А. И. Солонина · 2017. 10. 19. · УДК 004.438(075.8) ББК 32.973.26–018.2я73...
24
А. И. Солонина Санкт-Петербург «БХВ-Петербург» 2018
Transcript of А. И. Солонина · 2017. 10. 19. · УДК 004.438(075.8) ББК 32.973.26–018.2я73...
А. И. Солонина
Санкт-Петербург
«БХВ-Петербург»
2018
УДК 004.438(075.8) ББК 32.973.26–018.2я73 С60
Солонина А. И.
С60 Цифровая обработка сигналов в зеркале MATLAB: учеб. пособие. — СПб.: БХВ-Петербург, 2018. — 560 с.: ил. — (Учебная литература для вузов)
ISBN 978-5-9775-3946-3
Учебное пособие представляет собой базовый курс по цифровой обработке
сигналов с традиционными темами: линейные дискретные системы; эффекты
квантования в цифровых системах с фиксированной точкой; дискретные сигналы
с описанием в частотной области, включая алгоритмы дискретного и быстрого
преобразований Фурье; случайные процессы и их статистические характеристики;
методы непараметрического и параметрического спектрального анализа; цифровые
фильтры общего и специального назначения; многоскоростные системы и их по-
лифазные структуры; банки фильтров; основы адаптивной обработки сигналов.
Теория ЦОС преподносится с позиции моделирования в MATLAB: теоретические
аспекты базовых методов и алгоритмов ЦОС увязываются с их моделированием
в MATLAB и иллюстрируются соответствующими примерами.
Для студентов, аспирантов и преподавателей вузов,
а также специалистов в области цифровой обработки сигналов
УДК 004.438(075.8)
ББК 32.973.26–018.2я73
Группа подготовки издания:
Главный редактор Екатерина Кондукова
Зав. редакцией Екатерина Капалыгина
Редактор Анна Кузьмина
Компьютерная верстка Ольги Сергиенко
Корректор Зинаида Дмитриева
Дизайн серии Инны Тачиной
Оформление обложки Марины Дамбиевой
Фото Кирилла Сергеева
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Е. Б. Соловьева, д-р техн. наук, завкафедрой теоретических основ электротехники
Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ»
А. А. Монаков, д-р техн. наук, проф. кафедры радиотехнических систем
Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения
Подписано в печать 31.10.17.
Формат 70×100
1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 45,15.
Тираж 500 экз. Заказ №
"БХВ-Петербург", 191036, Санкт-Петербург, Гончарная ул., 20.
АО "Т8 Издательские технологии"
109316, г. Москва, Волгоградский проспект, д. 42, корп. 5
ISBN 978-5-9775-3946-3 © ООО "БХВ", 2018
© Оформление. ООО "БХВ-Петербург", 2018
Оглавление
Список условных обозначений и сокращений .......................................................... 9
Предисловие ................................................................................................................... 13
Глава 1. Введение в цифровую обработку сигналов .............................................. 15
1.1. Основные типы сигналов ....................................................................................................... 15
1.2. Обобщенная схема цифровой обработки сигналов ............................................................. 16
1.3. Нормирование времени и частоты ........................................................................................ 21
1.4. Основная полоса частот ......................................................................................................... 21
1.5. Типовые дискретные сигналы ............................................................................................... 22
Глава 2. Линейные дискретные системы ................................................................. 27
2.1. Определение линейной дискретной системы ....................................................................... 27
2.2. Импульсная характеристика .................................................................................................. 29
2.3. Формула свертки..................................................................................................................... 29
2.4. Разностное уравнение ............................................................................................................. 33
2.5. Рекурсивные и нерекурсивные системы ............................................................................... 35
2.6. Свойство памяти линейных дискретных систем .................................................................. 36
2.7. Системы с конечной и бесконечной импульсной характеристикой ................................... 37
2.8. Устойчивость линейных дискретных систем ....................................................................... 38
2.9. Первый критерий устойчивости ............................................................................................ 39
Глава 3. Z-преобразование .......................................................................................... 41
3.1. Преобразование Лапласа ........................................................................................................ 41
3.2. Z-преобразование .................................................................................................................... 42
3.3. Связь между z- и p-плоскостями............................................................................................ 43
3.4. Отображение p-плоскости в z-плоскость .............................................................................. 45
3.5. Основные свойства Z-преобразования .................................................................................. 49
3.6. Таблица соответствий ............................................................................................................ 51
3.7. Обратное Z-преобразование .................................................................................................. 56
3.7.1. Использование теоремы Коши о вычетах ................................................................... 56
3.7.2. Разложение z-изображения на простые дроби ............................................................ 58
3.7.3. Использование таблицы соответствий ........................................................................ 60
3.8. Z-преобразование и преобразование Фурье ......................................................................... 61
4 Оглавление
Глава 4. Описание линейных дискретных систем в z-области ............................ 63
4.1. Передаточная функция ........................................................................................................... 63
4.2. Нули и полюсы передаточной функции................................................................................ 65
4.3. Связь передаточной функции с разностным уравнением ................................................... 67
4.4. Рекурсивные звенья ................................................................................................................ 68
4.5. Разновидности представления передаточной функции ....................................................... 73
4.6. Второй критерий устойчивости ............................................................................................. 75
4.7. Устойчивость и сходимость ................................................................................................... 77
Глава 5. Описание линейных дискретных систем в частотной области ........... 79
5.1. Частотная характеристика...................................................................................................... 79
5.2. Свойства частотных характеристик ...................................................................................... 82
5.3. Расчет АЧХ и ФЧХ ................................................................................................................. 83
5.4. Нули и экстремумы АЧХ ....................................................................................................... 84
5.5. Экспресс-анализ АЧХ ............................................................................................................ 87
5.6. Групповое время задержки .................................................................................................... 95
Глава 6. Структуры линейных дискретных систем ............................................... 97
6.1. Структуры рекурсивных ЛДС ............................................................................................... 98
6.1.1. Прямая структура и ее модификации .......................................................................... 98
6.1.2. Описание ЛДС в пространстве состояний ................................................................ 103
6.1.3. Каскадная структура ................................................................................................... 106
6.1.4. Параллельная структура ............................................................................................. 106
6.2. Структуры нерекурсивных ЛДС .......................................................................................... 107
6.3. Описание структур в MATLAB ........................................................................................... 108
Глава 7. Фазовые звенья ............................................................................................ 115
7.1. Минимально-фазовые и неминимально-фазовые ЛДС ..................................................... 115
7.2. Определение и свойства фазового звена ............................................................................ 119
7.3. Фазовый корректор............................................................................................................... 121
7.4. Фазовое звено 1-го порядка ................................................................................................. 122
7.5. Фазовое звено 2-го порядка ................................................................................................. 125
7.6. Фазовое звено произвольного порядка ............................................................................... 128
7.7. Структура фазового звена .................................................................................................... 129
Глава 8. Эффекты квантования ............................................................................... 135
8.1. Форматы данных................................................................................................................... 135
8.1.1. Форматы данных с фиксированной точкой .............................................................. 136
8.1.2. Форматы данных с плавающей точкой ..................................................................... 139
8.1.3. Выбор формата данных .............................................................................................. 142
8.1.4. Коды данных с фиксированной точкой ..................................................................... 142
8.1.5. Арифметика в дополнительном коде ........................................................................ 145
8.2. Квантование данных ............................................................................................................. 147
8.2.1. Методы округления .................................................................................................... 148
8.2.2. Оценки ошибки квантования ..................................................................................... 149
8.3. Источники ошибок квантования ......................................................................................... 151
8.3.1. Предположения о шумах ............................................................................................ 152
8.4. Шум аналого-цифрового преобразователя ......................................................................... 153
Оглавление 5
8.5. Собственный шум цифровой системы ................................................................................ 155
8.5.1. Эквивалентная линейная модель ............................................................................... 156
8.5.2. Собственный шум структур рекурсивных звеньев .................................................. 157
8.5.3. Влияние нулей и полюсов на дисперсию собственного шума ................................ 163
8.5.4. Собственный шум структур нерекурсивной системы .............................................. 166
8.5.5. Собственный шум параллельной структуры ............................................................ 167
8.5.6. Собственный шум каскадной структуры .................................................................. 168
8.5.7. Расстановка звеньев в каскадной структуре ............................................................. 170
8.6. Отношение сигнал/шум и динамический диапазон цифровой системы .......................... 171
8.7. Ошибки квантования коэффициентов ................................................................................ 172
8.8. Ошибки переполнения сумматоров .................................................................................... 172
8.8.1. Масштабирование в каскадных структурах .............................................................. 174
8.8.2. Расчет масштабирующих множителей ...................................................................... 181
8.8.3. Нормирование коэффициентов .................................................................................. 183
8.8.4. Оценивание собственного шума после масштабирования ...................................... 184
8.9. Предельные циклы................................................................................................................ 185
Глава 9. Описание дискретных сигналов в частотной области......................... 189
9.1. Спектральная плотность ...................................................................................................... 189
9.2. Свойства спектральной плотности ...................................................................................... 190
9.3. Связь спектральных плотностей дискретного и аналогового сигналов ........................... 194
9.4. Дискретизация относительно узкополосных сигналов ..................................................... 198
9.5. Операции со спектральной плотностью ............................................................................. 202
9.5.1. Перенос спектральной плотности .............................................................................. 202
9.5.2. Инверсия спектральной плотности вещественного сигнала ................................... 204
9.5.3. Формирование сигнала с одной боковой полосой ................................................... 205
9.5.4. Перенос спектральной плотности узкополосного высокочастотного сигнала
в область нижних частот ...................................................................................................... 208
Глава 10. Дискретное преобразование Фурье........................................................ 215
10.1. Симметричные ряды Фурье ............................................................................................... 216
10.2. Взаимно однозначные преобразования "время—частота" ............................................. 217
10.3. Дискретное преобразование Фурье ................................................................................... 223
10.3.1. Дискретное преобразование Фурье периодической последовательности ......... 224
10.3.2. Дискретное преобразование Фурье конечной последовательности ................... 225
10.3.3. Разрешение по частоте и растекание спектра ....................................................... 226
10.3.4. Восстановление спектральной плотности ............................................................. 228
10.4. Свойства дискретного преобразования Фурье ................................................................. 229
10.5. Дискретное косинус-преобразование................................................................................ 233
10.6. Вычисление линейной свертки с помощью дискретного преобразования Фурье ........ 234
10.7. Секционированные свертки ............................................................................................... 237
Глава 11. Быстрое преобразование Фурье ............................................................. 239
11.1. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени .................. 240
11.1.1. Формирование прореженной последовательности .............................................. 247
11.1.2. Обратное быстрое преобразование Фурье ............................................................ 248
11.1.3. Оценка вычислительной сложности алгоритма быстрого преобразования
Фурье .................................................................................................................................... 249
11.2. Алгоритм быстрого преобразования с прореживанием по частоте ............................... 250
6 Оглавление
Глава 12. Случайные процессы ................................................................................ 253
12.1. Случайный процесс ............................................................................................................ 253
12.2. Статистические характеристики случайного процесса ................................................... 255
12.3. Стационарный случайный процесс ................................................................................... 257
12.4. Эргодический случайный процесс .................................................................................... 258
12.4.1. Характеристики детерминированных последовательностей............................... 260
12.4.2. Смещенные и несмещенные оценки ...................................................................... 261
12.5. Спектральная плотность мощности .................................................................................. 262
12.6. Обработка случайного процесса линейной дискретной системой ................................. 265
12.7. Белый шум ........................................................................................................................... 267
12.7.1. Обработка белого шума линейной дискретной системой ................................... 268
Глава 13. Спектральный анализ .............................................................................. 271
13.1. Непараметрические методы ............................................................................................... 272
13.1.1. Метод периодограмм .............................................................................................. 272
13.1.2. Основные показатели качества оценок СПМ ....................................................... 274
13.1.3. Метод периодограмм Даньелла ............................................................................. 276
13.1.4. Метод периодограмм Бартлетта ............................................................................ 278
13.1.5. Метод периодограмм Уэлча ................................................................................... 280
13.1.6. Методы коррелограмм ............................................................................................ 282
13.2. Параметрические методы .................................................................................................. 284
13.2.1. Математические модели случайного процесса .................................................... 285
13.2.2. Оценка параметров авторегрессионной модели ................................................... 288
13.2.3. Метод Юла—Уолкера (автокорреляционный) ..................................................... 288
13.2.4. Ковариационный метод .......................................................................................... 292
13.2.5. Модифицированный ковариационный метод ....................................................... 294
13.2.6. Расчет оценки СПМ ................................................................................................ 296
13.2.7. Оценка порядка авторегрессионной модели......................................................... 300
Глава 14. Введение в цифровые фильтры .............................................................. 303
14.1. Классификация цифровых фильтров ................................................................................ 304
14.2. Проектирование цифровых фильтров ............................................................................... 306
Глава 15. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ ............................................................ 309
15.1. Условия линейности ФЧХ КИХ-фильтров ....................................................................... 309
15.2. Четыре типа КИХ-фильтров с линейной ФЧХ ................................................................. 310
15.3. Амплитудные функции КИХ-фильтров с линейной ФЧХ .............................................. 313
15.4. Требования к АЧХ КИХ-фильтров ................................................................................... 316
15.5. Структуры КИХ-фильтров с линейной ФЧХ ................................................................... 319
Глава 16. Синтез КИХ-фильтров методом окон ................................................... 323
16.1. Импульсная характеристика идеального КИХ-фильтра.................................................. 323
16.2. Окно Дирихле и эффект Гиббса ........................................................................................ 326
16.3. Окна ..................................................................................................................................... 332
16.3.1. Основные параметры окон ..................................................................................... 336
16.3.2. Окно Кайзера ........................................................................................................... 342
16.4. Итерационная процедура синтеза КИХ-фильтра методом окон .................................... 343
Оглавление 7
Глава 17. Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной
(чебышевской) аппроксимации ............................................................................... 347
17.1. Формулировка задачи ......................................................................................................... 347
17.1.1. Проблемы решения задачи ..................................................................................... 352
17.2. Теорема Чебышева ............................................................................................................. 353
17.3. Решение задачи ................................................................................................................... 355
17.3.1. Полиномиальный алгоритм Ремеза ....................................................................... 357
17.3.2. Пример поиска оптимального решения с помощью алгоритма Ремеза ............. 358
17.3.3. Обменный алгоритм Ремеза ................................................................................... 362
17.3.4. Интерполяционный метод Паркса—Мак-Клеллана............................................. 363
17.4. Итерационная процедура синтеза оптимального КИХ-фильтра .................................... 364
Глава 18. Специальные КИХ-фильтры с линейной ФЧХ .................................. 367
18.1. Специальные КИХ-фильтры с симметричной импульсной характеристикой .............. 367
18.1.1. Однородный фильтр ............................................................................................... 367
18.1.2. Триангулярный фильтр ........................................................................................... 370
18.1.3. Полуполосные фильтры ......................................................................................... 372
18.1.4. Фильтр Найквиста ................................................................................................... 378
18.1.5. Квадратурно-зеркальные фильтры ........................................................................ 383
18.2. Специальные КИХ-фильтры с антисимметричной импульсной характеристикой ....... 387
18.2.1. Цифровой преобразователь Гильберта ................................................................. 387
18.2.2. Цифровой дифференциатор ................................................................................... 392
Глава 19. Синтез БИХ-фильтров ............................................................................. 401
19.1. Синтез БИХ-фильтра на основе аналогового прототипа ................................................ 401
19.1.1. Процедура синтеза БИХ-фильтра .......................................................................... 402
19.2. Метод инвариантности импульсной характеристики ...................................................... 404
19.2.1. Теоретические основы метода ............................................................................... 404
19.2.2. Свойства БИХ-фильтров при стандартном Z-преобразовании ........................... 406
19.2.3. Синтез БИХ-фильтра .............................................................................................. 408
19.3. Метод билинейного Z-преобразования ............................................................................. 412
19.3.1. Теоретические основы метода ............................................................................... 412
19.3.2. Свойства БИХ-фильтров при билинейном Z-преобразовании ............................ 413
19.3.3. Процедура синтеза оптимального БИХ-фильтра ................................................. 417
Глава 20. Оценивание собственного шума цифрового фильтра........................ 421
20.1. Оценивание собственного шума структур КИХ-фильтра ............................................... 421
20.2. Оценивание собственного шума каскадных структур БИХ-фильтра ............................. 422
Глава 21. Многоскоростные системы ..................................................................... 435
21.1. Система однократной интерполяции ................................................................................ 436
21.2. Система однократной децимации ..................................................................................... 442
21.3. Система однократной передискретизации ....................................................................... 449
21.4. Полифазные структуры многоскоростных систем .......................................................... 449
21.4.1. Полифазная структура системы однократной интерполяции ............................. 450
21.4.2. Полифазная структура системы однократной децимации ................................... 455
21.4.3. Описание полифазных структур в MATLAB ........................................................ 460
21.5. Банки фильтров ................................................................................................................... 461
8 Оглавление
Глава 22. Адаптивные фильтры .............................................................................. 467
22.1. Структурная схема адаптивного фильтра ......................................................................... 467
22.2. Фильтр Винера .................................................................................................................... 470
22.3. Алгоритм LMS .................................................................................................................... 473
22.4. Алгоритм RLS ..................................................................................................................... 478
22.5. Идентификация систем ...................................................................................................... 484
22.5.1. Оценка импульсной характеристики неизвестной системы ................................ 486
22.5.2. Очистка сигнала от шума ....................................................................................... 488
22.5.3. Выравнивание частотной характеристики ............................................................ 491
22.5.4. Оценка параметров линейного предсказания сигнала ......................................... 497
Приложение 1. Средства GUI FDATool ................................................................... 501
П1.1. Обращение к FDATool ...................................................................................................... 501
П1.2. Синтез цифровых фильтров .............................................................................................. 503
П1.3. Анализ цифровых фильтров.............................................................................................. 507
П1.4. Моделирование цифровых фильтров с фиксированной точкой .................................... 509
П1.4.1. Расстановка звеньев и масштабирование ............................................................ 509
П1.4.2. Установка параметров квантования .................................................................... 511
П1.4.3. Параметры квантования коэффициентов ............................................................ 512
П1.4.4. Параметры квантования входного и выходного сигналов ................................ 515
П1.4.5. Параметры квантования арифметических операций ......................................... 518
П1.5. Моделирование полифазных структур многоскоростных систем ................................. 523
П1.5.1. Синтез фильтра-прототипа ................................................................................... 525
П1.6. Экспорт из FDATool .......................................................................................................... 529
П1.6.1. Экспорт в Workspace............................................................................................. 529
П1.6.2. Экспорт в SPTool .................................................................................................. 531
П1.6.3. Экспорт в окно моделей Simulink ........................................................................ 531
П1.6.4. Экспорт на диск в виде M-файла ......................................................................... 534
П1.7. Импорт из Workspace ........................................................................................................ 535
П1.8. Сохранение сеанса работы в FDATool ............................................................................. 538
Приложение 2. Средства GUI SPTool ...................................................................... 539
П2.1. Обращение к SPTool .......................................................................................................... 539
П2.1.1. Анализ сигналов во временной области .............................................................. 540
П2.1.2. Моделирование цифровой фильтрации............................................................... 543
П2.1.3. Спектральный анализ сигналов ........................................................................... 546
П2.2. Экспорт данных из SPTool ................................................................................................ 551
П2.3. Сохранение сеанса работы в SPTool ................................................................................ 552
Список литературы..................................................................................................... 553
Предметный указатель .............................................................................................. 556
Список условных обозначений и сокращений
� — окончание примера.
ACF — Autocorrelation Function (автокорреляционная функция).
AF — Adaptive Filter (адаптивный фильтр).
DCT — Discrete Cosine Transform (дискретное косинус-преобразование).
DFT — Discrete Fourier Transform (дискретное преобразование Фурье).
DSP — Digital Signal Processing (цифровая обработка сигналов).
EXT — Extension (расширение).
FDATool — Filter Design and Analysis Toolbox (средство проектирования и анализа фильтров).
FFT — Fast Fourier Transform (быстрое преобразование Фурье).
FIR — Finite Impulse Response (конечная импульсная характеристика).
GUI — Graphical User Interface (графический интерфейс пользователя).
HTML — Hyper Text Markup Language (язык разметки гипертекста).
IDFT — Inverse Discrete Fourier Transform (обратное дискретное преобразование Фурье).
IFFT — Inverse Fast Fourier Transform (обратное быстрое преобразование Фурье).
IIR — Infinite Impulse Response (бесконечная импульсная характеристика).
LMS — Least Mean Square (метод наименьших квадратов).
LSB — Least Significant Bits (младшее слово).
MAE — Mean Absolute Value (среднее абсолютное отклонение).
MSB — Most Significant Bits (старшее слово).
NLMS — Normalize Least Mean-Square (нормированный метод наименьших квадратов).
PSD — Power Spectral Density (спектральная плотность мощности).
RLS — Recursive Least Square (рекурсивный метод наименьших квадратов).
10 Список условных обозначений и сокращений
RMSE — Root Mean Squared Error (среднеквадратическая ошибка).
SOS — Second-Order Sections (рекурсивные звенья 2-го порядка).
SPTool — Signal Processing Toolbox (средство обработки сигнала).
STD — Standard Deviation (стандартное отклонение).
АКФ — автокорреляционная функция.
АФ — адаптивный фильтр.
АФП — аналоговый фильтр-прототип.
АЦП — аналого-цифровой преобразователь.
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика.
БИХ — бесконечная импульсная характеристика (тип фильтра).
БПФ — быстрое преобразование Фурье.
ВКФ — взаимная корреляционная функция.
ВЦД — высокочастотный цифровой дифференциатор.
ГВЗ — групповое время задержки.
ДКП — дискретное косинус-преобразование.
ДПФ — дискретное преобразование Фурье.
ИХ — импульсная характеристика.
КИХ — конечная импульсная характеристика (тип фильтра).
КФНЧ — комплексный фильтр нижних частот.
КЧХ — комплексная частотная характеристика.
ЛДС — линейная дискретная система.
ЛФЧХ — линейная ФЧХ.
МНК — метод наименьших квадратов.
НМНК — нормированный метод наименьших квадратов.
ННУ — нулевые начальные условия.
НЦД — низкочастотный цифровой дифференциатор.
ОБП — одна боковая полоса.
ОБПФ — обратное быстрое преобразование Фурье.
ОДПФ — обратное дискретное преобразование Фурье.
ПЗ — полоса задерживания.
ПЛИС — программируемая логическая интегральная схема.
ПП — полоса пропускания.
ПТ — плавающая точка.
Список условных обозначений и сокращений 11
ПФ — полосовой фильтр.
ПЦД — полосовой цифровой дифференциатор.
РНК — рекуррентный метод наименьших квадратов.
РУ — разностное уравнение.
РФ — режекторный фильтр.
СКО — среднеквадратическое (стандартное) отклонение.
СКФ — системная корреляционная функция.
СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений.
СПМ — спектральная плотность мощности.
ФВЧ — фильтр верхних частот.
ФЗ — фазовое звено.
ФНЧ — фильтр нижних частот.
ФТ — фиксированная точка.
ФЧХ — фазочастотная характеристика.
ЦАП — цифроаналоговый преобразователь.
ЦД — цифровой дифференциатор.
ЦОС — цифровая обработка сигналов.
ЦПГ — цифровой преобразователь Гильберта.
ЦПОС — цифровой процессор обработки сигналов.
ЦФ — цифровой фильтр.
ЧХ — частотная характеристика.
ШЦД — широкополосный цифровой дифференциатор.
Предисловие
Перспективы научно-технического развития в области телекоммуникаций и радио-техники в значительной мере связаны с разработкой новых методов и алгоритмов цифровой обработки сигналов (ЦОС) и созданием на их основе программных (soft) и аппаратных (hard) продуктов.
Сложность технологии разработки soft- и hard-продуктов предполагает высокий уровень подготовки бакалавров и магистров в соответствии с новыми Федеральны-ми государственными образовательными стандартами высшего образования по на-правлениям "Инфокоммуникационные технологии и системы связи" и "Радиотех-ника".
В архитектуре системы высшего образования базовая дисциплина ЦОС соответст-вует уровню "бакалавр" и ее расширение/углубление распространяется на уровень "магистр".
Результаты подготовки в области ЦОС в сжатой формулировке сводятся к триаде знаний и навыков: фундаментальная теория, компьютерное моделирование, реали-зация.
Фундаментальная теория ЦОС — весьма обширная область знаний, в которой условно принято выделять две части: базовую и прикладную.
В базовой части изучаются базовые методы и алгоритмы ЦОС, инвариантные отно-сительно приложений и физической природы сигнала. Содержание базовой части может варьировать в зависимости от направления подготовки, но в общем случае оно охватывает традиционные темы, так или иначе представленные в различных книгах по ЦОС.
В прикладной части рассматриваются специальные методы и алгоритмы ЦОС для конкретных приложений и физической природы сигналов, основу которых состав-ляют базовые методы и алгоритмы с учетом специфики их приложения. Обычно они изучаются в рамках специальных дисциплин, определяемых вузом в зависимо-сти от направления и профиля подготовки.
Компьютерное моделирование методов и алгоритмов ЦОС, как правило, выполня-ется в программной среде (системе) MATLAB, созданной компанией The Math Works, Inc., — общепризнанным мировым универсальным стандартам в области компьютерных технологий. Если компьютерную модель (soft-продукт) предполага-ется реализовать в виде устройства (hard-продукта), то в ней должны учитываться эффекты квантования исходных данных и результатов арифметических операций.
14 Предисловие
Далее, если это необходимо, производится тестирование модели с помощью вирту-альных приборов на реальных сигналах в среде графического программирования LabVIEW, интегрированной с MATLAB.
Реализация модели в виде hard-продукта может быть программной, аппаратной или аппаратно-программной на базе цифрового процессора обработки сигналов (ЦПОС), программируемой логической интегральной схемы (ПЛИС), системы на кристалле (System on Chip, SoC) и т. п. В системе MATLAB предусмотрены целе-вые средства реализации hard-продукта на основе модели Simulink (подсистемы MATLAB).
Книга предназначена для поддержки двух составляющих обозначенной триады: фундаментальная теория — компьютерное моделирование. В конкретном случае это означает, что теория ЦОС (базовая часть) преподносится с позиции моделиро-вания в MATLAB: теоретические аспекты методов и алгоритмов ЦОС увязываются с их моделированием в MATLAB и иллюстрируются соответствующими примера-ми. Это образно и кратко отображено в названии книги.
Рассмотрение реализации ограничено автоматическим созданием моделей Simulink цифровых фильтров.
Предыдущие книги автора (написанные в соавторстве) "Цифровая обработка сиг-налов. Моделирование в MATLAB" (2008) и "Цифровая обработка сигналов и MATLAB" (2013) содержат лишь краткие теоретические справки по разделам ЦОС. Основное внимание в них уделяется средствам моделирования ЦОС в MATLAB.
В новой книге, напротив, системно излагаются теоретические основы ЦОС, а сред-ства моделирования в MATLAB рассматриваются в объеме, необходимом для опи-сания процедур проектирования систем ЦОС или подтверждения теоретических выводов. При этом в иллюстративных примерах используются script-файлы, приве-денные в книге "Цифровая обработка сигналов и MATLAB", а в новой книге пред-ставлены и проанализированы результаты моделирования.
Содержание книги включает 22 главы и 2 приложения с описанием средств GUI (Graphical User Interface — графический интерфейс пользователя) FDATool (Filter Design and Analysis Toolbox — средство проектирования и анализа фильтров) и SPTool (Signal Processing Toolbox — средство обработки сигнала).
Данная книга, в первую очередь, ориентирована на бакалавров, магистров, аспи-рантов и преподавателей вузов. Однако она может быть полезна для всех инженер-но-технических специалистов, проявляющих интерес к области ЦОС.
Алла Ивановна Солонина, канд. техн. наук, доцент кафедры радиосистем и обра-ботки сигналов Санкт-Петербургского государственного университета телекомму-никаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича (СПбГУТ).
Автор выражает глубокую признательность рецензентам д-ру техн. наук Елене Борисовне Соловьевой и д-ру техн. наук Андрею Алексеевичу Монакову, а также канд. техн. наук Дмитрию Андреевичу Улаховичу за консультации в процессе написания книги и редактору Анне Сергеевне Кузьминой за ценные предложения по ее оформлению.
Все предложения и замечания, которые будут приняты автором с благодарностью, просим присылать в издательство "БХВ-Петербург" по электронному адресу: [email protected].
ГЛ АВ А 1
Введение в цифровую обработку сигналов
Цифровая обработка сигналов (ЦОС) — это область науки и техники, в которой
изучаются общие для различных технических приложений методы и алгоритмы
обработки сигналов средствами цифровой вычислительной техники.
1.1. Основные типы сигналов
Сигналом называют физический процесс, несущий в себе информацию.
Математически сигнал описывается функцией времени, тип которой зависит от
типа сигнала. К основным типам сигналов относят аналоговый, дискретный и циф-
ровой.
Аналоговым называют сигнал, непрерывный по времени и состоянию. Такой сигнал
описывается непрерывной или кусочно-непрерывной функцией ( )x t , при этом и
аргумент, и функция могут принимать любые значения из некоторых интервалов
1 2t t t≤ ≤ ,
1 2x x x≤ ≤ соответственно (рис. 1.1, а).
Дискретным называют сигнал, дискретный по времени и непрерывный по состоя-
нию. Такой сигнал описывается последовательностью ( )x nT , 0, 1, 2, ...n = , (ре-
шетчатой функцией), которая определена только в дискретные моменты времени
nT и может принимать любые значения из некоторого интервала 1 2x x x≤ ≤
(рис. 1.1, б).
Значения последовательности ( )x nT называют отсчетами (samples), интервал Т —
периодом дискретизации, а обратную величину д
1f T= — частотой дискре-
тизации.
Дискретный сигнал может быть вещественным или комплексным. В последнем случае вещественная и мнимая части описываются вещественными последователь-
ностями:
1 2( ) ( ) ( )x nT x nT jx nT= + .
Термины "дискретный сигнал" и "последовательность" в теории ЦОС тождест-венны.
16 Глава 1
Цифровым называют сигнал, дискретный по времени и квантованный по состоя-
нию. Такой сигнал описывается квантованной последовательностью (квантован-
ной решетчатой функцией) ц( )x nT , 0, 1, 2, ...n = , отсчеты которой в каждый
момент времени nT принимают дискретные значения уровней квантования из не-
которого интервала 1 2x x x≤ ≤ (рис. 1.1, в).
а)
б)
в)
Рис. 1.1. Аналоговый (а), дискретный (б) и цифровой (в) сигналы
1.2. Обобщенная схема
цифровой обработки сигналов
Обобщенная схема ЦОС (рис. 1.2) отображает последовательность процедур, необ-
ходимых для преобразования исходного аналогового сигнала ( )x t в другой анало-
говый сигнал ( )y t по заданному алгоритму средствами цифровой вычислительной
техники.
В цифровой обработке сигнала можно выделить три основных этапа:
� формирование цифрового сигнала ц( )x nT из исходного аналогового сигнала
( )x t ;
� преобразование входного цифрового сигнала ц( )x nT в выходной цифровой сиг-
нал ц( )y nT по заданному алгоритму;
� формирование аналогового сигнала ( )y t из цифрового сигнала ц( )y nT .
Введение в цифровую обработку сигналов 17
Рис. 1.2. Обобщенная схема цифровой обработки сигнала
18 Глава 1
В обобщенной схеме ЦОС этим этапам соответствуют три функциональных уст-ройства:
� кодер;
� устройство ЦОС;
� декодер.
Рассмотрим процесс ЦОС поэтапно.
1. На первом этапе кодер из исходного аналогового сигнала ( )x t (см. рис. 1.2, а)
формирует цифровой сигнал ц( )x nT (см. рис. 1.2, в). В состав кодера входят
аналоговый фильтр нижних частот (ФНЧ) и аналого-цифровой преобразователь
(АЦП).
Аналоговый фильтр нижних частот предназначен для ограничения спектра
(спектральной плотности)1 ( )X jω исходного аналогового сигнала ( )x t .
Необходимость ограничения спектра вытекает из теоремы Котельникова, в со-
ответствии с которой частота дискретизации дf выбирается из условия:
д в2f f≥ , где
вf — верхняя частота спектра сигнала.
а)
б)
Рис. 1.3. Сигналы и их амплитудные спектры на входе (а) и выходе (б) аналогового ФНЧ
Возможность ограничения спектра связана с особенностями частотного рас-
пределения энергии сигнала: основная часть его энергии сосредоточена в облас-
ти в
f f≤ , т. е. амплитуды спектральных составляющих, начиная с некоторой
частоты в
f f> , существенно снижаются (рис. 1.3, а). Выбор значения вf опре-
деляется конкретным типом сигнала и решаемой задачей. При обработке аудио-
1 Спектр и спектральная плотность не тождественные понятия, и в дальнейшем будут определены.
Здесь же, во вводной главе, используем краткий термин "спектр", по умолчанию объединяющий
в себе оба данных понятия.
Введение в цифровую обработку сигналов 19
и видеосигналов выбор значения вf зависит от особенностей психофизического
восприятия данных сигналов. Например, для стандартного телефонного сигнала
верхняя частота вf равна 3,4 кГц, а минимальная стандартная частота дискрети-
зации дf — 8 кГц.
На выходе ФНЧ (см. рис. 1.2, б) получают аналоговый сигнал ( )x t� с финитным
(ограниченным по протяженности) спектром ( )X jω� (рис. 1.3, б).
Аналого-цифровой преобразователь формирует цифровой сигнал ц( )x nT
посредством дискретизации и квантования аналогового сигнала ( )x t� (см.
рис. 1.2, в).
Дискретизация по времени (дискретизация) представляет собой процедуру взя-тия мгновенных значений — отсчетов — сигнала ( )x t� с интервалом времени,
равным периоду дискретизации T . По умолчанию будем подразумевать равно-мерную (эквидистантную) дискретизацию. Значения отсчетов ( )x nT совпадают
со значениями сигнала ( )x t� в моменты времени t nT= :
( ) ( )t nT
x nT x t=
= � .
Совокупность отсчетов ( )x nT , 0, 1, ...n = , называют дискретным сигналом.
Квантование по уровню (квантование) производится с целью представления
точных значений отсчетов ( )x nT в виде двоичных чисел конечной разрядно-
сти — квантованных отсчетов ц( )x nT .
Для этого динамический диапазон дискретного сигнала ( )x nT разбивается на
конечное число дискретных уровней — уровней квантования, и каждому отсче-ту по определенному правилу присваивается значение одного из ближайших уровней, между которыми он оказывается. Уровни квантования кодируются двоичными числами разрядности b , зависящей от числа уровней квантования R:
2b
R ≤ ,
откуда 2
int (log )b R= — ближайшее целое в сторону увеличения. На временной
диаграмме (см. рис. 1.2, в) для примера выбрано 6 уровней квантования (без уче-
та знака), поэтому 3b = и отсчеты ц( )x nT кодируются четырехразрядными дво-
ичными числами: один разряд знаковый, три значащих.
Совокупность квантованных отсчетов ц( )x nT , 0, 1, ...n = , называют цифровым
сигналом.
2. На втором этапе устройство ЦОС преобразует входной цифровой сигнал
ц( )x nT (см. рис. 1.2, в) в выходной цифровой сигнал
ц( )y nT (см. рис. 1.2, г) по
заданному алгоритму.
Устройство ЦОС может быть реализовано программно, например, на базе циф-рового процессора обработки сигналов (ЦПОС), аппаратно, например, на про-граммируемой логической интегральной схеме (ПЛИС), или аппаратно-про-граммно, когда часть операций реализуется аппаратно, а часть — программно.
20 Глава 1
Устройства ЦОС могут работать в реальном или нереальном времени.
В реальном времени обработка сигналов должна выполняться в темпе поступле-
ния отсчетов входного сигнала ц( )x nT , 0, 1, ...n = , и отвечать следующим тре-
бованиям:
• время цикла цtΔ при вычислении отсчета
ц( )y nT не должно превышать
интервала между двумя соседними отсчетами ц( )x nT , т. е. периода дискрети-
зации
цt TΔ ≤ ;
• тактовая частота τf процессора должна быть много выше частоты дискрети-
зации дf сигнала
ц( )x nT
τ дf f� .
Последнее вызвано тем, что в алгоритмах ЦОС количество операций в цикле,
необходимых для вычисления одного отсчета ц( )y nT , весьма велико. Например,
для стандартного телефонного сигнала с частотой дискретизации 8 кГц тактовая
частота должна быть не менее 6 МГц.
В реальном времени выполняется обработка сигналов, связанная, прежде всего,
с их передачей по каналам связи, в том числе через Интернет.
В нереальном времени выполняется обработка сигналов, связанная с их исследо-
ванием, например, обработкой данных от датчиков различной физической при-роды, студийной обработкой аудио- и видеосигналов и др.
3. На третьем этапе декодер формирует результирующий аналоговый сигнал ( )y t
из цифрового сигнала ц( )y nT . В состав декодера входят цифроаналоговый пре-
образователь (ЦАП) и сглаживающий фильтр.
Цифроаналоговый преобразователь формирует из цифрового сигнала ц( )y nT
(см. рис. 1.2, г) ступенчатый аналоговый сигнал ( )y t� (см. рис. 1.2, д).
Сглаживающий фильтр (аналоговый ФНЧ) устраняет ступенчатый (лестнич-
ный) эффект в выходном сигнале ЦАП ( )y t� . На выходе сглаживающего фильтра
получаем аналоговый сигнал ( )y t (см. рис. 1.2, е) — результат преобразования
исходного сигнала ( )x t .
Предметом изучения в этой книге являются дискретные и цифровые сигналы и ме-
тоды и алгоритмы их преобразования, реализуемые устройством ЦОС (на рис. 1.2 выделено полужирным шрифтом).
Введение в цифровую обработку сигналов 21
1.3. Нормирование времени и частоты
Дискретным временем называют значения аргумента nT , 0, 1, ...n = , дискретного
( )x nT или цифрового ц( )x nT сигнала.
Дискретным нормированным временем называют отношение дискретного времени
к периоду дискретизации:
nT
n
T
= , 0, 1, ...n = (1.1)
Шкала дискретного нормированного времени является унифицированной: при лю-
бых значениях периода дискретизации обеспечивается равенство
( ) ( )x nT x n= , 0, 1, ...n = , (1.2)
а время n имеет смысл номера отсчета.
При описании дискретных и цифровых сигналов и систем в частотной области,
наряду с частотами f (Гц) и ω (Гц/с), используют нормированные частоты.
Нормированной частотой называют ее отношение к частоте дискретизации:
д
ˆ
ff f T
f= = (безразмерная величина); (1.3)
д
ˆ Tf
ω
ω = = ω (рад), (1.4)
где ˆˆ 2 fω = π .
Шкала нормированной частоты f̂ или ω̂ является унифицированной. Например,
интервалу д
0; f⎡ ⎤⎣ ⎦ при любых значениях дf в шкале частот f̂ будет соответство-
вать интервал [ ]0;1 , а в шкале частот ω̂ — интервал [ ]0; 2π .
1.4. Основная полоса частот
Согласно теореме Котельникова, точное восстановление аналогового сигнала с фи-
нитным спектром, ограниченным верхней частотой вf , гарантируется при выборе
частоты дискретизации дf из условия
д в2f f≥ ,
откуда
д
в
2
ff ≤ .
22 Глава 1
С этим связано понятие основной полосы частот в шкале частот f :
д
0;2
ff
⎡ ⎤⇒ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
или ω :
д д2
0; 0; 0;2 2
f
T
ω π⎡ ⎤ ⎡ ⎤ π⎡ ⎤ω ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
В шкале нормированных частот f̂ или ω̂ основная полоса частот унифицирована:
[ ]ˆ 0; 0,5f ⇒ ;
ˆ [0; ]ω ⇒ π .
Частоту д2f f= , а также ее нормированные эквиваленты ˆ 0,5f = и ω̂ = π , назы-
вают частотой Найквиста.
Взаимосвязь между значением нормированной частоты 0
ω̂ и абсолютной частоты
0f легко определить из пропорции:
д
0
0
— ;2
ˆ — ,
ff
ω π
откуда
0 д
0
ˆ
2
ff
ω
=
π
. (1.5)
1.5. Типовые дискретные сигналы
Определим типовые дискретные сигналы (последовательности), которые будем ис-пользовать в последующем.
� Цифровой единичный импульс — последовательность с единственным отсчетом,
отличным от нуля и равным единице в точке 0n = (рис. 1.4, а):
0
1, 0;( )
0, 0.
n
u n
n
=⎧= ⎨
≠⎩ (1.6)
Задержка цифрового единичного импульса, как и любой другой последователь-
ности, эквивалентна ее сдвигу по оси времени вправо (рис. 1.4, б) на 0m > от-
счетов (m периодов дискретизации):
0
1, ;( )
0, .
n m
u n m
n m
=⎧− = ⎨
≠⎩
Введение в цифровую обработку сигналов 23
а) б)
Рис. 1.4. Цифровой единичный (а) и задержанный цифровой единичный (б) импульсы
В цифровой обработке сигналов цифровой единичный импульс 0( )u n играет ту
же роль, какую в аналоговой обработке играет δ -функция (функция Дирака)
( )tδ :
, 0;( )
0, 0,
t
t
t
∞ =⎧δ = ⎨
≠⎩
однако, в отличие от нее, цифровой единичный импульс физически реализуем.
С этим связано его принятое обозначение 0( )u n , а не ( )nδ , во избежание пута-
ницы, т. к. (0)δ = ∞ .
По определению интеграл от δ -функции ( )tδ (его площадь) равен единице.
В области дискретного времени ему можно сопоставить сумму отсчетов цифро-
вого единичного импульса, также равную единице:
0δ( ) 1 ( ) 1
n
t dt u n
∞∞
=−∞−∞
= ⇒ =∑∫ .
Фильтрующему свойству1 δ -функции в виде интеграла [19]
0 0( ) ( ) ( )x t t t dt x t
∞
−∞
δ − =∫
соответствует фильтрующее свойство цифрового единичного импульса в виде
ряда
0
( ) ( ) ( )m
x m u n m x n
∞
=−∞
− =∑ , (1.7)
означающее, что из бесконечной последовательности цифровой единичный им-
пульс выделит один отсчет, соответствующий моменту времени n m= , а осталь-
ные — "обнулит" (подавит). Это свойство иллюстрирует рис. 1.5. В каждый мо-
мент времени n имеем только одно отличное от нуля локальное произведение
0( ) ( )x m u n m− при равенстве m n= :
0( ) (0) ( )x n u x n= .
1 Его также называют свойством селективности.
24 Глава 1
Рис. 1.5. Иллюстрация фильтрующего свойства цифрового единичного импульса
� Цифровой единичный скачок — последовательность, отсчеты которой равны единице при всех неотрицательных значениях n и нулю — в противном случае
(рис. 1.6, а):
1
1, 0;( )
0, 0.
n
u n
n
≥⎧= ⎨
<⎩ (1.8)
Задержанный цифровой единичный скачок описывается последовательностью (рис. 1.6, б):
1
1, ;( )
0, .
n m
u n m
n m
≥⎧− = ⎨
<⎩
а) б)
Рис. 1.6. Цифровой единичный (а) и задержанный цифровой единичный (б) скачки
� Дискретная экспонента — последовательность, отсчеты которой определяются соотношением (рис. 1.7):
, 0;
( )0, 0.
n
a n
x n
n
⎧ ≥= ⎨
<⎩ (1.9)
Введение в цифровую обработку сигналов 25
а)
б)
Рис. 1.7. Знакопостоянная (а) и знакопеременная (б) дискретные экспоненты
� Дискретный гармонический сигнал — последовательность, отсчеты которой совпадают со значениями аналогового гармонического сигнала (синусоиды или
косинусоиды) в моменты дискретного времени (рис. 1.8):
( )( ) cos( ) cost nT
x nT C t C nT=
= ω = ω ,
где C — амплитуда, ω — частота, T — период дискретизации сигнала.
В шкале дискретного нормированного времени (1.1) и нормированной частоты (1.4) это эквивалентно
( )ˆ( ) cosx n C n= ω .
Рис. 1.8. Аналоговый (огибающая) и дискретный гармонический сигналы
� Дискретный комплексный гармонический сигнал — комплексная последователь-
ность, отсчеты которой совпадают со значениями комплексного аналогового гармонического сигнала в моменты дискретного времени:
( ) j t j nT
t nTx nT Ce Ce
ω ω
== = .
В шкале дискретного нормированного времени и нормированной частоты это
эквивалентно
ˆ
( ) j nx n Ce
ω
= . (1.10)
Вещественная и мнимая части комплексного сигнала описываются веществен-ными последовательностями:
ˆ ˆ( ) cos( ) sin( )x n C n jC n= ω + ω .
