О.С. Істер

АЛГЕБРА 8 КЛАС

ВПРАВИ САМОСТІЙНІ РОБОТИ

ТЕМАТИЧНІ КОНТРОЛЬНІ РОБОТИЗАВДАННЯ ДЛЯ ЕКСПРЕС-КОНТРОЛЮ

Видання п’яте

ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН

ББК 22.1я72 І-89

Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

ISBN 978-966-10-5197-2 © Навчальнакнига–Богдан,2018

Істер О.С.І-89 Алгебра.8клас:Вправи.Самостійніроботи.Тематичніконтрольні

роботи. Завданнядля експрес-контролю.Вид5-е.—Тернопіль:На-вчальнакнига–Богдан,2018.—200с. ISBN978-966-10-5197-2

У посібнику запропонована повна добірка матеріалів з алгебри 8-го класу відповідно до оновленої шкільної програми 2017 року: вправи, рівневі самостійні роботи, тематичні контрольні роботи та завдання для експрес-контролю знань.

Призначений для вчителів, методистів та учнів загальноосвітніх навчальних закладів.

ББК 22.1я72

П Е Р Е Д М О В АПосібник містить дидактичні матеріали з курсу алгебри 8-го класу

відповідно до оновленої програми 2017 року: 814 вправ, 13 рівневих самостійних робіт, кожна з яких подана у шести варіантах (три рівні по два рівноцінні варіанти); 7 тематичних контрольних робіт, кожна з яких подана у двох рівноцінних варіантах та 6 наборів завдань для про-ведення рівневого експрес-контролю знань (кожен у двох варіантах).

Назви розділів та пунктів посібника відповідають назвам тем програми, тому посібник легко адаптується до чинних в Україні під-ручників. Для зручності користування посібником у назві кожної самостійної роботи, тематичної контрольної роботи чи завдання для експрес-контролю знань відбито їхню тематику. В кінці посібника наведено відповіді та вказівки до більшості вправ. До самостійних, тематичних контрольних робіт та завдань для експрес-контролю знань відповіді відсутні. Тому вчитель, придбавши посібник на весь клас (або один примірник на парту), може використовувати його під час будь-якого уроку (закріплення нових знань, перевірки знань, експрес-контролю знань тощо).

Нижче розглянемо деякі особливості посібника та роботи з ним.1. Вправи. Посібник містить вправи для класних і домашніх ро-

біт. Вправи, рекомендовані для домашнього виконання, відзначені (номери вправ подані на темному фоні). Задачі, позначені кружеч-ком (°), відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень; задачі без цієї позначки — достатньому та високому рів-ням навчальних досягнень. Достатня кількість вправ дасть змогу вчителю використовувати посібник практично на кожному уроці та давати по ньому домашні завдання. Автор вирішив включити у по-сібник вправи на теми «Множина. Підмножина. Числові множини» та «Теорема, обернена до теореми Вієта», яку було вилучено під час розвантаження програми, та пропонує ці вправи розглянути на фа-культативних та додаткових заняттях.

2. Самостійні роботи. У посібнику подано добірку рівневих са-мостійних робіт. Вони позначені літерою С з відповідним номером.

4 Передмова Передмова 5

Після номера вказано одну з літер А, Б або В (наприклад, С-2Б) від-повідно до рівня цієї роботи:

А ― самостійна робота, що відповідає початковому та середньому рівням навчальних досягнень;

Б ― самостійна робота, що відповідає достатньому рівню навчаль-них досягнень;

В ― самостійна робота, що відповідає високому рівню навчальних досягнень.

Для кожного рівня подано два рівноцінні варіанти. Кожна само-стійна робота містить три завдання і розрахована на 15–25 хв (за-лежно від теми). Самостійні роботи мають, як правило, навчальний характер і не призначені для оцінювання знань учнів. Якщо вчитель захоче оцінити роботу, то кожне завдання рівня А автор пропонує оцінювати у 2 бали, рівня Б — в 3 бали, рівня В — в 4 бали. Таким чином, максимальна оцінка за роботу рівня А — 6 балів, рівня Б — 9 балів, рівня В — 12 балів. Під час оцінювання кожного завдання вчитель може застосовувати систему, що подана нижче (для оціню-вання тематичної контрольної роботи). Рівень самостійної роботи, що виконує учень, як правило, визначає вчитель.

3. Тематичні контрольні роботи (надалі — ТКР). Кожна ТКР містить як завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень (вони позначені кружечками), так і за-вдання, що відповідають достатньому та високому рівням навчаль-них досягнень. Усі завдання оцінено в балах таким чином, що мак-симальна оцінка за ТКР дорівнює 12 балам. Кожна ТКР розрахована на один урок (45 хв). Звичайно, вчитель може збільшити або змен-шити як кількість ТКР, так і кількість завдань у кожній ТКР, змі-нивши при цьому оцінювання в балах таким чином, щоб сума балів дорівнювала 12.

Автор пропонує на першому етапі вести оцінювання кожного за-вдання у звичній для вчителя математики системі «плюс-мінус»:

«+» (плюс) — учень повністю розв’язав вправу;«±» (плюс-мінус) — хід розв’язування вправи правильний, але до-

пущено помилки логічного або обчислювального характеру, які при-вели до неправильної відповіді;

« » (мінус-плюс) — завдання не закінчено, але учень суттєво набли-зився до повного розв’язання, виконавши не менше його половини;

«–» (мінус) — учень почав розв’язувати правильно (наприклад, зробив малюнок, записав фрагмент розв’язання), але виконав за-вдання менше ніж наполовину;

«0» (нуль) — учень не починав завдання або почав неправильно.На другому етапі вчитель переводить оцінку із системи «плюс-

мінус» у бали. Пропонується наступна шкала.

Максимальний бал за завдання

Оцінки в системі “плюс-мінус”.Переведення в бали

+ ± –1 1 0,5 0,5 02 2 1,5 1 0,53 3 2–2,5 1–1,5 0,54 4 3 2 1

Безумовно, вчитель може використовувати більш просту, інтуї-тивно зрозумілу для учнів, систему оцінювання кожного завдання: якщо учень отримав правильну відповідь та навів повне її обґрунту-вання, то завдання оцінюється максимальною кількістю балів; якщо ж учень навів окремі етапи правильного розв’язання завдання, ― то кількістю балів, меншою від максимально можливої за це завдання.

Природним є те, що оцінкою роботи є сума балів, отримана учнем за виконання кожного завдання окремо. Якщо сумою є неціле число (а саме — це число має п’ять десятих), то користуємося звичним пра-вилом округлювання (наприклад, 9,5 ≈ 10).

4. Завдання для експрес-контролю (надалі — ЕК). Якщо учень пропустив урок, на якому проводилася ТКР, йому можна запропо-нувати рівневі завдання для ЕК. Автор пропонує вчителю спочатку визначити середню поточну оцінку учня, яка враховує відповіді біля дошки, ведення зошита тощо; а потім запропонувати учневі завдан-ня ЕК на один рівень вищий за рівень середньої поточної оцінки. Кожен із рівнів, що відповідає рівням навчальних досягнень (серед-ньому, достатньому та високому), містить завдання, сума балів яких дорівнює 3. Кожне завдання вчитель оцінює у системі «плюс-мінус», а потім переводить в бали (див. таблицю вище).

Якщо під час ЕК учень бездоганно виконав завдання середнього чи достатнього рівня, то вчитель може запропонувати йому завдання більш високого рівня.

Сума середньої поточної оцінки та балів, набраних під час ЕК, може враховуватися вчителем при виставленні оцінки за тему як оцінка, отримана іншими учнями під час ТКР або якимось іншим чином на розсуд учителя.

П Е Р Е Д М О В А Д О Т Р Е Т Ь О Г О В И Д А Н Н Я

З моменту виходу першого видання автор отримав чимало відгу-ків. Деякі з них містили пропозиції, спрямовані на покращення по-сібника. Враховуючи ці поради, автор значно розширив розділ від-повідей та вказівок до вправ. Крім того, в тексті посібника були ви-правлені друкарські та авторські помилки.

Автор щиро дякує всім своїм учням та, особливо, своєму синові Дмитру Істеру, які брали участь в апробації першого видання посіб-ника.

Друге видання посібника перероблено відповідно до чинної, на той момент, програми, у третє видання автор уніс правки до деяких завдань.

П Е Р Е Д М О В А Д О Ч Е Т В Е Р Т О Г О В И Д А Н Н Я

Четверте видання посібника перероблено відповідно до нової програми з математики 2015 року. Крім того, автор удосконалив систематизацію вправ та додав близько 60 нових вправ у порів-нянні з третім виданням посібника. Також було дещо розширено розділ відповідей та вказівок до вправ.

Відвідайте наші сторінки в Інтернеті http://i.com.ua/~ister/ і http://www.bohdan-books.com/

Бажаємо успіхів !

В П Р А В И

I. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС 7 КЛАСУ

Цiлi вирази1°. Спростіть вираз:

1) (3x – 5) + (2 – x); 2) (5m – 10) – (4 – 2m);3) (3x2 – 1) + (2 – 3x – x2); 4) (10n – 12n2) – (n3 – n2 + 6).

2°. Спростіть вираз:1) (7m – 8) + (2m – 4); 2) (5x2 – 2) – (2 – 3x2);3) (4x2 – 2) + (4 – 2x – 4x2); 4) (7 – 4m3) – (2 – 2m – 4m3).

3°. Подайте у вигляді степеня вираз:1) (m2)3; 2) (–x2)4; 3) a3a4;4) ((t 2)3)7; 5) (b8)3 · (b4)7; 6) (a4)8 : (a2)16.

4°. Подайте у вигляді степеня вираз:1) (c4)2; 2) (–m2)3; 3) (–b3) · (–b5);4) ((x3)4)5; 5) (c3)5 · (c2)9; 6) (c3)6 : (c9)2.

5°. Подайте у вигляді многочлена:1) 3m2(2m – 5); 2) –0,4c(5 – 2c);3) 7t(t2 – 2t + 7); 4) (t + 2) (t – 7);5) (5x – 1)(4x + 2); 6) (c – 2)(c2 – 2c + 3).

6°. Спростіть вираз:1) 3(2x – 8) + 4(3 – 4x); 2) 6m(m2 – 3m) – 3m(m2 – 6m);3) (3x – 1)(2x + 7) – 6x2; 4) 12y3 – (4y2 – 2)(3y + 5).

7°. Подайте у вигляді многочлена вираз:1) –8x2(x2 – 7x + 6); 2) (4m – 2)(5m + 3);3) (x – 3)(x2 + 2x – 8); 4) 5y(y2 – 3y) – 3y(y2 – 5y);5) (7y – 2)(8y + 3) – 56y2; 6) 6m4 – (2m – 3)(3m3 + 2).

14 Вправи

63°. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

1) x yx y+ =

− + =

4 73 0

,; 2) 7 2 5

3 2 1x yx y+ =+ =

,;

3) − + =+ =

2 3 195 6 20x yx y

,;

4) 7 3 112 5 9x yx y+ =

− + = −

,.

64. Розв’яжіть систему рівнянь:

1)

13

4

14

2

a b

a b

−( ) =

+( ) =

,

; 2)

m n

m n

−+

−=

−−

−=

24

24

2

23

29

43

,

;

3)

3 15

2 13

25

3 22

34

1

x y

x y

++

−=

−+

−=

,

; 4)

2 4 3 22 5 2 5− = −( )+( ) = +

t zt z t

,, .

65. Розв’яжіть систему рівнянь:

1)

15

2

12

1

m n

m n

+( ) =

−( ) =

,

; 2)

a b

a b

−+

−=

−−

−=

13

13

2

12

16

53

,

;

3)

2 17

2 25

15

3 22

44

4

x y

x y

++

+=

−+

+=

,

; 4)

2 3 2 14 1 5− = −( )+( ) = −

u v ,u v u , .

66. Чи має розв’язки система:

1) 2 3

7 2 54 3 7

x yx yx y

+ =− =+ =

,,; 2)

3 2 52 7 54 9 10

x yx yx y

− =+ = −− =

,,?

67. При яких значеннях a система рівнянь:

1) 2 34 2x yx y a+ =+ =

, має безліч розв’язків;

2) x yx ay+ =+ =

82 10

, не має розв’язків;

3) ax yx y

+ =− = −

2 73 4 14

, має єдиний розв’язок?

ІІ. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Раціональні вирази. Раціональні дроби68°. Які з виразів є цілими, а які — дробовими:

1) 18

2x y; 2) m + 38

; 3) tt+ 2 ; 4) 0;

5) x x2 2 3+ − ; 6) u v w+ −9

; 7) 32 2x y+

; 8) u u+( ) −2

82 ;

9) u t3 512− ; 10) 1

2u uv+?

69°. Із раціональних виразів 5 42a ab− , x8

, 9a

, c c d cd

−( ) − 3,

18

19

2 2x y− , tt +

−8

9 випишіть ті, що є:

1) цілими виразами; 2) дробовими виразами.70°. Знайдіть значення дробу при даних значеннях букв:

1) aa

2 12− , якщо a =

12

; 1; 10; 2) x x2 2 32

+ − , якщо x = 1; 0; – 3.

71°. Знайдіть значення дробів 11−+

xx

і 41x +

при вказа них значеннях x

та заповніть таблицю.x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

11−+

xx

41 + x

16 Вправи ІІ. Раціональні вирази 17

72°. За t год автомобіль проїхав S кілометрів. Виразіть швидкість v (км/год) автомобіля через S і t. Знадіть v, якщо:1) t = 5; S = 300; 2) t = 1,5; S = 75.

73°. При яких значеннях змінної має смисл вираз:

1) 7x2 – x + 2; 2) 2 5xx− ; 3) 9 3

7x − ;

4) 4

113

x −; 5) x

x+−

23

; 6) 412x +

;

7) xx

xx

2 13

−+

−; 8) 8

12

x xx

( );

−+ 9) 1

11

252x x−+

+?

74°. Укажіть допустимі значення змінної x у виразах:

1) 3 73 2x x− + ; 2) 7x

; 3) x + 39

;

4) xx−+

23

; 5) xx x

−−( )27

; 6) 25

34

xx x−

++

.

75°. Чому дорівнює значення дробу x yx y+( ) −

+

2

2 2

1, якщо:

1) x = 1; y = –1; 2) x =112

; y = 0,5?

76°. Знайдіть значення дробу 3 2

2 2

+ −( )+

a ba b

, якщо:

1) а = 5; b = 5; 2) а = 3; b = –4.77°. Складіть дріб:

1) чисельником якого є сума змінних x і y, а знаменником — їхня різниця;2) чисельником якого є добуток змінних a і b, а знаменником — сума їхніх квадратів.

78. З міст A і B назустріч один одному одночасно виїхали два мо-тоциклісти. Відстань між містами A і B становить S кілометрів, швидкості мотоциклістів дорівнюють v1 і v2. Через t годин вони зустрі лися. Виразіть t через S, v1 і v2. Знайдіть зна че н ня t, якщо:1) S = 300; v1 = 55; v2 = 45; 2) S = 240; v1 = 40; v2 = 50.

79. Велосипедист проїхав a км по шосе зі швидкістю 16 км/год та b км по степовій дорозі зі швидкістю 12 км/год. Скільки часу ви-тратив велосипедист на всю дорогу? Складіть вираз і знайдіть його значення, якщо a = 24; b = 3.

80. При якому значенні x значення дробу x − 67

дорівнює:

1) 0; 2) 1; 3) –4; 4) –2?

81. При якому значенні x значення дробу x +15

дорівнює:

1) 0; 2) 2; 3) –3; 4) 7?82. При якому значенні змінної дорівнюють нулю дроби:

1) x − 24

; 2) 3 7xx− ; 3)

x xx−( )+

27

;

4) x x

x−( ) +( )1 2

; 5) 2 23 3

xx−−

; 6) x x

x+( )3

?

83. При якому значенні x дроби дорівнюють нулю:

1) xx

2 255

−−

; 2) xx

+−

4162 ; 3)

xx x

−

+( ) −( )1

1 4; 4)

x xx x

−

−( )5?

84. При якому значенні змінної дорівнюють нулю дроби:

1) 6 3xx+ ; 2)

x xx−( )+

12

; 3) x x

x−( ) +( )

−

1 21

;

4) xx

2 11

−−

; 5) x

x x−

+( )55

; 6) x x

x+( ) +( )

−

2 32

?

85. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

1) 942x −

; 2) xx −1

; 3) 95

xx +

;

4) 5

1 1x

x−

; 5) 7

1 1+

x

; 6) 922x x−

;

7) 142x −

; 8) 51 2

xx− −

; 9) 4

1 1−

x

.

Самостійні роботи 123

С А М О С Т І Й Н І Р О Б О Т ИС–1. Повторення матеріалу за курс алгебри 7 класу

I ВАРІАНТС–1А

1. Спростіть вираз:1) (6y + 1)(y – 3) – 2y(4 + 3y); 2) (3x – 1)(3x + 1) – (x + 7)2.

2. Розкладіть на множники:1) 2a2 – 18; 2) x2 – 10x + 25; 3) xy + x + 5y + 5.

3. Розв’яжіть систему рівнянь x yx y+ =− =

63 2 13

,.

С–1Б 1. Спростіть вираз:

1) (5x2 – 3x)(x + 1) – 5x2(x – 2);2) (7m2 – n) (7m2 + n) – (5m2 – n)2.

2. Розкладіть на множники:1) 3m3n – 12mn; 2) 5x3 + 70x2 + 245x; 3) m2n + n2 – mn – m3.

3. Розв’язати систему рівнянь 5 4 62 3 23 3 2x y x yx y+( ) + −( ) =+( ) − = −( )

,.

С–1В 1. Спростіть вираз:

1) (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) + (9x – 5)(7 – 3x2); 2) (6p2 + q3)(–q3 + 6p2) – 9(2p2 + q3)2.

2. Розкладіть на множники:1) –3m4 + 48; 2) 3m3n2 + 12mn4 + 12m2n3;3) p3 – pq2 – 7p2 + 7q2.

3. Розв’яжіть систему рівнянь y y x y x yx y x x y

+( ) − −( ) = −( ) −−

+−

=−

4 2 4 1 42

37 2

95 7

6

2 ,

.

ІI ВАРІАНТС–1А

1. Спростіть вираз:1) (4x + 1)(x – 3) – 2x(5 + 2x); 2) (2m – 1)(2m + 1) – (m + 5)2.

2. Розкладіть на множники:1) 3a2 – 12; 2) x2 – 6x + 9; 3) ab + a + 2b + 2.

3. Розв’яжіть систему рівнянь x yx y− =+ =

72 3 19

,.

С–1Б 1. Спростіть вираз:

1) (3x2 – 2x)(x + 1) – 3x2(x – 4); 2) (3y2 – p)(3y2 + p) – (2y2 – p)2.

2. Розкладіть на множники:1) 2x3y – 18xy; 2) 4x3 + 48x2 + 144x; 3) a3 + ab – a2b – b2.

3. Розв’яжіть систему рівнянь 2 3 33 1 18 2 4x y x yx y−( ) + +( ) =+( ) − = −( )

,.

С–1В 1. Спростіть вираз:

1) (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) + (2x – 3)(5 – 4x2);2) (4m3 + n2)(–n2 + 4m3) – 4(2m3 + n2)2.

2. Розкладіть на множники:1) –2x4 + 32; 2) 2x4y + 18x2y3 + 12x3y2; 3) m3 – mn2 – 4m2 + 4n2.

3. Розв’яжіть систему рівнянь x y x x y

x x y x y x

−+

+=

−

+( ) − −( ) = −( ) −

23

5 16

7 119

2 2 2 1 12

,

.

154 Тематичні контрольні роботи Тематичні контрольні роботи 155

Т Е М А Т И Ч Н І К О Н Т Р О Л Ь Н І Р О Б О Т ИТКР–1. Раціональні дроби. Основна властивість раціо-

нального дробу. Додавання і віднімання дробівI ВАРІАНТ

1° (1 бал). При яких значеннях змінної має зміст вираз:

1) 54x −

; 2) xx x

−+( )12

?

2° (1 бал). При яких значеннях змінної дорівнює нулю дріб:

1) x − 25

; 2) 137x +

?

3° (2 бали). Скоротіть дріб:

1) 255

2 5

6x yxy

; 2) 4 812xy y

y− ;

3) 5 106 3a

a−−

; 4) mm

2 362 12

−−

.

4° (2 бали). Виконайте дію:

1) 74

34+

−−+a

aa

; 2) 53

53−

++b b

?

5 (4 бали). Спростіть вираз:

1) aa a a−

+−4

164 2 ; 2) 8

24

2b xb

b−− ;

3) 525

152 2

ay a a y−

+−

; 4) 42 2

22c c

cc

cc−

−−

++ .

6 (2 бали). При яких натуральних значеннях m дріб m mm

2 3 4+ +

набуває натуральних значень?

ІI ВАРІАНТ1° (1 бал). При яких значеннях змінної має зміст вираз:

1) 42x +

; 2) xx x

+−( )31

?

2° (1 бал). При яких значеннях змінної дорівнює нулю дріб:

1) x + 37

; 2) 152x −

?

3° (2 бали). Скоротіть дріб:

1) 287

5

4 2x yx y

; 2) 3 915ab b

b− ;

3) 4 129 3t

t−−

; 4) yy

2 492 14

−+

.

4° (2 бали). Виконайте дію:

1) 95

45+

−−+b

bb

; 2) 74

74−

++a a

.

5 (4 бали). Спростіть вираз:

1) bb b b−

+−5

255 2 ; 2) 9

33

2a ya

a−− ;

3) 416

142 2

tm t t m−

+−

; 4) 255 5

52x x

xx

xx−

−−

++ .

6 (2 бали). При яких натуральних значеннях m дріб m mm

2 4 6+ +

набуває натуральних значень?

Завдання для експрес-контролю 169

З А В Д А Н Н Я Д Л Я Е К С П Р Е С - К О Н Т Р О Л Ю

ЕК–1. Раціональні дроби. Основна властивість раціонального дробу.

Додавання і віднімання дробівI ВАРІАНТ

Середній рівень1° (1 бал). Знайдіть допустимі значення х:

1) x − 27

; 2) 72x −

.

2° (1 бал). Скоротіть дріб:

1) 39

2

3x yx

; 2) x xx

2

26 9

9− +−

.

3° (1 бал). Виконайте дії:

1) m b m b+−

−3

23

; 2) yy

xx

++

−22

5 24

.

Достатній рівень

1 (1 бал). Скоротіть дріб xx x

3

28

4 4+

+ +.

2 (2 бали). Спростіть вираз 22

22

44

2 2

2 2a

a ya

a ya yy a−

++

++−

.

Високий рівень

1 (1 бал). При яких значеннях змінної дріб x xx

2 33

+−

:

1) не має змісту; 2) дорівнює нулю?2 (2 бали). Знайдіть значення a і b, при яких для будь-яких допус-

тимих значень x рівність ax

bx

xx+

+−

=+−3 3

5 392 є тотож-

ністю.

IІ ВАРІАНТ

Середній рівень1° (1 бал). Знайдіть допустимі значення х:

1) x − 49

; 2) 94x −

.

2° (1 бал). Скоротіть дріб:

1) 416

2

3m pm

; 2) a aa

2

210 25

25− +

−.

3° (1 бал). Виконайте дії:

1) a x a x+−

−4

34

; 2) mm

pp

++

−43

2 39

.

Достатній рівень

1 (1 бал). Скоротіть дріб y yy

2

36 9

27− +−

.

2 (2 бали). Спростіть вираз m bm b

bm b

bb m

2 2

2 299

33

33

+−

++

+−

.

Високий рівень

1 (1 бал). При яких значеннях змінної дріб x xx

2 22

−−

:

1) не має змісту; 2) дорівнює нулю?2 (2 бали). Знайдіть значення a і b, при яких для будь-яких допус-

тимих значень x рівність ax

bx

xx−

++

=+−2 2

6 442 є тотож-

ністю.

Відповіді та вказівки до вправ 181

В І Д П О В І Д І Т А В К А З І В К И Д О В П Р А В

23. а = 2. 37. Вказівка. т2 + 4тп + 5п2 + 2п + 1 = (т + 2п)2 + (п + 1)2. 58. 1) –1; 2) 1. 66. 1) Так; 2) ні. 67. 1) 6; 2) 2; 3) будь-яке число, крім –1,5. 73. 1) х — будь-

яке число; 2) х ≠ 0; 3) х — будь-яке число; 4) х ≠ 113

; 5) х ≠ 3; 6) х — будь-яке

число; 7) х ≠ 0; х ≠ 3; 8) х ≠ 0; х ≠ 1; 9) х ≠ 1. 74. 1) х — будь-яке число; 2) х ≠ 0; 3) х — будь-яке число; 4) х ≠ –3; 5) х ≠ 7; х ≠ 0; 6) х ≠ 5; х ≠ –4. 80. 1) 6; 2) 13;

3) –22; 4) –8. 81. 1) –1; 2) 9; 3) –16; 4) 34. 82. 1) 2; 2) 73

; 3) 0; 2; 4) 1; –2; 5) немає

таких значень х; 6) –3. 83. 1) –5; 2) немає таких значень х; 3) 1; 4) 0 < x < 5 або х > 5. 84. 1) –0,5; 2) 0; 1; 3) –2; 4) немає таких значень х; 5) 5; 6) –3. 85. 1) х ≠ 2; х ≠ –2; 2) х ≠ 1; х ≠ –1; 3) х — будь-яке число; 4) х ≠ 0; х ≠ 1; 5) х ≠ 0; х ≠ –1; 6) х ≠ 0; х ≠ 2; 7) х ≠ 2; 8) х ≠ 3; х ≠ 1; 9) х ≠ 0; х ≠ 1; х ≠ –1. 86. 1) х ≠ 1; х ≠ –1; 2) х ≠ 4; х ≠ –4; 3) х — будь-яке число; 4) х ≠ 0; х ≠ –2; 5) х ≠ 1; х ≠ 5; 6) х ≠ 0.

92. 5) xy2 ; 6) − 4

9b ; 7) 5

8yx

; 8) 3а2b2. 93. 1) 910

a ; 2) − c2

; 3) 36; 4) − 27 2x

; 5) т2y;

6) − 27y . 94. 3) − 3

5

2ba

; 4) 23 2mtn

. 98. 3) a − 23

; 4) yy+−

33

; 5) − +mm

42 ; 6) 1

1−+

xx

.

100. 1) 33a −

; 2) x − 23

; 3) x + 53

; 4) mm−+

44

; 5) tt−3

2 ; 6) 44−+

yy

; 7) а + 4b; 8) a ba b−+

22

.

101. 1) abb

2

5 ; 2) 927

2

3y xy

; 3) 87 3 2

mnm n

; 4) 1524 2

abcb a

. 102. 1) xyy

2

4 ; 2) 816

2

3abb

; 3) 3521 3 2

pqp q

;

4) 614 6

abcab

. 109. 1) 3

9+ a ; 2) a

x a++1

2. 110. 1) a b c

a b c− −+ +

; 2) 22

p qp q−+

. 111. 1) x ya+−5

;

2) 3 22

m nm n

−−

. 114. 1) 72

( )( )

;x yx y

−−

2) 52

( )( )

;a ba b

−−

3) 7 11

2

3m m m

m( ) ;+ +

− 4) 5

3 3p p qp q( ) ;−−

5) −−

7mn m

; 6) − +−

t tt

( ) .11 2 121. 2. 122. 1) 18; 2) − 4

15; 3) 2

9. 124. 1) х — будь-яке

число, крім 3; 2) немає розв’язків; 3) –1; 4) немає розв’язків. 125. 1) Якщо а = 1, то рівняння не має розв’язків; якщо а ≠ 1, то х = 1; 2) якщо а = 2 або а = –2, то рівняння не має розв’язків; якщо а ≠ 2 і а ≠ –2, то х = а; 3) якщо а = 1, то х — будь-яке число; якщо а ≠ 1, то х = а + 1; 4) якщо а = 2, то рівняння не має розв’язків; якщо а = –2, то х — будь-яке число; якщо а ≠ 2 і а ≠ –2, то

х = aa+−

22

. 133. 3) − 14t

; 4) 1; 5) − +2 13

( ) ;aa

6) 1. 134. 1) aa− 2 ; 2) 1; 3) x

x− 2 ;

4) 2 1xx− . 136. 1) a

a−+

33

; 4) 2x

. 138. 3) 3; 4) 8. 139. 3) 1; 4) 2; 5) a + 63

; 6) а – 3р.

144. 1) ma

+ na

; 2) 3y

– 12y

; 3) 2xy

+ yx2

; 4) 32 2ab

– 122a b

; 5) 64m

n – 8 2

2mn

;

6) 32

+ 94

6

2yx

. 145. 1) t2

– 34c ; 2) а + 1 – 7

2a; 3) 3

3m – 4

m; 4) y

x5 + 1

8x. 154. 4) 1;

2; 5) 1; 3. 155. 1) 1; 2; 3; 6; 2) 1; 5; 3) 1; 2; 4; 8; 4) 1; 3. 156. 7) ma8

; 8) ab

2

72;

9) 74

3

2ab

. 157. 3) 210x y+ ; 4) 17

12; 5) 2 21 21

15ab b a

ab+ − . 158. 1) 4

63m ; 2) 11

3ba

; 3) cb

2

6;

4) 8 615x − ; 5) b c+

14; 6) ( ) ;1 2

2− xx

7) xy y xxy

− +12 34

; 8) 35 4230

2 2a bab+ . 159. 5) a ab b

a b

2 2

2 2− + ;

6) m mm n

2 2

2 2− . 160. 1) 3

2x; 2) 5

10x; 3) m m

m n

2 2

2− ; 4) p q

p q

2 2

2 2− . 161. 4) y

y−1

10; 5) 0.

162. 3) 4 1518

2 2

2 2x c

c x+ ; 4) 9 35

15

2 2

5 5x y

x y− . 163. 1) 3 2

6c a b

abc− + ; 2) 7 2

12

2 2b a aba

− − ; 3) 114− a

a;

4) 15 2135

2 2

2 2x y

x y− . 164. 6) − 1

2t; 7) 12

3 2aa−

; 8) 23

2bb−

. 165. 4) 72m

; 5) 31 4

aa−

; 6) 35

2xx−

.

166. 5) 5 54

x y− ; 6) − +b aba

2

. 168. 2) 3 72 2a b

a b−−

; 5) 42 2

xyy x−

. 169. 3) 8 22 2x y

x y−−

;

4) 53 2

xx x( )( )

;+ −

5) 42 2ab

a b−; 6) −

+ +4

2 1( )( ).

y y 174. а = –15. 175. 3) 2x a

x− ;

4) 2 3a bab− ; 5) x xy y

xy

2 22 4+ + ; 6) 12y y( )

.−

176. 1) 1xy

; 2) − 5xy

; 3) b aa−6

; 4) 4y xxy y x

−−( )

;

5) 23c c( )

;−

6) x ax aax

2 23 9+ + . 177. 1) 2 2bb a−

; 3) 11 3− x

. 180. 2) y xx y x

−+55( )

;

4) aa+−

22

; 5) xx x

−− +

112 ; 6) 2 3

2a

a b a b( ) ( ).

+ − 181. 1) x y

x x y−+1010( )

; 2) bb+−

11

; 3) xx

2

31−;

4) 22 2

3

2x

x y x y( )( ).

− + 182. 1) a

a+−2

6 2( ); 3) 5

5a −. 183. 2) 2

4x y−; 3) y

y −3.

189. 1) а = –42; b = –21; 2) а = 14

; b = − 14

. 190. а = –2; b = 2. 194. 4) 121 2 3a u

;

5) − 34

2x y ; 6) 35ab

. 195. 5) 50a3b; 6) −12ab

; 7) − 37

nm

; 8) 43ab . 196. 3) − 8 2b

a;

4) − n7

2. 197. 1) 2y

b; 2) −3 2a b; 3) − d

c

3

2; 4) 5

3m. 201. 5) − 3

5

2

3mc

; 6) 23mn

.

202. 3) − 32c ; 4) 3

5; 5) − a

x; 6) 5

y. 204. 1) ( )( ) .c c+ +3 2

10 205. 1) y

y+ 3

3; 2) x

x+7

3 2 ;

3) 5 62 1( )( )

;−−

xx

4) 2 33 2( )( )

.mn−+

206. 4) x xx

( )( )

;32 3

−+

5) pq p qp q( ) ;+−

33

6) 2 33

( ) .a b+

194 Зміст Зміст 195

З М І С ТПередмова ............................................................................................................ 3Передмова до третього видання ...................................................................... 6Передмова до четвертого видання .................................................................. 6Вправи ................................................................................................................... 7

I. Повторення матеріалу за курс 7 класу ................................................ 7Цiлi вирази ................................................................................................. 7Функції ..................................................................................................... 11Лінійні рівняння та їхні системи .......................................................... 12

ІІ. Раціональні вирази ............................................................................... 15Раціональні вирази. Раціональні дроби .............................................. 15Основна властивість раціонального дробу ........................................... 18Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками .......... 25Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками ................. 29Множення дробів. Піднесення дробу до степеня ................................ 35Ділення дробів ......................................................................................... 39Тотожні перетворення раціональних виразів ..................................... 41Раціональні рівняння ............................................................................. 47Степінь із цілим показником ................................................................. 49Властивості степеня з цілим показником ............................................ 52Стандартний вигляд числа .................................................................... 58

Функція y kx

= , її графік і властивості ................................................. 60

III. Квадратні корені. Дійсні числа ......................................................... 65Функція y = x2, її графік і властивості .................................................. 65Арифметичний квадратний корінь ....................................................... 66Множина. Підмножина. Числові множини. Раціональні числа. Ірраціональні числа. Дійсні числа ....................................................... 70Тотожність a( )2 = а, а ≥ 0. Рівняння x2 = a ........................................ 73Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу і степеня ......... 76Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені ........... 82Функція у = x , її графік і властивості ............................................... 91

IV. Квадратні рівняння ............................................................................. 94Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння ............................. 94Формула коренів квадратного рівняння .............................................. 96Теорема Вієта ......................................................................................... 100Теорема, обернена до теореми Вієта ................................................... 103Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі ...... 104Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники ............................................................................ 106Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних ...................... 111Розв’язування задач за допомогою рівнянь, які зводяться до квадратних .............................................................................................. 117

Самостійні роботи ........................................................................................... 122С–1. Повторення матеріалу за курс алгебри 7 класу ........................... 122С–2. Раціональні дроби. Основна властивість раціонального дробу ..... 124С–3. Додавання і віднімання дробів ...................................................... 126С–4. Множення і ділення дробів. Піднесення дробу до степеня ........ 130С–5. Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння ..................................................................................................... 134С–6. Степінь з цілим показником та його властивості ........................ 136

С–7. Стандартний вигляд числа. Функція y kx

= , ................................. 138

С–8. Функція у = x2. Арифметичний квадратний корінь ..................... 140С–9. Властивості арифметичного квадратного кореня. Рівняння х2 = а .......................................................................................... 142С–10. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені. Функція у = x ......................................................................................... 144С–11. Квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння .... 146С–12. Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі ..................................................................................... 148С–13. Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та розв’язування задач за допомогою рівнянь, які зводяться до квадратних ......................................................................... 150

Тематичні контрольні роботи ........................................................................ 154ТКР–1. Раціональні дроби. Основна властивість раціонального дробу. Додавання і віднімання дробів ................................................... 154ТКР–2. Множення і ділення дробів. Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння ...................................... 156ТКР–3. Степінь із цілим показником. Стандартний вигляд числа. Функція ..................................................................................................... 158ТКР–4. Квадратні корені. Дійсні числа ................................................. 160ТКР–5. Квадратне рівняння. Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі .......................................... 162

Для нотаток 197196 Зміст

ТКР–6. Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та розв’язування задач за допомогою рівнянь, які зводяться до квадратних .......................................................................... 164ТКР–7. Підсумкова робота за 8-й клас ................................................... 166

Завдання для експрес-контролю .................................................................. 168ЕК–1. Раціональні дроби. Основна властивість раціонального дробу. Додавання і віднімання дробів ................................................... 168ЕК–2. Множення і ділення дробів. Тотожні перетворення раціональних виразів. Раціональні рівняння ...................................... 170ЕК–3. Степінь із цілим показником. Стандартний вигляд числа.

Функція y kx

= , ........................................................................................... 172

ЕК–4. Квадратні корені. Дійсні числа ................................................... 174ЕК–5. Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі .......................................... 176ЕК–6. Квадратний тричлен. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, та розв’язування задач за допомогою рівнянь, які зводяться до квадратних .......................................................................... 178

Відповіді та вказівки до вправ ...................................................................... 180