ-

կերացնել որպես յուրահատուկ մասնիկների՝ լույսի քվանտների կամ ֆոտոնների հոսք:

Դիցուք՝ փակ խոռոչը լցված է ֆոտոնային գազով:

Վերջինս կարելի է համարել իդեալական գազ, քանի

որ ֆոտոններն իրար հետ չեն փոխազդում: Այդուհան-

դերձ ֆոտոնային գազի և սովորական մոլեկուլային ի-

դեալական գազի միջև կան էական տարբերություն-

ներ, որոնցից են.

• Նախ՝ փակ խոռոչը լցնող ֆոտոնային գազի

մասնիկների թիվը, ընդհանուր առմամբ, հաս-

տատուն չէ, քանի որ պատերի հետ փոխազդե-

լիս կարող են ինչպես ֆոտոններ ծնվել, այն-

պես էլ՝ անհետանալ:

• Այնուհետև՝ բոլոր ֆոտոնները, ի տարբերու-

թյուն մոլեկուլների, շարժվում են միատեսակ

արագություններով:

Այդուամենայնիվ, ֆոտոնային գազում, ինչպես և

մոլեկուլայինում, հնարավոր է ըստ էներգիայի և իմ-

պուլսի մասնիկների հավասարակշիռ բաշխում: Ֆո-

129

տոնների փոխազդեցության բացակայությամբ այդպի-

սի բաշխում կարող է հաստատվել միայն խոռոչի պա-

տերի և խոռոչում առկա այլ մարմինների կողմից ֆո-

տոնների կլանմամբ և արձակմամբ: Այդ պրոցեսում, ե-

րբ մի ֆոտոնը փոխակերպվում է մեկ ուրիշ ֆոտոնի,

փոխվում են նաև նրանց հաճախությունները:

Այժմ ենթադրենք, թե խոռոչի յուրաքանչյուր միա-

վոր ծավալում, հաճախություն-ների ,v v dv+ միջա-

կայքում (կամ, համապատասխանաբար, էներգիանե-

րի ,ε dε ε+ ընդգրկույթում) ֆոտոնների տարբեր

քվանտային վիճակների թիվը dΩ է, որտեղ ( )εΩ = Ω -

ը տրված ε էներգիայով վիճակների թիվն է կամ, այս-

պես կոչված, վիճակագրական կշիռը, այնպես որ

( ) :d dε εΩ = Ω Դիցուք՝ ֆոտոնների միջին թիվը յուրա-

քանչյուր էներգիական վիճակում, այսինքն՝ ֆոտոննե-

րի բաշխման ֆունկցիան ( )f n ε= է: Այդ դեպքում ε և

dε ε+ ընդգրկույթում էներգիա ունեցող ֆոտոնների

միջին թիվը, համաձայն (3.15)-ի, հավասար կլինի՝ :dn fd= Ω

Մեր նպատակն է՝ որոշել խոռոչում ֆոտոնների

լրիվ էներգիան (յուրաքանչյուր միավոր ծավալում):

Ֆոտոնային գազի քիմիական պոտենցիալը զրո է

[20], հետևաբար, ըստ վիճակների էներգիաների,

130

Բոզե-Այնշտայնի բաշխման օրենքն այդ գազի համար

կարտահայտվի հետևյալ բանաձևով՝

1( ) :1kT

ne

εε =−

Հաշվի առնելով, որ ,hvε = ապա վերջին առնչու-

թյունը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով՝

1( ) :1

hvkT

n ve

=−

Սա էլ հենց Պլանկի բաշխման բանաձևն է լույսի

քվանտների (ֆոտոնների) համար:

Ֆոտոնի իմպուլսը՝ ,hvpc

= և եթե հաշվի առնենք

p իմպուլսով ֆոտոնների բևեռացման երկու ուղղու-

թյուններն էլ, ապա, ինչպես հետևում է (3.14) բա-

նաձևից, խոռոչի միավոր ծավալում, v -ից v dv+

հաճախությունների միջակայքին համապատասխա-

նող p իմպուլսով վիճակների վիճակագրական կշիռը՝ 2

3

2 4( ) ,v dvd v dvcπ⋅Ω = Ω =

իսկ ֆոտոնների միջին թիվը՝ 2

3

8 1( ) :1

hvkT

v dvdn vc

e

π=−

131

Հետևաբար, ,v v dv+ հաճախությունների միջա-

կայքում հավասարակշիռ ճառագայթման էներգիան՝ 3

3

8( , ) ( , ) ,1

hvkT

hv dvdE v T hv dn v Tc

e

π= ⋅ =−

որտեղից հետևում է, որ ֆոտոնային գազի լրիվ էներ-

գիան՝ 3

30 0

8( ) ( , ) :1

hvkT

h v dvE T dE v T dvc

e

π∞ ∞

= =−

∫ ∫

Վերոգրյալ արտահայտության աջ մասի ինտե-

գրալը հաշվելու համար կատարենք փոփոխականի

փոխարինում՝ ,hv xkT

= որտեղից՝ ,kTv xh

= :kTdv dxh

=

Հետևաբար՝ 4 3

30

8( )1x

h kT x dxE Tc h eπ ∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ∫ :

11xe −

-ը ձևափոխենք՝ համարիչը և հայտարարը բազ-

մապատկելով xe− -ով. կունենանք՝ 1 :1 1

x

x x

ee e

−

−=− −

Քա-

նի որ, ինչպես հաշվարկն է ցույց տալիս, 1x > , ապա

ստացված կոտորակը ∺ ,xe− 2 ,xe− K անվերջ նվազող

երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է՝

132

2 :1

xx x

x

e e ee

−− −

− = + +−

L

Այսպիսով, ֆոտոնյան գազի լրիվ էներգիան

կորոշվի հետևյալ արտահայտությամբ՝ 4

3 23

0

8( ) ( ) :x xh kTE T x e e dxc hπ ∞

− −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ L

Ինտեգրալի ներսում բացելով փակագծերը և կա-

տարելով մասերով ինտեգրում՝ կստանանք՝ 4

3 4 4

8( 1 1! 1) 3 :2 3

h kTE Tc hπ ⎛ ⎞= ⋅ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

⎝⎟

⎝ ⎠ ⎠⎜ L

Արդեն նկատեցիք, որ փակագծերի ներսում մեզ

ծանոթ հակադարձ 4-րդ աստիճանների շարքի գու-

մարն է, որը, համաձայն (2.36) բանաձևի, հավասար է՝ 4

4 4

1 11 :2 3 90

π+ + + =L

Հետևաբար, ֆոտոնային գազի էներգիան խոռոչի

միավոր ծավալում հավասար է` 5 4

43 3

8( ) ,15

kE T Th c

π ⋅= ⋅

որն արտահայտում է ջերմային ճառագայթման հա-

մար Ստեֆան-Բոլցմանի օրենքը՝ 4( ) ,E T Tσ=

133

որտեղ σ հաստատունը (Ստեֆան-Բոլցմանի հաստա-

տուն) հավասար է՝ 5 4

163 3 3 4

8 7,54 10 :15

kh c

πσ −⋅= ⋅ = ⋅⋅æ

Ù Î

12բ. Էլեկտրոնային գազ

Այժմ դիտարկենք համակարգ՝ բաղկացած իրար

հետ չփոխազդող N ֆերմիոններից (օրինակ՝ էլեկտ-

րոններից), որոնցից յուրաքանչյուրի սպինը 2h է:

Այդպիսի համակարգն անվանում են իդեալական ֆեր-

մի-գազ:

Իդեալական ֆերմի-գազի օրինակ կարելի է հա-

մարել էլեկտրոնային գազը մետաղներում, շատ ցածր

(զրոյին մոտ) ջերմաստիճաններում:

Էլեկտրոնները մետաղի ամբողջ ծավալով բաշխ-

ված են հավասարաչափ, և քանի որ էլեկտրոնների թի-

վը սաստիկ մեծ է, ապա, բնականաբար, էլեկտրոնների

համակարգի էներգիայի մակարդակներն առաջաց-

նում են գրեթե անընդհատ սպեկտր: Այն էլեկտրոնի

վիճակների թիվը, որի էներգիաներն ընկած են ,ε

dε ε+ ընդգրկույթում, կարելի է որոշել (3.14) առնչու-

թյունից՝ աջ մասը բազմապատկելով 2-ով (քանի որ է-

134

ներգիայի յուրաքանչյուր մակարդակում միաժամա-

նակ կարող են գտնվել ոչ ավելի, քան երկու էլեկտրոն-

ներ՝ սպինների հակադիր կողմնորոշումներով), և p -ն

արտահայտելով էլեկտրոնի ε կինետիկ էներգիայի

միջոցով. 23

42 ,d p dphπΩ = ⋅ իսկ

2

2 :2p p mm

ε ε= ⇒ = Հե-

տևաբար՝ 2 ,2 2

mddpmεε

= այնպես որ

3 2

2

24 :md V dh

π ε ε⎛ ⎞Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Էլեկտրոնների բաշխման ֆունկցիան որոշվում է Ֆեր-

մի-Դիրակի բանաձևով՝

1 ,1kT

fe

ε μ−=+

հետևաբար, ,ε dε ε+ ընդգրկույթում էներգիա ունե-

ցող էլեկտրոնների միջին թիվը՝

3 2

2

24 :1kT

m ddn fd Vh

eε με επ −

⎛ ⎞= Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠ +

(3.17)

Այսպիսով, էլեկտրոնային գազում էլեկտրոնների լրիվ

թիվը՝ 3 2

20

24 :1kT

m dN Vh

eε με επ

∞

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ +

∫ (3.18)

135

Հաշվելով ինտեգրալը՝ կարող ենք որոշել μ քի-

միական պոտենցիալը:

(3.18) առնչության մեջ աջ մասի ինտեգրալը նշա-

նակելով J -ով՝ 1 2

0

,1kT

dJe

ε με ε∞

−=+

∫ (3.19)

էլեկտրոնային գազում էլեկտրոնների լրիվ թվի

որոշման բանաձևը կարտահայտվի 3 2

2

24 mN V Jh

π ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.20)

հավասարությամբ:

Հաշվենք J -ով նշանակված (3.19) ինտեգրալը:

Կատարենք փոփոխականի փոխարինում՝ նշանակե-

լով :xkT

ε μ− = Այդ դեպքում՝ kTxε μ= + և :d kTdxε =

Երբ 0,ε = ապա ,xkTμ= − իսկ ε = ∞ դեպքում x -ը

նույնպես հավասար է անվերջի՝ ,x = ∞ ուստի՝ 1 2

( ) :1x

kT

kTxJ kT dxeμ

μ∞

−

+=+∫

Վերոգրյալ հավասարության աջ կողմի ինտե-

գրալը կարելի է ձևափոխել մասերով ինտեգրման

136

միջոցով: Դրա համար կատարենք հետևյալ նշանա-

կումները՝

1 ,1xu

e=

+ 2 ,

( 1)

x

x

e dxdue

= −+

1 2( )d kTx dxμ= +v

1 2 1 21( ) ( ) ( )kTx dx kTx d kTxkT

μ μ μ= + = + + =∫ ∫v

3 21 2 ( ) :3

kTxkT

μ= ⋅ +

Հետևաբար, օգտվելով մասերով ինտեգրման b b

ba

a a

ud u du= −∫ ∫v v v բանաձևից, կարող ենք գրել՝

3 23 2

2

1 2 1 1 2 ( )( ) :3 1 3 ( 1)

x

kTx xkT

kTx e dxJ kT kTxkT e kT eμ

μ

μμ∞

∞−

−

⎡ ⎤+= ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Քանի որ այս հավասարության աջ մասի առաջին

գումարելին ինտեգրման և´ վերին, և´ ստորին սահ-

մանների դեպքում, հավասար է զրոյի, ապա

3 22

2 ( ) :3 ( 1)

x

xkT

eJ kTx dxeμ

μ∞

−

= ++∫ (3.21)

Համոզվենք, որ 2( )( 1)

x

x

ef xe

=+

ֆունկցիան զույգ է:

Իրոք.

137

22 2

1

( ) ( ) :( 1) ( 1)1 1

x xx

x x

x

e eef x f xe e

e

−

−− = = = =+ +⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

Բացի այդ, ( )f x -ը ցուցչայնորեն նվազում է, երբ

x -ն աճում է բացարձակ արժեքով: Քանի որ ըստ

պայմանի 1,kTμ >> ապա 0,f f

kT kTμ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ուստի

(3.21)-ում ինտեգրման ստորին սահմանը կարելի է փոխարինել ( )−∞ -ով: Ի հետևանս ( )f x -ի արագ նվազ-

ման, երբ x -ն աճում է, ինտեգրալի արժեքը (3.21)

հավասարության մեջ որոշվում է միայն x -ի փոքր արժեքներով: Հետևաբար՝ ենթինտեգրալային արտա-հայտության երկրորդ բազմապատկիչը՝

3 2( ) ( )x kTxϕ μ= + -ը,

կարելի է վերածել x -ի աստիճաններով Թեյլոր-Մակ-

լորենի շարքի՝ սահմանափակ-վելով միայն վերլու-

ծության առաջին մի քանի անդամներով՝

21( ) (0) (0) (0) :2

x x xϕ ϕ ϕ ϕ′ ′′= + ⋅ + ⋅ +L (3.22)

Հաշվելով (3.22) աստիճանային շարքի թվային

գործակիցները և ստացված արժեքները հաշվի առնե-

լով՝ ( )xϕ -ի վերլուծությունը կարելի է ներկայացնել

հետևյալ կերպ՝

138

23 2 23 3( ) 1 :

2 8kT kTx x xϕ μμ μ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

L (3.23)

Հետևաբար՝ (3.21)-ից, հաշվի առնելով (3.23)-ը,

կստանանք.

2 23 2

2 2

2

3( 1) 2 ( 1)2 :

3 34 ( 1)

x x

x x

x

x

e kT xedx dxe e

JkT x e dx

e

μμ

μ

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥+ +⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ L

(3.24)

Առանձին-առանձին հաշվենք (3.24) հավասարության

աջ մասի ինտեգրալները:

Առաջին ինտեգրալը՝

2

1 1:( 1) 1

x

x x

e dxe e

∞+∞−∞

−∞

= − =+ +∫

Երկրորդ ինտեգրալի ներսում ենթինտեգրալային

ֆունկցիան կենտ է, ուստի՝

2 0 :( 1)

x

x

xe dxe

∞

−∞

=+∫

Օգտվելով Նյուտոնի երկանդամի վերլուծության

բանաձևից [10, բանաձև 9.06]՝ 2 2 3 4(1 ) 1 2 3 4 5 ,z z z z z−+ = − + − + −L երբ 1,z <

2( 1)

x

x

ee +

արտահայտությունը կարելի է ներկայացնել

139

հետևյալ կերպ (համարիչը և հայտարարը նախապես

բազմապատկելով 2 xe− -ով)՝ 2

22 2 2 2 (1 )

( 1) ( 1) (1 )

x x x xx x

x x x x

e e e e e ee e e e

− −− − −

− −

⋅= = = + =+ + ⋅ +

2 2 3(1 2 3 ) 2 3 :x x x x x xe e e e e e− − − − − −= − + − = − + −L L

Երրորդ ինտեգրալի ներսում ենթինտեգրալային

ֆունկցիան զույգ է, այդ պատճառով 2 2

2 2 32 2

0 0

2 : 2 ( 2 3 )( 1) ( 1)

x xx x x

x x

x e x edx dx x e e e dxe e

∞ ∞ ∞− − −

−∞

= = − + − =+ +∫ ∫ ∫ L

2 2 2 2 3

0 0 0

2 2 3x x xx e dx x e dx x e dx∞ ∞ ∞

− − −⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ L :

Փակագծերի ներսում ինտեգրալները հաշվելու

համար օգտվենք մասերով ինտեգրման բանաձևից

(տե´ս վերը): Կստանանք.

2 20

0 0 0

2 2x x x xx e dx x e e xdx xe dx∞ ∞ ∞

− − ∞ − −= − + ⋅ = =∫ ∫ ∫

0 00 0

2 2 2 2 :x x x xxe e dx e dx e∞ ∞

− ∞ − − − ∞⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Երկրորդ ինտեգրալը հաշվելու համար նախա-

պես կատարենք փոփոխականի փոխարինում` 2 ,x y=

և արդյունքում կունենանք՝

140

2 2

0

1 :4

xx e dx∞

− =∫

Նշանակելով 3 ,x z= հանգույն ձևով կստանանք

երրորդ ինտեգրալի արժեքը՝

2 3

0

2 :27

xx e dx∞

− =∫

Այսպիսով՝ 2

2

1 22 2 2 3( 1) 4 27

x

x

x e dxe

∞

−∞

⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅ − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ L

2 2 2

1 1 1 1 1 14 1 4 1 :4 9 16 2 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L

Փակագծերի ներսի արտահայտությունը ոչ այլ-

ինչ է, եթե ոչ հակադարձ քառակուսիների նշանափոխ

շարքը, որի գումարը, համաձայն (2.29) բանաձևի,

հավասար է՝ 2

2 2 2

1 1 11 ,2 3 4 12

π− + − + =L

այսինքն՝ 2 2 2

2 4 :( 1) 12 3

x

x

x e dxe

π π∞

−∞

= ⋅ =+∫

Հետևաբար, (3.24) արտահայտության փոխարեն

կունենանք՝

141

2 22 23 2 3 22 3 21 1 ,

3 8 3 3 8kT kTJ π πμ μμ μ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

որը տեղադրելով (3.18) արտահայտության մեջ, վերջ-

նականապես կստանանք էլեկտրոնների լրիվ թիվը V

ծավալում՝ 23 2 2

3 22

2 24 1 ,3 8

m kTN Vh

ππ μμ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞≈ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.25)

որտեղից էլեկտրոնների թիվը միավոր ծավալում՝ 23 2 2

3 22

8 2 1 :3 8

N m kTnV h

π πμμ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= ≈ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.26)

Նշանակելով 0T K= բացարձակ ջերմաստիճա-

նում քիմիական պոտենցիալի արժեքը 0μ -ով՝ կարող

ենք գրել՝ 3 2

3 202

8 2 ,3

mnh

π μ⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.27)

որտեղից՝ 2 32

03 :

2 8h nm

μπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.28)

Վիճակագրական ֆիզիկայում ցույց է տրվում, որ

0μ -ի վերոգրյալ արժեքը ճշգրտորեն հավասար է բա-

ցարձակ 0 ջերմաստիճանում այն առավելագույն maxε

142

էներգիային, որ կարող է ունենալ էլեկտրոնը՝

0 max :μ ε= Բացի այդ, ապացուցվում է նաև, որ մե-

տաղներում (և, ընդհանրապես, բյուրեղներում) μ -ն

շատ թույլ է կախված ջերմաստիճանից, այնպես որ

մետաղներում, բոլոր ջերմաստիճաններում, մեծ ճըշ-

գրտությամբ կարելի է μ -ն համարել հավասար 0μ -ի՝

0 :μ μ= Ուստի մեծ սխալ չենք գործի, եթե (3.26) հա-

վասարության աջ մասի քառակուսային փակագծերի

ներսում μ -ի փոխարեն վերցնենք 0μ և, այնուհետև,

լուծենք ստացված հավասարումն այն μ -ի նկատ-

մամբ, որը գրված է փակագծերի առջևում: Արդյուն-

քում կստանանք՝ 2 322 32 2

0

3 1 :2 8 8h n kTm

πμπ μ

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.29)

(3.29) հավասարության աջ մասի քառակուսային

փակագծերի ներսում կատարենք նշանակում՝ 22

0

,8

kT xπμ

⎛ ⎞≡⎜ ⎟

⎝ ⎠

ինչի շնորհիվ քառակուսային փակագիծը կհանգեցվի 2 3(1 )x −+ տեսքի արտահայտության:

143

Քանի որ, ըստ պայմանի, T -ն շատ փոքր է, ապա

կարելի է համարել 1x << և ստացված արտահայ-

տությունը վերլուծել շարքի՝ սահմանափակվելով ա-

ռաջին երկու անդամներով՝

2 3 2(1 ) 1 :3

x x−+ ≈ −

Հետևաբար՝ 22 2

0

3 1 :2 8 12h n kTm

πμπ μ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Նկատի ունենալով (3.28)-ը՝ μ -ի համար վերջ-

նականապես կստանանք հետևյալ բանաձևը՝ 22

00

1 :12

kTπμ μμ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.30)

Էլեկտրոնային գազի E էներգիան հաշվելու հա-

մար նկատենք, որ ,dE dndVε= ուստի 3 2 3 23 2

2 20

2 24 4 ,1kT

m d mE V V Ih h

eε μ

ε επ π∞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

∫ (3.31)

որտեղ 3 2

0

:1kT

dIe

ε με ε∞

−=+

∫

I -ով նշանակված ինտեգրալը հաշվվում է նույն

կերպ, ինչ J -ով նշանակվածը, և արդյունքում ստա-

նում ենք՝

144

25 2 2

0

2 51 ,5 8

kTI μ πμ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

որտեղ միայն փակագծերի ներսում μ -ն փոխարին-

ված է 0μ -ով (չէ՞ որ էլեկտրոնային գազի ջերմաստի-

ճանը շատ ցածր է, և կատարված սխալը կլինի ան-

նշան): Հետևաբար, (3.31) առնչությունից արդեն կարող

ենք որոշել էլեկտրոնային գազի E էներգիան՝ նկատի

ունենալով μ -ի ջերմաստիճանային կախումն արտա-

հայտող (3.30) բանաձևը՝ 5 22 23 2 2 2

5 202

0 0

8 2 51 1 :5 12 8

m kT kTE Vh

π π πμμ μ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.32)

Ստացված արտահայտության աջ մասի երկրորդ

փակագիծը վերլուծենք բինոմական շարքի՝ պահելով

միայն առաջին երկու անդամները՝ 5 22 22 2

0 0

51 1 :12 24

kT kTπ πμ μ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− ≈ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Բացի այդ, (3.28)-ից ունենք՝ 3 2

3 202

2 3 :8

m Nh V

μπ

−⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Նկատի ունենալով վերջին երկու հավասարու-

թյունները՝ (3.32) առնչությունից կարող ենք որոշել

145

էլեկտրոնային գազի մեկ մասնիկին ընկնող E միջին

էներգիան՝ 2

20

0

3 51 :5 12

E kTEN

μ πμ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ≈ + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Նրանց համար,

ովքեր ուզում են իմանալ ավելին

Էլեկտրոնային գազի ջերմունակությունը հաս-

տատուն ծավալի դեպքում համեմատական է բա-

ցարձակ T ջերմաստիճանին: Իրոք՝

2

0

1 :2V

E kTC NkT

πμ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠�É

Քանի որ մետաղի բյուրեղացանցի ջերմունա-

կությունը ցածր ջերմաստիճաններում համեմատա-

կան է բացարձակ ջերմաստիճանի խորանարդին,

ապա ցածր ջերմաստիճանային ընդգրկույթում, ջերմ-

աստիճանի նվազման հետ մեկտեղ աճում է էլեկ-

տրոնային գազի ջերմունակության դերը: Բարձր ջերմ-

աստիճաններում բյուրեղացանցի ջերմունակությունը,

հասնելով իր սահմանային արժեքին ( )3 ,C Nk=μÛáõñ»Õ

դադարում է փոփոխվել, իսկ էլեկտրոնային գազի

146

ջերմունակությունը շարունակում է աճել, այնպես որ 2

6C kT

Cπ

μ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

�É

μÛáõñ»Õ

հարաբերությունը աճում է ջերմաստիճանի բարձ-

րացմամբ (հաշվի ենք առել, որ բարձր ջերմաստի-

ճաններում 0μ μ≠ ):

Օրինակ, նատրիումի ( )Na համար, երբ

1000T = Կ, 2 12

12

0,138 10 0,045,6 5,05 10

CC

π −

−

⋅≈ ⋅ =⋅

�É

μÛáõñ»Õ

այսինքն՝ էլեկտրոնային գազի ջերմունակությունը

բյուրեղացանցի ջերմունա-կության ընդամենը 5%-ն է:

147

ՎԵՐՋԱԲԱՆ

Իհարկե, ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի կապերն

ավելի լայն են, քան միայն գումարների հաշվմամբ ֆի-

զիկայի մի շարք հարցերի և խնդիրների լուծումն է:

Անտարակույս է, որ այնպիսի հասկացություններ, ինչ-

պիսիք են, օրինակ, ակնթարթային արագությունը, ա-

րագացումը, հոսանքի ուժը, վեկտորի հոսքը որևէ մա-

կերևույթով և շատ ուրիշ ֆիզիկական մեծություններ ֆի-

զիկայի տարբեր բաժիններից, հնարավոր չէ ճշգրիտ

սահմանել առանց բարձրագույն մաթեմատիկայի լեզվի

օգտագործման և, առհասարակ, ֆիզիկան պատկերաց-

նել առանց մաթեմատիկայի՝ անհեթեթություն է: Այդու-

հանդերձ՝ ֆիզիկան մաթեմատիկա չէ. ֆիզիկայում գլ-

խավորը ոչ թե բանաձևերն են, այլ դրանց մեկնաբա-

նումը և հասկացումը: Բացի այդ, ինչպես նշվեց նախա-

բանում, ֆիզիկան զարգանում է ոչ թե մաթեմատիկա-

կան տրամաբանության, այլ ֆիզիկական ներըմբռնողու-

թյան շնորհիվ, իսկ այդ երկուսի միասնությունը ոչ այ-

լինչ է, եթե ոչ մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի առավել խոր

միջառարկայական կապերի իրականացում:

148

Հեղինակների նպատակն է եղել ցույց տալ, որ ֆի-

զիկայի դասընթացը պետք է բաց լինի մնացյալ ուսում-

նական առարկաների, առաջին հերթին՝ մաթեմատի-

կայի համար: Ապագա ֆիզիկոսը չպետք է ամփոփվի

լոկ ֆիզիկայի հիմնախնդիրների մեջ. շնորհիվ միջա-

ռարկայական փոխներթափանցումների նա պետք է

յուրացնի այն բոլոր ոչ ֆիզիկական առարկաները, ա-

ռանց որոնց, ինչպես կարծում ենք, հնարավոր չէ խո-

րությամբ հասկանալ ֆիզիկան:

Չենք կասկածում, որ ընթերցողը, կարդալով իրեն

հասցեագրված այս գիրքը, կկարողանա տեսնել այն

գեղեցիկը, որ իրենց մեջ թաքցնում են իրար միահյուս-

ված մաթեմատիկան և ֆիզիկան և ընկալել իրեն մա-

տուցված նյութը: Այդպիսի ընթերցողին կարելի է հա-

մարել մտավոր կերտվածքով անձնավորություն, ով

ունակ է հաղթահարելու նաև կյանքում իր առաջընթա-

ցը խոչընդոտող ցանկացած արգելք: Հենց նրան էլ վե-

րաբերում է ժողովրդական այն խոսքը, որ «իսկական

հերոսները սիրում են դժվարություններ»: Հեղինակ-

ներն իրենց երախտագիտությունն են հայտնում նման

ընթերցողներին, որոնց մեծ մասը, հավանաբար, ավագ

դպրոցի հոսքային ուսուցմամբ դասարաններից է, կամ

էլ առաջին-երկրորդ կուրսերի ուսանող: Այդ ընթեր-

149

ցողների համար մաթեմատիկան միշտ եղել է բնու-

թյան երևույթները հասկանալու միակ ճշգրիտ և գեղե-

ցիկ լեզուն, իրենց մտքերի արտահայտման և մտածո-

ղության լեզուն: Սիրե´ք մաթեմատիկան, և այդ սերը

կդառնա փոխադարձ, ի հետևանս որի ֆիզիկան, այ-

սինքն՝ բնությունը, իր դռները լայնորեն կբացի ձեր ա-

ռջև: Եվ ամենաբարձրյալ մաթեմատիկան կօգնի ձեզ:

150

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Пойа Д. Математическое открытие: М., «Наука», 1970, 452 с. 2. Бенджамин А. Магия математики: М., «Альпина Паб-

лишер», 2016, 342 с. 3. Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О ма-

тематической индукции: М., «Наука», 1967, 144 с. 4. Сивашинский И.Х. Теоремы и задачи по алгебре и

элементарным функциям: М., «Наука», 1971, 368 с. 5. Ղազարյան Է. Պարզ ֆիզիկան բարդ երևույթներում, Եր.,

«Էդիթ Պրինտ», 2009, 272 էջ: 6. Маркушевич А.И. Ряды. Элементарный очерк: М.,

«Наука», 1979, 192 с. 7. Воробьев Н.Н. Теория рядов. Учеб. пособие для студентов

ВТУЗ-ов: М., «Наука», 1975, 368 с. 8. Кречмар В.А. Задачник по алгебре: М., «Наука», 1964, 388 с. 9. Митропольский А.К. Краткие математические таблицы:

М., «Наука», 1968. 10. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические

формулы: М., «Наука», 1973, 288 с. 11. Ֆեյնման Ռ. Ֆիզիկական օրենքների բնույթը, Եր.,

«Հայաստան» հրատարակչություն, 1975, 276 էջ: 12. Ղազարյան Է., Կիրակոսյան Ա., Մելիքյան Գ., Մամյան

Ա., Մայիլյան Ս. Ֆիզիկա-10: Ավագ դպրոցի 10-րդ դա-սարանի դասագիրք ընդհանուր և բնագիտամաթեմա-տիկական հոսքերի համար, Եր., «Էդիթ Պրինտ», 2010, 272 էջ:

151

13. Ղազարյան Է. Դպրոցական ֆիզիկայի դասավանդման մեթոդիկայի ընտրովի հարցեր, Եր., «Էդիթ Պրինտ», 2009, 308 էջ:

14. Ղազարյան Է., Կիրակոսյան Ա., Մելիքյան Գ., Մամյան Ա., Մայիլյան Ս. Ֆիզիկա-11: Ավագ դպրոցի 11-րդ դա-սարանի դասագիրք ընդհանուր և բնագիտամաթեմա-տիկական հոսքերի համար, Եր., «Էդիթ Պրինտ», 2010, 368 էջ:

15. Ղազարյան Է., Կիրակոսյան Ա., Մելիքյան Գ., Մամյան Ա., Մայիլյան Ս. Ֆիզիկա-12: Ավագ դպրոցի 12-րդ դա-սարանի դասագիրք ընդհանուր և բնագիտամաթեմա-տիկական հոսքերի համար, Եր., «Էդիթ Պրինտ», 2011, 264 էջ:

16. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М., «Педагогика», 1989.

17. Аль-Халили Джим. Парадокс. Девять великих загадок физики: СПб, «Питер», 2017, 288 с.

18. Чернин А.Д. Физика времени: М., «Наука», 1987, 224 с. (Бчка «Квант», Вып. 59.)

19. Астахов А.В., Широков Ю.М. Курс физики, т. 3: Кван-товая физика, М., «Наука», 1983, 240 с.

20. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М., «Наука», 1977, 552 с.

21. Кожеуров В.А. Статистическая термодинамика. М., «Металлургия», 1975, 176 с.

152

Էդուարդ Ղազարյան, Սոս Մայիլյան

ՖԻԶԻԿԱ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ (ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ ԿԱՊԵՐ)

ՌՀՀ Հրատարակչության գլ.խմբագիր – Մ.Է. Ավագյան Հրատարակչության խմբագիր – Է.Ա․ Ռուխկյան Համակարգչային էջադրում – Ա.Գ. Անտոնյան

Адрес Редакции научных изданий Российско-Армянского университета: 0051, г. Ереван, ул. ОвсепаЭмина, 123

тел.⁄факс: (+374 10) 27–70–52, (внутр. 42–02) е-mail: redaction@gmail.com

Заказ № 4 Подписано к печати 19.03.2018г.

Формат 60х70 1/16. Бумага офсетная № 1. Объем 9.5 усл. п.л. Тираж 200 экз